Bab Ix-teori Peluang.pdf

Andiani / Statistik / Desember 2013 1

BAB IX

TEORI PELUANG

9.1 Pendahuluan

Jacob Bernoullie (1654 - 1705), Abraham de Moivre (166-1754), Thomas Bayes

(1702-1761) dan Yoseph Lagrange (1736-1876) adalah orang yang menemukan Teknik

dan Formula Peluang. Pada abad 19, Pierre Simon, Marquis de Laplace (1749-1827),

menyusunnya dalam Teori Peluang (Probabilitas), yang dipelopori oleh perusahaan

asuransi sejak abad 19 dengan tujuan mengetahui resiko kerugian yang ditanggungnya

sehingga dapat menentukan premi asuransinya. Teori ini semakin berkembang dengan

pesat sejalan dengan perkembangan dunia perjudian saat itu.

Teori peluang sebagai dasar penerapan statistika, untuk memahami fenomena

sosial dan memecahkan permasalahan dari berbagai disiplin ilmu. Selain itu peluang

merupakan bagian yang tak terpisahkan dari kehidupan setiap orang yang akan

berhadapan dengan masalah-masalah ketidakpastian.

Contoh:

Seorang pengusaha akan dihadapkan pada masalah berhasil tidaknya usaha yang

dikelolanya, seorang mahasiswa akan dihadapkan masalah berhasil tidaknya ujian yang

sedang ditempuh, dan sebagainya.

Oleh karena itu masalah ketidakpastian ini dicoba untuk diukur atau dikuantifikasi

dengan konsep peluang.

Nilai Peluang dari suatu kejadian (P) berkisar antara 0 dan 1

P = 0 menunjukan suatu peristiwa yang tidak mungkin terjadi

P = 1 menunjukan suatu peristiwa yang pasti tejadi

Dalam realita kondisi ekstrim dengan peluang 0 atau 1 jarang sekali didapat, yang

sering terjadi adalah peluang munculnya peristiwa antara 0 dan 1.

Misalnya P = 0,70 berarti peluang munculnya suatu peristiwa adalah 70%.

Peristiwa adalah satu atau lebih hasil yang mungkin dari suatu kejadian.

Contoh: Kejadian melempar mata uang logam (koin) Kemungkinan yang muncul adalah sisi Gambar atau sisi Angka


Munculnya sisi Gambar merupakan suatu Peristiwa, sedangkan peristiwa yang lain adalah munculnya sisi Angka Himpunan dari seluruh terjadinya peristiwa, atau jumlah seluruh frekuensi disebut

Ruang Sample.

9.2. Pendekatan Peluang

Ada tiga cara untuk mengklasifikasikan peluang, yaitu:

- Pendekatan Klasik

- Pendekatan Frekuensi Relatif

- Pendekatan Subyektif

Perbedaan ketiganya terletak pada pendekatan konseptual. Para ahli banyak yang

tidak menyetujui adanya perbedaan tersebut karena penggunaan dari ketiga pendekatan

tersebut sebenarnya sama.

9.2.1. Pendekatan Klasik

Terjadinya suatu peristiwa (P) adalah ratio antara peristiwa yang

menguntungkan dengan seluruh peristiwa yang mungkin dimana semua peristiwa

mempunyai kesempatan yang sama.

Teori peluang ini berkembang di Perancis pada abad 19. Bersama dengan dunia

perjudian, teori ini mengalami perkembangan yang pesat, sehingga tidak mengherankan

bila dalam menjelaskan teori peluang banyak mengambil contoh alat-alat judi misalnya

kartu, dadu dan sebagainya.

P(A) = n

x

Dimana P(A) : peluang terjadinya peristiwa A

x : Peristiwa yang menguntungkan

n : Jumlah seluruh peristiwa

Contoh:

Dadu yang berbentuk kubus dan bersisi 6, masing-masing sisi mempunyai nilai 1,

2, 3, 4, 5 dan 6. Munculnya biji satu (x = 1) merupakan salah satu kemungkinan


yang dapat terjadi dari ke-enam kemungkinan yang dapat muncul (n = 6). Dengan

demikian peluang munculnya biji satu dalam satu kali lemparan dadu adalah 1/6.

