Upload
dinhhuong
View
305
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
40
BAB 6 : GEOMETRI KOORDINAT
Sesi 1
Jarak dan titik tengah antara dua titik
𝑦
𝐵(𝑥2, 𝑦2)
𝐴(𝑥1, 𝑦1)
𝑥
Jarak 𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Titik tengah 𝐴𝐵 = (𝑥1+𝑥2
2,
𝑦1+𝑦2
2)
Contoh 1
Cari jarak di antara titik 𝑃(−6 , −2) dan titik 𝑄(6 , 3).
Penyelesaian
Jarak 𝑃𝑄 = √(6 + 6)2 + (3 + 2)2
= √122 + 52
= √144 + 25
= √169
= 13 unit
Contoh 2
Jarak di antara titik 𝐴(−4 , 2) dan titik 𝐵(2 , 𝑘) ialah 10 unit. Cari nilai-nilai 𝑘.
Penyelesaian
Jarak 𝐴𝐵 = 10
√(2 + 4)2 + (𝑘 − 2)2 = 10
√62 + (𝑘 − 2)2 = 10
62 + (𝑘 − 2)2 = 100
36 + (𝑘 − 2)2 = 100
(𝑘 − 2)2 = 100 − 36
(𝑘 − 2)2 = 64
𝑘 − 2 = ±√64
𝑘 − 2 = ±8
41
⇒ 𝑘 − 2 = 8 atau 𝑘 − 2 = −8
𝑘 = 10 𝑘 = −6
Contoh 3
Cari koordinat titik tengah 𝑀 bagi garis lurus yang menyambungkan titik 𝑃(−7 , 5) dan
𝑄(3 , 1).
Penyelesaian
𝑀 = (−7+3
2 ,
5+1
2)
= (−4
2 ,
6
2)
= (−2 , 3)
Contoh 4
Titik tengah bagi 𝐴(ℎ , −2) dan 𝐵(−6 , 𝑘) ialah (−1 , 3). Cari nilai ℎ dan 𝑘.
Penyelesaian
Titik tengah 𝐴𝐵 = (−1 , 3)
(ℎ−6
2 ,
−2+𝑘
2) = (−1 , 3)
⇒ℎ−6
2=
ℎ − 6 = −2
ℎ =
∴−2+𝑘
2=
−2 + 𝑘 = 6
𝑘 =
42
Sesi 2
Koordinat titik yang membahagikan tembereng garis dengan nisbah 𝒎: 𝒏
𝑦
𝐵(𝑥2, 𝑦2)
𝑛
𝑚
𝑃(𝑥, 𝑦)
𝐴(𝑥1, 𝑦1)
𝑥
Contoh 1
Titik 𝐴(1 , −2), 𝑃 dan 𝐵(4 , 7) terletak pada suatu garis lurus. Jika 𝑃 membahagikan 𝐴𝐵
dengan nisbah 2: 1, cari koordinat 𝑃.
Penyelesaian
𝐵(4,7)
1
𝑃
2
𝐴(1, −2)
𝑃 = (2(4)+1(1)
2+1 ,
2(7)+1(−2)
2+1)
= (8+1
3 ,
14−2
3)
= (9
3 ,
12
3)
= ( , )
Contoh 2
Titik 𝐴(7 , −5), 𝑃(3 , −1) dan 𝐵 terletak pada satu garis lurus. Jika 𝑃 membahagikan 𝐴𝐵
dengan nisbah 2: 3, cari koordinat 𝐵.
