BAB I

FUNGSI DAN GRAFIK

Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu

kuantitas (besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Fungsi

dapat dinyatakan dalam 4 cara yaitu secara verbal (kata-kata), numerik

(tabel nilai), visual (grafik) dan aljabar (rumus eksplisit).

TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa dapat

menggambarkan grafik fungsi yang diberikan

1.1. Pengertian dan Penyajian Fungsi

Sebuah fungsi f adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x

dalam satu himpunan, misalkan A, dengan tepat satu elemen f(x) dalam

himpunan kedua, misalkan B. Himpunan B boleh sama dengan himpunan

A.

Apabila f merupakan fungsi yang memasangkan setiap anggota A

pada tepat satu anggota B, maka f ditulis sebagai f : A B. Himpunan A

disebut domain (daerah asal, daerah definisi) fungsi f dan himpunan B

disebut kodomain (daerah kawan) dari fungsi f.

Empat situasi berikut menggambarkan cara penyajian fungsi, yaitu :

10

a. Luas daerah A dari suatu lingkaran tergantung pada jari–jari r lingkaran

tersebut. Aturan yang mengaitkan r dan A diberikan oleh persamaan A

= r2.

Setiap nilai r berhubungan dengan nilai A, maka dikatakan bahwa A

adalah fungsi dari r. Fungsi tersebut disajikan melalui suatu rumus

eksplisit.

b. Populasi manusia P di dunia tergantung pada waktu t. Tabel berikut

memberikan taksiran populasi dunia P(t) pada waktu t, untuk tahun

tertentu.

Tabel taksiran populasi penduduk dunia

Tahun (t) Populasi (P)*1900 1650

1910 1750

1920 1860

1930 2070

1940 2300

1950 2520

*dalam jutaan

Untuk setiap nilai t terdapat nilai

padanannya P, sehingga kita katakan

bahwa P merupakan fungsi dari t.

Fungsi tersebut disajikan dalam bentuk tabel.

c. Biaya pengiriman surat tercatat C tergantung pada beratnya w.

Walaupun tidak terdapat rumus sederhana yang mengaitkan C dan w,

Tahun (t) Populasi (P)*1960 3020

1970 3700

1980 4450

1990 5300

1996 5770

11

kantor pos mempunyai aturan tertentu (dapat disajikan dengan uraian

kata – kata) untuk menentukan C bila w diketahui. Aturan yang

digunakan Perusahaan Pos Amerika Serikat tahun 1998 sebagai

berikut : Biayanya adalah 32 sen untuk berat sampai dengan satu ons,

ditambah 23 sen untuk setiap ons tambahan sampai dengan 11 ons.

d. Kecepatan tegak tanah a yang diukur oleh seismograf selama gempa

adalah fungsi dari waktu terlewat t. Biasanya digunakan grafik yang

menyatakan hubungan antara a dan t.

1.2. Domain dan Kodomain Fungsi

Domain fungsi f yaitu himpunan elemen-elemen di mana fungsi f

mendapat nilai (suatu bilangan real). Himpunan bagian dari B yang

anggota-anggotanya merupakan nilai-nilai yang diperoleh dari fungsi f

disebut range (daerah hasil) dari fungsi f.

Pembicaraan tentang domain dan range memegang peranan

penting dalam fungsi karena hal ini terkait dengan nilai-nilai dimana fungsi

mempunyai makna.

12

t (detik)

a (cm/det2)

f

Domain Range

Keterkaitan antar variabel

Lambang yang menyatakan suatu bilangan sebarang pada domain

f disebut variabel bebas. Sedangkan lambang yang menyatakan bilangan

pada range f disebut variabel terikat. Misalnya dalam empat penyajian

fungsi di atas, apabila fungsi disajikan dalam bentuk rumus eksplisit

berikut A = r2 maka r merupakan variabel bebas, sedangkan A

adalah variabel terikat.

Fungsi bentuk eksplisit adalah fungsi yang variabel bebas dan

variabel terikatnya terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat

maka notasi fungsi bentuk eksplisit ditulis y = f(x).

