b Keterbagian

8/17/2019 b Keterbagian

1/56

BAB II

KETERBAGIAN

2.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat

Sifat-sifat yang berkaitan dengan keterbagian telah dipelajari oleh

Euclid 350 SM (Niven !"""#$%& 'engebangan selanjutnya telah banyak

dikebangkan oleh beberapa ahli ateatika yang lain isalnya yang

berkaitan dengan bilangan koposit perkalian dala usaha untuk

engebangkan teori bilangan. )arena pentingnya sifat keterbagian

aka akibatnya konsep tersebut sering uncul dala *ljabar Modern dan

Struktur *ljabar (Muhsetyo !""$#!+%

Defnisi 2.1

Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu

bilangan bulat y !" #ika terda$at satu bilangan bulat $

sedemikian sehingga x % $y. &ika hal ini di$enuhi maka y

dikatakan membagi x dan dinotasikan dengan y │ x yang da$at

diartikan sebagai y adalah 'aktor ($embagi) x" atau x adalah

keli$atan y. &ika y tidak membagi x dinotasikan dengan y ┼ x.

,ontoh :

!% 3 │! sebab ada bilangan bulat $ sedeikian sehingga ! . ($% 3&

% 3 │-30 sebab ada bilangan bulat -!0 sedeikian sehingga

/30 . (-!0%3&

3% / │ $ karena ada bilangan bulat 1 sedeikian sehingga

Teori Bilangan - 20


2/56

$ . (1%-

$% /5 │-5 karena ada bilangan bulat 5 sedeikian sehingga

/5 . (5%-5

5% 3 ┼ 5 karena tidak ada bilangan bulat 2 sedeikian sehingga

5 . (2% 3

% $ ┼ " karena tidak ada bilangan bulat y sedeikian sehingga

" . (y% $

1% / ┼ !! karena tidak ada bilangan bulat sedeikian sehingga

!! . (%-&

+% 1 │1 karena ada bilangan bulat ! sedeikian sehingga 1 . (!% 1&

4ika y │ 2 dan 0 y 2 aka y disebut pebagi urni dari 2& Notas

ak ║ 2 tetapi ak6! ┼ 2& 7erdasarkan de8nisi ! diatas selanjutnya pebagian

dala * dapat dilakukan tanpa eperluas * enjadi +& )eudian jika

2y ∈ * dan y2 . 0 aka 2. 0 atau y . 0 dan dikatakan bah9a * tidak

epunyai pebagi nol& *kibatnya dengan sifat ini dapat dilakukan

suatu penghapusan ()anselasi%&

4ika 2y ∈ * dan 52 . 5y aka 52 / 5y . 0

5(2-y% . 0 diperoleh 5 . 0 atau 2-y . 0 → 2 . y

4adi persaaan 52 . 5y enjadi 2 . y tidak diperoleh dengan perkalian

!:5 karena !:5 bukan bilangan bulat&

;ntuk selanjutnya pernyataan y 2 sudah dianggap bah9a y < 0& Sehingga

dari de8nisi &! dapat ditentukan bah9a#

!% ! │ 2 untuk setiap 2 ∈ * karena ada p ∈ * sedeikian sehingga

Teori Bilangan - 21


3/56

2 . (p%! sehingga ! │ 3 !│ ! │ !! ! │-! ! │! ! │ -!0

seuanya bernilai benar&

% y │ 0 untuk setiap y ∈ * dan y < 0 karena ada 0 ∈ * sehingga

0 .(y%0 sehingga 3 │ 0 !│0 -!│ 0 ! │0 -!"! │0 $│ 0 seuanya

bernilai benar&

3% 2 │2 untuk setiap 2 ∈ * dan 2 < 0 karena ada 0 ∈ * sehingga

2 . (!%2 sehingga pernyataan-pernyataan │ -│- $│$ !│!

-0│-0 !│! seuanya bernilai benar&

$% 4ika y │2 aka keungkinan hubungan antara y dan 2 adalah y 2 y

. 2 y=2& Misalnya │ dengan . │$ dengan $ dan

│ -$ dengan = -$&

Dalil 2.1

4ika abc ∈ * aka berlaku#

!% a│ b → a │bc untuk setiap c ∈ *&

% (a │ b b │c% → a │ c&

3% (a │ b b │a% → a . > b&

$% (a │ b a │c% → a │ (b > c%&

5% (a │ b a │c% → a │ (a2 6 by% untuk setiap 2y ∈ *&

;ntuk selanjutnya ax , by disebut kombinasi linear dari b dan c

% ( a=0 b = 0 dan a │b% → a ? b&

1% a │b ↔ a │ b untuk setiap ∈ * dan < 0

+% ( a│b dan a │ b6c % → a │c&

Teori Bilangan - 22


4/56

'ernyataan-pernyataan pada dalil &! di atas dapat dibuktikan sebagai

berikut#

-. )arena diketahui a│ b aka enurut de8nisi ! ada suatu bilangan

bulat p sedeikian sehingga b . (p%a& b . pa berarti bc . (pa%c& @al

ini berarti terdapat bilangan bulat A . pc sedeikian sehingga bc . Aa&

4adi a │bc&

. a │b → b . pa untuk suatu p ∈ *

b │c → c . Ab untuk suatu A ∈ *.

( b . pa c . Ab% → c . A(pa% atau c . (Ap%a& atau c . 9a untuk suatu

9 ∈ B&

4adi a │c&

/. a │b → b . pa untuk suatu p ∈ *

b │a → a . Ab untuk suatu A ∈ *&

( b . pa a . Ab% → a . A(pa% atau a . (Ap%a& )arena a │b berarati

a < 0 sehingga a . (Ap%a atau a(!-Ap% . 0 dan dapat disederhanakan

enjadi a.0 atau Ap . !&

Ap . ! → ( A . ! dan p .!% atau ( p . -! dan A . -!%

p . A . ! aka a . pb . b &&&&(!%

p . A . -! aka a . pb . -b &&&(%

Cari (!% dan (% didapat a % 0 b

1. a │b → b . pa untuk suatu p ∈ *

a │c → c . Aa untuk suatu A ∈ *.

( b . pa c . Aa% → b > c . pa > Aa atau b > c . a ( p > A%

b > c . at dengan t∈

B&

Teori Bilangan - 23


5/56

4adi a │b > c&


a │c → c . Aa untuk suatu A ∈ *&

b2 6 cy . ( pa%2 6 (Aa%y

b2 6 cy . a (p26Ay% dengan (p2 6 Ay% ∈B&

4adi a │(b26cy%&


karena a = 0 b = 0 dan b . pa aka p = 0&

karena p ∈ * aka p bukan suatu pecahan&

Sehingga nilai keungkinan 2 adalah !3 &&& yaitu 2 . ! atau 2 =!

b . pa dan p .! → b . a atau a . b

b . pa dan p = ! → b = a atau a b&

a . b atau a b → a . b

4. (a% a │b → b . pa untuk suatu p ∈ *

→ b . ap → b . (a%p → a │b

(b% a │b → b . (a%p untuk suatu p ∈ *→ a │b

b . (ap% dan < 0 → b . ap → a │b

b │c → c . A b untuk suatu A ∈ *&


a │b 6 c → b 6 c . Aa untuk suatu A ∈ *&

b 6 c . Aa → c . Aa / b&

c . Aa / b dan b . pa → c . Aa - pa atau c . a( A-p%

c . a ( A-p% dengan (A-p%∈

* → a │c&

Teori Bilangan - 24


6/56

Dalil 2.2 (Dalil Algoritma Pembagian )

4ika a = 0 dan ab ∈ * aka ada bilangan-bilangan A dan r ∈ * yang

asing-asing tunggal sehingga b . Aa 6 r dengan 0 ? r a&

4ika a ┼ b aka r eenuhi ketidaksaaan 0 r a&

7ukti&

Misal a b ∈ B aka dapat dibentuk suatu barisan aritatika b / na n ∈

B yaitu#

&&& b /3a b / a b-a b b 6 a b 6 a &&&&

7arisan di atas epunyai bentuk uu b / na&

Selanjutnya isal S adalah suatu hipunan yang unsur-unsurnya suku

yang bernilai positip dari barisan b / na sehingga#

S . D (b / na% │n ∈ B dan b / na = 0

Menurut prinsip urutan aka S epunyai unsur terkecil sebut saja r&

)arena r ∈ S aka r dapat dinyatakan sebagai r . b / Aa dengan A ∈ B&

Cari r . b / Aa dapat diperoleh b . Aa 6 r&

4adi jika a = 0 dan ab ∈ B aka ada Ar ∈ B sedeikian sehingga b . Aa

6 r&

;ntuk enunjukkan bah9a 0 ≤ r a aka digunakan bukti tidak

langsung sebagai berikut#

*nggaplah bah9a 0 ≤ r a tidakbenar aka r ≥ a dan dala hal ini r

tidak ungkin negatip karena r ∈ S&

4ika r ≥ a aka r / a ≥ 0&

r . b / Aa → r / a . b / Aa / a

. b / ( A 6!% a&

Teori Bilangan - 25


7/56

r / a ≥ 0 dan r-a . b / ( A 6 ! % a ≥ 0&

r / a ≥ 0 dan r / a epunyai bentuk b / na aka r / a ∈ S&

)arena a = 0 aka r / a r sehingga r / a erupakan unsur terkecil dari

S dan lebih kecil dari r& @al ini bertentangan dengan pengabilan r

sebagai unsur terkecil S& 4adi haruslah 0 ≤ r a&

;ntuk enunjukkan ketunggal A dan r diisalkan A dan r tidak tunggal

yaitu A! A r! r ∈ B dan eenuhi hunbungan persaaan

b . A!a 6 r!

