B ن ﺰ ﺨ ﻣ ﻪ ﺑ طﻮﺑﺮﻣ ﺞﻨﺳرﺎﺸﻓ و · 2017. 7. 11. · ﻦﻳﺮﻤﺗ 91 نآ يﺮﻴﮔهزاﺪﻧا يﺎﻫشور و رﺎﺸﻓ :مود ﻞﺼﻓ

فصـل اولخواص سيالات و قانون لزجت نيوتن

قسمت اول: خواص وزنی و حجمی سیالات ...................................................8قسمت دوم: مفهوم لزجت و قانون لزجت نیوتن .............................................. 11قسمت سوم: کشش سطحی و اثرات آن ...................................................... 32قسمت چهارم: مباحث تکمیلی ............................................................. 40افزایش مهارت و تسلط بیشتر ................................................................46خلاصه و جمع بندی نکات مهم فصل اول ....................................................50تست های فصل اول ........................................................................53آزمون فصل اول............................................................................71

فصل دومفشار و روش های اندازه گيری آن

قسمت اول: مفهوم فشار و عوامل مختلف ایجاد آن ........................................... 74قسمت دوم: روش ها، قوانین و وسایل اندازه گیری فشار .......................................90قسمت سوم: مباحث تکمیلی ................................................................98افزایش مهارت و تسلط بیشتر ..............................................................101خلاصه و جمع بندی نکات مهم فصل دوم ...................................................104تست های فصل دوم .......................................................................106آزمون فصل دوم...........................................................................118

فصل سومنيروی هيدرواستاتيک

قسمت اول: محاسبه نیروی هیدرواستاتیک وارد بر سطوح تخت ............................. 122قسمت دوم: محاسبه نیروی هیدرواستاتیک وارد بر سطوح منحنی ............................ 142قسمت سوم: محاسبه نیروی شناوری .......................................................158قسمت چهارم: مباحث تکمیلی ............................................................166افزایش مهارت و تسلط بیشتر .............................................................. 177خلاصه و جمع بندی نکات مهم فصل سوم ..................................................184تست های فصل سوم ......................................................................189آزمون فصل سوم..........................................................................228

فصل چهارمتعادل نسبی

قسمت اول: حرکت سیال با شتاب خطی ثابت ...............................................232قسمت دوم: حرکت دورانی سیال با سرعت زاویه ای ثابت ......................................... 248قسمت سوم: مباحث تکمیلی ..............................................................262افزایش مهارت و تسلط بیشتر ..............................................................271خلاصه و جمع بندی نکات مهم فصل چهارم...................................................275تست های فصل چهارم ....................................................................279آزمون فصل چهارم.........................................................................300

فصل پنجمسينماتيک سيالات

قسمت اول: مفاهیم پایه در سینماتیک سیالات ..............................................304

قسمت دوم: برخی تعاریف مربوط به جریان سیال و مفهوم دبی ..............................310قسمت سوم: معادله انتقال رینولدز و اصل پیوستگی جریان ........................................ 322قسمت چهارم: مباحث تکمیلی ............................................................ 335افزایش مهارت و تسلط بیشتر ..............................................................340خلاصه و جمع بندی نکات مهم فصل پنجم ..................................................343تست های فصل پنجم ..................................................................... 345آزمون فصل پنجم..........................................................................364

فصل ششماصل انرژی و معادله برنولی

قسمت اول: معرفی معادله برنولی و کاربردهای آن .......................................... 366قسمت دوم: ماشین های هیدرولیکی ........................................................388قسمت سوم: مباحث تکمیلی ..............................................................395افزایش مهارت و تسلط بیشتر .............................................................. 400خلاصه و جمع بندی نکات مهم فصل ششم .................................................405تست های فصل ششم .....................................................................408آزمون فصل ششم.........................................................................433

فصل هفتمدیناميک سيالات و اصل اندازه حرکت

قسمت اول: معرفی اصل اندازه حرکت و کاربرد آن براساس مفهوم حجم کنترل ...................436قسمت دوم: نیروی ناشی از جریان جت سیال ...............................................449قسمت سوم: مباحث تکمیلی .............................................................. 464افزایش مهارت و تسلط بیشتر ..............................................................474خلاصه و جمع بندی نکات مهم فصل هفتم..................................................479تست های فصل هفتم ......................................................................481آزمون فصل هفتم..........................................................................511

فصل هشتمآناليز ابعادی و قوانين تشابه در مدل سازی

قسمت اول: آنالیز ابعادی ..................................................................514قسمت دوم: قوانین تشابه در مدل سازی ....................................................522قسمت سوم: مباحث تکمیلی ..............................................................529افزایش مهارت و تسلط بیشتر ..............................................................534خلاصه و جمع بندی نکات مهم فصل هشتم .................................................536تست های فصل هشتم .....................................................................537آزمون فصل هشتم.........................................................................552

فصل نهمجریان سيال در مجاری تحت فشار و محاسبات افت انرژی در لوله ها

قسمت اول: محاسبه افت انرژی و تنش برشی در لوله ها .......................................... 554قسمت دوم: بررسی سیستم لوله های سری و موازی ........................................ 580قسمت سوم: مباحث تکمیلی ..............................................................588افزایش مهارت و تسلط بیشتر ..............................................................597خلاصه و جمع بندی نکات مهم فصل نهم ...................................................603تست های فصل نهم .......................................................................605آزمون فصل نهم...........................................................................643

91

گيري آن هاي اندازه فشار و روش: فصل دوم

kPa80 عدد A، فشارسنج قرار گرفته در مخزن روبرودر شكل :15 تمرين

فشار اتمسفر . دهد را نشان مي kPa120 عدد B به مخزن مربوطو فشارسنج

چند كيلوپاسكال Aفشار مطلق و نسبي مخزن . استmmHg 750نيز محلي

g/باشد؟ مي m s=

210( )

ج نـصب فـشارسن قرائت فـشار بـراي و ) 1( را با انديس Aج نصب شده به مخزن فشارسن قرائت فشار براي :حل

: خواهيم داشتداده و نمايش ) 2(با انديس نيز را Bشده به مخزن

atm w

P h Pa kPaγ= = × × = × =3

13 6 13 6 10 750 102 10 102/ /

( ) ( )

( )( )

abs A abs B

abs A atm

abs B atm

P P PP PP P kPa

P P P

= +

= + + = + + =

= +

⎧⎪⇒⎨

⎪⎩

1

1 2

2

080 12 102 302

( ) ( )g A abs A atmP P P kPa= − = − =302 102 200

P برابرAفشار نسبي تمرين در اين : توجه1

در آن قـرار ) 1(فشارسنج كه (Aباشد، زيرا محيط اطراف مخزن نمي .هواي آزاد نيست) دارد

B��

اي اسـت لولـه پيزومتر . شود گيري فشارهاي نسبي مثبت و كم در مايعات استفاده مي براي اندازهاز پيزومتر اغلب د كـه ده آن چيزي را به ما ميشده و طور قائم به مخزن محتوي سيال يا لولة عبور جريان متصل اي كه به شيشه

يـا فشار نسبي مايع در مخـزن توانيم به اين ترتيب ما مي.سطح آزاد ساكن در مجاورت هواي آزاد نداريم، يعني :نماييمصورت زير محاسبه به كمك ارتفاع بالا آمدگي مايع در لولة پيزومتر بهلوله را

AP hγ=⇒

آيد؟ كار نمي فشارهاي منفي بهگيري چرا پيزومتر براي اندازه:1سوال

.زيرا در آن صورت هوا كه داراي فشار بيشتري نسبت به مايع است، به درون مخزن جريان خواهد يافت :پاسخ

باشد؟ گيري فشارهاي زياد در پيزومتر عملي نمي چرا اندازه: 2سوال

) زيادh ⇐ زياد P. (ئم بسيار بلند خواهد بودگيري فشارهاي زياد مستلزم استفاده از يك لولة قا زيرا اندازه: پاسخ

گيري كرد؟ توان با استفاده از پيزومتر فشار گازها را اندازه آيا مي: 3سوال

گيـري فـشار آنهـا توسـط پيزومتـر عمـلاً باشند و انـدازه خير زيرا گازها داراي سطح آزاد مشخصي نمي : پاسخ

.غيرممكن است

مكانيك سيالات 92

هاي ابق شكل در يك ظرف در بسته، دو لايه سيال با چگالي مط :16 تمرين

مشخص روي هم قـرار گرفتـه و در بـالاي آنهـا هـواي متـراكم بـا فـشار

به جدارة ظرف B و Aاگر پيزومترهايي در نقاط . وجود دارد kPa105مطلق

cm ارتفاع سيال در هر يـك از پيزومترهـا چنـد صورت در آن وصل كنيم،

)خواهد بود؟ )atm

P kPa= 100

)باشـد، بنـابراين مـي Aبيانگر فشار نسبي نقطة ) 1(در پيزومتر ) 1(ارتفاع سيال :حل )g AP hγ=1 1

