Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Aula 2 - Ondas
Rene F. K. Spada
ITA
7 de Maio de 2018
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 1 / 46
1 Solução de Equação de Onda
2 Séries de Fourier
3 Retomando a Solução da Equação de Onda
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 2 / 46
1 Solução de Equação de Onda
2 Séries de Fourier
3 Retomando a Solução da Equação de Onda
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 3 / 46
Na aula passada deduzimos a equação:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
Descreve o movimento de uma onda em uma corda;Agora estamos interessados em uma corda vibrando;Como em um instrumento musical:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 4 / 46
Na aula passada deduzimos a equação:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
Descreve o movimento de uma onda em uma corda;Agora estamos interessados em uma corda vibrando;Como em um instrumento musical:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 4 / 46
Na aula passada deduzimos a equação:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
Descreve o movimento de uma onda em uma corda;
Agora estamos interessados em uma corda vibrando;Como em um instrumento musical:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 4 / 46
Na aula passada deduzimos a equação:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
Descreve o movimento de uma onda em uma corda;Agora estamos interessados em uma corda vibrando;
Como em um instrumento musical:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 4 / 46
Na aula passada deduzimos a equação:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
Descreve o movimento de uma onda em uma corda;Agora estamos interessados em uma corda vibrando;Como em um instrumento musical:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 4 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
Para gerar essa onda precisamos de extremidades fixas;
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
Para gerar essa onda precisamos de extremidades fixas;Assim a corda vibra entre as extremidades;
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
Para gerar essa onda precisamos de extremidades fixas;Assim a corda vibra entre as extremidades;Em um dado instante a corda possui um perfil;
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
Para gerar essa onda precisamos de extremidades fixas;Assim a corda vibra entre as extremidades;Em um dado instante a corda possui um perfil;Objetivo → expressão que descreve o movimento da corda;
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
Para gerar essa onda precisamos de extremidades fixas;Assim a corda vibra entre as extremidades;Em um dado instante a corda possui um perfil;Objetivo → expressão que descreve o movimento da corda;Calcular a posição de cada ponto da corda em cada instante;
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
Para gerar essa onda precisamos de extremidades fixas;Assim a corda vibra entre as extremidades;Em um dado instante a corda possui um perfil;Objetivo → expressão que descreve o movimento da corda;Calcular a posição de cada ponto da corda em cada instante;Procuramos uma função de duas variáveis → x e t;
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
Para o cálculo de y(x , t);
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
Para o cálculo de y(x , t);Precisamos de condições iniciais;
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
Para o cálculo de y(x , t);Precisamos de condições iniciais;Primeiro olhando para a parte temporal;
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
Para o cálculo de y(x , t);Precisamos de condições iniciais;Primeiro olhando para a parte temporal;
y(x , 0) = y0(x)
∣∣ Posição inicial[∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
Para o cálculo de y(x , t);Precisamos de condições iniciais;Primeiro olhando para a parte temporal;
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial
[∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
Para o cálculo de y(x , t);Precisamos de condições iniciais;Primeiro olhando para a parte temporal;
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)
∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
Para o cálculo de y(x , t);Precisamos de condições iniciais;Primeiro olhando para a parte temporal;
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;
Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;
Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;
Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t)
= y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t)
= 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
L
y(x , t)y(x , 0) y(x , t)
y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[
∂y(x , t)
∂t
]t=0
= y0(x)∣∣ Velocidade inicial
y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 5 / 46
Para resolvermos a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
Temos uma equação diferencial parcial de duas variáveis;Transformaremos essa equação em duas equações diferenciaisordinárias;Método de Separação de Variáveis;Procuraremos uma solução do tipo:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 6 / 46
Para resolvermos a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
Temos uma equação diferencial parcial de duas variáveis;Transformaremos essa equação em duas equações diferenciaisordinárias;Método de Separação de Variáveis;Procuraremos uma solução do tipo:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 6 / 46
Para resolvermos a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
Temos uma equação diferencial parcial de duas variáveis;
Transformaremos essa equação em duas equações diferenciaisordinárias;Método de Separação de Variáveis;Procuraremos uma solução do tipo:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 6 / 46
Para resolvermos a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
Temos uma equação diferencial parcial de duas variáveis;Transformaremos essa equação em duas equações diferenciaisordinárias;
Método de Separação de Variáveis;Procuraremos uma solução do tipo:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 6 / 46
Para resolvermos a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
Temos uma equação diferencial parcial de duas variáveis;Transformaremos essa equação em duas equações diferenciaisordinárias;Método de Separação de Variáveis;
Procuraremos uma solução do tipo:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 6 / 46
Para resolvermos a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
Temos uma equação diferencial parcial de duas variáveis;Transformaremos essa equação em duas equações diferenciaisordinárias;Método de Separação de Variáveis;Procuraremos uma solução do tipo:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 6 / 46
Para resolvermos a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
Temos uma equação diferencial parcial de duas variáveis;Transformaremos essa equação em duas equações diferenciaisordinárias;Método de Separação de Variáveis;Procuraremos uma solução do tipo:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 6 / 46
Assim, para a parte espacial:
E para a parte temporal:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 7 / 46
Assim, para a parte espacial:
∂2y
∂x2 =∂2
∂x2 [X (x) Θ(t)]
E para a parte temporal:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 7 / 46
Assim, para a parte espacial:
∂2y
∂x2 =∂2
∂x2 [X (x) Θ(t)︸︷︷︸cte
]
E para a parte temporal:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 7 / 46
Assim, para a parte espacial:
∂2y
∂x2 =∂2
∂x2 [X (x) Θ(t)︸︷︷︸cte
]
∂2y
∂x2 = Θ(t)∂2X (x)
∂x2
E para a parte temporal:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 7 / 46
Assim, para a parte espacial:
∂2y
∂x2 =∂2
∂x2 [X (x) Θ(t)︸︷︷︸cte
]
∂2y
∂x2 = Θ(t)∂2X (x)
∂x2
E para a parte temporal:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 7 / 46
Assim, para a parte espacial:
∂2y
∂x2 =∂2
∂x2 [X (x) Θ(t)︸︷︷︸cte
]
∂2y
∂x2 = Θ(t)∂2X (x)
∂x2
E para a parte temporal:
∂2y
∂t2=
∂2
∂t2[X (x) Θ(t)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 7 / 46
Assim, para a parte espacial:
∂2y
∂x2 =∂2
∂x2 [X (x) Θ(t)︸︷︷︸cte
]
∂2y
∂x2 = Θ(t)∂2X (x)
∂x2
E para a parte temporal:
∂2y
∂t2=
∂2
∂t2[X (x)︸ ︷︷ ︸
cte
Θ(t)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 7 / 46
Assim, para a parte espacial:
∂2y
∂x2 =∂2
∂x2 [X (x) Θ(t)︸︷︷︸cte
]
∂2y
∂x2 = Θ(t)∂2X (x)
∂x2
E para a parte temporal:
∂2y
∂t2=
∂2
∂t2[X (x)︸ ︷︷ ︸
cte
Θ(t)]
∂2y
∂t2= X (x)
∂2Θ(t)
∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 7 / 46
Retornando a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2∣∣ Substituindo
Θ(t)∂2X (x)
∂x2 =X (x)
v2∂2Θ(t)
∂t2
Dividindo ambos os lados por X (x)Θ(t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 8 / 46
Retornando a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
∣∣ Substituindo
Θ(t)∂2X (x)
∂x2 =X (x)
v2∂2Θ(t)
∂t2
Dividindo ambos os lados por X (x)Θ(t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 8 / 46
Retornando a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2∣∣ Substituindo
Θ(t)∂2X (x)
∂x2 =X (x)
v2∂2Θ(t)
∂t2
Dividindo ambos os lados por X (x)Θ(t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 8 / 46
Retornando a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2∣∣ Substituindo
Θ(t)∂2X (x)
∂x2 =X (x)
v2∂2Θ(t)
∂t2
Dividindo ambos os lados por X (x)Θ(t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 8 / 46
Retornando a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2∣∣ Substituindo
Θ(t)∂2X (x)
∂x2 =X (x)
v2∂2Θ(t)
∂t2
Dividindo ambos os lados por X (x)Θ(t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 8 / 46
Retornando a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2∣∣ Substituindo
Θ(t)∂2X (x)
∂x2 =X (x)
v2∂2Θ(t)
∂t2
Dividindo ambos os lados por X (x)Θ(t)
Θ(t)
X (x)Θ(t)
∂2X (x)
∂x2 =X (x)
v2X (x)Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 8 / 46
Retornando a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2∣∣ Substituindo
Θ(t)∂2X (x)
∂x2 =X (x)
v2∂2Θ(t)
∂t2
Dividindo ambos os lados por X (x)Θ(t)
HHHΘ(t)
X (x)HHHΘ(t)
∂2X (x)
∂x2 =X (x)
v2X (x)Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 8 / 46
Retornando a equação de onda:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2∣∣ Substituindo
Θ(t)∂2X (x)
∂x2 =X (x)
v2∂2Θ(t)
∂t2
Dividindo ambos os lados por X (x)Θ(t)
HHHΘ(t)
X (x)HHHΘ(t)
∂2X (x)
∂x2 = ���HHHX (x)
v2���HHHX (x)Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 8 / 46
E a equação pode ser reescrita como:
1X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
v2Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2ou
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Variáveis separadas; 3
O lado esquerdo depende apenas de x ;O lado direito depende apenas de t;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 9 / 46
E a equação pode ser reescrita como:
1X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
v2Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
ouv2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Variáveis separadas; 3
O lado esquerdo depende apenas de x ;O lado direito depende apenas de t;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 9 / 46
E a equação pode ser reescrita como:
1X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
v2Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2ou
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Variáveis separadas; 3
O lado esquerdo depende apenas de x ;O lado direito depende apenas de t;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 9 / 46
E a equação pode ser reescrita como:
1X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
v2Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2ou
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Variáveis separadas; 3
O lado esquerdo depende apenas de x ;O lado direito depende apenas de t;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 9 / 46
E a equação pode ser reescrita como:
1X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
v2Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2ou
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Variáveis separadas; 3
O lado esquerdo depende apenas de x ;
O lado direito depende apenas de t;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 9 / 46
E a equação pode ser reescrita como:
1X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
v2Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2ou
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Variáveis separadas; 3
O lado esquerdo depende apenas de x ;O lado direito depende apenas de t;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 9 / 46
Considerando a forma:
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Fazendo essa constante −ω2
O sinal de negativo indica que a aceleração do elemento de cordaaponta sempre para posição de equilíbrio;Assim:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 10 / 46
Considerando a forma:
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Fazendo essa constante −ω2
O sinal de negativo indica que a aceleração do elemento de cordaaponta sempre para posição de equilíbrio;Assim:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 10 / 46
Considerando a forma:
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Variando apenas x (esquerda) → Lado direito não varia;
Fazendo essa constante −ω2
O sinal de negativo indica que a aceleração do elemento de cordaaponta sempre para posição de equilíbrio;Assim:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 10 / 46
Considerando a forma:
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Variando apenas x (esquerda) → Lado direito não varia;Variando apenas t (direita) → Lado esquerdo não varia;
Fazendo essa constante −ω2
O sinal de negativo indica que a aceleração do elemento de cordaaponta sempre para posição de equilíbrio;Assim:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 10 / 46
Considerando a forma:
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Variando apenas x (esquerda) → Lado direito não varia;Variando apenas t (direita) → Lado esquerdo não varia;Só faz sentido se ambos os lados forem constantes;
Fazendo essa constante −ω2
O sinal de negativo indica que a aceleração do elemento de cordaaponta sempre para posição de equilíbrio;Assim:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 10 / 46
Considerando a forma:
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Fazendo essa constante −ω2
O sinal de negativo indica que a aceleração do elemento de cordaaponta sempre para posição de equilíbrio;Assim:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 10 / 46
Considerando a forma:
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Fazendo essa constante −ω2
O sinal de negativo indica que a aceleração do elemento de cordaaponta sempre para posição de equilíbrio;
Assim:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 10 / 46
Considerando a forma:
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 =1
Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2
Fazendo essa constante −ω2
O sinal de negativo indica que a aceleração do elemento de cordaaponta sempre para posição de equilíbrio;Assim:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 10 / 46
Para x :
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 = −ω2 =⇒ ∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0
Para t:
1Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2= −ω2 =⇒ ∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0
ω → Frequência angular.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 11 / 46
Para x :
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 = −ω2
=⇒ ∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0
Para t:
1Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2= −ω2 =⇒ ∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0
ω → Frequência angular.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 11 / 46
Para x :
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 = −ω2 =⇒
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0
Para t:
1Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2= −ω2 =⇒ ∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0
ω → Frequência angular.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 11 / 46
Para x :
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 = −ω2 =⇒ ∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0
Para t:
1Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2= −ω2 =⇒ ∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0
ω → Frequência angular.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 11 / 46
Para x :
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 = −ω2 =⇒ ∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0
Para t:
1Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2= −ω2 =⇒ ∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0
ω → Frequência angular.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 11 / 46
Para x :
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 = −ω2 =⇒ ∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0
Para t:
1Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2= −ω2
=⇒ ∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0
ω → Frequência angular.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 11 / 46
Para x :
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 = −ω2 =⇒ ∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0
Para t:
1Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2= −ω2 =⇒
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0
ω → Frequência angular.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 11 / 46
Para x :
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 = −ω2 =⇒ ∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0
Para t:
1Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2= −ω2 =⇒ ∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0
ω → Frequência angular.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 11 / 46
Para x :
v2
X (x)
∂2X (x)
∂x2 = −ω2 =⇒ ∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0
Para t:
1Θ(t)
∂2Θ(t)
∂t2= −ω2 =⇒ ∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0
ω → Frequência angular.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 11 / 46
Procuramos uma função cuja derivada segunda seja ela mesma comsinal invertido;
Utilizaremos sin e cos:
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0 =⇒ X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
Antes de proseguir;Vamos verificar a solução:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 12 / 46
Procuramos uma função cuja derivada segunda seja ela mesma comsinal invertido;Utilizaremos sin e cos:
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0 =⇒ X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
Antes de proseguir;Vamos verificar a solução:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 12 / 46
Procuramos uma função cuja derivada segunda seja ela mesma comsinal invertido;Utilizaremos sin e cos:
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0
=⇒ X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
Antes de proseguir;Vamos verificar a solução:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 12 / 46
Procuramos uma função cuja derivada segunda seja ela mesma comsinal invertido;Utilizaremos sin e cos:
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0 =⇒
X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
Antes de proseguir;Vamos verificar a solução:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 12 / 46
Procuramos uma função cuja derivada segunda seja ela mesma comsinal invertido;Utilizaremos sin e cos:
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0 =⇒ X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
Antes de proseguir;Vamos verificar a solução:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 12 / 46
Procuramos uma função cuja derivada segunda seja ela mesma comsinal invertido;Utilizaremos sin e cos:
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0 =⇒ X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
Antes de proseguir;
Vamos verificar a solução:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 12 / 46
Procuramos uma função cuja derivada segunda seja ela mesma comsinal invertido;Utilizaremos sin e cos:
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) = 0 =⇒ X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
Antes de proseguir;Vamos verificar a solução:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 12 / 46
Assim:
X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
dX (x)
dx= − C
ω
vsin(ωvx)
+ Dω
vcos(ωvx)
d2X (x)
dx2 = − Cω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
Substituindo na equação para X (x):
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) =
−C ω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸d2Xdx
+ω2
v2
C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸X (x)
=
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 13 / 46
Assim:
X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
dX (x)
dx= − C
ω
vsin(ωvx)
+ Dω
vcos(ωvx)
d2X (x)
dx2 = − Cω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
Substituindo na equação para X (x):
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) =
−C ω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸d2Xdx
+ω2
v2
C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸X (x)
=
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 13 / 46
Assim:
X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
dX (x)
dx=
− Cω
vsin(ωvx)
+ Dω
vcos(ωvx)
d2X (x)
dx2 = − Cω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
Substituindo na equação para X (x):
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) =
−C ω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸d2Xdx
+ω2
v2
C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸X (x)
=
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 13 / 46
Assim:
X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
dX (x)
dx= − C
ω
vsin(ωvx)
+ Dω
vcos(ωvx)
d2X (x)
dx2 = − Cω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
Substituindo na equação para X (x):
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) =
−C ω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸d2Xdx
+ω2
v2
C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸X (x)
=
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 13 / 46
Assim:
X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
dX (x)
dx= − C
ω
vsin(ωvx)
+ Dω
vcos(ωvx)
d2X (x)
dx2 = − Cω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
Substituindo na equação para X (x):
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) =
−C ω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸d2Xdx
+ω2
v2
C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸X (x)
=
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 13 / 46
Assim:
X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
dX (x)
dx= − C
ω
vsin(ωvx)
+ Dω
vcos(ωvx)
d2X (x)
dx2 =
− Cω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
Substituindo na equação para X (x):
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) =
−C ω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸d2Xdx
+ω2
v2
C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸X (x)
=
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 13 / 46
Assim:
X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
dX (x)
dx= − C
ω
vsin(ωvx)
+ Dω
vcos(ωvx)
d2X (x)
dx2 = − Cω2
v2 cos(ωvx)
− Dω2
v2 sin(ωvx)
Substituindo na equação para X (x):
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) =
−C ω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸d2Xdx
+ω2
v2
C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸X (x)
=
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 13 / 46
Assim:
X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
dX (x)
dx= − C
ω
vsin(ωvx)
+ Dω
vcos(ωvx)
d2X (x)
dx2 = − Cω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
Substituindo na equação para X (x):
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) =
−C ω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸d2Xdx
+ω2
v2
C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸X (x)
=
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 13 / 46
Assim:
X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
dX (x)
dx= − C
ω
vsin(ωvx)
+ Dω
vcos(ωvx)
d2X (x)
dx2 = − Cω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
Substituindo na equação para X (x):
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) =
−C ω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸d2Xdx
+ω2
v2
C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸X (x)
=
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 13 / 46
Assim:
X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
dX (x)
dx= − C
ω
vsin(ωvx)
+ Dω
vcos(ωvx)
d2X (x)
dx2 = − Cω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
Substituindo na equação para X (x):
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) =
−C ω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸d2Xdx
+ω2
v2
C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸X (x)
=
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 13 / 46
Assim:
X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
dX (x)
dx= − C
ω
vsin(ωvx)
+ Dω
vcos(ωvx)
d2X (x)
dx2 = − Cω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
Substituindo na equação para X (x):
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) =
−C ω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸d2Xdx
+ω2
v2
C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸X (x)
=
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 13 / 46
Assim:
X (x) = C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
dX (x)
dx= − C
ω
vsin(ωvx)
+ Dω
vcos(ωvx)
d2X (x)
dx2 = − Cω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
Substituindo na equação para X (x):
∂2X (x)
∂x2 +ω2
v2 X (x) =
−C ω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸d2Xdx
+ω2
v2
C cos(ωvx)
+ D sin(ωvx)
︸ ︷︷ ︸X (x)
=
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 13 / 46
Multiplicando o termo ω2
v2 ;
−C ω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
+ω2
v2 C cos(ωvx)
+ω2
v2 D sin(ωvx)
=
Como X (x) proposto satisfaz a equação;X (x) é uma solução da equação de onda;Lidaremos com as constantes C e D daqui a pouco.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 14 / 46
Multiplicando o termo ω2
v2 ;
−��������
Cω2
v2 cos(ωvx)− D
ω2
v2 sin(ωvx)
+�����
���ω2
v2 C cos(ωvx)
+ω2
v2 D sin(ωvx)
=
Como X (x) proposto satisfaz a equação;X (x) é uma solução da equação de onda;Lidaremos com as constantes C e D daqui a pouco.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 14 / 46
Multiplicando o termo ω2
v2 ;
−������
��Cω2
v2 cos(ωvx)−���
����XXXXXXXD
ω2
v2 sin(ωvx)
+������
��ω2
v2 C cos(ωvx)
+������
�XXXXXXXω2
v2 D sin(ωvx)
=
Como X (x) proposto satisfaz a equação;X (x) é uma solução da equação de onda;Lidaremos com as constantes C e D daqui a pouco.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 14 / 46
Multiplicando o termo ω2
v2 ;
−������
��Cω2
v2 cos(ωvx)−���
����XXXXXXXD
ω2
v2 sin(ωvx)
+������
��ω2
v2 C cos(ωvx)
+������
�XXXXXXXω2
v2 D sin(ωvx)
=
Como X (x) proposto satisfaz a equação;
X (x) é uma solução da equação de onda;Lidaremos com as constantes C e D daqui a pouco.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 14 / 46
Multiplicando o termo ω2
v2 ;
−������
��Cω2
v2 cos(ωvx)−���
����XXXXXXXD
ω2
v2 sin(ωvx)
+������
��ω2
v2 C cos(ωvx)
+������
�XXXXXXXω2
v2 D sin(ωvx)
=
Como X (x) proposto satisfaz a equação;X (x) é uma solução da equação de onda;
Lidaremos com as constantes C e D daqui a pouco.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 14 / 46
Multiplicando o termo ω2
v2 ;
−������
��Cω2
v2 cos(ωvx)−���
����XXXXXXXD
ω2
v2 sin(ωvx)
+������
��ω2
v2 C cos(ωvx)
+������
�XXXXXXXω2
v2 D sin(ωvx)
=
Como X (x) proposto satisfaz a equação;X (x) é uma solução da equação de onda;Lidaremos com as constantes C e D daqui a pouco.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 14 / 46
Para a parte temporal:
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0 =⇒ Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
Conferindo:
Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
dΘ(t)
dt= −ωE sin(ωt) + ωF cos(ωt)
d2Θ(t)
dt2= −ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 15 / 46
Para a parte temporal:
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0
=⇒ Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
Conferindo:
Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
dΘ(t)
dt= −ωE sin(ωt) + ωF cos(ωt)
d2Θ(t)
dt2= −ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 15 / 46
Para a parte temporal:
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0 =⇒
Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
Conferindo:
Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
dΘ(t)
dt= −ωE sin(ωt) + ωF cos(ωt)
d2Θ(t)
dt2= −ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 15 / 46
Para a parte temporal:
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0 =⇒ Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
Conferindo:
Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
dΘ(t)
dt= −ωE sin(ωt) + ωF cos(ωt)
d2Θ(t)
dt2= −ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 15 / 46
Para a parte temporal:
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0 =⇒ Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
Conferindo:
Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
dΘ(t)
dt= −ωE sin(ωt) + ωF cos(ωt)
d2Θ(t)
dt2= −ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 15 / 46
Para a parte temporal:
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0 =⇒ Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
Conferindo:
Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
dΘ(t)
dt= −ωE sin(ωt) + ωF cos(ωt)
d2Θ(t)
dt2= −ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 15 / 46
Para a parte temporal:
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0 =⇒ Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
Conferindo:
Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
dΘ(t)
dt= −ωE sin(ωt) + ωF cos(ωt)
d2Θ(t)
dt2= −ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 15 / 46
Para a parte temporal:
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) = 0 =⇒ Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
Conferindo:
Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)
dΘ(t)
dt= −ωE sin(ωt) + ωF cos(ωt)
d2Θ(t)
dt2= −ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 15 / 46
Substituindo na equação para Θ(t):
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) =
−ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸d2Θ(t)
dt2
+ ω2
E cos(ωt) + F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸Θ(t)
=
Portanto a solução Θ(t) satisfaz a equação.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 16 / 46
Substituindo na equação para Θ(t):
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) =
−ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸d2Θ(t)
dt2
+ ω2
E cos(ωt) + F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸Θ(t)
=
Portanto a solução Θ(t) satisfaz a equação.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 16 / 46
Substituindo na equação para Θ(t):
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) =
−ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸d2Θ(t)
dt2
+ ω2
E cos(ωt) + F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸Θ(t)
=
Portanto a solução Θ(t) satisfaz a equação.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 16 / 46
Substituindo na equação para Θ(t):
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) =
−ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸d2Θ(t)
dt2
+ ω2
E cos(ωt) + F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸Θ(t)
=
Portanto a solução Θ(t) satisfaz a equação.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 16 / 46
Substituindo na equação para Θ(t):
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) =
−ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸d2Θ(t)
dt2
+ ω2
E cos(ωt) + F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸Θ(t)
=
− ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt) + ω2E cos(ωt) + ω2F sin(ωt) =
Portanto a solução Θ(t) satisfaz a equação.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 16 / 46
Substituindo na equação para Θ(t):
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) =
−ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸d2Θ(t)
dt2
+ ω2
E cos(ωt) + F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸Θ(t)
=
−������ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt) +���
���ω2E cos(ωt) + ω2F sin(ωt) =
Portanto a solução Θ(t) satisfaz a equação.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 16 / 46
Substituindo na equação para Θ(t):
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) =
−ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸d2Θ(t)
dt2
+ ω2
E cos(ωt) + F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸Θ(t)
=
−������ω2E cos(ωt)−
XXXXXXω2F sin(ωt) +������ω2E cos(ωt) +
XXXXXXω2F sin(ωt) =
Portanto a solução Θ(t) satisfaz a equação.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 16 / 46
Substituindo na equação para Θ(t):
∂2Θ(t)
∂t2+ ω2Θ(t) =
−ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸d2Θ(t)
dt2
+ ω2
E cos(ωt) + F sin(ωt)︸ ︷︷ ︸Θ(t)
=
−������ω2E cos(ωt)−
XXXXXXω2F sin(ωt) +������ω2E cos(ωt) +
XXXXXXω2F sin(ωt) =
Portanto a solução Θ(t) satisfaz a equação.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 16 / 46
Assim a solução geral fica:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
y(x , t) =[C cos
(ωvx)
+ D sin(ωvx)]
︸ ︷︷ ︸X (x)
[E cos(ωt) + F sin(ωt)]︸ ︷︷ ︸Θ(t)
Ainda precisamos lidar com as constantes C , D, E e F ;Devemos utilizar as condições iniciais e de contorno.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 17 / 46
Assim a solução geral fica:
y(x , t) =
X (x)Θ(t)
y(x , t) =[C cos
(ωvx)
+ D sin(ωvx)]
︸ ︷︷ ︸X (x)
[E cos(ωt) + F sin(ωt)]︸ ︷︷ ︸Θ(t)
Ainda precisamos lidar com as constantes C , D, E e F ;Devemos utilizar as condições iniciais e de contorno.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 17 / 46
Assim a solução geral fica:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
y(x , t) =[C cos
(ωvx)
+ D sin(ωvx)]
︸ ︷︷ ︸X (x)
[E cos(ωt) + F sin(ωt)]︸ ︷︷ ︸Θ(t)
Ainda precisamos lidar com as constantes C , D, E e F ;Devemos utilizar as condições iniciais e de contorno.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 17 / 46
Assim a solução geral fica:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
y(x , t) =
[C cos
(ωvx)
+ D sin(ωvx)]
︸ ︷︷ ︸X (x)
[E cos(ωt) + F sin(ωt)]︸ ︷︷ ︸Θ(t)
Ainda precisamos lidar com as constantes C , D, E e F ;Devemos utilizar as condições iniciais e de contorno.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 17 / 46
Assim a solução geral fica:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
y(x , t) =[C cos
(ωvx)
+ D sin(ωvx)]
︸ ︷︷ ︸X (x)
[E cos(ωt) + F sin(ωt)]︸ ︷︷ ︸Θ(t)
Ainda precisamos lidar com as constantes C , D, E e F ;Devemos utilizar as condições iniciais e de contorno.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 17 / 46
Assim a solução geral fica:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
y(x , t) =[C cos
(ωvx)
+ D sin(ωvx)]
︸ ︷︷ ︸X (x)
[E cos(ωt) + F sin(ωt)]︸ ︷︷ ︸Θ(t)
Ainda precisamos lidar com as constantes C , D, E e F ;Devemos utilizar as condições iniciais e de contorno.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 17 / 46
Assim a solução geral fica:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
y(x , t) =[C cos
(ωvx)
+ D sin(ωvx)]
︸ ︷︷ ︸X (x)
[E cos(ωt) + F sin(ωt)]︸ ︷︷ ︸Θ(t)
Ainda precisamos lidar com as constantes C , D, E e F ;
Devemos utilizar as condições iniciais e de contorno.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 17 / 46
Assim a solução geral fica:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
y(x , t) =[C cos
(ωvx)
+ D sin(ωvx)]
︸ ︷︷ ︸X (x)
[E cos(ωt) + F sin(ωt)]︸ ︷︷ ︸Θ(t)
Ainda precisamos lidar com as constantes C , D, E e F ;Devemos utilizar as condições iniciais e de contorno.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 17 / 46
Como a solução está separada:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Podemos aplicar a condição de contorno espacial só em X (x):
L
{
y(0, t) = X (0) = 0y(L, t) = X (L) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 18 / 46
Como a solução está separada:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Podemos aplicar a condição de contorno espacial só em X (x):
L
{
y(0, t) = X (0) = 0y(L, t) = X (L) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 18 / 46
Como a solução está separada:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Podemos aplicar a condição de contorno espacial só em X (x):
L
{
y(0, t) = X (0) = 0y(L, t) = X (L) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 18 / 46
Como a solução está separada:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Podemos aplicar a condição de contorno espacial só em X (x):
L
{
y(0, t) = X (0) = 0y(L, t) = X (L) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 18 / 46
Como a solução está separada:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Podemos aplicar a condição de contorno espacial só em X (x):
L
{y(0, t) =
X (0) = 0y(L, t) = X (L) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 18 / 46
Como a solução está separada:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Podemos aplicar a condição de contorno espacial só em X (x):
L
{y(0, t) = X (0) =
0y(L, t) = X (L) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 18 / 46
Como a solução está separada:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Podemos aplicar a condição de contorno espacial só em X (x):
L
{y(0, t) = X (0) = 0
y(L, t) = X (L) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 18 / 46
Como a solução está separada:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Podemos aplicar a condição de contorno espacial só em X (x):
L
{y(0, t) = X (0) = 0y(L, t) =
X (L) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 18 / 46
Como a solução está separada:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Podemos aplicar a condição de contorno espacial só em X (x):
L
{y(0, t) = X (0) = 0y(L, t) = X (L) =
0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 18 / 46
Como a solução está separada:
y(x , t) = X (x)Θ(t)
Podemos aplicar a condição de contorno espacial só em X (x):
L
{y(0, t) = X (0) = 0y(L, t) = X (L) = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 18 / 46
Assim, fazendo x = 0 em X (x):
X (0) = C cos(ωv0)
+ D sin(ωv0)
= 0
Como sin(0) = 0,
não podemos afirmar nada sobre D;
Mas cos(0) = 1;A igualdade só é respeitada se:
C = 0
E a solução fica:
X (x) = D sin(ωvx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 19 / 46
Assim, fazendo x = 0 em X (x):
X (0) = C cos(ωv0)
+ D sin(ωv0)
= 0
Como sin(0) = 0,
não podemos afirmar nada sobre D;
Mas cos(0) = 1;A igualdade só é respeitada se:
C = 0
E a solução fica:
X (x) = D sin(ωvx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 19 / 46
Assim, fazendo x = 0 em X (x):
X (0) = C cos(ωv0)
+ D sin(ωv0)
= 0
Como sin(0) = 0,
não podemos afirmar nada sobre D;Mas cos(0) = 1;A igualdade só é respeitada se:
C = 0
E a solução fica:
X (x) = D sin(ωvx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 19 / 46
Assim, fazendo x = 0 em X (x):
X (0) = C cos(ωv0)
+ D sin(ωv0)
= 0
Como sin(0) = 0, não podemos afirmar nada sobre D;
Mas cos(0) = 1;A igualdade só é respeitada se:
C = 0
E a solução fica:
X (x) = D sin(ωvx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 19 / 46
Assim, fazendo x = 0 em X (x):
X (0) = C cos(ωv0)
+ D sin(ωv0)
= 0
Como sin(0) = 0, não podemos afirmar nada sobre D;Mas cos(0) = 1;
A igualdade só é respeitada se:
C = 0
E a solução fica:
X (x) = D sin(ωvx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 19 / 46
Assim, fazendo x = 0 em X (x):
X (0) = C cos(ωv0)
+ D sin(ωv0)
= 0
Como sin(0) = 0, não podemos afirmar nada sobre D;Mas cos(0) = 1;A igualdade só é respeitada se:
C = 0E a solução fica:
X (x) = D sin(ωvx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 19 / 46
Assim, fazendo x = 0 em X (x):
X (0) = C cos(ωv0)
+ D sin(ωv0)
= 0
Como sin(0) = 0, não podemos afirmar nada sobre D;Mas cos(0) = 1;A igualdade só é respeitada se: C = 0
E a solução fica:
X (x) = D sin(ωvx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 19 / 46
Assim, fazendo x = 0 em X (x):
X (0) = C cos(ωv0)
+ D sin(ωv0)
= 0
Como sin(0) = 0, não podemos afirmar nada sobre D;Mas cos(0) = 1;A igualdade só é respeitada se: C = 0E a solução fica:
X (x) = D sin(ωvx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 19 / 46
Assim, fazendo x = 0 em X (x):
X (0) = C cos(ωv0)
+ D sin(ωv0)
= 0
Como sin(0) = 0, não podemos afirmar nada sobre D;Mas cos(0) = 1;A igualdade só é respeitada se: C = 0E a solução fica:
X (x) = D sin(ωvx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 19 / 46
Fazendo x = L em X (x);
X (L) = D sin(ωvL)
= 0
Uma solução pode ser dada se D = 0;No entanto essa é uma solução trivial;Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;Ou seja, não existe onda;Então, a outra opção é:
sin(ωvL)
= 0 =⇒ ω
vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 20 / 46
Fazendo x = L em X (x);
X (L) = D sin(ωvL)
= 0
Uma solução pode ser dada se D = 0;No entanto essa é uma solução trivial;Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;Ou seja, não existe onda;Então, a outra opção é:
sin(ωvL)
= 0 =⇒ ω
vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 20 / 46
Fazendo x = L em X (x);
X (L) = D sin(ωvL)
= 0
Uma solução pode ser dada se D = 0;
No entanto essa é uma solução trivial;Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;Ou seja, não existe onda;Então, a outra opção é:
sin(ωvL)
= 0 =⇒ ω
vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 20 / 46
Fazendo x = L em X (x);
X (L) = D sin(ωvL)
= 0
Uma solução pode ser dada se D = 0;No entanto essa é uma solução trivial;
Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;Ou seja, não existe onda;Então, a outra opção é:
sin(ωvL)
= 0 =⇒ ω
vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 20 / 46
Fazendo x = L em X (x);
X (L) = D sin(ωvL)
= 0
Uma solução pode ser dada se D = 0;No entanto essa é uma solução trivial;Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;
Ou seja, não existe onda;Então, a outra opção é:
sin(ωvL)
= 0 =⇒ ω
vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 20 / 46
Fazendo x = L em X (x);
X (L) = D sin(ωvL)
= 0
Uma solução pode ser dada se D = 0;No entanto essa é uma solução trivial;Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;Ou seja, não existe onda;
Então, a outra opção é:
sin(ωvL)
= 0 =⇒ ω
vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 20 / 46
Fazendo x = L em X (x);
X (L) = D sin(ωvL)
= 0
Uma solução pode ser dada se D = 0;No entanto essa é uma solução trivial;Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;Ou seja, não existe onda;Então, a outra opção é:
sin(ωvL)
= 0 =⇒ ω
vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 20 / 46
Fazendo x = L em X (x);
X (L) = D sin(ωvL)
= 0
Uma solução pode ser dada se D = 0;No entanto essa é uma solução trivial;Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;Ou seja, não existe onda;Então, a outra opção é:
sin(ωvL)
= 0
=⇒ ω
vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 20 / 46
Fazendo x = L em X (x);
X (L) = D sin(ωvL)
= 0
Uma solução pode ser dada se D = 0;No entanto essa é uma solução trivial;Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;Ou seja, não existe onda;Então, a outra opção é:
sin(ωvL)
= 0 =⇒
ω
vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 20 / 46
Fazendo x = L em X (x);
X (L) = D sin(ωvL)
= 0
Uma solução pode ser dada se D = 0;No entanto essa é uma solução trivial;Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;Ou seja, não existe onda;Então, a outra opção é:
sin(ωvL)
= 0 =⇒ ω
vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 20 / 46
Inserimos uma dependencia em um número inteiro n;
Fazendo ω → ωn:
ωn
vL = nπ =⇒ ωn =
nπv
L
Sabendo que v =√
T/µ:
ωn =nπ
L
√T
µ
Frequências possíveis dependem apenas das propriedades da corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 21 / 46
Inserimos uma dependencia em um número inteiro n;Fazendo ω → ωn:
ωn
vL = nπ =⇒ ωn =
nπv
L
Sabendo que v =√
T/µ:
ωn =nπ
L
√T
µ
Frequências possíveis dependem apenas das propriedades da corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 21 / 46
Inserimos uma dependencia em um número inteiro n;Fazendo ω → ωn:
ωn
vL = nπ =⇒ ωn =
nπv
L
Sabendo que v =√
T/µ:
ωn =nπ
L
√T
µ
Frequências possíveis dependem apenas das propriedades da corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 21 / 46
Inserimos uma dependencia em um número inteiro n;Fazendo ω → ωn:
ωn
vL = nπ =⇒ ωn =
nπv
L
Sabendo que v =√
T/µ:
ωn =nπ
L
√T
µ
Frequências possíveis dependem apenas das propriedades da corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 21 / 46
Inserimos uma dependencia em um número inteiro n;Fazendo ω → ωn:
ωn
vL = nπ =⇒ ωn =
nπv
L
Sabendo que v =√
T/µ:
ωn =nπ
L
√T
µ
Frequências possíveis dependem apenas das propriedades da corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 21 / 46
Inserimos uma dependencia em um número inteiro n;Fazendo ω → ωn:
ωn
vL = nπ =⇒ ωn =
nπv
L
Sabendo que v =√
T/µ:
ωn =nπ
L
√T
µ
Frequências possíveis dependem apenas das propriedades da corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 21 / 46
Retornando para X (x):
X (x) = D sin(ωn
vx)| ωn =
nπv
L
E retornando a y(x , t):
y(x , t) = D sin(nπ
Lx)
[E cos(ωnt) + F sin(ωnt)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 22 / 46
Retornando para X (x):
X (x) = D sin(ωn
vx)
| ωn =nπv
L
E retornando a y(x , t):
y(x , t) = D sin(nπ
Lx)
[E cos(ωnt) + F sin(ωnt)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 22 / 46
Retornando para X (x):
X (x) = D sin(ωn
vx)| ωn =
nπv
L
E retornando a y(x , t):
y(x , t) = D sin(nπ
Lx)
[E cos(ωnt) + F sin(ωnt)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 22 / 46
Retornando para X (x):
X (x) = D sin(ωn
vx)| ωn =
nπv
L
X (x) = D sin(nπv
Lvx)
E retornando a y(x , t):
y(x , t) = D sin(nπ
Lx)
[E cos(ωnt) + F sin(ωnt)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 22 / 46
Retornando para X (x):
X (x) = D sin(ωn
vx)| ωn =
nπv
L
X (x) = D sin(nπ�v
L�vx)
E retornando a y(x , t):
y(x , t) = D sin(nπ
Lx)
[E cos(ωnt) + F sin(ωnt)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 22 / 46
Retornando para X (x):
X (x) = D sin(ωn
vx)| ωn =
nπv
L
X (x) = D sin(nπ�v
L�vx)
X (x) = D sin(nπ
Lx)
E retornando a y(x , t):
y(x , t) = D sin(nπ
Lx)
[E cos(ωnt) + F sin(ωnt)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 22 / 46
Retornando para X (x):
X (x) = D sin(ωn
vx)| ωn =
nπv
L
X (x) = D sin(nπ�v
L�vx)
X (x) = D sin(nπ
Lx)
E retornando a y(x , t):
y(x , t) = D sin(nπ
Lx)
[E cos(ωnt) + F sin(ωnt)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 22 / 46
Retornando para X (x):
X (x) = D sin(ωn
vx)| ωn =
nπv
L
X (x) = D sin(nπ�v
L�vx)
X (x) = D sin(nπ
Lx)
E retornando a y(x , t):
y(x , t) = D sin(nπ
Lx)
[E cos(ωnt) + F sin(ωnt)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 22 / 46
y(x , t) = D sin(nπ
Lx)
[E cos(ωnt) + F sin(ωnt)]
Se fizermos DE = An e DF = Bn:
y(x , t) = [An cos(ωnt) + Bn sin(ωnt)] sin(nπ
Lx)
Lembrando que ωn = nπv/L:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 23 / 46
y(x , t) = D sin(nπ
Lx)
[E cos(ωnt) + F sin(ωnt)]
Se fizermos DE = An e DF = Bn:
y(x , t) = [An cos(ωnt) + Bn sin(ωnt)] sin(nπ
Lx)
Lembrando que ωn = nπv/L:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 23 / 46
y(x , t) = D sin(nπ
Lx)
[E cos(ωnt) + F sin(ωnt)]
Se fizermos DE = An e DF = Bn:
y(x , t) = [An cos(ωnt) + Bn sin(ωnt)] sin(nπ
Lx)
Lembrando que ωn = nπv/L:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 23 / 46
y(x , t) = D sin(nπ
Lx)
[E cos(ωnt) + F sin(ωnt)]
Se fizermos DE = An e DF = Bn:
y(x , t) = [An cos(ωnt) + Bn sin(ωnt)] sin(nπ
Lx)
Lembrando que ωn = nπv/L:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 23 / 46
y(x , t) = D sin(nπ
Lx)
[E cos(ωnt) + F sin(ωnt)]
Se fizermos DE = An e DF = Bn:
y(x , t) = [An cos(ωnt) + Bn sin(ωnt)] sin(nπ
Lx)
Lembrando que ωn = nπv/L:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 23 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t
]t=0
= y0(x)
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) = − An sin
(nπLx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
= y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) =
y0(x)[∂y∂t
]t=0
= y0(x)
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) = − An sin
(nπLx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
= y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) = y0(x)
[∂y∂t
]t=0
= y0(x)
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) = − An sin
(nπLx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
= y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t
]t=0
=
y0(x)
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) = − An sin
(nπLx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
= y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t
]t=0
= y0(x)
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) = − An sin
(nπLx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
= y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t
]t=0
= y0(x)
Para a primeira condição:
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) = − An sin
(nπLx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
= y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t
]t=0
= y0(x)
Para a primeira condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) = − An sin
(nπLx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
= y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t
]t=0
= y0(x)
Para a primeira condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
y(x , 0) = y0(x) = An sin(nπx
L
)
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) = − An sin
(nπLx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
= y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t
]t=0
= y0(x)
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) = − An sin
(nπLx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
= y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t
]t=0
= y0(x)
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) = − An sin
(nπLx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
= y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t
]t=0
= y0(x)
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) =
− An sin(nπ
Lx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
= y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t
]t=0
= y0(x)
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) = − An sin
(nπLx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
= y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t
]t=0
= y0(x)
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) = − An sin
(nπLx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
= y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t
]t=0
= y0(x)
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) = − An sin
(nπLx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
=
y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
As condições iniciais são para:
y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t
]t=0
= y0(x)
Para a segunda condição:
y(x , t) = An sin(nπ
Lx)
cos(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)
sin(nπv
Lt)
∂y
∂t= y(x , t) = − An sin
(nπLx)(nπv
L
)sin(nπv
Lt)
+ Bn sin(nπ
Lx)(nπv
L
)cos(nπv
Lt)
[∂y
∂t
]t=0
= y0(x) = Bn
(nπvL
)sin(nπ
Lx)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 24 / 46
A nossa solução depende de n;
Cada valor de n é uma solução diferente;Como sabemos sobre equações diferenciais:Se y1(x , t) e y2(x , t) são soluções de uma equação diferencial;Então y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) também é solução;Assim, para uma solução mais geral para equação de onda devemosconsiderar todos valores possíveis de n:
y(x , t) =∞∑n=1
[An sin
(nπxL
)cos(ωnt) + Bn sin
(nπxL
)sin(ωnt)
]em que ωn =
nπv
L, n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 25 / 46
A nossa solução depende de n;Cada valor de n é uma solução diferente;
Como sabemos sobre equações diferenciais:Se y1(x , t) e y2(x , t) são soluções de uma equação diferencial;Então y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) também é solução;Assim, para uma solução mais geral para equação de onda devemosconsiderar todos valores possíveis de n:
y(x , t) =∞∑n=1
[An sin
(nπxL
)cos(ωnt) + Bn sin
(nπxL
)sin(ωnt)
]em que ωn =
nπv
L, n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 25 / 46
A nossa solução depende de n;Cada valor de n é uma solução diferente;Como sabemos sobre equações diferenciais:
Se y1(x , t) e y2(x , t) são soluções de uma equação diferencial;Então y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) também é solução;Assim, para uma solução mais geral para equação de onda devemosconsiderar todos valores possíveis de n:
y(x , t) =∞∑n=1
[An sin
(nπxL
)cos(ωnt) + Bn sin
(nπxL
)sin(ωnt)
]em que ωn =
nπv
L, n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 25 / 46
A nossa solução depende de n;Cada valor de n é uma solução diferente;Como sabemos sobre equações diferenciais:Se y1(x , t) e y2(x , t) são soluções de uma equação diferencial;
Então y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) também é solução;Assim, para uma solução mais geral para equação de onda devemosconsiderar todos valores possíveis de n:
y(x , t) =∞∑n=1
[An sin
(nπxL
)cos(ωnt) + Bn sin
(nπxL
)sin(ωnt)
]em que ωn =
nπv
L, n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 25 / 46
A nossa solução depende de n;Cada valor de n é uma solução diferente;Como sabemos sobre equações diferenciais:Se y1(x , t) e y2(x , t) são soluções de uma equação diferencial;Então y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) também é solução;
Assim, para uma solução mais geral para equação de onda devemosconsiderar todos valores possíveis de n:
y(x , t) =∞∑n=1
[An sin
(nπxL
)cos(ωnt) + Bn sin
(nπxL
)sin(ωnt)
]em que ωn =
nπv
L, n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 25 / 46
A nossa solução depende de n;Cada valor de n é uma solução diferente;Como sabemos sobre equações diferenciais:Se y1(x , t) e y2(x , t) são soluções de uma equação diferencial;Então y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) também é solução;Assim, para uma solução mais geral para equação de onda devemosconsiderar todos valores possíveis de n:
y(x , t) =∞∑n=1
[An sin
(nπxL
)cos(ωnt) + Bn sin
(nπxL
)sin(ωnt)
]em que ωn =
nπv
L, n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 25 / 46
A nossa solução depende de n;Cada valor de n é uma solução diferente;Como sabemos sobre equações diferenciais:Se y1(x , t) e y2(x , t) são soluções de uma equação diferencial;Então y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) também é solução;Assim, para uma solução mais geral para equação de onda devemosconsiderar todos valores possíveis de n:
y(x , t) =∞∑n=1
[An sin
(nπxL
)cos(ωnt) + Bn sin
(nπxL
)sin(ωnt)
]
em que ωn =nπv
L, n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 25 / 46
A nossa solução depende de n;Cada valor de n é uma solução diferente;Como sabemos sobre equações diferenciais:Se y1(x , t) e y2(x , t) são soluções de uma equação diferencial;Então y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) também é solução;Assim, para uma solução mais geral para equação de onda devemosconsiderar todos valores possíveis de n:
y(x , t) =∞∑n=1
[An sin
(nπxL
)cos(ωnt) + Bn sin
(nπxL
)sin(ωnt)
]em que ωn =
nπv
L, n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 25 / 46
Com a solução geral;
Dadas condições iniciais (t = 0);
y(x , 0) = y0(x) e y(x , 0) = y0(x)
Da solução geral obtemos:
y0(x) =∞∑n=1
An sin(nπx
L
)y0(x) =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
)sin(nπx
L
)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 26 / 46
Com a solução geral;Dadas condições iniciais (t = 0);
y(x , 0) = y0(x) e y(x , 0) = y0(x)
Da solução geral obtemos:
y0(x) =∞∑n=1
An sin(nπx
L
)y0(x) =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
)sin(nπx
L
)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 26 / 46
Com a solução geral;Dadas condições iniciais (t = 0);
y(x , 0) = y0(x) e y(x , 0) = y0(x)
Da solução geral obtemos:
y0(x) =∞∑n=1
An sin(nπx
L
)y0(x) =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
)sin(nπx
L
)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 26 / 46
Com a solução geral;Dadas condições iniciais (t = 0);
y(x , 0) = y0(x) e y(x , 0) = y0(x)
Da solução geral obtemos:
y0(x) =∞∑n=1
An sin(nπx
L
)y0(x) =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
)sin(nπx
L
)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 26 / 46
Com a solução geral;Dadas condições iniciais (t = 0);
y(x , 0) = y0(x) e y(x , 0) = y0(x)
Da solução geral obtemos:
y0(x) =∞∑n=1
An sin(nπx
L
)
y0(x) =∞∑n=1
Bn
(nπvL
)sin(nπx
L
)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 26 / 46
Com a solução geral;Dadas condições iniciais (t = 0);
y(x , 0) = y0(x) e y(x , 0) = y0(x)
Da solução geral obtemos:
y0(x) =∞∑n=1
An sin(nπx
L
)y0(x) =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
)sin(nπx
L
)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 26 / 46
Antes de discutirmos como obter as constantes An e Bn;
Vamos olhar os gráficos de y(x , t)× x para n = 1, 2, 3, 4;Para diferentes valores de n obtêm-se diferentes modos de vibração:
Ln = 1→ Primeiro harmônico.n = 2→ Segundo harmônico.n = 3→ Terceiro harmônico.n = 4→ Quarto harmônico.n = 1, 2, 3, 4.
Em geral, a corda vibra em vários modos ao mesmo tempo;Ou seja, a soma de vários modos.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 27 / 46
Antes de discutirmos como obter as constantes An e Bn;Vamos olhar os gráficos de y(x , t)× x para n = 1, 2, 3, 4;
Para diferentes valores de n obtêm-se diferentes modos de vibração:
Ln = 1→ Primeiro harmônico.n = 2→ Segundo harmônico.n = 3→ Terceiro harmônico.n = 4→ Quarto harmônico.n = 1, 2, 3, 4.
Em geral, a corda vibra em vários modos ao mesmo tempo;Ou seja, a soma de vários modos.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 27 / 46
Antes de discutirmos como obter as constantes An e Bn;Vamos olhar os gráficos de y(x , t)× x para n = 1, 2, 3, 4;Para diferentes valores de n obtêm-se diferentes modos de vibração:
Ln = 1→ Primeiro harmônico.n = 2→ Segundo harmônico.n = 3→ Terceiro harmônico.n = 4→ Quarto harmônico.n = 1, 2, 3, 4.
Em geral, a corda vibra em vários modos ao mesmo tempo;Ou seja, a soma de vários modos.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 27 / 46
Antes de discutirmos como obter as constantes An e Bn;Vamos olhar os gráficos de y(x , t)× x para n = 1, 2, 3, 4;Para diferentes valores de n obtêm-se diferentes modos de vibração:
Ln = 1→ Primeiro harmônico.n = 2→ Segundo harmônico.n = 3→ Terceiro harmônico.n = 4→ Quarto harmônico.n = 1, 2, 3, 4.
Em geral, a corda vibra em vários modos ao mesmo tempo;Ou seja, a soma de vários modos.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 27 / 46
Antes de discutirmos como obter as constantes An e Bn;Vamos olhar os gráficos de y(x , t)× x para n = 1, 2, 3, 4;Para diferentes valores de n obtêm-se diferentes modos de vibração:
Ln = 1→ Primeiro harmônico.n = 2→ Segundo harmônico.n = 3→ Terceiro harmônico.n = 4→ Quarto harmônico.n = 1, 2, 3, 4.
Em geral, a corda vibra em vários modos ao mesmo tempo;Ou seja, a soma de vários modos.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 27 / 46
Antes de discutirmos como obter as constantes An e Bn;Vamos olhar os gráficos de y(x , t)× x para n = 1, 2, 3, 4;Para diferentes valores de n obtêm-se diferentes modos de vibração:
Ln = 1→ Primeiro harmônico.n = 2→ Segundo harmônico.n = 3→ Terceiro harmônico.n = 4→ Quarto harmônico.n = 1, 2, 3, 4.
Em geral, a corda vibra em vários modos ao mesmo tempo;Ou seja, a soma de vários modos.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 27 / 46
Antes de discutirmos como obter as constantes An e Bn;Vamos olhar os gráficos de y(x , t)× x para n = 1, 2, 3, 4;Para diferentes valores de n obtêm-se diferentes modos de vibração:
Ln = 1→ Primeiro harmônico.n = 2→ Segundo harmônico.n = 3→ Terceiro harmônico.n = 4→ Quarto harmônico.n = 1, 2, 3, 4.
Em geral, a corda vibra em vários modos ao mesmo tempo;Ou seja, a soma de vários modos.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 27 / 46
Antes de discutirmos como obter as constantes An e Bn;Vamos olhar os gráficos de y(x , t)× x para n = 1, 2, 3, 4;Para diferentes valores de n obtêm-se diferentes modos de vibração:
Ln = 1→ Primeiro harmônico.n = 2→ Segundo harmônico.n = 3→ Terceiro harmônico.n = 4→ Quarto harmônico.n = 1, 2, 3, 4.
Em geral, a corda vibra em vários modos ao mesmo tempo;Ou seja, a soma de vários modos.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 27 / 46
Antes de discutirmos como obter as constantes An e Bn;Vamos olhar os gráficos de y(x , t)× x para n = 1, 2, 3, 4;Para diferentes valores de n obtêm-se diferentes modos de vibração:
Ln = 1→ Primeiro harmônico.n = 2→ Segundo harmônico.n = 3→ Terceiro harmônico.n = 4→ Quarto harmônico.n = 1, 2, 3, 4.
Em geral, a corda vibra em vários modos ao mesmo tempo;
Ou seja, a soma de vários modos.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 27 / 46
Antes de discutirmos como obter as constantes An e Bn;Vamos olhar os gráficos de y(x , t)× x para n = 1, 2, 3, 4;Para diferentes valores de n obtêm-se diferentes modos de vibração:
Ln = 1→ Primeiro harmônico.n = 2→ Segundo harmônico.n = 3→ Terceiro harmônico.n = 4→ Quarto harmônico.n = 1, 2, 3, 4.
Em geral, a corda vibra em vários modos ao mesmo tempo;Ou seja, a soma de vários modos.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 27 / 46
Solução geral → Soma de senos e cossenos;
Completamente conhecida se soubermos An e Bn;Esse tipo de soma foi estudada por Fourier;Estudaremos primeiro Séries de Fourier;Depois aplicaremos na solução da equação de onda.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 28 / 46
Solução geral → Soma de senos e cossenos;Completamente conhecida se soubermos An e Bn;
Esse tipo de soma foi estudada por Fourier;Estudaremos primeiro Séries de Fourier;Depois aplicaremos na solução da equação de onda.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 28 / 46
Solução geral → Soma de senos e cossenos;Completamente conhecida se soubermos An e Bn;Esse tipo de soma foi estudada por Fourier;
Estudaremos primeiro Séries de Fourier;Depois aplicaremos na solução da equação de onda.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 28 / 46
Solução geral → Soma de senos e cossenos;Completamente conhecida se soubermos An e Bn;Esse tipo de soma foi estudada por Fourier;Estudaremos primeiro Séries de Fourier;
Depois aplicaremos na solução da equação de onda.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 28 / 46
Solução geral → Soma de senos e cossenos;Completamente conhecida se soubermos An e Bn;Esse tipo de soma foi estudada por Fourier;Estudaremos primeiro Séries de Fourier;Depois aplicaremos na solução da equação de onda.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 28 / 46
1 Solução de Equação de Onda
2 Séries de Fourier
3 Retomando a Solução da Equação de Onda
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 29 / 46
Segundo Fourier:
Toda função periódica pode ser escrita como uma soma de senos ecossenos
Grandes matemáticos como Laplace, Lagrange e Poisson nãoacreditaram;Mas é verdade.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 30 / 46
Segundo Fourier:
Toda função periódica pode ser escrita como uma soma de senos ecossenos
Grandes matemáticos como Laplace, Lagrange e Poisson nãoacreditaram;Mas é verdade.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 30 / 46
Segundo Fourier:
Toda função periódica pode ser escrita como uma soma de senos ecossenos
Grandes matemáticos como Laplace, Lagrange e Poisson nãoacreditaram;
Mas é verdade.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 30 / 46
Segundo Fourier:
Toda função periódica pode ser escrita como uma soma de senos ecossenos
Grandes matemáticos como Laplace, Lagrange e Poisson nãoacreditaram;Mas é verdade.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 30 / 46
Dada qualquer função f (t) que seja periódica em T ;
Essa função pode ser representada por uma série do tipo:
f (t) =a0
2+
∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] , ω0 =2πT
Precisamos determinar an e bn;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 31 / 46
Dada qualquer função f (t) que seja periódica em T ;Essa função pode ser representada por uma série do tipo:
f (t) =a0
2+
∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] , ω0 =2πT
Precisamos determinar an e bn;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 31 / 46
Dada qualquer função f (t) que seja periódica em T ;Essa função pode ser representada por uma série do tipo:
f (t) =a0
2+
∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] , ω0 =2πT
Precisamos determinar an e bn;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 31 / 46
Dada qualquer função f (t) que seja periódica em T ;Essa função pode ser representada por uma série do tipo:
f (t) =a0
2+
∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] , ω0 =2πT
Precisamos determinar an e bn;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 31 / 46
Utilizaremos a ortogonalidade dos senos e cossenos:
T sempre será múltiplo do comprimento de onda dessas funções:
∫ T
0sin
(2nπT
t
)sin
(2mπT
t
)dt =
{0 , m 6= n
T/2 , m = n∫ T
0cos
(2nπT
t
)cos
(2mπT
t
)dt =
{0 , m 6= n
T/2 , m = n∫ T
0sin
(2nπT
t
)cos
(2mπT
t
)dt = 0
Possível obter por integração direta;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 32 / 46
Utilizaremos a ortogonalidade dos senos e cossenos:T sempre será múltiplo do comprimento de onda dessas funções:
∫ T
0sin
(2nπT
t
)sin
(2mπT
t
)dt =
{0 , m 6= n
T/2 , m = n∫ T
0cos
(2nπT
t
)cos
(2mπT
t
)dt =
{0 , m 6= n
T/2 , m = n∫ T
0sin
(2nπT
t
)cos
(2mπT
t
)dt = 0
Possível obter por integração direta;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 32 / 46
Utilizaremos a ortogonalidade dos senos e cossenos:T sempre será múltiplo do comprimento de onda dessas funções:
∫ T
0sin
(2nπT
t
)sin
(2mπT
t
)dt =
{0 , m 6= n
T/2 , m = n
∫ T
0cos
(2nπT
t
)cos
(2mπT
t
)dt =
{0 , m 6= n
T/2 , m = n∫ T
0sin
(2nπT
t
)cos
(2mπT
t
)dt = 0
Possível obter por integração direta;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 32 / 46
Utilizaremos a ortogonalidade dos senos e cossenos:T sempre será múltiplo do comprimento de onda dessas funções:
∫ T
0sin
(2nπT
t
)sin
(2mπT
t
)dt =
{0 , m 6= n
T/2 , m = n∫ T
0cos
(2nπT
t
)cos
(2mπT
t
)dt =
{0 , m 6= n
T/2 , m = n
∫ T
0sin
(2nπT
t
)cos
(2mπT
t
)dt = 0
Possível obter por integração direta;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 32 / 46
Utilizaremos a ortogonalidade dos senos e cossenos:T sempre será múltiplo do comprimento de onda dessas funções:
∫ T
0sin
(2nπT
t
)sin
(2mπT
t
)dt =
{0 , m 6= n
T/2 , m = n∫ T
0cos
(2nπT
t
)cos
(2mπT
t
)dt =
{0 , m 6= n
T/2 , m = n∫ T
0sin
(2nπT
t
)cos
(2mπT
t
)dt = 0
Possível obter por integração direta;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 32 / 46
Utilizaremos a ortogonalidade dos senos e cossenos:T sempre será múltiplo do comprimento de onda dessas funções:
∫ T
0sin
(2nπT
t
)sin
(2mπT
t
)dt =
{0 , m 6= n
T/2 , m = n∫ T
0cos
(2nπT
t
)cos
(2mπT
t
)dt =
{0 , m 6= n
T/2 , m = n∫ T
0sin
(2nπT
t
)cos
(2mπT
t
)dt = 0
Possível obter por integração direta;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 32 / 46
Como temos:
f (t) =a0
2+
∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] , ω0 =2πT
Para o cálculo de an:Multiplicando ambos os lados por cos(mω0t) com m 6= 0;Integrando de 0 até T :
T∫0
cos(mω0t)f (t)dt =
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt
+
T∫0
cos(mω0t)∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 33 / 46
Como temos:
f (t) =a0
2+
∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] , ω0 =2πT
Para o cálculo de an:Multiplicando ambos os lados por cos(mω0t) com m 6= 0;Integrando de 0 até T :
T∫0
cos(mω0t)f (t)dt =
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt
+
T∫0
cos(mω0t)∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 33 / 46
Como temos:
f (t) =a0
2+
∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] , ω0 =2πT
Para o cálculo de an:
Multiplicando ambos os lados por cos(mω0t) com m 6= 0;Integrando de 0 até T :
T∫0
cos(mω0t)f (t)dt =
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt
+
T∫0
cos(mω0t)∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 33 / 46
Como temos:
f (t) =a0
2+
∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] , ω0 =2πT
Para o cálculo de an:Multiplicando ambos os lados por cos(mω0t) com m 6= 0;
Integrando de 0 até T :
T∫0
cos(mω0t)f (t)dt =
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt
+
T∫0
cos(mω0t)∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 33 / 46
Como temos:
f (t) =a0
2+
∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] , ω0 =2πT
Para o cálculo de an:Multiplicando ambos os lados por cos(mω0t) com m 6= 0;Integrando de 0 até T :
T∫0
cos(mω0t)f (t)dt =
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt
+
T∫0
cos(mω0t)∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 33 / 46
Como temos:
f (t) =a0
2+
∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] , ω0 =2πT
Para o cálculo de an:Multiplicando ambos os lados por cos(mω0t) com m 6= 0;Integrando de 0 até T :
T∫0
cos(mω0t)f (t)dt =
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt
+
T∫0
cos(mω0t)∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 33 / 46
Como temos:
f (t) =a0
2+
∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] , ω0 =2πT
Para o cálculo de an:Multiplicando ambos os lados por cos(mω0t) com m 6= 0;Integrando de 0 até T :
T∫0
cos(mω0t)f (t)dt =
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt
+
T∫0
cos(mω0t)∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 33 / 46
Como temos:
f (t) =a0
2+
∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] , ω0 =2πT
Para o cálculo de an:Multiplicando ambos os lados por cos(mω0t) com m 6= 0;Integrando de 0 até T :
T∫0
cos(mω0t)f (t)dt =
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt
+
T∫0
cos(mω0t)∞∑n=1
[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 33 / 46
Para o cálculo do primeiro termo do lado direito:
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt =
a0
2
T∫0
cos(mω0t) cos(0ω0t)︸ ︷︷ ︸1
dt
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt =
a0
2T
2δm0 | m 6= 0
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 34 / 46
Para o cálculo do primeiro termo do lado direito:
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt =
a0
2
T∫0
cos(mω0t) cos(0ω0t)︸ ︷︷ ︸1
dt
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt =
a0
2T
2δm0 | m 6= 0
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 34 / 46
Para o cálculo do primeiro termo do lado direito:
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt =
a0
2
T∫0
cos(mω0t) cos(0ω0t)︸ ︷︷ ︸1
dt
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt =
a0
2T
2δm0 | m 6= 0
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 34 / 46
Para o cálculo do primeiro termo do lado direito:
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt =
a0
2
T∫0
cos(mω0t) cos(0ω0t)︸ ︷︷ ︸1
dt
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt =
a0
2T
2δm0
| m 6= 0
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 34 / 46
Para o cálculo do primeiro termo do lado direito:
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt =
a0
2
T∫0
cos(mω0t) cos(0ω0t)︸ ︷︷ ︸1
dt
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt =
a0
2T
2δm0 | m 6= 0
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 34 / 46
Para o cálculo do primeiro termo do lado direito:
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt =
a0
2
T∫0
cos(mω0t) cos(0ω0t)︸ ︷︷ ︸1
dt
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt =
a0
2T
2δm0 | m 6= 0
T∫0
cos(mω0t)a0
2dt = 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 34 / 46
Para o cálculo do terceiro termo do lado direito:
∞∑n=1
bn
T∫0
cos(mω0t) sin(nω0t)dt = 0
Assim temos:
T∫0
cos(mω0t)f (t)dt =∞∑n=1
an
T∫0
cos(mω0t) cos(nω0t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 35 / 46
Para o cálculo do terceiro termo do lado direito:
∞∑n=1
bn
T∫0
cos(mω0t) sin(nω0t)dt =
0
Assim temos:
T∫0
cos(mω0t)f (t)dt =∞∑n=1
an
T∫0
cos(mω0t) cos(nω0t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 35 / 46
Para o cálculo do terceiro termo do lado direito:
∞∑n=1
bn
T∫0
cos(mω0t) sin(nω0t)dt = 0
Assim temos:
T∫0
cos(mω0t)f (t)dt =∞∑n=1
an
T∫0
cos(mω0t) cos(nω0t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 35 / 46
Para o cálculo do terceiro termo do lado direito:
∞∑n=1
bn
T∫0
cos(mω0t) sin(nω0t)dt = 0
Assim temos:
T∫0
cos(mω0t)f (t)dt =∞∑n=1
an
T∫0
cos(mω0t) cos(nω0t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 35 / 46
Para o cálculo do terceiro termo do lado direito:
∞∑n=1
bn
T∫0
cos(mω0t) sin(nω0t)dt = 0
Assim temos:
T∫0
cos(mω0t)f (t)dt =
∞∑n=1
an
T∫0
cos(mω0t) cos(nω0t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 35 / 46
Para o cálculo do terceiro termo do lado direito:
∞∑n=1
bn
T∫0
cos(mω0t) sin(nω0t)dt = 0
Assim temos:
T∫0
cos(mω0t)f (t)dt =∞∑n=1
an
T∫0
cos(mω0t) cos(nω0t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 35 / 46
∫ T
0cos(mω0t)f (t)dt =
∞∑n=1
an
∫ T
0cos(mω0t) cos(nω0t)dt
Assim:
∴ am =2T
∫ T
0cos(mω0t)f (t)dt
De forma análoga, mas multiplicando por sin (mω0t):
∴ bm =2T
∫ T
0sin(mω0t)f (t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 36 / 46
∫ T
0cos(mω0t)f (t)dt =
∞∑n=1
an
∫ T
0cos(mω0t) cos(nω0t)dt︸ ︷︷ ︸
T2 δmn
Assim:
∴ am =2T
∫ T
0cos(mω0t)f (t)dt
De forma análoga, mas multiplicando por sin (mω0t):
∴ bm =2T
∫ T
0sin(mω0t)f (t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 36 / 46
∫ T
0cos(mω0t)f (t)dt =
∞∑n=1
an
∫ T
0cos(mω0t) cos(nω0t)dt︸ ︷︷ ︸
T2 δmn
Assim:
∴ am =2T
∫ T
0cos(mω0t)f (t)dt
De forma análoga, mas multiplicando por sin (mω0t):
∴ bm =2T
∫ T
0sin(mω0t)f (t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 36 / 46
∫ T
0cos(mω0t)f (t)dt =
∞∑n=1
an
∫ T
0cos(mω0t) cos(nω0t)dt︸ ︷︷ ︸
T2 δmn
Assim:
∴ am =2T
∫ T
0cos(mω0t)f (t)dt
De forma análoga, mas multiplicando por sin (mω0t):
∴ bm =2T
∫ T
0sin(mω0t)f (t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 36 / 46
∫ T
0cos(mω0t)f (t)dt =
∞∑n=1
an
∫ T
0cos(mω0t) cos(nω0t)dt︸ ︷︷ ︸
T2 δmn
Assim:
∴ am =2T
∫ T
0cos(mω0t)f (t)dt
De forma análoga, mas multiplicando por sin (mω0t):
∴ bm =2T
∫ T
0sin(mω0t)f (t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 36 / 46
∫ T
0cos(mω0t)f (t)dt =
∞∑n=1
an
∫ T
0cos(mω0t) cos(nω0t)dt︸ ︷︷ ︸
T2 δmn
Assim:
∴ am =2T
∫ T
0cos(mω0t)f (t)dt
De forma análoga, mas multiplicando por sin (mω0t):
∴ bm =2T
∫ T
0sin(mω0t)f (t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 36 / 46
Para o cálculo de a0:
Sabendo que cos(0ω0t) = 1;Assim, multiplicando ambos os lados por cos(0ω0t);Os termos em an e bn ficam:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 37 / 46
Para o cálculo de a0:Sabendo que cos(0ω0t) = 1;
Assim, multiplicando ambos os lados por cos(0ω0t);Os termos em an e bn ficam:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 37 / 46
Para o cálculo de a0:Sabendo que cos(0ω0t) = 1;Assim, multiplicando ambos os lados por cos(0ω0t);
Os termos em an e bn ficam:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 37 / 46
Para o cálculo de a0:Sabendo que cos(0ω0t) = 1;Assim, multiplicando ambos os lados por cos(0ω0t);Os termos em an e bn ficam:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 37 / 46
Para o cálculo de a0:Sabendo que cos(0ω0t) = 1;Assim, multiplicando ambos os lados por cos(0ω0t);Os termos em an e bn ficam:
∞∑n=1
an
∫ T
0cos(0ω0t) cos(nω0t)dt =
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 37 / 46
Para o cálculo de a0:Sabendo que cos(0ω0t) = 1;Assim, multiplicando ambos os lados por cos(0ω0t);Os termos em an e bn ficam:
∞∑n=1
an
∫ T
0cos(0ω0t) cos(nω0t)dt︸ ︷︷ ︸
T2 δn0
= 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 37 / 46
Para o cálculo de a0:Sabendo que cos(0ω0t) = 1;Assim, multiplicando ambos os lados por cos(0ω0t);Os termos em an e bn ficam:
∞∑n=1
an
∫ T
0cos(0ω0t) cos(nω0t)dt︸ ︷︷ ︸
T2 δn0
= 0
∞∑n=1
bn
∫ T
0cos(0ω0t) sin(nω0t)dt =
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 37 / 46
Para o cálculo de a0:Sabendo que cos(0ω0t) = 1;Assim, multiplicando ambos os lados por cos(0ω0t);Os termos em an e bn ficam:
∞∑n=1
an
∫ T
0cos(0ω0t) cos(nω0t)dt︸ ︷︷ ︸
T2 δn0
= 0
∞∑n=1
bn
∫ T
0cos(0ω0t) sin(nω0t)dt︸ ︷︷ ︸
T2 δn0
= 0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 37 / 46
O único termo que não é nulo é:
T∫0
cos(0ω0t)f (t)dt =a0
2
T∫0
cos(0ω0t)dt =a0
2
T∫0
dt =a0
2T
Ou seja, já considerando cos(0ω0t) = 1:
a0 =2T
T∫0
f (t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 38 / 46
O único termo que não é nulo é:
T∫0
cos(0ω0t)f (t)dt =
a0
2
T∫0
cos(0ω0t)dt =a0
2
T∫0
dt =a0
2T
Ou seja, já considerando cos(0ω0t) = 1:
a0 =2T
T∫0
f (t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 38 / 46
O único termo que não é nulo é:
T∫0
cos(0ω0t)f (t)dt =a0
2
T∫0
cos(0ω0t)dt =
a0
2
T∫0
dt =a0
2T
Ou seja, já considerando cos(0ω0t) = 1:
a0 =2T
T∫0
f (t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 38 / 46
O único termo que não é nulo é:
T∫0
cos(0ω0t)f (t)dt =a0
2
T∫0
cos(0ω0t)dt =a0
2
T∫0
dt =
a0
2T
Ou seja, já considerando cos(0ω0t) = 1:
a0 =2T
T∫0
f (t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 38 / 46
O único termo que não é nulo é:
T∫0
cos(0ω0t)f (t)dt =a0
2
T∫0
cos(0ω0t)dt =a0
2
T∫0
dt =a0
2T
Ou seja, já considerando cos(0ω0t) = 1:
a0 =2T
T∫0
f (t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 38 / 46
O único termo que não é nulo é:
T∫0
cos(0ω0t)f (t)dt =a0
2
T∫0
cos(0ω0t)dt =a0
2
T∫0
dt =a0
2T
Ou seja, já considerando cos(0ω0t) = 1:
a0 =2T
T∫0
f (t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 38 / 46
O único termo que não é nulo é:
T∫0
cos(0ω0t)f (t)dt =a0
2
T∫0
cos(0ω0t)dt =a0
2
T∫0
dt =a0
2T
Ou seja, já considerando cos(0ω0t) = 1:
a0 =2T
T∫0
f (t)dt
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 38 / 46
Podemos unificar o cálculo de a0 com an;
Assim temos como solução para os coeficientes:
an =2T
T∫0
cos(nω0t)f (t)dt n = 0, 1, 2, 3, . . .
bn =2T
T∫0
sin(nω0t)f (t)dt n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 39 / 46
Podemos unificar o cálculo de a0 com an;Assim temos como solução para os coeficientes:
an =2T
T∫0
cos(nω0t)f (t)dt n = 0, 1, 2, 3, . . .
bn =2T
T∫0
sin(nω0t)f (t)dt n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 39 / 46
Podemos unificar o cálculo de a0 com an;Assim temos como solução para os coeficientes:
an =2T
T∫0
cos(nω0t)f (t)dt n = 0, 1, 2, 3, . . .
bn =2T
T∫0
sin(nω0t)f (t)dt n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 39 / 46
Podemos unificar o cálculo de a0 com an;Assim temos como solução para os coeficientes:
an =2T
T∫0
cos(nω0t)f (t)dt n = 0, 1, 2, 3, . . .
bn =2T
T∫0
sin(nω0t)f (t)dt n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 39 / 46
Esse é apenas um procedimento de cálculo para os coeficientes;
Estudos mais aprofundados sobre essa série fogem do escopo dessaaula;Retornaremos agora à solução da equação de onda.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 40 / 46
Esse é apenas um procedimento de cálculo para os coeficientes;Estudos mais aprofundados sobre essa série fogem do escopo dessaaula;
Retornaremos agora à solução da equação de onda.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 40 / 46
Esse é apenas um procedimento de cálculo para os coeficientes;Estudos mais aprofundados sobre essa série fogem do escopo dessaaula;Retornaremos agora à solução da equação de onda.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 40 / 46
1 Solução de Equação de Onda
2 Séries de Fourier
3 Retomando a Solução da Equação de Onda
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 41 / 46
Como vimos anteriormente;
A equação de onda é dada por:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
E possui solução:
y(x , t) =∞∑n=1
[An sin
(nπxL
)cos(ωnt) + Bn sin
(nπxL
)sin(ωnt)
]em que ωn =
nπv
L, n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 42 / 46
Como vimos anteriormente;A equação de onda é dada por:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
E possui solução:
y(x , t) =∞∑n=1
[An sin
(nπxL
)cos(ωnt) + Bn sin
(nπxL
)sin(ωnt)
]em que ωn =
nπv
L, n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 42 / 46
Como vimos anteriormente;A equação de onda é dada por:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
E possui solução:
y(x , t) =∞∑n=1
[An sin
(nπxL
)cos(ωnt) + Bn sin
(nπxL
)sin(ωnt)
]em que ωn =
nπv
L, n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 42 / 46
Como vimos anteriormente;A equação de onda é dada por:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
E possui solução:
y(x , t) =∞∑n=1
[An sin
(nπxL
)cos(ωnt) + Bn sin
(nπxL
)sin(ωnt)
]em que ωn =
nπv
L, n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 42 / 46
Como vimos anteriormente;A equação de onda é dada por:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
E possui solução:
y(x , t) =∞∑n=1
[An sin
(nπxL
)cos(ωnt) + Bn sin
(nπxL
)sin(ωnt)
]
em que ωn =nπv
L, n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 42 / 46
Como vimos anteriormente;A equação de onda é dada por:
∂2y(x , t)
∂x2 =1v2∂2y(x , t)
∂t2
E possui solução:
y(x , t) =∞∑n=1
[An sin
(nπxL
)cos(ωnt) + Bn sin
(nπxL
)sin(ωnt)
]em que ωn =
nπv
L, n = 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 42 / 46
Utilizando as condições iniciais temos que:
y0(x) =∞∑n=1
An sin(nπx
L
)y0(x) =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
)sin(nπx
L
)
Iremos utilizar o mesmo procedimento utilizado em séries de Fourierpara calcular os coeficientes:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 43 / 46
Utilizando as condições iniciais temos que:
y0(x) =∞∑n=1
An sin(nπx
L
)
y0(x) =∞∑n=1
Bn
(nπvL
)sin(nπx
L
)
Iremos utilizar o mesmo procedimento utilizado em séries de Fourierpara calcular os coeficientes:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 43 / 46
Utilizando as condições iniciais temos que:
y0(x) =∞∑n=1
An sin(nπx
L
)y0(x) =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
)sin(nπx
L
)
Iremos utilizar o mesmo procedimento utilizado em séries de Fourierpara calcular os coeficientes:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 43 / 46
Utilizando as condições iniciais temos que:
y0(x) =∞∑n=1
An sin(nπx
L
)y0(x) =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
)sin(nπx
L
)
Iremos utilizar o mesmo procedimento utilizado em séries de Fourierpara calcular os coeficientes:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 43 / 46
Para a primeira condição inicial;
Se multiplicarmos ambos os lados por sin(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
AnL
2δmn = Am
L
2
∴ Am =2L
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 44 / 46
Para a primeira condição inicial;Se multiplicarmos ambos os lados por sin
(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
AnL
2δmn = Am
L
2
∴ Am =2L
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 44 / 46
Para a primeira condição inicial;Se multiplicarmos ambos os lados por sin
(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
AnL
2δmn = Am
L
2
∴ Am =2L
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 44 / 46
Para a primeira condição inicial;Se multiplicarmos ambos os lados por sin
(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
An
L∫0
sin(mπx
L
)sin(nπx
L
)dx
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
AnL
2δmn = Am
L
2
∴ Am =2L
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 44 / 46
Para a primeira condição inicial;Se multiplicarmos ambos os lados por sin
(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
An
L∫0
sin(mπx
L
)sin(nπx
L
)dx
︸ ︷︷ ︸L2 δmn
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
AnL
2δmn = Am
L
2
∴ Am =2L
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 44 / 46
Para a primeira condição inicial;Se multiplicarmos ambos os lados por sin
(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
An
L∫0
sin(mπx
L
)sin(nπx
L
)dx
︸ ︷︷ ︸L2 δmn
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
AnL
2δmn =
AmL
2
∴ Am =2L
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 44 / 46
Para a primeira condição inicial;Se multiplicarmos ambos os lados por sin
(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
An
L∫0
sin(mπx
L
)sin(nπx
L
)dx
︸ ︷︷ ︸L2 δmn
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
AnL
2δmn = Am
L
2
∴ Am =2L
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 44 / 46
Para a primeira condição inicial;Se multiplicarmos ambos os lados por sin
(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
An
L∫0
sin(mπx
L
)sin(nπx
L
)dx
︸ ︷︷ ︸L2 δmn
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
AnL
2δmn = Am
L
2
∴ Am =2L
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 44 / 46
Para a segunda condição inicial:
Se multiplicarmos ambos os lados por sin(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
) L
2δmn = Bm
(mπvL
) L
2
∴ Bm =
(2
mπv
) L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 45 / 46
Para a segunda condição inicial:Se multiplicarmos ambos os lados por sin
(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
) L
2δmn = Bm
(mπvL
) L
2
∴ Bm =
(2
mπv
) L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 45 / 46
Para a segunda condição inicial:Se multiplicarmos ambos os lados por sin
(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
) L
2δmn = Bm
(mπvL
) L
2
∴ Bm =
(2
mπv
) L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 45 / 46
Para a segunda condição inicial:Se multiplicarmos ambos os lados por sin
(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
) L∫0
sin(mπx
L
)sin(nπx
L
)dx
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
) L
2δmn = Bm
(mπvL
) L
2
∴ Bm =
(2
mπv
) L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 45 / 46
Para a segunda condição inicial:Se multiplicarmos ambos os lados por sin
(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
) L∫0
sin(mπx
L
)sin(nπx
L
)dx
︸ ︷︷ ︸L2 δmn
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
) L
2δmn = Bm
(mπvL
) L
2
∴ Bm =
(2
mπv
) L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 45 / 46
Para a segunda condição inicial:Se multiplicarmos ambos os lados por sin
(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
) L∫0
sin(mπx
L
)sin(nπx
L
)dx
︸ ︷︷ ︸L2 δmn
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
) L
2δmn =
Bm
(mπvL
) L
2
∴ Bm =
(2
mπv
) L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 45 / 46
Para a segunda condição inicial:Se multiplicarmos ambos os lados por sin
(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
) L∫0
sin(mπx
L
)sin(nπx
L
)dx
︸ ︷︷ ︸L2 δmn
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
) L
2δmn = Bm
(mπvL
) L
2
∴ Bm =
(2
mπv
) L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 45 / 46
Para a segunda condição inicial:Se multiplicarmos ambos os lados por sin
(mπxL
);
Em seguida integramos de 0 a L:
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
) L∫0
sin(mπx
L
)sin(nπx
L
)dx
︸ ︷︷ ︸L2 δmn
L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx =
∞∑n=1
Bn
(nπvL
) L
2δmn = Bm
(mπvL
) L
2
∴ Bm =
(2
mπv
) L∫0
sin(mπx
L
)y0(x)dx
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 45 / 46
Temos a solução geral completa;
Se soubermos y0(x) e y0(x);Ou seja, a posição e velocidade inicial em todos os pontos da corda;Sabemos também o comportamento da corda durante todo o tempo.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 46 / 46
Temos a solução geral completa;Se soubermos y0(x) e y0(x);
Ou seja, a posição e velocidade inicial em todos os pontos da corda;Sabemos também o comportamento da corda durante todo o tempo.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 46 / 46
Temos a solução geral completa;Se soubermos y0(x) e y0(x);Ou seja, a posição e velocidade inicial em todos os pontos da corda;
Sabemos também o comportamento da corda durante todo o tempo.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 46 / 46
Temos a solução geral completa;Se soubermos y0(x) e y0(x);Ou seja, a posição e velocidade inicial em todos os pontos da corda;Sabemos também o comportamento da corda durante todo o tempo.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 46 / 46