b . Aa 6 r

Sehingga berlaku A!a6 r! . Aa6 r

⇔ ( A! - A % a 6 ( r! - r % . 0 &

⇔ ( r! - r % . ( A / A! %a

⇔ a │ ( r! - r %

⇔ a │ ( r! - r % → r! - r . 0 atau r! - r ≥ a ( a ≤ r! - r %

r! - r . 0 → r! . r → (A! - A % a . 0 → A! . A

r! - r ≥ a = 0 r! = 0 r = 0 → r! ≥ a . 0&

4adi r! . r dan A! . A yaitu A dan r asing-asing adalah tunggal&

Selanjutnya jika a ┼ b aka tidak ada A ∈ B sehingga b . Aa& @al ini

berarti b ≠ Aa atau b . Aa 6 r dengan 0 r a& ( r ≠ 0 sebab jika r . 0

diperoleh b . Aa%&

Dalil 2.3

4ika b . Aa 6 r dengan 0 ? r a aka

Teori Bilangan - 26


8/56

b disebut bilangan yang dibagi (devidend%

a disebut bilangan pebagi (devisor:faktor%

A disebut bilangan hasil bagi (Auotient% dan

r disebut bilangan sisa (reainder:residu%

Calil &3 di atas disebut pula dengan dalil algorita pebagian&

*lgoarita adalah prosedur atau etode ateatis untuk eperoleh

hasil tertentu yang dilakukan enurut sejulah langkah berurutan yang

berhingga& Calil ini sebenarnya lebih bersifat dalil eksistensi (keujudan%

dari adanya bilangan-bilangan bulat A dan r dari suatu algortia& Naun

deikian uraian tentang pebuktiannya dapat eberikan gabaran

adanya suatu etode cara atau prosedur ateatis untuk eperoleh

bilangan-bilangan bulat A dan r sehingga b . Aa 6 r&

4ika a . dan b adalah sebarang bilangan bulat aka enurut dalil

sebelunya b dapat dinyatakan dengan b . A 6 r dengan 0 ? r a&

@al ini berarti bah9a nilai-nilai b yang ungkin dapat ditentukan oleh

nilai-nilai r yang ungkin yaitu r . 0 dan r . !&

;ntuk r . 0 aka b . A 6 r . A 6 0&

b . A dengan A ∈ *.

b yang dapat dinyatakan dengan A ( A ∈ * % disebut bilangan bulat

genap (even integer%&

;ntuk r . ! b . A 6 r . A 6 ! ( A ∈ * % disebut bilangan bulat ganjil&

(odd intereger gasal%&

Fernyata berdasarkan dalil algorita pebagian setiap bilangan bulat

dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat genap (A% atau bilangan bulat

Teori Bilangan - 27


9/56

ganjil ( A 6 !%& Selanjutnya jika diabil a . 3 aka enurut dalil

*lgorita 'ebagian dengan engabil r. 0 r.l dan r.& Sehingga

sebarang bilangan bulat b dapat dinyatakan sebagai bentuk dari salah

satu persaaan berikut#

b . 3A

b . 3A 6 !

b . 3A 6

Cengan alasan yang saa setiap bilangan bulat selalu dapat dinyatakan

antara lain#

!& Salah satu dari $A $A6! $A6 $A63 (A∈ *%

& Salah satu dari 5A 5A6! 5A6 5A63 5A6$ (A∈ *%

3& Salah satu dari A A6! A6 A63 A6$ A65 (A∈ *%

Cisinilah sebenarnya letak dari konsep algorita pebagian suatu

konsep endasar yang dapat digunakan untuk ebantu pebuktian

sifat-sifat tertentu&

,ontoh#

-. Ciketahui n adalah bilangan bulat buktikan bah9a │n3 / n &

7ukti#

Menurut dalil *lgorita pebagian terdapat bilangan bulat A

sedeikian sehingga n . A atau n . A 6 !

;ntuk n . A aka

n3 / n . n (n / !%

. n(n-!%(n6!%

. A(A-!%(A6!%

Teori Bilangan - 28


10/56

. DA(A-!%(A6!%

n3 / n . DA(A-!%(A6!%

Sehingga │DA(A-!%(A6!% atau │ n3 / n

;ntuk n . A6! aka

n3 / n . n (n / !%

. n(n-!%(n6!%

. (A6!%(A6!-!%(A6!6!%

. (A6!%(A%(A6%

n3 / n . (A6!%(A%(A6%

Sehingga │(A6!%(A%(A6% atau │ n3 / n

. Funjukkan bah9a $ ┼ n 6 untuk sebarang n ∈ *

4a9ab

Cengan bukti tidak langsung anggaplah $ │ n 6 &

Sesuai dengan dalil algorita pebagian untuk n ∈ B dapat

dinyatakan sebagai

n . A atau n . A 6 ! A ∈ B&

;ntuk n . A aka n 6 . (A% 6 . $A 6

$ │n 6

n 6 . $A 6

⇔ $ │$A 6

⇔ $ │$A aka $ │ hal ini terjadi kontradiksi karena $ ┼ &

4adi anggapan bah9a $ │ n 6 & adalah salah sehingga $ ┼ n 6 &

;ntuk n . A 6 ! aka n 6 . (A6!% 6 . $A 6 $A 6 3

. $(A

6A% 6 3

Teori Bilangan - 29


11/56

$ │n 6

n 6 . $(A 6A% 6 3

⇔ $ │$(A 6 A% 6 3

⇔ 4 │4(q2 + q), aka $ │3 hal ini terjadi kontradiksi karena $ ┼ 3&

Defnisi 2.2

Citentukan 2y ∈ * yang keduanya tidak bersaa-saa bernilai 0 a ∈ *

disebut pebagi persekutuan dari 2 dan y jika a │2 dan a │y&

a ∈ * disebut pebagi persekutuan terbesar (G'7% dari 2 dan y jika a

adalah bilangan bulat $ositi$ terbesar sehingga a│2 dan a│y&

;ntuk selanjutnya jika a adalah pebagi persekutuan terbesar dari 2 dan

y dinyatakan dengan (2y% . a&

'erlu diperhatikan bah9a (2y% . a dide8nisikan untuk setiap pasangan

bilangan bulat 2y ∈ * kecuali untuk 2 . 0 dan y . 0& Ceikian pula perlu

dipahai bah9a (2y% selalu bernilai positip yaitu (2y% = 0 atau (2y% H !&

,ontoh#

!& Gaktor dari + adalah -+ -$ - -! ! $ +&

& Gaktor dari 0 adalah /0 -!0 -5 -$ - -! ! $ 5 !0 0

3& Gaktor 'ersekutuan + dan 0 adalah /$--! ! $

$& Gaktor 'ersekutuan terbesar + dan 0 adalah $ atau (+0% . $

Selanjutnya perhatikan bah9a

(!!% . $ (0!05% . !5 (35% . ! (!1!"%. !& dan seterusnya&

Teori Bilangan - 30


12/56

Dalil 2.4

-. 4ika d . (2y% aka d adalah bilangan bulat positip terkecil yang

epunyai bentuk uu ao2 6 boy dengan ao bo ∈ *

7ukti&

Cibentuk kobinasi linear (a2 6 by% dengan ab ∈ B& 7arisan bilangan

a2 6 by euat bilangan-bilangan negatip bilangan nol (untuk a . 0

dan b . 0% dan bilangan-bilangan yang bernilai positip&

*bil S . Da2 6 by │ a2 6 by = 0 aka dapat ditentukan bah9a S

⊂ N& )arena N adalah hipunan terurut dan S ⊂ N aka S

epunyai unsur terkecil dan sebutlah dengan t dan t ∈S aka

tentu ada a . ao dan b . bo sehingga t . ao2 6 boy dan selanjutnya

dapat dibuktikan bah9a t │ 2 dan t │ y&

;ntuk ebuktikan apakah t │ 2 digunakan bukti tidak langsung &

Misal t ┼ 2 aka enurut dalil sebelunya ada A r ∈B sehingga

2 . At 6 r dengan 0 r t

r . 2 / At

. 2 / A(ao2 6 boy%

r . ( !-aoA%2 6 (-boA%y

r . a!2 6 b!y dengan a! . !-aoA ∈ B dan

b! . -boA ∈ B&

4adi r . a!2 6 b!y ∈ B dengan r t∈ S t erupakan unsur terkecil S

ran r t& @al ini bertentangan dengan dengan peisalan t ┼ 2&

Cengan deikian anggapan t ┼ 2 tidaklah benar& 4adi haruslah t │ 2&

Teori Bilangan - 31


13/56

Cengan cara yang saa dapat ditunjukkan bah9a t │ y&

Cari t │ 2 dan t │ y berarti t adalah pebagi persekutuan dari 2 dan y&

d . (2y% berarti d │ 2 sehingga ∃ p ∈ S sehingga 2 . dp&

d . (2y% berarti d │ y sehingga ∃ p ∈ S sehingga y . dp&

t . ao2 6 boy

. ao (dp% 6 bo (dp%

d │ t d ≠ 0 t = 0 aka sesuai dengan dalil sebelunya d ≤ t dan d

tidak lebih kecil dari t sedangkan d adalah pebagi persekutuan dari 2

dan y&

4adi d . t . ao2 6 boy

7erdasarkan urian di atas jelaslah bah9a d . (2y% erupakan bilangan

bulat positip terkecil yang epunyai bentuk (a2 6 by% dengan ab ∈

B&

Cengan deikian terlihat bah9a tidak ada bilangan positip selain d

yang ebagi 2 dan y dan epunyai bentuk (a2 6 by%

. 4ika t ∈ * dan t = 0 aka (t2ty% . t (2y%

7ukti

Sesuai dengan bukti dalil ! di atas aka#

(t2ty% . bilangan bulat positip terkecil yang epunyai bentuk(at2 6

bty% dengan bilangan ab ∈ B

. at2 6 bty

. t (a2 6 by%

. t erupakan bilangan bulat positip terkecil yang epunyai

bentuk (a26by%

Teori Bilangan - 32


14/56

. t (a2 6by%

/. 4ika 2y ∈ * dan d . (2y% aka (d

xd

y% . !

