Embed Size (px)
Citation preview
UPPSALA UNIVERSITET 2000-09-21 Institutionen för informations- vetenskap – enheten för statistik Statistik D D-uppsats, 10 poäng Arkivversion Politices Magister-programmet HT 1999
Att testa normalitet och heteroskedasticitet i
en linjär regressionsmodell – En empirisk jämförelse mellan normalitets-, heteroskedasticitets- och
kombinationstest
Författare: Andreas Karlsson1 Handledare: Anders Ågren2
1 E-post: [email protected] 2 E-post: [email protected]
SAMMANFATTNING
Denna uppsats behandlar frågan om normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstests
användbarhet i att testa nollhypotesen om samtidig normalitet och likhet i varians.
Kombinationstesten utgörs här av summan av ett χ2-fördelat normalitetstest och ett χ2-fördelat
heteroskedasticitetstest.
Undersökningen handlar dels om testens styrkenivåer under olika former av avvikelser
från nollhypotesen, varvid intresset särskilt är inriktat på hur kombinationstesten klarar sig.
Men även frågan om normalitets- och heteroskedasticitetstestens förmåga att hålla sina
signifikansnivåer under nollhypoteserna om normalitet respektive lika varians när
störningstermerna har olika varians respektive ej är normalfördelade tas upp. Undersökningen
genomförs med hjälp av omfattande Monte Carlo-simuleringar.
Resultaten pekar på att kombinationstesten klarar sig väl i förhållande till normalitets-
respektive heteroskedasticitetstesten när det gäller styrkenivåer, förutom då störningstermerna
är symmetriska, platykurtiska och med lika varians. De visar också att ingen av normalitets-
eller heteroskedasticitetstesten lyckas hålla sig acceptabelt nära sina nominella
signifikansnivåer.
Innehåll
1 Inledning............................................................................................................................1
1.1 Syfte.................................................................................................................................3
1.2 Avgränsningar, metod och material ................................................................................4
2 Teoretisk bakgrund ............................................................................................................4
2.1 Normalfördelningen och avvikelser från denna..............................................................5
2.2 Heteroskedasticitet ..........................................................................................................7
2.3 Normalfördelningstest.....................................................................................................8
2.3.1 Test baserade på skevhet och kurtosis eller baserade på moment .....................................9 Jarque-Beras LMN-test ........................................................................................................................... 11 Urzúas ALMN-test ................................................................................................................................. 11 D’Agostino-Pearsons Z2-test .................................................................................................................. 12 Fishers kumulanttest (K-testet) ............................................................................................................... 13
2.3.2 Test baserade på den empiriska fördelningsfunktionen (EDF-test) .................................15 Anderson-Darlings, Cramér-von Mises och Kolmogorov-Smirnovs EDF-test ......................................... 15
2.3.3 Regressions- eller korrelationsbaserade test .....................................................................16 Shapiro-Wilks W-test............................................................................................................................. 16
Weisberg-Binghams W~ ′ -test ................................................................................................................ 17
Rahman-Govindarajulus W~
-test ............................................................................................................ 18 de Wet-Venters r-test ............................................................................................................................. 19 Fillibentestet (rF-testet)........................................................................................................................... 19
2.4 Heteroskedasticitetstest..................................................................................................20
2.4.1 t-fördelade heteroskedasticitetstest....................................................................................21 Parks P-test samt Glejsers G1- och G2-test .............................................................................................. 21 Spearmans rangkorrelationstest (rS-testet)............................................................................................... 22
2.4.2 F-fördelade heteroskedasticitetstest ..................................................................................22 Goldfeld-Quandts GQ-test...................................................................................................................... 22
2.4.3 χχχχ2-fördelade heteroskedasticitetstest .................................................................................23 Breusch-Pagan-Godfreys LMH-test......................................................................................................... 23 Verbylas ALMH-test .............................................................................................................................. 24 Whites WH-test ...................................................................................................................................... 25
2.5 Kombinationstest för både normalitet och homoskedasticitet........................................26
3 Design av Monte Carlo-studien........................................................................................27
4 Simuleringsresultat I: Hypotestestens styrka....................................................................29
4.1 Formler och notation för aggregering av datamaterialet ..............................................30
4.1.1 Aggregering över enstaka n-värden ..................................................................................31
4.1.2 Aggregering över flera n-värden .......................................................................................33
4.1.3 Mätning av sambandet mellan kombinationstestens två delar.........................................35
4.1.4 Allmänt om analysen av simuleringsresultaten.................................................................35
4.2 Resultat för homoskedastiska ej normalfördelade störningstermer...............................37
4.2.1 Symmetriska fördelningar med ββββ2<3.................................................................................37
4.2.2 Symmetriska fördelningar med ββββ2>3.................................................................................41
4.2.3 Ickesymmetriska fördelningar ..........................................................................................44
4.2.4 Resultat aggregerat över samtliga ickenormala fördelningar ..........................................46 Sambandet mellan kombinationstestens två delar.................................................................................... 50
4.3 Resultat för normalfördelade heteroskedastiska störningstermer .................................51
4.3.1 Heteroskedasticitet som en funktion av X-värdena ..........................................................52
4.3.2 Heteroskedasticitet på grund av närvaron av ett extremvärde ........................................55
4.3.4 Resultat aggregerat över samtliga heteroskedasticitetsvarianter.....................................58 Sambandet mellan kombinationstestens två delar.................................................................................... 61
4.4 Resultat för heteroskedastiska ej normalfördelade störningstermer..............................62
4.4.1 Symmetriska ickenormala fördelningar med ββββ2<3 och heteroskedasticitet som en funktion av X-värdena ...............................................................................................................62
4.4.2 Symmetriska ickenormala fördelningar med ββββ2>3 och heteroskedasticitet som en funktion av X-värdena ...............................................................................................................66
4.4.3 Symmetriska ickenormala fördelningar med ββββ2<3 och heteroskedasticitet på grund av närvaron av ett extremvärde......................................................................................................68
4.4.4 Symmetriska ickenormala fördelningar med ββββ2>3 och heteroskedasticitet på grund av närvaron av ett extremvärde......................................................................................................71
4.4.5 Resultat aggregerat över samtliga varianter av samtidig ickenormalitet och heteroskedasticitet ......................................................................................................................74
Sambandet mellan kombinationstestens två delar.................................................................................... 75
4.5 Övergripande analys av samtliga simuleringsresultat ...................................................78
4.5.1 Resultat aggregerat över samtliga simuleringar ...............................................................78
4.5.2 Jämförelse av resultaten från avsnitt 4.2-4.4....................................................................81 Jämförelse av sambandet mellan kombinationstestens två delar............................................................... 82
5 Simuleringsresultat II: Hypotestestens robusthet.............................................................83
5.1 Faktiska signifikansnivåer för normalitetstesten ..........................................................84
5.2 Faktiska signifikansnivåer för heteroskedasticitetstesten..............................................85 Jämförelse med resultaten från tidigare undersökningar .......................................................................... 86
6 Avslutande diskussion ......................................................................................................87
Bilagor ................................................................................................................................89
Bilaga 1: Fördelningsfunktioner ........................................................................................89 Beta(p,q)................................................................................................................................................89 Gamma(α,β) .......................................................................................................................................... 90 Gumbel(ξ,θ) .......................................................................................................................................... 90 HalvNormal(θ,λ) ................................................................................................................................... 91 Laplace(θ,λ) .......................................................................................................................................... 91 Logistisk(α,β)........................................................................................................................................ 92 LogLogistisk(a,b,c) ................................................................................................................................ 92 Normal(µ,σ) .......................................................................................................................................... 93 Pareto(k,a) ............................................................................................................................................. 93 Student’s t (ν) ........................................................................................................................................ 94 Triangular(a,b,c) .................................................................................................................................... 94 Tukey(λ)................................................................................................................................................ 95 Uniform(θ1,θ2) ....................................................................................................................................... 95 Weibull (c,α) ......................................................................................................................................... 95
Bilaga 2: Rådata .................................................................................................................96
Bilaga 3: Minitabmakron..................................................................................................138
B3.1 Huvudmakro ....................................................................................................................138
B3.2 Makro för ickenormala fördelningar ..............................................................................140
B3.3 Makro för framtagande av Cαααα .........................................................................................144
B3.4 Makro för analys av simuleringar med ursprungliga X-värden.....................................144
B3.5 Makro för analys av X-värden med ett extremvärde......................................................147
B3.6 Makro för beräkning av sambandet mellan θθθθNH och θθθθN samt θθθθH ....................................150
Referenser .........................................................................................................................151
TECKENFÖRKLARING
α = ett tests signifikansnivå, d.v.s. sannolikheten att en sann nollhypotes förkastas
1-β = ett tests styrka (”power”), d.v.s. sannolikheten att förkasta en falsk nollhypotes
α& = ett tests faktiska signifikansnivå
θ = en teststatistika
θobs = det observerade värdet för en teststatistika
τ = en viss X- och iu -kombination
τΩ = en mängd av τ-kombinationer
T = det totala antalet element i mängden τΩ
τδ = den observerade styrkenivån 1-β på en teststatistika för en viss τ-kombination
nδ = den observerade styrkenivån för ett visst n-värde för en teststatistika
nδ = genomsnittlig observerad styrkenivå för ett visst n-värde och en viss τ-kombination
nσ = den standardiserade standardavvikelsen för ett visst n-värde och en viss τ-kombination
λn = den lägsta relativa styrkenivån för ett visst n-värde och en viss τ-kombination
nδ = genomsnittet av alla nδ -värden upp till och med n
nσ = genomsnittet av alla nσ -värden upp till och med n
λn = genomsnittet av alla λn-värden upp till och med n
Λ50 = det lägsta relativa styrkenivån för 10≤n≤50
Λ250 = det lägsta relativa styrkenivån för 100≤n≤250
θΩ = mängden av de 32 olika τδ -värdena för ett visst τ
nδΩ = mängden av de 32 nδ -värden som har beräknats över ett visst τΩ
RR = en teststatistikas förkastelseregion (”Rejection Region”)
n = antalet observationer
N = antalet replikationer i en simulering
Cα = det kritiska värdet (signifikanspunkten) för en viss signifikansnivå α
αC = skattning av Cα-värdet, beräknat från simuleringar under alternativet NH
θN = ett normalfördelningstest
θH = ett test för lika varians (homoskedasticitet)
θHN = ett kombinationstest för både normalfördelning och lika varians
NH = störningstermerna är normalfördelade med lika varians
HN = störningstermerna är ej normalfördelade, men har lika varians
HN = störningstermerna är normalfördelade men heteroskedastiska
HN = störningstermerna är heteroskedastiska samt ej normalfördelade
)i(m = värdet på den i:te ordningsstatistikan
)i(m = värdet på den i:te ordningsstatistikan för de simulerade värdena för en viss
teststatistika
kµ = det k:te centrala momentet
km = stickprovsestimatorn för det k:te centrala momentet kµ
rκ = den r:e kumulanten
rk = stickprovsestimatorn för den r:e kumulanten rκ
φ(•) = täthetsfunktionen (”probability density function”) för den standardiserade
normalfördelningen
Φ(•) = den kumulativa fördelningsfunktionen för den standardiserade normalfördelningen
Φ-1(•) = den inversa kumulativa fördelningsfunktionen för den standardiserade
normalfördelningen
… = ”least integer function”
… = ”greatest integer function”
1
1 INLEDNING
arametriska statistiska metoder bygger på att det datamaterial som bearbetas uppfyller
vissa fördelningsantaganden. Det är därför av stor vikt att vid användande av
parametriska metoder testa om fördelningsantagandena verkligen är uppfyllda. Exempelvis
baseras den klassiska linjära regressionsmodellen, som ges av
ikiki22i110i uXXXY +β++β+β+β= L , (1.1)
bl.a. på antagandet att störningstermerna iu är normalfördelade, seriellt oberoende och har
lika varians. Om dessa förutsättningar inte är uppfyllda påverkas såväl parameterskattningar
som inferensresultat, vilket kan medföra allvarliga konsekvenser.
Vid regressionsanalys är olika varians (heteroskedasticitet) huvudsakligen ett problem
som uppstår vid användande av tvärsnittsdata, medan seriellt beroende (autokorrelation)
främst uppträder i tidsseriedata.1 Vi kan därför urskilja främst två olika tänkbara scenarier för
när fördelningsantagandena för en regressionsanalys inte är uppfyllda:
i. Störningstermerna är seriellt oberoende, men heteroskedastiska och/eller ej
normalfördelade
ii. Störningstermerna är homoskedastiska, men autokorrelerade och/eller ej
normalfördelade.
Låt oss nu anta att vi har ett dataset med tvärsnittsdata, och vill genomföra en
regressionsanalys av dessa. I detta läge är vi intresserade av scenario (i), och vill nu testa om
störningstermerna iu från vårt datamaterial verkligen är homoskedastiska och
normalfördelade. Vår nollhypotes är sålunda
),(N~u:H 2i0 σµ , (1.2)
vilket vi kallar för en dubbelriktad nollhypotes, eftersom den samtidigt gäller både en
normalfördelningshypotes och en homoskedasticitetshypotes.
Det finns fyra möjliga alternativ för hur störningstermerna iu stämmer överens med
nollhypotesen (1.2). Om vi låter N och H beteckna att normalfördelnings- respektive
homoskedasticitetsantagandet är uppfyllt, och N respektive H beteckna att motsvarande
antagande inte är uppfyllt, så ges dessa fyra alternativ av:2
1 Gujarati, D. N., Basic Econometrics, 3rd ed., ss. 405 och 436 2 Dessa beteckningar har vi lånat från Bera, A. K. – Jarque, C. M., ”Model Specification Tests – A Simultaneous Approach”, Journal of Econometrics 20 (1982), ss. 59-82.
P
2
i. NH – nollhypotesen är sann, d.v.s. störningstermerna är både normalfördelade och
homoskedastiska
ii. HN – nollhypotesen är falsk p.g.a. att störningstermerna ej är normalfördelade
iii. HN – nollhypotesen är falsk p.g.a. att störningstermerna är heteroskedastiska
iv. HN – nollhypotesen är falsk, eftersom störningstermerna varken är normalfördelade
eller homoskedastiska.
När vi nu vill testa nollhypotesen (1.2) finns det några olika tillvägagångssätt som kan
användas. Ett alternativ skulle vara att använda sig av enkelriktade test, d.v.s. test som är
utvecklade för att enbart testa den ena av nollhypotesens två delar – antingen
normalfördelningshypotesen eller homoskedasticitetshypotesen – och sålunda testa
nollhypotesens två delar var för sig. Eftersom nollhypotesen (1.2) är dubbelriktad, och
därmed kräver att normalfördelnings- och homoskedasticitetshypoteserna är uppfyllda
samtidigt, räcker det ju med att en av nollhypotesens två delar skall förkastas för att vi skall
kunna förkasta hela nollhypotesen (1.2).
Det kan dock uppstå vissa problem vid användandet av enkelriktade test, eftersom
flertalet normalitetstest är härledda under antagandet att störningstermerna iu har lika varians,
medan många heteroskedasticitetstest bygger på antagandet att störningstermerna är
normalfördelade.3 Frågan är då hur användbara testen ändå är vid de olika alternativa
avvikelserna från NH ovan – HN , HN och HN . För normalitetstesten är här den
enkelriktade nollhypotesen om normalfördelade störningstermer sann under alternativet HN
och falsk under alternativen HN och HN , medan heteroskedasticitetstestens enkelriktade
nollhypotes om homoskedastiska störningstermer på motsvarande sätt är sann under
alternativet HN och falsk under alternativen HN och HN . Frågan om testens användbarhet
handlar sålunda först och främst om hur effektiva de är i att förkasta de falska enkelriktade
nollhypoteserna om normalfördelning respektive lika varians, och om hur robusta de är, d.v.s.
hur väl de klarar av att hålla sin signifikansnivå α, sannolikheten att förkasta en sann
enkelriktad nollhypotes om normalfördelning respektive lika varians, under de olika
alternativen HN , HN och HN .
En alternativ metod för att testa nollhypotesen (1.2) är att använda sig av dubbelriktade
test, d.v.s. test som är avsedda att reagera på alla de olika alternativa avvikelserna från
3
nollhypotesen (1.2), vare sig dessa beror på icke-normalitet, heteroskedasticitet eller både och.
Detta är en på flera sätt attraktivare metod än att använda två olika enkelriktade test. Eftersom
man använder en enda teststatistika istället för två blir testet enklare att använda, och man
slipper tänka hur robust det är. Men frågan är då hur pass effektiva dessa kombinationstest är
när det gäller att förkasta nollhypotesen (1.2) när denna är falsk, jämfört med de enkelriktade
normalitets- och heteroskedasticitetstesten. Hur stora är skillnaderna under de olika
alternativen HN , HN och HN , och vad medför dessa skillnader för konsekvenser?
Tillgången på tidigare resultat när det gäller frågan om användandet av enkelriktade och
dubbelriktade test under olika avvikelser från NH är tämligen begränsad.4 Det är främst en
artikel av A. K. Bera och C. M. Jarque5 som behandlar detta. Denna tar dock huvudsakligen
upp teoretiska aspekter på de dubbelriktade testens uppbyggnad. Vi kommer att anknyta till
detta i samband med en teoretisk genomgång av de dubbelriktade testen senare i uppsatsen. I
artikeln redovisas också vissa simuleringsresultat för både enkelriktade och dubbelriktade test
under olika avvikelser från NH, men dessa är så knapphändiga att det är svårt att dra några
slutsatser från dem. När det sedan gäller de enkelriktade testens robusthet har vi inte funnit
några resultat för normalitetstestens robusthet. Däremot finns det några undersökningar som
behandlar robustheten hos heteroskedasticitetstesten. Resultaten från ett par av dessa
undersökningar kommer att tas upp till diskussion i uppsatsen.
1.1 Syfte
Syftet med denna uppsats är att jämföra kombinationstest för både normalitet och
heteroskedasticitet med renodlade normalitets- respektive heteroskedasticitetstest.
Huvudsyftet är därvid att jämföra testen med avseende på deras styrkenivå 1-β (sannolikheten
att förkasta en falsk nollhypotes) vid test av nollhypotesen (1.2) att störningstermerna iu
samtidigt är såväl normalfördelade som homoskedastiska. Ett delsyfte är sedan att undersöka
hur robusta de renodlade normalitets- respektive heteroskedasticitetstesten är. Här är syftet att
3 Se t.ex. Bera, A. K. – Jarque, C. M., op. cit., s. 59f och McGuirk, A. M. – Driscoll, P. – Alwang, J., ”Misspecification Testing: A Comprehensive Approach”, American Journal of Agricultural Economics 75 (November 1993), s. 1044. 4 Däremot finns det en del material om användandet av enkelriktade normalitets- respektive heteroskedasticitetstest under de enkelriktade nollhypoteserna om normalfördelning respektive homoskedasticitet. För normalitetstesten hänför sig dock huvuddelan av detta material till studier som gäller observationsdata. Vi kommer vid några tillfällen att kommentera kort om hur slutsatserna från dessa undersökningar stämmer överens eller inte stämmer överens med resultaten från denna uppsats. 5 Bera, A. K. – Jarque, C. M., op. cit., ss. 59-82.
4
jämföra testen med avseende på signifikansnivån α (sannolikheten att förkasta en sann
nollhypotes) när antagandet om homoskedastiska respektive normalfördelade störningstermer
ej är uppfyllda.
1.2 Avgränsningar, metod och material
Vi skall i denna undersökning djupgående undersöka och jämföra ett flertal olika test. Då
antalet tillgängliga test är stort måste vi dock avgränsa oss till att endast titta på en del av
dessa. Urvalet av test som skall användas måste med nödvändighet bli subjektivt. Men som
kriterier för urvalet har vi att testen skall vara välkända, visat sig ha bra styrka eller vara lätta
att använda och beräkna. En närmare beskrivning av de test som har valts ut – sammanlagt 32
stycken – görs i kapitel 2.
När det sedan gäller vad för slags regressionsmodell som skall användas har vi för att
underlätta projektets genomförbarhet valt att enbart använda oss av den enkla linjära
regressionsmodellen med en beroende och en oberoende variabel, vilken ges av formeln
ii10i uXY +β+β= , (1.2.1)
där iu är störningstermerna, vilka vi antar är seriellt oberoende.
Vidare måste vi också begränsa oss när det gäller antalet observationer för modell
(1.2.1), vilka vi betecknar med n. För att ändå kunna täcka in både små och stora n-värden har
vi valt att använda oss av n=10, 20, 30, 40, 50, 100 och 250.
Att analytiskt beräkna ett hypotestests styrka eller robusthet när antalet observationer är
ändligt är generellt sett en omöjlighet. Detta medför att vi istället måste lita till Monte Carlo-
simuleringar för att kunna genomföra undersökningarna i denna uppsats. En beskrivning av
hur dessa genomförs ges i kapitel 3. Som signifikansnivå för testens styrka och robusthet
kommer vi endast att använda oss av α=0,05. Vad gäller heteroskedasticitetstests robusthet
mot ickenormalitet finns det även en del skrivet sedan tidigare, varför vi vad gäller detta även
kommer att gör en kortfattad presentation av resultaten från dessa tidigare undersökningar.
2 TEORETISK BAKGRUND
vsikten med detta kapitel är att beskriva de olika test som vi kommer att använda i vår
undersökning. Vi visar hur testen är uppbyggda, vad som motiverar deras användande
samt hur de olika testen hänger samman. För att vi skall kunna förstå detta är det dock
A
5
nödvändigt att först kortfattat beskriva normalfördelningen och tänkbara avvikelser från
denna, samt heteroskedasticitetens egenskaper. Vi behandlar därför detta i de två första
avsnitten, (2.1) och (2.2).
Först skall vi dock nämna några ord om den notation som kommer att användas. Låt θ
beteckna en godtycklig teststatistika och θobs det observerade värdet för denna. Till varje
signifikansnivå α för ett test hör ett visst kritiskt värde (en signifikanspunkt). Vi skall i denna
uppsats beteckna detta värde med Cα. Låt sedan en teststatistikas förkastelseregion betecknas
med RR. Förkastelseregionerna för de test som används i denna uppsats kan då skrivas som
RR=θobs<Cα respektive RR=θobs>Cα. Vidare kommer vi att låta θN, θH och θNH beteckna
godtyckliga normalitetstest, heteroskedasticitetstest respektive kombinationstest.
2.1 Normalfördelningen och avvikelser från denna
Normalfördelningen, också kallad den gaussianska fördelningen, har varit känd åtminstone
sedan början av 1700-talet.6 En population, eller dess slumpvariabel X, sägs vara
normalfördelad om dess täthetsfunktion ges av
σµ−−
πσ=
2x
2
1exp
2
1)x(f , -∞<x<∞; -∞<µ<∞; σ>0. (2.1.1)
där µ och σ är dess medelvärde respektive standardavvikelse. En grundläggande metod för att
beskriva formen på en fördelning har historiskt sett varit att titta på dess skevhet och kurtosis.
Skevheten är ett mått på en populations symmetri, varvid populationen kan vara symmetrisk,
skev åt vänster eller skev åt höger.7 Medan definitionen av skevheten således är klar och
entydig kan motsvarande inte alls sägas om kurtosisen. Vad kurtosis egentligen är för något
råder det ingen enighet om. Särskilt vad gäller fördelningar som inte är unimodala och
symmetriska är det svårt att ge en tolkning av kurtosismåttet. En vag definition av kurtosis är
dock att det är ett mått på en fördelnings form som anger den läges- och skaloberoende
förflyttningen av sannolikhetsmassa från en fördelnings flanker (det område som ligger
6 Mudholkar, G. S. – Hutson, A. D., ”The epsilon-skew-normal distribution for analyzing near-normal data”, Journal of Statistical Planning and Inference 83 (2000), s. 291. 7 D’Agostino, R. B. – Belanger, A. – D’Agostino Jr., R. B., ”A Suggestion for Using Powerful and Informative Tests of Normality”, The American Statistician, November 1990, Vol. 44, No. 4, s. 316f och Mardia, K.V., ”Tests of Univariate and Multivariate Normality” i Krishnaiah, P. R., (ed.), Handbook of Statistics, Volume 1 – Analysis of Variance, s. 280.
6
mellan fördelningens center och dess svansar) till dess center och svansar, vilket sedan kan
formaliseras på olika sätt.8
Det finns ett flertal olika formler för att beräkna en fördelnings skevhet eller kurtosis,
vilka alla har sina olika för- och nackdelar.9 Traditionellt sett har man utgått från en
sannolikhetsfördelnings centrala moment kµ , där det k:te centrala momentet ges av
])X[(E kk µ−=µ , (2.1.2)
och sedan använt de tredje och fjärde standardiserade centrala momenten för att beräkna
skevheten respektive kurtosisen. För en godtycklig population betecknas10 dessa med 1β
respektive 2β , och ges för en slumpvariabel X av
33
2/32
3
1 ]))X[(E(
])X[(E
σµ
=µ−
µ−=β , (2.1.3)
44
22
4
2 ]))X[(E(
])X[(E
σµ
=µ−µ−=β . (2.1.4)
Påpekas bör också att trots rottecknet kan 1β ta negativa värden.11
Vi vet att för en normalfördelad population är 01 =β och 32 =β .12 Ickenormaliteten
hos en population kan därför beskrivas genom att titta på hur dess skevhet och kurtosis
avviker från normalfördelningens. För symmetriska fördelningar, såsom exempelvis
normalfördelningen, är 01 =β . Om en fördelning har 01 >β är den skev åt höger, medan
den är skev åt vänster om 01 <β . Fördelningar som har 32 >β tenderar att ha tjockare
svansar och högre toppar än vad normalfördelningen har, och har traditionellt kallats
8 Balanda, K. P. – MacGillivray, H. L., ”Kurtosis: A Critical Review”, The American Statistician, May 1988, Vol. 42, No. 2, ss. 111 och 116, Ruppert, D., ”What Is Kurtosis? An Influence Function Approach”, The American Statistician, February 1987, Vol. 41, No. 1, s. 1, samt Royston, P., ”Which Measures of Skewness and Kurtosis Are Best?”, Statistics in Medicine, Vol. 11, (1992), s. 335. 9 Se referenserna i fotnot 9 samt Arnold, B. C. – Groeneveld, R. A., ”Measuring Skewness With Respect to the Mode”, The American Statistician, February 1995, Vol. 49, No. 1, ss. 34-38, Groeneveld, R. A., ”A Class of Quantile Measures for Kurtosis”, The American Statistician, November 1998, Vol. 51, No. 4, ss. 325-329, Hosking, J. R. M., ”Moments or L Moments? An Example Comparing Two Measures of Distributional Shape”, The American Statistician, August 1992, Vol. 46, No. 3, ss. 186-189 samt Tajuddin, I. H., ”A comparison between two simple measures of skewness”, Journal of Applied Statistics, Vol. 26, No. 6, 1999, ss. 767-774. 10 Obsevera att beteckningarna γ1 och γ2 ibland används istället för 1β respektive 2β , varvid dessa definieras
genom 11 β=γ och 322 −β=γ (Mardia, K. V., op. cit., s. 280). 11 D’Agostino, R. B. – Belanger, A. – D’Agostino Jr., R. B., op. cit., s. 317 och Mardia, K.V., op. cit., s. 280. 12 När beteckningarna γ1 och γ2 (se fotnot 8) används får såväl skevheten som kurtosisen hos normalfördelningen värdet 0. Observera att vissa datorprogram, såsom t.ex. Minitab, använder sig av γ1 och γ2 som mått på skevhet respektive kurtosis.
7
leptokurtiska. De fördelningar för vilka 32 <β brukar ha tunnare svansar och bredare
centerpartier än normalfördelningen, och kallas traditionellt för platykurtiska. Mesokurtiska
fördelningar, slutligen, har 32 =β och en form som liknar normalfördelningens.13 Dessa
beskrivningar av sambandet mellan fördelningarnas form och värdena på 1β och 2β är dock
långt ifrån så klara och entydiga som det kan tyckas här. Således finns det exempel på
fördelningar som är skeva åt vänster för vilka 01 >β samt fördelningar med 01 =β och
32 =β som är bimodala eller har betydligt tjockare svansar och högre toppar än
normalfördelningen.14 Vi väljer dock trots problemen med dessa mått att använda dem i denna
uppsats, dels eftersom de spelar en betydande roll för en del av de normalitetstest och
kombinationstest som vi använder, dels eftersom vi behöver ett numeriskt mått för att
särskilja olika fördelningar.
2.2 Heteroskedasticitet
Vi talar om heteroskedasticitet när vi har ett antal slumpvariabler iX med varianserna
2iσ sådana att 2
j2i σ≠σ för något i≠j. Översatt till vår linjära regressionsmodell (1.2) med den
ickestokastiska förklarande variabeln X innebär detta att störningstermerna iu är
heteroskedastiska om
)X|u(Var)X|u(Var jjii ≠ , i≠j, (2.2.1)
är uppfyllt i något fall.15
Heteroskedasticitet kan se ut på olika sätt. För vår linjära regressionsmodell (1.2) torde
de vanligast förekommande formerna vara att variansen för störningstermerna iu är antingen
kontinuerligt ökande eller kontinuerligt minskande med stigande värden på den förklarande
variabeln X. En annan vanlig form är att heteroskedasticiteten beror på närvaron av ett
extremvärde ("outlier"). Sådana situationer kan uppstå av flera olika orsaker, t.ex. vid mätfel
av data. I detta läge har alltså samtliga störningstermer samma varians, förutom den enda
störningsterm som härrör från detta extremvärde.16 Vi använder oss i denna uppsats av alla
13 D’Agostino, R. B. – Belanger, A. – D’Agostino Jr., R. B., op. cit., s. 317 och Balanda, M. P. – MacGillivray, H. L., op.cit., s. 111. 14 Arnold, B. C. – Groeneveld, R. A., op. cit., s. 37, Tajuddin, I. H., op. cit., s. 770f och Balanda, M. P. – MacGillivray, H. L., op.cit., s. 113f. 15 Gujarati, D. N., op. cit., s. 61. 16 Gujarati, D. N., op. cit., s. 357f.
8
dessa olika former av heteroskedasticitet när vi modellerar H för Monte Carlo-
simuleringarna av modell (1.2.1). (För en vidare beskrivning av hur simuleringarna designas
hänvisas till kapitel 3.)
2.3 Normalfördelningstest
Det finns ett otal test tillgängliga för att testa antagandet om att ett stickprov kommer från en
normalfördelad population. Dessa test kan delas in i fem olika kategorier:17
i. 2χ -test
ii. Test baserade på skevhet och kurtosis eller baserade på moment
iii. Test baserade på den empiriska fördelningsfunktionen (”empirical distribution
function”) – EDF-test
iv. Regressions- eller korrelationsbaserade test
v. Övriga test.
Vi kommer här dock endast att behandla test som tillhör kategorierna (ii)-(iv), då dessa är de
mest använda testen, och också de test som har uppvisat störst styrka i empiriska
undersökningar. Dessutom kommer vi endast att använda oss av s.k. omnibustest, d.v.s. test
som är konstruerade för att kunna upptäcka alla slags avvikelser från normalfördelningen.
Test som är specialutvecklade för att upptäcka enbart vissa slags avvikelser, såsom
exempelvis avvikelser som gäller enbart kurtosis eller skevhet, behandlas således inte i denna
undersökning.
Det finns dock ett problem som uppstår när vi vill använda dessa normalitetstest för att
testa normalfördelningsantagandet för störningstermerna från en regressionsmodell. Eftersom
de sanna störningstermerna iu inte är observerbara har vi inte har någon möjlighet att
använda oss av dessa vid beräkningarna av de olika teststatistikorna. Istället får vi använda
oss av de skattade residualerna iu , och hoppas att dessa är tillräckligt nära substitut för de
sanna störningstermerna iu . Ett problem med detta är dock att när störningstermerna iu inte
är normalfördelade så ligger alltid sannolikhetsfördelningen för residualerna iu närmare
normalfördelningen än vad sannolikhetsfördelningen för störningstermerna iu , vilket
17 Gingerich, P. D., ”Statistical Power of EDF Tests of Normality and the Sample size Required to Distinguish Geometric-Normal (Lognormal) from Arithmetic-Normal Distributions of Low Variability”, Journal of theoretical Biology (1995) 173, s. 127 och Dufour, J-M, et. al., ”Simulation-based finite sample normality tests in linear regressions”, Econometrics Journal (1998), volume 1, ss. C157-C159.
9
naturligtvis påverkar testens styrka negativt. Detta fenomen, som kallas supernormalitet, är
särskilt påtagligt för små stickprov.18 Men att det för övrigt fungerar väl att använda
regressionsresidualer vid beräknande av normalitetstest har visats såväl teoretiskt som med
simuleringsstudier.19
När det gäller teststatistikorna för de normalitetstest som används i denna uppsats så
redovisar flertalet av källorna dessa teststatistikor för fallet när de beräknas från ett stickprov
av observationer.20 Här kommer de dock att redovisas med observationerna ersatta med OLS-
residualerna iu , vilket kommer göra att formlerna ser något annorlunda ut, beroende på att
summan (och därmed medelvärdet) för dessa är noll. I övrigt görs inga förändringar i
teststatistikorna. Dock kan man ställa sig frågan om inte n-termerna i teststatistikorna borde
ersättas med n-k, som en frihetsgradskorrektion. Denna fråga undersöktes av White-
MacDonald21 genom en simuleringsstudie med jämförelser mellan korrigerade och
okorrigerade teststatistikor, och deras slutsatser blev att de avrådde från denna korrigering. Av
denna anledning använder inte vi heller i denna uppsats en sådan frihetsgradskorrektion.
2.3.1 Test baserade på skevhet och kurtosis eller baserade på moment
De test baserade på skevhet och kurtosis som vi tar upp här utgår från de mått på skevhet och
kurtosis som ges av 1β och 2β . Eftersom dessa är populationsmått, och således inte är
observerbara i praktiken, behöver vi stickprovsestimatorer för dem. Stickprovsestimatorn km
för en sannolikhetsfördelnings centrala moment kµ ges av
n
)xx(m
n
1i
ki
k
∑=
−= , (2.3.1)
18 White, H. – MacDonald, G. M., ”Some Large-Sample Tests for Normality in the Linear Regression model”, Journal of the American Statistical Association, March 1980, Volume 75, Number 369, s. 16, Huang, C. J. – Bolch, B. W., ”On the Testing of Regression Disturbances for Normality”, Journal of the American Statistical Association, June 1974, Volume 69, Number 346, s. 330f och Weisberg, S., ”Comment”, Journal of the American Statistical Association, March 1980, Volume 75, Number 369, s. 28. 19 Se Pierce, D. A. – Kopecky, K. J., ”Testing goodness of fit for the distribution of errors in regression models”, Biometrika (1979), 66, 1, ss. 1-5, Pierce, D. A. – Gray, R. J., ”Testing normality of errors in regression models”, Biometrika (1982), 69, 1, ss. 233-236 samt White, H. – MacDonald, G. M., op. cit., ss. 16-28. 20 Den huvudkälla som används, Dufour, J-M, et. al., op. cit., ss. C154-C173, redovisar dock normalitetstesten i regressionsfallet, med användande av OLS-residualer. 21 White, H. – MacDonald, G. M., op. cit., s. 22.
10
och utifrån denna kan vi sedan konstruera stickprovsestimatorerna för 1β och 2β , vilka
traditionellt betecknas med 1b respektive 2b och ges av formlerna
2/32
323n
1i
2i
n
1i
3i
1 m
m
n)xx(
n)xx(b =
−
−=
∑
∑
=
= (2.3.2)
22
42n
1i
2i
n
1i
4i
2 m
m
n)xx(
n)xx(b =
−
−=
∑
∑
=
= . (2.3.3)
Motsvarande mått med användande av OLS-residualer betecknar22 vi med 1b respektive
2b . Eftersom nu summan, och därmed medelvärdet, för OLS-residualerna alltid är lika med
noll, får vi att 1b och 2b ges av
2/3n
1i
2i
n
1i
3i
1
nu
nub
=
∑
∑
=
= (2.3.4)
2n
1i
2i
n
1i
4i
2
nu
nub
=
∑
∑
=
= . (2.3.5)
Det är vidare känt att 1b och 2b är asymptotiskt normalfördelade, och att deras väntevärden
och varianser, för en normalfördelad population, ges av
0)b(E 1 = (2.3.6)
1n
)1n(3)b(E 2 +
−= (2.3.7)
)3n)(1n(
)2n(6)b(Var 1 ++
−= (2.3.8)
)5n)(3n()1n(
)3n)(2n(n24)b(Var
22 +++−−= . (2.3.9)
22 Dessa beteckningar lånar vi från White, H. – MacDonald, G. M., op. cit., s. 18.
11
Notera också formlerna (2.3.6)-(2.3.9) kan approximeras med 0, 3, 6/n respektive 24/n. Denna
approximation blir naturligtvis bättre ju större n är.23
Jarque-Beras LMN-test
Den information som har presenterats ovan kan utnyttjas till att konstruera ett antal olika
normalitetstest.24 Av dessa test torde Jarque-Beras Lagrange Multiplier-test för normalitet
(LM N-testet)25 vara det enklaste. Detta utgörs helt enkelt av summan av de kvadrerade
standardiserade stickprovsstatistikorna för skevhet (2.3.4) och kurtosis (2.3.5) för
regressionsresidualer, där standardiseringen sker med hjälp av de approximativa värdena för
(2.3.6)-(2.3.9). Jarque och Bera visar att denna summa är asymptotiskt 22χ -fördelad. Sålunda
ges teststatistikan för LMN-testet av formeln
22
2
2
2
1N .asy~
n24
3b
n6
0bLM χ
−+
−= . (2.3.10)
Urzúas ALMN-test
Urzúas ”Adjusted Lagrange Multiplier”-test för normalitet (ALM N-testet)26 är en
vidareutveckling av Jarque-Beras LMN-test. Här ersätts helt enkelt de asymptotiska värdena i
LM N-statistikan (2.3.10) med motsvarande exakta värden. Teststatistikan för ALMN-testet ges
då av formeln
23 D’Agostino, R. B. – Belanger, A. – D’Agostino Jr., R. B., op. cit., s. 317, White, H. – MacDonald, G. M., op. cit., s. 18, Urzúa, C. M., ”On the correct use of omnibus tests for normality”, Economics Letters 53 (1996), s. 248, Mardia, K. V., op. cit., s. 281f samt Anscombe, F. J. – Glynn, W. J., ”Distribution of the kurtosis statistic b2 for normal samples”, Biometrika (1983), 70, 1, s. 227. 24 Ett teoretiskt stöd för normalitetstest baserade på dessa skevhets- och kurtosismått ges i Nguyen, T. T. – Dinh, K. T., ”Characterizations of normal distributions supporting goodness-of-fit tests based on sample skewness and sample kurtosis”, Metrika (1998) 48, ss. 21-30. 25 Jarque, C. M. – Bera, A. K., ”A Test for Normality of Observations and Regression Residuals”, International Statistical Review (1987), 55, 2, ss. 164-167. 26 Urzúa, C. M., ”On the correct use of omnibus tests for normality”, Economics Letters 53 (1996), ss. 247-249 och Urzúa, C. M., ”Erratum to ’On the correct use of omnibus tests for normality’ [Economics Letters 53 (1996) 247]”, Economics Letters 54 (1997), s. 301.
