Aula 03 - Raciocionio Logico

7/27/2019 Aula 03 - Raciocionio Logico

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A c e s s e w w w . b a i x a rE l i a n e A p a r e c i d a d o s R e i s 0 8 6 1 4 0 9 5 6 6 0PACOTE DE TEORIA E EXERCCIOS PARA MINISTRIO DA FAZENDA

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 3Proposies ................................................................................................................................................... 2

Leis do Pensamento ................................................................................................................................... 4Modificador.................................................................................................................................................. 12Proposies simples e compostas ...................................................................................................... 14Conjuno ......................................................................................................................................... 15Disjuno Inclusiva ........................................................................................................................ 19Disjuno Exclusiva ...................................................................................................................... 21Condicional p ...................................................................................................................................... 21

Bicondicional p q .................................................................................................................................. 23Nmero de linhas de uma tabela-verdade ...................................................................................... 24Tautologia .................................................................................................................................................... 34Contradio ................................................................................................................................................. 37Contingncia ............................................................................................................................................... 39Relao das questes comentadas .................................................................................................... 55Gabaritos ...................................................................................................................................................... 64


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Proposies

Nosso principal objeto de estudo sero as proposies. E o que so proposies

lgicas?H vrias definies nos livros de lgica e cada banca adota textos diferentes para definir as proposies. Quando estava escrevendo meu livro de RaciocnioLgico (Raciocnio Lgico Essencial Editora Campus) me preocupei em utilizaruma definio que englobasse um acordo entre livros e bancasorganizadoras. Cheguei seguinte definio:

Chama-se proposio toda orao declarativa que pode ser valoradaem verdadeira ou falsa, mas no as duas.

Vamos analisar os termos desta definio.

Sendo orao, deve possuir sujeito e predicado.

Desta forma, expresses do tipo:

Os alunos do Ponto dos Concursos.

No so consideradas proposies (pois no h predicado).

Sendo declarativa, no pode ser exclamativa, interrogativa, imperativaou optativa.

Desta forma, as expresses abaixo no so consideradas proposies.

i) Que belo dia! (exclamativa)ii) Qual o seu nome? (interrogativa)iii) Leia isto atenciosamente. (imperativa indica ordem)iv) Que Deus te abenoe. (optativa exprime desejo).

Para comear, o conjunto de palavras deve ser uma orao declarativa, porexemplo:

O Ponto dos Concursos obteve um grande ndice de aprovao no concursopara AFRFB 2009.

Outro ponto a ser analisado na definio que a orao declarativa deve poderser classificada em V ou F, mas no as duas.

Vejamos alguns exemplos de oraes declarativas que no podem ser

classificadas em V ou F. A frase dentro destas aspas falsa.


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Vamos tentar classificar em verdadeiro ou falso. Se dissermos que esta proposio verdadeira, teremos uma contradio pois ser verdade que afrase falsa, logo a frase falsa. Se dissermos que a proposio falsa,teremos novamente uma contradio. Se assim o fizermos, ento ser falso

que a frase dentro daquelas aspas falsa, portanto, a frase verdadeira.Assim, a proposio no pode ser nem verdadeira nem falsa. O queconclumos? Que esta frase no uma proposio lgica.Observao: Frases contraditrias como esta so comumente denominadas deparadoxos.Um paradoxo famoso o de Eubulides que declarou: Eu sou mentiroso.Ora, o paradoxo de Eubulides no pode ser uma proposio lgica.Se dissermos que a frase de Eubulides verdadeira, ento verdade que ele um mentiroso e, portanto, no pode declarar uma verdade. Contradio!Se dissermos que a frase falsa, ento falso que ele um mentiroso. E seele no um mentiroso, a frase no pode ser falsa (portanto, verdadeira).Novamente uma contradio.Assim, a frase Eu sou mentiroso no uma proposio lgica. Estes exemplos no so proposies lgicas porque no podem ser nemverdadeiros nem falsos.Um importante tipo de sentena que no proposio a chamada sentenaaberta ou funo proposicional .

Exemplo:

No d para julgar esta frase em verdadeiro ou falso, simplesmente porqueno possvel descobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato, .Caso contrrio, se x for diferente de 5, a igualdade acima est errada.

x uma varivel, pode assumir inmeros valores. Quando a sentena possui uma varivel, ns dizemos que ela uma sentenaaberta. Ela tem um termo que varia, o que impede julg-la em verdadeiro ou

falso. Logo, no proposio.

Vejamos outro exemplo de sentena aberta: Ele ganhou o Oscar de melhor ator em 2001.

Ora, no sabemos quem ele. Portanto, no podemos classificar esta fraseem V ou F.Se ele for Russel Crowe, ento a frase verdadeira. Se ele for qualquer outra pessoa que no Russel Crowe, ento a frase falsa.


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Como no sabemos quem ele, no podemos classificar a frase e, portanto,no considerada uma proposio.Em tempo: costume na Lgica apelidar as proposies com letras doalfabeto. Por exemplo:

Leis do Pensamento

Assim como a Filosofia, a Sociologia, a Economia e outras cincias, a Lgica

tambm possui diversas escolas. A Lgica tratada neste curso a chamadaLgica Aristotlica (Lgica Formal, Lgica da Forma) e toda a sua estrutura fundamentada nas seguintes Leis do Pensamento.

1. Princpio da identidade

Se uma proposio qualquer verdadeira, ento ela verdadeira."Cada coisa aquilo que ." ( Gottfried Leibniz )

2. Princpio do terceiro excludo

Toda proposio tem um dos dois valores lgicos: ou verdadeiro ou falso,excluindo-se qualquer outro.

"Quem diz de uma coisa que ou que no ou dir o verdadeiro ou dir ofalso. Mas se existisse um termo mdio entre os dois contraditrios nem do sernem do no ser poder-se-ia dizer que o que no ." ( Aristteles )

3. Princpio de no contradio

Uma proposio no pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa.

"Efetivamente, impossvel a quem quer que seja acreditar que uma mesmacoisa seja e no seja" ( Aristteles )

O princpio da identidade afirma que uma proposio no pode ser mais verdadeira do que outra. No existem patamares de verdade. Na LgicaAristotlica, todas as proposies verdadeiras, assim como todas asproposies falsas, esto em um mesmo nvel.

O princpio do terceiro excludo estabelece que s existem dois valoreslgicos. Assim, por exemplo, a proposio p (Existe vida fora da Terra) s


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pode assumir uma das duas possibilidades, V ou F, excluindo-se um hipotticovalor lgico talvez, no lembro ou pode ser.

O princpio de no contradio decreta que uma proposio no pode ser

simultaneamente V e F. Assim, se uma proposio verdadeira, j temoscerteza de que ela no pode ser falsa, e reciprocamente.

O valor lgico de uma proposio p indicado por V(p). Por exemplo, se aproposio p for falsa, indicamos V(p) = F.

(BB1/2007/Cespe) Na lgica sentencial, denomina-se proposio uma fraseque pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas.Assim, frases como Como est o tempo hoje? e Esta frase falsa no so

proposies porque a primeira pergunta e a segunda no pode ser nem Vnem F. As proposies so representadas simbolicamente por letrasmaisculas do alfabeto A, B, C, etc. Uma proposio da forma A ou B Fse A e B forem F, caso contrrio V; e uma proposio da forma Se A entoB F se A for V e B for F, caso contrrio V.

Considerando as informaes contidas no texto acima, julgue o itemsubsequente.

01. Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies. A frase dentro destas aspas uma mentira. A expresso X + Y positiva.O valor de 734 .Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.O que isto?

Resoluo

A frase dentro destas aspas uma mentira. uma orao declarativa, mas no pode ser classificada em verdadeiro ou

falso. Se tentarmos classific-la como verdadeira, teremos uma contradio.Se classificarmos como falsa, temos uma nova contradio, pois falso dizerque a frase dentro daquelas aspas mentira, e, portanto, ela seria verdadeira.Logo, a frase A frase dentro destas aspas uma mentira no umaproposio lgica.

A expresso X + Y positiva. uma sentena aberta e no pode ser valorada em V ou F, pois noconhecemos os valores de X e Y.


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As frases p: O valor de 734 e q: Pel marcou dez gols para a seleobrasileira so proposies, pois se constituem em oraes declarativas e queassumem apenas um dos dois valores lgicos V ou F.

O que isto? uma frase interrogativa e, portanto, no uma proposio.

O item est errado porque h exatamente duas proposies.

02. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas tm umamesma caracterstica lgica em comum, enquanto uma delas no tem essacaracterstica.

I. Que belo dia!II. Um excelente livro de raciocnio lgico.III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo.V. Escreva uma poesia.

A frase que no possui essa caracterstica comum aa) I.b) II.c) III.d) IV.e) V.

Resoluo

A frase I exclamativa. A frase II no possui predicado, no sendo assim umaorao. A frase III interrogativa e a frase V imperativa. Portanto acaracterstica comum entre as frases I, II, III e V que elas no soproposies. A nica proposio a frase IV, pois uma orao declarativa,que podemos classificar em V ou F, apesar de no sabermos o seu valor lgico.