7ukti

d . (2y% berarti d │2 dan d │y dand

xd

y ∈ B

(2y% . (d&d

x d&

d

y% . d (

d

xd

y%

)arena d = 0 aka d (d

xd

y% atau ! . (

d

xd

y%

Cengan deikian (d

xd

y% . !

1. 4ika 2y9 ∈ * 9 │2y dan (y9% . ! aka 9 │ 2&

7ukti

(y9% . ! aka enurut de8nisi G'7 ! adalah bilangan bulat positip

terkecil yang epunyai bentuk ay 6 b9 dengan ab ∈ B

ay 6 b9 . ! berarti ay2 6 b92 . 2

9 │ 2y → 9 │ a2y

9 │ a2y dan 9 │ b29 → 9 │ a2y 6 b29

9 │ a2y 6 b92 dan a2y 6 b29 . 2 → 9 │ 2&

2. 4ika (2t% . ! dan (yt% . ! aka (2yt% . !

7ukti#

(2t% . ! → terdapat ao dan bo ∈ B sedeikian sehingga ao26bot.!

(yt% . ! → terdapat ao dan bo ∈ B sedeikian sehingga a!y6b!t.!

ao26bot.! → ao2 . ! - bot

a!y6b!t.! → a!y . ! - b!t

Teori Bilangan - 33


15/56

a!2 . ! - bot dan a!y . ! - b!t aka#

(ao2%(a!y% . (! - bot%(! - b!t%

. !- (bo - b! 6 bob!t%t

(aoa!%(2y% . (!- b%t atau (2y% a 6bt.! dengan

a . aoa! dan b . bo - b! 6 bob!t

)arena (2yt% . ! adalah bilangan bulat positip tekecil yang epunyai

bentuk (2y% a 6bt.! aka (2yt% haruslah ! sehingga (2yt% . !

3. Citentukan 2y∈* (2y% . d& Ekuivalen dengan d = 0 d │2 d│y dan f

│d untuk setiap f pebagi persekutuan 2 dan y&

7ukti

d . (2y% aka enurut de8nisi d adalah bilangan bulat positip

terbesar sehingga d │2 d│y hal ini berarti bah9a d = 0& Ceikian

pula d . (2y% berarti d adalah bilangan bulat positip terkecil dan

berbentuk (a2 6 by% dengan ab∈*.

4adi d . a2 6 by&

Misal f adalah sebarang pebagi persekutuan dari 2 dan y aka

berlaku f │2 dan f │y sehingga f │a2 dan f │ay dan enurut sifat

keterbagian berlaku f │ a2 6 by&

f │ a2 6 by dan d . a2 6 by → f │d&

Sebaliknya jika d = 0 dan d │ 2 d│ y serta f │ d dengan f adalah

sebarang pebagi persekutuan 2 dan y aka d ≥ f ( karena d . kf k

∈B % untuk sebarang f pebagi persekutuan 2 dan y&

4adi d adalah pebagi persekutuan terbesar dari 2 dan y& *tau d .

(2y%

Teori Bilangan - 34


16/56

4. ;ntuk setiap a 2 y ∈ * berlaku#

( 2y % . ( y2 % . ( 2-y% . ( 2 y 6 a2 %&

7ukti

d . (2y% aka enurut de8nisi d adalah bilangan bulat positip

terbesar sehingga d │2 d│y hal ini berarti bah9a d = 0&

4adi d . (2y% atau d . (y2%&

)arena d erupakan bilangan bulat positip terbesar yang ebagi 2

dan y dan y ebagi (-y% aka d juga erupakan bilangan bulat

positip terbesar yang ebagi 2 dan (-y% sehingga d . (2-y%&

Selanjutnya (2y% │2 berarti (2y% │a2&

(2y% │a2 dan (2y% │y → (2y% │a2 6 y&

(2y% │a2 dan (2y% │a2 6 y →(2y% adalah pebagi persekutuan dari 2

dan y6a2 sehinggga enurut dalil sebelunya berarti (2y% │(x,y+a2%

(2y6a2% adalah pebagi persekutuan dari 2 dan (y6a2% hal ini berarti

(2y6a2% │2 dan (2y6a2% │ (y6a2%

(2y6a2% │2 → (2y6a2% │a2

(2y6a2% │2 dan (2y6a2% │y+a2 → (2y6a2% │y

)arena (2y6a2% adalah suatu pebagi persekutuan dari 2 dan y

aka (2y6a2% │ (2y% & 4adi (2y6a2% . (2y%

'erhatikan bah9a#

!& (!5% . (!5% . ( -!5% . (-!5% . 3&

& ($% . ( $ 3&$ 6 % . ( $!+% .

3& (35% . ( 3 5& 6 !% . ( 3 !!% . !

$& (!5 +!% . ( !5 6 15% . ( !5 6 5&!5% . ( !5% . 3&

Teori Bilangan - 35


17/56

Dalil Algoritma Euclides

4ika r! r ∈ * dan r! = r dan dengan proses algorita pebagian

dibentuk suatu barisan enurun bilangan bulat r! r r3 &&& rk-! rk rk6!.0

Iaitu#

r! . A!r 6 r3 0 ? r3 r&

r . Ar3 6 r$ 0 ? r$ r3&

r3 . A3r$ 6 r5 0 ? r5 r$&

r$ . A$r5 6 r 0 ? r r5&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

rk- . Ak-rk-! 6 rk 0 ? rk r&

rk-! . Ak-!rk 6 rk6! rk6! . 0

Maka (r!r% . rk&

7ukti&

(r!r% . (A!r 6 r3 r% &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (substitusi r!%

. (r3r% &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (teorea%

. (r3 Ar3 6 r$ % &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (substitusi r%

. (r3r$%

&&&&&&&

&&&&&&&

&&&&&&&

. (rkrk6!%

. (rk0% &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (rk6! . 0%

(r!r% . rk

Teori Bilangan - 36


18/56

,ontoh

!& Fentukan (!050% dan nyatakan hasilnya sebagai bentuk kobinasi

linear

a2 6 by . c diana c . (ab%&

Cengan *lgorita Euclides diperoleh#

!05 . (!% 0 6 $5

0 . (!% $5 6 !5

$5 . (3% !5 6 0 sehingga diperoleh (!050% . !5&

Selanjutnya dengan jalan undur diperoleh#

!5 . 0 / $5 (!%J

. 0 / K!05 / 0(!%J

. 0 / !05 6 0 (!%

. (-!% !05 6 (% 0&

*khirnya diperoleh (!050% . (-!%!05 6 (% 0&

5& Cengan cara yang saa diperoleh

(510 !"3+% . !!$

!!$ . 510 / (+%

. 510 / K!"3+ / 3&510J

. 510 / (!"3+% 6 (510%

. 1 (510% / (!"3+%

. -(!"3+% / 1(510%&

& ,ara Lain Menentukan Gaktor 'ersekutuan Ferbesar dan )obinasi

Linear

Teori Bilangan - 37


19/56

Marilah kita ingat kebali dalil *lgorita 'ebagian Euclides

4ika r! r ∈ * dan r! = r dan dengan proses algorita pebagian

dibentuk suatu barisan enurun bilangan-bilangan bulat r! r r3 &&& rk-!

rk rk6!.0

Iaitu#

r! . A!r 6 r3 0 ? r3 r&

r . Ar3 6 r$ 0 ? r$ r&

r3 . A3r$ 6 r5 0 ? r5 r&

r$ . A$r5 6 r 0 ? r r&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

rk- . Ak-rk-! 6 rk 0 ? rk r&

rk-! . Ak-!rk 6 rk6! rk6! . 0

Maka (r!r% . rk&

Sehingga diperoleh #

r3 . r! - A!r

r$ . r - Ar3

r5 . r3 - A3r$

r . r$ - A$r5

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&

&

ri . ri- - Ai-ri-!

7erdasarkan persaaan tersebut di atas dapat diketahui bah9a bilangan

bulat ri ditentukan oleh r!-! dan ri-

Teori Bilangan - 38


20/56

*ndaikata *lgorita pebagian Euclid di atas dinyatakan dala bentuk 2

dan y yaitu#

2! . A!2 6 23 0 ? 23 2&

y! . A!y 6 y3 0 ? y3 y&

aka dengan cara yang saa (analog% diperoleh bentuk persaaan

dala 2 dan y yang secara uu dinyatakan oleh 2i . 2i- - Ai-2i-! dan yi

. yi- - Ai-yi-! &

Sehingga terdapat 3 persaaan dala bentuk ri 2i dan yi dan

selanjutnya asing-asing konstanta tersebut dapat diulai dengan

syarat a9al yang berbeda&

r-! . r! ro . r

2-! . ! 2o . 0

y-! . 0 ro . !