Contoh :

a. y = 3 sin x + cos x

b. y = x2 - 8 x + 10

Fungsi bentuk implisit adalah fungsi yang variabel bebas dan

variabel terikat letaknya tidak terpisah. Jika x variabel bebas dan y

variabel terikat maka notasi fungsi bentuk implisit ditulis f(x, y) = 0.

Contoh :

a. (x-3) y + 5 x -3 y = 0

13

x

a

f(x)

f(a)

b. x2 – x y2 + 6 x y – 7 x = 0

Fungsi parametrik adalah fungsi yang relasi antara variabel bebas

dan variabel terikatnya disajikan dalam persamaan yang menggunakan

parameter. Jika x variabel bebas, y variabel terikat dan, t parameter maka

notasi bentuk fungsi implisit dapat di tulis sebagai berikut : , t

sebagai parameter

Contoh :

a. , a sebagai parameter

b. , t sebagai parameter

Fungsi y = f(x) merupakan fungsi yang dibentuk dari satu variabel

yakni x, sedangkan fungsi z = f(x, y) adalah fungsi yang dibentuk dari dua

varibel yaitu x dan y.

Contoh :

a. Fungsi satu variabel

y = 3 x – 2

z = sin y + cos y

b. Fungsi dua variabel

z = x3 + 4 x2 y - 8

c = a2 b2 + a b4

14

Apabila sebuah fungsi domainnya tidak dirinci, maka dapat

dianggap bahwa domainnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar

sehingga fungsi tersebut bernilai bilangan real. Domain tersebut disebut

daerah asal alamiah.

Contoh :

a. Tentukan domain dan range f(x) =

b. Tentukan domain dan range g(x) =

Penyelesaian :

a. Domain fungsi f(x) = adalah nilai-nilai x sehingga f(x) bernilai

bilangan real, yaitu himpunan penyelesaian dari 25 - x2 0. Jadi

D(f) = {x R : 25 - x2 0}

= {x R : x2 25 }

= {x R : -5 x 5}.

Range fungsi f adalah nilai y yang diperoleh apabila x berada dalam

D(f). Jadi

R(f) = {y R : y = , -5 x 5} = {y R : 0 y 5}∎

b. Domain fungsi g(x) = adalah nilai-nilai x sehingga g(x) bernilai

real. Fungsi g(x) bernilai real apabila x – 5 0, jadi D(g) = {x R : x

5}.

Range fungsi g(x) adalah R(g) = {y R : y = , x 5}

15

R(g) = {y R : y 10}∎

1.3. Operasi, Komposisi dan Invers Fungsi

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal A dan B. Maka

fungsi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian antara

kedua fungsi itu didefinisikan sebagai berikut :

1. (f + g) (x) = f(x) + g(x) ,daerah asal f + g adalah A B

2. (f – g) (x) = f(x) – g(x) daerah asal f – g adalah A B

3. (f g) (x) = f(x) g(x) daerah asal f g adalah A B

4. ( daerah asal adalah { x A B ; g(x) 0 }

Contoh :

Jika f(x) = dan g(x) = , tentukan f + g, f – g, fg, dan daerah

asalnya

Penyelesaian :

Daerah asal f(x) adalah [0, + ) dan daerah asal g(x) adalah [-2, 2]

sehingga

irisan daerah asal f(x) dan g(x) adalah [0, + ) [-2, 2] = [0, 2].

Jadi menurut definisi diperoleh

(f + g)(x) = + , dan daerah asal : [0, 2].

(f – g)(x) = - , dan daerah asal : [0, 2].

16

(f g)(x) = = , dan daerah asal : [0, 2].

( = = , dan daerah asal : [0, 2) ∎

Komposisi Fungsi

Diberikan fungsi f dan g, fungsi komposit f g (disebut juga

komposisi dari f dan g), didefinisikan oleh

(f g)(x) = f(g(x))

Daerah asal f g adalah himpunan dari semua x di dalam daerah

asal g sedemikian hingga g(x) berada di dalam daerah asal f. Dengan kata

lain, (f g)(x) akan terdefinisi jika g(x) dan f(g(x)) keduanya terdefinisi.

