Aula 5 ENGENHARIA DA QUALIDADE INTEGRADA ESTATÍSTICA EM GESTÃO

Aula 5ENGENHARIA DA QUALIDADE INTEGRADA

ESTATÍSTICA EM GESTÃO

ProbabilidadeHistogramasConceitoComo construir e Interpretar HistogramasMedidas para representar as características de

distribuiçãoDistribuição Normal e Suas CaracterísticasAplicação – Exemplos práticosExercícios de fixação.

© 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 2

Seção 3.1

Conceitos básicos de probabilidade


Objetivos da Seção 3.1

• Identificar o espaço amostral de um experimento de probabilidade

• Identificar eventos simples• Usar o princípio fundamental da contagem• Distinguir probabilidade clássica, empírica e subjetiva• Determinar a probabilidade dos complementos de um

evento• Usar um diagrama de árvore e o princípio fundamental

da contagem para encontrar probabilidades


Experimentos deprobabilidade

Experimento de probabilidade

Uma ação, ou tentativa, através da qual resultados específicos (contagens, medidas ou respostas) são obtidos.

Resultado

O resultado de um único teste em um experimento de probabilidade.

Espaço de amostra

O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento de probabilidade.

Evento

Consiste de um ou mais resultados e é uma divisão do espaço de amostra.


• Experimento de probabilidade: Jogar um dado

• Resultado: {3}

• Espaço de amostra: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Evento: {O resultado é par}={2, 4, 6}


Exemplo: identificando o espaço amostral

Um experimento de probabilidade consiste em jogar uma moeda e depois rolar um dado de seis lados. Descreva o espaço amostral.

Solução:Existem dois possíveis resultados quando se joga uma moeda: cara (A) ou coroa (B). Para cada um deles, há mais seis possíveis resultados quando se rola um dado: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Um meio de listar resultados para ações em sequência é usar um diagrama de árvore.


Solução: identificando o espaço amostral

Diagrama deárvore:

A1 A2 A3 A4 A5 A6 B1 B2 B3 B4 B5 B6

O espaço amostral possui 12 resultados:{A1, A2, A3, A4, A5, A6, B1, B2, B3, B4, B5, B6}


Evento simples

Evento simples

• Um evento que consiste de um único resultado Ex.: “Tirar cara na moeda e rolar um 3” {A3}

• Um evento que consiste de mais de um resultado não é um evento simples Ex.: “Tirar cara na moeda e rolar um número par”

{A2, A4, A6}


Exemplo: identificando evento simples

Determine se o evento é simples ou não.

• Você rola um dado de seis lados. O evento B é rolar pelo menos um 4

Solução:Não é simples (o evento B tem três possíveis resultados: 4 ou 5 ou 6).


Princípio fundamental da contagem

Princípio fundamental da contagem

• Se um evento pode ocorrer de m maneiras e um segundo evento pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiras que os dois eventos podem ocorrer em sequência é m*n

• Pode ser estendido para qualquer número de eventos ocorrendo em sequência


Exemplo: princípio fundamental da contagem

Você está comprando um carro novo. As possíveis montadoras, tamanhos de carro e cores são listadas.

Montadoras: Ford, GM, Honda

Tamanho: compacto, médio

Cores: branco (B), vermelho (V), preto (P), amarelo (A)

De quantos modos diferentes você pode escolher uma montadora, um tamanho de carro e uma cor? Use um diagrama de árvore para verificar seus resultados.


Solução: princípio fundamental da contagem

Há três escolhas de montadoras, dois tamanhos de carro e quatro cores.

Usando o princípio fundamental da contagem:

3 ∙ 2 ∙ 4 = 24 maneiras


Tipos de probabilidadeProbabilidade clássica

• Cada resultado em uma amostragem é igualmente provável


Exemplo: encontrando probabilidades clássicas

1. Evento A: rolar um 3

2. Evento B: rolar um 7

3. Evento C: rolar um número menor que 5

Solução:Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Você rola um dado de seis lados. Encontre a probabilidade de cada evento.


Solução: encontrando probabilidades clássicas


Tipos de probabilidade

Probabilidade empírica (estatística)

• Baseado nas observações obtidas de experimentos de probabilidade

• Frequência relativa de um evento


Exemplo: encontrando probabilidade empírica

Uma empresa está conduzindo uma pesquisa on-line com indivíduos selecionados aleatoriamente para determinar se o congestionamento no trânsito é um problema em sua comunidade. Até agora, 320 pessoas responderam à pesquisa. A distribuição de frequência mostra os resultados. Qual é a probabilidade de que a próxima pessoa que responda a essa pesquisa diga que o congestionamento é um problema sério em sua comunidade?

