Aula 3 cristalografia

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Disciplina de Disciplina de Cristalografia e MineralogiaCristalografia e Mineralogia

IntroduIntroduçção a Cristalografia, ão a Cristalografia, Principais Conceitos e Principais Conceitos e Sistemas CristalinosSistemas Cristalinos

Curso de GeologiaGeól. Andrea Sander

Principais Conceitos

CONCEITOS BÁSICOS DE CRISTALOGRAFIA

• Mineral• “Um mineral é um corpo natural, formado normalmente

por processos inorgânicos, sólido e homogêneo, com a composição química definida, dentro de certos limites e com arranjo atômico ordenado.”

• Cristal• Em condições favoráveis os minerais desenvolvem

superfícies planas e lisas denominadas faces. As faces fazem com que o mineral assuma formas geométricas conhecidas como cristais. O estudo dos cristais e das leis que governam o crescimento, forma externa e estrutura interna dos cristais é a Cristalografia.

Cristalografia(Do grego: kristallis – gelo)

• Cristal de quartzo - (SiO2)

Formas cristalinas familiares

Floco de neve e cristal de gelo - H2O

Mineral X CristalMineral Sistema cristalino

(Estrutura)Fórmula química

Diamante Cúbico CGrafite Hexagonal CSérie dosPlágioclásios

Triclínicos NaAlSi3O8 – NaAl2Si2O8

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cristal ordenação estrutural forma exterior poliédrica

ANISOTROPIA

corpo amorfo

estrutura caótica forma exterior qualquer

ISOTROPIA

Mineral X Cristal

• ANISOTROPIA é a variação das reações nas diferentes direções que oferece um corpo quando solicitado a um agente exterior físico ou mecânico. Ex.: experiência de Senarmont.

• ISOTROPIA é a igualdade das propriedades nas diferentes direções do espaço.

SIMETRIA(Do grego: sin – com; metria – medida)

“Em cada um dos reinos naturais existe um aperfeiçoamento das formas inferiores às superiores. A esse avanço de um domínio ao seguinte corresponde uma perda de simetria. No ser menos perfeito, mais primitivo o total é mais ou menos igual às partes. No mais perfeito, mais evoluído, o total não éparecido com as partes”

Göethe

Yin-iang, símbolo do princípio dialético do taoismo, datando provavelmente do período ente 2950 a 2830aC.

SIMETRIA

• A simetria é a propriedade pela qual um ente, objeto ou forma exibe partes correspondentes quando submetida a uma operação de específica de simetria. A simetria, portanto, é uma operação que mantém uma forma invariante. Assim, um objeto que possui simetria pode ser convertido nele próprio, a partir de uma de suas partes, ficando uma posição indiscernível da outra. A simetria das formas naturais espelha uma estruturação interna, um ritmo, uma morfologia regular ou a função de um determinado ser.

• Todos os minerais bem cristalizados (cristais) mostram um arranjo das faces, isto permite agrupá-los em sistemas cristalinos de acordo com suas simetrias.

OPERAÇÕES DE SIMETRIA • A partir da definição de simetria conclui-se que o

conceito de simetria implica sempre uma repetição em que estão presentes duas entidades fundamentais:

– 1. o motivo: aquilo que se repete; no caso dos cristais é uma face;

– 2. o período ou ritmo: como ocorre a repetição, a lei de repetição.

• O ritmo é constante e resulta da aplicação de operações de simetria. estas operações são numerosas e variadas, mas três delas são particularmente importantes em cristalografia.

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OPERAÇÕES DE SIMETRIA• 1. Reflexão: é a

simetria bilateral obtida pela reflexão em um plano imaginário que o divide em partes idênticas especulares (enantiomórficas). A notação usada para plano é P ( de plane) precedida do número de planos que a forma possui.

• Ex.: 6P – seis planos.

A notação estereográfica de plano é um linha dupla.

• 2. Rotação: é a operação de simetria em que uma forma repete-se n vezes em um giro de 360o ao redor de um eixo. A notação de eixo é A (axes) e é seguida pelo número de ordem do eixo e precedida pelo número de eixos que existem na forma. Nos cristais existem quatro tipos de eixos:

• A2 – eixo binário, repete as formas a cada 180o

• A3 - eixo ternário, repete as formas a cada 120o

• A4 – eixo quaternário, repete as formas a cada 90o

• A6 – eixo senário, repete as formas a cada 60º

OPERAÇÕES DE SIMETRIA

Notação dos eixos de simetria

• 3. Inversão: é a operação de simetria que relaciona duas figuras tais que cada ponto de uma corresponde, na outra, um ponto oposto, relativamente a um dado ponto no espaço. este ponto do espaço denomina-se centro de inversão e este operador é também designado de centro de simetria quando trata-se de poliedros. A notação para centro de simetria é C (centre).

OPERAÇÕES DE SIMETRIA

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ResumindoExistem regras que dizem respeito a coexistência de simetrias. As principais são:

• 1a. A existência de um eixo de simetria de ordem par e um centro de simetria numa forma implica na existência de um plano principal de simetria perpendicular ao eixo. Simplificando: A2, A4e A6 com C exigem P perpendicular. Ex.: 2A2C2P; A62A4C3P

• 2a. A existência de um eixo de simetria de ordem ímpar e um centro de simetria numa forma exclui a existência de um eixo de simetria perpendicular ao plano. Ex.: A3C; A3P; 2A2A3C2P

• 3a. Existindo dois eixos perpendiculares de ordem par num forma implica que haverá um terceiro eixo de ordem par perpendicular aos outros dois. OU A existência de dois eixos binários perpendiculares entre si acarreta a existência de um terceiro eixo binário perpendicular ao plano formado pelos dois primeiros planos. Ex.: A2A2’A2”

REGRAS DE SIMETRIA (ou Interdependências de Simetria)

LEIS FUNDAMENTAIS DA CRISTALOGRAFIA

1a. Lei da constância dos ângulos diedros(Lei de Steno, 1669):

• A lei da constância dos ângulos diedros diz que faces correspondentes em diferentes cristais da mesma substância, independentemente de sua forma, em temperaturas constantes, definem ângulos diedros iguais.

• OBS.: ângulos diedros são aqueles formados entre dois planos que se cortam.

• A lei da constância dos ângulos diedros implica que uma forma cristalográfica é caracterizada pelos ângulos que suas faces definem e não pela sua forma geométrica. A forma geométrica depende do desenvolvimento relativo das diversas faces, isto possibilita o uso da projeção estereográfica.

A lei da constância dos ângulos diedros

Steno (1669) Quartzo

120o

120o

120o 120o 120o

120o

120o

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LEIS FUNDAMENTAIS DA CRISTALOGRAFIA

2a. Lei da racionalidade dos índices ou Lei de Haüy (1784):

Segundo esta lei todos os cristais são formados por unidades estruturais minúsculas, que por sua vez permitem definir um sistema de eixos de coordenadas.A posição no espaço de cada uma das faces desta unidade estrutural (ou seja: o comprimento de cada coordenada x, y e z) é um número inteiro. Portanto as unidades estruturais dos diferentes cristais têm no mínimo três índices x:y:z.

Lembre-se que:Nos cristais:

• toda face é um plano reticular• todo plano reticular é uma face possível • toda aresta é uma fileira reticular • todo vértice é um plano reticular

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Definições fundamentais e notação cristalográfica

Para desenvolver as idéias da simetria externa dos cristais énecessário conhecer algumas definições fundamentais e a notação cristalográfica que serão abordadas a seguir:

• Grau de simetria – é a simetria completa de uma forma cristalina, é tanto mais elevado quanto maior for o número de elementos de simetria presentes em um cristal.

• Classe de simetria - é um conjunto de elementos de simetria compatíveis de coexistência, uma classe possui muitas formas cristalinas. Existem 32 classes de simetria.

• Zonas - zona é um grupo de faces cujas arestas são mutuamente paralelas. A notação de zona é escrita entre colchetes. Ex.: zona de y [(100)(001)]


4. Eixos cristalográficos - ao descrever-se os cristais convencionou-se tomar um a cruz axial. Esta cruz axial é um conjunto de três eixos (quatro no sistemas Hexagonal e Trigonal) que se interceptam no centro do cristal ideal. Na cruz axial devem ser considerados dois fatores:

a. inclinação mútua dos eixos (o ângulo que os eixos fazem entre si)

b. comprimento relativo dos eixos (que segundo a lei de Haüy devem ser números inteiros)

Os eixos são denominados de x:y:z ou a:b:c.

Eixos cristalográficos

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5. Sistema cristalino – é um conjunto de formas que possuem alguns eixos de simetria comuns entre si e que podem ser considerados como derivando umas das outras por modificações na simetria. Um sistema apresenta várias classes de simetria. As 32 classes de simetria estão agrupadas em 7 ou 6 (depende do autor consultado) sistemas cristalinos:

1. Sistemas Cúbico, 2. Tetragonal, 3. Ortorrômbico, 4. Monoclínico, 5. Triclínico, 6. Hexagonal e Trigonal (ou Hexagonal com divisão Trigonal)

Eixos cristalográficos


6. Índices - vários métodos foram imaginados para definir as intercessões das faces dos cristais com os eixos cristalográficos.

Os métodos mais simples e usados são os índices de Miller(números) e de Weiss (letras).

Segundo estes métodos os índices de uma face são dados por três números ou letras (quatro no sistemas Hexagonal e Trigonal) que se referem aos eixo x, y, e z do seguinte modo: Considerando-se a face (102) abaixo:


Os índices de Miller correspondem aos valores recíprocos das longitudes numéricas (nome do eixo/tamanho relativo do eixo) e se necessário da redução destas frações:eixo a a = 1a = 1

1eixo b b = α = 0(como o infinito não pode ser

0 representado o valor do índice é zero)

eixo c c = 1c = 22 2

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• Os índices de Weiss são representados por letras, quando se desconhecem as dimensões exatas dos sólidos ou quando a dimensão não interessa. Para estes casos usa-se uma forma geral (hkl), onde h, k e l representam um número inteiro simples e são correspondentes aos três eixos a, b e c.

• A face (hkl) corta os três eixos, já a face (hk0) não corta o eixo c ou z, sendo paralelo a ele. Ainda por convenção h é maior que k que é maior que l (h>k>l). Quando uma face interceptar um ou mais eixos negativos coloca-se uma barra sobre o índice. Ex. (111) esta face intercepta o eixo -y.

• Os índices de Miller e Weiss são equivalentes:

Exemplo: a face (hkl) é igual a face (321); a face (h0l) é igual a face (301); a face (hh0) é igual a (110); etc

Índices de

Miller


7. Formas - em cristalografia o termo “forma” refere-se a um grupo de faces que tem a mesma relação com os elementos de simetria e exibem as mesmas propriedades físicas e químicas (a forma externa dos cristais édenominada de hábito). As formas podem ser abertas e fechadas.

as faces são indicadas pelos índices de Miller/Weiss entre parênteses (hkl) ou (321)

as formas (figuras geométricas) são indicadas pelos índices de Miller/Weiss entre chaves {hkl} ou {321}

Formas abertas e fechadas

Pinacóide

Prisma

Pirâmide

Bipirâmide

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As formas podem ser abertas ou fechadas:As formas abertas são aquelas que não delimitam completamente o espaço. São elas:

• 1. Pédio - 1 face única.• 2. Pinacóide - duas faces paralelas.• 3. Doma - duas faces não paralelas simétricas em relação a um

plano.• 4. Esfenóide - duas faces não paralelas simétricas

exclusivamente por rotação.• 5. Prisma - conjunto de três ou mais faces interdependentes

pela simetria e paralelas a uma e somente uma direção. Os prismas podem ter três faces (trigonal), quatro faces (tetragonal ou rômbico), seis faces (hexagonal ou ditrigonal), oito (ditetragonal) ou doze faces (diexagonal).

• Os prismas podem ser de 1a ou 2a ordem. Os prismas de 1aordem tem os eixos interceptando arestas e os de 2a ordem tem os eixos interceptando faces.

• 6. Pirâmide - conjunto de três ou mais faces interdependentes pela simetria cujas arestas convergem para o mesmo ponto. Podem ter 3, 4, 6 , 8 ou 12 faces.

Formasabertas

As formas podem ser combinadas:

• Prisma + pibipâmide

Formas fechadasAs formas fechadas são aquelas que delimitam o espaço. São elas:

• 1. Trapezoedro - é uma forma simples fechada, cujas faces são trapezoédricas obtendo-se as superiores alternando-se com as inferiores e onde as arestas equatoriais formam um zigue-zague(sendo o zigue diferente do zague). Podem ter 6, 8 ou 12 faces e só exibem simetria de rotação.

• 2. Bipirâmide - é uma forma fechada a partir da reflexão de pirâmides sobre um plano de simetria horizontal. Podem ter 6, 8,12, 16 ou 24 faces.

• 3. Escalenoedro - forma fechada com faces agrupadas em pares simétricos onde cada face é um triângulo escaleno (triângulo escaleno é aquela com todos os lados e ângulos diferentes).Podem ter 8 ou 12 faces.

• 4. Romboedro - forma fechada que apresenta seis faces losangulares iguais em perfeita alternância das faces superiores com as inferiores.

• 5. Esfenoedro - forma fechada com quatro faces onde duas faces do esfenóide superior se alternam com duas do inferior.

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Formas fechadas

Formas fechadas cúbicas

As formas cúbicas também podem ser combinadas:

Cubo Octaedro

Dodecaedro

111

111_

111__

111_

110

101 011

011_

110

_

101_

As três combinadas

110

101 011

011 _

110 _

101 _

100

001

010

111

111 __

111 _

111 _

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Projeção estereográfica

• Como representar este sólido em 2 dimensões?

É a forma de as três dimensões de um cristal em duas dimensões no


Projeção estereográfica A rede Wulff

A rede de Wulf, também chamada de estereográfica, é o sistema que permite a projeção dos sólidos mantendo-se os valores angulares entre as faces, embora as dimensões reais do sólido não sejam consideradas. A rede está graduada de 2o em 2o

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São plotadas as faces dos cristais e os ângulos que elas fazem entre si, independente do seu tamanho.


Sistema cSistema cúúbicobico


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