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Calculo NumericoIntegracao Numerica com Repeticao
Joao Paulo Gois
Universidade Federal do ABC
1
1Apresentacao baseada nos slides do prof. John Carroll, Dublin City University e nos Livros Analise Numerica
(Burden & Faires)
Integracao Numerica com Repeticao (Composta)
Aplicacao da regra de Simpson
Use a regra de Simpson para aproximar 40exdx
e compare este com o resultado obtido pelas somas por Regra deSimpson 2
0exdx+
42exdx 1
0exdx+
21exdx+
32exdx+
43exdx
Integracao Numerica com Repeticao (Composta)
Solucao 1
A regra de Simpson em [0, 4] usando h = 2 nos fornece: 40exdx 2
3(e0 + 4e2 + e4) = 56.76958
A resposta exata e e4 = e0 = 53.59815, e o erro e 3.17143, que elonge de ser aceitavel.
Integracao Numerica com Repeticao (Composta)
Solucao 2
A regra de Simpson em [0, 2] e [2, 4] usando h = 1 nos fornece: 40exdx =
20exdx+
42exdx
13(e0 + 4e+ e2) +
1
3(e2 + 4e3 + e4) = 53.86385
O erro e 0.26570.
Integracao Numerica com Repeticao (Composta)
Solucao 3
A regra de Simpson em [0, 1], [1, 2], [2, 3] e [3, 4] usando h = 12 nosfornece: 40exdx =
10exdx+
21exdx+
32exdx+
43exdx
16(e0 + 4e1/2 + e) +
1
6(e+ 4e3/2 + e2) +
+1
6(e2 + 4e5/2 + e3) +
1
6(e3 + 4e7/2 + e4) = 53.61622
(1)
O erro e 0.01807.
Integracao Numerica com Repeticao (Composta)
Para generalizar este procedimento para uma integral arbitraria ba f(x)dx, escolhemos um inteiro par n. Subdividimos o intervalo[a, b] em n subintervalos e aplicamos a regra de Simpson para cadapar consecutivo de subintervalo.
204 C H A P T E R 4 Numerical Differentiation and Integration
Solution Simpsons rule on [0, 4] uses h = 2 and gives 40
ex dx 23(e0 + 4e2 + e4) = 56.76958.
The exact answer in this case is e4 e0 = 53.59815, and the error 3.17143 is far largerthan we would normally accept.
Applying Simpsons rule on each of the intervals [0, 2] and [2, 4] uses h = 1 and gives 40
ex dx = 2
0ex dx +
42
ex dx
13(e0 + 4e + e2)+ 1
3(e2 + 4e3 + e4)
= 13(e0 + 4e + 2e2 + 4e3 + e4)
= 53.86385.The error has been reduced to 0.26570.
For the integrals on [0, 1],[1, 2],[3, 4], and [3, 4] we use Simpsons rule four times withh = 12 giving 4
0ex dx =
10
ex dx + 2
1ex dx +
32
ex dx + 4
3ex dx
16(e0 + 4e1/2 + e)+ 16 (e + 4e3/2 + e2)
+ 16(e2 + 4e5/2 + e3)+ 1
6(e3 + 4e7/2 + e4)
= 16(e0 + 4e1/2 + 2e + 4e3/2 + 2e2 + 4e5/2 + 2e3 + 4e7/2 + e4)
= 53.61622.The error for this approximation has been reduced to 0.01807.
To generalize this procedure for an arbitrary integral b
a
f (x) dx, choose an eveninteger n. Subdivide the interval [a, b] into n subintervals, and apply Simpsons rule oneach consecutive pair of subintervals. (See Figure 4.7.)
Figure 4.7y
xa ! x0 x2 b ! xn
y ! f (x)
x2j"2 x2j"1 x2j
Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s).Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.
Teorema
Teorema
Seja f C4[a, b], n par, h = (b a)/n, e xj = a + jh, para cadaj = 0, 1, , n. Existe um (a, b) para o qual a regra de Simpsoncomposta para n subintervalos pode ser escrita com seu termo deerro como: baf(x)dx =
h
3
f(a) + 2 (n/2)1j=1
f(x2j) + 4
(n/2)j=1
f(x2j1) + f(b)
+b a
180h4f (4)()
Integracao Composta: Regras do Ponto-Medio e dosTrapezios
Introducao
Os metodos de subdivisao pode ser aplicados a quaisquerformulas de Newton-Cotes
As regras dos Trapezios precisam de apenas um intervalo paracada aplicacao, de modo que n pode ser par ou mpar
Para a regra do Ponto-Medio, entretanto, n deve ser par.