از . اسـت

: صورت زير از داخل ظرف نيز محاسبه كرد توان به را ميAطرفي فشار نسبي نقطة

*

( ) ( ) ( ) ( )g A atmP H P P kPaγ= + − = × + − =1 1

1 5 10 1 105 100 20/

) مقدار موجود براياگر اين دوحال )g AP ،خواهيم داشترا با هم مساوي قرار دهيم :

( ) ( )h h h m cmγ = × = =⇒ ⇒1 1 1 1

420 1 5 10 20 133 3

3�/ /

: نويسيم عمل كرده و مي) 1(نيز مشابه با سيال ) 2(در پيزومتر ) 2(براي محاسبة ارتفاع سيال

*

( )

( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( )]

g B

g B B atm

P h

P H H P P kPa

γ

γ γ

=

= + + − = × + × + − =

⎧⎪⎨⎪⎩

2 2

1 1 2 21 5 10 2 2 5 10 1 105 100 60/ /

( )( )h h h m cmγ = × = = =⇒ ⇒ ⇒2 2 2 2

60 2 5 10 60 2 4 240/ /

B��

. گيري فـشار همـراه اسـت ها در اندازه محدوديت، استفاده از پيزومتر با يكسري قبل ديديدهمانطور كه در بخش

ايـن . گيري نماييم، بايستي از مانومتر استفاده كنيم هاي موجود فشار را اندازه ولي اگر بخواهيم با رفع محدوديت

:زير مورد استفاده قرار گيردهاي شكلتواند در قالب يكي از اربرد آن ميوسيله بسته به ك

كـه در حـالي ،رود كـار مـي گيري فشارهاي نسبي مثبت و منفـي در مايعـات بـه جهت اندازه )الف(مانوتر شكل

.گردد ه مياستفاد) در شكلB و Aمثلاً (گيري اختلاف فشار بين دو نقطه براي اندازه )ب(مانومتر شكل

روش قرائـت مـانومتري براي محاسبة فشار و يا اختلاف فشار نقاط مختلف به كمك مانومترها، از روشي به نـام

.پردازيم شود كه در ادامه به آن مي استفاده مي محاسبة فشار

گيري آن هاي اندازه فشار و روش: فصل دوم 93

��

:نيمك عمل ميصورت زير براساس اين روش، بهبراي حل مسائل مانومتري

.نماييم كنيم و فشار نقطة اوليه را منظور مي از يك طرف مانومتر شروع مي

شـرايط در ايـن . كنيم تا به سطح مشترك با سيال بعـدي برسـيم از نقطة اوليه در طول مانومتر حركت مي ب كـه نماييم، به اين ترتي ـ اوليه جمع جبري ميةتغيير فشار ايجاد شده در طول حركت را با فشار ثبت شد

، بـه فـشار قبلـي اضـافه hγيابد و به انـدازة طرف پايين حركت كنيم، فشار افزايش مي داخل سيالي به اگر، از فشار قبلـي hγيابد و لازم است به اندازة شود، همچنين اگر داخل سيالي بالا برويم، فشار كاهش مي مي

. كم كنيم

هاي مثبـت و منفـيِ بعدي و با رعايت علامتسيال به سيال مرحلة دوم را با حركت در طول مانومتر از يك .دهيم تا به طرف ديگر مانومتر برسيم تغيير فشار، ادامه مي

در نقطة آخر، عبارت حاصله در طي سه مرحلة قبلي را با فشار در اين نقطه، چه معلوم و چه مجهول، برابـر .هيمد قرار مي

) شكل ب (B و Aو اختلاف فشار بين دو نقطة ) شكل الف (Aتوانيم فشار نسبي در نقطة حال طبق اين روش مي

: صورت زير محاسبه كنيم را به

A atm AP h h P P h hγ γ γ γ+ − = = = −⇒1 1 2 2 2 2 1 1

)الف(شكل : 0

A B A BP h h h P P P h h hγ γ γ γ γ γ+ − − = − = + −⇒1 1 2 2 3 3 2 2 3 3 1 1

)ب(شكل :

.ام استفاده از روش مانومتري محاسبه فشار، دو نكتة زير را به خاطر داشته باشيدبه هنگ

باشند، با توجـه بـه ترازي كه توسط مسيري پيوسته از يك سيال به هم مرتبط مي در حد فاصل نقاط هم بـه توان از يـك نقطـه در اين حالت مي. يكسان بودن فشار در آنها، نيازي به حركت در مسير لوله نيست

. نقطة ديگر پرش عرضي انجام داد

كه سطح مشترك كنيد، زماني به سمت پايين حركت مي) 1(وقتي در سيال ) الف(عنوان مثال در شكل به D بـه Cاز نقطـة صورت افقي خود را آن با مايع بعدي را ديديد، متوقف شويد و با يك پرش عرضي و به

رسيديد، نيازي نيست به ) 2(و ) 1(ه سطح مشترك سيال وقتي ب ) ب(به همين ترتيب در شكل . برسانيد بـه Cاز نقطة صورت افقي در اين حالت كافي است تا با يك پرش عرضي و به . سمت پايين حركت كنيد

D رفته و سپس در آن به اندازةh2

. بالا برويد

پايين) 1(داخل سيال ــي ــشار مـ ــم و فـ رويـ

. يابد رويم و فشار كاهش ميبالا مي)2(داخل سيال . يابد افزايش مي

لحاظ كردن تغييرات فشار فشار نقطة آخر فشار نقطة اوليه

فشار نقطة اوليه

ــيال )1(داخـــل ســـي ــايين م ــم و پ روي

.يابد فشار افزايش مي

لحاظ كردن تغييرات فشار فشار نقطة آخر

.يابد رويم و فشار كاهش ميبالا مي)2(داخل سيال

.يابدرويم و فشار كاهش ميبالا مي)3(داخل سيال


مخصوص گازها در مقايسه با مايعات، از تغييرات فشار در يك سيستم گاز و مايع، به علت كوچك بودن وزنتوانيم بنابراين در روش مانومتري محاسبة فشار مي. كنيم نظر مي گاز كه ناشي از تغييرات ارتفاع است، صرف

.ي محفظة محتوي گاز به انتهاي آن حركت كنيم، بدون آن كه تغيير فشاري را منظور نماييم از ابتدا

سـيال نسبي مخزن محتوي آب است و چگالي در شكل روبرو، :17 تمرين

ــانومتري Sم = ــي3 ــد م ــي. باش ــة وقت ــسبي نقط ــشار ن ــرA ف براب

AP mmH O= است، سطح مايع در شاخة سمت راست مانومتر، چند 290

cm ــايع ــطح م ــالاتر از س ــد ب ــه خواه ــپ لول ــمت چ ــاخة س در ش

)بود؟ / )w

kN mγ =

310

:كنيم را از واحد متر آب به واحد كيلوپاسكال تبديل ميAابتدا فشار نقطة :حل

( ) ( )A w AP h kPaγ−

= = × =3

10 90 10 0 9/

صـورت زيـر بـه حال از روش قرائت مانومتري محاسبة فشار استفاده كـرده و : يابيم را ميhارتفاع

A atmP h h Pγ γ+ − = =1 1 2 2

0

( )( ) ( ) ( )atm

h P+ − × = =⇒ 0 9 10 0 6 3 10 0/ /

h h m cm+ − = = =⇒ ⇒0 9 6 30 0 0 23 23/ /

hدر مانومتر شـكل روبـرو :18 تمرين cm= B و فـشار مطلـق نقطـة 50

kPaچنـد Aدر اين شرايط فشار مطلق هوا در نقطـة . است kPa120برابر

خواهد بود؟

106

مكانيك سيالات

كنيم، بر هر يك از طرفين آن فشاري از جانب سـيال هنگامي كه يك صفحه را درون سيالي ساكن غوطه ور مي - 1

:برآيند نيروهاي ناشي از اين فشار بر هر طرف. شود وارد مي

.كنند هاي افقي يكديگر را خنثي مي همواره بر سطح عمود است زيرا مؤلفه) 1

.گونه تنش برشي وجود نداردهمواره بر سطح عمود است زيرا هيچ) 2

.باشند هاي سيال داراي سرعت ثابت نسبت به يك مرجع مي همواره موازي سطح است زيرا لايه) 3

.باشند هاي سيال داراي سرعت ثابت نسبت به يكديگر مي همواره موازي سطح است زيرا لايه) 4

)82 -سراسري ( در چه مواردي فشار در يك نقطه از سيال در همه جهات يكسان است؟ -2

.اصطكاك باشد تنها در مواردي كه سيال بي) 1

.اصطكاك و تراكم ناپذير باشد تنها در مواردي كه سيال بي) 2

.تنها در مواردي كه سيال ساكن بوده و لزجت آن صفر باشد) 3

.هاي مجاور حركت نكنند هاي سيال نسبت به لايه در مواردي كه لايه) 4

byγابطهوزن مخصوص يك مايع با ر -3 = kN/ برحسب 10+ mb/ مشخص شده است كه در آن 3 kN m=

