AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA - dspace.vgtu.ltdspace.vgtu.lt/bitstream/1/1392/1/1329_Lisauskas_Automatinio_web.pdf · tokia sistema yra astatinė. Pagal išėjimo dydžio kitimo dėsnį

Saulius LISAUSKAS

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA

Vilnius „Technika“ 2012

VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų

esminis atnaujinimas

Projekto kodas VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-047

Saulius LISAUSKAS

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA

VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS

Vilnius „Technika“ 2012

Kursinių projektų rengimo metodika

S. Lisauskas. Automatinio valdymo teorija: kursinių projektų rengimo metodika. Vilnius: Technika, 2012. 109 p. [3,97 aut. l. 2012 06 04].

Šis technologijos mokslų srities, elektronikos ir elektros mokslo krypties lei-dinys skirtas Elektronikos fakulteto pagrindinių nuolatinių ir ištęstinių studijų stu-dentams, studijuojantiems automatinio valdymo teorijos kursą. Jame pateikiama kursinio darbo metodika ir reikalingos teorinės žinios. Leidiniu galės naudotis ir kitų fakultetų studentai.

Leidinį rekomendavo VGTU Elektronikos fakulteto studijų komitetas

Recenzavo: prof. habil. dr. Roma Rinkevičienė, VGTU Automatikos katedraprof. habil. dr. Algimantas Juozas Poška, VGTU Automatikos katedra

Leidinys parengtas vykdant projektą „VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas“. Leidinio rengimą ir leidybą finansavo Vilniaus Gedimino technikos universitetas ir Europos socialinis fondas (sutarties Nr. VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-047).

VGTU leidyklos TECHNIKA 1329-S mokomosios metodinės literatūros knyga http://leidykla.vgtu.lt

Redaktorė Reda AsakavičiūtėMaketuotojas Donaldas Petrauskas

eISBN 978-609-457-152-7 doi:10.3846/1329-S

© Saulius Lisauskas, 2012© Vilniaus Gedimino technikos universitetas, 2012

3

TurinyS

Įvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. Automatinio valdymo sistemų sandara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.1. Bendros žinios apie automatinio valdymo sistemas . . . . . .61.2. Automatinio valdymo sistemų klasifikacija . . . . . . . . . . . .9

1.2.1. Atviroji automatinio valdymo sistema . . . . . . . . . . .01.2.2. Reguliavimo pagal trikdį principas . . . . . . . . . . . . .01.2.3. Uždaroji automatinio valdymo sistema . . . . . . . . . .1.2.4. Kombinuoto reguliavimo principas . . . . . . . . . . . . .2

1.3. Kontroliniai klausimai ir užduotys . . . . . . . . . . . . . . . . . .32. Automatinio valdymo sistemų dinamikos lygtys . . . . . . . . . . .4

2.1. Automatinio valdymo sistemų ir jų elementų diferencialinės lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42.2. Diferencialinių lygčių ištiesinimas . . . . . . . . . . . . . . . . . .222.3. Kontroliniai klausimai ir užduotys . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3. Automatinio valdymo sistemų operacinės lygtys ir perdavimo funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

3.1. Laplaso transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253.2. Sistemos operacinių lygčių sudarymas . . . . . . . . . . . . . . .333.3. Automatinio valdymo sistemų perdavimo funkcijos . . . . .353.4. Kontroliniai klausimai ir užduotys . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

4. Automatinio valdymo sistemų struktūrinės schemos . . . . . . . .434.1. Struktūrinių schemų sudarymas ir prastinimas . . . . . . . . .434.2. Kontroliniai klausimai ir užduotys . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

5. Automatinių sistemų statika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .565.1. Statinis reguliavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .565.2. Astatinis reguliavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .585.3. Kontroliniai klausimai ir užduotys . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

6. Automatinio valdymo sistemų dinaminės ir dažninės charakteristikos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

6.1. Automatinio valdymo sistemų signalai . . . . . . . . . . . . . . .62

4

6.2. Automatinio valdymo sistemų dinaminės charakteristikos 646.3. Dažninės charakteristikos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76.4. Tipinės dinaminės grandys ir jų charakteristikos . . . . . . .73

6.4.1. Grandžių klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .736.4.2. Ideali stiprinimo grandis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .746.4.3. Aperiodinė (inercinė) grandis . . . . . . . . . . . . . . . . . .756.4.4. Integravimo grandis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .786.4.5. Diferencijavimo grandis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .806.4.6. Švytavimo grandis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .836.4.7. Vėlinimo grandis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

6.5. Kontroliniai klausimai ir užduotys . . . . . . . . . . . . . . . . . .877. Automatinių valdymo sistemų stabilumo tyrimas . . . . . . . . . . .88

7.1. Sistemų stabilumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .887.2. Algebriniai stabilumo kriterijai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .907.3. Rauso ir Hurvico stabilumo kriterijai . . . . . . . . . . . . . . . .907.4. Michailovo stabilumo kriterijus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .937.5. Naikvisto stabilumo kriterijus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .957.6. Logaritminis stabilumo kriterijus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .987.7. Automatinių sistemų koregavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . .997.8. Kontroliniai klausimai ir užduotys . . . . . . . . . . . . . . . . .08

8. Literatūra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .09

5

Įvadas

Automatinio valdymo teorijos kursinių projektų metodikos tiks-las – padėti studentams suvokti teorinę paskaitų medžiagą, įgyti ge-bėjimų projektuoti, analizuoti automatinio valdymo sistemas, prak-tiškai pritaikyti teorines žinias, išmokti sudaryti automatinių sistemų matematinius ir kompiuterinius modelius, jų struktūrines schemas, gauti dinamines charakteristikas, tirti sistemų stabilumą.

Kursinį projektą sudaro tokie pagrindiniai skyriai: automatinio valdymo sistemos veikimo principo aprašymas, elementų diferenci-alinių ir operacinių lygčių sudarymas, atvirosios sistemos stiprinimo koeficiento skaičiavimas, logaritminių dažninių charakteristikų ga-vimas, sistemos koregavimas, sistemos modeliavimas ir dinaminių charakteristikų gavimas, kokybinių pereinamojo proceso rodiklių skaičiavimas, sistemos stabilumo tyrimas, išvados ir grafinė dalis.

Kursinių projektų metodikoje išnagrinėti visi minėti automa-tinio valdymo sistemų projektavimo ir tyrimo etapai. Kiekvieno skyriaus pradžioje pateikiama reikalinga teorinė medžiaga. Toliau nurodomi pavyzdžiai ir MATLAB Simulink modeliai ar skaičiavimo programos. Skyriaus pabaigoje pateikiami kontroliniai klausimai ir savarankiškam darbui skirtos užduotys.

6

1. automatinio valdymo sistemų sandara

1.1. Bendros žinios apie automatinio valdymo sistemas

Visos sistemos turi įėjimo ir išėjimo kintamuosius. Sistemos reakcija yra aprašoma išėjimo kintamojo priklausomybe nuo įėji-mo kintamojo. Tokios priklausomybės tarp vieno ar kelių kintamųjų paprastai aprašomos matematinėmis lygtimis, kurios yra pagrįstos fizikiniais dėsniais arba gaunamos eksperimentiškai. Sistema apima įvairius komponentus, valdymo algoritmus, įrenginius ir prietaisus, kurie sąveikauja tarpusavyje. Ji gali turėti bet kokį skaičių įėjimų ir išėjimų. Tokia sistemos koncepcija parodyta 1.1 paveiksle.

1.1 pav. Sistemos koncepcija

Valdymo sistemos esmė yra stebėti kintamuosius, rasti spren-dimus, kaip efektyviai reguliuoti įėjimus, kad būtų galima gauti pa-geidaujamą išėjimą. Valdymo sistemos užduotis sąlygiškai galime suskirstyti į tris dalis:

1. Išėjimo kintamųjų stebėjimas juos matuojant.2. Racionalių valdymo sprendimų priėmimas ar algoritmų

taikymas, atsižvelgiant į situaciją ir remiantis informa-cija apie esamą ir pageidaujamą sistemos būseną.

3. Efektyvus tokių sprendimų įgyvendinimas.Paprasčiausią valdymo sistemą sudaro du komponentai – valdi-

klis (reguliatorius) ir valdomas objektas. Įrenginys, kuriame vyksta

7

reguliavimas ar valdymas, vadinamas reguliuojamu arba valdomu objektu. Automatiniu reguliavimu vadinamas kokio nors fizikinio dydžio reikšmės palaikymas specialiais automatiniais reguliatoriais be žmogaus pagalbos.

Valdomo objekto darbas priklauso nuo visumos trikdžių, val-dymo poveikių ir valdomų kintamųjų, kurie bendru atveju yra vek-toriai:

(1) (1) (1)

(2) (2) (2)

( ) ( ) ( )

, , ,

p l r

u y z

u y z

u y z

= = =

u y z

(1.1)

čia ( )iu – valdymo poveikis, 1,2,..., ;i p= ( )jy – valdomas kintama-sis, 1,2,..., ;j l= ( )mz – trikdis, 1,2,..., .m r= Valdomo objekto bloki-nė schema parodyta 1.2 paveiksle.

1.2 pav. Valdomo objekto blokinė schema

Valdymo poveikiai – tai kintamieji, kuriuos galime keisti ir jie turi įtakos valdomiems kintamiesiems. Pvz., keisdami įtampą, kei-čiame variklio greitį ar elektrinio šildytuvo temperatūrą. Trikdžiai – tai kintamieji, kurie taip pat turi įtakos valdomam objektui. Pvz., apkrova elektros pavarai, generatoriui, išorės temperatūros pokytis

8

temperatūros reguliavimo sistemoje. Juos galima suskirstyti į dvi rū-šis: kontroliuojamus (matuojamus darbo metu) ir nekontroliuojamus išorinius poveikius.

Jeigu žinomas objekto matematinis aprašymas, tai žinoma ir lygčių sistema, valdomuosius kintamuosius susiejanti su visais iš-oriniais poveikiais, veikiančiais objektą. Todėl pagal išorinius už-duotus poveikius galima rasti valdomuosius kintamuosius ( , )y u z . Paprastuose objektuose yra tik vienas valdantysis poveikis u ir vie-nas valdomas kintamasis y .

Esant statiniam režimui, išoriniai poveikiai z ir valdantieji po-veikiai u yra pastovūs ir nekinta laikui bėgant.

Nagrinėjant objekto dinamiką, aprašomos priklausomybės ( , )y u z , charakterizuojamos diferencialinėmis objekto lygtimis ir

esant užduoties poveikiams ( ), ( )t tu z .Bendru atveju objekto diferencialinės lygtys yra netiesinės. Jei

šio lygtys yra tiesinės, tai valdymo objektas vadinamas tiesiniu.Valdymo objektas gali būti stabilus, nestabilus ir neutralus.

Objektas yra stabilus, jei, pasibaigus išoriniam poveikiui, jis grįžta į nusistovėjusią padėtį, kurią nulemia jo statinė charakteristika.

Nestabiliame objekte, pasibaigus poveikiui, kad ir koks mažas jis bebūtų, išėjimo dydis tebekinta ir objektas negrįžta į nusistovė-jusią padėtį.

Neutralūs tai yra tokie objektai, kuriuose, pasibaigus poveikiui, nusistovi nauja neapibrėžta pusiausvyros padėtis, priklausanti nuo įvykdyto poveikio.

Reguliuojamų objektų pavyzdžiai: rezervuaras, kuriame reikia palaikyti pastovų užduotą skysčio lygį, esant skirtingam skysčio pa-naudojimui; elektros pavara, kur reikia palaikyti pastovų sukimosi greitį ar momentą.

9

1.2. automatinio valdymo sistemų klasifikacija

Pagal automatinių sistemų nusistovėjusios paklaidos didumą sistemos skirstomos į statines ir astatines. Jeigu esant pastoviam nuostatui ( constu = ) arba trikdančiam ( constz = ) poveikiui sis-temoje, dirbančioje nusistovėjusiu režimu, statinė paklaida nelygi nuliui 0st∆ ≠ , tai tokia automatinio valdymo sistema (AVS) nagri-nėjamojo poveikio atžvilgiu yra statinė.

Jeigu esant pastoviam poveikiui paklaida yra lygi nuliui, tuomet tokia sistema yra astatinė.

Pagal išėjimo dydžio kitimo dėsnį sistemos klasifikuojamos taip:

1. Stabilizavimo sistema – tai automatinė sistema, kuri duotu tikslumu palaiko pastovų reguliuojamąjį para-metrą, su paklaida, ne didesne už leistiną.

2. Programinio valdymo sistema – tai tokia sistema, kuri keičia reguliuojamąjį parametrą pagal iš anksto nusta-tytą programą, priklausančią nuo duotojo poreikio.

3. Sekos sistema vadinama automatinio reguliavimo sis-tema (ARS), kuri keičia reguliuojamąjį parametrą pa-gal iš anksto nežinomą laiko funkciją, apibūdinamą nuostatu. Šiose sistemose reguliuojamas dydis turi sek-ti nuostato poveikį, kuris paprastai yra lėtai kintanti iš anksto nežinoma laiko funkcija.

Dar sistemos gali būti klasifikuojamos pagal:1) fizikinio dydžio pobūdį (įtampa, lygis, greitis);2) naudojamos energijos pobūdį (elektromechaninės, elek-troninės, pneumatinės, hidraulinės);3) signalų, veikiančių sistemoje, pobūdį (tolydžios, diskre-čiosios);4) diferencialinių lygčių pobūdį (tiesinės, netiesinės);5) sistemos parametrų stabilumą laike (su pastoviais ir kin-tamais parametrais). Sistemos su pastoviais parametrais

0

vadinamos determinuotos, arba stacionarios; su kintamais laike – nestacionarios;6) valdomų kintamųjų skaičių;7) pagal savybę prisitaikyti prie pasikeitusių išorinių darbo sąlygų ir pagerinti savo darbą, remiantis sukaupta patirtimi (paprastos ir susiderinančios).

AVS taip pat galima suskirstyti į:1) atvirąją AVS;2) atvirąją AVS, įvertinant trikdžius;3) uždarąją AVS;4) kombinuotas AVS.

1.2.1. atviroji automatinio valdymo sistema

Atviroji AVS neturi grįžtamojo ryšio. Paprasčiausia automobi-lio greičio reguliavimo sistema parodyta 1.3 paveiksle.

1.3 pav. Paprasčiausia atviroji AVS

Tokioje sistemoje nėra galimybės palyginti esamą ir norimą greitį. Dėl įvairių priežasčių aktualus greitis gali nutolti nuo užduo-tos reikšmės, pvz., dėl vėjo, kalno ar nuokalnės ir pan.

1.2.2. reguliavimo pagal trikdį principas

Šiose sistemose valdymo poveikis formuojamas išmatavus objekto trikdantį poveikį.

Sistemos, sudarytos šiuo principu, neturi grįžtamojo ryšio, t. y. jos yra atviros. Tokios sistemos skirstomos į dvi grupes: trikdžio kompensavimo ir programinio valdymo sistemas. Automatinės trik-džio kompensavimo sistemos struktūrinė schema parodyta 1.4 pa-veiksle.

1.4 pav. Automatinės trikdžio kompensavimo sistemos struktūrinė schema

Valdymo poveikio didumas ir ženklas turi būti tokie, kad visiš-kai ar gerokai kompensuotų trikdžio poveikį reguliuojamam objek-tui.

Pagrindinis šio principo privalumas – didelis kompensavimo grandžių greitaeigiškumas, nes sistema šiuo atveju reaguoja ne į pa-sekmę, t. y. reguliavimo parametro nuokrypą, bet į jo priežastį.

Jei sistemą veikia keletas trikdžių, naudojamos kelios kompen-savimo grandys. Tačiau ne visus trikdžius galima išmatuoti ir kom-pensuoti. Tai pagrindinis šio principo trūkumas.

1.2.3. uždaroji automatinio valdymo sistema

Jei automatinėje sistemoje valdymo poveikis formuojamas pa-gal reguliuojamojo parametro nuokrypą nuo nuostato reikšmės, tai laikoma, jog tokia sistema sudaryta reguliavimo pagal nuokrypą arba grįžtamojo ryšio principu. Tokių sistemų reguliavimo įtaise palygi-namos reguliuojamojo parametro esamosios ir nuostato reikšmės ir pagal gautą skirtumą formuojamas valdymo signalas.

Šis reguliavimo principas taikomas sistemose su grįžtamuoju ryšiu. Jų struktūrinė schema atskleidžiama 1.5 paveiksle.

2

1.5 pav. ARS su grįžtamuoju ryšiu struktūrinė schema

Valdymo poveikis šioje sistemoje formuojamas atsižvelgiant į skirtumą ( )t∆ε tarp nuostato ( )nuy t ir esamosios reguliuojamojo parametro ( )y t reikšmių:

( )u F= ∆ε . (1.2)

Grįžtamasis ryšys yra automatinių sistemų, veikiančių regulia-vimo pagal nuokrypą principu, būdingas bruožas.

Grįžtamuoju ryšiu vadinamas ryšys, kuriuo informacija apie valdomo objekto būvį perduodama iš sistemos išėjimo į reguliavimo įtaiso įėjimą. Grįžtamasis ryšys laikomas neigiamu, jei reguliavimo įtaise palyginimo elementas nustato nuokrypą ( ) ( ) ( )nut y t y t∆ε = − .

Reguliavimo pagal nuokrypą principas yra universalus ir efek-tyvus, nes juo galima valdyti nestabilius objektus, keisti reguliuo-jamąjį parametrą pagal norimą dėsnį, kai paklaida ∆ε gana maža, neatsižvelgiant į ją sukėlusias priežastis.

Grįžtamasis ryšys būdingas ne tik techninėms sistemoms, bet ir gyviems organizmams.

1.2.4. Kombinuoto reguliavimo principas

Didelio tikslumo automatinės sistemos sudaromos kombinuoto reguliavimo principu, panaudojant reguliavimo pagal nuokrypą ir pagal trikdį savybes. Tokios sistemos struktūrinė schema parodyta 1.6 paveiksle.

13

1.6 pav. Kombinuoto valdymo sistema

Kombinuoto valdymo sistemose, be pagrindinio grįžtamojo ry-šio, yra pagrindinio trikdančiojo poveikio ( )z t kompensavimo gran-dis. Neįvertintų trikdžių poveikį kombinuotose ARS kompensuoja arba gerokai susilpnina reguliavimo pagal nuokrypą kontūras.

1.3. Kontroliniai klausimai ir užduotys1. Kas yra sistema?2. Kokia valdymo sistemos užduotis?3. Iš ko susideda paprasčiausia AVS?4. Nuo ko priklauso valdomo objekto darbas?5. Koks objektas yra stabilus, nestabilus ir neutralus?6. Apibrėžkite statinę ir astatinę valdymo sistemą ir skirtumą

tarp jų?7. Kaip klasifikuojamos AVS pagal išėjimo dydžio kitimo dės-

nį?8. Apibrėžkite uždarąją ir atvirąją AVS. Koks pagrindinis skir-

tumas tarp jų?9. Apibrėžkite reguliavimo pagal trikdį principą. Koks pagrin-

dinis šio principo privalumas ir trūkumas?

14

2. automatinio valdymo sistemų dinamiKos LygTyS

2.1. automatinio valdymo sistemų ir jų elementų diferen-cialinės lygtys

Sistemų dinamika tiria pereinamuosius vyksmus.Pereinamasis vyksmas – tai objekto išėjimo parametro kitimas

laike veikiant nuostatui arba trikdančiajam poveikiui.Pereinamasis vyksmas gali būti surastas žinant visos sistemos

elementų diferencialines lygtis. Iš visų elementų diferencialinių lyg-čių sudaroma viena bendra sistemos diferencialinė lygtis, kuri gali būti tiesinė ar netiesinė.