Secara lengkap langkah untuk enentukan asing-asing konstanta

dapat dilihat pada table berikut ini#

i Ai6! ri 2i yi-! r! (b% ! 00 ... r (a% 0 !! ... && & && && && & &&3 && && & &&

Cstnya& && && & &&

Fitik-titik pada asing-asing kolo diisi dengan enyesuaikan bentuk

persaaan

ri . ri- - Ai-ri-!

2i . 2i- - Ai-2i-!

Teori Bilangan - 39


21/56

yi . yi- - Ai-yi-!

,ontoh&

!& Fentukan ($+3$0"% dan tentukan selesaian kobinasi linearnya&

$+3 2 6 $0" y . !1

4a9ab

Fabel untuk asing-asing konstanta adalah

i Ai6! ri 2i yi-! - $+3 ! 00 $0" 0 !! ! $3" ! - 0$0 -! 13 1 +" 3 --(1%.-0

$ !1 -4 -!-1(3%.-1-1(-

0%.!$1

5 - 0 - -

Ciperoleh ($+3$0"% . !1 dan !1 . $+3(6) , $0"(-14)

& Fentukan (1$"$$% dan buatlah kobinasi linearnya dari asing-

asing soal dala bentuk a2 6 by . d diana d . (ab%

4a9ab

Fabel untuk asing-asing konstanta adalah sebagai berikut#

i Ai6! ri 2i yi-! - 1$" ! 00 3 $$ 0 !! 3 11 ! -3 - 0 - -

Ciperoleh (1$"$$% . 11 dan 11 . 1$" (!% 6 $$ (-3%

3& Fentukan (!!0"$"""% dan buatlah kobinasi linearnya dari asing-

asing soal dala bentuk a2 6 by . d diana d . (ab%

Teori Bilangan - 40


22/56

4a9ab

Fabel untuk asing-asing konstanta adalah

i Ai6! ri 2i yi-! - $""" ! 00 $ !!0" 0 !! ! 53 ! -$ ! 5$ -! 53 3 !1 -"$ + -5 "35 ! 5 -353 - 0 - -

Ciperoleh (!!0"$"""% . ! dan ! . !!0" (-353% 6 $""" (5%

$& Cengan cara yang saa tentukan (5033$$1053!31$0331%

Fabel untuk asing-asing konstanta adalah#

i Ai6! ri 2i yi

-! -5033$$10

5! 0

0 ! 3!31$0331

0 !

! !!+"5+$3

+! -!

! !$!!5"" -! 3 ! 5$00+3"" -3$ ! 5+1+01510 -3 55 + 00+" 5 -+ ! 5+00"3+ -$3 "1 1 1"""+"! $+ -11+ 3 0!10! -31" 0+" ! !3"$1++ !!+5 -!0"!!0 ! +0"!3 -!5$ 50"!! ! 5+1+15 1$" -$$!0! !"03+ -$3!3 "!"!3 ! !$"1"" !!315 -!+$+!$ "3" -!5++ 5!1!5 !!3! $15! -+5+! + !3!3 -1!"$ $35"!1 ! +!1 0303 -35!+5$

Teori Bilangan - 41


23/56

!+ ! $" -$"$"1 3""+5!3!" ! 3! $1!+00 -15031

0 ! !15 -105"1!!55+++

0

! ! !$ !!"!+0"1

-

!"!!"$

1

5 " -!"!33"$301+!

1

3 " ! !0153501

-

!150"++

$ - 0 - -

Ciperoleh (5033$$1053!31$0331% . ! dan

! . 5033$$105 (!0153501% 6 3!31$0331 (-!150"++%

Soal&

Cengan cara yang saa tentukan kobinasi linearnya dan tentukan#

a& ("$13""1%. d aka d . "$12 6 3""1y

b& (+"$00!% . d aka d . +"2 6 $00!y

c& (!!0"$"""% . d aka d . !!0"2 6 $"""y

d& ($33!1111!10%

e& ($0$0$0$0$0$0"+"+"+"+"+"%

!& ;ntuk latihan anda cobalah tentukan (1$"$$% ("$13""1%

(+"$00!% (!!0"$"""% dan nyatakan hasilnya dala bentuk

kobinasi linear&

& Fentukan nilai 2 dan y yang eenuhi persaaan

$32 6 !"+y . "

1!2 / 50y . !

Teori Bilangan - 42


24/56

$32 6 $y . !

Defnisi 2.3

4ika 2y ∈ * 2 < 0 dan y < 0 aka#

a& M disebut kelipatan persekutuan dari 2 dan y jika y │ dan 2 │&

b& M disebut kelipatan persekutuan terkecil dari 2 dan y jika adalah

bilangan bulat positip terkecil sehingga 2 │ dan y │& 4ika

kelipatan pesekutuan terkecil 2 dan y dinotasikan dengan K2yJ . &

Dalil 2.5

!& 4ika 2y ∈ * 2 < 0 dan y < 0 aka K2yJ . ↔ 2 │ y │ = 0

dan sebarang kelipatan persekutuan n dari 2 dan y berlaku │n&

& ;ntuk = 0 berlaku K2yJ . K2yJ

3& 4ika a dan b adalah sebarang dua bilangan bulat positip dan (ab% . !

aka (ab%KabJ . a&b

$& 4ika ab sebarang dua bilangan bulat positip aka (ab%KabJ . ab&

&3 'ersaaan Ciophantine Linear

'ersaaan Ciophantine linear secara uu ditulis sebagai a2 6 by .

c& Naa Ciophantine digunakan untuk enghorati jasa-jasa dari ahli

ateatika bangsa *le2anderia Mesir bernaa Ciophantus yang hidup

pada abad ke-3 (tahun 50 M%&

Misal diberikan persaaan Ciophantine 32 6 y . !+ aka dengan

cara sederhana akan diperoleh bentuk kesaaan-kesaaan#

6 &! . !+

Teori Bilangan - 43


25/56

3(-% 6 (% . !+

3&!0 6 (-% . !+ dan seterusnya&

7entuk kesaaan tersebut jika diteruskan akan diperoleh sebanyak tak

hingga bentuk& Oleh karena itu dala persaaan Ciophantine a2 6 by . c

dikatakan epunyai selesaian jika d │c dan d . (ab%& )arena d . (ab%

aka kita tahu bah9a ada bilangan bulat r dan s sehingga sehingga a .

dr dan b . ds& 4ika selesaian a2 6 by . c ada sehingga bentuk a2o6byo .

c akan sesuai dengan bentuk#

c . a2o6byo . dr2o 6 dsyo . d (r2o 6 syo%&

Teorema 2.1

'ersaaan Ciophantine Linear a2 6 by . c dikatakan epunyai

selesaian jika dan hanya jika d │c diana d . (ab% 4ika 2o dan yo adalah

sebarang selesaian khusus dari a2 6 by . c

Maka seluruh selesaian yang lain diberikan oleh 2 . 2o 6 (b:d%t dan y . yo

/ (a:d%t untuk sebarang bilangan bulat t&

7ukti&

Misal 2o dan yo adalah selesaian persaaan yang diketahui jika 2P dan yP

selesaian yang lain aka a2o 6 byo . c . a2P 6 byP

⇔ a(2P / 2o% . b(yo / yP%

Cengan enggunakan teorea sebelunya pada *lgorita 'ebagian

diana ada bilangan bulat relatif pria r dan s sehingga a . dr dan b .

ds& Sehingga diperoleh r(2P-2o% . s(yo-yP%& 7entuk ini eberikan fakta

Teori Bilangan - 44


26/56

bah9a r │ s(yo-yP%& Cengan (rs% . !& dengan enggunakan Lea Euclid

diperoleh r │ (yo-yP% atau dengan kata lain

(yo-yP% . rt untuk suatu bilangan bulat t&

⇔ 2P-2o . st&

⇔ 2P . 2o 6 st

⇔ 2P . 2o 6 (b:d%t &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(!%

Cengan cara yang saa diperoleh

⇔ yo / yP . rt&

⇔ yP . yo - rt

⇔ yP . yo - (a:d%t &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (%

dari (!% dan (% dapat dilihat bah9a#

a2P 6 byP . aK2o 6 (b:d%tJ 6 b Kyo - (a:d%tJ

. (a2o 6 byo% 6 (ab:d / ab:d%t

. c 6 0

. c

Cengan deikian terdapat tak hingga selesaian dari persaaan

Ciophantine yang diberikan sebut saja selesaian tersebut adalah t&

,ontoh#

Fentukan selesaian persaaan Ciophantine !12 6 0y . !000&

4a9ab

Cengan enggunakan *lgorita Euclid diperoleh (!10% diperoleh

!1 . (+% 0 6 !

