126

BAB VI

BILANGAN REAL

PENDAHULUAN

Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam

himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian,

misalkan 3 : 11. Timbul pertanyaan, dapatkah kita memperluas sistem bilangan

bulat agar pembagian selalu mempunyai penyelesaian, kecuali pembaginya adalah

nol?

Dalam proses perluasan sistem ini, kita permasalahkan penyelesaian 1 : a =

x, a > 1, atau berapakah x supava ax = 1? Tidak ada bilangan bulat x sehingga ax

= 1 bukan?

Penyelesaian persamaan itu ditunjukkan sebagai , sehingga a( ) = 1.

Bilangan dinamakan invers perkalian bilangan a. Hanya ada satu bilangan bulat

yang tidak mempunyai invers perkalian yaitu nol. Mengapa?

Seperti di atas juga dapat dipemasalahkan penyelesaian 3 : 11 = x.

Berapakah x agar 11.x = 3. Misalkan kita dapat menemukan bilangan baru

sehingga 11 . = 3. Secara umum, = a akan mempunyai penyelesaian , b ≠

0. Bilangan baru ini dinamakan bilangan rasional.

Selanjutnya, ternyata dalam sistem bilangan rasional, bilangan-bilangan

tertentu tidak mempunyai akar pangkat dua atau akar pangkat tiga. Misalkan

persamaan x2 = 2 tidak mempunyai penyelesaian dalam sistem bilangan rasional

sebab tidak ada bilangan rasional yang jika dikalikan dengan diri sendini sama

dengan 2. Dengan demikian, diperlukan untuk memperluas sistem bilangan

rasional ke sistem bilangan baru yang disebut sistem bilangan real.

A. Bilangan Rasional

Pada waktu Anda masih duduk di Sekolah Dasar, Anda sudah

dikenalkan lambang bilangan sebagai pecahan. Sesungguhnya

pecahan digunakan untuk menyatakan

127

1. Suatu pembagian

2. Suatu bagian dari

3. Suatu elemen dari sistem matematika.

Misalnya kita akan melakukan pembagian 3 : 4. Jelas bahwa

pembagian ini tidak mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan

bulat.

Sekarang, kita akan mendefinisikan bilangan baru, yang dinyatakan

oleh pecahan demikian sehingga 4. = 3.

Secara umum, a : b dengan b ≠ 0 mempunyai jawab yang dinyatakan

oleh atau demikian sehingga b. = a.

Pecahan juga menyatakana suatu bagian dari, misalnya berarti

empat dari lima bagian yang sama.

Perhatikan gambar 4.1.

Gambar 6.1

Jika dibandingkan bagian daerah yang diarsir terhadap daerah

seluruhnya, gambar 4.1.a menunjukkan gambar 4.1.b menunjukkan dan

gambar 4.1.c menunjukkan .

Pengertian yang sama akan ditunjukkan dengan ruas-ruas garis yang

sama pada garis bilangan, kemudian dibagi menjadi empat ruas garis yang

sama. Masing-masing ruas garis itu menyatakan satu bagian dari empat

bagian yang sama, ditunjukkan . Berikutnya , .

Perhatikan gambar 4.2!

128

Gambar 6.2

Dengan demikian dalam membicarakan konsep pecahan dengan

menggunakan garis bilangan, setiap satuan interval dibagi menjadi ke dalam

ruas-ruas garis yang sama. Sebagai contoh, membagi setiap satuan dibagi

menjadi tiga ruas garis yang sama seperti pada gambar 4.3.

Gambar 6.3

Secara umum, pecahan dapat dinyatakan pada garis bilangan.

Penyebut pecahan, yaitu b, menyatakan banyaknya bagian dari pembagian

satu satuan, dan b ≠ 0. Pembilang pecahan a, menyatakan banyaknya bagian

yang dimaksudkan.

Selanjutnya, perhatikan gambar 4.4. Pada gambar 4.4, suatu persegi

panjang dibagi. menjadi 4 bagian yang sama, 8 bagian yang sama, dan 16

bagian yang sama. Jika bagian daerah yang diarsir dibandingkan terhadap

daerah seluruhnya, maka menunjukkan 1 bagian dari 4 bagian yang sama

(dinyatakan ) atau 2 bagian dari 8 bagian yang sama (dinyatakan ), atau

4 bagian dan 16 bagian yang sama (dinyatakan ) Perhatikan bahwa ,

dan masing-masing menyatakan daerah yang diarsir yang sama.

129

Gambar 6.4

Dengan cara yang sama, perhatikan titik-titik garis bilangan pada

gambar 4.5. Suatu titik pada garis bilangan dinyatakan oleh macam- macam

pecahan berbeda yang tak terhingga. Sebagai contoh , dan , semuanya

menyatakan titik atau bilangan yang sama.

Pecahan-pecahan yang menyatakan bilangan yang sama pada garis

bilangan disebut pecahan yang ekuivalen. Tanda (lambang) ekuivalen

kadang-kadang dinyatakan oleh “ ≈ “, tetapi sering menggunakan tanda “ =

“, misalnya = = .

Gambar 6.5

Konsep di atas didefinisikan sebagai berikut :

Definisi : Bilangan pecahan adalah bilangan yang lambangnya terdiri dari

pasangan berurutan bilangan bulat a dan b (dengan b ≠ 0) yang

merupakan penyelesaian pesamaan bx = a, ditulis atau a : b.