4 y و 1

متري از سطح آزاد مايع را به ترتيـب 5 و 10اگر فشار در اعماق . باشد فاصله از سطح آزاد مايع بر حسب متر مي

باA

Pو B

Pنشان دهيم، در آن صورت نسبتA

B

P

P برابر كداميك از مقادير زير است؟

1 (3 2(2 4/ 3 (2 4(1 6/

شكل زير بـا تـوان ABتوزيع فشار ناشي از جريان روي ديواره - 4

)دوم عمق نقطـه )P ay=

Pدر ايـن رابطـه . وابـسته اسـت 2

فشار متوسـط وارد بـر . باشد برحسب متر مي y و kPaبرحسب

ــواره ــسبABديـ kN/ برحـ mــت؟ 2 ــدر اسـ ــرض ( چقـ فـ

a/كنيد kN m=

4 )95 -سراسري ( )3

1 (16 2 (8

3 (4 4 (2

، معادل فشار چنـد 3 ستون يك مايع ديگر با چگالي نسبي mm 64به علاوه ستون آب mm 80فشار به اندازة -5

)/ميليمتر جيوه است؟ )HgS = 13 6

1 (10 2 (15 3 (20 4 (25

Sهاي به چگالي) 2(و ) 1(مايع مخلوط نشدني دو -61

S و2

شكل به حالت تعادل U لوله ، مطابق شكل زير درون يك

hاگر. قرار دارند h cm= =

1 22 باشد، در آن صورت كدام گزينه صحيح است؟60

1(S S=2 1

يك متر مايع فشار ناشي از معادل ) 1(دو متر مايع فشار ناشي از و 2

.است) 2(

2(S S=2 1

دو متر مايع فشار ناشي از معادل ) 1( متر مايع يكفشار ناشي از و 2

.است) 2(

3(S S=1 2

يك متر مايع فشار ناشي از معادل ) 1(دو متر مايع فشار ناشي از و 2

.است) 2(

4(S S=1 2

متر مايع دوفشار ناشي از معادل ) 1(يك متر مايع فشار ناشي از و 2

.است) 2(

107

هاي فصل دومتست

:باشند، زيرا شكل، اين سطوح هم تراز نميUقبل با وجود هم فشار بودن سطح آزاد مايع در دو شاخة لوله تست در - 7

.بيشتر است) 2(از چگالي مايع ) 1(چگالي مايع ) 1

.هم فشار بودن دو نقطه از مايع اصولاً ربطي به هم تراز بودن آنها ندارد) 2

.هاي لوله با هم برابر باشند زماني هم ترازند كه قطر شاخه شكل Uهاي نقاط هم فشار در لوله) 3

.نقاط هم فشار لزوماً وقتي هم ترازند كه در يك مايع پيوسته قرار داشته باشند) 4

ρهاي اي مطابق شكل از سه مايع با دانسيته يك ظرف استوانه -81

،ρ2

ρ و3

: برابر است باC و B و Aفشار نسبي در نقاط . پر شده است

1(C A BP P P ghρ= = =9 3 6

2(C A BP P P ghρ= = =6 3 6

3(C A BP P P ghρ= = =6 3 9

4(C A BP P P ghρ= = =9 3 9

)/مخزني محتوي هوا و روغن -9 )S = 0 فـشار . باشـد ميkPa 115ا روي سطح روغن برابر فشار مطلق هو . است75

) متري روغن چقدر است؟2مطلق در عمق )/w

kN mγ =

310

1 (kPa 100 2 (kPa 115 3 (kPa 130 4 (kPa 135

معـادل كـداميك از مقـادير زيـر اسـت؟ kPa 14 است، خـلاء نـسبي mmHg 700وقتي فشار اتمسفر محلي -10

( , )/Hg wS kN mγ= =

314 10

1(m H o−

2 )نسبي (mmHg100)2 )نسبي (14

3(m H o2

8 )مطلق (kPa112)4 )مطلق (/4

و kPa 75 عـدد Aرو فـشارسنج قـرار گرفتـه در مخـزن در شكل روبه - 11

اگـر فـشار . دهـد ن مي را نشاkPa 100 عدد Bمربوط به مخزن فشارسنج

بـه A باشد، فشار مطلـق و نـسبي مخـزن kPa 105اتمسفر محلي برابر

باشند؟ ترتيب چند كيلوپاسكال مي

175 و 280) 2 75 و 280) 1

175 و 180) 4 75 و 180) 3

هـا برابـر كـداميك از مقـادير زيـر اسـت؟ گيري شده توسـط فـشار سـنج اختلاف فشار اندازه زيردر شكل -12

( )/w

kN mγ =

310

1 (kPa 4

2 (kPa 3

3 (kPa 2

4 (kPa 1

108


/شكل زير چقدر است؟در فشار نسبي هواي داخل مخزن -13w

kN mγ =

3)/.باشد مي10 )HgS = 13 5

1 (kPa 53

2 (kPa 28

3 (kPa 28-

4 (kPa 53-

ــاط - 14 ــشار نق ــتلاف ف ــشان داده B و Aاخ ــزن ن ــي از مخ ــكال م ــد كيلوپاس ــكل، چن ــده در ش ــد؟ ش باش

)d d d cm= = =

1 3 22 30 ،/HgS = 13 / و5

wkN mγ =

310(

1 (32

2(34 5/

3 (36

4(37 5/

) B و Aبين مخازن ) متر ارتفاع آب(تفاضل ارتفاع نظير فشار -15 )A B

P P−در شكل زير چقدر است؟

/ /( , , )w w w

γ γγ γ γγ= = =

1 2 31 2 2 0 )73 -سراسري ( 5

1(0 17/

2(0 21/

3(/−0 17

4(0 57/

hاگر -16 h h h= = =

1 2 3 )74 -سراسري ( چقدر است؟ B و Aف فشار در دو نقطه باشد،اختلا2

1(g hρ3

2(g hρ

3(g hρ2

4(g hρ4


��

دهـد كـه يك سطح منحني را نـشان مـي روبرو شكل )جزء نيروهاي عمودي فشار )dF در برخي نقـاط آن ،

بينيـد چـون جهـت همانطور كه مي . اند مشخص شده dF در نقاط مختلف سطح منحني متفـاوت اسـت، ها

Fتوان آنها را به سادگي جمـع نمـوده و نميبنابراين . دست آورد كل را به

در اين شرايط بايستي براي محاسبة نيروي هيدرواستاتيك و نيز تعيين محل اثـر به ايـن موضـوع خـواهيم قسمت استفاده شود كه در اين هاي ديگري از روش آن

: باشند به شرح زير ميقسمت هاي مختلف اين بخش .پرداخت

B��

وارد بر يك سطح منحنـي ، براي تعيين نيروي هيدرواستاتيك گفتيمهمانطور كه حالتدر اين . توان جزء نيروهاي وارد بر اين سطح را با هم جمع جبري نمود نمي

)هـاي افقـي است تـا ابتـدا هـر يـك از جـزء نيروهـا را بـه مؤلفـه زم لا )HdF و )قائم )VdF و سپس از جمع جبري آنها در دو امتداد افقـي و قـائم، كرده تجزيه

در . دست آوريـم را به VF و HFهاي افقي و قائم بردار نيرو يعني ترتيب مؤلفه بهصورت زيـر نهايت نيز بردار نيروي هيدرواستاتيك وارد بر سطح منحني مذكور، به

:آيد دست مي به

ˆ ˆ

H VF F i F j= +

�

در مـورد نظـر باشـد، بـا افـق اين بردار و نيز امتـداد آن )اندازه(حال اگر بزرگي : توان نوشت يسادگي م بهصورت آن

,V

H VH

FF F F tan

Fθ= + =

2 2

، VF وHFهـاي نيرويـي دسـت آوردن مؤلفـه كنيد با به ملاحظه مي همانطوركه توان تمامي اطلاعات مربوط به بردار نيروي هيدرواستاتيك وارد بر يك سـطح مي

دست آوردن هـر نحوة بهبا شما را خواهيم ر ادامه مي دما . دست آورد منحني را به . كنيمها آشنا يك از اين مؤلفه

��

) � � � ��

��

� � �� !� � " #�� $ �% &� ' � ( )

(

دومهاي قسمت زير شاخه

B-1- هاي بردار محاسبة مؤلفه

ــتاتيك وارد ــروي هيدرواس ني

طح منحني بر س

B-2- ــطوح ــژة س ــيت وي خاص

ــروي و كــروي در محاســبة داي

نيروي هيدرواستاتيك

نيروي هيدرواستاتيك: فصل سوم 143

�� !�( )HF

ها را HdFيهاي افقي جزء نيروهاي هيدرواستاتيكي، يعن لازم است تا مؤلفهHFتعيين، جهت طبق آنچه گفته شدشود، وارد مي شكل زير يك نقطه از سطح منحنيِ را كه برdFبراي اين منظور ابتدا جزء نيروي . با هم جمع كنيم

dFدر فصل دوم ديديد كه. در نظر بگيريد P dA= ،ابتدا دست آوردن مؤلفة افقي اين جزء نيرو، پس براي بهاست : دهيم مدنظر قرار مين را در دو امتداد افقي و قائم تصوير كرده و سپس مؤلفة افقي جزء نيرو را آ

