AYRIK YAPILAR · AYRIK YAPILAR Prof. Dr. Ömer Akın ve Yrd. Doç. Dr. Murat Özbayoğlu’nun Çeviri Editörlüğünü üstlendiği «Ayrık Matematik ve Uygulamaları» isimli

AYRIK YAPILAR

P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d . D o ç . D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u ’ n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i « A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a m a l a r ı » i s i m l i k i t a p t a n h a z ı r l a n m ı ş t ı r.

ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

1.2 Önermeli Mantık UygulamalarıTürkçe Cümlelerin Tercümesi (Dönüştürülmesi)ÖRNEK: Aşağıdaki cümle bir mantıksal gösterime nasıl çevrilebilir?

«Sadece Bilgisayar Mühendisliği öğrencisi iseniz veya Birinci Sınıf öğrencisi değilseniz kampüsteninternete erişebilirsiniz.»

a: Kampüsten internete erişebilirsin.

c: Bir Bilgisayar Mühendisliği öğrencisisin.

f: Birinci sınıf öğrencisisin.

a (c˅¬f)


1.2 Önermeli Mantık UygulamalarıTürkçe Cümlelerin Tercümesi (Dönüştürülmesi)ÖRNEK: Aşağıdaki cümle bir mantıksal gösterime nasıl çevrilebilir?

«Eğer boyunuz 122 cm’nin altındaysa 16 yaşından büyük olmadığınız sürece lunaparktaki hızlıtrene binemezsiniz.»

q: Lunaparktaki hızlı trene binebilirsiniz.

r: Boyunuz 122 cm’nin altında.

s: 16 yaşından büyüksünüz.

(r˄ ¬ s) ¬q


1.2 Önermeli Mantık UygulamalarıSistem ÖzellikleriDoğal bir dildeki (Türkçe gibi) cümleleri mantıksal gösterimlere dönüştürmek donanım ve yazılımsistemleri için önemli bir işlemdir. Donanım ve yazılım mühendisleri doğal dil için gereksinimleritanımlar, anlaşılır biçimde ve içinde herhangi bir belirsizlik bulunmayacak şekilde sistemgeliştirme bünyesinde kullanılacak özellikleri tanımlarlar.

ÖRNEK: «Dosya sistemi dolu olduğunda otomatik cevap gönderilememektedir.» özelliğinimantıksal bağlayıcılar kullanarak yazın.

p: «Otomatik cevap gönderilmektedir.»

q: «Dosya sistemi doludur.»

q¬p


1.2 Önermeli Mantık UygulamalarıSistem ÖzellikleriSistem özellikleri tutarlı olmalıdır, yani bir tutarsız sonuç çıkarımına gidebilecek çelişkilere sahipgereksinimler içermemelidir. Özellikler tutarlı olmadığında tüm özellikleri sağlayan bir sistemortaya çıkarma imkanı kalmamaktadır.


1.3. Önerme DenklikleriGirişÖnemli bir özellik de bir ifadede matematiksel bir argüman için kullanılan bir tipi aynı doğrulukdeğerine sahip başka bir ifade ile değiştirebilmektir. Bu nedenle, belirli bir bileşik önerme ileaynı doğruluk değerine sahip önermeler üretme yöntemleri matematiksel argümanlarınoluşturulmasında yoğun olarak kullanılmaktadır. Bu şekilde p˄q gibi mantıksal operatörlerikullanarak oluşturulan önerme değişkenleri için, oluşan ifade terimini «bileşik önerme» olarakadlandıracağız.

TANIM 1: Kendisini oluşturan doğruluk değerleri ne olursa olsun her zaman doğru olan bir bileşikönermeye her zaman doğru (totoloji) denir. Sonuçta her zaman yanlış olan bileşik önermeyeçelişki denir. Ne bir totoloji ne de bir çelişki olmayan bir bileşik önerme belirsiz (contingency)olarak adlandırılır.


