Bab 10 - Estimasi Proporsim

7/25/2019 Bab 10 - Estimasi Proporsim

1/30

SAMPLING BERKELOMPOK (III):

ESTIMASI DARI PROPORSI

MAKALAH

disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Teori Sampling

Disusun Oleh

Gina Safitri (1200114)

DEPARTMEN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

2015


2/30


3/30

i

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang

berkat rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah yangberjudul Sampling

Berkelompok (III): Estimasi dari Proporsi. Makalah ini disusun unuk memenuhi

tugas mata kuliah teori sampling.

Secara umum makalah ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana

penarikan sampel berkelompok dengan estimasi dari proporsi.Dalam penyusunan makalah ini tidak terlepas dari bantuan banyak pihak.

Oleh sebab itu penulis menyampaikan terimakasih kepada Bapak Drs. Nar

Herrhyanto, M.Pd. selaku dosen mata kuliah Teori Sampling yang telah

membimbing penyusun.

Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh

karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari

para pembaca demi perbaikan selanjutnya. Semoga makalah ini dapat bermanfaatbagi penulis khususnya dan bagi para pembaca pada umumnya.

Bandung, 7 November 2015

Penulis


4/30

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR i

DAFTAR ISI ........................................................................................................... ii

BAB I ...................................................................................................................... 1

PENDAHULUAN .................................................................................................. 1

1.1 Latar Belakang ......................................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah .................................................................................... 1

1.3 Batasan Masalah ....................................................................................... 2

1.4 Tujuan ....................................................................................................... 2

1.5 Manfaat ..................................................................................................... 2

1.6 Sistematika Penulisan ............................................................................... 2

BAB II ..................................................................................................................... 4

KAJIAN PUSTAKA ............................................................................................... 4

2.1 Pengantar .................................................................................................. 42.2 Estimasi Proporsi Populasi ....................................................................... 5

2.3 Varians dari ......................................................................................... 112.4 Estimasi dari ..................................................................................... 152.5 Sampling Berkelompok dengan pps untuk Proporsi .............................. 22

BAB III ................................................................................................................. 25

KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................................. 25

3.1 Kesimpulan ................................................................................................. 25

3.2 Saran ............................................................................................................ 25

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 26


5/30

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teknik sampling adalah bagian dari metodelogi statistika yang berhubungan

dengan pengambilan dari sebagian observasi individu. Jika sampling dilakukan

dengan metode yang tepat, analisis statistik dari suatu sampel dapat digunakan

untuk menggeneralisasikan keseluruhan populasi.

Metode sampling banyak menggunakan teori probabilitas dan teori

statistika. Penarikan sampel merupakan suatu praktek statistik yang berhubungan

dengan pemilihan observasi individual yang ditujukan untuk memahami populasi

terkait, khususnya untuk kepentingan perhitungan statistik insferensial. Salah satu

metode penarikan sampel adalah dengan metode sampling berkelompok.

Metode sampling berkelompokhampir sama dengan metode sampling acak

berstrata. Perbedaannya hanya terletak pada unit sampling yang digunakan.

Penarikan sampel pada metode ini tidak langsung ke elemen, tetapi lebih dahulu

melalui kelompok elemen yang selanjutnya disebut unit sampling. Subunit-subunit

dikelompokkan ke dalam dua kelas dan kita perkirakan proporsi yang terletak pada

kelas pertama ataupun kelas kedua. Untuk mengetahui perbandingan proporsi

kelas-kelas tersebut maka dicarilah masing-masing taksiran proporsi dari kelas

tersebut.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas, maka rumusan masalah yang akan dibahas pada

makalah ini adalah sebagai berikut:

1) Bagaimana estimator proporsi?

2) Bagaimana varians dari estimator proporsi [()]?3)

Bagaimana estimator dari ()?4) Bagaimana penggunaan pengambilan data berkelompok dengan probabilitas

proporsional dengan ukuran untuk proporsi?


