BỘ MÔN DUYỆT ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT BÀI Thay mặt nhóm môn …fit.mta.edu.vn/files/FileMonHoc/ToanChuyenDeHamPhuc.pdf · 0, T], thì phương trình (2.1) xác định

1

BỘ MÔN DUYỆT

Chủ nhiệm Bộ môn

Tạ Ngọc Ánh

ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT BÀI

GIẢNG

(Dùng cho 45 tiết giảng)

Học phần: TOÁN CHUYÊN ĐỀ

Bộ môn TOÁN

Khoa : CNTT

Thay mặt nhóm môn

học

Phạm Tiến Dũng

Chủ biên: TS Phạm Tiến Dũng

Thành viên: PGS TS Nguyễn Xuân Viên

ThS Nguyễn Văn Hồng

TS Vũ Thanh Hà

ThS Nguyễn Thị Thu Hương

ThS Nguyễn Hồng Nam

Thông tin về giáo viên

TT Họ tên giáo viên Học hàm Học vị Đơn vị công tác

1 Nguyễn Xuân Viên PGS TS Bộ môn Toán

2 Phạm Tiến Dũng GVC TS Bộ môn Toán

3 Nguyễn Văn Hồng GV Ths Bộ môn toán

4 Vũ Thanh Hà GV TS Bộ môn Toán

5 Bùi Hoàng Yến GV ThS Bộ môn Toán

6 Nguyễn Hồng Nam GV ThS Bộ môn Toán

Thời gian, địa điểm làm việc: Bộ môn Toán- Khoa CNTT- HVKTQS

Địa chỉ liên hệ: [email protected]

Điện thoại, email: 069515330

2

Bài giảng 1: Giải Tích Phức

Chương I, Mục: 1.1-1.3

Tiết thứ: 1-3 Tuần thứ:

- Mục đích, yêu cầu:

* Giới thiệu về tập số phức; phép toán trên trường số phức, một số tính chât .

* Khái niệm hàm số biến phức, giới hạn và tính liên tục, đạo hàm của hàm

biến phức

* Vận dụng giải 1 số bài tập đơn giản

- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, tự học, tự nghiên cứu

- Thời gian: LT: 3t; Tự học: 3t

- Địa điểm: Giảng đường

- Nội dung chính: CHƢƠNG 1. Giải Tích Phức

1.1. Hàm số biến phức

1. Định nghĩa số phức

Định nghĩa 1. Ta gọi số phức c là cặp sắp thứ tự những số thực a và b :

c (a,b) .

Ký hiệu

c Rec phần thực của c ,

b Imc phần ảo của c .

Hai số phức 1 1 1c a ,b và 2 2 2c a ,b là bằng nhau nếu phần thực và phẩn

ảo tương ứng của chúng là bằng nhau, tức là 1 2c c nếu 1 2a a , 1 2b b .

Số phức (0,1) gọi là đơn vị ảo và ký hiệu i: i (0, 1) . Số phức x,0 đồng

nhất với số thực x : x,0 x ; số phức 0,y số thuần ảo. Số phức 0,0 gọi

là số không: 0,0 0 ; số 1,0 1 đơn vị.

Hai có phức c a,b và c (a, b) có cùng phần thực còn phần ảo của

chúng đối nhau thì được gọi là những số phức liên hợp của nhau.

3

2. Biểu diễn hình học của số phức

3. Các phép toán trên số phức

4. Dạng khác của số phức

Dạng 1: c (a,b) - cặp sắp thứ tự những số thực a và b (định nghĩa 1, § 1.1).

Dạng 2: dạng đại số c a ib, ở đó i đơn vị ảo.

Dạng 3: dạng lượng giác

Dạng 4. dạng mũ ic c e , (1.4)

ở đó c và - tương ứng là môđun và argument của số phức,

ie cos isin công thức Ơle.

Ví dụ. Biểu diễn số phức c 1 i 3 sau ở dạng lượng giác.

5. Biểu diễn tích và thƣơng của số phức dạng lƣợng giác

6. Phép nâng luỹ thừa. Công thức Muavra

Giả sử c c cos isin . Thành lập công thức

nnc c cosn isinn , (1.5)

ở đó n số tự nhiên.

như vậy, công thức (1.5) là nhận được và gọi chúng là công thức Muavra.

7. Phép khai căn

Định nghĩa. Giả sử cho số phức c 0 và n số tự nhiên. Căn bậc n của

c c cos isin là số phức cos +isin sao cho khi nâng lên lũy

thừa bậc n thì bằng c , tức là n c .

4

Định lý. Với c 0 , tồn tại n nghiệm khác nhau k của n c được tính

theo công thức

nk

argc 2k argc 2kc cos isin

n n

, (1.6)

ở đó n c căn số học của số dương c ,k 0,1,2...,n 1.

Ví dụ 1. Tính 3 1 : vì 1 cos0 isin0 1 = cos0 + isin0 nên theo công thức

(1.6) ta có

3k

0 2k 0 2k1 cos isin

3 3

, k = 0, 1, 2.

Khi k = 0, 0 cos0 isin0 1 ;

khi k = 1, 1

2 2 1 3cos isin i

3 3 2 2

;

khi k = 2, 2

4 4 1 3cos isin i

3 3 2 2

.

Thực hiện kiểm tra: 3 3

01 1 ,

3

3

1

2 2 2 2cos isin cos 3 isin 3 1

3 3 3 3

,

3

21 ,

tức là khi luỹ thừa bậc 3 các số hạng 0, 1, 2 ta nhận được số hạng dưới dấu

căn là 1.

1.2 Giới hạn và tính liên tục

1. Giới hạn của dãy

5

Định nghĩa 1. Số phức 0 0 0z x iy được gọi là giới hạn của dãy số

phức n n nz x iy , n 1,2,... nếu 0, 0n sao cho với mọi 0n n

thực hiện biểu thức n 0z z .

Định nghĩa 2. Tập những điểm z thỏa mãn 0z z được gọi là lân

cận điểm 0z bán kính .

2. Mặt phẳng phức mở rộng

Mặt phẳng phức C cùng với điểm ở vô cùng z sẽ được gọi là mặt

phẳng phức mở rộng và ký hiệu C .

Định nghĩa 1. lân cận của điểm vô cùng z gọi là phần ngoài của

đường tròn tâm O với bán kính , tức là tập những điểm z sao cho z .

Định nghĩa 2 . Số phức z gọi là giới hạn của dãy nz nếu

0,

0n N sao cho khi 0 nn n z .

3. Khái niệm về miền và đƣờng cong liên tục

Định nghĩa 1. Miền D trong mặt phẳng C là một tập hợp những điểm có

tính chất sau:

a) D là tập mở nghĩa là một tập chỉ gồm những điểm trong

b) D là tập liên thông nghĩa là qua 2 điểm bất kỳ thuộc D có thể nối tới

chúng bởi một đường cong (từng khúc) liên tục nằm hoàn toàn trong D .

Ví dụ 1. Lân cận của điểm a bán kính : |z - a| < là 1 miền.

Định nghĩa 2. Điểm M D gọi là điểm biên của miền D nếu với bất kỳ

lân cận nào của nó đều chứa những điểm trong miền D.

Tập tất cả những điểm biên của miền D gọi là biên của miền này.

6

Định nghĩa 3. Miền D hợp thêm với những điểm biên Γ của nó gọi là

miền đóng và ký hiệu là D .

Giả sử hàm

z z t x t iy t (2.1)

xác định trên đoạn [t0, T] những biến thực t. Nếu những hàm thực x(t) và y(t)

liên tục trên [t0, T], thì phương trình (2.1) xác định một đường cong liên tục trên

mặt phẳng phức C. Biến t trong phương trình (2.1) gọi là tham số, còn phương

trình (2.1) gọi là phương trình tham số của đường cong. Đường cong liên tục gọi

là đường cong Jordan, nếu với những giá trị t khác nhau (có thể trừ ra t0 và T)

tương ứng những giá trị z(t) khác nhau.

Nếu 0z t z T thì đường cong Jordan gọi là đóng.

Nếu chuyển động trên biên của đường cong kín mà miền của nó nằm về

bên trái thì hướng chuyển động gọi là hướng dương.

Jordan đã chứng minh rằng đường cong Jordan kín chia mặt phẳng phức

mở rộng C ra 2 miền: miền trong (bị chặn) và miền ngoài (không bị chặn và

chứa điểm z ).

Ví dụ 2. Đường tròn |z - z0| = chia C ra miền trong |z - z0| < miền

ngoài |z - z0| > .

Ví dụ 3. Phương trình z = it, -1 t 1 là phương trình của khoảng trên

trục ảo nối từ điểm z = -i đến điểm z = i. Đường cong là Jordan.

Ví dụ 4. Phương trình 0z z cos t isin t , 0 t 2, 0z số phức,

là số thực dương xác định đường tròn tâm 0z bán kính . Đường tròn này là

đường cong kín Jordan bởi vì z(0) = z(2) = z0 + ; 1 2z t z t với bất kỳ 1t

và 2t trong khoảng (0, 2).