Letra D

03. (BB2/2007/Cespe) Uma proposio uma afirmao que pode ser julgadacomo verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas. As proposies sousualmente simbolizadas por letras maisculas do alfabeto, como, porexemplo, P, Q, R, etc. Se a conexo de duas proposies feita pelapreposio e, simbolizada usualmente por , ento se obtm a forma P Q,lida como P e Q e av aliada como V se P e Q forem V, caso contrrio, F. Sea conexo for feita pela preposio ou, simbolizada usualmente por , entose obtm a forma P Q, lida como P ou Q e avaliada como F se P e Q forem F,


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caso contrrio, V. A negao de uma proposio simbolizada por P, eavaliada como V, se P for F, e como F, se P for V.

A partir desses conceitos, julgue o prximo item.

H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas:(I) O BB foi criado em 1980.(II) Faa seu trabalho corretamente.(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

ResoluoAs frases (I) e (III) so proposies, pois so oraes declarativas. A frase (II) imperativa e, portanto, no uma proposio. O item est certo .

(SEBRAE 2010/CESPE-UnB) Para os itens seguintes, sero consideradas comoproposies apenas as sentenas declarativas, que mais facilmente so

julgadas como verdadeiras V ou falsas F , deixando de lado assentenas interrogativas, exclamativas, imperativas e outras. As proposiessero representadas por letras maisculas do alfabeto: A, B, C etc.

[...]Sentenas como x + 3 = 5, Ele um poltico, x jogador de futebol sodenominadas sentenas abertas; essas sentenas, como esto, no poderoser julgadas como V ou F, pois os sujeitos, no caso, so variveis. Essasexpresses tornam-se proposies depois de substituda a varivel porelemento determinado, permitindo o julgamento V ou F.

[...]Tendo como referncia as informaes do texto, julgue os itens de 04 a 06.04. Entre as frases apresentadas a seguir, identificadas por letras de A a E,apenas duas so proposies.A: Pedro marceneiro e Francisco, pedreiro.B: Adriana, voc vai para o exterior nessas frias?C: Que jogador fenomenal!D: Todos os presidentes foram homens honrados.E: No deixe de resolver a prova com a devida ateno.

Resoluo

A frase A est OK. uma orao declarativa que pode assumir valores V ou F.A frase B uma frase interrogativa. Portanto, no proposio.A frase C exclamativa. Portanto, no proposio.A frase D est OK. uma orao declarativa que pode assumir valores V ou F.A frase E imperativa. Portanto, no proposio.

Portanto, h apenas duas proposies: A e D.

O item est certo.


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05. As frases Transforme seus boletos de papel em boletos eletrnicos e Ocarro que voc estaciona sem usar as mos so, ambas, proposies abertas.

ResoluoPara que uma frase seja uma sentena aberta, o sujeito deve ser umavarivel.

A primeira frase imperativa. Portanto no proposio.

A segunda frase no tem sentido completo. O que aconteceu com este carro?No se trata de uma proposio lgica, pois estas devem possuir sentidocompleto.

O item est errado.

06. Considere a seguinte sentena a berta: x um nmero real e x 2 > 5.Nesse caso, se x = 2, ento a proposio ser F, mas, se x = 3, ento aproposio ser V.

Resoluo

Vamos substituir os valores dados na sentena aberta.

Fazendo ; 2 um nmero real e uma proposio falsa, pois .

Fazendo ;

um nmero real e uma proposio verdadeira, pois 9 > 5.

O item est certo.

07. (TRT 17 Regio 2009/CESPE-UnB) Proposies so frases que podem ser julgadas como verdadeiras V ou falsas F , mas no como V e Fsimultaneamente.

[...]A partir das informaes do texto, julgue o item a seguir.

A sequncia de frases a seguir contm exatamente duas proposies.- A sede do TRT/ES localiza-se no municpio de Cariacica.- Por que existem juzes substitutos?

- Ele um advogado talentoso.


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Resoluo

A primeira frase uma orao declarativa e que, mesmo que no saibamos,pode ser classificada em V ou F.

A segunda frase interrogativa. No proposio.A terceira frase uma sentena aberta. Ele um termo que varia. Esta fraseno pode ser classificada em V ou F. No proposio.

O item est errado.

08. (ICMS-SP/2006/FCC) Considere as seguintes frases:

I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.II.

5

x y um nmero inteiro.

III. Joo da Silva foi o secretrio da Fazenda do Estado de So Paulo em 2000.

verdade que APENAS:

a) I e II so sentenas abertas.b) I e III so sentenas abertas.c) II e III so sentenas abertas.d) I uma sentena aberta.

e) II uma sentena aberta.Resoluo

A frase I uma sentena aberta, pois Ele pode, nesta questo, estar sereferindo a um homem qualquer. No podemos classific-la em V ou F, poisno sabemos sobre quem estamos falando.

A frase II , sem dvida, uma sentena aberta, pois h duas variveis einfinitos valores que podem tornar a frase verdadeira ou falsa.

J a frase III no uma sentena aberta, pois facilmente podemos verificar osujeito e classific-la em V ou F. Se quiser classificar esta proposio em V ouF, basta fazer uma rpida pesquisa no Google (rss).

Letra A

09. (MRE 2008/CESPE-UnB) Proposies so sentenas que podem ser

julgadas como verdadeiras V , ou falsas F , mas no cabem a elasambos os julgamentos.


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[...]Considerando as informaes acima, julgue o item abaixo.Considere a seguinte lista de sentenas:

I - Qual o nome pelo qual conhecido o Ministrio das Relaes Exteriores?II - O Palcio Itamaraty em Braslia uma bela construo do sculo XIX.III - As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaratypossui so, respectivamente, x e y.IV - O baro do Rio Branco foi um diplomata notvel.Nessa situao, correto afirmar que entre as sentenas acima, apenas umadelas no uma proposio.

Resoluo.A sentena I interrogativa. Perguntas, exclamaes, ordens, desejos,expresses de sentimentos e/ou opinio, tudo isso no pode ser classificadocomo proposio. So todos exemplos de frases que no podem ser julgadosem verdadeiro ou falso, no sendo classificados como proposio.

Na sentena II temos uma expresso de sentimento, de opinio sobre oPalcio do Itamaraty. Algum est dizendo expressando sua opinio de que oPalcio belo. Novamente, no proposio.

Na sentena III, temos duas variveis (x e y).Quando temos variveis, estamos diante de uma sentena aberta, que nopode ser julgada em verdadeiro ou falso.Logo, no uma proposio.

Na sentena IV, temos outra expresso de opinio. Tambm no proposio.

O item est errado.

10. (FINEP 2009/CESPE-UnB) Acerca de proposies, considere as seguintesfrases:

I Os Fundos Setoriais de Cincia e Tecnologia so instrumentos definanciamento de projetos.

II O que o CT-Amaznia?

III Preste ateno ao edital!


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IV Se o projeto for de cooperao universidade-empresa, ento podem serpleiteados recursos do fundo setorial verde-amarelo.

So proposies apenas as frases correspondentes aos itens

a) I e IV.

b) II e III.

c) III e IV.

d) I, II e III.

e) I, II e IV.

Resoluo.A frase II interrogativa, no podendo ser julgada em V ou F.A frase III uma frase imperativa, que tambm no proposio.Logo, so proposies as frases I e IV.

Letra A

11. (TCE-PB/2006/FCC) Sabe-se que sentenas so oraes com sujeito (otermo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre osujeito). Na relao seguinte h expresses e sentenas:

1. Trs mais nove igual a doze.2. Pel brasileiro.3. O jogador de futebol.4. A idade de Maria.5. A metade de um nmero.6. O triplo de 15 maior do que 10.

correto afirmar que, na relao dada, so sentenas apenas os itens denmeros

a) 1,2 e 6.b) 2,3 e 4.c) 3,4 e 5.d) 1,2,5 e 6.

e) 2,3,4 e 5.


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Resoluo

As frases 1,2 e 6 tm sujeito e predicado. So, portanto, sentenas.

As frases 3,4 e 5 no possuem sentido completo. No so sentenas.

Letra A

12. (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentena como qualquer orao que temsujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (oque se declara sobre o sujeito). Na relao que segue h expresses esentenas:1. Tomara que chova!2. Que horas so?3. Trs vezes dois so cinco.

4. Quarenta e dois detentos.5. Policiais so confiveis.6. Exerccios fsicos so saudveis.De acordo com a definio dada, correto afirmar que, dos itens da relaoacima, so sentenas APENAS os de nmeros(A) 1, 3 e 5.(B) 2, 3 e 5.(C) 3, 5 e 6.(D) 4 e 6.(E) 5 e 6.

Resoluo

A FCC conceitua sentena como proposio. A frase 1 exclamativa, a frase 2 interrogativa, a frase 4 no possui predicado e, portanto, no so sentenas.As sentenas (proposies lgicas) so as frases 3, 5 e 6.