2( , , , , ) ( , , , , , , , , )n n nF y y y y F z z z z u u u u′ ′′ ′ ′′ ′ ′′= . (2.1)

Tiesinėms sistemoms galima taikyti superpozicijos metodą. Tuomet

2

22

( , , , , ) ( , , , )

( , , , , );

n n

n

F y y y y F z z z z

F u u u u

′ ′′ ′ ′′= +

′ ′′+

(2.2)

čia , , , , ny y y y′ ′′ – valdomas dydis ir jo išvestinės; , , , , nu u u u′ ′′ – įėjimo (nuostato, uždavimo) dydis ir jo išvestinės; , , , nz z z z′ ′′ – trikdantysis poveikis ir jo išvestinės.

Sistemos pereinamąjį vyksmą galima gauti įvairiais būdais: analitiniu, grafiniu, modeliuojant kompiuteriu. Klasikinis diferen-cialinių lygčių sprendimo metodas leidžia gauti analitinį sprendinį. Bendrasis diferencialinės lygties sprendinys:

š š n ;i i laisvx x x= + (2.3)

čia šix – bendrasis sprendinys, charakterizuojantis išėjimo dydžio kitimą laike; š nix – priverstinė nusistovėjusio dydžio reikšmė;

15

laisvx – laisvasis judesys, aprašomas diferencialine lygtimi, kurios dešinioji pusė lygi nuliui:

š š š

1 1 0 š 0.n n

i i in n in n

d x d x dxa a a a xdtdt dt

−

− −+ + + + = (2.4)

Šios lygties sprendinys:

2 2

;n i

nt tt tlaisv n i

ix C e C e C e C eα αα α

== + + + = ∑ (2.5)

čia iC – integravimo konstantos; iα – būdingosios lygties šaknys. Būdingoji lygtis gaunama diferencialinėje lygtyje pakeitus

:ddt

α→

0 0.n nn na a a a−

−α + α + + α + = (2.6)

Aukštos eilės lygčių šaknys randamos apytikriais metodais. Naudojant programinį paketą Matlab, šaknys randamos taip:

1. Sudaroma matrica A iš lygties koeficientų: [ ] 2 0 n n na a a a a− −=a . 2. Panaudojama komanda roots(A).2.1 pavyzdysDuotos būdingosios lygtys: 2 5 1s s− + ; 4 3 23 15 2 9s s s s+ − − + ;

4 s + . Raskime jų šaknis.Matlab kodas:A1=[1 -5 1]roots(A1)A2=[1 3 -15 -2 9]roots(A2)A3=[1 0 0 0 1]roots(A3).

16

Pirmos lygties šaknys: 4,7913, 0,2087. Antros: –5,5745, 2,5836, –0,7951, 0,7860. Trečios lygties šaknys gaunamos kompleksinės: –0,7071 + 0,7071i, –0,7071 – 0,707, 0,7071 + 0,707, 0,7071 – 0,707.

2.2 pavyzdysUžrašykime 2.1 paveiksle parodytos schemos diferencialinę

lygtį.

16

Pirmos lygties šaknys: 4,7913, 0,2087. Antros: –5,5745, 2,5836, –0,7951, 0,7860. Trečios lygties šaknys gaunamos kompleksinės:–0,7071 + 0,7071i, –0,7071 –0,707, 0,7071 + 0,707, 0,7071 –0,707.

2.2 pavyzdys Užrašykime 2.1 paveiksle parodytos schemos diferencialinę lyg-

tį.

1i 3i

2i

įu šiuI II

2.1 pav. Elektrotechninė schema

Naudodami Kirchhofo dėsnius 2.1 paveiksle parodytai schemai galime užrašyti:

Pirmam kontūrui:

1į 2

1( ) .diu t L Ridt C

(1.7)

Antram kontūrui:

š 2 20

1( ) ( ) (0).t

i Cu t Ri i d uC

(1.8)

Mazgui a:

1 2 3 0.i i i (1.9)

Jei schema nebus apkrauta, tai 3 0i . Tuomet:

1 2 .i i i (1.10)

Iš (1.7) ir (1.8) formulių gauname:



• Pirmam kontūrui:

16

Pirmos lygties šaknys: 4,7913, 0,2087. Antros: –5,5745, 2,5836, –0,7951, 0,7860. Trečios lygties šaknys gaunamos kompleksinės:–0,7071 + 0,7071i, –0,7071 –0,707, 0,7071 + 0,707, 0,7071 –0,707.

2.2 pavyzdys Užrašykime 2.1 paveiksle parodytos schemos diferencialinę lyg-

tį.

1i 3i

2i

įu šiuI II



Pirmam kontūrui:

1į 2

1( ) .diu t L Ridt C

(1.7)

Antram kontūrui:

š 2 20

1( ) ( ) (0).t

i Cu t Ri i d uC

(1.8)

Mazgui a:

1 2 3 0.i i i (1.9)

Jei schema nebus apkrauta, tai 3 0i . Tuomet:

1 2 .i i i (1.10)


(2.7)

• Antram kontūrui:

š 2 20

( ) ( ) (0).t

i Cu t Ri i d uC

= + τ τ +∫ (2.8)

• Mazgui a:

1 2 3 0.i i i− − = (2.9)

Jei schema nebus apkrauta, tai 3 0i = . Tuomet:

2 .i i i= = (2.10)

17


17

1į š( ) ( ),i

diu t L u tdt

(1.11)

tada galime užrašyti:

1 į iš0

1( ) ( ) ( ) .t

i t u u dL

(1.12)

Įvertindami (1.10) lygtį, 1i įrašome į (1.8) lygtį:

1

š į š0

į 2 š 2 2 10 0

1( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) (0).

t

i i

t

i C

u t R u u dL

u u d d uCL

(1.13)

Du kartus diferencijavę (1.13) lygtį gauname:

2

įš šį š2

1 ,i ii

dud u duR u uL dt dt CLdt

(1.14)

pertvarkę gauname: 2

įš šš į2 .i i

idud u duCL CR u CR u

dt dtdt (1.15)

Pažymėkime 1T RC ir 2T LC .Gauname, kad tokios schemos matematinis modelis aprašomas

antros eilės diferencialine lygtimi: 2

į2 š š2 1 š 1 į2 .i i

idud u duT T u T u

dt dtdt (1.16)

2.3 pavyzdys 2.2 paveiksle parodyta automatinė nuolatinės srovės variklio

greičio reguliavimo sistema, kai greitis reguliuojamas keičiant varik-lio inkaro įtampą. Parodytoje schemoje darbo mašiną sukančio varik-lio greičiui matuoti naudojamas tachogeneratorius, kurio išėjimo

(2.11)


17

1į š( ) ( ),i

diu t L u tdt

(1.11)


1 į iš0

1( ) ( ) ( ) .t

i t u u dL

(1.12)


1

š į š0

į 2 š 2 2 10 0

1( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) (0).

t

i i

t

i C

u t R u u dL

u u d d uCL

(1.13)


2

įš šį š2

1 ,i ii


(1.14)


įš šš į2 .i i


dt dtdt (1.15)



į2 š š2 1 š 1 į2 .i i

idud u duT T u T u

dt dtdt (1.16)



(2.12)

Įvertindami (2.10) lygtį, i įrašome į (2.8) lygtį:

17

1į š( ) ( ),i

diu t L u tdt

(1.11)


1 į iš0

1( ) ( ) ( ) .t

i t u u dL

(1.12)


1

š į š0

į 2 š 2 2 10 0

1( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) (0).

t

i i

t

i C

u t R u u dL

u u d d uCL

(1.13)


2

įš šį š2

1 ,i ii


(1.14)


įš šš į2 .i i


dt dtdt (1.15)



į2 š š2 1 š 1 į2 .i i

idud u duT T u T u

dt dtdt (1.16)



(2.13)


17

1į š( ) ( ),i

diu t L u tdt

(1.11)


1 į iš0

1( ) ( ) ( ) .t

i t u u dL

(1.12)


1

š į š0

į 2 š 2 2 10 0

1( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) (0).

t

i i

t

i C

u t R u u dL

u u d d uCL

(1.13)


2

įš šį š2

1 ,i ii


(1.14)


įš šš į2 .i i


dt dtdt (1.15)



į2 š š2 1 š 1 į2 .i i

idud u duT T u T u

dt dtdt (1.16)



(2.14)

pertvarkę gauname:

17

1į š( ) ( ),i

diu t L u tdt

(1.11)


1 į iš0

1( ) ( ) ( ) .t

i t u u dL

(1.12)


1

š į š0

į 2 š 2 2 10 0

1( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) (0).

t

i i

t

i C

u t R u u dL

u u d d uCL

(1.13)


2

įš šį š2

1 ,i ii


(1.14)


įš šš į2 .i i


dt dtdt (1.15)



į2 š š2 1 š 1 į2 .i i

idud u duT T u T u

dt dtdt (1.16)



(2.15)

Pažymėkime T RC= ir 2T LC= .Gauname, kad tokios schemos matematinis modelis aprašomas

antros eilės diferencialine lygtimi:

17

1į š( ) ( ),i

diu t L u tdt

(1.11)


1 į iš0

1( ) ( ) ( ) .t

i t u u dL

(1.12)


1

š į š0

į 2 š 2 2 10 0

1( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) (0).

t

i i

t

i C

u t R u u dL

u u d d uCL

(1.13)


2

įš šį š2

1 ,i ii


(1.14)


įš šš į2 .i i


dt dtdt (1.15)



į2 š š2 1 š 1 į2 .i i

idud u duT T u T u

dt dtdt (1.16)



(2.16)

2.3 pavyzdys2.2 paveiksle parodyta automatinė nuolatinės srovės variklio

greičio reguliavimo sistema, kai greitis reguliuojamas keičiant va-

18

riklio inkaro įtampą. Parodytoje schemoje darbo mašiną sukan-čio variklio greičiui matuoti naudojamas tachogeneratorius, kurio išėjimo įtampa BRU lyginama su etalonine (užduota) įtampa eU . Gautą įtampų skirtumą U∆ galime sustiprinti pridėdami įtampą U . Tuomet įtampa sU tiekiama į stiprintuvą, kuri formuoja tiristorinio lygintuvo valdymo įtampą vU . Atsižvelgiant į šią įtampą, keičiasi valdomo lygintuvo išėjimo įtampa, o kartu ir variklio greitis.

-

T G

+

+ -Ue

UUs

U1

Uv

k s

Ts

M

V =const

VŽA

T L

2.2 pav. Nuolatinės srovės variklio greičio reguliavimas, kai keičiama variklio inkaro įtampa

Užrašykime 2.2 paveiksle parodytos AVS elementų diferencia-lines lygtis:

• Palyginimo mazgas:

.e BRu u u∆ = − (2.17)

19

su u u= + ∆ . (2.18)

• Stiprintuvui:

vv s s

duT u k u

dt+ = . (2.19)

• Tiristoriniam keitikliui:

.k vU k U= (2.20)

• Nuolatinės srovės variklio inkarui:

( ) ( ) ;inin in in

diu t e t R i L

dt= + + (2.21)

;e c= Φω (2.22)

0 ;Uc

ω =Φ

(2.23)

.inM c i= Φ (2.24)

• Variklio dinamikos lygtis:

.sdM M Jdtω

− = (2.25)

• Grįžtamojo ryšio lygtis:

.BR BRu k= ω (2.26)

2.4 pavyzdys2.3 paveiksle pateikta erdvėlaivio saulės sekimo sistemos

schema. Erdvėlaivio saulės sekimo sistema skirta erdvėlaivio padė-čiai valdyti saulės atžvilgiu dideliu tikslumu. 2.3 paveiksle pateik-ta schema paaiškina aprašytos erdvėlaivio saulės sekimo sistemos veikimo bei valdymo principus. Priimta, kad saulė juda tik viena plokštuma.

20

Saulės spindulys

αα

C

W

L

a

b

ia

ib

Afo

toel

emen

tas Išėjimo reduktorius

1/n

θ0

θv

θvR 0

R

R

_

+

Saulės ašis

Įrenginio ašis

_

+e 0

_

+e s S tip rin tu va s

K s _

+e a

_

+

e t Tachogeneratorius

Nuolatinėssrovėsvariklis

Bfo

toel

emen

tas

Paklaidos diskriminatorius

M

BR

2.3 pav. Erdvėlaivio saulės sekimo sistemos schema

Pagrindiniai saulės sekimo sistemos paklaidų diskriminatoriaus elementai yra du stačiakampiai silicio fotogalvaniniai elementai (A fotoelementas ir B fotoelementas), montuojami už stačiakampio plyšio gaubte. Fotoelementai įrengti taip, kad fotojutikliai būtų nuo-lat nukreipti į saulę, o šviesos spindulys kristų pro plyšį ant abiejų fotoelementų.

Pro plyšį patekęs W pločio saulės spindulys (šviesos spindulys) krenta ant abiejų fotoelementų (A ir B). Spindulio kritimo kampas yra α, o kiekvieno fotoelemento aukštis yra C. Šviesos spindulys nuo plyšio vietos iki fotoelementų praeina atstumą, lygų L.

Šviesos virtimas elektros energija dėl fotogalvaninio efekto: fotono energija sužadina elektronus (fotonai absorbuojami, o jų energija panaudojama elektronams sužadinti). Kadangi į fotoele-mentus krenta skirtingos vertės fotonų srautai, fotoelementų išėji-muose kuriamos skirtingo dydžio srovės: ia (iš A fotoelemento) ir ib (iš B fotoelemento). Kai fotoelementai yra nukreipti tiksliai į saulę, tuomet srovės lygios ir jų skirtumas lygus nuliui, ir kampas α (t) = 0. Šios srovės priešingu poliarumu patenka į integralinio sumatoriaus su grįžtamojo ryšio varža R0 įėjimus. Jo išėjime gaunama sustiprin-ta įtampa e0. Ši įtampa sumuojama su tachogeneratoriaus įtampa et

2

ir gaunama suminė stiprintuvo įėjimo įtampa es. Stiprintuvo išėji-me gaunama įtampa ea, kuria maitinamas nuolatinės srovės variklis M. Variklis tam tikru kampu suka θm išėjimo reduktorių – sistema pozicionuojasi (sistema tiksliai atsukama į didžiausio apšviestumo padėtį).

Projektuojama valdymo sistema tarp kampų θr (t) ir θ0 (t) turi palaikyti paklaidą, artimą 0. Užrašykime 2.3 paveiksle parodytos AVS elementų diferencialines lygtis:

• Paklaidos diskriminatorius:

0( ) ( ).r t tα = θ − θ (2.27)

Kai šviesai jautrūs elementai nukreipti į saulę ( ) 0tα = , ( ) ( )a bi t i t= arba ( ) ( ) 0a bi t i t− = , tada:

( ) ( );a bk i t i tαα ⋅ = − . (2.28)

• Operacinis stiprintuvas:

[ ]0 0 ( ) ( ) .a be R i t i t= − (2.29)

• Stiprintuvas:

( ) ( ).a s se t k e t= ⋅ (2.30)

• Reduktoriaus išėjimo posūkio kampas siejasi su vari-klio posūkio kampu:

;m mdtθ = ω∫ (2.31)

0 .mN

θ = θ (2.32)

• Nuolatinės srovės variklis aprašomas lygtimis:

( ) ( ) ;ina b in in in

die t e t R i L

dt= + + (2.33)

( ) ( );b b me t k t= ω (2.34)

;e c= Φω (2.35)

22

( ) ( );inM t c i t= Φ (2.36)

( )( ) ( ) ( ).ms m

d tM t M t J B tdtω

− = + ω (2.37)

Į inkaro apvijos induktyvumą inL , variklio veleno klampiosios trinties koeficientą B ir statinį apkrovos momentą stM neatsižvelg-sime. Todėl 0inL = , 0B = ir 0stM = .

• Tachogeneratorius:

( ) ( ).t t me t k t= ω (2.38)

2.2. diferencialinių lygčių ištiesinimas

Lygčių ištiesinimas – tai netiesinių diferencialinių lygčių pa-keitimas apytikrėmis tiesinėmis su prielaida, kad viso reguliavimo proceso metu visi kintamieji mažai nukrypsta nuo nusistovėjusių reikšmių (2.4 paveikslas).

Bendru atveju, užrašant diferencialines lygtis prieaugiams, nau-dojamas analitinės funkcijos skleidimas Teiloro eilute su sąlyga, kad parametrai įgauna mažas nuokrypas nuo nusistovėjusių reikšmių.

Lygčių ištiesinimas ir jų užrašymas prieaugių forma leidžia gauti nulines pradines sąlygas.

Tiesinant lygtis priimama, kad 0x x x= + ∆ , x – kintamasis, 0x – jo pradinė reikšmė, x∆ – prieaugis. Tuomet:

2( )

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ).! 2! !

nnx x xf x f x f x f x f x

n∆ ∆ ∆′ ′′= + + + + (2.39)

Taikant šią formulę, į antros eilės ir aukštesnius narius neatsi-žvelgiama, todėl galima laikyti, kad:

0 0( ) ( ) ( ) .f x f x f x x′= + ∆ (2.40)

23

A0( )f x

0x

0x∆

( )f x

x

0( )f x∆

2.4 pav. Diferencialinių lygčių ištiesinimas

Toliau iš (2.39) formulės atimamos nusistovėjusio režimo funk-cijos reikšmės 0( )f x ir gaunami funkcijos prieaugiai:

0( ) ( ) ( );f x f x f x∆ = − (2.41)

0( ) ( );f x x f x′∆ = ∆ ⋅ (2.42)

čia 0( )f x tg′ = α – funkcijos išvestinė pagal įėjimo dydį, randama kaip statinės charakteristikos polinkio kampo tangentas darbo taš-ke A, esant įėjimo dydžiui 0x (2.5 paveikslas).

A0( )f x

0x

( )f x

x

α

2.5 pav. Charakteristikos polinkio kampas

24

2.3. Kontroliniai klausimai ir užduotys

1. Kas yra pereinamasis vyksmas? Kaip galime gauti sistemos pereinamąjį vyksmą?

2. Naudodami programinį paketą Matlab, raskite duotų cha-rakteringųjų lygčių šaknis: 4 3 210 5 3 2 1s s s s− − − + , 26 16 1s s− − ,

36 16 10s s− + .3. Kas yra diferencialinių lygčių ištiesinimas?4. Užrašykite 2.6 paveiksle parodytų schemų diferencialines

lygtis.

24


1. Kas yra pereinamasis vyksmas? Kaip galime gauti sistemos pereinamąjį vyksmą?

2. Naudodami programinį paketą Matlab, raskite duotų charakte-ringųjų lygčių šaknis: 4 3 210 5 3 2 1s s s s , 26 16 1s s ,

36 16 10s s .3. Kas yra diferencialinių lygčių ištiesinimas? 4. Užrašykite 2.6 paveiksle parodytų schemų diferencialines lyg-

tis.

įu šiu įu

šiu

2.6 pav. Schemos 2.6 pav. Schemos

25

3. automatinio valdymo sistemų operacinės lygtys ir perdavimo funKcijos

3.1. laplaso transformacija

Laplaso transformacija skirta spręsti tiesines diferencialines lygtis. Šis metodas turi du privalumus:

1. Homogeninės lygtys ir daliniai integralai sprendžiami naudojant vieną operaciją.

2. Diferencialinės lygtys paverčiamos į algebrines ir joms spręsti galima taikyti algebrinių lygčių sprendimo me-todus, o galutinį sprendimą gauti naudojant atvirkštinę Laplaso transformaciją.

Duota funkcija ( )f t , kuri tenkina sąlygas:

0( ) < ,tf t e dt

∞−σ ∞∫ (3.1)

tuomet realiems σ tiesioginė Laplaso transformacija bus:

0( ) ( ) ,stF s f t e dt

∞−= ∫

(3.2)

arba simboliškai ( ) [ ( )].F s L f t=

Čia s j= σ + ω yra kompleksinis kintamasis, vadinamas Laplaso operatoriumi. Grafiškai s galime pavaizduoti, kaip parodyta 3.1 paveiksle, kur σ yra realioji dalis, o ω – menamoji dalis.