Resposta Número de vezes, f

Problema sério 123

Problema moderado 115

Não é problema 82

Σf = 320


Solução: encontrando probabilidade empírica

Resposta Número de vezes, f

Problema sério 123

Problema moderado 115

Não é problema 82

Σf = 320

evento frequência


Lei dos grandes números

Lei dos grandes números

Conforme um experimento é repetido, a probabilidade empírica de um evento se aproxima da probabilidade teorética (real) do evento.


Tipos de probabilidade

Probabilidade subjetiva

• Intuição, palpites e estimativas

• Ex.: um médico pode achar que um paciente tem 90% de chance de se recuperar completamente.


Exemplo: classificando tipos de probabilidade

Classifique a afirmação como um exemplo de probabilidade clássica, empírica ou subjetiva.

Solução:

Probabilidade subjetiva (mais provavelmente um palpite).

1. A probabilidade que você esteja casado aos 30 anos é 0,50.


Classifique a afirmação como um exemplo de probabilidade clássica, empírica ou subjetiva.

Solução:Probabilidade empírica (mais provavelmente baseado em uma pesquisa).

2. A probabilidade de um votante aleatório escolher certo candidato é 0,45.


3. A probabilidade de ganhar em uma rifa com 1.000 bilhetes comprando um bilhete é .

Classifique a sentença como um exemplo de probabilidade clássica, empírica ou subjetiva.

1

1000

Solução:Probabilidade clássica (resultados igualmente prováveis).

Histórico do Histograma

André Michel Guerry nasceu em 1802 na França, era André Michel Guerry nasceu em 1802 na França, era um advogado e estudioso da estatística.um advogado e estudioso da estatística.Os Histogramas foram apresentados pela primeira vez Os Histogramas foram apresentados pela primeira vez por A. M. GUERRY, em 1833, para descrever sua por A. M. GUERRY, em 1833, para descrever sua análise estatísticas sobre crimes contra a população análise estatísticas sobre crimes contra a população em Paris. Faleceu em 1866.em Paris. Faleceu em 1866.

Histórico do Histograma

Vantagens do Histograma

• Trabalha com amostras e permite um menor custo e tempo

• Determinamos de forma rápida qual o comportamento da população

• Entender a população de uma forma clara e objetiva.

Histograma

Ferramentas da Qualidade

Histograma

Na estatística um histograma é uma representação gráfica da distribuição de frequências de uma massa de medições, normalmente um gráfico de barras verticais.

1) POPULAÇÃO

2) AMOSTRA

3) PARÂMETRO

4) ESTATÍSTICA

5) NOMINAL, ORDINAL, INTERVALO, RAZÃO, PROPORÇÃO

6) FREQUENCIA

7) FREQUENCIA RELATIVA

8) FREQUENCIA ACUMULADA

9) MÉDIA ARITMÉTICA

10) MÉDIA PONDERADA

11) PROBABILIDADE

12) ESTRATIFICAÇÃO

13) MODA

CONCEITOS ESTATÍSTICOS VISTOS

1) Classe Modal - é a classe ou intervalo, para dados classificados, que

aparece com maior frequência.

2) Amplitude de um Conjunto de Dados - é a diferença entre o maior

valor e o menor valor desse conjunto. Se os dados estiverem agrupados

em classes, a amplitude é a diferença entre o limite superior da última

classe e o limite inferior da primeira.

Para um intervalo do conjunto de dados de [a,b], onde x1= a e

xn= b

CONCEITOS ESTATÍSTICOS

Desvio Médio ( d )- é a média aritmética do valor absoluto da diferença entre cada valor e a média, no caso dos dados não classificados. No caso dos dados classificados, tem que se entrar em conta com a frequência absoluta de cada observação. [Fórmula]

Desvio Padrão ( )- é a raiz quadrada positiva da variância. [Fórmula]


Dados não classificados Dados classificados

(com n = nº de observações da amostra)

Variáveis Contínuas - são as variáveis que podem tomar qualquer valor de um determinado intervalo.