Letra C

Modificador

O modificador um operad or lgico que troca o valor lgico das proposies.Se temos em mos uma proposio verdadeira, ento, ao aplicarmos omodificador, teremos uma proposio falsa. Da mesma forma, se temos emmos uma proposio falsa, ento, ao aplicarmos o modificador, teremos umaproposio verdadeira.

Os smbolos que indicam que uma proposio foi modificada so: . Aproposio modificada chamada de negao da proposio original.

Exemplos:


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Est uma proposio falsa. Ao aplicarmos o modificador, teremos umaproposio verdadeira.

Esta frase tambm pode ser lida das seguintes formas:

Quando temos uma proposio simples, devemos modificar o verbo para negara frase. Vejamos outro exemplo:

Esta uma proposio verdadeira. Vamos modificar o verbo e torn-la umaproposio falsa.

Vamos definir formalmente o modificador.

Dada uma proposio p qualquer, uma outra proposio chamada negao de

p pode ser formada escrevendo- se falso que... antes de p ou, se possvel,inserindo a palavra no. Simbolicamente, a negao de p designada por p~ ou p . Para que p~ seja uma proposio, devemos ser capazes de

classific-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular(decretar) o seguinte critrio de classificao: A proposio p~ tem sempreo valor lgico oposto de p , isto , p~ verdadeira quando p falsa, e

p~ falsa quando p verdadeira .

Tabela-verdade 1

A tabela-verdade dispe as relaes entre os valores lgicos das proposies.Tabelas-verdades so especialmente usadas para determinar os valores lgicos

p p~

V F

F V


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de proposies construdas a partir de proposies simples. As tabelas devalores tm longa histria, mas receberam certo destaque desde os trabalhos(independentes) de Ludwig Wittgenstein (1889-1951) e de Emil L. Post (1897-1954). A tabela 1 mostra todas as possibilidades de valores de uma proposioe os correspondentes valores da sua negao.A negao de uma proposio pode ser considerada o resultado de umaoperao do operador negao de uma proposio. O operador negaoconstri uma nova proposio a partir de uma proposio que j existe. Vamosestudar agora operadores lgicos que so usados para formar novasproposies a partir de duas ou mais proposies preexistentes. Essesoperadores lgicos so chamados conectivos .

Proposies simples e compostas

Estudaremos mtodos de produzir novas proposies a partir de proposiessimples. Uma proposio simples quando declara algo sem o uso de

conectivos. Esses mtodos foram discutidos pelo matemtico ingls GeorgeBoole, em 1854, no seu livro As Leis do Pensamento . Diversas declaraesmatemticas so obtidas combinando proposies.

Exemplos:

p : O nmero 2 primo. (V)q : 15 : 3 = 6 (F)r : O retngulo um polgono regular. (F)

A partir de proposies simples dadas podemos construir novas proposiescompostas mediante o emprego de operadores lgicos chamados conectivos,como e (conectivo de conjuno) , ou (conectivo de disjuno), e oscondicionais se... ento, se e somente se . Observe que o modificador

no no um conectivo. No um advrbio de negao. A expresso no no conecta duas proposies.

Exemplos:

p : A Lua um satlite da Terra e Recife a capital de Pernambuco.


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q : Carlos solteiro ou Pedro estudante.

r : Se um quadriltero tem todos os lados congruentes, ento um losango.

s : Um quadriltero um quadrado se e somente se for retngulo e losango.

Obs.: A proposio Guilherme e Moraes so professores uma proposiosimples. O sujeito dessa proposio, porm, composto. A proposio

Guilherme professor e Moraes professor uma proposio composta.

(STF 2008/CESPE-UnB)Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meuconselho.A resposta branda acalma o corao irado.O orgulho e a vaidade so as portas de entrada da runa do homem.Se o filho honesto, ento o pai exemplo de integridade.

Tendo como referncia as quatro frases acima, julgue os itens seguintes.

13. A primeira frase composta por duas proposies lgicas simples unidaspelo conectivo de conjuno.14. A segunda frase uma proposio lgica simples.15. A terceira frase uma proposio lgica composta.16. A quarta frase uma proposio lgica em que aparecem dois conectivos

lgicos.

Resoluo

13. Os verbos ouve e atenta indicam ordem (imperativo). Portanto no soconsideradas proposies lgicas. O item est errado .14. Certo. 15. A proposio simples. O sujeito da orao que composto. O item esterrado.

16. Se..., ento... um conectivo s. O item est errado.

Conjuno

Duas proposies quaisquer podem ser combinadas pela palavra e paraformar uma proposio composta, que chamada de conjuno dasproposies originais. Simbolicamente representamos a conjuno de duasproposies p e q por q p .

Imagine que voc prometeu ao seu filho que, no final de semana:


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Vamos ao Shopping Center e vamos praia.

Vamos separar a frase acima em duas parcelas:

Conectando as proposies e pelo conectivo e, temos a proposio:

Se as duas parcelas componentes so verdadeiras, ento, de fato, o pai levaro filho ao Shopping e praia. Logo, nossa proposio composta verdadeira.

p: Vamos ao Shopping Center. (Verdade)

q: Vamos praia (Verdade)

Teramos ento:

p q

V V V

Neste quadro estamos indicando que se a proposio p (Vamos ao Shopping

Center) for verdadeira e a proposio q (Vamos praia) tambm forverdadeira, ento a proposio P e Q (Vamos ao Shopping Center e vamos praia) tambm ser verdadeira.

Agora vamos imaginar que o pai levar o filho ao Shopping Center, mas nolevar o filho praia.

p: Vamos ao Shopping Center. (Verdade)

q: Vamos praia (Falso)

Agora a proposio composta falsa. Ela afirma que Vamos ao ShoppingCenter e, alm disso , Vamos praia . Afirma-se que as duas parcelasocorrem ao mesmo tempo, o que no est acontecendo (pois a segundaparcela falsa). Portanto p e q falso.

p q

V F F

Analisemos agora a terceira situao: O pai no levar o filho ao ShoppingCenter, mas levar o filho praia.


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p: Vamos ao Shopping Center. (Falso)

q: Vamos praia (Verdade)

Novamente, a afirmao de que Vamos ao Shopping Center e vamos praia falsa. Isso porque uma das parcelas falsa. Portanto:

p q

F V F

E finalmente a ltima situao possvel. O pai nem leva o filho ao ShoppingCenter nem o leva praia.

p: Vamos ao Shopping Center. (Falso)

q: Vamos praia (Falso)

p q

F F F

Unindo todas estas possibilidades em uma nica tabela, temos:

p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Vamos postular um critrio para estabelecer o valor lgico (V ou F) de umaconjuno a partir dos valores lgicos (conhecidos) das proposies p e q:

A conjuno q p verdadeira se p e q so ambas verdadeiras; seao menos uma delas for falsa ento q p falsa.

O e lgico costuma ser apresentado com o smbolo .Deste modo, escrever o mesmo que escrever P e Q.

Exemplo:


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p : Joo gordo e Mrio alto.

Suponha que a proposio Joo gordo seja verdadeira e que Mrio noseja alto . Dessa forma,

A conjuno Joo gordo e Mrio alto falsa, pois a proposio Mrio alto falsa. A composta s seria verdadeira se ambas as proposies Joo gordo e Mrio alto fossem verdadeiras.


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Disjuno Inclusiva

Duas proposies quaisquer podem ser combinadas pela palavra ou para

formar uma proposio composta que chamada de disjuno inclusiva dasproposies originais. Simbolicamente, a disjuno das proposies p e q designada por q p . O smbolo v a inicial da palavra grega vel .

Vamos postular um critrio para decidir o valor lgico (V ou F) de umadisjuno a partir dos valores lgicos (conhecidos) das proposies p e q:

A disjuno inclusiva q p verdadeira se ao menos uma dasproposies p ou q verdadeira; q p falsa se e somente se ambas p e q so falsas.

Exemplo:

p : Vou festa ou no me chamo Fulano.

Considere que Fulano afirmou: Vou festa ou no me chamo Fulano.Fulano foi festa. Portanto, a proposio Vou festa verdadeira.A proposio no me chamo Fulano falsa, pois quem a disse foi Fulano. Temos o seguinte esquema:

Vou festa ou no me chamo Fulano.

V F

A disjuno Vou festa ou no me chamo Fulano s seria falsa se ambas asproposies Vou festa e No me chamo Fulano fossem falsas. Como aproposio Vou festa verdadeira, tem os que a composta verdadeira.

Assim,

p q q p

V V V

V F V

F V V

F F F


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V

Vou festa ou no me chamo Fulano.

V F

O uso do conectivo ou na disjuno inclusiva corresponde a um dos doismodos como a palavra ou usada na Lngua Portuguesa. A disjuno inclusiva verdadeira quando pelo menos uma das duas proposies for verdadeira ouquando ambas forem verdadeiras. A disjuno inclusiva usada, por exemplo,na seguinte proposio:

Hoje sexta-feira ou hoje est chovendo.