0 . (!% ! 6 +

! . (!% + 6 $

Teori Bilangan - 45


27/56

+ . (% $

Sehingga (!10% . $&

)arena $ │!000 aka !12 6 0y . !000 epunyai selesaian&

Cengan enggunakan jalan undur pada langkah di atas diperoleh

$ . ! / (!% +

. ! / (!% K0 / (!% !J

. (% ! / (!% 0

. K!1 / (+%0J / 0

. (% !1 6 (-!1% 0 atau

$ . (% !1 6 (-!1% 0&

)alikan kedua ruas dengan 50 diperoleh

!000 . 50&$ . 50 D(% !1 6 (-!1% 0

. 500&!1 6 (-$50% 0

didapat 2 . 500 dan y . -$50&

Seua selesaian dari persaaan !12 6 0y . !000 adalah

2 . 500 6 (0:$%t . 500 6 5t

y . -$50 - (!1:$%t . -$50 - $3t untuk suatu bilangan bulat t&

;ntuk eilih t gunakan ketentuan 500 6 5t =0 dan /$50 /$3t = 0

(engapaQ%&

*kibat dari teorea di atas adalah 4ika (ab% . ! dan jika 2 o dan yo adalah

selesaian khusus dari persaaan Ciophantine linear a2 6 by . c aka

seluruh selesaian dari persaaan yang diberikan adalah 2 . 2o 6 bt dan y

. yo - at

Teori Bilangan - 46


28/56

&$ ,iri-ciri @abis Cibagi

7anyak de8nisi dan dalil yang telah dipaparkan di atas yang

berkaitan dengan keterbagian& Cala banyak hal lain sering diperlukan

suatu ja9aban apakah suatu bilangan habis atau tidak jika dibagi oleh

bilangan tertentu& 4a9aban yang diaksud enyangkut ciri-ciri suatu

bilangan habis dibagi oleh bilangan yang lain& ,iri-ciri habis dibagi

dikebangkan dan dijabarkan dari de8nisi dan dalil yang telah

dibicarakan& Sebelu ciri-ciri habis dibagi dibahas perlu dipaparkan

beberapa sifat dasar keterbagian hal ini dilakukan karena sangat

diperlukan&

!& k │ 0 untuk seua k ∈ *& dan k < 0&

)arena 0 . 0 dan 0 ∈ * aka jelaslah bah9a k │0&

4adi │0 !0 │0 - │0 !│0 adalah seua pernyataan yang bernilai

benar

& ! │ k untuk seua k ∈ *&

)arena k . k&! dan k ∈ * aka jelaslah bah9a !│k&

4adi ! │ !│0 !│-!0 ! │ 0 adalah seua pernyataan yang

bernilai benar

3& k │ → k │2& untuk seua 2 ∈ *&

)arena 0 . 0 dan 0 ∈ * aka jelaslah bah9a k │0&

4adi 3 │ → 3 │3& 3│!0& 3 │ adalah pernyataan yang bernilai

benar

$& k │ ! k │ → k │(! > %

k │ ! k │ &&&&&&& k │i → k │(! > > &&& > i %

Teori Bilangan - 47


29/56

4adi 3 │" 3 │3 → 3 │("63% 3 │("-3% adalah pernyataan yang bernilai

benar

5& k │ k untuk seua k ∈ *& dan k < 0&

)arena k . !&k dan ! ∈ * aka jelaslah bah9a k │k&

4adi │ -$│-$ !│! │ adalah pernyataan yang bernilai benar

& (k% . ! dan k │ n → k │n&

4adi (35% .! dan 3 │5&" → 3 │"&

($1% .! dan $ │1&$ → $ │$&

(3$% .! dan 3 │$&! → 3 │!&

1& k │ k │ 6 n → k │n

k │ ! k │ &&&&&&& k │(! 6 6 &&& 6 i % → k │n

4adi 3 │ 3 │! 3 │!5 3 │ 6 ! 6 !5 6 ! → 3 │!

Selanjutnya suatu bilangan asli

N . ak&!0k 6 ak-!&!0

k-! 6 ak-&!0k- 6 ak-3&!0

k-3 6 ak-$&!0k-$ 6 &&&& 6 a!&!0 6

ao

Citulis dala bentuk sederhana

N . (akak-!ak-ak-3ak-$ &&&&a!ao%

a. Ciri-ciri habis dibagi 2.

'erhatikan

N . ak&!0k 6 ak-!&!0

k-! 6 ak-&!0k- 6 ak-3&!0

k-3 6 ak-$&!0k-$ 6 &&&& 6 a!&!0 6

ao&

Ciana

│!0 → │a!&!0

│!0 → │!0&!0 → │!0

→ │a&!0

&

Teori Bilangan - 48


30/56

│!0 → │!00&!0 → │!03 → │a3&!03&

│!0 → │!000&!0 → │!0$ → │a$&!0$&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

│!0 → &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& │ak&!0k&

aka#

│ak&!0k │ak-!!0k-! │ak-!0k- │ak-3!0k-3 │ak-$!0k-$ &&&

│a!&!0

│(ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6 a!&!0%

│N → │ ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6 a!&!0

6 ao&

│ ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6 a!&!0

4adi │ ao

)esipulan suatu bilangan asli N habis dibagi jika angka terakhir

labang bilangan N (yaitu ao% habis dibagi & 4adi haruslah ao bilangan

genap&

,ontoh

!& Selidiki apakah +3!01+!03 habis dibagi Q

4a9ab

Misal N . +3!01+!03 dan angka terakhir dari N adalah 3 (ganjil% dan

┼ 3 aka

┼ +3!01+!03

& Selidiki apakah $3555$33! habis dibagi

4a9ab

Teori Bilangan - 49


31/56

)arena angka terakhir dari N . $3555$33! adalah bilangan

(genap% dan

│ aka │$3555$33!&

b. Ciri-ciri habis dibagi 4.

'erhatikan

N . ak&!0k 6 ak-!&!0

k-! 6 ak-&!0k- 6 ak-3&!0

k-3 6 ak-$&!0k-$ 6 &&&& 6 a!&!0 6

ao&

Ciana

$│!00 → $ │!0 → $ │a&!0

$│!00 → $ │!0&!00 → $ │!03 → $│a3&!03

$ │!00 → $ │!00&!00 → $ │!0$ → $ │a$&!0$&

$ │!00 → $ │!000&!00 → $ │!05 → $ │a5&!05&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

$ │!00 → &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& $ │ak&!0k&

aka#

$ │ak&!0k $ │ak-!!0k-! $│ak-!0k- $│ak-3!0k-3 $ │ak-$!0k-$ &&&

$ │a&!0

$ │(ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6 a&!0%

$ │N → $ │( ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6

a&!0 6 a!&!0 6 ao&

$ │ (ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6 a&!0

4adi $ │ a!&!0 6 ao atau $│ a!ao

Teori Bilangan - 50


32/56

)esipulan suatu bilangan asli N habis dibagi $ jika bilangan yang

dibentuk oleh dua angka terakhir dari labang bilangan N habis dibagi $&

,ontoh

!& Selidiki apakah +3!01+!03 habis dibagi $

4a9ab

Misal N . +3!01+!03 . (a"a+a1aa5a$a3aa!a0%

dan Cua angka terakhir dari N a! . 3 dan ao . 0 sehingga diperoleh

bilangan 30 dan dan $ ┼ 30 aka $ ┼ +3!01+!03

& Selidiki apakah $3555$33! habis dibagi $

4a9ab

Misal N . $3555$33! . (a!!a!0a"a+a1aa5a$a3aa!ao % dan

Cua angka terakhir dari N a! . ! dan ao . sehingga diperoleh

bilangan ! dan $ │16 aka $│$3555$33!

c. Ciri-ciri habis dibagi 8.

'erhatikan

N . ak&!0k 6 ak-!&!0

k-! 6 ak-&!0k- 6 ak-3&!0

k-3 6 ak-$&!0k-$ 6 &&&& 6 a!&!0 6

ao&

Ciana

+ │!000 → + │!03 → + │ a3&!03&

+ │!000 → + │!0&!000 → + │!0$ → + │ a$&!0$&

+ │!000 → + │!00&!000 → + │!05 → + │ a5&!05&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

+ │!000 → &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& + │ak&!0k

&

Teori Bilangan - 51


33/56

aka#

+ │ak&!0k + │ak-!!0k-! +│ak-!0k- + │ak-3!0k-3 │ak-$!0k-$ &&&

+ │a3&!03

+ │( ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6 ak-$!0k-$ 6 &&&&6 a3&!03

+ │N → + │ ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6 a!&!0

6 ao&

+ │ ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6 a3&!03

4adi + │ a&!0 6a!&!0! 6 6 a0 atau + │ aa!a0

)esipulan # suatu bilangan asli N habis dibagi + jika bilangan yang

dibentuk oleh tiga angka terakhir dari labang bilangan N habis dibagi +&

,ontoh

!& Selidiki apakah $3555$33$ habis dibagi +

4a9ab

Misal N . $3555$33$ . (a!!a!0a"a+a1aa5a$a3aa!ao % dan

Figa angka terakhir dari N adalah a . a! . $ dan ao . sehingga

diperoleh bilangan $ dan dan + ┼ 242.

Jadi + ┼ $3555$33$

d. Ciri-ciri habis dibagi 1.

'erhatikan

N . ak&!0k 6 ak-!&!0k-! 6 ak-&!0k- 6 ak-3&!0k-3 6 ak-$&!0k-$ 6 &&&& 6 a!&!0 6

ao&

)arena

! │!0000 → ! │!0$ → ! │a$&!0$

! │!0000 → ! │!0&!0000 → ! │!05

→ ! │a5&!05

&

Teori Bilangan - 52


34/56

! │!0000 → ! │!00&!0000 → !│!0 → ! │a&!0&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

! │!0000 → &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ! │ak&!0k&

aka#

!│ak&!0k !│ak-!!0k-! !│ak-!0k- !│ak-3!0k-3

!│ak-$!0k-$&&&&&!│a$&!0$

!│(ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6 a$&!0$ %

! │N → ! │ ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6

a!&!0 6 ao&

! │ ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6 a$&!0$

4adi ! │ a3&!03 6a&!0 6 a!&!0 6 ao atau ! │ a3aa!ao

)esipulan # suatu bilangan asli N habis dibagi ! jika bilangan yang

dibentuk oleh epat angka terakhir dari labang bilangan N habis dibagi

!&

,ontoh

!& Selidiki apakah bilangan !!$ habis dibagi $ + dan !