𝑃(𝑥 , 𝑦) = (𝑛𝑥1 + 𝑚𝑥2
𝑚 + 𝑛 ,
𝑛𝑦1 + 𝑚𝑦2
𝑚 + 𝑛)
43
Penyelesaian
𝐵(𝑥, 𝑦)
3
𝑃(3, −1)
2
𝐴(7, −5)
Katakan 𝐵(𝑥 , 𝑦)
(3(7)+2𝑥
3+2 ,
3(−5)+2𝑦
3+2) = (3 , −1)
(21+2𝑥
5 ,
−15+2𝑦
5) = (3 , −1)
⇒21+2𝑥
5= 3
21 + 2𝑥 =
2𝑥 = −6
𝑥 =
∴−15+2𝑦
5=
−15 + 2𝑦 = −5
2𝑦 = 10
𝑦 =
⇒ 𝐵(−3 , 5)
Contoh 3
Titik 𝐿(𝑝 , 3) membahagikan 𝐾𝑀 dengan nisbah 𝑚: 𝑛. Koordinat 𝐾 dan 𝑀 masing-masing
ialah (−10 , 6) dan (−2 , −6). Cari
a) 𝑚: 𝑛 ,
b) nilai 𝑝
Penyelesaian
𝐾(−10, 6)
𝐿(𝑝, 3)
𝑀(−2, −6)
44
a) (𝑚(−2)+𝑛(−10)
𝑚+𝑛 ,
𝑚(−6)+𝑛(6)
𝑚+𝑛) = (𝑝 , 3)
(−2𝑚−10𝑛
𝑚+𝑛 ,
−6𝑚+6𝑛
𝑚+𝑛) = (𝑝 , 3)
−6𝑚+6𝑛
𝑚+𝑛=
−6𝑚 + 6𝑛 = 3𝑚 + 3𝑛
−6𝑚 − 3𝑚 = 3𝑛 − 6𝑛
−9𝑚 = −3𝑛
𝑚
𝑛=
𝑚
𝑛=
⇒ 𝑚: 𝑛 = ∶
b) 𝑝 =−2𝑚−10𝑛
𝑚+𝑛
=−2(1)−10(3)
1+3
=−2−30
4
=
45
Sesi 3
Luas segitiga
𝑦
𝐴(𝑥1, 𝑦1)
𝐵(𝑥2, 𝑦2)
𝐶(𝑥3, 𝑦3)
𝑥
Luas ∆𝐴𝐵𝐶
=1
2|𝑥1 𝑥2 𝑥3
𝑦1 𝑦2 𝑦3
𝑥1
𝑦1|
=1
2|𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦3 + 𝑥3𝑦1 − 𝑦1𝑥2 − 𝑦2𝑥3 − 𝑦3𝑥1|
Contoh 1
Cari luas segitiga 𝑃𝑄𝑅 dengan 𝑃, 𝑄 dan 𝑅 masing-masing ialah (5 , −2), (3 , 4) dan
(−6 , −1).
Penyelesaian
Luas ∆𝑃𝑄𝑅
=1
2|20 + (−3) + 12 − (−6) − (−24) − (−5)|
=1
2|20 − 3 + 12 + 6 + 24 + 5|
=1
2|64|
=1
2( )
= 𝑢𝑛𝑖𝑡2
Contoh 2
Diberi titik (−2 , −1), (2 , 𝑘) dan (10 , 5) adalah segaris, cari nilai 𝑘.
Penyelesaian
1
2|−2 2 10−1 𝑘 5
−2−1
| = 0
1
2|−2𝑘 + 10 + (−10) − (−2) − 10𝑘 − (−10)| = 0
1
2|−2𝑘 + 10 − 10 + 2 − 10𝑘 + 10| = 0
46
1
2|−12𝑘 + 12| = 0
|−12𝑘 + 12| = 0
−12𝑘 + 12 = 0
−12𝑘 = −12
∴ 𝑘 = 1
Contoh 3
Titik-titik (−1 , −3), (5 , 𝑘) dan (−4 , −1) ialah bucu-bucu sebuah segitiga. Diberi luas
segitiga itu ialah 15 𝑢𝑛𝑖𝑡2, cari nilai-nilai 𝑘.
Penyelesaian
1
2|−1 5 −4−3 𝑘 −1
−1−3
| = 15
1
2|−𝑘 + (−5) + 12 − (−15) − (−4𝑘) − 1| = 15
1
2|−𝑘 − 5 + 12 + 15 + 4𝑘 − 1| = 15
1
2| | = 15
|3𝑘 + 21| = 30
⇒ 3𝑘 + 21 = atau 3𝑘 + 21 =
3𝑘 = 3𝑘 =
𝑘 = 𝑘 =
47
Sesi 4
Pintasan-𝒙 dan pintasan-𝒚
𝑦
𝐵(0, 3)
𝐴(2, 0)
𝑥
Pintasan-𝑥 = 2
Pintasan-𝑦 = 3
Kecerunan garis lurus
𝑦
𝑄(𝑥2, 𝑦2)
𝑃(𝑥1, 𝑦1)
𝑥
Kecerunan, 𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
Juga, 𝑚 = − (𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛−𝑦
𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛−𝑥)
Contoh 1
Cari kecerunan garis lurus yang menyambungkan titik 𝑅(−5 , 6) dan titik 𝑆(−4 , −2).
