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Aula 15: O Mtodo do Lugar das Razes: Introduo. Diagramas de Lugar das Razes. Dois exemplos ilustrativos.

O MTODO DO LUGAR DAS RAZES

1. INTRODUO

A caracterstica bsica da resposta transitria de um sistema em malha fechada determinada a partir dos plos da malha fechada. Portanto, em problemas de anlise, importante localizar os plos em malha fechada no plano s. No de projeto de sistemas em malha em malha fechada, queremos ajustar os plos e zeros de malha aberta de modo a colocar os plos e zeros em malha fechada nas posies desejadas do plano s.

Os plos de malha fechada so as razes da equao caracterstica. Para determin-los necessitamos fatorar o polinmio caracterstico. Em geral, este procedimento trabalhoso se o grau do polinmio caracterstico trs, ou maior. As tcnicas clssicas de fatorao de polinmios no so convenientes porque conforme varia o ganho da funo de transferncia em malha aberta, devem ser repetidos os clculos.

Um mtodo simples para determinar as razes da equao caracterstica foi desenvolvido por W. R. Evans e extensivamente usado em engenharia de controle. Este mtodo, denominado mtodo do lugar das razes, um mtodo pelo qual as razes da equao caracterstica so colocadas em um grfico para todos os valores de um parmetro do sistema. As razes correspondentes a um valor particular deste parmetro podem ento ser localizadas no grfico resultante. Note que o parmetro usualmente o ganho, porm qualquer outra varivel da funo de transferncia em malha aberta pode ser utilizada. Salvo meno em contrrio, suporemos que o ganho da funo de transferncia em malha fechada o parmetro a ser variado atravs de todos os seus valores, isto , de zero a infinito.

Mtodo do lugar das razes

A idia bsica na qual se baseia o mtodo do lugar das razes que o valor de s

que faz a funo de transferncia pelo lao ser igual a -1 deve satisfazer a equao caracterstica do sistema.

O lugar das razes da equao caracterstica do sistema em malha fechada, conforme o ganho variado desde zero at infinito, d ao mtodo o seu nome. O grfico correspondente mostra claramente as contribuies de cada plo ou zero de malha aberta nas localizaes dos plos em malha fechada.

O mtodo do lugar das razes nos possibilita determinar os plos em malha fechada a partir dos plos e zeros de malha aberta, considerando o ganho como parmetro. Consequentemente, evita dificuldades inerentes s tcnicas clssicas, fornecendo uma imagem grfica de todos os plos de malha fechada para todos os valores do ganho da funo de transferncia em malha aberta.

No projeto de um sistema de controle linear, verificamos que o mtodo do lugar das razes se torna muito til desde que indica a maneira pela qual os plos e zeros em malha aberta devem ser modificados de modo que a resposta satisfaa as especificaes de

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desempenho do sistema. Este mtodo particularmente conveniente para se obter resultados aproximados muito rapidamente.

Desde que o mtodo grfico na determinao das razes da equao caracterstica, ele fornece um procedimento grfico eficaz para determinar as razes de qualquer equao polinomial que resulte de um estudo de sistemas fsicos.

Esboo do assunto a ser abordado

Na Seo 2 introduziremos os conceitos que sustentam o mtodo do lugar das

razes. A Seo 3 apresenta o procedimento geral para esboar os lugares das razes. Seguindo esta apresentao, na Seo 4 analisaremos sistemas de malha fechada pelo uso do mtodo do lugar das razes (a abordagem de lugar das razes no projeto de sistemas ser discutida futuramente). 2. DIAGRAMAS DE LUGAR DAS RAZES

Condies de ngulo e amplitude

Considere o sistema indicado na fig.1. A funo de transferncia em malha

fechada

( )( )

( )( ) ( )sHsG

sGsRsC

+=

1. (1)

A equao caracterstica para este sistema em malha fechada obtida igualando-se

o denominador da frao do segundo membro da Eq. 1 a zero. Isto

( ) ( ) 01 =+ sHsG ou ( ) ( ) 1=sHsG . (2)

Desde que ( ) ( )sHsG uma quantidade complexa, a Eq. 2 deve ser desmembrada

em duas equaes a fim de se igualar os ngulos e os mdulos de ambos os membros da equao, respectivamente, para obter

Condio de ngulo:

( ) ( ) ( ) ( )L,,,kksHsG 2 1 0 12180 =+= . (3)

Condio de mdulo:

( ) ( ) 1=sHsG . (4)

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Os valores de s que satisfazem as condies de ngulo e mdulo so as razes da equao caracterstica, ou os plos de malha fechada. Um grfico (ou diagrama) dos pontos do plano complexo que satisfazem apenas a condio do ngulo o lugar das razes. As razes na equao caracterstica (os plos em malha fechada) correspondentes a um dado valor do ganho podem ser determinadas a partir da condio de mdulo. Os detalhes da aplicao das condies de ngulo e mdulo a fim de se obter os plos em malha fechada esto apresentados na Seo 3.