Nesse caso, poderamos ter as duas proposies Hoje sexta -feira e Hojeest chovendo verdadeiras. No estamos afirmando que a s duas soverdadeiras, mas que ambas poderiam ser verdadeiras. Por outro lado,estamos usando a disjuno exclusiva quando dizemos:

Ou hoje sexta-feira ou sbado, mas no ambos.

Nesse caso, as duas proposies Hoje sexta -feira e Hoje sbado nopodem ser simultaneamente verdadeiras. Como j observamos, o uso doconectivo ou em uma disjuno corresponde a um dos dois significados usadosna Lngua Portuguesa, denominados inclusivo e exclusivo. A disjuno inclusiva

q p verdadeira quando pelo menos uma delas for verdadeira. Quando o ouexclusivo usado para conectar as proposies p e q , a proposio ou p ouq, mas no ambas obtida. A proposio verdadeira quando p verdadeirae q falsa, ou quando p falsa e q verdadeira, e falsa quando ambas, p eq , so falsas ou ambas so verdadeiras.

O smbolo do ou . um smbolo semelhante ao do e, mas de cabeapara baixo.Alguns alunos se mostram especialistas em construir processos mnemnicos.Um dos processos que aprendemos com esses mestres foi como distinguir ossmbolos e . Basta colocar uma letra O ao lado dos smbolos. Observe:

O / O Em qual das duas situaes voc consegue ler OU? Na palavra da esquerda!Portanto, aquele smbolo o ou. Consequentemente o outro o e. Outro processo mnemnico consiste em colocar um pontinho em cima dosmbolo. Vejamos:


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Em qual das duas situaes voc consegue ver a letra cursiva i? No smboloda direita! Portanto, aquele smbolo o e (mesmo fonema do i).

Disjuno Exclusiva

Duas proposies quaisquer podem ser combinadas pela palavra ou paraformar uma proposio composta que chamada de disjuno exclusiva dasproposies originais. Simbolicamente, a disjuno das proposies p e q designada por p v q .

Vamos postular um critrio para decidir o valor lgico (V ou F) de umadisjuno exclusiva a partir dos valores lgicos (conhecidos) das proposies p

e q:A disjuno exclusiva p v q verdadeira se exatamente uma delas p

ou q for verdadeira, e falsa nos outros casos.

Condicional p

Quando duas proposies so conectadas com a palavra se antes da primeirae a insero da palavra ento entre elas a proposio resultante compostae tambm chamada de implicao . Simbolicamente, q p . Em umaproposio condicional, o componente que se encontra entre o se e o ento chamado de antecedente e o componente que se encontra aps a palavra

ento chamado consequente. Por exemplo, na proposio Se vou praia,ento tomo banho de mar, vou praia o antecedente e tomo banho demar o consequente .

p q p v q

V V F

V F VF V V

F F F


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O condicional q p falso somente quando p verdadeira e q falsa;caso contrrio, q p verdadeiro.

Coloquemos um exemplo para resumi-lo.

Se Guilherme recifense, ento Guilherme pernambucano.

Guilherme recifense Guilherme pernambucano

1 caso verdadeira verdadeira

2 caso verdadeira falsa

3 caso falsa verdadeira

4 caso falsa falsa

Analisemos cada um deles.

1 caso antecedente e consequente verdadeiros. Aqui, se efetivamenteGuilherme for recifense e tambm for pernambucano, no h dvida, aproposio condicional considerada verdadeira.

2 caso antecedente verdadeiro e consequente falso . Nessa situao,temos Guilherme como uma pessoa que nasceu no Recife e no nasceu emPernambuco. A condicional considerada falsa .

3 caso antecedente falso e consequente verdadeiro. Guilherme no nasceuno Recife, mas nasceu em Pernambuco. Isso totalmente permitido, visto queGuilherme poderia ter nascido em Petrolina, por exemplo. A proposiocondicional verdadeira.

4 caso antecedente e consequente falsos. Guilherme no nasceu no Recife

nem em Pernambuco. Situao totalmente aceitvel, visto que Guilhermepoderia ter nascido em qualquer outro lugar do mundo.

Existe apenas uma situao em que o condicional falso: quando aprimeira proposio for verdadeira e a segunda, falsa.


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Bicondicional p q

Conectando duas proposies p , q atravs do conectivo bicondicional, obtemos

uma nova proposio p q , que se l p se e somente se q. Obicondicional equipara-se conjuno de dois condicionais q p eq p .

Por exemplo, a proposio composta Hoje Natal se, e somente se hoje 25de dezembro significa que Se hoje Natal, ento hoje 25 de dezembro e

Se hoje 25 de dezembro, ento hoje Natal.

O bicondicional p q verdadeiro quando p e q so ambos verdadeiros ou

ambos falsos, e falso, quando p e q tm valores lgicos diferentes.No nosso exemplo acima,

Podemos resumir tudo o que foi dito com a seguinte tabela-verdade.

Ou ainda, para facilitar o processo mnemnico, podemos memorizar as regrasque tornam as compostas verdadeiras.

p q q p q p q p p q

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V


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Conjuno q p As duas proposies p, q devem serverdadeiras

Disjuno q p Ao menos uma das proposies p, q deve ser

verdadeira. No pode ocorrer o caso de asduas serem falsas.

Condicional q p No pode acontecer o caso de o antecedenteser verdadeiro e o consequente ser falso. Ouseja, no pode acontecer V(p)=V e V(q)=F.Em uma linguagem informal, dizemos que nopode acontecer VF, nesta ordem.

Bicondicional p q Os valores lgicos das duas proposiesdevem ser iguais. Ou as duas so verdadeiras,ou as duas so falsas.

Nmero de linhas de uma tabela-verdade

O nmero de linhas da tabela-verdade de uma proposio composta com n

proposies simples 2 n.Para uma proposio simples p , o nmero de linhas da tabela-verdade 2,pois, pelas leis do pensamento a proposio p s pode assumir um dos doisvalores lgicos: V ou F.

p VF

Para duas proposies p e q , o nmero de linhas da tabela-verdade 22

= 4.p q V VV FF VF F


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Para 3 proposies p , q e r , o nmero de linhas da tabela-verdade 2 3 = 8.

p q r V V V

V V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Cada linha da tabela (fora a primeira que contm as proposies) representauma valorao.

(TCU/2004/Cespe) Considere que as letras P, Q e R representam proposies,e os smbolos , e so operadores lgicos que constroem novasproposies e significam no, e e ento, respectivamente. Na lgicaproposicional que trata da expresso do raciocnio por meio de proposies queso avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nuncaambos, esses operadores esto definidos, para cada valorao atribuda sletras proposicionais, na tabela abaixo:

P Q P P Q P QV V F V VV F F F FF V V F VF F V F V

Suponha que P representa a proposio Hoje choveu, Q represente aproposio Jos foi praia e R represente a proposio Maria foi ao comrcio.Com base nessas informaes e no texto, julgue os itens a seguir:

17. A sentena Hoje no choveu ento Maria no foi ao comrcio e Jos nofoi praia pode ser corretamente representada por P (R Q)

18. A sentena Hoje choveu e Jos no foi praia pode ser corretamenterepresentada por P Q 19. Se a proposio Hoje no choveu for valorada como F e a proposio

Jos foi praia for valorada como V, ento a sentena representada por PQ falsa.

20. O nmero de valoraes possveis para (Q R) P inferior a 9.

Resoluo


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17. A proposio Hoje no choveu a negao da proposio P e deve serrepresentada por P. A sentena Maria no foi ao comrcio a negao de Re, portanto, representada por R. Analogamente, a proposio Jos no foi

praia representada por Q. Conclumos que a composta Hoje no choveuento Maria no foi ao comrcio e Jos no foi praia representada por P(R Q) e o item est certo .

18. Usando o raciocnio do item 1, temos que o item 05 tambm certo .

19. P: Hoje choveu.P: Hoje no choveu.Q: Jos foi a praia.

O antecedente (P) da condicional P Q foi valorado como F. Sabemos quequando o antecedente de uma condicional falso, a composta condicional verdadeira. Segue-se que o item est errado . Vale a pena lembrar que umacomposta condicional s falsa quando o antecedente verdadeiro e oconsequente falso, em qualquer outro caso, a condicional verdadeira.

20. Vale a pena lembrar que o nmero de linhas de uma tabela-verdade(valoraes) composta de n proposies simples igual a 2 n. Como n=3,temos que o nmero de valoraes possveis para a proposio composta (Q R) P igual a 2 3=8. O item est certo .

21. (Gestor Fazendrio-MG/2005/Esaf) Considere a afirmao P:P: A ou B Onde A e B, por sua vez, so as seguintes afirmaes:A: Carlos dentista. B: Se Enio economista, ento Juca arquiteto. Ora, sabe-se que a afirmao P falsa. Logo:

a) Carlos no dentista; Enio no economista; Juca no arquiteto.b) Carlos no dentista; Enio economista; Juca no arquiteto .c) Carlos no dentista; Enio economista; Juca arquiteto.d) Carlos dentista; Enio no economista; Juca no arquiteto.e) Carlos dentista; Enio economista; Juca no arquiteto.

