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Aula 5 Aula 5 –– Introdução à Robótica MóvelIntrodução à Robótica Móvel
Lidando com IncertezLidando com IncertezasasLidando com IncertezLidando com Incertezasas
Prof. Dr.Prof. Dr. Marcelo BeckerMarcelo Becker
EESC - USP
•• Introdução Introdução às Incertezas às Incertezas
• Incertezas na Robótica Móvel
• Filtros
Sumário da AulaSumário da Aula
• Filtros
• Bibliografia Recomendada
EESC-USP © M. Becker 2009 2/78
Introdução às Incertezas
� Origem� Inexatidão dos equipamentos de medida (bias
uncertainty)� Variações randômicas na medida (precision
uncertainty)uncertainty)
� Em projetos, a estimativa das incertezas deve ser feita num nível de confiabilidade da ordem de 95%
EESC-USP © M. Becker 2009 3/78
Introdução às Incertezas
� Propagação das Incertezas: • A incerteza dos resultados finais depende da
incerteza de cada medida individualmente…
Exemplo:
),( IVPP
PPP
δδδδ
δ
=
±=
III
VVV
IVP
δ
δ
±=
±=
⋅=
EESC-USP © M. Becker 2009 4/78
),,,( 21 nxxxfR L=
n
nx
Rx
x
Rx
x
RxR
∂
∂++
∂
∂+
∂
∂= δδδδ L
2
2
1
1
Introdução às Incertezas
• Caso Geral:
nxxx ∂∂∂ 21
ix
R
∂
∂: Coeficiente de Sensibilidade de R com relação a xi
ixδ : incerteza de xi
Rδ Pode ser nulo (caso os termos se cancelem…)
EESC-USP © M. Becker 2009 5/78
• Caso Geral de Propagação de Incertezas
∑∂
∂=
n
xRx
Rww ixw
Incerteza Máxima:
:incerteza das variáveis
Introdução às Incertezas
∑= ∂
=i i
xRx
wwi
1
2/1
2
1
)(∑=
∂
∂=
n
i i
xRx
Rww
i
Validação: Todas as variáveis medidas devem ser independentes entre si…
ix
Ou: (RSS: root of the sum of the squares)
EESC-USP © M. Becker 2009 6/78
• Caso Especial de Propagação de Incertezas:
N
n
baxxCxR K21=
Introdução às Incertezas
2/1
22
2
22
1
1 )()()(
+++
=n
nR
x
wN
x
wb
x
wa
R
wK
• As maiores incertezas tendem a dominar o resultado…
EESC-USP © M. Becker 2009 7/78
• Como Estimar Incertezas Aleatórias?
� Assuma que a variável é medida n vezes:n
x
x
n
i
i∑== 1
Introdução às Incertezas
� Calcule o desvio padrão das medidas:
� A incerteza aleatória na média é obtida por uma distribuição t (t-distribution):
2/1
1
2
)1(
)(
−
−= ∑
=
n
i
ix
n
xxS
n
Stp x
x 2/α±=
EESC-USP © M. Becker 2009 8/78
• Student’s t-distribution
2/)1(2
)1)(2
(
)2
1(
),(++Γ
+Γ
=ν
ν
ννπ
ν
νt
tfnS
xt
/
µ−=
Student’s t, degree of freedom ν = n-1
Introdução às Incertezas
� Student’s t, degree of freedom ν = n-1
EESC-USP © M. Becker 2009 9/78
• Intervalo de Estimativa para uma população média (n < 30)
ααα −=≤≤− 1][ 2/2/ tttP
αµ αα −=+≤≤− 1][ 2/2/n
Stx
n
StxP
nS
xt
/
µ−=
Introdução às Incertezas
0=t2/αt− 2/αt
2/α=Area2/α=Area
Intervalo de Confidência
2/α=Area
αµ αα −=+≤≤− 1][ 2/2/n
txn
txP
n
Stx 2/αµ ±=
Com nível de Confidência 1-α
EESC-USP © M. Becker 2009 10/78
• Student's t-Distribution Table
Introdução às Incertezas
EESC-USP © M. Becker 2009 11/78
• Componentes Aleatórios da Incerteza
� No caso em que a média e o desvio padrão são obtidos através de diferentes conjuntos de dados, i.e.:
)(Mxx = )(MSS xx′=
Introdução às Incertezas
xx StpM 2/ :1 α±==
MxxM
i
i∑=
=1
xx
M
MSMtp x
x
)(),1(
′−′±= α
� Como determinar t?
