AVANCES EN LA OPTIMIZACION DE CIRCUITOS DE MOLIENDA Y CLASIFICACION POR MODELACIÓN MATEMÁTICA

Ingº Manuel CARHUAZ ROMAN.

RESUMEN

La técnica de modelamiento matemático, busca desarrollar ecuaciones capaces de

predecir la granulometría y grado de liberación en función de las condiciones

operacionales que influyen en la performance del circuito de molienda. El modelo de

cada unidad operacional (Molino, clasificador, cajón de agua, etc.), tiene como tarea

cuantificar los efectos de las variables operacionales. Así usando los modelos se puede

alcanzar el punto máximo del circuito.

En este trabajo se presentan las bases teóricas, ecuaciones para describir los procesos

de quiebra que amarrados a la reología de la pulpa y la clasificación posibilitan la

preparación de un simulador, además se presentan ejemplos de casos prácticos, en el

primer caso la estimación de parámetros cinéticos y simulación a escala de laboratorio

(Batch), para determinar el ajuste del modelo, y finalmente un caso de simulación a

escala industrial.

OBJETIVOS:

El principal objetivo es mostrar que usando las técnicas de la modelación matemática

es posible aprovechar los resultados de los mismos con la finalidad de optimizar para

un trabajo a escala industrial, ya que el modelo amarra muchas variables a la vez y nos

da como resultados la combinación optima y puntos críticos.

INTRODUCCIÓN.

El circuito de molienda determina la capacidad de la planta entera, de manera que si

se quiere aumentar la capacidad de la planta se debe de aumentar en los circuitos de

molienda.

El objetivo de las plantas de procesamiento de minerales es conseguir niveles óptimos

operacionales, principalmente en circuitos de molienda y clasificación. Para hallar estos

niveles se tienen dos alternativas; la primera consiste en realizar una campaña

experimental en la misma planta. Eventualmente, este método producirá una mejor

performance, sin embargo durante la campaña (que dura un periodo corto o largo de

tiempo), la producción de la planta sufrirá perdidas cuando la combinación de las

condiciones sean malas. La segunda alternativa esta basado en la simulación con

modelos matemáticos que reflejan en gran medida los efectos de las condiciones

operacionales. De manera que podríamos denominar a la simulación como una

combinación optima. Este método se basa en el punto critico en que los modelos

matemáticos usados representan los efectos de condiciones operacionales con una

precisión aceptable.

Por estas razones, la simulación es el método más efectivo de optimización en los

circuitos de molienda y clasificación en el procesamiento de minerales.

La eficiencia aumentada de molienda lograda mediante la optimización puede ser

usado en :

Aumentar la capacidad de la planta para una granulometría dada.

Reducir el tamaño de partículas para una capacidad determinada.

Reducir el consumo de energía en el molino.

TEORIAS CLÁSICAS DE CONMINUCIÓN.

La primeras investigaciones encaminadas a la mejor comprensión en el proceso de

Conminución eran los concernientes a la relación Energía Consumida por el molino y la

Reducción de Tamaño que el consumo de energía traía consigo, la reducción

dimensional era estudiado como una función de :

Área de la nueva superficie de las partículas producidas

El volumen de material fracturado.

El diámetro de las partículas del producto.

1. POSTULADO DE RITTINGER (1867)

ER=K R (S2−S1)Donde: ER = Energía entregada por unidad de volumen.

KR = Constante.

S2 = Superficie especifica Final.

S1 = Superficie especifica inicial.

2. POSTULADO DE KICK (1885)

EK=K K . Log(V 1

V 2)

Donde: EK = Energía entregada por unidad de volumen.

KK = Constante.

V2 = Volumen final de la partícula.

V1 = Volumen inicial de la partícula.

3. POSTULADO DE BOND (1952)

W=W I .(10

√P80

−10

√F80)

Donde: W = Consumo de energía especifica (Kwh/ton).

KK = Constante.

P80 = Tamaño 80% pasante del Producto.

F80 = Tamaño 80% pasante del Alimento.