Penjelasan f g dapat dilakukan dengan gambaran diagram mesin

berikut :

x g(x)

f(g(x))

(masukan)

(keluaran) Variabel x sebagai masukan, akan diproses mesin g

dan akan diperoleh hasil g(x), selanjutnya g(x) akan menjadi masukan

bagi mesin f, hasilnya adalah f(g(x))

Contoh :

Jika f(x) = dan g(x) = , tentukan komposisi fungsi berikut daerah

asalnya.

a. f g c. f f

b. g f d. g g

17

g f

Penyelesaian :

a. (f g)(x) = f(g(x)) = f( ) = = .

Daerah asalnya adalah = = (- , 2]

b. (g f)(x) = g(f(x)) = g( ) = .

Agar terdefinisi, maka x 0 dan agar terdefinisi maka 2 -

0, yaitu 2 atau x 4, sehingga daerah asalnya adalah [0, 4].

c. (f f)(x) = f(f(x)) = f( ) = = , dan daerah asalny adalah [0 , ).

d. (g g)(x) = g(g(x)) = g(2 - ) = .

Agar terdefinisi maka 2 – x 0, yaitu x 2 dan agar

terdefinisi maka 2 - 0 , yaitu 2 atau x - 2, sehingga

daerah asalnya adalah [-2, 2] ∎

Melakukan komposisi tiga fungsi atau lebih , misalnya f g h, adalah

dengan memproses masukan pada h terlebih dahulu, selanjutnya hasilnya

diproses pada g, dan terakhir hasil dari proses g diproses pada f,

rumusannya adalah sebagai berikut

(f g h)(x) = f(g(h(x)))

Contoh :

Carilah f g h jika f(x) = , g(x) = x5 dan h(x) = x + 3

Penyelesaian :

(f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x + 3)) = f((x + 3)5) = ∎

Invers Fungsi.

18

Suatu fungsi f memadankan suatu nilai x dalam daerah asalnya A

dengan nilai tunggal y dalam daerah hasilnya B. Untuk suatu nilai y dalam

B diperoleh kembali nilai x yang oleh f itu dipadankan dengan y. Fungsi

yang baru ini, yang memadankan nilai y dengan x, dilambangkan

dengan f -1 dan disebut invers dari f. Daerah asal f -1 adalah B dan

daerah hasilnya adalah A. Lambang f -1 bukan berarti .

Hal ini dapat dituliskan

y = f(x) x = f -1(y)

Contoh :

Tentukan f -1(x) dari f(x) = 2 x + 6

Penyelesaian :

Variabel x dapat dicari dari y = f(x) = 2 x + 6, yaitu x = = f -1(y)

Sehingga f -1(x) = ∎

2.4. Macam-macam Fungsi

Beberapa macam fungsi yang disajikan dalam sub bab ini adalah

fungsi tangga, fungsi gasal, fungsi genap, fungsi aljabar, fungsi logaritma,

dan fungsi eksponensial

Fungsi Tangga

Fungsi tangga adalah fungsi yang terdefinisi secara sepotong-

sepotong Fungsi-fungsi yang sering digunakan adalah dua fungsi yang

19

sangat khusus yaitu fungsi nilai mutlak , dinotasikan | |, dan fungsi

bilangan bulat terbesar, dinotasikan .

Fungsi nilai mutlak disajikan sebagai | x | =

Grafiknya mempunyai sudut tajam pada titik asal. Perhatikan grafik berikut

:

y

-x 0 x

Fungsi bilangan bulat terbesar disajikan sebagai , yaitu bilangan

bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Grafiknya melompat

pada tiap bilangan bulat.

Contoh :

Biaya pengiriman surat C(w) dengan berat w disajikan sebagai berikut.