6/30

2

1.3 Batasan Masalah

Dalam makalah ini, masalah yang dibahas akan dibatasi untuk Sampling

Berkelompok (III): Estimasi dari Proporsi.

1.4 Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari penulisan makalah ini

adalah:

1) Untuk mengetahui estimator proporsi

2) Untuk mengetahui varians dari estimator proporsi

[()]

3)

Untuk mengetahui estimator dari ()4) Untuk mengetahui penggunaan pengambilan data berkelompok dengan

probabilitas proporsional dengan ukuran untuk proporsi.

1.5 Manfaat

Makalah ini tentunya diharapkan dapat memberikan banyak manfaat, baik

bagi mahasiswa maupun bagi kalangan lainnya. Bagi mahasiswa, makalah ini

merupakan media untuk menambah pengetahuan baru. Sedangkan untuk kalangan

lainnya, makalah ini merupakan sumber bacaan untuk meningkatkan kemampuan

diri dalam menggali dan mengembangkan ilmu, serta memberikan motivasi untuk

melakukan penelitian, khususnya di bidang statistika.

1.6 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan yang digunakan dalam makalah ini adalah sebagai

berikut:

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang

1.2Rumusan Masalah

1.3

Batasan Masalah


7/30

3

1.4

Tujuan

1.5Manfaat

1.6Sistematika Penulisan

BAB II KAJIAN PUSTAKA

2.1

Pengantar

2.2Estimator Proporsi

2.3

Varians dari estimator proporsi

2.4Estimator dari

()

2.5

Pengambilan data berkelompok dengan probabilitas proporsional

dengan ukuran untuk proporsi

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan

3.2 Saran

DAFTAR PUSTAKA


8/30

4

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

2.1 Pengantar

Proporsi pada sampling berkelompok tidak jauh berbeda dengan

menentukan proporsi pada bagian sebelumnya. Proporsi membagi sampel atau

populasi menjadi dua kelas, misalkan kelas bernilai 1 untuk kelas yang memiliki

karakterisitik, dan kelas bernilai 0 untuk yang lainnya. Sampling berkelompok

sederhana untuk proporsi akan dijelaskan pada bagian ini, tetapi yang cukup sering

digunakan adalah teknik lain, seperti sampling berkelompok denganpps, sampling

berkelompok 3 tingkat, atau sampling berkelompok berstrata.

Contoh dari survei yang mencari taksiran proporsi banyak ditemukan dalam

kehidupan. Misalnya,dalam penelitian pasar ingin mencari proporsi suatu produk

tertentu yang terjual. Dalam survei opini, suatu surat kabar ingin memperkirakan

proporsi pemilih mendukung proporsal tertentu. Dalam survei industri, proporsi

produk cacat dalam pengiriman tertentu akan dicari. Dalam survei populasi, kita

ingin mengetahui proporsi pengangguran atau keluarga dengan dua mobil,danlain-

lain.

Dalam banyak kasus kita diminta untuk mencari proporsi sampling

berkelompok. Sebagai ilustrasinya, misalkan kita diminta untuk memperkirakan

proporsi siswa yang merokok. Disini kita memiliki 1000 sekolah kemudiandipilih 1 0 sekolah secara acak dan dari 1 0 itu kita pilih subsampeldengan ukuran

100. Kita akan memperkirakan proporsi populasi siswa yang

merokok dari data subsampel tersebut. Kita misalkan proporsi siswa yang merokok

sebagai himpunan 1 dan himpunan 0 untuk yang tidak merokok.Misalkan terdapat kelas, maka

adalah jumlah perokok di kelas 1. Proporsi perokok di kelas (psu) 1 adalah


9/30

5

Secara umum, proporsi perokok di kelas (psu) adalah1 Sehingga proporsi yang bukan perokok di kelas (psu) ididefinisikan dengan2 1 Proporsi populasiP dan Qdidefinisikan sebagai

3

1 Anggap sebuah subsampel diambil dari . Maka proporsi subsampel adalah4

Dari persamaan ini, akan ditunjukan bagaimana kita mendapatkan proporsi

populasi. Kita akan menemukan bahwa berbagai estimator untuk proporsi yang kita

cari akan sangat mudah diperoleh dengan memisalkan 1 ketika elemenmempunyai karakteristik, dan 0bila tidak mempunyai karakteristik. Prosedurini sama dengan prosedur yang digunakan untuk menentukan proporsi pada

sampling acak sederhana.

