Prof. Paulo Alessio

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“Transportai um punhado de terra todos os dias e fareis uma montanha” Confúcio

Disciplina: ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE

1. Separatrizes. Como vimos, a mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição

central. Colocados em ordem crescente, mediana é o valor que divide a amostra, ou a população, em duas partes iguais. Assim:

0% 50% 100% Md A mediana é denominada uma medida de tendência central mas também é uma

separatriz. Assim, além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica, já que se baseiam em sua posição na série. Essas medidas – os quartis, os decis e os percentis – são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes. 1.1 Quartis.

Denominamos, quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais. Há portanto, três quartis:

a. O primeiro quartil (Q1) – valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores.

b. O segundo quartil (Q2) – evidentemente, coincide com a mediana (Q2 = Md) c. O terceiro quartil (Q3) – valor situado de tal modo que as três quartas partes

(75%) dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior. Quando os dados são agrupados, para determinar os quartis usamos a mesma

técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da mediana 2

∑ if por:

4

∑ ifk sendo k o número de ordem do quartil.

Assim temos: i

iai

kf

hantffk

lQ

×

−

+=

∑)(

4

Exemplo.

ESTATURAS (cm) fi fia

150 | 154 4 4

154 | 158 9 13 ← (Q1)

158 | 162 11 24

162 | 166 8 32 ← (Q3)

166 | 170 5 37

170 | 174 3 4

ΣΣΣΣ = 40

Notas de aula 05

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2 Primeiro Quartil Terceiro Quartil

104

40

4==

∑ if 30

4

403

4

3=

×=

∑ if

( )66,156

9

44101541 =

×−+=Q

( )165

8

424301623 =

×−+=Q

cmQ 7,1561 = cmQ 1653 =

Com o uso do Excel, uma vez que os dados foram inseridos na planilha de dados,

(neste caso pontos médios), utilizar a função Colar Função. Primeiramente, deve-se escolher uma célula onde o programa fará a inserção da operação escolhida. A partir de um clik no ícone colar função, abre-se a janela Inserir Função do programa. Selecione a opção Estatística no quadro categoria, procedimento que exibe abaixo, diversas opções de operações estatísticas. Uma vez feita a opção da função que o operador deseja executar (Quartil), e clicando na opção OK, o operador terá acionado a caixa de criação de fórmulas que orienta sobre esta operação.

Quando acionada a caixa de criação de fórmulas, o programa ainda não tem

definido o conjunto de dados que deve preceder ao cálculo da função estatística escolhida. Deve-se registrar o endereço das células com os dados a serem processados, bastando clicar no ícone da caixa de diálogo número 1. Depois deste procedimento, basta selecionar os argumentos (valores ou dados) que deseja proceder aos cálculos. Na primeira janela coloca-se o intervalo das células e na segunda o número do quartil desejado (1, 2 ou 3).

152 152 152 152 156 156 156 156 156 156 156

156 156 160 160 160 160 160 160 160 160 160

160 160 164 164 164 164 164 164 164 164 168

168 168 168 168 172 172 172

1ºQuartil=156 1.2 Decis.

Continuando o estudo das separatrizes, tem-se os decis. São os valores que

dividem a série em 10 partes iguais. D1 , D2 , D3, . . . ,D9

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3 Quando os dados são agrupados, para determinar os decis usamos a mesma

técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da mediana 2

∑ if por:

10

∑ ifk sendo k o número de ordem do decil.

Assim temos: i

ia

i

kf

hantffk

lD

×

−

+=

∑)(

10

1.3 Percentis. São medidas que dividem a série em 100 partes iguais. P1 , P2 , P3, . . . ,P99 O cálculo de um percentil segue a mesma técnica do cálculo da mediana, porém, a

fórmula 2

∑ if será substituída por:

100

∑ ifk sendo k o número de ordem do percentil.

Assim temos: i

iai

kf

hantffk

lP

×

−

+=

∑)(

100

Exemplo.

Estaturas (cm) fi fia 150 | 154 4 4

154 | 158 9 13

158 | 162 11 24

162 | 166 8 32

166 | 170 5 37

170 | 174 3 40

ΣΣΣΣ = 40

Considerando a Tabela, temos para o oitavo percentil:

2,3100

408

100

88 =

×=⇒=

∑ ifk Logo:

2,1534

4)02,3(1508 =

×−+=P cmP 2,1538 =

Exercícios. 1) Calcule o primeiro quartil, o terceiro quartil e o vigésimo percentil da distribuição de freqüência:

i CUSTOS (R$) fi fia

1 450 | 550 8

2 550 | 650 10

3 650 | 750 11

4 750 | 850 16

5 850 | 950 13

6 950 |1050 5

7 1050 | 1150 1

∑ = 64

Respostas: Primeiro Quartil = 630 Terceiro Quartil = 873 Vigésimo Percentil = 598

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4 2) Calcule a média aritmética, a mediana, a moda, o primeiro e o terceiro quartis das distribuições abaixo, e o 10o, o 1o, o 23o, o 15o e o 90o percentis das distribuições . 2.1

NOTAS fi fia xi xifi

0 | 2 5 2 | 4 8 4 | 6 14 6 | 8 10 8 | 10 7

∑ = 44 ∑ = Respostas: Média = 5,3 Mediana = 5,3 Moda = 5 Primeiro quartil = 3,5 Terceiro quartil = 7,2 2.2

ESTATURAS (cm) fi fia xi xifi

150 | 158 5 158 | 166 12 166 | 174 18 174 | 182 27 182 | 190 8 ∑= 70 ∑=

Respostas: Média = 172,4 Mediana = 174 Moda = 178 Primeiro quartil = 166,2 Terceiro quartil = 179,2 Décimo percentil = 159,3 Primeiro percentil = 151,1 Vigésimo terceiro percentil = 165,4 Décimo quinto percentil = 161,6 nonagésimo percentil = 183 3) Determine os desvios em relação à média dos seguintes dados: 6, 8, 5, 12, 11, 7, 4, 15. Qual a soma dos desvios? Resposta. Zero. 4) Em uma classe com 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:

Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10

NO DE ALUNOS

1 3 6 10 13 8 5 3 1

fia

Calcule: a) a nota média (resposta =5,9)

b) a nota mediana (resposta = 6)

c) a nota modal (resposta = 6)

5) Considerando a distribuição abaixo:

xi 3 4 5 6 7 8

fi 4 8 11 10 8 3 fia

Calcule:

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5 a) a média (resposta = 5,4)

b) a mediana (resposta = 5)

c) a moda (resposta = 5)

6) Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são: R$75, R$ 90, R$ 83, R$ 142 e R$ 88. Determine:

a) a média dos salários-hora (resposta = 95,6) b) o salário-hora mediano. (resposta = 88)

7) Considere o conjunto de dados: Calcule:

I. a média II. a mediana

III. a moda

a. 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6

=x 5,1 Md = 5 Mo = 5

b. 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7

=x 11 Md = 9 Mo = 7

c. 51, 6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9

=x 49,8 Md = 49,5 Mo = não existe

d. 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14

=x 15,1 Md = 15 Mo = não existe

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FONSECA, Jairo Simon da e MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística. São Paulo: Atlas, 1996. MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo, Atlas, 2002. MUCELIN, Carlos Alberto. Estatística Elementar e Experimental Aplicada às Tecnologias. Medianeira, PR, 2003. SPIEGEL, Murray R. Estatística. Rio de Janeiro, McGraw-Hill do Brasil, 1993.