1.3. Önerme DenklikleriGirişÖRNEK 1: Sadece bir önerme değişkeni kullanarak totoloji ve çelişki örnekleri oluşturabiliriz.Tablo 1’de gösterilen p˅¬p ve p^ ¬p doğruluk tablolarını düşününüz. p˅¬p her zaman doğruolduğu için bu bir totolojidir. p^ ¬p her zaman yanlış olduğundan, bu bir çelişkidir.

Tablo 1. Totoloji ve Çelişki Örnekleri

p ¬p p˅¬p p^ ¬p

D Y D Y

Y D D Y


1.3. Önerme DenklikleriMantıksal DenkliklerOlası her durumda aynı doğruluk değerlerine sahip bileşik önermeler mantıksal denk olarakadlandırılır.

TANIM 2: Bileşik önermeler p ve q, s↔q totoloji olduğu durumda mantıksal denk olarakadlandırılır. p≡q gösterimi p ve q’nun mantıksal olarak denk olduğunu gösterir.

UYARI: ≡ sembolü bir mantıksal bağlaç değildir ve p≡q bir bileşik önerme değildir, daha ziyadep↔q’nun totoloji olduğunu gösteren bir ifadedir. ↔ sembolü mantıksal denklik belirtmek içinbazen ≡ yerine kullanılır.

İki bileşik önermenin denk (eşdeğer) olup olmadığını belirlemenin bir yolu doğruluk tablosunukullanmaktır. Özellikle, bileşik önermeler p ve q ancak ve ancak doğruluk değerlerini verensütunlar aynı olduğu durumda denktir.


1.3. Önerme DenklikleriMantıksal Denklikler

Tablo 2. De Morgan Kanunları


¬(p^q)≡¬p˅¬q

¬(p˅q) ≡¬p^¬q

1.3. Önerme DenklikleriMantıksal DenkliklerÖRNEK: ¬(p˅q) ve ¬p^¬q’nun mantıksal olarak denk olduğunu gösteriniz.

Tablo 3. ¬(p˅q) ve ¬p^¬q İçin Doğruluk Tabloları


p q p˅q ¬(p˅q) ¬p ¬q ¬p^¬q ¬(p˅q)↔¬p^¬q

D D D Y Y Y Y D

D Y D Y Y D Y D

Y D D Y D Y Y D

Y Y Y D D D D D

TOTOLOJİ

1.3. Önerme DenklikleriMantıksal DenkliklerÖRNEK: pq ve ¬p˅q’nun mantıksal olarak denk olduğunu gösteriniz.

Tablo 4. ¬p˅q ve pq İçin Doğruluk Tabloları


p q ¬p ¬p˅q pq pq↔¬p˅q

D D Y D D D

D Y Y Y Y D

Y D D D D D

Y Y D D D D

TOTOLOJİ

1.3. Önerme DenklikleriMantıksal DenkliklerÖRNEK: p˅(q^r) ve (p˅q) ^(p˅r)’nun mantıksal olarak denk olduğunu gösteriniz.

Tablo 5. p˅(q^r) ve (p˅q) ^(p˅r) İçin Doğruluk Tabloları


p q r q^r p˅(q^r) p˅q p˅r (p˅q) ^(p˅r)

D D D D D D D D

D D Y Y D D D D

D Y D Y D D D D

D Y Y Y D D D D

Y D D D D D D D

Y D Y Y Y D Y Y

Y Y D Y Y Y D Y

Y Y Y Y Y Y Y Y


Tablo 6. Mantıksal Denklikler


Denklik İsim

p^T≡p Özdeşlik Kanunları

p˅Y≡p

p˅T≡T Baskınlık Kanunları

p^Y≡Y

p˅p≡p Değişmezlik Kanunları

p^p≡p

¬(¬p)≡p Çift Değilleme

p˅q≡q˅p Sıra Değişme Kanunları

p^q≡q^p


Tablo 6. Mantıksal Denklikler (Devamı)


Denklik İsim

(p˅q) ˅r≡p˅(q ˅r) Birleşme Kanunları

(p^q) ^r≡p^ (q ^r)

p˅(q^r)≡(p˅q) ^(p˅r) Dağılma Kanunları

p^ (q˅r)≡(p^q) ˅(p^r)

