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Prof. Wanderson S. Paris -‐ [email protected] Resistência dos Materiais
Aula 06 -‐ Estudo de Deformações, Normal e por Cisalhamento.
Prof. Wanderson S. Paris, M.Eng. [email protected]
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Deformação
• Quando uma força é aplicada a um corpo, tende a mudar a forma e o tamanho dele. Essas mudanças são denominadas deformação e podem ser perfeitamente visíveis ou pra;camente impercep<veis sem o uso de equipamento para fazer medições precisas.
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Salete Buffoni 2
DEFINIÇÃO
Deformação é a mudança na forma e tamanho de um corpo quando uma força é
aplicada no mesmo.
A deformação pode ser:
Visível: Exemplo: Esticamento de uma tira de borracha
Imperceptível: Exemplo: Edifício sendo ocupado por pessoas movimentando-se
Figura 1 - A tensão excessiva em materiais frágeis como este encontro de ponte de
concreto pode provocar sua deformação até a ruptura. Pela medição da deformação,
os engenheiros podem prever a tensão do material.
Medida da deformação na prática: Realizam-se experimentos
A tensão excessiva em materiais frágeis como este encontro de ponte de concreto pode provocar sua deformação até a ruptura. Pela medição da deformação, os engenheiros podem prever a tensão do material.
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Deformação Normal
O alongamento ou a contração de um segmento de reta por unidade de comprimento é denominado deformação normal.
s
ssméd
!
!"!=
'#
ss !$+=! )1(' #
Unidades: a deformação normal éuma grandeza adimensional, pois representa a relação entre dois comprimentos
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Deformação por Cisalhamento
A mudança de ângulo ocorrida entre dois segmentos de reta originalmente perpendiculares entre si é denominada deformação por cisalhamento.
'lim2
!"
#
eixotAC
eixonABnt
>$>$
$=
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Componentes Cartesianos da Deformação
xx !"+ )1( #
yy !"+ )1( # zz !"+ )1( #
Comprimentos aproximados: Ângulos aproximados:
xy$%
&2 yz$
%&
2 xz$%
&2
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Componentes Cartesianos da Deformação -‐ notas
• Deformações normais provocam mudança de volume do elemento retangular
• Deformações por cisalhamento provocam mudança no seu formato.
• Análise de pequenas deformações: A maioria dos materiais da engenharia sofre pequenas deformações e desse modo, a deformação normal ε << 1 .
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Exercício 1
1) A haste delgada mostrada na figura está submeFda a um aumento de temperatura ao longo de seu eixo, o que cria uma deformação normal na haste de εz = 40(10-‐3)z1/2, em que z é dado em metros. Determinar (a) o deslocamento da extremidade B da haste devido ao aumento de temperatura e (b) a deformação normal média da haste.
Exercício 1Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
1) A haste delgada mostrada na figura está submetida a um aumento de temperatura ao longo de seu eixo, o que cria uma deformação normal na haste de !z = 40(10-3)z1/2, em que z é dado em metros. Determinar (a) o deslocamento da extremidade B da haste devido ao aumento de temperatura e (b) a deformação normal média da haste.
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Solução do Exercício 1
a) Como a deformação normal é dada para cada ponto ao longo do comprimento da haste, um segmento diferencial dz, localizado na posição ztem seu comprimento deformado determinado do seguinte modo:
zz z !"+#! )1(' $
dzdz z "+= )1(' $
dzzdz """+= % ))10(401(' 213
! """+= %2,0
0
213 ))10(401(' dzzz
2,0
0
)121(3
121)10(40' ""
#
$%%&
'""#
$%%&
'+
""+=+
% zzz
Substituindo-se os valores fornecidos, tem-se que:
Integrando ao longo do comprimento da haste:
Resulta em:
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Solução do Exercício 1
2,0
0
)121(3
121)10(40' !!
"
#$$%
&!!"
#$$%
&+
!!+=+
" zzz
2,0
0
)23(3
23)10(40' !!
"
#$$%
&!!"
#$$%
&!!+= " z
zz
2,0
0
)23(3
32
)10(40' !!"
#$$%
&!!"
#$$%
& !!!+= " z
zz
!!"
#$$%
&!!"
#$$%
& !!!+= "
32,02
)10(402,0')23(
3z
20239,0'=z m
Portanto, o deslocamento na extremidade da haste é:
2,020239,0 "=#B
00239,0=#B m
39,2=#Bmm
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Exercícios Propostos
[P21] A barra rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a carga P aplicada à viga provocar um deslocamento de 10 mm para baixo na extremidade C, determine a deformação normal desenvolvida nos cabos CE e BD.
1
Ans. e =pd - pd0
pd0= 7 - 6
6= 0.167 in./in.
d = 7 in.
d0 = 6 in.
2–1. An air-filled rubber ball has a diameter of 6 in. Ifthe air pressure within it is increased until the ball’sdiameter becomes 7 in., determine the average normalstrain in the rubber.
© 2010 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all copyright laws as they currentlyexist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.