Variáveis Discretas - são as variáveis que podem tomar um número finito ou uma infinidade numerável de valores.

Variáveis Qualitativas - o mesmo que Atributos Qualitativos.

Variáveis Quantitativas - o mesmo que Atributos Quantitativos.


(com n = nº de observações da amostra) Variância ( )- é a medida que permite avaliar o grau de dispersão dos valor da variável em relação à média.



Se pudéssemos coletar dados de um processo no qual todos os fatores (homem, máquina, matéria-prima, método, etc.) fossem perfeitamente constantes, todos os dados teriam o mesmo valor.

Entretanto, na realidade, é impossível manter todos os fatores constantes todo o tempo.

A rigor, mesmo alguns fatores que julgamos sejam constantes, não são perfeitamente constantes.

É inevitável que os valores de um certo conjunto de dados apresentem alguma variação.

Os valores não são sempre os mesmos, mas isto não significa que sejam determinados de maneira desordenada.

Embora os valores estejam sempre mudando, eles são regidos por uma certa regra e, nesta situação, dizemos que seguem uma certa distribuição.

Variação e Distribuição

No controle da qualidade, tentamos descobrir fatos através da coleta de dados e, então, tomamos a ação necessária baseados naqueles fatos.

Os dados não são coletados como um objetivo final em si, mas como um meio para descobrir os fatos que estão por trás dos dados.Por exemplo, considere urna inspeção por amostragem. Tomamosuma amostra de um lote, executamos medições nela e, então, decidimos se devemos aceitar todo o lote ou não. Nossa preocupação aqui não é a amostra em si, mas a qualidade de todo o lote.

Como outro exemplo, considere o controle _de um processo de fabricação usando um gráfico de controle x-R .

O propósito não é determinar as características da amostra coletada para a construção do gráfico de controle x-R, mas descobrir em que estado se encontra o processo.

Populações e Amostras

A totalidade dos itens considerados é chamada de população.

No primeiro exemplo, a população é o lote e, no segundo, é o processo.

Algumas pessoas acham difícil considerar um "processo" como uma "população", porque enquanto um "lote" é um grupo de objetos individuais finitos, um "processo" em si não é absolutamente um produto, mas é composto dos 5M's (homem, máquina, material, método e medição).

Quando voltamos nossa atenção h função de fabricar produtos,reconhecemos que, inequivocamente, o processo produz um conjuntode produtos. Além disso, a quantidade de produtos é infinita a menosque o "processo" pare de produzi-los e, por esta razão, consideramo-lo como uma população infinita.


Um ou mais itens retirados de uma população com a intenção de prover informações sobre ela, são chamados de amostra.

Uma vez que uma amostra é utilizada para estimar as características de toda a população. ela deve ser escolhida de tal forma a refletir as características da população.

Um método de amostragem comumente usado é escolher um membro qualquer da população com igual probabilidade.

Este método é chamado de amostragem aleatória, e uma amostra retirada mediante este tipo de amostragem é chamada de amostra aleatória.




Dados obtidos de uma amostra servem como base para uma decisão sobre a população.

Quanto maior o tamanho da amostra, mais informação obtemos sobre a população. Porém, um aumento do tamanho da amostra também implica um aumento da quantidade de dados, e isso torna difícil compreender a população a partir destes, mesmo quando estão organizados em tabelas.

Em tal caso, precisamos de um método que nos possibilite conhecer a população num rápido exame. Um histograma atende às nossas necessidades. Por meio da organização de muitos dados num histograma, podemos conhecer a população de maneira objetiva.

Análise de melhoria de processo

Muitas vezes somente a quantidade de dados não é suficiente para se tomar uma decisão.

Em muitos casos preciso observar a forma como os dados estão distribuídos ao longo de um intervalo pré-estabelecido.

O histograma mostra de forma resumida, o número de vezes que o valor de uma variável ocorre dentro de intervalos especificados.