26

Re( )s

Im( )s

ω

σ

3.1 pav. Grafinis Laplaso operatoriaus vaizdavimas

Svarbiausios Laplaso transformacijos teoremos:1. Daugyba iš konstantos:

[ ]( ) ( ).L kf t kF s= (3.3)

2. Suma ir atimtis:

2 2[ ( ) ( )] ( ) ( ).L f s f s F s F s± = ± (3.4)

3. Diferencijavimas:

( ) ( ) lim ( ) ( ) (0);t

df tL sF s f t sF s fdt →∞

= − = − (3.5)

2 (1) ( 1)

( ) ( ) (0)

(0) (0).

nn n

n

n n

d f tL s F s s fdt

s f f

−

− −

= − −

− − −

(3.6)

4. Integravimas:

0

( )( ) ;t F sL f d

s

τ τ = ∫ (3.7)

2

2 2 0 0 0 0

( )( )n nt tt t

n n nF sL f d dt dt dt dts

−

− −

τ τ = ∫ ∫ ∫ ∫ . (3.8)

27

5. Poslinkis laike:

[ ]( ) ( ) ( ).TssL f t T u t T e F s−− − = (3.9)

6. Pradinių reikšmių teorema:

0lim ( ) lim ( ).t s

f t sF s→ →∞

= (3.10)

7. Galutinių reikšmių teorema:

0

lim ( ) lim ( ).t s

f t sF s→∞ →

= (3.11)

8. Complex shifting:

[ ( )] ( ).atL e f t F s a± = ± (3.12)

9. Kompleksų daugyba:

[ ]

2 20

2 20

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ;

t

t

F s F s L f f t d

f f t d L f t f t

= τ − τ τ =

= τ − τ τ = ∗

∫

∫

(3.13)

čia ∗yra kompleksų sandauga.

3.1 pavyzdysApibrėžkime funkciją ( )f t , kurios reikšmė lygi konstantai, kai

0t ≥ , ir lygi nuliui, kai 0t < . Raskime šios funkcijos Laplaso trans-formaciją:

[ ]00

( ) ( ) 0 1 .st stF s f t e dt es s s

∞− − ∞= = − = − − =∫ (3.14)

3.2 pavyzdysFunkcija ( ) atf t e−= , kai 0t ≥ ir a const= . Raskime šios

funkcijos Laplaso transformaciją:

28

( )

0 0 0

( )0

( ) ( )

.

st at st s a t

s a

F s f t e dt e e e dt

es a s a

∞ ∞ ∞− − − − +

− + ∞

= = = =

= − =+ +

∫ ∫ ∫ (3.15)

Funkcijos ( )f t gavimas iš transformuotos ( )F s vadinamas at-virkštine Laplaso transformacija:

( ) ( ) .2

jst

jf t F s e ds

j

σ+ ω

σ− ω=

π ∫ (3.16)

Simboliškai tai žymima: [ ]( ) ( ) .f t L F s−=Funkcijos pirmavaizdis randamas naudojant Laplaso transfor-

maciją atskirai kiekvienam poveikiui. Tam pasitelkiamos atvaizdų lentelės arba Hevisaido skaidybos formulės. Daugelį inžinerinių problemų galima spręsti naudojant Laplaso transformacijų lentelę. 3.1 lentelėje pateiktos pagrindinės Laplaso transformacijos.

3.1 lentelė. Laplaso transformacijos

Laplaso transformacija, ( )F s Laiko funkcija ( )f t

( )tδ(impulsas, kai 0t = )

s

( )su t(šuolinė funkcija, kai 0t = )

2s

t(Ramp at t = 0)

!

nn

s +nt

( n – teigiamas skaičius)

s a+ate−

29

( )( )s a s b+ +

at bte eb a

− −−−

2 2n

nsω

+ωsin ntω

2 2n

ss + ω

cos ntω

2

( )s a+atte−

!

( )nn

s a ++n att e−

2 2( )n

ns aω

+ +ωsinat

ne t− ω

2 2( ) n

s as a

++ + ω

cosatne t− ω

(1 )nsT+

( 1)!

tn T

n t eT n

−−

−

2

2 22n

n ns sω

+ ζω +ω

22

sin

ntnne t−ζωω

ω − ζ− ζ

2

2 2( 2 )n

n ns s sω

+ ζω +ω

29

2 2n

ns

sin nt

2 2n

ss

cos nt

21

( )s a

atte

1!

( )nn

s a

n att e

2 2( )n

ns a

sinat

ne t

2 2( ) n

s as a

cosatne t

1(1 )nsT

11( 1)!

tn T

n t eT n

2

2 22n

n ns s

22

sin 11

ntnne t

2

2 2( 2 )n

n ns s s

2

2

11 sin 11

ntne t

;

čia2

1 1tan

2 2

2 22n

n n

ss s

22

2sin 1

1ntn

ne t

;

čia2

1 1tan

1(1 )s sT 1

tTe

;

čia 2

tan− − ζ

φ =−ζ

30

2 2

2 22n

n n

ss s

ω

+ ζω +ω

29

2 2n

ns

sin nt

2 2n

ss

cos nt

21

( )s a

atte

1!

( )nn

s a

n att e

2 2( )n

ns a

sinat

ne t

2 2( ) n

s as a

cosatne t

1(1 )nsT

11( 1)!

tn T

n t eT n

2

2 22n

n ns s

22

sin 11

ntnne t

2

2 2( 2 )n

n ns s s

2

2

11 sin 11

ntne t

;

čia2

1 1tan

2 2

2 22n

n n

ss s

22

2sin 1

1ntn

ne t

;

čia2

1 1tan

1(1 )s sT 1

tTe

čia 2

tan− − ζ

φ =−ζ

(1 )s sT+

tTe

−−

2

(1 )s sT+ tTt T e

T−+

−

2 2

(1 )s sT+ 2 ( 2 )tTt T t T e

−− + +

2(1 )

ass sT

++ ( ) 1

tTt a T e

− + − −

30

21

(1 )s sT 1tTt T e

T

2 21

(1 )s sT 2 ( 2 )tTt T t T e

21(1 )

ass sT

( ) 1

tTt a T e

22 2n

s

s

1 sin2 n

nt t

2 22 2 2 21 2n n

s

s s 1 22 2

2 1

1 cos cosn nn n

t t

2

2 2 2( )n

ss

1 sin cos2 n n n

nt t

3.3 pavyzdys

Gaukime perdavimo funkcijos 3( )( 1)( 2)

sG ss s

atvirkštinę

Laplaso transformaciją. Išskaidome funkciją:

3( ) ;( 1)( 2) 1 2

s A BG ss s s s

(1.59)

čia:

11

3 1 3( 1) ( ) 2;2 1 2s

s

sA s G ss

(1.60)

22

3 2 3( 2) ( ) 1;1 2 1s

s

sB s G ss

(1.61)

sin2 n

nt tω

ω

30

21

(1 )s sT 1tTt T e

T

2 21

(1 )s sT 2 ( 2 )tTt T t T e

21(1 )

ass sT

( ) 1

tTt a T e

22 2n

s

s

1 sin2 n

nt t

2 22 2 2 21 2n n

s

s s 1 22 2

2 1

1 cos cosn nn n

t t

2

2 2 2( )n

ss

1 sin cos2 n n n

nt t

3.3 pavyzdys

Gaukime perdavimo funkcijos 3( )( 1)( 2)

sG ss s

atvirkštinę

Laplaso transformaciją. Išskaidome funkciją:

3( ) ;( 1)( 2) 1 2

s A BG ss s s s

(1.59)

čia:

11

3 1 3( 1) ( ) 2;2 1 2s

s

sA s G ss

(1.60)

22

3 2 3( 2) ( ) 1;1 2 1s

s

sB s G ss

(1.61)

( ) 22 22

cos cosn nn n

t tω − ωω −ω

2

2 2 2( )n

ss + ω

( ) sin cos2 n n n

nt tω +ω ω

ω

3.3 pavyzdysGaukime perdavimo funkcijos 3( )

( 1)( 2)sG s

s s+

=+ +

atvirkštinę

Laplaso transformaciją. Išskaidome funkciją:3( ) ;

( 1)( 2) 1 2s A BG s

s s s s+

= = ++ + + +

(3.17)

31

čia:

3 1 3( 1) ( ) 2;2 2s

s

sA s G ss=−

=−

+ − += + = = =

+ − + (3.18)

22

3 2 3( 2) ( ) 1; 2 s

s

sB s G ss=−

=−

+ − += + = = = −

+ − + (3.19)

tuomet gauname:3 2 1( ) .

( 1)( 2) 1 2sG s

s s s s+ −

= = ++ + + +

(3.20)

Funkcijos ( )G s atvirkštinė Laplaso transformacija:

2

2 2( ) 2

2 1 , kai 0.2

t t

g t L Ls s s

L e e ts

− −

− − −

− = + = + + + + − = − ≥ +

(3.21)

3.4 pavyzdysGaukime perdavimo funkcijos 2

( )( 1)

G ss s

=+

atvirkštinę Laplaso transformaciją.

Išskaidome funkciją:

22 2

( ) ;( 1)

A A BG ss ss s s

= = + +++

(3.22)

čia

2 0

0

20

( )

1;( 1)

ss

s

d dA s G sdt dt s

s

==

=

= = = +

−= = −

+

(3.23)

22 0

0

( ) 1;s

sA s G s

s==

= = = + (3.24)

32

2

( 1) ( ) 1.ss

B s G ss=−

=−= + = =

(3.25)

Tuomet galime užrašyti:

2 2 ( ) .

( 1)G s

s ss s s−

= = + +++

(3.26)

Funkcijos ( )G s atvirkštinė Laplaso transformacija:

2

2

( )

t

g t L Ls s ss

L L t ess

− −

− − −

− − = + + = + + + + = − + + +

. (3.27)

Tiesioginę ir atvirkštinę Laplaso transformaciją galima atlikti pasitelkiant Matlab programinį paketą. Tam naudojamos komandos laplace – tiesioginei ir ilaplace atvirkštinei transformacijai gauti.

3.5 pavyzdysRaskime funkcijos 2( ) 5 tf t e−= Laplaso transformaciją.Matlab kodas:Pirmiausia reikia aprašyti simbolinį kintamąjį t. Todėl rašome

komandą:>>syms t.Tuomet įvedame funkciją 2( ) 5 tf t e−= :>>f=5*exp(-2*t)ir užrašome laplaso transformacijos komandą:L=laplace(f).Gaunamas rezultatas: L = 5/(s + 2).

33

3.6 pavyzdysRaskime funkcijos

2

2( ) 12 d yf tdt

= Laplaso transformaciją.Matlab kodas:>>laplace(12*diff(sym(‘y(t)’),2)).Gaunamas rezultatas:12*s^2*laplace(y(t), t, s) - 12*s*y(0) -

12*D(y)(0);čia y(0) – pradinės sąlygos.

3.7 pavyzdysGaukime funkcijos 2

5( )( 2)sF s

s s−

=+

atvirkštinę Laplaso trans-formaciją.

Matlab kodas:>> syms t s>> F=(s-5)/(s*(s+2)^2);>> ilaplace(F)ans =5/(4*exp(2*t)) + (7*t)/(2*exp(2*t)) - 5/4>>pretty(ans) 5 7 t 5 ---------- + ---------- - - 4 exp(2 t) 2 exp(2 t) 4.

3.2. sistemos operacinių lygčių sudarymas

Sudarant operacines lygtis pagal sistemos diferencialines lygtis, reikia žinoti pradines sąlygas.

Jei duota diferencialinė lygtis:

33

Gaunamas rezultatas: 12*s^2*laplace(y(t), t, s) - 12*s*y(0) -

12*D(y)(0);čia y(0) – pradinės sąlygos. 3.7 pavyzdys

Gaukime funkcijos 25( )

( 2)sF s

s s

atvirkštinę Laplaso trans-

formaciją.Matlab kodas: >> syms t s >> F=(s-5)/(s*(s+2)^2); >> ilaplace(F) ans = 5/(4*exp(2*t)) + (7*t)/(2*exp(2*t)) - 5/4 >>pretty(ans) 5 7 t 5 ---------- + ---------- - - 4 exp(2 t) 2 exp(2 t) 4.

3.2. Sistemos operacini lyg i sudarymas

Sudarant operacines lygtis pagal sistemos diferencialines lygtis, reikia žinoti pradines sąlygas.

Jei duota diferencialinė lygtis:

šš į

( ) ( ) ( ),ii

dx tT x t kx tdt

(1.70)

tai, esant pradinėms nulinėms sąlygoms, operacinė lygtis suda-roma pakeičiant išvestines ir integralo ženklus operatoriumi:

22

20

1, , , .n t

nn

d d ds s s dtdt sdt dt

(1.71)

(3.28)

tai, esant pradinėms nulinėms sąlygoms, operacinė lygtis sudaroma pakeičiant išvestines ir integralo ženklus operatoriumi:

34

22

20

, , , .n t

nn

d d ds s s dtdt sdt dt

= = = =∫

(3.29)

Tuomet iš (3.28) lygties gauname:

34


š š į( ) ( ) ( ).i iTsX s X s kX s (1.72)

Sudarant AVS, susidedančias iš kelių elementų operacinių lyg-čių, pirmiausia, užrašoma sistemos diferencialinių lygčių sistema, po to taikomas Laplaso pakeitimas ir gaunama operacinių lygčių siste-ma, kuri išsprendžiama išėjimo signalo atžvilgiu:

11 1 0 š

11 1 0 į

11 1 0

( )

( )

( ) ( ).

n nn n i

m mm m

k kk k

a s a s a s a X s

b s b s b s b X s

C s C s C s C Z s

(1.73)

Iš šios lygties, esant užduotam įėjimo dydžiui į ( )x t ar trikdžiui ( )z t , gauname išėjimo dydžio operacinę lygtį:

įš

( ) ( ) ( ) ( )( ) ;

( )iB s X s C s Z s

X sA s

(1.74)

čia ( ), ( ), ( )A s B s C s – kompleksinio kintamojo operaciniai daugianariai.

3.8 pavyzdys Duota diferencialinė lygtis. Ją užrašykime operacine forma ir

gaukime jos sprendimą naudodami atvirkštinę Laplaso transformaci-ją:

2

2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ,td df t f t f t edtdt

(1.75)

pradinės sąlygos (0) ( ) 0df f tdt

. Užrašome operacinę lygtį

pagal (3.33) formulę:

2 1( ) 3 ( ) 2 ( ) .1

s F s sF s F ss

(1.76)

(3.30)

Sudarant AVS, susidedančias iš kelių elementų operacinių lyg-čių, pirmiausia užrašoma sistemos diferencialinių lygčių sistema, po to taikomas Laplaso pakeitimas ir gaunama operacinių lygčių siste-ma, kuri išsprendžiama išėjimo signalo atžvilgiu:

34


š š į( ) ( ) ( ).i iTsX s X s kX s (1.72)


11 1 0 š

11 1 0 į

11 1 0

( )

( )

( ) ( ).

n nn n i

m mm m

k kk k

a s a s a s a X s

b s b s b s b X s

C s C s C s C Z s

(1.73)


įš

( ) ( ) ( ) ( )( ) ;

( )iB s X s C s Z s

X sA s

(1.74)




2

2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ,td df t f t f t edtdt

(1.75)




2 1( ) 3 ( ) 2 ( ) .1

s F s sF s F ss

(1.76)

(3.31)

Iš šios lygties, esant užduotam įėjimo dydžiui á( )x t ar trikdžiui ( )z t , gauname išėjimo dydžio operacinę lygtį:

34


š š į( ) ( ) ( ).i iTsX s X s kX s (1.72)


11 1 0 š

11 1 0 į

11 1 0

( )

( )

( ) ( ).

n nn n i

m mm m

k kk k

a s a s a s a X s

b s b s b s b X s

C s C s C s C Z s

(1.73)


įš

( ) ( ) ( ) ( )( ) ;

( )iB s X s C s Z s

X sA s

(1.74)




2

2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ,td df t f t f t edtdt

(1.75)




2 1( ) 3 ( ) 2 ( ) .1

s F s sF s F ss

(1.76)

(3.32)

čia ( ), ( ), ( )A s B s C s – kompleksinio kintamojo operaciniai daugia-nariai.

3.8 pavyzdysDuota diferencialinė lygtis. Ją užrašykime operacine forma ir

gaukime jos sprendimą naudodami atvirkštinę Laplaso transforma-ciją:

2

2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ,td df t f t f t edtdt

−+ + = (3.33)


= = . Užrašome operacinę lygtį pa-gal (3.33) formulę:

2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) .

s F s sF s F ss

+ + =+

(3.34)

35

Iškeliame ( )F s :

2 ( ) .

3 2F s

s s s=

+ + + (3.35)

Norėdami gauti lygties sprendimą, turime ją išskaidyti:

2 ( ) .

2 ( 1)F s

s s s= − +

+ + + (3.36)

Naudodamiesi 3.1 lentele gauname:2( ) .t t tf t e e te− − −= − + (3.37)

3.3. automatinio valdymo sistemų perdavimo funkcijos

Taikant tiesioginį Laplaso pakeitimą ir esant pradinėms nuli-nėms sąlygoms, galima gauti operacinę lygtį:

35

Iškeliame ( )F s :

21 1( ) .

1 3 2F s

s s s

(1.77)


21 1 1( ) .

2 1 ( 1)F s

s s s

(1.78)

Naudodamiesi 3.1 lentele gauname: 2( ) .t t tf t e e te (1.79)

3.3. Automatinio valdymo sistem perdavimo funkcijos


š į( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).iA s X s B s X s C s Z s (1.80)

Perdavimo funkcija – tai išėjimo dydžio operacinio atvaizdo santykis su operaciniu įėjimo dydžio atvaizdu, esant nulinėms pradi-nėms sąlygoms. Skiriamos grandies atvirosios ir uždarosios sistemųperdavimo funkcijos.

Užrašykime perdavimo funkciją, kai veikia įėjimo signalas įX :

š

į

( ) ( )( ) .( ) ( )

iX s B sW sX s A s

(1.81)

Veikiant trikdžiui Z , perdavimo funkcija užrašoma taip:

š ( ) ( )( ) .( ) ( )

iz

X s C sW sZ s A s

(1.82)

AVS sistemų elementų perdavimo funkcijos naudojamos struk-tūrinėms schemoms sudaryti.

(3.38)

Perdavimo funkcija – tai išėjimo dydžio operacinio atvaizdo santykis su operaciniu įėjimo dydžio atvaizdu, esant nulinėms pradi-nėms sąlygoms. Skiriamos grandies atvirosios ir uždarosios sistemų perdavimo funkcijos.

Užrašykime perdavimo funkciją, kai veikia įėjimo signalas Xį :

35

Iškeliame ( )F s :

21 1( ) .

1 3 2F s

s s s

(1.77)


21 1 1( ) .

2 1 ( 1)F s

s s s

(1.78)

Naudodamiesi 3.1 lentele gauname: 2( ) .t t tf t e e te (1.79)

3.3. Automatinio valdymo sistem perdavimo funkcijos


š į( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).iA s X s B s X s C s Z s (1.80)

Perdavimo funkcija – tai išėjimo dydžio operacinio atvaizdo santykis su operaciniu įėjimo dydžio atvaizdu, esant nulinėms pradi-nėms sąlygoms. Skiriamos grandies atvirosios ir uždarosios sistemųperdavimo funkcijos.

Užrašykime perdavimo funkciją, kai veikia įėjimo signalas įX :

š

į

( ) ( )( ) .( ) ( )

iX s B sW sX s A s

(1.81)


š ( ) ( )( ) .( ) ( )

iz

X s C sW sZ s A s

(1.82)

AVS sistemų elementų perdavimo funkcijos naudojamos struk-tūrinėms schemoms sudaryti.

(3.39)


š ( ) ( )( ) .( ) ( )

iz

X s C sW sZ s A s

= = (3.40)

AVs sistemų elementų perdavimo funkcijos naudojamos struk-tūrinėms schemoms sudaryti.

