Bab III Persamaan Dan Pertidaksamaan3

Bab III | 1

BAB III

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

D1

F

x1

K1

M1

K2

M2

D2 K3

x2

Bab III | 2

Deskripsi

Bagian persamaan dan pertidaksamaan terdiri terdiri 5 bagian yang meliputi 5

kompetensi dasar, yaitu : Persamaan dan pertidaksamaan linier, Persamaan dan

pertidaksamaan kuadrat, Penerapan persamaan dan pertidaksamaan, Sistem persamaan,

Persamaan Polinomial

a. Persamaan dan pertidaksamaan linier, membahas penyelesaian persamaan dan

pertidaksamaan linier, dijelaskan dengan konsep yang berlaku

b. Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, membahas penyelesaian persamaan menurut

bnetuk persamaan kuadrat, jenis-jenis akar, dan menyelesaikan pertidaksamaan

kuadrat.

c. Penerapan persamaan dan pertidaksamaan, membahas penerapannya dalam bidang

teknik mesin

d. Sestem persamaan lenier, membahas system dua dan tiga persamaan linier, system dua

persamaan satu linier yang lainnya kuadrat, dan keduanya kuadrat

e. Persamaan Polinomial, membahas persamaan derajat 1, derajat 2 dan derajat 3

Standar Kompetensi:

Memiliki pengetahuan dan kemampuan untuk pengaplikasikan konsep persamaan dan pertidaksamaan dalam memecahkan masalah di bidang teknik

Kompetensi Dasar

x Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier

x Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

x Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

x Menyelesaikan sistem persamaan lenier

x Menyelesaikan persamaan derajat tinggi

x Dapat menggunakan persamaan untuk memecahkan persoalan teknik

Bab III | 3

Indikator Hasil Belajar

1. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan sederhana

2. Menyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

3. Menyelesaikan persamaan derajat 1, derajat 2 dan derajat 3

4. Menyelesaikan permasalahan program keahlian dengan menggunakan persamaan

dan pertidaksamaan

5. Menyelesaiakan sistem persamaan linier

6. Menerapkan persamaan pada bidang keteknikan

Kerangka Isi Persamaan dan Pertidaksamaan

Bab III | 4

Persamaan Pertidaksamaan

Linier sederhana

Kuadrat

Polinomial

Sistem Persamaan

1. Dua persamaan linier dengan dua variable

2. Tiga persamaan linier dengan tiga variable

3. Dua persamaan satu linier lainnya kuadrat

4. Keduanya kuadrat

Pertidaksamaan Linier sederhana

Sistem Pertidaksamaan Linier dua variabel

Pertidaksamaan kuadrat 1. Derajad 1 2. Derajat 2 3. Derajat 3

Penerapan Konsep Persamaan dan Pertidaksamaan Pada Pemecahan

Masalah Bidang Teknik

Mempelajari

Persamaan dan Pertidaksamaan

Terdiri atas Terdiri atas

Bab III | 5

Uraian Materi 3.1 Persamaan Linier Sederhana

Persamaan linier sederhana atau persamaan derajat satu adalah persamaan di mana

kuntitas-kuantitas yang tidak diketahui ( variabelnya ) memiliki pangkat tertinggi sama

dengan 1. Persamaan ini mempunyai bentuk umum ax = b, di mana a dan b bilangan real

dan a 0, x adalah kuantitas yang tidak diketahui. Menyelesaikan suatu persamaan berarti

mencari nialai kuantitas yang tidak diketahui. Semua operasi aritmatika dapat dilakukan

terhadap suatu persamaan, selama kesamaan dari persamaan tersebut tetaap dipertahankan.

Nilai pengganti peubah pada persamaan-persamaan yang membuat persamaan itu benar

disebut penyelesaian atau akar persamaan

Untuk menyelesaikan persamaan digunakan sifat dasar bahwa :

Suatu persamaan tidak berubah himpunan penyelesaiannya, jika kedua ruas persamaan:

- ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama

- dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama, asal bukan nol

Contoh -Contoh Soal Persmanaan Linier Sederhana

Soal 1 Selesaikanlah persamaan 4x = 20

Penyelesaiaan

Bagilah masing-masing ruas dengan 4, maka diperoleh

420

44 x

Dengan penyederhanaan diperoleh hasil x = 5

Bab III | 6

x = 5 merupakan penyelesaian dari persamaan. Bila diperiksa dengan mengganti x

dengan 5 diperoleh kesamaan dimasing-masing ruas benar, yaitu 4.5 = 20

Soal 2

Selesaikannlah y -5 = 8

Penyelesaian

Tambahkan 5 pada masing-masing ruas maka persamaan menghasilkan:

y 5 + 5 = 8 + 5

y = 13

Hasil dari prosedur tersebut adalah pemindahan 5 dari ruas kiri ke ruas kanan

persamaan semula tandannya berubah menjadi + 5 pada persamaan baru.

Soal 3

Selesaikanlah x + 3 = 7

Penyelesaian

Kurangkan pada masing-masing ruas persamaan dengan 3, maka dihasilakan:

x + 3 3 = 7 3

x = 4

Hasil dari prosedur tersebut adalah pemindahan +3 dari ruas kiri ke ruas kanan

persamaan semula tandannya berubah menjadi - 3 pada persamaan baru.

Jadi suatu suku dapat dipindahkan dari satu ruas keruas lainnya selama kita kita

melakukan perubahan tanda.

Soal 4

Bab III | 7

Selasaikanlah 6t + 1 = 2t + 9

Penyelesaian:

Untuk persamaan seperti ini, suku-suku yang mengandung variable dikelompokkan

pada salah satu ruas, sedangkan suku yang tidak mengandung variable dikelompokkan

pada ruas lainnya. Sebagaimana telah dilakukan pada soal 1, 2, dan 3, perubahan dari

salah satu ruas suatu persamaan ke ruas lainnya disertai dengan perubahan tanda. Jadi :

6t + 1 = 2t + 9

6t 2t = 9 1

4t = 8

48

44 t

t = 2

Soal 5

Selesaikanlah 3(p - 2) = 9

Penyelesaian:

Tanda kurung dihilangkan, maka:

3p 6 = 9

Dilaksanakan pengaturan ulang, diperoleh:

3p = 9 + 6

3p = 15

39

33 p

p = 3

Bab III | 8

Pemeriksaan: 3(3 - 2) = 3(3) = 9 = ruas kanan

Soal 6

Selesaikanlah 4(2r -3) 2(r 4) = 3(r 3) 1

Penyelesaian

Hilangkan tanda kurung, diperoleh:

8r 12 2r + 8 = 3r - 9 1

Lakukan pengaturan ulang untuk memisahkan letak suku yang mengandung variable

dengan konstanta, diperoleh:

8r 2r 3r = - 9 - 1 + 12 8

3r = -6

236r

Pemeriksaan jawaban: Ruas kiri 4{2(-2)-3} 2{(-2) 4} = -16

Ruas kanan: 3{(-2) 3} 1 = -16

Jadi r = -2

Soal 7

Selesaikanlah: 2

3y2015

43

52y

Penyelesaian:

KPK penyebutnya adalah 20, kalikanlah setiap sukunya dengan 20, maka diperoleh:

Bab III | 9

23y)20(

201)20(5)20(

43)20(

52y).20(

Sederhanakanlah bentuknya, sehingga diperoleh bentuk:

8y +15 + 100 = 1 30y

8y + 30y = 1 - 15 100

38y = - 114

338114y

Pemeriksaan jawaban:

Ruas kiri 201145

43

565

43

52(-3)

Ruas kanan: 20114

2091

2090

201

29

201

23(-3)

201

Jadi y = -3

Soal 8

Selesaikanlah 43t

42t

3

Penyelesaian:

Sederhanakan bentuknya dengan melakukan perkalian silang, sehingga diperoleh bentuk:

3(3t + 4) = 4(t 2)

9t + 12 = 4t - 8

9t 4t = -8 12

13t = -20

Bab III | 10

4520t

Soal 9

Koefisien suhu dari suatu resistensi D dapat dihitung dengan rumus Rt = Ro (1+ Dt). Hitunglah D jika diketahui Rt = 0,928, Ro = 0,8 dan t = 40

Penyelesaian

Diketahui

Maka Rt = Ro (1+ Dt)

0,928 = 0,8(1+D.40)

0,928 = 0,8 + 0,8. D. 40

0,928 0,8 = 32 D

0,128 = 32D

004,032

128 D

Jadi D = 0,004

Soal 10

Ketika tiga resistor dalam satu rangkaian listrik dihubungkan secara paralel, maka

resistensi total RT dinyatakan oleh 321

1111RRRRT

. Hitunglah resistensi total jika R1

= 5:, R2 = 10:, dan R3 = 30:

Penyelesaian

Bab III | 11

Karena: 321

1111RRRRT

Maka 301

101

511

TR

Samakan penyebut pecahan diruas kiri didapatkan

301

303

3061

TR

31030

30101 RT

RT

Jadi RT = 3:

2.1.2 Uji Kompetensi

Latihan 2.1

Selasikanlah persamaan berikut

1. 3x 2 5x = 2x 4

2. 2(x 1) = 4

3. 31t32

4. 4 0,925r r753

5. 20d 3 + 3d = 11d + 5 8

6. 5(t 2) - 3(2t +5) +15 = 0

7. 6( 2 3p) 42 = -2( p 1)

8. 4(3r + 1) = 7(r + 4) -2(r + 5)

Bab III | 12

9. 10 + 3(q 7) = 16 (q + 2)

10. 8 + 4(y -1) 5(y 3) = 2( 5 2y)

Latihan 2.2

Selasikanlah persamaan berikut

1. 65

321

432 pp

2. 213)12(

41 t

3. 3)92(51)45(

41)63(

31 mmm

4. 253 tt

5. 247

41

31

pp

6. 25

34

3 xx

7. 12

33

2 aa

8. 2

35

64

xxx

9. 334

p

10. 613 t

t

Bab III | 13

11.

1

2510 y

12. 222(

tt

Latihan 2.3

1. Sebuah kawat tembaga memiliki panjang l 1,5 km, resistensi R 5:, dan resistivitas

17,2 x 10-6 :mm. Hitunglah luas penampang A dari kawat, jika diketahui A

l R

(5,16)

2. Sebuah persegi kotak persegi kedua sisi tepinya berbentuk bujursangkar memiliki

panjang 15 cm lebih panjang dari pada lebarnya , sedangkan panjang total dari

rusuk-rusuknya adalah 2,04 m. Hitunglah lebar dan volume kotak (12 cm, 3888cm3)

3. Perpanjangan dari x m dari sebuah batang alumanium sepanjang l dan luas

penampang A m2 ketika memilkul beban F newton dapat dihitung dengan rumus

Axl FE . Hitunglah perpanjangan dari batang (dalam mm) jika E = 70 x 109 N/m2,

F = 20 x 106 N, A = 0,1 m2, dan l = 1,4 m (x = 4 m)

4. Rumus yang digunakan untuk menghitung resistensi dari suatu kabel adalah

A.lU R . Jika diketahui R = 1,25, l = 2500, dan A = 2x10-4, hitunglah U

5. Gaya F newton dihitung dengan rumus F = ma, di mana m adalah masa dalam

kilogram dan a adalah percepatan dalam meter per detik kuadrat. Tentukanlah

percepatan jika suatu gaya sebesar 4 kN diberikan ke sebuah benda bermasa 500 kg

6. PV = mRT persamaan karakteristik gas . Tentukanlah nilai dari m jika p = 100x103,

V = 3, R = 288, dan T = 300

Bab III | 14

7. Ketika tiga resistor R1, R2, dan R3 dihubungkan secara parallel, resistensi total RT

adalah 321

1111RRRRT

.

Tentukanlah:

a. Resistensi total jika R1 = 3:, R2 = 6 :, dan R3 = 18 :

b. Nilai R3, jika RT = 3:, R1 = 5 :, dan R2 = 10 :

8. Hukum Ohm dapat dinyatakan oleh rumus RVI di mana I adalah arus dalam

ampere, V = adalah tegangan dalam Volt, dan R adalah resistensi dalam ohm.

Sebuah alat penyolder mengambil arus 0,30 A dari sebuah sumber daya 240 V.

Tentukanlah resistensi dari elemen tersebut.

9. Daya di dalam suatu rangkaian listrik DC dirumuskan oleh R

VP2

di mana V

adalah tegangan yang diberikan dan R adalah resistensi rangkaian listrik.

Tentukanlah tegangan yang diberikan jika resistensi rangkaiannya 1,25 : dan daya terukurnya adalah 320 W

10. Sebuah rumus yang menghubungkan tekanan awal dan akhir P1 dan P2, volume

awal dan akhir V1 dan V2, dengan suhu mutlak awal dan akhir T1 dan T2, dari

suatu gas ideal adalah 2

22

1

11

TVP

TVP . Tentukanlah nilai dari P2 jika P1 = 100x103,

V1 = 1,0; V2 = 0,266; T1 = 423; dan T2 = 293

3.2 Sistem Persamaan Linear Dengan Dua Variabel

Sebuah persamaan dengan dua variable x dan y adalah berbentuk ax + by = c di mana a

dan b tidak sama dengan nol. Bila kita perhatikan dua persamaan

a1x + b1y = c1..(1)

Bab III | 15

a1x + b1y = c1..(2)

maka dikatakan bahwa kita menpunyai dua persamaan linear simultan dengan dua

variable atau suatu system dua persamaan linier dengan dua variable. Pasangan x dan y

yang memenuhi kedua persamaan dikatakan penyelesaiaan simultan, ditulis (x,y).

Menyelesaiakan persamaan linear simultan, artinya mencari nilai (x,y) yang memenuhi

persamaan simultan tersebut. Jadi penyelesaian simulatan dari system persamaan:

x + y = 7..(1)

x - y = 3..(2)

adalah x = 5, dan y = 2 atau ( 5,2)

Sistem dua persamaan linear dengan dua variable, dapat diselesaiakan dengan beberapa

metode, yaitu: eliminasi, substitusi, gabungan eliminasi dan substitusi, grafik, dan

determinan matrik.

a. Penyelesaian Dengan Metode Eliminasi.

