aula17

ANLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA

Professores: Lus Fernando Alves Pereira & Jos Felipe Haffner 1

Aula 17 Laboratrio - Lugar Geomtrico das Razes

Introduo

Controle de velocidade do motor de corrente continua

Lugar geomtrico das razes (LGR)

Funes do Matlab para traar o LGR

Efeito da adio de plos e zeros no LGR

Efeito do deslocamento de um zero ou um plo no LGR

Utilizando a funo rltool.m

Introduo

Para melhorar as caractersticas de resposta temporal do sistema da Fig. 17.1 introduzido uma realimentao H(s) e um controlador do tipo proporcional K, resultando no sistema de controle mostrado na Fig. 17.2. Com a introduo da realimentao e do controle, a relao entre a o sinal de entrada e o sinal de sada modificada, conforme mostra a Fig. 17.3. Portanto com o ajuste do controlador K altera-se a funo de transferncia em malha fechada para que o sistema responda de forma mais conveniente que a obtida pela funo de transferncia G(s) da Fig. 17.1.

Fig. 17.1: Funo de transferencia de um processo.

Fig. 17.2: Sistema de controle de um processo com realimentao e com controlador.




Funo de transferncia de malha aberta Funo de transferncia de malha fechada

Fig. 17.3: Funes de transferencia do processo com realimentao H(s) e com controlador proporcional K. O polinmio Q(s) = 1+KG(s)H(s) determina os plos da funo de transferncia de malha fechada e por este motivo conhecido como equao caracterstica do sistema. Controle de velocidade do motor de corrente continua Para verificar o efeito da variao de K sobre a resposta temporal, ser utilizado, como exemplo, o controle de velocidade de um motor de corrente continua. A Fig. 17.4 mostra o diagrama em blocos do motor. + -

Fig. 17.4: Diagrama de blocos do motor de corrente continua. A funo de transferencia em malha fechada do motor descrita pela equao 17.1.

JLKKs

LR

JBs

JLK

sVssG

a

te

a

a

a

t

t

r

+

++

=

=

2)()()( (17.1)

Substituindo os parmetros de G(s) pelos valores numricos obtidos da tabela 1, tem-se:

12633014266941100

)()()( 2 ++=

=

sssVssG

t

r (17.2)

aa

t

RsLK+ BJs +

1

eK

)(sVt

)(sEa

)(sr)(sTe




Parmetros Valor Especificao Unidade

Ra 0.83 Resistncia de armadura Ohms

La 0.63 x 10-3 Indutncia de armadura Henry

Ke 0.0182 Constante de FCEM V.s/rad

Kt 2.58 Constante de torque Oz.in/A

J 5.9 x 10-4 Momento de inrcia Oz.in.s2

B 0.0638 Constante de atrito viscoso Oz.in/rad/s Tab. 17.1: Tabela de parmetros do motor DC.

A funo de transferencia G(s) (equao 17.2) tem dois plos reais localizados em 1331 e em

95. O ganho DC dado por:

551)(lim 0 == e

sDC KsGganho (17.3)

Utilizando o controle proporcional proposto na Fig. 17.5, obtm-se a funo de transferncia de malha fechada T(s) do sistema de controle de velocidade do motor:

JLKKKs

LR

JBs

JLKK

sssT

a

te

a

a

a

t

ref

r

)()()()(

2 ++

++

=

= (17.4)

Fig. 17.5: Esquema proposto para o controle de velocidade do motor DC.

Para que o controle de velocidade seja eficiente, o ganho DC de T(s) deve ser aproximadamente

igual a um. Portanto a condio eKK >> deve ser satisfeita. Substituindo os parmetros de T(s) pelos valores numricos obtidos da tabela 17.1, tem-se:

6941100)0182.0(14266941100

)()()( 2

+++=

=

KssK

sssT

ref

r (17.5)

Escolhendo K=0, obtm-se os plos da funo de transferncia de malha fechada T(s) igual aos plos da funo de transferncia de malha aberta, ou seja, dois plos reais em 95 e em 1331.Para K= 0.1, T(s) tem plos complexos localizados em 713j5.6. .Para K= 1, T(s) tambm tem plos complexos localizados em 713j2561. A curva da velocidade do motor para K=0.1 e K=1 mostrada na Fig. 17.6.