Resoluo

A proposio P a disjuno das proposies A, B (conectivo ou). O texto nos

informou que P falsa, e sabemos que a disjuno A ou B s falsa quandoambas, A e B so falsas. A proposio A falsa e da conclumos que Carlos


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no dentista. A condicional B falsa. Uma proposio condicional s falsa quando o antecedente verdadeiro e o consequente falso ;donde Enio economista (antecedente verdadeiro) e Juca no arquiteto(consequente falso).

Lembre-se sempre: uma proposio composta pelo cone ctivo se...,ento... s falsa quando ocorre VF. E como o enunciado nos disse que B falsa,ento ocorreu VF.

B: Se Enio economista, ento Juca arquiteto.

O antecedente verdadeiro, logo Enio economista.O consequente falso, logo Juca no arquiteto.

Letra B

22. (TRF-1 Regio/2006/FCC) Se todos os nossos atos tm causa, ento noh atos livres. Se no h atos livres, ento todos os nossos atos tm causa.Logo:

a) alguns atos no tm causa se no h atos livres.b) todos os nossos atos tm causa se e somente se h atos livres.c) todos os nossos atos tm causa se e somente se no h atos livres.d) todos os nossos atos no tm causa se e somente se no h atos livres.e) alguns atos so livres se e somente se todos os nossos atos tm causa.

Resoluo

Vimos que o bicondicional q p (se e somente se) equipara-se conjunode dois condicionais q p e q p .

Letra C

23. (ALESP 2010/FCC) Paloma fez as seguintes declaraes: Sou inteligente e n o trabalho. Se n o tiro f rias, ent o trabalho. Supondo que as duas declaraes sejam verdadeiras, FALSO concluir quePaloma(A) inteligente.(B) tira frias.(C) trabalha.(D) no trabalha e tira frias.(E) trabalha ou inteligente.


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Resoluo

O enunciado j informou que as duas proposies so verdadeiras.

Sou inteligente e n o trabalho.

Esta uma proposio composta pelo conectivo e. Lembra quando uma frasecomposta pelo e verdadeira? Quando as duas proposies componentesso verdadeiras. Desta maneira, conclumos que Sou inteligente verdade e No trabalho tambm verdade.

Se no trabalho verdade, ento trabalho falso.

Letra C

Vamos analisar a segunda proposio.Se n o tiro f rias, ent o trabalho.

J sabemos que a proposio no trabalho verdade. Portanto, a suanegao falsa.

Ora, para que uma proposio composta pelo conectivo se..., ento... sejaverdadeira, no pode acontecer de o antecedente ser verdadeiro e oconsequente ser falso. Em suma, no pode acontecer VF nesta ordem. Como oconsequente falso, o antecedente no pode ser verdadeiro, portanto deve serfalso.

Conclui-se que a proposio no tiro frias falsa. Isto quer dizer que tirofrias verdade.

24. (Petrobras/2007/Cespe) Julgue o item que se segue.

Considere as proposies abaixo:

Se no tiro frias, ento trabalho.

F

Se no tiro frias, ento trabalho.

FF


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p: 4 um nmero par;q: A Petrobras a maior exportadora de caf do Brasil.

Nesse caso, possvel concluir que a proposio p q verdadeira.Resoluo

Temos que a proposio p verdadeira, enquanto que a proposio q falsa.A disjuno p q s falsa se ambas p, q so falsas. Se ao menos uma delasfor verdadeira, a composta tambm ser verdadeira. Portanto, a proposio p

q verdadeira e o item est certo .

25. (SADPE/2008/FGV) Considere as situaes abaixo:

I. Em uma estrada com duas pistas, v-se a placa:

Como voc est dirigindo um automvel, voc conclui que deve trafegar pelapista da esquerda.II. Voc mora no Recife e telefona para sua me em Braslia. Entre outrascoisas, voc diz que Se domingo prximo fizer sol, eu irei praia. No final dodomingo, sua me viu pela televiso que choveu no Recife todo o dia. Ento,ela concluiu que voc no foi praia.III. Imagine o seguinte dilogo entre dois polticos que discutemcalorosamente certo assunto:- A: Aqui na Cmara t cheio de ladro.- B: Ocorre que eu no sou ladro.- A: Voc safado, t me chamando de ladro.

Em cada situao h, no final, uma concluso. Examinando a lgica naargumentao:

a) so verdadeiras as concluses das situaes I e II, apenas.b) so verdadeiras as concluses das situaes II e III, apenas.c) so verdadeiras as concluses das situaes I e III, apenas.d) as trs concluses so verdadeiras.e) as trs concluses so falsas.

Resoluo

p q p qV F V


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I. Caminhes Pista da DireitaF

Vimos anteriormente que se no ocorre p a condicional q p verdadeira

qualquer que seja o valor verdade de q. Ou seja, se o antecedente for falso,nada podemos concluir a respeito do consequente. A condicional s falsaquando o antecedente verdadeiro e o consequente falso (no podeacontecer VF). Portanto, se voc est dirigindo um automvel, poders dirigirna pista da direita ou da esquerda. O item FALSO. Da mesma forma, sehouver um veculo na pista da direita (o consequente verdadeiro), nopodemos concluir que o veculo um caminho.

II. Domingo prximo fizer sol eu irei praia.

FA situao idntica ao item anterior. Se o antecedente falso, nadapodemos concluir sobre o consequente. O item FALSO. Destacamosnovamente que se o consequente for verdadeiro, nada pode afirmarsobre o antecedente, ou seja, se o indivduo foi praia, no podemosconcluir se no domingo fez sol ou no.

III. O terceiro item obviamente FALSO, pois nem o poltico A chamouo poltico B de ladro, nem o poltico B chamou o poltico A de ladro. Opoltico A apenas afirmou que na Cmara t cheio de ladro e o polticoB afirmou que ele prprio no era um dos ladres.

Letra E

(INSS 2008/CESPE-UnB) Proposies so sentenas que podem ser julgadascomo verdadeiras V ou falsas F , mas no como ambas. Se P e Q soproposies, ento a proposio Se P ento Q, denotada por P Q, ter valorlgico F quando P for V e Q for F, e, nos demais casos, ser V. Uma expressoda forma P, a negao da proposio P, ter valores lgicos contrrios aos deP. P Q, lida como P ou Q, ter valor lgico F quando P e Q forem, ambas, F;nos demais casos, ser V.

Considere as proposies simples e compostas apresentadas abaixo,denotadas por A, B e C, que podem ou no estar de acordo com o artigo 5. daConstituio Federal.

A: A prtica do racismo crime afianvel.B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado.


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C: Todo cidado estrangeiro que cometer crime poltico em territrio brasileiroser extraditado.

De acordo com as valoraes V ou F atribudas corretamente s proposies A,

B e C, a partir da Constituio Federal, julgue os itens a seguir.26. Para a simbolizao apresentada acima e seus correspondentes valoreslgicos, a proposio B C V.

27. De acordo com a notao apresentada acima, correto afirmar que aproposio (A) (C) tem valor lgico F.

Resoluo

Vamos relembrar alguns incisos do artigo 5 da Constituio Federal.

XXXII o Estado promover, na forma da lei, a defesa do consumidor;

XLII a prtica do racismo constitui crime inafianvel e imprescritvel, sujeito pena de recluso, nos termos da lei;

LII no ser concedida extradio de estrangeiro por crime poltico ou deopinio.

Deste modo:

V(A)=F

V(B)=V

V(C)=F

Vamos ao primeiro item:

Queremos saber o valor lgico do condicional:

B C

Sabemos que o primeiro componente verdadeiro e o segundo falso. Esta a nica situao em que o condicional falso.

O item est errado.

Segundo item:

Sabemos que A falsa. Logo, a negao de A verdadeira.


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Sabemos que C falsa. Logo, a negao de C verdadeira.

A: verdadeira

C : verdadeira

A proposio solicitada foi: (A) (C).

Temos um ou em que as duas parcelas so verdadeiras, o que faz com quea proposio composta seja verdadeira.

O item est errado.

28. (SEFAZ-MG 2005/ESAF) O reino est sendo atormentado por um terrveldrago. O mago diz ao rei: O drago desaparecer amanh se e somente se

Aladim beijou a princesa ontem. O rei, tentando compreender melhor aspalavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lgico da corte:

1. Se a afirmao do mago falsa e se o drago desaparecer amanh, possoconcluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

2. Se a afirmao do mago verdadeira e se o drago desaparecer amanh,posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

3. Se a afirmao do mago falsa e se Aladim no beijou a princesa ontem,

posso concluir corretamente que o drago desaparecer amanh?O lgico da corte, ento, diz acertadamente que as respostas logicamentecorretas para as trs perguntas so, respectivamente:

a) No, sim, no

b) No, no, sim

c) Sim, sim, sim

d) No, sim, sime) Sim, no, sim

Resoluo

Vamos dar nomes s proposies. A proposio d (de drago) ser:

d : O drago desaparecer amanh.