Muchas han sido las publicaciones sobre estudios de relación Energía –Reducción

Dimensional; y la validez de varios métodos para estas relaciones han sido comparados

y revisados. En general, las relaciones propuestas son solamente validas sobre gamas

limitadas de tamaño de variables en casos específicos,

Sin embargo el método general de representar las distribuciones granulométricas por

medio del tamaño del tamiz en que el 80% en peso del material pasa y el 20% queda

retenido, por este ultimo método, es posible representar diferentes análisis

granulométricos por un valor, como muestra la Figura 2 esto es inadecuado.

Consumo de energía Vs. Tamaño de Partícula

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

1,E+03

1,E+04

1,E+05

1,E-04 1,E-03 1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07

Tamaño de Particula (Micrones)

Po

ten

cia

Co

nsu

mid

a (K

wh

/to

n)

RITTINGERPendiente = 0

BONDPendiente = -0,50

KICKPendiente = - 1

GAMA POCO CONOCIDA

GAMA CONVENCIONAL DE MOLIENDA

GAMA CONVENCIONAL DE TRITURACION

Un P80 Representando varias Granulometrias

1

10

100

10 100 1000 10000

Tamaño en Micrones

% P

asan

te

Tamaño 80%

Pasante

Gama Estrecha

de Tamaño

Gama Ancha

de Tamaño

LIMITACIONES DEL METODO DE BOND.

El método de Bond tiene dos ventajas indiscutibles para la Ingeniería

Es muy simple.

Por la experiencia se ha probado que es una aproximación razonable para

muchas circunstancias.

Pero, aparte de empirismo y posibles errores en la determinación del Work Index

(humanos o de muestra), presenta las siguientes limitaciones principales.

No considera las variables tan importantes como:

Carga circulante.

Eficiencia de clasificador.

Nivel de bolas y collar de bolas

Características de la pulpa.(Viscosidad y reología de la pulpa

No considera que tanto el producto como el alimento son distribuciones de

tamaño y usa solamente el P80 Y F80 respectivamente para representarlos.

Es por ello que Bond a debido de incluir una serie de factores de correctores dentro de

su formula básica, a fin de tomar en cuenta el efecto de las diversas variables de

operación sobre el consumo energético de la molienda, existen correcciones para:

Molienda seca.

Circuito abierto.

Fineza exagerada del producto.

Tamaño de alimentación demasiado grueso.

Efecto del diámetro del molino.

El objetivo principal de estos factores de corrección es disminuir las diferencias

observados en la planta, tanto en capacidad como consumo de potencia.

MODELO MATEMÁTICO DE MOLIENDA Y CLASIFICACION.

Un modelo matemático es un conjunto de ecuaciones que calcula los valores de las

variables de salida del proceso en función de las condiciones de operación y las

características del material.

Para que un modelo sea efectivo debe tener la capacidad de predecir con una precisión

aceptable, la granulometría y tonelaje de sólidos, como para cada flujo del circuito y el

consumo de energía específica (Kwh/ton) teniendo como variables operacionales al:

Molino

Potencia, Tamaño de bolas de recarga, % de Sólidos

Hidrociclon.

Caudal, % Sólidos, Dimención de los orificios.

La potencia, el nivel de bolas, y velocidad de rotación depende de las dimensiones del

molino; el % de sólidos en el molino y en la alimentación al nido de ciclones dependen

del caudal de adición de agua para el molino y el cajon.

MODELO LINEAL DE LA CINÉTICA DE QUIEBRA DE LAS PARTICULAS.

Para formular un modelo de Conminución que puede ser usado en la práctica

necesitamos identificar la característica de la quiebra del material, estas son: La

Función Selección S y la función Fractura B, la primera referida también como

Moliendabilidad guarda relación con la cinética o velocidad de fractura de cada

partícula independiente y la segunda también referida como distribución de

fragmentos primarios, caracteriza la distribución granulométrica de los fragmentos

producidos como consecuencia de un evento dado de fractura, la Figura 3 ayuda a

definir con mas claridad ambos conceptos.

La tasa de acumulación del mineral en el i-esimo intervalo, esta representado por la

suma de la i-esima línea.

dHmidt

=−S iHmi+∑J=1

i−1

bij S jHm

Donde H : Peso de un conjunto de partículas.

.mi : Distribución granulométrica discreta.

Hmi : Fracción en peso contenido en el i-esimo intervalo

granulométrico que se modifica durante la quiebra.