Ans.e =L - L0
L0= 5p - 15
15= 0.0472 in.>in.
L = p(5 in.)
L0 = 15 in.
2–2. A thin strip of rubber has an unstretched length of15 in. If it is stretched around a pipe having an outer diameterof 5 in., determine the average normal strain in the strip.
¢LBD3
=¢LCE
7
2–3. The rigid beam is supported by a pin at A and wiresBD and CE. If the load P on the beam causes the end C tobe displaced 10 mm downward, determine the normal straindeveloped in wires CE and BD.
C
3 m
ED
2 m
4 m
P
BA
2 m
Ans.
Ans.eBD =¢LBDL
= 4.2864000
= 0.00107 mm>mm
eCE =¢LCEL
= 104000
= 0.00250 mm>mm
¢LBD =3 (10)
7= 4.286 mm
02 Solutions 46060 5/6/10 1:45 PM Page 1
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Exercícios Propostos
[P22] Os dois arames estão interligados em A. Se a carga P provocar um deslocamento horizontal de 2 mm no ponto A, determinar a deformação normal provocada em cada arame?
2
Ans.eAC = eAB =LœAC - LACLAC
= 301.734 - 300300
= 0.00578 mm>mm
LœAC = 23002 + 22 - 2(300)(2) cos 150° = 301.734 mm
*2–4. The two wires are connected together at A. If theforce P causes point A to be displaced horizontally 2 mm,determine the normal strain developed in each wire.
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P30!
30! A
B
C
300 mm
300 mm
Since the vertical displacement of end C is small compared to the length of memberAC, the vertical displacement of point B, can be approximated by referring to thesimilar triangle shown in Fig. a
The unstretched lengths of wires BD and CE are and.
Ans.
Ans.Aeavg BCE =dC
LCE= 10
2000= 0.005 mm>mm
Aeavg BBD =dB
LBD= 4
1500= 0.00267 mm>mm
LCE = 2000 mmLBD = 1500 mm
dB
2= 10
5 ; dB = 4 mm
dB
•2–5. The rigid beam is supported by a pin at A and wiresBD and CE. If the distributed load causes the end C to bedisplaced 10 mm downward, determine the normal straindeveloped in wires CE and BD.
C2 m
E
D
2 m1.5 m
BA3 m
w
02 Solutions 46060 5/6/10 1:45 PM Page 2
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Exercícios Propostos
[P23] A viga rígida é suportado por um pino em A e cabos BD e CE. Se a carga distribuída faz com que a extremidade C se desloque 10 mm para baixo, determinar a tensão normal desenvolvida nos cabos CE e BD.
2
Ans.eAC = eAB =LœAC - LACLAC
= 301.734 - 300300
= 0.00578 mm>mm
LœAC = 23002 + 22 - 2(300)(2) cos 150° = 301.734 mm
*2–4. The two wires are connected together at A. If theforce P causes point A to be displaced horizontally 2 mm,determine the normal strain developed in each wire.
© 2010 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all copyright laws as they currentlyexist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.
P30!
30! A
B
C
300 mm
300 mm
Since the vertical displacement of end C is small compared to the length of memberAC, the vertical displacement of point B, can be approximated by referring to thesimilar triangle shown in Fig. a
The unstretched lengths of wires BD and CE are and.
Ans.
Ans.Aeavg BCE =dC
LCE= 10
2000= 0.005 mm>mm
Aeavg BBD =dB
LBD= 4
1500= 0.00267 mm>mm
LCE = 2000 mmLBD = 1500 mm
dB
2= 10
5 ; dB = 4 mm
dB
•2–5. The rigid beam is supported by a pin at A and wiresBD and CE. If the distributed load causes the end C to bedisplaced 10 mm downward, determine the normal straindeveloped in wires CE and BD.
C2 m
E
D
2 m1.5 m
BA3 m
w
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Exercícios Propostos
[P24] Uma placa retangular é deformada conforme indicado pela forma tracejada mostrada na figura. Considerando que na configuração deformada as linhas horizontais da placa permaneçam horizontais e não variem seu comprimento, determine (a) a deformação normal média ao longo do lado AB e (b) a deformação por cisalhamento média da placa rela;va aos eixos x e y.
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Exercícios Propostos
[P25] Uma força que atua no cabo da alavanca mostra na figura provoca uma rotação de ϴ = 0,002 rad na alavanca no sen;do horário. Determinar a deformação normal média desenvolvida no arame BC.
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Referências Bibliográficas
• hWp://www.cronosquality.com/aulas/rm/index.html • Hibbeler, R. C. -‐ Resistência dos Materiais, 7.ed. São
Paulo :Pearson Pren;ce Hall, 2010. • BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.o
Ed., Makron Books, 1995. • Rodrigues, L. E. M. J. Resistência dos Materiais, Ins;tuto Federal
de Educação, Ciência e Tecnologia – São Paulo: 2009. • BUFFONI, S.S.O. Resistência dos Materiais, Universidade Federal
Fluminense – Rio de Janeiro: 2008.