36

3.9 pavyzdysUžrašykime 2.2 pavyzdyje nagrinėtos sistemos perdavimo

funkciją.Užrašome operacinę lygtį:

36

3.9 pavyzdys Užrašykime 2.2 pavyzdyje nagrinėtos sistemos perdavimo funk-

ciją.Užrašome operacinę lygtį:

2 22 š 1 š š 1 į į .i i iT s u T su u T su u (1.83)

Sutvarkę, gauname: 2 2

2 1 š 1 į( 1) ( 1) .iT s T s u T s u (1.84)

Užrašome perdavimo funkciją:

š 12 2

į 2 1

( ) 1( ) .( ) 1

iu s T sW su s T s T s

(1.85)

3.10 pavyzdys Užrašykime 2.2 paveiksle parodytos sistemos operacines lygtis

ir perdavimo funkcijas: Naudodamiesi anksčiau užrašytomis sistemos diferencialinėmis

lygtimis (2.13–2.22) gauname: Palyginimo mazgas:

( ) ( ) ( );e BRU s U s U s (1.86)

1( ) ( ) ( ).sU s U s U s (1.87)

Pagal (1.86) ir (1.87) lygtis sudaryta struktūra parodyta 3.2 pa-veiksle.

3.2 pav. Sumavimo mazgai

(3.41)

Sutvarkę gauname:

36





2 1 š 1 į( 1) ( 1) .iT s T s u T s u (1.84)


š 12 2

į 2 1

( ) 1( ) .( ) 1


(1.85)




( ) ( ) ( );e BRU s U s U s (1.86)

1( ) ( ) ( ).sU s U s U s (1.87)



(3.42)


36





2 1 š 1 į( 1) ( 1) .iT s T s u T s u (1.84)


š 12 2

į 2 1

( ) 1( ) .( ) 1


(1.85)




( ) ( ) ( );e BRU s U s U s (1.86)

1( ) ( ) ( ).sU s U s U s (1.87)



(3.43)

3.10 pavyzdysUžrašykime 2.2 paveiksle parodytos sistemos operacines lygtis

ir perdavimo funkcijas.Naudodamiesi anksčiau užrašytomis sistemos diferencialinėmis

lygtimis (2.13–2.22) gauname:• Palyginimo mazgas:

( ) ( ) ( );e BRU s U s U s∆ = − (3.44)

( ) ( ) ( ).sU s U s U s= + ∆ (3.45)


36





2 1 š 1 į( 1) ( 1) .iT s T s u T s u (1.84)


š 12 2

į 2 1

( ) 1( ) .( ) 1


(1.85)




( ) ( ) ( );e BRU s U s U s (1.86)

1( ) ( ) ( ).sU s U s U s (1.87)


3.2 pav. Sumavimo mazgai 3.2 pav. Sumavimo mazgai

37

• Stiprintuvo, kaip periodinės grandies, operacinė lygtis:

( 1) ( ) ( ).v s sTs U s k U s+ = (3.46)

Iš (3.46) lygties gauname stiprintuvo perdavimo funkciją:

( )( ) .

( ) 1v s

ss

U s kW s

U s Ts= =

+ (3.47)

Struktūrinės schemos dalis su stiprintuvu pateikta 3.3 paveiksle.

37

Stiprintuvo, kaip periodinės grandies, operacinė lygtis:

( 1) ( ) ( ).v s sTs U s k U s (1.88)

Iš (1.88) lygties gauname stiprintuvo perdavimo funkciją:

( )( ) .

( ) 1v s

ss

U s kW s

U s Ts

(1.89)

Struktūrinės schemos dalis su stiprintuvu pateikta 3.3 paveiksle.

3.3 pav. Struktūrinės schemos dalis su stiprintuvu

Variklio inkaro grandinės operacinė lygtis:

( ) ( ) ( ) ( ).in in in inU s E s R I s L sI s (1.90)

Kitos lygtys, susiejančios variklio parametrus:

( ) ( );E s c s (1.91)

0( )( ) ;U ss

c

(1.92)

( ) ( ).inM s c I s (1.93)

(1.90) lygtį perrašome tokia forma:

( ) ( ) (1 ) ( ).inin in

in

LU s E s R s I s

R (1.94)

Skaitiklį ir vardiklį padalijame iš c ir pažymime in

nie R

LT :

( ) ( ) (1 ) ( ).ine in

RU s E s T s I sc c c

(1.95)

3.3 pav. Struktūrinės schemos dalis su stiprintuvu

• Variklio inkaro grandinės operacinė lygtis:

( ) ( ) ( ) ( ).in in in inU s E s R I s L sI s= + + (3.48)

Kitos lygtys, susiejančios variklio parametrus:

( ) ( );E s c sω= Φ (3.49)

0( )( ) ;U ss

cω =

Φ (3.50)

( ) ( ).inM s c I s= Φ (3.51)

(3.48) lygtį perrašome tokia forma:

( ) ( ) (1 ) ( ).inin in

in

LU s E s R s I s

R− = + (3.52)

Skaitiklį ir vardiklį padalijame iš Φc ir pažymime in

nie R

LT = :

( ) ( ) (1 ) ( ).ine in

RU s E s T s I sc c c

− = +Φ Φ Φ

(3.53)

38

Pritaikę (3.49) ir (3.50) lygtis, gauname:

0 ( ) ( ) (1 ) ( ).ine in

Rs s T s I s

c− = +

Φω ω (3.54)

Inkaro srovė išreiškiama iš (3.51) lygties:

( )( )inM sI sc

=Φ

(3.55)

ir įrašoma į (3.54) lygtį:

0 2 2( ) ( ) (1 ) ( ).ine

Rs s T s M s

cω ω− = +

Φ (3.56)

Variklio dalies, kai įėjimas yra greitis, o išėjimas – sukuriamas momentas, perdavimo funkcija yra:

2 2

0

( )( ) ,( ) ( ) ( 1)m

in e

M s cW ss s R T sω ω

Φ= =

− + (3.57)

o gauta struktūrinė schema parodyta 3.4 paveiksle.

38


0 ( ) ( ) (1 ) ( ).ine in

Rs s T s I s

c

(1.96)


( )( )inM sI sc

(1.97)


0 2 2( ) ( ) (1 ) ( ).ine

Rs s T s M s

c

(1.98)


2 2

0

( )( ) ,( ) ( ) ( 1)m

in e

M s cW ss s R T s

(1.99)


3.4 pav. Variklio inkaro grandinės struktūrinė schema

Variklio tuščiosios eigos greitis 0 su inkaro įtampa siejamas (1.92) lygtimi. Pagal šią lygtį struktūrinės schemos dalis pateikta 3.5 paveiksle.

C1U 0

3.5 pav. Įtampos ir greičio ryšys


Variklio tuščiosios eigos greitis 0ω su inkaro įtampa siejamas lygtimi. Pagal šią lygtį struktūrinės schemos dalis pateikta 3.5 pa-veiksle.

38


0 ( ) ( ) (1 ) ( ).ine in

Rs s T s I s

c

(1.96)


( )( )inM sI sc

(1.97)


0 2 2( ) ( ) (1 ) ( ).ine

Rs s T s M s

c

(1.98)


2 2

0

( )( ) ,( ) ( ) ( 1)m

in e

M s cW ss s R T s

(1.99)



Variklio tuščiosios eigos greitis 0 su inkaro įtampa siejamas (1.92) lygtimi. Pagal šią lygtį struktūrinės schemos dalis pateikta 3.5 paveiksle.

C1U 0

3.5 pav. Įtampos ir greičio ryšys 3.5 pav. Įtampos ir greičio ryšys

39

Pavaros dinamikos lygtis:

( ) ( ) ( ).sM s M s Js sω− = (3.58)

Iš (3.58) lygties randame variklio mechaninę inerciją įvertinan-čią perdavimo funkciją:

( ) 1( ) .( ) ( )d

s

sW sM s M s Js

ω= =

− (3.59)

Šios dalies struktūra parodyta 3.6 paveiksle.

39


( ) ( ) ( ).sM s M s Js s (1.100)


( ) 1( ) .( ) ( )d

s

sW sM s M s Js

(1.101)


3.6 pav. Variklio struktūrinės schemos dalis

Tachogeneratoriaus operacinė lygtis:

( ) ( ).BR BRU s k s (1.102)

Iš (1.102) lygties randamas tachogeneratoriaus perdavimo koefi-cientas:

.BRBR

Uk

(1.103)

Tachogeneratoriaus struktūrinės schemos dalis parodyta 3.7 pa-veiksle.

BRU

3.7 pav. Tachogeneratoriaus struktūrinės schemos dalis


• Tachogeneratoriaus operacinė lygtis:

( ) ( ).BR BRU s k sω= (3.60)

Iš (3.60) lygties randamas tachogeneratoriaus perdavimo koe-ficientas:

.BRBR

Ukω

= (3.61)


39


( ) ( ) ( ).sM s M s Js s (1.100)


( ) 1( ) .( ) ( )d

s

sW sM s M s Js

(1.101)



Tachogeneratoriaus operacinė lygtis:

( ) ( ).BR BRU s k s (1.102)

Iš (1.102) lygties randamas tachogeneratoriaus perdavimo koefi-cientas:

.BRBR

Uk

(1.103)


BRU

3.7 pav. Tachogeneratoriaus struktūrinės schemos dalis 3.7 pav. Tachogeneratoriaus struktūrinės schemos dalis

40

3.11 pavyzdysUžrašykime 2.3 paveiksle parodytos sistemos operacines lygtis

ir perdavimo funkcijas. Į inkaro apvijos induktyvumą inL ir variklio veleno klampiosios trinties koeficientą B neatsižvelgsime.

• Paklaidos diskriminatorius:

0( ) ( ) ( );r s s sθ − θ = α (3.62)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .

( )a b

a bI s I ss k I s I s W s k

sα α−

α ⋅ = − ⇒ = =α

(3.63)

• Operacinis stiprintuvas:

[ ] 00 0 2 0

( )( ) ( ) ( ) W .( ) ( )a b

a b

E sI s I s R E s RI s I s

− = ⇒ = =−

(3.64)

• Stiprintuvas:

0 ( ) ( ) ( );t sE s E s E s− = (3.65)

3( )( ) ( ) ( ) .( )

as s a s

s

E sE s k E s W s kE s

⋅ = ⇒ = = (3.66)

• Nuolatinės srovės variklis:

4( ) ( ) ( ) ( ) ;

( ) ( )in

a b in ina b in

I sE s E s R I s WE s E s R

− = ⇒ = =−

(3.67)

5( )( ) ( ) ( ) ;( )

bb b m b

m

E sE s k s W s ks

= ω = =ω

(3.68)

6( )( ) ( ) ( ) ;( )in i

in

M sM s C I s W s C kI s

= Φ ⇒ = = Φ = (3.69)

7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

( ) ( )

s m m

m

s

M s M s Js s B ssW s

M s M s Js B

− = ω + ω ⇒

ω⇒ = =

− + (3.70)

41

• Reduktorius:

8( ) ( ) ( ) ;( )

mm m

m

ss s Ws s s

θθ = ω ⇒ = =

ω (3.71)

00 9

( ) ( ) ( ) .( )m

m

ss s WN s N

θθ = θ ⇒ = =

θ (3.72)

• Tachogeneratorius:

0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) .( )

t t mt

mtm m

tt

m

E s k sE ss

s ks ssE sW sk

s

= ω ⇒ θ = ⇒ θ = ω

⇒ = =θ

(3.73)


1. Užrašykite tiesioginės ir atvirkštinės Laplaso transformacijos formules.

2. Kas yra perdavimo funkcija?3. Raskite Laplaso transformacija funkcijų: 2( ) cosf t t= ;

2( ) sinf t t= ; ( ) cos(3 )f t t= ; 2 5( ) tf t t e= ; 2( ) sin 3.xf x e x−= −

4. Gaukite atvirkštinę Laplaso transformaciją perdavimo

funkcijų: 3( )G s

s s=

+; 3 2

1 6( )4

G ss s

= ++

; 2( )

( 4)G s

s s=

+;

2( )

( 5)( 10 5)sG s

s s s+

=+ + +

.

5. Užrašykite 3.8 paveiksle parodytų sistemų (elementų) dife-rencialines ir operacines lygtis, perdavimo funkcijas.

42

y

k

f

F

m

uruc

R1

C

R2

R4

R1

R3

i3

i1

i2

+-

a) b)

+

TrigerisUf

ur-

M

M

+

-Lygintuvas

NS variklis

Tachogeneratorius

Apkrova

ua-uk

R3

R1

R1

R2 R3

ω

c)3.8 pav. Sistemos: a) mechaninė; b) operacinis stiprintuvas; c) nuolatinės

srovės pavaros automatinio valdymo sistema

43

4. automatinio valdymo sistemų struKtūrinės schemos

4.1. struktūrinių schemų sudarymas ir prastinimas

Dėl savo paprastumo ir universalumo struktūrinės schemos dažnai naudojamos aprašyti įvairias AVS. Struktūrinės schemos leidžia paprastai aprašyti sistemos sudėtį ir ryšius tarp jos elemen-tų. Sudarant šias schemas naudojamos perdavimo funkcijos, kurias pasitelkiant aprašoma elemento išėjimo signalo priklausomybė nuo įėjimo signalo.

4.1–4.3 paveiksle parodyti trys pagrindiniai struktūrinių sche-mų jungimo būdai ir jų prastinimas.

( )G s 2 ( )G s( )R s ( )C s

4.1 pav. Nuoseklus jungimas

2( ) ( ) ( ) ( ),C s G s G s R s= (4.1)

⇓

2( ) ( )G s G s( )C s( )R s

2( ) ( ) ( ).( )

C s G s G sR s

= (4.2)

44

( )G s

2 ( )G s

( )R s ( )C s+

+

4.2 pav. Lygiagretus jungimas

[ ] 2( ) ( ) ( ) ( ),C s G s G s R s= + (4.3)

⇓

2( ) ( )G s G s+( )C s( )R s

2( ) ( ) ( ).( )

C s G s G sR s

= + (4.4)

( )G s( )R s ( )C s

( )H s

( )sε

4.3 pav. Uždaroji AVS

( ) ( ) ( );C s G s E s= (4.5)

( ) ( ) ( ) ( );E s R s H s C s= − (4.6)

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;C s G s R s H s C s= − (4.7)

45

( )( ) ( );1 ( ) ( )

G sC s R sG s H s

=+

(4.8)

⇓

( )C s( )R s ( )1 ( ) ( )

G sG s H s+

( ) ( ) .( ) 1 ( ) ( )

C s G sR s G s H s

=+

(4.9)

Struktūrinių schemų prastinimo taisyklės pateiktos 4.1 lentelėje.

4.1 lentelė. Struktūrinių schemų prastinimo taisyklės

Nr. Originali schema Ekvivalentinė schema

( )G s 2 ( )G s( )R s ( )C s

2( ) ( )G s G s( )R s ( )C s

2

( )G s

2 ( )G s

( )R s ( )C s±

+

2( ) ( )G s G s±( )R s ( )C s

3

( )G s( )R s ( )C s

( )H s

( )sε

± ( )C s( )R s ( )1 ( ) ( )

G sG s H s±

4W

X Y

Z

W

X

Y

Z

46

5

X

Y

ZG

X

Y

ZG

G

6

X

Y

ZG

X

Y

Z

G

G

7G

G

G

8G

G

G

4.1 pavyzdysRaskime 4.4 paveiksle parodytos uždarosios AVS perdavimo

funkciją:

4s +

s

( )R s ( )C s+

-

4.4 pav. AVS struktūrinė schema

Pritaikę 1 taisyklę gauname:

4( 1)s s +

( )R s ( )C s+

47

Pagal 3 taisyklę gauname uždarosios sistemos perdavimo funk-ciją:

2

4( ) 4( 1) .4( ) 4

( 1)

C s s sR s s s

s s

+= =+ ++ ⋅

+

(4.10)


funkciją:

( )G s 2 ( )G s( )R s ( )C s+

-

( )H s

+

-


Naudodami 3 taisyklę suprastiname sistemą:

( )G s 2

2

( )1 ( ) ( )

G sG s H s+

( )R s ( )C s+

-

Remdamiesi 1 taisykle gauname:

2

2

( ) ( )1 ( ) ( )

G s G sG s H s+

( )R s ( )C s+

-

48

Pasitelkdami 3 taisyklę gauname uždarosios sistemos perdavi-mo funkciją:

2

2 2

2 2 2

2

( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) .( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

G s G sG s H s G s G sC sG s G sR s G s H s G s G s

G s H s

+= =

+ +++

(4.11)


funkciją:

( )G s( )R s ( )C s+

-

+

5 ( )G s

2 ( )G s

4 ( )G s

3( )G s

+


Struktūrinėje schemoje 2G ir 5G sudaro uždarąją sistemą. Todėl surandame jos perdavimo funkciją, naudodami 3 taisyklę.

( )G s( )R s ( )C s+

-

2

2 5

( )1 ( ) ( )

G sG s G s−

4 ( )G s

3( )G s

49

Remdamiesi 8 taisykle gauname tokią struktūrinę schemą:

( )G s( )R s ( )C s+

-

2

2 5

( )1 ( ) ( )

G sG s G s−

4 ( )G s

3( )G s

3

( )G s

Naudodami 1 taisyklę gauname:

( )R s ( )C s+

-

1 2 3

2 5

( ) ( ) ( )1 ( ) ( )

G s G s G sG s G s−

4

3

( )( )

G sG s

Pasitelkdami 3 taisyklę randame uždarosios sistemos perdavi-mo funkciją:

1 2 3

2 5

1 2 3 4

2 5 3

1 2 3

2 5 1 2 3

( ) ( ) ( )1 ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

1 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

G s G s G sG s G sC s

G s G s G s GR sG s G s G

G s G s G sG s G s G s G s G s

−= =

+ ⋅−

=− +

(4.12)

4.4 pavyzdysGaukime sistemos su dviem įėjimais perdavimo funkciją.

Vienas sistemos įėjimas yra nuostato signalas, o kitas – apkrovos trikdžio signalas:

50

( )G s( )R s ( )C s+

-

+2 ( )G s

( )H s

+( )D s

Pagal superpozicijos principą galima užrašyti, kad sistemos iš-ėjimo dalis ( )C s′ , kurią kuria nuostato signalas, egzistuoja tik tada, kai ( ) 0D s = :

2

2

( ) ( )( ) ( ).1 ( ) ( ) ( )

G s G sC s R sG s G s H s

′ =+

(4.13)

Kita dalis ( )C s′′ , kuriama trikdžio, egzistuoja tik tada, kai ( ) 0R s = :

2

2

( )( ) ( ).1 ( ) ( ) ( )

G sC s D sG s G s H s

′′ =+

(4.14)

Bendrą perdavimo funkciją gauname:

2

2

2

2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( )

( ) ( ).1 ( ) ( ) ( )

G s G sC s C s C s R sG s G s H s

G s D sG s G s H s

′ ′′= + = ++

++

(4.15)

2( ) ( ) ( )G s G s H s yra atvirosios sistemos perdavimo funkcija, o 21 ( ) ( ) ( ) 0G s G s H s+ = charakteringoji lygtis.

4.5 pavyzdysNubraižykime 2.2 paveiksle parodytos sistemos struktūrinę

schemą.

51

Naudodami trečiame skyriuje gautas operacines lygtis ir 3.2–3.7 paveikslus sudarome struktūrinę schemą, kuri parodyta 4.7 pa-veiksle.

sM

)(

22

+ΦsTR

C

einJs

BRk

0ω

ΦC ωω∆

ω

M M∆

+Tsks

U∆kk

ueU Us Uv

BRU u

4.7 pav. Variklio greičio reguliatoriaus struktūrinė schema

Sistemai tirti laikome, kad atsiranda įtampos Ue pokytis eU∆ , o įtampa U ir apkrovos momentas nekinta ir t. y. 0=∆ sM . Perbraižome struktūrinę schemą pokyčiams (4.8 paveikslas).

51

Nubraižykime 2.2 paveiksle parodytos sistemos struktūrinę schemą.

