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8/19/2019 Aula 04 (Mecanica Dos Fluidos)
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3. Dinâmica dos Fluidos
3.1 Equação de Bernaulli
A Equação de Bernaulli é usada na mecânica dos fluidos
para escoamentos em regime
permanente incompressível. Ela pode ser enunciada da seguinte
maneira:“A soma das energias cinética, pertencia e de escoamento de
uma partícula de fluido é constante
ao longo de uma lina de corrente durante um escoamento em regime
permanente quando os efeitos dacompressi!ilidade e do atrito são
despre"íveis.#
$ara o!tenção da equação de Bernaulli usaremos uma partícula
infinitesimal, conforme figura:
%amos aplicar a segunda lei de &e'ton na direção s para uma
partícula de fluido:∑⃗ F S=m⃗ aS
(efinimos aceleração a partir de:
dvs=∂ v
∂ s ds+
∂ v
∂ t dt
⃗a s=d v S
dt =
∂ v
∂ t
ds
dt +
∂ v
∂ t )*.*+
&o estado estacionrio∂ v
∂ s=0 então:
⃗a s=d v S
dt =
∂ v
∂ t
ds
dt
-omo V =ds
dt
⃗a s=d v S
dt =
V ∂ v
∂t
ds
dt
ão as forças devido a pressão e ao peso. omando as forças na
direção e no movimento)direç/es s+, o!tém0se:
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∂h
∂s θ
Pda−( P+ ∂ P∂
s ds)da= pgdsdacosθ= pdsda⃗ as )*.1+
(ividindo por dsda
−∂ P∂ s
− pgcosθ= p⃗ as )*.2+
$odemos escrever cosθ de uma altura ∂ h
cosθ=∂h
∂ s )*.3+
u!stituindo )*.*+ e )*.3+ em )*.2+
−∂ P
∂ s
= pg∂ h
∂ s
= ρ V ∂ v
∂ s )*.4+
Assumindo uma massa especifica constante, o!servando que
V ∂ v
∂ s=
∂
∂ s ( v2
2 ) e dividindopor ρ
∂
∂ s (+V 2
2+gh)=0 )*.5+
P ρ = E ( Escoamento) V
2
2= E . C (Cinética ) gh= E .
P( Potencial)
6sto é satisfat7rio se ao longo da lina de corrente
tivermos:
P
ρ+
v2
s +gh=constante
Entre dois pontos em uma mesma lina de corrente, podemos
escrever
P1
ρ +V 1
2
2 +g h1= P2
ρ +V 2
2
2 +g h2 )*.8+ Equação de Bernaulli
$ara o!termos essa equação utili"amos as seguintes
suposiç/es:
• Escoamento não viscoso )não tens/es de cisalamento+
• Escoamento permanente ( ∂ v∂ t =0)
• 9assa constante especifica ( ∂ ρ∂t =0)
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• Escoamento aplicado ao longo de uma lina de corrente (⃗a s=V ∂
v∂t )Ex. 3.1 m tanque grande a!erto para a
atmosfera é preencido com gua até uma altura de 2m
acima da saída da torneira. ;uando essa torneira é a!erta, a gua
escoa para fora do tanque de
maneira suave. (etermine a velocidade na saída do tanque com
altura de 2m
P1
ρ +
V 12
2+g h
1=
P2
ρ +
V 22
2+g h
2
P1
ρ +
V 12
2+g h
1=
P2
ρ +
V 22
2+g h
2
g h1=
V 22
2 √ (9,81∗5 )∗2=V 2
V 2=9,9
m
s
