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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
Aula de Física III - A Lei da Indução
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes
Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ
Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação
29 de setembro de 2010
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução
IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
A Lei de Faraday
Consideremos uma espira C de �o, imersa num campo magnético ~Be orientada conforme a �gura a seguir:
O �uxo de ~B através da espira é:
ΦC =
∫S
~B ∗ n̂dS (1)
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
A Lei de Faraday
Consideremos uma espira C de �o, imersa num campo magnético ~Be orientada conforme a �gura a seguir:
O �uxo de ~B através da espira é:
ΦC =
∫S
~B ∗ n̂dS (1)
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
A Lei de Faraday
Consideremos uma espira C de �o, imersa num campo magnético ~Be orientada conforme a �gura a seguir:
O �uxo de ~B através da espira é:
ΦC =
∫S
~B ∗ n̂dS (1)
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
A Lei de Faraday
Consideremos uma espira C de �o, imersa num campo magnético ~Be orientada conforme a �gura a seguir:
O �uxo de ~B através da espira é:
ΦC =
∫S
~B ∗ n̂dS (1)
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
A Lei de Faraday
Consideremos uma espira C de �o, imersa num campo magnético ~Be orientada conforme a �gura a seguir:
O �uxo de ~B através da espira é:
ΦC =
∫S
~B ∗ n̂dS (1)
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução
IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Seja R a resistência da espira C. A Lei de Faraday pode ser
enunciada a partir da Lei de Ohm:
I = − 1
R
d
dtΦC (2)
A existência da corrente na espira está associada a uma força
eletromotriz dada por:
ξ = RI = − d
dtΦC (3)
Esta Lei nos mostra que o �uxo de ~B independe da geometria do
circuito, ou seja, a variação do �uxo de ~B depende unicamente do
tempo, independentemente de uma possível deformação da espira
C.
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Seja R a resistência da espira C. A Lei de Faraday pode ser
enunciada a partir da Lei de Ohm:
I = − 1
R
d
dtΦC (2)
A existência da corrente na espira está associada a uma força
eletromotriz dada por:
ξ = RI = − d
dtΦC (3)
Esta Lei nos mostra que o �uxo de ~B independe da geometria do
circuito, ou seja, a variação do �uxo de ~B depende unicamente do
tempo, independentemente de uma possível deformação da espira
C.
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Seja R a resistência da espira C. A Lei de Faraday pode ser
enunciada a partir da Lei de Ohm:
I = − 1
R
d
dtΦC (2)
A existência da corrente na espira está associada a uma força
eletromotriz dada por:
ξ = RI = − d
dtΦC (3)
Esta Lei nos mostra que o �uxo de ~B independe da geometria do
circuito, ou seja, a variação do �uxo de ~B depende unicamente do
tempo, independentemente de uma possível deformação da espira
C.
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Seja R a resistência da espira C. A Lei de Faraday pode ser
enunciada a partir da Lei de Ohm:
I = − 1
R
d
dtΦC (2)
A existência da corrente na espira está associada a uma força
eletromotriz dada por:
ξ = RI = − d
dtΦC (3)
Esta Lei nos mostra que o �uxo de ~B independe da geometria do
circuito, ou seja, a variação do �uxo de ~B depende unicamente do
tempo, independentemente de uma possível deformação da espira
C.
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Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Seja R a resistência da espira C. A Lei de Faraday pode ser
enunciada a partir da Lei de Ohm:
I = − 1
R
d
dtΦC (2)
A existência da corrente na espira está associada a uma força
eletromotriz dada por:
ξ = RI = − d
dtΦC (3)
Esta Lei nos mostra que o �uxo de ~B independe da geometria do
circuito, ou seja, a variação do �uxo de ~B depende unicamente do
tempo, independentemente de uma possível deformação da espira
C.
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C móvel num campo B �xo
Se o �o se move com uma velocidade ~v num campo ~B �xo, os
elétrons livres, transportados a essa velocidade, �cam sujeitos a:
~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)
A força eletromotriz correspondente ao longo do circuito é então:
ξ =
∮C
~E (e) ∗ ~dl =
∮C
(~vx~B) ∗ ~dl (5)
Comparando (3) com (5), temos:∮C
~E (e) ∗ ~dl = −dΦC
dt(6)
que é a lei da indução na forma integral. O sentido do campo
magnético gerado se opõe à variação do �uxo magnético original.
Essa a�rmação é conhecida como Lei de Lenz.
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A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C móvel num campo B �xo
Se o �o se move com uma velocidade ~v num campo ~B �xo, os
elétrons livres, transportados a essa velocidade, �cam sujeitos a:
~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)
A força eletromotriz correspondente ao longo do circuito é então:
ξ =
∮C
~E (e) ∗ ~dl =
∮C
(~vx~B) ∗ ~dl (5)
Comparando (3) com (5), temos:∮C
~E (e) ∗ ~dl = −dΦC
dt(6)
que é a lei da indução na forma integral. O sentido do campo
magnético gerado se opõe à variação do �uxo magnético original.
Essa a�rmação é conhecida como Lei de Lenz.
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C móvel num campo B �xo
Se o �o se move com uma velocidade ~v num campo ~B �xo, os
elétrons livres, transportados a essa velocidade, �cam sujeitos a:
~F = −e~vx~B
=⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)
A força eletromotriz correspondente ao longo do circuito é então:
ξ =
∮C
~E (e) ∗ ~dl =
∮C
(~vx~B) ∗ ~dl (5)
Comparando (3) com (5), temos:∮C
~E (e) ∗ ~dl = −dΦC
dt(6)
que é a lei da indução na forma integral. O sentido do campo
magnético gerado se opõe à variação do �uxo magnético original.
Essa a�rmação é conhecida como Lei de Lenz.
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C móvel num campo B �xo
Se o �o se move com uma velocidade ~v num campo ~B �xo, os
elétrons livres, transportados a essa velocidade, �cam sujeitos a:
~F = −e~vx~B =⇒
~E (e) = ~vx~B (4)
A força eletromotriz correspondente ao longo do circuito é então:
ξ =
∮C
~E (e) ∗ ~dl =
∮C
(~vx~B) ∗ ~dl (5)
Comparando (3) com (5), temos:∮C
~E (e) ∗ ~dl = −dΦC
dt(6)
que é a lei da indução na forma integral. O sentido do campo
magnético gerado se opõe à variação do �uxo magnético original.
Essa a�rmação é conhecida como Lei de Lenz.
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C móvel num campo B �xo
Se o �o se move com uma velocidade ~v num campo ~B �xo, os
elétrons livres, transportados a essa velocidade, �cam sujeitos a:
~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)
A força eletromotriz correspondente ao longo do circuito é então:
ξ =
∮C
~E (e) ∗ ~dl =
∮C
(~vx~B) ∗ ~dl (5)
Comparando (3) com (5), temos:∮C
~E (e) ∗ ~dl = −dΦC
dt(6)
que é a lei da indução na forma integral. O sentido do campo
magnético gerado se opõe à variação do �uxo magnético original.
Essa a�rmação é conhecida como Lei de Lenz.
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C móvel num campo B �xo
Se o �o se move com uma velocidade ~v num campo ~B �xo, os
elétrons livres, transportados a essa velocidade, �cam sujeitos a:
~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)
A força eletromotriz correspondente ao longo do circuito é então:
ξ =
∮C
~E (e) ∗ ~dl =
∮C
(~vx~B) ∗ ~dl (5)
Comparando (3) com (5), temos:∮C
~E (e) ∗ ~dl = −dΦC
dt(6)
que é a lei da indução na forma integral. O sentido do campo
magnético gerado se opõe à variação do �uxo magnético original.
Essa a�rmação é conhecida como Lei de Lenz.
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Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C móvel num campo B �xo
Se o �o se move com uma velocidade ~v num campo ~B �xo, os
elétrons livres, transportados a essa velocidade, �cam sujeitos a:
~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)
A força eletromotriz correspondente ao longo do circuito é então:
ξ =
∮C
~E (e) ∗ ~dl =
∮C
(~vx~B) ∗ ~dl (5)
Comparando (3) com (5), temos:∮C
~E (e) ∗ ~dl = −dΦC
dt(6)
que é a lei da indução na forma integral. O sentido do campo
magnético gerado se opõe à variação do �uxo magnético original.
Essa a�rmação é conhecida como Lei de Lenz.
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Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C móvel num campo B �xo
Se o �o se move com uma velocidade ~v num campo ~B �xo, os
elétrons livres, transportados a essa velocidade, �cam sujeitos a:
~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)
A força eletromotriz correspondente ao longo do circuito é então:
ξ =
∮C
~E (e) ∗ ~dl =
∮C
(~vx~B) ∗ ~dl (5)
Comparando (3) com (5), temos:
∮C
~E (e) ∗ ~dl = −dΦC
dt(6)
que é a lei da indução na forma integral. O sentido do campo
magnético gerado se opõe à variação do �uxo magnético original.
Essa a�rmação é conhecida como Lei de Lenz.
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A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C móvel num campo B �xo
Se o �o se move com uma velocidade ~v num campo ~B �xo, os
elétrons livres, transportados a essa velocidade, �cam sujeitos a:
~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)
A força eletromotriz correspondente ao longo do circuito é então:
ξ =
∮C
~E (e) ∗ ~dl =
∮C
(~vx~B) ∗ ~dl (5)
Comparando (3) com (5), temos:∮C
~E (e) ∗ ~dl = −dΦC
dt(6)
que é a lei da indução na forma integral. O sentido do campo
magnético gerado se opõe à variação do �uxo magnético original.
Essa a�rmação é conhecida como Lei de Lenz.
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A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C móvel num campo B �xo
Se o �o se move com uma velocidade ~v num campo ~B �xo, os
elétrons livres, transportados a essa velocidade, �cam sujeitos a:
~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)
A força eletromotriz correspondente ao longo do circuito é então:
ξ =
∮C
~E (e) ∗ ~dl =
∮C
(~vx~B) ∗ ~dl (5)
Comparando (3) com (5), temos:∮C
~E (e) ∗ ~dl = −dΦC
dt(6)
que é a lei da indução na forma integral. O sentido do campo
magnético gerado se opõe à variação do �uxo magnético original.
Essa a�rmação é conhecida como Lei de Lenz.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C �xo e B variável
Neste caso, temos que:
ξ =
∫C
~E ∗ ~dl =
∫S
∂~B
∂t∗ n̂dS (7)
e pelo teorema do rotacional:∫C
~E ∗ ~dl =
∫C
(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)
temos, por �m:
~∇x~E =∂~B
∂t(9)
que é a forma diferencial da Lei de Indução de Faraday, e
corresponde a uma das Equações de Maxwell. A interpretação física
deste resultado é que um campo magnético que varia com o tempo
produz um campo elétrico.
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C �xo e B variável
Neste caso, temos que:
ξ =
∫C
~E ∗ ~dl =
∫S
∂~B
∂t∗ n̂dS (7)
e pelo teorema do rotacional:∫C
~E ∗ ~dl =
∫C
(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)
temos, por �m:
~∇x~E =∂~B
∂t(9)
que é a forma diferencial da Lei de Indução de Faraday, e
corresponde a uma das Equações de Maxwell. A interpretação física
deste resultado é que um campo magnético que varia com o tempo
produz um campo elétrico.
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C �xo e B variável
Neste caso, temos que:
ξ =
∫C
~E ∗ ~dl =
∫S
∂~B
∂t∗ n̂dS (7)
e pelo teorema do rotacional:∫C
~E ∗ ~dl =
∫C
(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)
temos, por �m:
~∇x~E =∂~B
∂t(9)
que é a forma diferencial da Lei de Indução de Faraday, e
corresponde a uma das Equações de Maxwell. A interpretação física
deste resultado é que um campo magnético que varia com o tempo
produz um campo elétrico.
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C �xo e B variável
Neste caso, temos que:
ξ =
∫C
~E ∗ ~dl =
∫S
∂~B
∂t∗ n̂dS (7)
e pelo teorema do rotacional:
∫C
~E ∗ ~dl =
∫C
(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)
temos, por �m:
~∇x~E =∂~B
∂t(9)
que é a forma diferencial da Lei de Indução de Faraday, e
corresponde a uma das Equações de Maxwell. A interpretação física
deste resultado é que um campo magnético que varia com o tempo
produz um campo elétrico.
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C �xo e B variável
Neste caso, temos que:
ξ =
∫C
~E ∗ ~dl =
∫S
∂~B
∂t∗ n̂dS (7)
e pelo teorema do rotacional:∫C
~E ∗ ~dl =
∫C
(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)
temos, por �m:
~∇x~E =∂~B
∂t(9)
que é a forma diferencial da Lei de Indução de Faraday, e
corresponde a uma das Equações de Maxwell. A interpretação física
deste resultado é que um campo magnético que varia com o tempo
produz um campo elétrico.
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C �xo e B variável
Neste caso, temos que:
ξ =
∫C
~E ∗ ~dl =
∫S
∂~B
∂t∗ n̂dS (7)
e pelo teorema do rotacional:∫C
~E ∗ ~dl =
∫C
(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)
temos, por �m:
~∇x~E =∂~B
∂t(9)
que é a forma diferencial da Lei de Indução de Faraday, e
corresponde a uma das Equações de Maxwell. A interpretação física
deste resultado é que um campo magnético que varia com o tempo
produz um campo elétrico.
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C �xo e B variável
Neste caso, temos que:
ξ =
∫C
~E ∗ ~dl =
∫S
∂~B
∂t∗ n̂dS (7)
e pelo teorema do rotacional:∫C
~E ∗ ~dl =
∫C
(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)
temos, por �m:
~∇x~E =∂~B
∂t(9)
que é a forma diferencial da Lei de Indução de Faraday, e
corresponde a uma das Equações de Maxwell. A interpretação física
deste resultado é que um campo magnético que varia com o tempo
produz um campo elétrico.