Contoh 1:

130

3 : 11 dapat ditulis sebagai , yang berarti 11. = 3

Contoh 2 :

-4 : 7 dapat ditulis sebagai yang berarti 7.( ) = -4

Selanjutnya perhatikan 6 : 3 dapat ditulis , tetapi 6 : 3 = 2. Juga, 2 =

-4 : -2, dan -4 : -2 dapat ditulis . Jadi = menyatakan bilangan

yang sama.

Definisi : Pecahan dan , b ≠ 0 dan d ≠ 0 adalah ekuivalen jika hanya

jika ad = bc.

Contoh 1 :

sebab 2.14 = 7.4

Contoh 2 :

sebab 1.12 = 3.4

Himpunan pecahan yang ekuivalen disebut kelas pecahan ekuivalen.

Kelas pecahan ekuivalen dari adalah :

Kelas pecahan ekuivalen dari adalah

Kelas pecahan ekuivalen dari 0 adalah

Dari uraian di atas, dapat dikemukakan bahwa himpunan semua

pecahan dapat dipisahkan menjadi kelas-kelas pecahan yang ekuivalen.

Teorema Dasar Pecahan

Untuk sembarang pecahan , dengan b ≠ 0, dan sembarang bilangan bulat

c, c ≠ 0, berlaku :

Bukti:

Gunakan definisi pecahan-pecahan ekuivalen. Kerjakan sebagai latihan.

131

Definisi : Pecahan , dengan b > 0 merupakan pecahan sederhana, jika faktor

persekutuan terbesar dan a dan b adalah 1.

Contoh 1 : adalah pecahan sederhana, sebab FPB (3, 7) = 1

Contoh 2 : bukan pecahan sederhana, sebab FPB (4, 8) = 4 ≠ 1.

Definisi : Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dilambangkan

dengan untuk a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0.

Bilangan rasional dapat juga dinyatakan dalam lambang desimal,

sebagai pasangan terurut (a, b) atau sebagai perbandingan a : b, tetapi sangat

sering dinyatakan sebagai pecahan.

Contoh :

Pecahan menyatakan hilangan rasiona1

Seperti halnya bilangan asli, bilangan cacah dan bilangan bulat,

bilangan rasional juga merupakan konsep abstrak dalam matematika.

Lambang bilangan yang digunakan untuk menyatakan bilangan rasional

adalah sebarang pecahan dan kelas ekuivalennya.

Perhatikan kernbali gambar 4.5. Gambar tersebut menyatakan

pecahan-pacahan dalam kelas-kelas ekuivalen yang ditunjukkan oleh sebuah

titik pada garis bilangan. Hal ini merupakan titik yang dikaitkan dengan

bilangan rasional. Menurut definisi, jika bilangan pecah (dengan b ≠ 0)

adalah bilangan yang merupakan penyelesaian persamaan bx = a, maka

bilangan rasional adalah penyelesaian persamaan bxn = a.

Definisi : Dua bilangan rasional sama jika dan hanya jika keduanya

dinyatakan oleh pecahan-pecahan dari suatu kelas-kelas ekuivalen

yang sama.

Con toh :

Jika menyatakan bilangan rasonal a, dan menyatakan bilangan

rasional b, maka a = b jika dan hanya jika =

1. Operasi pada Bilangan Rasional

132

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Rasional

Telah dipelajari, pada pEnjumlahan bilangan bulat 2 + 3 = 5.

Sekarang akan dicari penjumlahan bilangan rasional . didapat

bahwa

Perhatikan gambar 4.6 berikut.

Gambar 6.6

Secara umum didefinisikan penjumlahan bilangan rasional , untuk

dan bilangan-bilangan rasional.

Selanjutnya untuk penjumlahan bilangan rasional yang dinyatakan

oleh pecahan yang mempunyai penyebut sama tetapi bukan 1. Misalkan

akan dicari jumlah

Gambar 6.7

Perhatikan gambar 4.7.

Secara umum, untuk dan bilangan rasional.

133

Selanjutnya akan dibicarakan penjumlahan bilangan rasional yang

dinyatakan oleh pecahan-pecahan dengan penyebut tidak sama. Misalkan

akan dicari jumlah dan . Telah diketahui bahwa dan

= , sehingga .

Secara umum, didefinisikan sebagai berikut :

Definisi : Jika dan , bilanganbilangan rasional dengan b ≠ 0 dan d

≠ 0, maka

Contoh 1 :

Contoh 2:

Sampai sekarang telah dipelajari sistem bilangan cacah dan sistem

bilangan bulat. Bilangan bulat mempunyai semua sifat yang dimiliki bilangan

cacah ditambah satu sifat tentang penjumlahan yaitu : setiap bilangan bulat,

mempunyai invers penjumlahan tunggal. Demikian pula bilangan rasional

mempunyai semua sifat bilangan bulat ditambab sifat, bahwa bilangan

rasional, kecuali (atau 0) mempunyai invers perkalian.

Elemen identitas penjumahan bilangan rasional, dapat ditulis sebagai

, karena , untuk setiap bilangan rasional. Karena

maka selalu digunakan untuk menyatakan elemen identitas

penjumlahan.