Metode eliminasi adalah metode menghilangkan salah satu variable, yaitu dengan

melakukan pengurangan atau penjumlan, terhadap kedua persamaan, sedemikian hingga

didapatkan satu persamaan dengan satu variable. Apabila diperlukan, kalikan persamaan

yang diberikan dengan satu bilangan sedemikian hingga membuat koefisien-koefisien

dari salah satu variable dari kedua persamaan menjadi sama. Apabila tanda dari

koefisien-koefisien berbeda, maka lakukan penjumlahan. Jjika tanda dari koefisien-

koefisien sama maka lakukan pengurangan. Sebagai contoh perhatikanlah system

persamaan

2x y = 4 (1)

x + 2y = -3 ...(2)

Untuk mengeliminasi y, kalikan (1) dengan 2 dan tambahkan dengan (2) kalikan 1

untuk mendapatkan persamaan baru

2 x (1): 4x 2y = 8

1 x (2): x+ 2y = -3 --------------- (+) 5x = 5

Bab III | 16

x = 1 Substitusi x = 1 ke dalam (1) didapatkan 2.1 y = 4 atau 2 y = 4 atau y = -2.

Penyelesaiaannya menjadi x = 1 dan y = -2 atau ( 1,-2).

b. Penyelesaian Dengan Metode Substitusi Metode substitusi adalah mencari nilai satu variable dalam bentuk persamaan dari salah

satu persamaan. Harga persamaan ini disubstitusikan ke dalam persamaan yang lain.

Sebagai contoh, perhatikanlah persamaan

2x y = 4 (1)

x + 2y = -3 ...(2)

Dari persamaan (1) diperoleh

y = 2x 4 .(3)

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (2), didapatkan

x + 2(2x 4) = -3

x + 4x 8 = -3.

5x = 5

x = 1

Selanjutnya substitusikan x = 1 ke persamaan (3) dan diperoleh y = 2.1 4 = -2. Jadi

penyelesaiaannya x = 1 dan y = -2 atau ( 1,-2).

Menyelesaian persamaan simultan dengan metode grafik dan determinan matrik akan

dibahas pada bab.

Contoh-Contoh Soal Persamaan Simultan yang Dipecahkan

Soal 1

Selesaikanlah persamaan berikut dengan metode eliminasi.

3x + 2y = 16 .. (1)

4x 3y = 10 .. (2)

Penyelesaian:

Bab III | 17

Jika dilakukan eliminasi terhadap y, kalikan kedua sisi persamaan (1) dengan 3 dan

kedua sisi (2) dengan 2, dan tambahkan hasilnya untuk mendapatkan:

3 x (1): 9x + 6y = 48

2 x (2): 8x 6y = 20 Tambahkan: ---------------- (+)

17 x = 68 atau x = 4 Substitusi x = 4 ke dalam persamaan aslinya (1), didapatkan

3(4) + 2y = 16

12 + 2y = 16

2y = 16 12

2y = 4 atau y = 2

Jadi penyelesainnya x = 4 dan y = 2

Soal 2

Selesaikanlah persamaan berikut.

5x +2y = 3 (1) 2x + 3y = -1 (2)

Penyelesaian

Bila eliminasi y, kalikan (1) dengan 3 dan (2) dengan 2 lalu kurangkan hasilnya,

didapatkan:

3 x (1): 15x + 6y = 9

2 x (2): 4x + 6y = -2

11x = 11

x = 1

( - )

Bab III | 18

Selanjutnya substitusi x = 1 ke persamaan asal (1) atau (2), maka diperoleh

5(1) + 2y = 3

5 + 2y = 3

2y = - 2

y = -1

Jadi penyelesainnya x = 1 dan y = -1

Soal 3

Selesaikanlah persamaan berikut

2x + 3y = 3 (1) 6y 6x = 1 (2)

Penyelesaian:

Lakukan pengaturan kembali sedemikian hingga suku-suku yang mengandung variable

sama ada dalam suku yang sama untuk mendapatkan:

2x + 3y = 3 (1) -6x + 6y = 1 (2)

Selanjutnya untuk eleminasi x, kalikan (1) dengan 3, kalikan (2) dengan , lalu jumlahkan

hasilnya, dipeoroleh

3 x (1): 6x + 9y = 9

1 x (2): -6x + 6y = 1

15y = 10

32y

( + )

Bab III | 19

Selanjutnya substitusi 32y ke persamaan asal (1) atau (2) diperoleh

21x

Jadi penyelesaiannya: 21x dan

32y

Soal 5

Selesaikan persamaan

5y = 3 2x (1) 3x = 2y + 1 (2)

dengan metode substitusi

Penyelesaian:

Dari persamaan (1) didapatkan 5

)23( xy , selanjutnya substitusikan harga ini ke

persamaan (2), diperoleh:

152x)(323x

554x)(63x

15x = 11 4x

19x = 11

1911x

Selanjutnya substitusikan 1911x ke

52x)(3y , diperoleh

5

)1911(23

y

Bab III | 20

197y

Soal 6

Selesaiakan persamaan

(2) 12

12y4

3x

(1) 26

1y3

2x

Penyelesaian

Untuk mengeliminasi pecahan, kalikan (1) dengan 6 dan (2) dengan 4 dan sederhanakan,

diperoleh

1- 4y - x :(2) x 4 15 y 2x : (1) x 6

Proses selanjutnya sama dengan contoh sebelumnya, hingga diperoleh penyelesaian

917ydan

959x

Soal 7

Dua partikel bergerak pada kecepatan yang berbeda tetapi konstan sepanjang keliling

lingkaran 276 meter. Partikel mulai bergerak pada waktu yang sama dan dari tempat yang

sama. Apabila partikel-partikel bergerak berlawanan maka akan berpapasan setiap 6 detik

dan apabila bergerak dengan arah yang sama paartikel yang satu melewati yang lainnya

setiap 23 detik. Tentukanlah kecepatan partikel tersebut.