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Circuito C �xo e B variável
Neste caso, temos que:
ξ =
∫C
~E ∗ ~dl =
∫S
∂~B
∂t∗ n̂dS (7)
e pelo teorema do rotacional:∫C
~E ∗ ~dl =
∫C
(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)
temos, por �m:
~∇x~E =∂~B
∂t(9)
que é a forma diferencial da Lei de Indução de Faraday, e
corresponde a uma das Equações de Maxwell. A interpretação física
deste resultado é que um campo magnético que varia com o tempo
produz um campo elétrico.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução
IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Consideremos uma haste metálica AA' que se desloca dentro de um
campo uniforme ~B , conforme a �gura:
Se a normal n̂ ao plano do circuito é orientada para cima, o �uxo do
campo através do circuito é negativo, e a fem induzida é dada por:
Φ = −Blh =⇒ ξ = −dΦ
dt= Bh
dl
dt= Bhv (10)
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Consideremos uma haste metálica AA' que se desloca dentro de um
campo uniforme ~B , conforme a �gura:
Se a normal n̂ ao plano do circuito é orientada para cima, o �uxo do
campo através do circuito é negativo, e a fem induzida é dada por:
Φ = −Blh =⇒ ξ = −dΦ
dt= Bh
dl
dt= Bhv (10)
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Consideremos uma haste metálica AA' que se desloca dentro de um
campo uniforme ~B , conforme a �gura:
Se a normal n̂ ao plano do circuito é orientada para cima, o �uxo do
campo através do circuito é negativo, e a fem induzida é dada por:
Φ = −Blh =⇒ ξ = −dΦ
dt= Bh
dl
dt= Bhv (10)
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Consideremos uma haste metálica AA' que se desloca dentro de um
campo uniforme ~B , conforme a �gura:
Se a normal n̂ ao plano do circuito é orientada para cima, o �uxo do
campo através do circuito é negativo, e a fem induzida é dada por:
Φ = −Blh
=⇒ ξ = −dΦ
dt= Bh
dl
dt= Bhv (10)
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Consideremos uma haste metálica AA' que se desloca dentro de um
campo uniforme ~B , conforme a �gura:
Se a normal n̂ ao plano do circuito é orientada para cima, o �uxo do
campo através do circuito é negativo, e a fem induzida é dada por:
Φ = −Blh =⇒
ξ = −dΦ
dt= Bh
dl
dt= Bhv (10)
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
Consideremos uma haste metálica AA' que se desloca dentro de um
campo uniforme ~B , conforme a �gura:
Se a normal n̂ ao plano do circuito é orientada para cima, o �uxo do
campo através do circuito é negativo, e a fem induzida é dada por:
Φ = −Blh =⇒ ξ = −dΦ
dt= Bh
dl
dt= Bhv (10)
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
e através da Lei de Ohm, encontramos a potência dissipada pela
corrente induzida por Efeito Joule:
i =ξ
R=
Bhv
R=⇒ P = ξi = Bhv
Bhv
R=
B2h2
Rv2 (11)
Por outro lado, a força magnética com que o campo atua sobre a
haste tem, portanto, o sentido oposto ao de ~v , e é dada por:
~Fm = i
A′∫A
~dlx~B = −ihB~v
v= −h
2B2
R~v (12)
e o trabalho realizado por essa força por unidade de tempo é:
dW
dt= ~F ∗ ~v =
h2B2
Rv2 (13)
Os resultados (13) e (11) con�rmam o princípio da conservação de
energia, e concordam com a discussão do sinal da Lei de Lenz.
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Energia Magnética
A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
e através da Lei de Ohm, encontramos a potência dissipada pela
corrente induzida por Efeito Joule:
i =ξ
R=
Bhv
R
=⇒ P = ξi = BhvBhv
R=
B2h2
Rv2 (11)
Por outro lado, a força magnética com que o campo atua sobre a
haste tem, portanto, o sentido oposto ao de ~v , e é dada por:
~Fm = i
A′∫A
~dlx~B = −ihB~v
v= −h
2B2
R~v (12)
e o trabalho realizado por essa força por unidade de tempo é:
dW
dt= ~F ∗ ~v =
h2B2
Rv2 (13)
Os resultados (13) e (11) con�rmam o princípio da conservação de
energia, e concordam com a discussão do sinal da Lei de Lenz.
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A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
e através da Lei de Ohm, encontramos a potência dissipada pela
corrente induzida por Efeito Joule:
i =ξ
R=
Bhv
R=⇒
P = ξi = BhvBhv
R=
B2h2
Rv2 (11)
Por outro lado, a força magnética com que o campo atua sobre a
haste tem, portanto, o sentido oposto ao de ~v , e é dada por:
~Fm = i
A′∫A
~dlx~B = −ihB~v
v= −h
2B2
R~v (12)
e o trabalho realizado por essa força por unidade de tempo é:
dW
dt= ~F ∗ ~v =
h2B2
Rv2 (13)
Os resultados (13) e (11) con�rmam o princípio da conservação de
energia, e concordam com a discussão do sinal da Lei de Lenz.
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e através da Lei de Ohm, encontramos a potência dissipada pela
corrente induzida por Efeito Joule:
i =ξ
R=
Bhv
R=⇒ P = ξi = Bhv
Bhv
R=
B2h2
Rv2 (11)
Por outro lado, a força magnética com que o campo atua sobre a
haste tem, portanto, o sentido oposto ao de ~v , e é dada por:
~Fm = i
A′∫A
~dlx~B = −ihB~v
v= −h
2B2
R~v (12)
e o trabalho realizado por essa força por unidade de tempo é:
dW
dt= ~F ∗ ~v =
h2B2
Rv2 (13)
Os resultados (13) e (11) con�rmam o princípio da conservação de
energia, e concordam com a discussão do sinal da Lei de Lenz.
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e através da Lei de Ohm, encontramos a potência dissipada pela
corrente induzida por Efeito Joule:
i =ξ
R=
Bhv
R=⇒ P = ξi = Bhv
Bhv
R=
B2h2
Rv2 (11)
Por outro lado, a força magnética com que o campo atua sobre a
haste tem, portanto, o sentido oposto ao de ~v , e é dada por:
~Fm = i
A′∫A
~dlx~B = −ihB~v
v= −h
2B2
R~v (12)
e o trabalho realizado por essa força por unidade de tempo é:
dW
dt= ~F ∗ ~v =
h2B2
Rv2 (13)
Os resultados (13) e (11) con�rmam o princípio da conservação de
energia, e concordam com a discussão do sinal da Lei de Lenz.
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e através da Lei de Ohm, encontramos a potência dissipada pela
corrente induzida por Efeito Joule:
i =ξ
R=
Bhv
R=⇒ P = ξi = Bhv
Bhv
R=
B2h2
Rv2 (11)
Por outro lado, a força magnética com que o campo atua sobre a
haste tem, portanto, o sentido oposto ao de ~v , e é dada por:
~Fm = i
A′∫A
~dlx~B = −ihB~v
v= −h
2B2
R~v (12)
e o trabalho realizado por essa força por unidade de tempo é:
dW
dt= ~F ∗ ~v =
h2B2
Rv2 (13)
Os resultados (13) e (11) con�rmam o princípio da conservação de
energia, e concordam com a discussão do sinal da Lei de Lenz.
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e através da Lei de Ohm, encontramos a potência dissipada pela
corrente induzida por Efeito Joule:
i =ξ
R=
Bhv
R=⇒ P = ξi = Bhv
Bhv
R=
B2h2
Rv2 (11)
Por outro lado, a força magnética com que o campo atua sobre a
haste tem, portanto, o sentido oposto ao de ~v , e é dada por:
~Fm = i
A′∫A
~dlx~B = −ihB~v
v= −h
2B2
R~v (12)
e o trabalho realizado por essa força por unidade de tempo é:
dW
dt= ~F ∗ ~v =
h2B2
Rv2 (13)
Os resultados (13) e (11) con�rmam o princípio da conservação de
energia, e concordam com a discussão do sinal da Lei de Lenz.
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e através da Lei de Ohm, encontramos a potência dissipada pela
corrente induzida por Efeito Joule:
i =ξ
R=
Bhv
R=⇒ P = ξi = Bhv
Bhv
R=
B2h2
Rv2 (11)
Por outro lado, a força magnética com que o campo atua sobre a
haste tem, portanto, o sentido oposto ao de ~v , e é dada por:
~Fm = i
A′∫A
~dlx~B = −ihB~v
v= −h
2B2
R~v (12)
e o trabalho realizado por essa força por unidade de tempo é:
dW
dt= ~F ∗ ~v =
h2B2
Rv2 (13)
Os resultados (13) e (11) con�rmam o princípio da conservação de
energia, e concordam com a discussão do sinal da Lei de Lenz.
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A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo
e através da Lei de Ohm, encontramos a potência dissipada pela
corrente induzida por Efeito Joule:
i =ξ
R=
Bhv
R=⇒ P = ξi = Bhv
Bhv
R=
B2h2
Rv2 (11)
Por outro lado, a força magnética com que o campo atua sobre a
haste tem, portanto, o sentido oposto ao de ~v , e é dada por:
~Fm = i
A′∫A
~dlx~B = −ihB~v
v= −h
2B2
R~v (12)
e o trabalho realizado por essa força por unidade de tempo é:
dW
dt= ~F ∗ ~v =
h2B2
Rv2 (13)
Os resultados (13) e (11) con�rmam o princípio da conservação de
energia, e concordam com a discussão do sinal da Lei de Lenz.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução
IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
Motor de InduçãoGeração de Corrente AlternadaO Bétatron
Motor de Indução
Consideremos a situação ilustrada a seguir, em que uma bateria
gera uma diferença de potencial V entre os trilhos, fazendo passar
uma corrente i com sentido oposto a do exemplo anterior:
Assim, a normal ao planodo circuito agora tem de ser orientada
para baixo, de modo que a fem induzida também troca de sinal:
ξ = −Bhv =⇒ i =V − Bhv
R(14)
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Energia Magnética
Motor de InduçãoGeração de Corrente AlternadaO Bétatron
Motor de Indução
Consideremos a situação ilustrada a seguir, em que uma bateria
gera uma diferença de potencial V entre os trilhos, fazendo passar
uma corrente i com sentido oposto a do exemplo anterior:
Assim, a normal ao planodo circuito agora tem de ser orientada
para baixo, de modo que a fem induzida também troca de sinal:
ξ = −Bhv =⇒ i =V − Bhv
R(14)
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Energia Magnética
Motor de InduçãoGeração de Corrente AlternadaO Bétatron
Motor de Indução
Consideremos a situação ilustrada a seguir, em que uma bateria
gera uma diferença de potencial V entre os trilhos, fazendo passar
uma corrente i com sentido oposto a do exemplo anterior:
Assim, a normal ao planodo circuito agora tem de ser orientada
para baixo, de modo que a fem induzida também troca de sinal:
ξ = −Bhv =⇒ i =V − Bhv
R(14)
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Energia Magnética
Motor de InduçãoGeração de Corrente AlternadaO Bétatron
Motor de Indução
Consideremos a situação ilustrada a seguir, em que uma bateria
gera uma diferença de potencial V entre os trilhos, fazendo passar
uma corrente i com sentido oposto a do exemplo anterior:
Assim, a normal ao planodo circuito agora tem de ser orientada
para baixo, de modo que a fem induzida também troca de sinal:
ξ = −Bhv =⇒ i =V − Bhv
R(14)
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
Motor de InduçãoGeração de Corrente AlternadaO Bétatron
Motor de Indução
Consideremos a situação ilustrada a seguir, em que uma bateria
gera uma diferença de potencial V entre os trilhos, fazendo passar
uma corrente i com sentido oposto a do exemplo anterior:
Assim, a normal ao planodo circuito agora tem de ser orientada
para baixo, de modo que a fem induzida também troca de sinal:
ξ = −Bhv
=⇒ i =V − Bhv
R(14)
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Energia Magnética
Motor de InduçãoGeração de Corrente AlternadaO Bétatron
Motor de Indução
Consideremos a situação ilustrada a seguir, em que uma bateria
gera uma diferença de potencial V entre os trilhos, fazendo passar
uma corrente i com sentido oposto a do exemplo anterior:
Assim, a normal ao planodo circuito agora tem de ser orientada
para baixo, de modo que a fem induzida também troca de sinal:
ξ = −Bhv =⇒
i =V − Bhv
R(14)
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Energia Magnética
Motor de InduçãoGeração de Corrente AlternadaO Bétatron
Motor de Indução
Consideremos a situação ilustrada a seguir, em que uma bateria
gera uma diferença de potencial V entre os trilhos, fazendo passar
uma corrente i com sentido oposto a do exemplo anterior:
Assim, a normal ao planodo circuito agora tem de ser orientada
para baixo, de modo que a fem induzida também troca de sinal:
ξ = −Bhv =⇒ i =V − Bhv
R(14)
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
Motor de InduçãoGeração de Corrente AlternadaO Bétatron
A força magnética é equilibrada pela força-pêso. Logo:
Fm = ihB =
(V
R− Bhv
R
)hB = mg (15)
Logo:
v =R
hB
(V
R− mg
hB
)=⇒ i =
V
R−(V
R− mg
hB
)=
mg
hB(16)
Agora, para que haja conservação de energia, devemos ter:
mgv + i2R = Vi =⇒ mgR
hB
(V
R− mg
hB
)+(mg
hB
)2= V
mg
hB= Vi
(17)
este é um balanço típico de energia de um motor.
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Energia Magnética
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A força magnética é equilibrada pela força-pêso. Logo:
Fm = ihB =
(V
R− Bhv
R
)hB = mg (15)
Logo:
v =R
hB
(V
R− mg
hB
)=⇒ i =
V
R−(V
R− mg
hB
)=
mg
hB(16)
Agora, para que haja conservação de energia, devemos ter:
mgv + i2R = Vi =⇒ mgR
hB
(V
R− mg
hB
)+(mg
hB
)2= V
mg
hB= Vi
(17)
este é um balanço típico de energia de um motor.
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Energia Magnética
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A força magnética é equilibrada pela força-pêso. Logo:
Fm = ihB =
(V
R− Bhv
R
)hB = mg (15)
Logo:
v =R
hB
(V
R− mg
hB
)
=⇒ i =V
R−(V
R− mg
hB
)=
mg
hB(16)
Agora, para que haja conservação de energia, devemos ter:
mgv + i2R = Vi =⇒ mgR
hB
(V
R− mg
hB
)+(mg
hB
)2= V
mg
hB= Vi
(17)
este é um balanço típico de energia de um motor.
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Energia Magnética
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A força magnética é equilibrada pela força-pêso. Logo:
Fm = ihB =
(V
R− Bhv
R
)hB = mg (15)
Logo:
v =R
hB
(V
R− mg
hB
)=⇒
i =V
R−(V
R− mg
hB
)=
mg
hB(16)
Agora, para que haja conservação de energia, devemos ter:
mgv + i2R = Vi =⇒ mgR
hB
(V
R− mg
hB
)+(mg
hB
)2= V
mg
hB= Vi
(17)
este é um balanço típico de energia de um motor.