12
22
2
2
2
2
1
2
2
22
2
1
1N
.asy~
)5n)(3n()1n(
)3n)(2n(n241n
)1n(3b
)3n)(1n(
)2n(6
0b
)b(Var
)b(Eb
)b(Var
0bALM
χ
+++−−
+−−
+
++−
−
=
=
−+
−=
. (2.3.11)
D’Agostino-Pearsons Z2-test
D’Agostino-Pearsons Z2-test27 baseras på en transformering av skevhets- och
kurtosisestimatorerna 1b och 2b som gör att dessa blir approximativt normalfördelade
redan vid små stickprov. För denna transformation behöver vi det standardiserade fjärde
momentet för 1b , som vi betecknar med )b( 12β , och det standardiserade tredje momentet
för 2b , vilket vi betecknar med )b( 21β . Dessa ges av
( )( ) )9n)(7n)(5n)(2n(
)3n)(1n)(70n27n(3
)b(Var
])b[Eb(E)b(
2
2
1
411
12 +++−++−+=
−=β (2.3.12)
( )( ) )3n)(2n(n
)5n)(3n(6
)9n)(7n(
)2n5n(6
)b(Var
])b[Eb(E)b(
2
2/32
322
21 −−++
+++−=
−=β . (2.3.13)
Skevhetsestimatorn 1b transformeras nu på följande sätt: Låt
)2n(6
)3n)(1n(bA 11 −
++×= (2.3.14)
)1)b((21A 122 −β+−= (2.3.15)
1A
2A
23 −
= . (2.3.16)
För n≥8 kombineras sedan formlerna (2.3.14)- (2.3.16) så att
27 D’Agostino, R. B. – Belanger, A. – D’Agostino Jr., R. B., op. cit., s. 317f, D’Agostino, R. B., ”Transformation to normality of the null distribution of g1”, Biometrika (1970), 57, s. 680, Anscombe, F. J. – Glynn, W. J., op. cit., s. 228f samt Landry, L. – Lepage, Y., ”Empirical behavior of some tests for normality”, Communications in Statistics – Simulation and Computation 21:(4) 1992, s. 981f. Observera att Landry-Lepages formel C4 på s. 982 delvis är felaktig. Det sista C3-värdet i den formeln skall vara kvadrerat. Notera också att i de flesta källor kallas Z2-testet för K2-testet. Vi tycker dock att det förefaller naturligare att kalla det för Z2-testet, med tanke på hur formel (2.3.20) är formulerad.
13
)1,0(N.approx~
)Aln(2
1
A
A1
A
Aln
Z
2
2
3
1
3
1
1
++
= . (2.3.17)
Kurtosisestimatorn 2b transformeras i sin tur på följande sätt: Låt
β++
β×
β+=
)b(
41
)b(
2
)b(
86B
212121
1 . (2.3.18)
Vi får då för n≥20 att
)1,0(N.approx~
B9
2
4B
2
)b(Var
)b(Eb1
B
21
B9
21
Z
1
3
12
22
1
1
2
−×
−+
−−−
= , (2.3.19)
där )b(E 2 och )b(Var 2 ges av formlerna (2.3.7) respektive (2.3.9). Teststatistikan för 2Z -
testet ges sedan av 22
22
21
2 .approx~ZZZ χ+= . (2.3.20)
Fishers kumulanttest (K-testet)
Fishers kumulanttest (K-testet)28 baserar sig, som namnet säger, på kumulanter.
Den r:e kumulanten definieras som koefficienten rκ för !rt r i serieexpansionen av ln(M(t)),
där M(t) är den momentgenererande funktionen. För alla fördelningar gäller nu att
µ=κ1 (2.3.21)
22 σ=κ (2.3.22)
33 µ=κ (2.3.23)
2244 3µ−µ=κ , (2.3.24)
28 Kanji, G. K., 100 statistical tests, s. 42f, Daintith, J. – Nelson, R. D., (eds.), The Penguin Dictionary of Mathematics, s. 81, Kotz, S. – Johnson, N. L., (eds.), Encyclopedia of Statistical Sciences, Vol. 2, s. 229 och Vol. 3, s. 125.
14
där kµ är det k:te centrala momentet, definierat som i (2.1.2). Stickprovsestimatorerna för rκ
ges av Fishers k-statistikor rk , för vilka det gäller att rr )k(E κ= . Om vi definierar rM
genom
∑=
=n
1i
rir uM , (2.3.25)
så ges de fyra första k-statistikorna för av
0n
Mk 1
1 == (2.3.26)
1n
M
)1n(n
nM
)1n(n
MnMk 22
212
2 −=
−=
−−
= (2.3.27)
)2n)(1n(
nM
)2n)(1n(n
Mn
)2n)(1n(n
M2MnM3Mnk 33
231123
2
3 −−=
−−=
−−+−
= (2.3.28)
)3n)(2n)(1n(n
M)nn(3M)nn(
)3n)(2n)(1n(n
M6MM12M)nn(3MM)nn(4M)nn(k
22
24
23
41
212
22
213
24
23
4
−−−−−−
=
−−−−+−−+−−
= (2.3.29)
eftersom 0M 1 = för residualerna från en OLS-regression. Fishers kumulantstatistika blir då
22
2224
22/3
23 .approx~n24
KK
n6
KKK χ
+
= , (2.3.30)
där den första termen till höger om likhetstecknet mäter skevheten och den andra termen
mäter kurtosisen.
Samtliga normalitetstest baserade på skevhet och kurtosis eller baserade på moment som vi
behandlar i denna uppsats är alltså asymptotiskt eller approximativt 22χ -fördelade. Sålunda är
gäller för dessa test att nollhypotesen förkastas om det observerade värdet för θN är större än
ett kritiskt värde Cα, d.v.s. RR=θobs>Cα. Påpekas kan också att fortsättningsvis kommer vi
ibland att med ett gemensamt namn kalla alla normalitetstest baserade på skevhet och kurtosis
eller på moment för χ2-fördelade normalitetstest.
15
2.3.2 Test baserade på den empiriska fördelningsfunktionen (EDF-test)29
EDF-testen är baserade på en jämförelse mellan den teoretiska fördelningsfunktion som
nollhypotesen säger att stickprovet kommer från, och den faktiska empiriska
fördelningsfunktion som man kan observera för stickprovet. Låt )i(u beteckna de ordnade
residualerna från en OLS-regression, d.v.s. )n()2()1( u...uu ≤≤≤ , och låt
( ) σ=
−=
∑=
ˆ
u
2nu
uy )i(
n
1i
2i
)i(i (2.3.31)
∫∞−
−
π=Φ=
iy 2
ii dx2
xexp
2
1)y(z , (2.3.32)
d.v.s. Φ(•) är den standardiserade kumulativa normalfördelningsfunktionen.
Anderson-Darlings, Cramér-von Mises och Kolmogorov-Smirnovs EDF-test
Med ovanstående bakgrundsinformation kan man konstruera ett antal olika EDF-test. Här tar
vi dock endast upp tre av dessa, nämligen Anderson-Darlings 2A -test, Cramér-von Mises 2W -test samt Kolmogorov-Smirnovs D-test, vilka är de mest kända EDF-testen. Dessa ges
av
∑=
−+−+−−−=n
1ii1ni
2 )]z1ln()z)[ln(1i2(n
1nA (2.3.33)
∑=
+
−−=n
1i
2
i2
n12
1
n2
1i2zW . (2.3.34)
−−
−=≤≤≤≤ n
1izmax,z
ni
maxmaxD ini1
ini1
. (2.3.35)
Eftersom teststatistikorna (2.3.33)-(2.3.35) använder skattade värden för µ och 2σ har
det föreslagits att de ska korrigeras för att ta hänsyn till detta faktum. Dessa modifierade 2A -,
2W - och D-test, vilka vi betecknar med 2A , 2W respektive D , ges av
29 Dufour, J-M, et. al., op. cit., s. C157f, Stephens, M. A., ”EDF Statistics for Goodness of Fit and Some Comparisons”, Journal of the American Statistical Association, September 1974, Volume 69, Number 347, ss. 730-732, Pettitt, A. N., ”Testing the Normality of Several Independent Samples using the Anderson-Darling Statistic”, Applied Statistics (1977), 26, No. 2, s. 156f, Gingerich, P. D., op. cit., s. 128f, Landry, L. – Lepage, Y., op. cit., ss. 972-974, Mardia K. V., op. cit., s. 294f samt Gan, F. F. – Koehler, K. J., ”Goodness-of-Fit Tests Based on P-P Probability Plots”, Technometrics, August 1990, Vol. 32, No. 3, s. 294.
16
−+×=2
22
n
25
n
41AA (2.3.36)
+×=n2
11WW 22 (2.3.37)
+−×=n
85,001,0nDD . (2.3.38)
Det är dessa modifierade teststatistikor som vi kommer att använda i denna uppsats. För alla
dessa gäller det att nollhypotesen förkastas för höga värden, d.v.s. RR=θobs>Cα.
2.3.3 Regressions- eller korrelationsbaserade test
De regressions- eller korrelationsbaserade normalitetstesten utgör i grunden metoder för att
kvantifiera den information som fås från de s.k. normalsannolikhetsplottarna (”normal
probability plots”). Avsikten med normalsannolikhetsplottarna är att plotta det datamaterial
man vill undersöka på ett sådant sätt att om den underliggande populationen är
normalfördelad så kommer grafen att bli en rät linje. Avvikelser från detta utseende indikerar
sedan graden och typen av ickenormalitet.30
Shapiro-Wilks W-test
Det mest kända av de regressions- eller korrelationsbaserade normalitetstesten är Shapiro-
Wilks W-test. De övriga normalitetstest tillhörande denna kategori som vi beskriver i detta
avsnitt är egentligen inget annat än modifieringar av detta test.31 W-testet är uppbyggt kring
ordningsstatistikor på följande sätt:32 Låt ),...,m,m(m (n))2()1(T =m beteckna vektorn av
förväntade värden för de n ordningsstatistikorna )i(m från en standardiserad normalfördelning
30 Kotz, S. – Johnson, N. L. (eds), op. cit., Vol. 2, ss. 318-321. 31 Hur de olika testen hänger samman beskrivs i Verrill, S. – Johnson, R. A., ”The asymptotic equivalence of some modified Shapiro-Wilk statistics – Complete and censored sample cases”, The Annals of Statistics, 1987, Vol. 15, No. 1, ss. 413-419, där det som framgår av titeln också visas att de olika testen är asymptotiskt ekvivalenta. 32 Shapiro, S. S. – Wilk, M. B., ”An analysis of variance test for normality (complete samples)”, Biometrika (1965), 52, 3 and 4, s. 592f, 603, Mardia, K. V., op. cit., s. 286f, Rahman, M. M. – Govindarajulu, Z., ”A modification of the test of Shapiro and Wilk for normality”, Journal of Applied Statistics, Vol. 24, No. 2, 1997, s. 220f, White, H. – MacDonald, G. M., op. cit., s. 18 och Royston, J. P., ”An Extension of Shapiro and Wilk’s W Test for Normality to Large Samples”, Applied Statistics (1982), 31, No. 2, s. 116f.
17
och )v( ij=V motsvarande n×n kovariansmatris. Detta innebär alltså att för ett ordnat
stickprov )n()2()1( X...XX ≤≤≤ från en standardiserad normalfördelning är
)i()i( m)X(E = , i = 1,2,…,n (2.3.39)
ij)j()i( v)X,X(Cov = , i,j = 1,2,…,n. (2.3.40)
Låter vi sedan ( ) ( ) ( ) )u,...,u,u(ˆ n21T =u beteckna en vektor av ordnade OLS-residualer )i(u så
ges Shapiro-Wilks W-test av
( )( )
( ) ( )
( )∑
∑
∑=
=
=
==n
1i
2i
2n
1iii
n
1i
2i
2T
u
ua
u
ˆW
ua, (2.3.41)
där
mVVm
Vma
11T
1T
)n()2()1(T )a,...,a,a(
−−
−
== . (2.3.42)
W-testet har uppvisat mycket goda resultat i jämförande studier över olika
normalitetstests styrka.33 Det finns dock ett par problem med detta test, vilka båda härrör från
)i(a -värdena. Dels finns dessa värden endast tillgängliga från tabeller34, vilket gör testet något
otympligt att använda, dels finns de endast beräknade upp t.o.m. n=50, vilket medför att testet
inte kan användas för n-värden som är större än 50. Detta har gjort att diverse författare har
föreslagit olika modifieringar av W-testet som försöker komma till rätta med dessa problem.
Weisberg-Binghams W~ ′ -test
I Weisberg-Binghams modifierade W-test, W~ ′′′′ -testet35, ersätts kovariansmatrisen V i
(2.3.42) med enhetsmatrisen E, med hänvisning till att vi för stora stickprov kan sätta 0v ij =
för i≠j. Låt nu )(1 •Φ − beteckna den inversa kumulativa fördelningsfunktionen för den
standardiserade normalfördelningen. Ordningsstatistikorna )i(m från vektorn m i formel
(2.3.42) kan då approximeras med
33 Se t.ex. Gan, F. F. – Koehler, K. J., ss. 296-298 och Baringhaus, L. – Danschke, R. – Henze, N., ”Recent and classical tests for normality – a comparative study”, Communications in Statistics – Simulation and Computation, 18(1), (1989), ss. 370-375. 34 Tabeller med dessa värden finns i Shapiro, S. S. – Wilk, M. B., op. cit., ss. 603-605. 35 Mardia, K. V., op. cit., s. 288f.
18
+
−Φ=≈ −
4
1n
8
3i
m~m 1)i()i( . (2.3.43)
Ersätter vi nu ),...,m,m(m (n))2()1(T =m i (2.3.42) med )m~,...,m~,m~(~
(n))2()1(T =m så kan vi bilda
Weisberg-Binghams W~ ′ -test, vilket ges av
( )
( ) ( )∑∑
∑
∑==
=
=
×
=×
=′n
1i
2i
n
1i
2i
2n
1ii)i(
n
1i
2i
T
2T
um~
um~
u)~~(
)ˆ~(W~
mm
um. (2.3.44)
Rahman-Govindarajulus W~
-test
Ytterligare en modifiering av Shapiro-Wilks W-test förslås av Rahman-Govindarajulu36
genom teststatistikan W~
. De föreslår att ordningsstatistikorna )i(m från vektorn m i formel
(2.3.42) skall approximeras med
+Φ=≈ −
1n
ihm 1
)i()i( . (2.3.45)
Låt nu φ(•) beteckna täthetsfunktionen (”probability density function”) för den
standardiserade normalfördelningen, och bilda vektorn )c~,...,c~,c~(~n21
T =c där
n1,2,...,i , )]h(h)h(h2)h(h)[h()2n)(1n(c~ 1i1iii1i1iii =φ+φ−φφ++−= ++−− (2.3.46)
0)h(h)h(h 1n1n00 =φ=φ ++ . (2.3.47)
Rahman-Govindarajulu visar att vektorn Ta från formel (2.3.42) nu kan approximeras med
( ) ( ) ( )cc
caa
~~
~)a~,...,a~,a~(~
T
T
n21TT ==≈ . (2.3.48)
Om vi nu ersätter Ta i teststatistikan (2.3.41) med T~a från formel (2.3.48) så erhåller vi
teststatistikan för Rahman-Govindarajulus W~
-test, d.v.s.
( ) ( )
∑
∑
∑=
=
=
==n
1i
2i
2n
1iii
n
1i
2i
2T
u
ua~
u
)ˆ~(W~ ua
. (2.3.49)
36 Rahman, M. M. – Govindarajulu, Z., op. cit., ss. 222-224, 235.
19
de Wet-Venters r-test
Ett renodlat korrelationstest är de Wet-Venters r-test37. Liksom för Rahman-Govindarajulus
W~
-test approximeras ordningsstatistikorna )i(m med värdena )i(h från
formel (2.3.45). Teststatistikan för r-testen ges sedan helt enkelt av stickprovskorrelationen
mellan )i(h -värdena och OLS-residualerna )i(u genom formeln
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑
= =
=
= =
=
−
−=
−−
−−=
n
1i
n
1i
2)i(
2)i(
n
1i)i()i(
n
1i
n
1i
2)i(
2)i(
n
1i)i()i(
)hh(u
)hh(u
)hh()uu(
)hh)(uu(r . (2.3.50)
Fillibentestet (rF-testet)
Fillibentestet (rF-testet)38, slutligen, är en variant av de Wet-Venters r-test. Här ersätts )i(h -
värdet i formel (2.3.50) med medianen för den i:e ordningsstatistikan från en standardiserad
normalfördelning, som vi betecknar )i(M . Detta ger oss teststatistikan
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑
= =
=
= =
=
−
−=
−−
−−=
n
1i
n
1i
2)i(
2)i(
n
1i)i()i(
n
1i
n
1i
2)i(
2)i(
n
1i)i()i(
F
)MM(u
)MM(u
)MM()uu(
)MM)(uu(r . (2.3.51)
För att beräkna )i(M -värdena i (2.3.51) föreslår Filliben att en transformering av de i:e
medianvärdena )i(M för ordningsstatistikorna från en rektangulärfördelning inom intervallet
(0,1) används, eftersom )M(M )i(1
)i(−Φ= . )i(M -värdena, i sin tur, föreslår Filliben skall
approximeras genom
( ) ( )
==+−=−
=ni ,5,0
1)-(n2,3,...,i ,365,0n3175,0i
1i ,M1
Mn1
n
)i( . (2.3.52)
37 Verrill, S. – Johnson, R. A., op. cit., s. 414. 38 Filliben, J. J., ”The Probability Plot Correlation Coefficient Test for Normality”, Technometrics, Vol. 17, No. 1, February 1975, s. 111f, 116 och Pfaffenberger, R. C. – Dielman, T. E., ”Testing normality of regression disturbances – A Monte Carlo study of the Filliben test”, Computational Statistics & Data Analysis 11 (1991), s. 265ff.
20
Detta är dessa approximativa värden vi använder i denna uppsats, tillsammans med
transformeringen )M(M )i(1
)i(−Φ= , när vi beräknar Fr -värdena i våra Monte Carlo-
simuleringar.
Gemensamt för samtliga de regressions- och korrelationsbaserade normalitetstest som vi har
behandlat i detta avsnitt är att om störningstermerna kommer från en normalfördelad
population så skall det observerade värdet på teststatistikorna ligga nära 1, vilket är det
maximala värdet för teststatistikorna. Sålunda förkastas nollhypotesen om normalfördelning
om det observerade värdet för θN är mindre än ett visst kritiskt värde Cα, d.v.s.
RR=θobs<Cα.
2.4 Heteroskedasticitetstest
Flertalet av de formella metoder för att upptäcka heteroskedasticitet som vi studerar i denna
uppsats baseras på att försöka finna ett samband mellan värdena för störningstermerna iu och
de förklarande X-variablerna, då de senare antas vara nära relaterade till 2iσ . Då de sanna
störningstermerna iu dock inte är möjliga att observera används istället OLS-residualerna iu ,
som antas vara goda skattningar av störningstermerna iu . Vid multipel regression kan för
vissa test också frågan uppstå om vilka X-variabler som skall användas för att mäta
sambandet med störningstermerna iu . Detta problem uppkommer dock ej i denna uppsats,
eftersom vi endast har en förklarande X-variabel.
Alla de åtta olika heteroskedasticitetstest vi använder i denna uppsats följer
asymptotiskt någon välkänd fördelning. Vi delar därför in heteroskedasticitetstesten i följande
tre grupper:
i. t-fördelade test
ii. F-fördelade test
iii. χ2-fördelade test.
I beskrivningarna av de olika testen kommer vi att koncentrera oss på fallet där vi endast har
en X-variabel, eftersom det är denna modell som vi använder i de simuleringar som vi kör.
21
2.4.1 t-fördelade heteroskedasticitetstest39
Parks P-test samt Glejsers G1- och G2-test
Parks och Glejsers heteroskedasticitetstest utgår från antagandet att variansen 2iσ för
störningstermerna iu beror av värdena på iX . De föreslår sedan att detta samband skall mätas
genom en regression av någon funktion av OLS-residualerna iu på någon funktion av den
förklarande variabeln X. Park föreslår sambandet
ii10ii122
i v)Xln(v)Xln()ln()uln( +β+β=+β+σ= , (2.4.1)
medan Glejser har flera olika förslag på hur sambandet kan se ut, av vilka vi väljer följande
två samband
ii10i vXu +β+β= (2.4.2)
ii10i vXu +β+β= . (2.4.3)
I dessa tre formler betecknar iv den stokastiska störningstermen. Om nu 1β är signifikant
skilt från noll tyder detta på att störningstermerna iu är heteroskedastiska. Ett test av detta ges
av formeln
)ˆ(se
0ˆt
1
1.obs β
−β= , (2.4.4)
där
∑
∑
∑=
=
=
−
−=
−
σ=β n
1i
2i
n
1i
2i
n
1i
2i
2
1
)XX(
)2n(u
)XX(
ˆ)ˆ(se . (2.4.5)
Formel (2.4.4) är sålunda teststatistikan för Parks och Glejsers heteroskedasticitetstest. Vi
låter i denna uppsats P beteckna Parks heteroskedasticitetstest, utgående från formel
(2.4.1), medan G1 och G2 betecknar Glejsers heteroskedasticitetstest baserade på formlerna
(2.4.2) respektive (2.4.3).
39 Gujarati, D. N., op. cit., ss. 70, 88 och 369-374.
22
Spearmans rangkorrelationstest (rS-testet)
Ytterligare ett t-fördelat test är Spearmans rangkorrelationstest (”Spearman’s rank
correlation test” – rS-testet). Som framgår av namnet är detta ett test som beräknar
korrelationen mellan två rangordnade variabler. I den version av testet som vi använder i
denna uppsats är det värdena för iu och iX som rangordnas. Därefter beräknas skillnaden i
rang ( id ) mellan dessa, vilken vi använder till att beräkna Spearmans
rangkorrelationskoefficient (sr ) med hjälp av formeln
−−= ∑ =
)1n(n
d61r
2
n
1i
2i
s . (2.4.6)
För n>8 ges sedan Spearmans rangkorrelationstest Sr av
2s
sobsS
r1
2nrtr
−
−== . (2.4.7)
För samtliga heteroskedasticitetstest som vi har behandlat i detta avsnitt gäller att
nollhypotesen om homoskedasticitet förkastas för höga värden. Förkastelseregionen är således
RR=θobs>Cα.
2.4.2 F-fördelade heteroskedasticitetstest40
Goldfeld-Quandts GQ-test
Det enda F-fördelade heteroskedasticitetstest vi behandlar här är Goldfeld-Quandts
heteroskedasticitetstest, GQ-testet. Idén bakom detta test är att dela upp de n
observationerna i två lika stora grupper, och sedan testa om 22
21 σ≠σ , där 2,1j ,2
j =σ , är
variansen för observationerna från grupp 1 respektive grupp 2. Om skillnaden är signifikant
tyder detta på att störningstermerna iu är heteroskedastiska. Rent praktiskt går detta till på
följande sätt: Sortera värdena för iX och iY i stigande ordning, efter storleken på iX -
värdena, och ta därefter bort de c mittersta observationerna. Storleken på konstanten c kan
väljas olika sätt. Här väljer vi att sätta c till
40 Gujarati, D. N., op. cit., s. 371ff.
23
×=15
n22c . (2.4.8)
Vi erhåller då två separata grupper, med (n-c)/2 observationer i varje grupp. Anpassa sedan
separata OLS-regressioner till de båda modellerna
i,1i,11,10,1i,1 uXY +β+β= (2.4.9)
i,2i,21,20,2i,2 uXY +β+β= , (2.4.10)
där (2.4.9) består av observationer tillhörande grupp 1 och (2.4.10) utgörs av observationer
tillhörande grupp 2. Beräkna därefter respektive regressions residualkvadratsumma (”residual
sum of squares”) 1RSS och 2RSS , där
2,1j ,uRSSji
2i,jj ==∑
∈
, (2.4.11)
vilka här har (n-c-2⋅2)/2 frihetsgrader (”degrees of freedom”). GQ-statistikan ges sedan av
F~df/RSS
df/RSSGQ
1
2= . (2.4.12)
Nollhypotesen om homoskedasticitet förkastas sedan om det observerade värdet på θH är
större än ett visst kritiskt värde Cα, d.v.s. RR=θobs>Cα.
2.4.3 χ2-fördelade heteroskedasticitetstest
Breusch-Pagan-Godfreys LMH-test
Tanken bakom Breusch-Pagan-Godfreys Lagrange Multiplier-test för heteroskedasticitet
(LM H-testet)41 är att variansen 2iσ för störningstermen iu är en linjär funktion av en eller
flera av de förklarande X-variablerna. Testet är uppbyggt kring Maximum Likelihood-
estimatorn av 2σ , vilken vi betecknar med 2~σ . För modell (1.2), som vi använder i denna
uppsats, är testet konstruerat på följande sätt: Definiera ip som
nu
u~u
pn
1i
2i
2i
2
2i
i
∑ =
=σ
= , (2.4.13)
och anpassa sedan en OLS-regression till modellen
ii10i vXp +α+α= , (2.4.14)
41 Gujarati, D. N., op. cit., s. 76 och 377f.
24
där iv är en stokastiskt störningsterm. Det går sedan att visa att om störningstermerna iu är
normalfördelade med lika varians så är
21
n
1i
2iH .asy~)pp(
2
1ESS
2
1LM χ−== ∑
=
, (2.4.15)
där ip är OLS-estimatet av ip .
Verbylas ALMH-test
Verbylas ”Adjusted Lagrange Multiplier”-test för heteroskedasticitet (ALM H-testet)42 är
en utveckling av Breusch-Pagan-Godfreys LMH-test som har visat bra resultat. För att
konstruera detta test behöver vi använda oss av matriser. Låt Y beteckna en n×1-vektor med
de beroende variablerna iY , X en n×p-matris med den första kolumnen bestående av ettor och
de övriga p-1 kolumnerna av förklarande variabler, ββββ en p×1-vektor med β-koefficienter, samt
u en n×1-vektor med störningstermerna iu . Den klassiska linjära regressionsmodellen kan då
skrivas som
uXY += ββββ . (2.4.16)
Från denna modell kan vi få fram en n×1-vektor av regressionsresidualer (u ) samt en
p×1-vektor med de skattade β-koefficienterna (ββββ ) vilka ges av
ββββˆ XYu −= , (2.4.17)
YXXX T1T )(ˆ −=ββββ . (2.4.18)
Låt nu 1 beteckna en n×1-vektor av ettor, d en n×1-vektor vars i:e element är 2iu , Z en
n×q-matris med den första kolumnen bestående av ettor och de övriga q-1 kolumnerna
bestående av den eller de förklarande variabler som heteroskedasticiteten är beroende av samt
H en n×n-matris som bildas genom
T1T )( XXXXH −= . (2.4.19)
Låt vidare Tnn2211 )h,...,h,h(=h vara den vektor som bildas av diagonalelementen i H, och V
vara en n×n-matris bestående av diagonalelementen 2ii )h1( − och elementen 2ijh på övriga
platser. Verbylas ALMH-test kan då skrivas som
42 Verbyla, A. P., ”Modelling Variance Heterogeneity: Residual Maximum Likelihood and Diagnostics”, Journal of the Royal Statistical Society, Series B (1993), 55, No. 2, ss. 494-500, Lyon, J. D. – Chih-Ling, T., ”A
25
21q
TT1T
TT
H .asy~)(pn
ˆˆ)(
pn
ˆˆ
2
1ALM −
− χ
−−
−
−−
−= h1
uudZVZ)Z(Zh1
uud . (2.4.20)
Breuch-Pagan-Godfreys LMH-test kan, med samma terminologi, skrivas som
21q
TT1T
TT
H .asy~n
ˆˆ
n
ˆˆ
21
LM −− χ
−
−= 1
uudZZ)Z(Z1
uud . (2.4.21)
Vi ser att de båda testen har en likartad struktur.
Whites WH-test
Whites allmänna heteroskedasticitetstest (WH-testet)43, slutligen, bygger på att
heteroskedasticiteten hos störningstermerna iu kan mätas genom de kvadrerade OLS-
residualerna iu :s beroende av X-variablerna, kvadraten på dessa, krossprodukten mellan dem,
samt eventuellt högre potenser av dem. För modell (1.2) formulerar vi detta på följande sätt:
i2i2i10
2i vXXu +α+α+α= , (2.4.22)
där iv är stokastiska störningstermer. WH-testet beräknas sedan genom att anpassa en OLS-
regression till modell (2.4.22), beräkna 2R från denna regression, det vill säga
( )∑
∑
=
=
−−=
n
1i
22i
2i
n
1i
2i
2
uu
v1R , (2.4.23)
och därefter beräkna teststatistikan
22
2H .asy~RnW χ×= . (2.4.24)
För χ2-fördelade test gäller det att nollhypotesen om homoskedasticitet förkastas om det
observerade värdet på teststatistikan är större än det kritiska värdet på en viss signifikansnivå
α. För testen i detta avsnitt får vi alltså att nollhypotesen förkastas om θH hamnar inom
förkastelseregionen RR=θobs>Cα.
comparison of tests for heteroscedasticity”, The Statistician (1996), 45, No. 3, s. 343 och Gujarati, D. N., op. cit., ss. 282-290. 43 Gujarati, D. N., op. cit., ss. 77 och 379f.
26
2.5 Kombinationstest för både normalitet och homoskedasticitet
Medan det finns ett stort antal test att tillgå för att testa antingen normalitetsantagandet eller
homoskedasticitetsantagandet för störningstermerna iu så finns det bara ytterst få test
tillgängliga som är utformade för att samtidigt testa både normalitetsantagandet och
homoskedasticitetsantagandet. Vi skall därför i denna uppsats enbart behandla Bera-Jarques
LM NH-test44, och ett antal varianter av detta. Detta test är troligen det mest kända
kombinationstestet, och utmärker sig också genom att vara mycket enkelt att tillämpa i
praktiken. Det utgörs helt enkelt av summan av teststatistikorna för LMN- och LMH-testen,
vilka ges av formlerna (2.3.10) respektive (2.4.15), d.v.s.
HNNH LMLMLM += . (2.5.1)
Bera-Jarque visade att denna summa asymptotiskt följer 2χ -fördelningen. De föreslog också
att exempelvis WH-statistikan (2.4.24) skulle kunna ersätta LMH-statistikan i (2.5.1). Denna
nya teststatistika kallar vi för LMNWH, det vill säga
HNHN WLMWLM += . (2.5.2)
Vi ser att de båda kombinationstesten (2.5.1) och (2.5.2) helt enkelt bildas genom att
summera ett 2χ -fördelat normalitetstest och ett 2χ -fördelat heteroskedasticitetstest. Mot
denna bakgrund föreslår vi här ett antal nya teststatistikor, som vi skapar genom att i olika
kombinationer summera de olika 2χ -fördelade normalitets- och heteroskedasticitetstesten
som vi har tagit upp i avsnitten (2.3) och (2.4). Vi har fyra olika 2χ -fördelade normalitetstest
och tre olika 2χ -fördelade heteroskedasticitetstesten. Således får vi, inklusive LMNH- och
LM NWH-testen, totalt tolv olika kombinationstest som vi kommer att använda i denna uppsats.
Förutom LMNH- och LMNWH-testen blir det följande test:
HNHN ALMLMALM += (2.5.3)
HNHN LMALMLMA += (2.5.4)
HNNH ALMALMALM += (2.5.5)
HNHN WALMWA += (2.5.6)
H2
NN LMZLMZ += (2.5.7)
H2
HN ALMZAZ += (2.5.8)
44 Bera, A. K. – Jarque, C. M., op. cit., ss. 59-82.
27
H2
HN WZWZ += (2.5.9)
HHN LMKLMK += (2.5.10)
HHN ALMKAK += (2.5.11)
HHN WKWK += (2.5.11)
För samtliga kombinationstesten (2.5.1)-(2.5.12) använder vi beslutsregeln att förkasta
nollhypotesen om normalfördelade och homoskedastiska störningstermer om det observerade
värdet på θNH faller inom förkastelseregionen RR=θobs>Cα.
3 DESIGN AV MONTE CARLO-STUDIEN
imuleringarna för denna uppsats genomförs genom att i Minitab simulera modell (1.2.1)
10000 gånger för varje kombination av n, X och iu som vi använder och för var och en
av dessa 10000 replikationer beräkna värdet på teststatistikorna för de 32 testen i kapitel 2.
Därvid fixerar vi X-värdena så att dessa är desamma för samtliga 10000 replikationer. För
varje ökning av n (antalet observationer) används dessutom för de första X-värdena samma
X-värden som för lägre värden på n, d.v.s. för n=20 är de första tio X-värdena desamma som
för n=10, för n=30 är de första 20 X-värdena desamma som för n=20, o.s.v. På detta sätt
minimerar vi slumpens inverkan på skillnaden för värdet på en viss teststatistika mellan olika
replikationer och olika n-värden. Vidare sätter vi 110 =β=β för samtliga simuleringar, men
för X- och iu -värdena måste vi använda olika värden beroende på det sätt på vilket
nollhypotesen (1.2) är falsk. Som påpekades i inledningen (1) finns det tre olika sätt på vilka
nollhypotesen (1.2) kan vara falsk – HN , HN respektive HN . För dessa olika alternativ
simulerar vi fram slumpmässiga X- och iu -värden på följande sätt:
För HN använder vi oss av X~Gamma(2,1) och ),0(IID~u 2i σ , där iu simuleras från
en ickenormal fördelning.45 Därvid kommer följande ickenormala fördelningar att användas:
Beta(2,1), Beta(3,2), Beta(0.5,0.5), Beta(2,2), Beta(6,6), Beta(60,60),
Gamma(1,1)=Exponential(1), Gamma(2,1), Gamma(3,1), Gamma(4,1), Gamma(5,2)=210χ ,
Gamma(6,1), Gamma(8,1), Gamma(12,1), Gamma(24,1), Gamma(120,1), Gumbel(0,1),
45 Observera att många av de ickenormala fördelningar som vi tar fram simulerade värden från har ett väntevärde som är skilt från noll, varför vi för att få E(ui)=0 för dessa fördelningar subtraherar fördelningens väntevärde från de simulerade värdena.
S
28
Halvnormal(0,1), Laplace(0,1), Logistisk(0,1), LogLogistisk(0,2,3), Pareto(1,10),
Pareto(1,100), Students t(2), Students t(3), Students t(4), Students t(5), Students t(10),
Students t(20), Triangular(0,1,0), Tukey(0.25), Tukey(0.7), Tukey(1.5), Tukey(3), Uniform(-
3,3), Weibull(2,1), Weibull(2.2,1), Weibull(3.6,1), Weibull(4,1) samt Weibull(10,1). Flertalet
av dessa fördelningar har valts därför att de har använts vid tidigare simuleringar av
normalitetstests styrka vid olika alternativa ickenormala fördelningar.46 En närmare
beskrivning av de här uppräknade fördelningarna ges i bilaga 1.
För HN designar vi heteroskedasticiteten på flera olika sätt. Huvudmodellen
konstruerar vi genom att låta heteroskedasticiteten bero av X-värdena genom47
iii e)X(fu ×= , (3.1)
)1,0(NID~ei . (3.2)
För att få några olika alternativa utseenden på heteroskedasticiteten använder vi oss sedan i
(3.1) av följande funktioner av X:
ii X)X(f = (3.3)
ii X)X(f = (3.4)
iX1,0i e)X(f = (3.5)
iX1,0i e)X(f −= , (3.6)
där X-värdena för varje funktion genereras från fördelningarna Gamma(2,1), Gamma (4,1),
Weibull(2,1) samt Uniform(0,6).
Utöver denna huvudmodell använder vi oss också av en extremvärdesmodell, vars
heteroskedasticitet består av att det bland de n stycken X-värdena finns n-1 observationer vars
störningstermer har lika varians samt ett extremvärde (”outlier”), som vi betecknar Xout, vars
störningsterm har en varians som skiljer sig från de övrigas. Vi konstruerar observationerna i
denna modell genom att utgå från samma X-värden som i huvudmodellen ovan och sedan
byta ut ett av dessa ursprungliga X-värden mot extremvärdet Xout, vars värde vi sätter till att
vara lika med summan av värdena för det ursprungligen största X-värdet och variationsvidden
för de ursprungliga X-värdena. Om vi låter Xmin och Xmax beteckna det minsta respektive
största av de ursprungliga X-värdena så ges alltså Xout av:
46 Se Gan, F. F. – Koehler, K. J., op. cit., s. 296, Pearson, E. S. – D’Agostino, R. B. – Bowman, K. O., ”Tests for departure from normality: Comparison of powers”, Biometrika (1977), 64, 2, s. 240 samt Filliben, J. J., op. cit., s. 114. 47 Eftersom X-värdena är konstana för alla replikationer får vi att E(ui)=E(f(Xi)×ei)=f(X i)×E(ei)=f(X i)×0=0 och
Var(ui)=Var(f(Xi)×ei)=(f(X i))2×Var(ei)=(f(X i))
2×1=(f(Xi))2= 2
iσ .
29
)XX(XX minmaxmaxout −+= (3.7)
Observera att det av de ursprungliga X-värdena som byts ut mot Xout är någon av de X-värden
som är större än Xmin och samtidigt mindre än Xmax. Låt nu den störningsterm som hör till
extremvärdet Xout betecknas med outu . Variansen för outu beror sedan av Xout-värdet genom
ioutout eXu ×= , (3.8)
där ie är definierad som i (3.2), medan varianserna för de övriga n-1 iu -värdena sätts till
ii eu = . (3.9)
Även för HN använder vi de designer som vi för HN kallar huvudmodellen respektive
extremvärdesmodellen, med den ändringen av vi här låter ie i (3.2) genereras från
fördelningarna Logistic(0,1), Laplace (0,1), Uniform (-3,3) respektive Students t(5).
Vidare kommer vi för att kunna beräkna de olika testens styrkenivåer och robusthet
behöva simulera fram kritiska värden för de olika testen. Dessa beräknas under alternativet
NH, d.v.s. när nollhypotesen (1.2) är uppfylld. Vi simulerar därför för de olika n- och X-
värden som används även fram 10000 replikationer av modell (1.2.1) när )1,0(NID~u i , och
beräknar för dessa värdet på teststatistikorna för de 32 test som redovisats i kapitel 2.
4 SIMULERINGSRESULTAT I: HYPOTESTESTENS STYRKA
detta kapitel skall de resultat angående de olika hypotestestens styrkenivåer som har tagits
fram via Monte Carlo-simuleringar presenteras och analyseras, medan nästa kapitel ägnas
åt att presentera och analysera resultaten när det gäller hypotestestens robusthet. Först
behöver det dock nämnas några ord om hur de olika testens styrkenivåer beräknas utifrån de
simulerade värdena.
Ett tests styrka (”power”) 1-β definieras som sannolikheten att en falsk nollhypotes
förkastas. Med den notation som används i denna uppsats kan detta skrivas som
)falsk NH|RR(P1 obs ∈θ=β− , (4.1)
där alltså RR=θobs>Cα eller RR=θobs<Cα. De olika testens Cα-värden är dock beroende av
dels storleken på n, dels utseendet på X-värdena.48 Detta medför att vi som kritiska värden
för denna undersökning måste använda oss av skattningar av de sanna Cα-värdena. Dessa
skattningar betecknar vi αC , och vi beräknar dem från simuleringarna under alternativet NH.
