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7/23/2019 B2015 Cap1 1.1 AnlisisVectorial
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1 1 ANLISIS VECTORIAL
TEORA ELECTROMAGNTICA 1
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Escalares
Escalar: Cantidad cuyo valor puede representarse con
nmero real (positivo o negativo).
EjemplodecantidadesEscalares
Temperatura
Tiempo
Espacio o distancia
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Vectores
Vector: Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud como
y sentido. Ser de inters los espacios de dos y tres dimaunque hay aplicaciones en espacios de n dimensiones.
Ejemplode
cantidadesVectoriales
Fuerza
Velocidad
Aceleracin
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Campos escalares y vectoriales
Un campo escalar o un campo vectorial puede
matemticamente como la funcin del vector que conectaarbitrario con un punto cualquiera en el espacio.
Es posible asociar algn efecto fsico con un campo: la fuerzaguja de una brjula en el campo magntico de la Tierra.
El concepto de campo invariablemente se relaciona con una
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Campos escalares
Ejemplodecamposescalares
La temperatura de un tazn de sopa
La densidad en cualquier punto de la Tierr
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Campos vectoriales
Ejemplode camposvectoriales
Campos gravitacional y magntico de la Tierra
Gradiente de voltaje de un cable y el gradientde temperatura en la punta de un cautn
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Campo Vectorial
En general, el valor de un campo vara tanto con la posicin ctiempo.
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lgebra Vectorial
Suma o resta de vectores: Para sumar o restar vectores exisgrficos y mtodos analticos.
Mtodos grficos: Mtodo del Paralelogramo y Mtodo del P
Mtodo del Paralelogramo
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lgebra Vectorial
Mtodo del Polgono
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lgebra Vectorial
La suma de vectores tiene la propiedad conmutativa:
A+ B = B + A
La suma de vectores tambin tiene la propiedad asociativa:
A+ ( B + C) = (A + B) + C
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lgebra Vectorial
La sustraccin de vectores se define fcilmente con respecto a
A - B = A + (-B)
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Sistema de coordenadas rectangulare
o cartesianas
En el sistema de coordenadas cartesianas se
utilizan tres ejes coordenados perpendicularesentre s, llamados eje ,,.
Se acostumbra elegir un sistema decoordenadas de mano derecha en el cual unarotacin del eje hacia el eje causara queun tornillo derecho avanzara en la direccindel eje .
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Sistema de coordenadas rectangulare
o cartesianas
La localizacin de un punto se hace por medio
de sus coordenadas ,,.
stas son respectivamente, las distanciasdesde el origen a cada una de lasintersecciones de una proyeccin
perpendicular desde el punto de los ejes,,.
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Sistema de coordenadas rectangulare
o cartesianas
Si se considera un elemento diferencial de
volumen en coordenadas cartesianas, seobtiene lo que se muestra en la grfica:
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Componentes vectoriales y vectores
unitarios
Para describir un vector en un sistema de coordenadas cutilizan los tres componentes vectoriales con los vectores un
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Componentes vectoriales y vectores
unitarios
Por ejemplo, para el punto P(1,2,3), se define el vector posel vector que va desde el origen al punto P; el vector posici
vector que va desde el origen al punto Q.
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Componentes vectoriales y vectores
unitarios
El vector es el vector dirigido de P a Q y se lo puede ovectores posicin de los puntos P y Q:
Del grfico, la suma de vectores: + = , deobtiene: =
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Magnitud de un vector
Sea el vector: = + + , entonces la
calcula: = = 2
+ 2
+ 2
Vector unitario: para que cualquier vector se lo transformunitario, se calcula de la siguiente forma:
=
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Campo Vectorial
El campo vectorial es una funcin vectorial de un vector posic
La magnitud y direccin de la funcin cambiarn confomoviendo a travs de la regin, y el valor de la funcin vdeterminarse a partir de los valores de las coordenadas dcuestin.
Sea el vector posicin como :
Entonces el campo vectorial se puede expresar como ()
Entonces el campo escalar , se puede expresar como ()
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Campo Vectorial
Un ejemplo, la velocidad del agua de mar en alguna reginsuperficie donde las mareas y las corrientes son importantes,
representar por medio de un vector velocidad: = + +
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Producto Punto
El producto punto o escalar entre dos vectores se define como:
. = cos
El producto punto cumple con la propiedad conmutativa:
. = .
Si se tiene dos vectores: = + + = + +
Entonces el producto punto est dado por: . = +
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Componente escalar de un vector sobr
otro
La componente o proyeccin escalar del vector sobre el vectoobtiene:
proyeccin escalar = .
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Componente vectorial de un vector
sobre otro
La componente o proyeccin vectorial del vector sobre el vese obtiene:
proyeccin vectorial = .
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PRODUCTO CRUZ
El producto cruz o vectorial da como resultado un vector que esa los dos vectores multiplicados y se define:
=
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PRODUCTO CRUZ
Sean los vectores: =
+
+
= + +
Para realizar el producto cruz se debe de utilizar el mtodo siguie
=
Sistema de Coordenadas Cilndricas
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Sistema de Coordenadas Cilndricas
Circulares
Es una versin en tres dimensiones de las coordenadas
la geometra analtica plana.
Sistema de Coordenadas Cilndricas
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Sistema de Coordenadas Cilndricas
Circulares Para transformar funciones
escalares dadas de un sistema de
coordenadas cartesianas acilndricas se utilizan lasfrmulas:
Sistema de Coordenadas Cilndricas
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Sistema de Coordenadas Cilndricas
Circulares Para transformar funciones
escalares dadas de un sistema de
coordenadas cilndricas acartesianas se utilizan lasfrmulas:
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Transformacin de sistemas de coorden
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Transformacin de sistemas de coorden
cartesianas a coordenadas cilndricas de una
vectorial
Una funcin vectorial en un sistema de coordenadasdos pasos para transformarla a otro sistema de coorde
Si se tiene un vector cartesiano: = + +
Se necesita un vector en coordenadas cilndricas: = + +
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Para encontrar cualquier componente deseada de urealiza el producto punto del vector con un vector udireccin deseada (proyeccin):
= . = .
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Sistema de Coordenadas Esfrica
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Sistema de Coordenadas Esfrica
Sistema de Coordenadas Esfrica
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Sistema de Coordenadas Esfrica
Para transformar escalares de unsistema de coordenadas
cartesianas a esfricas se utilizanlas frmulas:
Sistema de Coordenadas Esfrica
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Sistema de Coordenadas Esfrica
Para transformar escalares de unsistema de coordenadas
esfricas a cartesianas se utilizanlas frmulas:
Transformacin de sistemas de coordenadas
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Transformacin de sistemas de coordenadas
a coordenadas esfricas de una funcin ve
La transformacin de vectores requiere la determinproductos de los vectores unitarios en coordenadas cesfricas;
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Referencia Bibliogrfica
Hayt, W., Teora Electromagntica, 7ma. ed., Mc
Mxico 2006