K = 0.1 K = 1

Fig. 17.6: Curva de velocidade para diferentes valores de K.

Pela observao da Fig 17.6 pode-se perceber que conforme o valor escolhido de k, a curva de

velocidade muda de caracterstica, pois os plos da funo de transferncia em malha fechada mudam de localizao em malha fechada conforme mostra a Fig. 17.7.

Fig. 17.7: Localizao dos plos de T(s) para diversos valores de K.

Lugar geomtrico das razes (LGR)

O lugar geomtrico das razes, conhecido simplesmente como LGR, o grfico das razes da equao caracterstica Q(s)1 de um sistema a malha fechada, em funo do ganho K. Esta abordagem grfica leva a uma indicao clara dos efeitos produzidos por uma variao de ganho. Com ajuda de 1As razes da equao caracterstica Q(s) so igualmente os plos da funo de transferncia de malha fechada.




programas computacionais possvel calcular as razes da equao caracterstica. A Fig 17.8 mostra o LGR produzido pelo Matlab do controle de velocidade do motor DC realizado no item anterior.

Fig. 17.8: LGR do controle de velocidade para K0.

Funes do Matlab para traar o LGR

1) rlocus.m: Realiza o traado do LGR. O traado do LGR feito utilizando a funo de transferncia em malha aberta do sistema, desconsiderando o ganho K. O vetor de ganhos gerado automaticamente pela funo.

Para o exemplo do controle de velocidade do motor DC mostrado pela Fig. 17.5, a funo de transferncia em malha aberta KG(s), ou seja:

KG sK

s s( ) =

+ +

69411001426 1263302

(17.6)

num=[0 0 6941100]; den= [1 1426 126330]; rlocus(num,den) %a figura 17.8 mostra o LGR produzido pela funo rlocus

Em certos sistemas, pequenas mudanas no ganho podem causar mudanas drsticas na posio das razes dentro de certos valores de ganho. Neste caso, convm utilizar um vetor de ganhos adequados ao problema ou seja: rlocus(num,den,K).

Exemplo: Seja um sistema que tem uma funo de transferncia em malha aberta igual a

K ss s

( . )( . )+

+

0 4362

(17.7)

num=[0 0 1 0.4] den=[1 3.6 0 0] rlocus(num,den) % a figura 17.9 mostra o LGR axis([-5 1 -2 2]) %ajusta a escala da figura




5 4 3 2 1 0 12

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

Axis

Fig. 17.9: LGR do sistema definido pela funo de transferncia em malha aberta definida em 17.7

Verifica-se que o vetor K gerado pela funo rlocus d um grande salto em seus valores de ganhos ao calcular as razes, fazendo com que suas posies se modifiquem por um valor relativamente grande. Ao construir o grfico, a funo rlocus conecta esses pontos e produz um grfico de aparncia estranha nas posies de maior sensibilidade variao do ganho. Esses grficos incorretos ocorrem normalmente quando h pontos de entrada e pontos de sada coincidentes, uma vez que o lugar de tais razes muito sensvel a pequenas mudanas no ganho.

Para corrigir essas figuras incorretas, torna-se necessrio especificar os valores do ganho K de forma a que eles fiquem espaados de um valor muito pequeno na regio onde as razes mudam muito rapidamente. No exemplo temos a faixa de valores do ganho mal condicionada em torno de 4




2) rlocfind.m: Encontra o valor de K num determinado ponto do LGR. Para utilizar a funo rlocfind

deve-se traar inicialmente o LGR com a funo rlocus. Esta funo possibilita ao usurio, identificar um ponto do LGR com o mouse, e ter como resposta a localizao deste ponto e o valor do ganho. Se for utilizado um ponto que no pertence ao LGR, a funo encontra a posio mais prxima do LGR e calcula o ganho neste ponto. Deve ser utilizada depois de executar rlocus.

rlocfind(num,den) Efeito da adio de plos e zeros no LGR Adio de plos a G(s)H(s) tem o efeito de empurrar o LGR em direo ao semi-plano direito. Adio de zeros a G(s)H(s) tem o efeito de mover o LGR em direo ao semi-plano esquerdo.