Entonces, la tasa de acumulación en el en el intervalo granulométrico i es:

dHmi

dt=B−D

Donde B :∑j=1

i−1

bij .S j .Hm j= Función distribución de partículas.

D :−SiHmi = Función Selección o tasa de quiebra.

La relación anterior puede representarse como:

dHmi

dt=−S iHm i+∑

j=1

i=1

b ijS jHm j; i = 1, 2, 3 ... n.

El cual constituye el modelo general de la molienda en su forma diferencial.

La solución analítica de este complejo sistema de ecuaciones diferenciales es

ampliamente conocida, considerando que la función selección S y la función

distribución B son constantes con el tiempo de molienda, la ecuación tiene la solución

particular del sistema general denominada “Modelo Lineal”, que en su forma matricial

se expresa como:

m( t )=T . J t .T−1 .m( 0)

Donde m(t) : Granulometría del mineral en el tiempo t.

m(0) : Granulometría inicial del mineral.

T : Matriz triangular inferior de valores Tij. (n x n)

Jt : Matriz triangular de valores (n x n)

T ij={ 0 i< j1 i= j

∑j=1

i−1 bik .SkSi−S j

T kj i> j

J ij={ 0exp(−S i t )

i≠ ji= j

Molienda Batch.

J ij={ 0

[1+ Si . τ

N ]−N i≠ j

i= j

Molienda Continua (función del

tiempo)

J ij={ 0

[1+ SiE

.E

N ]−N i≠ j

i= j

Molienda Continua.(Función de la

energía)

Donde = Tiempo de residencia.

N = Parámetros característicos de la DTR de la pulpa mineral

en el . molino, representada matemáticamente.

E( t )=N N ( tτ )

N−1

τ .Γ (N ). exp[−N ( tτ )]

Expresión ampliamente conocida como el modelo de N mezcladores en serie y donde el

parámetro N es normalmente aproximado a (L/D) del molino.

El rol critico de la energía especifica (KWh / Ton), destacado tempranamente por Bond

y sus antecesores, se hace explicito en las formulaciones anteriores a través de un

simple cambio de variable, al introducir el parámetro de la función Selección Especifica.

SiE=S i(HP )

; i= 1, 2, ... n

Sabiendo que:

E=t(HP )Molienda Batch.

E=τ (HP )Molienda continua

Se concluye que:

SiEE=Si τ

; i = 1, 2, ...n

Por tanto basta reemplazar (Si) por (SiEE) para obtener las ecuaciones del modelo

lineal de molienda en términos de la función selección especifica S iE que esta

expresado en Ton/Kwh.

Los elementos de la matriz función fractura B, prácticamente no dependen de las

condiciones operacionales del molino, la función selección depende de las condiciones

operacionales y también es sensible a la distribución granulométrica en el molino.

Si = S (m, DB, % Sm, Dm, Lv, Nv, %Vc, H, d )

Donde:

m = Granulometría del material.

DB = Diámetro de la recarga de bolas.

% Sm = % de sólidos en el molino.

Dm, Lm = Diámetro y largo interno del molino.

Nv = % de carga de bolas o nivel de bolas.

%Vc = % de velocidad crítica.

H = Peso total del mineral contenido en el molino.

d = Densidad el mineral.

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS CINÉTICOS.

Existen 3 métodos de estimación, los cuales son:

Estimación de parámetros con ensayes de laboratorio con mono-

tamaños.

Estimación de parámetros por regresión no-lineal.

Estimación de parámetros por el método simplificado.

De los métodos descritos arriba, el método de regresión no lineal es el de más fácil

manejo y a la vez prevé resultados con una precisión aceptable y es facilitada por la

incorporación de las siguientes ecuaciones, entre estos parámetros y su

correspondiente tamaño de partícula asociada:

Para la función selección:

SiE=

α0 .diα1

1+( d i

dcrit)α2

Para la función Fractura.

Bij=β0 ( d id j)β1

+ (1−β0 )( d i

d j)β 2

Dichas ecuaciones reducen considerablemente el numero de parámetros a estimar a

un numero máximo de 7 parámetros. (0, 1, 2, Dcrit, 0, 1, 2.).

Con el método de regresión no-lineal se puede estimar estos parámetros minimizando

la función objetivo.