Integracao Composta: Regras do Ponto-Medio e dosTrapezios
Introducao
Os metodos de subdivisao pode ser aplicados a quaisquerformulas de Newton-Cotes
As regras dos Trapezios precisam de apenas um intervalo paracada aplicacao, de modo que n pode ser par ou mpar
Para a regra do Ponto-Medio, entretanto, n deve ser par.
Integracao Composta: Regras do Ponto-Medio e dosTrapezios
Introducao
Os metodos de subdivisao pode ser aplicados a quaisquerformulas de Newton-Cotes
As regras dos Trapezios precisam de apenas um intervalo paracada aplicacao, de modo que n pode ser par ou mpar
Para a regra do Ponto-Medio, entretanto, n deve ser par.
Integracao Composta: Regras do Ponto-Medio e dosTrapezios
Introducao
Os metodos de subdivisao pode ser aplicados a quaisquerformulas de Newton-Cotes
As regras dos Trapezios precisam de apenas um intervalo paracada aplicacao, de modo que n pode ser par ou mpar
Para a regra do Ponto-Medio, entretanto, n deve ser par.
Integracao Composta: Regra dos Trapezios4.4 Composite Numerical Integration 207
Figure 4.8y
xa ! x0 b ! xn
y ! f (x)
xj"1 xjx1 xn"1
For the Composite Midpoint rule, n must again be even. (See Figure 4.9.)
Figure 4.9
x
y
a ! x"1 x0 x1 xnx2j"1 xn"1x2j x2j#1 b ! xn#1
y ! f (x)
Theorem 4.6 Let f C2[a, b], n be even, h = (b a)/(n + 2), and xj = a + (j + 1)h for eachj = 1, 0, . . . , n + 1. There exists a (a, b) for which the Composite Midpoint rulefor n + 2 subintervals can be written with its error term as b
a
f (x) dx = 2hn/2j=0
f (x2 j)+ b a6 h2f ().
Example 2 Determine values of h that will ensure an approximation error of less than 0.00002 whenapproximating
pi0 sin x dx and employing(a) Composite Trapezoidal rule and (b) Composite Simpsons rule.
Solution (a) The error form for the Composite Trapezoidal rule for f (x) = sin x on [0,pi ]is pih212 f ()
= pih212 ( sin ) = pih212 | sin |.
Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s).Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.
Nota: A regra dos Trapezios precisa apenas um intervalo para cadaaplicacao, de modo que n pode ser par ou mpar.
Teorema
Teorema
Seja f C2[a, b], h = (b a)/n e xj = a + jh, para cada j =0, 1, , n. Existe um (a, b) para os quais a Regra dos TrapeziosCompostas para n subintervalos pode ser reescrita com seu termode erro na forma: b
af(x)dx =
h
2
f(a) + 2 n1j=1
f(xj) + f(b)
b a12
h2f ()
Integracao Composta: Regra do Ponto-Medio
Regra do Ponto Medio (Formula de Newton-Cotes Aberta de 1ponto)
x1x1
f(x)dx = 2hf(x0) +h3
3f (), x1 < < x1, h = x1 x0
Teorema
Seja f C2[a, b], n par, h = (b a)/(n+ 2), e xj = a+ (j + 1)h,para cada j = 1, 0, , n + 1. Existe um (a, b) para o quala Regra do Ponto-Medio Composto para n + 2 subintervalos podeser escrita com seu termo de erro como b
af(x)dx = 2h
n/2j=0
f(x2j) +b a6
h2f ()
Integracao Composta: Regra do Ponto-Medio
Regra do Ponto Medio (Formula de Newton-Cotes Aberta de 1ponto)
x1x1
f(x)dx = 2hf(x0) +h3
3f (), x1 < < x1, h = x1 x0
Teorema
Seja f C2[a, b], n par, h = (b a)/(n+ 2), e xj = a+ (j + 1)h,para cada j = 1, 0, , n + 1. Existe um (a, b) para o quala Regra do Ponto-Medio Composto para n + 2 subintervalos podeser escrita com seu termo de erro como b
af(x)dx = 2h
n/2j=0
f(x2j) +b a6
h2f ()
Integracao Composta: Regra dos Pontos-Medio
4.4 Composite Numerical Integration 207
Figure 4.8y
xa ! x0 b ! xn
y ! f (x)
xj"1 xjx1 xn"1
For the Composite Midpoint rule, n must again be even. (See Figure 4.9.)