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Energia Magnética
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A força magnética é equilibrada pela força-pêso. Logo:
Fm = ihB =
(V
R− Bhv
R
)hB = mg (15)
Logo:
v =R
hB
(V
R− mg
hB
)=⇒ i =
V
R−(V
R− mg
hB
)=
mg
hB(16)
Agora, para que haja conservação de energia, devemos ter:
mgv + i2R = Vi =⇒ mgR
hB
(V
R− mg
hB
)+(mg
hB
)2= V
mg
hB= Vi
(17)
este é um balanço típico de energia de um motor.
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A força magnética é equilibrada pela força-pêso. Logo:
Fm = ihB =
(V
R− Bhv
R
)hB = mg (15)
Logo:
v =R
hB
(V
R− mg
hB
)=⇒ i =
V
R−(V
R− mg
hB
)=
mg
hB(16)
Agora, para que haja conservação de energia, devemos ter:
mgv + i2R = Vi =⇒ mgR
hB
(V
R− mg
hB
)+(mg
hB
)2= V
mg
hB= Vi
(17)
este é um balanço típico de energia de um motor.
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A força magnética é equilibrada pela força-pêso. Logo:
Fm = ihB =
(V
R− Bhv
R
)hB = mg (15)
Logo:
v =R
hB
(V
R− mg
hB
)=⇒ i =
V
R−(V
R− mg
hB
)=
mg
hB(16)
Agora, para que haja conservação de energia, devemos ter:
mgv + i2R = Vi
=⇒ mgR
hB
(V
R− mg
hB
)+(mg
hB
)2= V
mg
hB= Vi
(17)
este é um balanço típico de energia de um motor.
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A força magnética é equilibrada pela força-pêso. Logo:
Fm = ihB =
(V
R− Bhv
R
)hB = mg (15)
Logo:
v =R
hB
(V
R− mg
hB
)=⇒ i =
V
R−(V
R− mg
hB
)=
mg
hB(16)
Agora, para que haja conservação de energia, devemos ter:
mgv + i2R = Vi =⇒
mgR
hB
(V
R− mg
hB
)+(mg
hB
)2= V
mg
hB= Vi
(17)
este é um balanço típico de energia de um motor.
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A força magnética é equilibrada pela força-pêso. Logo:
Fm = ihB =
(V
R− Bhv
R
)hB = mg (15)
Logo:
v =R
hB
(V
R− mg
hB
)=⇒ i =
V
R−(V
R− mg
hB
)=
mg
hB(16)
Agora, para que haja conservação de energia, devemos ter:
mgv + i2R = Vi =⇒ mgR
hB
(V
R− mg
hB
)+(mg
hB
)2= V
mg
hB= Vi
(17)
este é um balanço típico de energia de um motor.
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A força magnética é equilibrada pela força-pêso. Logo:
Fm = ihB =
(V
R− Bhv
R
)hB = mg (15)
Logo:
v =R
hB
(V
R− mg
hB
)=⇒ i =
V
R−(V
R− mg
hB
)=
mg
hB(16)
Agora, para que haja conservação de energia, devemos ter:
mgv + i2R = Vi =⇒ mgR
hB
(V
R− mg
hB
)+(mg
hB
)2= V
mg
hB= Vi
(17)
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Motor de InduçãoGeração de Corrente AlternadaO Bétatron
Geração de Corrente Alternada
O quadro de N espiras e área S gira dentro de um campo ~Buniforme, com velocidade angular ω, de modo que o ângulo θ entre~B e a normal ao quadro é dado por θ = ωt. Logo, o �uxo através
das espiras é:
Φ = N(~B ∗ ~S) = NBS ∗ cosθ = NBS ∗ cos(ωt) (18)
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Energia Magnética
Motor de InduçãoGeração de Corrente AlternadaO Bétatron
Geração de Corrente Alternada
O quadro de N espiras e área S gira dentro de um campo ~Buniforme, com velocidade angular ω, de modo que o ângulo θ entre~B e a normal ao quadro é dado por θ = ωt. Logo, o �uxo através
das espiras é:
Φ = N(~B ∗ ~S) = NBS ∗ cosθ = NBS ∗ cos(ωt) (18)
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Geração de Corrente Alternada
O quadro de N espiras e área S gira dentro de um campo ~Buniforme, com velocidade angular ω, de modo que o ângulo θ entre~B e a normal ao quadro é dado por θ = ωt. Logo, o �uxo através
das espiras é:
Φ = N(~B ∗ ~S) = NBS ∗ cosθ = NBS ∗ cos(ωt) (18)
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Geração de Corrente Alternada
O quadro de N espiras e área S gira dentro de um campo ~Buniforme, com velocidade angular ω, de modo que o ângulo θ entre~B e a normal ao quadro é dado por θ = ωt. Logo, o �uxo através
das espiras é:
Φ = N(~B ∗ ~S) = NBS ∗ cosθ = NBS ∗ cos(ωt) (18)Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução
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Energia Magnética
Motor de InduçãoGeração de Corrente AlternadaO Bétatron
A fem induzida é, portanto:
ξ = −dΦ
dt= NBSωsen(ωt) (19)
e a corrente gerada será:
i =ξ
R=
NBSω
Rsen(ωt) (20)
neste caso, o quadro se comportará como um dipolo magnético.
Assim:
~m = iSNn̂ =⇒ τ = |~mx~B| = iSNB ∗ sen(ωt) (21)
e para que o quadro permaneça girando com velocidade angular
constante ω, é preciso fornecer-lhe uma potência mecânica:
dW
dt= ωτ = iωSNBsen(ωt) = ξi (22)
ou seja, a potência elétrica gerada foi obtida pela conversão da
potência mecânica fornecida ao quadro.
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A fem induzida é, portanto:
ξ = −dΦ
dt= NBSωsen(ωt) (19)
e a corrente gerada será:
i =ξ
R=
NBSω
Rsen(ωt) (20)
neste caso, o quadro se comportará como um dipolo magnético.
Assim:
~m = iSNn̂ =⇒ τ = |~mx~B| = iSNB ∗ sen(ωt) (21)
e para que o quadro permaneça girando com velocidade angular
constante ω, é preciso fornecer-lhe uma potência mecânica:
dW
dt= ωτ = iωSNBsen(ωt) = ξi (22)
ou seja, a potência elétrica gerada foi obtida pela conversão da
potência mecânica fornecida ao quadro.
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
Motor de InduçãoGeração de Corrente AlternadaO Bétatron
A fem induzida é, portanto:
ξ = −dΦ
dt= NBSωsen(ωt) (19)
e a corrente gerada será:
i =ξ
R=
NBSω
Rsen(ωt) (20)
neste caso, o quadro se comportará como um dipolo magnético.
Assim:
~m = iSNn̂ =⇒ τ = |~mx~B| = iSNB ∗ sen(ωt) (21)
e para que o quadro permaneça girando com velocidade angular
constante ω, é preciso fornecer-lhe uma potência mecânica:
dW
dt= ωτ = iωSNBsen(ωt) = ξi (22)
ou seja, a potência elétrica gerada foi obtida pela conversão da
potência mecânica fornecida ao quadro.
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A fem induzida é, portanto:
ξ = −dΦ
dt= NBSωsen(ωt) (19)
e a corrente gerada será:
i =ξ
R=
NBSω
Rsen(ωt) (20)
neste caso, o quadro se comportará como um dipolo magnético.
Assim:
~m = iSNn̂ =⇒ τ = |~mx~B| = iSNB ∗ sen(ωt) (21)
e para que o quadro permaneça girando com velocidade angular
constante ω, é preciso fornecer-lhe uma potência mecânica:
dW
dt= ωτ = iωSNBsen(ωt) = ξi (22)
ou seja, a potência elétrica gerada foi obtida pela conversão da
potência mecânica fornecida ao quadro.
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A fem induzida é, portanto:
ξ = −dΦ
dt= NBSωsen(ωt) (19)
e a corrente gerada será:
i =ξ
R=
NBSω
Rsen(ωt) (20)
neste caso, o quadro se comportará como um dipolo magnético.
Assim:
~m = iSNn̂ =⇒ τ = |~mx~B| = iSNB ∗ sen(ωt) (21)
e para que o quadro permaneça girando com velocidade angular
constante ω, é preciso fornecer-lhe uma potência mecânica:
dW
dt= ωτ = iωSNBsen(ωt) = ξi (22)
ou seja, a potência elétrica gerada foi obtida pela conversão da
potência mecânica fornecida ao quadro.
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A fem induzida é, portanto:
ξ = −dΦ
dt= NBSωsen(ωt) (19)
e a corrente gerada será:
i =ξ
R=
NBSω
Rsen(ωt) (20)
neste caso, o quadro se comportará como um dipolo magnético.
Assim:
~m = iSNn̂
=⇒ τ = |~mx~B| = iSNB ∗ sen(ωt) (21)
e para que o quadro permaneça girando com velocidade angular
constante ω, é preciso fornecer-lhe uma potência mecânica:
dW
dt= ωτ = iωSNBsen(ωt) = ξi (22)
ou seja, a potência elétrica gerada foi obtida pela conversão da
potência mecânica fornecida ao quadro.
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A fem induzida é, portanto:
ξ = −dΦ
dt= NBSωsen(ωt) (19)
e a corrente gerada será:
i =ξ
R=
NBSω
Rsen(ωt) (20)
neste caso, o quadro se comportará como um dipolo magnético.
Assim:
~m = iSNn̂ =⇒
τ = |~mx~B| = iSNB ∗ sen(ωt) (21)
e para que o quadro permaneça girando com velocidade angular
constante ω, é preciso fornecer-lhe uma potência mecânica:
dW
dt= ωτ = iωSNBsen(ωt) = ξi (22)
ou seja, a potência elétrica gerada foi obtida pela conversão da
potência mecânica fornecida ao quadro.
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A fem induzida é, portanto:
ξ = −dΦ
dt= NBSωsen(ωt) (19)
e a corrente gerada será:
i =ξ
R=
NBSω
Rsen(ωt) (20)
neste caso, o quadro se comportará como um dipolo magnético.
Assim:
~m = iSNn̂ =⇒ τ = |~mx~B| = iSNB ∗ sen(ωt) (21)
e para que o quadro permaneça girando com velocidade angular
constante ω, é preciso fornecer-lhe uma potência mecânica:
dW
dt= ωτ = iωSNBsen(ωt) = ξi (22)
ou seja, a potência elétrica gerada foi obtida pela conversão da
potência mecânica fornecida ao quadro.
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A fem induzida é, portanto:
ξ = −dΦ
dt= NBSωsen(ωt) (19)
e a corrente gerada será:
i =ξ
R=
NBSω
Rsen(ωt) (20)
neste caso, o quadro se comportará como um dipolo magnético.
Assim:
~m = iSNn̂ =⇒ τ = |~mx~B| = iSNB ∗ sen(ωt) (21)
e para que o quadro permaneça girando com velocidade angular
constante ω, é preciso fornecer-lhe uma potência mecânica:
dW
dt= ωτ = iωSNBsen(ωt) = ξi (22)
ou seja, a potência elétrica gerada foi obtida pela conversão da
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A fem induzida é, portanto:
ξ = −dΦ
dt= NBSωsen(ωt) (19)
e a corrente gerada será:
i =ξ
R=
NBSω
Rsen(ωt) (20)
neste caso, o quadro se comportará como um dipolo magnético.
Assim:
~m = iSNn̂ =⇒ τ = |~mx~B| = iSNB ∗ sen(ωt) (21)
e para que o quadro permaneça girando com velocidade angular
constante ω, é preciso fornecer-lhe uma potência mecânica:
dW
dt= ωτ = iωSNBsen(ωt) = ξi (22)
ou seja, a potência elétrica gerada foi obtida pela conversão da
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A fem induzida é, portanto:
ξ = −dΦ
dt= NBSωsen(ωt) (19)
e a corrente gerada será:
i =ξ
R=
NBSω
Rsen(ωt) (20)
neste caso, o quadro se comportará como um dipolo magnético.
Assim:
~m = iSNn̂ =⇒ τ = |~mx~B| = iSNB ∗ sen(ωt) (21)
e para que o quadro permaneça girando com velocidade angular
constante ω, é preciso fornecer-lhe uma potência mecânica:
dW
dt= ωτ = iωSNBsen(ωt) = ξi (22)
ou seja, a potência elétrica gerada foi obtida pela conversão da
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Energia Magnética
Motor de InduçãoGeração de Corrente AlternadaO Bétatron
O Bétatron
O Bétatron é um acelerador de elétrons, onde descrevem órbitas
circulares sob a ação de um campo magnético, mantendo o raio
orbital �xo e acelerando-se constantemente, devido à variação do
campo ~B com o tempo.
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O Bétatron
O Bétatron é um acelerador de elétrons, onde descrevem órbitas
circulares sob a ação de um campo magnético, mantendo o raio
orbital �xo e acelerando-se constantemente, devido à variação do
campo ~B com o tempo.
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O Bétatron
O Bétatron é um acelerador de elétrons, onde descrevem órbitas
circulares sob a ação de um campo magnético, mantendo o raio
orbital �xo e acelerando-se constantemente, devido à variação do
campo ~B com o tempo.