I
30
Sålunda är det förkastelseregionerna CRR obs α>θ= respektive CRR obs α<θ=
som kommer att användas i denna undersökning. Beräkningarna av αC ser dock något olika
ut beroende på vilken förkastelseregion som används. Låt N beteckna antalet replikationer för
varje simulering, varvid vi alltså har N=10000 för denna uppsats. Om vi sedan låter )i(m ,
i=1,…,N, beteckna värdet på den i:e ordningsstatistikan för de simulerade värdena för en viss
teststatistika, så får vi följande formler för beräkningarna av de kritiska värdena:
)mm()F)1N)(1((mC FCF −×−+α−+=α , om CRR obs α>θ= (4.2)
)mm()F)1N((mC FCF −×−+α+=α , om CRR obs α<θ= (4.3)
där
F = (1-α)(N+1), (4.4)
C = (1-α)(N+1). (4.5)
Detta gör att vi kan beräkna ett tests styrkenivå med hjälp av formlerna
Ψ=β−1 , om CRR obs α<θ= (4.6)
Ψ−=β− 11 , om CRR obs α>θ= (4.7)
där
≥+++
=+
−−
+
=Ψ+
α
1E om ,1N
2/)1E(L
0E om ,1N
mm
mCL
L1L
L
(4.8)
)C:(#L obsobs α<θθ= , (4.9)
)C:(#E obsobs α=θθ= . (4.10)
4.1 Formler och notation för aggregering av datamaterialet
Det datamaterial som vi har fått från Monte Carlo-simuleringarna är mycket omfattande. För
de 32 olika teststatistikorna har vi totalt simulerat fram 359,64 miljoner värden.49 För att
kunna få översikt över resultaten är det därför nödvändigt att hålla sig på en mycket
48 Dufour, J-M, et. al., op. cit., ss. 154-156. 49 Det är totalt 8,1 miljoner värden för Shapiro-Wilks W-test och 11,34 miljoner värden för var och en av de andra 31 testen. Anledningen till att antalet värden är färre för Shapiro-Wilks W-test än de andra testen är att detta test endast kan användas för n≤50.
31
aggregerad nivå. De 32 teststatistikornas styrka för de olika n-, X- och iu -kombinationerna,
baserade på N=10000 replikationer för varje kombination, framgår av tabellerna i bilagorna 3
och 4. Analysen i detta kapitel kommer att basera sig på värdena från dessa tabeller, men vi
skall här aggregera dessa värden ännu mer, för att kunna få en bra överblick över resultaten.
Analysen kommer att inriktas på att undersöka vilket eller vilka test som är mest
effektiva. Med effektivitet avser vi här ett tests förmåga att förkasta en falsk nollhypotes.
Utgående från den praktiska situation som vi skisserade upp i inledningen (se avsnitt 1), där vi
står inför ett fall när vi inte har någon kunskap om eventuell ickenormalitet eller
heteroskedasticitet i materialet, kan definitionen av vad effektivitet innebär konkretiseras i
följande tre punkter:
i. För det första gäller det storleken på styrkenivån (1-β), vilken naturligtvis bör vara så
hög som möjligt.
ii. För det andra avser vi storleken på variationen av styrkan mellan olika kombinationer
av X- och iu -värden, varvid det är bättre ju lägre variationen är.
iii. För det tredje, slutligen, handlar det om att ett test bör hålla en så hög lägstanivå på
styrkan som möjligt. Det vill säga, ju högre styrkenivå ett test har när det uppvisar
dålig styrka, desto bättre är det.
Hur skall vi då praktiskt gå tillväga när det gäller att statistiskt mäta effektiviteten för de
olika teststatistikorna i enlighet med punkterna (i)-(iii)? Svaret på denna fråga beror delvis på
vilken aggregerad nivå vi håller oss på. Vi kan dela upp de mått vi kommer att använda i två
delar: dels de mått som gäller enbart ett n-värde, t.ex. n=10 eller n=100, dels de mått som
gäller flera n-värden samtidigt, t.ex. n=10(10)50. Vi skall här använda de förra som de
grundläggande måtten, och de senare enbart som ett sätt att ytterligare aggregera de förra.
Men innan vi kan beskriva de olika måtten behöver vi införa en viss notation. Låt τ beteckna
en viss unik X- och iu -kombination, τδ den observerade styrkenivån 1-β för en teststatistika
för ett visst τ, beräknat enligt formlerna (4.6) eller (4.7), τΩ mängden av de olika τ som vi
skall analysera, θΩ mängden av de 32 olika τδ -värdena för ett visst τ, och T det totala antalet
element i mängden τΩ .
4.1.1 Aggregering över enstaka n-värden
Vi börjar med att beskriva de mått som vi använder för endast ett n-värde. När det gäller
punkt (i) ovan, storleken på styrkenivån (1-β), använder vi oss av ett enkelt mått, nämligen
32
medelvärdet av τδ över τΩ , för ett visst n-värde. Om vi betecknar detta mått med nδ så ges
det alltså av
Tn
∑τΩ∈τ
τδ=δ . (4.1.1)
Vad gäller punkt (ii), variationen av styrkenivån, är det inte lika enkelt. Vi utgår från
standardavvikelsen för τδ över τΩ , för ett visst n-värde. Men sedan måste vi också ta hänsyn
till att den absoluta storleken på denna standardavvikelse påverkas av storleken på
medelvärdet nδ . Högre nδ -värden kommer således också att ge högre standardavvikelse. Vi
måste således standardisera denna standardavvikelse med hänsyn till storleken på nδ . Detta
gör vi helt enkelt genom att dividera standardavvikelsen med värdet på nδ . Efter att ha
multiplicerat denna standardiserade standardavvikelse med 100 har vi slutligen vårt mått på
variationen av styrkenivån. Vi betecknar detta mått med nσ , vilket alltså ges av
100
)1T()(
n
2n
n ×δ
−δ−δ=σ∑
τΩ∈ττ
. (4.1.2)
Vi kan alltså tolka nσ som den procentuella variationen för styrkenivåerna τδ runt
medelvärdet nδ .
Ett mått på en teststatistikas lägstanivå, punkt (iii), ges av det lägsta τδ -värdet över τΩ
för ett visst n-värde. Denna absoluta lägstanivå är dock inte av så stort direkt intresse för oss,
eftersom vi gör en jämförande studie mellan olika tests effektivitet. Vi är därför mer
intresserade av hur väl ett test klarar sig, när det uppvisar dåliga resultat, relativt de andra
testen. Ett mått på detta får vi om vi för ett visst n-värde dividerar samtliga av testets τδ -
värden i τΩ med det högsta τδ -värdet i motsvarande mängd θΩ av de 32 olika τδ -värdena,
och sedan undersöker vilket det lägsta värdet på denna kvot är. Efter att ha multiplicerat
denna relativa lägstanivå med 100 får vi slutligen det mått på en teststatistikas lägstanivå som
vi använder i denna uppsats. För ett visst n-värde betecknar vi detta mått med nλ , vilket alltså
ges av formeln
×
δδ
=λτΩ∈δ
τ
Ω∈τ
θ
τ
100max
min
t
n . (4.1.3)
33
Måttet anger sålunda hur stor andel (i procent) av den högsta styrkenivån som ett test uppvisar
när dess andel är som lägst, eller med andra ord hur nära testet ligger det bästa testet, när det
ligger längst bort från detta.
4.1.2 Aggregering över flera n-värden
Som aggregeringsmått för nδ , nσ och nλ över de olika n-värdena använder vi oss av
medelvärdet för dessa över n. Här stöter vi dock på ett par problem. Det första problemet är
att Shapiro-Wilks W-test är begränsat till n≤50, och att vi för detta test således endast har
tillgång till nδ -, nσ - och nλ -värden upp t.o.m. n=50. Eftersom vi för övriga test har nδ -,
nσ - och nλ -värden upp t.o.m. n=250, kan vi inte göra en rättvis jämförelse mellan Shapiro-
Wilks W-test och övriga test över samtliga n-värden. Detta problem löser vi genom att
använda oss av två medelvärden, ett för n-värden från n=10 till n=50, där vi inkluderar
Shapiro-Wilks W-test, och ett annat för n-värden från n=10 till n=250, där vi exkluderar
Shapiro-Wilks W-test. För nδ , nσ och nλ betecknar vi här de förra med 50δ , 50σ
respektive λ50, och de senare med 250δ , 250σ respektive λ250. Beräkningarna av 50δ ,
50σ och λ50 ges då av formlerna
55050n
10nn∑
=
=
δ=δ , (4.1.4)
55050n
10nn∑
=
=
σ=σ , (4.1.5)
55050n
10nn∑
=
=
λ=λ . (4.1.6)
Det andra problemet handlar om hur vi skall beräkna medelvärdet för gruppen med n-
värden från n=10 till n=250. Problemet består i avståndet mellan de olika n-värden vi har
observationer från inte är konstant. Sålunda är avståndet 10 enheter för n=10 till n=50, 50
enheter för n=50 till n=100, och 150 enheter för n=100 till n=250. Detta faktum måste vi ta
hänsyn till när vi beräknar medelvärdet från n=10 till n=250. Vi gör detta genom att med 10
enheters mellanrum konstruera 4 nya fiktiva observationer mellan n=50 och n=100, och 14
nya fiktiva observationer mellan n=100 och n=250, vilka vi tar med när vi beräknar
medelvärdena över n=10 till n=250. På så sätt får vi att avståndet mellan de olika n-värden vi
har observationer för är konstant 10 enheter för hela sträckan n=10 till n=250. De nya fiktiva
observationerna konstruerar vi genom betrakta förändringarna mellan observationerna för
34
n=50 och n=100 respektive n=100 och n=250 som linjära funktioner av n mellan dessa
observationer. Värdet för de fiktiva observationerna fås alltså av vad deras n-värde ger för
värde hos de linjära funktionerna. När vi i praktiken skall beräkna de olika medelvärdena över
n=10 till n=250 behöver vi dock ej beräkna de fiktiva observationernas värden. Till
medelvärdesformeln behöver vi endast summan av de fiktiva observationernas värden, inte
varje enskild observations värde. Nu är det ett känt faktum att summan av m stycken
observationer är lika med medelvärdet av samma observationer multiplicerat med antalet
observationer, m, det vill säga
∑∑ =⇔= xxmxm
x. (4.1.7)
Vi vet dessutom att för en linjär funktion från a till b ges medelvärdet på sträckan från a till b
av (a+b)/2. Överfört till vårt fall innebär detta att eftersom medelvärdet för de fyra fiktiva
observationerna mellan n=50 och n=100 ligger på n=75, och medelvärdet för de 14 fiktiva
observationerna mellan n=100 och n=250 ligger på n=175, så ges dessa båda medelvärden av
genomsnittet av värdet på observationerna för n=50 och n=100 respektive n=100 och n=250.
Multiplicerar vi sedan dessa båda medelvärden med fyra respektive 14 så får vi summan av
fyra respektive 14 fiktiva observationerna. Vi använder detta i våra beräkningar av 250δ ,
250σ och λ250, vilka sålunda ges av
25
214
24
250250
250100100
1005050
10in δ+
δ+δ+δ+
δ+δ+δ
=δ∑=
, (4.1.8)
25
214
24
250250
250100100
1005050
10in σ+
σ+σ+σ+
σ+σ+σ
=σ∑= , (4.1.9)
25
214
24
250250
250100100
1005050
10in λ+
λ+λ+λ+
λ+λ+λ
=λ∑= . (4.1.10)
Som ytterligare ett aggregeringsmått för nλ använder vi det minsta av samtliga nλ -
värden för n=10 till n=50 respektive n=100 till n=250. Vi betecknar detta mått med Λ50
respektive Λ250, vilka sålunda ges av
n50n10min50 λ=Λ
≤≤, (4.1.11)
n250n100min250 λ=Λ
≤≤. (4.1.12)
35
Slutligen inför vi också ett relativmått för ett tests 50δ - och 250δ -värden. Låt 50δΩ
och 250δΩ beteckna mängden av de 50δ - respektive 250δ -värden som har beräknats över ett
visst τΩ . Vi beräknar sedan relativmåttet för ett tests 50δ - och 250δ -värden genom
10050max
5050%max
5050
×δ
δ=δ
δΩ∈δ
, (4.1.13)
100250max
250250%max
250250
×δ
δ=δ
δΩ∈δ
. (4.1.14)
4.1.3 Mätning av sambandet mellan kombinationstestens två delar
Vi kommer i detta kapitel att vid några tillfällen mäta sambandet mellan de olika
kombinationstestens och deras normalitets- respektive heteroskedasticitetstestsdelars
styrkenivåer. Då kombinationstesten, som framgår av avsnitt (2.5), är linjära funktioner av ett
normalitetstest och ett heteroskedasticitetstest, så mäts detta samband enkelt med hjälp av den
linjära regressionsmodellen (1.1). I denna modell sätter vi kombinationstestets styrkenivåer
som den beroende variabeln, medan normalitets- och heteroskedasticitetstestens styrkenivåer
sätts som de två förklarande variablerna. Vi är därvid främst intresserade av värdena på 1β
och 2β , vilka mäter den inverkan som en förändring i normalitets- respektive
heteroskedasticitetstestets styrkenivå får på den genomsnittliga styrkenivån för
kombinationstestet, givet att det andra testets nivå hålls konstant. En jämförelse av storleken
på 1β och 2β säger oss därmed vilket test som har störst betydelse för kombinationstestets
styrkenivå.
4.1.4 Allmänt om analysen av simuleringsresultaten
I den presentation och analys av de olika testens styrka som vi gör i de närmast följande
avsnitten kommer vi för fullständighetens och överskådlighetens skull att ha den
dubbelriktade nollhypotesen (1.2) om lika varians och normalfördelning som nollhypotes för
alla de test vi analyserar, även för de normalitets- och heteroskedasticitetstest som formellt är
utvecklade endast för att testa normalitet respektive lika varians, och sålunda egentligen har
en enkelriktad nollhypotes. Det innebär alltså att vi för samtliga test betraktar nollhypotesen
som falsk under alla de olika alternativa avvikelserna från NH – d.v.s. såväl HN som HN
36
och HN . Bera och Jarque50 argumenterar att man kan använda de enkelriktade testen på detta
sätt, och därmed betrakta dessa test som renodlade signifikanstest, där förkastelse av
nollhypotesen (1.2) kan tolkas som en indikation på att det föreligger någon slags felaktighet i
nollhypotesen. För normalitetstesten finns det dessutom ett visst teoretiskt stöd för antagandet
att dessa skall kunna upptäcka heteroskedasticitet, eftersom heteroskedasticitet är en form av
ickenormalitet. En fördelning som består av flera olika normalfördelningar, vare sig olikheten
består i olika medelvärde eller olika varians, är exempelvis inte en normalfördelning. Den
gemensamma fördelningen av störningstermerna iu kan således inte vara normalfördelad vid
heteroskedasticitet. Och eftersom de normalitetstest som vi använder alla bygger på
störningstermernas gemensamma fördelning skall de också rent teoretiskt kunna upptäck
heteroskedasticiteten, genom att denna ger upphov till en avvikelse från normalfördelningen.
Omdömena om ett tests effektivitet kommer med nödvändighet att handla om dess
effektivitet i förhållande till de andra test som vi analyserar, eftersom det vi gör är en
jämförelse mellan olika test. Hade andra test tagits med i undersökningen skulle därmed
omdömena kunnat bli något annorlunda.
Då vi vid analysen av testens effektivitet använder oss av flera olika mått kommer det
vidare, av naturliga skäl, ibland att uppstå problem, eftersom ett test som uppvisar bra resultat
för vissa mått ibland uppvisar sämre resultat för andra mått. Detta kommer vi att få se
åtskilliga exempel på. Frågan är då hur stor vikt vi skall lägga vid de olika måtten för att
kunna göra en generell bedömning av ett tests effektivitet. Detta är naturligtvis en subjektiv
fråga, där olika personer kan lägga olika vikt vid de olika måtten. Utifrån det mycket vanliga
scenario som skissades upp i inledningen (se kap. 1), varvid vi vill analysera ett dataset där vi
inte har någon kunskap om eventuell ickenormalitet eller heteroskedasticitet hos
störningstermerna iu , väljer vi dock här att lägga störst vikt på nδ -måttet, följt av Λn-måttet.
Att det är viktigt med en hög genomsnittlig styrkenivå, vilket vi mäter med nδ -måttet,
behöver knappast motiveras. Men det är också viktigt att veta att testet är robust i den
meningen att det är allmänt tillämpbart för alla slags fördelningar och alla slags
heteroskedasticitetsvarianter. Om testet fallerar för något slags utseende på störningstermerna
så blir det i praktiken oanvändbart, eftersom vi aldrig kan veta om vi kommer att stöta på
detta utseende vid en praktisk testsituation eller inte. Därför är det mycket viktigt att veta att
testet aldrig fallerar, vilket vi mäter genom den relativa lägstanivån totalt, med måttet Λn.
50 Bera, A. K. – Jarque, C. M., op. cit., s. 71.
37
För att få en objektiv måttstock på testens effektivitet inför vi följande
bedömningsskala:
• Ett test har en acceptabel effektivitet för n≤50 om 7550max% ≥δ och Λ50≥25.
• Ett test har en acceptabel effektivitet för n≤250 om 7550max% ≥δ , 75250max% ≥δ ,
Λ50≥25 och Λ250≥25.
• Det totalt sett bästa testet för n≤50 respektive n≤250 är det test som har högst 50δ -
respektive 250δ -värde bland de test som uppfyller effektivitetskraven för respektive
grupp.
Vidare kommer vi vid analysen att lägga störst vikt vid de mått som har beräknats över
n-värden upp till n=50. Detta dels eftersom inte alla test har några värden för n>50, dels
eftersom vi bedömer det som varande av större betydelse att kunna avgöra skillnaderna i
styrkenivåer vid små stickprov än vid stora stickprov, då möjligheterna att förkasta en falsk
nollhypotes genomgående är betydligt mindre för små stickprov, och styrkenivån därmed har
större betydelse. Sålunda kommer de tabeller där vi presenterar resultaten genomgående att
sorteras efter värdena på 50δ .
4.2 Resultat för homoskedastiska ej normalfördelade störningstermer
I detta avsnitt skall vi analysera simuleringsresultaten för fallet HN , d.v.s. resultaten från de
simuleringar där störningstermerna har lika varians men inte är normalfördelade. Vi delar
först in de olika simuleringarna i tre grupper, beroende på fördelningarnas 1β - och 2β -
värden, och analyserar dessa gruppers nδ -, nδ -, nσ -, λn- och Λn-värden var för sig.
Därefter gör vi motsvarande analys aggregerat över samtliga fördelningar.
4.2.1 Symmetriska fördelningar med β2<3
Resultaten för symmetriska platykurtiska fördelningar, d.v.s. fördelningar med 01 =β och
32 <β (se avsnitt 2.1) framgår av tabell 1, medan figur 1 och 2 visar utvecklingen över nδ
för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst respektive lägst
värden för 50δ respektive 250δ i tabell 1.
Som vi ser är det bara Rahman-Govindarajulus W~
-test och Shapiro-Wilks W-test som
uppfyller våra effektivitetskrav för n≤50, och endast W~
-testet som uppfyller dessa krav för
38
Tabell 1: Resultat för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2<3. Genomsnittliga styrkenivåer, standardiserade standardavvikelser och relativa lägstanivåer, samt relativa lägstanivåer totalt.
10δ 20δ 30δ 40δ 50δ 100δ 250δ 50δ 250δ %max
50δ
%max
250δ 50σ 250σ λ50 λ250 Λ50 Λ250
W~
7,86 22,11 36,62 49,26 59,02 75,00 81,07 34,97 67,66 100 100 67,37 53,30 89,48 92,66 82,51 92,80
W 5,64 12,76 25,80 40,00 52,68 * * 27,37 * 78,27 * 74,59 * 58,65 * 44,85 *
2A 4,89 10,25 17,99 25,53 33,59 59,68 75,43 18,45 54,39 52,76 80,39 81,59 66,67 34,74 34,73 26,19 32,73
2W 4,71 8,63 14,67 20,64 27,04 51,41 71,87 15,14 48,75 43,29 72,05 81,48 69,89 28,79 25,64 18,35 23,91
W~ ′ 4,23 6,38 11,65 18,91 27,46 59,32 75,50 13,73 52,83 39,26 78,08 99,96 74,13 19,29 17,06 11,44 15,94
rF 4,04 5,55 10,29 16,83 24,86 57,20 75,01 12,31 51,34 35,20 75,88 104,63 76,78 16,75 13,88 9,72 12,97
D 4,72 6,78 10,38 14,07 18,09 37,55 65,78 10,81 39,68 30,91 58,65 75,06 74,74 23,19 18,21 13,20 13,34
r 3,58 3,67 6,47 10,84 16,44 47,80 72,70 8,20 45,34 23,45 67,01 122,24 87,75 10,89 6,54 4,02 5,25
G1 5,82 6,37 6,04 6,33 6,12 5,98 5,27 6,14 5,79 17,56 8,56 22,39 14,19 16,50 7,37 6,41 4,75
WH 5,44 6,15 5,77 5,98 6,21 5,88 5,49 5,91 5,79 16,90 8,56 18,23 14,35 14,80 7,47 6,95 5,14
G2 5,73 5,78 5,25 5,69 5,68 5,51 5,11 5,63 5,42 16,10 8,01 13,62 8,72 14,08 6,90 6,26 4,88
P 5,19 5,31 5,04 4,84 5,24 5,14 5,08 5,13 5,13 14,67 7,58 6,51 5,23 10,91 6,12 5,04 4,61
rS 5,13 5,30 4,92 4,85 5,32 5,06 5,29 5,11 5,16 14,61 7,63 7,57 5,97 11,15 6,33 5,60 5,00
LMNWH 4,60 3,76 4,13 4,99 6,23 22,32 69,72 4,74 32,68 13,55 48,30 45,47 77,21 12,75 10,24 6,47 7,84
KNWH 4,55 3,41 4,10 5,03 6,48 24,08 69,97 4,71 33,48 13,47 49,48 51,84 77,94 12,81 10,35 6,39 8,09
ZNWH 2,95 2,26 3,11 3,50 4,20 8,44 41,70 3,20 17,70 9,15 26,16 40,81 65,11 6,71 7,22 4,56 5,33
ANWH 2,65 1,69 2,45 3,02 4,40 19,96 68,98 2,84 30,98 8,12 45,79 61,62 85,55 5,23 7,39 2,91 6,13
GQ 3,80 2,90 2,38 2,29 1,94 1,55 1,42 2,66 1,77 7,61 2,62 45,50 82,06 4,81 1,11 0,50 0,12
ALM H 3,21 2,34 2,03 2,09 1,85 1,51 1,29 2,31 1,63 6,61 2,41 61,80 99,23 2,96 0,68 0,40 0,03
LMH 3,34 2,15 1,85 1,82 1,71 1,53 1,24 2,17 1,58 6,21 2,34 69,13 104,31 2,48 0,58 0,30 0,03
K 2,74 1,07 0,77 1,39 4,52 45,72 75,08 2,10 43,10 6,01 63,70 155,61 102,39 2,96 5,88 0,17 3,05
LMN 2,82 1,14 0,79 0,98 3,32 44,15 75,03 1,81 42,30 5,18 62,52 149,62 102,24 3,18 5,74 0,18 2,73
LMNAH 2,62 1,33 1,11 1,01 1,01 16,83 71,77 1,42 30,06 4,06 44,43 102,59 109,98 2,35 3,75 0,23 1,59
KNAH 2,58 1,21 1,08 0,98 1,02 19,42 72,03 1,37 31,17 3,92 46,07 106,24 104,05 2,34 3,87 0,25 1,76
ZNAH 2,49 1,18 0,98 0,94 0,88 1,33 51,31 1,30 17,28 3,72 25,54 120,81 98,47 1,99 2,17 0,15 0,56
KNLMH 2,63 1,12 0,83 0,80 1,02 22,80 72,33 1,28 32,60 3,66 48,18 126,55 103,52 2,32 4,03 0,23 2,07
LMNH 2,66 1,20 0,85 0,75 0,94 20,33 72,03 1,28 31,51 3,66 46,57 124,20 107,67 2,32 3,83 0,24 1,94
ALM NH 2,47 1,06 0,84 0,76 0,78 13,99 70,64 1,18 28,50 3,37 42,12 138,26 132,03 1,89 2,76 0,08 1,06
ZNLMH 2,56 1,06 0,81 0,74 0,70 1,42 52,70 1,18 17,72 3,37 26,19 143,26 111,07 2,10 2,09 0,14 0,59
ALM N 2,57 0,97 0,70 0,56 1,03 34,32 74,35 1,17 37,83 3,35 55,91 165,18 106,68 2,07 3,69 0,04 1,23
Z2 2,64 1,06 0,73 0,61 0,57 5,93 67,55 1,12 24,26 3,20 35,86 157,52 164,94 2,37 1,40 0,06 0,18
ANLMH 2,53 0,99 0,73 0,62 0,62 15,64 71,11 1,10 29,28 3,15 43,28 159,69 133,93 1,93 2,71 0,07 0,89
medel 3,86 4,28 5,97 8,02 10,34 23,77 52,38 6,50 28,15 18,57 41,61 87,53 81,29 13,27 10,40 8,25 8,60
Anm.: Tabellen är baserad på totalt 12 τ-kolumner. Testen är sorterade efter värdet på 50δ . Alla värden är angivna i procent. Det bästa värdet för varje kolumn är markerat med fet stil. Det bästa respektive sämsta värdet bland kombinationstesten är markerat med enkel respektive prickad understrykning. Signifikansnivå: α=0,05.
n≤250. Vi ser också att W~
-testet är det överlägset bästa testet för såväl n≤50 som n≤250. Det
har högst styrkenivå för samtliga n-värden, med genomsnittliga styrkenivåer på 97,3450 =δ
och 66,67250=δ . För 50δ når de andra och tredje bästa testen endast upp till värden på
78,27 respektive 52,76 procent av W~
-testets värde, medan motsvarande siffror för 250δ är
80,39 respektive 78,08 procent. Detta mönster återspeglas också i de relativa lägstanivåerna.
När W~
-testet är som sämst är dess styrkenivå ändå 82,51 procent av det bästa testets
styrkenivå för n≤50 och 92,80 procent av det bästa testets styrkenivå för n>50, att jämföra
med 44,85 respektive 32,73 procent för det bästa av de övriga testen.
39
Figur 1: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst
respektive lägst 50δ -värden för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2<3.
n
10 20 30 40 50
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
W-våg
G1
LMNWH
LMH
ANLMH
Z2
Figur 2: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst
respektive lägst 250δ -värden för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2<3.
n
0 50 100 150 200 250
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
W-våg
KNWH
Z2
ZNAH
G1
LMH
40
Ser vi till de renodlade normalitetstesten som helhet så framgår det att EDF-testen,
tillsammans med de regressions- och korrelationsbaserade testen, tar alla de översta
platserna. Men undantaget W~
- och W-testen så är resultaten för normalitetstesten dåliga.
Sålunda har exempelvis alla test utom 2A -testet värden på 5050max% <δ och Λ50<25.
Allra sämst klarar sig de χ2-fördelade normalitetstesten, d.v.s. de test som baserar sig på
skevhet och kurtosis eller på moment. För n≤50 har det bästa av dessa test, K-testet, ett 50δ -
värde på 2,10, vilket är bara 6,01 procent av W~
-testets värde för motsvarande mått. Samtidigt
är dess Λ50-värde så lågt som 0,17, att jämföra med Λ50=82,51 för W~
-testet.51 Först för
n=250 klarar sig alla de χ2-fördelade normalitetstesten bra. Slutsatsen måste bli att åtminstone
upp till n=50 är dessa χ2-fördelade normalitetstest helt oanvändbara för platykurtiska
fördelningar.
Tittar vi sedan på den andra sortens enkelriktade test, heteroskedasticitetstesten, så ser
vi att för alla test ligger nδ inom några procentenheter från signifikansnivån α=5 procent för
samtliga n-värden. Detta var ungefär vad man hade kunnat förvänta sig, eftersom
heteroskedasticitetstesten inte är konstruerade för att kunna upptäcka avvikelser från
normalitetsantagandet.
Så kommer vi då slutligen till huvudfrågan: Hur klarar sig kombinationstesten för dessa
platykurtiska fördelningar? Svaret på denna fråga måste tyvärr bli att de klarar sig nästan lika
dåligt som de χ2-fördelade normalitetstesten. Det kombinationstest som uppvisar bäst resultat
för 50δ , LMNWH-testet, har ett 50δ -värde på 4,74, vilket är bara 13,55 procent av
motsvarande värde för det bästa testet, Rahman-Govindarajulus W~
-test. Till och med flera
renodlade heteroskedasticitetstest har högre 50δ -värden än det bästa kombinationstestet.
Liksom för de χ2-fördelade normalitetstesten är det först vid n=250 som alla kombinationstest
uppvisar bra resultat. Detta är emellertid bara vad man kunde ha förväntat sig, efter att ha sett
resultaten för de χ2-fördelade normalitets- respektive heteroskedasticitetstest som
kombinationstesten baserar sig på. Då de förra inte klarade sig bra kunde inte heller de senare
göra detta. Slutsatsen blir därmed också densamma som för de χ2-fördelade normalitetstesten:
51 Observera att de χ2-fördelade normalitetstestens signifikansnivå kollapsar totalt för samtliga Tukeyfördelningar. Detta beteende överensstämmer väl med de simuleringsresultat för observationsdata som presenteras i Zoubir, A. M. – Arnold, M. J., ”Testing Gaussianity with the characteristic function: The i.i.d.
case”, Signal Processing 53 (1996), s.253. För n=64 och α=5% har 2Z -statistikan en signifikansnivå på bara 0,5% för Tukey(5)-fördelningen, att jämföra med t.ex. 22,9% för Shapiro-Wilks W-test.
41
upp till n=50 är just dessa kombinationstest inte användbara för att testa normalitetshypotesen
för platykurtiska fördelningar.
Vad gäller kombinationstesten kan det i övrigt noteras att de fyra test som klarar sig bäst
alla är baserade på WH-testet när det gäller heteroskedasticitetstestsdelen, vilket också är det
heteroskedasticitetstest som klarar sig bäst av de χ2-fördelade heteroskedasticitetstesten.
Vidare ser vi att skillnaderna mellan de olika kombinationstesten är förhållandevis stora för
såväl 50δ som 250δ , trots deras likhet i uppbyggnad. För 50max% δ varierar exempelvis
värdena mellan 3,15 och 13,55, medan variationen för 250max% δ är ännu större – från 25,54
till 49,48.
4.2.2 Symmetriska fördelningar med β2>3
I tabell 2 presenteras resultaten för simuleringar med störningstermer från symmetriska
leptokurtiska fördelningar, d.v.s. fördelningar med 01 =β och 32 >β (se avsnitt 2.1). Ett
diagram över utvecklingen för nδ för de normalitets-, heteroskedasticitets- och
kombinationstest som har högst respektive lägst 50δ - respektive 250δ -värden i tabell 2
presenteras sedan i figur 3 och 4.
Det framgår tydligt att för de flesta test är resultaten helt annorlunda här jämfört med
resultaten för de symmetriska platykurtiska fördelningarna. Alla kombinationstest och χ2-
fördelade normalitetstest uppfyller här med bred marginal de effektivitetskrav vi har ställt upp
för såväl n≤50 som n≤250. Urzúas ALMN-test är det bästa testet för n≤50 med ett 50δ -värde
på 30,08, medan r-testet är bäst över n≤250 med sitt 250δ -värde på 61,23. Men skillnaderna
är bara marginella mellan de högst rankade testen, vilket mått som än används. För 50δ ligger
de 15 bästa testen inom två procentenheter (30,08-28,17) från det allra bästa testet, och
motsvarande siffra för 250δ är fem procentenheter (61,23-56,49).
Vidare kan vi konstatera att kombinationstesten ligger förhållandevis väl samlade för
såväl 50δ - som 250δ -måttet, med 50max% δ - värden från 85,77 till 99,77 och
250max% δ -värden mellan 86,38 och 97,80. I övrigt kan det också vara värt att notera att det
kombinationstest som hade bäst 50δ -värde för de platykurtiska fördelningarna, LMNWH-
testet, här uppvisar det sämsta 50δ -värdet.
Bland de normalitetstest som ej är och χ2-fördelade är det enbart D -, W- och W~
-testen
som misslyckas med att uppfylla effektivitetskraven. Särskilt anmärkningsvärt är det att
42
Tabell 2: Resultat för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2>3. Genomsnittliga styrkenivåer, standardiserade standardavvikelser och relativa lägstanivåer, samt relativa lägstanivåer totalt.
10δ 20δ 30δ 40δ 50δ 100δ 250δ 50δ 250δ %max
50δ
%max
250δ 50σ 250σ λ50 λ250 Λ50 Λ250
ALM N 12,76 23,16 32,20 38,30 43,99 62,15 82,59 30,08 60,83 100 99,35 45,53 36,21 94,09 95,49 89,89 93,66
ANLMH 13,19 23,49 31,96 38,10 43,34 60,88 81,45 30,01 59,88 99,77 97,80 45,50 36,95 94,71 92,12 90,68 91,39
ALM NH 13,20 23,39 31,70 37,73 42,82 60,60 81,32 29,77 59,64 98,97 97,40 45,68 37,15 93,74 91,24 89,87 90,42
r 11,78 22,61 31,61 38,19 44,29 63,21 82,69 29,70 61,23 98,74 100 48,00 37,76 88,60 94,44 82,68 96,17
K 12,63 22,82 31,57 37,56 43,08 61,42 82,13 29,53 60,20 98,17 98,32 45,81 36,66 91,88 93,31 89,27 92,28
LMN 12,63 22,73 31,35 37,33 42,75 61,25 82,10 29,36 60,06 97,61 98,09 45,87 36,75 91,41 92,94 89,50 92,06
KNLMH 13,17 22,97 30,91 37,18 42,14 59,98 80,91 29,27 59,11 97,31 96,54 46,06 37,55 91,72 90,00 87,53 89,40
LMNH 12,78 22,67 30,44 36,52 41,76 59,71 80,79 28,84 58,84 95,88 96,10 46,38 37,73 89,50 88,95 86,20 88,36
rF 11,61 21,98 30,46 36,76 42,69 61,36 81,43 28,70 59,75 95,41 97,58 48,76 39,19 85,10 88,25 80,69 87,36
ANWH 12,96 22,60 30,37 36,32 41,22 58,41 79,62 28,70 57,88 95,41 94,53 46,62 38,77 89,53 85,90 85,27 81,48
KNAH 12,59 22,44 30,44 36,51 41,38 59,48 80,80 28,67 58,69 95,31 95,85 46,18 37,82 88,41 88,61 86,54 88,34
Z2 12,63 22,54 30,72 36,22 40,97 58,65 80,30 28,62 58,16 95,15 94,99 45,82 37,88 88,64 88,16 84,32 87,52
ZNLMH 13,11 22,76 30,33 36,12 40,16 56,57 77,96 28,49 56,49 94,71 92,26 45,91 38,95 88,78 83,81 81,71 81,28
W~ ′ 11,49 21,72 29,95 36,20 42,09 60,77 81,02 28,29 59,26 94,05 96,78 49,11 39,64 83,66 86,70 80,55 85,80
LMNAH 12,10 22,10 29,81 35,97 40,88 59,13 80,71 28,17 58,38 93,65 95,35 46,40 38,03 85,91 87,66 83,47 87,91
ZNAH 13,06 22,48 29,70 35,36 39,19 55,92 77,79 27,96 55,99 92,95 91,44 46,05 39,24 87,01 82,67 80,33 80,53
KNWH 10,97 20,69 28,25 34,34 39,21 57,02 78,91 26,69 56,53 88,73 92,32 48,01 39,83 79,57 80,67 75,71 78,18
ZNWH 12,55 20,88 27,53 32,59 36,44 52,09 74,81 26,00 52,89 86,44 86,38 47,95 41,94 79,35 73,09 72,08 68,00
LMNWH 9,85 19,77 27,22 33,62 38,53 56,59 78,80 25,80 56,09 85,77 91,61 48,58 40,14 74,62 78,92 65,16 77,82
2A 10,37 18,68 25,49 30,20 35,23 52,36 73,36 23,99 52,04 79,75 84,99 56,31 50,77 64,00 52,10 56,35 44,98
2W 10,25 17,63 24,07 28,56 33,17 49,50 70,34 22,74 49,51 75,60 80,86 58,49 54,53 59,16 46,70 49,48 39,89
W 10,01 18,65 24,50 26,76 29,32 * * 21,85 * 72,64 * 55,82 * 62,53 * 49,49 *
D 9,24 14,75 19,47 23,30 26,77 41,33 62,77 18,71 42,50 62,20 69,41 60,28 61,06 49,26 37,13 39,74 32,03
W~
7,99 12,21 15,30 17,82 20,53 32,71 58,01 14,77 36,24 49,10 59,19 65,60 67,52 39,03 26,89 29,82 20,83
LM H 8,87 11,39 12,33 13,62 13,77 16,39 19,42 12,00 16,27 39,89 26,57 36,84 48,40 36,54 22,09 24,30 16,55
ALM H 8,25 10,65 11,84 13,51 13,25 15,94 19,31 11,50 15,91 38,23 25,98 34,75 47,74 32,76 20,87 22,48 16,57
GQ 6,28 9,43 10,36 11,52 11,78 13,15 14,30 9,87 12,76 32,81 20,84 32,05 40,99 27,42 17,68 20,14 13,41
rS 5,72 5,76 5,40 5,31 5,50 5,34 5,27 5,54 5,37 18,42 8,77 14,69 14,39 14,79 7,58 8,64 4,89
G2 5,34 5,50 5,01 5,29 5,34 5,23 5,10 5,30 5,21 17,62 8,51 8,37 8,01 11,49 6,90 7,78 4,90
WH 5,68 5,35 5,01 5,15 5,26 5,15 4,88 5,29 5,10 17,59 8,33 12,15 7,65 9,09 5,60 6,06 4,00
P 5,25 5,39 5,20 5,12 5,27 5,28 5,15 5,25 5,23 17,45 8,54 12,24 11,49 12,92 6,79 7,21 4,48
G1 5,13 5,34 5,01 5,17 5,15 5,23 5,05 5,16 5,16 17,15 8,43 8,96 8,24 10,45 6,51 7,17 4,78
Medel 10,42 17,64 23,30 27,57 31,16 44,28 60,29 22,02 43,91 73,20 71,71 42,02 37,06 65,49 61,93 59,69 59,52
Anm.: Tabellen är baserad på totalt 17 τ-kolumner. Testen är sorterade efter värdet på 50δ . Alla värden är angivna i procent. Det bästa värdet för varje kolumn är markerat med fet stil. Det bästa respektive sämsta värdet bland kombinationstesten är markerat med enkel respektive prickad understrykning. Signifikansnivå: α=0,05.