!!$ . (a$a3aa!a0%

)arena (ao% . dan │ aka │!!$

)arena (a!a0% . $ dan $ ┼ $ aka $ ┼ !!$

)arena (aa!a0% . $ dan + ┼ $ aka $ ┼ !!$

)arena (a3aa!a0% . $ dan ! ┼ $ aka ! ┼ !!$

& Selidiki apakah $$1+ habis dibagi $ + dan !

$$1+ . (a$a3aa!a0%

Teori Bilangan - 53


35/56

)arena (ao% . + dan │+ aka │$$1+

)arena (a!a0% . + dan $ │+ aka $ │$$1+

)arena (aa!a0% . 1+ dan + ┼ 1+ aka + │$$1+

)arena (a3aa!a0% . $1+ dan ! │$1+ aka ! ┼ $$1

e. Ciri-ciri habis dibagi 3.

'erhatikan

N . ak&!0k 6 ak-!&!0

k-! 6 ak-&!0k- 6 ak-3&!0

k-3 6 ak-$&!0k-$ 6 &&&& 6 a!&!0 6

ao&

)arena

a!&!0 . a! ( " 6 ! % . a!& " 6 a!

a&!0 . a! ( "" 6 ! % . a!&"" 6 a

a3&!03 . a3 ( """ 6 ! % . a3&""" 6 a3

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

ak&!0k . &&&&& . ak ( """&&&" 6 ! % . ak&"""&&&" 6 ak

aka#

N . ak&!0k 6 ak-!&!0

k-! 6 ak-&!0k- 6 ak-3&!0

k-3 6 ak-$&!0k-$ 6 &&&& 6 a!&!0 6

ao&

. (a3&"""&&&" 6 ak % 6 &&& 6 (a3&""" 6 a3 % 6 (a&"" 6 a % 6 (a!& " 6 a! % 6

ao

. (a3&"""&&&" 6 &&& 6 a3&""" 6 a&"" 6 a!& " % 6 (ak 6 &&& 6 a3 6 a 6 a! 6

ao %

Cari hasil ini dapat ditentukan bah9a

3│" → 3│a!&"

Teori Bilangan - 54


36/56

3│" → 3 │!!&" → 3│"" → 3│a&""

3│" → 3 │!!!&" → 3│""" → 3│a3&"""

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

3│" → &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3│ak&""" &&& "

sehingga

3│ak&""" &&& " &&& 3│a3&""" 3│a&"" 3│a!&"

atau 3│(ak&""" &&& "% 6 &&& 6 (a3&"""% 6 (a&""% 6 (a!&"%

3│N → 3│(ak&"""&&&" 6 &&& 6 a3&""" 6 a&"" 6 a!& " % 6 (ak 6 &&& 6 a3 6 a 6

a! 6 ao %

aka 3 │(ak 6 &&& 6 a3 6 a 6 a! 6 ao %

)esipulan suatu bilangan bulat N habis dibagi3 jika julah angka-angka

dari labang bilangan N habis dibagi 3&

,ontoh

!& Selidiki apakah 3$ habis dibagi 3 Q

4a9ab#

Misal N . 3$ . (a3aa!a0%

Can a3 6 a 6 a! 6 ao . 3 6 $ 6 6 . !5

)arena 3 │!5 aka 3 │3$

& Selidiki apakah 5$3500"+ habis dibagi 3Q

4a9ab#

Misal N . 5$3500"+ . (a+a1aa5a$a3aa!a0% diperoleh

a+ 6 a1 6 a 6 a5 6 a$ 6 a3 6 a 6 a! 6 ao . 5 6 6 $ 6 3 6 5 6 0 6 0

6 " 6 + . $0

Teori Bilangan - 55


37/56

)arena 3 ┼ $0 aka 3 ┼ 5$3500"+

!. Ciri-ciri habis dibagi ".

Cari uraian pebagian dengan bilangan 3 diketahui bah9a#

N . ak&!0k 6 ak-!&!0

k-! 6 ak-&!0k- 6 ak-3&!0

k-3 6 ak-$&!0k-$ 6 &&&& 6 a!&!0 6

ao&

. (a3&"""&&&" 6 &&& 6 a3&""" 6 a&"" 6 a!& " % 6 (ak 6 &&& 6 a3 6 a 6 a! 6

ao %

)arena

"│" → "│a!&"

"│" → " │!!&" → "│"" → "│a&""

"│" → " │!!!&" → "│""" → "│a3&"""

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

"│" → &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& "│ak&""" &&& "

sehingga

"│ak&""" &&& " &&& "│a3&""" "│a&"" "│a!&"

atau "│(ak&""" &&& "% 6 &&& 6 (a3&"""% 6 (a&""% 6 (a!&"%

"│N → "│(ak&"""&&&" 6 &&& 6 a3&""" 6 a&"" 6 a!& " % 6 (ak 6 &&& 6 a3 6 a 6

a! 6 ao %

aka " │(ak 6 &&& 6 a3 6 a 6 a! 6 ao %

)esipulan suatu bilangan bulat N habis dibagi " jika julah angka-

angka dari labang bilangan N habis dibagi "&

,ontoh #

Selidiki apakah !$3333!0!! habis dibagi 3 dan "

Teori Bilangan - 56


38/56

N . !$3333!0!!→ (a!!a!0a"a+a1aa5a$a3aa!ao%

a!!6 a!06 a"6 a+ 6 a1 6 a 6 a5 6 a$6 a3 6 a 6 a!6 ao . ! 6 $ 6 6 3 6

6 3 6 3 6 3 6 ! 6 0 6 ! 6 ! . $

)arena 3 │$ aka 3 │!$3333!0!!

)arena " ┼ $ aka 3 ┼ !$3333!0!!

g. Ciri-ciri habis dibagi 5

'erhatikan

N . ak&!0k 6 ak-!&!0

k-! 6 ak-&!0k- 6 ak-3&!0

k-3 6 ak-$&!0k-$ 6 &&&& 6 a!&!0 6

ao&

)arena #

5 │!0 → 5 │a!&!0

5 │!0 → 5 │!0&!0 → 5 │!0 → 5 │a&!0&

5 │!0 → 5 │!00&!0 → 5 │!03 → 5 │a3&!03&

5 │!0 → 5 │!000&!0 → 5 │!0$ → 5 │a$3&!0$&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

5 │!0 → &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 5 │ak&!0k&

5 │ak&!0k 5│ak-!!0k-! 5│ak-!0k- 5│ak-3!0k-3 5 │ak-$!0k-$ &&&& 5│a!&!0

5 │(ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6 a!&!0%

5 │N → 5 │ (ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6

a!&!0% 6 ao&

5│ ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6 a!&!0

4adi 5│ ao& )eungkinannya ao . 0 atau ao . 5

Teori Bilangan - 57


39/56

)esipulan suatu bilangan asli N habis dibagi 5 jika angka terakhir

labang bilangan N adalah 0 atau 5&

,ontoh#

!& 7ilangan $5 tidak habis dibagi 5 karena angka terakhir dari $5

yaitu tidak habis dibagi 5& atau 5 ┼ & sehingga 5 ┼ $5&

& 7ilangan $50"+0 habis dibagi 5 karena angka terakhir dari $50"+0

adalah 0 dan

5 │0 sehingga 5 │$50"+0

h. Ciri-ciri habis dibagi .

4ika diketahui │N aka erupakan pebagi (faktor% dari N sehingga#

N . k untuk k ∈ B&

N . k dan . &3 aka N . (&3%k

N . (3&k% → │N

N . 3(&k% → 3 │N

4adi suatu bilangan bulat N habis dibagi jika N habis dibagi oleh dan

3&Cengan kata lain suatu bilangan N habis dibagi jika angka terakhir

adalah genap dan julah angka-angka dari labang bilangan N habis

dibagi 3&

,ontoh #

!& Selidiki apakah $35 habis dibagi

$35 habis dibagi karena angka terakhir dari bilangan $35 yaitu

habis dibagi sehingga │$35& $ 6 3 6 5 6 . !+ dan 3 │!+

aka 3│$35&

Teori Bilangan - 58


40/56

)arena │$35 dan 3│$35 aka │$35&

& Selidiki apakah "+5$0"+ habis dibagi R

"+5$0"+ habis dibagi karena │+ dan " 6 + 6 5 6 $ 6 0 6 " 6 + .

$3 sehingga

3 ┼ $3& )arena │"+5$0"+ akan tetapi 3 ┼ "+5$0"+ aka ┼

"+5$0"+&

i. Ciri-ciri habis dibagi #.