Penyelesaian:

Miasalkan x dan y adalah kecepatan kedua partikel dalam m/detik, maka jarak yang

ditempuh

Bab III | 21

Jika bergerak berlwanan arah: 6 dt ( x + y) m/dt = 276 m

Jika bergerak searah: 23 dt (x y) m/dt = 276 m

Persamaanya jarak yang ditempuh:

6x + 6y = 276 (1)

23x 23y = 276 (2)

23 x (1): 138x + 138y = 6348

6 x (2): 138x - 138y = 1656

276x = 8004

x = 29 m/dt

Substitusi x = 29 m/dt ke (1) didapatkan: y = 17 m/dt

Jadi kecepatan kedua partikel tersebut 29 m/dt dan 17 m/dt

a. Sistem Persamaan Linear Dengan Tiga Variabel

Sistem persamaan linear dengan tiga variable x, y, dan z dapat dinyatakan dalam bentuk

umum sebagai berikut.

a1x + b1y + c1z = d1 (1) a2x + b2y + c2z = d2 (2) a3x + b3y + c3z = d3 (3) Cara menyelesaikan persamaan di atas adalah dengan mencari nilai x, y, dan z yang

memenuhi ketiga persamaan tersebut. Misalkan (xo, yo, zo) merupakan penyelesaian dari

persamaan di atas maka:

a1xo + b1yo + c1zo = d1 (1) a2xo + b2yo + c2zo= d2 (2)

( + )

Bab III | 22

a3xo + b3yo + c3zo = d3 (3)

Langkah pertama untuk menyelesaikan system persamaan linear dengan tiga variable

adalah dengan menghilangkan( mengiliminasi) salah satu variabelnya, sehingga terbentuk

system persamaan liear dengan dua variable. Langkah kedua menyelesaikan system

persamaan linear dengan dua variable menggunakan metode eliminasi atau substitusi

Soal 1

Selesaikanlah system persamaan:

2x + y + 3z = 9 (1)

x + 3y - z = -8 (2)

3x - 2y + 4z = 19 (3)

Peneyelesaian

Hilangkanlah x dari persamaan (1) dan (2), diperoleh persamaan (4)

2x + y + 3z = 9 (1) x 1 2x + y + 3z = 9 x + 3y - z = -8 (2) x 2 2x + 6y 2z = -16

-5y + 5z = 25

y z = - 5 (4)

Hilangkanlah x dari persamaan (2) dan (3), diperoleh persamaan (5)

x + 3y - z = -8 (2) x 3 3x + 9y 3z = -24 3x - 2y + 4z = 19 (3) x 1 3x - 2y + 4z = 19

11y -7z = -43 (5)

Sistem persamaan linear dengan dua variable yang diperoleh adalah

y z = - 5 (4)

11y -7z = -43 (5)

Bab III | 23

Penyelesaiannya dapat diperoleh dengan metode eliminasi atau substitusi

Kita selesaikan dengan metode substitusi

Persamaan (4) dapat ditulis y = z 5. Selanjutnya substitusi nilai y = z 5 ke persamaan

(5), diperoleh

11(z -5) 7z = -43

11z 55 7z = -43

4z = -43 + 55

4z = 12

z = 3

Substitusikan z = 3 ke persamaan (4) diperoleh y = 3 5 = -2

Substitusikan y = -2 dan z = 3 ke persamaan (1), (2) atau pilihlah persamaan yang paling

sederhana misalnya persamaan (2)

x + 3y - z = -8

x + 3(-2) 3 = -8

x 6 3 = - 8

x = 1

Jadi penyelesaiannya: x =1, y = -2, dan z = 3

Soal 2


Bab III | 24

3).........( 423

3z

4y

2x

.(2).......... 61

2z

3y

4x

.(1).......... 24z

2y

3x

Penyelesaian:

Hilangkan bentuk pecahan, dengan mengalikan 12 pada masing persamaan dan diperoleh

4x + 6y 3z = 24 (4)

3x + 4y 6z = 2 .(5)

6x 3y + 4z = 46 (6)

Eliminasi x dari (4) dan (5), diperoleh persamaan (7)

4x + 6y 3z = 24 (4) x 3 12x + 18y 9z = 72

3x + 4y 6z = 2 .(5) x 4 12x + 16y 24z = 8

2y + 15z = 64 (7)

Eliminasi x dari (5) dan (6), diperoleh persamaan (8)

3x + 4y 6z = 2 .(5) x 2 6x + 8y 12z = 4

6x 3y + 4z = 46 (6) x 1 6x 3y + 4z = 46

11y -16z = -42 (8)

Dari persamaan (7) dan (8) diperoleh

2y + 15z = 64 ...(7) x 11 22y + 165z = 704

11y -16z = -42 (8) x 2 22y -32z = - 84

197z = 788

Bab III | 25

z = 4

Substitusi z = 4 ke persamaan (7), diperoleh:

2y + 15(4) = 64 ...(7)

2y + 60 = 64

2y = 4

y = 2

Substitusi y = 2, z = 4, ke persamaan (4), (5), atau (6), kita pilih yang paling sederhana (5)

diperoleh

3x + 4y 6z = 2 .(5)

3x + 4(2) 6(4) = 2

3x + 8 - 24 = 2

3x = 18

x = 6

Jadi penyelesaiannya: x = 6; y = 2; dan z = 4

Soal 5


3).........( 3z3

y1

x3

.(2).......... 1z1

y3

x2

.(1).......... 0z2

y2

x1

Penyelesaian:

Bab III | 26

Misalkan: wz1 v;

y1 u;

x1 , persamaan dapat ditulis menjadi:

u 2v 2w = 0 (4)

2u + 3v + w = 1 ....(5)

3u v 3w = 3 (6)

Dari persamaan (4), (5), dan (6) diperoleh; u = -2, v = 3, dan w = -4

Jadi: 41- zatau -4

z1 ;

31 y atau 3

y1 ;

21 - atau x -2

x1

Penyelesaiannya: 41- zdan ;

31 y ;

21 - x

Soal 8

Bila A dan B bekerja bersama- sama dapat menyelesaikan pekerjaan selama 4 hari. B dan

C bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan pekerjaan selama 3 hari. Sedangkan bila A

dan C bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan pekerjaan tersebut selama 2,4 hari.

Dalam berapa harikah mereka dapat menyelesaikan pekerjaan apabila mereka bekerja

sendiri-sendiri?

Penyelesaian:

Misalkan x, y dan z adalah jumlah hari yang dibutuhkan oleh masing-masing A, B, dan C

untutk dapat menyelesaikan pekerjaan.

Maka z1 ;

y1 ;

x1 adalah pekerjaan yang diselesaikan oleh A, B, C masing-masing dalam 1

hari. Jadi

Bab III | 27

)3..(..........2,41

z1

x1

)2....(..........31

z1

y1

)1....(..........41

y1

x1

Ambil wz1dan v;

y1 u;

x1 , maka

.....(6) 12,4w2,4u 2,41wu

......(5) 13w3v 31wv

.......(4) 14v4u 41vu

Dari persamaan (4) didapatkan 44v1 u dan dari (5) didapatkan

33v1w

Substitusi 44v1u dan

33v1w ke (5) untuk mendapatkan

133v-14,2

44v14,2

Kedua ruas dikalikan 12 diperoleh

2,4(3)(1 - 4v) + 2,4(4)(1 5v) = 12

7,2(1- 4v) + 9,6(1 3v) = 12

7,2 28,8v + 9,6 28,8v = 12

16,8 57,6v = 12

-57,6v = -4,8

Bab III | 28

121

6,578,4

v

v

41

343

3411

3

)1213(1

w

61

432

4311

4

)1214(1

u

6x61

x1

12y121

y1

441

z1 z

Jadi bila A, B, dan C bekerja sendiri-sendiri pekerjaan tersebut dapat diselesaikannya

berturut-turt selama 6 hari, 12 hari dan 4 hari

Soal Latihan

1. Selesaikanlah persamaan berikut dengan metode yang ditentukan

a. 2x - 2y = 7 .. (1)

2x + y = 5 (2) dengan metode eliminasi

b. 3x y = - 4 .. (1)

2x + 3y = 7 .. (2) dengan metode eliminasi

Bab III | 29

c. 4x + 2y = 5 .. (1)

5x 3y = -2 .( 2) dengan metode eleminasi

d. 2y x = 1 (1)

2x + y = 8 (2) dengan metode substitusi

e. 2x 5y = 10 .. (1)

4x + 3y = 7 . (2) dengan metode substitusi

f. (2) ...... 4-

2y

6x

(1) ...... 65y

32x

dengan metode gabungan elimenasi dan substitusi

g. (2) ....... 3

32y

23x

(1) ...... 44

2y3

12x

dengan metode gabungan elimenasi dan

substitusi

2. Seleaikan persamaan

a. 3x + 2y z = 19 . (1)

4x y + 2z = 4 (2)

2x + 4y - 5z = 32 .. (3) (3,4,-2)

b. x = y 2z .. (1)

2y = x + 3z + 1 . (2)

z = 2y 2x 3 (3) (0,2,1)

Bab III | 30

c.