( ) ( )HdF dF cos P dA cos P dA cosθ θ θ= = =

dAعبارت cos θ در واقع تصوير قائم جـزء سـطح dA) متنـاظر بـاdF ( اسـت كـه آن را بـاydA نـشان داده و

H : نويسيم مي ydF PdA=

)افقي روي المان سطحهيدرواستاتيكي يعني براي محاسبة هر جزء نيروي )HdF كـافي اسـت تـا تـصوير قـائم . ضرب كنيم) اي كه المان قرار دارد فشار در نقطه(المان سطح را در فشار روي اين المان

: مايع، خواهيم داشتγها و فرض ثابت بودنHdFدست آوريم، با جمع جبري را بهكل HFاگر بخواهيمحال

y y y y

H H y y y y H y G yA A A A

F dF PdA hdA hdA hA F h A P Aγγ γ γ γ= = = = = = =⇒∫ ∫ ∫ ∫

نيـز GP. فاصلة مركز سطح آن تا سطح آزاد اسـت hتصوير قائم سطح منحني و مساحت yAدر رابطة بالا، كه

. باشد مي) yAمركز سطح(فشار در مركز سطح تصوير قائم منحني

ر بخـواهيم مؤلفـة اگ ـ. در نظر بگيريـد مطابق شكل زير را L و طول Rاي به شعاع يك سطح ربع استوانه :مثال

. افقي نيروي هيدرواستاتيك وارد بر اين سطح را بيـابيم، ابتـدا بايـستي آن را روي راسـتاي قـائم تـصوير كنـيم

Rكنيد كه در اين حالت تصوير حاصل يك سطح تخت مستطيلي قائم با ابعاد ملاحظه مي L×باشد مي .

، قـسمت اول و براساس مطالـب گفتـه شـده در مدنظر قرار داده را دست آمده به، سطح مستطيلي در ادامه حال وارد بر سطح منحني HF همان مؤلفة،دست آمده نيروي به . كنيم نيروي هيدرواستاتيك وارد بر آن را تعيين مي

. اي است ربع استوانه

144


�� "#�$ �� !�( )VF

در نقاط مختلف سطح را بـا هـم جمـع VdF جزء نيروهاي قائم عمل كرده و HF بايد مشابه با VFبراي يافتن : يسيمنو بار مؤلفه قائم جزء نيرو را در نظر گرفته و مي اين،پس در اين حالت. كنيم

( )[( )( )]V

V

dF dF sindF hdAsin h dAsin

dF PdA hdA

θγ θ γ θ

γ

=

=

= =

⎧⇒ =⎨

⎩

dAعبارت sinθ تصوير افقي جزء سطح واقع ، درdA) متناظر باdF (است كه آن را باxdA دهـيم و نـشان مـيعبارت

xhdA) يا همانhdA sinθ( المان حجم ،dVاين حجم كه در شـكل زيـر نـشان داده . كند را ايجاد مي

dAيا همان (xdA و مساحت قاعدةhشده است داراي ارتفاع sinθ ( توان نوشت و ميبوده :

x

hdA dV

V x VdF hdA dF dVγ γ=

= =⎯⎯⎯⎯⎯→

در واقع حجم مايعي است كه در بالاي المان مورد نظر قرار گرفته dVباشد، ميهمانطوركه در شكل هم مشخصدست آوريم، كافيـست را بهكل VFحال اگر بخواهيم. و باعث توليد فشار و نيرو در اين نقطه از سطح شده است

: گيري استفاده كرد هم جمع كنيم كه براي اين كار بايد از انتگرالهاي وارد بر سطح منحني را با VdFتمامي

V yV V V

F dF dV dVγ γ= = =∫ ∫ ∫

VdV∫ بنابراينهاي واقع بر سطح منحني است هاي قرار گرفته در بالاي تمام المان دهندة مجموع حجم نشان ،

از . باشـد قرار گرفته در بـالاي سـطح منحنـي مـي ) مايع(سيال است كه همان حجم Vحاصل اين انتگرال برابر : توان نوشت رو مي اين

VF Vγ=

Vحجـم بـراي مـشخص كـردن حـال . خواهـد بـود V مركز حجم نيزVFمحل اثر نيرويلازم به ذكر است كه

: پردازيم سه حالت ممكن است رخ دهد كه در ادامه به آنها مي) ه شودبايد استفادفوق كه در رابطه ( محاسباتي

مايع فقط از قسمت بالايي سطح منحني با آن در تماس است و :حالت اول .در عين حال، كل سطح منحني در زير تراز سطح آزاد مايع قرار گرفته است

ي سـطح محاسباتي برابر حجم مايعي است كه در بـالا Vدر اين حالت حجم به عبارت . باشد نيز به سمت پايين مي VFجهت نيروي و منحني قرار گرفته

. وزن مايعي است كه در بالاي سطح منحني قرار گرفته استVFديگر

.شود ثابت است و از انتگرال خارج مي

145

نيروي هيدرواستاتيك: فصل سوم

شكل ربع دايره و به عرض واحـد، مطـابق به ABسطح منحني :18 تمرين

ABردار نيروي هيدرواستاتيكي را كه به سـطح ب. شكل مقابل مفروض است

π.دست آوريد به) kNبرحسب (شود وارد مي 3�( )

:حل

)تعيين مؤلفة افقي )HF: ايـن تـصوير، يـك . كنيم اي را روي راستاي قائم مشخص مي ابتدا تصوير سطح استوانهاست كه براي محاسبة نيروي وارد بر آن ) عرض عمود بر صفحه ( متر 1و ) ارتفاع(ر مت 2سطح مستطيلي با ابعاد

: توان نوشت مي

( ) ( )/

H G y

HG G

F P A

F kNP h kPaγ

=

= × =

= = × =

⎧⎪⇒⎨

⎪⎩25 2 1 50

10 2 5 25

)صورت فشاري و به سمت چپ بهHFمؤلفة )HF kN= . شود به صفحه وارد مي50←

)تعيين مؤلفة قائم )VF : ،همانطور كه گفته شدVF موضـوع اصـلي، آيـد كـه در آن دسـت مـي از رابطة زير بـه : استVمحاسبه حجم

VF Vγ=

ن بنـابراي سيال فقط در بالاي سطح منحني قرار دارد و كلاً زيـر سـطح آزاد مـايع اسـت، مسألهدر اين از آنجاكه محاسـباتي خواهـد V حجـم ،حجم سيال قرار گرفته در بالاي سطح منحني كه در شكل نيز مشخص شده است

) 2قـسمت (اي و يـك قـسمت ربـع اسـتوانه ) 1قسمت (يك قسمت مكعب مستطيلي كه از حجم موردنظر . بود

:باشد ميصورت زير قابل محاسبه به،تشكيل شده است

/V V V mπ= + = × × + × × =2 3

1 2

11 5 2 1 2 1 6

4

: باخواهد بود برابر VFمقدارنهايت در و

VF V kNγ= = × =10 6 60

)صورت فشاري بر روي سطح اعمـال شـده و بـه سـمت پـايين به VFمؤلفةاما )VF kN= . خواهـد بـود 60↓

صورت زير خواهد سؤال، بردار نيروي وارد بر سطح مذكور بهصورت ده در داده ش j و iبنابراين براساس بردارهاي : بود

ˆ ˆF i j= −50 60

�

كل سـطح منحنـي ،مايع فقط از قسمت زيرين سطح منحني با آن در تماس است و در عين حال :حالت دوم . در زير تراز سطح آزاد مايع قرار دارد

)اربا معلوم بودن فشدر اين حالت )P ،يـك سـطح آزاد مجـازي بـه فاصـلة ابتـدا در يـك نقطـه از ايـن سـطح

)قائم )P

γسپس ناحية بين سطح منحنـي و سـطح آزاد مجـازي را مـشخص . كنيم مي از نقطة مورد نظر ترسيم

، يك مايع مجازي با وزن )مورد نظر ماست محاسباتي Vكه در واقع همان حجم (كرده و در داخل حجم حاصل جالـب آن اسـت كـه در ايـن . دهـيم قرار مي) يعني وزن مخصوص همان مايعي كه زير سطح است (γمخصوص

. خواهد بودVFشرايط، وزن مايع مجازي مذكور همان مقدار نيروي

239

تعادل نسبي: فصل چهارم

كاميون با . از آب پر شده است m2مطابق شكل به آن متصل است، تا ارتفاع مخزني يك كاميون كه : 4تمرين

m/سرعت s20 اگر راننده موفق به . كند بيند و ترمز مي در حال حركت است كه راننده مانعي را در مقابلش مي

صورت چقدر آب ثانيه شده باشد و شتاب اين حركت ثابت فرض شود، در آن 5متوقف كردن كاميون در عرض