C(w) =

Jika berat surat w = 1,5 maka C(1,5) = 0,55. Selanjutnya C(2,1) = 0,78,

C(2,7) = 0,78 dan seterusnya

Fungsi Genap dan Fungsi Gasal

20

Fungsi y = f(x) disebut fungsi genap jika f( - x ) = f( x )

Fungsi y = f(x) disebut fungsi gasal jika f( - x ) = - f( x )

Grafik fungsi genap simetris dengan sumbu y, sedangkan grafik fungsi

gasal simetri terhadap titik asal.

Contoh :

a. Apakah f(x) = 3 x6 – 2 x4 + 11 x2 – 5 genap, gasal , atau bukan

keduanya ?

b. Apakah f(x) = x3 – 2 x genap, gasal, atau bukan keduanya ?

Penyelesaian :

a. Karena f(-x) = 3 (-x)6 – 2 (-x)4 + 11 (-x)2 – 5 = 3 x6 – 2 x4 + 11 x2 – 5 =

f(x)

maka f(x) adalah fungsi genap.

b. Karena f(-x) = (-x)3 – 2 (-x) = -x3 + 2 x = -( x3 – 2 x) = - f(x) maka f(x)

adalah fungsi gasal ∎

Fungsi Aljabar

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika dapat dibuat dengan

menggunakan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian,

pembagian dan penarikan akar). Fungsi aljabar dikatakan rasional jika

variabel x tidak terdapat di bawah tanda akar dan dikatakan irrasional jika

x terdapat di bawah tanda akar. Fungsi aljabar dikatakan bulat rasional

jika x tidak terdapat sebagai penyebut dan dikatakan pecah rasional jika

x terdapat sebagai penyebut.

Contoh :

21

a. f(x) = x3 – x2 + 4 x + 1 dan g(x) = x2 + 5 x + 7 adalah fungsi aljabar

bulat rasional

b. f(x) = dan g(x) = adalah fungsi aljabar pecah rasional.

c. f(x) = merupakan fungsi aljabar pecah irrasional, dan g(x) =

adalah fungsi aljabar bulat irrasional.

Fungsi Eksponensial

Fungsi f(x) = 2x disebut fungsi eksponensial karena variabel x

merupakan eksponen. Secara umum fungsi eksponensial adalah fungsi

yang berbentuk

f(x) = ax

Sifat-sifat fungsi eksponensial dirangkum dalam teorema berikut

Teorema :

Jika a > 0 dan a 1, maka f(x) = ax merupakan fungsi kontinu

dengan daerah asal dan daerah hasil (0, ).

Khususnya, ax > 0 untuk setiap x.

Jika 0 < a < 1, f(x) = ax merupakan fungsi turun

Jika a >1, f(x) merupakan fungsi naik.

Jika a, b > 0 dan x , y , maka

1. ax + y = ax + ay

2. a x - y =

22

3. (ax) y = xx y

4. (a b) x = ax bx

Jika a = e bilangan natural maka diperoleh fungsi eksponensial

natural,yaitu

y = ex

Fungsi Logaritma

Fungsi eksponensial f(x) = ax mempunyai invers yang disebut

fungsi logaritma dengan bilangan pokok a, dilambangkan dengan .

Jika digunakan perumusan fungsi invers,

f -1 (x) = y f(y) = x

maka diperoleh

x = y ay = x

sehingga

(ax) = x untuk setiap x

dan

= x untuk setiap x > 0

Sifat fungsi logaritma diberikan dalam teorema berikut.

Teorema :

Jika a > 1, fungsi f(x) = x merupakan fungsi kontinu dan naik

dengan daerah asal (0, ) dan daerah hasil .