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Energia Magnética
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Se B0 é o campo sobre a órbita, tratado como uniforme, sabemos
que o raio r é dado por:
r =p
eB0=⇒ p = eB0r (23)
onde p é a magnitude do momento do elétron. Como ~B varia com
a distância ao eixo, de�nimos o valor médio de B sobre a área S da
órbita como sendo:
Bm ≡1
πr2
∫S
~B ∗ n̂dS =ΦC
πr2(24)
Pela Lei da Indução, a fem ao longo da órbita C é:
ξ = −dΦC
dt= − d
dt(πr2Bm) = −πr2 dBm
dt(25)
e
ξ =
∮C
~E ∗ ~dl = 2πrE (26)
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Se B0 é o campo sobre a órbita, tratado como uniforme, sabemos
que o raio r é dado por:
r =p
eB0
=⇒ p = eB0r (23)
onde p é a magnitude do momento do elétron. Como ~B varia com
a distância ao eixo, de�nimos o valor médio de B sobre a área S da
órbita como sendo:
Bm ≡1
πr2
∫S
~B ∗ n̂dS =ΦC
πr2(24)
Pela Lei da Indução, a fem ao longo da órbita C é:
ξ = −dΦC
dt= − d
dt(πr2Bm) = −πr2 dBm
dt(25)
e
ξ =
∮C
~E ∗ ~dl = 2πrE (26)
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Se B0 é o campo sobre a órbita, tratado como uniforme, sabemos
que o raio r é dado por:
r =p
eB0=⇒
p = eB0r (23)
onde p é a magnitude do momento do elétron. Como ~B varia com
a distância ao eixo, de�nimos o valor médio de B sobre a área S da
órbita como sendo:
Bm ≡1
πr2
∫S
~B ∗ n̂dS =ΦC
πr2(24)
Pela Lei da Indução, a fem ao longo da órbita C é:
ξ = −dΦC
dt= − d
dt(πr2Bm) = −πr2 dBm
dt(25)
e
ξ =
∮C
~E ∗ ~dl = 2πrE (26)
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Se B0 é o campo sobre a órbita, tratado como uniforme, sabemos
que o raio r é dado por:
r =p
eB0=⇒ p = eB0r (23)
onde p é a magnitude do momento do elétron. Como ~B varia com
a distância ao eixo, de�nimos o valor médio de B sobre a área S da
órbita como sendo:
Bm ≡1
πr2
∫S
~B ∗ n̂dS =ΦC
πr2(24)
Pela Lei da Indução, a fem ao longo da órbita C é:
ξ = −dΦC
dt= − d
dt(πr2Bm) = −πr2 dBm
dt(25)
e
ξ =
∮C
~E ∗ ~dl = 2πrE (26)
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Se B0 é o campo sobre a órbita, tratado como uniforme, sabemos
que o raio r é dado por:
r =p
eB0=⇒ p = eB0r (23)
onde p é a magnitude do momento do elétron. Como ~B varia com
a distância ao eixo, de�nimos o valor médio de B sobre a área S da
órbita como sendo:
Bm ≡1
πr2
∫S
~B ∗ n̂dS =ΦC
πr2(24)
Pela Lei da Indução, a fem ao longo da órbita C é:
ξ = −dΦC
dt= − d
dt(πr2Bm) = −πr2 dBm
dt(25)
e
ξ =
∮C
~E ∗ ~dl = 2πrE (26)
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Se B0 é o campo sobre a órbita, tratado como uniforme, sabemos
que o raio r é dado por:
r =p
eB0=⇒ p = eB0r (23)
onde p é a magnitude do momento do elétron. Como ~B varia com
a distância ao eixo, de�nimos o valor médio de B sobre a área S da
órbita como sendo:
Bm ≡1
πr2
∫S
~B ∗ n̂dS =ΦC
πr2(24)
Pela Lei da Indução, a fem ao longo da órbita C é:
ξ = −dΦC
dt= − d
dt(πr2Bm) = −πr2 dBm
dt(25)
e
ξ =
∮C
~E ∗ ~dl = 2πrE (26)
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Se B0 é o campo sobre a órbita, tratado como uniforme, sabemos
que o raio r é dado por:
r =p
eB0=⇒ p = eB0r (23)
onde p é a magnitude do momento do elétron. Como ~B varia com
a distância ao eixo, de�nimos o valor médio de B sobre a área S da
órbita como sendo:
Bm ≡1
πr2
∫S
~B ∗ n̂dS =ΦC
πr2(24)
Pela Lei da Indução, a fem ao longo da órbita C é:
ξ = −dΦC
dt= − d
dt(πr2Bm) = −πr2 dBm
dt(25)
e
ξ =
∮C
~E ∗ ~dl = 2πrE (26)
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Se B0 é o campo sobre a órbita, tratado como uniforme, sabemos
que o raio r é dado por:
r =p
eB0=⇒ p = eB0r (23)
onde p é a magnitude do momento do elétron. Como ~B varia com
a distância ao eixo, de�nimos o valor médio de B sobre a área S da
órbita como sendo:
Bm ≡1
πr2
∫S
~B ∗ n̂dS =ΦC
πr2(24)
Pela Lei da Indução, a fem ao longo da órbita C é:
ξ = −dΦC
dt= − d
dt(πr2Bm) = −πr2 dBm
dt(25)
e
ξ =
∮C
~E ∗ ~dl = 2πrE (26)
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Se B0 é o campo sobre a órbita, tratado como uniforme, sabemos
que o raio r é dado por:
r =p
eB0=⇒ p = eB0r (23)
onde p é a magnitude do momento do elétron. Como ~B varia com
a distância ao eixo, de�nimos o valor médio de B sobre a área S da
órbita como sendo:
Bm ≡1
πr2
∫S
~B ∗ n̂dS =ΦC
πr2(24)
Pela Lei da Indução, a fem ao longo da órbita C é:
ξ = −dΦC
dt= − d
dt(πr2Bm) = −πr2 dBm
dt(25)
e
ξ =
∮C
~E ∗ ~dl = 2πrE (26)
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Se B0 é o campo sobre a órbita, tratado como uniforme, sabemos
que o raio r é dado por:
r =p
eB0=⇒ p = eB0r (23)
onde p é a magnitude do momento do elétron. Como ~B varia com
a distância ao eixo, de�nimos o valor médio de B sobre a área S da
órbita como sendo:
Bm ≡1
πr2
∫S
~B ∗ n̂dS =ΦC
πr2(24)
Pela Lei da Indução, a fem ao longo da órbita C é:
ξ = −dΦC
dt= − d
dt(πr2Bm) = −πr2 dBm
dt(25)
e
ξ =
∮C
~E ∗ ~dl = 2πrE (26)
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Energia Magnética
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Agora, a força tangencial que acelera um elétron é:
~F = −e~E = − eE
2πrr̂ =
er
2
d
dt~Bm (27)
e por (23), temos:
~F =d~p
dt= er
dB0
dt(28)
Logo, concluímos que:
B0 =1
2Bm (29)
ou seja, o campo sobre a órbita deve ser a metade de seu valor
médio sobra a área S da mesma.
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Agora, a força tangencial que acelera um elétron é:
~F = −e~E = − eE
2πrr̂ =
er
2
d
dt~Bm (27)
e por (23), temos:
~F =d~p
dt= er
dB0
dt(28)
Logo, concluímos que:
B0 =1
2Bm (29)
ou seja, o campo sobre a órbita deve ser a metade de seu valor
médio sobra a área S da mesma.
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Agora, a força tangencial que acelera um elétron é:
~F = −e~E = − eE
2πrr̂ =
er
2
d
dt~Bm (27)
e por (23), temos:
~F =d~p
dt= er
dB0
dt(28)
Logo, concluímos que:
B0 =1
2Bm (29)
ou seja, o campo sobre a órbita deve ser a metade de seu valor
médio sobra a área S da mesma.
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Agora, a força tangencial que acelera um elétron é:
~F = −e~E = − eE
2πrr̂ =
er
2
d
dt~Bm (27)
e por (23), temos:
~F =d~p
dt= er
dB0
dt(28)
Logo, concluímos que:
B0 =1
2Bm (29)
ou seja, o campo sobre a órbita deve ser a metade de seu valor
médio sobra a área S da mesma.
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Agora, a força tangencial que acelera um elétron é:
~F = −e~E = − eE
2πrr̂ =
er
2
d
dt~Bm (27)
e por (23), temos:
~F =d~p
dt= er
dB0
dt(28)
Logo, concluímos que:
B0 =1
2Bm (29)
ou seja, o campo sobre a órbita deve ser a metade de seu valor
médio sobra a área S da mesma.
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Agora, a força tangencial que acelera um elétron é:
~F = −e~E = − eE
2πrr̂ =
er
2
d
dt~Bm (27)
e por (23), temos:
~F =d~p
dt= er
dB0
dt(28)
Logo, concluímos que:
B0 =1
2Bm (29)
ou seja, o campo sobre a órbita deve ser a metade de seu valor
médio sobra a área S da mesma.
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Agora, a força tangencial que acelera um elétron é:
~F = −e~E = − eE
2πrr̂ =
er
2
d
dt~Bm (27)
e por (23), temos:
~F =d~p
dt= er
dB0
dt(28)
Logo, concluímos que:
B0 =1
2Bm (29)
ou seja, o campo sobre a órbita deve ser a metade de seu valor
médio sobra a área S da mesma.
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Energia Magnética
De�niçõesCorrentes Quase-Estacionárias
De�nições
Sejam dois solenóides coaxiais muito longos, de mesmo
comprimento l , um de raio R1 e N1 espiras, e outro de raio R2 > R1
e N2 espiras. Se �zermos passar uma corrente i1 estacionária sobre
o solenóide 1, o campo B1 que ela produz é dado por:
~B1 =
{µ0
N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1
0 se r > R1(30)
O �uxo produzido por ~B1 sobre as N2 espiras do solenóide 2 é:
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i1 (31)
que é proporcional a i1, onde:
L21 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)
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De�niçõesCorrentes Quase-Estacionárias
De�nições
Sejam dois solenóides coaxiais muito longos, de mesmo
comprimento l , um de raio R1 e N1 espiras, e outro de raio R2 > R1
e N2 espiras. Se �zermos passar uma corrente i1 estacionária sobre
o solenóide 1, o campo B1 que ela produz é dado por:
~B1 =
{µ0
N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1
0 se r > R1(30)
O �uxo produzido por ~B1 sobre as N2 espiras do solenóide 2 é:
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i1 (31)
que é proporcional a i1, onde:
L21 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)
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De�nições
Sejam dois solenóides coaxiais muito longos, de mesmo
comprimento l , um de raio R1 e N1 espiras, e outro de raio R2 > R1
e N2 espiras. Se �zermos passar uma corrente i1 estacionária sobre
o solenóide 1, o campo B1 que ela produz é dado por:
~B1 =
{µ0
N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1
0 se r > R1(30)
O �uxo produzido por ~B1 sobre as N2 espiras do solenóide 2 é:
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i1 (31)
que é proporcional a i1, onde:
L21 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
De�niçõesCorrentes Quase-Estacionárias
De�nições
Sejam dois solenóides coaxiais muito longos, de mesmo
comprimento l , um de raio R1 e N1 espiras, e outro de raio R2 > R1
e N2 espiras. Se �zermos passar uma corrente i1 estacionária sobre
o solenóide 1, o campo B1 que ela produz é dado por:
~B1 =
{µ0
N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1
0 se r > R1(30)
O �uxo produzido por ~B1 sobre as N2 espiras do solenóide 2 é:
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i1 (31)
que é proporcional a i1, onde:
L21 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)
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De�nições
Sejam dois solenóides coaxiais muito longos, de mesmo
comprimento l , um de raio R1 e N1 espiras, e outro de raio R2 > R1
e N2 espiras. Se �zermos passar uma corrente i1 estacionária sobre
o solenóide 1, o campo B1 que ela produz é dado por:
~B1 =
{µ0
N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1
0 se r > R1(30)
O �uxo produzido por ~B1 sobre as N2 espiras do solenóide 2 é:
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i1 (31)
que é proporcional a i1, onde:
L21 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)
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De�nições
Sejam dois solenóides coaxiais muito longos, de mesmo
comprimento l , um de raio R1 e N1 espiras, e outro de raio R2 > R1
e N2 espiras. Se �zermos passar uma corrente i1 estacionária sobre
o solenóide 1, o campo B1 que ela produz é dado por:
~B1 =
{µ0
N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1
0 se r > R1(30)
O �uxo produzido por ~B1 sobre as N2 espiras do solenóide 2 é:
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i1 (31)
que é proporcional a i1, onde:
L21 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)
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Sejam dois solenóides coaxiais muito longos, de mesmo
comprimento l , um de raio R1 e N1 espiras, e outro de raio R2 > R1
e N2 espiras. Se �zermos passar uma corrente i1 estacionária sobre
o solenóide 1, o campo B1 que ela produz é dado por:
~B1 =
{µ0
N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1
0 se r > R1(30)
O �uxo produzido por ~B1 sobre as N2 espiras do solenóide 2 é:
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i1 (31)
que é proporcional a i1, onde:
L21 = µ0N1N2
l(πR2
1 )
=⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)
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De�nições
Sejam dois solenóides coaxiais muito longos, de mesmo
comprimento l , um de raio R1 e N1 espiras, e outro de raio R2 > R1
e N2 espiras. Se �zermos passar uma corrente i1 estacionária sobre
o solenóide 1, o campo B1 que ela produz é dado por:
~B1 =
{µ0
N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1
0 se r > R1(30)
O �uxo produzido por ~B1 sobre as N2 espiras do solenóide 2 é:
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i1 (31)
que é proporcional a i1, onde:
L21 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒
Φ2(1) ≡ L21i1 (32)
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Sejam dois solenóides coaxiais muito longos, de mesmo
comprimento l , um de raio R1 e N1 espiras, e outro de raio R2 > R1
e N2 espiras. Se �zermos passar uma corrente i1 estacionária sobre
o solenóide 1, o campo B1 que ela produz é dado por:
~B1 =
{µ0
N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1
0 se r > R1(30)
O �uxo produzido por ~B1 sobre as N2 espiras do solenóide 2 é:
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i1 (31)
que é proporcional a i1, onde:
L21 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)
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De�niçõesCorrentes Quase-Estacionárias
é chamada indutância mútua, cuja unidade é o Henry (1H ≡ 1Wb
A).
Analogamente:
~B2 =
{µ0
N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2
0 se r > R2(33)
e o �uxo deste campo:
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i2 (34)
ou seja:
L12 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)
justi�cando o nome de indutância mútua.
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é chamada indutância mútua, cuja unidade é o Henry (1H ≡ 1Wb
A).
Analogamente:
~B2 =
{µ0
N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2
0 se r > R2(33)
e o �uxo deste campo:
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i2 (34)
ou seja:
L12 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)
justi�cando o nome de indutância mútua.
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é chamada indutância mútua, cuja unidade é o Henry (1H ≡ 1Wb
A).
Analogamente:
~B2 =
{µ0
N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2
0 se r > R2(33)
e o �uxo deste campo:
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i2 (34)
ou seja:
L12 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)
justi�cando o nome de indutância mútua.
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é chamada indutância mútua, cuja unidade é o Henry (1H ≡ 1Wb
A).
Analogamente:
~B2 =
{µ0
N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2
0 se r > R2(33)
e o �uxo deste campo:
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i2 (34)
ou seja:
L12 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)
justi�cando o nome de indutância mútua.
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é chamada indutância mútua, cuja unidade é o Henry (1H ≡ 1Wb
A).
Analogamente:
~B2 =
{µ0
N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2
0 se r > R2(33)
e o �uxo deste campo:
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i2 (34)
ou seja:
L12 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)
justi�cando o nome de indutância mútua.
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é chamada indutância mútua, cuja unidade é o Henry (1H ≡ 1Wb
A).
Analogamente:
~B2 =
{µ0
N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2
0 se r > R2(33)
e o �uxo deste campo:
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i2 (34)
ou seja:
L12 = µ0N1N2
l(πR2
1 )
=⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)
justi�cando o nome de indutância mútua.
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é chamada indutância mútua, cuja unidade é o Henry (1H ≡ 1Wb
A).