) متر است3عرض مخزن متصل به كاميون (تصل به اين كاميون بيرون خواهد ريخت؟ از مخزن م

1(m3

2 5/

2(m3

7 5/

3(m3

12 5/

. ريزد هيچ آبي بيرون نمي)4

: يابيم مي )دبيرستاناز فيزيك دورة (طبق تعريف شتاب ابتدا شتاب ترمز كاميون را :حل

/x

Va m s

t

Δ

Δ

−

= = = −

20 204

5

توجه شود كه حركت كاميون از لحظة ديدن مانع تـا لحظـة توقـف كامـل

كـاميون در ايـن بـازة شـتاب رو بـوده و از ايـن آن، يك حركت كندشونده

آزاد شكل سـطح پس در اين شرايط . استخلاف جهت حركت آن ،زماني

: صورت زير خواهد بود بوده و بهتفاوت هاي قبل م آب نيز با تمرين

x

y

atan

a gθ θ

−

= = = −

+ +

⇒ <4

0 4 00 10

/

بـراي بررسـي امـا در ادامـه ،شود دقت كنيد كه در رسم شكل بالا فرض بر آن است كه آبي به بيرون تخليه نمي

h لازم است تا ارتفاع و كنترل صحت فرض فوق،وضعيت تخليه آب از مخزن : نويسيم لذا مي. بيابيم را′

h

tan h mθ = = =

′′⇒0 4 1

2 5/

/

و اين يعني هـيچ آبـي شده سطح آب درست به لبة ظرف منطبق بنابراين

پاسخ صحيح اين تـست خواهـد ) 4(پس گزينة . ريزد از مخزن بيرون نمي

رسد راننده كـاميون بـا مباحـث حركـت شـتابدار مكانيـك نظر مي به. بود

!استسيالات آشنا بوده

مـثلاً بـه ( روي يك سـطح شـيبدار aيك مخزن محتوي مايع را در نظر بگيريد كه تحت شتاب مطابق شكل

براي بررسي وضعيت اين ظـرف و شـكل مـايع داخـل آن، شرايط در اين . حركت است حال در ) سمت پايين

شتاب را به دو مؤلفة افقي تا بردار كافيست x

a acosα= مو قائya asinα= تجزيه نموده و آنها را در حل

. هاي قبلي است مشابه حالتمسألهحل شيوة ، ة كارتوجه كنيد كه در ادام. كار ببريم بهمسأله

x

y

a acostan tan

a g asin g

αθ θ

α=

+ − +

⎯⎯⎯⎯→ =

در اين شكل

. مطابق شكل رو به پايين استyaمؤلفة

240


صورت نشان داده شده در به) فحهعمود بر ص (m1يك ظرف به شكل مكعب مستطيل روباز، با عرض :5تمرين

30دار تحت زاوية شكل روي سطح شيب وزن ظرف ناچيز بوده . نسبت به افق، به سمت پايين در حركت است�

. و تا نيمه از آب پر شده است

نسبت بـه آب نظر كنيم، شيب سطح آزاد ها صرف اگر از اصطكاك كف با چرخ ) الف

هد بود؟افق چقدر خوا

با در نظر گرفتن ضريب اصطكاك ) بk

µ =

3

5نـسبت بـه آب ، شيب سطح آزاد

. افق را بيابيد

:حل

،قـرار دارد ) در واقع وزن آب داخلش(در حالت اول، ظرف فقط تحت اثر وزنش )الف : توان نوشت بنابراين طبق قانون دوم نيوتن مي

hF ma W sin maα= =∑ ⇒

W mg mg sin ma a g sinα α= = =⇒ ⇒

حال براي يافتن شيب سطح آب نسبت به افق، ابتدا مقاديرx

aو yaرا يافته و سپس tan θآوريم دست مي را به :

( ) ( )xa acos g sin cos g sin cosα α α α α= = × = →

( ) ( )ya asin g sin sin g sinα α α α= = × = ↓2

برخلافبوده و بايستي) خلاف جهت مثبت قراردادي( به سمت پايين yaكنيد همانطوركه ملاحظه مي xa) كـه

tan با علامت منفي در رابطة )مثبت است θ با جايگـذاري مقـادير حال . لحاظ شودx

aو ya در رابطـة tan θ ،

: خواهيم داشت

( )

x

y

a g sin cos g sin costan tan tan tan

a g g sin g g sin

α α α αθ α θ α θ α

αα

= = = = = = =

+− +

−

⇒ ⇒2

2

30

1

�

سـطح آزاد صـورت در آن هرگاه ظرفي فقط تحت اثر وزنش روي سطح شيبدار در حال حركت باشـد، :هجينت). بودبه موازات سطح شيبدار خواهدمايع داخل ظرف )θ α=

kدر اين حالت نيروي اصطكاك با مقدار )ب kF Nµ=

شود كـه در جهت عكس حركت مخزن به آن وارد مي،*Nالعمل قائم سطح بوده و برابر است با عكس :

VF =∑ 0

( ) ( ) ( )N W cos V cos cos kNα γ α= = = × × =⇒ 10 0 5 2 1 30 5 3�

/

h kF ma W sin F m aα= − =∑ ⇒

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) /sin a a a m s× ×

× × − = − = =

⎡ ⎤⇒ ⇒ ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦

210 0 5 2 1310 0 5 2 1 30 5 3 5 3 2

5 10

�/

/

kµ نيروي اصطكاك حركتي است و براساس ضريب اصـطكاك حركتـي يعنـي kFكه دانيم از فيزيك دوره دبيرستان مي *

يعني ضريب اصطكاك سكون براي محاسبة نيروي اصـطكاك مـدنظر sµيد كه در حالت سكون، توجه كن . شود محاسبه مي

. گيرد قرار مي

cos α2

3

2( )W

gk Nµ

1

2

241


توان مقادير حال ميx

aو yaو از آنجا tan θ محاسبه نمودصورت زير به را:

( )x

a acos cosα= = × = × = →3

2 30 2 32

�

( )y

a asin sinα= = × = × = ↓1

2 30 2 12

�

( )x

y

atan tan

a gθ θ

−

= = = =

− + − +

⇒13 3 3

1 10 9 9

. رود سازد، بالا مي ميα از روي سطح شيبداري كه با افق زاويةγ مخصوصمايعي به وزن حامل واگن :6تمرين

)75 -سراسري ( : بايست صورت مي اگر توزيع فشار يكنواخت بر كف واگن، موردنظر باشد، در آن

. ن ثابت باشدسرعت كاميو) 1

. شتاب كاميون ثابت و حركت آن تند شونده باشد) 2

. شتاب كاميون ثابت و حركت آن كند شونده باشد) 3

. رسيدن به چنين حالتي غيرممكن است) 4

دانيم سطح از طرفي مي. استفشار همسطح كف واگن يك ، يعني اينكهفشار در كف واگنيكنواخت توزيع :حل

پس بـا توجـه بـه . باشد فشار، از جمله كف واگن موازي مي فشار است كه با بقيه سطوح هم ح همآزاد نيز يك سط

. توان نتيجه گرفت كه سطح آزاد نيز به موازات سطح شيبدار است موازي بودن كف واگن با سطح شيبدار مي

سـطح آزاد مـايع فقـط وقتـي كـه از تمرين قبل نتيجه گرفتيم همچنين

كه مجموعه تنها تحت اثر وزنش قرار گرفته شود مي دار موازي سطح شيب

a كه در اين حالت مجموعه داراي شتاب ثابت باشد g sinα= به سـمت ،

جهت نيـرو، شـتاب و سـرعت حركـت واگـن در ايـن بنابراين .پايين است

شـود، همانطور كه ملاحظـه مـي و صورت شكل مقابل خواهد بود سؤال به

حركـت از نـوع اسـت، ) Vجهـت (لاف جهـت حركـت خ ـ aچون جهـت

. صحيح است) 3(كندشونده بوده و گزينة

صورت تمرين فوق شـود؟ آيـا به ،كاميون و واگن متصل به آنشود تا حركت چه شرايطي باعث مينظر شما به

)جهت نيروي وارد بر كاميون واقعاً امكان دارد كه )Wsinαولي خود كاميون به سمت بـالا بوده ن رو به پايي

كرديم؟ را انتخاب مي) 4(آيا نبايد گزينة حركت كند؟

كه روي سطح شيبدار تحت اثر در نظر بگيريد كاميوني را نظر از اصطكاك، با صرف ،پاسخ به اين سؤالات براي

بـاز در اين شرايط . ش كند حال فرض كنيد راننده، كاميون را خامو.رو به بالا در حركت است موتورش نيروي

Wنيروي رو بـه پـايين دهد ولي اين حركت تحت اثر هم كاميون به حركت خود به سمت بالا ادامه مي sinα

كـاميون را ) و شـتاب كنـد شـوندة ناشـي از آن (اين نيـرو پس از مدتي در نتيجه .و لذا كندشونده است بوده

درست پذير بوده و پاسخ بنابراين ايجاد چنين حركتي امكان،دهد را تغيير ميمتوقف كرده و جهت حركت آن