7

Định nghĩa. Miền D đơn liên nếu bất kỳ đường cong kín Jordan L

trong miền D sẽ là biên của miền E nào đó nằm trong D . Miền không thảo mãn

này gọi là miền đa liên

4. Hàm số biến phức

Định nghĩa. Nếu mỗi số phức z D thành lập tương ứng một hay nhiều

số phức thì nói rằng trên D xác định một hàm số biến phức z: f z .

Nếu mỗi số phức z D tương ứng một giá trị thì hàm số gọi là hàm

đơn trị, còn nếu mỗi z tương ứng hai hoặc nhiều giá trị thì xác định hàm đa trị.

Ví dụ. Cho phương trình 2z , tìm Re và Im.

Giải. 22 2 2z x iy x y i2xy , từ đó suy ra

2 2Re u x,y x y , Im v x,y 2xy. ►.

5. Giới hạn của hàm số

Giả sử f z là hàm đơn trị xác định trong lân cận điểm 0z (có thể trừ

chính điểm 0z ).

Định nghĩa 1. Số phức A gọi là giới hạn của hàm f z tại 0z , nếu

với dãy bất kỳ nz n 0n 1,2,...;z z hội tụ đến 0z thì tương ứng dãy nf (z )

Đưa vào ký hiệu: A B iC , f z u x,y iv x,y , 0 0 0z x iy ; khi đó

00

x xy y

lim u x,y B

, 00

x xy y

lim v x,y C

.

Từ đó nhận được một số tính chất sau:

0 0 0z z z z z z

lim f z g z lim f z lim g z

,

8

0 0 0z z z z z z

lim f z .g z lim f z . lim g z

, (2.2)

0

00

z z

z zz z

lim f zf z

limg z lim g z

, 0z z

lim g z 0

,

Định nghĩa 3. Số A C gọi là giới hạn của hàm f z tại điểm z

nếu với bất kỳ 0 tìm được 0 sao cho với mọi điểm z thỏa mãn z

suy ra f z A .

Định nghĩa 4. Hàm số f z có giới hạn bằng ∞ khi 0z z nếu với

bất kỳ M>0 tìm được lân cận 0z sao cho với mọi z thỏa mãn thức

00 z z suy ra f z M .

Định nghĩa 5. Hàm số f z có giới hạn vô cùng bé khi 0z z nếu

0z z

lim f z 0

.

6. Hàm liên tục

Giả sử hàm đơn trị f z xác định trong miền D và điểm 0z D .

Định nghĩa 1. Hàm số f z gọi là liên tục tại điểm 0z nếu giới hạn

f z tồn tại tại điểm này và bằng 0f z , tức là với bất kỳ > 0 tìm được số >

0 sao cho từ 0z z suy ra 0f z f z .

1.3. Đạo hàm

1. Định nghĩa.

Giả sử trong miền D xác định hàm đơn trị biến số phức f z . Với các

điểm 0z D và 0z z D thành lập số gia hàm số 0f z z

9

0f z tương ứng với số gia đối số 0 0z z z z .Hàm số f z gọi là

khả vi tại điểm 0z nếu tồn tại giới hạn sau là hữu hạn

0z 0lim f ' z

z

.

Giới hạn 0f ' z này gọi là đạo hàm của hàm f z tại điểm 0z

2. Vi phân

Từ điều kiện khả vi của hàm f z , sử dụng (3.1), có thể viết lại ở

dạng

0 0f z f ' z . z 0 z , (3.2)

ở đó 0 z hàm vô cùng bé có bậc cao hơn bậc của z z 0 .

Định nghĩa. Vi phân của hàm f z tại 0z là phần tuyến tính

0f ' z . z đối với z trong đẳng thức (3.2). Ký hiệu vi phân của hàm số là d ,

ký hiệu z là dz (vi phân không phụ thuộc vào biến), thì ta nhận được công

thức vi phân của hàm f z là:

d f ' z dz . (3.3)

Nếu phần tuyến tính 0f ' z . z đối với z trong đẳng thức (3.2) không có

0f ' z ( 0f ' z 0 ), thì vi phân của hàm số giả thiết bằng 0, tức là công thức

(3.3) vẫn còn đúng trong trường hợp này.

Nhận xét. Sử dụng đẳng thức (3.2), dễ dàng chứng minh được rằng hàm

f z khả vi tại 0z thì liên tục tại điểm này.

- Yêu cầu SV chuẩn bị:Nắm kiến thức cơ bản, hiểu, làm bài tập đã cho.

TL1: Phan Bá Ngọc, Các phép biến đổi Laplace , KHKT, 1978

TL2: Đào Bá Dương, Hàm Phức, HVKTQS ,1998

10

Bài giảng 2: Giải Tích Phức (tiếp)




* Định lý Cosi-Rieman, khái niệm hàm giải tích,

* ý nghía hình học của modun và arg, hàm điều hòa, một số hàm cơ bản.

* Vận dụng giải một số bài tập đơn giản


- Thời gian: LT: 2t; BT: 2t, Tự học: 3t


- Nội dung chính:

1.4. Điều kiện cần và đủ để hàm có đạo hàm

Khảo sát trong miền D hàm đơn trị f z u x,y iv x,y .

Tính khả vi của hàm Re u x,y và Im v x,y chưa chắc đảm bảo

tính khả vi của hàm số biến phức.

Ví dụ 1. Khảo sát tính khả vi của hàm z.Imz .

Định lý. Để cho hàm f z u x,y iv x,y xác định trên miền D là

khả vi tại z D , thì cần và đủ là các hàm u(x, y) và v(x, y) có đạo hàm liên tục

tại điểm này như các hàm thực biến x và y, hơn nữa thỏa mãn điều kiện

u v,

x y

u v

y x

. (3.5)

Điều kiện (3.5) gọi là điều kiện Côsi-Riman.

Quay lại ví dụ 1, ta kiểm tra điều kiện C-R

2zImz x iy y xy iy ,

u(x, y) = xy, v(x, y) = 2y .

11

Tìm đạo hàm riêng của các hàm u(x, y) và v(x, y):

u

y,x

ux,

y

v0,

x

v2y.

y

Ta sẽ kiểm tra điều kiện C-R (3.5)

y 2y

0 x

y 0

x 0

z 0.

Từ đó suy ra rằng điều kiện C-R đối với hàm zImz thỏa mãn chỉ với

z 0 , tức là hàm số khả vi tại một điểm z 0 , và theo (3.7) thì đạo hàm của

hàm số zImz :

x 0y 0x 0

y 0

u vf ' 0 i y i0 0

x x

.

Ví dụ 2. Kiểm tra điều kiện C-R đối với hàm số 2z .

Giải. Suy ra số 2z khả vi trên mặt phẳng phức C và đạo hàm của nó

2 u vz ' i 2x i2y 2z.

x x

►

1. Khái niệm hàm giải tích

Định nghĩa. Hàm đơn trị f z xác định trên miền D gọi là giải tích

(chỉnh hình) trong miền D nếu nó có đạo hàm tại mỗi điểm trong miền này.

Nhận xét rằng khái niệm về tính khả vi và tính giải tích của hàm f z

tại điểm z là khác nhau.

Câu nói "hàm f z giải tích tại điểm z" được hiểu nghĩa là hàm

f z giải tích trong lân cận nào đó của điểm này.

Ví dụ 1. Có phải hàm f z zImz là giải tích tại điểm z = 0?

12

Ví dụ 2. Hàm số 2z là giải tích trên toàn mặt phẳng phức C.

2. Quy tắc lấy đạo hàm

Quy tắc lấy đạo hàm ta đã biết trong toán giải tích đối với trường hợp biến

thực, và bây giờ mở rộng cho vi phân hàm biến phức.

3. Điều kiện C-R dạng tọa độ cực

Chuyển từ hệ toạ độ Đềcác x và y thành hệ toạ độ cực r và theo công

thức sau:

x = rcos, y = rsin.

Từ đó ta nhận được điều kiện C-R dạng tọa độ cực

u 1 v

r r

,

1 u v

r r

.

7. Ý nghĩa hình học của 0f ' z và 0

Argf ' z

Kết luận. Nếu hàm số f z giải tích tại điểm 0z và 0f ' z 0 thì ánh

xạ f z có tính chất bảo toàn góc và hệ số co giãn tại 0z . Ánh xạ như vậy

được gọi là ánh xạ bảo giác tại 0z . Ánh xạ f z là bảo giác trên miền D nếu

nó bảo giác tại mọi điểm trong D.

1.5. Hàm điều hoà

Định nghĩa 1. Hàm g x,y có đạo hàm cấp 2 liên tục trong miền D và thoả

mãn

2 2

2 2

g g0,

x y

(3.14)

gọi là hàm điều hoà; phương trình (3.14) - phương trình Laplace.

13

Như vậy, các hàm Ref z u x,y và Imf z v x,y của hàm giải

tích f z trong miền D là những hàm điều hoà. Nhưng hai hàm điều hoà

g(x,y) và (x,y) trong miền D, nói chung không tạo thành hàm giải tích

f z g x,y i x,y ,

tức là điều kiện C-R có thể không thoả mãn.

Định nghĩa 2. Hai hàm u x,y và v x,y điều hòa trong miền D gọi là

liên hợp nếu chúng thoả mãn điều kiện C-R.

Định lý. Nếu cho trước một trong hai hàm điều hoà liên hợp u x,y hoặc

v x,y thì có thể nhận được một hàm giải tích u x,y iv x,y .