2.2 Estimasi Proporsi Populasi

Kita akan memperkirakan proporsi populasi

dengan proporsi subsampel

. Sebagai contoh, misal kita ingin mencari proporsi perokok di kelas. Sebuahsampel dari kelas (psu) dipilih, dan dari 3, diambil subsampel dari , dan + +siswa dipilih. Dari masing-masing subsampel, kita dapatmenghitung . Dengan ini kita ingin mengestimasi . Kita mulai dengan estimatordari rata-rata populasi sampling berkelompok yang telah diperoleh pada bagian

sebelumnya, yaitu


10/30

6

1

=

=

Subtitusi hasil persamaan (4), pada bagian 2.1, ke (1) kita temukan

1

=

=

=

=

= yang merupakan estimator dari yang kita cari. Sehingga kita nyatakan sebagaiestimator dari . Oleh karena itu kita mempunyai2

=

Keterangan:

adalah perkiraan jumlah perokok di kelas i adalah perkiraan jumalah perokok di 3kelas 1 adalah perkiraan rata-rata jumlah perokok di tiap kelas adalah perkiraan jumlah perokok untuk kelas Total siswa adalah , sehingga taksiran dari populasi jumlah perokok

diperoleh dengan membagi dengan N. Seperti rumus yangditunjukkan pada persamaan

2merupakan estimator tak bias dariP. Seperti

yang ditunjukkan dibawah:

()


11/30

7

1

Dalam beberapa kasus kita asumsikan bahwa . Sebagai

contoh, misalnya adaMkelas kita ingin memperkirakan 50mahasiswadi masing-masing

1 0 kelas. Atau sebagai contoh lain, kita ingin

memperkirakan proporsi pelanggan yang memiliki rekening yang belum dibayar

lebih dari $100 pada department store. Misalkan entri untuk setiap pelanggan

ditulis dalam buku 400 halaman dengan 30 baris per halaman. Maka 4 0 0dan 30.Untuk kasus ini, estimator pada 2menjadi:3

1

1

Oleh karena itu, prosedur estimasi dan menjadi sama. Artinya, untuk menaksir, kita hanya perlu mencari rata-rata .Untuk kasus selanjutnya, kita asumsikan bahwa .Sebagai

contoh, subsampel dari 1 0siswa dipilih dari masing-masing kelas. Dalamhal ini, menjadi

Sehingga, pada 3menjadi4 1 1 = Contoh 1:

Berdasarkan data di bawah ini, kita akan memperkirakan proporsi dari supermarket

yang tetap buka setelah pukul 7 malam. Misalkan Xij= 1 atau 0.


12/30

8

Dengan ketika Xij= 1, berarti supermarket ke j dari kelompok ke i tetap buka setelah

pukul 7 malam.

District 1 8 8

2 12 20

3 4 24

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

20

14

6

5

12

5

24

6

8

4

9

13

44

58

64

69

81

86

110

116

124

128

137

150

Data di atas menunjukkan bahwa M = 15 dan N = 150. Misalnya dengan

pengambilan secara acak kita memilih m = 6 maka akan ditunjukkan data seperti di

bawah ini :

District Xij Xi 5 14 1,1,0,1 3 3/4 42/4

8 12 0,1,0,1 2 2/4 24/4

10 24 0,0,1,0 1 1/4 24/4

11

1215

6

813

1,1,0,1

1,1,1,10,0,1,1

3

42

3/4

4/42/4

18/4

32/426/4

15 166/4

pi (proporsi untuk masing-masing kelas dalam m = 6) telah dihitung seperti pada

tabel di atas.