.....(3) 13z

4y

6x

....(2) 622

23y

4x

.....(1) 7z2y

3x

(6,4,-3)

d.

.....(3) 6-z1

y2

x3

....(2) 11z4

y3

x2

.....(1) 51y1

x1

z

(1/2, -1/3,1/6)

3. Dari rangkaian listrik seperti pada gambar (2.1) diperoleh persamaan:

10 I1 + 5I1 + 5I2 = 12

20 I2 + 5I2 + 5I1 = 6

Gambar 2.1

Tentukanlah besarnya nilai I1 dn I2 yang memenuhi persamaan tersebut

4. Pada perhitungan beban tumpukan vertical (Bv) dan horizontal (Bh) dari suatu

konstruksi, diperoleh persamaan sebagai berikut.

-2Bv + 9 + 5Bh = 0

-5,5 Bv + Bh + 35,5 = 0

+

E2 = 6V

E1 = 12V

R1 = 10: R2 = 20:

R3 = 5 :

Bab III | 31

Tentukanlah nilai Bv dan Bh yang memenuhi persamaan tersebut

5. Carilah kecepatan sebuah motor boot di air tenang dan di arus sungai, jika motor

boot itu memerlukan tiga jam untuk melayari suatu jarak sejauh 45 km arus-mudik,

dan 2 jam untuk melayari sejauh 50 km arus milir

6. Ketika dua buah mobil berpacu mengelilingi jalan lingkar bertandakan mil yang

dimulai dari tempat yang sama dan pada saat yang sama, kedua kendaraan itu akan

saling berpapasan antara satu dengan yang lain apabila meluncur dalam arah yang

berlawanan, dan salingberlintasan apabila meluncur dalam arah yang sama. Carilah

kecepatan mobil itu dalam mil/jam.

7. Tinggi A berisi 32 gallon larutan berupa alcohol 25% menurut isinya. Tangki B

memuat memuat 50 gallon larutan berupa 40% menurut isinya. Berapa isi yang

harus diambil dari setiap tangki untuk diaduk untuk membuat 40 gallon larutan

yang memuat 30% alcohol menurut isi?

3.3 Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Pada bagian ini akan mempelajari cara mendapatkan penyelesaian dari pertidaksamaan

linier satu variable

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang ruas kiri dan ruas kanan kalimat

tersebut dihubungkan dengan tanda < , > , , atau

Sifat-sifat Pertidaksamaan :

1. Jika a < b maka b > a

2. Jika a > b maka :

x a c > b c x ap > bp, p > 0 x ap < bp, p < 0 x a3 > b3

3. Jika a > b, dan b > c maka a > c

Bab III | 32

4. Jika a > b, dan c > d maka a + c > b + d

5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 maka ac > bd

6. Jika a > b > 0 maka:

x a2 > b2

x b1

a1

7. Jika 0ab maka,0ba !!

8. Jika 0ab maka,0ba

9. Jika 0a1 maka,0a !!

10. Jika 0a1 maka,0a

Pertidaksamaan linier satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya memuat sebuah

variabel dan pangkat variable tersebut adalah satu.

Suatu pertidaksamaan linear dalam variabel x dapat berbentuk ax + b < 0, ax + b > 0,

ax + b 0 atau ax + b 0, dengan a 0. Bilangan a disebut lebih besar dari pada bilangan

b jika a b > 0 dan a disebut lebih kecil dari pada b jika a b < 0. Untuk menyelesaikan

pertidaksamaan digunakan sifat-sifat bahwa :

x Ruas ruas suatu pertidaksamaan boleh ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama

x Ruas ruas suatu pertidaksamaan boleh dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama

x Jika ruas ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negative yang sama, maka tanda pertidaksamaannya harus dibalik.

x Jika a dan b bilangan positif dan a < b, maka a2 < b2

Bab III | 33

Contoh 11:

5w + 7 > w -8 , merupakan pertidaksamaan linier satu variabel karena banyak variabelnya

satu (yaitu w) dan pangkatnya 1.

Contoh 12:

2n + 9 d 21, merupakan pertidaksamaan linier satu variabel karena banyak variabelnya satu (yaitu n ) dan pangkatnya adalah 1.

Contoh 13:

5t + 7r > 12, bukan pertidaksamaan linier satu v karena peubahnya dua (yaitu t dan m ).

Contoh 14:

3y34y 2 t , bukan pertidaksamaan linier satu variabel walaupun variabelnya hanya satu

tetapi variabelnya ada yang berpangkat 2.

Cara mencari penyelesaian pertidaksamaan linier satu variabel

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan linier satu peubah

adalah bsebagai berikut

1. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan

yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap.

2. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif

yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan tetap.

3. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif

yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan menjadi sebaliknya.

Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan linier :

1) Semua yang mengandung variabel dipindahkan ke ruas kiri, sedangkan konstanta ke ruas kanan.

Bab III | 34

2) Sederhanakan

Contoh 1: misalkan S = R (himpunan bilangan real). Selesaikan

pertidaksamaan berikut ini dengan menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan!

a) 3x + 4 > 19

3x + 4 4 > 19 4 {kedua ruas dikurangkan dengan 4}

3x > 15

(3x) : 3 > (15) : 3 {kedua ruas dibagi dengan 3}

x > 5

HP = {x | x > 5, x R}

b) x 5 < 3x + 4

x 5 + 5 < 3x + 4 + 5 {kedua ruas ditambah 5}

x < 3x + 9

x 3x < 3x + 9 3x {kedua ruas dikurangkan 3x}

-2x < 9

9).21()x2)(

21(- ! {kedua ruas dikalikan

21

tanda pertidaksamaan dibalik

Jadi X = 29

Beberapa trik berikut sangat membantu dalam menyelesaikan pertidaksamaan:

a b < c maka a < c b

a . b > c maka a > bc , b > 0

Bab III | 35

ba c maka a bc, b > 0

Jika dikalikan atau dibagikan dengan nilai negatif maka persamaan berubah tanda

Contoh 2: Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier berikut!

a) 3 2x 2 7x, S R

Penyelesaian :