Untuk setiap bilangan rasional ada invers penjumlahan -

karena + - = 0 Selanjutnya perhatikan berikut ini.

Dengan cara yang sama,

134

Jadi -( ), dan adalah invers penjumiahan dari .

Apakah -( ), dan menyatakan bilangan rasional yang sama?

Seianjutnya, untuk operasi penjumlahan bilangan rasional bersifat

tertutup, komutatif, asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai

invers penjumiahan.

Definisi : Penyebut persekutuan terkecil pecahan-pecahan adalah kelipatan

persekutuan terkecil dari penyebut pecahan-pecahan itu.

Penyebut persekutuan terkecil pecahan digunakan untuk menyamakan

penyebut pecahan dalam rangka untuk menjumlahkan bilangan rasionai yang

dilambangkan oleh pecahan itu.

Contoh 1 :

= =

Contoh 2 :

=

Definisi : Untuk dan bilangan-bilangan rasional. Pengurangan

bilangan rasional dari (ditulis - ) adalah bilangan

rasional jika dan hanya jika = +

Contoh 1 :

Con toh 2 :

Definisi : Pecahan tidak Sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih

besar atau sama dengan penyebutnya.

135

Pecahan Sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dan

penyebutnya.

Contoh 1 :

Ubahlah . ke pecahan tidak sejati

Perhatikan bahwa disebut Pecahan campuran.

Contoh 2 :

Ubahlah ke pecahan campuran .

b. Perkalian dan Pembagian Bilangan Rasional

Sudah diketahui bahwa pada perkalian bilangan bulat, 3 x 4 = 12.

Sekarang, akan didefinisikan perkalian bilangan rasional.

Telah diketahui :

Jawab dari adalah bilangan rasiona1 yang dapat diperoleh dengan

mengalikan pembilang-pembilangnya dan penyebut-penyebutnya.

Selanjutnya akan dicari . Untuk menggambarkan dapat

diilustrasikan dengan membagi suatu luasan menjadi 21 bagian yang sama.

Arsirlah 2 dari 3 bagian yang sama, kemudian arsirlah 4 dari 7 bagian yang

sama yang lain. Dengan pengamatan terlihat dua bagian yang terarsir dua

kali, yang menggambarkan

Perhatikan gambar 4.8!

136

Gambar 6.8

Perhatikan bahwa dan dapat diperoleh dengan mengalikan pembilang-

pembilangnya dan penyebut-penyebutnya.

Misalkan bilangan. rasional dipikirkan sebagai penyelesaian dari

persamaan 3x = 5. Jadi, 3 . = 5 atau . Berarti bahwa, definisi

perkalian nanti untuk . harus demikian sehingga mempunyai jawab .

Salah satu bilangan rasional yang sama dengan adalah . Hal ini dapat

diperoleh dengan mengalikan pembilangpembilang dan penyebut-penyebut

dan -. Konsep-konsep tersebut menunjukkan alasan definisi perkalian

bilangan rasional berikut.

Definisi : Jika dan bilangan-bilangan rasional maka

Contoh 1 :

Contoh 2 :

Con oh 3:

Sekarang, carilah :

Menurut definisi

Secara umum untuk setiap bilangan rasional .

137

Selanjutnya, sebagai latihan, buktikan bahwa operasi perkalian bilangan

rasional tertutup, komutatif, assosiatif, distributif terhadap penjumlahan, ada

elemen identitas, dan ada elemen invers.

Teorema

Untuk . ) dan bilangan-bilangan rasional

1) Jika = ) maka . = .

2) Sifat konselasi perkalian

Jika - = . dengan ≠ , maka =

Bukti :

Untuk bukti. 1) sebagai berikut :

= Diketahui

ad = bc Mengapa?

(ad)(ef) = (bc)(ef) Mengapa?

[a(de)]fn = b[(ce)f] Mengapa?

[a(ed)]f = b[(ce)f] Mengapa?

(ae)(df) = (bf)(ce) Mengapa?

Mengapa?

. = . Mengapa?

Teorema

Untuk . , , , bilangan-bilangan rasional

Jika = dan = maka . = .

Definisi : Jika dan bilangan-bilangan rasional, dengan ≠ 0, maka

: adalah bilangan rasional jika dan hanya jika = .

Contoh 1 :

138

Contoh 2 :

Contoh 3 :

Definisi : Pembagian sebagai perkalian.

Jika ada, maka : = . , adalah invers perkalian atau

kebalikan dari .

Contoh 1 :

Contoh 2 :

2. Sifat-sifat Bilangan Rasional

Untuk setiap bilangan rasional , , , , dan berlaku sifat-sifat berikut

mi.

1) Tertutup, untuk operasi penjumlahan dan perkalian

+ adalah bilangan rasional

, adalah bilangan rasional

2) Komutatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian

+ = +

. = .

3) Asosiatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian

( + ) + = + ( + )

( . ) . = . ( . )

4) Distributif, perkalian untuk penjumlahan

. ( + ) = . + .

5) Ada elemen identitas penjumlahan dan perkalian

139

Ada bilanganrasional tunggal , sehingga : + = + =

Ada bilangan rasional tunggal , sehingga . = . =

6) Ada elemen invers penjurniahan dan perkalian

Untuk setiap ada invers penjumlahan,

, sehingga + = + =

Untuk setiap ≠ 0 ada invers perkalian

, sehingga . = . =

7) Perkalian dengan nol

. =

Selanjutnya himpunan semua bilangan rasional, dari dua operasi,

penjumlahan, dan perkalian , dengan sifat-sifat tersebut, membentuk suatu sistem

bilangan rasional.