9.2.2. Pendekatan Frekuensi Relatif

Seringnya suatu peristiwa terjadi pada masa lalu, digunakan untuk memprediksi

peluang suatu peristiwa tersebut akan terjadi lagi di masa datang.

Pendekatan ini didasarkan pada:

1. Pengamatan Frekuensi relatif dari suatu peristiwa dalam percobaan yang

dilakukan berulang kali.

2. Proporsi waktu dari suatu peristiwa dalam jangka panjang bila kondisi stabil.

Contoh 1:

Perusahaan Asuransi mengetahui dari data masa lalu bahwa angka kematian

adalah 100.000 orang per tahun, dan 60 orang diantaranya adalah laki-laki yang

berusia 40 tahun. Perusahaan meramalkan peluang kematian laki-laki dari

kelompok umur tersebut adalah :

%06,00006,0100.000

60 P

Contoh 2:

Menurut catatan Kepolisian Bagian Lalu Lintas, selama 1 tahun telah terjadi

kecelakaan lalu lintas sebanyak 150 kali. Dari catatan diperoleh informasi bahwa

75 diantara peristiwa kecelakaan disebabkan karena pengemudi belum

mempunyai SIM. Maka dapat disimpulkan bahwa peluang terjadinya peristiwa

kecelakaan akibat pengemudi tidak mempunyai SIM adalah:

%5050,0150

75 P


9.2.3. Pendekatan Subyektif

Pendekatan yang didasarkan pada tingkat kepercayaan individu yang membuat

dugaan terhadap suatu peluang.

Kepercayaan individu tersebut bisa berasal dari pengalaman terjadinya suatu

peristiwa pada masa lalu atau hanya terkaan saja.

Tingkat kepercayaan individu dalam membuat dugaan peluang suatu peristiwa

dapat dikelompokan menjadi dua:

1. Pandangan optimis: peristiwa akan terjadi, peluangnya mendekati 1, misalnya

P = 0,90.

2. Pandangan pesimis: peristiwa tak akan terjadi, peluangnya mendekati 0, misalnya

P = 0,20.

9.3. Assas-Assas Peristiwa

9.3.1. Peristiwa Mutually Exclusive

Dua atau lebih peristiwa tidak dapat terjadi bersama-sama.

Artinya, terjadinya peristiwa yang satu sekaligus menghapuskan kemungkinan

terjadinya peristiwa yang lain.

Contoh:

Peristiwa A adalah mandi dan peristiwa B adalah makan. Peristiwa A dan B tidak

dapat terjadi bersama-sama. Artinya kalau A terjadi, maka pada saat yang

bersamaan tidak mungkin terjadi peristiwa B.

Peluang terjadinya peristiwa A atau B dapat dihitung melalui rumus berikut :

P(A atau B) = P(A) + P(B) atau

P(A B) = P(A) + P(B)

Pada diagram Venn peristiwa mutually exclusive dapat dilukiskan sebagai berikut

:

A B


Contoh:

Ada 5 calon mempunyai kemampuan relatif yang sama yaitu Ali, Kobil, Silia,

Dali dan Ani, melamar untuk menjadi staf salah satu perusahaan multinasional.

Perusahaan tersebut hanya membutuhkan satu staf saja. Bila perusahaan memutuskan

untuk menerima salah satu dari ke lima calon tersebut, maka

a. Berapa peluang Ali akan diterima menjadi staf ?

b. Berapa peluang Silia atau Ani terpilih menjadi staf ?

Pemecahan :

a. P(Ali) = 5

1

b. P(Silia atau Ani) = P(Silia) + P(Ani) = 5

1 +

5

1 =

5

2 = 0,4

9.3.2. Peristiwa Non Exclusive

Dua atau lebih peristiwa dapat terjadi bersama-sama.