Kemudian kita akan memperkirakan proporsi untuk populasi ()


13/30

9

= 14 . + 12 . + 24 . + 6 . + 8 . + 13 . = Contoh 2:

Misalkan kita akan mengestimasi proporsi dari keluarga yang memiliki TV di kota

pada sebuah negara. Dimana terdapat 5 0 kota dengan total 160.000keluarga. Dan sampel acak dari 4kota (psu) dipilih sebagai berikut:

Kota A 1000 100 0.70 700B 2000 100 0.75 1500

C 3000 100 0.80 2400

D 4000 100 0.85 3400

8000

Sampel dengan ukuran 100 dipilih dari 4 kota. Dan proporsisampel telah ditunjukkan seperti di tabel. Maka menjadi

50160000 4 8000 58 0,625Mungkin kita bertanya-tanya mengapa 0.625 lebih kecil dari pada

proporsi di tabel.Untuk menjawab pertanyaan ini, kita bagi analisa kita tentang

persamaan estimasi ke dalam empat langkah.

Langkah pertama yaitu dimana perkiraan jumlah keluarga yangmemiliki TV untuk kelompok , sehingga merupkan perkiraan daritotal jumlah pemilik TV untuk

4kota.

Langkah kedua adalah 1 , yang merupakan perkiraan dari rata-ratajumlah keluarga yang memiliki TV per kelompok.

Langkah ketiga adalah yang merupakan perkiraan jumlahkeluarga yang meiliki TV untuk 5 0kelompok.

Langkah keempat, bahwa telah diketahui 160000keluarga, panaksir daripopulasi dapat diperoleh dengan


14/30

10

Dari contoh itu kita dapat melihat bahwa jika sampel lebih kecil dari ,1 akan menaksir terlalu rendah jumlah rata-ratasebenarnya dari himpunan keluarga yang memliki TV per kelompok. Dalamkasus ini jumlah rata-rata keluarga per kelompok adalah 160000 50 3200.

Namun, dalam contoh kita hanya D yang lebih besar dari 3200. Bahkan rata-

rata dari A, B, C,dan D hanya 2500. Akibatnya, 1 mengasumsikan ukuran kelompok yang memilki rata-rata 2500 yang jauh

lebih kecil dari pada rata-rata

3200 keluarga per kelompok

sehingga menaksir terlalu rendah jumlah rata-rata keluarga yang memiliki

TV per kelompok. Jadi ketika dikali dengan 5 0akan membuat taksiranjumlah total keluarga yang memiliki TV rendah. Akibatnya proporsi yangdiperoleh dengan juga akan rendah.

Contoh 3:

Kota A 2000 100 0.70 1400

B 3000 100 0.75 2250

C 4000 100 0.80 3200

D 5000 100 0.85 4150

14000 11000

50160000 4 11000 0.86

Ini menunjukkan, 0.86 lebih besar dari pada sampel proporsi. Rata rata ukuran untuk 4 kota adalah140004 3500 ini lebih besar daripada 3 2 0 0 dan 0.86, sehingga menaksir terlalu tinggi jumlah rata-rata per kelompok. Akibatnya proporsi yang diperoleh dengan juga akan tinggi.


15/30

11

2.3 Varians dari Alasan utama untuk menemukan () adalah untuk memperkenalkankepada siswa bagaimana proses transformasi rumus varians untuk rata-rata sampel

menjadi rumus varians untuk proporsi, dan juga penggunaannya sebagai estimator

awal dari ().Prosedur untuk menemukan () akan dimulai dari varians yang

diperoleh dari sampling berkelompok dan menyatakannya dalam bentuk hubungan

dariPdan Q. Varians dari

dari sampling berkelompok adalah

1 1 + = + 1

=

1 + 1

=

Sekarang kita nyatakan bentuk dan dalam bentuk P dan Q. Kita ketahuibahwa variasi antar kelompok adalah2 1 1