Distribuição de frequência

Distribuição de frequênciaUma tabela que mostra classes ou intervalos de dados com uma contagem do número de entradas em cada classeA frequência, f, de uma classe é o número de entradas de dados na classe

Classe

Frequência, f

1 – 5 5

6 – 10 8

11 – 15

6

16 – 20

8

21 – 25

5

26 – 30

4Limite inferior da

classeLimite superior da

classe

Tamanho da classe 6 – 1 = 5

Construindo uma distribuição de frequência

1. Decida o número de classes. Geralmente entre 5 e 20; do contrário, pode ser difícil

detectar padrões

2. Encontre o tamanho da classe. Determine a variação dos dados Divida a variação pelo número de classes Arredonde para cima para o próximo número

conveniente

3. Encontre os limites da classe. Você pode usar a entrada de menor valor

como o limite inferior da primeira classe Encontre os limites inferiores remanescentes

(adicione o tamanho da classe ao limite inferior da classe precedente)

Encontre o limite superior da primeira classe. Lembre-se de que as classes não podem ter limites iguais

Encontre os limites superiores remanescentes

4. Faça um registro para cada entrada de dados na fileira da classe apropriada.

5. Conte os registros para encontrar a frequência total f para cada classe.

Exemplo: construindo umadistribuição de frequência

A amostra seguinte lista o número de minutos que 50 usuários da internet passaram conectados durante a sessão mais recente. Construa uma distribuição de frequência para as sete classes.

50 40 41 17 11 7 22 44 28 21 19 23 37 51 54 42 86

41 78 56 72 56 17 7 69 30 80 56 29 33 46 31 39 20

18 29 34 59 73 77 36 39 30 62 54 67 39 31 53 44

Solução: construindo uma distribuição de frequência

1. Número de classes = 7 (dados)2. Encontre o tamanho da classe

max min 86 711.29

#classes 7

Arredondando para cima: 12

50 40 41 17 11 7 22 44 28 21 19 23 37 51 54 42 8641 78 56 72 56 17 7 69 30 80 56 29 33 46 31 39 2018 29 34 59 73 77 36 39 30 62 54 67 39 31 53 44

Limite mínimo

Limite máximo

7Tamanho da classe = 12

3. Use 7 (valor mínimo) como o primeiro limite mínimo. Adicione o tamanho da classe, 12, para definir o limite mínimo da próxima classe.

7 + 12 = 19

Encontre os limites mínimos restantes.

19

31

43

55

67

79

O limite máximo da primeira classe é 18 (um a menos que o limite mínimo da segunda classe). Some o tamanho da classe, 12, para definir o limite máximo da próxima classe.

18 + 12 = 30Encontre os limites máximos restantes.

Limite mínimo

Limite máximo

7

19

31

43

55

67

79

Tamanho da classe = 1230

42

54

66

78

90

18

4. Faça um registro para cada entrada de dado na fileira da classe apropriada.

5. Conte os registros para encontrar a frequência total f para cada classe.

Classe Registro Frequência, f

7 – 18 IIII I 6

19 – 30 IIII IIII 10

31 – 42 IIII IIII III 13

43 – 54 IIII III 8

55 – 66 IIII 5

67 – 78 IIII I 6

79 – 90 II 2

Σf = 50

Determinando o ponto médio

Ponto médio de uma classe

Classe Ponto médio Frequência, f

7 – 18 6

19 – 30 10

31 – 42 13

7 1812.5

2

19 3024.5

2

31 4236.5

2

Tamanho da classe = 12

(Limite mínimo da classe) + (Limite máximo da classe)

2

Determinando a frequência relativa

Frequência relativa de uma classePorção da porcentagem dos dados que se

encaixa em um classe em particular

Classe Frequência, f Frequência relativa

7 – 18 6

19 – 30 10

31 – 42 13

60.12

50

100.20

50

130.26

50

• Frequência relativa = Frequência da classe

Tamanho da amostragem n

f

Frequência acumulada de uma classeA soma das frequências daquela classe e de todas as classes anteriores.

Larson/Farber 4th ed. 54

Classe Frequência, f Frequência acumulada

7 – 18 6

19 – 30 10

31 – 42 13

+

+

6

1629

Classe Frequência, fPonto médio

Frequência relativa

Frequência acumulada

7 – 18 6 12.5 0.12 6

19 – 30 10 24.5 0.20 16

31 – 42 13 36.5 0.26 29

43 – 54 8 48.5 0.16 37

55 – 66 5 60.5 0.10 42

67 – 78 6 72.5 0.12 48

79 – 90 2 84.5 0.04 50

Σf = 501

n

f

Gráficos de distribuição de frequência

Histograma de frequênciaUm gráfico de barras que representa a distribuição da

frequênciaO eixo horizontal é quantitativo e mede os valores dos

dadosO eixo vertical mede as frequências das classesBarras consecutivas precisam se tocar