Rahman-Govindarajulus W~
-test, som var det överlägset bästa testet för de platykurtiska
fördelningarna, här är det klart sämsta av de renodlade normalitetstesten, vilket mått som än
används. För 10δ är med sitt värde på 7,99 till och med sämre än LMH- och ALMH-testens
värden på 8,87 respektive 8,25, trots att dessa är renodlade heteroskedasticitetstest. Inte ens
dess 50δ -värde på 14,77 är mycket bättre än LMH- och ALMH-testens värden på 12,00
respektive 11,50 för motsvarande mått. Det är också det enda normalitetstest för vilket
5050max% <δ .
Om vi i övrigt ser på de renodlade heteroskedasticitetstesten så kan vi konstatera att
dessa som väntat uppvisar de lägsta styrkenivåerna. Vi kan här dela upp testen i två grupper,
43
Figur 3: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst
respektive lägst 50δ -värden för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2>3.
n
10 20 30 40 50
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45ALMN
ANLMH
LMNWH
G1
W-våg
LMH
Figur 4: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst
respektive lägst 250δ -värden för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2>3.
n
0 50 100 150 200 250
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
rANLMH
ZNWH
W-våg
LMH
WH
44
Tabell 3: Resultat för HN -simuleringar från ickesymmetriska fördelningar. Genomsnittliga styrkenivåer, standardiserade standardavvikelser och relativa lägstanivåer, samt relativa lägstanivåer totalt.
10δ 20δ 30δ 40δ 50δ 100δ 250δ 50δ 250δ %max
50δ
%max
250δ 50σ 250σ λ50 λ250 Λ50 Λ250
W 12,40 27,57 39,63 48,78 55,37 * * 36,75 * 100 * 72,57 * 70,95 * 61,10 *
W~
11,42 27,26 38,26 47,44 54,22 72,58 85,99 35,72 68,03 97,20 100 72,83 48,66 80,20 79,84 74,78 73,94
W~ ′ 12,67 25,85 35,77 44,10 51,15 70,26 85,18 33,91 66,23 92,27 97,35 76,55 52,03 39,19 27,36 28,94 19,05
rF 12,61 25,40 35,35 43,30 50,34 69,61 84,92 33,40 65,73 90,88 96,62 77,30 52,69 36,32 23,90 25,17 16,21
2A 11,62 24,78 34,81 42,67 48,61 67,06 83,35 32,50 63,89 88,44 93,91 77,30 53,32 54,82 48,13 45,95 41,07
r 12,25 24,07 33,75 41,26 47,53 67,22 83,75 31,77 63,84 86,45 93,84 79,78 54,97 29,99 15,39 16,20 7,40
2W 11,07 22,56 31,70 39,16 44,71 62,95 80,90 29,84 60,61 81,20 89,09 79,90 56,23 50,70 41,39 39,63 37,45
LM N 12,62 22,23 30,93 37,72 43,18 65,40 84,35 29,34 62,48 79,84 91,84 81,30 56,03 22,40 13,19 6,25 9,74
K 12,35 21,58 30,53 37,30 42,91 65,37 84,33 28,93 62,36 78,72 91,67 81,74 56,16 21,49 13,04 6,16 9,67
Z2 11,91 21,50 30,05 36,95 42,28 64,59 84,06 28,54 61,83 77,66 90,89 81,18 56,30 20,73 10,30 5,54 5,63
ZNLM H 11,75 21,11 29,31 35,90 40,31 59,95 81,53 27,68 58,83 75,32 86,48 82,81 59,20 19,83 10,40 5,57 5,76
KNLM H 12,00 21,19 29,30 35,54 40,26 60,20 82,23 27,66 59,15 75,27 86,95 83,95 59,14 20,11 10,93 5,51 6,77
LM NH 11,74 21,40 29,32 35,16 40,42 60,15 82,13 27,61 59,10 75,13 86,87 84,14 59,18 19,95 10,93 5,83 6,69
ALM N 11,55 20,03 28,73 35,12 40,56 62,38 83,91 27,20 60,49 74,01 88,92 83,10 57,92 18,23 8,77 4,27 6,55
ZNWH 11,56 20,67 28,88 35,01 38,84 57,00 79,67 26,99 56,80 73,44 83,49 82,82 60,77 23,66 16,16 11,52 9,65
ZNAH 11,54 20,61 28,25 34,37 38,86 58,35 81,25 26,73 57,80 72,73 84,96 84,22 60,49 19,39 10,32 6,23 5,23
KNWH 11,00 20,43 28,41 34,52 38,63 56,84 80,07 26,60 56,77 72,38 83,45 82,89 60,70 25,68 16,52 11,88 10,10
ANLM H 11,57 20,16 28,16 33,89 38,91 58,01 81,67 26,54 57,76 72,22 84,90 84,51 60,66 17,78 8,56 3,96 4,12
KNAH 11,31 19,87 28,06 33,77 38,64 58,44 81,98 26,33 57,97 71,65 85,21 85,53 60,47 19,22 10,55 6,16 5,68
LM NWH 10,02 20,20 28,02 34,49 38,56 56,51 80,02 26,26 56,55 71,46 83,13 82,35 60,78 25,68 16,59 12,40 9,99
ANWH 11,48 20,01 27,96 33,55 38,08 55,92 79,71 26,21 56,16 71,32 82,55 84,38 61,81 20,59 13,75 8,80 8,20
LM NAH 10,89 19,91 27,65 33,68 38,62 58,04 81,93 26,15 57,75 71,16 84,89 85,56 60,70 19,00 10,44 6,68 5,32
ALM NH 11,42 19,77 27,53 33,06 38,24 56,94 81,33 26,00 57,06 70,75 83,87 85,35 61,51 17,51 8,70 4,59 4,03
D 9,53 18,34 26,16 33,15 37,97 55,94 76,45 25,03 54,88 68,11 80,67 81,07 60,37 43,78 35,44 32,90 29,88
LM H 7,29 8,58 9,10 9,67 9,68 11,22 12,64 8,86 11,08 24,11 16,29 63,26 80,88 12,86 4,40 3,22 1,91
ALM H 7,06 7,93 8,46 9,42 9,13 10,50 12,52 8,40 10,62 22,86 15,61 59,57 80,00 12,56 4,44 3,41 2,10
GQ 5,60 7,69 8,14 9,09 9,04 9,19 9,81 7,91 9,12 21,52 13,41 52,39 69,07 11,13 4,36 3,90 2,25
rS 6,40 7,55 7,28 7,43 8,35 8,71 9,84 7,40 8,78 20,14 12,91 43,70 56,70 15,66 8,46 8,20 5,56
G2 6,27 6,74 6,23 6,84 6,93 7,43 7,69 6,60 7,31 17,96 10,75 24,05 30,07 12,84 7,64 7,72 5,35
P 6,25 6,62 6,46 6,29 6,84 7,19 7,62 6,49 7,16 17,66 10,52 28,20 36,59 12,98 7,31 7,00 5,48
G1 5,87 6,67 6,40 6,74 6,75 7,62 7,78 6,49 7,37 17,66 10,83 21,09 28,27 12,19 7,89 7,96 5,62
WH 5,40 5,86 5,36 5,48 5,63 5,27 5,04 5,54 5,28 15,07 7,76 8,20 5,18 8,94 5,86 5,84 4,70
medel 10,26 18,25 24,81 30,03 34,05 47,96 63,34 23,48 46,74 63,89 68,70 70,42 55,38 26,14 16,48 15,10 11,97
Anm.: Tabellen är baserad på totalt 23 τ-kolumner. Testen är sorterade efter värdet på 50δ . Alla värden är angivna i procent. Det bästa värdet för varje kolumn är markerat med fet stil. Det bästa respektive sämsta värdet bland kombinationstesten är markerat med enkel respektive prickad understrykning. Signifikansnivå: α=0,05.
som skiljer sig något åt. Medan LMH-, ALM H- och GQ-testen har trendmässigt stigande
styrkenivåer för nδ -värdena, från 8,87, 8,25 respektive 6,28 för 10δ till så pass höga värden
som 19,42, 19,31 respektive 14,30 för 250δ , så håller sig övriga heteroskedasticitetstest hela
tiden inom plus/minus en procentenhet från α=5 procent över samtliga nδ -värden.
4.2.3 Ickesymmetriska fördelningar
Resultaten från simuleringar med ickesymmetriska fördelningar, d.v.s. fördelningar med
01 ≠β , presenteras i tabell 3. Figur 5 och 6 visar sedan nδ -nivåerna för de normalitets-,
45
Figur 5: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst
respektive lägst 50δ -värden för HN -simuleringar från ickesymmetriska fördelningar
n
10 20 30 40 50
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
WH
LMH
W
ZNLMH
D-tak
ALMNH
Figur 6: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst respektive lägst 250δ -värden för HN -simuleringar från ickesymmetriska fördelningar
n
0 50 100 150 200 250
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
W-vågKNLMH
ANWH
D-tak
LMH
WH
46
heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst respektive lägst 50δ - respektive
250δ -värden i tabell 3.
Det framgår att för dessa ickenormala fördelningar klarar sig de renodlade
normalitetstesten generellt sett betydligt bättre än kombinationstesten. Således uppfyller hela
sju normalitetstest – W-, W~
-, W~ ′ -, r-, rF-, 2A - och 2W -testen – effektivitetskraven för
n≤50, men inte ett enda kombinationstest. Shapiro-Wilks W-test är här det bästa testet över
n≤50, följt i tur och ordning av de två varianterna av detta test – Rahman-Govindarajulus W~
-
test och Weisberg-Binghams W~ ′ -test. För n≤250 uppfyller dock endast W
~-, 2A - och 2W -
testen de effektivitetskrav som vi ställt upp. Av dessa är W~
-testet det bästa testet.
Vidare kan vi vad gäller kombinationsstesten konstatera att alla ligger väl samlade när
det gäller värdena på 50δ och 250δ , med värdena för 50max% δ och 250max% δ
varierande mellan 70,75 och 75,32 respektive 82,55 och 86,95. Alla kombinationstest klarar
sig sålunda någorlunda bra för detta mått. Problemet är att värdena för Λn är så dåliga. De
bästa kombinationstesten har här värden på bara Λ50=12,40 respektive Λ250=10,10. Deras
pålitlighet är sålunda låg.
Heteroskedasticitetstesten, slutligen, gör som väntat sämst ifrån sig. De högsta värden
för 50max% δ och 250max% δ är så låga som 24,11 respektive 16,29, medan de olika
testens värden för nδ varierar mellan som lägst 5,04 och som högst 12,64. Dock håller endast
WH-testet här en jämn nivå inom plus en procentenhet från α=5 procent. Övriga test har en
stigande trend när n ökar.
4.2.4 Resultat aggregerat över samtliga ickenormala fördelningar
I detta avsnitt studerar vi simuleringsresultaten aggregerat över samtliga HN -alternativ,
oavsett utseendet på de ickenormala fördelningarna. Resultaten, som redovisas i tabell 4,
avspeglar naturligtvis de resultat som har presenterats i de mindre aggregerade tabellerna 1, 2
och 3 ovan. Figur 7 och 8 visar sedan nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets-
och kombinationstest som har de högsta respektive lägsta 50δ - respektive 250δ -värdena i
tabell 4.
47
Tabell 4: Resultat aggregerat över samtliga HN -simuleringar. Genomsnittliga styrkenivåer, standardiserade standardavvikelser och relativa lägstanivåer, samt relativa lägstanivåer totalt.
10δ 20δ 30δ 40δ 50δ 100δ 250δ 50δ 250δ %max
50δ
%max
250δ 50σ 250σ λ50 λ250 Λ50 Λ250
W 10,06 21,24 31,49 39,55 46,23 * * 29,71 * 100 * 75,66 * 52,90 * 44,85 *
W~
9,48 21,15 30,38 38,18 44,31 60,10 75,71 28,70 57,55 96,60 94,56 79,72 61,00 39,03 26,89 29,82 20,83
W~ ′ 10,34 20,01 28,30 35,70 42,72 64,63 81,59 27,41 60,86 92,26 100 79,36 54,49 19,29 17,06 11,44 15,94
rF 10,30 19,70 27,97 35,05 41,96 64,05 81,49 27,00 60,45 90,88 99,33 80,47 55,12 16,75 13,88 9,72 12,97
2A 9,66 19,43 27,88 34,64 40,77 60,55 78,26 26,48 57,82 89,13 95,00 78,03 56,95 34,74 34,73 26,19 32,73
r 10,10 18,88 26,76 33,24 39,30 61,43 80,85 25,65 58,72 86,33 96,48 84,18 57,51 10,89 6,54 4,02 5,25
2W 9,34 17,74 25,28 31,42 36,86 55,89 75,36 24,13 54,25 81,22 89,14 80,55 60,15 28,79 25,64 18,35 23,91
LM N 10,36 17,53 24,11 29,12 33,84 59,14 81,47 22,99 57,03 77,38 93,71 90,46 59,86 3,18 4,86 0,18 2,73
K 10,22 17,25 24,00 29,10 34,10 59,54 81,48 22,94 57,21 77,21 94,00 90,16 59,56 2,96 4,92 0,17 3,05
Z2 10,01 17,13 23,50 28,33 32,23 49,11 79,02 22,24 51,96 74,86 85,38 91,08 68,37 2,37 1,40 0,06 0,18
ALM N 9,87 16,65 23,40 28,18 32,56 55,83 81,27 22,13 55,37 74,49 90,98 90,96 61,68 2,07 3,00 0,04 1,23
KNLM H 10,22 17,14 23,26 28,06 31,82 51,50 79,51 22,10 53,01 74,39 87,10 91,96 64,70 2,32 4,03 0,23 2,07
LM NH 9,99 17,16 23,12 27,67 31,75 50,82 79,36 21,93 52,65 73,81 86,51 92,25 65,43 2,32 3,83 0,24 1,94
ZNLM H 10,07 17,02 23,07 27,86 31,12 45,34 73,71 21,83 48,58 73,48 79,82 91,70 72,29 2,10 2,09 0,14 0,59
ANLM H 10,01 16,82 23,07 27,59 31,52 49,17 79,16 21,80 51,88 73,38 85,24 91,69 67,03 1,93 2,71 0,07 0,89
ANWH 9,93 16,63 22,86 27,41 31,34 48,43 77,21 21,63 50,91 72,80 83,65 89,20 65,47 5,23 7,39 2,91 6,13
KNWH 9,50 16,59 22,75 27,66 31,40 49,34 77,36 21,58 51,32 72,64 84,32 85,46 63,41 12,81 10,35 6,39 8,09
ALM NH 9,94 16,63 22,74 27,14 31,09 48,22 78,86 21,51 51,31 72,40 84,31 91,92 67,83 1,89 2,76 0,08 1,06
KNAH 9,71 16,40 22,61 27,10 30,85 49,78 79,30 21,33 52,02 71,79 85,47 92,24 66,02 2,34 3,87 0,25 1,76
ZNAH 9,95 16,74 22,43 26,98 30,20 44,40 73,21 21,26 47,86 71,56 78,64 92,14 73,05 1,99 2,17 0,15 0,56
ZNWH 9,89 16,49 22,49 26,95 30,06 44,19 69,32 21,18 46,50 71,29 76,40 89,18 70,49 6,71 7,22 4,56 5,33
LM NWH 8,71 16,26 22,24 27,40 31,09 48,65 77,24 21,14 50,89 71,15 83,62 84,98 63,82 12,75 10,24 6,47 7,84
LM NAH 9,38 16,34 22,23 26,89 30,68 48,88 79,19 21,10 51,57 71,02 84,74 92,23 66,87 2,35 3,75 0,23 1,59
D 8,32 14,50 20,33 25,53 29,72 46,92 69,52 19,68 47,33 66,24 77,77 82,42 66,07 23,19 18,21 13,20 13,34
LM H 6,89 8,01 8,48 9,15 9,18 10,68 12,23 8,34 10,59 28,07 17,40 69,11 86,62 2,48 0,58 0,30 0,03
ALM H 6,56 7,53 8,08 9,07 8,80 10,21 12,15 8,01 10,27 26,96 16,87 65,67 85,63 2,96 0,68 0,40 0,03
GQ 5,41 7,15 7,54 8,32 8,30 8,72 9,35 7,34 8,61 24,71 14,15 57,36 75,72 4,81 1,11 0,50 0,12
rS 5,88 6,45 6,12 6,14 6,72 6,77 7,30 6,26 6,83 21,07 11,22 38,81 54,87 11,15 6,29 5,60 4,89
G1 5,62 6,17 5,86 6,13 6,08 6,46 6,31 5,97 6,28 20,09 10,32 21,46 28,65 10,24 6,12 6,41 4,75
G2 5,84 6,11 5,61 6,07 6,12 6,27 6,25 5,95 6,19 20,03 10,17 21,54 29,16 10,61 6,21 6,26 4,88
P 5,68 5,92 5,72 5,58 5,96 6,09 6,23 5,77 6,06 19,42 9,96 24,77 33,38 10,31 5,96 5,04 4,48
WH 5,50 5,76 5,34 5,49 5,64 5,37 5,09 5,55 5,34 18,68 8,77 13,79 10,51 8,62 5,50 5,84 4,00
Medel 8,84 14,83 19,97 24,15 27,64 41,18 59,82 19,08 41,52 64,23 68,23 75,02 60,38 11,00 8,06 6,57 6,23
Anm.: Tabellen är baserad på totalt 52 τ-kolumner. Testen är sorterade efter värdet på 50δ . Alla värden är angivna i procent. Det bästa värdet för varje kolumn är markerat med fet stil. Det bästa respektive sämsta värdet bland kombinationstesten är markerat med enkel respektive prickad understrykning. Signifikansnivå: α=0,05.
Som framgår av tabell 4 är det endast W-, W~
- och 2A -testen som uppfyller
effektivitetskraven för n≤50. Allra bäst klarar sig Shapiro-Wilks W-test,52 med det högsta
värdet för fyra av fem nδ -mått, det bästa värdet för 50δ samt dessutom högst värde för λ50
och Λ50. Det har alltså för n≤50 både det generellt sett högsta värdet på styrkenivån och den
relativt sett högsta styrkenivån när det uppvisar dålig styrka. Men W-testet har ju den
nackdelen att det endast är användbart för n-värden upp till och med 50. Vilket är då det bästa
52 Slutsatsen att Shapiro-Wilks W-test är det bästa ”allround”-testet stämmer väl överens med tidigare undersökningar där observationsdata har använts. Se t.ex. Gan, F. F. – Koehler, K. J., op. cit., ss. 296-298 och Mardia, K.V., op. cit., ss. 304-307.
48
Figur 7: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst
respektive lägst 50δ -värden för samtliga HN -simuleringar
n
10 20 30 40 50
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
50
W
D-tak
KNLMH
LMNAH
WH
LMH
Figur 8: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst respektive lägst 250δ -värden för samtliga HN -simuleringar
n
0 50 100 150 200 250
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
LMH
WH
W-våg-prim
KNLMH
D-tak
ZNWH
49
testet sett över hela n≤250? Vi ser att det bara är ett test som uppfyller effektivitetskraven för
n≤250, nämligen det modifierade Anderson-Darling-testet ( 2A -testet). Det är således det test
som generellt sett bäst klarar av att upptäcka avvikelser från normalfördelningen oavsett
storleken på n och oavsett vilken fördelning störningstermerna iu kommer från.
De renodlade normalitetstesten uppvisar totalt sett de bästa resultaten, vilket bara var att
vänta eftersom de är utvecklade just för att upptäcka avvikelser från normalitet. Sett till 50δ -
och 250δ -värdena är det de regressions- eller korrelationsbaserade normalitetstesten som
uppvisar allra bäst resultat. För EDF-testen är resultatet blandat. Medan 2A -testet
genomgående fungerar mycket bra är resultaten för det modifierade Kolmogorov-Smirnov-
testet (D ) mycket dåligt. Detta stämmer dock väl med vad vi kunde förvänta oss, då tidigare
studier av observationsdata har pekat åt samma håll.53 De χ2-fördelade normalitetstesten
klarar sig någorlunda bra, om man enbart ser till värdena för nδ och nδ . För samtliga test är
sålunda 49,7450max% ≥δ och 38,85250max% ≥δ . Men då de relativa lägstanivåerna är så
dåliga (0,04≤Λ50≤0,18 och 0,18≤Λ250≤3,05), vilket är ett arv från främst de symmetriska
platykurtiska fördelningarna, blir det sammanlagda resultatet att de inte är användbara som
omnibustest, d.v.s. test som kan upptäcka alla slags avvikelser från normalfördelningen.54
Kombinationstesten uppvisar vid en jämförelse med de renodlade normalitetstesten
genomgående bra resultat för styrkenivåerna. Sålunda ligger resultaten för 50max% δ mellan
71,02 och 74,39, medan värdena på 250max% δ ligger mellan 76,40 och 87,10. Det framgår
också från figur 8, som visar nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och
kombinationstest som har de högsta och lägsta 250δ -värden i tabell 4. Problemet är dock de
dåliga resultat som kombinationstesten uppvisar för Λn. För Λ50 och Λ250 är således de
högsta värdena bara 6,39 respektive 8,09. Detta kan jämföras med Λ50=44,85 för W-testet
och Λ250=32,73 för 2A -testet. Slutsatsen av allt detta måste bli att kombinationstesten,
liksom de χ2-fördelade normalitetstesten, inte är användbara som omnibustest för normalitet,
och därför inte kan användas i en praktisk situation där det inte finns någon kunskap om
eventuell ickenormalitet.
53 Se t.ex. D’Agostino, R. B. – Belanger, A. – D’Agostino Jr., R. B., op. cit., s. 316, Gingerich, P. D., op.cit., s. 128, och Gan, F. F. – Koehler, K. J., op. cit., s. 298. 54 Detta går rakt emot rekommendationerna i D’Agostino, R. B. – Belanger, A. – D’Agostino Jr., R. B., op. cit., ss. 316, 319 om att Z2-testet skall användas rutinmässigt som normalitetstest, särskilt för n>50, då Shapiro-Wilks W-test inte är användbart.
50
För de renodlade heteroskedasticitetstesten, slutligen, är nδ - och nδ -värdena
genomgående förhållandevis låga. För nδ ligger alla värden mellan 5,09 och 12,23, medan de
högsta värdena för 50max% δ och 250max% δ är 28,07 respektive 17,40. Eftersom
heteroskedasticitetstesten ju inte är konstruerade för att kunna upptäcka ickenormalitet så är
dessa resultat inte förvånande. Tvärtom hade man kunnat förvänta sig att värdena för nδ och
nδ låg runt α=5%. Notera dock att alla test har nδ - och nδ -värden som är större än 5, och
att endast fyra av testen – G1-, G2- P- och WH-testen – håller sig inom plus en och en halv
procentenhet från α=5 procent över samtliga nδ -värden.
Sambandet mellan kombinationstestens två delar
Vi skall här mäta det samband mellan de olika kombinationstesten och deras normalitets-
respektive heteroskedasticitetstestsdelar som finns under alternativet HN , d.v.s. för de
simuleringar som användes i tabell 4. Detta gör vi genom på det sätt som vi beskrev i avsnitt
4.1.3 för varje n-värde köra en regression över de 52 τ-kolumner som ligger till grund för
tabell 4. Resultatet redovisas i tabell 5.
Vi ser i tabell 5 att förklaringsgraden, mätt med R2-värdena, genomgående är hög.
Flertalet R2-värden ligger mellan 0,9 och 1,0, med ett genomsnitt på 0,946. Vi ser också att i
de flesta fall är 1β större än 2β . Detta är naturligt eftersom avvikelsen från nollhypotesen
beror på att störningstermerna inte är normalfördelade, och 1β kan sägas mäta
normalitetstestsdelens inverkan på kombinationstestets resultat. Genomsnittet för samtliga 1β -
värden är sålunda 0,866, medan det för 2β är -0,632. Spridningen av 1β -värdena är också
ganska liten. Genomgående ligger dessa mellan 0,65 och 0,95 vilket alltså skall tolkas som att
givet värdet på heteroskedasticitetstestsdelens styrkenivå så stiger kombinationstestets
styrkenivå med mellan 0,65 och 095 procentenheter då normalitetstestsdelens styrkenivå
stiger med en procentenhet. Vi kan också notera att genomsnittligt sett har de
kombinationstest som har WH-testet som heteroskedasticitetstestsdel både högst 1β -värden
och lägst 2β -värden.
51
Tabell 5: Resultat från regressioner med kombinationstestens beroende av sina normalitets- och heteroskedasticitetstestsdelar över samtliga simuleringar med homoskedastiska och ej normalfördelade störningstermer.
LMNH ANLM H ZNLM H KNLM H LM NWH ANWH ZNWH KNWH LM NAH ALM NH ZNAH KNAH Medel
n=10 0β -1,400 -0,649 -0,947 -1,251 *-1,265 -1,068 -1,281 -1,388 -1,579 -0,976 -1,325 -1,364 -1,208
1β 0,748 0,892 0,844 0,796 0,667 0,993 0,962 0,781 0,668 0,892 0,825 0,758 0,819
2β 0,527 0,268 0,374 0,483 0,558 0,217 0,282 0,529 0,614 0,320 0,461 0,506 0,428
R2 0,999 0,999 0,999 0,999 0,976 0,999 0,999 0,984 0,995 0,998 0,998 0,996 0,995
n=20 0β -0,715 -0,265 -0,562 -0,507 -6,817 -2,868 -4,558 -7,009 -1,399 -0,505 -0,768 -1,192 -2,264
1β 0,904 0,982 0,940 0,937 0,862 0,987 0,946 0,904 0,794 0,950 0,912 0,837 0,913
2β 0,252 0,092 0,185 0,186 1,382 0,530 0,843 1,389 0,506 0,174 0,251 0,418 0,517
R2 0,999 1,000 1,000 1,000 0,992 0,999 0,997 0,995 0,998 1,000 0,999 0,999 0,998
n=30 0β -0,902 -0,441 -0,535 -0,758 -6,946 -4,797 -5,936 -7,490 -1,553 -0,757 -0,859 -1,183 -2,680
1β 0,908 0,957 0,951 0,925 0,886 0,958 0,933 0,905 0,818 0,913 0,902 0,855 0,909
2β 0,250 0,131 0,148 0,213 1,466 0,981 1,214 1,594 0,503 0,265 0,259 0,404 0,619
R2 0,999 1,000 1,000 0,999 0,989 0,997 0,993 0,992 0,998 1,000 0,999 0,999 0,997
n=40 0β -1,545 -0,720 -0,554 -1,403 -9,804 -7,691 -8,022 -8,231 -2,154 -1,117 -1,191 -2,208 -3,720
1β 0,886 0,936 0,942 0,903 0,901 0,946 0,925 0,912 0,824 0,896 0,884 0,833 0,899
2β 0,372 0,211 0,190 0,348 2,001 1,538 1,598 1,706 0,559 0,332 0,345 0,559 0,813
R2 0,999 1,000 1,000 0,998 0,991 0,998 0,995 0,993 0,997 0,999 0,999 0,997 0,997
n=50 0β -2,850 -1,233 -0,991 -3,339 *-5,472 -13,819 -16,730 *0,821 -3,775 -1,518 -1,648 -4,237 -4,566
1β 0,814 0,924 0,922 0,769 0,905 0,938 0,917 0,911 0,767 0,899 0,878 0,730 0,865
2β 0,768 0,290 0,263 0,973 *1,050 2,589 3,056 *-0,086 0,964 0,379 0,404 1,158 0,984
R2 0,988 0,999 0,999 0,982 0,984 0,997 0,994 0,982 0,987 0,999 0,998 0,980 0,991
n=100 0β -6,475 -6,658 -2,982 -6,132 52,760 41,760 *12,195 49,079 -7,682 -7,289 -3,494 -7,162 8,993
1β 0,744 0,796 0,835 0,755 0,933 0,971 0,879 0,932 0,692 0,768 0,801 0,707 0,818
2β 1,244 1,064 0,685 1,188 -11,041 -8,852 *-2,082 -10,285 1,530 1,237 0,837 1,452 -1,919
R2 0,903 0,928 0,971 0,912 0,851 0,923 0,951 0,851 0,883 0,917 0,966 0,891 0,912
n=250 0β -2,657 -2,598 -5,946 -2,503 -10,723 -9,790 38,462 -10,766 -2,800 -2,933 -6,333 -2,736 -1,777
1β 0,991 0,989 0,952 0,992 0,989 0,990 0,942 0,990 0,989 0,987 0,944 0,991 0,979
2β 0,105 0,114 0,363 0,098 1,460 1,290 -8,564 1,472 0,115 0,132 0,406 0,109 -0,242
R2 0,984 0,981 0,918 0,986 0,939 0,939 0,822 0,942 0,980 0,975 0,906 0,982 0,946
vägt 0β -3,965 -3,726 -3,318 -3,811 16,023 11,256 14,386 15,320 -4,689 -4,171 -3,788 -4,487 2,086
medel 1β 0,850 0,896 0,896 0,854 0,931 0,973 0,914 0,939 0,809 0,877 0,869 0,819 0,886
2β 0,679 0,525 0,458 0,673 -3,607 -2,687 -3,049 -3,445 0,852 0,626 0,566 0,830 -0,632
R2 0,954 0,965 0,962 0,958 0,917 0,949 0,922 0,918 0,945 0,959 0,956 0,948 0,946
Anm.: 1β är koefficienten för normalitetstestsdelen och
2β är koefficienten för heteroskedasticitetstestsdelen. * betyder att p≥0,05.
4.3 Resultat för normalfördelade heteroskedastiska störningstermer
I detta avsnitt skall vi analysera resultaten från de simuleringar där störningstermerna iu är
normalfördelade, men har olika varians, d.v.s. alternativet HN . Precis som i föregående
avsnitt (4.2) delar vi först in simuleringarna i några mindre grupper, och genomför en analys
separat för varje grupp, för att därefter göra motsvarande analys aggregerat över samtliga
grupper. De grupper vi använder utgår från det sätt på vilket heteroskedasticiteten ser ut: om
heteroskedasticiteten är en funktion av X-värdena, beror på närvaron av ett extremvärde eller
är oberoende av X-värdena.
52
Tabell 6: Resultat för HN -simuleringar där heteroskedasticiteten är en funktion av X-värdena. Genomsnittliga styrkenivåer, standardiserade standardavvikelser och relativa lägstanivåer, samt relativa lägstanivåer totalt.
10δ 20δ 30δ 40δ 50δ 100δ 250δ 50δ 250δ %max
50δ
%max
250δ 50σ 250σ λ50 λ250 Λ50 Λ250
ALM H 20,60 37,07 42,98 49,30 55,77 72,84 88,05 41,14 70,00 100 100 75,66 47,35 42,03 69,33 24,35 74,71
GQ 16,66 38,97 44,25 48,53 52,40 62,47 69,42 40,16 59,43 97,62 84,90 89,86 73,11 6,40 1,33 0,53 0
LM H 18,03 35,24 41,51 47,96 54,61 73,09 88,17 39,47 69,71 95,94 99,59 73,12 46,13 70,67 78,12 62,06 80,05
G2 13,70 32,01 39,63 46,69 53,44 71,37 86,99 37,10 68,08 90,18 97,26 73,70 48,13 53,70 63,83 39,47 65,65
LM NAH 18,26 32,34 37,92 43,03 49,10 65,09 84,33 36,13 64,18 87,82 91,69 82,73 54,50 44,12 46,71 37,93 40,64
G1 14,28 31,24 38,38 45,17 51,58 71,14 87,39 36,13 67,77 87,82 96,81 73,03 47,39 57,60 67,79 38,38 70,64
KNAH 16,71 30,70 36,95 42,27 48,47 64,75 84,23 35,02 63,74 85,12 91,06 84,06 55,04 45,74 46,69 37,01 40,28
ZNAH 14,26 29,64 36,75 42,50 48,97 65,92 84,83 34,43 64,32 83,69 91,89 84,26 54,16 47,48 50,38 39,62 44,87
LM NH 16,03 30,30 36,03 41,27 47,10 64,73 84,41 34,15 63,50 83,01 90,71 82,70 54,28 53,37 51,74 44,32 49,29
WH 13,42 26,35 34,05 41,49 50,82 67,88 85,62 33,23 65,26 80,77 93,23 76,61 51,66 47,91 55,77 37,15 50,35
KNLM H 14,63 28,77 35,08 40,62 46,38 64,30 84,34 33,10 63,04 80,46 90,06 83,66 54,80 50,36 50,18 42,15 47,70
LM NWH 14,97 27,11 33,53 40,05 47,57 63,82 82,63 32,65 62,31 79,36 89,01 86,51 57,04 46,15 45,64 39,05 38,69
rS 11,58 27,87 35,13 41,54 46,82 64,06 81,68 32,59 62,02 79,22 88,60 77,62 54,54 36,66 44,19 31,81 44,87
ALM NH 13,17 27,56 34,62 40,19 47,10 63,83 83,89 32,53 62,65 79,07 89,50 86,33 56,21 44,66 45,05 35,65 38,52
ZNLM H 12,03 27,63 34,81 40,79 46,81 65,48 84,97 32,41 63,61 78,78 90,87 82,63 53,71 49,31 53,31 42,88 52,67
ZNWH 13,07 26,28 33,58 40,02 47,93 64,80 83,33 32,17 62,85 78,20 89,79 85,87 56,20 46,30 47,68 38,50 41,52
KNWH 13,84 26,18 32,89 39,28 46,94 63,49 82,50 31,83 61,92 77,37 88,46 86,35 57,27 46,22 45,41 37,27 38,34
ANLM H 11,21 25,60 32,73 38,40 44,94 63,14 84,05 30,58 61,86 74,33 88,37 84,73 55,92 44,53 46,91 40,38 43,72
ANWH 11,48 24,75 31,65 37,92 45,77 62,76 82,35 30,31 61,18 73,68 87,40 86,20 57,76 42,31 44,17 36,03 37,60
P 10,28 23,35 29,35 35,00 40,05 57,30 73,80 27,61 55,26 67,11 78,94 77,38 61,70 30,30 33,40 28,37 31,75
r 8,34 16,22 19,34 22,41 27,27 38,62 52,12 18,72 38,05 45,50 54,36 97,06 85,11 22,37 17,97 20,12 13,61
ALM N 8,54 15,39 18,53 21,06 25,94 36,94 51,44 17,89 36,89 43,49 52,70 88,71 81,69 22,97 18,72 20,06 14,02
rF 8,10 15,39 18,35 21,35 26,05 37,16 50,77 17,85 36,76 43,39 52,51 97,69 87,42 20,97 16,65 18,73 12,44
W~ ′ 8,02 15,07 17,95 20,90 25,55 36,72 50,31 17,50 36,33 42,54 51,90 97,90 88,23 20,51 16,08 18,34 11,97
K 8,23 14,54 17,80 20,31 25,07 36,27 50,91 17,19 36,25 41,78 51,79 87,58 82,10 22,05 18,04 18,90 13,33
LM N 8,16 14,27 17,54 20,10 24,82 36,14 50,88 16,98 36,12 41,27 51,60 87,00 82,08 21,85 17,96 18,76 13,31
Z2 8,29 14,01 16,85 18,88 23,06 33,78 48,95 16,22 34,26 39,43 48,94 85,78 83,43 21,50 16,90 19,19 12,38
2A 7,69 13,79 16,31 18,85 22,68 32,88 44,65 15,87 32,43 38,58 46,33 107,44 102,76 16,49 11,24 14,41 7,98
2W 8,06 13,79 16,11 18,65 22,09 32,07 43,43 15,74 31,64 38,26 45,20 110,06 105,88 16,23 10,61 13,08 7,65
D 7,42 11,90 13,15 15,49 18,16 27,80 39,21 13,22 27,76 32,13 39,66 105,49 110,04 13,79 9,21 10,45 7,19
W 6,88 12,05 13,67 14,23 16,71 * * 12,71 * 30,89 * 99,82 * 13,56 * 10,54 *
W~
5,57 6,60 7,25 8,25 10,71 18,75 32,39 7,67 20,26 18,64 28,94 86,86 120,31 7,24 4,84 5,67 3,15
Medel 11,92 23,50 28,58 33,20 38,77 54,17 70,39 27,20 52,89 66,11 75,55 87,01 68,58 35,17 36,96 28,79 33,84
Anm.: Tabellen är baserad på totalt 16 τ-kolumner. Testen är sorterade efter värdet på 50δ . Alla värden är angivna i procent. Det bästa värdet för varje kolumn är markerat med fet stil. Det bästa respektive sämsta värdet bland kombinationstesten är markerat med enkel respektive prickad understrykning. Signifikansnivå: α=0,05.
4.3.1 Heteroskedasticitet som en funktion av X-värdena
Det vanligaste antagandet om olikheten i varians i ett datamaterial är att den är någon slags
funktion av X-värdena. I denna uppsats använder vi oss av funktionerna ii X)X(f = ,
ii X)X(f = , iX1,0i e)X(f = och iX1,0
i e)X(f −= ( se kapitel 3). Resultaten av våra Monte
Carlo-simuleringar, aggregerat över dessa olika funktioner, framgår av tabell 6, medan figur 9
och 10 är diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och
kombinationstest som har de högsta respektive lägsta 50δ - och 250δ -värdena i tabell 6.
53
Figur 9: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst
respektive lägst 50δ -värden för HN -simuleringar där heteroskedasticiteten är en funktion av X-värdena
n
10 20 30 40 50
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
W-våg
r
P
ALMHLMNAH
ANWH
Figur 10: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst respektive lägst 250δ -värden för HN -simuleringar där heteroskedasticiteten är en funktion av X-värdena
n
0 50 100 150 200 250
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ALMHZNAH
ANWHP
r
W-våg
54
Som synes klarar samtliga kombinationstest utom ANLMH- och ANWH-testen och
samtliga renodlade heteroskedasticitetstest utom P-, ALMH- och GQ-testen våra
effektivitetskrav för såväl n≤50 som n≤250. Av de test som uppfyller effektivitetskraven
uppvisar LMH-testet allra bäst resultat, med de högsta värdena för såväl 50δ och 250δ som
Λ50 och Λ250. Det är således det bästa testet över såväl n≤50 som n≤250 för de funktioner av
X-värdena som vi här använder oss av.
Om vi enbart ser till värdena på 50δ och 250δ så har ALMH-testet de bästa resultaten
med 14,4150=δ och 00,70250=δ , att jämföra med LMH-testet värden på 39,47 respektive
69,71. För 50δ uppvisar även GQ-testet bättre resultat än LMH-testet, med 16,4050=δ . Men
det mest intressanta är här att konstrastera GQ-testets höga värd för 50δ med dess låga värde
för Λ50. Medan värdet för 50δ är det totalt sett näst högsta resultatet så är värdet på för Λ50
det klart sämsta bland samtliga test. GQ-testet har således Λ50=0,53, vilket kan jämföras med
att LMH-testet har Λ50=62,06. Skillnaderna mellan dessa två test är alltså mycket stora för
detta mått, trots att deras resultat för 50δ bara skiljer sig marginellt åt. Detta pekar med all
önskvärd tydlighet på vikten av att även ta hänsyn till de relativa styrkenivåerna vid en
bedömning av ett hypotestests effektivitet. Notera också att Λ250=0 för GQ-testet. Detta
värde kan endast fås om, för någon simulering, inte en enda av de 10000 observerade värdena
för dess teststatistika faller inom förkastelseregionen RR, och att testets styrka därför är helt
obefintlig.