Ví dụ. Tìm hàm giải tích f z nếu biết phần thực của nó u x,y

3 2x 3xy , 0 0.

1.6. Một số hàm giải tích cơ bản

- Yêu cầu SV chuẩn bị:Nắm kiến thức cơ bản, hiểu, làm bài tập đã cho. .0



Bài giảng 3: Tích phân hàm biến phức




* Khái niệm về tích phân hàm biến phức, các tính chất

* Tích phân Cosi cho miền đơn và đa lien, công thức tich phân Cosi.



- Thời gian: LT: 3t; Tự học: 3t

14


- Nội dung chính : Tích phân hàm biến phức

2.1 Định nghĩa và các tính chất

1. Định nghĩa tích phân

Khảo sát trên mặt phẳng phức một đường cong Jordan xác định

hướng từ điểm đầu a đến điểm cuối b .

Giả sử hàm số f z u x,y iv x,y là hàm đơn trị xác định trên

đường cong . Chia đường cong thành n cung bất kỳ bởi các điểm chia

0 1 k 1 k na z ,z ,...,z ,z ,...,z b. Chọn trên mỗi cung k 1 kz ,z một điểm bất kỳ

k . Lập tổng tích phân

n

n k k

k 1

f z ,

ở đó k k k 1z z z .

Định nghĩa. Giới hạn của tổng tích phân n khi kmax z 0, nếu tồn

tại và hữu hạn thì gọi là tích phân của hàm f z biến phức z dọc theo đường

cong và ký hiệu bởi công thức f z dz , tức là

k

n

k kmax z 0 k 1

lim f z f z dz.

(5.1)

Đường cong gọi là đường lấy tích phân.

Định lý. Nếu đường cong trơn từng khúc còn hàm đơn trị f z là

liên tục trên đường cong này, thì tích phân trên đường lấy tích phân là tồn tại.

Hơn nữa hàm f z gọi là khả tích dọc theo đường cong .

Từ định nghĩa tích phân suy ra một số tính chất sau:

15

1. Tuyến tính. Nếu hàm f z và g z là liên tục trên đường cong trơn

từng khúc, thì

af z bg z dz a f z dz b g z dz,

ở đó a,b C những số phức.

2. Tính cộng tính. Nếu đường cong AC trơn từng khúc và hàm f z

là khả tính trên nó. Khi đó

AC AB BC

f z dz f z dz f z dz.

3. AB BA

f z dz f z dz,

tức là khi đổi hướng của đường cong lấy tích phân thì tích phân đổi dấu.

4.Bất đẳng thức đánh giá

f z dz f z d ,

ở đó tích phân ở vế phải là tích phân đường loại một.

2. Phép tính tích phân

Trong đẳng thức (5.1) giả thiết z x iy, f z u x,y iv x,y ,

Như vậy, tính tích phân của hàm biến phức chuyển thành tính hai tích phân

đường loại 2 của hàm những biến thực:

f z dz u x,y dx v x,y dy i v x,y dx v x,y dy. (5.2)

16

Để tính tích phân đường bên phải công thức (5.2), đường cong cho

dạng phương trình tham số:

z t x t iy t , t , , a z , b z .

Khi đó công thức (5.2) sẽ có dạng

f z dz f z t z ' t dt.

(5.4)

Nhận thấy rằng, nếu đường cong kín Jordan thì sử dụng ký hiệu:

f z dz, f z dz

tùy theo hướng chuyển động trên đường chu tuyến. Ký hiệu

đường cong kín

có hướng dương,

đường cong kín có hướng âm.

Ví dụ 1. Tính z 2z dz, ở đó đoạn thẳng nối từ z 0 đến z 1 i .

Ví dụ 2. Tìmdz

,z a

ở đó a số phức, đường tròn z a có hướng

dương.

2.2 Nguyên hàm và công thức Newton-Lepnit

1. Định lý Côsi cho miền đơn liên

Định lý Côsi 1. Nếu hàm f z là giải tích trong miền đơn liên D thì tích

phân của hàm f z dọc theo đường cong kín Jordan trơn từng khúc D sẽ

bằng 0, tức là

17

f z dz 0. (5.5)

Định lý Côsi là trọng tâm trong lý thuyết hàm số biến số phức; Khảo sát

định lý cho miền đơn liên. Nhớ rằng miền D đơn liên nếu bất kỳ đường cong

kín Jordan vẽ trong miền D sẽ giới hạn miền G D.

Hệ quả 1. Nếu hàm f z là giải tích trong miền đơn liên D thì với bất

kỳ đường cong Jordan trơn từng khúc nằm trong miền D và có chung điểm đầu

là a và chung điểm cuối là b thì b

a

f z dz nhận một và chỉ một giá trị.

Công thức

b

a

... nghĩa là đường trơn từng khúc nối điểm a và điểm b có

thể bất kỳ, hơn nữa a và b tương ứng là cận dưới và cận trên của tích phân.

Hệ quả 2. Nếu hàm f z là giải tích trong miền đơn liên D thì tích phân

z

a

f d F z , (5.6)

là một hàm giải tích trong miền D, hơn nữa

z

a

dF' z f d f z .

dz

Định nghĩa. Hàm z giải tích trong miền D được gọi là nguyên hàm

của hàm f z nếu ' z f z với z D.

Từ đó suy ra hàm (5.6) trong hệ quả 2 là nguyên hàm của f z và ngoài ra

1) Nếu F z là nguyên hàm của hàm f z thì hàm F z C cũng là

nguyên hàm của f z , ở đó C-hằng số.

18

2) Nếu 1F z và 2F z là những nguyên hàm của f z thì hiệu

1 2F z F z sẽ bằng hằng số.

Hệ quả 3. Nếu hàm f z giải tích trong miền D, thì với hai điểm cố

định a D và b D sẽ xác định công thức Newtơn - Lepnit

b

b

aa

f z dz F z F b F a , (5.7)

ở đó F z nguyên hàm của hàm số f z .

Ví dụ. Tính

ii 32

1 1

z 1z dz 1 i .

3 3

►

2. Định lý Côsi cho miền đa liên

Định lý Côsi 2. Giả sử miền D n 1 biên, biên L của nó là tập những

cặp không giao nhau những đường cong Jordan kín trơn từng khúc 0 1 nL ,L ,...,L ,

và hơn nữa 0L đường bên ngoài còn 1 nL ,...,L đường bên trong (H5.4). Nếu

hàm f z giải tích trong miền đóng D thì tích phân hàm f z dọc theo L

bằng 0. Biên L chuyển động theo một hướng (hướng dương),

Ví dụ. Tính tích phân n

0

L

z z dz,

ở đó n , L đường cong kín

Jordan trơn từng khúc chứa bên trong nó một điểm 0z cố định.

3. Công thức tích phân Côsi

Định lý 3. Giả sử f z giải tích trong miền G, L đường cong kín

Jordan trơn từng khúc của miền D nằm trong G (H5.6). Khi đó với mỗi 0z D ,

công thức

19

00

L

f z1f z dz,

2 i z z

(5.9)

gọi là công thức tích phân Côsi.

Chu tuyến L có hướng dương. Theo công thức (5.9) có thể tìm giá trị của

hàm giải tích bên trong chu tuyến L qua giá trị của hàm này trên chính L.



TL2: Đào Bá Dương, Hàm Phức, HVKTQS ,1998.

Bài giảng 4: Tích phân hàm biến phức (tiếp)

Chương III, Mục: 2.4-2.6



* Tính khả tích, tính khả vi của một hàm giải tích .






2.4 Tính tích phân trên đƣờng cong kín Jordan trơn từng khúc

1. Giả sử f z hàm giải tích trong miền đóng đơn liên D , biên của nó là

đường cong kín Jordan trơn từng khúc L. Khi đó tích phân theo bất kỳ đường cong

kín Jordan trơn từng khúcL' trong D sẽ bằng 0, thỏa mãn định lý Côsi trong §5.3.

Ví dụ: 1.

L

nz dz 0,n 0,1,...;

2.

L

ze dz 0;

3.

L

sin zdz 0;

4.

L

shzdz 0;

20

ở đó L C đường cong Jordan liên tục từng khúc bất kỳ.

2. Giả sử D miền đơn liên, có biên L là đường cong kín Jordan trơn

từng khúc. Nếu các điểm 1 2 nz ,z ,...,z là những điểm trong D làm cho hàm g z

không giải tích, khi đó các điểm 1 2 nz ,z ,...,z gọi là những điểm bất thường cô

lập của hàm g z . Điểm 0z gọi là điểm bất thường cô lập của hàm g z nếu

một lân cận của 0z nếu trong đó không có điểm bất thường nào khác.

Giả sử 0z là điểm bất thường của hàm g z , có thể biểu diễn

0

f zg z

z z

,

ở đó f z hàm giải tích trong D . Khi đó sử dụng công thức (5.10) ta nhận

được

00

L L

f zg z dz dz 2 if z .

z z

(5.11)

Ví dụ 5. Tính tích phân 2

z 2

dz.

z 1

Ví dụ 6. Tính tích phân

z 2

coszdz.

z z 5

2.5 Tính khả vi vô hạn của hàm giải tích

Định lý. Hàm số f z giải tích trong miền D sẽ có đạo hàm đến cấp bất

kỳ trong miền này và đạo hàm cấp n xác định theo công thức

n

n 1

L

f dn!f z ,

2 i z

n=1,2,… , (5.12)

ở đó L đường cong kín Jordan trơn từng khúc cùng với miền trong của nó nằm

trong D.