� Se n ≥ 30, 1-α = 95%: t = 2.0
� Se n < 30, 1-α = 95%: use Tabela do slide anterior...
EESC-USP © M. Becker 2009 12/78
• Incertezas Sistemáticas: BBxx
� Permanecem constantes se o teste é repetido nas mesmas condições;
� São independentes do tamanho da amostra;� Erros conhecidos que não foram eliminados;
Introdução às Incertezas
� Erros conhecidos que não foram eliminados;� Podem ser estimadas a partir de:
Especificações do fabricante, testes de calibração, modelagem matemática, etc.;
EESC-USP © M. Becker 2009 13/78
• Ilustração Gráfica das Incertezas Aleatórias e Sistemáticas
Introdução às Incertezas
População Amostragem
EESC-USP © M. Becker 2009 14/78
• Incerteza Total:
� Combinação das incertezas sistemática e aleatória usando RSS:
Introdução às Incertezas
( ) 2/122
xxxPBW +=
( ) 2/122
xxx PBW +=Para uma amostragem
Para múltiplas amostragens
EESC-USP © M. Becker 2009 15/78
� Prediction:
• Bayes Filters
111 )(),|()( −−−∫= tttttt dxxbelxuxpxbel
Introdução às Incertezas
� Correction:
∫
)()|()( tttt xbelxzpxbel η=
EESC-USP © M. Becker 2009 16/78
2
2)(
2
1
2
2
1)(
:),(~)(
σ
µ
σπ
σµ
−−
=x
exp
Nxpµ
Introdução às Incertezas• Gaussianas:
2 σπ-σ σ
Variável única
)()(2
1
2/12/
1
)2(
1)(
:)(~)(
µxΣµx
Σx
Σµx
−−− −
=t
ep
,Νp
dπ
µµµµ
Multi-variável
EESC-USP © M. Becker 2009 17/78
),(~),(~ 22
2
σµσµ
abaNYbaXY
NX+⇒
+=
• Propriedades de Gaussianas:
Introdução às Incertezas
),(~ σµ abaNYbaXY
+⇒
+=
+++
+⋅⇒
−− 2
2
2
1
22
2
2
1
2
112
2
2
1
2
2212
222
2
111 1,~)()(
),(~
),(~
σσµ
σσ
σµ
σσ
σ
σµ
σµNXpXp
NX
NX
EESC-USP © M. Becker 2009 18/78
),(~),(~
TAABANY
BAXY
NXΣ+⇒
+=
Σµ
µ
• Gaussianas Multi-variáveis
Introdução às Incertezas
• Vamos permanecer no “Gaussian world” enquanto pudermos iniciar com Gaussians e for possível realizar apenas transformações lineares.
BAXY +=
Σ+ΣΣ+Σ
Σ+
Σ+Σ
Σ⋅⇒
Σ
Σ−− 1
2
1
1
2
21
11
21
221
222
111 1,~)()(
),(~
),(~µµ
µ
µNXpXp
NX
NX
EESC-USP © M. Becker 2009 19/78
• Elipses de Erro:• Como a matriz de covariância de uma
variável aleatória determina o formato da elipse de erro e vice-versa?
Introdução às Incertezas
elipse de erro e vice-versa? – Matriz de Covariância;– Elipse de Erro;– Autovalores;– Coeficiente de Correlação.
[Cortesia de Kai Arras]
EESC-USP © M. Becker 2009 20/78
Matriz de Covariância Elipse de Erro
Introdução às Incertezas
[Cortesia de Kai Arras]
Auto
-valo
res
Coeficiente de Correlação
EESC-USP © M. Becker 2009 21/78
•• Introdução Introdução às Incertezas às Incertezas
•• Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
• Filtros
Sumário da AulaSumário da Aula
• Filtros
• Bibliografia Recomendada
EESC-USP © M. Becker 2009 22/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
• Movimento de Robôs Móveis– Inerentemente sujeitos a incertezas– Como é possível modelar as incertezas?