!است) 3(همان گزينه تست،


A��

در اينجـا حـال . در فصل سوم با چگونگي محاسبة نيروي هيدرواستاتيك ناشـي از مايعـات سـاكن آشـنا شـديم كـار كار رفته در فصل سوم را به اصول بهبا توجه به مشابهت بحث سكون نسبي و حالت سكون كامل، اهيم خو مي

بر همين اساس در ادامـة . وريمآدست بهنيز را با شتاب خطي ثابت برده و روابط محاسبة نيروي سيال در حركت پرداختـه و سـپس نيـروي و منحنـي ابتدا به محاسبة نيروي وارد بر سطوح تخـت حركت، اين مباحث مربوط به

. كنيم را محاسبه ميجامد شناوري وارد بر اجسام

�!� (� �� "# $%��

توانيم بـا كمـك آنهـا روند و ما مي كار مي بههمانطور كه گفته شد، اصول مطرح شده در فصل سوم، در اينجا نيز : ، به اين ترتيب كهدست آوريم بهاثر آن بر يك سطح تخت را محل و نيز مايع فشار نيروي ناشي از

GF مقدار نيروي هيدرواستاتيك وارد بر يك سطح تخت از رابطة P A= سـوم مانند فـصل (آيد دست مي به(، مربوط به حركت بـا لازم است تا از روابط ) سطح صفحهفشار در مركز (GPولي بايد توجه داشت كه در محاسبة

: يعني ،استفاده كنيمشتاب خطي ثابت

( ) ( )y y

G G G

a aP H F H A

g gγ γ= + = +⇒ 11

. مركز سطح تا سطح آزاد بالاي خود استقائم فاصلة GHدر رابطة فوقلازم به ذكر است كه

البته ( صفحه )ابتدا و انتهاي(توان با محاسبة فشارها در بالا و پايين يهرگاه سطح موردنظر مستطيلي باشد، م . بپردازيممسأله، منشور فشار وارد بر آن را رسم كرده و به حل )حركت با شتاب خطي ثابتطبق روابط

صـورت انتقـال را بـه اين و لنگر ناشي از هنيروي هيدرواستاتيك را به مركز سطح صفحه منتقل كرد توانيم مي

H GM I sinγ θ= γبـا كه توجه كنيد در اين حالت وزن مخصوص سيال . به صفحه اعمال كنيم ′ نـشان داده ′ :شود زير محاسبه ميصورت به، شده است

( )y

a

gγ γ= +′ 1

سـيال داخـل مخـزن ) شـكل (ابتدا وضعيت تا ت لازم اسمربوط به نيرو نيز جهت انجام تمامي محاسبات : تـذکر . گرددمشخص

شـكل (باشـد ، لبريز از آب مـي m1ظرف معكب شكل روبازي با اضلاع : 7تمرين

ˆدو بعدياگر ظرف فوق تحت اثر شتاب ). مقابل ˆ

g ga i j= +

2 2

�

: قرار گيرد

)90 -سراسري ( نيروي وارد بر كف ظرف چقدر است؟) الف

. نيروي وارد بر سطح جلويي و عقبي ظرف را بيابيد) ب

tan مقداردست آوردن ابتدا با به :حل θواضـح اسـت كـه تحـت . كنيم ، شكل مايع داخل ظرف را مشخص مي

خـط بايـد بآبنـابراين در ترسـيم سـطح آزاد . ريزد حركت شتابدار مذكور، قطعاً مقداري آب از ظرف بيرون مي . به لبة بالاي ظرف منطبق شودمربوط به سطح آزاد

x

y

g

atan

ga gg

θ = = =

++

12

3

2

243


F كه آن را براي محاسبة نيروي وارد بر كف ظرف ) الف1

GFناميم، از رابطة مي P A= استفاده كـرده و در ابتـدا مقدار

GP 1 : يابيم صورت زير مي را به

( )y

G G

aP H

gγ= +

1 11

( ) ( ) ( )G G

g

H h tan m P kPag

θ= − = − = − × = = + =× ⇒1 1

1

1 5 5 21 1 0 5 1 0 5 10 1 12 5

3 6 6/ / /

: باشود ميمقدار نيروي وارد بر كف ظرف برابر و در ادامه

( ) ( )GF P A kN= = × =11 1

12 5 1 1 12 5/ /

Fترتيب به(جلويي و عقبي ظرف نيز سطوح نيروي وارد بر )ب2

F و3

و با توجـه ) الف(با قسمت طريق مشابه به) GHهاي به ارتفاع

2GH و

3 : شود ، محاسبه مياند قابل تشخيص كه در شكل زير

( ) ( ) ( )( )

G

yG G

F P A

ga

P H kPag g

γ

=

= + = + =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2

2 2

2 2

1 21 10 1 5

3

( ) ( )F kN= × =⇒2

2 105 1

3 3

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

G

yG G

F P A

g F kNa

P H kPag g

γ

=

= × =

= + = + =

⎧⎪⎪

⇒⎨⎪⎪⎩

3

3 3

3 3

37 5 1 1 7 5

21 10 0 5 1 7 5

/ /

/ /

هاي افقي و قائم نشان داده شده در ب بوده و تحت حركت شتابدار با مؤلفهآمحتوي زير مخزن شكل :8تمرين

مطـابق شـكل در ) عمود بر صـفحه (m1 و عرضm2يك دريچه به شكل مستطيل با ارتفاع . شكل قرار دارد

)چه نيرويي. ارة عقبي مخزن لولا شده است روي جد Aمحور )F به نقطة B اعمال كنيم تا دريچه بسته بـاقي

بماند؟

1(18 كيلو نيوتن /33




چون ارتفاع قسمت خالي بـالاي ظـرف نـامعلوم اسـت، . كنيم ابتدا شكل مايع داخل ظرف را مشخص مي :حـل

صورت به اين ترتيب شكل سطح آزاد مايع به.شود مايع به بيرون تخليه نميو كنيم اين ارتفاع زياد بوده فرض مي : خواهد بودزير

x

y

g

atan

ga gg

θ = = =

+− +

23

3

2

h tan mθ= × = × =′

23 3 2

3

نصف طول كف ظرف

244


. كنيم ، منشور فشار وارد بر دريچة مستطيلي را رسم مي BP وAPدست آوردن حال با به

( ) ( ) ( ) ( )y

A A

ga

P H kPag g

γ

−

= + = + + =2

1 10 2 0 5 1 12 5/ /

( ) ( ) ( ) ( )y

B B

ga

P H kPag g

γ

−

= + = + + =2

1 10 2 5 2 1 22 5/ /

م منشور فشار وارد بر سـطح و همچنـين تفكيـك آن بـه دو بخـش مثلثـي و در نهايت مانند فصل سوم و با رس

: يابيم ميصورت زير به را Fمستطيلي، از روابط تعادل استاتيكي استفاده كرده و نيروي

AM =∑ 0

(( ) ( ) ( ) )F × = × × + × × × ×⇒2 1 2

2 12 5 2 1 10 2 1 22 2 3

/

F kN=⇒115

19 176

� /

. استاين تست صحيح پاسخ) 2(بنابراين گزينة

� ( ��

كنـيم و ابتـدا براي محاسبة نيروي وارد بر سطوح منحني از همان اصول خوانده شده در فصل سوم استفاده مـي ه در اينجا نيز مثل قسمت توجه كنيد ك. يابيم صورت جداگانه نيروهاي افقي و قائم وارد بر سطح منحني را مي به

از وزن γجـاي وزن مخـصوص ، بايـستي بـه )قـسمت الـف (مربوط بـه محاسـبة نيـروي وارد بـر سـطوح تخـت

γمخصوص ) : شود، استفاده كرد تعيين ميمقابلصورت كه به′ )y

a

gγ γ= +′ 1

:صورت زير خواهد بود يروهاي افقي و قائم در اين شرايط بهبنابراين محاسبة ن

,( ) ( )y y

H G y v

a aF P A h F V V

g gγ γ γ= = + = = +′1 1

است فاصله مركز سطح آن تا سطح آزاد بالاي خود h و مساحت تصوير قائم سطح منحني yAكه در روابط بالا،

)كه اگـر مؤلفـة افقـي شـتاب )x

a نيـز وجـود داشـته باشـد، بايـد h براسـاس ( را از سـطح آزاد جديـد سـيال

هـاي حجم موردنظر در محاسبة نيروي قائم است كه دقيقاً طبـق روش Vهمچنين. آوريم دست به) tanθمقدار . گردد ده در فصل سوم محاسبه ميگفته ش

/مكعبي به ابعاد : 9تمرين m m m× ×1 25 2 N/ متر آن از سيال با1 كه تا ارتفاع 1 mγ =

3 پر شده و بر وجه 8000

/پشت آن يك نيمكره به شعاع m0 اگـر ظـرف بـا شـتاب . مطابق شكل تعبيـه شـده، مـورد نظـر اسـت 25

بتثاx

ga =

2ترتيب چنـد درصـد در جهت نشان داده شده حركت كند، نيروي افقي و قائم وارد بر نيمكره به