Valores dos dados

Fre

qu

ên

cia

Fronteiras de classes

Os números que separam as classes sem formar espaços entre elas

ClasseFronteiras de classes

Frequência, f

7 – 18 6

19 – 30 10

31 – 42 13

• A distância do limite superior da primeira classe para o limite inferior da segunda é 19 – 18 = 1

• A metade dessa distância é 0,5

• Fronteira inferior da primeira classe = 7 – 0.5 = 6.5

• Fronteira superior da primeira classe = 18 + 0.5 = 18.5

6.5 – 18.5

ClasseFronteiras de

classesFrequência,

f

7 – 18 6.5 – 18.5 6

19 – 30 18.5 – 30.5 10

31 – 42 30.5 – 42.5 13

43 – 54 42.5 – 54.5 8

55 – 66 54.5 – 66.5 5

67 – 78 66.5 – 78.5 6

79 – 90 78.5 – 90.5 2

Exemplo: histograma de frequência

Construa um histograma de frequência para a distribuição da frequência do uso da internet.

ClasseFronteiras de classes

Ponto médio

Frequência, f

7 – 18 6.5 – 18.5 12.5 6

19 – 30 18.5 – 30.5 24.5 10

31 – 42 30.5 – 42.5 36.5 13

43 – 54 42.5 – 54.5 48.5 8

55 – 66 54.5 – 66.5 60.5 5

67 – 78 66.5 – 78.5 72.5 6

79 – 90 78.5 – 90.5 84.5 2

Solução: histograma de frequência (usando pontos médios)

Uso de Internet

Freq

uênc

ia

Tempo on-line (em minutos)

6.5 18.5 30.5 42.5 54.5 66.5 78.5 90.5

É visível que mais da metade dos assinantes passaram entre 19 e 54 minutos na Internet em sua sessão mais recente.

Uso de Internet

Freq

uênc

ia


Solução: histograma de frequência (usando fronteiras de classes)

Gráficos de distribuição de frequência

Histograma de frequência relativaTem o mesmo formato e eixo horizontal que o

histograma de frequência correspondenteO eixo vertical mede as frequências

relativas e não as frequências

Valores dos dados

Freq

uênc

ia

rela

tiva

Exemplo: histograma de frequência relativa

Construa um histograma de frequência relativa para a distribuição da frequência do uso de Internet.

ClasseFronteiras de

classesFrequência,

fFrequência relativa

7 – 18 6.5 – 18.5 6 0.12

19 – 30 18.5 – 30.5 10 0.20

31 – 42 30.5 – 42.5 13 0.26

43 – 54 42.5 – 54.5 8 0.16

55 – 66 54.5 – 66.5 5 0.10

67 – 78 66.5 – 78.5 6 0.12

79 – 90 78.5 – 90.5 2 0.04

Solução: histograma de frequência relativa

6.5 18.5 30.5 42.5 54.5 66.5 78.5 90.5

A partir do gráfico, pode-se perceber que 20% dos assinantes de Internet passaram entre 18,5 minutos e 30,5 minutos conectados.

Uso de Internet

Freq

uênc

ia



Como fazer um HistogramaComo fazer um Histograma

•Passo 1 – coleta de dadosPasso 1 – coleta de dadosÉ aconselhável que o número de É aconselhável que o número de dados (dados (nn) seja superior a 30 para que ) seja superior a 30 para que tenhamos um histograma tenhamos um histograma representativo.representativo.


n = 40n = 40

•Passo 1 – coleta de dadosPasso 1 – coleta de dados


•Passo 2 – escolha o número de classes (k)Passo 2 – escolha o número de classes (k)Não existe uma regra universal para a escolha do número de Não existe uma regra universal para a escolha do número de classes em um histograma. A sugestão é que seja usada a classes em um histograma. A sugestão é que seja usada a seguinte tabela:seguinte tabela:

•Passo 2 – escolha o número de classes (k)Passo 2 – escolha o número de classes (k)Não existe uma regra universal para a escolha do Não existe uma regra universal para a escolha do número de classes em um histograma. A número de classes em um histograma. A sugestão é que seja usada a seguinte tabela:sugestão é que seja usada a seguinte tabela:

PARA n k

30 até 50 5 até 7

51 até 100 6 até 10

101 até 250 7 até 12

Mais que 250 10 até 20

Análise e melhoria de processosAnálise e melhoria de processos

•Passo 1 – coleta de dadosPasso 1 – coleta de dados

Peso em Kg

48,9 49,3 49,5 49,7 49,3 49,8 49,1 49,6

49,6 48,9 49,3 49,6 49,5 48,8 49,7 49,2

49,3 49,1 49,2 49,0 49,7 49,4 49,1 49,9

49,3 48,9 50,1 49,6 49,1 49,3 50,0 49,4

49,8 49,4 49,4 49,4 49,6 48,8 49,1 49,5

n = 40 k = 5n = 40 k = 5


•Passo 3 – identifique o valor mínimo e Passo 3 – identifique o valor mínimo e máximo dos dados.máximo dos dados.MÁX = 50,1MÁX = 50,1MÍN = 48,8MÍN = 48,8

•Passo 4 – calcule a amplitude dos dados (R)Passo 4 – calcule a amplitude dos dados (R)

R = MÁX - MÍNR = MÁX - MÍN

R = 50,1 – 48,8 = 1,3R = 50,1 – 48,8 = 1,3


•Passo 5 – calcule o comprimento de cada intervalo Passo 5 – calcule o comprimento de cada intervalo no histograma (h)no histograma (h)

h = R/kh = R/k

h = 1,3/5h = 1,3/5h = 0,26h = 0,26


•Passo 6 – arredonde o valor de hPasso 6 – arredonde o valor de hDeve ser arredondado para cima. O bom senso deve Deve ser arredondado para cima. O bom senso deve prevalecer.prevalecer.

h ≈ 0,3h ≈ 0,3

•Passo 7 – determine as classes a partir do menor valor.Passo 7 – determine as classes a partir do menor valor.Nota: em cada classe o menor valor pertence a ela, porém, Nota: em cada classe o menor valor pertence a ela, porém, o maior valor não.o maior valor não.


•Passo 7 – determine as classes a partir do menor valor.Passo 7 – determine as classes a partir do menor valor.

48,8 ├ 49,1

49,1 ├ 49,4

49,4 ├ 49,7

49,7 ├ 50,0

50,0 ├ 50,3

48,8 + 0,3 = 49,148,8 + 0,3 = 49,1

49,1 + 0,3 = 49,449,1 + 0,3 = 49,4

49,4 + 0,3 = 49,749,4 + 0,3 = 49,7

49,7 + 0,3 = 50,049,7 + 0,3 = 50,0

50,0 + 0,3 = 50,350,0 + 0,3 = 50,3


•Passo 8 – construa uma tabela de distribuição de freqüências.Passo 8 – construa uma tabela de distribuição de freqüências.

Limites do intervaloFreqüência de

ocorrência

48,8 ├ 49,1 6

49,1 ├ 49,4 13

49,4 ├ 49,7 13

49,7 ├ 50,0 6

50,0 ├ 50,3 2


•Passo 9 – desenhe o histograma.Passo 9 – desenhe o histograma.

0

2

4

6

8

10

12

14

48,8 ├ 49,1 49,1 ├ 49,4 49,4 ├ 49,7 49,7 ├ 50,0 50,0 ├ 50,3


Como Construir Histogramas Exemplo prático de fixação

Para investigar a distribuição dos diâmetros de eixos de aço produzidos em um processo de usinagem, os diâmetros de 90 eixos foram medidos conforme mostra a Tabela a seguir.

Vamos construir um histograma para a tomada de decisão usando estes dados.

ETAPA 1 – AMPLITUDE

PROCEDIMENTO Calcular a ampíitude (R)

Obtenha o maior e o menor dos valores observados e calcule R.

R = (O maior valor observado) - (o menor valor observado)

O maior e o menor dos valores observados podem ser facilmente obtidos da seguinte maneira:Obtenha o máximo e o mínimo dos valores de cada linha da tabela de observações, e depois tome o maior dos valores máximos e o menor dos valores mínimos. Estes serão o máximo e o mínimo de todos os valores observados.