EESC-USP © M. Becker 2009 23/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
• Rede Dinâmica Bayesiana • Dynamic Bayesian Network
EESC-USP © M. Becker 2009 24/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
• Modelos Probabilísticos para Movimento- Para implementar Bayes Filters, é necessário o
modelo de transição p(x | x’, u)
- O termo p(x | x’, u) especifica a probabilidade - O termo p(x | x’, u) especifica a probabilidade posterior que a ação u causa no robô de x a x’
- Como é possível modelar p(x | x’, u) baseado nas equações de movimento...
EESC-USP © M. Becker 2009 25/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
• Sistema de Coordenadas- A configuração do robô pode ser descrita por 6
parâmetros: 3 coordenadas cartesianas e 3 ângulos (ângulos de Euler – roll, pitch e yaw ou tilt)tilt)
- Em superfícies planares: (x,y,θ)
EESC-USP © M. Becker 2009 26/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
• Modelos de Movimento - Na prática, tem-se 2 tipos de modelos:
• Baseados em odometria (Odometry-based)• Baseados na Velocidade (Velocity-based ou dead
reckoning)
- Modelos do tipo Odometry-based são empregados quando o robô móvel tem encoders nas rodas
- Modelos do tipo Velocity-based são aplicados quando o robô não possui um sistema de odometria• A nova pose (posição e orientação) é baseada nas
velocidades e no intervalo de tempoEESC-USP © M. Becker 2009 27/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
• Dead Reckoning
- Originário do “deduced reckoning”- Procedimento matemático para
determinar a posição atual do veículo- O cálculo da pose atual do veículo é
baseado em suas velocidades e no intervalo de tempo
EESC-USP © M. Becker 2009 28/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
• Razões para a presença de erros
Caso Ideal Rodas com Diâmetros Diferentes
Obstáculos Carpete, etc...
EESC-USP © M. Becker 2009 29/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
• Modelo de Odometria� O robô move-se de para� Informação de Odometria:
EESC-USP © M. Becker 2009 30/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
• Modelo de Odometria
EESC-USP © M. Becker 2009 31/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
• A função Atan2– Estende a tangente inversa e acerta os
sinais de x e y
EESC-USP © M. Becker 2009 32/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
• Modelo de Ruído em Odometria– A medida de movimento é dada por um
movimento sujeito a ruído
EESC-USP © M. Becker 2009 33/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
• Distribuições Típicas para Ruído em OdometriaDistribuição Normal Distribuição Triangular
EESC-USP © M. Becker 2009 34/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
• Cálculo da Probabilidade (zero-centered)– Para Distribuição Normal
– Para Distribuição Triangular
EESC-USP © M. Becker 2009 35/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Cálculo da Probabilidade (dados x, x’, u)
Valores de odometria (u)
Valores de interesse (x , x’)
EESC-USP © M. Becker 2009 36/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Aplicação
– Aplicação do modelo do sensor para pequenos deslocamentos
– Distribuições típicas com formato de banana (“banana-shaped distributions”) obtidas para a previsão no plano 2D.previsão no plano 2D.
EESC-USP © M. Becker 2009 37/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Sample-based Density Representation
EESC-USP © M. Becker 2009 38/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Como?