=

Dari persamaan (1), bagian 2.1, menyatakan bahwa3 Untuk

, dengan menggunakan persamaan (3), bagian 2.1, kita peroleh

4 1 1 == 1 = Substitusikan persamaan (3) dan (4) ke (2), menjadi

1 1 1

=

=

5

1 1

=


16/30

12

Selanjutnya nyatakan dalam bentuk Pdan Q. menunjukkan variasidalam kelompok ke-ididefinisikan

6 1 1 ( )

= Dari pembahasan pada sampling acak sederhana, kita ketahui bahwa

1 1 ( 2 + )

=

1 1 2 == + =

1 1 2

=

= +

= Karena bernilai 1 atau 0, maka :

= Pi dan = sehingga 1 1 2 . +

1 1 2 + 1 1

(1

Maka persamaan (6) menjadi

7 1 1 Substitusi persamaan (5) dan (6) ke (1), diperoleh


17/30

13

() 1

1

1 1

1

=

=+ 1 1 1

=

() = 1 +

= 1 1

8 ()

1 =

+

1

=

yang merupakan varians dari yang kita cari.Bentuk kesatu dalam persamaan (8),

, menunjukkan

variasi jika kita memilih mpsudariMpsudengan menggunakan sampling acak.

Jika subsampel dipilih dari semuaMpsu, maka , dan tidak akan ada variasisampling pada tahap ini. Dapat ditunjukkan, ketika , bentuk pertamatersebut akan bernilai nol.

Ketika sebuah subsampel berukuran dipilih dari ipsuyang berukuran ,maka terdapat variasi sampling yang diakibatkan oleh proses tersebut. Dengan katalain, terdapat variasi sampling dalam ipsu. Bentuk kedua dalam persamaan (8),

= dapat dianggap sebagai jumlah dari variasi sampling. Cukupjelas, ketika (yaitu ketika seluruh psu dipilih sebagai subsampel), makatidak akan ada variasi sampling antara subsampel danpsu.

Dari persamaan (8), ketika

,

()menjadi

() 1 1 = sama dengan rumus varians untuk sampling berstrata.

Standard errordinyatakan sebagai

() ()


18/30

14

Contoh:

Misalkan terdapat

3 merupakan sekumpulan anak-anak, kemudian mereka

ditanya apakah suka menonton acara televisi atau tidak. Hasil survei tersebut

diperoleh sebagai berikut:

Kelompok 1 3 1, 0, 1 2 2 3 1 3 2 4 1, 0, 1, 0 2 2 4 2 4 3 5 1, 0, 1, 1, 0 3

3 5

2 5

12 7

Hitung (). Dengan asumsi 2 1 2 3 4 7 1 2 47 1 2 7 3

= 32 3 7 3 + 42 4 7 3 + 53 5 7 3 6 9 1

= 3

3 23 1 2 3 1 3 2 + 4 4 24 1 2 4 2 4 2 + 5 5 25 1 3 5 2 5 2 4912

Sehingga

() 1 = + 1 = 3 233 14 12 69 + 3212 49120,046

Denganstandard error

() ()0,0460,21


19/30

15

Ketika kita asumsikan bahwa dan , makarumus varians pada persamaan (8) dapat disederhanakan menjadi

9 () 1 = + 1 = Persamaan ini juga menunjukkan dengan jelas bahwa () tersusun dari variasiantar kelompok (ditunjukkan oleh bentuk pertama pada ruas kanan) dan variasi

dalam kelompok (ditunjukkan oleh bentuk kedua pada ruas kanan).

Dalam praktik aplikasinya, parameter populasi dan P biasanya tidakdiketahui, dan karena itulah maka estimator

()digunakan.

2.4 Estimasi dari ()Seperti yang dijelaskan pada pembahasan sebelumnya, kita ingin

mengetahui nilai dari populasi danPuntuk menghitung (). Masalah kita padabagian ini adalah untuk memperoleh estimator dari () yang dapat diperolehdengan mudah dari sampel.