EXEMPLO

R foi obtida a partir do maior e do menor valores observados. (Veja Tabela )O maior valor = 2,545 (-) O menor valor z 2,502Portanto,R = 2,545 - 2,502 = 0,043

ETAPA 2 – INTERVALO DE CLASSE

O intervalo de classe é determinado de forma que a amplitude, que compreende o maior e o menor dos valores, seja dividida em intervalos de mesmo tamanho. Para obter o tamanho dos intervalos, divida R por l, 2 ou 5 (ou 10; 20; 50; 0,l; 02; 0,5; etc.) de forma a obter de 5 a 20 intervalos declasse de tamanho igual. Quando houver duas possibilidades, use o tamanho de intervalo menor se o número de valores observados for maior ou igual a 100, e o tamanho de intervalo maior se houver 99 ou menos valores observados.

EXEMPLO

0,043 + 0,002 = 21,5 e adotamos 22, pelo arredondamento para cima até o número inteiro mais próximo.0,043 + 0,005 = 8,6 e adotamos 9, pelo arredondamento para cima até o número inteiro mais próximo.0,043 + 0,010 = 4,3 e adotamos 4, pelo arredondamento para baixo até o número inteiro mais próximo.Neste caso, o intervalo de classe é determinado como 0,005, pois isso resulta numa quantidade de intervalos entre 5 e 20.

PROCEDIMENTO

Prepare um formulário como o da Tabela, no qual possam ser registrados as classes, o ponto médio, as marcasde frequência, frequência, etc.

Etapa 3 Preparar o formulário da tabela de frequência

EXEMPLO

Prepare uma tabela conforme mostra a Tabela.

PROCEDIMENTO1.Determine os limites dos intervalos, de forma que englobem o menor e o maior dos valores registrados, e anote-os na tabela de frequência.2.Determine, primeiro, o limite inferior da primeira classe e adicione a este o tamanho do intervalo para obter o limite entre a primeira e a segunda classe. Quando fizer isso, assegure-se de que a primeira classe contém o menor valor observado e que os valores dos limites tenham uma casa decimal a mais do que a precisão dos valores medidos.3.Depois, adicione sucessivamente o tamanho do intervalo ao valor do limite anterior para obter o segundo limite, o terceiro, e assim por diante, e verifique se a última classe inclui o maior valor observado.

Etapa 4 Determinar os limites das ciasses

EXEMPLO

Os limites da primeira classe devem ser determinados como 2,5005 e 2,5055 de forma que a classe inclua o menor valor 2,502; os limites da segunda classe devem ser determinados como 2,5055 e 2,5105, e assim por diante.

Registre esses limites numa tabela de frequência. (Veja Tabela a seguir)

PROCEDIMENTOUsando a equação seguinte, calcule o ponto médio das classes, e anote-os na tabela de frequência.Ponto médio da primeira classe:

Soma dos limites superior e inferior da primeira classe 2

Etapa 5 Calcular o ponto médio da classe

Ponto médio da primeira classe 2,5005 + 2,5055 = 2,503 2

Leia os valores observados um por um e registre as frequênciasobtidas em cada classe usando marcas de contagem em grupos de 5, como segue:

Etapa 6 Obter as freqüências

ETAPA 1

Em uma folha de papel quadriculado, marque o eixo horizontal com uma escala. É melhor que a escala não seja baseada nos limites de intervalo das classes, e sim na unidade de medida dos dados, 10 gramas correspondendo a 10 mm, por exemplo. Isto toma-a conveniente para fazer comparações entre vários histogramas que descrevem fatores e características semelhantes, bem como com especificações (padrões).Deixe um espaço aproximadamente igual ao intervalo de classe em cada extremidade do eixo horizontal, antes da primeira e após a última classe.

Como construir o gráfico histograma

ETAPA 2

Marque o eixo vertical do lado esquerdo com uma escala de frequência e, se necessário, trace o eixo vertical do lado direito e marque-o com uma escala de frequência relativa. A altura da classe com a frequência máxima deveria ser de 0.5 a 2,O vezes a distância entre os valores máximo e mínimo do eixo horizontal .

Etapa 3Marque os valores dos limites das classes no eixo horizontal.

Etapa 4Usando o intervalo de classe como base, desenhe um retângulocuja altura corresponda à frequência daquela classe.

Etapa 5 Trace uma linha no histograma para representar a média e, se for o caso, trace também os limites da especificação.

Etapa 6Numa área em branco do histograma, anote o histórico dos dados (o período _ em que os dados foram coletados, etc.), a quantidade de dados (n), a média x e o desvio-padrão s (veja Figura 5.2).