LATIHAN

Kerjakan tugas berikut sebagai latihan!

1. Tulis tujuh pecahan yang ekuivalen dengan pecahan berikut:

a) b) c)

2. Tulislah rnasing-inasing pecahan berikut dalam bentuk paling sederhana

a) b)

3. Tulislah masing-masing tujuh anggota himpunan yang ditentukan, jika a dan b

bilangan-bilangan cacah dan b ≠ 0.

a) {x │ x = dan a + b = 9}

b) {x│ x = dan a + b < 11}

c) {x │ x = dan a - b = 0}

d) {x │ x = dan a – b = 4}

e) (x │ x = dan a + b < 5}

140

4. Carilah pecahan yang ekuivalen dengan . sehingga hasil kali pembilang dan

penyebutnya 224.

5. a) Jika a = c, apakah = ? Mengapa?

b) Jika b = d, apakah . = ? Mengapa?

c) Jika = dan b = d, apakah c = a? Mengapa?

3. Urutan Bilangan Rasiorial

Pada garis bilangan, bilangan rasional kurang dari jika terletak di

sebelah kiri . Perhatikan garis bilangan pada gambar 4.9. kurang dari

karena terletak di sebelah kiri .

Gambar 6.9

Kita dapat mendefinisikan kurang dari untuk bilangan rasional sehingga

konsisten dengan definisi untuk bilangan cacah dan bilangan bulat :

Definisi : < , jika dan hanya jika ada bilangan rasional positip

sehingga + =

Selanjutnya, perhatikan bahwa jika diketahui dan bilangan-

bilangan rasional yang dinyatakan dengan penyebut-penyebut positip, dapatkah

dibuktikan bahwa < jika dan hanya jika ad < bc?

Sekarang, misalkan < . Dengan menggunakan definisi, maka ada

bilangan rasional > 0 sehingga = +

Kedua harus ditambah dengan maka , maka :

+ = ( + ) +

= + ( + ) Mengapa?

141

= ( + ) + Mengapa?

Jadi + = > 0 atau > 0

Karena d dan b keduanya positip, db > 0. Dengan demikian bc - ad

> 0 atau ad < bc.

Dari uraian di atas, maka didapat definisi baru untuk kurang dari pada

bilangan rasional.

Definisi : Jika dan bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan

penyebut-penyebut yang positip, maka < jika dan hanya jika

ad < bc.

Contoh 1 : karena 3.7 < 8.4

Contoh 2 : karena -2.2 < 3.1

Contoh 3 : karena -8.3 < 5.-2

a. Sifat Trikotomi Bilangan Rasional

Jika dan bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan

penyebut-penyebut positip, maka terdapat tepat satu di antara berikut yang benar.

< = >

b. Sifat Kesamaan Bilangan Rasional

Misalkan , dan bilangan-bilangan rasional sehingga =

dengan, maka

1) + = +

2) . = .

c. Sifat Ketidaksamaan Bilangan Rasional

Misalkan , dan bilangan-bilangan rasional sehingga <

dengan, maka

142

3) + < +

4) . < . , jika > 0

5) . > . , jika < 0

Bagi yang berminat dapat membuktikan sifat-sifat kesamaan dan

ketidaksamaan bilangan rasional di atas.

Contoh 1 : , maka

Contoh 2 :

Contoh 3 :

d. Sifat Transitif Ketidaksamaan Bilangan Rasional

Misalkan , dan adalah bilangan-bilangan rasional yang

dinyatakan dengan penyebut- penyebut positip.

Jika < dan < maka <

Selanjutnya pada bilangan rasional ada sifat:

Jika dan adalah dua bilangan rasional yang berbeda, maka selalu

ada bilangan rasional lain di antara dan .

Kenyataan ini menunjukkan bahwa di antara dua bilangan rasional, ada

bilangan rasional ketiga. Di antara bilangan rasional pertama dan ketiga ada

bilangan rasional lain. Demikian juga di antara bilangan rasional ketiga dan

kedua. Proses ini dapat diteruskan tak terhingga. Sehingga dapat disimpulkan

bahwa di antara dua bilangan rasional terdapat tak terhingga banyaknya bilangan

rasional.

Bukti bahwa di antara tiap dua bilangan rasional ada bilangan rasional

yang ketiga akan dibuktikan sebagai berikut.

Akan ditunjukkan ada bilangan rasional di antara dan . < , b

> 0 dan d > 0

143

Maka : ad < bc

(ad)d < (bc)d Mengapa?

(ad)d + (bc)d < (bc)d + (bc)d Mengapa?

(ad + bc)d < 2 bcd Mengapa?

(ad + bc)d < 2 bcd Mengapa?

(ad + bc)d < (2 bd)c

Mengapa?

Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa

<

Terbukti didapat bilangan yang terletak di antara dan .

LATIHAN

Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan!

1. Diketahui dan adalah bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan

penyebut-penyebut positip.