Dengan catatan bahwa kedua peristiwa itu tidak harus selalu muncul bersama-

sama.

Rumus untuk peristiwa Non Exclusive adalah:

P(A atau B) = P(A) + P(B) P(AB)

atau

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Dimana : P(A) : Peluang terjadinya A

P(B) : Peluang terjadinya B

P(AB) : Peluang A dan B bersama-sama


Contoh:

Dari satu set kartu bridge diambil secara acak sebuah kartu, berapa peluang yang

terambil kartu AS atau kartu hati?

Penyelesaian:

Peristiwa A adalah terambilnya kartu AS, jadi P(A) = 52

4

Peristiwa B adalah terambilnya kartu hati, Jadi P (B) = 52

13

Sedangkan peristiwa A dan B adalah terambil kartu AS dan hati, jadi

P(A B) = 1/52

Dengan demikian

P (A U B) = 52

4 +

52

13 -

52

1 =

52

16 = 0,33

9.3.3. Peristiwa Independent

Jika terjadi atau tidak terjadinya suatu peristiwa, tidak mempengaruhi peluang

terjadinya peristiwa lain.

Peluang dari suatu peristiwa yang independent ini dapat dibedakan menjadi 3

macam, yaitu :

- Peluang marginal

- Peluang gabungan

- Peluang bersyarat

A. Peluang Marginal

Peluang tidak bersyarat. Peluang terjadinya suatu peristiwa tidak mempengaruhi

terjadinya peristiwa yang lain.

Contoh:

Dalam pelemparan sejumlah koin, peristiwa munculnya sisi gambar atau sisi

angka masing-masing = 0,5 adalah peluang marginal. Berapapun banyaknya

lemparan koin maka peluang sisi gambar tetap = 0,5 dan sisi angka = 0,5.


Peristiwa sisi gambar dan angka ini disebut peristiwa independent secara statistika

(statistically independent event)

B. Peluang Gabungan

Terjadinya peristiwa secara bersama-sama atau secara berturutan merupakan

hasil kali dari peluang marginal.

Formula : P(A B) = P (A) x P(B)

Dimana : P(A B) = peluang terjadinya peristiwa A dan B bersama-sama

atau berturutan.

P(A) = peluang marginal dari peristiwa A

P(B) = peluang marginal dari peristiwa B

Contoh:

Diketahui peluang munculnya sisi gambar (G) dalam pelemparan koin dua kali

berturut-turut.

Pada lemparan pertama peluang mendapatkan gambar (G1) = 0,5.

Pada lemparan kedua peluang mendapatkan gambar (G2) = 0,5.

Kondisi di atas disebabkan kedua peristiwa pelemparan koin tersebut adalah

independent (karena peristiwa sebelumnya tidak mempengaruhi peristiwa berikutnya).

Dengan demikian P(G1 G2) = P(G1) x P(G2) = 0,5 x 0,5 = 0,25

Bila dilakukan tiga kali pelemparan koin, maka peluang untuk mendapatkan gambar

dalam tiga kali lemparan berturut-turut adalah:

P(G1 G2 G3 ) = P(G1) x P(G2) x P(G3) = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125

Pohon Peluang Satu Kali Lemparan Koin

G

A


Pohon Peluang Dua Kali Lemparan Koin

Pohon Peluang Tiga Kali Lemparan Koin Dari gambar di atas, dapat dibaca peluang terjadinya peristiwa yang diteliti

dengan memperhatikan alur cabang-cabangnya.

Contoh:

Berapa peluang mendapatkan Angka-Gambar-Angka dalam tiga kali lemparan

secara berurutan.

Penyelesaian :

P(A1 G2 A3 ) = P(A1) x P(G2) x P(A3) = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125

C. Peluang Bersyarat

Peluang terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa yang lain telah

terjadi.

