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MATEMÁTICA IIIAULA 09:
POLIEDROS
EXERCÍCIOS PROPOSTOSSemestral
VOLUME 3
OSG.: 096353/15
01. O cubo tem 6 faces e 8 vértices. Cada vértice do cubo corresponde a uma face triangular do poliedro e cada face do cubo corresponde a uma face quadrada. Logo, o poliedro tem 8 faces triangulares e 6 faces quadradas.
Resposta: B
02. O icosaedro tem 20 faces e cada face transformou-se em 4. Assim, a geodésica tem 20·4 = 80 faces, todas triangulares. Daí, o número de arestas (A) é tal que:2A = 80·3A = 120
Resposta: B
03. I. F = F
4 = 30
II. 2A = 30·4 → A = 60 III. V + F = A + 2 V + 30 = 60 + 2 V = 32
Resposta: A
04. Dados: F3 = 8 e F
4 = 18.
Devemos ter:I. F = 8 + 18 → F = 26II. 2A = 8·3 + 18·4 → 2A = 24 + 72 → A = 48III. V + F = A + 2 V + 26 = 48 + 2 V = 24IV. Os vértices são idênticos, então, de cada vértice, parte um mesmo número m de arestas. Daí: Dobro do número de arestas = V·m = 2A 24·m = 96 m = 4 Logo, o rombicuboctaedro apresenta 24 vértices, dos quais partem, de cada um, 4 arestas.
Resposta: B
05. Sendo F5 = x e F
6 = y os números de faces pentagonais e hexagonais, respectivamente, devemos ter:
I. V = 60 e F = x + yII. Cada vértice tem 3 arestas (triedros ou ângulos triédricos). Assim, obtemos: Dobro do número de arestas = 2A = 3.V = F
5·5 + F
6·6
2A = 3·60 = x·5 + y·6 Daí: • 2A = 3·60 → A = 90 • x·5 + y·6 = 3·60 → 5x + 6y = 180III. Relação de Euler: V + F = A + 2 60 + F = 90 + 2 F = 32 → x + y = 32
IV. Resolvendo o sistema 5 6 18032
x yx y
+ =+ ={ , obtemos:
x = 12 (faces pentagonais) e y = 20 (faces hexagonais)
Resposta: A
06. I. O tetraedro regular (Piramix) tem quatro faces e em cada face há 9 triângulos equiláteros congruentes. Daí, a
L/3
L/3
L
L/3
superfície do Piramix corresponde à área de 4·9 = 36 triângulos equiláteros; II. Ao retirar, em cada um dos 4 vértices do Piramix, uma pirâmide de aresta 1/3 da aresta do Piramix, cada
face inicial perde três triângulos, fi cando apenas com 6 triângulos equiláteros. Mas, em cada vértice, surge um novo triângulo. Assim, a superfície do sólido corresponde à área de 4·6 + 4 = 28 triângulos
equiláteros.Logo, sendo S a área de um dos triângulos equiláteros, temos: Á ó
Á
rea do s lido
rea do Piramix= =
285
365
7
9
Resposta: C
OSG.: 096353/15
Resolução – Matemática III
07. Ao retirar uma pirâmide de cada vértice, as faces, que eram todas, inicialmente, triangulares, viram faces hexagonais; e em cada vértice surge uma face pentagonal. Daí, temos:Face do icosaedro: Face da bola (não infl ada)
Corte do vértice (’bico’pirâmide).
Fica no lugar dovértice.
I. 20 faces triangulares no icosaedro → 20 faces hexagonais no polígono da bola (F6 = 20)
II. 12 vértices no icosaedro → 12 faces pentagonais no polígono da bola (F5 = 12)
III. F = 20 + 12 → F = 32IV. 2A = 20·6 + 12·5 → A = 90 Para cada aresta, gastam-se 7 cm de linha, então, para 90 arestas, gastam-se 90 × 7 cm = 630 cm = 6,3 m
Resposta: B
08. (Os ângulos poliédricos estão associados aos vértices do poliedro, de modo que se o ângulo é constituído de n semirretas é porque do respectivo vértice do poliedro partem n arestas.)Dados: V
4 = 3, V
5 = 6 e V
8 = 4.
Daí, devemos ter:I. V = 3 + 6 + 4 → V = 13II. 2A = 3·4 + 6·5 + 4·8 → 2A = 12 + 30 + 32 → A = 37III. Relação de Euler: V + F = A + 2 13 + F = 37 + 2 → F = 26
Resposta: A
09. Temos:
I. Soma dos ângulos das faces = (V – 2)·360° = 2880° → V – 2 = 2880
360
°°
→ V – 2 = 8 → V = 10II. Relação de Euler: V + F = A + 2 10 + F = 20 + 2 → F = 12
III. Sendo F3 = x e F
4 = y, obtemos:
F x yA x y
x yx y
= + == ⋅ + ⋅ = ⋅{ − − = −
+ ={122 3 4 2 20
3 3 363 4 40
~
Assim, y = 4 (quatro faces quadrangulares) e x = 8 (oito faces triangulares). Portanto, o poliedro tem 10 vértices e 12 faces, sendo 8 triangulares e 4 quadrangulares.
Resposta: A
10. Temos que:I. A = V + 0,50V → A = 1,5VII. V + A + F = 14 → V + F = 14 – AIII. Relação de Euler: V + F = A + 2 → 14 – A = A + 2 → 12 = 2A → A = 6IV. A = 1,5V → 6 = 1,5V → 60 = 15V → V = 4V. V + A + F = 14 → 4 + 6 + F = 14 → F = 4
Logo, F
A= =
4
6
2
3
Resposta: D
naldo – Rev.: RR09635315-pro-aula 09-Poliedros