Buktikan bahwa jika ad < bc, maka <

2. Diketahui , dan bilangan-bilangan rasional dengan = . Buktikan :

a) + = +

6) . = +

3 .Diketahui , dan bilangan-bilangan rasional dengan < . Buktikan

a) + < +

b) . < + , jika > 0

c) + > + , jika < 0

4.Tentukan himpunan penyelesaian kalimat terbuka berikut bila variabel dalam

himpunan bilangan rasional

a) + (-2) < 7

b)

144

B. Pecahan Desimal

Pecahan desimal diperkenalkan oleh Simon Stevin pada abad ke-16.

Dalam bukunya “The Tenth”, yang dipublikasikan tahun 1585, dia menunjukkan

bagaimana cara menulis pecahan desimal dan bagimana menghitungnya. Notasi

Stevin untuk pecahan desimal 5,3476 adalah 5 0 3 1 4 2 7 3 6 4.

Stevin tidak menggunakan titik atau koma desimal untuk memisahkan

bilangan yang bulat dan pecahan. Akhirnya, di Inggris menggunakan titik

desimal, “5.3476”, dan di beberapa negara Eropa juga di Indonesia

menggunakan koma desimal, “5,3476”.

Koma desimal diletakkan setelah angka satuan ; di sebelah kanan

koma desimal berturut-turut diletakkan angka yang menyataka persepuluhan,

perseratusan, perseribuan dan seterusnya.

Contoh 1 :

a) b) c)

Contoh 2 :

a) b) c)

Selanjutnya, coptoh berikut ini menunjukkan hubungan antara pecahan

dan pecahan desimal.

Contoh 1 :

Contoh 2:

Contoh 3:

=

=

Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal mudah dilakukan bila

pecahan itu mempunyai penyebut perpangkatan 10. Tetapi bagaimanakah kalau

145

tidak demikián? Misal, . Dapakah diubah menjadi. pecahan lain yang

penyebutnya perpangkatan 10. Demikian juga ,

Tidak mungkin bukan? Jika penyebutnya merupakan perpangkatan 2 atau

5 pecahan dapat diubah menjadi pecahan yang penyebutnya merupakan

perpangkatan 10. Maka dan itu pecahan yang penyebutnya merupakan

perpangkatan 10, 2, atau 5 ini dapat ditulis sebagai pecahan desimal.

Contoh 1 : atau

Contoh 2 : atau

=

1. Artmetika Desimal

Berikut mi. akan dibicarakan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan

pembagian bilangan dalam pecahan desimal.

Contoh :

Jumlahkan 0,354 + 0,23

Jawab :

Cara pertama : 0,354 = dan 0,23 =

Cara kedua :

-------------------------------------------- +

146

= 0,584

Dalam cara kedua di atas, dike1ompokkan koefisien persepuluhan,

peseratusan, dan perseribuan kemudian masing-masing dijumlahkan. Sekarang

perhatikan contoh berikut.

Contoh 1 :

--------- ------- +

0,584

Contoh 2 :

Carilah 5,673 + 566,65

Jawab :

5,673

566,65

------------- +

572, 323

Perhatikan bahwa dapat dilakukan penjumlahan seperti di atas karena

algoritma berikut.

Algoritma di atas tentu saja juga dapat diterapkan untuk melakukan lebih

dari dua penjumlahan.

147

Contoh 3 :

15,275

237,56

4,2

75,008

------------ +

332,043

Dengan cara yang sama, algoritma di atas dapat diterapkan untuk

pengurangan.

Contoh 1 :

Contoh 2 :

23 , 15

1,274

------------ -

21,876

Sekarang akan dikalikan dua bilangan decimal :

Contoh 1 :

Contoh 2:

Contoh 3:

148

Perhatikan bahwa dari contoh-contoh di atas, dapat dikemukakan bahwa

jika mengalikan bilangan-bilangan yang masing-masing mempunyai r dan s

tempat pecahan desimal, maka hasil kalinya mempunyai r + s tempat pecahan

desimal.

Contoh:

56,7 (1 tempat pecahan decimal)

0,637 (3 tempat pecahan desimal)

--------- x

3969

1701

3402

------------- x

36,1179 (4 tempat pecahan desimal)

Perkalian di atas dapat dilakukan karena algoritma berikut :

Selanjutnya, akan dilakukan pembagian 5,38 : 2.

Atau

149

Sebarang pembagian pecahan desimal dapat diubah ke pembagian yang

pembaginya merupakan bilangan bulat.

Contoh 1 :

Bagilah 1668,728 : 2,3

Jawab : 168,728 : 2,43 ditulis

Karena teorema dasar pecahan, maka

Contoh 2 :

Carilah 0,24383 : 0,37

Jawab : Digunakan teorema dasar pecahan.

150

Dan contoh-contoh di atas, secara umum, dapat dinyatakan jika

pembaginya mempunyai r tempat pecahan desimal, maka supaya pembaginya

merupakan bilangan bulat, koma desimal pada bilangan yang dibagi dipindah

sebanyak r tempat ke arah kanan. Jadi 168,728 : 2,3 hasilnya akan sama dengan

1687,28 : 23. Perhatikan, 15,6 : 0,26 hasilnya akan sama dengan 1560 : 26.

Mengapa?

2. Pecahan Desimal Berulang

Pada bagian ini akan dibicarakan bagaimana menyatakan bilangan rasional

sebagai pecahan desimal.

