Ba duong conic - lenhoty.files.wordpress.com · Ba đường cônic Nguy ễn Th ị Tuy ết H ạnh- THPT Phú Xuyên A 3 Theo điều ki ện c ủa định lý có : 2 2 2 2 2

Ba đường cônic

Nguyễn Thị Tuyết Hạnh- THPT Phú Xuyên A

1

BA ĐƯỜNG CÔNIC

Lý thuy ết I.Elíp

1)Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và hằng số a>c. Elíp (E) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1+MF2= 2a.

(E) = { M: MF1+MF2= 2a}

Ta gọi : F1, F2 là tiêu điểm của (E).

Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E).

2)Phương trình chính tắc của elip:

(E): 12

2

2

2

=+b

y

a

x ( với b2 = a2- c2 )

3)Hình dạng và tính chất của (E):

*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0)

Tiêu điểm phải F2( c; 0)

*Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0); B1(0; - b); B2(0; b)

*Trục lớn : A1A2= 2a, nằm trên trục Ox

Trục nhỏ :B1B2= 2b, nằm trên trục Oy

*Tâm sai : e = a

c <1

*Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (E) là:

Bán kính qua tiêu điểm trái: MF1= a + e.xM= a+ a

c xM

Bán kính qua tiêu điểm phải: MF2= a - e.xM= a- a

c xM

*Đường chuẩn: x = e

a±

*Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x= ± a; y = ± b ( Độ dài hai cạnh là 2a và 2b)

*Trục đối xứng: Ox; Oy

Tâm đối xứng: O

4)Tiếp tuyến của elip

Định nghĩa: Cho elip (E) và đường thẳng (d) .Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của (E) nếu (d) có một điểm chung duy nhất với (H)

Định lý :Cho elip (E) có phương trình chính tắc:

Ba đường cônic


2

(E): 12

2

2

2

=+b

y

a

x với b2 = a2- c2

Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A2+B2 ≠ 0) là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ khi : A2a2+B2b2=C2

( gọi là điều kiện tiếp xúc)

Chứng minh:

Đường thẳng (d) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

=++

=+

0

12

2

2

2

CByAxb

y

a

x

⇔

=+

+

=

+

0

122

Cb

yBb

a

xAa

b

y

a

x

(I)

Đặt X= a

x , Y= b

y ta có hệ: ( ) ( )( ) ( )

=++=+

0

122

CYBbXAa

YX (II)

Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi hệ (II) có nghiệm duy nhất

⇔ Đường thẳng (d’): AaX+BbY+C=0 tiếp xúc với đường tròn (C ): X2+Y2=1

⇔ Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng (d’) bằng bán kính R = 1

⇔ 12222

=+ bBaA

C

⇔ A2a2+B2b2=C2

Hệ quả: Cho elip (E) có phương trình chính tắc:

(E): 12

2

2

2

=+b

y

a

x với b2 = a2- c2

Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (E) thì tiếp tuyến của (E) tại M có phương trình là (d):

1..

22=+

b

yy

a

xx MM

Chứng minh

Do M thuộc (E) nên có : 12

2

2

2

=+b

y

a

x MM

Hiển nhiên M thuộc (d)

Ta có (d): 1..

22=+

b

yy

a

xx MM ⇔ 01..

22=−+

b

yy

a

xx MM

Ba đường cônic


3

Theo điều kiện của định lý có :

22

22

2

2b

b

ya

a

x MM

+

= 12

2

2

2

=+b

y

a

x MM

Vậy (d) là tiếp tuyến của (E) tại M

II.Hypebol

1.Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và hằng số a<c.Hypebol (H) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1-MF2 = 2a.

(H) = { M: MF1-MF2 = 2a}

Ta gọi : F1, F2 là tiêu điểm của (E).

Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E).

2.Phương trình chính tắc của hypebol:

(H): 12

2

2

2

=−b

y

a

x ( với b2 = c2- a2 )

3.Hình dạng và tính chất của (H):

*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0)

Tiêu điểm phải F2( c; 0)

*Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0)

*Trục thực: A1A2= 2a, nằm trên trục Ox

Trục ảo: B1B2= 2b, nằm trên trục Oy

*Tâm sai : e = a

c >1

*Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (E) là:

Bán kính qua tiêu điểm trái: MF1= a + e.xM = a+ a

c xM

Bán kính qua tiêu điểm phải: MF2= a - e.xM = a- a

c xM

*Đường chuẩn: x = e

a±

*Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x= ± a; y = ± b ( Độ dài hai cạnh là 2a và 2b)

*Phương trình các đường tiệm cận: y = a

b± x

* Trục đối xứng: Ox; Oy

Tâm đối xứng: O

4.Tiếp tuyến của hypebol

Ba đường cônic


4

Định nghĩa:Cho hypebol (H) và đường thẳng (d) .Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của (H) nếu (d) không song song với các đường tiệm cận của (H) và (d) có một điểm chung duy nhất với (H)

Định lý :Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc:

(H): 12

2

2

2

=−b

y

a

x với b2 = c2- a2

Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A2+B2 ≠ 0) là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi :

A2a2-B2b2=C2≠0


Chứng minh:

Hai đường tiệm cận của (H) có phương trình là:

y= xa

b± ⇔ bx± ay= 0

Điều kiện để (d) không song song với hai đường tiệm cận là:

b

B

a

A ±≠ ⇔ A2b2- B2b2≠ 0

Đường thẳng (d) tiếp xúc với (H) khi A2b2- B2b2≠ 0 (*)và hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

(I)

=++

=−

0

12

2

2

2

CByAxb

y

a

x ⇔

=++

+

=

0

122

CByAx

b

y

a

x

⇔

=++

=

+

0

122

x

C

x

ByA

bx

ay

x

a

⇔

=+

+

=

+

0

122

Abx

ay

a

Bb

x

a

a

C

bx

ay

x

a

Đặt X= x

a , Y= bx

ay ta có hệ:

( ) ( )

( ) ( )

=++

=+

0

122

AYa

BbX

a

C

YX (II)

Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi hệ (II) có nghiệm duy nhất

⇔ Đường thẳng (d’):a

C X+a

Bb Y+A=0 tiếp xúc với đường tròn (C ): X2+Y2=1

⇔ Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng (d’) bằng bán kính R = 1

Ba đường cônic


5

⇔ 1

2

22

2

2=

+a

bB

a

C

A

⇔ A2a2-B2b2=C2

Kết hợp với điều kiện (*) thì (d) là tiếp tuyến của(H) khi và chỉ khi

A2a2-B2b2=C2≠0

Hệ quả: Cho (H) có phương trình chính tắc:

(H): 12

2

2

2

=−b

y

a

x với b2 = a2- c2

Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (H) thì tiếp tuyến của (H) tại M có phương trình là (d):

1..

22=−

b

yy

a

xx MM

Chứng minh

Do M thuộc (H) nên có : 12

2

2

2

=−b

y

a

x MM

Hiển nhiên M thuộc (d)

Ta có (d): 1..

22=−

b

yy

a

xx MM ⇔ 01..

22=−−

b

yy

a

xx MM

Theo điều kiện của định lý có :

22

22

2

2b

b

ya

a

x MM

−

= 12

2

2

2

=−b

y

a

x MM

Vậy (d) là tiếp tuyến của (H) tại M

III. Parabol

1. Định nghĩa:Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định ∆không đi qua F.Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng ∆.

(P) = { M: MF= d(M; ∆)}

Ta gọi : F là tiêu điểm của (P).

Đường thẳng ∆ là đường chuẩn của ∆

p= d(F; ∆) là tham số tiêu

2.Phương trình chính tắc của parabol:

(P): y2= 2px

3.Hình dạng và tính chất của (E):

*Tiêu điểm: Tiêu điểm F(2

p ; 0)

Ba đường cônic


6

*Phương trình đường chuẩn ∆: x = -2

p

*Đỉnh : O(0; 0)

*Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (P) là:

MF = d(M; ∆) = xM+2

p

*Trục đối xứng: Ox

4.Tiếp tuyến của parabol

Định nghĩa: Cho parabol (p) và đường thẳng (d) .Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của (P) nếu (d) không song song với trục đối xứng của (P) và (d) có một điểm chung duy nhất với (P)

Định lý:Cho parabol (P) có phương trình chính tắc:

(P): y2= 2px

Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A2+B2 ≠ 0) là tiếp tuyến của (P) khi và chỉ khi :

pB2=2AC


Chứng minh:

Ta thấy trục 0x cắt (P) tại một điểm nhưng không là tiếp tuyến của (P)

Để (d) không song song với trục 0x thì A≠ 0

Khi đó (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm duy nhất

(I)

=++=

0

22

CByAx

pxy ⇔

+−=

+−=

A

CByx

A

CBypy )1(22

( Do A ≠0)

Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất

⇔ y2 +2pA

B y + 2pA

C = 0 có nghiệm duy nhất

⇔ ∆’= A

pC

A

Bp

22

−

=0

⇔ pB2=2AC ( thỏa mãn A≠0) (đpcm)

Hệ quả: Cho parabol (P) có phương trình chính tắc:

(P): y2= 2px

Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (P) thì tiếp tuyến của (P) tại M có phương trình là (d): y.yM= p(x+xM)

Ba đường cônic


7

Chứng minh

Vì M thuộc (P) nên

IV.Ba đường cônic

1.Định nghĩa:Cho điểm F cố định , một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F và

một số dương e. Cônic (C) là tập hợp các điểm M sao cho eMd

MF =∆);(

.

(C)=

=∆

eMd

MFM

);(:

Ta gọi: F là tiêu điểm

∆ là đường chuẩn

e là tâm sai

2.Nhận xét

*Cho elip (E) có phương trình chính tắc:

(E): 12

2

2

2

=+b

y

a

x với b2 = a2- c2

Tâm sai e= a

c <1

Đường chuẩn: ∆1: x = - e

a ứng với tiêu điểm trái F1(- c; 0)

∆2: x = e

a ứng với tiêu điểm phải F2( c; 0)

Với mọi điểm M thuộc (E) thì: );( 1

1

∆Md

MF = );( 2

2

∆Md

MF = e

Vậy đường (E) là đường cônic với e< 1.

*Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc:

(H): 12

2

2

2

=−b

y

a

x với b2 = c2- a2

Tâm sai e= a

c >1

Đường chuẩn: ∆1: x = - e

a ứng với tiêu điểm trái F1(- c; 0)

∆2: x = e

a ứng với tiêu điểm phải F2( c; 0)

Ba đường cônic


8

Với mọi điểm M thuộc (H) thì: );( 1

1

∆Md

MF = );( 2

2

∆Md

MF = e

Vậy đường (H) là đường cônic với e> 1.

*Cho parabol (P): y2= 2px

Tiêu điểm F(2

p ; 0)

Phương trình đường chuẩn ∆: x = -2

p

Với mọi điểm M thuộc (P) thì: );( ∆Md

MF= 1

Vậy đường (P) là đường cônic với e=1.

Một số dạng bài tập DẠNG 1. Xác định các yếu tố của (E),(H),(P) khi biết phương trình chính tắc của chúng.

Phương pháp: Sử dụng các công thức xác định các yếu tố của (E),(H),(P).

Ví dụ 1. Cho elip (E) có phương trình 114

22

=+ yx

Tìm tiêu điểm , tâm sai, đường chuẩn của (E)

Giải

Từ phương trình của (E) ⇒ a2= 4, b2=1⇒c2=a2-b2=3.

Vậy a = 2, b = 1, c = 3

Khi đó : Tiêu điểm của (E) là F1(- 3 ; 0), F2( 3 ; 0)

Tâm sai của (E) là e= 2

3=a

c

Đường chuẩn của (E) là x= 3

4±

Ví dụ 2. Cho hypebol (H) có phương trình 154

22

=− yx

Tìm tiêu điểm , tâm sai, các đường tiệm cận của (H)

Giải

Từ phương trình chính tắc của (H) ⇒ a2= 4, b2=5⇒c2=a2+b2=9.

Vậy a = 2, b = 5 , c = 3

Khi đó : Tiêu điểm của (H) là F1(-3; 0), F2(3; 0)

Ba đường cônic


9

Tâm sai của (H) là e= 2

3=a

c

Đường tiệm cận của (H) là y= 2

5± x

Ví dụ 3. Cho parabol (P) có phương trình y2= 4x

Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của (P).

Giải

Từ phương trình của (P)⇒2p= 4⇒p = 2

Ta có : Tiêu điểm của (P) là F(1; 0)

Đường chuẩn của (P) là x = - 1

DẠNG 2. Lập phương trình chính tắc của (E),(H),(P).

Phương pháp :Để lập phương trình chính tắc của (E)(H)(P) ta cần xác định các hệ số a, b,p trong các phương trình đó.

Ví dụ 4.Lập phương trình chính tắc của elip (E) , biết (E) đi qua điểm M( 5 ; - 2) và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 10.

Giải

Gọi phương trình chính tắc của (E) là: 12

2

2

2

=+b

y

a

x với b2=a2- c2

Phương trình đường chuẩn là: x = e

a±

⇒ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là c

a

e

a 222 = = 10

⇔ a2= 5c

⇔ a4=25 c2 ⇔a4=25(a2-b2)

⇔ b2=a2- 25

4a (*)

Do (E) đi qua điểm M( 5 ; - 2) nên: 14522

=+ba

⇔ 1

25

454

22

=−

+a

aa

⇔5(1- 25

2a )+4= a2-25

4a

⇔ a4- 30a2+225 = 0

⇔(a2- 15)2= 0 ⇔ a2= 15

Thay vào (*) thì b2= 6

Ba đường cônic


10

Vậy phương trình của (E) là: 1615

22

=+ yx

Ví dụ 5. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) , biết (H) đi qua M(- 2;1)và góc giữa hai đường tiệm cận bằng 600.

Giải

Gọi phương trình chính tắc của (H) là: 12

2

2

2

=−b

y

a

x với b2=c2- a2

Vì M ∈(H) nên 11422

=−ba

(*)

Phương trình hai đường tiệm cận là: ∆1: y = a

b x ⇔ bx- ay = 0

∆2: y = -a

b x ⇔ bx+ ay = 0

Góc giữa hai đường tiệm cận là:

cos(∆1;∆2) = 22

22

ab

ab

+

− ⇔ cos600 =

22

22

ab

ab

+

−

⇔ 2

1 = 22

22

ab

ab

+

− ⇔ 2 22 ab − = b2+a2

⇔

+−=−

+=−

)()(2

)(22222

2222

abab

abab ⇔

=

=22

22

3

3

ba

ab

Với b2= 3a2 thay vào (*) được a2= 3

11; b2= 11

⇒ Pt (H): 111

3

11

22

=− yx

Với a2=3b2 thay vào (*) được a2= 1; b2= 3

1

⇒ Pt (H): 1

3

11

22

=− yx

Ví dụ 6. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) biết tâm sai e = 2 , các tiêu điểm của (H) trùng với các tiêu điểm của elip.

