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Aufgaben zur Einfuhrung in die Geometrie und Topologie
Prof. Dr. C.-F. Bodigheimer, M. Sc. Felix BoesSommersemester 2016
Blatt 9 Abgabetermin: Donnerstag, den 23.06.16, 10:00 (vor der Vorlesung)
Aus van Dalen: L.E.J. Brouwer — Topologist, Intuitionist, Philosopher, Seite 417
Aufgabe 49 (Lokal-kompakte Raume)
Es sei X ein Hausdorff-Raum.
1. Ist X kompakt, so ist X lokal kompakt.
2. Ist X lokal-kompakt, so ist X regular.
3. Ist X lokal-kompakt sowie A ⊂ X abgeschlossen und B ⊂ X offen, so ist Y = A ∩B ebenfalls lokal-kompakt(und hausdorffsch).
Aufgabe 50 (Eigentliche Abbildungen)
Gegeben seien stetige Abbildungen f : X → Y und g : Y → Z. Zeigen Sie :
1. Wenn f eigentlich ist, dann ist f−1(C) kompakt in X fur jede kompakte Teilmenge C ⊂ Y .
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2. Sind f und g eigentlich, so ist auch g f eigentlich; die Identitat idX : X → X ist eigentlich.
3. Ist g f eigentlich und f surjektiv, so ist g eigentlich.
4. Ist g f eigentlich und g injektiv, so ist f eigentlich.
5. Ist f eigentlich und B ⊂ Y beliebig, so ist die Einschrankung von f auf f−1(B) eigentlich.
Aufgabe 51 (Die Ein-Punkt-Kompaktifizierung)
Fur einen Raum X konstruieren wir einen neuen Raum X∞, indem wir zu der Menge X einen neuen Punkt ∞hinzufugen; die Topologie ist gegeben durch T ∞ = T ∪ X∞ − K | K ⊆ X kompakt und abgeschlossen . DieInklusion sei ι : X → X∞. Man zeige:
1. X∞ ist kompakt und die Inklusion ι ist eine Einbettung.
2. Es ist X lokal-kompakt und hausdorffsch genau dann, wenn X∞ ein Hausdorff-Raum ist.
3. Ist X nicht kompakt, so ist ι(X) dicht in X∞; ist X kompakt so ist X∞ ∼= Xt∞ eine topologische Summe.
4. Ist f : X → Y eigentlich, so existiert eine Fortsetzung f∞ : X∞ → Y∞. Fur komponierbare, eigentlicheAbbildungen f und g ist (g f)∞ = g∞ f∞ und es gilt (idX)∞ = idX∞ .
5. Es ist (Rn)∞ ∼= Sn. Tip: Nutzen Sie die stereographische Projektion.
Aufgabe 52 (Polynome und rationale Funktionen sind offen)
Es sei f ∈ C[z] ein nicht-konstantes Polynom, welches wir als stetige Funktion f : C → C auffassen wollen. Wirzeigen nun, dass f eine offene Abbildung ist. Dazu gehen wir wie folgt vor.
1. Identifizieren Sie S2 mit C∪∞ vermoge der stereographischen Projektion. Dann ist f : S2 → S2 mit f |C = f
und f(∞) =∞ stetig.
2. Deshalb sind f und f = f |C eigentliche Abbildungen.
3. Die surjektiven, abgeschlossenen Abbildungen f und f sind somit offen.
Betrachten Sie nun f, g ∈ C[z] vom selben, positiven Grad und f/g nicht konstant. Fassen Sie f/g als Funktionf/g : S2 → S2 auf und zeigen Sie, dass f/g offen ist. Tip: Es reicht zu zeigen, dass die Abbildung C × C → S2,(z1, z2) 7→ z1/z2 offen ist.
Aufgabe 53 (Parakompakte Raume sind normal)
Es sei X ein parakompakter Hausdorff-Raum. Zeigen Sie:
1. X ist regular.
2. X ist normal.
Aufgabe 54* (Der große Tychonoff)
Fur diese — zugegebenermaßen aus allen Nahten platzende — Aufgabe konsultiere man Kapitel I.6 in BredonGeometry and Topology. Wir wollen nicht nur den Satz von Tychonoff beweisen, sondern auch Netze als Verallge-meinerungen von Folgen kennenlernen; mit ihnen kann man z.B. die Stetigkeit von Abbildungen testen oder Punkteim Abschluß einer Menge approximieren, auch wenn das erste Abzahlbarkeitsaxiom nicht gilt.
Eine Menge Ω mit einer Ordnungsrelation ≤ heißt gerichtet, wenn fur je zwei ω0, ω1 ∈ Ω ein ω ∈ Ω existiert mitωi ≤ ω. Es sei Ω′ eine weitere gerichtete Menge und ϕ : Ω′ → Ω eine monotone Funktion (d.h. ω0 ≤ ω1 ⇒ ϕ(ω0) ≤
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ϕ(ω1). Dann heißt ϕ kofinal, wenn zu jedem ω ∈ Ω ein ω′ ∈ Ω′ existiert mit ω ≤ ϕ(ω′).
Ein Netz in einem topologischen Raum X ist eine Funktion x : Ω → X von einer gerichteten Menge nach X. Ein
Teilnetz x′ ist eine Komposition x′ = x ϕ : Ω′ϕ→ Ω
x→ X, wobei ϕ eine kofinale ordnungserhaltende Funktion voneiner weiteren gerichteten Menge Ω′ nach Ω ist. Man beachte, dass ϕ keine Inklusion und auch nicht injektiv zusein braucht.
Man sagt, x sei oft in M ⊂ X, falls es zu jedem ω ∈ Ω ein ω′ ∈ Ω gibt mit ω ≤ ω′ und x(ω′) ∈M . Man sagt, x seischließlich in M ⊂ X, falls es ein ω′ ∈ Ω gibt mit x(ω) ∈M fur alle ω ≥ ω′. Man sagt, x konvergiere gegen a ∈ X,falls x schließlich in jeder Umgebung von a ist. Ferner heiße ein Netz entschieden, wenn fur jede Teilmenge M ⊂ Xgilt: entweder ist x schließlich in M oder schließlich in X \M .
Nun zeige man die folgenden Satze:
Satz 1 Sei A ⊂ X, b ∈ X. Dann gilt b ∈ A genau dann, wenn es ein Netz in A gibt, das (als Netz in X betrachtet)gegen b konvergiert.
Satz 2 Sei f : X → Y eine Funktion und a ∈ X. Dann ist f genau dann stetig an der Stelle a, wenn fur jedes Netzin X, das gegen a konvergiert, das Bildnetz f x gegen f(a) konvergiert.
Satz 3 Ein Netz ist genau dann oft in jeder Umgebung von a ∈ X, wenn es ein Teilnetz x′ gibt, das gegen akonvergiert.
Satz 4 Jedes Netz besitzt ein entschiedenes Teilnetz.
Satz 5 Fur einen Raum X sind aquivalent:
• X ist kompakt.
• Jedes entschiedene Netz konvergiert.
• Jedes Netz hat ein konvergentes Teilnetz.
Satz von Tychonoff Ein beliebiges Produkt∏
i∈I Xi ist genau dann kompakt, wenn alle Xi kompakt sind.
Aus Mumford, Series, Wright: Indra’s Pearls, Seite 69.
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