Fig. 1 - Sistema de controle.

Grfico de lugar de razes para sistemas de segunda ordem Antes de apresentarmos um mtodo para construo destes grficos em detalhes,

ser ilustrado um grfico do lugar das razes para um sistema simples de segunda ordem. Considere o sistema indicado na fig. 2. A funo de transferncia em malha aberta

( ) ( )sHsG

( ) ( ) ( )1+= ssKsHsG .

A funo de transferncia em malha fechada ( )( ) Kss

KsRsC

++= 2 .

A equao caracterstica

02 =++ Kss . (5)

Fig. 2 - Sistema de controle.

Desejamos determinar o lugar das razes desta equao conforme K varia desde zero at infinito.

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A fim de ilustrar claramente qual o aspecto do grfico do lugar das razes para este sistema, obteremos inicialmente as razes da equao caracterstica analiticamente em termos de K, e ento variaremos K desde zero at infinito. Deve ser notado que este no o modo apropriado para construir o grfico do lugar das razes. O modo apropriado atravs de uma abordagem grfica de tentativa e erro, e o trabalho grfico pode ser muito simplificado aplicando-se as regras gerais a serem apresentadas na Seo 3 (obviamente, se puder ser encontrada facilmente uma soluo analtica para as razes da equao caracterstica, no h necessidade de se utilizar o mtodo do lugar das razes). As razes da equao caracterstica, Eq. (5), so

Ks,Ks 4121

21 41

21

21

21 =+= .

As razes so reais para 41 /K e complexas para 41 /K > . O lugar das razes correspondente a todos os valores de K est indicado na Fig,

3(a). O lugar das razes est graduado com K como parmetro (o movimento das razes conforme K aumenta indicado por setas). Uma vez desenhado o grfico, podemos imediatamente determinar o valor de K que fornecer uma raiz, ou um plo em malha fechada, em um ponto desejado. Desta anlise, claro que os plos em malha fechada correspondentes a K = 0 so os mesmos plos de G(s)H(s). Conforme o valor de K aumenta desde zero at 1/4, os plos de malha fechada movem-se para o ponto (-1/2;0). Para valores de K entre zero e 1/4, todos os plos de malha fechada esto sobre o eixo real. Esta a situao correspondente a um sistema superamortecido, e a resposta impulsiva no oscilatria. Em K = 1/4, os dois plos de malha fechada reais se igualam. Esta situao corresponde ao caso do sistema criticamente amortecido. Conforme K aumenta a partir de 1/4, os plos de malha fechada tornam-se complexos, posicionando-se fora do eixo real, e devido parte real dos plos de malha fechada ser constante para K > 1/4, os plos de malha fechada movem-se ao longo da reta s = -1/2. Portanto, para K > 1/4, o sistema comporta-se como subamortecido. Para um dado valor de K, um dos plos conjugados de malha fechada move-se para += j/s 21 , enquanto o outro move-se para

= j/s 21 . Mostraremos que qualquer ponto sobre o lugar das razes satisfaz a condio de

ngulo. A condio de ngulo dada pela Eq. (3)

( ) ( ) ( ) ( ),,,kkssssK 2 1 0 ,121801

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=+=+=+

.

Considere o ponto P sobre o lugar das razes indicado na Fig. 3(b). Os nmeros

complexos s e s + 1 possuem ngulos 1 e 2 , respectivamente, e mdulos s e 1+s , respectivamente (note que todos os ngulos so considerados positivos quando so medidos no sentido anti-horrio). A soma dos ngulos 1 e 2 nitidamente 180o.

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Fig. 3 - Grficos do lugar das razes dos sistemas indicados na Fig. 2. Se o ponto P estiver localizado sobre o eixo real entre 0 e -1, ento 1 = 180o e 2

= 0o. Portanto, verificamos que qualquer ponto sobre o lugar das razes satisfaz a condio de ngulo. Notemos tambm que se o ponto P no for um ponto sobre o lugar das razes, ento a soma de 1 e 2 no igual a 180o(2k + 1), onde k = 0, 1, 2,... Portanto, os pontos que no estiverem sobre o lugar das razes no satisfazem a condio de ngulo e, portanto, no podem ser plos de malha fechada para quaisquer valores de K.