21

Từ định lý suy ra rằng đạo hàm f ' z của hàm giải tích f z là hàm giải

tích. Hơn nữa đạo hàm nf z với n bất kỳ là một hàm giải tích. Điều này là sự

khác biệt quan trọng giữa hàm biến số phức và hàm biến số thực. Hàm f x

biến thực x có thể không có đạo hàm cấp hai f " x trong khi đạo hàm cấp một

f ' x tồn tại.

Nếu hàm dưới dấu tích phân trong công thức (5.12) có dạng

n 1

0

f zg z ,

z z

ở đó f z hàm giải tích trong D và 0z D . Khi đó sử dụng (5.12) ta nhận

được công thức để tính tích phân theo đường cong L:

n0n 1

0L L

f z dz 2 ig z dz f z .

n!z z

(5.13)

Ví dụ. Tính tích phân 4

z 2

sin zdz.

z

.

2.6. Bài tập tự giải




Bài giảng 5: Chuỗi

Chương I, Mục:3.1-3.2



* Khái niệm về chuỗi Taylo, khai triển hàm giải tích thành chuỗi Taylo.

*Khái niệm về chuỗi Lorang, định lý Lorang .


22





3.1. Chuỗi Taylo

Định lý. Hàm f z giải tích trong miền mở 0z z R có thể biểu diễn

ở dạng tổng của chuỗi luỹ thừa

n

n 0

n 0

f z c z z ,

0z z R, (6.9)

ở đó

n0

n

f zc ,

n! n 0,1,2,...,

00 0f z f z . (6.10)

Biểu diễn hàm f z thành chuỗi luỹ thừa (6.9) được gọi là khai triển hàm

số thành chuỗi luỹ thừa.

1. Định lý duy nhất khai triển hàm giải tích thành chuỗi luỹ thừa

Định lý. Mỗi chuỗi luỹ thừa với bán kính hội tụ R 0 là chuỗi Taylo của

tổng của nó.

Hệ quả (Tính duy nhất của chuỗi Taylo). Khai triển hàm giải tích f z

trong miền D thành chuỗi Taylo là duy nhất theo luỹ thừa của 0z z , ngoài ra

bán kính hội tụ R của nó không nhỏ hơn khoảng cách d từ điểm 0z đến biên

của miền D.

2. Không điểm của hàm giải tích

Định nghĩa 1. Điểm 0z trong miền xác định của hàm f z gọi là không

điểm của hàm f z nếu 0f z 0.

23

Giả sử hàm f z giải tích trong lân cận không điểm của nó 0z z , hơn

nữa f z 0. Khai triển trong lân cận 0z z hàm f z thành chuỗi Taylo, hệ số

của nó không phải tất cả bằng 0 (vì f z 0 ):

m m 1

m 0 m 1 0f z c z z c z z ...,

(6.14)

ở đó mc 0.

Số tự nhiên m trong khai triển (6.14) được gọi là bội của không điểm 0z

của hàm giải tích f z . Nếu m = 1 thì 0z không điểm đơn của hàm f z .

Từ khai triển (6.14) nhận thấy rằng, với không điểm đơn 0f z 0,

0f ' z 0. Với không điểm bội m: m 1 m0 0 0f z 0,...,f z 0,f z 0.

Định nghĩa 2. Điểm vô cực z gọi là không điểm của hàm f z nếu

z

f lim f z 0.

Định lý. Nếu hàm giải tích f z không đồng nhất 0 và 0z là không điểm

bội m của hàm, thì tồn tại lân cận điểm 0z trong đó hàm f z không có không

điểm khác.

3. Khai triển hàm thành chuỗi Taylo

Ví dụ 3. Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển Taylo của hàm

z

1f z

1 e

trong lân cận điểm 0z 0.

Ví dụ 4. Tìm khai triển hàm 2cosz thành chuỗi Taylo trong lân cận điểm

0z 0 theo luỹ thừa z.

Ví dụ 5. Khai triển hàm 1

f (z)1 z

thành chuỗi Taylo theo luỹ thừa z.

24

Có thể giải ví dụ 5 bằng phương pháp khác. Hàm 1

f (z)1 z

là tổng của

cấp số nhân giảm vô hạn với công bội q z :

n n2 n

n 0

11 ( z) ( z) ... z ... 1 z

1 z


f (z)z 4

trong lân cận điểm 0z 2.

Ví dụ 7. Khai triển hàm

z 8f z

z 2 z 3

thành chuỗi Taylo trong lân

cận điểm 0z 1.

Ví dụ 8. Khai triển hàm 2 2

13f z

z 4 z 9

thành chuỗi Taylo trong

lân cận điểm 0z 0.

Ví dụ 9. Tìm khai triển hàm zf z e chz thành chuỗi Taylo theo luỹ thừa

của z.

Ví dụ 10. Khai triển hàm sin zf z e thành chuỗi Taylo với tâm tại điểm

0z 0.

3.2. Khái niệm về chuỗi Lorăng

Chuỗi hàm có dạng

n

n 0

n

c z z ,

(7.1)

ở đó 0z , nc , n 0, 1,... là những hằng số, được gọi là chuỗi Lorăng. Chuỗi

(7.1) có thể viết lại dạng tổng của hai chuỗi sau

25

n

n 0

n 0

c z z

và m

m 0

m 1

c z z .

(7.2)

Nếu cả hai chuỗi (7.2) hội tụ trong miền D nào đó thì chuỗi Lorăng (7.1) sẽ gọi

là hội tụ trong miền D.

Xây dựng một miền hội tụ D của chuỗi (7.1). Miền D chính là phần miền

chung của các chuỗi (7.2). Chuỗi thứ nhất trong (7.2) là chuỗi luỹ thừa với bán

kính hội tụ R. Chuỗi thứ hai trong (7.2) với luỹ thừa nguyên âm của 0z z .

Thế 0

1z z ,

khi đó chuỗi thứ hai của (7.2) trở thành m

m

m 1

c

là chuỗi luỹ

thừa và miền hội tụ của nó 1r . Quay lại với biến cũ, ta có 01

1z z r,

r tức

là miền hội tụ sẽ là phần ngoài miền tròn bán kính r cùng tâm 0z . Nếu r R ,

thì có phần chung miền hội tụ của những chuỗi trong (7.2), là hình vành khăn

0r z z R. (7.3)

Trong hình vành khăn (7.3) cả hai chuỗi của (7.2) hội tụ tuyệt đối và đều.

Từ đó suy ra rằng miền hội tụ D của chuỗi Lorăng (7.1) là hình vành khăn (7.3),

bên trong nó chuỗi Lorăng hội tụ đều và tuyệt đối đến một hàm giải tích f z :

n

n 0

n

f z c z z ,

0D: r z z R. (7.4)

Nếu r R, thì chuỗi (7.2) không có miền hội tụ chung và chuỗi (7.1)

phân kỳ khắp nơi.

1. Khai triển hàm thành chuỗi Lorăng

26

Định lý Lorăng. Nếu hàm f z giải tích trong hình vành khăn (7.3), thì

tồn tại duy nhất khai triển hàm f z thành chuỗi Lorăng (7.4), ở đó

n n 1

0L

f z1c dz,

2 i z z

n 0, 1,..., (7.5)

và L đường tròn 0z z , r R.

Định lý không loại trừ trường hợp r 0 và R .

Ví dụ 1. Tìm tất cả các khai triển có thể của hàm số sau thành chuỗi Lolăng theo

luỹ thừa z

1f z .

z 2 z 3


f z sinz 2

thành chuỗi Lorăng trong lân cận điểm

0z 2.

Ví dụ 3. Khai triên hàm z 1

f z cosz 2

thành chuỗi Lorăng theo luỹ thừa

z 2.




Bài giảng 6: Chuỗi (tiếp)




* Khái niệm điểm bất thường và phân loại chúng


27





3.3. Điểm bất thƣờng và phân loại chúng

Giả sử hàm f z giải tích trong hình vành khăn 00 z z R, nhưng

không giải tích tại 0z . Điểm 0z được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm f z .

Theo định lý Lorăng, hàm f z khai triển được trong hình vành khăn này thành

chuỗi Lorăng (7.4). Chuỗi (7.4) dùng để phân loại những điểm bất thường cô lập.

Định nghĩa 1. Điểm bất thường cô lập 0z của hàm f z được gọi là điểm

bất thường bỏ được nếu trong chuỗi Lorăng không chứa phần chính.

Định nghĩa 2. Điểm bất thường cô lập 0z của hàm f z được gọi là cực

điểm nếu phần chính của chuỗi Lorăng chứa hữu hạn số hạng.

Định nghĩa 3. Điểm bất thường cô lập 0z của hàm f z được gọi là

điểm bất thường cốt yếu nếu phần chính của chuỗi Lorăng chứa vô số các số

hạng.