A proposio a (de Aladim) ser:


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a : Aladim beijou a princesa ontem

A afirmao do mago :

ad

Item 1.

A afirmao do mago falsa e o drago desaparece amanh. Logo:

d : Verdadeiro

ad : Falso

Ou seja, uma das parcelas do bicondicional verdadeira. Para que obicondicional seja falso, a segunda parcela deve ser falsa. Logo, no primeiroitem, Aladim no beijou a princesa ontem.

Item 2.

A afirmao do mago verdadeira e o drago desaparece amanh. Logo:

d : Verdadeiro

ad : Verdadeiro

Ou seja, uma das parcelas do bicondicional verdadeira. Para que obicondicional seja verdadeiro, a segunda parcela deve ser verdadeira. Logo, noprimeiro item, Aladim beijou a princesa ontem.

Item 3.

A afirmao do mago falsa e o Aladim no beijou a princesa ontem. Logo:

a : Falso

ad : Falso

Uma das parcelas do bicondicional falsa. Para que o bicondicional seja falso,a outra parcela deve ser verdadeira. Logo, no terceiro item, o dragodesaparecer amanh.

As respostas s trs perguntas so: no, sim, sim.

Letra D


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Tautologia

Vimos que o nmero de linhas de uma tabela-verdade 2 n (em que n onmero de proposies simples).

Vamos considerar trs proposies quaisquer p, q e r. Assim, qualquer tabela-verdade envolvendo apenas estas trs proposies ter linhas.

Desta forma, vamos construir a tabela-verdade da proposio ( ) (~ ) p r q r .

E o que significa construir a tabela -verdade desta proposio?

Significa dispor em uma tabela todas as possibilidades de valorao para estaproposio. Ou seja, estamos preocupados em responder quando que estaproposio verdadeira e quando que ela falsa.

Para tal tarefa, devemos comear com a seguinte disposio:

p q r V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Neste comeo de tabela, esto dispostas todas as possibilidades devaloraes destas 3 proposies. Observe que h um padro na construodeste incio.

Na primeira coluna, temos 4 V seguidos de 4 F. Na segunda coluna temos 2 V seguidos de 2 F alternadamente. Por fim, na terceira coluna temos V e F que se alternam.

Pois bem toda tabela-verdade envolvendo trs proposies comea assim.

Pois bem, queremos construir a tabela-verdade da proposio ( ) (~ ) p r q r .


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Observe que no aparece a proposio propriamente dia e sim a suanegao. Portanto, o primeiro passo construir a negao de . Lembre-seque se uma proposio verdadeira, a sua negao falsa e reciprocamente.

p q r ~ q V V V FV V F FV F V VV F F VF V V FF V F FF F V VF F F V

Vamos obedecer a ordem de preferncia. Vamos construir as proposiescompostas que esto dentro dos parnteses. Comecemos por . Devemosconectar a proposio com a proposio atravs do conectivo e. Lembre -se que uma proposio composta pelo e s verdadeira quando os doiscomponentes so verdadeiros. Vamos selecionar as linhas em que ambas e

so verdadeiras. Todas as outras possibilidades tornam a composta falsa. p q r ~ q p r V V V F VV V F F FV F V V VV F F V FF V V F FF V F F FF F V V FF F F V F

Vamos agora construir a segunda proposio composta que est dentro deparnteses: .

Lembre-se que uma proposio composta pelo conectivo ou verdadeiraquando pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro. Vamos nos focar

apenas nas linhas em que pelo menos uma das duas ou for verdadeira.

Valores opostos!!


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p q r ~ q p r ~ q r V V V F V VV V F F F FV F V V V VV F F V F VF V V F F VF V F F F FF F V V F VF F F V F V

Observe que tanto na linha 2 quanto na linha 6 as duas proposies so falsas,e portanto, a composta construda falsa nestes casos.

Podemos agora, finalmente construir a composta ( ) (~ ) p r q r . Lembre-seque h apenas um caso em que a composta pelo se..., ento falsa: quandoo primeiro componente for verdadeiro e o segundo componente falso. Vamosolhar apenas as duas ltimas colunas.

Vejamos cada linha de per si:

1 linha: V V (o condicional verdadeiro).

2 linha: F F (o condicional verdadeiro).3 linha: V V (o condicional verdadeiro).4 linha: F V (o condicional verdadeiro).5 linha: F V (o condicional verdadeiro).6 linha: F F (o condicional verdadeiro).7 linha: F V (o condicional verdadeiro).8 linha: F V (o condicional verdadeiro).

Desta forma:

p q r ~ q p r ~ q r ( ) (~ ) p r q r V V V F V V VV V F F F F VV F V V V V VV F F V F V VF V V F F V VF V F F F F VF F V V F V V

F F F V F V V


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Conclumos que a proposio composta ( ) (~ ) p r q r sempre verdadeira,independentemente dos valores atribudos s proposies .

Dizemos ento que a proposio ( ) (~ ) p r q r uma tautologia (ou

proposio logicamente verdadeira). Como diz L. Hegenberg em seuDicionrio de Lgica : Tautologia, no clculo proposicional, uma proposioinvariavelmente verdadeira sejam quais forem os valores-verdade de suasproposies constituintes.

Ento isso: se alguma questo perguntar se determinada proposio umatautologia, devemos construir a sua tabela-verdade e verificar se ela sempreverdadeira.

Contradio

Da mesma maneira, podemos definir contradio (ou proposiologicamente falsa) como uma proposio composta que sempre falsa.Vamos mostrar, por exemplo, que a proposio composta uma contradio.

Ora, como estamos trabalhando com apenas duas proposies simples, entoo nmero de linhas da tabela-verdade ser igual a .

V VV FF VF F

O primeiro passo construir as negaes destas duas proposies simples.

V V F FV F F VF V V FF F V V

Vamos agora construir a proposio composta que est no primeiro par deparnteses: . Foque seu olhar na terceira e na segunda coluna. Quando que uma proposio composta pelo conectivo e verdadeira? Quando os dois


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componentes so verdadeiros. Desta forma, a composta s ser verdadeira naterceira linha.

V V F F FV F F V FF V V F VF F V V F

Vamos construir a proposio composta que est no segundo par deparnteses: . Devemos olhar agora apenas para a primeira e quartacolunas. Quando que uma proposio composta pelo conectivo ou

verdadeira? Quando pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro.Desta maneira, a composta ser verdadeira na 1, 2 e 4 linhas .

V V F F F VV F F V F VF V V F V FF F V V F V

A composta s falsa na terceira linha em que ambas, p e ~q sofalsas.

Finalmente podemos construir a tabela-verdade da proposio.

Vamos olhar apenas para as duas ltimas colunas. Devemos lig-las atravsdo conectivo ...se e somente se.... Quando que uma proposio compostapelo conectivo ...se e somente se... verdadeira? Quando os doiscomponentes possuem o MESMO valor lgico. Acontece que as duas ltimascolunas possuem valores lgicos contrrios. Desta forma, ela nunca poder serverdadeira.

V V F F F V FV F F V F V FF V V F V F FF F V V F V F


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J que a composta sempre falsa, a denominamos decontradio (ou proposio logicamente falsa).

Contingncia

Contingncia uma proposio composta que pode verdadeira e pode serfalsa.

Vamos construir a tabela-verdade da proposio

Lembre-se que o nmero de linhas de uma tabela verdade composta por proposies simples igual a .

Como so 3 proposies simples componentes, ento a tabela ter 2 3 = 8linhas.

Para calcular o valor lgico de , devemos calcular o valor lgico daproposio e, em seguida, conectar a proposio com atravsdo conectivo se..., ento....

V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Este o modelo inicial de uma tabela-verdade composta por 3 proposiessimples. Para listar todas as possibilidades, devemos proceder assim:

Para a primeira proposio, colocamos 4 Vs seguidos de 4 Fs. Para a segunda proposio, colocamos 2 V, 2F, 2V, 2F.Para a terceira proposio colocamos 1V, 1F, 1V, 1F, 1V, 1F, 1V, 1F.

Lembre-se que uma proposio composta pelo conectivo e ( ) s verdadeira quando todas as proposies componentes forem verdadeiras.


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Portanto, a proposio verdadeira nas linhas 1 e 5.

V V V V

V V F FV F V FV F F FF V V VF V F FF F V FF F F F

Vamos agora conectar a proposio com a proposio formando aproposio . Lembre-se que uma proposio do tipo s falsaquando A verdadeira e B falsa. Ou seja, uma condicional s falsa quandoo antecedente verdadeiro e o consequente falso.

O antecedente a proposio (1 coluna) e o consequente a proposio(4 coluna).

V V V V VV V F F FV F V F FV F F F FF V V V VF V F F VF F V F VF F F F V

Observe que a proposio pode ser verdadeira e pode ser falsa, dependendodos valores atribudos s proposies p,q e r.

Vamos treinar um pouco mais os conceitos abordados.

Exemplo: Verifique se a proposio composta ( ) ~ p q q uma contradio.

