Aula 3 Fatoracao

Matemática Básica Fatoração Aula 3

Tendência, aqui é gostoso aprender!

3.1 Definição Fatorar um expressão algébrica consiste em

transformá-la num produto. É um problema de grande interesse na Álgebra,

análogo ao da decomposição de um número em fatores primos.

1º Caso: Fator comum O termo comum é o produto do máximo divisor

comum dos coeficientes numéricos dos termos do polinômio pela parte literal formadas pelas letras comuns com o menor expoente.

Ex: a) )1x2(x4x4x8 223 −=−

b) )1a(aa r1r +=++ . ar 2º Caso: Agrupamento É uma aplicação do 1º caso, só que o termo comum

aparece em grupos. Ex: Fatorar o polinômio )1a)(1x()1x(1)1x(a1xxaxa 2222 +−=−+−=−+− 3º Caso: Diferença de dois quadrados Pela aplicação da identidade )ba)(ba(ba 22 −+=− Ex: )2x)(2x(2x4x 222 −+=−=− 4º Caso: Quadrado perfeito Pela aplicação da identidade 222 )ba(bab2a +=++

222 )ba(bab2a −=+−

Ex: a) 22 )3x(9x6x +=++

b) 22 )1x(1x2x −=+− 5º Caso: Trinômio do 2º grau Pela aplicação da identidade )0a(;)xx)(xx(acbxax 21

2 ≠−−=++ Onde 1x e 2x são as raízes da equação do 2º grau

0cbxax2 =++

Ex: )3x)(21x(23x7x2 2 −−=+− onde

21x = e

3x = são raízes da equação 03x7x2 2 =+−

6º Caso: Soma ou diferença de dois cubos Pela aplicação das identidades )baba)(ba(ba 2233 +−+=+

)baba)(ba(ba 2233 ++−=− Ex: a) )4x2x)(2x(8x 23 +−+=+

b) )y4xy6x9)(y2x3(y8x27 2233 ++−=− 7º Caso: Cubo perfeito Aplicando-se 33223 )ba(bab3ba3a +=+++

33223 )ba(bab3ba3a −=−+− Ex: a) 323 )1x(1x3x3x +=+++

b) 33223 )yx2(yxy6yx12x8 −=−+−

Exercícios 70. Fatorar: a) 46 x6x3 + b) mymy 2 −

c) 345 x36x12x4 −+ d) )yx(b)yx(a −+−

e) p1p xx ++ 71. Fatorar: a) 1mxm.x 22 +++ b) byay2bxax2 +++ c) bbxa3ax3 −+− d) 9x6x12x8 23 +++ e) bcac)ba( 2 −+− 72. Fatorar: a) 9a2 −

b) 161y2 −

c) 4x251 2 −

d) 12x3 2 − e) 44 ba − 73. Fatorar: a) q2p2 nm − b) 22 b)ax( −−

c) 8x4x2x 23 +−−



74. Fatorar: a) 22 y36xy12x ++

b) 2x16x249 ++

c) x2

31

361x ++

d) 223 xy9yx6x ++

e) 2x9x124 −−− 75. Fatorar: a) 16x24x9 2 +− b) ab18b81a 22 −+ c) 2xx816 −+− d) 32 x9x12x4 +− 76. Fatorar: a) 3x4x2 ++ b) 12x7x2 ++ c) 6xx2 −+ d) 1x2x3 2 −+ e) 3xx10 2 −− 77. Fatorar: a) 27a3 + b) 1y8 3 +

c) 8ba 33 − d) 66 ba − e) 99 yx + 78. Decompor: a) 3)2x( +

b) 3)1x3( +

c) 3

x31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

d) 3

2 y32x ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

e) 2)zyx( +−

f) 2)zyx2( ++ 79. Simplificar:

a) 8x6x3

3 −

−

b) xx

1x2x2

2

+

++

c) 33

2

zxyzxzxyx

−

−−+

d) 10x7x6x5x

2

2

+−

+−

e) 1x

1xxx3

23

+

+++

80. Fatorar: 624426 yyxyxx −−+ 81. (FEI) Fatorar: ab2cba 222 −−+ 82. (FUVEST) Fatorar: 1aa 24 ++ 83. Efetue:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+

ababa:

bab2ab3a3

2

22

22

22

84. Efetue:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+− 1

baba:1

baba

85. (FEI) Supondo x e y reais com 0yx ≠− e

0yx ≠+ , simplificar a expressão algébrica:

yxyx

yxyx 3333

++

−−−

86. Simplifique:

yxxyx:

yxy2x

yx 2

22

44

−+

+−

−

87. Simplifique:

22

22

y3xy4x

ayax

+−

−

(Obs: Supor 0x ≠ ) 88. (FAAP) Mostrar que quaisquer que sejam a e b

nulos, temos abba 22 >+ .



89. (MED. SANTOS) Calcular 22 934286934287 − : a) 1868573 b) 1975441 c) 2 d) 1 e) n.d.a.

90. Simplificando a fração algébrica 1m1m

6

9

−

− ,

encontramos:

a) 1m1m

2

3

+

−

b) 1m1m

2

3

−

+

c) 1m

1mm3

36

+

++

d) 1m1m

2

3

−

+

e) 1m

1mm3

36

−

−−

91. (UnB) A expressão:

)4a(4a

116a4a3

2≠

−−

−

−

é equivalente a:

a) 4a

1−

b) 4a

2+

c) 4a

2−

d) nenhuma dessas

92. A fração 22

44

baba−−

−−

−

− é igual:

a) 66 ba −− b) 22 ba −− − c) 22 ba −− + d) 22 ba + e) n.d.a. 93. (UFGO) Simplificando a expressão

1a1b.

bbaa.

bbaa

2

2

2

2

2

2

−

−

−

−

+

+

a) ba

b) ab

c) 2

2

ba

d) 2

2

ab

Obs: Supor 0b,1b,1a,1a ≠−≠−≠≠ 94. (UFGO) Simplificando

22

23

yx

)xy(y2)yx(

−

+−+ temos:

a) yx)yx( 2

−+

b) 2yx2yx −− c) yx + d) yx −

e) yxyx 22

−+

Obs: Supor yx;yx −≠≠

95. A relação 81x

)3x)(12xx(4

2

−

−−− é igual a:

a) 2)3x(4x

+

−

b) 9x4x

2 +

−

c) 27x

12x7x3

2

+

+−

d) 2)3x(4x

−

−

e) 3x4x

−−

96. Simplificando a expressão:

6

223

)3x(

)3x()2x(3)3x)(2x(2

−

−−−−−

obtém-se:

a) 3)3x()2x(x

−

−

b) 3)3x()x2(x

−

−

c) 4)3x()2x(x

−

−

d) 4)3x()x2(x

−

−

e) 4)3x()2x(x5

−

−



97. (F.E.QUEIROZ) Se ab1aab1Ne

ab1abaM

2

+−

−=+−

+=

com 1ab −≠ , então M/N é: a) a b) b c) 1 + ab d) a – b

98. Simplificando a expressão ab2

ba.baba

baba +

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

−−+

obtém-se:

a) ab

1−

b) ba

2−

c) 2

ba −

d) ab21

99. A expressão x9x6x

3x2x:x

1x23

2

2

2

+−

−−− é equivalente,

para valores de x que não anulam nenhum dos 4 polinômios citados, a:

a) x3

34x +−

b) x32x −−

c) 3x4x2 +− d) x3x2 − e) x3x2x 23 −− 100. Se x e y são números reais tais que

2xx2x2x3xy

23

2

+−−

+−= então y é igual a:

a) 1x

1−

b) 1x

1+

c) 1x

2x2 −

−

d) 1x1x

+−

e) )1x)(2x(

2x−−

+

101. (VUNESP) Assinale a alternativa que indica o

valor numérico da expressão

1x2x3x

2x4x 22

−+−

++−

para x = 3,125

a) 0,09 b) 2,25 c) 4/9 d) –2,25 e) 1

102. Simplificada a expressão 44

3223

xy8yx

xy2yx3yx

−

+−

temos:

a) 22 y4xy2xyx++

−

b) yxyx

−+

c) )yx(x)yx(x

+−

d) 2)y2x(yx

−

−

e) 22 y4x2xy2x+−

+

Obs: Supor 0y,0x,2yx

≠≠≠

103. Simplificando-se a expressão

1ax4ax4aax8x16 22

−+−−++

obtém-se: a) 2a + x b) 4x – a c) 4a – x d) 2x + a e) 4x + a

104. Uma expressão equivalente a 2ab

ba2

2

2

2

2+++ ,

para a > 0 e b > 0, é:

a) ab

ba +

b) ab

)ba( 2+

c) 2

abba⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

d) ab2ba 22 ++ e) 2ba ++ 105. (PUC) Sendo )baxx)(1x(1x 23 +++=+ para todo

x real, os valores e a e b são respectivamente: a) –1 e –1 b) 0 e 0 c) 1 e 1 d) 1 e –1 e) –1 e 1



106. Simplificando a expressão 11

33

baba−−

−−

−

− obtém-se:

a) 23 ba −− − b) 22 ba −− − c) 44 ba −− − d) 2112 bb.aa −−−− ++ e) n.d.a.

107. (OSEC) Seja a expressão 5ba 33 − atribuindo aos

elementos a e b, respectivamente, os valores

251e

251 −+ , está expressão assume um valor

numérico. a) fracionário negativo b) irracional positivo c) fracionário positivo d) irracional positivo e) inteiro positivo 108. (FATEC) Se x e y são números reais tais que:

1xx21x8.

41x2xy 2

32

−+

−++= , então y é:

a) )1x(3 3 −

b) 2)1x(43

+

c) 2)1x2).(1x(21

++

d) )1x2x4).(1x(21 2 +++

e) )1x2x4).(1x(41 2 +++

109. (MED.JUNDIAÍ) O valor numérico da expressão

ba3ab3ba 2233 −+− para:

3

3

3

3

223be

223a −

=+

= é:

a) 293 −

b) 293 + c) 8 d) 13,5 e) 32

110. (FEI) A expressão 12

13 −

é igual a:

a) 123 + b) 142 33 ++ c) 124 33 +− d) 3 2 e) n.r.a.

RESPOSTAS 70. a) 3x4 . (x2 + 2)

b) my . (y – 1)

c) 4x3 (x2 + 3x – 9)

d) (x – y) . (a + b)

e) xp (x + 1)

71. a) (m + 1) . (x2 + 1)

b) (2ª + b) . (x + y)

c) (x – 1) . (3a + b)

d) (2x + 3) . (4x2 + 3)

e) (a – b) . (a – b + c)

72. a) (a + 3) . (a – 3)

b) (y + 1/4) . (y – 1/4)

c) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

5x.2

5x

d) 3(x + 2) . (x – 2)

e) (a2 + b2) (a + b) (a – b)

73. a) (mp + nq) (mp – nq)

b) (x – a + b) (x – a – b)

c) (x + 2) (x – 2) (x – 2)

74. a) (x + 6y)2

b) (3 + 4x)2

c) (x + 1/6)2

d) x(x + 3y)2

e) –(2 + 3x)2

75. a) (3x – 4)2

b) (a – 9b)2

c) –(4 – x)2

d) x(2 – 3x)2

76. a) (x + 1) (x + 3)

b) (x + 3) (x + 4)

c) (x – 2) (x + 3)

d) 3(x + 1) (x – 1/3)

e) 10(x + 1/2) (x – 3/5)

77. a) (a + 3) (a2 – 3a + 9)

b) (2y + 1) (4y2 – 2y + 1)

c) (ab – 2) (a2b2 + 2ab + 4)

d) (a+b) (a2–ab+b2)(a–

b)(a2+ab+b2)

e) (x + y)(x2–xy+y2)(x6–x3y3+y6)

78. a) x3 + 6x2 + 12x + 8

b) 27x3 + 27x2 + 9x + 1

c) 1/27 – 1/3x + x2 – x3

d) x6 – 2x4y + 4/3 x2y2 – 8y3/27

e) x2 + y2 + z2 – 2xy + 2xz – 2yz

f) 4x2 + y2 + z2 + 4xy + 4xz + 2yz

79. a) 4x2x

32 ++

b) x

1x +

c) 22 zxzx

yx

++

+

d) 5x3x

−−

e) 1xx

1x2

2

+−

+

80. (x4 + y4)(x + y)(x–y)

81. (a – b – c)(a – b + c)

82. (a2 + a + 1)(a2 – a + 1)

83. ba

a3−

84. –b/a

85. 2xy

86. x

yx 22 +

87. y3x

)yx(a−+

88. Demonstração

89. a

90. c

91. b

92. c

93. c

94. c

95. b

96. d

97. b

98. b

99. c

100. b

101. b

102. a

103. e

104. b

105. e

106. d

107. e

108. e

109. e

110. b

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