Jika x, y > 0 dan r bilangan real sebarang, maka

1. (x y) = x + y

2. (xr) = r x

23

3. ( ) = x – y

Fungsi logaritma dengan bilangan pokok e disebut logaritma natural

dan mempunyai lambang khusus

x = ln x

Dari sifat fungsi logaritma diperoleh

ln x = y e y = x

ln(e x) = x untuk setiap x

e ln x = x untuk setiap x > 0

Untuk x = 1, diperoleh

ln e = 1

Sifat-sifat logaritma Natural

Jika x dan y bilangan positip dan r bilangan rasional, maka

1. ln (x y) = ln x + ln y

2. ln ( ) = ln x – ln y

3. ln (xr) = r ln x

1.5. Grafik Fungsi

Jika daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi merupakan

bilangan real, maka fungsi itu dapat digambarkan grafiknya pada suatu

bidang koordinat. grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x).

24

Dalam hal menggambar grafik, ada dua bentuk grafik yang

digunakan, yaitu sketsa kasar dan sketsa halus. Untuk menentukan

sketsa mana yang akan digunakan, apakah sketsa halus atau kasar, tentu

tergantung dari kebutuhan. Jika yang dibutuhkan hanya pola hubungan

antar variabel, cukup digunakan sketsa kasar, tetapi jika akan digunakan

untuk memprediksi nilai data pada titik tertentu, tentu saja sketsa halus

yang dibutuhkan.

Jika bentuk fungsi belum diketahui dan yang diketahui hanya

sekumpulan datanya, maka untuk menentukan bentuk fungsinya, terlebih

dahulu diprediksi bentuk fungsi tersebut. Selanjutnya dengan

menggunakan data-data yang tersedia, kemudian dicari konstanta-

konstanta yang belum diketahui. Untuk menentukan konstanta-konstanta

tersebut sering digunakan metode kuadrat terkecil dan hal ini akan

dibahas pada saat pembahasan turunan, sedangkan pada pembahasan

ini akan digunakan pendekatan kasar.

Contoh :

a. Sketsa grafik y = x

b. Sketsa grafik y = x2 – 3 x + 2

Penyelesaian :

a. Jika diambil beberapa nilai x akan diperoleh pula beberapa nilai y

berikut

x y = x

-2

-1

2

1

25

0

1

2

0

1

2

Sehingga grafiknya adalah

b. Grafik untuk fungsi kuadrat di atas berupa parabola yang terbuka ke

atas. Untuk menggambarkan grafik y = x2 – 3 x +2, maka dilakukan

langkah-langkah sebagai berikut :

Titik potong dengan sumbu x, y = 0

x2 – 3 x +2 = 0

(x – 1) (x – 2) = 0

x = 1 atau x = 2

Titik potong dengan sumbu x adalah (2, 0) dan (1, 0).

Titik potong dengan sumbu y, x = 0

y = 02 – 3.0 + 2 = 2

Titik potong dengan sumbu y adalah (0, 2)

Sumbu simetri y =

Karena a = 1 > 0, maka grafik terbuka ke atas .

26

Transformasi fungsi.

Dengan menerapkan transformasi tertentu pada grafik fungsi yang

diketahui akan dapat diperoleh grafik baru yang berkaitan. Ada dua

transformasi fungsi yang dapat digunakan untuk mendapatkan grafik

baru , yaitu

1. Pergeseran (translasi) tegak dan mendatar.

Misalkan c > 0. untuk memperoleh grafik

y = f(x) + c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke atas

y = f(x) – c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah

y = f(x + c), geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kiri

y = f(x – c), geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kanan

2. Peregangan dan pencerminan tegak dan mendatar.

Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik

y = c f(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c

27

y = (1/c) f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor

c

y = f(c x), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor

c

y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor

c

y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu x

y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu y

Terapan Fungsi (Model Matematika)

Model matematika adalah uraian secara matematika (seringkali

menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata.

Beberapa contoh penerapan model matematika adalah pemodelan

pertumbuhan populasi, permintaan untuk suatu barang, kecepatan benda

jatuh, konsentrasi zat hasil pada reaksi kimia, harapan hidup seseorang

pada waktu lahir, atau biaya reduksi emisi. Tujuan model adalah

memahami suatu fenomena dan membuat prakiraan tentang perilaku

fenomena tersebut pada masa depan.

Tahapan – tahapan permodelan matematika adalah :

1. Bila diberikan suatu persoalan dunia nyata, pahami persoalan tersebut

dengan seksama.

