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Mecânica dos Fluidos Computacional
Aula 5Leandro Franco de Souza
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 1/15
Equacoes Diferenciais Parciais – EDP
⇒ A mecânica dos fluidos computacional trata da obtençãonumérica para EDP;
⇒ As EDP’s que descrevem fenômenos de interesse emmecânica dos fluidos podem ser classificadas em trêscategorias:• Elípticas• Parabólicas• Hiperbólicas
⇒ Cada classe de equações está associada a uma categoriade fenômeno físico;
⇒ o método numérico que funciona para uma classe pode nãofuncionar para outra.
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 2/15
Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas
⇒ Representam problemas de equilíbrio, ou seja, aspropriedades de interesse não se alteram com o passar dotempo;
⇒ A equação modelo é a equação de Laplace:
∇2φ = 0
onde φ é a variável dependente e ∇2 é o operadorlaplaciano, que em coordenadas cartesianasbi-dimensionais, é dado por:
∇2 =∂2
∂x2+
∂2
∂y2
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 3/15
Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas
Como exemplo, considere-se uma chapa de metal, isoladatermicamente nas faces, podendo trocar calor pelas bordaslaterais, que são mantidas às temperaturas T1, T2, T3 e T4.
T1
T2T4
T3
Chapa plana com bordas à diferentes temperaturas
Quando uma placa está em equilíbrio térmico, a temperaturaem cada ponto interno satisfaz:
∇2T =∂2T
∂x2+
∂2T
∂y2= 0
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 4/15
Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas
Resultados com a chapa com bordas mantidas a T1=T2=T3=10e T4=5:
x
y
0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Chapa plana com bordas à diferentes temperaturas
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 5/15
Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas
Resultados com a chapa com bordas mantidas a T1=T2=10 eT3=T4=5:
x
y
0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Chapa plana com bordas à diferentes temperaturas
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 6/15
Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas
⇒ Um característica dos problemas regidos por Eq. Elípticas éque toda a região estudada é imediatamente afetada porqualquer mudança no valor da variável dependente em umponto do domínio no interior desta região;
⇒ As soluções numéricas variam suavemente no domínioestudado;
⇒ Este tipo de equação precisa de condições de contorno,que podem ser de dois tipos:• condições de contorno com valor fixo: Dirichlet;• condições de contorno com derivada fixa: Neumann;
⇒ Exemplo físico: aquecimento de uma panela;⇒ A equação de Poisson é também uma equação elíptica:
∇2φ = f(x, y) → ∂2φ
∂x2+
∂2φ
∂y2= f(x, y)
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 7/15
Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas
Métodos iterativos para solução da Equação de Poisson:
∂2φ
∂x2+
∂2φ
∂y2= f(x, y).
Utilizando aproximações de 2a ordem de precisão temos:
φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j
(∆x)2+
φi,j+1 − 2φi,j + φi,j−1
(∆y)2= f(x, y),
multiplicando a equação por (∆x)2, e adotando β = ∆x/∆y,obtemos:
φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j + β2(φi,j+1 − 2φi,j + φi,j−1) = (∆x)2f(x, y)
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 8/15
Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas
Método de GAUSS-SEIDEL por ponto
Isolando-se o termo φi,j , temos:
φi,j =1
2(1 + β2)[φi+1,j+φi−1,j+β2φi,j+1+β2φi,j−1−(∆x)2f(x, y)].
⇒ Exemplo malha 5x5 com temperatura diferentes;⇒ Condição de contorno do tipo Dirichlet;⇒ Esta equação deve ser resolvida para cada ponto interno
da malha, já que inicialmente só são conhecidos os valoresda função nos contornos.
Resolvendo a equação nos pontos, observa-se que com estemétodo:
φ(k+1)i,j =
1
2(1 + β2)[φ
(k)i+1,j+φ
(k+1)i−1,j +β2φ
(k)i,j+1+β2φ
(k+1)i,j−1 −(∆x)2f(x, y)].