– Distribuição Normal
– Distribuição Triangular
EESC-USP © M. Becker 2009 39/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Distribuição Normal (106 Samples)
EESC-USP © M. Becker 2009 40/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Distribuição Triangular
EESC-USP © M. Becker 2009 41/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Rejeição do Sampling
– Sampling de distribuições arbitrárias
EESC-USP © M. Becker 2009 42/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Rejeição do Sampling
– Exemplo: Sampling de
EESC-USP © M. Becker 2009 43/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Modelo de Movimento baseado em
Sample Odometry
EESC-USP © M. Becker 2009 44/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Modelo de Movimento baseado em
Sample Odometry
EESC-USP © M. Becker 2009 45/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Exemplos de Sample Odometry
EESC-USP © M. Becker 2009 46/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Modelo baseado em Velocidade
EESC-USP © M. Becker 2009 47/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Equações para o Modelo baseado em
Velocidade:– Centro do círculo:
Com:
EESC-USP © M. Becker 2009 48/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Cálculo da Probabilidade:
EESC-USP © M. Becker 2009 49/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Sampling para o Modelo de
Velocidade:
EESC-USP © M. Becker 2009 50/78
Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel• Exemplos de Sample Velocity:
EESC-USP © M. Becker 2009 51/78
•• Introdução Introdução às Incertezas às Incertezas
•• Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
•• FiltrosFiltros
Sumário da AulaSumário da Aula
•• FiltrosFiltros
• Bibliografia Recomendada
EESC-USP © M. Becker 2009 52/78
Filtro de Filtro de KalmanKalman DiscretoDiscreto
tttttt uBxAx ε++= −1
• Estima o estado x de um processo controlado em tempo
discreto que é governado por uma equação diferencial
linear estocástica (linear stochastic difference equation).
tttttt uBxAx ε++= −1
tttt xCz δ+=
Com a medida:
EESC-USP © M. Becker 2009 53/78
Matriz (n x n) que descreve como o estado evolui
de t a t-1 sem controle ou ruído;tA
Matriz (n x l) que descreve como o controle ut
muda o estado de t a t-1;tB
Filtro de Filtro de KalmanKalman DiscretoDiscreto
tε
Matriz (k x n) que descreve como mapear o estado
xt para uma observação zt.tC
tδ
Variáveis aleatórias representando os ruídos do
processo e da medida que são assumidos como
sendo independentes e distribuídas normalmente com covariâncias Rt e Qt respectivamente.
EESC-USP © M. Becker 2009 54/78
Atualização do Atualização do KalmanKalman FilterFilter em 1Dem 1D
Crença Inicial
Medida e Incerteza Associada
Crença após a aplicação
do Filtro de Kalman
EESC-USP © M. Becker 2009 55/78
1)( com)(
)()( −+ΣΣ=
Σ−=Σ
−+== t
T
ttt
T
ttttttt
tttttt
t QCCCKCKI
CzKxbel
µµµ
2
,
2
2
22 c
)1(
)()(
tobst
tt
ttt
ttttt
t KomK
zKxbel
σσ
σ
σσ
µµµ
+=
−=
−+==
Atualização do Atualização do KalmanKalman FilterFilter em 1Dem 1D
Crença após a aplicação
do Filtro de Kalman
EESC-USP © M. Becker 2009 56/78
+Σ=Σ
+==
−
−
t
T
tttt
ttttt
tRAA
uBAxbel
1
1)(
µµ
+=
+==
−
2
,
222
1)(
tactttt
ttttt
ta
ubaxbel
σσσ
µµ
Atualização do Atualização do KalmanKalman FilterFilter em 1Dem 1D
+Σ=Σ − ttttt RAA 1