Analogamente:
~B2 =
{µ0
N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2
0 se r > R2(33)
e o �uxo deste campo:
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i2 (34)
ou seja:
L12 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒
Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)
justi�cando o nome de indutância mútua.
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é chamada indutância mútua, cuja unidade é o Henry (1H ≡ 1Wb
A).
Analogamente:
~B2 =
{µ0
N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2
0 se r > R2(33)
e o �uxo deste campo:
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i2 (34)
ou seja:
L12 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2
=⇒ L12 = L21 (35)
justi�cando o nome de indutância mútua.
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é chamada indutância mútua, cuja unidade é o Henry (1H ≡ 1Wb
A).
Analogamente:
~B2 =
{µ0
N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2
0 se r > R2(33)
e o �uxo deste campo:
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i2 (34)
ou seja:
L12 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒
L12 = L21 (35)
justi�cando o nome de indutância mútua.
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é chamada indutância mútua, cuja unidade é o Henry (1H ≡ 1Wb
A).
Analogamente:
~B2 =
{µ0
N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2
0 se r > R2(33)
e o �uxo deste campo:
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i2 (34)
ou seja:
L12 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)
justi�cando o nome de indutância mútua.
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é chamada indutância mútua, cuja unidade é o Henry (1H ≡ 1Wb
A).
Analogamente:
~B2 =
{µ0
N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2
0 se r > R2(33)
e o �uxo deste campo:
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0
N1N2
l(πR2
1 )i2 (34)
ou seja:
L12 = µ0N1N2
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)
justi�cando o nome de indutância mútua.
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Além de produzir um �uxo magnético no solenóide 2, a corrente i1também produz �uxo no próprio solenóide:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0
N21
l(πR2
1 )i1 (36)
onde:
L1 = µ0N21
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)
é dita auto-indutância do solenóide 1, e analogamente:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0
N22
l(πR2
2 )i2 (38)
onde:
L2 = µ0N22
l(πR2
2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)
é dita auto-indutância do solenóide 2.
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Além de produzir um �uxo magnético no solenóide 2, a corrente i1também produz �uxo no próprio solenóide:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0
N21
l(πR2
1 )i1 (36)
onde:
L1 = µ0N21
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)
é dita auto-indutância do solenóide 1, e analogamente:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0
N22
l(πR2
2 )i2 (38)
onde:
L2 = µ0N22
l(πR2
2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)
é dita auto-indutância do solenóide 2.
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Além de produzir um �uxo magnético no solenóide 2, a corrente i1também produz �uxo no próprio solenóide:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0
N21
l(πR2
1 )i1 (36)
onde:
L1 = µ0N21
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)
é dita auto-indutância do solenóide 1, e analogamente:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0
N22
l(πR2
2 )i2 (38)
onde:
L2 = µ0N22
l(πR2
2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)
é dita auto-indutância do solenóide 2.
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Além de produzir um �uxo magnético no solenóide 2, a corrente i1também produz �uxo no próprio solenóide:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0
N21
l(πR2
1 )i1 (36)
onde:
L1 = µ0N21
l(πR2
1 )
=⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)
é dita auto-indutância do solenóide 1, e analogamente:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0
N22
l(πR2
2 )i2 (38)
onde:
L2 = µ0N22
l(πR2
2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)
é dita auto-indutância do solenóide 2.
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Além de produzir um �uxo magnético no solenóide 2, a corrente i1também produz �uxo no próprio solenóide:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0
N21
l(πR2
1 )i1 (36)
onde:
L1 = µ0N21
l(πR2
1 ) =⇒
Φ1(1) ≡ L1i1 (37)
é dita auto-indutância do solenóide 1, e analogamente:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0
N22
l(πR2
2 )i2 (38)
onde:
L2 = µ0N22
l(πR2
2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)
é dita auto-indutância do solenóide 2.
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Além de produzir um �uxo magnético no solenóide 2, a corrente i1também produz �uxo no próprio solenóide:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0
N21
l(πR2
1 )i1 (36)
onde:
L1 = µ0N21
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)
é dita auto-indutância do solenóide 1, e analogamente:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0
N22
l(πR2
2 )i2 (38)
onde:
L2 = µ0N22
l(πR2
2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)
é dita auto-indutância do solenóide 2.
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Além de produzir um �uxo magnético no solenóide 2, a corrente i1também produz �uxo no próprio solenóide:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0
N21
l(πR2
1 )i1 (36)
onde:
L1 = µ0N21
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)
é dita auto-indutância do solenóide 1, e analogamente:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0
N22
l(πR2
2 )i2 (38)
onde:
L2 = µ0N22
l(πR2
2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)
é dita auto-indutância do solenóide 2.
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Além de produzir um �uxo magnético no solenóide 2, a corrente i1também produz �uxo no próprio solenóide:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0
N21
l(πR2
1 )i1 (36)
onde:
L1 = µ0N21
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)
é dita auto-indutância do solenóide 1, e analogamente:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0
N22
l(πR2
2 )i2 (38)
onde:
L2 = µ0N22
l(πR2
2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)
é dita auto-indutância do solenóide 2.
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
De�niçõesCorrentes Quase-Estacionárias
Além de produzir um �uxo magnético no solenóide 2, a corrente i1também produz �uxo no próprio solenóide:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0
N21
l(πR2
1 )i1 (36)
onde:
L1 = µ0N21
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)
é dita auto-indutância do solenóide 1, e analogamente:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0
N22
l(πR2
2 )i2 (38)
onde:
L2 = µ0N22
l(πR2
2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)
é dita auto-indutância do solenóide 2.
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Além de produzir um �uxo magnético no solenóide 2, a corrente i1também produz �uxo no próprio solenóide:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0
N21
l(πR2
1 )i1 (36)
onde:
L1 = µ0N21
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)
é dita auto-indutância do solenóide 1, e analogamente:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0
N22
l(πR2
2 )i2 (38)
onde:
L2 = µ0N22
l(πR2
2 )
=⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)
é dita auto-indutância do solenóide 2.
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Além de produzir um �uxo magnético no solenóide 2, a corrente i1também produz �uxo no próprio solenóide:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0
N21
l(πR2
1 )i1 (36)
onde:
L1 = µ0N21
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)
é dita auto-indutância do solenóide 1, e analogamente:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0
N22
l(πR2
2 )i2 (38)
onde:
L2 = µ0N22
l(πR2
2 ) =⇒
Φ2(2) ≡ L2i2 (39)
é dita auto-indutância do solenóide 2.
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Além de produzir um �uxo magnético no solenóide 2, a corrente i1também produz �uxo no próprio solenóide:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0
N21
l(πR2
1 )i1 (36)
onde:
L1 = µ0N21
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)
é dita auto-indutância do solenóide 1, e analogamente:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0
N22
l(πR2
2 )i2 (38)
onde:
L2 = µ0N22
l(πR2
2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)
é dita auto-indutância do solenóide 2.
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Além de produzir um �uxo magnético no solenóide 2, a corrente i1também produz �uxo no próprio solenóide:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0
N21
l(πR2
1 )i1 (36)
onde:
L1 = µ0N21
l(πR2
1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)
é dita auto-indutância do solenóide 1, e analogamente:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0
N22
l(πR2
2 )i2 (38)
onde:
L2 = µ0N22
l(πR2
2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
De�niçõesCorrentes Quase-Estacionárias
Se as correntes são simultâneas, então:
Φ1 = L1i1 + L12i2; Φ2 = L21i1 + L2i2 (40)
e as expressões acima dão:
L1L2 = µ20(N1N2)2
l2π2(R1R2)2 (41)
ou sejaL12√L1L2
=R1
R2(42)
que é < 1, e tenderia a 1 no limite R1 → R2.
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Se as correntes são simultâneas, então:
Φ1 = L1i1 + L12i2; Φ2 = L21i1 + L2i2 (40)
e as expressões acima dão:
L1L2 = µ20(N1N2)2
l2π2(R1R2)2 (41)
ou sejaL12√L1L2
=R1
R2(42)
que é < 1, e tenderia a 1 no limite R1 → R2.
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Se as correntes são simultâneas, então:
Φ1 = L1i1 + L12i2; Φ2 = L21i1 + L2i2 (40)
e as expressões acima dão:
L1L2 = µ20(N1N2)2
l2π2(R1R2)2 (41)
ou sejaL12√L1L2
=R1
R2(42)
que é < 1, e tenderia a 1 no limite R1 → R2.
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Se as correntes são simultâneas, então:
Φ1 = L1i1 + L12i2; Φ2 = L21i1 + L2i2 (40)
e as expressões acima dão:
L1L2 = µ20(N1N2)2
l2π2(R1R2)2 (41)
ou sejaL12√L1L2
=R1
R2(42)
que é < 1, e tenderia a 1 no limite R1 → R2.
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Se as correntes são simultâneas, então:
Φ1 = L1i1 + L12i2; Φ2 = L21i1 + L2i2 (40)
e as expressões acima dão:
L1L2 = µ20(N1N2)2
l2π2(R1R2)2 (41)
ou seja
L12√L1L2
=R1
R2(42)
que é < 1, e tenderia a 1 no limite R1 → R2.
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Se as correntes são simultâneas, então:
Φ1 = L1i1 + L12i2; Φ2 = L21i1 + L2i2 (40)
e as expressões acima dão:
L1L2 = µ20(N1N2)2
l2π2(R1R2)2 (41)
ou sejaL12√L1L2
=R1
R2(42)
que é < 1, e tenderia a 1 no limite R1 → R2.
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Se as correntes são simultâneas, então:
Φ1 = L1i1 + L12i2; Φ2 = L21i1 + L2i2 (40)
e as expressões acima dão:
L1L2 = µ20(N1N2)2
l2π2(R1R2)2 (41)
ou sejaL12√L1L2
=R1
R2(42)
que é < 1, e tenderia a 1 no limite R1 → R2.
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De�niçõesCorrentes Quase-Estacionárias
Correntes Quase-Estacionárias
Podemos concluir da Lei de Indução que, se i2(t) é a corrente
variável num circuito 2, a fem ξ1 induzida por essa variação num
circuito 1 será:
ξ1 = − d
dtΦ1(2) = −L12
di2
dt(43)
onde L12 é a indutância mútua entre os circuitos. Analogamenmte,
se i1(t) é a corrente variável num circuito 1, a fem ξ2 induzida por
essa variação num circuito 2 será:
ξ2 = − d
dtΦ2(1) = −L21
di1
dt(44)
E ainda, a variação de i1 e i2 com o tempo produzem fem's
auto-induzidas nos circuitos 1 e 2, dadas por:
ξ1 = −L1di1
dt; ξ2 = −L2
di2
dt(45)
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Podemos concluir da Lei de Indução que, se i2(t) é a corrente
variável num circuito 2, a fem ξ1 induzida por essa variação num
circuito 1 será:
ξ1 = − d
dtΦ1(2) = −L12
di2
dt(43)
onde L12 é a indutância mútua entre os circuitos. Analogamenmte,
se i1(t) é a corrente variável num circuito 1, a fem ξ2 induzida por
essa variação num circuito 2 será:
ξ2 = − d
dtΦ2(1) = −L21
di1
dt(44)
E ainda, a variação de i1 e i2 com o tempo produzem fem's
auto-induzidas nos circuitos 1 e 2, dadas por:
ξ1 = −L1di1
dt; ξ2 = −L2
di2
dt(45)
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Podemos concluir da Lei de Indução que, se i2(t) é a corrente
variável num circuito 2, a fem ξ1 induzida por essa variação num
circuito 1 será:
ξ1 = − d
dtΦ1(2) = −L12
di2
dt(43)
onde L12 é a indutância mútua entre os circuitos. Analogamenmte,
se i1(t) é a corrente variável num circuito 1, a fem ξ2 induzida por
essa variação num circuito 2 será:
ξ2 = − d
dtΦ2(1) = −L21
di1
dt(44)
E ainda, a variação de i1 e i2 com o tempo produzem fem's
auto-induzidas nos circuitos 1 e 2, dadas por:
ξ1 = −L1di1
dt; ξ2 = −L2
di2
dt(45)
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Podemos concluir da Lei de Indução que, se i2(t) é a corrente
variável num circuito 2, a fem ξ1 induzida por essa variação num
circuito 1 será:
ξ1 = − d
dtΦ1(2) = −L12
di2
dt(43)
onde L12 é a indutância mútua entre os circuitos. Analogamenmte,
se i1(t) é a corrente variável num circuito 1, a fem ξ2 induzida por
essa variação num circuito 2 será:
ξ2 = − d
dtΦ2(1) = −L21
di1
dt(44)
E ainda, a variação de i1 e i2 com o tempo produzem fem's
auto-induzidas nos circuitos 1 e 2, dadas por:
ξ1 = −L1di1
dt; ξ2 = −L2
di2
dt(45)
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Podemos concluir da Lei de Indução que, se i2(t) é a corrente
variável num circuito 2, a fem ξ1 induzida por essa variação num
circuito 1 será:
ξ1 = − d
dtΦ1(2) = −L12
di2
dt(43)
onde L12 é a indutância mútua entre os circuitos. Analogamenmte,
se i1(t) é a corrente variável num circuito 1, a fem ξ2 induzida por
essa variação num circuito 2 será:
ξ2 = − d
dtΦ2(1) = −L21
di1
dt(44)
E ainda, a variação de i1 e i2 com o tempo produzem fem's
auto-induzidas nos circuitos 1 e 2, dadas por:
ξ1 = −L1di1
dt; ξ2 = −L2
di2
dt(45)
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Podemos concluir da Lei de Indução que, se i2(t) é a corrente
variável num circuito 2, a fem ξ1 induzida por essa variação num
circuito 1 será:
ξ1 = − d
dtΦ1(2) = −L12
di2
dt(43)
onde L12 é a indutância mútua entre os circuitos. Analogamenmte,
se i1(t) é a corrente variável num circuito 1, a fem ξ2 induzida por
essa variação num circuito 2 será:
ξ2 = − d
dtΦ2(1) = −L21
di1
dt(44)
E ainda, a variação de i1 e i2 com o tempo produzem fem's
auto-induzidas nos circuitos 1 e 2, dadas por:
ξ1 = −L1di1
dt; ξ2 = −L2
di2
dt(45)
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Podemos concluir da Lei de Indução que, se i2(t) é a corrente
variável num circuito 2, a fem ξ1 induzida por essa variação num
circuito 1 será:
ξ1 = − d
dtΦ1(2) = −L12
di2
dt(43)
onde L12 é a indutância mútua entre os circuitos. Analogamenmte,
se i1(t) é a corrente variável num circuito 1, a fem ξ2 induzida por
essa variação num circuito 2 será:
ξ2 = − d
dtΦ2(1) = −L21
di1
dt(44)
E ainda, a variação de i1 e i2 com o tempo produzem fem's
auto-induzidas nos circuitos 1 e 2, dadas por:
ξ1 = −L1di1
dt; ξ2 = −L2
di2
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
De�niçõesCorrentes Quase-Estacionárias
Costuma-se convencionar que uma fem é positiva quando tem o
mesmo sentido da corrente no circuito onde atua, ou seja, tem a
orientação de ~dl . Como as fem's da Lei de Faraday se opõem à
variação da corrente, então di
dt> 0 =⇒ ξ < 0. Logo, as
auto-indutâncias são sempre positivas, e as indutãncias mútuas vão
depender do sinal da corrente que induz as fem's respectivas.