Resoluo

Basta construir a tabela-verdade que possui 2 2 = 4 linhas. Para determinar ovalor lgico de ( ) ~ p q q devemos antes determinar os valores de p q e de~ q .

Lembre-se que a proposio verdadeira quando pelo menos um dos doiscomponentes for verdadeiro.


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p q p q V V VV F VF V VF F F

Vamos agora construir a negao de q. Seus valores devem ser contrrios aosvalores de q.

p q p q ~ q V V V FV F V VF V V FF F F V

Finalmente vamos construir a composta ( ) ~ p q q . Para isto, vamos conectara terceira coluna com a quarta coluna atravs do conectivo e. Lembre -se quea composta pelo e s verdadeira quando os dois componentes soverdadeiros.

p q p q ~ q ( ) ~ p q q V V V F FV F V V VF V V F FF F F V F

Resposta: A proposio ( ) ~ p q q admite valores V e F e, portanto, no setrata de uma contradio. Trata-se de uma contingncia.

Exemplo: Determine se a proposio ( ) ( ) p q p q uma tautologia,contradio ou uma contingncia.

Resoluo

A tabela-verdade possui 2 = 4 linhas. Vamos comear construindo aproposio composta que est no primeiro par de parnteses: .

Devemos conectar a proposio com a proposio atravs do conectivo e.Lembre-se que uma proposio composta pelo conectivo e s ser verdadeiraquando os dois componentes forem verdadeiros.


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p q p q V V VV F FF V FF F F

Vamos agora construir a proposio composta que est no segundo par deparnteses: . Lembre-se que a composta s verdadeira quando pelomenos um dos dois componentes for verdadeiro. Isto acontece nas trsprimeiras linhas.

p q p q p q V V V VV F F VF V F VF F F F

Finalmente vamos construir a composta ( ) ( ) p q p q . Devemos conectar a

terceira coluna com a quarta coluna atravs do conectivo se...,ento....Lembre-se que uma proposio do tipo s falsa quando A verdadeiroe B falso. Como isto nunca acontece, ento a composta sempre verdadeira.

p q p q p q ( ) ( ) p q p q V V V V VV F F V VF V F V VF F F F V

Por definio, ( ) ( ) p q p q uma tautologia.

29. (TRT-9 Regio/2004/FCC) Considere a seguinte proposio Na eleiopara a prefeitura, o candidato A ser eleito ou no ser eleito. Do ponto devista lgico, a afirmao da proposio caracteriza:

a) um silogismob) uma tautologiac) uma equivalncia


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d) uma contingnciae) uma contradio

Resoluo

Chamemos de p a proposio p : O candidato A ser eleito. A sua negao ~ p: O candidato A no ser eleito. A proposio do enunciado pode ento serrepresentada por ~ p p . Vamos construir sua tabela-verdade que possui 2 1 =2 linhas.

p ~ p ~ p p V F VF V V

Por definio, a proposio ~ p p uma tautologia, pois sempre verdadeira.

Letra B

30. (Fiscal do Trabalho 1998/Esaf) Chama-se tautologia a toda proposio que sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que acompem. Um exemplo de tautologia :

a) se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo.b) se Joo alto, ento Joo alto e Guilherme gordo.c) se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Guilherme gordo.d) se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Joo alto e Guilherme

gordo.e) se Joo alto ou no alto, ento Guilherme gordo.

Resoluo

Chamemos de p : Joo alto e q : Guilherme gordo.

As alternativas podem ser reescritas simbolicamente das seguintes maneiras.

a) ( ) p p q b) ( ) p p q c) ( ) p q q

d) ( ) ( ) p q p q e) ( ~ ) p p q


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Resta-nos agora construir as tabelas-verdades das proposies compostasacima.

p q p q p q ( ) p p q ( ) p p q ( ) p q q ( ) ( ) p q p q

V V V V V V V VV F V F V F F FF V V F V V V FF F F F V V V V

p q ~ p ~ p p ( ~ ) p p q V V F V VV F F V FF V V V VF F V V F

Dessa forma, a alternativa A uma tautologia e as outras alternativas socontingncias.

Letra A

31. (PM-DF/2009/CESPE) A proposio uma tautologia.Resoluo

A tabela-verdade possui 2 = 4 linhas. Vamos comear construindo aproposio composta que est no primeiro par de parnteses: A .

Devemos conectar a proposio A com a proposio atravs do conectivo e. Lembre-se que uma proposio composta pelo co nectivo e s serverdadeira quando os dois componentes forem verdadeiros.

A B A V V VV F FF V FF F F

Vamos agora construir a proposio composta que est no segundo par de

parnteses: . Lembre-se que a composta s verdadeira quando


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pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro. Isto acontece nas trsprimeiras linhas.

A B A

V V V VV F F VF V F VF F F F

Finalmente vamos construir a composta (A B) (A B). Devemos conectar aterceira coluna com a quarta coluna atravs do conectivo se...,ento....Lembre-se que uma proposio do tipo s falsa quando p verdadeiro

e q falso. Como isto nunca acontece, ento a composta sempre verdadeira.A B A V V V V VV F F V VF V F V VF F F F V

O item est certo.

(SEBRAE-BA 2008/CESPE-UnB) A proposio uma declarao que pode ser julgada verdadeira (V) ou falsa (F), mas no cabem ambos os julgamentospara a mesma proposio. usual representar proposies simples por letrasmaisculas do alfabeto, como A, B, C etc. As proposies compostas soconstrudas a partir da conexo de proposies. Uma proposio na forma A vB composta, sendo lida como A ou B e avaliada como F quando A e B soambas F, e, nos demais casos, V; uma proposio na forma A B composta, sendo lida como A e B e avaliada como V quando A e B so ambasV, e, nos demais casos, F. Uma proposio na forma A a negao de A,

sendo, portanto, V quando A F, e F quando A V, e uma proposiocomposta. Parnteses podem ser usados para agrupar as proposies e evitarambigidades. Tendo como referncia as informaes apresentadas acima,

julgue os prximos itens.

32. As proposies na forma (A B) tm exatamente trs valores lgicos V,para todos os possveis valores lgicos de A e B.

Resoluo

Devemos construir a tabela-verdade que possui 2 = 4 linhas. Comeamosconstruindo a proposio A


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Devemos conectar a proposio A com a proposio atravs do conectivo e. Lembre-se que uma proposio composta pelo conectivo e s ser verdadeira quando os dois componentes forem verdadeiros.

A B A V V VV F FF V FF F F

Para construir a proposio (A B), devemos trocar os valores lgicos deA B.

A B A (A B)V V V FV F F VF V F VF F F V

O item est certo.

33. Se A for considerada uma proposio F e B for considerada uma proposioV, ento a proposio F.

Resoluo

Se a proposio B for considerada V, ento a sua negao B ser F. Observeque a proposio A tambm falsa. Considere a proposio B A: umaproposio composta pelo conectivo ou em que os dois componentes sofalsos. Portanto, a proposio B A falsa. O item est certo.

34. Considerando-se que A e B sejam proposies ambas V ou sejam ambas F,ento a proposio ((A) B) ser F.

Resoluo

Vamos construir uma tabela- verdade reduzida, considerando que A e Bsejam proposies ambas V ou sejam ambas F.

A B

V VF F


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Para construir ((A) B), devemos construir a negao de A (que ter valoresopostos aos de A).

A B AV V FF F V

O prximo passo conectar a proposio A com a proposio B atravs doconectivo e. Uma proposio composta pelo conectivo e s verdadeiraquando os dois componentes so verdadeiros. Este fato no acontece.Portanto, a proposio (A) B ser falsa nas duas linhas.

A B A (A) BV V F FF F V F

Finalmente, ((A) B) a negao de (A) B. Como a proposio (A) B falsa nas duas linhas, ento ((A) B) ser V nas duas linhas.

A B A (A) B ((A) B)V V F F VF F V F V

O item est errado.

35. Proposies na forma ((A (B C))) v (A (B C)) tm somente valoreslgicos V, para quaisquer que sejam os valores lgicos de A, B e C.

Resoluo

Quem tem um bom olho resolve rapidamente esta questo. A priori,deveramos construir uma tabela verdade com 8 linhas, j que estoenvolvidas trs proposies simples. Devemos construir a tabela-verdade de((A (B C))) (A (B C)). Observe que chamando a proposio A (B vC) de , esta composta pode ser reescrita assim:

Vamos construir sua tabela-verdade que possui 2 1 = 2 linhas.

V F V

F V V


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Por definio, a proposio uma tautologia, pois sempre verdadeira.

O item est certo.

36. Se A for a proposio Joaquim agricultor , e B, a proposio Marieta empresria , ento a sentena verbal correspondente proposio B v (A)ser Marieta empresria e Joaquim no agricultor.

Resoluo

Como a proposio A Joaquim agricultor, ento a proposio A serJoaquim no agricultor.

Lembre-se que o smbolo v representa o ou, e no o conectivo e!Portanto, o item est errado.