Naudodami trečiame skyriuje gautas (1.86)–(1.103) operacines lygtis ir 3.2–3.7 paveikslus sudarome struktūrinę schemą, kuri paro-dyta 4.7 paveiksle.

4.7 pav. Variklio greičio reguliatoriaus struktūrinė schema

Sistemai tirti laikome, kad atsiranda įtampos Ue pokytis eU , o įtampa U1 ir apkrovos momentas nekinta ir t. y. 0 sM . Perbrai-žome struktūrinę schemą pokyčiams (4.8 paveikslas).

vU

4.8 pav. Reguliatoriaus struktūrinė schema, perbraižyta poky-čiams

Suprastinkime 4.7 paveiksle parodytą struktūrinę schemą. Pir-miausia suprastiname variklio uždarą struktūrą:

4.8 pav. Reguliatoriaus struktūrinė schema, perbraižyta pokyčiams

Suprastinkime 4.7 paveiksle parodytą struktūrinę schemą. Pirmiausia suprastiname variklio uždarą struktūrą:

( )

( )( )

( )

2

2

2 22

( 1)

( 1)

in evu

in e in

in e

CCR T s Js

WC JR T s JR s C

R T s Js

Φ⋅

Φ+= =

Φ + + Φ+ ⋅ ⋅

+

. (4.16)

52

(4.16) padaliję iš ( )2CΦ , gauname:

( ) ( )2

2 2

,

vuin in

e

WJR JRT s sC C

=+ +

Φ Φ

(4.17)

pažymėję ( )2

,inm

JRT

C=

Φ gauname:

2 .

vu

m e mW

T T s T s=

+ + (4.18)

Suprastinę uždarą variklio struktūrą, gauname tokią struktūrinę schemą:

sk

Ts +eU∆

BRk

BRU∆

U∆∆kk

CΦ 2

m e mT T s T s+ +

vU∆ U∆ 0∆ω ∆ω

Užrašykime atvirosios sistemos perdavimo funkciją:

2

2

( )

.( 1)( 1)

sa k BR

m e m

s k BR

m e m

kW s k kTs C T T s T s

k k kC Ts T T s T s

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =+ Φ + +

=Φ + + +

(4.19)

4.6 pavyzdysNubraižykime 2.3 paveiksle parodytos sistemos struktūrinę

schemą.

53

Naudodami trečiame skyriuje gautas operacines lygtis, sudaro-me struktūrinę schemą, kuri parodyta 4.9 paveiksle.

kα+

-

α0Ra bi i−

sk aR ik

Js B+s

N

0e se

te

ae

be

ai M mω mθ 0θ

bk

tsk

rθ

4.9 pav. Erdvėlaivio saulės sekimo sistemos struktūrinė schema

Erdvėlaivio saulės sekimo sistemoje veikia tokie signalai:- rθ – apkrovos kampas tarp saulės ašies ir atskaitymo

ašies;- mθ – apkrovos kampas tarp variklio ašies ir atskaity-

mo ašies;- 0θ – apkrovos kampas tarp fotoelementų korpuso

ašies ir atskaitymo ašies;- α – kampas tarp įrenginio ašies ir saulės ašies;- ai – srovė, tekanti iš A fotoelemento;- bi – srovė, tekanti iš B fotoelemento;- 0e – integralinio sumatoriaus išėjimo įtampos signa-

las;- se – stiprintuvo įėjimo įtampos signalas;- te – tachogeneratoriaus BR įtampos signalas;- ae – stiprintuvo išėjimo įtampos signalas;- be – tachogeneratoriaus išėjimo įtampos signalas;- M – variklio kuriamas momentas;- mω – variklio išėjimo veleno kampinis greitis.

4.9 paveiksle pateikta struktūrinė schema gali būti suprastinta ir užrašyta analitiškai. Tam tikslui signalus užrašome kaip signalų pokyčius (ia → ∆ia ir t. t.). Naudodami 4.1 lentelės 3 taisyklę, supras-tiname vidinius grįžtamuosius ryšius:

54

.( )

ii

a au

a i bi b

a a

i a i

a a i b a i b

kkR Js R JsW R Js k kk kR Js R Js

k R Js kR Js R Js k k R Js k k

= = =+

+

= =+ +

(4.20)

Gautą funkciją padaliję iš 2( ) k bc k kΦ = , gausime:

( ) ;

b vu

a m

i b

k kW s R Js T sk k

= =⋅ ++

(4.21)

čia mT – laiko pastovioji; vk – variklio konstanta.

Nutraukus išorinį grįžtamąjį ryšį galima gauti atvirosios saulės sekimo sistemos perdavimo funkciją:

0 01/ 1 /( ) .( )

s i s ia

a i b a i b

k R k k N k R k k NW sR Js k k s s R Js k k

α α⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ =

⋅ + ⋅ + (4.22)


1. Kam naudojamos struktūrinės schemos?2. Sudarykite 3.8 paveiksle parodytų sistemų struktūrines

schemas.3. Suprastinkite 4.10 paveiksle parodytas struktūrines sche-

mas.

55

( )G s( )R s ( )C s+

-

2 ( )H s

2 ( )G s

( )H s

3( )G s

a)

( )G s( )R s ( )C s+

-

2 ( )H s

2 ( )G s

( )H s

3( )G s

-

+ +

-

+

3( )H s

b)

( )G s( )R s ( )C s+

-

2 ( )H s

2 ( )G s

( )H s

3( )G s

-

+ +-

3( )H s

4 ( )G s

c)4.10 pav. AVS struktūrinės schemos

56

5. automatinių sistemų statiKa

5.1. statinis reguliavimas

Nagrinėjant automatinės sistemos darbo režimus statiniu požiū-riu, visi sistemos parametrai laiko atžvilgiu yra pastovūs.

Pagrindiniai klausimai, kuriuos nagrinėja statika, yra:• sistemos tikslumas;• sistemos elementų ir jų statinių charakteristikų analizė.

Sistemos statinė charakteristika – tai jos išėjimo dydžio priklau-somybė nuo įėjimo dydžio ar trikdžio nusistovėjusio režimo atveju.

Pagal charakteristikų pobūdį AVS skirstomos į statines ir asta-tines.

Statinis reguliatorius yra toks reguliatorius, kuris palaiko nusta-tytą išėjimo dydį su leistina statine paklaida. Reguliavimas vyksta pagal nuokrypos principą. Tokie reguliatoriai naudojami įvairiems parametrams stabilizuoti: greičiui, įtampai, srovei, lygiui ir t. t. Kai reguliatorius atjungtas, sistema vadinama atvirąja.

Atvirosios sistemos išėjimo ir įėjimo parametrų pokyčių santy-kis vadinamas atvirosios sistemos stiprinimo koeficientu:

56

5. AUTOMATINI SISTEM STATIKA

5.1. Statinis reguliavimas

Nagrinėjant automatinės sistemos darbo režimus statiniu požiū-riu, visi sistemos parametrai laiko atžvilgiu yra pastovūs.

Pagrindiniai klausimai, kuriuos nagrinėja statika, yra: sistemos tikslumas; sistemos elementų ir jų statinių charakteristikų analizė.

Sistemos statinė charakteristika – tai jos išėjimo dydžio priklau-somybė nuo įėjimo dydžio ar trikdžio nusistovėjusio režimo atveju.

Pagal charakteristikų pobūdį AVS skirstomos į statines ir astati-nes.

Statinis reguliatorius yra toks reguliatorius, kuris palaiko nusta-tytą išėjimo dydį su leistina statine paklaida. Reguliavimas vyksta pagal nuokrypos principą. Tokie reguliatoriai naudojami įvairiemsparametrams stabilizuoti: greičiui, įtampai, srovei, lygiui ir t. t. Kai reguliatorius atjungtas, sistema vadinama atvirąja.

Atvirosios sistemos išėjimo ir įėjimo parametrų pokyčių santykis vadinamas atvirosios sistemos stiprinimo koeficientu:

š

į.i

ax

kx

(1.138)

Išėjimo dydžio nuokrypa nuo nustatytos reikšmės, atsiradusi veikiant trikdžiui, vadinama reguliavimo paklaida.

Santykinė statinė paklaida:

š

šv;i

i

xx

(1.139)

čia švix – išėjimo parametro vardinė reikšmė.Reguliuojamojo dydžio nuokrypos ir užduoto reguliuojamojo

dydžio santykis, esant didžiausiai apkrovai, vadinamas statizmu S.

Atvirajai sistemai:

(5.1)

Išėjimo dydžio nuokrypa nuo nustatytos reikšmės, atsiradusi veikiant trikdžiui, vadinama reguliavimo paklaida.

Santykinė statinė paklaida:

š

šv;i

i

xx∆

δ = (5.2)

čia švix – išėjimo parametro vardinė reikšmė.Reguliuojamojo dydžio nuokrypos ir užduoto reguliuojamojo

dydžio santykis, esant didžiausiai apkrovai, vadinamas statizmu S.

57

Atvirajai sistemai:

min 1 ;išatv iš iš atv išatvatv

išatv išatv išatv

x x x xSx x x+ ∆

= = − = (5.3)

uždarajai sistemai:

.išužduzd

išužd

xSx∆

= (5.4)

Atvirosios sistemos statizmas yra didesnis negu uždarosios. Jei žd 0uS ≠ , tai reguliavimas (valdymas) vadinamas statiniu, o sistema

statinė, jei žd 0uS = , tai reguliavimas vadinamas astatiniu, o siste-ma – astatine.

Išnagrinėsime nuolatinės srovės variklio greičio stabilizavimo sistemą, parodytą 2.2 paveiksle.

Statinės reguliatoriaus charakteristikos parodytos 5.1 paveiksle

δ

.gr r∆ωtr∆ = ∆ω

maxM M

ω

uždaroji

atviroji

0ω

min žuω

min atvω

5.1 pav. Statinės reguliatoriaus charakteristikos

Jei sistema yra atviroji (t. y. reguliatorius yra atjungtas), tai, keičiantis variklio apkrovos momentui nuo nulio iki maksimalios reikšmės, variklio greitis pasikeičia dydžiu:

0 min ;tr atv∆ω = ∆ = ω −ω (5.5)

čia 0ω – tuščiosios eigos variklio sukimosi greitis; min atvω – va-riklio sukimosi greitis esant maksimaliai apkrovai; ∆ω – sukimosi

58

greičio nuokrypa atvirojoje sistemoje (t. y. tr∆ – reguliuojamo pa-rametro nuokrypa atvirojoje sistemoje).

Kai reguliavimo sistema uždaroji (esant įjungtam reguliatoriui), variklio greitis negali būti idealiai pastovus ir, keičiantis apkrovai nuo nulio iki maksimalios reikšmės, pakinta dydžiu:

ž 0 min ž .u u∆ω = ω −ω = δ (5.6)

Uždarojoje sistemoje šis nukrypimas nuo nustatyto dydžio, at-siradęs veikiant trikdžiui, vadinamas reguliavimo paklaida δ.

Apkrovus variklį didžiausiu momentu, variklio greitis sumažėja tr∆ = ∆ω , o veikiant grįžtamajam ryšiui padidėja dydžiu:

. . .gr r ak∆ω = δ ⋅ (5.7)

Statinė paklaida lygi:

. ..tr gr rδ = ∆ − ∆ω (5.8)

Tuomet (5.7) įrašę į (5.8) gauname:

;tr akδ = ∆ − δ ⋅ (5.9)

1 .trak ∆= − ⋅

δ. (5.10)

5.2. astatinis reguliavimas

Sistemos, kurių išėjimo dydis esant nusistovėjusiam režimui palaikomas pastovus, vadinamos astatinėmis. Išėjimo dydžio kitimo greičio santykis su įėjimo signalu vadinamas astatinės sistemos sti-prinimo koeficientu:

59

š

į;i

axkx

(1.148)

čia šš

ii

dxxdt

– išėjimo dydžio kitimo greitis.

Minimali stiprinimo koeficiento reikšmė randama iš nusistovė-jusio režimo reikalavimų.

Apskaičiuokime 2.3 paveiksle parodytos erdvėlaivio saulės se-kimo sistemos stiprinimo koeficientą. Užduoti tokie reikalavimai:

1. Nusistovėjusio režimo paklaida ( )t (į vienetinį augantį

r signalą) turi būti ne didesnė už 0,01 rad/s nuo nusi-stovėjusios greičio vertės, t. y ( ) 1%.t

2. Maksimali dinaminė nuokrypa į šuolinį vienetinį įėjimąneturi viršyti 5 % arba turi būti kiek galima mažesnė

3. Pereinamojo proceso trukmė 0.02pt s. Pagal galutinės (nusistovėjusios) reikšmės teoremą dydžiui ( )t

nurodoma:

0 0

1lim ( ) lim ( ) lim ( )1 ( ) rt s s a

t s A s s sW s

; (1.149)

čia )()(1

1 sWsWa

– paklaidos perdavimo funkcija;

)()()( ssWsA r – išėjimo signalo (paklaidos) vaizdas; )(sr –

sistemos įėjimo signalas.

Vienetinis augantis )(sr poveikis parodytas 5.2 paveiksle.

(5.11)

čia šš

ii

dxxdt

′ = – išėjimo dydžio kitimo greitis.

59

Minimali stiprinimo koeficiento reikšmė randama iš nusistovė-jusio režimo reikalavimų.

Apskaičiuokime 2.3 paveiksle parodytos erdvėlaivio saulės se-kimo sistemos stiprinimo koeficientą. Užduoti tokie reikalavimai:

1. Nusistovėjusio režimo paklaida ( )tα (į vienetinį au-gantį rθ signalą) turi būti ne didesnė už 0,01 rad/s nuo nusistovėjusios greičio vertės, t. y ( ) 1%.tα <

2. Maksimali dinaminė nuokrypa į šuolinį vienetinį įėji-mą neturi viršyti 5 % arba turi būti kiek galima mažes-nė

3. Pereinamojo proceso trukmė 0.02pt < s.Pagal galutinės (nusistovėjusios) reikšmės teoremą dydžiui

( )tα nurodoma:

0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )1 ( ) rt s s a

t s A s s sW s→∞ → →

α = ⋅ = ⋅θ+

; (5.12)

čia )()(

sWsWa

ε=+

– paklaidos perdavimo funkcija;

)()()( ssWsA rθε ⋅= – išėjimo signalo (paklaidos) vaizdas; )(srθ – sistemos įėjimo signalas.Vienetinis augantis )(srθ poveikis parodytas 5.2 paveiksle.

rθ

, st

0

5.2 pav. Vienetinis augantis )(srθ poveikis

60

Kai ( )r t tθ = , tai ( )r sθ :

2( )r ss

θ = . (5.13)

Tarkime, kad apskaičiuota atvirosios saulės sekimo sistemos

perdavimo funkcija: 2500( ) .( 25)

sa

kW ss s

=+

Tuomet tokios sistemos sti-

prinimo koeficientas apskaičiuojamas taip:

20

20

0

lim ( ) lim 2500( 25)

( 25) 1lim( 25) 2500

25 0,01lim .( 25) 2500

t s s

s s

s s s

t s k ss s

s s ss s k s

ss s k k

→∞ →

→

→

α = ⋅ =+

++

= ⋅ ⋅ =+ +

+= =

+ +

(5.14)

Pagal sistemos reikalavimus nusistovėjusio režimo paklaida

( )tα turi būti mažesnė nei 0,01. Tuomet 0,01 0,01sk

≤ . Vadinasi, sk

turi būti didesnis už vienetą arba blogiausiu atveju lygus vienam ( sk ≥ ).

Galima sudaryti būdingąją lygtį (perdavimo funkcijos ( 25)

( 25) 2500 s

s ss s k

++ +

vardiklį prilyginus nuliui):

( 25) 2500 0;s s + + = (5.15)

2 25 2500 0 / 2500;s s+ + =

20,0004 0,01 1 0;s + + =

2 2 2 1 0.T s T s+ + =

61

Remiantis tuo galima teigti, kad laiko pastoviosios:

0,0004 0,02T = = s; 2 0,01T = s.Iš gautos lygties galima išskaičiuoti slopinimo koeficientą ξ :

2

0,01 0,25.2 2 0,02TT

ξ = = =⋅

(5.16)

Galima daryti išvadą, kad pereinamojo proceso pobūdis yra švytuojamasis.


1. Kokius klausimus nagrinėja statika?2. Kas yra sistemos statinė charakteristika?3. Kaip skirstomos sistemos pagal statines charakteristikas?4. Kas yra statinis reguliatorius?5. Kas yra statizmas?6. Kas yra atvirosios sistemos stiprinimo koeficientas?7. Kas yra santykinė statinė paklaida?

62

6. automatinio valdymo sistemų dinaminės ir dažninės charaKteristiKos

6.1. automatinio valdymo sistemų signalai

AVS dinamikai tirti dažniausiai naudojami tipiniai įėjimo si-gnalai:

Šuolinė funkcija. Ji aprašo momentinį įėjimo kintamojo pokytį. Kai 0t < , signalas lygus 0, o kai 0t ≥ , signalas lygus R:

, kai 0

( ) ;0, kai <0R t

r tt≥

=

(6.1)

čia R yra konstanta. Arba galima užrašyti:

( ) 1( );r t R t= ⋅ (6.2)

čia 1, kai 0

1( )0, kai 0

tt

t≥

= < – vienetinis šuolinis poveikis.

Vienetinis šuolinis poveikis (vienetinė šuolinė funkcija) – tai poveikis, kuris šuoliu pasikeičia nuo nulio iki vieneto ir toliau lieka pastovus.

Šuolinė funkcija parodyta 6.1 paveiksle.

0

( )r t

, t s

R

6.1 pav. Šuolinė funkcijaTolygiai didėjanti funkcija. Šiuo atveju įėjimo signalas tolygiai

63

didėja ir jį galime aprašyti:

, kai 0( ) .

0, kai 0Rt t

r tt≥

= < (6.3)

Čia konstanta R leidžia aprašyti signalo nuolydį. Tolygiai didė-janti funkcija parodyta 6.2 paveiksle.

0

( )r t

, t s

6.2 pav. Tolygiai didėjanti funkcija

Parabolinė funkcija. Matematiškai parabolinę funkciją galime užrašyti taip:

2 , kai 0( ) .2

0, kai 0

R t tr t

t

≥= <

(6.4)

Parabolinė funkcija parodyta 6.3 paveiksle.

0

( )r t

, t s

6.3 pav. Parabolinė funkcija

64

Vienetinis impulsas (vienetinė impulsinė funkcija, arba delta funkcija) – tai impulsas, kurio plotas lygus vienetui, trukme lygi nu-liui ir aukštis lygus begalybei:

, kai 0( ) , ( ) 1.

0, kai 0t

t t dtt

∞

−∞

∞ =δ = δ = ≠

∫ (6.5)

Grandies reakcija į vienetinį impulsą vadinama impulsine per-einamąja charakteristika, arba svorine funkcija ( )w t .

Delta funkcija susieta su vienetine šuoline funkcija taip:

( ) 1 ( );t t′δ = (6.6)

0( ) ( ) arba ( ) ( ) .

tw t h t h t w t dt′= = ∫ (6.7)

6.2. automatinio valdymo sistemų dinaminės charakteristikos

Bendru atveju poveikis sistemai yra sudėtinga laiko funkcija. Vertinant proceso kokybę paprastai laikome, kad sistemos įėjime yra tipinė funkcija: vienetinė šuolinė, impulsinė, harmoninė, para-bolinė. Labiausiai yra paplitusi šuolinė funkcija.

Sistemos dinamines charakteristikas galime gauti skaičiuodami ar modeliuodami sistemą, naudodami tam skirtą programinę įrangą Matlab, Scilab, Octave ir pan.

Jei turime pirmos eilės sistemą, kuri aprašoma tokia perdavimo funkcija:

( ) 1( ) ,( ) 1

C sG sR s Ts

= =+

(6.8)

tuomet sistemos išėjimas bus:

( ) ( ).