Crença após a aplicação
do Filtro de Kalman Nova Crença após
Movimento para a Direita
EESC-USP © M. Becker 2009 57/78
Crença após a aplicação
do Filtro de KalmanNova Crença após
Movimento para a Direita
Atualização do Atualização do KalmanKalman FilterFilter em 1Dem 1D
Nova Medida e
Incerteza Associada
Nova Crença após a
Aplicação do Filtro de Kalman
EESC-USP © M. Becker 2009 58/78
Sistemas Gaussianos Lineares: Sistemas Gaussianos Lineares: InicializaçãoInicialização
• A crença inicial é uma distribuição normal:
( )0000 ,;)( Σ= µxNxbel
EESC-USP © M. Becker 2009 59/78
• A dinâmica é uma função linear do estado e controle adicionada do ruído:
tttttt uBxAx ε++= −1
Sistemas Gaussianos Lineares: Sistemas Gaussianos Lineares: DinâmicaDinâmica
( )ttttttttt RuBxAxNxuxp ,;),|( 11 += −−
( ) ( )1111
111
,;~,;~
)(),|()(
−−−−
−−−
Σ+
⇓⇓
= ∫
ttttttttt
tttttt
xNRuBxAxN
dxxbelxuxpxbel
µEESC-USP © M. Becker 2009 60/78
( ) ( )
⇓
Σ+
⇓⇓
=
−−−−
−−−∫
ttttttttt
tttttt
xNRuBxAxN
dxxbelxuxpxbel
1111
111
,;~,;~
)(),|()(
µ
Sistemas Gaussianos Lineares: Sistemas Gaussianos Lineares: DinâmicaDinâmica
+Σ=Σ
+==
−Σ−−
−−−−−=
⇓
−
−
−−−−−−−
−−
−∫
t
T
tttt
ttttt
t
tttt
T
tt
tttttt
T
tttttt
RAA
uBAxbel
dxxx
uBxAxRuBxAxxbel
1
1
111
1
111
1
1
1
)(
)()(2
1exp
)()(2
1exp)(
µµ
µµ
η
EESC-USP © M. Becker 2009 61/78
• As Observações também são funções lineares adicionadas do ruído:
tttt xCz δ+=
( )QxCzNxzp ,;)|( =
Sistemas Gaussianos Lineares: Sistemas Gaussianos Lineares: ObservaçõesObservações
( )tttttt QxCzNxzp ,;)|( =
( ) ( )ttttttt
tttt
xNQxCzN
xbelxzpxbel
Σ
⇓⇓
=
,;~,;~
)()|()(
µ
η
EESC-USP © M. Becker 2009 62/78
( ) ( )
11
,;~,;~
)()|()(
⇓
Σ
⇓⇓
=
ttttttt
tttt
xNQxCzN
xbelxzpxbel
µ
η
Sistemas Gaussianos Lineares: Sistemas Gaussianos Lineares: ObservaçõesObservações
1
11
)(with )(
)()(
)()(2
1exp)()(
2
1exp)(
−
−−
+ΣΣ=
Σ−=Σ
−+==
−Σ−−
−−−=
t
T
ttt
T
ttttttt
tttttt
t
ttt
T
tttttt
T
tttt
QCCCKCKI
CzKxbel
xxxCzQxCzxbel
µµµ
µµη
EESC-USP © M. Becker 2009 63/78
Algoritmo do Filtro de KalmanAlgoritmo do Filtro de Kalman1. Algorithm Kalman_filter( µt-1, Σt-1, ut, zt):
2. Prediction:3.4.
ttttt uBA += −1µµ
t
T
tttt RAA +Σ=Σ −1
5. Correction:6.7.8.
9. Return µt, Σt
1)( −+ΣΣ= t
T
ttt
T
ttt QCCCK
)( tttttt CzK µµµ −+=
tttt CKI Σ−=Σ )(
EESC-USP © M. Becker 2009 64/78
CicloCiclo PrediçãoPredição -- CorreçãoCorreção
+Σ=Σ
+==
−
−
t
T
tttt
ttttt
tRAA
uBAxbel
1
1)(
µµ
+=
+==
−
2
,
222
1)(
tactttt
ttttt
ta
ubaxbel
σσσ
µµ
Prediction
EESC-USP © M. Becker 2009 65/78
CicloCiclo PrediçãoPredição -- CorreçãoCorreção
1)(,
)(
)()(
−+ΣΣ=
Σ−=Σ
−+== t
T
ttt
T
ttttttt
tttttt
t QCCCKCKI
CzKxbel
µµµ
2
,
2
2
22 ,
)1(
)()(
tobst
tt
ttt
ttttt
t KK
zKxbel
σσ
σ
σσ
µµµ
+=
−=
−+==
Correction
EESC-USP © M. Becker 2009 66/78
2
,)(
)( ttttttK
zKxbel
σµµµ=
−+==
+= − 1 ttttt uba µµ
Prediction
CicloCiclo PrediçãoPredição -- CorreçãoCorreção
1)(,)(
)()( −+ΣΣ=
Σ−=Σ
−+== t
T
ttt
T
ttttttt
tttttt
t QCCCKCKI
CzKxbel
µµµ
2
,
222 ,
)1(
)()(
tobst
tt
ttt
ttttt
t KK
zKxbel
σσ
σ
σσ
µµµ
+=
−=
−+==
+Σ=Σ
+==
−
−
t
T
tttt
ttttt
tRAA
uBAxbel
1
1)(
µµ
+=
+==
−
2
,
222
1)(
tactttt
ttttt
ta
ubaxbel
σσσ
µµ
Correction
EESC-USP © M. Becker 2009 67/78
Sumário sobre Sumário sobre KalmanKalman FilterFilter• Alta Eficiência: medidas (polinômio) de
dimensão k e estado de dimensão n: O(k2.376 + n2)
• Ótimo para Sistemas Gaussianos Lineares!