A. Đối với điểm bất thường bỏ được 0z chuỗi Lorăng (7.4) thỏa mãn định

nghĩa 1 có dạng

n n

n 0 0 1 0 2 0

n 0

f z c z z c c z z c z z ...

(7.11)

Chuỗi (7.11) là chuỗi luỹ thừa, hội tụ trong hình vành khăn 00 z z R đến

hàm giải tích f z . Bởi vì 0

0z zlim f z c

nên đặt 0 0f z c , ta nhận được hàm

giải tích f z trong miền mở 0z z R.

28

Ví dụ 1. Cho hàm sin z

f zz

, chứng minh rằng điểm bất thường cô lập

0z 0 là điểm bất thường bỏ được.

Định lý 1. Để 0z là điểm bất thường bỏ được của hàm f z giải tích

trong hình vành khăn 00 z z R, cần và đủ là giới hạn sau tồn tại và hữu

hạn

0z z

lim f z A.

(7.12)

B. Giả sử 0z là cực điểm của hàm f z , tức là trong phần chính của

chuỗi Lorăng có hữu hạn số hạng với hệ số nc khác không. Trong trường hợp

này chuỗi Lorăng có dạng:

1

n nn 0 n 0

n m n 0

f z c z z c z z ,

ở đó mc 0. (7.13)

Số m gọi là bậc của cực điểm 0z , điểm bất thường 0z cực điểm cấp m. Nếu

m 1 thì cực điểm 0z gọi là cực điểm đơn.

Định lý 2. Để cho điểm bất thường cô lập 0z của hàm f z giải tích

trong hình vành khăn 00 z z R là cực điểm, thì cần và đủ là 0z z

lim f z .

Định lý 3. Để 0z là cực điểm cấp m của hàm f z thì cần và đủ là 0z là

không điểm bội m của hàm 1

(z)f (z)

.

C. Nếu phần chính của chuỗi Lorăng có vô số số hạng thì theo định nghĩa,

điểm z0 là điểm bất thường cốt yếu.

29

Ví dụ 2. Hàm 1

f z cosz 2

có điểm bất thường cốt yếu 0z 2 vì trong

miền 0 z 2 chuỗi Lorăng

n

2 2n

1 1 1cos 1 ... 1 ...

z 2 2! z 2 2! z 2

chứa trong phần chính gồm vô số các số hạng với hệ số khác không.

Định lý 4. Nếu 0z điểm bất thường cốt yếu của hàm f z thì với bất kỳ

số phức A ( kể cả trường hợp A ) tồn tại dãy điểm nz hội tụ đến 0z sao

cho nnlim f z A.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng 1/zf z e có điểm bất thường cốt yếu tại

0z 0.

Kết luận.

1. Phân loại điểm bất thường xác định các số hạng với âm của 0z z trong

chuỗi Lorăng (7.4) của khai triển hàm f z trong lân cận điểm 0z . Chuỗi

n

n 0

n 1

c z z

gọi là phần chính của khai triển Lorăng (7.4). Chuỗi

cùng với những số hạng không âm trong chuỗi (7.4) gọi là phần đều của

chuỗi Lorăng. Phần chính hoặc phần đều của chuỗi Lorăng (7.4) có thể có

hữu hạn số hạng hoặc thậm chí thiếu váng tất cả.

2. Điểm bất thường cô lập 0z của hàm số f z là:

+ Bỏ được nếu 0z z

lim f z c ;

+ Cực điểm cấp m nếu 0z z

lim f z ;

30

+ Cực điểm cấp yếu nếu 0z z

lim f z

không tồn tại.

2.Khai triển hàm giải tích thành chuỗi Lorăng trong lân cận điểm vô cực

Định nghĩa. Điểm vô cực z gọi là điểm bất thường bỏ được, cực điểm cấp m

hoặc bất thường cốt yếu của hàm f z , nếu điểm 0 tương ứng là điểm bất

thường bỏ được, cực điểm cấp m hoặc bất thường cốt yếu của hàm 1

f

.

Khai triển hàm trong lân cận 0 thành chuỗi Lorăng:

nn

n

c .

Quay trở lại phép biến đổi 1

z

ta nhận được

nn

n

f z c z .

(7.15)

Khai triển (7.15) gọi là khai triển hàm f z thành chuỗi Lorăng trong lân

cận điểm vô cực z .

So sánh (7.14) và (7.15) đưa đến kết luận rằng vai trò những số hạng với luỹ

thừa dương và âm biến đổi cho nhau. Từ đó suy ra phần chính trong khai triển

Lorăng tại lân cận z là tập những số hạng có luỹ thừa dương, phần đều là phần

còn lại của chuỗi (7.15).

Kết luận.

1. Nếu trong khai triển (7.15) thiếu những hệ số của luỹ thừa dương của z

thì điểm vô cực là điểm bất thường bỏ được của f z .

31

2. Nếu trong khai triển Lorăng (7.15), tập hợp những hệ số khác không của

luỹ thừa dương của z là hữu hạn (vô hạn) thì điểm vô cực z là cực điểm (điểm

bất thường cốt yếu) của hàm f z . Nhận thấy rằng, đối với điểm bất thường bỏ

được, cực điểm và bất thường cốt yếu tương ứng zlim f z ,

zlim f z ,

zlim f z

không tồn tại.

Xác định dạng của điểm bất thường z .

1) Hàm 1

5 z

Trong lân cận z 5 , khai triển hàm thành chuỗi Lorăng

2 3 n

2 3 2 n 1

1 1 1 5 5 5 1 5 ( 5)1 ... ... ...

55 z z z zz z z zz 1z

Trong chuỗi khai triển Lorăng thiếu vắng những phần tử với luỹ thừa dương

của z nên điểm z là điểm bất thường bỏ được.

2) Hàm f z cosz .

3. Hàm nguyên và hàm phân hình

Định nghĩa 1. Hàm số f z giải tích trên mặt phẳng phức gọi là hàm

nguyên.

Trong mặt phẳng phức mở rộng C , điểm z là điểm bất thường duy

nhất. Khai triển Lorăng trong lân cận bất kỳ z R của z trong trường hợp

tổng quát này có dạng

nn

n 0

f z c z .

(7.16)

Có thể xảy ra những trường hợp riêng như sau:

32

1. Nếu điểm z là điểm bất thường bỏ được của f z thì 0f z c , tức

là hàm nguyên là hàm hằng.

2. Nếu điểm z là cực điểm cấp m thì nn

n 0

f z c z

, tức là hàm

nguyên là hàm đa thức.

3. Nếu điểm z là điểm bất thường cốt yếu của hàm f z , thì có trường

hợp tổng quát (7.16).

Hàm nguyên, đối với z là điểm bất thường cốt yếu được gọi là hàm siêu

việt.

Ví dụ 3. Những hàm nguyên sin z, cosz, ze có z là điểm bất thường

cốt yếu.

Định nghĩa 2. Hàm f z giải tích khắp nơi trong miền D, trừ ra một số cực

điểm gọi là hàm phân hình trong miền D.

Ví dụ 4. Hàm sin z

tgz ,cosz

cosz

ctgzsin z

là phân hình trong mặt phẳng .

Hàm phân hình f z có thể biểu diễn ở dạng thương của hai hàm nguyên

zf z ,

z

bởi vì không điểm của hàm (z) là cực điểm của hàm f z .

Trong mặt phẳng phức C cực điểm của hàm f z là không điểm của mẫu.

4. Bài tập




33

Bài giảng 7: Thặng dƣ

Chương I, Mục:4.1-4.2



* Định nghĩa thặng dư, và các tính chất; phương pháp tính thặng dư

* Định lý cơ bản về thặng dư, thặng dư loga



- Thời gian: LT: 3t; BT: , Tự học: 3t



4.1.Định nghĩa thặng dƣ

Giả sử f z là hàm giải tích trong miền D có thể trừ ra điểm 0z .

Định nghĩa. Thặng dư của hàm số f z tại điểm 0z là số, ký hiệu bởi

công thức 0Resf z và bằng

L

1f z dz,

2 i

ở đó L D đường cong kín Jordan trơn từng khúc bất kỳ, có hướng dương và

chứa 0z trong nó.

1. Phƣơng pháp cơ bản tính thặng dƣ

Thặng dư của hàm f z tại điểm bất thường cô lập 0z có thể tìm theo

công thức (8.1), tính tích phân trên đường cong kín L. Nhưng có thể tìm thặng

dư bằng phương pháp đơn giản hơn, khai triển hàm thành chuỗi Lorăng trong

lân cận điểm bất thường cô lập.

Định lý. Thặng dư của hàm f z tại điểm bất thường cô lập 0z bằng

34

hệ số 1c của chuỗi Lorăng hàm f z trong lân cận điểm 0z

0 1Resf z c . (8.2).

Ví dụ 1. Tìm thặng dư hàm 1/zf z ze tại điểm bất thường 0z 0.

Ví dụ2. Tìm thặng dư của hàm số 1

f z zcosz 2

tại 0z 2.

2. Tính thặng dƣ hàm số tại cực điểm

Nhận thấy rằng, thặng dư hàm số tại 0z có thể tìm theo công thức (8.1)

hoặc (8.2). Trong trường hợp cực điểm, tồn tại phương pháp đơn giản hơn để

tính thặng dư.