)95 -سراسري ( يابند؟ افزايش مي

1(%25،%0

3(%50،%0

3(%25،%25

4(%50،%50

عرض دريچه

467

ديناميك سيالات و اصل اندازه حركت: فصل هفتم

Vدر شكل زير برخورد جت آب با سرعت : 21تمرين0

كت سرعت حر. شود ميu ، سبب حركت توربين با سرعت

)توربين )u 91 -سراسري ( چقدر باشد، تا حداكثر راندمان توليد گردد؟(

1(V0

2(V0

1

2

3(V0

1 2/

4(V0

2

: آيد دست مي صورت زير به به،از دسته پرة فوق) صفحه( پره همانطور كه گفته شد، نيروي وارد بر هر :حل

( )j jF Q U V A V uρ ρ= = −0 0 0

: شود برابر است با دانيم تواني كه در اثر جريان جت، به صفحه منتقل مي از طرفي مي

( )j jP F u V A V u uρ= = −0 0 0

سـرعت (uبايد مشتق رابطة فوق نسبت به حداكثر شود، ) دسته پره (براي آنكه توان منتقل شده به توربين حال : نويسيم لذا مي. برابر صفر گردد) حركت پره

[( )( ) ( ) ( )]jdP V

V A u V u V u udu

ρ= − + − = − = =⇒ ⇒ ⇒0

0 0 0 0

0 1 1 0 2 02

. پاسخ صحيح اين تست است) 2(پس گزينة

برابـر u چـرا كـه بـه ازاء ،را حذف كنيم) 4(و ) 3(، )1(ها، سه گزينة توانستيم از روي گزينه با كمي دقت مي ها، سرعت حركت پره با سرعت جت مساوي يا بيـشتر از آن بـوده و در نتيجـه شده در اين گزينهسرعت داده

پاسـخ ) 2(توان گفت گزينـة پس بدون محاسبات مي . كند جت به صفحة پره هيچ نيرو و يا تواني منتقل نمي ! صحيح اين تست است

C��

ين فصل لولة مولد جت سيال ثابت بود و ما برخورد جت بـه صـفحة ثابـت يـا در تمامي مباحث مطرح شده در ا خواهيم ببينيم كـه اگـر خـود لولـة مولـد جـت نيـز بـا ميبخش در اين حال . متحرك را مورد توجه قرار داديم

*سرعت

jVگردد وارد ميصورت چه نيرويي از طرف جريان سيال به جسم در حال حركت باشد، در آن .

از يـك لولـة ثابـت jA وjV ،jQ، شكل زير را در نظر بگيريد كه در آن جت سيال با مشخصات كاربراي شروع

شده از طرف جـت بـه صـفحه دانيم در اين حالت نيروي وارد مي. كند خارج شده و با صفحة مقابلش برخورد مي : برابر است با

j j j j jF Q V V Aρ ρ= =

2


*حال اگر لولة مربوط به جت نيز خود با سرعت

jV سـرعت آن صـورت به صفحه نزديك و يا از آن دور شـود، در

)صفحة قبلجت در رابطة )j j jF V Aρ=

2 : صلاح گرددهاي زير ا بايد به شكل

.استصفحة ثابت متحرك در حال دور شدن از ) لولة(جت

*

( )j j j jF V V Aρ= −

2

.استثابت صفحة متحرك در حال نزديك شدن به ) لولة(جت

*

( )j j j jF V V Aρ= +2

در جهت جريـان اي كه وقتي جت گونه كند، به يعني در اثر حركت جت، سرعت حركت ذرات سيال نيز تغيير مي

* به jVكند، سرعت ذرات سيال از ميحركت

j jV V+ يابد و زمانيكه جـت در خـلاف جهـت جريـان افزايش مي

* بهjVكند، سرعت ذرات سيال از ميحركت

j jV V−يابد كاهش مي .

m/اي نصب شده اسـت، جريـان آب بـا سـرعت فواره كه بر روي وسيلة نقليه از يك : 22تمرين s30 و دبـي

/m s3

جريان خروجي با صفحة ثابتي كه در نزديكي فـواره قـرار دارد برخـورد . شود به اتمسفر تخليه مي 36

m/با سرعتاگر وسيلة نقليه در حال دور شدن از مانع . كند مي s5باشد، چه نيرويي برحسب ( )kN از طـرف

شود؟ جريان سيال به اين مانع وارد مي

jV/صورت بهدر اين مسأله مشخصات جت :حل m s= jQ و30 m s=

336 و مجموعة جت و داده شده است /

*با سرعت نيز فوارة آن

jV m s= 5 پس حركت مجموعة جت، عكس جهت جريانش بـوده و . شود از مانع دور مي/

: شود با لذا نيروي وارد بر مانع برابر مي

*( )

( )

j j j j

jjj

j

F V V A

F N kNQA m

V

ρ= −

= × − × = =

= = =

⎧⎪⎪

⇒⎨⎪⎪⎩

2

3 2

210 30 5 1 2 750000 750

361 2

30

/

/

*هرگاه مجموعة مولد جت خود در حال حركت با سرعت

jVاهيم نيروي جـت وارد بـر خـود ايـن باشد و بخو

: كنيم استفاده مياست صورت زير بهكه صورت از همان رابطة سادة اولية جت دست آوريم، در آن مجموعه را به

j j jF V Aρ=

2

در ) شـكل ب (و آبپـاش ) شـكل الـف (، به نحوة محاسبة نيروي وارد بر مخزن آب بهتر اين موضوعبراي درك . اي زير توجه كنيده شكل

469

ديناميك سيالات و اصل اندازه حركت: فصل هفتم

در اين شكل سرعت خروج ذرات سيال در جريان جت خروجي از مخـزن، . را در نظر بگيريد ) الف(ابتدا شكل . آيد دست مي صورت زير به به

*

j jV V= سرعت اصلاح شدة ذرات سيال خروجي −

. ، از سرعت ذرات سيال كاسـته شـده اسـت ) سيالدر خلاف جهت جريان(در واقع به علت حركت مخزن آب

بنـابراين . كننـد در خلاف جهت هم حركت مـي ) مخزن(شود همچنين جت و جسمي كه به آن نيرو وارد مي : سرعت نسبي در محاسبة نيروي جت برابر است با

* *

j P j j j jU V V V V V V= + = − + =

رود، كـار مـي وارد بر مجموعة مولدش بهي جت كنيد كه در نهايت سرعتي كه براي محاسبة نيرو ملاحظه مي * عادي بوده وjVهمان

jVبر آن اثري ندارد .

باشد و نيـروي وارده از طـرف هـر نيز صادق مي) مجموعة آبپاش(همين مطلب در مورد فوارة در حال دوران : شود پاش از رابطة زير محاسبه ميهاي خروجي به مجموعة آب يك از جت

j j jF V Aρ=

2

بـه جـت وارده از طـرف در محاسـبة نيـروي ،تـوان گفـت ميكلي بندي طور خلاصه و در يك جمع به: جهينت)فقط سرعت خروج جت) چه ثابت و چه متحرك ،مجموعة خود جت (اش مجموعه )jV بـه را لحاظ كنيـد و

. مباحث سرعت نسبي فكر نكنيد

ترتيـب بـا بـه B و جسم A مخزن مقابلدر شكل : 23تمرين

متر بر ثانيه هر دو بـه سـمت راسـت 4 و 2هاي ثابت سرعت

شـود و از بسيار بـزرگ فـرض مـي Aمخزن . كنند حركت مي

Aاگـر قطـر روزنـة مخـزن . گردد نظر مي اصطكاك نيز صرف

Fاشد، نيروهاي ب cm10برابر1

در اين لحظه بـه ترتيـب F2 و

π(: برابرند با = 3(

1(N270و N120 2(N270و N240 3(N480و N120 4(N480و N240

F را در نظر گرفته و نيروي Aابتدا مخزن :حـل 1

و رابطة تعادل نيروها نيروهاي وارد بر اين مخزن با توجه به را : يابيم ميدر امتداد افق

x j j j

j

F F F V A

V gh m s

ρ= = =

= = × × =

⎧∑ ⇒⎪⎨⎪⎩

2

10

2 2 10 1 8 6/ /

( ) ( ) ( )F Nπ ×

= =⇒

2

3 2

1

0 110 6 270

4

/

، Bهـاي ورودي و خروجـي در جـسم همچنين با توجـه بـه جـت خواهند بود روبرو مطابق شكل ،نيروهاي وارد بر آن طبق نكتة ويژه

: كه با نوشتن رابطة تعادل نيروها در امتداد افق، خواهيم داشت

x j jF F F U Aρ= = =∑ ⇒2

20 2 2

اصلاح شده ) مخزن(حركت جسم

كنند جسم و جت خلاف جهت حركت مي

رابطة توريچلي:


: ، توجه داشته باشيد كه Uدر محاسبة سرعت نسبي

*با سرعت ) روزنة روي مخزن (مجموعة مولد جت اولاً

jV m s= 2 نزديك شدن ( در حال حركت به سمت راست /

جريـان ايـن سـرعت بايـد بـه سـرعت بنابراين طبق روابط گفته شده در ابتداي ايـن بخـش، باشد، مي) به جسم )خروجي )jVاضافه گردد .