C s R sTs

=+

(6.9)

65

Sistemos reakcija į vienetinę šuolinę funkciją gali būti gaunama atlikus atvirkštinę Laplaso transformaciją:

( ) [ ( )]

1 , kai 0;

tT

c t L C s LTs s

L e ts s

T

− −

−−

= = ⋅ = + −

= + = − ≥ +

(6.10)

čia T – sistemos laiko konstanta.Pagal formulę nubraižius ( )c t , gaunamas grafikas, parodytas

6.4 paveiksle.

6.4 pav. AVS dinaminė charakteristika

Klasikinės antros eilės sistemos perdavimo funkciją galime už-rašyti taip:

2

2( ) .( ) 2

n

n n

C sR s s s

ω=

+ ζω + ω (6.11)

66

Kai ζ < ir į sistemos įėjimą paduodama vienetinė šuolinė funkcija, gauname:

66

Kai 1 ir į sistemos įėjimą paduodama vienetinė šuolinėfunkcija, gauname:

22

1( ) 1 sin 1 ;1

ntnc t e t

(1.165)

čia2

1 1tan .

Tokios sistemos pereinamasis procesas

parodytas 6.5 paveiksle.

t, s

Am

plitu

d

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

10 %

90 %

rtpt

st

6.5 pav. Antros eilės sistemos dinaminė charakteristika

AVS pereinamųjų vyksmų kokybę apibūdina tokie pagrindiniai parametrai:

Maksimali dinaminė nuokrypa , kuri skaičiuojama:

21 100%.e

(1.166)

(6.12)

čia 2

tan .−

− ζ φ = ζ

Tokios sistemos pereinamasis procesas pa-

rodytas 6.5 paveiksle.

t, s

Amplitudė

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

10 %

90 %

rtpt

st

6.5 pav. Antros eilės sistemos dinaminė charakteristika

AVs pereinamųjų vyksmų kokybę apibūdina tokie pagrindiniai parametrai:

• Maksimali dinaminė nuokrypa σ , kuri skaičiuojama:

2 100%.e

ξπ−

−ζσ = ⋅ (6.13)

67

• Pereinamojo proceso laikas – tai laiko tarpas, per kurį reguliuojamasis dydis nusistovi iki nusistovėjusios ver-tės st su leistina paklaida:

4 , kai leistina paklaida 2%.sn

t =ζω

(6.14)

• laikas, kai sistema pasiekia pirmą piką:

2.

p

n

t π=ω − ζ

(6.15)

• Pakilimo laikas – tai laikas per kurį sistemos pereina-mojo proceso amplitudė padidėja nuo 10 % iki 90 %:

0,8 2,5r

nt + ζ=

ω. (6.16)

6.1 pavyzdysDuota AVS, kurios struktūrinė schema parodyta 4.4 paveiksle.

Gausime sistemos dinaminę charakteristiką ir pereinamojo proceso rodiklius.

Pereinamąjį procesą galime gauti užrašę sistemos perdavimo funkciją:

2

2 24 ,

4 2n

un n

Ws s s s

ω= =

+ + + ζω + ω (6.17)

tuomet 2nω = , o 0,25.2 n

ζ = =ω

Naudodami Matlab programinį paketą galime gauti sistemos pereinamąjį procesą (6.6 paveikslas), kai įėjimas yra vienetinė šuo-linė funkcija:

Matlab kodas:Wu=tf([4],[1 1 4]);ltiview(Wu);

68

t, s

Amplitudė

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5


Tokią pačią charakteristiką galime gauti naudodami Matlab programinio paketo priedą Simulink, skirtą įvairioms dinaminėms sistemoms modeliuoti. Tam sudarome sistemos modelį, kuris paro-dytas 6.7 paveiksle.

6.7 pav. Sistemos modelis

Naudodami formules galime apskaičiuoti kokybinius pereina-mojo proceso rodiklius, tam taip pat galima pasitelkti Matlab pa-ketą:

Matlab kodas:%Maksimalios dinaminės nuokrypos skaičiavimas:wn=2;xsi=0.25;g=exp((-xsi*pi)/sqrt(1-xsi^2))*100%Pereinamojo proceso laikasts=4/(xsi*wn)

69

%Laikas kai sistema pasiekia pirmąjį pikątp=pi/(wn*sqrt(1-xsi^2))%Sistemos pakilimo laikastr=(0.8+2.5*xsi)/wn.

Gauname: 44,43%,σ = 1,6223 s,pt = 0,7125 s,rt = 8 s.st =

6.2 pavyzdysGaukime 4.7 paveiksle parodytos sistemos pereinamojo proceso kreivę ir kokybės rodiklius, kai 4,03,sk = 0,1,T = 0,77,

C=

Φ

2 2 1,69,C Φ = 0,8,inR = 0,3,eT = 2,5,J = 2,5.BRk =Pagal struktūrinę schemą sudarome sistemos kompiuterinį mo-

delį, kuris parodytas 6.7 paveiksle, arba užrašome uždarosios sis-temos perdavimo funkciją ir naudojame Matlab komandas „tf“ ir „ltiview“. Gauta dinaminė charakteristika parodyta 6.8 paveiksle.

6.7 pav. AVS kompiuterinis modelis

t, s

Am

plitu

dė

0 5 0 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8


70

Kokybinius rodiklius galime skaičiuoti arba gauti iš pereinamo-jo proceso kreivės:

max 1,654 1100% 100% 65,4%;

∞

∞

ω −ω −σ = = =

ω (6.18)

perinamojo proceso laikas 14,6st = s, pirmas pikas 0,635pt = s, sis-temos pakilimo laikas 0,36rt = s.

6.3 pavyzdysGaukime 4.9 paveiksle parodytos sistemos dinaminę cha-

rakteristiką ir kokybės rodiklius. Kai 0,1;kα = 610 kg m/s;J −= ⋅0 10000 ;R = Ω 6 ;aR = Ω 0,0125;cΦ = 800;N = 1;sk = .

Naudodami Matlab sudarome sistemos modelį, taikydami lyg-timi aprašytą atvirosios sistemos perdavimo funkciją (6.9 paveiks-las), ir gauname dinaminę charakteristiką (6.10 paveikslas).

6.9 pav. AVS modelis

t, s

Am

plitu

dė

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450

0.5

1.5


71

6.3. dažninės charakteristikos

Sistemų tyrimo dažniniai metodai pagrįsti elementų ir visos sis-temos dažninių charakteristikų sudarymu.

Atjungę tiesinės AVS pagrindinį grįžtamąjį ryšį ir į sistemos įė-jimą paduodami sinusinės formos signalus, esant nusistovėjusiam režimui, sistemos išėjime gausime to paties dažnio, bet kitos ampli-tudės ir fazės sinusinius svyravimus.

Analizuodami atvirosios sistemos įėjimo ir išėjimo harmoni-nius svyravimus, galime nustatyti jos savybes, kurios charakterizuo-jamos dažnine funkcija:

( )( )( ) .( ) ( )

iš

á

X jB jW jA j X j

ωωω = =

ω ω (6.19)

( )W jω – atvirosios sistemos amplitudės fazinė charakteristika. Analitinę amplitudės fazinės charakteristikos išraišką gauname

perdavimo funkcijoje pakeitę .s j= ω

( ) ( ) ( );W j P jQω = ω + ω (6.20)

čia ( )P ω ir ( )Q ω – realioji ir menamoji dažninės charakteristikos dalys. Rodikline forma užrašoma:

( )( ) ( ) ,jW j A e ϕ ωω = ω (6.21)

čia:2 2( ) ( ) ( ) ( );A W j P Qω = ω = ω + ω (6.22)

( )( ) .( )

QarctgP

ωϕ ω = ω

(6.23)

Amplitudės ir fazinės charakteristikos modulis yra išėjimo ir įėjimo signalų amplitudžių santykis.

Kiekvieną dažnį atitinka tam tikra modulio ir argumento reikš-mė, t. y. amplitudės ir fazės reikšmės. Amplitudės vektorius kom-

72

pleksinėje plokštumoje bei amplitudės ir fazės charakteristika paro-dytos 6.11 paveiksle.

6.11 pav. Amplitudės vektorius kompleksinėje plokštumoje ir amplitudės – fazės charakteristika

Dažnines charakteristikas sudaryti tampa lengviau, jeigu išlo-garitmuojame dažninės funkcijos išraišką:

( )lg ( ) lg ( ) .2.3

jW j A ϕ ωω = ω + (6.24)

Logaritminė amplitudinė charakteristika nusako funkcijos mo-dulio logaritmo kitimą, kintant dažniui. Ji braižoma logaritminiame mastelyje. Ordinačių ašyje atidedamas modulio logaritmas, abscisių ašyje – dažnio logaritmas.

( ) 20lg ( ) 20lg ( ).L W j Aω = ω = ω (6.25)

( )L ω matuojamas decibelais. 1 dB lygus vienai dešimtajai belo. Belas – tai signalo galios stiprinimo koeficiento dešimtainis loga-ritmas, t. y. 1 belas atitinka signalo galios stiprinimą 10 kartų, 2 be-lai – 100 kartų, 3 belai – 1000 kartų. Kadangi signalo galia yra pro-porcinga amplitudės kvadratui, tai 2lg 2lg .A A=

Todėl stiprinimas belais, išreikštas per amplitudžių A santykį, lygus 2lg A . Atitinkamai decibelais jis bus lygus 20lg A .

Vienas decibelas atitinka amplitudės pasikeitimą 20 0 kartų, o tai lygu 1,12 karto.

73

Sudarant logaritmines dažnines charakteristikas, fazinės dažni-nės charakteristikos braižomos pusiau logaritminėse koordinatėse, t. y. ϕ priklausomybė nuo lgω . Dažnio pasikeitimas 10 kartų va-dinamas dekada:

10, lg lg10 1 dek.n n

i i

ω ω= = = ω ω

(6.26)

Norint surasti dažnį dekadomis, reikia apskaičiuoti dešimtainį dažnio logaritmą.

Logaritminę amplitudės dažninę charakteristiką galima apskai-čiuoti tiesių atkarpomis. Logaritminį tinklelį galima sudaryti Matlab programa naudojant šias komandas:

>> y=1;>> x=0.1:1:100;>> semilogx(y).

6.4. tipinės dinaminės grandys ir jų charakteristikos

6.4.1. grandžių klasifikacija

Tipinė grandis – tai sistemos elementas, charakterizuojamas tam tikromis savybėmis.

Pagal nusistovėjusio režimo išėjimo ir įėjimo dydžių reikšmes visas grandis galima suskirstyti į 3 grupes: stiprinimo, integravimo ir diferencijavimo.

Pagal pereinamosios charakteristikos š ( )ix t pobūdį dinaminės grandys jungiamos į grupes, vadinamas tipinėmis grandimis.

Pagal dinamines savybes grandys skirstomos į idealias (beiner-cines), inercines ir grandis su vėlinimu. Be to, grandys gali būti sta-bilios ir nestabilios, minimalios ir neminimalios fazės.

Pagal išorinio poveikio pobūdį grandies įėjime skiriamos perei-namosios charakteristikos (kai veikia vienetinis šuolinis poveikis), impulsinės pereinamosios charakteristikos (esant impulsiniam δ

74

poveikiui įėjime) ir dažninės charakteristikos (esant įvairių dažnių harmoniniams poveikiams).

6.4.2. ideali stiprinimo grandis

Stiprinimo grandies dinamikos lygtis yra:

74

veikiui įėjime) ir dažninės charakteristikos (esant įvairių dažnių har-moniniams poveikiams).

6.4.2. Ideali stiprinimo grandis


š į( ) ( );ix t kx t (1.180)

čia k – stiprinimo koeficientas. Tokių grandžių pereinamoji charakteristika savo forma atitinka

įėjimo signalą.Operacinė lygtis:

š į( ) ( ).ix s kx s (1.181)

Stiprinimo grandies perdavimo funkcija:

š

į

( )( ) .

( )ix s

W s kx s

(1.182)

Dažninė funkcija: ( ) .W j k (1.183) Stiprinimo grandies logaritminės amplitudinės dažninės charak-

teristikos (LADCH):

( ) 20lg ;L k (1.184)

( ) 0. (1.185)

Stiprinimo grandies dinaminė ir logaritminė amplitudinė dažninėcharakteristikos pateiktos 6.11 paveiksle.

(6.27)

čia k – stiprinimo koeficientas.Tokių grandžių pereinamoji charakteristika savo forma atitinka


74




š į( ) ( );ix t kx t (1.180)



š į( ) ( ).ix s kx s (1.181)


š

į

( )( ) .

( )ix s

W s kx s

(1.182)


teristikos (LADCH):

( ) 20lg ;L k (1.184)

( ) 0. (1.185)


(6.28)


74




š į( ) ( );ix t kx t (1.180)



š į( ) ( ).ix s kx s (1.181)


š

į

( )( ) .

( )ix s

W s kx s

(1.182)


teristikos (LADCH):

( ) 20lg ;L k (1.184)

( ) 0. (1.185)


(6.29)

Dažninė funkcija: ( ) .W j kω = (6.30)

Stiprinimo grandies logaritminės amplitudinės dažninės cha-rakteristikos (LADCH):

( ) 20lg ;L kω = (6.31)

( ) 0.ϕ ω = (6.32)

Stiprinimo grandies dinaminė ir logaritminė amplitudinė dažni-nė charakteristikos pateiktos 6.11 paveiksle.

75

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Time (sec)

Am

plitu

dė

00 019

19.5

20

20.5

2

lg(ω), rad/s

L(ω

), dB

0 0.2 0.4 0.6 0.8 9

9.5

0

10.5

t, s

6.11 pav. Stiprinimo grandies dinaminė ir dažninė charakteristikos, kai 0k =

6.4.3. aperiodinė (inercinė) grandis

Aperiodinės grandies dinamikos lygtis:

75

Am

plitu

dė

100 10119

19.5

20

20.5

21

lg(), rad/s

L(

), dB

0 0.2 0.4 0.6 0.8 19

9.5

10

10.5

11

t, s

6.11 pav. Stiprinimo grandies dinaminė ir dažninė charakteristi-kos, kai 10k

6.4.3. Aperiodin (inercin ) grandis


šš į ;i

idxT x kxdt

(1.186)

čia T – laiko pastovioji (konstanta), k – stiprinimo koeficien-tas.

Operacinė lygtis:

š į( 1) ( ) ( ).iTs x s kx s (1.187)

Perdavimo funkcija:

š

į

( )( ) .

( ) 1iX s kW s

X s Ts

(1.188)

(6.33)

čia T – laiko pastovioji (konstanta); k – stiprinimo koeficientas.Operacinė lygtis:

75

Am

plitu

dė

100 10119

19.5

20

20.5

21

lg(), rad/s

L(

), dB

0 0.2 0.4 0.6 0.8 19

9.5

10

10.5

11

t, s




šš į ;i

idxT x kxdt

(1.186)


Operacinė lygtis:

š į( 1) ( ) ( ).iTs x s kx s (1.187)

Perdavimo funkcija:

š

į

( )( ) .

( ) 1iX s kW s

X s Ts

(1.188)

(6.34)

Perdavimo funkcija:

75

Am

plitu

dė

100 10119

19.5

20

20.5

21

lg(), rad/s

L(

), dB

0 0.2 0.4 0.6 0.8 19

9.5

10

10.5

11

t, s




šš į ;i

idxT x kxdt

(1.186)


Operacinė lygtis:

š į( 1) ( ) ( ).iTs x s kx s (1.187)

Perdavimo funkcija:

š

į

( )( ) .

( ) 1iX s kW s

X s Ts

(1.188) (6.35)

Aperiodinės grandies dinaminę charakteristiką, kai įėjimas –

76

vienetinė šuolinė funkcija, galime gauti atlikę atvirkštinę Laplaso transformaciją:

š š( ) ( ) (1 ).

tT

i ikx s x t k e

Ts s−

= ⋅ ⇒ = −+

(6.36)

Dažninę funkciją gausime perdavimo funkcijoje pakeitę s t= ω :

( ) .

kW jj T

ω =+ ω

(6.37)

Padauginę skaitiklį ir vardiklį iš jungtinio skaičiaus, gauname:

2 2(1 ) (1 )( ) ;

(1 )(1 ) k j T k j TW jj T j T T

− ω − ωω = =

+ ω − ω + ω (6.38)

arba ( )( ) ( ) ( ) ( ) .jW j P jQ A e ϕ ωω = ω + ω = ω (6.39)

Realioji šio reiškinio dalis: 2 2( ) ;

kPT

ω =+ ω

menamoji:

2 2( ) .

kTQTω

ω = −+ ω

Dažninė amplitudės charakteristika:

2 22 2

( ) ( ) ( ) .

kA P QT

ω = ω + ω =+ ω

(6.40)

Dažninė fazės charakteristika:

( )( ) ( ) .( )

Qarctg arctg T arctg TPω

ϕ ω = = − ω = − ωω

(6.41)

Aperiodinės grandies 00.02 1s +

dinaminė charakteristika ir

dažninės charakteristikos parodytos 6.12 paveiksle.

77

ω rad/s

t, s

Am

plitu

dė

50 00 150 200 250 300 350 400 450 500-90-45

0

05

0

L(ω

)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

5

0

(T)

6.32 xiš∞

6.12 pav. Aperiodinės grandies charakteristikos

Logaritminę ADCH galima apytikriai nubraižyti iš dviejų tiesių atkarpų – asimptočių. Ji vadinama asimptotine.

2 2( ) 20lg ( ) 20lg 20lg 1 .L A k Tω = ω = − + ω (6.42)

Kai dažnis ,T

ω< Tω < ir 2 2 1.Tω <<

Tuomet 2 2 T+ ω ≈ ir ( ) 20lgL kω = – tiesė, lygiagreti abs-cisių ašiai.

Kai dažnis ,T

ω> Tω > ir 2 2 Tω >> , tai 2 2 T T+ ω ≈ ω

ir ( ) 20lg 20lgL k Tω = − ω – tai tiesės, einančios su nuolydžiu

20 dBdek

− , lygtis. Pasikeitus dažniui 1 dekada ( )L ω , reikšmė suma-

žėja 20lg10 , t. y. 20 dB.Abi asimptotės kertasi taške ,

Tω= tada:

( ) 20lg 20lg 2 20lg 3 ,L k k dBω = − = − (6.43)tai yra maksimalus skirtumas tarp tikrosios ir asimptotinės charak-

78

teristikos – 3 dB. Aperiodinės grandies LADCH parodytos 6.13 pa-veiksle.

6.13 pav. Aperiodinės grandies LADCH

6.4.4. integravimo grandis

Integravimo lygties dinamikos lygtis:

78

tai yra maksimalus skirtumas tarp tikrosios ir asimptotinės cha-rakteristikos – 3 dB. Aperiodinės grandies LADCH parodytos 6.13 paveiksle.


6.4.4. Integravimo grandis


šį

š į0

( ) ( );

( ) ( ) .

i

t

i

dx t kx tdt

x t k x t dt

(1.197)

Operacine lygtis:

š į( ) ( ).ikx s x ss

(1.198)

Perdavimo funkcija:

( )L

20lg k3dB

lg( )

(6.44)

Operacinė lygtis:

78

tai yra maksimalus skirtumas tarp tikrosios ir asimptotinės cha-rakteristikos – 3 dB. Aperiodinės grandies LADCH parodytos 6.13 paveiksle.


6.4.4. Integravimo grandis


šį

š į0

( ) ( );

( ) ( ) .

i

t

i

dx t kx tdt

x t k x t dt

(1.197)

Operacine lygtis:

š į( ) ( ).ikx s x ss

(1.198)

Perdavimo funkcija:

( )L

20lg k3dB

lg( )

(6.45)

Perdavimo funkcija:

79

79

š

į

( )( ) .( )

iX s kW sX s s

(1.199)

Dažninė funkcija:

( ) ;k kW j jj

(1.200)

tada ( ) 0;P ( ) .kQ


( ) .kA

(1.201)


( ) ( ) 90 .arctg const (1.202)

Integravimo grandies LADCH:

( ) 20lg ( ) 20lg 20lg .L A k (1.203)

Integravimo grandies dinaminė ir dažninė charakteristikos paro-dytos 6.14 paveiksle, o LADCH – 6.15 paveiksle.