Se
tivermos correntes variáveis nos dois circuitos, as fem's induzidas
serão:
ξ1 = −L1di1
dt− L12
di2
dt(46)
e:
ξ2 = −L21di1
dt− L2
di2
dt(47)
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Costuma-se convencionar que uma fem é positiva quando tem o
mesmo sentido da corrente no circuito onde atua, ou seja, tem a
orientação de ~dl . Como as fem's da Lei de Faraday se opõem à
variação da corrente, então di
dt> 0 =⇒ ξ < 0. Logo, as
auto-indutâncias são sempre positivas, e as indutãncias mútuas vão
depender do sinal da corrente que induz as fem's respectivas. Se
tivermos correntes variáveis nos dois circuitos, as fem's induzidas
serão:
ξ1 = −L1di1
dt− L12
di2
dt(46)
e:
ξ2 = −L21di1
dt− L2
di2
dt(47)
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Costuma-se convencionar que uma fem é positiva quando tem o
mesmo sentido da corrente no circuito onde atua, ou seja, tem a
orientação de ~dl . Como as fem's da Lei de Faraday se opõem à
variação da corrente, então di
dt> 0 =⇒ ξ < 0. Logo, as
auto-indutâncias são sempre positivas, e as indutãncias mútuas vão
depender do sinal da corrente que induz as fem's respectivas. Se
tivermos correntes variáveis nos dois circuitos, as fem's induzidas
serão:
ξ1 = −L1di1
dt− L12
di2
dt(46)
e:
ξ2 = −L21di1
dt− L2
di2
dt(47)
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Energia Magnética
De�niçõesCorrentes Quase-Estacionárias
Costuma-se convencionar que uma fem é positiva quando tem o
mesmo sentido da corrente no circuito onde atua, ou seja, tem a
orientação de ~dl . Como as fem's da Lei de Faraday se opõem à
variação da corrente, então di
dt> 0 =⇒ ξ < 0. Logo, as
auto-indutâncias são sempre positivas, e as indutãncias mútuas vão
depender do sinal da corrente que induz as fem's respectivas. Se
tivermos correntes variáveis nos dois circuitos, as fem's induzidas
serão:
ξ1 = −L1di1
dt− L12
di2
dt(46)
e:
ξ2 = −L21di1
dt− L2
di2
dt(47)
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Energia Magnética
De�niçõesCorrentes Quase-Estacionárias
Costuma-se convencionar que uma fem é positiva quando tem o
mesmo sentido da corrente no circuito onde atua, ou seja, tem a
orientação de ~dl . Como as fem's da Lei de Faraday se opõem à
variação da corrente, então di
dt> 0 =⇒ ξ < 0. Logo, as
auto-indutâncias são sempre positivas, e as indutãncias mútuas vão
depender do sinal da corrente que induz as fem's respectivas. Se
tivermos correntes variáveis nos dois circuitos, as fem's induzidas
serão:
ξ1 = −L1di1
dt− L12
di2
dt(46)
e:
ξ2 = −L21di1
dt− L2
di2
dt(47)
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal
Auto-Indutância de um Cabo Coaxial
Por simetria, as linhas de força de ~B são círculos concêntricos como
C, e |~B| é constante ao longo de C. Assim, pela Lei de Ampère,
temos: ∫C
~B ∗ ~dl = µ0i =⇒ 2πρB = µ0i =⇒ ~B =µ0i
2πρϕ̂ (48)
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Energia Magnética
Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal
Auto-Indutância de um Cabo Coaxial
Por simetria, as linhas de força de ~B são círculos concêntricos como
C, e |~B| é constante ao longo de C. Assim, pela Lei de Ampère,
temos: ∫C
~B ∗ ~dl = µ0i =⇒ 2πρB = µ0i =⇒ ~B =µ0i
2πρϕ̂ (48)
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Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal
Auto-Indutância de um Cabo Coaxial
Por simetria, as linhas de força de ~B são círculos concêntricos como
C, e |~B| é constante ao longo de C. Assim, pela Lei de Ampère,
temos:
∫C
~B ∗ ~dl = µ0i =⇒ 2πρB = µ0i =⇒ ~B =µ0i
2πρϕ̂ (48)
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Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal
Auto-Indutância de um Cabo Coaxial
Por simetria, as linhas de força de ~B são círculos concêntricos como
C, e |~B| é constante ao longo de C. Assim, pela Lei de Ampère,
temos: ∫C
~B ∗ ~dl = µ0i
=⇒ 2πρB = µ0i =⇒ ~B =µ0i
2πρϕ̂ (48)
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Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal
Auto-Indutância de um Cabo Coaxial
Por simetria, as linhas de força de ~B são círculos concêntricos como
C, e |~B| é constante ao longo de C. Assim, pela Lei de Ampère,
temos: ∫C
~B ∗ ~dl = µ0i =⇒
2πρB = µ0i =⇒ ~B =µ0i
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Auto-Indutância de um Cabo Coaxial
Por simetria, as linhas de força de ~B são círculos concêntricos como
C, e |~B| é constante ao longo de C. Assim, pela Lei de Ampère,
temos: ∫C
~B ∗ ~dl = µ0i =⇒ 2πρB = µ0i
=⇒ ~B =µ0i
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Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal
Auto-Indutância de um Cabo Coaxial
Por simetria, as linhas de força de ~B são círculos concêntricos como
C, e |~B| é constante ao longo de C. Assim, pela Lei de Ampère,
temos: ∫C
~B ∗ ~dl = µ0i =⇒ 2πρB = µ0i =⇒
~B =µ0i
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Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal
Auto-Indutância de um Cabo Coaxial
Por simetria, as linhas de força de ~B são círculos concêntricos como
C, e |~B| é constante ao longo de C. Assim, pela Lei de Ampère,
temos: ∫C
~B ∗ ~dl = µ0i =⇒ 2πρB = µ0i =⇒ ~B =µ0i
2πρϕ̂ (48)
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IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal
O �uxo de ~B através do retângulo ADD'A' de comprimento AD e
lado AA' ligando o condutor interno ao externo é:
Φ =
∫~B ∗ ϕ̂dS = AD︸︷︷︸
=1
b∫a
B(ρ)dρ =µ0i
2π
b∫a
dρ
ρ=µ0i
2πln
(b
a
)(49)
ou seja, o �uxo por unidade de comprimento é:
Φ = ζ i ; ζ =µ02π
ln
(b
a
)(50)
onde ζ é a auto-indutância do cabo coaxial por unidade de
comprimento.
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O �uxo de ~B através do retângulo ADD'A' de comprimento AD e
lado AA' ligando o condutor interno ao externo é:
Φ =
∫~B ∗ ϕ̂dS = AD︸︷︷︸
=1
b∫a
B(ρ)dρ =µ0i
2π
b∫a
dρ
ρ=µ0i
2πln
(b
a
)(49)
ou seja, o �uxo por unidade de comprimento é:
Φ = ζ i ; ζ =µ02π
ln
(b
a
)(50)
onde ζ é a auto-indutância do cabo coaxial por unidade de
comprimento.
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Energia Magnética
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O �uxo de ~B através do retângulo ADD'A' de comprimento AD e
lado AA' ligando o condutor interno ao externo é:
Φ =
∫~B ∗ ϕ̂dS = AD︸︷︷︸
=1
b∫a
B(ρ)dρ =µ0i
2π
b∫a
dρ
ρ=µ0i
2πln
(b
a
)(49)
ou seja, o �uxo por unidade de comprimento é:
Φ = ζ i ; ζ =µ02π
ln
(b
a
)(50)
onde ζ é a auto-indutância do cabo coaxial por unidade de
comprimento.
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Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal
O �uxo de ~B através do retângulo ADD'A' de comprimento AD e
lado AA' ligando o condutor interno ao externo é:
Φ =
∫~B ∗ ϕ̂dS = AD︸︷︷︸
=1
b∫a
B(ρ)dρ =µ0i
2π
b∫a
dρ
ρ=µ0i
2πln
(b
a
)(49)
ou seja, o �uxo por unidade de comprimento é:
Φ = ζ i ; ζ =µ02π
ln
(b
a
)(50)
onde ζ é a auto-indutância do cabo coaxial por unidade de
comprimento.
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Energia Magnética
Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal
O �uxo de ~B através do retângulo ADD'A' de comprimento AD e
lado AA' ligando o condutor interno ao externo é:
Φ =
∫~B ∗ ϕ̂dS = AD︸︷︷︸
=1
b∫a
B(ρ)dρ =µ0i
2π
b∫a
dρ
ρ=µ0i
2πln
(b
a
)(49)
ou seja, o �uxo por unidade de comprimento é:
Φ = ζ i ; ζ =µ02π
ln
(b
a
)(50)
onde ζ é a auto-indutância do cabo coaxial por unidade de
comprimento.
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Bobina Toroidal
A linha de força que passa pelo ponto P é um círculo de raio
r = PP ′ = a − ρcosϕ, e a Lei de Ampère dá, nesse ponto:∫C
~B ∗ ~dl = Nµ0i =⇒ 2πrB = Nµ0i =⇒ ~B =Nµ0i
2π
1
a − ρcosϕn̂
(51)
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Bobina Toroidal
A linha de força que passa pelo ponto P é um círculo de raio
r = PP ′ = a − ρcosϕ, e a Lei de Ampère dá, nesse ponto:∫C
~B ∗ ~dl = Nµ0i =⇒ 2πrB = Nµ0i =⇒ ~B =Nµ0i
2π
1
a − ρcosϕn̂
(51)
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Bobina Toroidal
A linha de força que passa pelo ponto P é um círculo de raio
r = PP ′ = a − ρcosϕ, e a Lei de Ampère dá, nesse ponto:
∫C
~B ∗ ~dl = Nµ0i =⇒ 2πrB = Nµ0i =⇒ ~B =Nµ0i
2π
1
a − ρcosϕn̂
(51)
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A linha de força que passa pelo ponto P é um círculo de raio
r = PP ′ = a − ρcosϕ, e a Lei de Ampère dá, nesse ponto:∫C
~B ∗ ~dl = Nµ0i
=⇒ 2πrB = Nµ0i =⇒ ~B =Nµ0i
2π
1
a − ρcosϕn̂
(51)
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A linha de força que passa pelo ponto P é um círculo de raio
r = PP ′ = a − ρcosϕ, e a Lei de Ampère dá, nesse ponto:∫C
~B ∗ ~dl = Nµ0i =⇒
2πrB = Nµ0i =⇒ ~B =Nµ0i
2π
1
a − ρcosϕn̂
(51)
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Bobina Toroidal
A linha de força que passa pelo ponto P é um círculo de raio
r = PP ′ = a − ρcosϕ, e a Lei de Ampère dá, nesse ponto:∫C
~B ∗ ~dl = Nµ0i =⇒ 2πrB = Nµ0i
=⇒ ~B =Nµ0i
2π
1
a − ρcosϕn̂
(51)
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Bobina Toroidal
A linha de força que passa pelo ponto P é um círculo de raio
r = PP ′ = a − ρcosϕ, e a Lei de Ampère dá, nesse ponto:∫C
~B ∗ ~dl = Nµ0i =⇒ 2πrB = Nµ0i =⇒
~B =Nµ0i
2π
1
a − ρcosϕn̂
(51)
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Bobina Toroidal
A linha de força que passa pelo ponto P é um círculo de raio
r = PP ′ = a − ρcosϕ, e a Lei de Ampère dá, nesse ponto:∫C
~B ∗ ~dl = Nµ0i =⇒ 2πrB = Nµ0i =⇒ ~B =Nµ0i
2π
1
a − ρcosϕn̂
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Energia Magnética
Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal
onde N é o número de espiras da bobina enrolada no toróide, i é a
intensidade de corrente que a atravessa, e n̂ é o versor da normal
ao plano de secção. Logo, o �uxo através de uma espira é:
Φ1 =
∫S
~B ∗ n̂dS =Nµ0i
2π
b∫0
ρdρ
2π∫0
dϕ
a − ρcosϕ(52)
A segunda integral �ca:
2
π∫0
dϕ
a − ρcosϕ=
4√a2 − ρ2
tg−1[√
a − ρa + ρ
tg(ϕ2
)] ∣∣∣∣∣ϕ=π
ϕ=0
=2π√a2 − ρ2
(53)
Assim:
Φ1 = Nµ0i
b∫0
ρdρ
(a2 − ρ2)12
= Nµ0i(a2 − ρ2)
12
∣∣∣∣∣b
0
(54)
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onde N é o número de espiras da bobina enrolada no toróide, i é a
intensidade de corrente que a atravessa, e n̂ é o versor da normal
ao plano de secção. Logo, o �uxo através de uma espira é:
Φ1 =
∫S
~B ∗ n̂dS =Nµ0i
2π
b∫0
ρdρ
2π∫0
dϕ
a − ρcosϕ(52)
A segunda integral �ca:
2
π∫0
dϕ
a − ρcosϕ=
4√a2 − ρ2
tg−1[√
a − ρa + ρ
tg(ϕ2
)] ∣∣∣∣∣ϕ=π
ϕ=0
=2π√a2 − ρ2
(53)
Assim:
Φ1 = Nµ0i
b∫0
ρdρ
(a2 − ρ2)12
= Nµ0i(a2 − ρ2)
12
∣∣∣∣∣b
0
(54)
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onde N é o número de espiras da bobina enrolada no toróide, i é a
intensidade de corrente que a atravessa, e n̂ é o versor da normal
ao plano de secção. Logo, o �uxo através de uma espira é:
Φ1 =
∫S
~B ∗ n̂dS =Nµ0i
2π
b∫0
ρdρ
2π∫0
dϕ
a − ρcosϕ(52)
A segunda integral �ca:
2
π∫0
dϕ
a − ρcosϕ=
4√a2 − ρ2
tg−1[√
a − ρa + ρ
tg(ϕ2
)] ∣∣∣∣∣ϕ=π
ϕ=0
=2π√a2 − ρ2
(53)
Assim:
Φ1 = Nµ0i
b∫0
ρdρ
(a2 − ρ2)12
= Nµ0i(a2 − ρ2)
12
∣∣∣∣∣b
0
(54)
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onde N é o número de espiras da bobina enrolada no toróide, i é a
intensidade de corrente que a atravessa, e n̂ é o versor da normal
ao plano de secção. Logo, o �uxo através de uma espira é:
Φ1 =
∫S
~B ∗ n̂dS =Nµ0i
2π
b∫0
ρdρ
2π∫0
dϕ
a − ρcosϕ(52)
A segunda integral �ca:
2
π∫0
dϕ
a − ρcosϕ=
4√a2 − ρ2
tg−1[√
a − ρa + ρ
tg(ϕ2
)] ∣∣∣∣∣ϕ=π
ϕ=0
=2π√a2 − ρ2
(53)
Assim:
Φ1 = Nµ0i
b∫0
ρdρ
(a2 − ρ2)12
= Nµ0i(a2 − ρ2)
12
∣∣∣∣∣b
0
(54)
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onde N é o número de espiras da bobina enrolada no toróide, i é a