Como construir o gráfico histograma

GRÁFICO HISTOGRAMA

Como Interpretar Histogramas

Tipos de HistogramaÉ possível obter informações úteis sobre a população pela análise da forma do histograma. As seguintes formas s3o típicas, e podemos utilizá-las como modelos para a análise de um processo. Tipos: geral, pente, assimétrico positivo, abrupto à esquerda, achatado, picos duplos e pico isolado.


a) Tipo geral (simétrico ou em forma de sino)Forma:O valor médio do histograma está no meio da amplitude dos dados.A frequência é mais alta no meio e toma-se gradualmente mais baixa na direção dos extremos. A forma é simétrica.Nota: Esta é a forma que ocorre mais frequentemente.


a) Tipo pente (tipo multi-modal)

Forma:Várias classes têm, como vizinhas, classes com menor

frequência.Nota:Esta forma ocorre quando a quantidade de dados incluídos na

classe varia de classe para classe ou quando existe uma tendência particular no modo como os dados são arredondados.


Tipo assimétrico positivo (tipo assimétrico negativo)

Forma:O valor médio do histograma fica localizado à esquerda (direita) docentro da amplitude. A frequência decresce de modo um tanto abruptoem direção à esquerda (direita), porém de modo suave em direção àdireita (esquerda). É assimétrica.Nota:Esta forma ocorre quando o limite inferior (superior) é controlado,ou teoricamente, ou por um valor de especificação, ou quando valoresmenores (maiores) do que um certo valor não ocorrem.


Tipo abrupto à esquerda (tipo abrupto à direita)

Forma:O valor médio do histograma fica localizado bem à esquerda (direita)do centro da amplitude. A frequência decresce abruptamente à esquerda(direita), e suavemente em direção à direita (esquerda). É assimétrica.Nota:Esta é uma forma que ocorre frequentemente quando é feita uma inspeção separadora 100% por causa da baixa capacidade do processo,e também quando a assimetria positiva (negativa) se toma ainda maisextrema.


Tipo achatado

Forma:As frequências das classes formam um achatamento porque as classespossuem mais ou menos a mesma frequência, exceto aquelas dasextremidades.Nota:Esta forma ocorre com a mistura de várias distribuições que têm diferentes médias.


Tipo picos duplos (tipo bimodal)

Forma:A frequência é baixa próximo ao meio da amplitude de dados e existeum pico em cada lado.Nota:Esta forma ocorre quando duas distribuições, com médias muito diferentes, são misturadas.


Tipo pico isolado

Forma:Num histograma do tipo geral existe mais um pequeno pico isolado.Nota:Esta é uma forma que surge quando há uma pequena inclusão de dadosprovenientes de uma distribuição diferente, como nos casos de anormalidade de processo, erro de medição ou inclusão de dados de um processo diferente..

Comparação de Histogramas com Limites de Especificação

Se houver uma especificação, trace as linhas dos limites da especificação no histograma, para comparar a distribuição com a especificação.

Depois veja se o histograma está localizado bem dentro dos limites.

Cinco casos típicos, como na Figura 5.4, são descritos a seguir. Use-oscomo uma referência para avaliar a população.


Quando o histograma atende à especificação

a) Como o histograma atende à especificação com folga, tudo o que se precisa é manter a atual situação.b) A especificação é atendida mas não existe nenhuma margem extra.Portanto, é importante reduzir um pouco o grau da variação.


Quando o histograma não atende à especificação

c) É necessário agir para trazer a média mais próxima ao centro da especificação.d) São necessárias ações para reduzir a variação.e) Tanto as ações descritas em c) como em d) são necessárias.

Estratificação de Histogramas

Quando os valores observados são divididos em duas ou mais subpopulações, conforme as condições existentes na coleta de dados, tais subpopulações são chamadas de estratos e a divisão de dados em estratos é chamada de estratificação.

Os valores observados sempre trazem alguma variação. Por isso,quando os dados são estratificados conforme os fatores suspeitos de gerar a variação, as causas de variação tornam-se mais facilmente detectáveis.

Este método pode ser usado eficazmente para aumentar a qualidade de produto, pela redução da variação e ajuste da média do processo.

A estratificação é geralmente feita conforme os materiais, as máquinas, as condições de operação e os trabalhadores.

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Aula 5 ENGENHARIA DA QUALIDADE INTEGRADA ESTATÍSTICA EM GESTÃO