Contoh 1 :

Ubahlah menjadi pecahan desimal.

a) b) c)

Jawab :

151

Perhatikan pada contoh (a) sisanya adalah 0. Pecahan desimal yang

demikian disebut pecahan desimal berakhir. Jika pembagian (a) dilanjutkan, akan

diperoleh 0,187500000 Oleh karena itu pecahan desimal berakhir dapat juga

ditulis sebagai pecahan desimal tak berakhir.

Pada contoh (b) dan (c) sisa pembagian nol tidak akan diperoleh. Pecahan

desimal demikian disebut tak berakhir. Pecahan desimal ini mempunyai sifat yang

menarik. Pada contoh (b) angka 6 berulang terus, sedang pada contoh (c) angka 18

berulang terus. Pecahan desimal demikian disebut pecahan desimal berulang.

Contoh di atas dapat ditulis, = 0,6666 ... = 0,6, dan 0,18

Contoh 2 :

= 0,2222222 ... = 0,2

Contoh 3 :

= 0,135135135 . . . = 0,135

Contoh 4:

= 0,384615384615 . . . = 0,384615

Dalam contoh-contoh di atas dibicarakan bagaimana menyatakan bilangan

rasional positip sebagai pecahan desimal. Tentu saja hal ini dapat diperluas untuk

bilangan rasional negatip. Selanjutnya, apakah sebaliknya merupakan pernyataan

benar? Dengan kata lain, apakah setiap pecahan desimal yang angka-angkanya

berulang teratur merupakan bilangan rasional? Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1 :

Ubahlah 0,037 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional.

Jawab :

Misalkan N = 0,037. Karena ada tiga angka yang berulang teratur.

N kita kalikan dengan 1000.

1000 N = 37,037037

N = 0,037037

------------------------------ -

999 N = 37

atau

152

N =

Sebagai latihan, cek kembali dengan mengubah ke desimal.

Contoh 2 :

Ubahlah 0,00253 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional.

Jawab :

N = 0,00253

1000 N = 2,53253253

N = 0,00253253

------------------------------- -

999 N = 2,53

N =

Cek kembali dengan mengubah ke desimal.

Contoh 3 :

Ubahlah 8,5853 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional.

Jawab :

N = 8,585

100 N = 858,535353

N = 8,585353 .

-----------------------------

99 N = 849,95

N =

Cek kembali dengan mengubah ke desimal.

Selanjutnya, perlu dicatat bahwa setiap pecahan desimal berakhir dapat

ditulis sebagai pecahan desimal berulang. Kurangilah angka terakhir dengan satu,

kemudian tulis 9 berulang teratur.

Contoh 4 :

1) 57,6 = 57,59

2) 0,037 = 0,036

3) Cek kembali apakah 2 = 1 ,9

Jawab :

N = 1,999

153

10 N = 19,999

N = 1,999

------------------ -

9 N = 18

N = Jadi. 2 = 1,9

Dan uraian di atas, dapat dikemukakan bahwa setiap bilangan rasional

dapat dinyatakan pecahan desimal berakhir atau pecahan decimal dengan angka-

angka yang berulang teratur; sebaliknya, setiap pecahan desimal berakhir atau

pecahan desimal angka-angkanya berulang teratur adalah bilangan rasional.

LATIHAN

Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan!

1. Hitunglah

a) 567,274 - 9,5657 b) 0,053 + 5,9874

c) 7,523 . 0,0097 d) 2466,411 : 3,53

2. Tuliskan lambang desimalnya.

a) b) c)

3. Yang mana dari tugas nomor 2 tersebut yang merupakan pecahan desimal

berakhir?

4. Tuliskan lambang pecahannya.

a) 15,037 b) 0,035 c) 0,7

5. Tunjukkan bahwa

a) 9,379 adalah 9,38 b) 6,9 adalah 7

C. Bilangan Irasional dan Bilangan Real

Telah dibicarakan, bahwa setiap bilangan rasional dapat dinyatakan

sebagai pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal berulang teratur.

Sebaliknya setiap pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal, yang angka-

angkanya berulang tératur adalah bilangan rasional. Selanjutnya bilangan yang

jika dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal tidak akan berakhir dan tidak

berulang maka bilangan itu merupakan bilangan irasional. Misalkan,

154

0,37337333733337333337 . . . adalah bilangan irasional, sebab angka-angkanya

tidak berakhir dan tidak berulang teratur.

Bilangan π merupakan contoh bilangan irasional. π bukan atau

3,1416, tatapi π adalah bilangan yang lambang desimalnya tidak berakhir dan

tidak berulang. Pendekatan untuk π sampai. 20 angka desimal adalah :

3,14159265358979323846.

Pada mulanya orang Yunani kuno menghabiskan waktu lama untuk

membahas apakah ada bilangan selain bilangan rasional. Kenyataannya, dalam

beberapa tahun, kelompok matematikawan dan Pythagoras menyatakan dengan

tegas bahwa tidak ada bilangan yang tidak rasional. Tetapi pada suatu hari mereka

mulai bertanya :

Berapakah panjang sisi sebuah bujur sangkar yang luasnya 2? Tentu saja,

jika panjang sisinya x, maka x . x = 2. Bilangan apakah yang dikalikan diri sendiri

sama dengan 2? (atau berapakah akar pangkat dua dari 2, dinyatakan ).

