Aula Afd Afnd

Automatos Finitos

Renato E. N. Moraes

Universidade Federal do Esprito Santo

Abril 2015

Renato E. N. Moraes, UFES Automatos Finitos 1/31

Conteudo

Automato finito

Automato finito determinstico

Linguagem de automato finito determinstico

Automato finito Nao Determinstico


Conteudo

Automato finito





Automato finito

Definicao

Automato finito e um procedimento (ou maquina) que so pode conteruma quantidade finita e limitada de informacao a qualquer momento.Essa informacao e representada por um estado da maquina, e so existeum numero finito de estados.

I Um procedimento e uma sequencia finita de instrucoes claramentedescritas, que podem ser executadas mecanicamente em tempofinito.I mecanicamente: nao ha duvidas sobre o que ser feitoI em tempo finito: nao ha duvidas de que a instrucao pode ser levada

ate sua conclusao


Conteudo

Automato finito






Definicao

Um Automato finito determinstico M, sobre um alfabeto e umsistema (K ,, , i ,F ), onde

K e um conjunto de estados finito, nao vazio; e um alfabeto de entrada (finito) : K K e a funcao de transicaoi K e o estado inicialF K e o conjunto de estados finais.

I Diz-se determinstico pois:I e uma funcao que determina o proximo estado a ser assumido

quando a maquina M se encontra no estado q e le da entrada osmbolo a: o estado (q, a)



I Informalmente, um automato finito determinstico:1. parte de um estado inicial de uma cadeia2. muda de estado de acordo com a funcao de transicao3. atinge um estado final ao terminar de ler a cadeia



I Uma das maneiras de visualizar o funcionamento de um automatofinito determinstico e atraves de um controle finito que le smbolosde uma fita de entrada (onde se encontra a cadeia de entrada),sequencialmente, da esquerda para a direita.

a b a b a a a

ControleFinitoestadoq


Exemplo

I Considere o automato finito determinstico M = (K ,, , i ,F ), ondetemosI K = {q0, q1, q2, q3}I = {a, b}I i = q0I F = {q3}

I onde a funcao de transicao e dada pela tabela abaixo : {q0, q1, q2, q3} {a, b} {q0, q1, q2, q3}

a bq0 q1 q2q1 q0 q3q2 q3 q0q3 q2 q1


Exemplo

I Podemos representar o automato finito determinstico M por umdiagrama de transicoes, ou diagrama de estados.

a b

q0 q1 q2q1 q0 q3q2 q3 q0q3 q2 q1

q0 q1

q2 q3

a

a

a

a

b b b b


Exemplo

I Cada estado de um autonomo finito corresponde a uma informacaosobre a parte da cadeia de entrada ja lida

I Para o exemplo, podemos dizer: se o estado atingido e q2, entao1. o numero de smbolos a ja lidos e par, e2. o numero de smbolos b ja lidos e mpar

I Em resumo, temos:

quantidade de a quantidade de b

q0 par parq1 mpar parq2 par mparq3 mpar mpar


Conteudo

Automato finito






quantidade a bq0 par parq1 mpar parq2 par mparq3 mpar mpar

q0 q1

q2 q3

a

a

a

a

b b b b

I A linguagem aceita ou reconhecida por M e a linguagem formadapelas cadeias em que a quantidade de a e de b sao ambos mpares.

I Isso se deve ao fato de que o unico estado final e q3I Por exemplo:

I a cadeia abaa e da linguagem de MI com essa cadeia, os seguintes estados sao atingidos:

I q0 q1 q3 q2 q3I Como o ultimo estado e final, a cadeia e aceita.



I Formalmente:I configuracao de M: par composto pelo estado corrente e pela

cadeia de entrada x que ainda nao foi lida, (q, x) K I a configuracao (i , x) e a configuracao inicial de M para a cadeia xI qualquer configuracao (q, ) e uma configuracao final se q FI A mudanca de configuracao e caracterizada pela relacao `, definida

como: (q, ax) ` (p, x) se e somente se (q, a) = p

I Podemos definir a linguagem L(M) por:

L(M) = {x |(i , x) ` (f , ), com f F}


Exemplo

quantidade a bq0 par parq1 mpar parq2 par mparq3 mpar mpar

q0 q1

q2 q3

a

a

a

a

b b b b

I Para mostrar que abaa L(M), basta observar que(q0, abaa) ` (q1, baa) ` (q3, aa) ` (q2, a) ` (q3, )

I Para mostrar que abab / L(M), basta observar que(q0, abab) ` (q1, bab) ` (q3, ab) ` (q2, b) ` (q0, ),

I Assim, M aceita a linguagem

L(M) = {x {a, b}| os numeros de a e de b em x sao mpares}Renato E. N. Moraes, UFES Automatos Finitos 15/31


I Uma caracterizacao alternativa de L(M) pode ser baseada em umaextensao da funcao , feita de forma a aceitar cadeias no segundoargumentoI domnio K , em vez de K I Pode-se definir a nova funcao : K K por

(q, ) = q, q K(q, ax) = ((q, a), x), q K ,x ,a

I Para mostrar que abaa L(M), basta observar que(q0, abaa) = (q1, baa) = (q3, aa) = (q2, a) = (q3, ) = q3 F


Conteudo

Automato finito





Automato finito nao determinstico

I Em oposicao ao que acontece com o afd, a funcao de transicao deum afnd nao precisa determinar exatamente qual deve ser o proximoestado.

I A funcao de transicao fornece uma lista (um conjunto) de estadospara os quais a transicao poderia ser feita.

I Essa lista pode ser vazia, ou ter um numero qualquer positivo deelementos.