• A maioria dos Sistemas Robóticos são NÃO LINEARESNÃO LINEARES!
EESC-USP © M. Becker 2009 68/78
Sistemas Dinâmicos NãoSistemas Dinâmicos Não--LinearesLineares• A grande maioria dos problemas mais
realísticos relacionados à robótica são NÃO-LINEARES
),( 1−= ttt xugx
)( tt xhz =
EESC-USP © M. Becker 2009 69/78
Hipótese de Hipótese de LinealizaçãoLinealização
EESC-USP © M. Becker 2009 70/78
FunçãoFunção NãoNão--LinearLinear
EESC-USP © M. Becker 2009 71/78
LinealizaçãoLinealização parapara o EKF (o EKF (1)1)
EESC-USP © M. Becker 2009 72/78
LinealizaçãoLinealização parapara o EKF (2)o EKF (2)
EESC-USP © M. Becker 2009 73/78
LinealizaçãoLinealização parapara o EKF (3)o EKF (3)
EESC-USP © M. Becker 2009 74/78
• Prediction:)(
),(),(),( 11
1
111 −−
−
−−− −
∂
∂+≈ tt
t
tttttt x
x
ugugxug µ
µµ
First Order Taylor Series Expansion
LinealizaçãoLinealização parapara o EKF (3)o EKF (3)
• Correction:
)(),(),( 1111
1
−−−−
−
−+≈ ttttttt
t
xGugxug µµ
)()()(
)()(
)()(
ttttt
tt
t
ttt
xHhxh
xx
hhxh
µµ
µµ
µ
−+≈
−∂
∂+≈
EESC-USP © M. Becker 2009 75/78
EKF Algoritmo EKF Algoritmo 1. Extended_Kalman_filter( µt-1, Σt-1, ut, zt):
2. Prediction:3.4.
),( 1−= ttt ug µµ
t
T
tttt RGG +Σ=Σ −1
ttttt uBA += −1µµ
t
T
tttt RAA +Σ=Σ −1
5. Correction:6.7.8.
9. Return µt, Σt
1)( −+ΣΣ= t
T
ttt
T
ttt QHHHK
))(( ttttt hzK µµµ −+=
tttt HKI Σ−=Σ )(
1
1),(
−
−
∂
∂=
t
ttt
x
ugG
µ
t
tt
x
hH
∂
∂=
)(µ
1)( −+ΣΣ= t
T
ttt
T
ttt QCCCK
)( tttttt CzK µµµ −+=
tttt CKI Σ−=Σ )(
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•• Introdução Introdução às Incertezas às Incertezas
•• Incertezas na Robótica MóvelIncertezas na Robótica Móvel
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• Siegwart, R. and Nourbakhsh, I.R., 2004, Introduction to Autonomous Mobile Robots, 1st Edition, MIT Press, ISBN 0-262-19502-X
• http://www.mobilerobots.org• Sandin, P. E., 2003, Robot Mechanisms and
EESC-USP © M. Becker 2009 78/78
• Sandin, P. E., 2003, Robot Mechanisms and Mechanical Devices Illustrated, McGraw-Hill, ISBN 0-07-141200-X
• Trhun, S., Burgard, W., and Fox, D., 2005, Probabilistic Robotics, The MIT Press, ISBN 0-262-20162-3.