, rad/s

t, s

Am

plitu

dė

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.20.40.60.8

1

L(

)

0 2 4 6 8 100

5

10

6.14 pav. Integravimo grandies charakteristikos

(6.46)

Dažninė funkcija:

( ) ;k kW j jj

ω = −ω ω

(6.47)

tada ( ) 0;P ω = ( ) .kQ ω = −ω


( ) .kA ω =ω

(6.48)


( ) ( ) 90 .arctg constϕ ω = −∞ = − = (6.49)

Integravimo grandies LADCH:

( ) 20lg ( ) 20lg 20lg .L A kω = ω = − ω (6.50)

Integravimo grandies dinaminė ir dažninė charakteristikos pa-rodytos 6.14 paveiksle, o LADCH – 6.15 paveiksle.

ω, rad/s

Step Response

t, s

Am

plitu

dė

2 3 4 5 6 7 8 9 00.20.40.60.8

L(ω

)

0 2 4 6 8 00

5

0

6.14 pav. Integravimo grandies charakteristikos

80

lg(ω)00 0-91

-90.5-90

-89.5-89-20

-0

0

6.15 pav. Integravimo grandies LADCH

6.4.5. diferencijavimo grandis

Skiriama ideali ir reali diferencijavimo grandys. Idealios dife-rencijavimo grandies diferencialinė lygtis:

80

lg()100 101-91

-90.5-90

-89.5

-89-20

-10

0


6.4.5. Diferencijavimo grandis


įš ;i

dxx k

dt (1.204)

Operacinė lygtis:

š į( ) ( ).ix s ksx s (1.205)

Perdavimo funkcija:

( ) .W s ks (1.206)

Amplitudės fazinė dažninė charakteristika:

( ) .W j jk (1.207)

Dažninė amplitudinė charakteristika:

( ) .A k (1.208)

()

L(),

dB

. (6.51)

Operacinė lygtis:

80

lg()100 101-91

-90.5-90

-89.5

-89-20

-10

0


6.4.5. Diferencijavimo grandis


įš ;i

dxx k

dt (1.204)

Operacinė lygtis:

š į( ) ( ).ix s ksx s (1.205)

Perdavimo funkcija:

( ) .W s ks (1.206)


( ) .W j jk (1.207)


( ) .A k (1.208)

()

L(),

dB

(6.52)

Perdavimo funkcija:

( ) .W s ks= (6.53)


( ) .W j jkω = ω (6.54)


( ) .A kω = ω (6.55)

81


( ) .0 2

karctg ω π ϕ ω = =

(6.56)

Logaritminė Adch:

( ) 20lg 20lg .L kω = + ω (6.57)

Idealios diferencijavimo grandies dinaminė ir logaritminė daž-ninė charakteristikos parodytos 6.16 paveiksle.

81


( ) .0 2

karctg

(1.209)

Logaritmine ADCH:

( ) 20lg 20lg .L k (1.210)

Idealios diferencijavimo grandies dinaminė ir logaritminė dažni-nė charakteristikos parodytos 6.16 paveiksle.

6.16 pav. Idealios diferencijavimo grandies charakteristikos

Praktiškai idealiai diferencijavimo grandies realizuoti neįmano-ma. Realios diferencijavimo grandies diferencialinė lygtis:

įšš .i

idxdxT x kT

dt dt (1.211)

Operacinė lygtis:

š į( 1) ( ) ( ).iTs x s kTsx s (1.212)

Perdavimo funkcija:

( ) .1

kTsW sTs

(1.213)


6.16 pav. Idealios diferencijavimo grandies charakteristikos

Praktiškai idealiai diferencijavimo grandies realizuoti neįmano-ma. Realios diferencijavimo grandies diferencialinė lygtis:

ášš .i

idxdxT x kT

dt dt+ = (6.58)

Operacinė lygtis:

šá( 1) ( ) ( ).iTs x s kTsx s+ = (6.59)

Perdavimo funkcija:

( ) .

kTsW sTs

=+

(6.60)

82


( ) .

jkTW jjTω

ω =+ ω

(6.61)


2 2

( ) .

kTAT

ωω =

+ ω (6.62)

Logaritminė Adch:

2 2

2 2

( ) 20lg 20lg 1 ;

( ) 20lg 20lg 20lg 1 .

L kT T

L k T T

ω = ω− + ω

ω = − ω− + ω (6.63)

Realios diferencijavimo grandies 200,2 1

ss +

, čia 100,k = 0,2T =

dinaminė charakteristika parodyta 6.17 paveiksle, o LADCH – 6.18 paveiksle.

t, s

Am

plitu

dė

0 0.2 0.4 0.6 0.8 0

20

40

60

80

00

6.17 pav. Realios diferencijavimo grandies charakteristikos

83

lg(ω), rad/s 0- 00 0 02

0

45

90

0

20

40L(ω

), dB

6.18 pav. Realios diferencijavimo grandies LADCH

6.4.6. Švytavimo grandis

Švytavimo grandies diferencialinė lygtis:

83

lg(), rad/s 10-1 100 101 102

0

45

90

0

20

40

L(

), dB



Švytavimo grandies diferencialinė lygtis: 2

2 iš iš1 2 iš į2

( ) ( ) ( ) ( );d x t dx tT T x t kx tdtdt

(1.217)

arba2


( ) ( )2 ( ) ( ).d x t dx tT T x t kx tdtdt

(1.218)

Operacinė lygtis: 2 2

1 2 š į( 1) ( ) ( ).iT s T s x s kx s (1.219)

Perdavimo funkcija:

21 2

( ) .1

kW sT s T s

(1.220)

Į grandies įėjimą padavus šuolinį signalą, išėjimo dydžio kitimo dėsnis priklauso nuo būdingosios lygties šaknų:

1T

20lg kT

()

(6.64)

arba

83

lg(), rad/s 10-1 100 101 102

0

45

90

0

20

40

L(

), dB






(1.217)

arba2



(1.218)


1 2 š į( 1) ( ) ( ).iT s T s x s kx s (1.219)

Perdavimo funkcija:

21 2

( ) .1

kW sT s T s

(1.220)


1T

20lg kT(

)

(6.65)

Operacinė lygtis:

83

lg(), rad/s 10-1 100 101 102

0

45

90

0

20

40

L(

), dB






(1.217)

arba2



(1.218)


1 2 š į( 1) ( ) ( ).iT s T s x s kx s (1.219)

Perdavimo funkcija:

21 2

( ) .1

kW sT s T s

(1.220)


1T

20lg kT(

)

(6.66)

Perdavimo funkcija:

2 2

( ) .

kW sT s T s

=+ +

(6.67)


84

2 2 2

2 22 2

1,2 2

1 0;

4.

2

T s T s

T T Ts

T

+ + =

− ± −=

(6.68)

Jei 2 22 4 0T T− < , tai šaknys bus kompleksinės:

2

2 21,2 2 2

; ; 1 .2 4T Ts j

TT T= −α ± ω α = ω = − (6.69)

Pereinamojo vyksmo lygtis:

84

2 21 2

2 22 2 1

1,2 21

1 0;

4.

2

T s T s

T T Ts

T

(1.221)

Jei 2 22 14 0T T , tai šaknys bus kompleksines:

22 2

1,2 2 211 1

1; ; 1 .2 4T Ts j

TT T (1.222)


2

š į 2( ) 1 1 sin .tix t kx e t arctg

(1.223)

Jei šaknys bus realios, tai pereinamasis procesas bus aperiodinis:

1 2š į 2 2

1 1 1 2 2 1 2 2

1 1( ) 1 .2 2

s t s tix t kx e e

s T s T s T s T

(1.224)

Amplitudės fazinė charakteristika:

2 21 2

( ) .(1 )

kW jT jT

(1.225)


2 2 2 2 21 2

( ) .(1 )

kAT T

(1.226)


22 2

1( ) .

1TarctgT

(1.227)

Logaritminė amplitudės dažninė charakteristika:

(6.70)

Jei šaknys bus realios, tai pereinamasis procesas bus aperiodi-nis:

84

2 21 2

2 22 2 1

1,2 21

1 0;

4.

2

T s T s

T T Ts

T

(1.221)

Jei 2 22 14 0T T , tai šaknys bus kompleksines:

22 2

1,2 2 211 1

1; ; 1 .2 4T Ts j

TT T (1.222)


2

š į 2( ) 1 1 sin .tix t kx e t arctg

(1.223)

Jei šaknys bus realios, tai pereinamasis procesas bus aperiodinis:

1 2š į 2 2

1 1 1 2 2 1 2 2

1 1( ) 1 .2 2

s t s tix t kx e e

s T s T s T s T

(1.224)


2 21 2

( ) .(1 )

kW jT jT

(1.225)


2 2 2 2 21 2

( ) .(1 )

kAT T

(1.226)


22 2

1( ) .

1TarctgT

(1.227)


(6.71)


2 2 2

( ) .(1 )

kW jT jT

ω =− ω + ω

(6.72)


2 2 2 2 2

2

( ) .(1 )

kAT T

ω =− ω + ω

(6.73)


22 2

( ) .

TarctgTω

ϕ ω = −− ω

(6.74)

85


2 2 2 2 2 2( ) 20lg 20lg (1 ) .L k T Tω = − − ω + ω (6.75)

Švytavimo grandies dinaminės charakteristikos, kai 0,1ξ = , 0, 4ξ = , ξ = , parodytos 6.19 paveiksle, o LADCH – 6.20 pa-

veiksle.

t, s

Am

plitu

dė

0 20 40 60 800

5

0

15

ξ=0.1ξ=0.4ξ=1

6.19 pav. Švytavimo grandies dinaminės charakteristikos

log(ω), rad/s0-2 0- 00 0 02

-180-135-90-45

0-00

-50

0

50

L(ω

), dB

ξ=0.1ξ=0.4ξ=1

6.20 pav. Švytavimo grandies LADCH

86

6.4.7. vėlinimo grandis

Ši grandis išėjime su vėlinimu pakartoja įėjimo signalą. Grandies lygtis:

86

6.4.7. V linimo grandis

Ši grandis išėjime su vėlinimu pakartoja įėjimo signalą. Gran-dies lygtis:

( ) .išx k t x (1.229)

Kai ,t 0.išx Čia – vėlinimo laikas. Perdavimo funkcija:

( ) .sW s ke (1.230)

Amplitudės ir fazės dažninės charakteristikos:

( ) ;jW j ke (1.231)

( ) ;A k (1.232)

( ) . (1.233)

Logaritminė dažninė charakteristika:

( ) 20lg ( ) 20lg .L A k (1.234)

Vėlinimo grandies dinaminė ir LADCH charakteristikos parody-tos 6.21 paveiksle.

6.21 pav. Vėlinimo grandies dinaminė ir LADCH charakteristikos

(6.76)

Kai ,t τ< 0.išx = Čia τ – vėlinimo laikas.Perdavimo funkcija:

( ) .sW s ke τ−= (6.77)

Amplitudės ir fazės dažninės charakteristikos:

( ) ;jW j ke τωω −= (6.78)

( ) ;A kω = (6.79)

( ) .ϕ ω τω= − (6.80)

Logaritminė dažninė charakteristika:

( ) 20lg ( ) 20lg .L A kω ω= = (6.81)

Vėlinimo grandies dinaminė ir LADCH charakteristikos paro-dytos 6.21 paveiksle.

6.21 pav. Vėlinimo grandies dinaminė ir LADCH charakteristikos

87


1. Kokie signalai naudojami tirti AVS?2. Kaip gauti sistemos dinamines charakteristikas?3. Kokie parametrai apibūdina sistemos pereinamojo vyksmo

kokybę?4. Kaip gaunamos sistemos dažninės charakteristikos?5. Kaip sudaromos logaritminės dažninės charakteristikos?6. Kokios yra tipinės dinaminės grandys?7. Gaukite 2.2 ir 2.3 paveiksluose parodytų sistemų dinamines

charakteristikas, apskaičiuokite kokybės parametrus.8. Gaukite 2.2 ir 2.3 paveiksluose parodytų sistemų logaritmi-

nes dažnines charakteristikas.

88

7. automatinių valdymo sistemų staBilumo tyrimas

7.1. sistemų stabilumas

Paveikus trikdžiui, pagal sistemos pereinamojo proceso pobūdį galima skirti 3 sistemų tipus (7.1 pav):

1. Sistemos išėjimo dydis vis labiau nukrypsta nuo už-duoto ir sistema neįgauna pusiausvyros padėties – tokia sistema vadinama nestabilia.

2. Sistema grįžta į pusiausvyros padėtį, išėjimo dydis įgauna naują nusistovėjusią reikšmę, besiskiriančią nuo užduotos statine paklaida. Tokia sistema yra stabili.

3. Sistema charakterizuojama nusistovėjusiais periodi-niais virpesiais. Toks procesas vadinamas negęstančiu virpamuoju, o sistema yra ant stabilumo ribos.

a) b)7.1 pav. Sistemų stabilumo tipai: a) nestabili; b) 1, 2 – stabili, 3 – ant

stabilumo ribos

Sistemos stabilumas nepriklauso nuo trikdžio dydžio – sistema, stabili esant mažiems trikdžiams, bus stabili esant ir dideliems.

Bendrąją sistemų stabilumo teoriją sukūrė A. M. Liapunovas 1880–1910 m. Jis įrodė, kad:

1. Jei būdingosios lygties šaknys yra neigiamos arba jų realios dalys yra neigiamos, tai tokia sistema yra stabili.

89

2. Jei būdingosios lygties bent viena šaknis yra teigiama arba su teigiama realiąja dalimi, tai sistema nestabili.

3. Jei būdingoji lygtis turi bent vieną nulinę šaknį arba porą jungtinių grynai menamųjų šaknų, tai joje atsiranda negęstantys vir-pesiai ir sistema yra ant stabilumo ribos.

Sistema yra stabili, jei šaknys yra neigiamos arba jų realios da-lys yra neigiamos.

Jei bent viena šaknis lygi nuliui, o visos kitos neigiamos arba turi neigiamas realias dalis, tai tokia sistema yra neutrali.

Jei yra bent viena pora jungtinių grynai menamųjų šaknų, tai sistemos išėjime kyla negęstantys virpesiai.

Todėl būtina ir pakankama sąlyga yra ta, kad šaknys būtų kairė-je pusplokštumėje, kaip parodyta 7.2 paveiksle (1 – stabili, 2 – ne-stabili sistema).

Pole-Zero Map

Realioji ašis

Men

amoj

i aši

s

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 - -0.5 0 0.5-2

-

0

2

0.94

0.985

0.160.340.50.640.760.86

0.94

0.985

0.511.522.533.5

0.160.340.50.640.760.86

2

2

2

7.2 pav. Būdingosios lygties šaknys kompleksinėje plokštumoje

Jeigu sistemos lygtis yra aukštos eilės, tai jos šaknis rasti sudė-tinga. Tuomet stabilumui tirti taikomi netiesioginiai metodai: alge-brinis ir dažninis.

90

7.2. algebriniai stabilumo kriterijai

Sistemų, aprašomų 3-ios eilės lygtimis, stabilumui tirti J. Višnegradskis suformulavo sąlygas, kurioms esant sistema yra stabili. J. Višnegradskis nustatė, kad tiesinė sistema, kurios būdin-goji lygtis:

3 23 2 1 0 0,a s a s a s a+ + + = (7.1)

yra stabili, jei įvykdomos šios sąlygos:1) visi būdingosios lygties koeficientai yra teigiami;2) vidurinių koeficientų sandauga yra didesnė už kraštinių koe-

ficientų sandaugą:

1 2 0 3.a a a a> (7.2)

7.3. rauso ir hurvico stabilumo kriterijai

Šis kriterijus skirtas sistemų, aprašomų bet kurios eilės būdin-gąja lygtimi, stabilumui tirti. Kriterijų sukūrė anglų matematikas E. Rausas ir šveicarų matematikas A. Hurvicas praeito amžiaus pa-baigoje.

Jis formuluojamas taip: sistema, aprašoma būdingąja lygtimi:

0 0,n n

n na s a s a s a−−+ + + + = (7.3)

yra stabili, jei Hurvico determinantas ir visi jo įstrižainiai mi-norai yra teigiami.

2 0; 0; , 0, 0.n n na− −∆ > ∆ > ∆ = ∆ = > (7.4)

Sudarant Hurvico determinantą, iš pradžių įstrižainėje surašomi visi koeficientai nuo n−1 a iki 0 a . Toliau užpildomi determinanto stulpeliai: virš įstrižainės koeficientų rašomi koeficientai su mažė-jančiais indeksais, žemyn – su didėjančiais. Po nulinio ir n-tojo in-dekso rašomi nuliai:

91

1 3 5 7

2 4 6

1 3 5

2 4

0

2 0

0 00 0

0 0 00 0 00 0

00 0 00 0

n n n n

n n n n

n n n

n n n

a a a aa a a a

a a aa a a

aaa a

− − − −

− − −

− − −

− −

(7.5)

Rauso ir Hurvico metodą patogu taikyti neaukštos eilės siste-moms tirti. Pagrindinis metodo trūkumas – neįvertinama atskirų pa-rametrų įtaka sistemos stabilumui.

7.1 pavyzdysDuota uždaroji AVS, kurios perdavimo funkcija

3 2000( ) .

10 31 1030užW ss s s

=+ + +

Nustatykime, ar sistema stabili,

taikydami Rauso ir Hurvico metodą.Sudarykime lentelę:

3s 31 0

2s 0 1030 103 0

s1 311 103

72

−= −

0 0

0

−=

0 0

0

−=

0s1 10372 0

10372

−=

−

072 0

072

−−

=−

072 0

072

−−

=−

92

Charakteringosios lygties šaknų, kurios bus dešiniojoje pus-plokštumėje, skaičius priklauso nuo ženklo pasikeitimo skaičiaus pirmame lentelės stulpelyje.

Tyrinėtai sistemai gauname:3

2

0

1 31 0

1 103 0

72 0 0

103 0 0

s

s

s

s

−.

Pirmame stulpelyje turime du ženklo pasikeitimus:

1 72 ir -72 103,⇒− ⇒

todėl dvi charakteringosios lygties 3 210 31 1030 0s s s+ + + = ša-knys bus dešiniojoje pusplokštumėje (7.3 paveikslas.).

Realioji ašis

Men

amoj

i aši

s

-14 -2 -0 -8 -6 -4 -2 0 2-0

-5

0

5

0 0.140.280.420.560.680.8

0.91

0.975

0.140.280.420.560.680.8

0.91

0.975

2468101214

7.3 pav. Charakteringosios lygties šaknys

93

7.4. michailovo stabilumo kriterijus

1938 m. šį kriterijų pasiūlė tarybinis mokslininkas A. V. Michailovas. Kairioji sistemos būdingosios lygties pusė už-rašoma kaip s funkcija:

0( ) .n n

n nA s a s a s a s a−−= + + + + (7.6)

Pakeitę s j= ω , gauname:

0( )

( ) ( ).

n nn nA a j a j a j a

R jI

−−ω = ω + ω + + ω+ =

= ω + ω

(7.7)

Vektoriaus ( )A ω galas, kintant dažniui nuo 0 iki ∞, brėžia krei-vę, vadinamą Michailovo hodografu. Michailovo hodografas pra-sideda taške, kurio koordinatės 0(0) ,R a= (0) 0,jI = n-tajame kva-drante, dažniui augant į begalybę (ω→∞), auga į begalybę.

Michailovo kriterijus formuluojamas taip: sistema stabili, jei ( )A ω hodografas, prasidėjęs ant realiosios teigiamos pusašės, prieš

laikrodžio rodyklę, aplenkdamas koordinačių pradžią, nuosekliai apeina n kvadrantų. Čia n – sistemos eilė. 7.4 paveiksle parodyti stabilios ir nestabilios sistemų hodografai.