K

s s( )+10

10 8 6 4 2 0 2 43

2

1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axis

Funo de transferncia original rlocus(1,poly([ -10 0]))

K

s s s( )( )+ +10 20

25 20 15 10 5 0 515

10

5

0

5

10

15

Real Axis

Imag

Axis

Inserindo um plo em -20 rlocus(1,poly([-20 -10 0]))

Fig. 17.11: Efeito da adio de plos no LGR.




K

s s s S( )( )( )+ + +10 20 30

30 25 20 15 10 5 0 54

3

2

1

0

1

2

3

4

Real Axis

Imag

Axis

Inserindo plos em -20 e -30 rlocus(1,poly([-30 -20 -10 0]))

K ss s

( )( )+

+

2010

40 35 30 25 20 15 10 5 0 515

10

5

0

5

10

15

Real Axis

Imag

Axis

Inserindo um zero em -20 rlocus(poly([-20]) , poly([-10 0]))

K s s

s s( )( )

( )+ +

+

20 3010

30 25 20 15 10 5 010

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

Real Axis

Imag

Axis

Inserindo zeros em 20 e -30 rlocus(poly([-20 -30]) , poly([-10 0]))

Fig. 17.12: Efeito da adio de plos e zeros no LGR.




Efeito do deslocamento de um zero ou um polo no LGR

A mudana da localizao de um plo ou de um zero na funo de transferncia de malha aberta de um sistema pode alterar significativamente a caracterstica da resposta temporal da funo em malha fechada do sistema.

K s

s s( )( )+

+

1102

10 8 6 4 2 010

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

Real Axis

Imag

Axis

Funo de transferncia original rlocus([1 1],poly([ -10 0 0]))

K ss s

( )( )+

+

192

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 110

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

Real Axis

Imag

Axis

Localizao do plo 10 para -9 rlocus([1 1],poly([ -9 0 0]))

K ss s

( )( )+

+

182

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 110

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

Real Axis

Imag

Axis

Localizao do plo 10 para 8 rlocus([1 1],poly([ -8 0 0]))

Fig. 17.13: Efeito do deslocamento de um plo no LGR.




K ss s

( )( )+

+

122

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 110

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

Real Axis

Imag

Axis

Localizao do plo 10 para -2 rlocus([1 1],poly([ -2 0 0]))

Fig. 17.14: Efeito do deslocamento de um plo no LGR Utilizando a funo rltool.m

A verso 5.3 do Matlab, possui alm da funo rlocus.m , um ambiente grfico para a analise e projeto de sistemas de controle chamado rltool.m. Para entrar com o sistema neste ambiente deve-se utilizar a funo zpk.m conforme exemplo apresentado na Figura. 17.15.

)20)(4)(2()10(15+++

+

sssssR(s) Y(s)

K+

-

Fig. 17.15: Sistema de controle com ganho proporcional K varivel.

sys=zpk(-10,[0 2 4 20],15) Zero/pole/gain: 15 (s+10) -------------------- s (s+2) (s+4) (s+20)

Para analisar o comportamento deste sistema com a variao do ganho K, basta utilizar o comando rltool que ser aberta um interface grafica equivalente a apresentada na Figura 17.16.A Figura 17.17 mostra a resposta temporal a uma entrada do tipo degrau unitario para o ganho K ajustado em 3.7154 e a Figura 17.18 mostra a resposta em frequencia em malha fechada empregando o mesmo ganho. rltool(sys)




Fig. 17.16: Ambiente grfico para a analise e projeto de sistemas de controle.

Fig. 17.17: Resposta temporal a uma entrada do tipo degrau unitario para o ganho K ajustado em 3.7154.




Fig. 17.18: Resposta em malha fechada para o ganho K ajustado em 3.7154.

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