Se os plos de malha fechada forem especificados no lugar das razes, ento o valor correspondente de K determinado pela condio do mdulo, Eq. (4). Se, por exemplo, os plos de malha fechada selecionados so 221 j/s = , ento o valor correspondente de K determinado de

( ) ( ) ( ) 11 221 =+= += j/sssKsHsG

ou

( )4

171221=+=

+= j/sssK .

Desde que plos complexos so conjugados, se um deles, por exemplo,

221 j/s += , especificado, ento o outro automaticamente fixado. No clculo do valor de K, qualquer um dos plos pode ser utilizado.

Do grfico do lugar das razes fornecido na Fig. 3(a), verificamos claramente os efeitos de variaes no valor de K no comportamento da resposta transitria em relao ao

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sistema de segunda ordem. Um aumento no valor de K diminuir a relao de amortecimento , resultando em um aumento na sobrelevao da resposta. Um aumento no valor de K tambm resultar em um aumento nas freqncias natural no amortecida e amortecida (se K maior do que o valor crtico, que corresponde a um sistema criticamente amortecido, um aumento no valor de K no afetar o valor da parte real dos plos em malha fechada). A partir do grfico do lugar das razes, evidente que os plos de malha fechada sempre estaro no semiplano esquerdo do plano s; consequentemente, independentemente de quanto o parmetro K for aumentado, o sistema sempre permanecer estvel; desta forma, o sistema de segunda ordem sempre estvel. (Note, entretanto, que se o ganho for ajustado em um valor muito alto, os efeitos de alguma das constantes de tempo que foram desprezadas podem tornar-se importantes, e o sistema que supostamente de segunda ordem, porm efetivamente de ordem maior, pode tornar-se instvel.)

A Tabela 1 fornece uma coleo de grficos simples de lugares de razes.

Tabela 1 - Coleo de grficos simples de lugares de razes.

Lugares de ganho constante A Fig. 4 mostra um grfico dos lugares de ganho constante do sistema indicado na

Fig. 2. Os lugares de ganho constante para este sistema foram obtidos a partir da condio

de mdulo:

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( ) ( ) ( ) 11 =+= ssKsHsG

ou

( ) Kss =+1 . (6) Os pontos do plano complexo que satisfazem a Eq. (6) para um dado K

constituem um lugar de ganho constante.

Ortogonalidade entre os lugares das razes e os lugares de ganho constante Considere o sistema indicado na Fig. 1. No plano G(s)H(s) os lugares de

( ) ( ) constante=sHsG so circunferncias com centro na origem, e os lugares correspondentes a ( ) ( ) ( ) ( ),,,kksHsG 2 1 0 ,12180o =+= permanecem sobre o eixo real negativo do plano G(s)H(s), como indicado na Fig. 5 [note que o plano complexo aqui empregado no o plano s, mas o plano G(s)H(s)].

Fig. 4 - Grfico dos lugares de ganho constante do sistema indicado na Fig. 2.

Os lugares das razes e os lugares de ganho constante no plano s constituem mapeamentos conformes dos lugares de ( ) ( )sHsG = 180o(2k + 1) e de ( ) ( )sHsG = constante no plano G(s)H(s).

Desde que os lugares de fase constante e ganho constante no plano G(s)H(s) so ortogonais, os lugares das razes e os lugares de ganho constante no plano s tambm so

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ortogonais. A Fig. 6(a) mostra os lugares das razes e os lugares de ganho constante para o seguinte sistema:

( ) ( ) ( ) 1 ,3

22 =++

+= sH

sssKsG .

Verifique que devido configurao de plo zero ser simtrica em relao ao eixo

real, os lugares de ganho constante tambm so simtricos em relao ao eixo real. A Fig. 6(b) mostra os lugares das razes e de ganho constante para o sistema:

( ) ( )( ) ( ) 1 ,21 =++= sHsssKsG .

Note que devido configurao dos plos no plano s ser simtrica em relao ao

eixo real, e em relao reta paralela ao eixo imaginrio passando pelo ponto ( )0 ,1 == , os lugares de ganho constante so simtricos em relao reta = 0 (eixo real) e reta = -1.

Fig. 5 Grficos dos lugares de ganho constante e fase constante no plano G(s)H(s).

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Fig. 6 Grficos dos lugares das razes e dos lugares de ganho constante.