Aula Treliças

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Escola Superior de Tecnologia (EST)

Universidade do Estado do Amazonas (UEA)

Mecánica I.

Professor: Dr. C. Orestes González Quintero.

<[email protected]>

Manaus, 2015_1

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Título: Algunas experiencias en el análisis de armaduras planas

empleando el Método de Elementos Finitos en la docencia de pregrado.

Autores: Orestes González Quintero1, Ana Carolina Grana Araujo

2, James Adler

Wonghon Santana de Sousa3.

1- Dr. C. y Profesor Titular del Dpto. de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Matanzas

“Camilo Cienfuegos” y profesor invitado en la Escola Superior de Tecnologia (EST),

Universidade do Estado do Amazonas (UEA). E-mail: [email protected]

2- Bolsista de Iniciación científica de la Escola Superior de Tecnologia (EST), Universidade do

Estado do Amazonas (UEA), estudiante de Ingeniería Naval.

3- Voluntario de Iniciación científica de la Escola Superior de Tecnologia (EST), Universidade do

Estado do Amazonas (UEA), estudiante de Ingeniería Naval.

mailto:[email protected]

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Introdução.

A treliça é um dos principais tipos de estrutura da engenharia, que oferece ao

mesmo tempo, uma solução prática e económica a muitas situações de

engenharia. Uma treliça consiste em barras retas articuladas nas juntas ou nós.

Os problemas relacionados com o cálculo de treliças tratam não apenas da

determinação das forças externas que atuam sobre uma estrutura, mas também

da determinação das forças internas que mantém unidas as varias partes da

mesma. As treliças são projetadas para suportar cargas e são usualmente

estruturas estacionarias totalmente vinculada, são formadas unicamente por

elementos retilíneos conectados em juntas localizadas nas extremidades de

cada elemento. Dessa forma, nos membros de uma treliça atuam duas forças de

mesmo módulo e direção, porém de sentidos opostos.

O elemento de treliça plana. Equações básicas.

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O elemento de treliça plana é um elemento finito de duas dimensões com

coordenadas locais e globais. Caracteriza-se por uma função de forma linear. O

elemento de treliça plana tem módulo de elasticidade E, área de seção

transversal A, e longitude L. Cada elemento de treliça plana tem dois nós e está

inclinado com um ângulo medido no sentido contrário aos ponteiros do relógio

a partir do eixo global X positivo como é mostrado na figura abaixo,

Neste caso a matriz de rigidez do elemento é dada por:

sendo C = cos e S = sen.

É claro que o elemento de treliça plana tem quatro graus de liberdade, dois em

cada nó. Consequentemente para uma estrutura com n nós, a matriz global de

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rigidez K será de tamanho 2 n x 2 n (devido a que temos dois graus de liberdade

em cada nó). A matriz global de rigidez K é ensamblada fazendo chamadas à

função do MATLAB PlaneTrussAssemble que está escrita especificamente

com este propósito. Este processo será ilustrado em detalhe nos exemplos.

Uma vez que a matriz K é obtida temos a seguinte equação de estrutura:

[K] {U} = {F}

Onde U é o vetor global de deslocamento dos nós e F é o vetor global de força

nos nós.

Neste passo as condições de fronteira são aplicadas manualmente para os

vetores U e F. Então a matriz é resolvida por partição e eliminação

Gaussiana.

Finalmente uma vez que os deslocamentos e reações desconhecidas são

encontrados as forças em cada elemento são obtidas como segue:

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Onde f é a força no elemento (é escalar) e {u} é o vetor 4 x 1 de deslocamento

do elemento. A tensão no elemento é obtida dividindo a força no elemento pela

área da seção transversal A.

Se existir um apoio inclinado em uno dos nós da treliça então a matriz de rigidez

global precisa ser modificada usando a seguinte equação:

Onde T é a matriz de transformação que é obtida fazendo uma chamada à

função do MATLAB PlaneTrussInclinedSupport.

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O apoio inclinado se assume como o nó i com um

ângulo de inclinação alpha como mostra a figura à

direita.

Funções do MATLAB.

As seis funções do MATLAB usadas para o elemento de treliça plana são:

PlaneTrussElementLength(x1, y1, x2, y2)

PlaneTrussElementStiffness(E, A, L, theta)

PlaneTrussAssemble(K, k, i, j)

PlaneTrussElementForce(E, A, L, theta, u)

PlaneTrussElementStress(E, L, theta, u)

PlaneTrussInclinedSupport(T , i, alpha)

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Estudio de caso:

Considere a treliça plaina que se mostra na seguinte figura. Conhece-se que:

Módulo de elasticidade E = 70 GPa

Área da seção transversal A = 0.004 m2

Determine:

1. a matriz global de rigidez para a estrutura. 2. o deslocamento vertical do nó 2. 3. as reações nos nós 1 e 3. 4. as tensões nos elementos. 5. a força em cada elemento.

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Solución: Los seis pasos para solucionar el problema usando el MEF están resumidos

como sigue:

Discretización del dominio

Escritura de la matriz de rigidez de cada elemento

Ensamblado de la matriz global de rigidez.

Aplicación de las condiciones de frontera.

Solución de las ecuaciones

Postprocesamiento

En los pasos anteriormente citados se observa que el proceso de solución involucra una combinación de MATLAB y algunas operaciones manuales limitadas. Las operaciones manuales en apariencia son muy simples ocupándose sólo de discretización (en los problemas de armaduras planas el dominio ya está subdividido, en este caso en tres elementos y tres nudos.), aplicación de las condiciones de frontera (paso 4) y división en partes la matriz global de rigidez (parte del paso 5).