¬(p^q)≡¬p˅¬q De Morgan Kanunları

¬(p˅q)≡¬p^¬q

p˅(p^q)≡p Yutma Kanunları

p^(p˅q)≡p

P˅¬p≡T Değilleme Kanunları

P^¬p≡Y


Tablo 7. Şartlı cümleleri Kapsayan Mantıksal Denklikler


pq≡ ¬p˅q

pq≡ ¬q¬p

p˅q≡¬pp

p^q≡¬(p¬q)

¬(pq) ≡p^¬q

(pq) ^(pr) ≡p(q^r)

(pr) ^(qr) ≡(p˅q)r

(pq) ˅(pr) ≡p(q˅r)

(pr) ˅(qr) ≡(p^q)r


Tablo 8. Çift (karşılıklı) Şartlı cümleleri Kapsayan Mantıksal Denklikler


p↔q≡ (pq)^(qp)

p↔q≡¬p↔¬q

p↔q ≡(p^q) ˅(¬p^¬q)

¬(p↔q)≡p↔¬q

1.3. Önerme DenklikleriDe Morgan Kanunlarını KullanmaÖRNEK: De Morgan kanunlarını kullanarak «Erdem’in bir cep telefonu var ve bir dizüstübilgisayarı var.» ve «Hande konsere gidecek veya Selim konsere gidecek.» ifadelerininolumsuzlarını oluşturunuz.



ÇÖZÜM:

P «Erdem’in bir cep telefonu var.»

q «Erdem’in bir dizüstü bilgisayarı var.»

1. De Morgan kanununa göre;

¬(p˄q) ifadesi ¬p˅¬q ifadesi ile denktir.

«Erdem’in bir cep telefonu yoktur veya bir dizüstü bilgisayara sahip değildir.»


p˄q


ÇÖZÜM:

r «Hande konsere gidecek.»

s «Selim konsere gidecek.»

2. De Morgan kanununa göre;

¬(r˅s) ifadesi ¬r˄¬s ifadesi ile denktir.

«Hande konsere gitmeyecek ve Selim konsere gitmeyecek.»


r˅s

ALIŞTIRMALAR1. Bu denklikleri göstermek için doğruluk tablolarını kullanınız .

A)p˄T≡p

B)p˅F≡p

C) p˄ F≡ F

D) p˅ T≡ T

E) p˅p≡p

F) p ˄ p≡p


ALIŞTIRMALAR1. Eşdeğerlilik tablodaki kısımların uygun sütun çiftlerinin uyumluluğundan elde edilebilir.


p p^T p˅F p^F p˅T p˅p p^p

D D D Y D D D

Y Y Y Y D Y Y

ALIŞTIRMALAR2. Doğruluk tabloları kullanarak Değiştirme kurallarını doğrulayınız.

A) p˅q≡q˅p B) p^q≡q^p


ALIŞTIRMALAR2. Doğruluk tabloları kullanarak Değiştirme kurallarını doğrulayınız.

A) p˅q≡q˅p B) p^q≡q^p


p q p˅q q˅p

D D D D

D Y D D

Y D D D

Y Y Y Y

p q p^q q^p

D D D D

D Y Y Y

Y D Y Y

Y Y Y Y

ALIŞTIRMALAR3. Doğruluk tablosu kullanarak p^(q˅r)≡(p^q)˅(p^r) Dağılma kuralını doğrulayınız.


ALIŞTIRMALAR3. Doğruluk tablosu kullanarak p^(q˅r)≡(p^q)˅(p^r) Dağılma kuralını doğrulayınız.


p q r q˅r p˄(q˅r) p˄q p˄r (p˄q) ˅ (p˄r)

D D D D D D D D

D D Y D D D Y D

D Y D D D Y D D

D Y Y Y Y Y Y Y

Y D D D Y Y Y Y

Y D Y D Y Y Y Y

Y Y D D Y Y Y Y

Y Y Y Y Y Y Y Y

ALIŞTIRMALAR4. Aşağıdaki ifadelerden her birinin değilini bulmak için De Morgan kanunlarını kullanınız.