3 2x 2 7x

2x + 7x 2 + 3

5x 5

x 1

HP = {x | x 1, S R}

Contoh 2: Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier berikut!

a. )bulatbilangan (Z ZS ,55

2x32 dd

Penyelesaian:

,55

2x32 dd {dikalikan semua dengan 5}

10 3x 2 25 {ditambahkan dengan 2}

10 + 2 3x 2 + 2 25 + 2

12 3x 27 {dibagi dengan 3}

4 x 9

HP = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

c) 9x + 7 - 3x 5

Bab III | 36

Penyelesaian:

9x + 7 - 3x 5

-9x + 3x -5 7

-6x -12 {dibagi dengan -6, tanda ingat dibalik}

x 2

d) 2

3x35

5x7 t

Penyelesaian:

2

3x35

5x7 t {kedua ruas dikalikan dengan 10}

-2 (7x 5) 5 (3x 3) {kedua ruas dikalikan dengan 10}

-14x + 10 15x 15

-14x 15x -15 10

-29x - 25 {dibagi dengan -29, tanda ingat dibalik}

Jadi 2925x d

Latihan

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.

a. 5b 3 < 7b + 11

b. 19 3e < 2 5(e + 1)

c. 9(h + 1) 3h < 10(h 1) 5

d. -2(5x + 4) 3x > 1 (8x 6)

e. 2

q125

3q2 d

f. 4

4r243

2r

Bab III | 37

g. 5x23x23 t

3.4 Persamaan Kuadrat

Persamaan adalah sebuah pernyataan bahwa dua kuantitas setara. Menyelesaiakan

persamaan berarti menentukan nilai-nilai dari factor yang tidak diketahui nilainya. Faktor

yang tidak diketahui nilainya disebut variable. Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan

dimana pangkat tertinggi dari variabelnya yaitu dua. Persamaan kuadrat dengan variable x

mempunyai bentuk umum ax2 + bx + c = 0 di mana a, b, dan c adalah bilangan konstanta

dan a 0; a dan b disebut koefisien dari variabel. Contonya: x2 - 6x + 5 = 0; 2x2 + x - 6 =

0; dan 3x2 5 = 0. Jika dua persamaaan terahkir masing-masing dibagi 2 dan 3 diperoleh

03x21x 2 , dan 0

35x 2 . Koefisien dari x2 dalam setiap persamaan adalah 1.

Menyeleaikan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah mencari harga x yang memenuhi

persamaan. Harga x ini disebut penyelesaian atau akar-akar dari persamaan. Contoh x2 -

5x + 6 = 0 dipenuhi oleh x = 2 dan x = 3. Maka x = 2 dan x = 3 adalah akar-akarnya

persamaan.

Terdapat 4 metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan:

(i) Fakktorisasi

(ii) Melengkapi kuadrat sempurna

(iii) Rumus kuadrat

a. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Faktorisasi Pekalian (3x - 1)(x + 4) menghasilkan 3x2 + 12x - x 4 atau 3x2 + 11x 4. Proses dengan

proses sebaliknya dari 3x2 + 12x - x 4 ke (3x - 1)(x + 4) disebut faktorisasi. Jika suatu

pernyataan kuadrat dapat difaktorisasikan, maka cara ini menjadi metode yang paling

sederhana untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Metode faktorisasi ini sering kali

bersifat coba-coba atau trial and error.

Soal 1

Selesaiakanlah persamaan- persamaan berikut dengan metode faktorisasi

a. x2 + 2x 8 = 0

Bab III | 38

b. 2x2 - 5x 3 = 0

Penyelesaian

a. x2 + 2x 8 = 0. Faktor-faktor dari x2 adalah x dan x. Keduanya diletakkan di dalam

tanda kurung sebagai bentuk perkalian suku dua berikut.

x2 + 2x 8 = (x )( x .) = 0

Faktor dari -8 adalah 8 dan -1, atau -8 dan 1, atau 4 dan -2, atau -4 dan 2. Satu-

satunya kombinasi yang dapat menghasilkan suku tengah 2x adalah 4 dan -2, yaitu:

x2 + 2x 8 = (x + 4 )( x - 2) = 0. Perhatikan bahwa jumlah hasil perkalian dua suku di bagian dalam dengan hasil perkalian dua suku di bagian luar harus sama dengan suku tengah yaitu 2x.

Jadi persamaan x2 + 2x 8 = 0, dapat difaktorkan menjadi (x + 4 )( x - 2) = 0. Satu-satu cara bahwa persamaan ini akan menjadi benar, jika paktor pertama atau factor kedua sama dengan nol, maka:

b. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna

Bentuk seperti 16 = 42; 4x2 = (2x)2; (x + 1)2; (2x 3)2

merupakan beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna.

Bentuk 722 xx dapat dimanipulasi aljabar sbb.

722 xx

71)12( 2 xx

8)1( 2 x memuat bentuk kuadrat sempurna 2)1( x

Proses mengubah bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna

semacam itu dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.

Contoh:

Bab III | 39

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!

a. 0232 xx

b. 0252 x

Jawab :

a. 0232 xx

232 xx

492

23x

2

49

48

23 2

x

41

23 2

x

41

23 r

x

23

21 r x

2 x atau 1 x b. 0252 x

252 x

25r x

5r x

c. Menggunakan rumus kuadrat

Metode yang paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 02 cbxax dengan menggunakann rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc.

Rumus kuadrat diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat 02 cbxax .

Bab III | 40

Prosesnya sbb:

02 cbxax

02

cx

abxa

044

2

2

22

c

ab

abx

abxa

042

22

c

ab

abxa

ca

ba

bxa

42

22

2

22

44

2 aacb

abx

acbaa

bx 421

22

2

r

acbaa

bx 421

22 r

aacbbx

242 r

Uraian di atas membuktikan berlakunya rumus kuadrat.

Misalkan a, b, c bilangan rela dan 0za maka akar-akar persamaan kuadrat 02 cbxax ditentukan oleh:

aacbbx

242

12r

Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!

a. 0232 xx

Bab III | 41

b. 0263 2 xx

Jawab :

a. 0232 xx

a = 1, b = 3, c = 2

1.2

2.1.433 212

r x

2

1312

r x

2 x atau 1 x

b. 0263 2 xx

a = 3, b = -6, c =2

3.2

2.3.4)6(6 212

r x

6326

6126

624366

12r r r x

3311

6326 x atau 3

311

6326 x

Jenis akar-akar persamaan kuadrat dikaitkan dengan nilai diskriminan Penyelesaian persamaan kuadrat )0(02 z acbxax adalah

aacbbx

242

12r

Tampak bahwa akar-akarnya ditentukan oleh nilai dari b2 4ac yang disebut dengan diskriminan disingkat D.

Bab III | 42

Jenis akar-akar persamaan kuadrat 02 cbxax , ditentukan oleh nilai Diskriminannya (D) yaitu D = acb 42

Jika D > 0 : mempunyai dua akar real yang berbeda

Untuk D berupa bilangan kuadrat ( 2k ) akarnya rasional

Untuk D bukan berupa bilangan kuadrat akarnya rasional

Jika D = 0 : mempunyai dua akar real yang sama

Jika D < 0 : akar-akarnya imajiner (khayalan)

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan 032 2 xx tentukan jenis akar-akarnya !