Vad gäller kombinationstesten så ser vi att för n≤50 är LMNAH-testet bäst med ett 50δ -
värde på 36,13, medan ZNAH-testet är bäst över n≤250 med 32,64250=δ . Jämför vi detta
med LMH-testets värden på 39,47 respektive 69,71 för motsvarande mått så ser vi att
skillnaden inte alltför stor. Resultaten för de tolv kombinationstesten hänger tämligen väl
samman, med 13,365031,30 ≤δ≤ och 32,6425018,61 ≤δ≤ , vilket motsvaras av att
50max% δ och 250max% δ varierar mellan 73,68 och 87,82 respektive 87,40 och 91,89.
Alla kombinationstest klarar sig således ganska bra när det gäller dessa mått. Jämfört med de
renodlade heteroskedasticitetstesten är dock resultaten för kombinationstesten genomgående
något sämre. Ett av heteroskedasticitetstesten, P-testet har dock lägre värden än samtliga
kombinationstest för såväl 50δ som 250δ , med 50max% δ - och 250max% δ -värden på
67,11 respektive 78,94.
I avsnitt (4.2) såg vi att heteroskedasticitetstesten inte fungerade väl för att upptäcka
ickenormalitet, vilket också var vad vi hade förväntat oss. Men som framgick av avsnitt 4.1.4
55
borde normalitetstesten fungera någorlunda väl för att upptäcka heteroskedasticitet, eftersom
heteroskedasticiteten gör att den gemensamma fördelningen av störningstermerna iu inte är
normalfördelad. Vi ser också från tabell 6 att normalitetstesten klarar sig betydligt bättre än
vad heteroskedasticitetstesten gjorde i motsvarande situationer i avsnitt 4.2. Samtliga test har
dessutom en klart stigande trend för styrkenivåerna med stigande värden på n. I jämförelse
med resultaten för heteroskedasticitets- och kombinationstesten är dock resultaten dåliga.
Således håller sig normalitetstestens mellan 18,64 och 45,50 för 50max% δ och mellan 28,94
och 54,36 för 250max% δ , att jämföra med 11,6750max% =δ och 94,78250max% =δ för
det sämsta av heteroskedasticitets- och kombinationstesten. Normalitetstesten kan därmed inte
heller konkurrera med heteroskedasticitets- och kombinationstesten när det gäller att upptäcka
de former av heteroskedasticitet som vi har behandlat i detta avsnitt.
4.3.2 Heteroskedasticitet på grund av närvaron av ett extremvärde
I tabell 7 presenteras resultaten från de simuleringar där heteroskedasticiteten uppstår på
grund av närvaron av ett extremvärde, medan figurerna 11 och 12 sedan visar nδ -nivåernas
utveckling över n för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har
högst respektive lägst 50δ - respektive 250δ -värden i tabell 7. Vi ser att nio test uppfyller
effektivitetskraven för n≤50 och n≤250, nämligen ALMH-, LMH-, WH-, G1- och G2-testen
bland heteroskedasticitetstesten och LMNAH-, KNAH-, ZNAH- samt LMNWH-testen bland
kombinationstesten. Totalt sett är ALMH-testet det bästa över n≤50 och WH-testet över n≤250.
Bland kombinationstesten visar LMNAH-testet upp bäst resultat för 50δ medan LMNWH-
testet är bäst för 250δ . Vi noterar också att kombinationstestens spridning över 50δ är
ganska stor, med 50max% δ -värden från 69,09 för ANLM H-testet till 93,66 för LMNAH-testet,
medan den är betydligt mindre för 250δ , där 250max% δ -värdena varierar från 89,58 för
ANLMH-testet till 97,11 för LMNWH-testet.
Om vi sedan granskar resultaten i övrigt så ser vi att normalitetstesten liksom i
föregående avsnitt (4.3.1) generellt sett klarar sig betydligt sämre än heteroskedasticitets- och
kombinationstesten för både 50δ och 250δ . Här finns det dock några klara undantag: för
såväl 50δ som 250δ uppvisar samtliga renodlade normalitetstest betydligt bättre värden än
två av de renodlade heteroskedasticitetstesten – P- och rS-testen – och sju av elva
normalitetstest uppvisar dessutom bättre resultat än GQ-testet för 250δ . Särskilt
56
Tabell 7: Resultat för HN -simuleringar där heteroskedasticiteten uppstår på grund av ett extremvärde. Genomsnittliga styrkenivåer, standardiserade standardavvikelser och relativa lägstanivåer, samt relativa lägstanivåer totalt.
10δ 20δ 30δ 40δ 50δ 100δ 250δ 50δ 250δ %max
50δ
%max
250δ 50σ 250σ λ50 λ250 Λ50 Λ250
ALM H 53,01 63,55 66,95 68,03 71,64 75,88 77,52 64,64 73,82 100 99,76 33,99 25,61 98,40 93,40 96,37 87,79
LM NAH 46,31 59,84 63,32 64,68 68,53 73,58 75,59 60,54 71,21 93,66 96,23 37,99 28,67 82,43 84,53 72,02 81,01
KNAH 42,86 58,58 62,72 64,30 68,26 73,46 75,56 59,34 70,89 91,80 95,80 39,01 28,94 78,22 83,46 61,82 80,97
LM H 38,76 58,56 63,19 64,94 69,09 74,56 76,88 58,91 71,73 91,14 96,93 38,56 27,41 77,92 87,17 53,07 85,92
WH 31,59 58,39 63,54 66,00 70,35 76,82 81,40 57,97 74,00 89,68 100 38,06 24,37 76,91 94,35 40,08 98,49
G1 36,75 55,89 60,42 61,78 66,40 70,79 70,55 56,25 67,45 87,02 91,15 40,67 32,26 69,32 74,83 47,97 69,47
ZNAH 28,05 57,13 62,31 64,31 68,39 73,76 75,80 56,04 70,44 86,70 95,19 42,75 29,46 70,19 82,57 27,90 81,80
LM NWH 23,55 54,88 60,75 63,09 67,82 75,06 80,02 54,02 71,86 83,57 97,11 40,12 26,26 68,07 88,68 36,10 93,40
ALM NH 18,99 54,91 60,84 63,03 67,30 73,06 75,40 53,01 69,34 82,01 93,70 48,08 31,02 61,59 79,22 9,91 80,53
KNWH 15,75 53,50 60,06 62,70 67,58 74,96 79,99 51,92 71,37 80,32 96,45 39,44 26,16 63,73 87,65 22,58 93,17
LM NH 18,38 51,60 57,92 60,26 64,84 71,69 74,88 50,60 67,94 78,28 91,81 45,87 31,29 54,93 75,10 15,29 78,92
ZNWH 4,61 52,01 59,81 62,86 67,75 75,32 80,24 49,41 71,11 76,44 96,09 40,95 26,22 58,69 87,47 4,00 94,60
G2 26,12 48,43 54,32 54,79 60,45 62,33 60,17 48,82 58,79 75,53 79,45 46,99 42,79 53,13 54,49 32,14 47,25
ANWH 3,39 49,27 58,31 61,67 66,64 74,58 79,89 47,86 70,30 74,04 95,00 42,75 27,15 53,90 84,64 2,50 91,72
KNLM H 7,18 49,80 57,08 59,78 64,37 71,56 74,83 47,64 67,25 73,70 90,88 47,44 31,74 50,44 73,82 4,29 78,76
ZNLM H 4,24 46,96 56,19 59,47 64,48 71,78 75,06 46,27 67,14 71,58 90,73 46,88 31,40 47,98 73,95 3,08 79,72
ANLM H 3,44 44,16 54,50 57,92 63,27 70,98 74,70 44,66 66,29 69,09 89,58 45,84 31,87 42,82 70,92 2,67 78,22
GQ 18,26 32,49 36,39 37,36 45,34 48,75 51,32 33,97 46,35 52,55 62,64 54,72 53,01 27,51 26,98 23,90 26,20
ALM N 2,66 9,56 31,02 38,42 45,50 58,29 66,31 25,43 53,26 39,34 71,97 62,53 44,79 12,25 38,81 1,91 41,72
K 2,66 8,99 30,20 37,82 45,07 58,20 66,22 24,95 53,07 38,60 71,72 63,32 45,02 11,92 38,59 1,73 41,60
LM N 2,62 8,79 29,79 37,66 44,90 58,18 66,22 24,75 53,01 38,29 71,64 63,44 45,10 11,87 38,49 1,61 41,36
r 2,43 8,01 29,29 37,33 45,01 57,60 66,39 24,41 52,77 37,76 71,31 59,57 44,71 12,13 37,72 2,17 39,57
Z2 2,69 9,07 28,56 36,48 43,08 57,73 65,94 23,98 52,43 37,10 70,85 65,83 45,99 11,46 37,63 1,56 40,48
rF 2,44 7,37 28,38 36,37 44,15 57,10 66,17 23,74 52,29 36,73 70,66 59,37 45,00 11,78 36,95 2,07 38,34
W~ ′ 2,40 7,05 27,85 35,95 43,76 56,95 66,00 23,40 52,08 36,20 70,38 59,82 45,22 11,59 36,64 1,99 38,11
W 2,55 4,78 19,56 27,22 35,10 * * 17,84 * 27,60 * 62,89 * 9,05 * 2,27 *
2A 2,45 5,96 16,89 24,70 36,60 45,69 51,40 17,32 41,12 26,79 55,57 61,24 54,49 9,71 18,23 2,27 18,79
2W 2,60 6,15 11,70 19,79 32,89 41,65 47,34 14,63 37,36 22,63 50,49 60,33 56,08 9,46 14,97 2,42 15,02
W~
3,12 3,11 9,27 16,21 27,32 45,40 56,36 11,81 40,74 18,27 55,05 80,29 58,24 6,12 19,47 2,45 18,10
D 2,99 5,26 8,97 13,87 26,54 36,55 42,94 11,52 32,79 17,82 44,31 50,48 55,40 8,46 12,53 2,92 12,94
rS 7,08 12,11 12,72 9,93 11,18 11,63 18,32 10,60 13,53 16,40 18,28 33,12 50,66 12,02 9,98 8,39 7,42
P 4,78 8,20 8,92 6,64 10,84 14,36 17,79 7,87 13,88 12,18 18,76 30,94 67,37 7,11 6,11 5,42 5,36
medel 14,52 32,95 42,24 46,11 52,33 60,91 65,72 37,63 57,28 58,21 77,40 49,48 39,15 40,03 56,43 18,59 57,64
Anm.: Tabellen är baserad på totalt 4 τ-kolumner. Testen är sorterade efter värdet på 50δ . Alla värden är angivna i procent. Det bästa värdet för varje kolumn är markerat med fet stil. Det bästa respektive sämsta värdet bland kombinationstesten är markerat med enkel respektive prickad understrykning. Signifikansnivå: α=0,05.
anmärkningsvärt är hur mycket sämre resultat som P- och rS-testen uppvisar för 250δ ,
jämfört med resultaten för normalitetstesten. P- och rS-testen har värdena 13,88 respektive
13,53 för detta mått, att jämföra med 32,79 för det sämsta av normalitetstesten, D -testet.
Slutligen noterar vi också att det för denna heteroskedasticitetsvariant är förhållandevis
stora skillnader mellan resultaten för de två varianterna av Glejsertestet – G1- och G2-testen –
i motsats till vad som har gällt för de simuleringar som vi har studerat tidigare. Detta trots att
det är ytterst små skillnader i de två testen uppbyggnad – G1-testet använder sig av iX medan
G2-testet använder sig av iX (se formlerna (2.4.2) respektive (2.4.3)). För t.ex. 50δ har G1-
57
Figur 11: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har
högst respektive lägst 50δ -värden för HN -simuleringar där heteroskedasticiteten uppstår p.g.a. ett extremvärde
n
10 20 30 40 50
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
0
10
20
30
40
50
60
70
P
D-tak
ALMN
ANLMH
ALMH
LMNAH
Figur 12: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst respektive lägst 250δ -värden för HN -simuleringar där olikhet i varians uppstår p.g.a. ett extremvärde
n
0 50 100 150 200 250
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
WH
LMNWH
ANLMH
ALMN
D-tak
rS
58
Tabell 8: Resultat aggregerat över samtliga HN -simuleringar. Genomsnittliga styrkenivåer, standardiserade standardavvikelser och relativa lägstanivåer, samt relativa lägstanivåer totalt.
10δ 20δ 30δ 40δ 50δ 100δ 250δ 50δ 250δ %max
50δ
%max
250δ 50σ 250σ λ50 λ250 Λ50 Λ250
ALM H 27,08 42,37 47,78 53,05 58,94 73,45 85,94 45,84 70,77 100 100 67,80 43,27 42,03 69,33 24,35 74,71
LM H 22,18 39,91 45,85 51,36 57,50 73,38 85,91 43,36 70,12 94,59 99,08 66,33 42,53 68,87 77,76 53,07 80,05
LM NAH 23,87 37,84 43,00 47,36 52,99 66,79 82,58 41,01 65,58 89,46 92,67 73,83 49,37 44,12 46,71 37,93 40,64
G1 18,78 36,17 42,79 48,49 54,54 71,07 84,02 40,15 67,71 87,59 95,68 68,74 44,86 57,60 67,35 38,38 69,47
KNAH 21,94 36,27 42,11 46,67 52,42 66,49 82,49 39,88 65,17 87,00 92,09 75,08 49,85 45,74 46,69 37,01 40,28
G2 16,19 35,30 42,57 48,31 54,84 69,56 81,63 39,44 66,22 86,04 93,57 68,55 47,30 51,58 54,18 32,14 47,25
GQ 16,98 37,67 42,68 46,29 50,99 59,72 65,80 38,92 56,81 84,90 80,27 84,34 70,53 6,17 1,29 0,53 0
ZNAH 17,02 35,14 41,86 46,87 52,85 67,49 83,02 38,75 65,54 84,53 92,61 75,31 49,13 42,32 49,35 27,90 44,87
WH 17,05 32,76 39,95 46,39 54,73 69,67 84,78 38,18 67,01 83,29 94,69 71,08 46,90 47,03 55,59 37,15 50,35
LM NH 16,50 34,56 40,41 45,07 50,65 66,12 82,51 37,44 64,39 81,68 90,98 73,91 49,37 44,04 49,87 15,29 49,29
LM NWH 16,68 32,67 38,97 44,66 51,62 66,07 82,11 36,92 64,22 80,54 90,74 76,03 50,80 44,06 45,23 36,10 38,69
ALM NH 14,33 33,03 39,86 44,76 51,14 65,68 82,19 36,62 63,99 79,89 90,42 77,57 50,96 36,81 43,48 9,91 38,52
KNLM H 13,14 32,98 39,48 44,45 49,98 65,75 82,44 36,01 63,88 78,56 90,26 76,69 50,21 39,81 48,07 4,29 47,70
KNWH 14,22 31,65 38,33 43,96 51,06 65,78 82,00 35,84 63,81 78,18 90,17 76,19 51,04 40,14 44,20 22,58 38,34
ZNWH 11,38 31,42 38,82 44,59 51,89 66,90 82,71 35,62 64,50 77,71 91,14 79,17 50,83 37,52 45,92 4,00 41,52
ZNLM H 10,47 31,50 39,08 44,52 50,34 66,74 82,99 35,18 64,32 76,75 90,89 76,60 49,45 39,08 51,26 3,08 52,67
ANWH 9,86 29,66 36,98 42,67 49,94 65,12 81,86 33,82 63,00 73,78 89,02 79,87 52,24 34,35 42,58 2,50 37,60
ANLM H 9,66 29,31 37,08 42,30 48,61 64,70 82,18 33,39 62,75 72,84 88,67 78,72 51,39 33,87 44,78 2,67 43,72
rS 10,68 24,72 30,65 35,22 39,69 53,57 69,01 28,19 52,33 61,50 73,94 84,61 69,13 12,02 9,98 8,39 7,42
P 9,18 20,32 25,26 29,33 34,21 48,71 62,60 23,66 46,99 51,61 66,40 86,49 74,43 7,11 6,11 5,42 5,36
r 7,15 14,58 21,33 25,39 30,82 42,42 54,98 19,86 41,00 43,32 57,93 92,96 76,49 11,35 15,77 2,17 13,61
ALM N 7,36 14,22 21,03 24,53 29,85 41,21 54,41 19,40 40,16 42,32 56,75 86,18 73,82 11,29 16,38 1,91 14,02
rF 6,97 13,78 20,36 24,35 29,67 41,15 53,85 19,03 39,87 41,51 56,34 93,54 78,31 10,98 14,65 2,07 12,44
K 7,12 13,43 20,28 23,81 29,07 40,66 53,98 18,74 39,61 40,88 55,97 85,42 74,19 10,91 15,81 1,73 13,33
W~ ′ 6,89 13,47 19,93 23,91 29,19 40,77 53,45 18,68 39,48 40,75 55,79 93,79 78,95 10,78 14,13 1,99 11,97
LM N 7,06 13,17 19,99 23,61 28,83 40,55 53,95 18,53 39,50 40,42 55,81 85,02 74,20 10,86 15,76 1,61 13,31
Z2 7,17 13,02 19,19 22,40 27,07 38,57 52,34 17,77 37,90 38,77 53,55 84,80 75,55 10,46 14,69 1,56 12,38
2A 6,64 12,23 16,43 20,02 25,46 35,44 46,00 16,16 34,16 35,25 48,27 102,38 92,18 9,52 9,85 2,27 7,98
2W 6,96 12,26 15,22 18,88 24,25 33,98 44,21 15,52 32,78 33,86 46,32 106,27 95,72 9,27 9,21 2,42 7,65
W 6,01 10,60 14,85 16,83 20,38 * * 13,73 * 29,95 * 96,40 * 7,80 * 2,27 *
D 6,54 10,57 12,31 15,17 19,83 29,55 39,96 12,88 28,77 28,10 40,65 101,89 99,10 7,70 7,99 2,92 7,19
W~
5,08 5,90 7,65 9,84 14,03 24,08 37,19 8,50 24,36 18,54 34,42 90,57 104,38 3,99 4,19 2,45 3,15
medel 12,44 25,39 31,32 35,78 41,48 55,52 69,45 29,28 53,76 63,88 75,97 82,38 63,43 27,79 33,49 13,38 31,14
Anm.: Tabellen är baserad på totalt 20 τ-kolumner. Testen är sorterade efter värdet på 50δ . Alla värden är angivna i procent. Det bästa värdet för varje kolumn är markerat med fet stil. Det bästa respektive sämsta värdet bland kombinationstesten är markerat med enkel respektive prickad understrykning. Signifikansnivå: α=0,05.
testet ett värde på 56,25 medan G2-testet har ett värde på 48,82, och för 250δ är värdet 67,45
för G1-testet men bara 58,79 för G2-testet.
4.3.4 Resultat aggregerat över samtliga heteroskedasticitetsvarianter
I tabell 8 presenterar vi resultaten för samtliga simuleringar som uppfyller alternativet HN ,
d.v.s. där störningstermerna är normalfördelade men har olika varians. Här används alltså
samma resultat som ligger till grund för tabell 5 och 6, men aggregerat till en gemensam
tabell. I figurerna 13 och 14 ges sedan diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-,
59
Figur 13: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har
högst respektive lägst 50δ -värden för samtliga HN -simuleringar
n
10 20 30 40 50
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
ALMHLMNAH
ANLMH
P
r
W-våg
Figur 14: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har
högst respektive lägst 250δ -värden för samtliga HN -simuleringar
n
0 50 100 150 200 250
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ALMH
LMNAH
ANLMH P
r
W-våg
60
heteroskedasticitets- och kombinationstest som har de högsta respektive lägsta 50δ -
respektive 250δ -värdena i tabell 8.
Åtta test uppfyller här effektivitetskraven för n≤50 och n≤250, nämligen LMH-, WH-
G1- och G2-testen bland heteroskedasticitetstesten samt LMNAH-, KNAH-, ZNAH- och
LM NWH-testen bland kombinationstesten. Notera dock att ALMH-testet för nδ har bäst
resultat för samtliga n-värden, med att det missar att uppfylla effektivitetskraven eftersom
Λ50=24,35. Bland de test som uppfyller effektivitetskraven uppvisar LMH-testet allra bäst
resultat, med värden på 43,36 och 70,12 för 50δ respektive 250δ . Bland kombinationstesten
går det bäst för LMNAH-testet, med värden på 41,01 respektive 65,58 för motsvarande mått.
Generellt sett klarar sig kombinationstesten bra för 50δ och 250δ , med 50max% δ -
värden mellan 72,84 och 89,46, samt 250max% δ -värden mellan 88,67 och 92,67. För små
n-värden är dock variationen mellan de olika testens nδ -värden stor. Således är exempelvis
66,910 =δ för ANLMH-testet och 87,2310 =δ för LMNAH-testet. Det stora problemet med
flertalet kombinationstest är dock att värdena för Λ50 är så låga. Sålunda har exempelvis
hälften av kombinationstesten Λ50-värden på under 10 procent, vilket visar att de inte är
tillräckligt pålitliga vid praktisk tillämpning, där vi ju inte har någon som helst kunskap om
störningstermernas fördelning.
För heteroskedasticitetstesten observerar vi att spridningen är stor över 50max% δ och
250max% δ , med värden mellan 51,61 och 100 för den förra samt 66,40 och 100 för den
senare. Det är här P- och rS-testen som visar sämst resultat. Dessa har också värden på under
10 procent för både Λ50 och Λ250. Notera också att GQ-testet har de klart godkända värdena
84,90 och 80,27 för 50max% δ respektive 250max% δ , men att det har de katastrofalt dåliga
värdena 0,53 och 0 för Λ50 respektive Λ250.
Normalitetstesten, slutligen, uppvisar stigande värden på nδ när n ökar, från värden
mellan 5,08 och 7,36 för n=10 till mellan 37,19 och 54,98 för n=250. Men trots detta har
normalitetstesten värden på som mest 43,32 för 50max% δ och 57,93 för 250max% δ , vilket
ger lägre värden för 50δ och 250δ än alla övriga test. De har således ingen möjlighet att
konkurrera med kombinations- eller heteroskedasticitetstesten för de simuleringar där
störningstermerna är normalfördelade men med olika varians. Detta trots att normalitetstesten,
som påpekades i avsnitt (4.2), skall ha en viss förmåga att upptäcka olika varians hos
61
Tabell 9: Resultat från regressioner med kombinationstestens beroende av sina normalitets- och heteroskedasticitetstestsdelar över samtliga simuleringar med normalfördelade, heteroskedastiska störningstermer.
LMNH ANLM H ZNLM H KNLM H LM NWH ANWH ZNWH KNWH LM NAH ALM NH ZNAH KNAH medel
n=10 0β *-2,315 *-0,364 *-0,851 *-2,005 -4,731 *-0,832 *-2,315 -3,263 *-1,236 *-2,357 *-2,496 *-1,704 -2,039
1β 1,008 1,186 1,282 1,468 1,081 1,306 1,596 1,207 *0,130 0,896 0,631 *0,161 0,996
2β 0,528 *0,058 0,097 0,212 0,809 *0,063 0,132 0,522 0,893 0,373 0,554 0,831 0,423
R2 0,942 0,939 0,911 0,901 0,996 0,953 0,944 0,980 0,994 0,852 0,911 0,985 0,942
n=20 0β -3,354 -4,436 -4,141 -3,794 -2,379 -2,821 -2,883 -2,475 *-2,508 *-3,786 *-3,316 *-3,067 -3,247
1β *0,112 *0,163 *0,176 *0,105 0,334 0,354 0,409 0,318 *0,020 *0,009 *0,025 *0,001 0,169
2β 0,913 0,788 0,836 0,886 0,935 0,838 0,885 0,911 0,946 0,866 0,900 0,928 0,886
R2 0,995 0,977 0,986 0,990 0,997 0,986 0,992 0,995 0,990 0,959 0,974 0,982 0,985
n=30 0β -3,914 -4,496 -4,463 -4,177 *-1,753 -2,060 *-1,765 -1,824 -3,082 -3,723 -3,623 -3,309 -3,182
1β 0,279 0,486 0,331 0,335 0,263 0,449 0,269 0,317 0,277 0,496 0,321 0,341 0,347
2β 0,845 0,684 0,811 0,804 0,888 0,741 0,887 0,844 0,849 0,694 0,823 0,806 0,806
R2 0,996 0,992 0,994 0,995 0,995 0,995 0,993 0,995 0,994 0,987 0,990 0,992 0,993
n=40 0β -5,080 -5,596 -5,515 -5,195 *-2,137 *-2,392 -2,623 *-2,240 -4,195 -4,680 -4,619 -4,375 -4,054
1β 0,296 0,464 0,302 0,332 0,209 0,387 *0,167 0,273 0,306 0,480 0,323 0,351 0,324
2β 0,840 0,711 0,843 0,813 0,902 0,767 0,937 0,856 0,836 0,710 0,834 0,805 0,821
R2 0,995 0,992 0,993 0,994 0,995 0,994 0,993 0,994 0,995 0,990 0,992 0,994 0,993
n=50 0β -6,034 -6,244 -6,486 -6,271 -2,511 -2,687 -2,675 -2,541 -4,666 -4,780 -4,875 -4,868 -4,553
1β 0,306 0,428 0,316 0,342 0,216 0,342 0,188 0,258 0,295 0,411 0,304 0,327 0,311
2β 0,832 0,732 0,840 0,805 0,875 0,775 0,904 0,843 0,834 0,741 0,840 0,811 0,819
R2 0,990 0,989 0,989 0,989 0,997 0,996 0,997 0,997 0,994 0,991 0,992 0,993 0,993
n=100 0β *-7,357 *-8,224 *-7,445 *-7,535 -4,026 -4,749 -3,461 -4,280 *-7,312 *-7,805 -7,004 *-7,422 -6,385
1β 0,270 0,328 0,235 0,286 0,135 0,177 0,095 0,147 0,247 0,296 0,214 0,261 0,224
2β 0,852 0,809 0,887 0,840 0,928 0,898 0,957 0,920 0,872 0,834 0,902 0,862 0,880
R2 0,970 0,965 0,972 0,968 0,994 0,992 0,996 0,993 0,974 0,969 0,977 0,972 0,979
n=250 0β -6,575 *-6,895 -5,979 -6,647 *-4,344 *-4,508 *-3,701 *-4,392 -6,704 *-7,089 -6,057 -6,780 -5,806
1β 0,115 0,130 0,092 0,118 0,098 0,111 0,070 0,103 0,115 0,132 0,094 0,118 0,108
2β 0,964 0,955 0,979 0,963 0,957 0,948 0,976 0,953 0,967 0,956 0,979 0,965 0,964
R2 0,982 0,980 0,987 0,982 0,989 0,988 0,993 0,988 0,982 0,978 0,985 0,981 0,985
vägt 0β -6,357 -6,841 -6,268 -6,500 -3,742 -3,989 -3,273 -3,814 -6,071 -6,546 -5,887 -6,221 -5,459
medel 1β 0,249 0,316 0,245 0,283 0,187 0,247 0,181 0,207 0,200 0,285 0,204 0,216 0,235
2β 0,874 0,807 0,872 0,849 0,924 0,852 0,917 0,899 0,899 0,834 0,899 0,886 0,876
R2 0,978 0,974 0,979 0,975 0,993 0,990 0,993 0,992 0,982 0,971 0,980 0,980 0,982
Anm.: 1β är koefficienten för normalitetstestsdelen och
2β är koefficienten för heteroskedasticitetstestsdelen. * betyder att p≥0,05.
störningstermerna, eftersom denna olikhet i varians medför att störningstermernas
gemensamma fördelning ej följer normalfördelningen.
Sambandet mellan kombinationstestens två delar
Sambandet mellan kombinationstesten och deras normalitets- respektive
heteroskedasticitetstestsdelar i fallet HN , mätt med hjälp av multipel linjär regression,
presenteras i tabell 9. Vi ser att R2-värdena generellt sett är mycket höga för samtliga n-
värden. Flertalet R2-värden ligger strax under 1,0, och endast vid ett tillfälle ligger ett värde
under 0,9. Genomsnittet för samtliga R2-värden är så högt som 0,982.
Vad gäller de skattade partiella regressionskoefficienterna 1β och 2β framgår det från
tabell 9 att 2β -värdena generellt är sett större än 1β -värdena, med ett genomsnittligt värde på
62
0,876 för de förra och 0,235 för de senare. Enda undantaget från detta är för n=10, där
flertalet test har 21ˆˆ β>β . Att 2β generellt sett är större än 1β är naturligt med tanke på att
avvikelserna från NH beror på olikheten i varians, och det är just 2β som mäter
heteroskedasticitetstestsdelens inverkan på kombinationstestets styrkenivå. Vi ser ju också
från tabell 9 att de χ2-fördelade heteroskedasticitetstesten, vilka utgör kombinationstestens
heteroskedasticitetstestsdel, genomgående uppvisar högre styrkenivåer än de χ2-fördelade
normalitetstesten, som utgör kombinationstestens normalitetstestsdel. Detta gör att vi kunde
förvänta oss att 2β skulle vara större än 1β .
4.4 Resultat för heteroskedastiska ej normalfördelade störningstermer
Vi skall i detta avsnitt analysera resultaten från de fördelningar där avvikelserna från
nollhypotesen (1.2) om normalfördelning och lika varians uppfyller alternativet HN , med
andra ord då störningstermerna iu varken är normalfördelade eller har lika varians. Liksom i
avsnitt (4.2) och (4.3) skall vi dock först analysera resultaten på en mindre aggregerad nivå.
Vi delar därför först upp simuleringarna i olika grupper, beroende på formen av
ickenormalitet och heteroskedasticitet hos störningstermerna. Ickenormaliteten kan delas in i
två grupper: symmetriska fördelningar med 32 <β respektive symmetriska fördelningar med
32 >β . Olikheten i varians kan i sin tur också delas in i två olika grupper, beroende på om
heteroskedasticiteten är en funktion av X-värden eller om den beror på närvaron av ett
extremvärde. Detta ger oss totalt fyra olika kombinationer av ickenormalitet och
heteroskedasticitet.
4.4.1 Symmetriska ickenormala fördelningar med β2<3 och heteroskedasticitet som
en funktion av X-värdena
Tabell 10 sammanfattar resultaten för de simuleringar där störningstermerna iu kommer från
symmetriska ickenormala fördelningar med 32 <β och har olika varians, varvid olikheten i
varians beror av de olika funktionerna av X-värdena – ii X)X(f = , ii X)X(f = ,
iX1,0i e)X(f = och iX1,0
i e)X(f −= ( se kapitel 3). Den ickenormala fördelning som används här
är Uniform (-3,3). Utvecklingen över nδ för de normalitets-, heteroskedasticitets- och
63
Tabell 10: Resultat för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2<3 där heteroskedasticiteten är en funktion av X-värdena. Genomsnittliga styrkenivåer, standardiserade standardavvikelser och relativa lägstanivåer, samt relativa lägstanivåer totalt.
10δ 20δ 30δ 40δ 50δ 100δ 250δ 50δ 250δ %max
50δ
%max
250δ 50σ 250σ λ50 λ250 Λ50 Λ250
WH 15,84 37,62 49,46 58,70 67,41 83,29 91,27 45,81 77,08 100 95,54 62,88 38,58 22,04 18,84 9,51 12,06
G2 16,51 39,71 48,33 55,88 62,91 80,13 90,15 44,67 74,87 97,51 92,80 64,20 40,81 21,72 17,30 9,83 11,60
G1 16,81 38,58 46,98 54,68 61,55 80,49 90,35 43,72 74,78 95,44 92,69 62,58 39,90 21,21 17,77 10,18 11,89
LM NWH 16,09 31,47 42,36 52,82 63,29 88,45 100 41,20 80,68 89,94 100 75,77 28,46 16,21 50,81 7,43 37,08
ALM H 20,01 37,05 42,88 49,51 56,31 75,05 88,17 41,15 70,97 89,83 87,96 84,36 52,06 3,27 3,24 0,96 1,58
KNWH 14,23 29,34 41,08 51,96 62,88 88,84 100 39,90 80,55 87,10 99,84 77,18 28,38 15,69 51,64 7,57 39,31
rS 14,10 34,79 43,40 50,56 56,60 74,41 88,58 39,89 70,61 87,08 87,52 69,27 45,06 20,31 15,23 8,42 10,21
GQ 15,05 38,15 43,52 48,52 52,75 63,75 69,43 39,60 59,86 86,44 74,19 98,87 76,40 2,81 0,56 0 0
LM H 16,86 34,67 41,00 47,93 55,17 75,72 88,20 39,13 70,75 85,42 87,69 83,94 51,01 8,47 4,61 1,40 1,93
ZNWH 10,75 26,97 39,59 50,31 61,12 84,29 98,01 37,75 77,52 82,41 96,08 86,87 36,37 10,42 36,32 5,17 17,14
ANWH 8,05 22,59 34,86 46,34 58,29 86,79 100 34,03 78,18 74,29 96,90 93,57 33,57 8,10 46,76 3,70 31,59
LM NAH 16,09 28,78 34,52 40,73 48,84 81,55 100 33,79 75,29 73,76 93,32 100,06 38,71 3,36 42,04 0,33 23,33
KNAH 14,17 26,50 33,17 39,76 48,22 82,54 100 32,37 75,35 70,66 93,39 103,71 38,53 3,86 44,04 0,31 28,10
P 12,34 28,54 34,51 40,39 45,72 61,54 77,59 32,30 59,56 70,51 73,82 74,53 57,24 16,75 10,03 7,72 7,14
LM NH 13,47 26,04 31,74 38,09 46,07 82,77 100 31,08 75,01 67,85 92,97 104,13 38,72 5,17 44,07 0,50 27,44
ZNAH 10,67 23,93 31,45 38,30 46,80 73,29 99,14 30,23 70,83 65,99 87,79 111,75 48,49 4,24 31,39 0,09 1,96
KNLM H 11,66 23,87 30,38 37,23 45,32 83,71 100 29,69 75,05 64,81 93,02 107,92 38,57 5,03 46,28 0,36 33,02
ZNLM H 8,21 21,20 28,60 35,63 43,54 73,77 99,15 27,44 70,21 59,90 87,02 114,42 48,50 4,30 31,76 0,29 2,76
ALM NH 9,30 20,67 28,12 34,59 44,06 77,62 100 27,35 72,04 59,70 89,29 119,58 45,58 3,97 38,76 0,08 14,92
ANLM H 7,21 18,08 25,33 31,83 40,60 78,13 100 24,61 71,42 53,72 88,52 121,89 45,69 3,74 39,64 0,13 17,21
W~
6,85 13,34 23,06 32,20 39,46 57,24 77,60 22,98 55,48 50,16 68,77 60,00 56,93 5,81 6,29 3,99 4,11
W 6,22 10,72 17,71 26,66 36,68 * * 19,60 * 42,79 * 67,79 * 8,35 * 6,11 *
2A 6,28 10,58 15,01 19,55 26,67 51,42 77,56 15,62 50,64 34,10 62,77 79,82 56,12 6,98 7,57 4,75 7,09
2W 6,38 10,14 13,84 17,25 22,81 44,76 74,88 14,08 46,51 30,74 57,65 85,84 59,18 6,93 6,13 4,54 4,94
W~ ′ 5,92 8,83 10,79 14,31 21,63 47,34 76,58 12,30 47,63 26,85 59,04 101,49 63,91 6,12 6,36 3,33 4,53
rF 5,85 8,61 10,21 13,25 20,24 45,18 75,85 11,63 46,29 25,39 57,37 108,98 66,97 5,91 5,92 3,16 3,75
D 5,99 8,85 10,61 12,86 15,72 31,71 65,72 10,81 37,13 23,60 46,02 78,22 61,58 6,77 5,40 4,50 4,57
r 5,71 8,14 8,77 10,15 15,63 36,25 72,06 9,68 40,75 21,13 50,51 136,05 80,60 5,38 3,65 2,47 1,84
ALM N 5,14 6,44 6,41 6,38 9,44 22,81 64,90 6,76 32,00 14,76 39,66 179,87 112,56 2,31 2,91 0,06 0,54
K 5,19 6,32 6,34 6,36 9,51 30,53 66,63 6,74 35,65 14,71 44,19 173,05 101,55 2,59 3,24 0,23 0,99
LM N 5,26 6,30 6,30 6,31 9,27 29,34 66,55 6,69 35,11 14,60 43,52 171,82 102,28 2,67 3,29 0,25 1,03
Z2 5,12 6,21 6,05 5,94 8,51 11,92 54,95 6,37 24,30 13,91 30,12 173,91 150,13 2,41 2,03 0,08 0,87
medel 10,54 21,66 27,70 33,59 40,72 64,02 85,59 26,84 61,68 58,60 76,45 101,07 57,50 8,22 20,77 3,36 11,76
Anm.: Tabellen är baserad på totalt 16 τ-kolumner. Testen är sorterade efter värdet på 50δ . Alla värden är angivna i procent. Det bästa värdet för varje kolumn är markerat med fet stil. Det bästa respektive sämsta värdet bland kombinationstesten är markerat med enkel respektive prickad understrykning. Signifikansnivå: α=0,05.
kombinationstest som har de högsta respektive lägsta 50δ - respektive 250δ -värdena i tabell
10 framgår dessutom av figurerna 15 och 16.
Resultaten i tabell 10 är nedslående. Inte ett enda test uppfyller de uppställda
effektivitetskraven. De högsta värdena för Λ50 och Λ250 är så låga som 10,18 respektive
39,31, medan de lägsta värden är GQ-testets Λ50=0 och Λ250=0. Även för de genomsnittliga
relativa lägstanivåerna är värdena dåliga, med som högst 22,04 och 51,64 för λ50 respektive
λ250.
Jämför vi sedan testens resultat för 50δ framgår det att heteroskedasticitetstesten
genomgående uppvisar bäst värden, med 50max% δ -värden varierande mellan 70,51 och
64
Figur 15: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har
högst respektive lägst 50δ -värden för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2<3 och
heteroskedasticitet som en funktion av X-värdena
n
10 20 30 40 50
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
0
10
20
30
40
50
60
70
WH LMNWH
P
ANLMH
W-våg
Z2
Figur 16: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst respektive lägst 250δ -värden för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2<3 och
heteroskedasticitet som en funktion av X-värdena
n
0 50 100 150 200 250
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100LMNWH
ZNLMH
WH
P
W-våg
Z2
65
100, följda av kombinationstesten med värden mellan 53,72 och 89,94. Sämst går det sålunda
för normalitetstesten, med dess värden mellan 13,91 och 50,16. Det test som klarar sig allra
bäst för 50δ är WH-testet med ett värde på 45,81, medan det bästa kombinationstestet är
LM NWH-testet med 41,20 och det bästa normalitetstestet är Rahman-Govindarajulus W~
-test
med ett 50δ -värde på 22,98. Notera också att de fyra bästa kombinationstesten – i tur och
ordning LMNWH-, KNWH-, ZNWH- och ANWH-testen – samtliga har just WH-testet som
heteroskedasticitetstestsdel. Det verkar därmed som om WH-testet med sina höga värden drar
upp resultaten även för dessa kombinationstest. LMNWH-testet är också det fjärde bästa testet
totalt. Men en negativ faktor för samtliga kombinationstest torde de dåliga resultaten för de
χ2-fördelade normalitetstest som utgör den andra halvan av kombinationstesten vara. Dessa
test – LMN-, ALM N-, 2Z - och K-testen – har sämst resultat av alla test, med 50max% δ -
värden mellan 13,91 och 14,76. Anledningen till dessa dåliga resultat torde vara att de
ickenormala fördelningar som används är symmetriska med 32 <β . Som framgick av tabell 1
fallerade de χ2-fördelade normalitetstesten totalt för dessa fördelningar när variansen var lika.