Proses memperoleh estimator dari () dapat dicari dengan caramenggunakan kembali ()yang telah diperoleh dari dalam keadaan 1 atau 0. Estimator dari () dapat diperoleh dengan cara yang sama denganmenggunakan estimator dari dan dalam keadaan 1 atau 0.

Kita akan mencoba untuk menghitung estimator dari ()dengan tiga cara.Kesatu, estimator dari varians diberikan pada persamaan (8), bagian 2.3. Kedua,

diperoleh dari asumsi bahwa dan . Ketiga, diperoleh dari asumsibahwa .Kasus 1

Kita ketahui dari estimasi dari rata-rata populasi bahwa estimator tak bias

dari adalah1 1

+

=


20/30

16

1

1

=

1 1 ( )

= Kita juga tahu bahwadan dapat dinyatakan dalam sebagai berikut:

1

1

=

= 1

=

Substitusi hubungan di atas ke , kita peroleh2 1 1 1

=

=

Kita juga tahu dari sampling acak sederhana bahwa

( )

=

Dengan menggunakan hasil ini, menjadi3 1 1 ( ) 1 1

=

Dan dengan mensubstitusi hasil tersebut pada persamaan (1), kita peroleh ()4 () 1 1 1 1 1

=

=

+ 1 1 1 = Denganstandard error

() ()Contoh:

Dengan menggunakan data pada Contoh bagian 2.3, kita ilustrasikan penggunaan

dari persamaan (4).


21/30

17

Kelompok 1 3 1, 0, 1 2

2 3

1 3

2 4 1, 0, 1, 0 2 2 4 2 4 3 5 1, 0, 1, 1, 0 3 3 5 2 5 12 7

Pilih sebuah sampel 2psu. Misalkan menjadi kelompok 1 dan 3. Pilih sampelberukuran 2. Misalkan kita memiliki

1 1

0 1

1 2 1 2 2 2 1

=

12 3 12 + 5 22 134

1

=

= 3 12

134

+ 5 22

134

498

1 1 1

= 34

Jadi,

() 1 1 1 1 1

=

=

+ 1 1 1 = 112 3 3 23 12 12 1 498 + 32 34 1144 16516 0,072

Danstandard error


22/30

18

() ()0,0720,268

Kasus 2

Dalam beberapa kasus, kita dapat mengasumsikan dan . Sebagai contoh, kita memiliki 2 0 0 halaman daftar siswadengan masing-masing halaman memiliki 40 nama. Kita inginmengestimasi proporsi dari siswa yang mengendarai mobil pribadinya ke sekolah.

Kita dapat mengambil sampel

2 0halaman, dan dari masing-masing halaman

dipilih 10nama untuk mengestimasi proporsinya.Untuk mencari estimator dari () dalam kasus ini, kita hanya

mensustitusikan dan ke persamaan (4). Diperoleh:5 () 1 1 1

+ 1 11

Estimator,

, menjadi

6 1 Dengan adalah rata-rata dari .Selanutnya, karena , persamaan (6) menjadi7 1

1

Persamaan (7) merupakan bentuk yang mudah digunakan untuk perhitungan.

Contoh:

Misalkan terdapat M=5 kelas siswa dan kita akan mengestimasi proporsi dari siswa

yang memakai kacamata. Kita akan memilih m=2 kelas. Akan dipilih kelas kedua

dan keempat. Hasilnya diberikan pada tabel berikut:


23/30

19

1 49

2 52 10 5 0,5

3 51

4 48 10 3 0,3

5 50

20 810 siswa dipilih dari masing-masing 2 kelas, dan jumlah siswa yangmemakai kacamata masing-masing 5 dan 3. Kemudian, dengan 5 0,maka proporsinya diperkirakan sebagai:

1 1 = 12 . 0,8= 0,4Estimasi dari

() 1 1 1

= + 1 11

=

5 25 12 12 1 0,50,4 + 0,30,4+ 50 1050 15 121 0 1 0,50,5 + 0,30,70,01Dalam beberapa kasus dimana akan ditemukan bentuk yang lebih

sederhana. Sebagai contoh, misalkan terdapat 400 halaman buku catatan dengan 30

garis setiap halaman. Setiap garis tersebut menunjukan jumlah hari dimana seorang

pelanggan harus membayar rekeningnya. Perusahaan tersebut ingin memperkirakan

proporsi pelanggan yang dibutuhkan dari 4 minggu.

Untuk mengestimasi proporsi ini, kita bisa memilih, katakanlah 1 0halaman dari 4 0 0halaman. Setiap halaman terdapat 30garis, dan kitaharus mengecek semua garis tersebut. Karena 30 dalam kasus iniestimator menjadi


24/30

20

1

= 1

=

Dan, karena , varians untuk menjadi() 1 1 1

= +

1 11

=

1

1

1

=

Terlihat bahwa, ()dihitung dengan memperlakukan seolah-olah dan seolah-olah . Sebenarnya kita dapat mempertimbangkan masing-masing

psusebagai unit sampling dan menggambarkan sampel acak berukuran dari .Oleh karena itu, ()dapat dibentuk sebagai varians untuk rata-rata sampel .

Kita menyimpulkan bahwa ketika , dan ()dapat dihitung jikaadalah nilai-nilai individual dan adalah rata-rata sampel dari sampel berukuranyang diambil dari populasi berukuran .Kasus 3

Tambahan untuk dan , jika kita dapat mengasumsikan , estimator menjadi()

1

1

1

=

+

1

1

1

=

1 1 1 = karena

0dan 1. Rumus ini pendekatan yang paling digunakan karenasederhana.

Contoh:


25/30

21

Misalkan terdapat 6 0 0 sekolah dasar di kota besar, dan kita akan menaksirproporsi dari siswa kelas enam yang menonton program TV tertentu. Kita pilih

10sekolah dan 2 0siswa dari masing-masing 1 0sekolah. Untuk memilih 1 0 sekolah, kita menggunakan sampling sistematika. Karena 60, kitapilih nomor acak antara 1 dan 60. Dengan asumsi kita mendapatkan 30, sampel

akan:

30,90,150,210,270,330,390,450,510,570

Nomor diatas menunjukkan, sekolah ke 30, sekolah ke 90, dst

Setelah memilih 20siswa dari masing-masing 1 0sekolah, kita temukan 1 20 5 0,25 -0,01 0,0001

2 20 7 0,35 0,09 0,0081

3 20 4 0,20 -0,06 0,0036

4 20 4 0,20 -0,06 0,0036

5 20 6 0,30 0,04 0,0016

6 20 5 0,25 -0,01 0,0001

7 20 3 0,15 -0,11 0,01218 20 7 0,35 0,09 0,0081

9 20 5 0,25 -0,01 0,0001

10 20 6 0,30 0,04 0,0016

200 52 2,60 0,00 0,0390

Kita asumsikan 200. kemudian estimator dan menjadi 1

=

52

2000,26

() 1 1 1 = 1101 0 1 0,039 0,0004

()0,00040,02


26/30

22

2.5 Sampling Berkelompok dengan pps untuk Proporsi

Kita dapat dengan mudah menentukan hasil dari sampling berkelompok

sederhana untuk proporsi untuk sampling berkelompok dengan pps. Ingat bahwa

prosedur ini digunakan ketika ukuran kelompok bervariasi, dan estimator yang

diperoleh dengan prosedur ini ternyata lebih mudah untuk dihitung dan lebih tepat

daripada yang diperoleh dari sampling berkelompok sederhana. Oleh karena itu

banyak digunakan dalam survei opini, riset pasar, dan bidang lainnya untuk

mengestimasi proporsi.

Sebagai contoh, misalkan kita ingin memperkirakan pangsa pasar untuk

sabun merk A dalam suatu negara. Kita dapat membagi negara ke beberapa negara

bagian (psu) dan dari sampel negara bagian (psu), dipilih keluarga (ssu). keluarga-keluarga ini akan menjadi sampel dari sini kita akanmengestimasi proporsi keluarga menggunakan sabun merk A (yang kita anggap

sebagai perkiraan pangsa pasar sabun A).

Sekarang tenemukan estimator proporsi populasi untuk sampling

berkelompok dengan pps dan variansnya. Kita tahu bahwa estimator untuk rata-rata

populasi untuk sampling berkelompok dengan pps adalah:

1 1

=

= 1

=

Dengan mempertimbangkan titik berikut ini kita dapat dengan mudah untuk

menunjukkan bahwa adalah estimator untuk proporsi . Dalam hal ini, menunjukkan rata-rata sampel dari sampel . Istilah ini hanya

jumlah keluarga dalam sampel yang menggunakan sabun A, karena 1untukkeluarga menggunakan sabun A, dan 0untuk keluarga tidak menggunakansabun A. Oleh karena itu, adalah proporsi sampel - yang dinotasikan dengan.Selanjutnya, bentuk

1

adalah proporsi sampel dari subsampel yang diambil dari kelompok ke-i.


27/30

23

Selanjutnya, kita notasikan sebagai

1 Dengan menggunakan hasil tersebut, persamaan 1dapat ditulis sebagai2 1

=

=

1

=

dan selanjutnya, () 2merupakan estimator tak bias dari .Varians dari dengan mudah dapat dikerjakan dengan menggunakanhasil bagian 10.1-10.4. Tujuan utama mencari () adalah untuk memahami

karakteristik sampling dengan pps dan mempelajari bagaimana merancang sebuah

pengambilan sampel dari populasi. Karakteristik sampling dengan pps telah dibahas

dalam bab 9. Untuk aplikasi praktis, estimator () ini juga digunakan. Olehkarena itu kita akan melewati diskusi tentang ()dan melanjutkan langsungke pembahasan estimator

().

Estimator dari ()adalah:3 () 1 1 1 ( )Substitusi hasil yang didapatkan di atas ke persamaan 3, kita peroleh4 () 1 1 1 1

1

1 1 ( )

yang sangat mudah digunakan dalam perhitungan.

Contoh:

Dengan menggunakan data dari contoh 3, bagian 10.2, cari dan (),dimana psu ini diasumsikan telah dipilih oleh sampling dengan pps.


28/30

24

Cities ( )A 2000 100 0,70 -0,075 0,005625B 3000 100 0,75 -0,025 0,000625

C 4000 100 0,80 0,025 0,000625

D 5000 100 0,85 0,075 0,005625

3,10 0,025 0,012500

1

14 3,10 0,775

() 1 1 1 ( ) 14 14 1 0,012500 0,001041667

() 0,000989580,0323


29/30

25

BAB III

KESIMPULAN DAN SARAN

3.1 Kesimpulan

1.

Proporsi pada kelompok sampling hampir sama dengan proporsi pada

sampling sederhana, dimana kelas dibagi menjadi dua, yaitu kelas bernilai

1 untuk kelas yang mempunyai karakteristik dan bernilai 0 untuk kelas yang

lainnya.

2. Jika jumlah sampel

lebih kecil dari

maka proporsi populasi juga akan

ditaksir lebih rendah daripada rata-rata sebenarnya.

3. Ketika , dan () dapat dihitung jika adalah nilai-nilaiindividual dan adalah rata-rata sampel dari sampel berukuran yangdiambil dari populasi berukuran .

3.2 Saran

Agar sumber-sumber untuk bab pembahasan proporsi pada kelompok

sampling diperbanyak agar lebih bisa mendalami tentang taksiran proporsi untuk

kelompok sampling.


30/30

DAFTAR PUSTAKA

Yamane, Taro. 1967. Elementary Sampling Theory. Prentice-Hall, Inc. United

States of America.

Documents

Bab 10 - Estimasi Proporsim