φ=∑i=1

n

w i (mi−m̂i )2

Donde:

= Función Objetivo.

wi = Factor de ponderación.

mi = Granulometría experimental de descarga del molino

m̂i = Granulometría simulado de la descarga del molino.

Existen muchos algoritmos utilizables para la solución del problema de minimización, y

el más adecuado es el método de GAUSS-NEWTON y/o el método MONTECARLO, ambas

herramientas de iteración están incorporados en los complementos del Excel.

A grandes rasgos la figura 5 ilustra la estructura lógica de la rutina de estimación

requerida.

Figura 5: Estructura Lógica de la rutina de estimación de Parámetros por Regresión no-

Lineal

MODELO DE CLASIFICACION EN HIDROCICLONES.

La modelación de los hidrociclones se apoya en las formulaciones empíricas, y la usada

en este trabajo fue el modelo de Plitt.

EFECTO DE LAS VARIABLES OPERATIVAS.

En la Figura 6 se identifican las variables operativas que dependen de los niveles de las

variables operacionales, en la molienda tenemos dos grupos de variables:

Variables que afectan la eficiencia de fractura o Variables Intensivas, y

Estimaci ón Inicial

Pará metros

Modelo

D efine nuevos

Par ámetros

Función Objetivo

No Si Mí nima ? Respuesta

Variables que no afectan la eficiencia o Variables Extensivas.

Las variables intensivas pueden aumentar la eficiencia y son capaces de conseguir con

el mismo consumo de energía, de otro modo las variables extensivas consiguen mas

capacidad solo cuando se añade mas potencia.

Variables Intensivas. Variables Extensivas.

Distribución de tamaño de bolas. Nivel de Bolas.

% de Sólidos en el molino. % De Velocidad Crítica.

(Afectan la eficiencia de fractura) (Determina la potencia del molino no

afecta . la eficiencia de fractura)

Sabemos que:

1. Una distribución gruesa de bolas muele bien partículas gruesa y una distribución

fina de bolas muele bien partículas finas

2. Un porcentaje bajo de sólidos favorece a una molienda de partículas gruesas y

un alto porcentaje de sólidos favorece a una molienda de partículas finas.

EFECTO DEL TAMAÑO DE BOLAS EN LA TASA DE QUIEBRA

0,001

0,010

0,100

1,000

10,000

10 100 1000 10000 100000

Tamaño de Partícula, Micrometros

Fu

nc

ión

Se

lec

ció

n, t

/Kw

h

Bolas de Diámetro

Menor

3. El caudal, el porcentaje de sólidos en la alimentación del Hidrociclon y las

dimensiones de sus orificios principalmente afectan el tamaño de corte con un

efecto menor en la pendiente de la curva de eficiencia con todo el efecto de

estas variables es complicado y difícil predecir sin la ayuda de una correlación

matemática.

CURVA DE CLASIFICACION Y SEPARACION DEL HIDROCICLON

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000 10000

Tamaño de Particulas, Micrometros

Efi

cie

nc

ia d

e C

las

ific

ac

ión

(%

)

EFICIENCIA REAL

EFICIENCIA CORREGIDA

TAMAÑO DE CORTE

LA TASA DE QUIEBRA EN FUNCION DEL PORCENTAJE DE SOLIDOS

0,001

0,010

0,100

1,000

10 100 1000 10000 100000

Tamaño de Partícula, Micrometros

Fu

nc

ión

Se

lec

ció

n E

sp

ec

ific

a,

t/K

wh

70 %

78 %

74 %

Para conocer los efectos cuantitativos de las variables operacionales en el

circuito de molienda, es necesario usar los modelos matemáticos avanzados que

contiene estos mismo efectos.

CONCLUSIONES:

1. Los modelos desarrollados son capaces de predecir, con una precisión

aceptable los efectos de las condiciones operacionales en circuitos de

molienda, con lo cual es posible aprovechar los resultados con el fin de

optimizar a escala industrial.

2. El dominio de esta técnica es una poderosa herramienta para el metalurgista

de hoy, los recursos necesarios son: un molino de Laboratorio, el modelo

matemático en forma de SOFTWARE DE SIMULACIÓN que contiene una

manera de predecir el efecto de las condiciones operacionales críticas.