A) Can zengin ve mutlu.

B) Kemal yarın bisiklete binecek veya koşacak.

C) Maya derse gitmek için yürür veya otobüse biner.

D) İbrahim çalışkan veya akıllıdır.


ALIŞTIRMALAR4. Aşağıdaki ifadelerden her birinin değilini bulmak için De Morgan kanunlarını kullanınız.

A) Can zengin ve mutlu. Can zengin değildir veya Can mutlu değildir.

B) Kemal yarın bisiklete binecek veya koşacak. Kemal yarın bisiklet sürmeyecek ve Kemal yarın koşmayacak.

C) Maya derse gitmek için yürür veya otobüse biner. Maya derse gitmek için yürümez ve Maya derse gitmek için otobüse binmez.

D) İbrahim çalışkan veya akıllıdır. İbrahim zeki değildir veya İbrahim çalışkan değildir.


ALIŞTIRMALAR5. Doğruluk tabloları kullanarak aşağıdaki şartlı cümlelerin birer totoloji olduklarını gösteriniz.

A) (p^q)p

B) p(p˅q)

C) ¬p(pq)

D) (p^q)(pq)

E) ¬(pq)p

F) ¬(pq)¬q



A) (p^q)p


p q p˄q (p˄q)p

D D D D

D Y Y D

Y D Y D

Y Y Y D


B) p(p˅q)


p q p˅q p(p˅q)

D D D D

D Y D D

Y D D D

Y Y Y D


C) ¬p(pq)


p q ¬p pq ¬p(pq)

D D Y D D

D Y Y Y D

Y D D D D

Y Y D D D


D) (p^q)(pq)


p q p˄q pq (p˄q)(pq)

D D D D D

D Y Y Y D

Y D Y D D

Y Y Y D D


E) ¬(pq)p


p q pq ¬(pq) ¬(pq)p

D D D Y D

D Y Y D D

Y D D Y D

Y Y D Y D


F) ¬(pq)¬q


p q pq ¬(pq) ¬q ¬(pq)¬q

D D D Y Y D

D Y Y D D D

Y D D Y Y D

Y Y D Y D D

ALIŞTIRMALAR6. Doğruluk tabloları kullanarak yutma kurallarını doğrulayınız.

A) p˅(p^q)≡p

B) p^(p˅q) ≡ p


ALIŞTIRMALAR6. Doğruluk tabloları kullanarak yutma kurallarını doğrulayınız.

A) p˅(p^q)≡p

B) p^(p˅q) ≡ p


p q p^q p˅(p^q) p˅q p˄(p˅q)

D D D D D D

D Y Y D D D

Y D Y Y D Y

Y Y Y Y Y Y

ALIŞTIRMALAR7. (¬q^(pq))¬p önermesinin totoloji olup olmadığını tespit ediniz.


ALIŞTIRMALAR7. (¬q^(pq))¬p önermesinin totoloji olup olmadığını tespit ediniz.


p q ¬p ¬q pq (¬q^(pq)) (¬q^(pq))¬p

D D Y Y D Y D

D Y Y D Y Y D

Y D D Y D Y D

Y Y D D D D D

ALIŞTIRMALAR8. (pq)˄(qr)(pr) ifadesinin totoloji olduğunu gösteriniz.


ALIŞTIRMALAR8. (pq)˄(qr)(pr) ifadesinin totoloji olduğunu gösteriniz.


p q r pq qr (pq)^(qr) pr (pq)˄(qr)(pr)

D D D D D D D D

D D Y D Y Y Y D

D Y D Y D Y D D

D Y Y Y D Y Y D

Y D D D D D D D

Y D Y D Y Y D D

Y Y D D D D D D

Y Y Y D D D D D

Documents

AYRIK YAPILAR · AYRIK YAPILAR Prof. Dr. Ömer Akın ve Yrd. Doç. Dr. Murat Özbayoğlu’nun Çeviri Editörlüğünü üstlendiği «Ayrık Matematik ve Uygulamaları» isimli