Penyelesaian
𝑚𝑅𝑆 =−2−6
−4−(−5)
=−8
1
= −8
48
Contoh 2
Kecerunan bagi garis yang menyambungkan titik (−2 , 𝑘) dan (1 , 9) ialah 2. Cari nilai 𝑘.
Penyelesaian
𝑚 = 2 9−𝑘
1+2= 2
9−𝑘
3= 2
9 − 𝑘 =
−𝑘 = −3
𝑘 =
Contoh 3
Diberi titik (−1 , −2), (2 , 𝑘) dan (4 , 8) terletak pada satu garis lurus. Cari nilai 𝑘.
Penyelesaian
(4, 8)
(2, 𝑘)
(−1, −2)
𝑚1 =8−(−2)
4−(−1)
=10
5
=
𝑚2 =8−𝑘
4−2
=8−𝑘
2
𝑚1 = 𝑚2
=8−𝑘
2
4 = 8 − 𝑘
−4 = −𝑘
∴ 𝑘 = 4
49
Contoh 4
𝑦
𝐴
𝑥
-5
𝐵
Cari kecerunan garis lurus 𝐴𝐵.
Penyelesaian
𝑚 =−(−5)
−2
=5
−2
= −5
2
-2 0
50
Sesi 5
Persamaan garis lurus
1. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
2. Bentuk pintasan : 𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏= 1, dengan 𝑎 ialah pintasan-𝑥,
𝑏 ialah pintasan-𝑦
3. Bentuk am :
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Contoh 1
Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (7 , −2) dan mempunyai kecerunan −1
3.
Penyelesaian
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − (−2) = −1
3(𝑥 − 7)
𝑦 + 2 = −1
3𝑥 +
7
3
𝑦 = −1
3𝑥 +
7
3−
6
3
𝑦 = −1
3𝑥 +
1
3
3𝑦 = −𝑥 + 1
Contoh 2
Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (−3 , 5) dan (1 , −7).
Penyelesaian
𝑚 =−7−5
1+3
=−12
4
= −3
𝑦 − 5 = −3(𝑥 + 3)
𝑦 − 5 = −3𝑥 − 9
𝑦 = −3𝑥 − 4
51
Contoh 3
Cari persamaan garis lurus dengan pintasan-𝑥 dan pintasan-𝑦 masing-masing ialah 2 dan −6.
Penyelesaian
𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏= 1
𝑥
2+
𝑦
(−6)= 1
𝑥
2−
𝑦
6= 1
Contoh 4
Tukarkan persamaan berikut kepada bentuk am.
a) 𝑦 =2
3𝑥 − 2
b) 𝑥
6+
𝑦
12= 1
Penyelesaian
a) 𝑦 =2
3𝑥 − 2
(× 3) ∶ 3𝑦 = 2𝑥 − 6
0 = 2𝑥 − 3𝑦 − 6
2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0
b) 𝑥
6+
𝑦
12= 1
(× 12) ∶ (12) (𝑥
6) + (12) (
𝑦
12) = (12)(1)
2𝑥 + 𝑦 = 12
2𝑥 + 𝑦 − 12 = 0
52
Sesi 6
Kecerunan dan pintasan garis lurus
Contoh 1
Cari kecerunan dan pintasan-𝑦 bagi yang berikut :
a) 3𝑥 + 4𝑦 = 2
b) 𝑦 − 5 = 2𝑥
Penyelesaian
a) 3𝑥 + 4𝑦 = 2
4𝑦 = −3𝑥 + 2
𝑦 =−3𝑥
4+
2
4
𝑦 =−3𝑥
4+
1
2
⇒ 𝑚 =−3
4
𝑐 =1
2
b) 𝑦 − 5 = 2𝑥
𝑦 = 2𝑥 + 5
⇒ 𝑚 =
𝑐 =
Contoh 2
Tulis persamaan garis lurus berikut dalam bentuk pintasan. Seterusnya, cari pintasan-𝑥,
pintasan-𝑦 dan kecerunan garis lurus tersebut.