Khảo sát trường hợp cực điểm đơn 0z của hàm f z . Chuỗi Lorăng (8.3)

trong trường hợp này có dạng

n1

n 00 n 0

cf z c z z .

z z

Nhân hai vế của hệ thức trên với 0z z , sau đó tìm giới hạn khi 0z z :

0 0

n 10 1 n 0

z z z zn 0

lim z z f z lim c c z z ,

từ đó suy ra

0

1 0 0z z

c Resf z lim z z f z .

(8.4)

Khảo sát trường hợp riêng:

zf z ,

z

0z 0, 0z 0, 0' z 0, tức

là 0z là không điểm đơn của hàm z .

35

00

0

zResf z .

' z

(8.5)

Giả sử 0z cực điểm cấp m của hàm f z .

0

m 1m

1 0 0m 1z z

1 dc Resf z lim z z f z .

m 1 ! dz

(8.6)

Ví dụ 1. Tìm thặng dư hàm số ze

f zz 1

tại điểm bất thường 0z 1.

3. Thặng dƣ hàm số tại điểm vô cực

Giả sử hàm số f z giải tích trong lân cận z R trừ ra điểm vô cực

z . Điểm z là điểm bất thường cô lập của hàm số f z .

Định nghĩa. Thặng dư của hàm f z tại điểm bất thường cô lập z là

số, được ký hiệu bởi công thức Res f(∞) và bằng L

1f z dz

2 i

, ở đó L đường

cong kín Jordan liên tục từng khúc và nằm trong lân cận z R của điểm vô cực

z và hướng chuyển động là âm. Về phần điểm z chuyển động như vậy

coi là dương.

Bởi vì giá trị tích phân không phụ thuộc vào đường cong L nên phía ngoài

đường cong L có thể lấy đường tròn z bán kính R.

Định lý. Thặng dư của hàm f z tại điểm vô cực z bằng hệ số 1c

với dấu âm của 1

z trong khai triển Lorăng của hàm f z tại điểm z .

Ví dụ 1. Tìm thặng dư hàm f z nếu điểm z là điểm bất thường bỏ

được.

36

Ví dụ 2. Tìm thặng dư hàm số 1/zf z e tại điểm bất thường vô cực

z .

Ví dụ 3. Tìm thặng dư hàm số f z cosz tại điểm z .

Ví dụ 4. Tìm thặng dư hàm 3z

f zz 2

tại điểm z .

4.2. Định lý cơ bản về thặng dƣ (định lý Côsi về thặng dƣ)

Định lý 1 (định lý Côsi). Nếu hàm số f z là giải tích trong miền bị chặn

D trừ ra hữu hạn điểm kz D, k 1,n thì

n

k

k 1L

f z dz 2 i Resf z ,

(8.9)

ở đó L D đường cong kín Jordan trơn từng khúc bất kỳ và chứa trong nó tất

cả những điểm bất thường kz D, k 1,n .

Ví dụ 1. Tính tích phân bằng thặng dư 2 2

L

dz,

z 1 z 1 ở đó L đường

tròn: 2 2x y 2x 2y 0.

Định lý 2. Nếu hàm số f z giải tích trên mặt phẳng phức mở rộng trừ

ra hữu hạn điểm bất thường cô lập 1 2 n n 1z ,z ,...,z ,z , thì tổng thặng dư tất cả

các điểm bất thường bằng không:

n 1

k

k 1

Resf z 0.

(8.10)

Ví dụ 2. Tính 2

z 2

zdz.

z 1 z 1

37

1. Thặng dƣ loga

Giả sử hàm số f z giải tích trong miền D khắp nơi, trừ ra một số hữu

hạn điểm bất thường cô lập. Hàm số

f ' zg z

f z (8.11)

được gọi là đạo hàm loga của hàm số f z .

Định nghĩa. Thặng dư loga của hàm số f z tại 0z D là thặng dư tại

điểm đó của đạo hàm loga của hàm số f z .

Định lý 1. Nếu hàm giải tích f z có 0z là không điểm cấp m thì đạo

hàm loga của nó (8.11) có cực điểm đơn tại điểm này.

Hệ quả 1. Tại không điểm 0z bội m của hàm giải tích f z , thặng dư

loga của nó bằng bậc của không điểm, tức là bằng m.

Định lý 2. Nếu 0z cực điểm cấp m của hàm f z thì đạo hàm loga

(8.11) của nó có cực điểm đơn tại điểm này.

Hệ quả 2. Tại cực điểm cấp m của điểm bất thường 0z của hàm số f z ,

thặng dư loga của nó bằng bậc của cực điểm với dấu âm: 0Resg z m.

Ví dụ. Tìm thặng dư loga của hàm

2

3

z 4f z

z 2 z 1

tại không điểm

và cực điểm.

Định lý 3. Giả sử hàm số f z giải tích trong miền đơn liên D trừ ra hữu

hạn số cực điểm và giả sử L D đường cong kín Jordan trơn từng khúc bất

kỳ, không đi qua những điểm bất thường. Nếu bên trong chu tuyến đóng L có m

38

không điểm kz bội k và n cực điểm kc cấp k thì thặng dư loga của hàm f z

theo chu tuyến L tính theo công thức:

m n

k s

k 1 s 1L

f ' z1dz N P,

2 i f z

(8.12)

ở đó N và P tương ứng số không điểm và cực điểm của hàm f z bên trong

chu tuyến L (chú ý đến bội và bậc của chúng).




Bài giảng 8: Thặng dƣ (tiếp)

Chương I, Mục:4.3



* Định nghĩa thặng dư, và các tính chất.



- Thời gian: LT: 2t; KT BT: 1t, Tự học: 3t



4.3. Ứng dụng thặng dƣ vào tính tích phân

Có thể áp dụng thặng dư để tính những tích phân khác nhau của hàm biến

thực và hàm biến phức. Trong nhiều trường hợp kết quả tích phân với sự giúp

đỡ của thặng dư có thể nhận được nhanh hơn nhiều, dễ hơn nhiều. Khảo sát một

vài tích phân.

1. Tính tích phân của hàm biến phức

Áp dụng công thức (8.9) và (8.10) tính tích phân dọc theo chu tuyến L.

39

Ví dụ. Tính

2

z 2

zdz.

z 1 z 1

2.Tính tích phân dạng 2

0

R sinx,cosx dx,

ở đó R hàm hữu tỉ đối với

sinx và cosx

Biểu diễn sinx và cosx theo công thức Ơle:

ix ixe e

sinx ,2i

ix ixe ecosx .

2

Thế ixz e , chuyển tích phân ban đầu thành tích phân của hàm biến phức dọc

theo đường tròn z 1 , hướng chuyển động là dương khi x biến thiên từ 0 đến

2. Bởi vì ixdz ie dx, dz

dx ,iz

1z z

sinx ,2i

1z zcosx ,

2

nên

2

0 z 1

1 1 1 1 dzR sinx,cosx dx R z , z .

2i z 2 z iz

Giả thiết rằng trên đường tròn z 1 không có điểm bất thường, áp dụng công

thức (8.9) về thặng dư để tính tích phân nhận được.

Ví dụ. Tính

2

0

2 cosxdx.

2 sinx

3. Tính tích phân dạng f x dx

40

Giả sử hàm dưới dấu tích phân là hàm phân thức hữu tỉ

P xf x ,

Q x

mẫu số Q(x) không có không điểm nằm trên trục thực, hơn nữa bậc của mẫu cao

hơn bậc của tử ít nhất hai đơn ví. Sau đây sử dụng lý thuyết về thăng dư.

Khai triển hàm biến thực f(x) là giải tích trên nửa mặt phẳng trên Imz 0.

Khai triển giải tích của nó f(x) là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng trên khắp

nơi, trừ ra những cực điểm kz của hàm f z . Khi đó

k

k

f x dx 2 i Resf z .

(8.15)

4. Bổ đề Jordan và áp dụng nó để tính tích phân.

Bổ đề Jordan. Giả sử hàm phân số f z giải tích trong nửa mặt phẳng

trên Imz 0 trừ ra những cực điểm phân bố trong nửa mặt phẳng trên. Khi đó

với bất kỳ số dương ta có:

1

i z

RL

lim f z e dz 0,

(8.16)

ở đó 1L nửa đường tròn trên với bán kính R để tất cả cực điểm của f z nằm

trong nửa mặt phẳng Imz 0 nằm bên trong chu tuyến L (H.8.2).

Định lý. Giả sử hàm số f z thoả mãn điều kiện của bổ đề Jordan, khi đó

i x i zk

k

f x e dx 2 i R es f z e ,z ,

(8.17)

ở đó thặng dư tính theo tất cả những cực điểm kz của hàm f z trong nửa mặt

phẳng trên Imz 0.

41

i zkf x cos x isin x dx Re 2 iR es f z e ,z

i zki Im 2 iR es f z e ,z ,

Từ đó

i zkf x cos xdx Re 2 iR es f z e ,z ,

(8.18)

i zkf x sin xdx Im 2 iR es f z e ,z .

Nếu f x hàm chẵn thì

i zk

k0

f x cos xdx i R es f z e ,z .

(8.19)

Nếu f x hàm lẻ thì:

i x i x i zk

k0

f x e e dx 2 i R es f z e ,z .