intensidade de corrente que a atravessa, e n̂ é o versor da normal
ao plano de secção. Logo, o �uxo através de uma espira é:
Φ1 =
∫S
~B ∗ n̂dS =Nµ0i
2π
b∫0
ρdρ
2π∫0
dϕ
a − ρcosϕ(52)
A segunda integral �ca:
2
π∫0
dϕ
a − ρcosϕ=
4√a2 − ρ2
tg−1[√
a − ρa + ρ
tg(ϕ2
)] ∣∣∣∣∣ϕ=π
ϕ=0
=2π√a2 − ρ2
(53)
Assim:
Φ1 = Nµ0i
b∫0
ρdρ
(a2 − ρ2)12
= Nµ0i(a2 − ρ2)
12
∣∣∣∣∣b
0
(54)
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Energia Magnética
Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal
onde N é o número de espiras da bobina enrolada no toróide, i é a
intensidade de corrente que a atravessa, e n̂ é o versor da normal
ao plano de secção. Logo, o �uxo através de uma espira é:
Φ1 =
∫S
~B ∗ n̂dS =Nµ0i
2π
b∫0
ρdρ
2π∫0
dϕ
a − ρcosϕ(52)
A segunda integral �ca:
2
π∫0
dϕ
a − ρcosϕ=
4√a2 − ρ2
tg−1[√
a − ρa + ρ
tg(ϕ2
)] ∣∣∣∣∣ϕ=π
ϕ=0
=2π√a2 − ρ2
(53)
Assim:
Φ1 = Nµ0i
b∫0
ρdρ
(a2 − ρ2)12
= Nµ0i(a2 − ρ2)
12
∣∣∣∣∣b
0
(54)
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Energia Magnética
Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal
onde encontramos, �nalmente:
Φ1 = Nµ0i(a −√a2 − b2) (55)
havendo uma segunda bobina com N' espiras enrolada no toróide, o
�uxo produzido pela primeira na segunda é tal que:
L12 = µ0N1N2(a −√a2 − b2) (56)
é a indutância mútua entre duas bobinas enroladas no mesmo
toróide. Analogamente, a auto-indutância de uma bobina toroidal
de N espiras é dada por:
L = µ0N2(a −
√a2 − b2) (57)
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Energia Magnética
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onde encontramos, �nalmente:
Φ1 = Nµ0i(a −√a2 − b2) (55)
havendo uma segunda bobina com N' espiras enrolada no toróide, o
�uxo produzido pela primeira na segunda é tal que:
L12 = µ0N1N2(a −√a2 − b2) (56)
é a indutância mútua entre duas bobinas enroladas no mesmo
toróide. Analogamente, a auto-indutância de uma bobina toroidal
de N espiras é dada por:
L = µ0N2(a −
√a2 − b2) (57)
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onde encontramos, �nalmente:
Φ1 = Nµ0i(a −√a2 − b2) (55)
havendo uma segunda bobina com N' espiras enrolada no toróide, o
�uxo produzido pela primeira na segunda é tal que:
L12 = µ0N1N2(a −√a2 − b2) (56)
é a indutância mútua entre duas bobinas enroladas no mesmo
toróide. Analogamente, a auto-indutância de uma bobina toroidal
de N espiras é dada por:
L = µ0N2(a −
√a2 − b2) (57)
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onde encontramos, �nalmente:
Φ1 = Nµ0i(a −√a2 − b2) (55)
havendo uma segunda bobina com N' espiras enrolada no toróide, o
�uxo produzido pela primeira na segunda é tal que:
L12 = µ0N1N2(a −√a2 − b2) (56)
é a indutância mútua entre duas bobinas enroladas no mesmo
toróide. Analogamente, a auto-indutância de uma bobina toroidal
de N espiras é dada por:
L = µ0N2(a −
√a2 − b2) (57)
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onde encontramos, �nalmente:
Φ1 = Nµ0i(a −√a2 − b2) (55)
havendo uma segunda bobina com N' espiras enrolada no toróide, o
�uxo produzido pela primeira na segunda é tal que:
L12 = µ0N1N2(a −√a2 − b2) (56)
é a indutância mútua entre duas bobinas enroladas no mesmo
toróide. Analogamente, a auto-indutância de uma bobina toroidal
de N espiras é dada por:
L = µ0N2(a −
√a2 − b2) (57)
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Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal
onde encontramos, �nalmente:
Φ1 = Nµ0i(a −√a2 − b2) (55)
havendo uma segunda bobina com N' espiras enrolada no toróide, o
�uxo produzido pela primeira na segunda é tal que:
L12 = µ0N1N2(a −√a2 − b2) (56)
é a indutância mútua entre duas bobinas enroladas no mesmo
toróide. Analogamente, a auto-indutância de uma bobina toroidal
de N espiras é dada por:
L = µ0N2(a −
√a2 − b2) (57)
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Energia Magnética
FormulaçãoDensidade de Energia Magnética
Formulação
Vimos que a fem induzida num circuito por um campo magnético
variável tende a se opor à variação do �uxo. Se a corrente no
instante considerado é i , a potência que precisa ser fornecida pra
isso é:dW
dt= −ξi =
dΦ
dt= Li
di
dt(58)
onde L é a auto-indutância do circuito. Ignorando a perda por
Efeito Joule, a energia total que precisa ser fornecida para fazer
passar a corrente no circuito é:
U =
t∫0
dW
dtdt =
t∫0
Lidi
dtdt = L
I∫0
idi = Li2
2
∣∣∣∣∣I
0
= LI 2
2(59)
Logo, U = L I 2
2 é a energia armazenada num circuito de
auto-indutância L que é atravessado por uma corrente I .
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Energia Magnética
FormulaçãoDensidade de Energia Magnética
Formulação
Vimos que a fem induzida num circuito por um campo magnético
variável tende a se opor à variação do �uxo. Se a corrente no
instante considerado é i , a potência que precisa ser fornecida pra
isso é:
dW
dt= −ξi =
dΦ
dt= Li
di
dt(58)
onde L é a auto-indutância do circuito. Ignorando a perda por
Efeito Joule, a energia total que precisa ser fornecida para fazer
passar a corrente no circuito é:
U =
t∫0
dW
dtdt =
t∫0
Lidi
dtdt = L
I∫0
idi = Li2
2
∣∣∣∣∣I
0
= LI 2
2(59)
Logo, U = L I 2
2 é a energia armazenada num circuito de
auto-indutância L que é atravessado por uma corrente I .
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FormulaçãoDensidade de Energia Magnética
Formulação
Vimos que a fem induzida num circuito por um campo magnético
variável tende a se opor à variação do �uxo. Se a corrente no
instante considerado é i , a potência que precisa ser fornecida pra
isso é:dW
dt= −ξi =
dΦ
dt= Li
di
dt(58)
onde L é a auto-indutância do circuito. Ignorando a perda por
Efeito Joule, a energia total que precisa ser fornecida para fazer
passar a corrente no circuito é:
U =
t∫0
dW
dtdt =
t∫0
Lidi
dtdt = L
I∫0
idi = Li2
2
∣∣∣∣∣I
0
= LI 2
2(59)
Logo, U = L I 2
2 é a energia armazenada num circuito de
auto-indutância L que é atravessado por uma corrente I .
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FormulaçãoDensidade de Energia Magnética
Formulação
Vimos que a fem induzida num circuito por um campo magnético
variável tende a se opor à variação do �uxo. Se a corrente no
instante considerado é i , a potência que precisa ser fornecida pra
isso é:dW
dt= −ξi =
dΦ
dt= Li
di
dt(58)
onde L é a auto-indutância do circuito. Ignorando a perda por
Efeito Joule, a energia total que precisa ser fornecida para fazer
passar a corrente no circuito é:
U =
t∫0
dW
dtdt =
t∫0
Lidi
dtdt = L
I∫0
idi = Li2
2
∣∣∣∣∣I
0
= LI 2
2(59)
Logo, U = L I 2
2 é a energia armazenada num circuito de
auto-indutância L que é atravessado por uma corrente I .
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Energia Magnética
FormulaçãoDensidade de Energia Magnética
Formulação
Vimos que a fem induzida num circuito por um campo magnético
variável tende a se opor à variação do �uxo. Se a corrente no
instante considerado é i , a potência que precisa ser fornecida pra
isso é:dW
dt= −ξi =
dΦ
dt= Li
di
dt(58)
onde L é a auto-indutância do circuito. Ignorando a perda por
Efeito Joule, a energia total que precisa ser fornecida para fazer
passar a corrente no circuito é:
U =
t∫0
dW
dtdt =
t∫0
Lidi
dtdt = L
I∫0
idi = Li2
2
∣∣∣∣∣I
0
= LI 2
2(59)
Logo, U = L I 2
2 é a energia armazenada num circuito de
auto-indutância L que é atravessado por uma corrente I .
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Formulação
Vimos que a fem induzida num circuito por um campo magnético
variável tende a se opor à variação do �uxo. Se a corrente no
instante considerado é i , a potência que precisa ser fornecida pra
isso é:dW
dt= −ξi =
dΦ
dt= Li
di
dt(58)
onde L é a auto-indutância do circuito. Ignorando a perda por
Efeito Joule, a energia total que precisa ser fornecida para fazer
passar a corrente no circuito é:
U =
t∫0
dW
dtdt =
t∫0
Lidi
dtdt = L
I∫0
idi = Li2
2
∣∣∣∣∣I
0
= LI 2
2(59)
Logo, U = L I 2
2 é a energia armazenada num circuito de
auto-indutância L que é atravessado por uma corrente I .Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução
IntroduçãoGeradores e Motores
Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos
Energia Magnética
FormulaçãoDensidade de Energia Magnética
Se tivermos dois circuitos, podemos de início produzir a corrente I1num deles, o que armazena a energia U1 = 1
2L1I21 . Daí, para
elevarmos a corrente no outro circuito de 0 para I2, temos de
fornecer a energia:
∫dW
dtdt =
∫i2dΦ2
dtdt +
∫I1dΦ1(2)
dtdt =
1
2L2I
22 + L12I1
I2∫0
di2
(60)
onde encontramos:
U2 =1
2L2I
22 + L12I1I2 (61)
Portanto, a energia total é:
U = U1 + U2 =1
2L1I
21 +
1
2L2I
22 + L12I1I2 (62)
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FormulaçãoDensidade de Energia Magnética
Se tivermos dois circuitos, podemos de início produzir a corrente I1num deles, o que armazena a energia U1 = 1
2L1I21 . Daí, para
elevarmos a corrente no outro circuito de 0 para I2, temos de
fornecer a energia:∫dW
dtdt =
∫i2dΦ2
dtdt +
∫I1dΦ1(2)
dtdt =
1
2L2I
22 + L12I1
I2∫0
di2
(60)
onde encontramos:
U2 =1
2L2I
22 + L12I1I2 (61)
Portanto, a energia total é:
U = U1 + U2 =1
2L1I
21 +
1
2L2I
22 + L12I1I2 (62)
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Se tivermos dois circuitos, podemos de início produzir a corrente I1num deles, o que armazena a energia U1 = 1
2L1I21 . Daí, para
elevarmos a corrente no outro circuito de 0 para I2, temos de
fornecer a energia:∫dW
dtdt =
∫i2dΦ2
dtdt +
∫I1dΦ1(2)
dtdt =
1
2L2I
22 + L12I1
I2∫0
di2
(60)
onde encontramos:
U2 =1
2L2I
22 + L12I1I2 (61)
Portanto, a energia total é:
U = U1 + U2 =1
2L1I
21 +
1
2L2I
22 + L12I1I2 (62)
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Se tivermos dois circuitos, podemos de início produzir a corrente I1num deles, o que armazena a energia U1 = 1
2L1I21 . Daí, para
elevarmos a corrente no outro circuito de 0 para I2, temos de
fornecer a energia:∫dW
dtdt =
∫i2dΦ2
dtdt +
∫I1dΦ1(2)
dtdt =
1
2L2I
22 + L12I1
I2∫0
di2
(60)
onde encontramos:
U2 =1
2L2I
22 + L12I1I2 (61)
Portanto, a energia total é:
U = U1 + U2 =1
2L1I
21 +
1
2L2I
22 + L12I1I2 (62)
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Se tivermos dois circuitos, podemos de início produzir a corrente I1num deles, o que armazena a energia U1 = 1
2L1I21 . Daí, para
elevarmos a corrente no outro circuito de 0 para I2, temos de
fornecer a energia:∫dW
dtdt =
∫i2dΦ2
dtdt +
∫I1dΦ1(2)
dtdt =
1
2L2I
22 + L12I1
I2∫0
di2
(60)
onde encontramos:
U2 =1
2L2I
22 + L12I1I2 (61)
Portanto, a energia total é:
U = U1 + U2 =1
2L1I
21 +
1
2L2I
22 + L12I1I2 (62)
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Se tivermos dois circuitos, podemos de início produzir a corrente I1num deles, o que armazena a energia U1 = 1
2L1I21 . Daí, para
elevarmos a corrente no outro circuito de 0 para I2, temos de
fornecer a energia:∫dW
dtdt =
∫i2dΦ2
dtdt +
∫I1dΦ1(2)
dtdt =
1
2L2I
22 + L12I1
I2∫0
di2
(60)
onde encontramos:
U2 =1
2L2I
22 + L12I1I2 (61)
Portanto, a energia total é:
U = U1 + U2 =1
2L1I
21 +
1
2L2I
22 + L12I1I2 (62)
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FormulaçãoDensidade de Energia Magnética
O trinômio (62) deve ser sempre positivo, quaisquer que sejam os
sinais e os valores de I1 e I2. Isso só é possível se o discriminante do
trinômio for menor que zero:
(L12I22 )2 − 4
1
2L1
1
2L2I
22 = I 22 (L212 − L1L2) < 0 (63)
ou seja, devemos ter sempre:
|L12| <√L1L2 =⇒ 0 < k ≡ |L12|√
L1L2< 1 (64)
onde k é dito coe�ciente de acoplamento indutivo. Se k → 1, o
acoplamento magnético entre os dois circuitos é forte; quanto
menor for k , menos eles estão acoplados.