Jawab :

032 2 xx

acbD 4

= )3.(2.412

= 25

= 25

Jadi 032 2 xx mempunyai dua akar berlainan dan rasional

Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat 02 cbxax )0( za adalah

aDbx

21 atau

aDbx

22

Jumlah dan hasil kali akar-akar ditentukan dengan memanipulasi aljabar sbb:

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat

Bab III | 43

aDb

aDbxx

2221

aDbDb

2

ab

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

aDb

aDbxx

2221

2

2

4aDb

ac

aac

aacbb 22

22

44

4)4(

Contoh Jika 1x dan 2x akar-akar persamaan kuadrat 0532

2 xx , tentukan nilai dari : 2221 xx

Jawab :

4175

49

252

232)(

2

212

212

22

1

xxxxxx

3.5 Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 macam, yaitu:

1. 02 cbxax

2. 02 d cbxax

3. 02 ! cbxax

Bab III | 44

4. 02 t cbxax

dengan a, b, c bilangan real dan .0za

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x

dapat ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan grafik dan garis biilangan

a. Menyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus 43)( 2 xxxf grafiknya

berbentuk parabbola dengan persamaan 432 xxy . Sketsa grafik parabola

432 xxy diperlihatkan pada gambar berikut:

1. Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4.

Jadi 0432 ! xx dalam selang x < -1 atau x > 4.

2. Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4.

Jadi 0432 xx untuk nilai x = -1 atau x = 4.

3. Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang 1 < x < 4.

Jadi 0432 xx dalam selang 1 < x < 4.

Bab III | 45

Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat 43)( 2 xxxf atau parabola 432 xxy dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut.

a. Pertidaksamaan kuadrat 0432 ! xx . Himpunan penyelesaiannya adalah: },41|{ RxxxHP

b. Pertidaksamaan kuadrat 0432 t xx . Himpunan penyelesaiannya adalah: },41|{ RxxxHP dd

c. Pertidaksamaan kuadrat 0432 xx . Himpunan penyelesaiannya adalah: },41|{ Rxxatau xxHP !

d. Pertidaksamaan kuadrat 0432 xx . Himpunan penyelesaiannya adalah: },41|{ Rxxatau xxHP td

Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat 0)( 2 cbxaxxf dapat digunakan untuk menentukan

Bab III | 46

penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 02 cbxax ; 02 d cbxax ; 02 ! cbxax ; 02 t cbxax

Contoh:

Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat ,12)( 2 xxxf carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut.

a. 0122 xx

b. 0122 d xx

c. 0122 ! xx

d. 0122 t xx

Jawab:

Sketsa grafik fungsi kuadrat ,12)( 2 xxxf atau parabola ,122 xxy diperlihatkan pada gambar berikut:

1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 xx adalah Himpunan kosong ditulis I

2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 d xx adalah }1|{ xxHP

3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 ! xx adalah }1|{ z xdanRxxHP

4. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 t xx adalah },11|{ RxxatuxxHP td dapat juga ditulis }|{ RxxHP

Bab III | 47

b. Menyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat Dengan garis bilangan Sebagai contoh kita akan menyelesaikan pertidaksamaan 0432 ! xx

Langkah 1

Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan

0432 xx

0)4)(1( xx

1 x atau 4 x

Langkah 2

Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan

Langkah 3

Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.

Misalnya:

2 x maka nilai dari 64)2(3)2(43 22 xx sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0

1 x maka nilai dari 64)1(3)1(43 22 xx sehingga tanda dalam interval -1 < x < 4 (1) atau < 0

5 x maka nilai dari 64)5(3)5(43 22 xx sehingga tanda dalam interval x > 4 (+) atau > 0

Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan 0432 ! xx adalah x < -1 atau x > 4.

Bab III | 48

Jadi himpunan penyelesainnya adalah 1|{ xxHP atau x > 4}

c. Pertidaksamaan Rasional

Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut.

i. 01

1 x

ii. 021 d

xx

iii. 0132 !

xx

iv. 02

42

2

t

xx

x

Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu pecahan. Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan rasional.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh, penyelesaian pertidaksamaan rasional

031

xx

dapat ditentukan dengan langkah-langkah sbb.

Langkah 1

Nilai nol pada bagian pembilang: x +1 = 0 x = -1. Nilai nol pada bagian penyebut: x 3 = 0 x = 3.

Bab III | 49

Langkah 2

Nilai nol pada bagian pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan.

Langkah 3

Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 3.

Misal x = -2 maka nilai dari 41

41

31

xx sehingga tanda dalam interval x < -1

(+) atau >0.

x = 0, maka nilai dari 31

31

31

xx sehingga tanda dalam interval -1 0.

Tanda-tanda interval itu ditulis dalam interval yang bersesuaian seperti diperlihatkan gambar sbb.

Maka penyelesaian dari pertidaksamaan 031

xx adalah -1 < x < 3 dan himpunan

penyelesaiannya adalah }31|{ xxHP

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari 02

2

!

xxx !

Jawab :

Bab III | 50

Harga nol pembilang Harga nol penyebut

02 xx 02 x

0)1( xx 2 x

10 21 xx

Jadi penyelesaiannya adalah -2

Bab III | 51

Jadi himpunan penyelesaian dari 0634

2

2

t

xxxx adalah 3|{ xxHP atau

21 d x atau x >3}

d. Penggunaan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Segitiga ABC siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = x cm, BC = x+2 cm, AC = x+4 cm. Hitung panjang AB, BC, dan AC !

Jawab :

A

x+4

x

B x+2 C

222 ACBCAB

222 )4()2( xxx

16844 222 xxxxx

01242 xx

0)2)(6( xx

6 x atau 2 x (tidak memenuhi)

Bab III | 52

Diperoleh x=6, maka AB=6 cm, BC=8 cm, dan AC= 10 cm

2.6. Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat

Bentuk Umum :

y = px + q

y = ax2 + bx + c

p, q, a, b dan c R Cara menyelesaikannya :

1. Substitusi

Substitusikan y = px + q ke y = ax2 + bx + c

Diperoleh :

px + q = ax2 + bx + c

ax2 + (b-p)x + (c-q) = 0

dengan D = (b-p)2 4.a.(c-q)

ada 3 kemungkinan himpunan penyelesainnya :

a. Jika D = 0 (parabola berpotongan dengan garis di satu titik)

b. Jika D >0 (parabola berpotongan dengan garis di dua titik)

c. Jika D < 0 (parabola dan garis tidak berpotongan)

2. Grafik

Ada 3 kemungkinan :

D>0

D=0

D

Bab III | 53

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesian dari :

y = 2 x

y = x2

jawab :

Substitusika y = 2 x ke y = x2 diperoleh :

x2 = 2 x D = b2 4ac

x2 + x 2 = 0 D = (1)2 4.(1).(2) = 1 + 8 = 9

(x 1)(x + 2) = 0 D > 0 (ada 2 penyelesaian)

x = 1 atau x = -2

x = 1 disubstitusikan ke y = 2 x = 2 1 = 1

x = -2 disubstitusikan ke y = 2 (-2) = 2 + 2 = 4

Jadi himpunan penyelesaian {(1,1),(-2,4)}

Dengan grafik dapat digambarkan sebagai berikut :