Chia hai vế đẳng thức trên cho 2i , ta nhận được công thức

i zk

k0

f x sin xdx R es f z e ,z .

(8.20)

Ví dụ. Tính 2

4

x dx.

x 1

42

Ví dụ 2. Tính 2

0

cos4xdx.

x 9

Ví dụ 3. Tính 2

0

xsin4xdx.

x 9

Ví dụ 4. Tính

0

sinxdx.

x




Bài giảng 9: Phép tính toán tử

Chương II, Mục:1.1-1.3



* Giới thiệu về toán tử Laplax và 1 số tính chất.





- Nội dung chính Chƣơng II. CƠ SỞ PHÉP TÍNH TOÁN TỬ

1.1 Phép biến đổi Laplace

1. Khái niệm biến đổi Laplace

Phép tính toán tử là cơ sở cho biến đổi hàm số: hàm x t với biến số thực

t được gọi là gốc của hàm khác X p với biến phức p và X p được gọi là ảnh

của hàm x t xác định theo công thức

pt

0

X p x t e dt.

(9.1)

43

Biến đổi (9.1) gọi là biến đổi Laplace, tích phân suy rộng phụ thuộc vào

biến p được gọi là tích phân Laplace. Quá trình tìm ảnh của hàm gốc đã cho

x t và tìm hàm gốc của hàm ảnh cho trước X p được gọi là phép tính toán

tử.

Quan hệ giữa ảnh X p và gốc tương ứng của nó x t , đưa vào ký hiệu

khác nhau:

x t ≑ X p , L x t X p , x t X p , X p x t .

Định nghĩa. Hàm x t gọi là hàm gốc nếu thoả mãn những điều kiện

sau:

1) x t 0 khi t 0.

2) Hàm x t liên tục từng khúc trên khoảng bất kỳ khi t 0.

3) Tồn tại số thực 0s và M 0 sao cho với t 0 thực hiện biểu thức

0s tx t Me , (9.2)

số 0s gọi là chỉ số tăng của hàm x t .

Ví dụ 1. Hàm đơn vị

1

1 t0

khi

khi

t 0,

t 0

là một hàm gốc vì nó thoả mãn điều kiện 1 3 của định nghĩa.

Nếu hàm số g t thoả mãn điều kiện 2 và 3 của định nghĩa thì hàm số

x t 1 t g t

làm hàm gốc.

44

Ví dụ như các hàm 1 t .t, 1 t .sin t, 2t1 t .e là những hàm gốc. Về sau

sẽ coi tất cả những hàm khảo sát của chúng ta có nhân với 1 t mặc dù trong khi

viết thường sẽ được lược bỏ, tức là sẽ viết t, sin t, 2te .

2. Tính hội tụ của tích phân Laplace

Định lý 1. Tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối trong nửa mặt phẳng

0Rep s , ở đó 0s là chỉ số tăng của hàm gốc x t .

Định lý 2. Tích phân Laplace hội tụ đều trong nửa mặt phẳng

1 0Rep s s s .

Định lý 3. Nếu x t hàm gốc thì ảnh của nó X p là hàm giải tích trong

nửa mặt phẳng 0Rep s .

Định lý 4. Nếu x t là hàm gốc thì Rep

lim X p 0.

Định lý 5. Nếu ảnh X p là giải tích tại điểm vô cực p , thì

plim X p 0.

1.2. Tính chất cơ bản của biến đổi Laplace

1. Ttuyến tính. Nếu 1 1x t X p , 2 2x t X p , …,

n nx t X p , thì với những số phức bất kỳ 1 2 n, ,..., :

n n

k k k k

k 1 k 1

x t X p .

2. Sự đồng dạng. Nếu x t X p , thì với bất kỳ số a 0

1 p

x at X .p a

45

3. Ảnh của đạo hàm. Nếu x t , x ' t ,…, (n)x t là những hàm gốc và

x t X p , thì

2

(n) n n 1 n 2 (n 1)

x ' t pX p x 0 ,

x" t p X p px 0 x ' 0 ,

....

x t p X p p x 0 p x ' 0 ... x 0 ,

(9.4)

ở đó (k) (k)

t 0x 0 lim x t ,

k 0,n 1.

4. Ảnh của tích phân. Nếu x t X p , thì t

0

x d cũng là hàm gốc

và

t

0

X px d .

p (9.5)

5. Trễ của hàm gốc. Nếu x t X p và x t 0 khi t , ở đó 0,

thì px t e X p , tức là trễ của hàm gốc bằng tương ứng với nhân ảnh

của nó với pe .

6. Tính dịch chuyển ảnh. Nếu x t X p thì với bất kỳ số

te x t X p .

7. Ảnhcủa tích chập. Tích chập của những hàm liên tục từng khúc x t

và y t gọi là hàm số

t

0

x y x y t d .

46

Thấy ngay rằng phép toán tích chập là giao hoán, tức là

x y y x.

Định lý. Nếu x t và y t là những hàm gốc, thì hàm số

t

0

t x y x y t d

cũng là hàm gốc và x y X p .Y p , ở đó X p x t , Y p y t .

Hệ quả. Giả sử x t X p , y t Y p , và đạo hàm

y' t pY p y 0 . Khi đó công thức Duyhamel xảy ra

t

0

pX p Y p x t y 0 x y' t d .

8. Đạo hàm ảnh. Bởi vì hàm ảnh X p là hàm giải tích trong nửa mặt

phẳng 0Rep s (định lý 3, §9.2), nên hàm X p có đạo hàm đến cấp bất kỳ và

n(n) nX p 1 t x t . (9.6)

Chứng minh (9.6) tương tự như chứng minh công thức (9.3).

9. Tích phâncủa ảnh. Nếu x t X p và x t

t là hàm gốc, thì

p

x tX q dq,

t

ở đó đường lấy tích phân nằm trong nửa mặt phẳng 0Rep s .

47

Hệ quả.

0 0

x tdt X q dq,

t

nếu những tích phân suy rộng này là hội

tụ.

10. Ảnh của một số hàm đơn giản (bài tập)

1. x t 1. Chứng minh rằng

1

1 .p

2. tx t e . Chứng minh rằng

t 1e .

p

3. x t cos t. Chứng minh rằng

2 2

pcos t .

p

4. x t sin t. Chứng minh rằng

2 2

sin t .p

5. nx t t . Chứng minh rằng

n

n 1

n!t .

p

6. x t t cos t. Chứng minh rằng

48

2 2

22 2

pt cos t .

p

7. x t tsin t. Chứng minh rằng

2

2 2

2ptsin t .

p

8.

t

2 2

pe cos t ;

p

9.

t

2 2e sin t ;

p

10.

t n

n 1

n!e t ;

p

11.

2 2t

22 2

pte cos t ;

p

12.

t

22 2

2p pte sin t ;

p

13. t t

2 2

1sh t e e ;

2 p

14. t t

2 2

1 pch t e e .

2 p




49

Bài giảng 10: Phép biến đổi Laplace (tiếp)

Chương II, Mục: 1.4.



* Giải quyết bài toán biến đổi ngược.





- Nội dung chính

1.4. Khôi phục hàm gốc theo hàm ảnh đã biết

Để tìm hàm gốc theo hàm ảnh đã biết thường áp dụng những phương

pháp sau:

1. Trong trường hợp đơn giản sử dụng ảnh của những hàm cơ bản (xem

§9.4).

2. Nếu ảnh là hàm phân thức hữu tỉ tối giản thì phân tích thành tổng

những phân thức đơn giản hơn và tìm hàm gốc (sử dụng tính chất §9.3 và những

hàm ảnh §9.4).

3. Công thức nghịch đảo của biến đổi Laplace (công thức Mellina).

4. Những định lý khai triển.

Khảo sát tìm hàm gốc trong trường hợp 2, 3, 4.

Bài toán. Tìm hàm gốc x t theo hàm ảnh

m

n

P pX p ,

Q p ở đó mP p

và nQ p là những đa thức bậc m và n, hơn nữa m n.

50

Giải. Biểu diễn hàm X p thành tổng những phân thức đơn giản dạng

A,

p a

k

A,

p a

2

Mp N,

p bp q

r

2

Mp N,

p bp q

ở đó A,M,N,a,b,q là số,

k N và r N, k 1, r 1, mẫu số 2p bp q có nghiệm phức. Với mỗi phân

số, sử dụng ảnh và tính chất của nó trong §9.4 để tìm hàm gốc của nó, sau đó

tìm hàm gốc x t , áp dụng tính chất tuyến tính của biến đổi Laplace.

Ví dụ 1. Tìm hàm gốc x t theo hàm ảnh 4

pX p .

p 1

Định lý 1. Nếu x t là hàm gốc, còn X p là ảnh của nó, thì công

thức phía dưới là hàm liên tục x t tại điểm bất kỳ

a i

pt

a i

1x t X p e dp,

2 i

(9.7)

ở đó số thực 0a s , tích phân hiểu theo nghĩa giá trị chính, 0s chỉ số tăng của

hàm gốc x t .

Công thức (9.7) gọi là công thức biến đổi Laplace ngược hoặc công thức

Mellina.