a) 𝑥 − 𝑦 = 2
b) 𝑦 = 8 − 4𝑥
c) 𝑦 − 2𝑥 = 4
d) 2𝑦 = 5𝑥 + 10
Penyelsaian
a) 𝑥 − 𝑦 = 2
(÷ 2) ∶𝑥
2−
𝑦
2= 1
𝑥
2+
𝑦
(−2)= 1
∴ 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑥 = 2
𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑦 = −2
53
𝑚 =−(−2)
2
=2
2
= 1
b) 𝑦 = 8 − 4𝑥
4𝑥 + 𝑦 = 8
(÷ 8):4
8𝑥 +
𝑦
8=
8
8
𝑥
2+
𝑦
8= 1
∴ 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑥 =
𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑦 =
𝑚 =
=
c) 𝑦 − 2𝑥 = 4
(÷ 4):𝑦
4−
2
4𝑥 =
4
4
𝑦
4−
𝑥
2= 1
−𝑥
2+
𝑦
4= 1
𝑥
(−2)+
𝑦
4= 1
∴ 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑥 =
𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑦 =
𝑚 =
=
d) 2𝑦 = 5𝑥 + 10
−10 = 5𝑥 − 2𝑦
5𝑥 − 2𝑦 = −10
(÷ −10):5
−10𝑥 −
2
−10𝑦 =
−10
−10
𝑥
(−2)+
𝑦
5= 1
∴ 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑥 = −2
𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑦 = 5
𝑚 =−5
−2
=5
2
54
Titik persilangan dua garis
Contoh
Cari titik persilangan bagi garis lurus 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 dan 2𝑥 + 𝑦 = 3.
Penyelesaian
𝑥 + 2𝑦 + 3 = 1 1
2𝑥 + 𝑦 = 3 2
Daripada 2 :
2𝑥 + 𝑦 = 3
𝑦 = 3 − 2𝑥 3
Gantikan 3 ke dalam 1 :
⇒ 𝑥 + 2(3 − 2𝑥) + 3 = 0
𝑥 + 6 − 4𝑥 + 3 = 0
−3𝑥 + 9 = 0
−3𝑥 = −9
𝑥 = 3
⇒ 𝑦 = 3 − 2(3)
= 3 − 6
= −3
Titik persilangan ialah ( , )
55
Sesi 7
Garis selari
Garis lurus 𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑐1 adalah selari dengan garis lurus 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑐2 jika dan hanya jika
𝑚1 = 𝑚2.
Contoh 1
Tentukan sama ada 𝑥
3+
𝑦
2= 1 dan 9𝑦 + 6𝑥 = 5 selari atau tidak.
Penyelesaian
𝑥
3+
𝑦
2= 1
𝑚1 =−𝑦
𝑥
=−2
3
= −2
3
9𝑦 + 6𝑥 = 5
9𝑦 = −6𝑥 + 5
𝑦 =−6
9𝑥 +
5
9
𝑦 =−2
3𝑥 +
5
9
𝑚2 = −2
3
𝑚1 = 𝑚2
⇒ Selari
Contoh 2
Diberi bahawa garis lurus 2𝑦 + 4𝑥 = 5 adalah selari dengan garis lurus 𝑦 = −𝑘
3𝑥 − 4. Cari
nilai 𝑘.
Penyelesaian
2𝑦 + 4𝑥 = 5
2𝑦 = −4𝑥 + 5
𝑦 =−4
2𝑥 +
5
2
𝑦 = −2𝑥 +5
2
56
𝑚1 = −2
𝑦 =−𝑘
3𝑥 − 4
𝑚2 =−𝑘
3
𝑚1 = 𝑚2
⇒ −2 =−𝑘
3
−6 = −𝑘
𝑘 = 6
Contoh 3
Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (−3 , 6) dan selari dengan garis 2𝑥 − 4𝑦 = 3.
Penyelesaian
2𝑥 − 4𝑦 = 3
2𝑥 − 3 = 4𝑦
4𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑦 =1
2𝑥 −
3
4
⇒ 𝑚 =
𝑦 − 6 =1
2(𝑥 + 3)
𝑦 − 6 =1
2𝑥 +
3
2
(× 2): 2𝑦 − 12 = 𝑥 + 3
0 = 𝑥 − 2𝑦 + 15
𝑥 − 2𝑦 + 15 = 0
57
Sesi 8
Garis serenjang
Dua garis lurus dengan kecerunan 𝑚1 dan 𝑚2 adalah berserenjang jika dan hanya jika
𝑚1𝑚2 = −1.