(-2,4)

(1,1)

Bab III | 54

3.7 Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat

Bentuk Umum :

y = ax2 + bx + c

y = px2 + qx + r

Cara menyelesaikannya :

1. Substitusi

Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh :

(a p)x2 + (b q)x + (c r) = 0 dengan

D = (b q)2 4.(a p).(c r)

Kemungkinan penyelesaiannya :

a. Jika D > 0 (parabola saling berpotongan di dua titik)

b. Jika D = 0 ( parabola saling berpotongan di satu titik)

c. Jika D < 0 (parabola tidak saling berpotongan)

1. Grafik

Dengan menggambar kedua parabola dalam satu sistem koordinat

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

y = x2

y = 8 x2

Jawab :

Substitusikan (1) ke (2)

x2 = 8 x2

2x2 8 = 0

x2 4 = 0

(x 2)(x + 2) = 0

x = 2 atau x = -2

x = 2 diperoleh y = 22 = 4

x = -2 diperoleh y = (-2)2 = 4

Jadi HP : {(2,4) , (-2,4)}

Bab III | 55

Tugas II

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. y = x 3

y = x2 4x + 3

b. y = x + 3

2y = x2 2x + 1

c. y 2x 3 = 0

y 2x2 + 4x 7 = 0

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. y = x2 3x 1

y = 3x2 + 5x + 7

b y = x2 + 1

y = 9 x2

c. y = 2x2 6x

y = x2 2x + 6

3.8 Persamaan Non Linier

Berbagai bentuk persamaan non linier, antara lain:

y = a0 xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an. ak , k=1,2,,n bilangan riil, a0, n 0

(-2,4) (2,4)

0

8

Bab III | 56

Disebut persamaan polinomial berderajat n.

y = ax , a bilangan riil, a 0.

y = a + b log x

Sesuai dengan silabus yang diberikan, yang dibahas dalam buku ini adalah persamaan

berderajat dua (kuadratik), persamaan berderajat tiga (kubik), fungsi eksponensial dan

fungsi logaritma.

Bentuk umum persamaan berderajat dua (kuadratik) adalah:

a x2 + b xy + c y2 + d x + e y + f = 0(i)

Misal D = b2 4 a c .

Bila D < 0, persamaan (i) disebut persamaan ellips. Bila juga berlaku a = c dan b

= 0, disebut persamaan lingkaran.

Bila D = 0, persamaan (i) disebut persamaan parabola.

Bila D > 0, persamaan (i) disebut persamaan hiperbola.

Gambar 4.4: Perpotongan bidang datar dengan kerucut.

Bentuk ellips, lingkaran, parabola dan hiperbola merupakan irisan suatu bidang datar

dengan kerucut, seperti terlihat pada Gambar 4.4. Ellips adalah irisan bidang yang

memotong kerucut tidak melalui puncak dan lingkaran alas. Lingkaran adalah irisan bidang

yang memotong kerucut tegak lurus sumbu kerucut. Parabola adalah irisan bidang yang

memotong kerucut dan lingkaran alas kerucut. Hiperbola adalah irisan bidang yang sejajar

dengan sumbu dua kerucut yang bertemu pada puncaknya.

Bentuk umum persamaan irisan kerucut:

(y-q) = 1/4t (x p ) 2. Parabola berpuncak di P (p, q), Fokus (p, q+t) dan garis

eksentrisitet y = b-t.

(x-a) 2 + (y-b) 2 = R2. Lingkaran berpusat di P (a,b) berjari-jari R, atau

x2 + y2 + Ax + By + C = 0. Lingkaran berpusat di P (- A/2, -B/2), jari-jari ( A2/4 +

B2/4 C)1/2

((x-p)/a) 2 + ((y-q)/b) 2 = 1 Ellips berpusat di P (p,q), panjang sumbu x dan y

masing-masing a dan b.

Bab III | 57

((x-p)/a) 2 ((y-q)/b) 2 = 1 Ellips berpusat di P (p,q), panjang sumbu x dan y

masing-masing a dan b.

Menggambar Persamaan Parabola

Pandang bentuk umum persamaan derajat dua: y = a x2 + bx + c atau

y = a ( x + b/a x) + c = a ( x b/2 a) 2- (b2 4ac)/ 4a = a ( x b/2 a) 2- D/ 4a, dimana D =

(b2 4ac)

Bila x = b/2 a, nilai y D/-4a.

Jadi persamaan derajat dua ini adalah persamaan parabola degnan puncak ( b/2 a, D/ 4a).

Untuk x = -b/2 a, bila a > 0 maka nilai y paling kecil, sedangkan bila a < 0, nilai y paling

besar.nilai y = D/4a , Untuk x -b/2 a

Menggambarkan Persamaan Parabola

Dengan cara yang serupa dapat pula digambarkan persamaan derajat dua dalam bentuk

persamaan x = a x2+ b x + c.

Contoh 4:

Gambarlah parabola y = 2 x2+ 8 x + 10.

Jawab: a = -2, b = 8 dan c = 10.

Lalu digambar seperti Gambar 4.5 berikut.

Gambar 4.5 : Grafik parabola y = 2 x2+ 8 x + 10

Untuk menggambarkan persamaan hiperbola y = (ax+b)/(cx + d) tentukan dulu asimptot-

asimptotnya(garis yang didekati oleh fungsi, tetapi tidak pernah memotongnya). Untuk x =

-d/c, y tidak terdefinisi, berari x = -d/c adalah asimptot tegaknya. Sebaliknya bila y= a/c,

juga nilai x juga tidak terdefinisi, sehingga y = a/c adalah asimptot datarnya. Selanjutnya

gambar grafik diperoleh dengan subtitusi nilai x pada persamaan hiperbola.

3.8 Persamaan Derajat Tiga (kubik), Fungsi Eksponensial dan Fungsi Kubik

Bentuk umum persamaan derajat tiga, fungsi eksponensial dan fungsi logaritama, masing-

masing adalah:

Untuk menggambarkan grafik dari kedua persamaan di atas dengan menentukan nilai-nilai

x lalu disubtitusi pada persamaan tersebut. Untuk menentukan titik belok dan titik ekstrim

dari persamaan-persamaan ini, nanti dibahas pada pembicaraan diferensial.

Bab III | 58

Gambar persamaan b), bila a> 1 grafik memotong sumbu x di y = 1, mempunyai asimptot

y = 0. Untuk nilai x negatif, nilai y lebih kecil dari 1 dan untuk x positif nilai y lebih besar

1. Dapat diselidiki lebih lanjut untuk nilai a yang lain. Grafik dari bagian c) tidak berlaku

untuk nilai x negatif. Bagian ini tidak dianalisa lebih lanjut, mengingat fungsi yang sering

dihadapi adalah polinomial dan fungsi eksponensial.

Documents

Bab III Persamaan Dan Pertidaksamaan3