I A possibilidade de escolha entre varios caminhos a serem seguidosnos leva a modificar a definicao de aceitacao.I Um afd aceita se o ultimo estado atingido e final;I um afnd aceita se existe uma sequencia de escolhas tal que o ultimo

estado atingido e final.

I Pode-se alternativamente imaginar que o afnd escolhe, adivinha, ocaminho certo para a aceitacao, uma vez que a existencia deescolhas erradas, que nao levam a um estado final, e irrelevante.


Exemplo

I Considere o afnd dado pelo diagrama abaixo e a cadeia de entradaababa.


Exemplo

I A cadeia ababa e aceita, porque uma das possibilidades e asequencia de estados q0, q1, q1, q1, q1, q2.

I Naturalmente, com a mesma cadeia, poderamos escolher asequencia q0, q1, q1, q1, q1, q1 que nao leva a um estado final.

I Ou a sequencia q0, q1, q1, q2 interrompida, porque q2 nao preveuma transicao com o segundo b.

I Nos casos em que o automato adivinhou errado nao criamproblemas para a aceitacao, porque existe um caminho certo.


Exemplo

I Este afnd aceita a linguagem das cadeias de comprimento maior ouigual a 2, cujo primeiro e ultimo smbolos sao a, sendo os restantesquaisquer.

I Exerccio: Crie um afd que aceita a mesma linguagem e comparecom este afnd.



Definicao

Formalmente, um Automato finito nao determinstico (afnd) M,sobre um alfabeto e um sistema (K ,, , i ,F ), onde

K e um conjunto finito, nao vazio de estados; e um alfabeto de entrada (finito) : K ( {}) P(K ) e a funcao de transicaoi K e o estado inicialF K e o conjunto de estados finais.

I A notacao P(K ) indica o conjunto partes de K (conjunto potenciade K , ou, ainda, powerset de K ), o conjunto de todos ossubconjuntos de K .



Definicao

Formalmente, um Automato finito nao determinstico (afnd) M,sobre um alfabeto e um sistema (K ,, , i ,F ), onde

K e um conjunto finito, nao vazio de estados; e um alfabeto de entrada (finito) : K ( {}) P(K ) e a funcao de transicaoi K e o estado inicialF K e o conjunto de estados finais.

I Pela definicao e uma funcao que aceita como argumentos q e aonde:I q e um estado e a pode ser um smbolo de ou a cadeia vazia .

I Em qualquer caso, (q, a) e sempre um conjunto de estados, ou seja,um subconjunto de K .



I Se tivermos (q, a) = p1, p2, . . . , pk , entendemos que o automatoM, a partir do estado q, pode escolher um dos estados p1, p2, . . . , pkpara ser o proximo estado.

I Se a = , nenhum smbolo da entrada e lido;I se a 6= , o smbolo a da entrada e lido.I Podemos considerar o caso a = como correspondendo a transicoes

espontaneas: M muda de estado sem estmulo da entrada.

I Se tivermos (q, a) = , nao ha transicoes possveis a partir doestado q com o smbolo a.


Linguagem de automato finito nao determinstico

I Definimos configuracoes para o caso do afnd da mesma forma queanteriormente.I A mudanca de configuracao e caracterizada pela relacao `, definida

como:(q, ax) ` (p, x) se e somente se p (q, a)

I Note que a pode ser a cadeia vazia, caso em que temos

(q, x) ` (p, x) se e somente se p (q, )

I Podemos definir a linguagem L(M) por:

L(M) = {x |(i , x) ` (f , ), com f F}


Exemplo (continuacao)

I Temos, para a mesma cadeia ababa de entrada,

(q0, ababa) ` (q1, baba) ` (q1, aba) ` (q1, ba) ` (q1, a) ` (q3, )

I e, portanto, ababa L(M).I Temos tambem o caminho errado

(q0, ababa) ` (q1, baba) ` (q1, aba) ` (q1, ba) ` (q1, a) ` (q1, )

I que leva a` configuracao nao final (q1, ), e nao permite nenhumaconclusao.


Exemplo (continuacao)

I Cadeias como bab e abab nao levam a configuracoes finais e nao saoaceitas.

I Da configuracao (q0, bab) nenhuma configuracao e atingvel;I para abab temos:

(q0, abab) ` (q1, bab) ` (q1, ab) ` (q1, b) ` (q1, )

I Adicionalmente, temos um outro caminho

(q0, abab) ` (q1, bab) ` (q1, ab) ` (q2, b)


ExemploI Considere o afnd dado pelo diagrama abaixo.

I M aceita cadeias da forma cyc, onde c pode ser a ou b e y pode serqualquer cadeia de as e bs.


ExemploI A cadeia ababa = c y c = a bab a e aceita por M, atraves da

sequencia de configuracoes abaixo,I a primeira e a ultima transicoes sao realizadas atraves de

transicoes-.

(A, ababa) M le e adivinha que c = a` (B, ababa) M le a e confere que c = a` (C , baba) M le b` (C , aba) M le a e adivinha que este a faz parte de y` (C , ba) M le b` (C , a) M le a e adivinha que este a e o ultimo c` (D, ) M le e adivinha que a cadeia acabou` (I , ) M aceita


ExemploI Todas as configuracoes atingveis (caminhos certos e errados) estao

indicadas abaixo:

(A, ababa)` (B, ababa) ` (C , baba) ` (C , aba) ` (C , ba) ` (C , a) ` (C , ) nao aceita ` (D, ) ` (I , ) Ok! aceita ` (D, ba) ` (I , a) bloqueado` (F , ababa) bloqueado


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