2. Rumuskan model matematika dengan cara mengenali dan

menentukan variabel bebas dan variabel terikat, membuat asumsi yang

28

menyederhanakan permasalahan. Selanjutnya, dengan bekal

pengetahuan tentang situasi fisik dan ketrampilan matematika, dapat

dibentuk persamaan yang mengaitkan variabel – variabel tersebut.

3. Dengan penerapan pengetahuan matematika pada model matematika

dapat dirumuskan kesimpulan secara matematis. Selanjutnya,

kesimpulan matematis tersebut ditafsirkan sebagai informasi tentang

fenomena dunia nyata semula dengan cara menyodorkan penjelasan

atau membuat perkiraan.

4. Langkah terakhir adalah validasi model, yaitu membandingkan hasil

prakiraan model dengan fenomena mula – mula. Bila hasil prakiraan

model mendekati fenomena mula – mula, maka model dapat dikatakan

valid. Jika tidak, model tersebut perlu diperbaiki.

Model matematika tidak pernah merupakan pernyataan akurat

secara lengkap dari situasi fisik, melainkan merupakan pengidealan (yaitu

dengan memberlakukan asumsi – asumsi tertentu). Model yang baik

menyederhanakan kenyataan (fenomena) sekedar untuk memungkinkan

kalkulasi matematika, tetapi cukup akurat untuk memberikan kesimpulan

yang berharga.

Model Linier

Bila hasil ploting grafik antara variabel terikat dan variabel bebas

menunjukkan pola garis lurus, maka cukup masuk akal untuk mengatakan

bahwa y merupakan fungsi linier dari x. Secara matematis, hal ini dapat

dinyatakan dengan y = f(x) = m x + b.

29

Contoh :

a. Ketika udara kering bergerak ke atas, ia memuai dan mendingin. Jika

suhu permukaan tanah adalah 20 o C dan suhu pada ketinggian 1 km

adalah 10 oC. Nyatakan suhu T ( dalam o C ) sebagai fungsi tinggi h

(dalam km) dengan anggapan bahwa suatu model linier sudah

memadai. Dan gambarkan grafik fungsi di atas.

Penyelesaian :

Karena dianggap bahwa T merupakan fungsi linier h, maka dapat ditulis

T = m h + b

Pada waktu h = 0 diperoleh T = 20, sehingga

20 = m . 0 + b = b

Pada waktu h = 1, T = 10, sehingga

10 = m . 1 + 20

kemiringan garis adalah m = -10 dan fungsi yang diperoleh

T = -10 h + 20

Grafiknya berupa sketsa kasar

30

b. Tabel di bawah ini berasal dari percobaan laktonisasi asam

hidroksivaleri pada suhu 250 C. Tabel menunjukkan konsentrasi C(t)

dari asam ini (dalam mol perliter) setelah t menit.

T 0 2 4 6 8

C(t) 0,0800 0,0570 0,0408 0,0295 0,0210

Sketsa grafiknya dan perkirakan nilai C(3), C(5), dan C(7)

Penyelesaian :

Diasumsikan fungsinya berbentuk garis lurus dan melalui titik ((4,

0.0408) dan (8, 0.0210), maka persamaan fungsinya adalah

C(t) = - 0,0198 t + 0,2424

Sehingga dengan memasukkan nilai t pada persamaan ini akan

diperoleh nilai C(t) yang diinginkan.

C(3) = 0,183 ; C(5) = 0,1434 ; C(7) = 0,1038 ∎

Latihan 2.

Bagian Soal yang berkaitan

2.1

2.3

2.4

2.4

2.5

1 sampai 10

11 sampai 38

39 sampai 48

49 sampai 63

59 sampai 61

31

Untuk soal nomor 1 sampai dengan 10, carilah domain dan range dari

fungsi f

1. f(x) = 6. f(x) =

2. f(x) = 7. f(x) =

3. f(x) = 8. f(x) = |x| + x

4. f(x) = 9. f(x) = |2 x + 3|

5. f(x) = 10. f(x) =

Untuk soal nomor 11 sampai dengan 15, tentukan f + g, f – g , f g ,

dan daerah asalnya.