37. A proposio O SEBRAE facilita e orienta o acesso a servios financeiros uma proposio simples.

ResoluoO item est errado. H duas proposies conectadas pelo e.

38. Cons iderando que as proposies Seu chefe lhe passa uma ordem e Voc no aceita a ordem sem question -la sejam V, a proposio Se seuchefe lhe passa uma ordem, ento voc aceita a ordem sem question- la

julgada como F.

Resoluo

Seu chefe lhe passa uma ordem (V) Voc no aceita a ordem sem question -la (V)

Conclumos que:

Voc aceita a ordem sem question -la (F)

Portanto,

Se seu chefe lhe passa uma ordem, ento voc aceita a ordem semquestion- la julgada como F, pois o primeiro componente verdadeiro e osegundo falso. Este o nico caso em que uma composta pelo

se...,ento... falso.

O item est certo.


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39. A proposio simblica (A B) ((A (B))) sempre julgada como V,independentemente de A e B serem V ou F.

Resoluo

No tem como fugir... Devemos construir a tabela-verdade da proposioapresentada.

A tabela possui 2 = 4 linhas. Comeamos com a negao de B que serutilizada.

A B BV V FV F VF V FF F V

Vamos agora construir A B. Devemos conectar a proposio A com aproposio atravs do conectivo e. Lembre -se que uma proposiocomposta pelo conectivo e s ser verdadeira quando os dois componentesforem verdadeiros.

A B B A BV V F VV F V FF V F FF F V F

Vamos construir A (B). Devemos conectar a primeira coluna com a terceiracoluna atravs do se...,ento.... S h um caso em que a composta falsa:quando o primeiro componente for verdadeiro e o segundo for falso. Istoacontece na primeira linha.

A B B A B A (B)V V F V FV F V F VF V F F VF F V F V

Devemos negar a proposio A (B), obtendo ((A (B))). Basta trocar osvalores lgicos da ltima coluna.


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A B B A B A (B) ((A (B)))V V F V F VV F V F V FF V F F V F

F F V F V FFinalmente construmos (A B) ((A (B))) conectando a quarta coluna com

a sexta coluna atravs do conectivo se...,ento.... Observe que no h casosem que a primeira verdadeira e a segunda falsa, portanto, a composta(A B) ((A (B))) sempre verdadeira.

A B B A B A (B) ((A (B))) (A B) ((A (B)))V V F V F V VV F V F V F V

F V F F V F VF F V F V F V

Trata-se de uma tautologia e o item est certo.

40. Se A, B e C so proposies simples, ento existem exatamente duaspossibilidades para que a proposio (A B) C seja avaliada como V.

Resoluo

A tabela-verdade possui 2 = 8 linhas.A B C V V VV V FV F VV F FF V VF V F

F F VF F F

Vamos conectar a proposio A com a proposio B atravs do conectivo e.Devemos nos focar nas linhas em que os dois componentes so verdadeiros (jque neste caso a composta ser verdadeira).


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A B C A B V V V VV V F VV F V FV F F FF V V FF V F FF F V FF F F F

Devemos agora conectar a proposio A B com a proposio C atravs do e.

O nico caso em que as duas so verdadeiras acontece na primeira linha.A B C A B (A B) CV V V V VV V F V FV F V F FV F F F FF V V F FF V F F F

F F V F FF F F F F

O item est errado , pois h apenas uma possibilidade em que (A B) C verdadeira.

(SEBRAE 2010/CESPE-UnB)

41. A proposio [B] {[B] A} uma tautologia.

Resoluo

A tabela-verdade possui 2 = 4 linhas.

A B V VV FF V

F F


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Vamos construir B (negao de B). Seus valores so opostos aos de B.

A B B

V V FV F VF V FF F V

Vamos construir a proposio [B] A. Devemos conectar a terceira colunacom a primeira coluna.

ATENO!!!

Devemos operar o se...,ento... da DIREITA para a ESQUERDA. Comeamoscom B e terminamos com A. Este condicional s falso na ltima linha emque B verdadeiro e A falso.

A B B [B] AV V F VV F V VF V F VF F V F

Finalmente vamos construir [B] {[B] A}. Devemos conectar B (terceiracoluna) com [B] A (quarta coluna) atravs do ou. Em todas as linhas hpelo menos uma verdadeira, portanto a composta [B] {[B] A} sempreverdadeira.

A B B [B] A[B] {[B] A}V V F V VV F V V VF V F V VF F V F V

O item est certo.

42. A proposio [B] [A B] logicamente falsa.

Resoluo

A tabela-verdade possui 2 = 4 linhas.


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A B V VV FF VF F

Vamos construir B (negao de B). Seus valores so opostos aos de B.

A B B V V FV F V

F V FF F V

Vamos construir A B. Este condicional s falso quando A verdadeiro e B falso (2 linha).

A B B A BV V F VV F V F

F V F VF F V VVamos agora conectar as duas ltimas colunas atravs do conectivo e paraformar [B] [A B]. Observe que os dois componentes so verdadeiros naltima linha.

A B B A B[B] [A B]V V F V FV F V F F

F V F V FF F V V V

A proposio dada no logicamente falsa (contradio). Trata-se de umacontingncia. O item est errado.

43. Considere que A, B e C sejam proposies simples, distintas, e que aproposio D seja definida por D = [A B] [A] C. Nesse caso, a tabela-verdade da proposio D tem 16 linhas.

Resoluo


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A proposio D composta por 3 proposies simples. A sua tabela-verdadepossui linhas.

O item est errado.


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Relao das questes comentadas

(BB1/2007/Cespe) Na lgica sentencial, denomina-se proposio uma frase

que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas.Assim, frases como Como est o tempo hoje? e Esta frase falsa no soproposies porque a primeira pergunta e a segunda no pode ser nem Vnem F. As proposies so representadas simbolicamente por letrasmaisculas do alfabeto A, B, C, etc. Uma proposio da forma A ou B Fse A e B forem F, caso contrrio V; e uma proposio da forma Se A entoB F se A for V e B for F, caso contrrio V.

Considerando as informaes contidas no texto acima, julgue o itemsubsequente.

01. Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies. A frase dentro destas aspas uma mentira. A expresso X + Y positiva.O valor de 734 .Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.O que isto?

02. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas tm uma

mesma caracterstica lgica em comum, enquanto uma delas no tem essacaracterstica.I. Que belo dia!II. Um excelente livro de raciocnio lgico.III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo.V. Escreva uma poesia.

A frase que no possui essa caracterstica comum a

a) I.b) II.c) III.d) IV.e) V.

03. (BB2/2007/Cespe) Uma proposio uma afirmao que pode ser julgadacomo verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas. As proposies sousualmente simbolizadas por letras maisculas do alfabeto, como, porexemplo, P, Q, R, etc. Se a conexo de duas proposies feita pelapreposio e, simbolizada usualmente por , ento se obtm a forma P Q,lida como P e Q e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrrio, F. Se


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a conexo for feita pela preposio ou, sim bolizada usualmente por , entose obtm a forma P Q, lida como P ou Q e avaliada como F se P e Q forem F,caso contrrio, V. A negao de uma proposio simbolizada por P, eavaliada como V, se P for F, e como F, se P for V.

A partir desses conceitos, julgue o prximo item.

H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas:(I) O BB foi criado em 1980.(II) Faa seu trabalho corretamente.(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

(SEBRAE 2010/CESPE-UnB) Para os itens seguintes, sero consideradas como

proposies apenas as sentenas declarativas, que mais facilmente so julgadas como verdadeiras V ou falsas F , deixando de lado assentenas interrogativas, exclamativas, imperativas e outras. As proposiessero representadas por letras maisculas do alfabeto: A, B, C etc.

[...]Sentenas como x + 3 = 5, Ele um poltico, x jogador de futebol sodenominadas sentenas abertas; essas sentenas, como esto, no poderoser julgadas como V ou F, pois os sujeitos, no caso, so variveis. Essasexpresses tornam-se proposies depois de substituda a varivel porelemento determinado, permitindo o julgamento V ou F.

[...]Tendo como referncia as informaes do texto, julgue os itens de 04 a 06.

04. Entre as frases apresentadas a seguir, identificadas por letras de A a E,apenas duas so proposies.A: Pedro marceneiro e Francisco, pedreiro.B: Adriana, voc vai para o exterior nessas frias?C: Que jogador fenomenal!D: Todos os presidentes foram homens honrados.E: No deixe de resolver a prova com a devida ateno.

05. As frases Transforme seus boletos de papel em boletos eletrnicos e Ocarro que voc estaciona sem usar as mos so, ambas, proposies abertas.

06. Considere a seguinte sentena aberta: x um nme ro real e x 2 > 5.Nesse caso, se x = 2, ento a proposio ser F, mas, se x = 3, ento aproposio ser V.

07. (TRT 17 Regio 2009/CESPE-UnB) Proposies so frases que podem ser julgadas como verdadeiras V ou falsas F , mas no como V e Fsimultaneamente.

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Aula 03 - Raciocionio Logico