'erhatikan

N . ak&!0k 6 ak-!&!0

k-! 6 ak-&!0k- 6 ak-3&!0

k-3 6 ak-$&!0k-$ 6 &&&& 6 a!&!0 6

ao&

)arena

a!&!0 . a!( 1 6 3 % . 1a! 6 3a!

a&!0 . a& !00 . a( "+ 6 % . "+ a 6 a

a3&!03 . a3& !000 . a3( !00! /! % . !00! a3 - a3

a$&!0$ . a$& !0000 . a$( !0003 - 3 % . !0003a$ - 3a$

a5&!05 . a5& !00000 . a5( !0000 / % . !0000 - a5

dan seterusnya

sehingga#

N . ak&!0k 6 ak-!&!0k-! 6 ak-&!0k- 6 ak-3&!0k-3 6 ak-$&!0k-$ 6 &&&& 6 a!&!0 6

ao&

. ak&!0k 6 &&&& 6 a5!0

5 6 a$&!0$ 6 a3&!0

3 6 a- &!0 6 a!&!0 6 ao&

. ak&!0k 6 &&&&& 6 (!0000 a5 - a5% 6 (!0003a$ - 3a$ % 6 (!00! a3 - a3

% 6

( "+ a 6 a % 6 ( 1a! 6 3a!% 6 a0&

Teori Bilangan - 59


41/56

. (1a! 6 "+ a 6 !00! a3 - !0003a$ - !0000 a5 6 &&& 1&t&!0k % 6 (a0

63a! 6 a % -

(a3 6 3a$ 6 a5% 6 &&&

. 1 6 (a0 63a! 6 a % - (a3 6 3a$ 6 a5% 6 &&&

1 │N dan 1 │ aka 1 │(a0 63a! 6 a % - (a3 6 3a$ 6 a5% 6 &&&

)esipulan bilangan N . (akak-!ak-ak-3ak-$ &&&&a!ao% habis dibagi jika

1 │(a0 63a! 6 a % - (a3 6 3a$ 6 a5% 6 &&&

Contoh

!& Selidiki apakah !3$ habis dibagi 1&

Misal !3$ . (a3aa!a0% aka diperoleh

a3 . ! a . a!. 3 a0. $

a0 6 3a! 6 a . $ 6 3(3% 6 (% . !1 dan a3 . !

sehingga (a0 6 3a! 6 a % - a3 . !1 / ! .

)arena 1 ┼ aka 1 ┼ !3$&

& Selidiki apakah 3"1 habis dibagi 1&

4a9ab

Cengan cara lain dapat diselidiki apakah 1 │ 3"1&

*bil N . 3"1 dan andaikan 1 │ 3"1&

)arena 1 │ ! aka 1 │ &! sehingga 1 │ 3"1 / &!

1 │ 3"1 / &! ⇔ 1 │ 3&!03 6 "&!0 6 1&!0! 6 &!00 / &!

⇔ 1 │ 3&!03 6 "&!0 6 1&!0! 6 &!00 / &0

⇔ 1 │ !0(3&!0 6 "&!0! 6 1 / &

⇔ 1 │ !0(33"1 / &%

Teori Bilangan - 60


42/56

)arena (1!0% . ! dan 1 │!0(3"1 / &% aka enurut dalil

sebelunya

1│ 3"1 / && atau 1 │ 3+5

4ika cara tersebut diteruskan akan diperoleh

1 │ 3+5 ⇔ 1 │ 3+ / &5 atau 1 │ +

1 │ !+ ⇔ 1 │ / &+ atau 1 │ -!$&

Cengan deikian 1 │ 3"1& dan bilangan disebut dengan pengali&

$. Ciri-ciri habis dibagi 1%.

'erhatikan

N . ak&!0k 6 ak-!&!0

k-! 6 ak-&!0k- 6 ak-3&!0

k-3 6 ak-$&!0k-$ 6 &&&& 6 a!&!0 6

ao&

)arena

!0 │!0 → !0 │a!&!0

!0 │!0 → !0│10&!0 → !0 │!0 → !0 │a&!0&

!0 │!0 → !0 │!00&!0 → !0 │!03 → !0 │a3&!03&

!0 │!0 → !0 │!000&!0 → !0 │!0$ → !0 │a$&!0$&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

!0 │!0 → &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& !0 │ak&!0k&

!0 │ak&!0k

!0 │ak-!!0k-!

!0│ak-!0k-

!0│ak-3!0k-3

!0│ak-$!0k-$

&&&&& !0

→a!&!0

→ !0 │(ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6 a!&!0%

!0│N → !0│ ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6

a!&!0 6 ao&

!0│ ak&!0k 6 ak-!!0k-! 6 ak-!0k- 6 ak-3!0k-3 6ak-$!0k-$ 6 &&&&& 6 a!&!0

Teori Bilangan - 61


43/56

4adi !0 │ ao nilai yang ungkin untuk ao . 0&

)esipulan # Suatu bilangan asli N habis dibagi !0 jika angka terakhir

labang bilangan N (yaitu ao% adalah 0&

&. Ciri-ciri habis dibagi 11.

'erhatikan

N . ak&!0k 6 ak-!&!0

k-! 6 ak-&!0k- 6 ak-3&!0

k-3 6 ak-$&!0k-$ 6 &&&& 6 a!&!0 6

ao&

)arena

a!&!0 . a!( !! / ! % . !!a! - a!

a&!0 . a& !00 . a( "" 6 ! % . "" a 6 a

a3&!03 . a3& !000 . a3( !00! /! % . !00! a3 - a3

a$&!0$ . a$& !0000 . a$( """" 6 ! % . """"a$ 6 a$

a5&!05 . a5& !00000 . a5( !0000! - ! % . !0000!a5 - a5

dan seterusnya

sehingga#

N . ak&!0k 6 ak-!&!0

k-! 6 ak-&!0k- 6 ak-3&!0

k-3 6 ak-$&!0k-$ 6 &&&& 6 a!&!0 6

ao&

. ak&!0k 6 &&&& 6 a5!05 6 a$&!0$ 6 a3&!03 6 a- &!0 6 a!&!0 6 ao&

. ak&!0k 6 &&&&& 6 (""""" a5 6 a5% 6 (!0003a$ - 3a$ % 6 (!00! a3 - a3 %

6

( ""a 6 a % 6 ( !!a!- a!% 6 a0&

. (!!a! 6 "" a 6 !00! a3 6 !0003a$ 6 """"" 6 &&& % 6 (a0 6 a 6 a$ %

-

(a

6 a$

6 a% 6 &&&

Teori Bilangan - 62


44/56

. !!&t 6 (a0 6 a 6 a$ % - (a 6 a$ 6 a% 6 &&&

!! │N dan !! │!!&t aka !!│(a0 6 a 6 a$ % - (a 6 a$ 6 a% 6 &&&

)esipulan bilangan N . (akak-!ak-ak-3ak-$ &&&&a!ao% habis dibagi !! jika selisih

julah angka-angka pada urutan genap dengan julah angka pada

urutan ganjil habis dibagi !!&

,ontoh#

!& 7ilangan ++50$ habis dibagi !! angapaQ

& 7ilangan 5"0$ habis dibagi !! engapaQ

3& 7ilangan $5333!! tidak habis dibagi !! engapaQ

l. Ciri-ciri habis dibagi bilangan 'rima.

7erdasarkan hasil pebagian dengan bilangan 1 dan !! dapat

diketahui bah9a secara bertahap bilangan yang diselidiki direduksi

enjadi suatu bilangan yang dengan udah dapat ditentukan habis

dibagi 1 atau !!& ;ntuk proses reduksi dala penyelidikan setiap

bilangan yang habis dibagi 1 aupun !! digunakan suatu pengali

(ultiplier% yaitu untuk pebagian 1 dan ! untuk pebagian !!&

;ntuk bilangan pria yang lebih dari !! dengan proses uraian seperti

pebagian 1 dan !! dapat dicari pengali-pengali yang sesuai& Sebagai

contoh pengali dari pebagian !3 adalah " dan pengali dari pebagian

oleh !1 adalah 5&

a& Mencari 'engali dari pebagian !3&


!3 │"! aka !3 │"! ao&

Teori Bilangan - 63


45/56

!3 │N dan !3 │"! ao& → !3 │N - "! ao&

↔ !3 │ (akak-!ak-ak-3ak-$ &&&&a!ao % - "! ao&

↔ !3 │!0(akak-!ak-ak-3ak-$ &&&&a! - " ao%

)arena (!3!0% . ! aka !3 │(akak-!ak-ak-3ak-$ &&&&a! - " ao%

Cari hasil ini jelaslah bah9a pengali untuk pebagian oleh !3 adalah

"&

b& Mencari 'engali dari pebagian !1&


!1 │5! aka !1 │5! ao&

!1 │N dan !1 │5! ao& → !1│N - 5! ao&

↔ !1 │ (akak-!ak-ak-3ak-$ &&&&a!ao % - 5! ao&

↔ !1 │!0(akak-!ak-ak-3ak-$ &&&&a! - 5 ao%

)arena (!1!0% . ! aka !1 │(akak-!ak-ak-3ak-$ &&&&a! - 5ao%

Cari hasil ini jelaslah bah9a pengali untuk pebagian oleh !1 adalah

5&

c& Mencari 'engali dari pebagian !"&


!" │!1! aka !3 │!1!ao&

!" │N dan !" │!1!ao& → !" │N - !1! ao&

↔ !" │ (akak-!ak-ak-3ak-$ &&&&a!ao % - !1! ao&

↔ !" │!0(akak-!ak-ak-3ak-$ &&&&a! - !1ao%

)arena (!"!1% . ! aka !"│(akak-!ak-ak-3ak-$ &&&&a! - !1ao%

Cari hasil ini jelaslah bah9a pengali untuk pebagian oleh !" adalah

!1&

Teori Bilangan - 64


46/56

Cengan cara yang saa jika dibuat daftar pengali dari bilangan-bilangan

pria 1!!!3 !1 &&& aka dapat diperoleh bilangan pengali sbagai

berikut#

'eba

gi

1 !! !3 !1 !" 3 " 3! 31 $! $3 $1 &&&&

'engali ! " 5 !1 ! 3 !! $ 30 !$ &&&&

&

,ontoh

!& Selidiki apakah 30 habis dibagi !! dan !3

4a9ab

7ilangan pengali pada pebagian dengan !! adalah ! aka#

30 . 30 / !& . 30$

30$ . 30 / !&$ . 35

35 . 35 / !& . "

)arena !! ┼ " aka !! ┼ 30

7ilangan pengali pada pebagian dengan !3 adalah " aka#

30 . 30 / "& . 35"$

35"$ . 35" / "&$ . 33

33 . 3 / "&3 . 5

)arena !3 ┼ 5 aka !3 ┼ 30

& Selidiki apakah !1++"1" habis dibagi !1 dan !"