REFERENCIAS:

1. M. Carhuaz R. “Modelación Matemática en circuitos de molienda y

Clasificación” ; Tesis para optar el Grado de Ingeniero Metalurgista. 2002

2. J. E. Sepúlveda “ Los 10 mandamientos, VIII Simposio Moly-Cop Sobre

procesamiento de minerales, Chile 1997.

3. A. E. Oblad, “Curso: Los Modelos Matemáticos de las Operaciones de

Conminución” Universidad Mayor de San Marcos, Lima – Perú 1994.

4. L. Gutierrez y J. E. Sepúlveda, “Dimensionamiento y optimización de Plantas

Concentradoras Mediante Técnicas de Modelación Matemática”, Publicación

CIMM-Chile 1986.

Prueba N° 12

Comentarios

Mineral, kg 1,0 Diámetro, ft 0,67 Agua, lt 0,5 Longitud 0,67 Pulpa, kg 1,5 Nivel de bolas, % 40,0 Pulpa, lt 0,5 % Velocidad Critica 89,7 Dens. De pulpa, kg/lt 2,985 Dens.Aparente, ton/m3 4,650 % Solidos (En Peso) 67,0 Potencia, KW 0,045

i Malla Abertura0 1 3 5 7 10

1 1,05 25400 100,00 100,00 100,00 100,00 100,002 0,742 16933 100,00 100,00 100,00 100,00 100,003 0,525 12700 100,00 100,00 100,00 100,00 100,004 0,371 9525 100,00 100,00 100,00 100,00 100,005 4 4760 100,00 100,00 100,00 100,00 100,006 6 3360 100,00 100,00 100,00 100,00 100,007 8 2380 99,71 100,00 100,00 100,00 100,008 10 1680 91,84 99,42 99,95 100,00 100,009 14 1190 70,37 96,81 99,73 100,00 100,00

10 20 841 56,66 94,50 99,50 99,93 100,0011 28 595 43,94 89,20 98,82 99,86 100,0012 35 420 36,19 81,67 96,60 99,60 99,8613 48 297 30,16 69,53 89,09 97,39 99,4614 65 210 25,25 57,22 79,46 91,33 97,6815 100 149 20,54 45,09 63,45 76,13 88,2616 150 105 16,77 34,36 47,85 56,92 70,7117 200 74 13,88 27,99 39,22 46,99 57,9818 270 63 11,12 21,14 30,06 34,93 43,5019 325 44 10,00 19,00 28,00 32,00 38,0020 400 37 9,26 18,48 26,15 30,26 35,34

D80, micrones 1405 0 402 214 164 128

Energía KW-hr / Ton 0,000 0,750 2,250 3,750 5,250 7,500Frac. Retenida+#14 0,296 1,000 0,032 0,003 0,000 0,000

PARAMETROS DEL MODELOPromedio

Alfa 01 0,001614 0,001547 0,001637 0,001637 0,001635Alfa 02 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0Alfa 11 1,04291 0,93998 1,07451 1,08107 1,07609Alfa 12 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0Alfa 2 3,9344 3,8073 3,8417 4,0444 4,0443Diámetro Crítico 1447,8 1404,4 1458,7 1464,0 1464,1

Beta 00 0,056919 0,049961 0,059209 0,059260 0,059247Beta 01 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0Beta 1 0,045736 0,044993 0,045988 0,045981 0,045981Beta 2 3,833571 3,512343 3,799249 4,010320 4,012373

Función Objetivo 3,21 3,56 3,24 2,61 3,44

ESTIMACION DE PARAMETROS DE MOLIENDA

Mineral con alto oxido, Zn = 14%, Pb = 0,8%, Fe = 2%, ZnO = 6%

CALCULO Y CONDICIONES OPERATIVAS

Función Fractura

Nivel Experimental (BATCH)

Distribucion de Tamaño de Partículas ( Acumulativo. % Pasante )

Tiempo en Min.

Función Selección

Simulado VS Experimental

1,00

10,00

100,00

10 100 1000 10000

Tamaño de Partículas en Micrones

% P

as

an

te A

cu

mu

lad

o

3 MIN 5 MIN

7 MIN 10 MIN

Simulado

Simulado

Simulado

Simulado

BATCH