Figure 4.9
x
y
a ! x"1 x0 x1 xnx2j"1 xn"1x2j x2j#1 b ! xn#1
y ! f (x)
Theorem 4.6 Let f C2[a, b], n be even, h = (b a)/(n + 2), and xj = a + (j + 1)h for eachj = 1, 0, . . . , n + 1. There exists a (a, b) for which the Composite Midpoint rulefor n + 2 subintervals can be written with its error term as b
a
f (x) dx = 2hn/2j=0
f (x2 j)+ b a6 h2f ().
Example 2 Determine values of h that will ensure an approximation error of less than 0.00002 whenapproximating
pi0 sin x dx and employing(a) Composite Trapezoidal rule and (b) Composite Simpsons rule.
Solution (a) The error form for the Composite Trapezoidal rule for f (x) = sin x on [0,pi ]is pih212 f ()
= pih212 ( sin ) = pih212 | sin |.
Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s).Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.
Exemplo
Comparando Regras Trapezoidal e de Simpson
Determine valores de h para que assegurem erros de aproximacaoinferior a 0.00002 quando aproximando
pi0 sinxdx empregando (a)
a regra dos trapezios composta e (b) a regra de Simpson composta.
Exemplo
Comparando Regras Trapezoidal e de Simpson
O erro da Regra do Trapezio composta para f(x) = sinx em [0, pi]e: pih212 f ()
=
pih212 sin = pih212 | sin|
Para assegurar a eficiencia com esta tecnica, precisamos ter
pih2
12| sin| pih
2
12< 0.00002
Exemplo
Comparando Regras Trapezoidal e de Simpson
O erro da Regra do Trapezio composta para f(x) = sinx em [0, pi]e: pih212 f ()
= pih212 sin =
pih2
12| sin|
Para assegurar a eficiencia com esta tecnica, precisamos ter
pih2
12| sin| pih
2
12< 0.00002
Exemplo
Comparando Regras Trapezoidal e de Simpson
O erro da Regra do Trapezio composta para f(x) = sinx em [0, pi]e: pih212 f ()
= pih212 sin = pih212 | sin|
Para assegurar a eficiencia com esta tecnica, precisamos ter
pih2
12| sin| pih
2
12< 0.00002
Exemplo
Comparando Regras Trapezoidal e de Simpson
O erro da Regra do Trapezio composta para f(x) = sinx em [0, pi]e: pih212 f ()
= pih212 sin = pih212 | sin|
Para assegurar a eficiencia com esta tecnica, precisamos ter
pih2
12| sin| pih
2
12< 0.00002
Comparando Regras Trapezoidal e de Simpson
pih2
12| sin| pih
2
12< 0.00002
Solucao (cont.)
Como h = pin , temos que n =pih , precisamos:
pi3
12n2< 0.00002
n >
pi3
12 (0.00002) 359.44
e a Regra dos Trapezios Composta requer n 360.
Comparando Regras Trapezoidal e de Simpson
pih2
12| sin| pih
2
12< 0.00002
Solucao (cont.)
Como h = pin , temos que n =pih , precisamos:
pi3
12n2< 0.00002
n >
pi3
12 (0.00002)
359.44
e a Regra dos Trapezios Composta requer n 360.
Comparando Regras Trapezoidal e de Simpson
pih2
12| sin| pih
2
12< 0.00002
Solucao (cont.)
Como h = pin , temos que n =pih , precisamos:
pi3
12n2< 0.00002
n >
pi3
12 (0.00002) 359.44
e a Regra dos Trapezios Composta requer n 360.