Akhirnya dibuktikan bahwa tidak rasional.

Contoh :

Buktikan bilangan irasional.

Jawab : Diasumsikan rasional dan kemudian ditunjukkan bahwa akan

terjadi kontradiksi. Sehingga irasional.

Andaikan rasional.

Maka dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat

sedemikian hingga a dan b relatif prima.

Jika = , maka ( )2 = 2 dan a

2 = 2b

2

Karena 2b2 bilangan bulat genap, maka a

2 adalah genap, demikian

pula a. Mengapa?

Karena a genap, maka a dapat ditulis sebagai a = 2c, c bilangan

bulat.

Didapat a2 = 4c

2 . Padahal a

2 = 2b

2 , maka b

2 = 2c

2 , sehingga b

2

genap, akibatnya b genap.

155

Karena a dan b keduanya genap, tentu mempunyai faktor

persekutuan 2. Maka didapat keadaan yang kontradiksi. dengan

pengandaian. Sehingga pengandaian bilangan rasional tidak

benar. Jadi irasional.

Selanjutnya, dapat dibuktikan bahwa akar pangkat dua daRI semua

bilangan bulat positip kecuali bilangan kuadrat sempurna (1, 4, 9, 16, . . . ) adalah

bilangan irasional.

Karena akar pangkat dua dan banyak bilangan rasional adalah bukan

rasional, maka berikut mi akan dibicarakan pendekatan desimal dan bilangan akar

pangkat dua. Salah satu algoritma untuk menentukan pendekatan desimal dan

bilangan akar pangkat dua adalah metode rata-rata yang langkah-langkahnya

sebagai berikut.

a) Tentukan estimasi nilai pendekatan itu.

b) Tentukan hasil bagi bilangan yang diakar dengan bilangan estimasinya,

dengan banyak angka desimal sebanyak yang dikehendaki.

c) Tentukan nilai ratarata dan bilangan estimasi dan hasil bagi. Nilai rata-

rata yang diperoleh merupakan nilai pendekatan yang dicari.

d) Untuk mendapat nilai pendekatan lebih teliti, gunakan nilai rata-rata yang

diperoleh sebagai estimasi.

Ulangi prosesnya seperti langkah (b) dan (c). Lanjutkan sampai diperoleh

ketelitian yang dikehendaki.

Contoh 1 :

Tentukan nilai pendekatan

Jawab:

Karena (1,4)2 = 1,96, kita pilih 1,4 sebagai estimasi 2 : 1,4 = 1,42857

= 1,414285

Ulangilah proses di atas, dipilih 1,414285 sebagai estimasi. 1,414285

sebagai estimasi 2 : 1,414285 = 414142

= = 1,4141135

Jadi. 1,4142 adalah nilai pendekatan teliti sampai 4 tempat desimal.

156

Contoh 2:

Tentukan nilal pendekatan

Jawab:

Karena (30)2 = 900, dipilih 30 sebagai estimasi.

= 31,283666

= 30,641833

938,51 : 30,64183.3 = 30,628389

= 30,635111

Jadi. 30,6351 adalah nilai. pendekatan teliti sampai 4

tempat desimal.

Dan pembicaraan di atas, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat

dinyatakan sebagai pecahan desimal berakhir atau berulang. Sedang bilangan

irasional adalah bilangan yang jika dinyatakan sebagai desimal tidak berakhir dan

tidak berulang. Gabungan dan kedua himpunan bilangan tersebut dinamakan

himpunan bilangan real atau nyata.

Telah dibicarakan bahwa bilangan rasional dapat ditunjukkan dengan titik

pada garis bilangan. Demikian juga telah dibicarakan bahwa untuk sembarang dua

bilangan rasional yang berbeda, terdapat bilangan rasional di antara keduanya.

Kelihatannya bilangan rasional di seluruh titik pada garis bilangan. Hal mi tidak

benar. Perhatikan gambar 6.10 berikut, bilangan irasional juga dapat ditunjukkan

dengan titik pada garis bilangan.

Gambar 6.10

157

Gambar di atas menunjukkan cara meletakkan dan ( )2 pada

garis bilangan. Dan gambar bujur sangkar yang sisinya satu satuan, maka

panjang diagonalnya = . Dengan pusat 0 dapat dibuat lingkaran

dengan jari-jari , sehingga letak dan - dapat ditentukan pada garis

bilangan.

Cambar 4.11 berikut ini menyatakan cara menempatkan + dan .

Gambar 6.11

Apakah + rasional? Andaikan + bilangan rasional, maka dapat

ditulis sebesar + = dan b bulat, b ≠ 0.

Karena bilangan rasional tertutup terhadap operasi penjumlahan dan

pengurangan, maka bilangan rasional, akibatnya juga rasional.

Terjadilah kontradiksi. Akibatnya + bilangan irasonal. Bagi yang berminat

dapat membuktikan secara umum, bahwa jumlah bilangan rasional dan irasional

adalah irasional.

Demikian pula dapat dibuktikan bahwa hasil kali bilangan rasional yang

bukan nol dan bilangan irasional adalah irasional.

Contoh 1 :

Tunjukkan 7 . irasional

Jawab :

Andaikan 7 . rasional, maka dapat ditulis sebagai :

158

7 =

(7 ) = ( )

rasional, maka rasional.