Giải

Ta có elip (E): 1925

22

=+ yx có a2 = 25, b2= 9 ⇒ c2= a2-b2=16 ⇒ c = 4.

⇒ Tiêu điểm của (E) là F1(-4; 0), F2(4; 0)

Ba đường cônic


11

Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là: 12

2

2

2

=−b

y

a

x với b2= c2- a2.

Vì các tiêu điểm của(H) trùng với các tiêu điểm của (E) nên có c = 4

Do (H) có tâm sai e = a

c = 2 ⇒ c = 2a ⇒ a = 2

⇒ b2= c2- a2= 12

Vậy phương trình của (H) là : 1124

22

=− yx

Ví dụ 7.Viết phương trình chính tắc của parabol (P) biết tiêu điểm F(5; 0)

Giải

Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2= 2px

Do tọa độ tiêu điểm F(5; 0) nên 2

p = 5 ⇒ p = 10

Vậy phương trình của (P) : y2= 20x

Ví dụ 8.Viết phương trình chính tắc của elip biết elip tiếp xúc với hai

đường thẳng d1: x+ y - 5 = 0

d2: x- 4y - 10 = 0

Giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng (E): 12

2

2

2

=+b

y

a

x với b2= a2 - c2

Do (E) tiếp xúc với hai đường thẳng d1 và d2 nên theo điều kiện tiếp xúc có

=+

=+

10016

2522

22

ba

ba ⇔

=

=

5

202

2

b

a

Vậy phương trình của (E): 1520

22

=+ yx

Ví dụ 9. Viết phương trình chính tắc của parabol (P) biết khoảng cách từ ttiêu điểm F đến đường thẳng x + y- 12 = 0 là 22

Giải

Gọi phương trình chính tắc của (P) : y2= 2px

Tọa độ tiêu điểm F( 2

p ;0)

Theo đầu bài , khoảng cách từ F đến đường thẳng ∆: x +y – 12 = 0 bằng 2 2 nên:

d(F; ∆)= 2

122

−p

=2 2 ⇒ p= 16 hoặc p = 32.

Ba đường cônic


12

Vậy phương trình của (P): y2= 32x hoặc y2= 64x

DẠNG 3. Lập phương trình ti ếp tuyến của các đường cônic

Ví dụ 10.Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 4) và tiếp xúc với

hypebol (H) : 141

22

=− yx . Tìm tọa độ tiếp điểm.

Giải

Gọi M(xo;yo) là tiếp điểm của (d). Khi đó đường thẳng d có phương trình dạng:

(d): x0.x- 4

.0 yy = 1

Vì (d) đi qua A(1; 4) nên: xo - yo = 1 (1)

Mặt khác M thuộc (H) nên: 141

20

20 =− yx (2)

Từ (1) và (2) suy ra

==

0

1

0

0

y

x hoặc

−=

−=

3

83

5

0

0

y

x

⇒M ( 1;0) hoặc M( - 3

5 ; - 3

8 )

⇒Tiếp tuyến của (H) là: x = 1⇔ x - 1 = 0

hoặc - 3

5 x + 3

2 y = 1 ⇔ 5x -2y + 3 = 0

Ví dụ 11.Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường elip:

145

22

=+ yx và 154

22

=+ yx

Giải

Gọi tiếp tuyến chung của hai elip là (d): Ax+ By+C = 0 ( với A2+B2≠0)

Theo điều kiện tiếp xúc có :

=+

=+222

222

54

45

CBA

CBA ⇔

=

=22

22

9BC

BA

Chọn A= 1 ⇒

±=±=

3

1

C

B

Vậy phương trình tiếp tuyến chung của hai elip là:

(d): x ± y ± 3 = 0 ( đây là 4 tiếp tuyến chung)

DẠNG 4. Lập phương trình các đường cônic không ở dạng chính tắc

Xác định các yếu tố của các đường cônic không ở dạng chính tắc

Phương pháp: * Sử dụng phép tịnh tiến trục tọa độ đưa về dạng chính tắc

Ba đường cônic


13

- Trong hệ tọa độ 0xy có I(x0; y0)

- Tịnh tiến hệ tọa độ 0xy theo vectơ OI được hệ tọa độ IXY

- Công thức đổi tọa độ là

+=+=

0

0

yYy

xXx

( Thật vậy, nếu lấy điểm M bất kỳ. Giả sử tọa độ M= (x; y) trong hệ tọa độ 0xy và tọa độ M= (X; Y ) trong hệ tọa độ IXY. Khi đó :OI = (x0; y0)= x0 i +y0 j

OM = (x; y)= x i +y j

IM = (X; Y)= X i +Y j

Do IMOIOM += nên

+=+=

0

0

yYy

xXx )

* Sử dụng định nghĩa để lập phương trình các đường cônic

Ví dụ 12.Cho đường cong (H) có phương trình x2-4y2- 2x- 16y -19= 0. Chứng minh rằng (H) là một hypebol. Tìm tọa độ các tiêu điểm , các đỉnh , phương trình hai đường tiệm cận của hypebol (H).

Giải

Ta có (H) : x2-4y2- 2x- 16y -19= 0

⇔ (x-1)2- 4(y+2)2= 4

⇔ ( ) ( )1

1

2

4

1 22

=+−− yx

Tịnh tiến hệ trục 0xy theo vectơ OI với I(1; - 2) thành hệ tọa độ IXY.

Công thức đổi tọa độ :

−=+=2

1

Yy

Xx

Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có phương trình:

114

22

=− YX

⇒a2=4, b2=1 nên c2=a2+b2=5 ⇒a= 2, b = 1, c= 5

Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có:

+ Tọa độ tiêu điểm: F1( - 5 ; 0), F2( 5 ;0)

+ Các đỉnh A1(- 2; 0), A2( 2; 0)

+ Phương trình hai đường tiệm cận: Y = 2

1± X

Chuyển kết qua trên về hệ tọa độ 0xy thì (H) có:

Ba đường cônic


14

+ Tọa độ tiêu điểm : : F1( 1- 5 ; - 2), F2(1+ 5 ;- 2)

+ Các đỉnh A1(- 1; - 2), A2( 3; -2 )

+ Phương trình hai đường tiệm cận: y = 2

1± (x-1)-2

Ví dụ 13. Viết phương trình của parabol (P) có trục đối xứng là trục 0x, có đường chuẩn là trục 0y và đi qua điểm A(5; 4)

Giải

Theo đầu bài thì phương trình đường chuẩn của (P) là:

∆: x = 0 ( trục 0y)

Vì trục đối xứng 0x đi qua tiêu điểm nên tọa độ tiêu điểm của (P)là F( c; 0)

Do điểm A thuộc (P) nên: AF = d(A;∆)

⇔ (c-5)2+(-4)2= 52

⇔ c= 8 hoặc c = 2

Với c = 8 thì F(8;0). Lấy bất kì M(x; y ) thuộc (P)

⇔ MF= d(M, ∆)

⇔ 22)8( yx +− = x

⇔(8-x)2 + y2 = x2

⇔ y2= 16x – 64

Vậy phương trình (P): y2= 16x – 64

Với c = 2 thì F(2;0). Lấy bất kì M(x; y ) thuộc (P)

⇔ MF= d(M, ∆)

⇔ 22)2( yx +− = x

⇔(2-x)2 + y2 = x2

⇔ y2= 4x – 4

Vậy phương trình (P): y2= 4x – 4

Ví dụ 14. Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (P) có phương trình

16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0

Chứng minh rằng (P) là một parabol. Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol đó.

Giải

Ta có M(x; y)∈(P) ⇔16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0

⇔25( x2+y2-2x+4y+5) = 9x2+16y2-24xy+6x-8y+1

Ba đường cônic


15

⇔( x-1)2 + (y+2)2 = 2

5

143

+− yx (*)

Đặt F(1; -2) và đường thẳng ∆: 3x- 4y + 1= 0.

Khi đó (*) ⇔ MF2= d2(M; ∆)

⇔ MF = d(M; ∆)

Vậy (P) là phương trình parabol với tiêu điểm F(1; -2) và đường chuẩn

∆: 3x- 4y + 1= 0.

DẠNG 5. Xác định điểm M nằm trên (E),(H),(P) thỏa mãn điều kiện cho trước.

Ví dụ 15. Cho elip (E) : 1925

22

=+ yx . Tìm trên (E) một điểm M sao cho MF1=2MF2

Giải

Ta có a2= 25 ⇒ a= 5

b2= 9 ⇒b= 3

c2= a2- b2 = 16 ⇒ c =4

Giả sử M(x0; y0) ∈(E) ⇒ 1925

20

20 =+ yx (*)

Mặt khác theo công thức tính bán kính qua tiêu điểm ta có :

MF1= a +a

c x0 =5 +5

4 x0

MF2= a -a

c x0 =5 -5

4 x0

Để MF1= 2MF2 thì : 5 + 5

4 x0 = 2( 5- 5

4 x0)

⇔ 5

12x0= 5 ⇔ x0 = 12

25

Thay vào (*) ta có : 19144

25 20 =+ y ⇔

144

119

9

20 =y ⇔ y0= 119

12

3±

Vậy tọa độ của M=

± 11912

3;

12

25

Ví dụ 16. Cho hypebol (H): 139

22

=− yx

a)Tìm trên (H) điểm M có tung độ là 1

b)Tìm trên (H) điểm M sao cho góc F1MF2 bằng 900.

c) Tìm trên (H) điểm M sao cho F1M= 2F2M.

Ba đường cônic


16

Giải

Ta có : a2 = 9 ⇒ a =3

b2= 3 ⇒ b = 3

c2=a2+ b2= 12⇒c= 12

a)Thay y = 1 vào phương trình của (H) được:

13

1

9

2

=−x ⇔ 323

492 ±=⇔= xx

Vậy tọa độ của M là ( )1;32±

b)Gọi tọa độ M= ( x0; y0)

Do góc F1MF2 bằng 900 ⇔ OM= OF1=OF2

⇔ cyx =+ 20

20 ⇔ x0

2+ y02= 12

Do M thuộc (H) nên 139

20

20 =− yx ⇔ 3x0

2- 9y02= 27

Ta có hệ

=−

=+

2793

1220

20

20

20

yx

yx ⇔

=

=

4

35

45

20

20

y

x

⇔

±=

±=

2

3

2

53

0

0

y

x

Vậy tọa độ điểm M là:

2

3;

2

53 ;

−

2

3;

2

53 ;

−

2

3;

2

53 ;

−−

2

3;

2

53

c)Vì MF1= 2MF2 nên F1M > F2M⇒ M thuộc nhánh phải và F1M- F2M = 2a = 6

Ta có

=−=

6

2

21

21

MFMF

MFMF ⇒

==

6

12

2

1

MF

MF

Theo công thức bán kính qua tiêu điểm:

MF1= =+ 0xa

ca a+

a

c x0= 3+ 3

32 x0 = 12

⇒ x0=2

39

Ba đường cônic


17

Do M thuộc (H) nên thay x0= 2

39 vào (H) ta được:

134

27 20 =− y ⇔ y0

2= 4

69 ⇔y0= 2

69±

Vậy tọa độ của M là :

±

2

69;

2

39

Ví dụ 17. Cho parabol (P): y2 = 4x.

a)Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 4.

b)Tìm trên (P) điểm M≠ O sao cho khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng cách từ M đến 0x.

Giải

a)Từ phương trình (P): y2 = 4x ⇒ p = 2

Ta có : MF = xM+2

p = 4 ⇔ xM +1 = 4 ⇔ xM = 3

Thay vào (P) ⇒ yM2= 12 ⇒ yM =

Vậy tọa độ điểm M là: (3; 32± ).

b)Gọi tọa độ M= (x ;y).

Do M thuộc (P) nên : y2 = 4x⇒ x≥ 0

Từ giả thiết M≠ O và khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng cách từ M đến 0x ta có: 02 ≠= yx ⇔ x = 02 ≠y

Ta có hệ:

≠==

02

42

yx

xy ⇔

±==

8

16

y

x

Vậy tọa độ M là (16; 8) và ( 16; - 8).

DẠNG 6.Chứng minh các tính chất của đường cônic

Ví dụ 18. Cho hypebol (H): 12

2

2

2

=−b

y

a

x với b2 = c2- a2 có các tiêu điểm F1, F2. Lấy

M là điểm bất kì trên (H). Chứng minh rằng : Tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận có giá trị không đổi.

Giải

Phương trình hai đường tiệm cận của (H) là:

∆1: bx+ay = 0

∆2: bx - ay = 0

Đặt toạ độ M= (x0; y0)

Ba đường cônic


18

Khi đó : d1= d(M; ∆1)= 22

00

ba

aybx

+

+

d2= d(M;∆2) = 22

00

ba

aybx

+

−

⇒ d1.d2 = 22

00

ba

aybx

+

+.

22

00

ba

aybx

+

− =

22

20

220

2

ba

yaxb

+

−

Vì M thuọc (H) nên : ⇔=− 12

20

2

20

b

y

a

x b2x02 - a2y0

2 = a2.b2

Vậy d1.d2 = 22

22.

ba

ba

+ (Đpcm)

Ví dụ 19. Cho parabol (P): y2 = 4x.Đường thẳng (d) bất kỳ đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k ≠ 0 cắt (P) tại M và N.

a.Chứng minh rằng : Tích khoảng cách từ M và N đến trục 0x có giá trị không đổi.

b.Tìm k sao cho FM = 4.FN.

Giải

Vì (d) đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k ≠ 0 nên có phương trình:

d: y = k( x - 1)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

[k(x - 1)]2 = 4x ⇔ k2x2 - 2(k2+ 2) x + k2 = 0 (*)

∆'= (k2+2)2 - k4= 2k2+4 > 0 ∀k

⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Vậy đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N

a.Hoành độ hai điểm M và N là hai nghiệm của phương trình (*)

Theo định lý Viet có: xM + xN = 2

2 )2(2

k

k + (1)

xM.xN = 1 (2)

Ta có : d1 = d(M; 0x) = My = Mx4

d2 = d(M; 0x) = Ny = Nx4

⇒ d1.d2 = NM xx16 = 4 không đổi.

b) Từ phương trình (P) ⇒ Tham số tiêu p =p

Theo công thức bán kính qua tiêu điểm: MF = 1 + xM

Ba đường cônic


19

NF = 1 + xN

Để MF = 4NF thì 1+ xM = 4( 1 + xN)

⇔ xM - 4xN = 3 ( 3)

Từ (2) và (3) ⇒ xM = 4; xN = 1/4

Thay vào (1) ⇒ k = 4

3±

Bài tập đề nghị Bài 1. Cho hypebol (H) : 4x2 - y2 - 4 = 0

a) Xác định toạ độ tiêu điểm của (H)

b) Tìm điểm M nằm trên (H) sao cho M nhìn hai tiêu điểm F1; F2 của (H) dưới một góc vuông

HD: b) - Lập phương trình đường tròn (C) đường kính F1F2

- Ta có M ∈ (C)∩ (H)

ĐS: a) F1( - 5 ; 0); F2( 5 ; 0)

b) M

±±5

4;

5

3

Bài 2.Cho hypebol (H): 154

22

=− yx và ∆: x - y + m = 0

a) Chứng minh rằng : Đường thẳng ∆ luôn cắt (H) tại hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác của (H) . ( xM < xN)

b)Xác định m để F2N = 2F1N biết F1, F2 là hai tiêu điểm của (H)

HD: a) - Lập phương trình hoành độ giao điểm của ∆ và (H)

- Chừng minh phương trình đó luôn có hai nghiệm trái dấu

b) - Tìm toạ độ xM , xN

- Dùng công thức bán kính qua tiêu điểm

Bài 3. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp dưới đây:

a) (E) có một tiêu điểm F1( - 7; 0) và đi qua M(-2; 12)

b)(E) đi qua điểm M( 1; 2

15 ) và có tiêu cự 4 3

c)(E) đi qua hai điểm M( 3; 5

4 ), N (- 4; 5

3 )

d)(E) đi qua M( 1; 2

3 ) và tâm sai e = 2

3

Ba đường cônic


20

ĐS: a) 1147196

22

=+ yx b) 1416

22

=+ yx c) 125

22

=+ yx d) 1

42

2

=+ yx

Bài 4.Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi thường hợp sau:

a)(H) có tiêu điểm F1( - 7; 0) và đi qua M(-2; 12)

b)(H) đi qua điểm A( 4 2 ; 5) và có đường tiệm cận y = 4

5x

c)(H) có tiêu cự bằng 2 5 và có tiệm cận xiên y = 2x

d)(H) đi qua A( 1; 0) và B( 3 ; 1)

ĐS: a) 148

22 =− y

x b) 12516

22

=− yx c) 14

22 =− y

x d) 1

211

22

=− yx

Bài 5. Viết phương trình của parabol (P) trong mỗi trương hợp dưới đây

a)(P) có đường chuẩn là ∆: x+ y = 0 và tiêu điểm F(2; 2)

b)(P) trục đối xứng là trục 0x; có đường chuẩn là trục 0y và đi qua điểm A(3; 1)

c)(P) có trục đối xứng là trục 0x và đi qua điểm A(4; 1); B(1; 2)

HD:a) M(x; y) ∈ (P) ⇔ d(M; ∆) = MF ⇒ Phương trình của (P)

b)- Do trục đối xứng là trục 0x nên toạ độ F(a; 0)

- Ta có d(A; 0x) = AF suy ra a

- Lập phương trình theo phần a)

c) -Tiêu điểm F thuộc trục 0x nên toạ độ F(a; 0)

- Đường chuẩn ∆ ⊥ 0x nên ∆: x = b

- Từ

=∆=∆

BFBd

AFAd

),(

),( suy ra a và b

- Lập phương trình (P) như phần a)

ĐS: a) x2 + y2 -2xy -8x -8y +16 = 0

b) y2 - 2(3 ± 2 2 )x + (3 ± 2 2 )2 = 0

c) y2= - x + 5

Bài 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua (12; -3) và tiếp xúc với elip

11832

22

=+ yx

ĐS: 3x + 4y - 24 = 0 và 3x - 28y -120 = 0

Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến của hypebol (H) : 14

22 =− y

x vẽ từ điểm (1; 4)

ĐS: x - 1 = 0 và 5x - 2y + 3 = 0

Ba đường cônic


21

Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) : y2 = 4x đi qua điểm (- 1; 38 )

ĐS: x - 3y + 9 = 0 và 9x + 3y + 1 = 0

Bài 9. Cho hypebol (H) 12

2

2

2

=−b

y

a

x

a)Tính độ dài phần đường tiệm cận nằm giữa hai đường chuẩn

b)Tính khoảng cách từ tiêu điểm tới đường tiệm cận

c)Chứng minh rằng : Chân đường vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đường tiệm cận nằm trên đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó.

HD:

a) - Lập phương trình hai đường chuẩn và hai đường tiệm cận

- Xác định toạ độ các giao điểm

- Tính độ dài đoạn tiệm cận nằm giữa hai đường chuẩn (do tình đối xứng nên hai đoạn là bằng nhau)

b) Do tính đối xứng của (H) nên chỉ cần tìm khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến một đường chuẩn bất kỳ

c) - Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ F2 đến đường tiệm cận d: bx + ay = 0

- Do I thuộc d nên toạ độ I( x0; - a

b x0)

- Từ duIF ⊥2 suy ra toạ độ I

- Kiểm tra I thuộc đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2

ĐS: a) 2a b) b

Bài 10( ĐH-CĐ khối D- 2005) Cho elip (E) : 114

22

=+ yx và C( 2; 0). Tìm A, B

thuộc (E) biết A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.

HD: - Đặt toạ độ A(x0; y0) suy ra toạ độ B(x0; - y0)

- Từ

=∈

ACAB

EBA )(, suy ra toạ độ a, b.