Olikheten i varians förändrar tydligen inte detta nämnvärt. Detta torde medverka till att här
dra ner resultaten för samtliga kombinationstest.
För 250δ ser vi att scenariot har förändrats något. Här visar kombinationstesten
generellt sett de bästa resultaten med 250max% δ -värden mellan 87,02 och 100 medan
heteroskedasticitets- och normalitetstesten ligger mellan 73,82 och 95,54 respektive 30,12 och
68,77. Liksom för 50δ kan vi här se ett stort inflytande från WH-testet: De fyra test som visar
bäst resultat är de kombinationstest som är baserade på WH-testet, och närmast efter dessa
följer just WH-testet. Allra bäst värden har här LMNWH-testet, tätt följt av KNWH-testet. Precis
som för 50δ uppvisar W~
-testet det bästa resultatet bland normalitetstesten.
Från tabell 10 kan det i övrigt vara värt att notera att totalt nio test – samtliga av dessa
kombinationstest – uppvisar en styrka på 100 procent för 250δ . Det har vi inte tidigare sett i
någon tabell. Övriga tre kombinationstest ligger dessutom strax under 100. Notera också att
ALM N-testets 50σ -värde på 179,87 är det högsta noterade värdet på detta mått för någon
tabell.
66
Tabell 11: Resultat för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2>3 där heteroskedasticiteten är en funktion av X-värdena. Genomsnittliga styrkenivåer, standardiserade standardavvikelser och relativa lägstanivåer, samt relativa lägstanivåer totalt.
10δ 20δ 30δ 40δ 50δ 100δ 250δ 50δ 250δ %max
50δ
%max
250δ 50σ 250σ λ50 λ250 Λ50 Λ250
LM NAH 23,04 42,34 52,26 60,06 67,03 85,33 97,51 48,95 80,49 100 100 47,02 21,78 75,43 89,35 60,65 90,05
KNAH 22,21 41,59 52,10 59,97 67,00 85,35 97,51 48,58 80,42 99,24 99,91 46,21 21,57 76,54 89,89 64,19 90,49
LM NH 21,43 41,05 51,29 59,27 66,36 85,36 97,51 47,88 80,23 97,81 99,68 44,82 21,15 73,84 89,17 66,95 90,62
ZNAH 20,52 41,00 51,69 59,55 66,19 84,46 97,13 47,79 79,72 97,63 99,04 45,89 22,35 74,19 84,35 61,60 83,94
ALM NH 19,63 40,20 51,74 59,87 67,30 85,64 97,59 47,75 80,42 97,55 99,91 44,06 20,88 72,63 89,94 58,22 92,00
KNLM H 20,63 40,36 51,12 59,29 66,27 85,36 97,52 47,53 80,16 97,10 99,59 43,83 20,91 71,79 88,92 62,33 91,05
ZNLM H 18,38 39,56 50,68 58,77 65,46 84,52 97,15 46,57 79,45 95,14 98,71 42,79 21,48 69,52 83,82 55,34 84,86
ANLM H 17,71 38,71 50,69 59,02 66,45 85,54 97,60 46,51 80,07 95,02 99,48 41,26 20,22 67,79 88,80 53,94 92,25
ANWH 17,72 36,97 48,07 56,69 64,74 83,62 96,95 44,84 78,62 91,60 97,68 43,43 22,06 63,92 83,61 51,10 86,64
KNWH 17,89 35,97 46,75 55,48 63,69 83,02 96,79 43,95 78,07 89,79 96,99 48,64 23,62 64,14 82,16 48,24 83,66
ZNWH 18,67 36,44 46,73 54,72 62,62 81,37 96,13 43,84 77,09 89,56 95,78 47,93 24,93 63,40 75,94 50,79 76,81
LM NWH 17,97 35,74 46,30 55,23 63,52 82,94 96,78 43,75 77,98 89,38 96,88 51,10 24,23 63,00 81,55 48,08 82,92
ALM H 21,75 37,62 43,18 49,44 54,84 71,02 86,75 41,37 68,83 84,51 85,51 64,69 41,56 28,27 25,99 24,58 23,57
GQ 18,27 39,99 44,75 48,89 52,11 61,43 68,75 40,80 58,90 83,35 73,18 79,94 67,90 5,96 1,42 1,67 0
r 13,79 31,94 42,94 51,43 59,57 80,31 95,28 39,94 75,37 81,59 93,64 42,34 22,79 47,40 70,80 28,61 73,10
LM H 19,68 36,10 41,93 48,22 53,72 71,02 86,82 39,93 68,47 81,57 85,07 61,09 40,29 37,51 28,42 26,17 24,36
ALM N 14,45 30,63 41,55 49,23 56,92 78,32 94,98 38,55 73,99 78,75 91,92 37,05 21,27 46,25 69,17 28,78 71,01
rF 13,33 30,65 41,32 49,66 57,63 78,80 94,74 38,52 74,15 78,69 92,12 43,18 23,97 44,64 67,51 26,90 69,30
W~ ′ 13,14 30,15 40,67 48,95 56,87 78,31 94,55 37,96 73,72 77,55 91,59 43,43 24,36 43,61 66,61 26,24 68,49
K 13,83 29,42 40,39 48,04 55,63 77,55 94,74 37,46 73,28 76,53 91,04 36,74 21,56 44,30 67,78 26,37 69,55
LM N 13,68 29,05 39,97 47,67 55,22 77,38 94,73 37,12 73,10 75,83 90,82 36,56 21,59 43,75 67,43 25,97 69,15
Z2 13,92 28,57 38,68 45,61 52,43 74,46 93,65 35,84 71,11 73,22 88,35 36,23 22,62 41,90 63,65 26,92 64,71
2A 12,29 27,33 36,81 43,85 51,44 72,85 91,36 34,34 69,36 70,15 86,17 52,20 32,31 35,82 51,85 25,09 49,03
2W 12,58 26,70 35,66 42,55 49,72 70,70 89,68 33,44 67,64 68,31 84,04 55,61 35,48 33,96 46,79 26,77 43,01
G2 12,80 28,05 34,08 40,64 46,97 64,45 82,45 32,51 62,42 66,41 77,55 75,37 52,30 17,37 11,33 10,45 8,76
G1 13,72 27,67 33,20 39,25 45,02 63,58 82,82 31,77 61,89 64,90 76,89 74,77 51,67 14,96 10,37 9,17 8,07
rS 11,02 25,42 31,31 37,30 42,27 59,34 77,42 29,46 57,78 60,18 71,79 76,92 57,31 18,08 10,67 10,18 8,18
W 10,89 24,91 32,68 36,53 41,50 * * 29,30 * 59,86 * 48,98 * 29,74 * 21,67 *
D 11,31 22,44 29,10 35,19 41,12 62,32 84,01 27,83 60,67 56,85 75,38 59,29 42,44 26,54 33,83 23,60 30,88
WH 13,25 21,57 25,91 30,90 38,91 53,77 73,35 26,11 53,31 53,34 66,23 77,51 60,04 11,04 7,61 7,78 6,16
P 9,28 21,43 26,31 31,64 36,43 54,10 71,19 25,02 52,34 51,11 65,03 75,85 62,69 16,44 9,81 10,07 7,57
W~
8,03 14,02 18,73 23,21 28,96 50,70 79,74 18,59 51,83 37,98 64,39 52,95 46,35 15,94 22,97 13,84 21,38
medel 15,84 32,30 41,21 48,32 55,12 74,61 90,43 38,56 71,00 78,77 88,21 52,43 32,70 44,99 56,82 33,82 56,82
Anm.: Tabellen är baserad på totalt 48 τ-kolumner. Testen är sorterade efter värdet på 50δ . Alla värden är angivna i procent. Det bästa värdet för varje kolumn är markerat med fet stil. Det bästa respektive sämsta värdet bland kombinationstesten är markerat med enkel respektive prickad understrykning. Signifikansnivå: α=0,05.
4.4.2 Symmetriska ickenormala fördelningar med β2>3 och heteroskedasticitet som
en funktion av X-värdena
I tabell 11 presenteras resultaten från de simuleringar där störningstermerna är ickenormala på
grund av att 32 >β och heteroskedastiska genom att variansen är en funktion av X-värdena.
De ickenormala fördelningar som används här är Logistic(0,1), Laplace (0,1) samt Students
t(5). Figur 17 och 18 visar sedan nδ -nivåernas utveckling över n för de normalitets-,
heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst respektive lägst värden för 50δ
respektive 250δ i tabell 11.
67
Figur 17: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har
högst respektive lägst 50δ -värden för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2>3 och
heteroskedasticitet som en funktion av X-värdena
n
10 20 30 40 50
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
0
10
20
30
40
50
60
70
LMNAHLMNWH
r
ALMH
P
W-våg
Figur 18: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst respektive lägst 250δ -värden för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2>3 och
heteroskedasticitet som en funktion av X-värdena
n
0 50 100 150 200 250
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100LMNAH
ZNWH
r
ALMH
P
W-våg
68
Det första vi noterar från tabell 11 är den stora dominansen för kombinationstesten, och
de förhållandevis dåliga resultaten för heteroskedasticitetstesten. De tolv bästa resultaten för
såväl 50δ som 250δ presteras av de tolv kombinationstesten. Samtliga kombinationstest
uppfyller effektivitetskraven för såväl n≤50 som n≤250, liksom även sex stycken
normalitetstest, nämligen LMN-, ALMN-, K-, r-, Fr - och W~ ′ -testen. Men av
heteroskedasticitetstesten uppfyller endast LMH-testet effektivitetskraven för n≤50, medan
inte ett enda test uppfyller kraven för n≤250. Det totalt sett bästa testet över såväl n≤50 som
n≤250 är LMNAH-testet med 95,4850=δ och 49,80250=δ , medan det bästa
normalitetstestet är r-testet med 94,3950=δ och 37,75250=δ .
I övrigt kan vi också notera att kombinationstestens spridning över 50δ och 250δ är
förhållandevis liten. Sålunda varierar värdena för 50δ mellan 43,75 och 48,95, medan
värdena för 250δ varierar mellan 77,09 och 80,49. Detta motsvaras av värden mellan 89,38
och 100 för 50max% δ samt mellan 95,78 och 100 för 250max% δ . Variationerna är då
betydligt större för normalitets- och heteroskedasticitetstesten. För 50max% δ ligger värdena
mellan 37,98 och 81,59 för normalitetstesten och mellan 51,11 och 84,51 för
heteroskedasticitetstesten, medan för 250max% δ normalitetstestens värden ligger mellan
64,39 och 93,64 och heteroskedasticitetstestens värden ligger mellan 65,03 och 85,51.
4.4.3 Symmetriska ickenormala fördelningar med β2<3 och heteroskedasticitet på
grund av närvaron av ett extremvärde
Resultaten från de simuleringar där störningstermerna kommer från symmetriska fördelningar
med 32 <β och har olika varians på grund av närvaron av ett extremvärde presenteras i tabell
12. Den fördelning som har använts är Uniform (-3,3). Från figurerna 19 och 20 framgår
sedan nδ -nivåernas utveckling över n för de normalitets-, heteroskedasticitets- och
kombinationstest som har högst respektive lägst värden för 50δ respektive 250δ i tabell 12.
Vi kan konstatera att åtta test uppfyller effektivitetskraven för n≤50 och n≤250: ALMH-, WH-,
LM H-, G1- och G2-testen bland de renodlade heteroskedasticitetstesten samt LMNAH-, KNAH-
och LMNWH-testen bland kombinationstesten, men inte ett enda renodlat normalitetstest.
Totalt sett klarar sig ALMH-testet allra bäst för n≤50, medan LMNWH-testet är bäst för n≤250.
69
Tabell 12: Resultat för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2<3 där heteroskedasticiteten beror på närvaron av ett extremvärde. Genomsnittliga styrkenivåer, standardiserade standardavvikelser och relativa lägstanivåer, samt relativa lägstanivåer totalt.
10δ 20δ 30δ 40δ 50δ 100δ 250δ 50δ 250δ %max
50δ
%max
250δ 50σ 250σ λ50 λ250 Λ50 Λ250
ALM H 57,70 69,35 72,59 74,36 77,81 81,24 82,43 70,36 79,17 100 91,47 32,58 21,52 95,07 75,90 88,65 62,04
LM NAH 51,34 65,03 69,05 71,62 75,63 84,87 99,99 66,53 85,30 94,56 98,56 37,36 15,49 76,33 87,69 61,25 85,12
WH 36,36 66,47 72,48 75,97 79,90 84,87 88,08 66,24 81,77 94,14 94,48 33,33 17,45 84,95 82,62 52,41 74,20
KNAH 47,72 63,82 68,51 71,39 75,54 85,56 99,99 65,40 85,34 92,95 98,60 38,59 15,36 71,26 87,56 46,19 87,32
LM H 43,30 63,82 68,87 71,43 75,44 80,06 81,94 64,57 77,19 91,77 89,19 38,71 23,67 69,44 68,49 37,32 60,97
G1 42,67 62,73 67,74 70,14 74,37 78,52 78,64 63,53 75,23 90,29 86,92 38,35 25,62 71,88 65,54 60,04 55,18
LM NWH 25,69 62,39 69,81 73,98 79,09 89,46 100 62,19 86,55 88,39 100 35,95 12,58 75,05 93,13 40,00 95,85
ZNAH 30,02 61,90 67,61 70,65 74,97 80,96 97,53 61,03 81,80 86,74 94,51 44,69 19,48 62,46 78,80 22,74 74,10
KNWH 17,10 61,18 69,28 73,71 79,16 90,06 100 60,08 86,37 85,39 99,79 35,44 12,21 70,16 92,37 22,80 96,29
ALM NH 19,52 59,58 65,85 69,36 74,00 83,46 99,97 57,66 82,83 81,95 95,70 51,52 19,08 53,46 81,23 7,39 81,68
ZNWH 3,91 58,92 68,44 73,05 78,30 85,49 96,54 56,52 82,66 80,33 95,51 41,58 16,55 61,75 84,14 2,78 86,82
G2 29,30 55,07 61,34 62,92 68,12 69,83 68,07 55,35 66,23 78,67 76,52 46,02 37,11 50,85 46,13 31,97 36,69
LM NH 18,42 56,45 63,14 66,55 72,17 86,72 99,99 55,35 83,53 78,67 96,51 49,16 17,19 46,08 83,19 12,04 91,24
ANWH 2,35 56,07 66,73 72,10 77,64 88,54 99,99 54,98 84,62 78,14 97,77 45,83 15,04 56,39 88,79 1,19 95,39
KNLM H 6,60 54,64 62,25 66,16 71,87 87,69 99,99 52,30 83,28 74,33 96,22 54,02 17,76 41,73 82,52 2,42 91,96
ZNLM H 3,27 51,57 60,69 65,16 71,12 79,39 98,35 50,36 78,99 71,57 91,27 58,33 23,10 36,62 71,59 1,35 70,13
ANLM H 2,35 48,66 58,56 63,24 69,82 83,68 99,97 48,53 80,75 68,97 93,30 56,63 20,26 30,97 76,09 1,17 82,93
GQ 16,89 35,39 39,34 41,12 49,83 52,35 54,61 36,51 49,71 51,89 57,44 64,82 61,85 13,22 9,62 10,46 7,98
W~ ′ 1,62 5,94 32,44 45,01 57,02 88,80 99,99 28,40 77,76 40,36 89,84 58,79 19,23 16,48 77,06 1,04 96,48
rF 1,58 5,97 32,58 44,57 55,98 87,83 99,99 28,14 77,24 39,99 89,24 61,37 20,43 14,20 75,06 0,96 93,71
W 2,16 6,09 27,35 44,47 59,58 * * 27,93 * 39,70 * 49,27 * 23,54 * 1,46 *
r 1,45 6,17 32,56 42,64 52,78 82,87 99,98 27,12 74,79 38,54 86,41 68,53 24,89 8,04 66,83 0,88 79,11
ALM N 1,41 7,84 33,78 41,23 48,47 67,81 92,26 26,55 65,83 37,73 76,06 76,19 37,36 0,92 42,77 0,26 39,53
K 1,40 7,23 32,83 40,68 48,27 73,43 92,77 26,08 68,13 37,07 78,72 76,78 33,78 1,13 49,43 0,22 54,93
LM N 1,38 6,96 32,34 40,50 48,02 72,62 92,76 25,84 67,74 36,73 78,27 76,71 34,41 1,07 48,29 0,19 52,22
Z2 1,42 7,67 31,09 39,06 46,42 59,44 90,81 25,13 61,58 35,72 71,15 80,02 45,17 0,93 32,46 0,13 16,30
W~
3,50 8,42 21,96 34,90 52,44 83,33 99,97 24,24 74,37 34,45 85,93 61,22 19,60 14,66 71,42 2,63 84,20
2A 1,95 6,82 20,27 33,47 51,43 78,83 99,76 22,79 72,13 32,39 83,34 46,59 16,57 20,60 72,78 1,44 81,76
2W 2,09 6,62 13,66 25,04 42,67 65,78 94,09 18,02 63,44 25,61 73,30 46,25 18,64 15,88 62,33 1,65 67,27
D 2,52 5,49 9,93 15,44 31,29 52,77 87,51 12,93 54,20 18,38 62,62 38,94 21,19 11,14 50,57 2,25 47,98
rS 7,85 14,16 14,19 10,91 12,39 13,44 20,36 11,90 15,26 16,91 17,63 33,88 61,94 12,31 7,80 9,03 5,07
P 4,63 9,80 11,55 8,55 14,86 20,76 22,95 9,88 18,81 14,04 21,73 39,40 73,46 7,85 6,71 5,02 5,45
medel 15,30 36,19 47,46 53,11 60,83 74,85 88,36 42,58 71,70 60,51 82,84 50,53 26,39 38,01 65,13 16,54 66,45
Anm.: Tabellen är baserad på totalt 4 τ-kolumner. Testen är sorterade efter värdet på 50δ . Alla värden är angivna i procent. Det bästa värdet för varje kolumn är markerat med fet stil. Det bästa respektive sämsta värdet bland kombinationstesten är markerat med enkel respektive prickad understrykning. Signifikansnivå: α=0,05.
För n≤50 är LMNAH-testet det bästa kombinationstestet med 56,9450max% =δ , medan WH-
testet är det bästa heteroskedasticitetstestet för n≤250, med 48,94250max% =δ .
Vad gäller kombinationstesten är det mycket intressant att observerade den stora
spridningen på resultaten för de olika testen. För 10δ varierar värdena mellan som lägst 2,35
för ANWH- och ANLMH-testen till som högst 51,34 för LMNAH-testet. För högre n-värden
minskar visserligen denna variationsvidd, men för 50δ är skillnaden ändå fortfarande så pass
hög som tio procentenheter, med värden från 69,82 för ANLMH-testet till 79,16 för KNWH-
testet. Detta medför också att värdena för 50max% δ sträcker sig från 69,97 för ANLM H-testet
till 94,56 för LMNAH-testet. Det slår också igenom kraftigt på de relativa lägstanivåerna, där
70
Figur 19: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har
högst respektive lägst 50δ -värden för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2<3 och
heteroskedasticitet p.g.a. närvaron av ett extremvärde
n
10 20 30 40 50
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0
10
20
30
40
50
60
70
80
ALMH
LMNAH
ANLMH
W-våg-prim D-tak
P
Figur 20: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har
högst respektive lägst 250δ -värden för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2<3 och heteroskedasticitet p.g.a. närvaron av ett extremvärde
n
0 50 100 150 200 250
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
rS
D-tak
WHZNLMH
W-våg-prim
LMNWH
71
Λ50 varierar mellan 1,17 för ANLM H-testet till 61,25 för LMNAH-testet. De stora skillnader
som vi här observerar mellan de olika testen är svåra att förklara. För exempelvis 10δ är
skillnaden mellan de χ2-fördelade normalitetstesten, som ju utgör den ena halvan av
kombinationstesten, bara ytterst marginell – det lägsta värdet är 1,32 och det högsta är 1,42.
Men trots detta är variationen stor mellan de kombinationstest som har samma
heteroskedasticitetstestsdel men olika normalitetstestsdel. Således har ALMNH-testet ett 10δ -
värde på 19,52, vilket kan jämföras med LMNAH-testets värde på 51,34 för samma mått.
När det gäller resultaten i övrigt kan vi notera att normalitetstesten gör dåligt ifrån sig
för 50δ , men visar betydligt bättre resultat för 250δ . Det normalitetstest som har högst
värden för 50δ och 250δ är W~ ′ -testet, med värdena 40,36 och 89,84 för 50max% δ
respektive 250max% δ . Det test som uppvisar sämst resultat är D -testet med värdena 18,38
respektive 62,62 för dessa mått. Notera också att samtliga normalitetstest har låga Λ50-
värden, med som högst 2,63 för W~
-testet. För heteroskedasticitetstesten ser vi att rS- och P-
testen gör mycket dåligt ifrån sig för 50δ och 250δ , med sämre resultat än samtliga
normalitetstest, och de är därmed de totalt sett två sämsta testen. För 250δ är även GQ-testet
sämre än samtliga normalitetstest.
4.4.4 Symmetriska ickenormala fördelningar med β2>3 och heteroskedasticitet på
grund av närvaron av ett extremvärde
I tabell 13 presenteras resultaten från simuleringarna med störningstermer som kommer från
symmetriska fördelningar med 32 >β och som har olika varians på grund av närvaron av ett
extremvärde. De fördelningar som har använts är Logistic(0,1), Laplace (0,1) och Students
t(5). Diagram över nδ -nivåernas utveckling över n för de normalitets-, heteroskedasticitets-
och kombinationstest som har högst respektive lägst 50δ - respektive 250δ -värden i tabell 13
framgår sedan av figurerna 21 och 22.
Som framgår av tabell 13 är det åtta test som uppfyller effektivitetskraven för n≤50 och
n≤250. Bland kombinationstesten är det LMNAH-, KNAH-, ZNAH- och LMNWH-testen samt
bland heteroskedasticitetstesten ALMH-, LMH-, WH- och G1-testen, men alltså inget
normalitetstest. Totalt sett är LMNAH-testet bäst för såväl n≤50 som n≤250, medan ALMH-
testet är det bästa renodlade heteroskedasticitetstestet för n≤50 och n≤250.
72
Tabell 13: Resultat för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2>3 där heteroskedasticiteten beror på närvaron av ett extremvärde. Genomsnittliga styrkenivåer, standardiserade standardavvikelser och relativa lägstanivåer, samt relativa lägstanivåer totalt.
10δ 20δ 30δ 40δ 50δ 100δ 250δ 50δ 250δ %max
50δ
%max
250δ 50σ 250σ λ50 λ250 Λ50 Λ250
LM NAH 45,27 61,37 67,02 71,24 76,33 86,64 95,58 64,25 84,20 100 100 25,42 13,14 94,48 96,77 83,10 96,96
KNAH 42,29 60,47 66,82 71,18 76,41 86,71 95,60 63,43 84,07 98,72 99,85 25,67 13,16 92,23 96,34 74,67 96,94
ALM H 50,06 60,28 62,75 64,70 68,33 72,73 74,94 61,23 70,78 95,30 84,06 30,02 24,04 74,34 55,60 59,18 48,24
ZNAH 29,21 59,29 66,40 70,71 75,72 85,53 94,66 60,27 82,62 93,81 98,12 28,26 14,25 81,68 91,32 30,60 93,23
ALM NH 21,06 57,54 66,02 70,91 76,37 86,98 95,75 58,38 83,22 90,86 98,84 30,63 14,03 76,75 93,39 12,79 96,94
LM NWH 23,96 55,08 63,03 68,19 74,23 86,21 95,74 56,90 82,44 88,56 97,91 26,94 13,25 76,84 92,75 41,15 95,79
LM NH 20,50 54,15 63,13 68,18 74,25 86,16 95,55 56,05 82,19 87,24 97,61 28,37 13,86 71,89 91,75 17,84 96,45
LM H 36,69 55,34 59,17 61,63 65,88 71,42 74,36 55,74 68,78 86,75 81,69 32,95 25,15 59,75 51,39 55,52 47,56
KNWH 17,50 54,26 62,88 68,16 74,42 86,32 95,77 55,44 82,22 86,29 97,65 25,37 12,88 72,77 92,07 23,47 96,14
KNLM H 10,29 52,53 62,51 68,07 74,08 86,21 95,57 53,50 81,69 83,27 97,02 27,63 13,70 68,28 91,01 7,36 96,47
ZNWH 7,58 53,22 62,77 67,93 73,74 84,98 94,73 53,05 80,81 82,57 95,97 26,49 13,68 68,37 88,00 5,90 91,18
ANWH 6,62 51,45 62,60 68,51 74,62 86,77 95,96 52,76 81,94 82,12 97,32 27,51 13,16 66,49 91,43 4,67 97,63
ZNLM H 7,43 50,11 61,65 67,45 73,49 85,05 94,71 52,02 80,61 80,96 95,74 27,82 14,25 65,57 88,28 5,31 93,85
WH 29,08 52,51 55,82 58,37 62,75 69,18 74,19 51,71 66,77 80,48 79,30 36,46 27,40 45,17 43,06 36,76 41,85
ANLM H 6,70 47,55 60,79 67,17 73,94 86,37 95,70 51,23 81,34 79,74 96,60 27,68 13,64 62,93 90,16 4,93 96,74
G1 33,52 50,86 54,35 55,83 60,81 64,87 64,39 51,08 61,63 79,50 73,19 37,45 33,14 44,62 37,16 42,08 31,73
G2 24,15 44,10 48,42 49,00 54,97 56,50 54,48 44,13 53,26 68,68 63,25 42,34 42,25 36,31 28,38 32,26 22,32
ALM N 5,88 17,03 40,88 51,97 61,21 81,26 95,02 35,39 74,89 55,08 88,94 34,07 16,85 33,93 74,18 4,59 79,49
r 5,23 16,15 40,03 51,91 61,77 81,91 95,10 35,02 75,14 54,51 89,24 33,19 17,10 33,77 73,64 3,80 78,62
K 5,77 16,39 39,93 50,89 60,26 80,85 94,85 34,65 74,44 53,93 88,41 34,75 17,15 33,08 73,27 4,47 78,61
LM N 5,73 16,05 39,49 50,66 59,98 80,72 94,84 34,38 74,31 53,51 88,25 34,87 17,23 32,84 72,92 4,41 78,06
GQ 19,57 32,90 35,54 37,12 44,61 47,83 49,83 33,95 45,43 52,84 53,95 41,27 39,78 32,07 26,83 25,38 23,28
rF 5,16 15,17 38,46 50,35 60,31 80,53 94,62 33,89 74,09 52,75 87,99 33,47 17,77 32,36 70,61 3,72 74,21
W~ ′ 5,12 14,73 37,74 49,69 59,72 80,15 94,44 33,40 73,74 51,98 87,58 33,69 18,02 31,60 69,54 3,74 72,89
Z2 5,86 16,17 37,88 48,92 57,28 78,69 93,96 33,22 72,77 51,70 86,43 36,14 18,15 30,44 69,06 4,50 73,69
2A 4,79 12,14 26,98 38,35 51,44 72,03 89,90 26,74 67,04 41,62 79,62 37,69 24,04 20,95 50,17 3,63 49,13
W 4,70 10,81 27,51 36,53 44,76 * * 24,86 * 38,69 * 39,31 * 19,29 * 3,40 *
2W 4,87 11,94 21,57 33,33 47,69 68,48 87,62 23,88 64,02 37,17 76,03 39,11 26,55 17,46 43,16 3,73 41,30
D 4,92 9,61 16,46 24,31 38,73 59,14 81,45 18,81 56,58 29,28 67,20 36,45 29,61 13,30 31,97 4,32 30,16
W~
4,26 5,83 12,93 21,38 32,00 56,38 81,12 15,28 54,13 23,78 64,29 53,22 33,48 8,69 27,36 3,40 25,75
rS 7,18 11,61 12,22 10,43 11,60 11,61 17,45 10,61 13,28 16,51 15,77 30,03 39,72 11,75 8,47 8,18 6,18
P 4,60 7,21 7,95 6,22 9,61 11,88 15,33 7,12 11,85 11,08 14,07 25,55 56,29 6,47 5,20 4,78 4,23
medel 15,80 35,43 46,30 52,48 59,73 72,91 83,01 41,95 69,04 65,29 82,00 32,81 22,15 47,39 65,01 19,49 66,31
Anm.: Tabellen är baserad på totalt 12 τ-kolumner. Testen är sorterade efter värdet på 50δ . Alla värden är angivna i procent. Det bästa värdet för varje kolumn är markerat med fet stil. Det bästa respektive sämsta värdet bland kombinationstesten är markerat med enkel respektive prickad understrykning. Signifikansnivå: α=0,05.
Vad gäller de övergripande resultaten för kombinationstesten är mönstret likartat det vi
såg i tabell 12, med en stor skillnad mellan värdena för de olika testen. För 10δ varierar
således värdena mellan 6,62 och 45,27, för 50δ mellan 51,23 och 64,25 samt för Λ50 mellan
4,93 och 83,10. Notera också att precis i tabell 10 är det LMNAH- och ANLMH-testen som har
de högsta respektive lägsta värdena för 50δ och Λ50. Liksom i tabell 12 är det också här
svårt att förklara skillnaderna mellan de olika kombinationstestens resultat. Således har LMN-
testet 73,510 =δ medan ALMN-testet har 88,510 =δ . Med andra ord utgör värdet för LMN-
testet 97 procent (5,73/5,88) av värdet för ALMN-testet. Detta kan jämföras med att LMNAH-
testet och ALMNH-testet, som har dessa båda normalitetstest som sin ena halva men samma
73
Figur 21: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har
högst respektive lägst 50δ -värden för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2>3 och
heteroskedasticitet p.g.a. närvaron av ett extremvärde
n
10 20 30 40 50
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0
10
20
30
40
50
60
70
80
LMNAH
ANLMH
ALMH
ALMN
W-våg
P
Figur 22: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har
högst respektive lägst 250δ -värden för HN -simuleringar från symmetriska fördelningar med β2>3 och heteroskedasticitet p.g.a. närvaron av ett extremvärde
n
0 50 100 150 200 250
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
P
ALMH
W-våg
r
LMNAHZNLMH
74
heteroskedasticitetstest som sin andra halva har värdet på 27,4510 =δ respektive 06,2110 =δ ,
vilket innebär att värdet på LMNAH-testet utgör hela 215 procent (45,27/21,06) av värdet för
ALM NH-testet.
När det gäller resultaten i övrigt noterar vi att normalitetstesten gör dåligt ifrån sig för
n≤50, med 08,5550max%78,23 ≤δ≤ och 3,40≤Λ50≤ 4,59. Liksom i tabell 12 uppvisar dock
rS- och P-testen sämre resultat än samtliga normalitetstest för såväl 50δ som 250δ . GQ-testet
visar sämre resultat än fyra normalitetstest för 50δ och sämre resultat än samtliga
normalitetstest för 250δ .
4.4.5 Resultat aggregerat över samtliga varianter av samtidig ickenormalitet och
heteroskedasticitet
Tabell 14 presenterar de resultat vi får då vi aggregerar över samtliga simuleringar med
ickenormala heteroskedastiska störningstermer, medan figurerna 23 och 24 ger diagram över
nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst
respektive lägst värden för 50δ respektive 250δ i tabell 14. Som synes uppfyller inte ett enda
test de effektivitetskrav som vi har ställt upp. Detta visste vi dock på förhand, eftersom inget
test heller klarade effektivitetskraven i tabell 10, och tabell 14 återspeglar resultaten från
tabell 10-13. Det är de låga värdena på Λ50 som medför att inget test uppfyller
effektivitetskraven. Som vi ser är det högsta Λ50-värdet så pass lågt som 9,83.
När det gäller 50δ och 250δ visar genomgående kombinationstesten de bästa
resultaten, med värden mellan 87,47 och 100 för 50max% δ samt mellan 96,90 och 100 för
250max% δ . De högsta värdena har LMNAH-testet, med 09,4950=δ och 24,80250=δ .
Resultaten för heteroskedasticitetstesten är däremot mer blandade. ALMH- och LMH-testen
visar bäst resultat, med 50max% δ -värden på 93,20 respektive 88,35 och 250max% δ -
värden på 87,33 respektive 86,50. Sämst resultat har rS- och P-testen, med värdena 56,71 och
46,91 respektive 64,24 och 57,37 för 50max% δ respektive 250max% δ . Värdena för
normalitetstesten är tämligen jämnt spridda. Undantaget rS- och P-testen så har de dock lägre
värden än alla övriga test för 50δ , med 23,6650max%23,39 ≤δ≤ . För 250δ uppvisar dock
normalitetstesten bättre resultat, med 64,88250max%34,67 ≤δ≤ .
75
Tabell 14: Resultat aggregerat över samtliga HN -simuleringar. Genomsnittliga styrkenivåer, standardiserade standardavvikelser och relativa lägstanivåer, samt relativa lägstanivåer totalt.
10δ 20δ 30δ 40δ 50δ 100δ 250δ 50δ 250δ %max
50δ
%max
250δ 50σ 250σ λ50 λ250 Λ50 Λ250
LM NAH 26,40 43,62 51,77 58,45 65,22 84,75 97,84 49,09 80,24 100 100 54,68 24,21 3,36 41,37 0,33 23,33
KNAH 24,89 42,52 51,34 58,18 65,08 85,00 97,85 48,40 80,20 98,59 99,95 54,83 23,96 3,86 43,40 0,31 28,10
ZNAH 20,33 41,37 50,65 57,53 64,18 82,21 97,19 46,81 78,48 95,36 97,81 55,56 26,80 4,24 31,15 0,09 1,96
LM NWH 18,88 39,12 49,20 57,63 65,86 84,86 97,43 46,14 79,62 93,99 99,23 52,09 23,46 15,93 48,28 7,43 37,08
LM NH 19,55 40,78 49,75 56,73 63,78 85,03 97,84 46,12 79,65 93,95 99,26 53,55 23,64 3,18 42,94 0,50 27,44
ALM NH 17,78 39,87 49,86 56,94 64,35 84,13 97,91 45,76 79,28 93,22 98,80 55,85 25,02 1,77 37,86 0,08 14,92
ALM H 27,45 42,49 47,52 52,99 58,31 72,59 85,04 45,75 70,07 93,20 87,33 63,09 40,75 3,27 3,24 0,96 1,58
KNWH 17,06 38,64 49,16 57,59 65,91 85,03 97,44 45,67 79,60 93,03 99,20 50,85 23,05 12,36 48,46 7,57 39,31
KNLM H 16,58 39,60 49,23 56,54 63,53 85,27 97,85 45,10 79,52 91,87 99,10 54,94 23,65 1,17 44,80 0,36 33,02
ZNWH 14,68 38,19 48,79 56,73 64,77 82,70 96,31 44,63 78,01 90,91 97,22 54,43 25,89 5,76 35,31 2,78 17,14
ANWH 13,35 37,22 48,54 57,16 65,58 84,97 97,56 44,37 79,33 90,39 98,87 52,89 23,51 4,43 43,80 1,19 31,59
ZNLM H 13,95 38,07 48,41 55,76 62,56 82,19 97,25 43,75 77,75 89,12 96,90 55,74 26,58 0,78 30,66 0,29 2,76
LM H 22,85 40,09 45,68 51,34 56,92 72,47 84,98 43,37 69,41 88,35 86,50 61,28 39,97 8,47 4,61 1,40 1,93
ANLM H 13,19 36,41 47,52 55,02 62,57 84,09 97,91 42,94 78,56 87,47 97,91 56,10 24,90 0,57 38,49 0,13 17,21
GQ 17,75 38,33 42,85 46,66 51,00 59,40 65,34 39,32 56,61 80,10 70,55 79,07 67,21 2,81 0,56 0 0
G1 18,76 35,08 40,85 46,37 52,16 67,90 81,35 38,64 65,09 78,71 81,12 68,11 46,53 14,96 10,37 9,17 8,07
G2 16,07 34,14 40,44 46,05 52,42 66,66 79,08 37,83 63,73 77,06 79,42 68,15 48,85 17,22 11,25 9,83 8,76
WH 17,30 31,67 37,43 42,84 50,24 63,54 77,79 35,89 61,51 73,11 76,66 71,33 51,09 11,04 7,61 7,78 6,16
r 10,27 23,52 35,15 42,81 50,77 71,87 90,85 32,51 68,38 66,23 85,22 63,09 37,84 2,66 3,11 0,88 1,84
rF 10,02 22,69 34,23 42,23 50,47 72,78 91,21 31,93 68,72 65,04 85,64 61,07 35,53 3,04 5,34 0,96 3,75
W~ ′ 9,92 22,36 33,85 41,94 50,25 72,92 91,21 31,66 68,71 64,49 85,63 60,32 35,03 3,16 5,77 1,04 4,53
ALM N 10,65 22,61 34,03 40,67 47,64 67,14 88,83 31,12 65,32 63,39 81,41 62,27 41,62 0,30 2,51 0,06 0,54
K 10,27 21,74 33,13 39,76 46,73 68,43 89,04 30,33 65,67 61,78 81,84 61,71 39,68 0,42 2,81 0,22 0,99
LM N 10,19 21,44 32,79 39,49 46,38 68,03 89,01 30,06 65,42 61,23 81,53 61,54 39,91 0,42 2,84 0,19 1,03
Z2 10,33 21,20 31,66 37,84 44,08 61,83 85,82 29,02 61,52 59,12 76,67 61,69 46,17 0,29 1,60 0,08 0,87
2A 9,45 20,68 30,15 37,64 46,49 68,74 88,80 28,88 65,41 58,83 81,52 63,04 38,09 4,45 7,06 1,44 7,09
rS 10,90 24,66 30,01 34,60 39,04 52,90 67,80 27,84 51,55 56,71 64,24 82,25 68,34 11,31 7,53 8,18 5,07
2W 9,66 20,17 28,08 35,23 43,68 64,93 86,63 27,36 62,66 55,73 78,09 67,77 41,64 4,20 5,58 1,65 4,94
W 8,59 19,01 28,64 34,95 41,93 * * 26,63 * 54,25 * 56,55 * 5,34 * 1,46 *
P 8,96 20,14 24,46 28,42 33,18 47,59 61,68 23,03 46,03 46,91 57,37 85,44 73,94 6,28 5,17 4,78 4,23
D 8,85 16,95 22,54 28,10 35,19 55,25 80,14 22,33 55,02 45,49 68,57 71,07 48,47 4,31 4,91 2,25 4,57
W~
7,00 12,38 18,89 25,32 32,69 54,49 80,53 19,26 54,03 39,23 67,34 58,78 47,16 3,75 5,87 2,63 4,11
medel 14,75 30,84 39,58 46,23 53,22 72,25 88,24 36,92 68,87 75,21 85,84 61,85 38,14 5,16 18,85 2,38 11,09
Anm.: Tabellen är baserad på totalt 80 τ-kolumner. Testen är sorterade efter värdet på 50δ . Alla värden är angivna i procent. Det bästa värdet för varje kolumn är markerat med fet stil. Det bästa respektive sämsta värdet bland kombinationstesten är markerat med enkel respektive prickad understrykning. Signifikansnivå: α=0,05.