4a9ab

7ilangan pengali pada pebagian dengan !1 adalah 5 aka#

!1++"1" . !1++"1 / 5&" . !1++5

Teori Bilangan - 65


47/56

!1++5 . !1++5 / 5& . !1+15

!1+15 . !1+1 / 5&5 . !1

!1 . !1 / 5& . !

! . ! / 5& . !3

!3 . !3 / 5& . -!1

)arena !1 │-!1 aka !1 │!1++"1"

7ilangan pengali pada pebagian dengan !" adalah !1 aka#

!1++"1" . !1++"1 / !1&" . !1+1$$

!1+1$$ . !1+1$ / !1&$ . !1+0

!1+0 . !1+0 / !1& . !!+

!!+ . !! / !1&+ . !55

!55 . !5 / !1&5 . 1

)arena !" ┼ 1 aka !" ┼ !1++"1"

&5 'ebagian dengan Metode 'encoretan (Scratch Method%&

Metode ini digunakan untuk engetahui apakah suatu bilangan

habis dibagi 1 !! !3 11 "! atau !$3& Meskipun pebagian dengan

cara biasa dapat dilakukan dengan udah& Metode ini dapat eberikan

tabahan ilu baru dengan teknik yang lebih sederhana dan relatif

singkat&

'erhatikan bah9a hasil kali 1 !! dan !3 adalah#

1 2 !! 2 !3 . !00!& 4adi jelaslah ba9a 1 │!00! !! │!00! dan !3 │!00!&

4ika suatu bilangan bulat N dibagi !00! aka ada beberapa keadaan

yang terjadi&

Teori Bilangan - 66


48/56

!& !00!│N&

)arena 1 │!00! !! │!00! dan !00!│N aka jelaslah bah9a !00!&

1│N !!│N dan !3 │N&

& !! ┼ N

)arena !! ┼ N aka N dapat dinyatakan sebagai

N . !00!&A 6 r (r 0≠ %

a& 1│r

)arena 1│!00!&A dan 1 │r aka 1 │!00!&A 6 r atau 7 │N

b& !!│r

)arena !!│!00!&A dan !! │ r aka !! │!00!&A 6 r atau !!│N

c& !3│r

)arena !3│!00!&A dan !3 │r aka !3 │!00!&A 6 r atau !3 │N

d& 1│r dan !!│r ( !3 ┼ r%

)arena 1│r dan !!│r dan (1!!% . ! aka 11│r&

)arena 11│!00!&A dan 11 │r aka 11 │!00!&A 6 r atau 11 │N

e& 1│r dan !3│r ( !! ┼ r%

)arena 1│r dan !3│r dan (1!3% . ! aka "!│r&

)arena "!│!00!&A dan "! │r aka "! │!00!&A 6 r atau "! │N

f& !!│r dan !3│r ( 1 ┼ r%

)arena !!│r dan !3│r dan (!!!3% . ! aka !$3│r&

)arena !$3│!00!&A dan !$3 │r aka !$3 │!00!&A 6 r atau

!$3│N

Teori Bilangan - 67


49/56

7erdasarkan analogi tersebut di atas dapat disipulkan bah9a suatu

bilangan habis dibagi 1 !! !3 11 "! !$3 dapat dilakukan dengan

pebagian !00!& selanjutnya dilihat sisa hasil pebagian yaitu

bagaiana keadaan dari r& ;ntuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

ini&

!& 7agilah 3!1$5+1 dengan !00!

Misal N . 3!1$5+1 dengan adalah angka ke-! 3 angka ke- &&&&&

1 angka ke "&

a& 'erhatikan angka ke-! dan ke-$ dan kurangkan diperoleh 1- . 5

dan hasilnya letakkan diatas N&

5

3 ! 1 $ 5 + 1

b& Selanjuntnya perhatikan angka ke- dan ke-5 dan kurangkan aka

diperoleh

$ / ! . 3 hasilnya letakkan di atas N

5 3

3 ! 1 $ 5 + 1

c& Lanjutkan sapai angka ke-" aka diperoleh#

5 3 3 ! 5 $

3 ! 1 $ + 1

'erhatikan bah9a tiga bilangan terakhir yang tidak dicoret adalah sisa

pebagian yaitu !5$& Selanjutnya dapat diselidiki apakah !5$ habis

dibagi 1 !! !3 dan seterusnya&

Teori Bilangan - 68


50/56

)arena 1 │!5$ aka 1 │3!1$5+1& )arena !3 ┼ !5$ aka !3 ┼

3!1$5+1

& Misal N . 351"5+ dibagi !00!

*nalog dengan contoh soal ! diperoleh hasil sisa pebagian&

3 $ 3 1 ! 5

3 5 1 " 5 +

'erhatikan bah9a tiga bilangan terakhir yang tidak dicoret adalah sisa

pebagian yaitu 1!5& Selanjutnya dapat diselidiki apakah 1!5 habis

dibagi 1 !! !3 dan seterusnya&

,ontoh ! dan di atas disebut juga dengan etode pebagian

dengan pencoretan (scratch merthod%

&5 )esipulan

Suatu bilangan asli N habis dibagi #

!& Selalu habis dibagi !&

& jika angka terakhir labang bilangan N habis dibagi

(genap%&

3& 3 jika julah angka-angka dari labang bilangan N habis

dibagi 3&

$& $ jika bilangan yang dibentuk oleh dua angka terakhir dari

labang bilangan N habis bagi $&

5& 5 jika angka terakhir dari labang bilangan N adalah 0 atau 5&

& jika N habis dibagi oleh dan 3&

Teori Bilangan - 69


51/56

1& 1 jika N . (akak-!ak-ak-3ak-$ &&&&a!ao% habis dibagi jika 1 │(a0 63a! 6 a % -

(a3 6 3a$ 6 a5% 6 &&&

+& + jika bilangan yang dibentuk oleh tiga angka terakhir dari

labang bilangan N habis dibagi +

"& " jika julah angka-angka dari labang bilangan N habis

dibagi "&

!0& !0 jika angka terakhir dari labang

bilangan N adalah 0&

!!& N . (akak-!ak-ak-3ak-$ &&&&a!ao% habis

dibagi !! jika selisih julah angka-angka pada urutan genap

dengan julah angka pada urutan ganjil habis dibagi !!&

!& habis dibagi ! jika N habis dibagi 3

dan $&

!3& habis dibagi !3 jika sisa pebagian

dengan ethode pencoretan habis dibagi !3&

!$& habis dibagi !$ jika N habis dibagi

dan 1&

!5& habis dibagi !5 jika N habis dibagi 3

dan 5&

!& habis dibagi ! jika $ angka

terakhir dari N adalah bilangan yang habis dibagi !&

!1& Selanjutnya dapat diselidiki apakah suatu

bilangan habis dibagi bilangan pria& ,ara yang dapat ditepuh

Teori Bilangan - 70


52/56

adalah encari bilangan pengali pada pebagian dengan bilangan

pria&

(oal-soal

!& Funjukkan bah9a jika ab │ bc aka a│ b&

& 7erapa banyak bilangan bulat antara !00 sapai dengan !000

yang habis dibagi 1Q

3& 4ika (a$% . dan (b$% . 7uktikan bah9a (a6b% . $

$& Fentukan (nn6!% dan Knn6!J bila n ∈ B&

5& Selidiki apakah bilangann $5333!!!!" habis dibagi !! dan

!3&

& 7uktikan jika n bilangan ganjil aka + │ n / !&

1& 4ika a │b a │c aka a │(b-c%& 4ika a = b dan b ≠ 0&

+& Fentukan nilai 2 dan dari kobinasi linear berikut ini&

a& 3$!2 6 51y . (3$!51%

b& +!12 6 5+"y . (+!15+"%

c& """2 6 $"y . (""" $"%

d& 53!2 6 5$$y . (53!5$$%

e& $$3"2 6 !$0""y . ($$3" !$0""%

"& Funjukkan bah9a#

a& 'erkalian tiga bilangan bulat berurutan habis dibagi

b& 'erkalian epat bilangan bulat berurutan habis dibagi $&

!0& Fentukan )') dari

a& !0" dan !!35

Teori Bilangan - 71


53/56

b& 0! dan 33!1

c& $ 5 dan "

d& 3 $ dan

e& 53! dan 5$$

!!& Fentukan seua selesaian (jika

ungkin% dari persaaan Ciophantine berikut ini&

a& 52 6 1y . $0

b& $2 6 !3+y . !+

c& !2 6 "!y . !!1

d& +$2 / $3+y . !5

e& 302 6 !1y . 300

f& 5$2 6 !y . "0

g& !32 6 30y . ""

h& !5+2 / 51y . 1

Teori Bilangan - 72


54/56

Teori Bilangan - 73


55/56

Teori Bilangan - 74


56/56

Documents

b Keterbagian