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Todos los cálculos tediosos, largos y repetitivos serán realizados usando MATLAB con el empleo de las funciones elaboradas al efecto.

En las preguntas que siguen la cantidad de filas de las tablas depende

de la cantidad de elementos de la armadura. Cada elemento tiene dos

nudos com dos grados de libertad cada uno.

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Preguntas que se proponen para el desarrollo de habilidades

em la selección de las datos que se precisam em cada passo

del problema.

1. Confeccione la tabla de conectividad de los elementos de la armadura plana

de la figura:

ELEMENTO No. NODOS

i j

1 1 2

2 2 3 3 3 1

2. Determine las coordenadas de los nodos de cada elemento:

ELEMENTO No. COORDENADAS DE LOS NODOS

m

X1 Y1 X2 Y2

1 0 0.5 1.575 0.5

2 1.575 0.5 0.375 0 3 0.375 0 0 0.5

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3. Determine el ángulo de inclinación, ,de cada elemento, medido en el

sentido contrario a los punteros del reloj desde el eje global X positivo.

4. Acerca de las condiciones de frontera del problema responda:

a) Determine los desplazamientos de cada nudo.

NUDOS DESPLAZAMIENTOS

Nudo 1 u1x 0

u1y 0

Nudo 2 U2x ?

u2y ?

Nudo 3 U3x ?

U3y 0

ELEMENTO No.

Theta () grados

1 0 2 180+atan(0.5/1.2)*180/pi

3 90+atan(0.375/0.5)*180/pi

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b) Plantee el vector de deslocamento atendendo al resultado de la

pregunta anterior.

U=

0

0

U2x

u2y

U3x

0

c) Determine las fuerzas que actúan en cada nudo.

NUDOS FUERZAS

Nudo 1 F1x 0

F1y ?

Nudo 2 F2x 0

F2y 1,2 kN

Nudo 3 F3x 0

F3y ?

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d) Plantee el vector de fuerzas atendendo al resultado de la pregunta

anterior.

F=

0

F1y

0

1,2

0

F3y

5. De la matriz K extraiga la submatriz k formada por las filas tercera, cuarta y

quinta y columnas tercera, cuarta y quinta.

K =1,0e+05*

3,3906 -2,1504 -1,7778 0,0000 -1,6128 2,1504 -2,1504 2,8672 0,0000 0,0000 2,1504 -2,8672 -1,7778 0,0000 2,0749 0,7427 -0,2971 -0,7427 0,0000 0,0000 0,7427 1,8568 -0,7427 -1,8568

-1,6128 2,1504 -0,2971 -0,7427 1,9099 -1,4077 2,1504 -2,8672 -0,7427 -1,8568 -1,4077 4,7240

Posible respuesta (más general, aplicable a casos donde filas y columnas a

selecionar no sean consecutivas):

k=[K(3,3) K(3,4) K(3,5) ; K(4,3) K(4,4) K(4,5) ; K(5,3) K(5,4) K(5,5)]

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k =1,0e+05*

2,0749 0,7427 -0,2971 0,7427 1,8568 -0,7427

-0,2971 -0,7427 1,9099

En este caso específico se obtiene el mismo resultado de la siguiente

manera:

k=K(3:5, 3:5)

6. Partiendo del vector global de desplazamiento y la tabla de conectividad de

los elementos, plantee el vector de desplazamiento de cada elemento.

U=

0 0

-2,70e-06 8,73e-06 2,98e-06

0

ELEMENTO No.

NODOS

i j

1 1 2

2 2 3 3 3 1

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u1=

U(1)

u2=

U(3)

u3=

U(5) U(2) U(4) U(6) U(3) U(5) U(1)

U(4) U(6) U(2)

Anexo:

Código do MATLAB completo, para a solução deste problema:

clear all

clc

E=70e6; A=0.004; L1=1.575; theta1=0;

L2= ArmaduraPlanaLongitudElemento(1.575,0.5,0.375,0);

theta2= 180+atan(0.5/1.2)*180/pi;

L3= ArmaduraPlanaLongitudElemento(0.375,0,0,0.5);

theta3=90+atan(0.375/0.5)*180/pi;

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%

k1= ArmaduraPlanaRigidezElemento(E,A,L1,theta1)



K=zeros(6,6)

K=PlaneTrussAssemble(K,k1,1,2)



k=[K(3,3) K(3,4) K(3,5) ; K(4,3) K(4,4) K(4,5) ; K(5,3) K(5,4) K(5,5)]

f=[0 ; 1.2; 0]

u=k\f

%

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U=[0 ; 0 ; u(1); u(2); u(3); 0]

F=K*U

u1=[U(1) ; U(2) ; U(3) ; U(4)]

sigma1= ArmaduraPlanaTensiónElemento(E,L1,theta1,u1)

u2=[U(3) ; U(4) ; U(5) ; U(6)]

sigma2= ArmaduraPlanaTensiónElemento(E,L2,theta2,u2)

u3=[ U(5) ; U(6) ; U(1) ; U(2)]

sigma3= ArmaduraPlanaTensiónElemento (E,L3,theta3,u3)

f1=sigma1*A

f2=sigma2*A

f3=sigma3*A

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Considere as treliças planas que se mostram nas seguintes figuras. Conhece-se

que:

Módulo de elasticidade E = 200 GPa

Área da seção transversal A = 0.005 m2

Determine:

1. a matriz global de rigidez para a

estrutura.

2. o deslocamento vertical (ou horizontal no

primer caso) dos nós sem apoio.

3. as reações nos nós 1 e 3.

4. as tensões nos elementos.

5. a força em cada elemento.

É preciso fixar uma origem de coordenadas

global em cada caso, numerar os nós e os

elementos.

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