Contoh 1
Tentukan sama ada garis 𝑥
3+
𝑦
2= 1 dan 5𝑦 − 3𝑥 = 10 berserenjang atau tidak.
Penyelesaian
𝑥
3+
𝑦
3= 1
⇒ 𝑚1 =−2
3
5𝑦 − 3𝑥 = 10
5𝑦 = 3𝑥 + 10
𝑦 =3
5𝑥 + 2
𝑚2 =3
5
𝑚1𝑚2 =−2
3(
3
5)
=−6
15
= −2
5
⇒ Tidak berserenjang.
Contoh 2
Diberi garis lurus 𝑘
2𝑥 + 𝑦 = 7 berserenjang dengan garis lurus 5𝑥 + 10𝑦 = 3. Cari nilai 𝑘.
Penyelesaian :
𝑘
2𝑥 + 𝑦 = 7
𝑦 = −𝑘
2𝑥 + 7
𝑚1 = −𝑘
2
5𝑥 + 10𝑦 = 3
10𝑦 = −5𝑥 + 3
𝑦 = −5
10𝑥 +
3
10
58
𝑚2 = −5
10
𝑚1𝑚2 = −1
−𝑘
2(−
5
10) = −1
𝑘
4= −1
∴ 𝑘 = −4
Contoh 3
Cari persamaan garis lurus yang melalui (−1 , 2) dan berserenjang dengan garis 3𝑥 − 2𝑦 = 7
Penyelesaian
3𝑥 − 2𝑦 = 7
−2𝑦 = −3𝑥 + 7
𝑦 =3
2𝑥 −
7
2
𝑚1𝑚2 = −1 3
2𝑚2 = −1
𝑚2 = −1 ×2
3
𝑚2 = −2
3
𝑦 − 2 = −2
3(𝑥 + 1)
(× 3) ∶ 3𝑦 − 6 = −2(𝑥 + 1)
3𝑦 − 6 = −2𝑥 − 2
2𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0
Contoh 4
Diberi 𝐴(3 , −6) dan 𝐵(−2 , 4). Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang 𝐴𝐵.
Penyelesaian
𝑚𝐴𝐵 =4+6
−2−3
=10
−5
= −2
−2𝑚2 = −1
𝑚2 =−1
−2
=1
2
59
Titik tengah 𝐴𝐵 = (3−2
2 ,
−6+4
2)
= (1
2 , 1)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 + 1 =1
2(𝑥 −
1
2)
𝑦 + 1 =1
2𝑥 −
1
4
(× 4) ∶ 4𝑦 + 4 = 2𝑥 − 1
4𝑦 = 2𝑥 − 5
𝑦 =1
2𝑥 −
5
4
Sesi 9
Lokus
Contoh 1
Cari persamaan lokus bagi titik 𝑃 yang bergerak supaya jaraknya dari titik 𝐴(2 , 4) sentiasa
2 unit.
Penyelesaian
Katakan 𝑃 ialah (𝑥 , 𝑦),
𝑃𝐴 = 2
√(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 2
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 4
𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 − 4 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 16 = 0
Contoh 2
Titik 𝐴 ialah (0 , 1) dan 𝐵(3 , 4). Titik 𝑃 bergerak dengan keadaan 𝑃𝐴: 𝑃𝐵 = 1: 2. Cari
persamaan lokus titik 𝑃.
60
Penyelesaian
Katakan 𝑃 ialah (𝑥 , 𝑦),
𝑃𝐴: 𝑃𝐵 = 1: 2 𝑃𝐴
𝑃𝐵=
1
2
2𝑃𝐴 = 𝑃𝐵
⇒ 2√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 1)2 = √(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2
4[(𝑥)2 + (𝑦 − 1)2] = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2
4(𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1) = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16
4𝑥2 + 4𝑦2 − 8𝑦 + 4 = 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 + 25
3𝑥2 + 3𝑦2 + 6𝑥 − 21 = 0
(÷ 3) ∶ 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 7 = 0