7.4 pav. Stabilios ir nestabilios sistemos hodografai

94

7.2 pavyzdysDuotos AVS charakteringosios lygtys: s + ; 2 s s+ + ;

3 25 1s s s+ + + ; 4 3 22 5 1.s s s s+ + + + Nubraižykime šių sistemų Michailovo hodografus.

Šiuo atveju kintamąjį s pakeičiame jω . Gauti hodografai pa-rodyti 7.5 paveiksle. Iš jų matome, kad duotos sistemos yra stabi-lios.

Matlab kodas:%Charakteringosios lygtys

w=0:0.01:1.8

A1=i*w+1;

A2=(i*w).^2+i*w+1;

A3=(((i*w).^3)+(5*(i*w).^2)+(i*w)+1);

A4=((2*(i*w).^4)+((i*w).^3)+(5*(i*w).^2)+(i*w)+1);

%Hodografo braižymas

plot(A1); hold on; plot(A2,’r’); plot(A3,’m’);

plot(A4,’g’);

grid on.

-6 -4 -2 0 2-3

-2

-

0

2

3

n=1n=2n=3n=4

7.5 pav. Michailovo hodografai, n sistemos eilė

95

7.5. naikvisto stabilumo kriterijus

Šį kriterijų 1932 m. pasiūlė amerikiečių mokslininkas H. Naikvistas. Jis leidžia spręsti apie uždarosios sistemos stabilumą pagal atvirosios sistemos amplitudės fazinę charakteristiką. Tam, kad uždaroji sistema būtų stabili, reikia, kad atvirosios sistemos AFCH neapkabintų taško su koordinatėmis (-1; j0). Charakteristikos paro-dytos 7.6 paveiksle.

7.6 pav. Atvirosios sistemos amplitudės fazinė charakteristika

Jei sistemoje yra bent viena integravimo grandis, tai jos stabilu-mas nustatomas taip. AFCH pradžią reikia mintyse prieš laikrodžio rodyklę sujungti su teigiama realiąja pusaše begalinio ilgio spindu-liu D. Jei taškas –1, j0 neapkabinamas, tai sistema stabili (7.5 pa-veikslas).

7.5 pav. Atvirosios sistemos amplitudės fazinė charakteristika, kai sistemoje yra bent viena integravimo grandis

96

Sistemoms, kurios būdamos atviros yra nestabilios, Naikvisto kriterijus formuluojamas taip: tam, kad uždaroji sistema būtų stabi-li, reikia, kad atviros sistemos AFDCH apkabintų tašką (–1, j0) su sąlyga, kad ji kirs neigiamą realią ašį kairiau taško (–1, j0) iš viršaus žemyn k/2 kartų daugiau negu iš apačios į viršų (7.7 paveikslas). Čia k – teigiamų šaknų skaičius.

7.7 pav. Naikvisto kriterijus sistemoms, kurios būdamos atviros yra nestabilios

7.3 pavyzdys

Ištirkime sistemos

Ws

=+

stabilumą naudodami Naikvisto

kriterijų. Šaknies realioji dalis (–1) yra mažesnė už 0, o tai reiš-kia, kad atviroji sistema yra stabili. Naikvisto hodografas parodytas 7.8 paveiksle, kintant dažniui neapkabina taško su koordinatėmis [–1, j0], todėl uždaroji sistema bus stabili.

Matlab kodas:omega=[0.1:0.1:100]*1j;W1=1./(omega + 1);roots([1 1])ans = -1plot(W1).Gautas hodografas parodytas 7.8 paveiksle.

97

0 0.2 0.4 0.6 0.8 -0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Realioji ašis

Men

amoj

i aši

s

7.8 pav. Sistemos

W

s=

+ Naikvisto hodografas

7.4 pavyzdysIštirkime sistemos 2

5 0.25

Ws s

=+ −

stabilumą naudoda-

mi Naikvisto kriterijų. Atviroji sistema yra nestabili, nes yra šak-nų teigiamoje pusplokštumėje. Uždaroji sistema irgi nestabili, nes Naikvisto hodografas parodytas 7.9 paveiksle, kintant dažniui, ne-apkabina taško su koordinatėmis [–1, j0].

Matlab kodas:>> omega=[0.1:0.01:100]*1j;>> W=1./(omega.^2 + 5*omega - 0.25);>> roots([1 5 -0.25])ans = -5.0495 0.0495>> plot(W).

98

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-2

-1.5

-

-0.5

0

men

amoj

i ašis

Realioji ašis

7.9 pav. Sistemos 2

5 0.25W

s s=

+ − Naikvisto hodografas

7.6. logaritminis stabilumo kriterijus

Naudojantis Naikvisto kriterijumi, apie sistemos stabilumą ga-lima spręsti ne tik pagal AFDCH, bet kartu ir pagal atvirosios siste-mos ADCH ir FDCH. Paprastai tam naudojamos logaritminės cha-rakteristikos.

Pagal Naikvisto kriterijų, sistema, kuri yra stabili, būdama atvi-ra, bus stabili ir uždara, jei atvirosios sistemos AFCH neapkabina taško (–1, j0). Tai bus tuomet, kai esant dažniui, prie kurio A(ω) = 1, absoliuti fazės reikšmė, mažesnė už π, kaip parodyta 7.10 paveiksle.

7.10 pav. Atvirosios sistemos amplitudinė ir fazinė dažninės charakteristikos

99

Logaritminėse charakteristikose amplitudės reikšmė A = 1 atitinka L(ω) = 20lgA = 0. Logaritminis Naikvisto kriterijus siste-moms, stabilioms, kai jos yra atviros, formuojamas taip: LACH turi kirsti abscisių ašį anksčiau, negu mažėdama fazė įgaus –π reikšmę, arba, esant kirtimo dažniui, fazė turi būti mažesnė už –π.

Stabilumo atsarga – tai sistemos nutolimas nuo stabilumo ribos. Fazės atsarga nustatoma dydžiu Δφ, kuriuo turi išaugti fazė sistemo-je, esant dažniui k ω , kai LACH lygi nuliui, kad sistema atsidurtų ant stabilumo ribos.

Amplitudės stabilumo atsarga nusakoma leidžiamu LACH paki-limo dydžiu ΔL, kuriam esant sistema atsiduria ant stabilumo ribos.

Projektuojant AVS, rekomenduojama parinkti Δφ ≥ 30° ir ΔL ≥ 6dB.

Sistemos, kurios yra nestabilios atviros, uždaros bus stabilios tuomet, kai esant teigiamai LADCH, LFDCH kerta –π lygį iš viršaus žemyn k/2 kartų daugiau negu priešinga kryptimi.

7.7. automatinių sistemų koregavimas

Didelis atvirosios sistemos stiprinimo koeficientas užtikrina aukštą sistemos tikslumą. Tačiau stiprinimo koeficiento reikšmę ri-boja jos stabilumas. Dėl to iškyla būtinumas į sistemą įjungti papil-domus įtaisus, užtikrinančius stabilų sistemos darbą.

Koreguojančiais įtaisais vadinami įtaisai, keičiantys sistemos dinamines savybes. Stabilaus ir kokybiško sistemos darbo užtikri-nimas pasitelkiant koregavimo įtaisus vadinamas sistemos korega-vimu.

Koregavimo grandys į sistemą jungiamos nuosekliai, lygiagre-čiai ir į grįžtamuosius ryšius.

Pereinamąjį procesą sistemoje vienareikšmiškai lemia logari-tminės dažninės charakteristikos. Todėl koregavimo pradžioje (pir-miausia) sudaro reikiamos (pageidaujamos) LACH, užtikrinančias norimą (nustatytąjį) pereinamąjį procesą su reikiamu pereinamojo

00

proceso laiku ir maksimalia leistina dinamine nuokrypa σ.Pageidaujamoji LACH skirstoma į 3 zonas (7.11 paveikslas):

žemų dažnių, vidurinių dažnių ir aukštų dažnių. Žemų dažnių cha-rakteristikos dalis sudaroma pagal nusistovėjusio režimo užduotą tikslumą.

Statinėms sistemoms jį lemia dydis 20lg k (I zona). Vidurinė LACH dalis, kertanti abscisių ašį, parenkama pagal užduotą perei-namojo proceso trukmę ir maksimalią dinaminę nuokrypą σ.

Norint užtikrinti reikiamą stabilumo atsargą, charakteristika turi kirsti dažnių ašį nuolydžiu – 20 dB/dek.

7.11 pav. Logaritminė amplitudinė dažninė charakteristika

Per apskaičiuotą kirtimo dažnį kω brėžiame su nuolydžiu –20dB/dek pageidaujamos LACH dažnių zoną. Šią zoną sudaro tik viena atkarpa, turinti nuolydį –20dB/dek. Statinei sistemai žemų dažnių zona yra tiesė 20lg k .

Turėdami pageidaujamos logaritminės amplitudės charakteris-tikos žemų ir vidutinių dažnių zonas, jas sujungiame. Pageidautina, kad tai būtų viena atkarpa, kurios nuolydis skiriasi nuo žemų dažnių atkarpos –20dB/dek.

Pageidaujamos charakteristikos aukštų dažnių sritis apribojama dažniu ir gali turėti bet kokį nuolydį. Ši sritis neturi įtakos perei-namajam procesui. Vidutinių ir aukštų dažnių charakteristikų dalys sujungiamos atkarpa su nuolydžiu –20 dB/dek didesniu, negu vidu-rinių dažnių dalis. Taip sudaryta pageidaujama logaritminė ampli-

0

tudinė dažninė charakteristika atitinka norimą duotąjį pereinamąjį procesą. Ji vadinama tipine. Po to sudaroma logaritminė fazinė cha-rakteristika ir patikrinama fazės stabilumo atsarga.

Naudojant koreguotos sistemos pageidaujamas LACH, atitin-kančias norimą pereinamąjį procesą, nustatomi koregavimo įtaiso tipai ir parametrai. Koregavimo įtaiso (grandies) parametrai priklau-so nuo jo įjungimo būdo.

Nuosekli koregavimo grandis jungiama pagrindinio signalo sklidimo kryptimi nuosekliai pagrindinėms grandims. Sukoreguotos sistemos perdavimo funkcija, atitinkanti pageidaujamą LACH:

( )( ) ( ) ( ), tada ( ) .

( )k

k n kg kgn

W sW s W s W s W s

W s= ⋅ = (7.8)

Užrašius logaritmine forma:

20lg ( ) 20lg ( ) 20lg ( ) .kg k nW j W j W j= −ω ω ω (7.9)

Nuoseklios koregavimo grandies tipas ir parametrai, taikant LACH, gaunami taip:

1. Pagal atvirosios sistemos perdavimo funkciją braižoma ne-koreguotos sistemos LACH.

2. Pagal užduotus kokybės rodiklius braižoma pageidaujama (sukoreguotos sistemos) LACH.

3. Iš pageidaujamos LACH ordinačių atimamos nekoreguo-tos sistemos ordinatės ir gauname nuoseklios koregavimo grandies LACH.

4. Suprastiname koregavimo grandies LACH, ją palyginę su koregavimo grandžių lentelėse duotomis tipinėmis grandimis.

Išnagrinėsime sistemos, kurios atvirosios sistemos perdavimo funkcija:

6( ) ,(1 )(1 0,5 )(1 0,1 )(1 0,03 )nW s

s s s s=

+ + + + (7.10)

koregavimą nuosekliąja koregavimo grandimi.

02

Lūžio dažniai:

2

3 4

1 ; 2 ; 1 0,5

10 ; 33 . 0,1 0,03

s s

s s

= = = =

= = = =

ω ω

ω ω (7.11)

Pageidaujama LACH braižoma pagal užduotus

30%, 5,8 .pt s= =σ Iš grafiko randame 3,6 .pk

t πω

= Iš čia 2 .k sω =

Amplitudinė logaritminė dažninė charakteristika braižoma taip:

1. Apskaičiuojami lūžio dažniai ir atidedami didėjančia tvarka.2. Apskaičiuojamas dydis 0 ( ) 20lg 15,68L k dB= =ω ir braižoma

horizontali tiesė žemų dažnių zonoje iki pirmojo lūžio dažnio.3. Pirmosios eilės grandis, kurios laiko konstanta yra vardikly-

je, duoda nuolydį –20dB/dek, o kurios laiko konstanta skaitiklyje, +20dB/dek. Pereinant nuo vieno lūžio iki kito, nuolydžiai sumuo-jasi.

Nagrinėjamos AVS nubraižyta LACH parodyta 7.12 paveiksle.

7.12 pav. AVS dažninės charakteristikos

103

Pasirinkta koregavimo grandis aprašoma tokia perdavimo funk-cija:

2

3 4

( 1)( 1) ( 1)(0,5 1)( ) .( 1)( 1) (0,03 1)(10 1)kgT s T s s sW sT s T s s s

+ + + += =

+ + + + (7.12)

Sistemos dažnines charakteristikas galime nubraižyti naudoda-mi Matlab paketą:

Aprašome sistemos perdavimo funkciją:W1=tf([6],[conv([0.03 1],[conv([0.1 1],[conv([1

1],[0.5 1])])])])

Transfer function:

6

-----------------------------------------------

0.0015 s^4 + 0.0695 s^3 + 0.698 s^2 + 1.63 s + 1

Tuomet dažnines charakteristikas galime gauti dviem būdais:1. Naudojame komandą „bode“.bode(W1)2. Naudojame tiesinėms sistemoms tirti skirtą komandą „lti-

view“:ltiview(W1)Koregavimo grandies perdavimo funkciją aprašome:Wk=tf([conv([1 1],[0.5 1])],[conv([0.03 1],[10

1])])Transfer function: 0.5 s^2 + 1.5 s + 1---------------------0.3 s^2 + 10.03 s + 1.Koregavimo grandis jungiama nuosekliai, todėl bendrą kore-

guotos sistemos perdavimo funkciją gauname:W=W1*Wk.Norėdami gauti sistemos, koregavimo grandies ir koreguotos

sistemos dažnines charakteristikas viename grafike, įvykdome ko-mandą:

ltiview(W1,Wk,W).

104

Gautos dažninės charakteristikos parodytos 7.13 paveiksle.

0,01 00-360-270-180-90

090

log(ω), rad/s

-200

-150

-00

-50

0

50

L(ω

)

Wnek Wkor. gr. Wkoreg

7.13 pav. AVS dažninės charakteristikos, 1– amplitudės atsarga; 2 – fazės atsarga

Lygiagrečios koregavimo grandys jungiamos į grįžtamuosius ryšius, apkabinančius dalį pagrindinių grandžių (7.14 paveikslas).

7.14 pav. Lygiagrečios koregavimo grandys

105

Atvirosios koreguotos sistemos perdavimo funkcija:

( )( ) ,1 ( ) ( )

nk

apk gr

W sW sW s W s

=+

(7.13)

čia ( )nW s – nekoreguotos sistemos perdavimo funkcija. Apkabina-mos grandys užrašomos:

2 3( ) ( ) ( ).apkW s W s W s= (7.14)

Dažnių intervale, kur galioja lygybė:

( ) 1,apk grW s W >> (7.15)

galima užrašyti:

( )( ) .( ) ( )

nk

apk gr

W sW sW s W s

≈ (7.16)

Logaritminė amplitudinė charakteristika:

20lg ( ) 20lg ( ) 20lg ( )

20lg ( ) .

gr n k

apk

W j W j W j

W j

ω = ω − ω −

− ω (7.17)

Kadangi:

20lg ( ) 20lg ( ) 20lg ( ) ,k n kgW j W j W jω − ω = ω (7.18)

tai 20lg ( )kgW jω galima vadinti ekvivalentine nuoseklia koregavi-mo grandimi.

(7.17) galime užrašyti:

20lg ( ) 20lg ( ) 20lg ( )

arba ( )= ( ) ( ).gr kg apk

gr kg apk

W j W j W j

L L L

ω = − ω − ω

ω − ω − ω (7.19)

Lygiagreti koregavimo grandis skaičiuojama taip:1) braižoma nekoreguotos atvirosios sistemos LACH ( )nL ω ;2) braižoma pageidaujama LACH ( )kL ω ;

106

3) iš pageidaujamos LACH ordinačių atimamos nekoreguotos sistemos ir gauname ekvivalentinę nuoseklios koregavimo grandies lAch ( )kgL ω ;

4) braižoma grandžių, apkabintų lygiagrečia koregavimo gran-dimi LACH ( )apkL ω ;

5) grafiškai sumuojamos apkabintų grandžių LACH ir ekviva-lentinės nuoseklios koregavimo grandies LACH ordinates;

6) braižoma priešingo ženklo gautai 5 punkte LACH. Ji yra ly-giagrečios koregavimo grandies charakteristika ( )grL ω .

7.5 pavyzdysGaukime 6.3 pavyzdyje išnagrinėtos sistemos dažnines charak-

teristikas ir parinkime koregavimo grandį.Naudodami modelį, kuris parodytas 6.7 paveiksle, gauname

7.14 paveiksle parodytas amplitudines ir fazines dažnines charakte-ristikas, parenkame koregavimo grandį:

0.0384 1( ) .0.00384 1kg

sW ss+

=+

(7.20)

Įjungus koregavimo grandį, gautos dinaminės charakteristikos parodytos 7.15 paveiksle. Pereinamojo proceso laikas sutrumpėjo 11,6 kartų nuo 0,282 iki 0,0243 s. Maksimali dinaminė nuokrypa sumažėjo nuo 44,2 iki 1,66 %.

107

log(ω) rad/s00 0 02 03 04

-180-135

-90-45

04590

-00

-50

0L(ω

), dB

WnekWkg. gr.Wkoreg

7.14 pav. AVS dažninės charakteristikos

t, s

Am

plitu

dė

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.5

1.5

7. 15 pav. AVS dinaminės charakteristikos: brūkšninė linija – nekoreguota sistema, ištisinė linija – koreguota

108


1. Kaip skirstomos sistemos pagal pereinamojo proceso pobū-dį?

2. Kokie yra pagrindiniai stabilumo kriterijai?3. Pritaikykite Rauso ir Hurvico, Michailovo, Naikvisto, loga-

ritminį stabilumo tyrimo metodus sistemoms:

1) 2( ) ;

3 0,5W s

s s=

+ −

2) 2 2( ) ;

2,5 2W s

s s=

− +

3) 3( ) ;

( 1,5)W s

s s=

−

4) 4 20( ) ;

(0,1 1)(0.034 1)W s

s s s=

+ + +

5) 51,5( ) .

(0,15 1)W s

s s=

+

4. Ištirkite 6.7 ir 6.9 paveiksluose parodytų sistemų stabilumą.5. Parinkite koregavimo grandį 6.9 paveiksle parodytai siste-

mai, kad LADCH kirstų dažnių ašį 20 dB/dek. nuolydžiu.

109

8. literatūra

Januševičius, V. 2003. Automatinis valdymas: teorija, uždaviniai, sprendi-mai. Kaunas, Technologija. 556 p.

Kuo, B. C.; Golnaragi, F. 2002. Automatic control systems, 8/e. Wiley. 624 p.

Franklin, G. F.; Powell, J. D.; Emami-Naeini, A. 2002. Feedback control of dynamic systems. Prentice Hall. 910 p.

Ogata, K. 2001. Modern control engineering. Prentice Hall, 4/e. 970 p.Rinkevičienė, R. Automatinio valdymo teorija. Sistemų analizė ir sintezė.

Vilnius, Technika, 1999. 67 p.Nise, N. S. 2004. Control system Engineering. 4th edition. John Wiley and

Sons, Inc. 983 p.Van de Vegte, J. 1994. Feedback control systems. Prentice Hall. Vol 1,

p. 14–21 (452 p.).Bubnicki, Z. 2002. Modern Control Theory. Springer-Verlag. 421 p.

Documents

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA - dspace.vgtu.ltdspace.vgtu.lt/bitstream/1/1392/1/1329_Lisauskas_Automatinio_web.pdf · tokia sistema yra astatinė. Pagal išėjimo dydžio kitimo dėsnį