m نيز با سرعتBجسم ثانياً s4 : شود با برابر ميUپس سرعت نسبي . شود از جت دور مي/

*

( )j B j j BU V V V V V m s= − = + − = + − =6 2 4 4 /

Fمقدار نيرويو در نهايت 2

: آيد يدست م بهصورت زير به

( )( ) ( )jF U A Nπ

ρ×

= = × =

2

2 3 2

2

0 12 2 10 4 240

4

/

. باشد ميتست پاسخ صحيح اين ) 2(بنابراين گزينة

C��

گشتاور نيرو يك بردار است كه امتـداد . شود ضرب خارجي بردار نيرو و بردار مكان، گشتاور نيرو ناميده مي حاصلابتـداي بـردار ( تا مبداء فاصله قائمشاش برابر مقدار نيرو ضربدر نيرو و مكان بوده و اندازه آن عمود بر بردارهاي

.باشد مي) مكان

، معادلة گـشتاور مـومنتم xyبراي سيال موجود در حجم كنترل، با فرض دو بعدي بودن جريان سيال در صفحة :شود صورت زير نوشته مي به

( ) ( )z t out t in

T QV r QV rρ ρ= −∑ ∑

: اين رابطهدر

zT= گشتاور تمام نيروهاي وارد به حجم كنترل حول محور z

ρ=دانسيتة سيال

Q=دبي جريان

tV=شود مؤلفة مماسي بردار سرعت كه به صورت زير محاسبه مي:

t r

V V rω= −

در رابطة اخير، كه r

V= حجم كنترل،از هاي ورودي يا خروجي مؤلفة مماسي بردار سرعتω= اي سرعت زاويـه .بردار سرعت استبا مؤلفة مماسي ) مركز دوران(مبداء قائم فاصلة =rدورانِ حجم كنترل و

زير پلان يك آبپاش گردان نشان داده شده است كه آب از لولة قائم واقع در وسط آن وارد در شكل : 24تمرين

/اگر دبي كل خروجي. شود خارج ميmm5هايي به قطر و از دهانه /lit s1 : باشد، مطلوب است تعيين5

π .نظر كردن از اصطكاك اش با صرفسرعت دوراني آبپ) الف 3�( )

كه گشتاور مقـاوم روي محـور سرعت دوراني آبپاش در صورتي ) ب

/آن برابر . mN0 . باشد9

.داشتن آبپاش گشتاور لازم براي ساكن نگه) ج

اصلاح شده

ديناميك سيالات و اصل اندازه حركت: فصل هفتم 471

براي گيريم و معادلة گشتاور مومنتم را نظر ميپاش در ابتدا حجم كنترل را مطابق شكل زير در داخل آب :حل :نويسيم در حالت كلي ميآن

( ) ( )z t out t in

T QV r QV rρ ρ= −∑ ∑

)چون ورودي آب به آبپاش گردان از مركز دوران است، بنابراين )t in

QV rρ =∑ : بوده و خواهيم داشت 0

( )z t out

T QV rρ∑=

zT برابـر بـا گـشتاور مقـاوم روي محـور مسأله، گشتاور نيروهاي وارد بر سيال در حجم كنترل است كه در اين

.باشد آبپاش ميt

Vشود صورت زير محاسبه مي نيز مؤلفة مماسي سرعت است كه به:

( )

/

/

/Q

V m sA

π

−

×

= = =

×

3

2

0 75 1040

0005

4

/r

V Vsin m s= = × =

130 40 20

2

�

/t r

V V rω ω= − = −20 0 3

:پردازيم ميمسألهحال با توجه به موارد خواسته شده، به حل

:گشتاور مقاوم روي محور آن برابر صفر خواهد بودبنابراين چون آبپاش بدون اصطكاك است، )الف

( )z t out t

T QV r V rad s rpmρ ωω= = = − = = =⇒ ∑ ⇒ ⇒ ⇒0 0 0 20 0 3 0 66 7 667/ / /

)ب

( ) ( ) ( ) ( ) ( )z t out

T QV rρ ω−

= × × −∑ ⇒3

0 9 2 1000 0 75 10 20 0 3 0 3= / / / /

rad s rpmω = =⇒ 60 600/

توان گشتاور مقاومي فرض كـرد كـه مـانع از دوران آبپـاش گشتاور لازم براي ساكن نگه داشتن آبپاش را مي )ج( )ω : شده است0=

( ) ( ) ( ) ( )( ) .

z t outT QV r mNρ

−

× × − =∑ ⇒3

2 1000 0 75 10 20 0 0 3 9= / /

C��

، مومنتم نيز مانند معادلة برنولي، جريان را يك بعـدي در نظـر گـرفتيم كارگيري معادلة طور كه ملاحظه شد، در به همانكـه در عمـل، جريـان حـال آن ،يعني فرض كرديم كه سرعت جريان در هر مقطع برابر سرعت متوسط آن مقطع اسـت

ي كـه ضـريب بنابراين در اين حالت نيز مانند معادلة برنول. باشد كاملاً يك بعدي نيست و توزيع سرعت غير يكنواخت مي ضـريب تـصحيح انـدازة حركـت كار گرفتيم، از ضريبي به نام تصحيح انرژي جنبشي را براي تطبيق با حالت واقعي به

: زير قابل محاسبه استرابطةدهند، از نشان ميβمقدار اين ضريب كه آن را با. كنيم استفاده مي

( )A

udA

A Vβ = ∫

21

نيـز نـشانگر u. نيز سرعت متوسط جريان در اين مقطـع اسـت V مساحت مقطع جريان بوده و Aر رابطة فوق، د . گردد در اين رابطه لحاظ مي) غيريكنواخت(سرعت جريان در مقطع است كه براساس پروفيل توزيع سرعت


:باشد صورت زير مي توزيع سرعت براي جريان آرام در يك لولة مدور به :25تمرين

( )= −

2

21

max

ru u

R

شعاع لوله، Rدر رابطة فوق max

u مقدار سرعت در محور لوله و r ضـريب تـصحيح . فاصله از محور لوله است

.دست آوريد را براي اين جريان بهβاندازة حركت

:حل

( )

( ) ( ) ( )

maxR R

max

ru

R uu rdA rdr r dr

A V R V R V R

β ππ

−

= = = −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

22

2 2 22 2

2 2 2 2 20 0

1

21 12 1

ــرال ــل انتگ ــرحاص ــوق براب R ف2

6ــود ــد ب ــر * خواه ــرف ديگ ــه و از ط ــنجم ب ــصل پ ــه در ف ــق آنچ ــت طب دس

آورديم؛max

u V= :دست آمده در عبارت بالا، خواهيم داشت بنابراين با جايگذاري مقادير به. است2

(( ) ( ) )R

R

β = × × =

2

2

2

2 42

6 3

βاي، ضريب تصحيح اندازه حركت برابر اي دايره ه براي جريان آرام در لوله =

4

3اين در حالي است كـه . است

لازم . گيرنـد كمي از يك بيشتر است كه آن را معمولاً برابر يك در نظر مـي βهاي آشفته ضريب براي جريان . در هيچ شرايطي از يك كمتر نخواهد شدα نيز مانند ضريبβبه ذكر است كه ضريب

)حال در ادامه شما را با كاربرد ضريب تصحيح اندازه حركت )β كـرده و نحـوة در حـل مـسائل مـومنتم آشـنا . دهيم كارگيري آن در معادلة مومنتم را به شما ياد مي به

هاي ورودي يـا خروجـي جريانمنظور (جريان چنانچه در مقاطعي از ،به هنگام استفاده از اصل اندازة حركت صورت سرعت مربوط بـه آن مقطـع در رابطـة انـدازه تابع توزيع سرعت داشته باشيم، در آن )به حجم كنترل

به عبارت ديگر در ايـن . گردد نيز در آن ضرب ميβحركت، برابر سرعت متوسط جريان لحاظ شده و ضريب : شود وضعيت رابطة اندازه حركت به شكل زير تبديل مي

( )F Q V Vρ β β= −∑ 2 12 1

��

صـورت زيـر نيز بهصورت نيروي ناشي از جت همچنين اگر براي يك جت تابع توزيع سرعت داده شود، در آن :آيد دست مي به

j j jF V Aβ ρ=

2

* ( ) ( ) ( ) ( )

R

R R rr R r R r R Rr dr dr

R R R R

⎤⎥⎥⎦

−

− = − × − = − × − = − =

−

∫ ∫2 2 2 2 2 2

2 2 3

2 2 2 20 00

121 1 1 0 1

2 2 3 6 6

Documents

B ن ﺰ ﺨ ﻣ ﻪ ﺑ طﻮﺑﺮﻣ ﺞﻨﺳرﺎﺸﻓ و · 2017. 7. 11. · ﻦﻳﺮﻤﺗ 91 نآ يﺮﻴﮔهزاﺪﻧا يﺎﻫشور و رﺎﺸﻓ :مود ﻞﺼﻓ