G

A

G

G

A

A

G

A G

A

A

A

A

G

G

A

A

G

G

G


Contoh:

P(B|A) artinya, peluang peristiwa B akan terjadi dengan syarat peristiwa A harus

sudah terjadi.

Selanjutnya dalam peristiwa independent peluang bersyarat diformulakan :

P(B|A) = P(B)

Contoh :

Berapa peluangnya, lemparan kedua dari koin akan menghasilkan gambar,

dimana hasil gambar juga merupakan hasil lemparan pertama ?

Penyelesaian :

P(G2|G1), karena dua peristiwa adalah independent. Hasil lemparan pertama

mutlak tidak mempengaruhi hasil kedua sehingga: P(G2|G1) = P(G2) = 0,5

9.3.4 Peristiwa Dependent

Dua peristiwa saling tergantung pada peristiwa yang lain.

Adanya tiga macam peluang Dependent yaitu :

- Peluang bersyarat

- Peluang gabungan

- Peluang marginal

A. Peluang Bersyarat

Pembahasan peristiwa dependent dimulai dari peluang bersyarat, karena peluang

yang lain dapat dipahami dengan mudah melalui pembahasan peluang bersyarat tersebut.

Dalam peristiwa dependent, formula peluang bersyarat adalah sebagai berikut:

P(B|A) = P(A)

A)P(B

Contoh:

Sebuah kotak berisi 10 buah bola, dengan rincian: 3 buah bola hitam bergaris, 1

buah bola hitam kotak, 2 buah bola putih bergaris, 4 buah bola putih kotak.


Peluang Peristiwa Terambilnya Tiap Bola dalam Sebuah Kotak

Peristiwa Peluang Bola

1 0,1 Hitam Bergaris



4 0,1 Hitam Kotak

5 0,1 Putih Bergaris

6 0,1 Putih Bergaris

7 0,1 Putih Kotak

8 0,1 Putih Kotak

9 0,1 Putih Kotak

10 0,1 Putih Kotak

Catatan:

H = hitam

G = bergaris

P = putih

K = kotak

Andaikan seseorang mengambil bola hitam dari kotak,

a. berapa peluangnya bola tersebut bergaris ?

b. berapa peluangnya bola tersebut kotak-kotak ?

Penyelesaian

a. P(G|H), artinya berapakah peluang bersyarat bahwa bola yang terambil bergaris

dengan syarat berwarna hitam.

P(G|H) = 0,75 0,4

0,3

P(H)

H)P(G

b. P(K|H)

P(K|H) = 0,25 0,4

0,1

P(H)

H)P(K


Andaikan seseorang mengambil bola putih dari kotak tersebut, berapakah peluang bola

yang terambil bergaris, juga berapa peluangnya untuk yang kotak-kotak ?

P(G|P) = 0,33 0,6

0,2

P(P)

P)P(G

P(K|P) = 0,67 0,6

0,4

P(P)

P)P(K

B. Peluang Gabungan

P(BA) = P(B|A) x P(A)

Dimana:

P(B A) = peluang gabungan peristiwa B dan A terjadi bersamaan atau

secara berurutan.

P(B|A) = peluang munculnya peristiwa B bila peristiwa A telah muncul

P(A) = peluang peristiwa A akan terjadi.

Catatan:

Dalam peristiwa dependent formula P(B A) = P(B) x P(A) seperti dalam

peristiwa yang independent.

Contoh:

1. P(G|H) = P(G|H) x P(H) = 0,75 x 0,4 = 0,3

2. P(K|H) = P(K|H) x P(H) = 0,25 x 0,4 = 0,1

C. Peluang Marginal

Dapat dihitung dengan menjumlahkan semua peluang gabungan.

Contoh 1:

P(H) = P(GH) + P(K H) = 0,3 + 0,1 = 0,4

Contoh 2:

P(P) = P(GP) + P(KP) = 0,2 + 0,4 = 0,6

Documents

Bab Ix-teori Peluang.pdf