Sambandet mellan kombinationstestens två delar
I tabell 15 redovisas resultaten från mätningen av det linjära sambandet under alternativet
HN mellan kombinationstestens styrkenivå och deras χ2-fördelade normalitets- och
heteroskedasticitetstestsdelar. Det framgår att är R2-värdena är höga för n upp till och med 50.
Genomsnittet ligger högre än 0,9 för alla dessa n-värden. Men sedan sjunker R2-värdena
kraftigt för n=100 och särskilt för n=250. För n=100 sjunker R2 till ett genomsnittligt värde
under 0,8 och för n=250 till under 0,4.
76
Figur 23: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har
högst respektive lägst 50δ -värden för samtliga HN -simuleringar
n
10 20 30 40 50
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
60
70
0
10
20
30
40
50
60
70
LMNAH
ANLMH
ALMHr
P
W-våg
Figur 24: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har högst respektive lägst 250δ -värden för samtliga HN -simuleringar
n
0 50 100 150 200 250
Sty
rken
ivå
(1-β
)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
P
W-vågALMH
r
LMNAH
ZNLMH
77
Tabell 15: Resultat från regressioner med kombinationstestens beroende av sina normalitets- och heteroskedasticitetstestsdelar över samtliga simuleringar med heteroskedastiska och ej normalfördelade störningstermer.
LMNH ANLM H ZNLM H KNLM H LM NWH ANWH ZNWH KNWH LM NAH ALM NH ZNAH KNAH medel
n=10 0β -2,520 *-0,489 *-1,233 -2,667 -5,891 -1,257 -3,498 -4,182 *-0,364 -2,436 -2,329 *-0,708 -2,298
1β 0,949 1,154 1,228 1,314 0,941 1,222 1,409 1,059 0,285 0,947 0,755 0,346 0,967
2β 0,542 0,061 0,109 0,252 0,877 0,092 0,210 0,599 0,869 0,369 0,542 0,803 0,444
R2 0,930 0,946 0,915 0,882 0,973 0,948 0,906 0,944 0,986 0,847 0,895 0,974 0,929
n=20 0β *-0,469 *-1,841 *-2,137 *-0,808 *-0,833 *-2,244 -2,579 *-0,719 *0,830 *-0,635 *-0,822 *0,419 -0,987
1β 0,435 0,579 0,560 0,470 0,643 0,794 0,782 0,671 0,371 0,493 0,474 0,398 0,556
2β 0,797 0,627 0,707 0,753 0,826 0,679 0,764 0,783 0,820 0,691 0,757 0,787 0,749
R2 0,973 0,936 0,955 0,963 0,981 0,941 0,968 0,973 0,967 0,908 0,938 0,953 0,955
n=30 0β *2,094 *-0,121 *0,341 *1,715 4,359 2,638 2,933 4,504 3,133 *0,927 *1,497 2,737 2,230
1β 0,514 0,668 0,598 0,547 0,589 0,732 0,667 0,613 0,470 0,622 0,545 0,502 0,589
2β 0,674 0,545 0,638 0,643 0,682 0,561 0,661 0,651 0,699 0,585 0,671 0,673 0,640
R2 0,970 0,960 0,966 0,968 0,967 0,965 0,963 0,968 0,971 0,956 0,964 0,967 0,965
n=40 0β 4,738 *2,051 *3,057 4,621 10,389 8,556 8,180 10,463 5,756 *3,224 4,005 5,491 5,878
1β 0,468 0,595 0,523 0,488 0,491 0,596 0,542 0,505 0,429 0,554 0,480 0,449 0,510
2β 0,653 0,561 0,641 0,633 0,650 0,569 0,654 0,632 0,675 0,588 0,667 0,657 0,632
R2 0,952 0,942 0,950 0,950 0,940 0,930 0,938 0,939 0,956 0,942 0,954 0,954 0,946
n=50 0β 8,441 5,656 6,037 8,074 17,294 15,591 14,617 17,496 9,505 7,444 7,442 9,323 10,577
1β 0,436 0,540 0,478 0,451 0,388 0,469 0,424 0,395 0,391 0,486 0,422 0,404 0,440
2β 0,617 0,548 0,623 0,604 0,608 0,551 0,626 0,596 0,645 0,579 0,654 0,633 0,607
R2 0,935 0,930 0,935 0,933 0,920 0,908 0,924 0,918 0,941 0,933 0,944 0,940 0,930
n=100 0β 38,291 33,474 25,940 39,729 46,658 46,476 38,995 47,263 37,001 33,190 25,386 38,509 37,576
1β 0,115 0,169 0,219 0,114 0,150 0,171 0,203 0,148 0,117 0,167 0,216 0,114 0,159
2β 0,537 0,542 0,589 0,521 0,440 0,426 0,490 0,435 0,549 0,547 0,599 0,533 0,517
R2 0,816 0,805 0,852 0,818 0,738 0,717 0,789 0,737 0,823 0,808 0,857 0,824 0,799
n=250 0β 80,934 82,145 77,177 81,032 80,119 81,702 76,019 80,246 80,869 82,087 76,940 80,933 80,017
1β 0,061 0,054 0,050 0,061 0,078 0,068 0,065 0,078 0,061 0,054 0,050 0,061 0,062
2β 0,135 0,130 0,186 0,134 0,133 0,126 0,190 0,132 0,135 0,130 0,187 0,135 0,146
R2 0,346 0,335 0,477 0,345 0,369 0,355 0,476 0,368 0,347 0,336 0,482 0,346 0,382
vägt 0β 42,382 40,339 35,798 42,905 46,698 46,914 41,880 47,086 42,193 40,480 35,762 42,738 42,098
medel 1β 0,212 0,270 0,277 0,232 0,238 0,280 0,289 0,245 0,175 0,247 0,243 0,181 0,241
2β 0,439 0,396 0,454 0,415 0,413 0,353 0,423 0,394 0,463 0,419 0,483 0,449 0,425
R2 0,702 0,692 0,757 0,700 0,678 0,661 0,730 0,676 0,708 0,689 0,760 0,707 0,705
Anm.: 1β är koefficienten för normalitetstestsdelen och
2β är koefficienten för heteroskedasticitetstestsdelen. * betyder att p≥0,05.
Vad gäller regressionskoefficienterna ser vi att värdena på den skattade intercepttermen
0β , från att ha legat runt 0 för n≤30, börjar stiga för n=40 och n=50, för att sedan skjuta rejält
i höjden för n=100 och n=250. För de senare ligger 0β således genomsnittligt på 37,576
respektive 80,017. Således stiger 0β i takt med att R2 sjunker. Eftersom intercepttermen 0β
ger det skattade värdet på den genomsnittliga påverkan på den beroende variabeln som utövas
av de variabler som inte har tagits med i modellen, och R2-måttet ger den andel av variationen
i den beroende variabeln som förklaras av de variabler som har tagits med i modellen, så är
det också naturligt att 0β stiger då R2 sjunker. Denna stigande trend för 0β motsvaras även av
en sjunkande trend för de skattade partiella regressionskoefficienterna 1β och 2β . För n=10
har dessa exempelvis tillsammans ett genomsnittligt värde på 1,411 (0,967+0,444), medan
motsvarande värde för n=250 är endast 0,208 (0,062+0,146). Vidare ser vi att i de flesta fall är
78
2β -värdena större än 1β -värdena. Endast för n=10 är 1β genomsnittligt sett större än 2β .
Genomsnittet för samtliga n-värden är 0,241 för 1β och 0,425 för 2β .
4.5 Övergripande analys av samtliga simuleringsresultat
I detta avsnitt skall vi göra en övergripande analys av samtliga simuleringsresultat. Detta gör
vi dels genom att jämföra och sammanfatta de viktigaste resultaten från tabellerna avsnitt 4.2-
4.4. Dels gör vi det genom att till en gemensam tabell aggregera de observerade
styrkenivåerna för samtliga simuleringar där nollhypotesen (1.2) om normalfördelning och
lika varians är felaktig. Vi börjar med det senare.
4.5.1 Resultat aggregerat över samtliga simuleringar
Vid konstruerandet av en gemensam tabell för samtliga observerade styrkenivåer vill vi ge
lika vikt åt var och en av avvikelserna HN , HN och HN . Detta åstadkommer vi genom att
använda oss av de separata aggregeringar för HN , HN och HN som vi har presenterat i
tabellerna 4, 8 och 14. Genom att från dessa tabeller beräkna genomsnittet av nδ , nδ , nσ
respektive λn och de minsta värdena för Λn så får vi värdena på dessa mått aggregerade över
samtliga simuleringar där nollhypotesen (1.2) om NH är falsk. Dessa värden presenteras i
tabell 16. Från figurerna 25 och 26 framgår det sedan hur nδ -nivåerna utvecklas för de
normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har de högsta respektive lägsta
värdena för 50δ respektive 250δ i tabell 16.
Som framgår av tabell 16 uppfyller inget test effektivitetskraven för varken n≤50 eller
n≤250. De högsta värdena för Λ50 och Λ250 är inte högre än 6,47 respektive 8,09. Om vi
istället bara tittar på värdena för 50δ och 250δ så ser vi att kombinationstesten generellt sett
uppvisar högre värden än normalitets- och heteroskedasticitetstesten. De tolv
kombinationstesten tar således de tolv första platserna för 250δ och platserna 1-11 samt 13
för 50δ . Detta resultat var också vad vi kunde ha förväntat oss, eftersom vi här ser till
resultaten aggregerade över samtliga möjliga avvikelser från NH. Kombinationstesten är ju
utvecklade för att kunna upptäcka alla slags avvikelser, vilket inte de enkelriktade
normalitets- och heteroskedasticitetstesten är. Allra högst värden har LMNAH-testet med 37,07
för 50δ och 65,80 för 250δ . Men skillnaden mellan de olika kombinationstesten är liten: för
79
Tabell 16: Resultat för samtliga simuleringar där störningstermerna ej uppfyller nollhypotesen om NH. Genomsnittliga styrkenivåer, standardiserade standardavvikelser och relativa lägstanivåer, samt relativa lägstanivåer totalt.
10δ 20δ 30δ 40δ 50δ 100δ 250δ 50δ 250δ %max
50δ
%max
250δ 50σ 250σ λ50 λ250 Λ50 Λ250
LM NAH 19,88 32,60 39,00 44,23 49,63 66,81 86,54 37,07 65,80 100 100 73,58 46,82 16,61 30,61 0,23 1,59
KNAH 18,85 31,73 38,69 43,98 49,45 67,09 86,55 36,54 65,80 98,57 100 74,05 46,61 17,31 31,32 0,25 1,76
ZNAH 15,77 31,08 38,31 43,79 49,08 64,70 84,47 35,61 63,96 96,06 97,20 74,33 49,66 16,18 27,56 0,09 0,56
LM NH 15,35 30,83 37,76 43,16 48,72 67,32 86,57 35,16 65,56 94,85 99,64 73,24 46,15 16,51 32,21 0,24 1,94
LM NWH 14,76 29,35 36,81 43,23 49,52 66,52 85,59 34,73 64,91 93,69 98,65 71,03 46,03 24,25 34,58 6,47 7,84
ALM NH 14,01 29,84 37,49 42,94 48,86 66,01 86,32 34,63 64,86 93,42 98,57 75,11 47,94 13,49 28,03 0,08 1,06
KNLM H 13,32 29,91 37,32 43,02 48,44 67,51 86,60 34,40 65,47 92,80 99,50 74,53 46,18 14,43 32,30 0,23 2,07
KNWH 13,59 28,96 36,74 43,07 49,46 66,72 85,60 34,37 64,91 92,72 98,65 70,83 45,84 21,77 34,33 6,39 8,09
ZNWH 11,99 28,70 36,70 42,76 48,91 64,60 82,78 33,81 63,00 91,21 95,74 74,26 49,07 16,66 29,49 2,78 5,33
ZNLM H 11,50 28,86 36,85 42,72 48,01 64,76 84,65 33,59 63,55 90,61 96,58 74,68 49,44 13,99 28,00 0,14 0,59
ANWH 11,05 27,84 36,13 42,41 48,95 66,18 85,54 33,28 64,42 89,78 97,90 73,99 47,07 14,67 31,26 1,19 6,13
ALM H 20,36 30,79 34,46 38,37 42,02 52,08 61,05 33,20 50,37 89,56 76,55 65,52 56,55 16,09 24,42 0,40 0,03
ANLM H 10,95 27,51 35,89 41,64 47,57 65,99 86,42 32,71 64,40 88,24 97,87 75,51 47,77 12,12 28,66 0,07 0,89
LM H 17,31 29,34 33,34 37,28 41,20 52,18 61,04 31,69 50,04 85,49 76,05 65,57 56,38 26,61 27,65 0,30 0,03
GQ 13,38 27,72 31,02 33,76 36,76 42,62 46,83 28,53 40,68 76,96 61,82 73,59 71,16 4,60 0,99 0 0
G1 14,38 25,81 29,83 33,66 37,60 48,48 57,23 28,26 46,36 76,23 70,46 52,77 40,01 27,60 27,95 6,41 4,75
G2 12,70 25,18 29,54 33,48 37,79 47,50 55,65 27,74 45,38 74,83 68,97 52,75 41,77 26,47 23,88 6,26 4,88
WH 13,28 23,39 27,57 31,57 36,87 46,19 55,89 26,54 44,62 71,59 67,81 52,07 36,17 22,23 22,90 5,84 4,00
r 9,17 19,00 27,75 33,81 40,30 58,57 75,56 26,01 56,03 70,16 85,15 80,08 57,28 8,30 8,47 0,88 1,84
rF 9,10 18,72 27,52 33,88 40,70 59,33 75,52 25,98 56,35 70,08 85,64 78,36 56,32 10,25 11,29 0,96 3,75
W~ ′ 9,05 18,61 27,36 33,85 40,72 59,44 75,41 25,92 56,35 69,92 85,64 77,82 56,16 11,08 12,32 1,04 4,53
ALM N 9,30 17,83 26,15 31,13 36,68 54,72 74,84 24,22 53,62 65,34 81,49 79,80 59,04 4,55 7,30 0,04 0,54
K 9,20 17,47 25,81 30,89 36,64 56,21 74,83 24,00 54,16 64,74 82,31 79,10 57,81 4,76 7,85 0,17 0,99
LM N 9,20 17,38 25,63 30,74 36,35 55,91 74,81 23,86 53,98 64,36 82,04 79,01 57,99 4,82 7,82 0,18 1,03
2A 8,58 17,44 24,82 30,77 37,57 54,91 71,02 23,84 52,46 64,31 79,73 81,15 62,40 16,24 17,21 1,44 7,09
W 8,22 16,95 24,99 30,44 36,18 * * 23,36 * 63,02 * 76,20 * 22,02 * 1,46 *
Z2 9,17 17,11 24,78 29,52 34,46 49,84 72,39 23,01 50,46 62,07 76,69 79,19 63,36 4,37 5,90 0,06 0,18
2W 8,65 16,72 22,86 28,51 34,93 51,60 68,74 22,34 49,90 60,26 75,84 84,86 65,83 14,09 13,48 1,65 4,94
rS 9,15 18,61 22,26 25,32 28,48 37,75 48,04 20,76 36,90 56,00 56,08 68,55 64,11 11,49 7,94 5,60 4,89
W~
7,19 13,14 18,97 24,45 30,34 46,23 64,47 18,82 45,31 50,77 68,86 76,36 70,85 15,59 12,32 2,45 3,15
D 7,90 14,01 18,40 22,93 28,25 43,91 63,21 18,30 43,71 49,37 66,43 85,13 71,21 11,73 10,37 2,25 4,57
P 7,94 15,46 18,48 21,11 24,45 34,13 43,50 17,49 33,03 47,18 50,20 65,57 60,58 7,90 5,74 4,78 4,23
medel 12,01 23,68 30,29 35,39 40,78 56,32 72,51 28,43 54,72 76,69 83,16 73,08 53,99 14,65 20,13 1,89 3,01
Anm.: Tabellen är baserad på totalt 152 τ-kolumner. Testen är sorterade efter värdet på 50δ . Alla värden är angivna i procent. Det bästa värdet för varje kolumn är markerat med fet stil. Det bästa respektive sämsta värdet bland kombinationstesten är markerat med enkel respektive prickad understrykning. Signifikansnivå: α=0,05.
50max% δ ligger alla resultaten mellan 88,24 och 100, medan resultaten för 250max% δ
ligger mellan 95,74 och 100.
När det gäller kombinationstesten kan vi i övrigt också konstatera att det inte finns
någon märkbar skillnad mellan de två kombinationstest (LMNH- och LMNWH-testen) som på
teoretisk grundval har föreslagits av tidigare författare, och de övriga tio kombinationstest
som vi själva har föreslagit att använda (se avsnitt 2.5). Således är ju exempelvis de två
kombinationstest som visar bäst resultat för både 50δ och 250δ i tabell 16 (LMNAH- och
KNAH-testen) två test som vi själva har föreslagit.
Vad gäller normalitets- och heteroskedasticitetstesten så klarar sig
heteroskedasticitetstesten något bättre för 50δ medan i gengäld normalitetstesten är något
80
Figur 25: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har
högst respektive lägst 50δ -värden för samtliga simuleringar som ej uppfyller NH
n
10 20 30 40 50
Sty
rken
ivå
(1-β
), p
roce
nt
0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
50
LMNAHANLMH
ALMH
r
D-tak
P
Figur 26: Diagram över nδ -nivåerna för de normalitets-, heteroskedasticitets- och kombinationstest som har
högst respektive lägst 250δ -värden för samtliga simuleringar som ej uppfyller NH
n
0 50 100 150 200 250
Sty
rken
ivå
(1-β
)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
LMNAH
ZNWH
W-våg-prim
D-tak
ALMH
P
81
bättre för 250δ . För 50δ är således 7550max% >δ för fyra heteroskedasticitetstest men
inte för ett enda normalitetstest, medan vi för 250δ har 7550max% >δ för nio
normalitetstest men bara två heteroskedasticitetstest. Observera här också att medan samtliga
normalitetstest har betydligt högre värden för 250max% δ än för 50max% δ så har sex av
åtta heteroskedasticitetstest klart lägre värden för 250max% δ än för 50max% δ . Bland
normalitetstesten klarar sig r- och W~ ′ -testen bäst för 50δ respektive 250δ , medan det bästa
heteroskedasticitetstesten är ALMH-testet. Allra sämst resultat för såväl 50δ som 250δ
uppvisar D -testet bland normalitetstesten och P-testet bland heteroskedasticitetstesten.
4.5.2 Jämförelse av resultaten från avsnitt 4.2-4.4
Sett till alla tabeller över de olika testens styrkenivåerna – tabellerna 1-4, 6-8 samt 10-14 – är
det klart att kombinationstesten genomsnittligt sett uppvisar de bästa resultaten för 50δ och
250δ . Detta är heller inget att förvånas över, eftersom det endast är kombinationstesten som
är utvecklade för att kunna upptäcka alla slags avvikelser från NH. För de flesta varianter av
ickenormala fördelningar och heteroskedasticitet klarar sig kombinationstesten bra. Den enda
gång då de misslyckas ordentligt är för n≤100 under alternativet HN när de ickenormala
fördelningarna är symmetriska och platykurtiska, d.v.s. för fördelningar med 01 =β och
32 <β . För 50max% δ ligger kombinationstestens värden här mellan 3,15 och 13,55, medan
de för 250max% δ ligger mellan 25,54 och 49,48. Detta misslyckande beror uppenbarligen
främst på att de χ2 -fördelade normalitetstest som kombinationstesten använder som
normalitetstestsdel fallerar totalt för dessa fördelningar. Upp till och med n=50 ligger således
samtliga χ2-fördelade normalitetstests värden för nδ under signifikansnivån α=5 procent.
Även när de symmetriska platykurtiska fördelningarna kombineras med olikhet i
varians under alternativet HN märks det en viss påverkan neråt på kombinationstestens
resultat för 50max% δ och 250max% δ , jämfört med resultaten för de symmetriska
leptokurtiska fördelningarna, d.v.s. fördelningar med 01 =β och 32 >β . För exempelvis de
fall där olikheten i varians är en funktion av X-värdena ligger kombinationstestens
50max% δ -värden mellan 53,72 och 89,94 för fördelningar med 32 <β , medan de för
fördelningar med 32 >β ligger mellan 89,38 och 100 (se tabell 10 och 11). I övrigt finns det
inga fall där kombinationstesten tenderar att fungera dåligt.
82
Från tabellerna över samtliga simuleringsresultat för alternativen HN , HN respektive
HN (tabell 4, 8 och 14) ser vi vidare att kombinationstesten i jämförelse med de andra testen
klarar sig bäst för HN , där 47,8750max% ≥δ och 90,96250max% ≥δ , följt av HN med
84,7250max% ≥δ och 67,88250max% ≥δ samt HN med 02,7150max% ≥δ och
40,76250max% ≥δ . För HN är kombinationstesten generellt sett bättre än både normalitets-
och heteroskedasticitetstesten, medan de för HN är näst bäst efter normalitetstesten och för
HN är näst bäst efter heteroskedasticitetstesten.
En jämförelse av heteroskedasticitetstestens styrkenivåer under alternativet HN (se
tabell 4) med normalitetstestens styrkenivåer under alternativet HN (se tabell 8), d.v.s. under
de förhållanden som dessa test inte är konstruerade för att upptäcka avvikelser från NH, ger
vid handen att normalitetstesten därvidlag klarar sig betydligt bättre. Sålunda har för HN
normalitetstesten 50max% δ -värden mellan 18,54 och 43,32 samt 250max% δ -värden
mellan 34,42 och 57,93. Detta skall jämföras med att heteroskedasticitetstesten för HN har
50max% δ -värden mellan 18,68 och 28,07 samt 250max% δ -värden mellan 8,77 och 17,40.
Dessa resultat är också i linje med vad som påpekades i avsnitt (4.2), nämligen att
normalitetstesten även rent teoretiskt sett skall ha en viss förmåga att upptäcka olikhet i
varians hos störningstermerna, eftersom denna olikhet i varians medför att fördelningen av
störningstermerna avviker från normalfördelningen
Jämförelse av sambandet mellan kombinationstestens två delar
Från tabell 5, 9 och 15 över sambandet mellan kombinationstestens två delar, mätt med hjälp
av multipel linjär regression, ser vi att HN och HN genomgående har höga R2-värden över
samtliga n-värden, mellan ungefär 0,9 och 1,0. Det finns således, som man hade kunnat
förvänta sig, ett starkt samband mellan kombinationstestens styrkenivåer och styrkenivåerna
för de χ2-fördelade normalitets- och heteroskedasticitetstest som kombinationstesten är
konstruerade av. Aven för HN ligger R2-värdena mellan ungefär 0,9 och 1,0 upp till och med
n=50. För n=100 och särskilt n=250 sjunker emellertid nivåerna kraftigt, och når ner till
värden under 0,8 respektive 0,4.
För de skattade partiella regressionskoefficienterna 1β och 2β ser vi att 1β generellt sett
är större än 2β för HN , medan det är tvärtom för HN och HN . Genomsnittet för 1β är
83
således 0,886 för HN , att jämföra med 0,235 och 0,241 för HN respektive HN , medan 2β
har ett genomsnitt på -0,632 för HN samt 0,876 och 0,425 för HN respektive HN . Nu kan
de skattade regressionskoefficienterna 1β och 2β sägas vara ett mått på normalitets-
respektive heteroskedasticitetstestsdelarnas inverkan på kombinationstestets styrkenivå.
Slutsatsen blir därför att normalitetstestsdelen har störst betydelse för att kunna upptäcka
avvikelser från NH under alternativet HN , medan heteroskedasticitetstestsdelen spelar störst
roll under alternativen HN och HN .
5 SIMULERINGSRESULTAT II: HYPOTESTESTENS ROBUSTHET
i skall i detta kapitel behandla frågan om robustheten hos de renodlade normalitets-
respektive heteroskedasticitetstestens signifikansnivåer – med andra ord hur nära den
teoretiska sannolikheten att förkasta en sann nollhypotes ligger den faktiska sannolikheten, då
testets förutsättningar ej är uppfyllda. Normalitetstestens nollhypotes är därvidlag
N~u:H i0 , (5.1)
medan nollhypotesen för heteroskedasticitetstesten är
22i0 )u(E:H σ= . (5.2)
De avvikelser från testens förutsättningar som vi kommer att studera är HN för
normalitetstesten och HN för heteroskedasticitetstesten. Den faktiska sannolikheten att
förkasta (5.1) respektive (5.2) när dessa är sanna ges av den faktiska signifikansnivån, α& ,
vilken vi sålunda kommer att jämföra med den teoretiska sannolikheten, som ges av
signifikansnivån α. Med den notation som används i denna uppsats kan den faktiska
signifikansnivån α& skrivas som
)HN~u|RR(P iobs ∈θ=α& (5.3)
för normalitetstesten, medan den för heteroskedasticitetstesten kan skrivas som
)HN~u|RR(P iobs∈θ=α& . (5.4)
Om vi nu jämför formlerna (5.3) och (5.4) med formel (4.1) för ett hypotestests
styrkenivå så ser vi att förkastelseregionerna för fallen HN respektive HN är exakt likadana
för formlerna (4.1) och (5.3) respektive (4.1) och (5.4). Detta göra att vi kan använda
formlerna (4.2-4.10) även till att beräkna de olika testens α& -nivåer i detta kapitel. Med andra
V
84
ord kan vi här använda exakt samma värden till att beräkna de faktiska signifikansnivåerna
som vi använde i föregående kapitel till att beräkna styrkenivåerna.
Eftersom vi är intresserade av att kunna använda testen i en praktisk situation där vi inte
har någon kunskap om vad för slags avvikelser från testens förutsättningar som vi kan stöta på
kommer vi att fokusera vår analys på hur mycket de minsta respektive största α& -nivåerna,
aggregerat över samtliga HN - respektive HN -värden, avviker från den teoretiska
signifikansnivån α. Vi redovisar i tabeller de minsta respektive största α& -nivåerna för varje n-
värde, och kommer där att kalla dessa mått för Minn respektive Maxn. I samband med detta
beräknar vi också för varje test den maximala observerade variationsvidden för 10≤n≤50 och
för 100≤n≤250. Dessa mått betecknar vi med MaxR50 respektive MaxR250. Dessutom
kommer vi att använda oss av de genomsnittliga signifikansnivåerna för n≤50 och n≤250,
vilka vi betecknar med 50α samt 250α , och beräknas på samma sätt som 50δ respektive
250δ i formlerna (4.1.4-4.1.5). Den teoretiska signifikansnivå vi använder oss av kommer
hela tiden att vara α=5 procent.
Men hur skall vi då kunna avgöra om ett test är robust eller inte? I tillgänglig litteratur55
finns det ett flertal olika kriterier som har använts. Av dessa väljer här att använda oss av
kriteriet att ett test har en acceptabel robusthet om det håller sig inom 3-7 procent på den
nominella signifikansnivån α=5 procent, vilket motsvarar en avvikelse på strax över ±4
standardfel.56
5.1 Faktiska signifikansnivåer för normalitetstesten
I tabell 17 presenteras de minsta, största och genomsnittliga faktiska signifikansnivåerna för
normalitetstesten, aggregerat över samtliga simuleringar med normalfördelade
störningstermer som har olika varians. Resultaten i tabellen är nedslående. Normalitetstesten
är genomgående mycket dåliga på att hålla den teoretiska signifikansnivån α. Inget test har en
acceptabel robusthet. Det finns inte ens något test som har en genomsnittlig faktisk
signifikansnivå som faller inom 3-7 procent. Minst dåligt går det dock för W~
-testet, med dess
värden på 8,50 för 50α och 24,36 för 250α . En jämförelse av de minsta och största α& -
55 Se t.ex. Evans, M., ”Robustness of size of tests of autocorrelation and heteroscedasticity to nonnormality”, Journal of Econometrics 51 (1992), s. 15 och Pearson, E. S. – Please, N. W., ”Relation between the shape of population distribution and the robustness of four simple test statistics”, Biometrika (1975), 62, 2, s. 232f. 56 Evans, M., op. cit., s. 15.
85
Tabell 17: Genomsnittliga, minsta och största faktiska signifikansnivåerna över samtliga HN -simuleringar. Teoretisk signifikansnivå: α=5 procent.
50α 250α Min 10
Max 10
Min 20
Max 20
Min 30
Max 30
Min 40
Max 40
Min 50
Max 50
Min 100
Max 100
Min 250
Max 250
MaxR 50
MaxR 250
W~
8,50 24,36 2,04 15,80 1,86 25,02 2,20 29,66 3,67 43,79 3,75 49,26 3,40 86,42 3,05 100 45,51 96,95
D 12,88 28,77 1,99 30,57 3,44 47,67 4,82 53,65 4,91 56,75 4,82 68,28 5,02 96,06 5,00 100 63,46 95,00
W 13,73 * 1,55 25,53 2,26 48,63 4,44 54,67 4,65 54,92 4,79 64,38 * * * * 59,59 *
2W 15,52 32,78 1,65 35,36 3,54 58,81 4,87 65,46 4,94 68,47 4,97 80,12 5,02 98,92 5,05 100 75,15 94,95
2A 16,16 34,16 1,55 32,55 3,67 58,51 4,64 65,98 5,05 68,99 5,07 80,54 5,04 98,81 5,06 100 75,47 94,94
Z2 17,77 37,90 1,69 32,05 1,19 44,37 3,79 52,92 5,26 60,48 5,10 70,39 5,42 94,46 5,61 100 65,29 94,39
LM N 18,53 39,50 1,69 30,97 1,23 46,06 4,06 56,32 5,27 61,92 5,20 74,65 5,52 96,11 5,71 100 69,45 94,29
W~ ′ 18,68 39,48 1,36 33,09 3,19 57,92 4,52 65,25 4,95 69,17 5,18 81,19 5,37 98,50 5,54 100 76,01 94,46
K 18,74 39,61 1,70 31,72 1,31 47,06 4,12 57,21 5,25 62,62 5,26 75,21 5,53 96,16 5,68 100 69,95 94,32
rF 19,03 39,87 1,41 33,70 3,46 58,71 4,56 66,17 5,02 69,66 5,23 81,70 5,33 98,59 5,63 100 76,47 94,37
ALM N 19,40 40,16 1,63 33,64 1,46 49,85 4,23 59,61 5,23 64,64 5,40 76,77 5,55 96,39 5,80 100 71,37 94,20
r 19,86 41,00 1,48 34,87 4,08 60,27 4,48 68,67 5,04 72,12 5,34 83,04 5,52 98,81 5,81 100 77,70 94,19
medel 16,57 36,14 1,65 30,82 2,56 50,24 4,23 57,96 4,94 62,79 5,01 73,79 5,16 96,29 5,27 100 68,79 94,73
Anm.: Testen är sorterade efter värdena på 50α . Alla värden är i procent. Det bästa testet i varje kolumn har markerats med fet stil.
värdena visar att det också är en mycket stor spridning av α& -värdena. Från att som lägst ha
legat mellan 2,04 och 15,80 för n=10 ökar spridningen sedan hela tiden i takt med att n-
värdena ökar, upp till att som lägst ligga mellan 5,81 och 100 för n=250. Även här ser vi att
W~
-testet visar de bästa, eller rättare sagt minst dåliga, resultaten. Notera också att såväl
minimi- som maximivärdena genomsnittligt sett hela tiden ökar med stigande värden på n.
Slutsatserna från de resultat som redovisas i tabell 17 måste bli att de teoretiska
signifikansnivåerna för normalitetstesten är helt oanvändbara när förutsättningen om lika
varians inte är uppfylld. Detta innebär alltså att testen inte går att använda under dessa
förhållanden, om den teoretiska signifikansnivån är av någon betydelse.
5.2 Faktiska signifikansnivåer för heteroskedasticitetstesten
Heteroskedasticitetstestens genomsnittliga, minsta och största faktiska signifikansnivåer,
aggregerat över samtliga simuleringar där störningstermerna har lika varians men ej är
normalfördelade redovisas i tabell 18. Sett till 50α - och 250α -måtten är avvikelserna från
α=5 procent betydligt mindre än vad som var fallet för normalitetstesten. Således håller sig
alla test utom GQ-, ALMH- och LMH-testen inom 5-7 procent för dessa mått, och endast
LM H- och ALMH-testen för 250α har värden som är större än 10 procent.
Om vi granskar minimi- och maximivärdena för de faktiska signifikansnivåerna ser vi
dock att resultaten är dåliga. Inte något test har en acceptabel robusthet för något n-värde. Det
86
Tabell 18: Genomsnittliga, minsta och största faktiska signifikansnivåerna över samtliga HN -simuleringar. Teoretisk signifikansnivå: α=5 procent.
50α 250α Min 10
Max 10
Min 20
Max 20
Min 30
Max 30
Min 40
Max 40
Min 50
Max 50
Min 100
Max 100
Min 250
Max 250
MaxR 50
MaxR 250
WH 5,55 5,34 4,19 7,76 4,89 8,62 4,28 8,39 4,44 9,03 4,81 8,87 4,78 8,15 4,00 7,23 4,59 3,37
P 5,77 6,06 4,14 9,87 4,58 11,03 4,48 11,26 4,39 10,80 4,37 13,06 4,78 14,31 4,12 15,30 8,69 11,18
G2 5,95 6,19 4,74 9,06 4,78 10,35 4,39 9,96 4,63 10,56 4,58 11,45 4,58 12,65 4,66 13,66 6,87 9,00
G1 5,97 6,28 4,48 8,91 4,53 10,13 4,25 9,63 4,31 10,30 4,62 10,52 4,70 12,63 4,57 13,62 5,99 9,05
rS 6,26 6,83 4,49 11,95 4,77 15,75 4,35 16,47 4,32 17,41 4,64 19,74 4,46 22,91 4,49 26,97 15,10 22,48
GQ 7,34 8,61 3,42 9,78 1,58 18,10 1,03 21,35 0,82 24,30 0,49 25,63 0,18 29,54 0,12 33,80 25,14 33,68
ALM H 8,01 10,27 2,29 13,70 1,05 20,36 0,66 25,14 0,64 29,10 0,40 28,98 0,12 39,30 0,03 54,19 28,58 54,16
LM H 8,34 10,59 2,03 16,29 0,80 23,26 0,47 26,50 0,41 29,88 0,30 30,53 0,14 40,56 0,03 54,43 30,23 54,40
medel 6,65 7,52 3,72 10,92 3,37 14,70 2,99 16,09 3,00 17,67 3,03 18,60 2,97 22,51 2,75 27,40 15,65 24,67
Anm.: Testen är sorterade efter värdena på 50α . Alla värden är i procent. Det bästa testet i varje kolumn har markerats med fet stil.
enda test som klarar sig någorlunda bra är WH-testet, vilket för sin giltighet inte förutsätter att
störningstermerna är normalfördelade57. Men det har ändå ett högsta α& -värde på 9,03 och en
variationsvidd på 4,59, för n=40. Alla övriga test ett högsta α& -värde på över 13 procent, och
de allra sämsta testen – ALMH- och LMH-testen – har ett högsta α& -värde på över 54 procent.
Från de resultat vi har tagit fram här måste slutsatsen bli att inget av de renodlade
heteroskedasticitetstest som vi har behandlat går att rekommendera att använda i en situation
där störningstermerna inte är normalfördelade. Skulle testen trots detta användas är risken stor
att felaktiga slutsatser dras när frågan om att förkasta eller inte förkasta en sann nollhypotes
kommer upp.
Jämförelse med resultaten från tidigare undersökningar
Det har redan tidigare gjorts ett antal undersökningar om heteroskedasticitetstests robusthet
mot ickenormalitet. Vi skall därför här göra en kort jämförelse mellan de resultat vi har
kommit fram till i detta avsnitt och ett par av de undersökningar som har genomförts tidigare.
De två undersökningar som vi tar upp är gjorda av Godfrey58 respektive Evans59. Av de test vi
har tagit upp i denna uppsats behandlar Godfrey G1- och G2-testen medan Evans tar upp GQ-,
LM H- och WH-testen. De α -värden som Godfrey och Evans rapporterar stämmer väl överens
med de värden vi har fått fram. Slutsatserna om de olika testen var också i stort sett desamma
som här. Evans rapporterar dock något bättre resultat för WH-testet, med minimi- och
maximivärden på 3,9 respektive 7,4, vilket ger en variationsvidd på 3,5 procentenheter. Dock
använder sig såväl Godfrey som Evans av betydligt färre ickenormala fördelningar än vad vi
57 Gujarati, D. N., op. cit., s. 379 och Evans, M., op. cit., s. 13. 58 Godfrey, L. G., ”Some results on the Glejser and Koenker tests for heteroskedasticity”, Journal of Econometrics 72 (1996), ss. 275-299.
87
har använt oss av i denna uppsats. Det finns därför ingen anledning att ändra på vår slutsats att
inte heller WH-testet uppfyller kraven för en acceptabel robusthet.
Slutligen kan det också nämnas att det förutom WH-testet också finns ytterligare några
heteroskedasticitetstest som inte är baserade på antagandet om normalfördelning, eller som är
modifierade för att ta hänsyn till olika former av ickenormalitet.60 Det kanske mest kända av
dessa test är Koenkers heteroskedasticitetstest, vilket är en modifiering av LMH-testet.61 I
Evans’ undersökning uppvisar dock Koenkers test sämre robusthet än WH-testet, med minimi-
och maximivärden på 2,4 respektive 6,8, vilket ger en variationsvidd på 4,4 procentenheter.
Mot bakgrund till detta finns det ingen anledning att tro att Koenkers test skulle ha uppvisat
bättre resultat i vår undersökning än vad WH-testet gör.
6 AVSLUTANDE DISKUSSION
Vi har i denna uppsats undersökt ett stort antal olika normalitets-, heteroskedasticitets- och
kombinationstests effektivitet under olika former av ickenormalitet och/eller olikhet i varians
för störningstermerna från en linjär regressionsmodell. Därvid har vi tittat på de olika testens
styrkenivåer när det gäller att upptäcka olika slags avvikelser från nollhypotesen om samtidig
normalitet och likhet i varians (NH). Främst har vi då varit intresserade av att se hur väl
kombinationstesten klarar sig jämfört med de renodlade normalitets- respektive
heteroskedasticitetstesten. Utöver detta har vi även tittat lite på hur väl normalitets- och
heteroskedasticitetstesten håller sina signifikansnivåer under nollhypoteserna om normalitet
respektive lika varians när störningstermerna har olika varians respektive ej är
normalfördelade.