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O trinômio (62) deve ser sempre positivo, quaisquer que sejam os
sinais e os valores de I1 e I2. Isso só é possível se o discriminante do
trinômio for menor que zero:
(L12I22 )2 − 4
1
2L1
1
2L2I
22 = I 22 (L212 − L1L2) < 0 (63)
ou seja, devemos ter sempre:
|L12| <√L1L2 =⇒ 0 < k ≡ |L12|√
L1L2< 1 (64)
onde k é dito coe�ciente de acoplamento indutivo. Se k → 1, o
acoplamento magnético entre os dois circuitos é forte; quanto
menor for k , menos eles estão acoplados.
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O trinômio (62) deve ser sempre positivo, quaisquer que sejam os
sinais e os valores de I1 e I2. Isso só é possível se o discriminante do
trinômio for menor que zero:
(L12I22 )2 − 4
1
2L1
1
2L2I
22 = I 22 (L212 − L1L2) < 0 (63)
ou seja, devemos ter sempre:
|L12| <√L1L2 =⇒ 0 < k ≡ |L12|√
L1L2< 1 (64)
onde k é dito coe�ciente de acoplamento indutivo. Se k → 1, o
acoplamento magnético entre os dois circuitos é forte; quanto
menor for k , menos eles estão acoplados.
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O trinômio (62) deve ser sempre positivo, quaisquer que sejam os
sinais e os valores de I1 e I2. Isso só é possível se o discriminante do
trinômio for menor que zero:
(L12I22 )2 − 4
1
2L1
1
2L2I
22 = I 22 (L212 − L1L2) < 0 (63)
ou seja, devemos ter sempre:
|L12| <√L1L2
=⇒ 0 < k ≡ |L12|√L1L2
< 1 (64)
onde k é dito coe�ciente de acoplamento indutivo. Se k → 1, o
acoplamento magnético entre os dois circuitos é forte; quanto
menor for k , menos eles estão acoplados.
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O trinômio (62) deve ser sempre positivo, quaisquer que sejam os
sinais e os valores de I1 e I2. Isso só é possível se o discriminante do
trinômio for menor que zero:
(L12I22 )2 − 4
1
2L1
1
2L2I
22 = I 22 (L212 − L1L2) < 0 (63)
ou seja, devemos ter sempre:
|L12| <√L1L2 =⇒
0 < k ≡ |L12|√L1L2
< 1 (64)
onde k é dito coe�ciente de acoplamento indutivo. Se k → 1, o
acoplamento magnético entre os dois circuitos é forte; quanto
menor for k , menos eles estão acoplados.
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O trinômio (62) deve ser sempre positivo, quaisquer que sejam os
sinais e os valores de I1 e I2. Isso só é possível se o discriminante do
trinômio for menor que zero:
(L12I22 )2 − 4
1
2L1
1
2L2I
22 = I 22 (L212 − L1L2) < 0 (63)
ou seja, devemos ter sempre:
|L12| <√L1L2 =⇒ 0 < k ≡ |L12|√
L1L2< 1 (64)
onde k é dito coe�ciente de acoplamento indutivo. Se k → 1, o
acoplamento magnético entre os dois circuitos é forte; quanto
menor for k , menos eles estão acoplados.
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O trinômio (62) deve ser sempre positivo, quaisquer que sejam os
sinais e os valores de I1 e I2. Isso só é possível se o discriminante do
trinômio for menor que zero:
(L12I22 )2 − 4
1
2L1
1
2L2I
22 = I 22 (L212 − L1L2) < 0 (63)
ou seja, devemos ter sempre:
|L12| <√L1L2 =⇒ 0 < k ≡ |L12|√
L1L2< 1 (64)
onde k é dito coe�ciente de acoplamento indutivo. Se k → 1, o
acoplamento magnético entre os dois circuitos é forte; quanto
menor for k , menos eles estão acoplados.
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FormulaçãoDensidade de Energia Magnética
Densidade de Energia Magnética
Para um solenóide de N espiras muito longo de comprimento l e
área de secção S , vimos que a auto-indutância é L = µ0N2 Sl, de
forma que, quando percorrido por uma corrente I , a energia
armazenada é:
U =1
2LI 2 =
1
2µ0(NI )2
S
l=
1
2µ0
(µ0
N
lI
)2
Sl =B2
2µ0V (65)
Como o campo magnético está con�nado dentro do solenóide,
podemos a�rmar que a energia está contida no mesmo, com
densidade de energia magnética:
um =1
2µ0~B2 (66)
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Densidade de Energia Magnética
Para um solenóide de N espiras muito longo de comprimento l e
área de secção S , vimos que a auto-indutância é L = µ0N2 Sl, de
forma que, quando percorrido por uma corrente I , a energia
armazenada é:
U =1
2LI 2 =
1
2µ0(NI )2
S
l=
1
2µ0
(µ0
N
lI
)2
Sl =B2
2µ0V (65)
Como o campo magnético está con�nado dentro do solenóide,
podemos a�rmar que a energia está contida no mesmo, com
densidade de energia magnética:
um =1
2µ0~B2 (66)
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Densidade de Energia Magnética
Para um solenóide de N espiras muito longo de comprimento l e
área de secção S , vimos que a auto-indutância é L = µ0N2 Sl, de
forma que, quando percorrido por uma corrente I , a energia
armazenada é:
U =1
2LI 2 =
1
2µ0(NI )2
S
l=
1
2µ0
(µ0
N
lI
)2
Sl =B2
2µ0V (65)
Como o campo magnético está con�nado dentro do solenóide,
podemos a�rmar que a energia está contida no mesmo, com
densidade de energia magnética:
um =1
2µ0~B2 (66)
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Densidade de Energia Magnética
Para um solenóide de N espiras muito longo de comprimento l e
área de secção S , vimos que a auto-indutância é L = µ0N2 Sl, de
forma que, quando percorrido por uma corrente I , a energia
armazenada é:
U =1
2LI 2 =
1
2µ0(NI )2
S
l=
1
2µ0
(µ0
N
lI
)2
Sl =B2
2µ0V (65)
Como o campo magnético está con�nado dentro do solenóide,
podemos a�rmar que a energia está contida no mesmo, com
densidade de energia magnética:
um =1
2µ0~B2 (66)
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Densidade de Energia Magnética
Para um solenóide de N espiras muito longo de comprimento l e
área de secção S , vimos que a auto-indutância é L = µ0N2 Sl, de
forma que, quando percorrido por uma corrente I , a energia
armazenada é:
U =1
2LI 2 =
1
2µ0(NI )2
S
l=
1
2µ0
(µ0
N
lI
)2
Sl =B2
2µ0V (65)
Como o campo magnético está con�nado dentro do solenóide,
podemos a�rmar que a energia está contida no mesmo, com
densidade de energia magnética:
um =1
2µ0~B2 (66)
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Energia Magnética
FormulaçãoDensidade de Energia Magnética
Da mesma forma, da expressão de energia elétrica UE = 12CV
2
armazenada num capacitor plano, inferimos, para a densidade de
energia elétrica no vácuo:
ue =ε02~E 2 (67)
Se tivermos ao mesmo tempo, numa dada região do espaço (no
vácuo), um campo elétrico e um campo magnético, a densidade de
energia eletromagnética total do campo é:
u = ue + um =ε02~E 2 +
1
2µ0~B2 (68)
Voltando ao exemplo do cabo coaxial, vimos que o campo dentro
do cabo é ~B = µ0i2πρ ϕ̂, o que dá:
um =1
2µ0(µ0i
2πρϕ̂)2 =
µ08π2
i2
ρ2(69)
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Da mesma forma, da expressão de energia elétrica UE = 12CV
2
armazenada num capacitor plano, inferimos, para a densidade de
energia elétrica no vácuo:
ue =ε02~E 2 (67)
Se tivermos ao mesmo tempo, numa dada região do espaço (no
vácuo), um campo elétrico e um campo magnético, a densidade de
energia eletromagnética total do campo é:
u = ue + um =ε02~E 2 +
1
2µ0~B2 (68)
Voltando ao exemplo do cabo coaxial, vimos que o campo dentro
do cabo é ~B = µ0i2πρ ϕ̂, o que dá:
um =1
2µ0(µ0i
2πρϕ̂)2 =
µ08π2
i2
ρ2(69)
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Da mesma forma, da expressão de energia elétrica UE = 12CV
2
armazenada num capacitor plano, inferimos, para a densidade de
energia elétrica no vácuo:
ue =ε02~E 2 (67)
Se tivermos ao mesmo tempo, numa dada região do espaço (no
vácuo), um campo elétrico e um campo magnético, a densidade de
energia eletromagnética total do campo é:
u = ue + um =ε02~E 2 +
1
2µ0~B2 (68)
Voltando ao exemplo do cabo coaxial, vimos que o campo dentro
do cabo é ~B = µ0i2πρ ϕ̂, o que dá:
um =1
2µ0(µ0i
2πρϕ̂)2 =
µ08π2
i2
ρ2(69)
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Da mesma forma, da expressão de energia elétrica UE = 12CV
2
armazenada num capacitor plano, inferimos, para a densidade de
energia elétrica no vácuo:
ue =ε02~E 2 (67)
Se tivermos ao mesmo tempo, numa dada região do espaço (no
vácuo), um campo elétrico e um campo magnético, a densidade de
energia eletromagnética total do campo é:
u = ue + um =ε02~E 2 +
1
2µ0~B2 (68)
Voltando ao exemplo do cabo coaxial, vimos que o campo dentro
do cabo é ~B = µ0i2πρ ϕ̂, o que dá:
um =1
2µ0(µ0i
2πρϕ̂)2 =
µ08π2
i2
ρ2(69)
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Da mesma forma, da expressão de energia elétrica UE = 12CV
2
armazenada num capacitor plano, inferimos, para a densidade de
energia elétrica no vácuo:
ue =ε02~E 2 (67)
Se tivermos ao mesmo tempo, numa dada região do espaço (no
vácuo), um campo elétrico e um campo magnético, a densidade de
energia eletromagnética total do campo é:
u = ue + um =ε02~E 2 +
1
2µ0~B2 (68)
Voltando ao exemplo do cabo coaxial, vimos que o campo dentro
do cabo é ~B = µ0i2πρ ϕ̂, o que dá:
um =1
2µ0(µ0i
2πρϕ̂)2 =
µ08π2
i2
ρ2(69)
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Da mesma forma, da expressão de energia elétrica UE = 12CV
2
armazenada num capacitor plano, inferimos, para a densidade de
energia elétrica no vácuo:
ue =ε02~E 2 (67)
Se tivermos ao mesmo tempo, numa dada região do espaço (no
vácuo), um campo elétrico e um campo magnético, a densidade de
energia eletromagnética total do campo é:
u = ue + um =ε02~E 2 +
1
2µ0~B2 (68)
Voltando ao exemplo do cabo coaxial, vimos que o campo dentro
do cabo é ~B = µ0i2πρ ϕ̂, o que dá:
um =1
2µ0(µ0i
2πρϕ̂)2 =
µ08π2
i2
ρ2(69)
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FormulaçãoDensidade de Energia Magnética
Em coordenadas cilíndricas (ρ, ϕ, z), a energia armazenada será:
∫umdV =
z0+l∫z0
dz
b∫a
ρdρ
2π∫0
umdϕ =µ08π2
i2l
b∫a
ρdρ
ρ2
2π∫0
dϕ =
=µ04π
i2l
b∫a
dρ
ρ=µ04π
i2l ∗ ln(b
a
)de modo que a energia magnética armazenada, por unidade de
comprimento do cabo, é:
1
2
µ02π
ln
(b
a
)i2 =
1
2Li2 (70)
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Em coordenadas cilíndricas (ρ, ϕ, z), a energia armazenada será:
∫umdV =
z0+l∫z0
dz
b∫a
ρdρ
2π∫0
umdϕ =µ08π2
i2l
b∫a
ρdρ
ρ2
2π∫0
dϕ =
=µ04π
i2l
b∫a
dρ
ρ=µ04π
i2l ∗ ln(b
a
)de modo que a energia magnética armazenada, por unidade de
comprimento do cabo, é:
1
2
µ02π
ln
(b
a
)i2 =
1
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Em coordenadas cilíndricas (ρ, ϕ, z), a energia armazenada será:
∫umdV =
z0+l∫z0
dz
b∫a
ρdρ
2π∫0
umdϕ =µ08π2
i2l
b∫a
ρdρ
ρ2
2π∫0
dϕ =
=µ04π
i2l
b∫a
dρ
ρ=µ04π
i2l ∗ ln(b
a
)
de modo que a energia magnética armazenada, por unidade de
comprimento do cabo, é:
1
2
µ02π
ln
(b
a
)i2 =
1
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Em coordenadas cilíndricas (ρ, ϕ, z), a energia armazenada será:
∫umdV =
z0+l∫z0
dz
b∫a
ρdρ
2π∫0
umdϕ =µ08π2
i2l
b∫a
ρdρ
ρ2
2π∫0
dϕ =
=µ04π
i2l
b∫a
dρ
ρ=µ04π
i2l ∗ ln(b
a
)de modo que a energia magnética armazenada, por unidade de
comprimento do cabo, é:
1
2
µ02π
ln
(b
a
)i2 =
1
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Em coordenadas cilíndricas (ρ, ϕ, z), a energia armazenada será:
∫umdV =
z0+l∫z0
dz
b∫a
ρdρ
2π∫0
umdϕ =µ08π2
i2l
b∫a
ρdρ
ρ2
2π∫0
dϕ =
=µ04π
i2l
b∫a
dρ
ρ=µ04π
i2l ∗ ln(b
a
)de modo que a energia magnética armazenada, por unidade de
comprimento do cabo, é:
1
2
µ02π
ln
(b
a
)i2 =
1
2Li2 (70)
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução