Aula 15, Cálculo Vetorial e Tensorialprofessor.ufabc.edu.br/~roldao.rocha/wordpress/wp-content/uploads… · Aula 15, Cálculo Vetorial e Tensorial PROF.ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC 13

Aula 15, Cálculo Vetorial e Tensorial

PROF. ROLDÃO DA ROCHA

1UFABC

13 Maio 2020

PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC

Coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)

I Gradiente de um campo escalar f

∇f =1h1

∂ f∂u1

e1 +1h2

∂ f∂u2

e2 +1h3

∂ f∂u3

e3


Divergente em coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)

I

I Campo vetorial

F(u1, u2, u3) = F1(u1, u2, u3)e1 + F2(u1, u2, u3)e2 + F3(u1, u2, u3)e3 .

I Divergente em coordenadas curvilíneas

∇ · F(u1, u2, u3) =1

h1h2h3

[∂

∂u1(F1h2h3) +

∂

∂u2(F2h3h1) +

∂

∂u3(F3h1h2)

]



I

I Campo vetorial



∇ · F(u1, u2, u3) =1

h1h2h3

[∂

∂u1(F1h2h3) +

∂

∂u2(F2h3h1) +

∂

∂u3(F3h1h2)

]



I

I Campo vetorial



∇ · F(u1, u2, u3) =1

h1h2h3

[∂

∂u1(F1h2h3) +

∂

∂u2(F2h3h1) +

∂

∂u3(F3h1h2)

]


Rotacional em coordenadas curvilíneas:

Manual do usuário.


Coordenadas curvilíneas

I SejaF(x , y , z) = F1(x , y , z)ı+ F2(x , y , z)+ F3(x , y , z)k

um campo vetorial em R3.I O rotacional de F é um campo vetorial, dado por

∇× F =

∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣I

=

(∂F3

∂y−∂F2

∂z

)ı+

(∂F1

∂z−∂F3

∂x

)+

(∂F2

∂x−∂F1

∂y

)k





∇× F =

∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣I

=

(∂F3

∂y−∂F2

∂z

)ı+

(∂F1

∂z−∂F3

∂x

)+

(∂F2

∂x−∂F1

∂y

)k

RdR

RdR





∇× F =

∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣I

=

(∂F3

∂y−∂F2

∂z

)ı+

(∂F1

∂z−∂F3

∂x

)+

(∂F2

∂x−∂F1

∂y

)k

RdR

RdR


Rotacional coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)

I Campo vetorial


I Coord. cartesianas: F(x , y , z) = F1(x , y , z)ı+ F2(x , y , z)+ F3(x , y , z)k .

I Coord. cilíndricas: F(ρ, θ, z) = Fρ(ρ, θ, z)ρ+ Fθ(ρ, θ, z)θ + Fz(ρ, θ, z)k .

I Coord. esféricas: F(r , θ, φ) = Fr (r , θ, φ)r + Fθ(r , θ, φ)θ + Fφ(r , θ, φ)φ.



I Campo vetorial







I Campo vetorial







I Campo vetorial






Rotacional em coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)

I Campo vetorialF(u1, u2, u3) = F1(u1, u2, u3)e1 + F2(u1, u2, u3)e2 + F3(u1, u2, u3)e3.

∇× F =1

h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1F1 h2F2 h3F3

∣∣∣∣∣∣ (1)

I Demonstração: clique no link http://professor.ufabc.edu.br/∼roldao.rocha/ na

minha página oficial da disciplina

http://professor.ufabc.edu.br/~roldao.rocha/wordpress/?page_id=38


Rotacional em coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)

I Campo vetorialF(u1, u2, u3) = F1(u1, u2, u3)e1 + F2(u1, u2, u3)e2 + F3(u1, u2, u3)e3.

∇× F =1

h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1F1 h2F2 h3F3

∣∣∣∣∣∣ (1)

I Demonstração: clique no link http://professor.ufabc.edu.br/∼roldao.rocha/ na

minha página oficial da disciplina

http://professor.ufabc.edu.br/~roldao.rocha/wordpress/?page_id=38


Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)

I r = x ı+ y + zk . Vetores coordenados:

~e1 =∂r∂u1

=∂r∂x

= ı

~e2 =∂r∂u2

=∂r∂y

=

~e3 =∂r∂u3

=∂r∂z

= k

I Fatores de escala: h1 = ‖ı‖ = 1, h2 = ‖‖ = 1, h3 = ‖k‖ = 1.I Portanto

∇× F =1

h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1F1 h2F2 h3F3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣

=

(∂F3

∂y−∂F2

∂z

)ı+

(∂F1

∂z−∂F3

∂x

)+

(∂F2

∂x−∂F1

∂y

)k




~e1 =∂r∂u1

=∂r∂x

= ı

~e2 =∂r∂u2

=∂r∂y

=

~e3 =∂r∂u3

=∂r∂z

= k


∇× F =1

h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1F1 h2F2 h3F3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣

=

(∂F3

∂y−∂F2

∂z

)ı+

(∂F1

∂z−∂F3

∂x

)+

(∂F2

∂x−∂F1

∂y

)k




~e1 =∂r∂u1

=∂r∂x

= ı

~e2 =∂r∂u2

=∂r∂y

=

~e3 =∂r∂u3

=∂r∂z

= k


∇× F =1

h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1F1 h2F2 h3F3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣

=

(∂F3

∂y−∂F2

∂z

)ı+

(∂F1

∂z−∂F3

∂x

)+

(∂F2

∂x−∂F1

∂y

)k




~e1 =∂r∂u1

=∂r∂x

= ı

~e2 =∂r∂u2

=∂r∂y

=

~e3 =∂r∂u3

=∂r∂z

= k


∇× F =1

h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1F1 h2F2 h3F3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣

=

(∂F3

∂y−∂F2

∂z

)ı+

(∂F1

∂z−∂F3

∂x

)+

(∂F2

∂x−∂F1

∂y

)k

Rotacional em coordenadas cilíndricasI Coordenadas cilíndricas r = ρ cos θı+ ρ sin θ+ zk . Vetores coordenados:

~e1 = ~eρ =∂r∂ρ

= cos θı+ sin θ ⇒ ‖~eρ‖ = 1

~e2 = ~eθ =∂r∂θ

= −ρ sin θı+ ρ cos θ ⇒ ‖~eθ‖ = ρ

~e3 =∂r∂z

= k ⇒ ‖~ez‖ = 1.

I Fatores de escala: h1 = ‖~e1‖ = 1, h2 = ‖~e2‖ = ρ, h3 = ‖~e3‖ = 1.I Portanto, dado o campo vetorial

F(ρ, θ, z) = Fρ(ρ, θ, z)ρ+ Fθ(ρ, θ, z)θ + Fz(ρ, θ, z)k ,

temos

∇× F =1

h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1F1 h2F2 h3F3

∣∣∣∣∣∣=

1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

Fρ ρFθ Fz

∣∣∣∣∣∣


~e1 = ~eρ =∂r∂ρ


~e2 = ~eθ =∂r∂θ


~e3 =∂r∂z

= k ⇒ ‖~ez‖ = 1.



temos

∇× F =1

h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1F1 h2F2 h3F3

∣∣∣∣∣∣=

1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

Fρ ρFθ Fz

∣∣∣∣∣∣


~e1 = ~eρ =∂r∂ρ


~e2 = ~eθ =∂r∂θ


~e3 =∂r∂z

= k ⇒ ‖~ez‖ = 1.



temos

∇× F =1

h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1F1 h2F2 h3F3

∣∣∣∣∣∣=

1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

Fρ ρFθ Fz

∣∣∣∣∣∣


Rotacional em coordenadas cilíndricas

I

∇× F =1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

Fρ ρFθ Fz

∣∣∣∣∣∣=

1ρρ

∣∣∣∣ ∂∂θ ∂∂z

ρFθ Fz

∣∣∣∣+ 1ρρθ

∣∣∣∣ ∂∂z∂∂ρ

Fz Fρ

∣∣∣∣+ 1ρ

k∣∣∣∣ ∂∂ρ ∂

∂θ

Fρ ρFθ

∣∣∣∣=

1ρ

(∂Fz

∂θ−∂(ρFθ)∂z

)ρ+

(∂Fρ∂z−∂Fz

∂ρ

)θ +

1ρ

(∂(ρFθ)∂ρ

−∂Fρ∂θ

)k .


Rotacional em coordenadas cilíndricas: exemplo 1

I Dado o campo vetorial F(ρ, θ, z) = ρρ+ z sin θθ + ρzk ,

∇× F =1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

Fρ ρFθ Fz

∣∣∣∣∣∣I

∇× F =1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

ρ ρz sin θ ρz

∣∣∣∣∣∣=

1ρ

(∂(ρz)∂θ

−∂(ρz sin θ)

∂z

)ρ+

(∂ρ

∂z−∂(ρz)∂ρ

)θ +

1ρ

(∂(ρz sin θ)

∂ρ−∂ρ

∂θ

)k

= −sin θρ− zθ +z sin θ

ρk .



I Dado o campo vetorial F(ρ, θ, z) = ρρ+ z sin θθ + ρzk ,

∇× F =1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

Fρ ρFθ Fz

∣∣∣∣∣∣I

∇× F =1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

ρ ρz sin θ ρz

∣∣∣∣∣∣=

1ρ

(∂(ρz)∂θ

−∂(ρz sin θ)

∂z

)ρ+

(∂ρ

∂z−∂(ρz)∂ρ

)θ +

1ρ

(∂(ρz sin θ)

∂ρ−∂ρ

∂θ

)k

= −sin θρ− zθ +z sin θ

ρk .



I Exerc. 7, Lista 5: Um fio ao longo do eixo z transporta uma corrente I. Opotencial vetorial magnético é dado por

A =µI2π

ln

(1ρ

)k .

Mostre que a indução magnética B(= ∇× A) = µI2πρ θ.



I

B = ∇× A =1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

Aρ ρAθ Az

∣∣∣∣∣∣=

1ρ

∣∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

0 0 µI2π ln

(1ρ

)∣∣∣∣∣∣∣

I

=1ρρ

∣∣∣∣∣∂∂θ

∂∂z

0 µI2π ln

(1ρ

)∣∣∣∣∣+ 1ρρθ

∣∣∣∣∣∂∂z

∂∂ρ

µI2π ln

(1ρ

)0

∣∣∣∣∣+ 1ρ

k∣∣∣∣ ∂∂ρ ∂

∂θ

0 0

∣∣∣∣= 0ρ−

µI2π

∂ ln(

1ρ

)∂ρ

θ + 0k

= −µI2π

11ρ

(−

1ρ2

)θ

=µI

2πρθ 2



I

B = ∇× A =1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

Aρ ρAθ Az

∣∣∣∣∣∣=

1ρ

∣∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

0 0 µI2π ln

(1ρ

)∣∣∣∣∣∣∣

I

=1ρρ

∣∣∣∣∣∂∂θ

∂∂z

0 µI2π ln

(1ρ

)∣∣∣∣∣+ 1ρρθ

∣∣∣∣∣∂∂z

∂∂ρ

µI2π ln

(1ρ

)0

∣∣∣∣∣+ 1ρ

k∣∣∣∣ ∂∂ρ ∂

∂θ

0 0

∣∣∣∣= 0ρ−

µI2π

∂ ln(

1ρ

)∂ρ

θ + 0k

= −µI2π

11ρ

(−

1ρ2

)θ

=µI

2πρθ 2


Rotacional em coordenadas esféricas

I Coordenadas esféricas. Vetores coordenados:

~e1 = ~er =∂r∂r

= sin θ cosφı+ sin θ sinφ+ cos θk = r

~e2 = ~eθ =∂r∂θ

= r cos θ cosφı+ r cos θ sinφ− r sin θk

~e3 = ~eφ =∂r∂φ

= −r sin θ sinφı+ r sin θ cosφ.

I Fatores de escala:

hr = h1 = ‖~e1‖ = 1

hθ = h2 = ‖~e2‖ =

√r2 cos2 θ cos2 φ+ r2 cos2 θ sin2 φ+ r2 sin2 θ = r

hφ = h3 = ‖~e3‖ = r sin θ.



I Coordenadas esféricas. Vetores coordenados:

~e1 = ~er =∂r∂r

= sin θ cosφı+ sin θ sinφ+ cos θk = r

~e2 = ~eθ =∂r∂θ

= r cos θ cosφı+ r cos θ sinφ− r sin θk

~e3 = ~eφ =∂r∂φ

= −r sin θ sinφı+ r sin θ cosφ.

I Fatores de escala:

hr = h1 = ‖~e1‖ = 1

hθ = h2 = ‖~e2‖ =

√r2 cos2 θ cos2 φ+ r2 cos2 θ sin2 φ+ r2 sin2 θ = r

hφ = h3 = ‖~e3‖ = r sin θ.



I Portanto, dado o campo vetorialF(r , θ, φ) = Fr (r , θ, φ)r + Fθ(r , θ, φ)θ + Fφ(r , θ, φ)φ, temos

∇× F =1

h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1F1 h2F2 h3F3

∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ

∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r

∂∂θ

∂∂φ

Fr rFθ r sin θFφ

∣∣∣∣∣∣


Rotacional em coordenadas esféricas: exemplo 3

I Casca esférica rotativa com carga uniforme

American J. Phys. 84, 181 (2016); https://doi.org/10.1119/1.4936633



I O potencial vetorial magnético é dado por

A = ζ0sin θ

r2φ r > a.

Calcule a indução magnética B.

I Aqui ζ0 = constante =µ0a4σω

3 , onde a = raio da casca esférica,σ = densidade superficial de carga elétrica,ω = velocidade angular.

I

∇× F =1

r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

Fr rFθ r sin θFφ

∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ

∣∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r

∂∂θ

∂∂φ

0 0 r sin θζ0sin θr2

∣∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

0 0 ζ0sin2 θ

r

∣∣∣∣∣∣∣




A = ζ0sin θ

r2φ r > a.




I

∇× F =1

r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

Fr rFθ r sin θFφ

∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ


∣∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

0 0 ζ0sin2 θ

r

∣∣∣∣∣∣∣




A = ζ0sin θ

r2φ r > a.




I

∇× F =1

r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

Fr rFθ r sin θFφ

∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ


∣∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

0 0 ζ0sin2 θ

r

∣∣∣∣∣∣∣



I

B = ∇× A =1

r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

0 0 ζ0sin2 θ

r

∣∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ

ζ0 r∂(

sin2 θr

)∂θ

+ r θ

−ζ0

∂(

sin2 θr

)∂r

=

1r2 sin θ

ζ0

rr∂(sin2 θ

)∂θ

− ζ0r sin2 θθ

∂(

1r

)∂r

=

1r2 sin θ

[ζ0

rr 2 sin θ cos θ − ζ0r sin2 θθ

(−

1r2

)]=

ζ0

r2 sin θ

[2 sin θ cos θ

rr +

sin2 θ

rθ

]

=ζ0

r3

[2 cos θr + sin θθ

].



I Exerc. 13, Lista 5: Mostre que A = − cot θr φ é solução de ∇× A = r

r2 . Usecoordenadas esféricas.

I

B = ∇× A =1

r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

Ar rAθ r sin θAφ

∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

0 0 r sin θ cot θr

∣∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ

[r∂ (cos θ)

∂θ

]=

1r2 sin θ

[r∂ (cos θ)

∂θ

]=

1r2 sin θ

[− sin θr ]

= −rr2.



I Exerc. 13, Lista 5: Mostre que A = − cot θr φ é solução de ∇× A = r

r2 . Usecoordenadas esféricas.

I

B = ∇× A =1

r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

Ar rAθ r sin θAφ

∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

0 0 r sin θ cot θr

∣∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ

[r∂ (cos θ)

∂θ

]=

1r2 sin θ

[r∂ (cos θ)

∂θ

]=

1r2 sin θ

[− sin θr ]

= −rr2.



I Calcule o rotacional do campo vetorial F(r , θ, φ) = r θ + φ.I Aqui Fr = 0, Fθ = r e Fφ = 1.I Portanto,

∇× F =1

r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

Fr rFθ r sin θFφ

∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

0 r2 r sin θ

∣∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ

[r∂ (rsin θ)

∂θ− r θ

(∂ (r sin θ)

∂r

)+ r sin θφ

(∂(r2)∂r

)]

=1

r2 sin θ

[rcos θ r − r sin θθ + 2r2 sin θφ

]=

cot θ

rr −

1rsin θθ + 2φ.




∇× F =1

r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

Fr rFθ r sin θFφ

∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

0 r2 r sin θ

∣∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ

[r∂ (rsin θ)

∂θ− r θ

(∂ (r sin θ)

∂r

)+ r sin θφ

(∂(r2)∂r

)]

=1

r2 sin θ


]=

cot θ

rr −

1rsin θθ + 2φ.




∇× F =1

r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

Fr rFθ r sin θFφ

∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ


∂∂θ

∂∂φ

0 r2 r sin θ

∣∣∣∣∣∣∣=

1r2 sin θ

[r∂ (rsin θ)

∂θ− r θ

(∂ (r sin θ)

∂r

)+ r sin θφ

(∂(r2)∂r

)]

=1

r2 sin θ


]=

cot θ

rr −

1rsin θθ + 2φ.

Documents

Aula 15, Cálculo Vetorial e Tensorialprofessor.ufabc.edu.br/~roldao.rocha/wordpress/wp-content/uploads… · Aula 15, Cálculo Vetorial e Tensorial PROF.ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC 13