Exemplo
Comparando Regras Trapezoidal e de Simpson
O erro da Regra de Simpson Composta para f(x) = sinx em [0, pi]e: pih4180 f (4)()
= pih4180 sin = pih4180 | sin|
Para assegurar a eficiencia com esta tecnica, precisamos ter
pih4
180| sin| pih
4
180< 0.00002
Comparando Regras Trapezoidal e de Simpson
pih4
180| sin| pih
4
180< 0.00002
Solucao (cont.)
Como h = pin , temo :
pi5
180n4< 0.00002
n > 4
pi5
180 (0.00002) 17.07
e a Regra de Simpson Composta requer n 18.
Comparando Regras Trapezoidal e de Simpson
pih4
180| sin| pih
4
180< 0.00002
Solucao (cont.)
Como h = pin , temo :
pi5
180n4< 0.00002
n > 4
pi5
180 (0.00002)
17.07
e a Regra de Simpson Composta requer n 18.
Comparando Regras Trapezoidal e de Simpson
pih4
180| sin| pih
4
180< 0.00002
Solucao (cont.)
Como h = pin , temo :
pi5
180n4< 0.00002
n > 4
pi5
180 (0.00002) 17.07
e a Regra de Simpson Composta requer n 18.
Exemplo
Exemplo
A regra de Simpson composta com n = 18, temos:
pi0
sinxdx pi54
2 8j=1
sin
jpi9
+ 4
9j=1
sin
((2j 1)pi
18
) = 2.0000104
que possui precisao por volta de 105, ja que a solucao exata e cos(pi) ( cos(0)) = 2.
Exemplo
Exemplo
A regra de Simpson composta com n = 18, temos:
pi0
sinxdx pi54
2 8j=1
sin
jpi9
+ 4
9j=1
sin
((2j 1)pi
18
) = 2.0000104que possui precisao por volta de 105, ja que a solucao exata e cos(pi) ( cos(0)) = 2.
Exemplo
A regra de Simpson Composta e uma escolha clara se vocedeseja minimizar o numero de calculos
Para propositos de comparacao, considere a regra dosTrapezios Composta usando h = pi/18 para a integral noexemplo anterior
Este calculo usa as mesmas avaliacoes de funcao que a regrade Simpson composta, mas a aproximacao neste caso e:
pi0 pi
36
2 17j=1
sin
(jpi
18
)+ sinx+ sinpi
=
=pi
36
2 17j=1
sin
(jpi
18
) = 1.9949205que tem precisao em torno de 5 103
Exemplo
A regra de Simpson Composta e uma escolha clara se vocedeseja minimizar o numero de calculos
Para propositos de comparacao, considere a regra dosTrapezios Composta usando h = pi/18 para a integral noexemplo anterior
Este calculo usa as mesmas avaliacoes de funcao que a regrade Simpson composta, mas a aproximacao neste caso e:
pi0 pi
36
2 17j=1
sin
(jpi
18
)+ sinx+ sinpi
=
=pi
36
2 17j=1
sin
(jpi
18
) = 1.9949205que tem precisao em torno de 5 103
Exemplo
A regra de Simpson Composta e uma escolha clara se vocedeseja minimizar o numero de calculos
Para propositos de comparacao, considere a regra dosTrapezios Composta usando h = pi/18 para a integral noexemplo anterior
Este calculo usa as mesmas avaliacoes de funcao que a regrade Simpson composta, mas a aproximacao neste caso e:
pi0 pi
36
2 17j=1
sin
(jpi
18
)+ sinx+ sinpi
=
=pi
36
2 17j=1
sin
(jpi
18
) = 1.9949205que tem precisao em torno de 5 103
Exemplo
A regra de Simpson Composta e uma escolha clara se vocedeseja minimizar o numero de calculos
Para propositos de comparacao, considere a regra dosTrapezios Composta usando h = pi/18 para a integral noexemplo anterior
Este calculo usa as mesmas avaliacoes de funcao que a regrade Simpson composta, mas a aproximacao neste caso e:
pi0 pi
36
2 17j=1
sin
(jpi
18
)+ sinx+ sinpi
=
=pi
36
2 17j=1
sin
(jpi
18
) = 1.9949205que tem precisao em torno de 5 103