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 9/15
Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas
Método de GAUSS-SEIDEL por linha
φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j + β2(φi,j+1 − 2φi,j + φi,j−1) = (∆x)2f(x, y)
⇒ Neste caso queremos encontrar os valores da função aolongo de uma linha j = constante;
⇒ Para isto devemos isolar os termos que possuem j àesquerda na equação;
⇒ O sistema a ser resolvido, neste caso, é tri-diagonal.
A equação pode ser escrita como:
φi+1,j−2(1+β2)φi,j +φi−1,j = −β2φi,j+1−β2φi,j−1+(∆x)2f(x, y)
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 10/15
Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas
Método de GAUSS-SEIDEL por linha
φi+1,j−2(1+β2)φi,j +φi−1,j = −β2φi,j+1−β2φi,j−1+(∆x)2f(x, y)
⇒ O custo computacional é mais alto por iteração, pois há anecessidade de se resolver um problema tri-diagonal paracada linha do domínio;
⇒ A taxa de convergência é melhor do que a do Gauss-Seidelpor ponto, justificando o seu uso;
⇒ Esta melhor taxa de convergência se deve a propagaçãomais rápida das informações.
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 11/15
Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas
Método da Sobre-relaxação Sucessiva - SOR por ponto
⇒ Conforme progridem as iterações do método deGauss-Seidel, as diferenças entre sucessivasaproximações diminuem e faz com que o método necessitede muitas iterações para obter uma boa solução;
⇒ Pode-se reduzir o número de iterações extrapolando(sobre-relaxando) o valor de φk+1 de tal forma que ele seaproxime mais rapidamente da solução numérica.
Partindo da equação obtida para o método de Gauss-Seidel porponto:
φ(k+1)i,j =
1
2(1 + β2)[φ
(k)i+1,j+φ
(k+1)i−1,j +β2φ
(k)i,j+1+β2φ
(k+1)i,j−1 −(∆x)2f(x, y)]
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 12/15
Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas
Método da Sobre-relaxação Sucessiva - SOR por ponto ou PSOR
Pode-se adicionar e subtrair o valor de φ(k)i,j do lado direito da
equação temos:
φ(k+1)i,j = φ
(k)i,j +
1
2(1 + β2)[φ
(k)i+1,j + φ
(k+1)i−1,j +
+β2φ(k)i,j+1 + β2φ
(k+1)i,j−1 − (∆x)2f(x, y) − 2(1 + β2)φ
(k)i,j ].
Adotando um fator de sobre-relaxação, que é ótimo entre1 ≤ rf < 2, obtemos:
φ(k+1)i,j = φ
(k)i,j +
rf
2(1 + β2)[φ
(k)i+1,j + φ
(k+1)i−1,j +
+β2φ(k)i,j+1 + β2φ
(k+1)i,j−1 − (∆x)2f(x, y) − 2(1 + β2)φ
(k)i,j ].
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 13/15
Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas
Método da Sobre-relaxação Sucessiva - SOR por linha ou LSOR
⇒ Da mesma forma que o método Gauss-Seidel o SORtambém pode ser escrito na versão linha (LSOR);
⇒ Pode ser implementado de duas formas diferentes:
1) Sobre-relaxação aplicada após os cálculos com o método deGauss-Seidel por linha:
φ(k+1)SOR = φ
(k+1)GS + rf
(
φ(k+1)GS − φ
(k)GS
)
;
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 14/15
Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas
Método da Sobre-relaxação Sucessiva - SOR por linha ou LSOR
2) Inserção do fator de sobre-relaxação diretamente na equaçãodo método de Gauss-Seidel por linha:
rfφ(k+1)i+1,j − 2(1 + β2)φ
(k+1)i,j + rfφ
(k+1)i−1,j =
= −(1 − rf)[2(1 + β2)]φ(k)i,j − rfβ2
“
φ(k)i,j+1 + φ
(k+1)i,j−1 − (∆x)2f(x, y)
”
.
⇒ A taxa de convergência do LSOR é√
2 vezes melhor doque o PSOR;
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 15/15