ĐS: A( 7

34;

7

2 ) , B(7

34;

7

2 − ) hoặc A(7

34;

7

2 − ), B(7

34;

7

2 )

Bài 11.(CĐ Cơ khí luyện kim -2007)Viết phương trình của hypebol (H):

149

22

=− yx

biết tiếp tuyến đó đi qua A( 3; 1)

ĐS: x - 3 = 0 và 5x - 6y - 9 = 0

Ba đường cônic


22

Bài 12. (CĐ Sư phạm Vĩnh phúc - 2007)Cho elip (E) : 9x2 + 16y2 = 144. Lập

phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua M( 4; 23 ) .

ĐS: x - 4 = 0 và 9x +16 y - 60 = 0

Bài 13.

a) Viết phương trình elip (E) biết hai tiêu điểm là F1(- 10 ; 0) , F2( 10 ; 0) và độ dài trục lớn là 2 18.

b)Đường thẳng d tiếp xúc với (E) tại M cắt hai trục toạ độ tại A và B . Tìm toạ độ M sao cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất

HD: b) - Đặt toạ độ M(x0; y0)

- Lập phương trình tiếp tuyến tại M

- Xác định toạ độ A, B theo x0, y0.

- Tính diện tích tam giác OAB theo x0, y0.

- Dùng điều kiện M thuộc (E) để tìm GTNN của SOAB

ĐS: a) 1818

22

=+ yx

b)Min S= 12 khi M( 2;3 ±± )

Bài 14.(Cao đẳng tài chính kế toán 2006).Cho elip (E): 148

22

=+ yx với các tiêu

điểm F1; F2. Tìm M thuộc (E) sao cho MF1 - MF2 = 2

HD: Sử dụng công thức tính bán kính qua tiêu điểm

ĐS: M( 3;2 ± )

Bài 15.

a) Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) với tổng hai bán trục bằng 7 và

phương trình hai đường tiệm cận là y = 43± x

b)Lập phương trình tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng d:5x -4y +10 =0.

ĐS:a) 1916

22

=− yx b)5x - 4y ± 16 = 0

Bài 16. (CĐ Giao thông vận tải 1997)Cho hypebol (H) : x2- y2 = 8. Viết phương trình chính tắc của elip đi qua A( 4; 6) và có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của hypebol đã cho .

ĐS: 14864

22

=+ yx

Bài 17.Cho elip (E) : 4x2 + 16y2 = 64

Ba đường cônic


23

a) Xác định các tiêu điểm F1, F2 , tâm sai và vẽ elip

b) Gọi M là điểm bất kì trên (E) . Chứng minh rằng tỷ số khoảng cách từ điểm M

tới tiêu điểm phải F2 và tới đường thẳng x = 3

8 có giá trị không đổi.

HD: b)- Lấy bất kì M(x0; y0) thuộc (E)

- Sử dụng công thức bán kính qua tiêu điểm tính MF2

- Tính d(M; ∆) với ∆: x = 3

8

- Lập tỷ số ),(

2

∆Md

MF

ĐS: a) F1( - 12 ; 0), F2( 12 ; 0)

b) 2

3

),(2 =∆Md

MF

Bài 18.Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) có tâm sai e = 2

5 và tiếp xúc

với đường tròn tâm I( 0; 4) bán kính 25

21 .

HD: - Lập phương trình tổng quát của (H) : 12

2

2

2

=−b

y

a

x

- Lập phương trình đường tròn (C)

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của (H) và (C).

-Từ điều kiện e = 2

5 và phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép suy

ra a , b.

ĐS: 14

22

=− yx

Bài 19.(ĐH-CĐ khối A - 2008)Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết tâm

sai e = 3

5 và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.

HD : Từ

=+

=

20)(23

5

ba

e suy ra a, b.

ĐS: 11636

22

=+ yx

Ba đường cônic


24

Bài 20.Cho elip (E) : 12

2

2

2

=+b

y

a

x (a>b>0)

a) Chứng minh rằng với điểm M bất kỳ thuộc (E) thì ta có b ax ≤≤

b) Giả sử đường thẳng (d): y = kx cắt elip (E) tại A. Tính OA theo a, b, k.

c) Gọi A, b thuộc (E) sao cho OA ⊥OB. Chứng minh rằng : 22

11

OBOA+ có giá trị

không đổi.

HD:

a) - Đặt toạ độ M( x0; y0)

- Từ điều kiện 12

20

2

20 =+

b

y

a

x và a>b> 0 suy GTLN, GTNN của OM2 = x0

2+y02

b) - Đặt toạ độ A(x0; y0)

- Từ A = (d) ∩(E) suy ra toạ độ A

- Tính OA

c) áp dụng phần b)

ĐS: b) OA = 222

21

akb

kab

+

+

*** H ết ***

Documents

Ba duong conic - lenhoty.files.wordpress.com · Ba đường cônic Nguy ễn Th ị Tuy ết H ạnh- THPT Phú Xuyên A 3 Theo điều ki ện c ủa định lý có : 2 2 2 2 2