Nhận xét. Từ chứng minh định lý 1 suy ra rằng biến đổi Laplace X p

của hàm x t trùng với biến đổi Fourie của hàm atg t e x t . Nếu số mũ

của chỉ số tăng của hàm gốc 0s 0, thì a có thể áp dụng bằng 0 và khi đó

g t x t .

Định lý thứ 1 về khai triển. Nếu hàm ảnh X p giải tích trong lân cận

điểm vô cực p và có khai triển dạng chuỗi Lorăng:

51

kk

k 1

cX p ,

p

thì hàm gốc tính theo công thức

k 1

k

k 1

tx t c .

k 1 !

(9.11)

Định lý 2 về khai triển. Nếu hàm ảnh X p có hữu hạn điểm bất thường

1 2 np ,p ,...,p trong nửa mặt phẳng 0Rep s , thì hàm gốc x t là hàm

n

ptk

k 1

x t R es X p e ,p .

(9.12)

Hệ quả. Nếu

m

n

P pX p ,

Q p ở đó mP p và nQ p là những đa thức có

bậc tương ứng là m và n và nếu m n thì

k

k

kk

s 1rs pt

ks 1p pkk 1

1 dx t lim p p X p e ,

s 1 ! dp

(9.13)

ở đó 1 2 rp ,p ,...,p nghiệm của đa thức nQ p với bội tương ứng là 1 2 rs ,s ,...,s .

Bài tập

Ví dụ 2. Tìm hàm gốc của hàm 1/p1X p e .

p

Ví dụ 3. Tìm hàm gốc của hàm

2

5p 3X p .

p 1 p 2p 5




52

Bài giảng 11: Phép biến đổi Laplace (tiếp)

Chương II, Mục:1.5



* Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải quyết bài toán Cosi với điều kiện

ban đầu.



- Thời gian: LT: 3t; BT: 2t, KT: 1 Tự học: 3t


- Nội dung chính

5. Bảng hàm ảnh

TT x(t) X(p) Nghiệm x(t) X(p)

1 1

1

p

12 tte sin t

2

2 2

2 p

p

2 te 1

p

13 sh t 2 2p

3 cos t 2 2

p

p

14 ch t 2 2

p

p

4 sin t 2 2p

15 nt x t

nn

n

d X p1

dp

5 nt

n 1

n!

p

16 x ' t pX p x 0

6 t.cos t

2 2

22 2

p

p

17 t

0

x( )d X(p)

p

53

7 t.sin t

2

2 2

2p

p

18 x(t)

t

p

X q dq

8 te cos t

2 2

p

p

19 x t pe X p

9 te sin t

2 2p

20 x t y t X p .Y p

10 t ne .t

n 1

n!

p

21 x t y 0

t

0

x y' t d

pX p .Y p

11 tte cos t

2 2

22 2

(p )

(p )

22 te .x t X p

1.5. Áp dụng để giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình vi phân

Bài toán 1. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân với hệ số hằng

(n) (n 1)0 1 n 1 na x a x ... a x ' a x f t ,

(9.14)

thoả mãn điều kiện ban đầu.

0x 0 x , 1x ' 0 x , …, (n 1)n 1x 0 x ,

ở đó 0 1 na ,a ,...,a hệ số hằng số; 0 1 n 1x ,x ,...,x số cho trước (điều kiện ban

đầu Côsi), f t hàm gốc, x t hàm ẩn. Từ phương trình (9.14), sử dụng tính

chất 3 và 1 trong §9.3 chuyển đến phương trình ảnh (thậm chí gọi nó là phương

trình toán tử):

54

n n 1 n 2 n 1 n 20 0 1 n 1 1 0a p X p p x p x ... x a p X p p x

n 2 n 0 n... x ... a pX p x a X p F p .

Biến đổi phương trình nhận được, ta có

n n 1 n 1 n 20 1 n 1 n 0 0 1a p a p ... a p a X p x a p a p ...

n 1 0 n 1... a ... a x F p .

Từ phương trình toán tử nhận được, tìm X p

B p F pX p ,

A p

ở đó

n n 10 1 n 1 nA p a p a p ... a p a ,

n 1 n 20 0 1 n 1 0 n 1B p x a p a p ... a ... a x ,

đa thức A p gọi là đa thức đặc trưng. Sử dụng phương pháp thành lập hàm

gốc, (trong §9.5 và bảng của hàm ảnh §9.6) sẽ tìm được hàm gốc x t là

nghiệm riêng của phương trình vi phân đã cho.

Ví dụ 1. Giải bài toán Côsi

x" x t, x 0 0, x ' 0 1.


x" 4x 2cos2t, x 0 0, x ' 0 4.

55

Bài toán 2. Tìm nghiệm riêng của hệ phương trình tuyến tính với hệ số là

hằng

n

m mk k m

k 1

x ' a x f t ,

m 1,n, (9.15)

thoả mãn các điều kiện ban đầu

1 10x 0 x , 2 20x 0 x ,... n n0x 0 x ,

ở đó mka , k, m 1,n các hệ số hằng số, 10 20 n0x ,x ,...,x số đã cho; mf t ,

m 1,n là những hàm gốc; kx t , k 1,n nghiệm cần tìm của hệ (9.15).

Giải. Sử dụng tính chất 3 và 1 của §9.3, biến đổi thành hệ phương trình

đại số tuyến tính với ẩn kX p , k 1,n, mà chúng là ảnh của những hàm gốc

phải tìm kx t , k 1,n.

Giải chúng để tìm hàm ảnh kX p , k 1,n. Sau đó sử dụng phương pháp

tìm hàm gốc §9.5 và bảng §9.6 ta nhận được những hàm gốc kx t , k 1,n.

Bài toán 2 được giải quyết.


x ' 2x 4y cos t,

y' x 2y sin t,

với điều kiện ban đầu x 0 y 0 0.

Như vậy, khi t 0 , nghiệm riêng của hệ đã cho có dạng

x t 4t 2 2cos t 3sin t,

y t 2 t sin t .

►

Bài tập

56




Bài giảng 12: Phép biến đổi Z

Chương II, Mục:2.1-2.4



* Tìm ảnh và gốc của biến đổi Z.



- Thời gian: LT: 2t; BT: 2t, KT: 1 Tự học: 3t


- Nội dung chính Biến đổi Z

2.1 Định nghĩa: Biến đổi Z của dãy x n là hàm số biến phức

n

n 1

n n

X z x n z x n z

.

Miền hội tụ của chuỗi chính là miền xác định của hàm X z .

Trong trường hợp dãy n

x n

chỉ xác định với những giá trị n 0, tức là

x n 0 khi n 0, khi đó biến đổi Z của dãy x n được gọi là biến đổi một

phía.

2.2 Các tính chất cơ bản về miền xác định của biến đổi Z.

Định lý (Dalamber).

Định lý (Cosi).

57

Ví dụ 1. Tìm biến đổi Z của n2 khi n 3

x n0 khi n 3

.

Ví dụ 2. Tìm biến đổi Z của n

3x n .

4

.

Như vậy dựa vào tính duy nhất của hàm số giải tích trong hình vành khăn

r z R bởi dãy hệ số trong khai triển Lorang ta xây dựng biến đổi Z.

Tính chất

Nếu x n và y n có biến đổi Z lần lượt là X z và Y z thì:

+ 0x n n có biến đổi Z là 0nz X z .

\ nx n сó ишếт đổш Я дà 'zX z .

2.3 Biến đổi Z ngƣợc

Mỗi hàm giải tích X z trong hình vành khăn r z R đều có khai triển

Lorang:

nn

n

X z c z ,

ở đó

n n 1

L

X z1c dz,

2 i z

ở đó L đường bao quanh điểm 0 và nằm trong r z R .

Nếu đặt nc x n thì

n

n

X z x n z ,

với n 1

L

1x n z X z dz

2 i

và x n xác định theo X z là duy nhất và được gọi là biến đổi ngược của

biến đổi Z.

58

Ví dụ 3. Tìm biến đổi ngược của hàm 2

z 2X z

2z 7z 3

trên các miền xác

định của nó.

2.4 Bài tập.




59

Tài liệu tham khảo.

Пн Наименнование литер.

Автор Год изд.

Изд- ство

Гос- ство

1 Теория функций Е. Титчмарш 1980 Наука- Москва

Россия

2 Функции комплексной переменной и

преоб- разование

Лапласа

Фан Ба Нгок 1980 В&С Об.

Вьетнам

3 Функции одной комплексно

й

переменной

Дау Тге Кап 1999 Образ. Вьетнам

4 Высшая математика. Я. С. Бугров, С. М.

Никольски

й

1980, 1981

Наука- Москва

Россия

5 Методы теории функции комплексного переменного ппперемен переменной и

Лаврентьев М.А и Шабат Б.В

1987 М. Наука

Россия

6 Теория функции комплексного переменного

Морозова В.Д.

2000 М. Изд-во МГТУ

Россия

7 Сборник задач по теории функций комплесного...

Волковыский Л.И.

1975 М. Наука

Россия

Documents

BỘ MÔN DUYỆT ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT BÀI Thay mặt nhóm môn …fit.mta.edu.vn/files/FileMonHoc/ToanChuyenDeHamPhuc.pdf · 0, T], thì phương trình (2.1) xác định