11. f(x) = x3 + 2 x2, g(x) = 3 x2 – 1

12. f(x) = , g(x) =

13. f(x) = , g(x) =

14. f(x) = x2 + x , g(x) =

15. f(x) = x – , g(x) = x2 + 1

16. Jika f(x) = x2 + x , g(x) = , carilah (f – g)(2), ( )(1), g2(3)

17. Jika f(x) = , g(x) = , carilah f 4(x) + g 4(x)

18. f(x) = x – , g(x) = x2 + 1 , carilah f 3(-1), f 2(2) + g 2(2)

32

Untuk soal nomor 19 sampai dengan 22, tentukan (a). f g , (b). g f,

(c). f f, (d). g g dan daerah asalnya

19. f(x) = , g(x) = x2

20. f(x) = , g(x) = x3 + 2 x

21. f(x) = , g(x) =

22. f(x) = , g(x) =

Untuk soal nomor 23 dan 24, tentukan f g h jika

23. f(x) = x – 1, g(x) = , h(x) = x – 1

24. f(x) = , g(x) = x3, h(x) = x2 + 2

25. Tentukan f dan g sedemikian hingga g f =

26. Tentukan f dan g sedemikian hingga f g =

Untuk nomor 27 dan 28, tentukan f, g dan h sedemikian hingga

27. f g h = 1 -

28. f g h =

Untuk soal nomor 29 sampai dengan 38, tentukan f -1(x) dari

29. f(x) = - + 5 30. f(x) = -

31. f(x) = 5 – 4 x3 35. f(x) =

32. f(x) = (x – 4)3 36. f(x) =

33. f(x) = x3/2 37. f(x) =

33

34. f(x) = 38. f(x) =

Untuk soal nomor 39 sampai dengan 48, nyatakan apakah fungsi yang

diberikan genap, gasal, atau bukan keduanya

39. f(x) = 3 x2 + 2 x -1 44. f(x) =

40. f(x) = 45. f(x) =

41. f(x) = 46. f(x) =

42. f(x) = 47. f(x) = | 2 x2 + 2|

43. f(x) = 2 x5 – 3 x3 + x 48. f(x) = - | x + 3 |

Untuk soal nomor 49 sampai dengan 58, gambarkan grafiknya

49. f(x) = 3 x + 6 52.

50. f(x) = 2 x2 – 4 x + 2 53. f(x) = e x + 1

51. y = log x 54. f(x) =

55. 57.

56. y = ln (x + 1) 58. f(x) = e x + 1

59. Perusahaan F harus mengeluarkan biaya 20.000 + 1000 x untuk

membuat x tempat obat yang dijual dengan harga Rp 2 000,00 per

buah.

a. Carilah rumus untuk P(x), yaitu keuntungan total dalam membuat x

buah tempat obat.

34

b. Hitung P(200) dan P(2000).

c. Berapa tempat obat yang harus dibuat agar mencapai titik impas.

60. Kotak tanpa tutup dibuat dari selembar seng berebentu persegi

panjang berukuran 12 cm x 20 cm, dengan cara membuang persegi

dengan panjang sisi x cm pada setiap pojoknya dan melipat sisi-

sisinya ke atas. Nyatakan isi kotak sebagai fungsi dari x.

61. Tabel di bawah memuat rata-rata tingkat karbon dioksida di atmosfir, diukur dalam “ppm-

parts per million” di Mauna Loa Observatory sejak th 1972 sampai th. 1990.

Tahun 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990

Tk.CO2 327,3 330,0 332,0 335,3 338,5 341,0 343,3 347,0 351,3 354,0

a. Plot grafik tingkat CO2 sebagai fungsi waktu

b. Taksir bentuk fungsinya

c. Dengan menggunakan hasil b carilah tingkat CO2 pada th. 1985

dan th. 2003

@@@

35