Terjadilah kontradiksi, maka pengandaian tidak benar. Yang benar 7

irasional.

Contoh 2 :

Tunjukkan irasional.

Jawab :

=

Karena ( ) irasional, jadi irasional.

Misalkan, garis bilangan dibagi lagi menjadi sepuluh segmen garis di

antara dua bilangan bulat. Beri tanda 1,4 sebagai. pendekatan , dan dapat dicek

kembali dengan mengkuadratkan 1,4. Kemudian dibagi menjadi seratus segmen

garis di antara dua bilangan bulat. Beri tanda 1,41 sebagai pendekatan . Cek

kembali dengan mengkuadratkan 1,41. Demikian seterusnya sehingga diperoleh

bilangan rasional 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,41423 sebagai nilai

pendekatan . Hal ini membeni petunjuk secara intuitif bahwa bilangan real

bersifat padat (dense), artinya di antara dua bilangan real selalu ada bilangan real

lain, bagaimanapun dekatnya terhadap yang lain.

Akhirnya dapat dikemukakan bahwa setiap titik pada garis bilangan

menunjukkan bilangan real dan setiap bilangan real dapat ditunjukkan dengan titik

pada garis bilangan. Karakteristik ini dikatakan bahwa sistem bilangan real adalah

lengkap. Sistem bilangan rasional tidak lengkap karena ada titik pada garis

bilangan tidak menyatakan bilangan rasional.

Berikut ini dikemukakan beberapa sifat bilangan real. Karena bilangan real

merupakan perluasan dari bilangan rasional, maka semua sifat dalam sistem

bilangan rasional harus dipenuhi dalam system bilangan real. Sifat-sifat dalam

sistem bilangan real sebagai berikut :

159

1) Tertutup dalam operasi penjumlahan.

2) Tertutup dalam operasi pengurangan.

3) Tertutup dalam operasi. perkalian.

4) Tertutup dalam operasi pembagian, kecuali pembagian oleh nol.

5) Memenuhi sifat komutatif dan asosiatif untuk penjumlahàn dan perkalian.

6) Memenuhi sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

7) Terdapat unsur identitas penjumlahan.

8) Terdapat unsur identitas perkalian.

9) Untuk setiap bilangan real terdapat invers penjumlahannya.

10) Untuk setiap bilangan real yang bukan 0 terdapat invers perkaliannya.

11) Transitif urutan.

Jika a < b dan b < c maka a < c.

12) Sifat Trikotomi.

Untuk a dan b bilangan real, terdapat tepat satu di antara hubungan

berikut

a < b; a = b; a ≠ b.

13) Bilangan real bersifat padat (dense).

Di antara dua bilangan real yang berbeda terdapat bilangan real lain.

14) Bilangan real bersifat lengkap.

Selanjutnya akan dibicarakan perluasan sifat-sifat eksponen untuk bilangan

bulat dan rasional dalam sistem bilangan real.

x2 = = = 1, sedangkan

x2 . x

-2 = x

2 + (-2) = x

0 = 1

Karena invers perkalian dari x2 tunggal, maka

x-2

=

Demikian juga, x1/2

. X1/2

= x1/2 +1/2

= x1

dan (x1/2

)2 = x

1/2.2 = x

1

Tetapi . atau ( )2 didefinisikan sama dengan x.

Dengan demikian x1/2

=

Secara umum, untuk sebarang bilangan real x dan bilangan asli n,

160

x-n

= . x ≠ 0

x1/n

= , jika ada

Selanjutnya, akan diperluas penggunaan rumus-rumus

xm

. xn

= xm+n

(xm

)n = x

mn

(xy)m

= xm

. ym

( )m

=

Contoh 1 :

Tentukan nilai dari a) 7-2

dan b) 9-1/9

Jawab :

Contoh 2 :

Tulis dalam bentuk paling sederhana.

a) b)

Jawab :

a) =

b) = 3 3 3 3 3

161

LATIHAN

Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan!

1. Tentukan bilangan-bilangan berikut termasuk rasional atau tidak rasional.

a) + 5 b)

c) d)

2. keduanya irasional. Mengapa?

a) Apakah hasil kalinya merupakan bilangan rasional?

b) Apakah hasil baginya merupakan bilangan rasinal?

c) Apakah jumlahnya merupakan bilangan rasional?

d) Jelaskan masing-masing jawabnya!

3. Tentukan nilai pendekatannya sampai 4 tempat desimal.

a) b)

c) d) e) / 563,48

4. Diketahui R = {bilangan real}, B = {bilangan bulat}, C = {bilangan cacah}, Q

= {bilangan rasional}, I = {bilangan irasional}.

Tentukan pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah.

a) B Ϲ Q b) Q C R

c) Q ∩ C d) B∩ Q = Q

5. a) Tentukan bilangan cacah terbesar yang lebih kecil dari 9

b) Tentukan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari 9.

c) Tentukan bilangan rasional terbesar yang lebih kecil dari 9.

d) Tentukan bilangan irasional terbesar yang lebih kecil dari 9.

e) Tentukan bilangan real terbesar yang lebih kecil dari 9.

6. Tunjukkan dengan contoh.

a) Hasil kali bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin

irasional.

b) Hasil bagi bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin

irasional.

c) Jumlah bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin

irasional.

162

d) Selisih bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin

irasional.

7. Sederhanakan :