De viktigaste resultaten från denna uppsats är, vad gäller de olika testens styrkenivåer,
att kombinationstesten generellt sett klarar sig väl i förhållande till de renodlade normalitets-
respektive heteroskedasticitetstesten. Detta gäller särskilt under alternativet HN , d.v.s. då
avvikelserna från nollhypotesen NH enbart beror på såväl ickenormalitet som olikhet i
varians, men även i fallen HN och HN , då avvikelserna från NH enbart beror på
59 Evans, M., op. cit., ss. 7-24. 60 Exemplevis föreslår Im, K. S. ”Robustifying Glejser test of heteroskedasticity”, Journal of Econometrics 97 2000, ss. 179-188 och Machado, J. A. F. – Silva, J. M. C. S., ”Glejser’s test revisited”, Journal of Econometrics 97 2000, ss. 189-202 modifieringar av Glejsers heteroskedasticitetstest för att ta hänsyn till olika former av ickenormalitet. 61 Se t.ex. Godfrey, L. G., op. cit, s. 278, Lyon, J. D. – Tsai, C-L., op. cit., s. 342 och Bera, A. K. – Jarque, C. M., op. cit., s. 62. Godfrey föreslår också en modifiering av Koenkers test.
88
ickenormalitet respektive olikhet i varians, varvid normalitets- respektive
heteroskedasticitetstesten är specialutvecklade för att upptäcka just dessa fall. Den enda gång
då kombinationstesten fallerar totalt är för fallet HN då störningstermerna kommer från en
symmetrisk platykurtisk fördelning. Detta fallisemang kan härledas från att de χ2-fördelade
normalitetstest som utgör kombinationstestens normalitetstestsdel också misslyckas totalt i
detta fall. Vidare såg vi att de renodlade heteroskedasticitetstesten misslyckades att upptäcka
olikhet i varians då denna inte var beroende av X-värdena.
När det gäller hur väl normalitets- och heteroskedasticitetstesten håller sina teoretiska
signifikansnivåer måste vi konstatera att samtliga normalitetstest misslyckas totalt med detta.
Inte heller heteroskedasticitetstesten lyckas hålla sina signifikansnivåer, även om de inte är
lika dåliga som normalitetstesten. Detta gäller även WH-testet, som inte har normalitet som en
förutsättning för att vara giltigt.
Vilka blir då slutsatser som kan dras från resultaten i denna uppsats i en praktisk allmän
situation där vi vill testa ett dataset för normalitet och olikhet i varians med något av de test
som vi har tagit upp i denna uppsats? Eftersom vi i ett sådant läge inte kan ha någon kunskap
om utseendet på eventuell ickenormalitet eller olikhet i varians måste slutsatsen vad gäller de
renodlade normalitets- eller heteroskedasticitetstesten bli att dessa inte är användbara,
åtminstone inte om den faktiska signifikansnivån har någon betydelse. Om normalitetstesten
används så jävas resultaten från dessa av en eventuell närvaro av heteroskedasticitet, medan å
andra sidan heteroskedasticitetstestens resultat jävas av en eventuell närvaro av
ickenormalitet. Vi befinner oss med andra ord i en moment 22-situation. Sålunda kan vi
exempelvis inte, såsom Gujarati62 föreslår, först använda ett normalitetstest för att kontrollera
att normalitetsförutsättningen är uppfylld, för att därefter använda ett heteroskedasticitetstest.
Eller vice versa. Istället får vi använda oss av kombinationstesten. Visserligen har dessa något
lägre styrkenivåer än de renodlade normalitets- och heteroskedasticitetstesten i de fall som
dessa är specialutvecklade för. Men vi behöver å andra sidan inte oroa oss för att
signifikansnivån är felaktig. Det enda undantaget är, som påpekats tidigare, under alternativet
HN med symmetriska leptokurtiska fördelningar. Men om det skulle vara möjligt att använda
något χ2-fördelat normalitetstest som inte fallerar för detta alternativ så skulle även detta
hinder undanröjas. Detta är dock en uppgift för någon annan undersökning.
62 Gujarati, D. N., op. cit., s. 378.
89
BILAGOR
Bilaga 1: Fördelningsfunktioner
I denna bilaga beskriver vi kortfattat de fördelningsfunktioner som har använts vid
simuleringarna. Formlerna för vissa fördelningsfunktioner är något olika i olika källor, och vi
kommer då genomgående att använda oss av de formler som används av Minitab – dock inte
alltid med exakt samma symboler för de olika variablerna. Observera också att ”RandVar”
betecknar den funktion som genererar slumptal för en viss fördelning.
Beta(p,q) 63
)q()p(
)x1(x)qp()x(f
1q1p
ΓΓ−+Γ=
−−
, p,q>0; 0≤x≤1 (B1.1)
qp
p)X(E
+= (B1.2)
2)qp)(1qp(
pq)X(Var
+++= (B1.3)
pq)2qp(
1qp)pq(2
)qp)(1qp(
pq)2qp)(1qp()qp(
)pq(pq22/3
23
1 ++++−
=
++++++++
−=β (B1.4)
)3qp)(2qp(pq
)1qp))(2q(pqq2)2q(p(3 22
2 ++++++−+++=β (B1.5)
Observera att om p=q så får vi att 1β =0, d.v.s. fördelningen är symmetrisk, medan 2β , efter
några algebraiska manipuleringar, ges av
3p5p2
)1p3p2(32
2
2 ++++=β , (B1.6)
och sålunda ser vi att 3lim. 2p
=β∞→
, d.v.s. samma värde som för normalfördelningen. Notera
också att Beta(1,1)~Uniform.
63 Wackerly, D. D. – Mendenhall III, W. – Scheaffer, R. L., Mathematical Statistics with Applications, 5th ed., s. 164f och McLaughlin, M. P., Regress + Appendix A – A Compendium of Common Probability Distributions, Version 2.3, s.A-9f
90
Gamma(α,β)64
α
β−−α
βαΓ=
)(
ex)x(f
/x1
, α, β>0; 0≤x<∞ (B1.7)
αβ=)X(E (B1.8)
2)X(Var αβ= (B1.9)
α=β 2
1 (B1.10)
αα+=β )2(3
2 (B1.11)
Det är uppenbart att 0im.l 1 =β∞→α
och 3lim. 2 =β∞→α
, vilket är naturligt eftersom Gamma(α,β) ⇒
Normal(µ,σ) när α ⇒ ∞. Gammafördelningen är också en moderfördelning för flera
specialfördelningar. Sålunda är Gamma(ν/2,2)~ 2νχ och Gamma(1,β)~Exponential(β).
Gumbel(ξ,θ)65
θ−ξ−
θ−ξ
θ= x
expexpx
exp1
)x(f , θ>0 (B1.12)
γθ+ξ=)X(E , (B1.13)
där γ är Eulers konstant, som definieras genom
...57721566,0)nln(i1
.limn
1in
≈
−
=γ ∑=∞→
(B1.14)
2)(6
1)X(Var πθ= (B1.15)
1395,1)3(612
31 ≈π
ζ=β , (B1.16)
där ζ(z) är Riemanns zetafunktion, definierad genom
∑∞
=
=ξ1n
z
n
1)z( , z=a+ib, Re(z)>0 (B1.17)
4,52 =β (B1.18)
64 Wackerly, D. D. – Mendenhal III, W. – Scheaffer, R. L., op. cit., ss. 158-160 och McLaughlin, M. P., op. cit., s. A-41f.
91
ln(-ln(u))-RandVar θξ= , u~Uniform(0,1) (B1.19)
HalvNormal(θ,λ)66
λθ−−
πλ=
2x
21
exp21
)x(f , x≥θ, λ>0 (B1.20)
πλ+θ= 2
)X(E (B1.21)
π−λ= 2
1)X(Var 2 (B1.22)
9953,0)2(
)4(231 ≈
−ππ−=β (B1.23)
8692,33)2(
)3(822 ≈+
−π−π=β (B1.24)
Simuleringar av värden från HalvNormalfördelningen får vi fram genom det faktum att
Z~Normal(0,σ) ⇒ |Z|~HalvNormal(0,λ).
Laplace(θ,λ)67
λθ−−
λ= /|x|e
2
1)x(f , λ>0 (B1.25)
θ=)X(E (B1.26)
22)X(Var λ= (B1.27)
01 =β (B1.28)
62 =β (B1.29)
Laplacefördelningen kallas även för dubbelexponentialfördelningen.
65 McLaughlin, M. P., op. cit., ss. A-8 och A-49f, Daintith, J. – Nelson, R. D., (eds.), op. cit., ss. 120 och 346 samt Simmons, G. F., Differential Equations with Applications and Historical Notes, 2nd ed., ss. 139 och 244. 66 McLaughlin, M. P., op. cit., ss. A-39f och A-51f 67 McLaughlin, M. P., op. cit., s. A-63f.
92
Logistisk(α,β)68
2/)x(
/)x(
)e1(
e)x(f βα−−
βα−−
+β= , β>0 (B1.30)
α=)X(E (B1.31)
2)(3
1)X(Var πβ= (B1.32)
01 =β (B1.33)
2,42 =β (B1.34)
−β+α=
u1
ulnRandVar , u~Uniform(0,1) (B1.35)
LogLogistisk(a,b,c)69
2c
1c
b
ax1
b
ax
b
c)x(f
−+
−
×=
−
, x>a, b,c>0 (B1.36)
ππ+=c
cscc
ba)X(E (B1.37)
ππ−
ππ=2
2
ccsc
cc
2csc
c
2b)X(Var (B1.38)
2/3
2
232
1
ccsc
c
2cscc2
c
3cscc3
c
2csc
ccscc6
ccsc2
ππ−
π×π
π+
π
ππ−
ππ=β (B1.39)
2
2
323243
2
c
2cscc2
ccsc
csec
ccscc6
c
4cscc4
c
3csc
ccscc12
ccsc3
π×−
πππ
π
ππ+
π+
π
ππ−
ππ−=β (B1.40)
68 McLaughlin, M. P., op. cit., s. A-75f. 69 McLaughlin, M. P., op. cit., s. A-37f
93
c
u1
ubaRandVar
−×+= , u~Uniform(0,1) (B1.41)
Normal(µ,σ)70
σµ−−
πσ=
2x
2
1exp
2
1)x(f , -∞<x<∞; -∞<µ<∞; σ>0, (B1.42)
µ=)X(E (B1.43)
2)X(Var σ= (B1.44)
01 =β (B1.45)
32 =β (B1.46)
Normalfördelningen kallas också för den gaussianska fördelningen.
Pareto(k,a)71
1a
a
x
ak)x(f += , 0<k≤x; a>0 (B1.47)
1a
ka)X(E
−= (B1.48)
2
2
)1a)(2a(
ak)X(Var
−−= (B1.49)
a)3a(
2a)1a(21 −
−+=β (B1.50)
)12a7a(a
)4a5a3(32
23
2 +−−−=β (B1.51)
a u
kRandVar= , u~Uniform(0,1) (B1.52)
Paretofördelningen används ofta för att modellera inkomstfördelningar. Om vi låter X
beteckna inkomsten och k ett visst minimivärde på denna får vi sålunda att P(X>k)~Pareto.
70 Wackerly, D. D. – Mendenhall III, W. – Scheaffer, R. L., op. cit., s. 153 och McLaughlin, M. P., op. cit., s. A-185f. 71 McLaughlin, M. P., op. cit., s. A-99f
94
Student’s t (ν)72
2/)1(2x1
2
2
1
)x(f +ν
ν+
νΓπν
+νΓ= , ν>0 (B1.53)
0)X(E = (B1.54)
2)X(Var
−νν= (B1.55)
01 =β (B1.56)
νΓ
−νΓ−ν=β
24
22
)2(3 2
2 (B1.57)
Student’s t(ν) ⇒ Normal(µ,σ) när ν ⇒ ∞.
Triangular(a,b,c)73
≥−−
−
<−−
−
=c x,
)cb)(ab(
)xb(2
c x,)ac)(ab(
)ax(2
)x(f , a<x, c<b (B1.58)
3
cba)X(E
++= (B1.59)
18
)cb(acbcba)X(Var
222 +−+−+= (B1.60)
2/32221))cb(acbcba(5
)cb2a)(cba2)(c2ba(2
+−+−++−−−−+=β (B1.61)
4,22 =β (B1.62)
<−−−−
≥−−+=
ua-b
a-c ,)cb)(ab)(u1(b
ua-b
a-c ,)ac)(ab(ua
RandVar , u~Uniform(0,1) (B1.63)
72 McLaughlin, M. P., op. cit., s. A-109f. 73 McLaughlin, M. P., op. cit., s. A-111f.
95
Tukey(λ)74
En slumpvariabel X följer Tukeyfördelningen med parameter λ om
λλ −−= )u1(uX , u~Uniform(0,1) (B1.64)
0)X(E = (B1.65)
01 =β (B1.66)
Uniform(θ1,θ2)75
12
1)x(f
θ−θ= , θ1≤x≤θ2 (B1.67)
2)X(E 21 θ+θ
= (B1.68)
12
)()X(Var
212 θ−θ
= (B1.69)
01 =β (B1.70)
8,12 =β (B1.71)
RandVar=θ1+u(θ2-θ1), u~Uniform(0,1) (B1.72)
Weibull (c,α)76
c
)/x(1c c
ecx)x(f
α=
α−−
, x,c,α>0 (B1.73)
+Γα=c
1c)X(E (B1.74)
+Γ−
+Γα=c
1c
c
2c)X(Var 22 (B1.75)
74 Pearson, E. S. – D’Agostino, R. B. – Bowman, K. O., ”Tests for departure from normality: Comparison of powers", Biometrika, (1977), Vol. 64, Nr. 2, s. 40 och Landry, L. – Lepage, Y., ”Empirical behavior of some tests for normality”, Communications in Statistics – Simulation and Computation, 1992, Vol. 21, Nr. 4, s. 985 75 Wackerly, D. D. – Mendenhall III, W. – Scheaffer, R. L., op. cit., s. 150f och McLaughlin, M. P., op. cit., s. A-113f. 76 McLaughlin, M. P., op. cit., s. A-119f
96
3
2
3
1
c
1c
c
2c
c
3c
c
2c
c
1c3
c
1c2
+Γ−
+Γ
+Γ+
+Γ
+Γ−
+Γ=β (B1.76)
2
2
24
2
c
2c
c
1c
c
4c
c
3c
c
1c4
c
2c
c
1c6
c
1c3
+Γ−
+Γ
+Γ+
+Γ
+Γ−
+Γ
+Γ+
+Γ−=β (B1.77)
c )uln(RandVar −α= , u~Uniform(0,1) (B1.78)
Weibullfördelningen, som också kallas Frechetfördelningen, är praktiskt taget symmetrisk för
c=3,6. Fördelningen är skev åt vänster när c<3,6 och skev åt höger när c>3,6.
Bilaga 2: Rådata
Vi skall i denna bilaga redovisa rådata från de olika simuleringarna, det vill säga
signifikansnivåerna (1-β) för de 32 olika testen från varje enskild simulering med N=10000
replikationer. Först behöver vi dock förklara vad de olika beteckningarna står för.
Genomgående kommer de simuleringar som kommer från någon av alternativen NH,
HN eller HN att redovisas med koden X-u-n. Här står n för antalet observationer som
används, medan X och u står för följande:
X=1: X~Gamma(2,1)
X=2: X~Gamma(4,1)
X=3: X~Weibull(2,1)
X=4: X~Uniform(0,6)
u=1: iu ~N(0,1)
u=2: iu ~Logistisk(0,1)
u=3: iu ~Laplace(0,1)
u=4: iu ~Uniform(-3,3)
u=5: iu ~Students t(5)
Således betyder exempelvis beteckningen 2-3-40 att de signifikansnivåer som redovisas ha
simulerats fram med n=40 X-värden från en Gamma(4,1)-fördelning och n=40
störningstermer iu från en Laplace(0,1)-fördelning.
97
Tabell B.1: Teckenförklaring för använda ickenormalfördelningar för iu
Namn och parametrar Beteckningar 1β 2β
Weibull(10,1) W(10,1) -0,638 3,570 Beta(2,1) B(2,1) -0,57 2,40 Beta(3,2) B(3,2) -0,29 2,36 Weibull(4,1) W(4,1) -0,09 2,75 Beta(0.5,0.5) B(.5,.5) 0 1,5 Tukey(1.5) Tu(1.5) 0 1,753 Uniform(-3,3) U(-3,3) 0 1,8 Tukey(0.7) Tu(0.7) 0 1,92 Tukey(3) Tu(3) 0 2,06 Beta(2,2) B(2,2) 0 2,1429 Tukey(0.25) Tu(0.25) 0 2,539 Beta(6,6) B(6,6) 0 2,6 Beta(60,60) B(60,60) 0 2,9512 Normal(0,1) N(0,1) 0 3 Students t(20) t(20) 0 3,375 Students t(10) t(10) 0 4 Logistisk(0,1) Log 0 4,2 Laplace(0,1) Lap 0 6 Students t(5) t(5) 0 9 Students t(4) t(4) 0 ----- Students t(3) t(3) 0 ----- Students t(2) t(2) 0 ----- Weibull(3.6,1) W(3.6,1) 0,00 2,72 Gamma(120,1) G(120,1) 0,1826 3,05 Gamma(24,1) G(24,1) 0,4083 3,25 Weibull(2.2,1) W(2.2,1) 0,51 3,04 Triangular(0,1,0) Tri 0,5657 2,4 Gamma(12,1) G(12,1) 0,5774 3,5 Weibull(2,1) W(2,1) 0,63 3,25 Gamma(8,1) G(8,1) 0,7071 3,75 Gamma(6,1) G(6,1) 0,8165 4 Gamma(5,2)=χ2(10) χ2(10) 0,8944 4,2 Halvnormal(0,1) HN(0,1) 0,9953 3,8692 Gamma(4,1) G(4,1) 1 4,5 Gumbel(0,1) Gu(0,1) 1,14 5,40 Gamma(3,1) G(3,1) 1,1547 5 Gamma(2,1) G(2,1) 1,4142 6 Gamma(1,1)=Exponential(1) Exp(1) 2 9 Pareto(1,100) P(1,100) 2,0615 9,5039 Pareto(1,10) P(1,10) 2,8111 17,8286 LogLogistisk(0,2,3) LogL -------- -------- Anm.: -------- = ej definierat. Källor: Gan, F. F. – Koehler, K. J., ”Goodness-of-Fit Tests Based on P-P Probability Plots”, Technometrics, August 1990, Vol. 32, No. 3, s. 296f och Filliben, J. J., ”The Probability Plot correlation Coefficient Test for normality”, Technometrics, Vol. 17, No. 1, February 1975, s. 114.
För simuleringarna som tillhör alternativet HN genereras alla X-värden från en
Gamma(2,1)-fördelning, så vi redovisar de olika simuleringsresultaten utifrån vilken
fördelning som störningstermerna iu har genererats från. De beteckningar som därvid
används redovisas i tabell B.1, där vi också anger värdena på 1β och 2β för samtliga
fördelningsfunktioner som används för störningstermerna iu i denna uppsats.
98
Vi skall också kommentera något om de problem som har uppstått vid simuleringarna
och beräkningen av signifikansnivåerna 1-β. För NH-simuleringarna skall vi få 1-β=5
procent, men vi ser att detta inte alltid är fallet för rS. Orsaken till detta är att många av θobs-
värdena för rS-testet är exakt lika, ner till minsta decimalen (Minitab använder 20
värdesiffror). Detta medför att det är omöjligt att 100-procentigt exakt beräkna
signifikansnivåerna för rS-testet. Osäkerheten är dock så pass liten att resultaten inte kan
påverkas nämnbart.
Vidare har det vid beräkningarna av θobs-värdena i enstaka fall uppstått ”missing
values”, med andra ord har Minitab inte klarat av att beräkna dessa θobs-värden. Detta har dels
inträffat för K-testet (och därmed även för KNLM H-, KNWH- och KNAH-testet) då
störningstermerna kommer från Students t(2)-fördelningen, varvid anledningen till detta
troligen har varit att θobs-värdena har varit så höga att Minitab ej har kunnat beräkna dem
(detta ser vi vid en jämförelse med övriga tests värden för dessa observationer). Dels har det
inträffat i tre fall för rS-testet, vilket torde höra samman med att Minitab rapporterat ”missing
value” för raden
let rs=1-6*(dis2/(n3-n))
i det makro som använts. Vi noterar dessa ”missing values” i samband med de tabeller där de
förekommer. Vid beräkningen av signifikansnivåerna har dock de observationer som har
”missing values” uteslutits, och signifikansnivån sålunda beräknats enbart utifrån de
observationer som har något observerbart värde. Inget av dessa fall torde dock ha påverkat
resultaten på något märkbart sätt.
Slutligen har det allmänt sett varit ett litet problem med 2A -testet. Det har bestått i att
Minitab har rapporterat ”missing values” för raden
let bc.1=loge(zi)+loge(1-zidesc)
i det makro som använts. Detta har dock endast uppstått för n=100 och särskilt för n=250, och
det har för det mesta endast rört sig om ett fall per replikation (av alltså 100 eller 250 zi-
värden). Anledningen har troligtvis varit att det har uppstått ett zi-värde som var mindre än
eller lika med noll, vilket ju inte är definierat. Inte heller något av dessa fall torde kunna ha
påverkat resultaten märkbart.
De rådata vi har simulerat fram börjar vi nu redovisa på nästa sida. Observera att alla
data som redovisas anges i procent.
99
Tabell B.2: Styrkenivåer (1-β) från NH-simuleringar med ursprungliga X-värden 1-1-10 2-1-10 3-1-10 4-1-10 1-1-20 2-1-20 3-1-20 4-1-20 1-1-30 2-1-30 3-1-30 4-1-30 1-1-40 2-1-40 3-1-40 4-1-40
LM N 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ALM N 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5Z2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5K 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
2A 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
2W 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
D 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
rF 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5R 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5W 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
W~ ′ 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
W~
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
P 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5G1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5G2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5rS 5,0245 5,12949 4,83952 5,19948 4,9645 5,0445 5,0245 5,0095 4,9895 5,0145 5 5 5 5 5,0045 5GQ 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5WH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ALM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM NH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ANLM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ZNLM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5KNLM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM NWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ANWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ZNWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5KNWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM NAH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ALM NH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ZNAH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5KNAH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 forts. Tabell B.2: Styrkenivåer (1-β) från NH-simuleringar med ursprungliga X-värden
1-1-50 2-1-50 3-1-50 4-1-50 1-1-100 2-1-100 3-1-100 4-1-100 1-1-250 2-1-250 3-1-250 4-1-250 LM N 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ALM N 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5Z2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5K 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
2A 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
2W 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
D 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
rF 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5r 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5W 5 5 5 5 * * * * * * * *
W~ ′ 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
W~
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
P 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5G1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5G2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5rS 5 5,0045 5,0045 5 5 5 5 5,0045 5 5 5 5GQ 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5WH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ALM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM NH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ANLM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ZNLM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5KNLM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM NWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ANWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ZNWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5KNWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM NAH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ALM NH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ZNAH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5KNAH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
100
Tabell B.3: Styrkenivåer (1-β) från NH-simuleringar med outliers 1-1-10 2-1-10 3-1-10 4-1-10 1-1-20 2-1-20 3-1-20 4-1-20 1-1-30 2-1-30 3-1-30 4-1-30 1-1-40 2-1-40 3-1-40 4-1-40
LM N 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ALM N 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5Z2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5K 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
2A 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
2W 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
D 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
rF 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5r 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5W 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
W~ ′ 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
W~
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
P 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5G1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5G2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5rS 4,9595 5,07449 5,14449 5,0495 4,9895 4,9895 5 4,9745 5 5,0045 5 5,0095 5 5 5 5GQ 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5WH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ALM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM NH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ANLM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ZNLM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5KNLM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM NWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ANWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ZNWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5KNWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM NAH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ALM NH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ZNAH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5KNAH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 forts. Tabell B.3: Styrkenivåer (1-β) från NH-simuleringar med outliers
1-1-50 2-1-50 3-1-50 4-1-50 1-1-100 2-1-100 3-1-100 4-1-100 1-1-250 2-1-250 3-1-250 4-1-250 LM N 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ALM N 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5Z2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5K 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
2A 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
2W 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
D 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
rF 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5r 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5W 5 5 5 5 * * * * * * * *
W~ ′ 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
W~
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
P 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5G1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5G2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5rS 5 5 5,0045 5,0045 5 5 5 5 5 5 5 5GQ 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5WH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ALM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM NH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ANLM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ZNLM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5KNLM H 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM NWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ANWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ZNWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5KNWH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5LM NAH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ALM NH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5ZNAH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5KNAH 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
101
Tabell B.4: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar: n=10
1-2-10 2-2-10 3-2-10 4-2-10 1-3-10 2-3-10 3-3-10 4-3-10 1-4-10 2-4-10 3-4-10 4-4-10 1-5-10 2-5-10 3-5-10 4-5-10LM N 9,2281 8,3457 7,8455 7,816116,285714,2458 13,793313,7476 2,2977 2,0895 1,8368 1,766312,339411,142810,7703 10,7667ALM N 9,1954 8,5849 8,0850 8,059016,598314,7752 14,068313,8696 1,9461 1,8774 1,6112 1,573512,257011,539910,8122 10,6471Z2 9,1552 8,4581 7,9686 7,838616,264314,5304 13,873913,7100 2,0603 1,9714 1,7104 1,626112,257111,356310,8375 10,5520K 9,1263 8,3579 7,9268 7,760016,340614,4711 13,838113,6781 2,1936 2,0966 1,7700 1,702912,383411,243510,7142 10,6059
2A 7,1330 7,0831 6,7668 6,671212,942412,5149 12,053611,7649 4,6708 4,7973 4,4014 4,47999,3012 9,0347 8,7378 8,6309
2W 7,0405 7,0059 6,8394 6,741412,843812,4556 11,967511,6351 4,5411 4,5801 4,1499 4,09419,0556 8,7867 8,9600 8,7268
D 6,4975 6,6171 6,3963 6,229911,345011,1396 11,111910,7161 4,7222 4,7755 4,2315 4,12007,9334 8,1422 8,0639 7,8678
rF 8,3617 7,9129 7,2080 7,212514,871913,7164 12,857112,5218 3,6495 3,5091 3,0836 3,096711,101010,1871 9,9392 9,5572r 8,3337 7,9995 7,4384 7,401815,1608 14,0565 13,210212,8967 3,1478 3,0895 2,6858 2,755811,258310,303810,0683 9,7933W 7,0905 6,8915 6,6189 6,383712,126911,2889 11,365110,9112 5,6136 5,9295 5,2000 5,09079,1611 8,8607 8,6269 8,3916
W~ ′ 8,2684 7,8459 7,2424 7,196014,757813,5278 12,749012,5077 3,9170 3,7226 3,2916 3,329510,868810,0154 9,8550 9,5409
W~
5,9528 5,5377 6,0034 5,7219 8,9640 8,6140 8,6795 8,1718 8,4136 8,5962 8,3487 8,13447,1551 7,0468 7,1910 6,8306
P 5,6231 5,2166 4,6677 4,1425 6,1221 5,6724 4,8754 4,2829 5,2026 5,6589 5,0685 4,88045,5798 4,8430 4,7390 4,2882G1 4,6379 5,5842 5,0000 5,1095 4,4834 6,0774 5,6777 5,6830 6,6662 5,4498 4,8767 4,97504,7218 5,5392 5,6025 5,6044G2 5,0470 5,2706 5,0591 5,2628 5,2471 5,6969 5,7235 5,6951 6,0648 5,3222 4,9922 5,23095,3005 5,2608 5,7117 5,5446rS 5,0695 5,3295 5,2795 5,8694 5,8894 5,8594 5,5544 6,2494 5,0745 5,4645 5,1795 5,49455,5094 5,0795 5,3345 5,9344GQ 5,1126 5,3088 5,5155 5,6392 6,6315 6,8312 7,1125 7,0150 3,5058 3,4213 3,7919 3,57875,9287 6,2576 6,5677 6,4629LM H 7,0853 6,6378 7,1961 7,361510,3095 9,1555 9,973410,1674 2,7274 2,6893 2,9515 2,59948,6831 7,5900 8,4517 8,6203WH 4,4123 6,1710 6,3495 5,9699 4,3237 7,3489 7,7220 7,2060 6,4149 4,3085 4,6388 4,59294,5135 6,4931 7,2253 6,5995ALM H 6,6793 6,1524 7,0823 7,2625 9,6551 8,3686 9,588910,0695 2,5052 2,7864 3,0228 2,73057,9160 6,9180 7,7527 8,3945LM NH 9,0348 8,3704 8,1266 8,084116,054814,5976 14,409514,5043 2,0581 2,0561 1,7811 1,738312,051311,200911,5677 11,7075ANLM H 9,4544 8,7826 8,5594 8,283816,940815,4797 15,038814,9683 1,8615 1,8470 1,6324 1,527212,332011,942411,7768 11,6115ZNLM H 9,3439 8,6474 8,4733 8,496216,588915,2420 15,058615,1707 1,9140 1,8228 1,6739 1,720612,142211,918711,8413 11,7270KNLM H 9,2282 8,7840 8,4827 8,338516,522615,5050 15,109314,9207 1,9879 1,9323 1,7182 1,725612,287712,009511,8719 11,6949LM NWH 6,5752 7,4928 7,0575 6,752311,038411,6637 10,922710,4245 5,0872 3,9588 3,7391 3,75729,0103 9,5379 9,2010 8,7074ANWH 9,2253 9,0634 8,3779 8,195916,489815,5743 14,628114,4342 2,0426 2,0602 1,7888 1,694712,178711,934011,6916 11,4046ZNWH 8,8624 8,4986 8,0243 8,076815,656114,6964 14,196814,1863 2,5263 2,3920 2,1470 2,282811,751811,608511,4320 11,3735KNWH 7,7792 8,0173 7,4671 7,207012,825512,7902 12,186011,6164 4,9716 3,9369 3,4850 3,536210,087310,4867 9,9868 9,6039LM NAH 8,2150 8,0505 7,8867 7,905614,140413,9438 13,879714,3664 2,1004 2,2326 1,7452 1,625011,434910,813511,0385 11,4918ALM NH 9,2244 8,9249 8,5304 8,242216,506115,7049 15,192815,0239 1,7829 1,8735 1,5628 1,541912,253712,108512,0022 11,6225ZNAH 8,8854 8,7954 8,4519 8,504015,988615,5273 15,024215,2363 1,8134 1,8981 1,6140 1,671212,135912,069011,8193 11,8448KNAH 8,3913 8,6430 8,1557 8,013814,922814,9054 14,315914,5787 2,0177 2,0512 1,6296 1,644512,009911,529511,3476 11,3508
Tabell B.5: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar: n=20
1-2-20 2-2-20 3-2-20 4-2-20 1-3-20 2-3-20 3-3-20 4-3-20 1-4-20 2-4-20 3-4-20 4-4-20 1-5-20 2-5-20 3-5-20 4-5-20LM N 14,0446 14,3986 13,2903 13,307328,415127,8415 27,463727,3573 0,3517 0,4873 0,3947 0,457021,071821,171920,8026 20,8735ALM N 13,9583 14,5807 13,8893 13,615828,795228,7288 28,408328,3216 0,2078 0,3150 0,2910 0,356421,369121,459821,3499 21,3257Z2 13,9337 14,5287 13,3210 13,326027,985627,6838 26,993327,0941 0,2894 0,3774 0,3425 0,406420,908921,204320,6690 20,7988K 13,9247 14,4426 13,4592 13,449028,421127,8911 27,748427,7404 0,3099 0,4549 0,3679 0,448721,078621,172020,9571 20,9763
2A 10,6468 10,3305 9,7711 9,481825,439124,6364 24,272323,961810,8968 10,8502 10,3119 10,218415,998515,915315,2378 15,1773
2W 9,7839 9,5178 9,1189 9,011024,772223,7687 23,935523,3149 8,8297 8,7585 8,8058 8,557714,567014,421514,4450 14,0471
D 8,0568 8,2054 8,1873 7,989319,462219,6646 19,861819,4778 6,7303 6,6713 7,0549 7,047511,899211,861412,3083 12,1432
rF 12,8465 12,9691 12,3968 12,361428,867628,0500 27,572827,6310 4,7978 4,9279 4,3304 4,548019,829319,547819,3948 19,5078r 12,9796 13,4836 12,9659 12,776429,571929,4973 28,979028,6956 2,7817 2,9216 2,6728 2,586520,131720,545020,1357 20,1161W 11,1511 11,0171 10,4831 10,291623,546622,8281 22,122822,122614,1679 14,2053 13,6802 13,720416,672216,518416,0366 16,1859
W~ ′ 12,7436 12,7061 12,2280 12,042928,439427,7327 27,147827,0990 5,7245 5,6501 5,4105 5,418819,591319,392919,1017 19,1638
W~
7,0720 6,9055 6,5839 6,355013,964813,5730 12,914512,565627,9253 26,5657 26,2870 25,374811,190810,9140 9,9228 9,9671
P 5,2060 5,0165 5,2030 4,7936 5,1948 5,6975 5,6449 5,7837 5,5261 5,4137 5,4011 5,22934,7965 5,1693 5,5157 5,1142G1 4,5847 5,2089 5,2265 5,2551 4,5317 5,8799 5,6327 5,5103 7,4447 5,8997 5,6544 5,15464,9600 5,4015 5,7049 5,6380G2 4,8959 5,3539 5,3575 5,1724 5,2139 5,9040 5,9180 5,6871 6,4629 5,5579 5,4551 5,01105,0914 5,3362 5,8947 5,3208rS 5,2045 5,2995 5,3845 5,2795 5,6794 5,8794 6,1644 6,0044 5,4945 5,2395 5,4595 5,42455,3245 4,8495 5,7794 5,4545GQ 7,1843 6,7858 7,3793 7,495910,7907 9,8931 10,933611,1609 2,1297 2,1554 2,5000 2,69158,6508 8,2466 9,1224 9,6325LM H 8,2795 8,0790 8,0668 8,436812,928612,7761 12,355613,1807 1,3053 1,3335 1,2184 1,103710,775710,467210,7349 11,0585WH 5,1230 5,9333 5,4384 4,8851 4,9249 6,3403 5,5671 5,0519 6,8980 5,6685 5,7114 5,52975,0132 5,5231 5,9000 5,1485ALM H 7,5414 7,7912 8,2251 8,481811,513711,6068 12,656713,1537 1,6637 1,3164 1,3534 1,11829,6048 9,656410,8021 10,9968LM NH 13,6479 13,9114 13,6870 13,542928,378927,1746 26,962726,6281 0,4539 0,3916 0,5511 0,477521,201820,644421,0411 21,1133ANLM H 14,2548 14,5965 13,8943 13,772929,350929,0934 28,322828,2437 0,2172 0,2597 0,2689 0,330521,812321,723321,6835 22,0035ZNLM H 13,6463 14,5816 13,7988 13,362628,078427,9407 27,382226,9936 0,3128 0,3308 0,4232 0,365321,025321,399221,4252 20,9551KNLM H 13,8113 14,6013 13,6785 13,489928,510028,3460 27,335927,2950 0,3898 0,3686 0,4646 0,406521,307421,345621,2371 21,1895LM NWH 12,0063 12,4597 11,5505 11,217324,063023,2042 22,251122,0706 3,7471 3,3538 3,6162 3,523718,819017,962217,6792 17,6890ANWH 13,5543 14,3575 13,1400 12,971728,252328,0839 26,906626,8862 1,0269 1,2109 1,3886 1,386320,930221,177320,5313 20,8748ZNWH 12,4042 13,5924 12,1850 12,279025,470225,2451 23,886124,3721 1,7001 2,0006 2,1737 2,090819,401719,463118,8521 19,4503KNWH 12,3602 13,1851 11,9341 11,838725,590825,0823 23,734523,6676 3,1507 3,1331 3,1700 3,283219,518519,094918,4536 18,6230LM NAH 12,8814 13,9343 13,5550 13,584326,372127,3583 26,667726,7081 0,6124 0,5406 0,5430 0,468520,032120,716921,0129 21,1040ALM NH 13,7724 14,6237 14,0898 13,763029,038529,0528 28,642228,2908 0,3064 0,2860 0,3046 0,332621,479521,873021,8807 21,9806ZNAH 13,4553 14,3176 13,7050 13,348127,243427,8679 27,149826,8974 0,4452 0,3556 0,4102 0,366820,716721,244921,1701 20,9352KNAH 13,0078 14,2359 13,7112 13,531126,920227,9566 27,448327,4859 0,4911 0,4560 0,5068 0,408420,308421,170221,1946 21,3240
102
Tabell B.6: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar: n=30
1-2-30 2-2-30 3-2-30 4-2-30 1-3-30 2-3-30 3-3-30 4-3-30 1-4-30 2-4-30 3-4-30 4-4-30 1-5-30 2-5-30 3-5-30 4-5-30LM N 18,4371 19,1240 18,7836 18,917639,011438,9245 39,142939,6176 0,1397 0,1550 0,1347 0,140529,474529,685129,5499 29,9360ALM N 19,6358 19,5911 19,2637 18,976940,864640,3627 40,566940,4036 0,0666 0,0682 0,0507 0,057930,554630,0988 30,0347 30,1120Z2 18,3360 18,7611 18,7526 18,449837,835637,7299 38,308038,3830 0,0812 0,0974 0,0852 0,090129,040128,996329,3859 29,5274K 18,7827 19,2662 19,0630 18,866639,422939,4252 39,489239,6415 0,1098 0,1325 0,1222 0,118629,774129,8651 29,6475 29,9406
2A 12,8052 12,4231 12,7266 12,485736,407635,3387 36,019035,732220,8919 20,4504 20,8540 20,834121,658621,208221,3716 21,6148
2W 11,6555 11,6009 11,7374 11,546435,695434,3326 35,451034,557915,8106 15,8307 17,1584 16,854519,243719,227919,5635 19,5595
D 8,8410 9,6866 9,2621 9,216727,518727,5271 26,564227,190310,8988 10,7137 11,1564 11,368715,368715,157715,5431 15,2862
rF 17,3711 17,4665 17,4003 16,918340,328640,2666 40,494339,7035 9,3875 9,8262 9,8366 9,531427,735827,940927,6445 27,2632r 18,3619 18,2944 18,0478 17,876642,237641,8277 42,009741,7222 4,5904 4,6560 4,7194 4,736328,853528,946128,3035 28,3800W 13,1457 12,5415 12,9496 12,787431,857230,8222 30,786331,017933,7932 32,4141 33,1812 32,619522,243521,832821,7702 21,6781
W~ ′ 16,9075 17,2399 17,0609 16,594139,444239,6412 39,776539,017411,2770 12,0239 11,6932 11,523127,194327,458527,1237 27,0129
W~
7,2014 7,3477 7,0520 6,980217,295516,9730 17,121916,627051,5366 50,6630 49,9323 49,379513,750413,738713,0974 12,8437
P 4,9989 4,4817 5,1901 5,5273 5,1961 4,8921 5,4867 5,8201 5,3276 4,9791 4,9991 5,07364,9478 4,5525 5,1159 5,6355G1 4,4208 4,7844 4,8254 5,2545 4,2482 5,0189 5,0286 5,5037 7,1692 5,3411 5,3679 5,31084,7422 5,1525 5,4754 5,6946G2 4,4820 4,9870 4,8420 4,9752 4,5230 5,2472 5,0187 5,2370 5,6954 5,5463 4,9938 5,03644,7726 5,4324 5,4939 5,1900rS 4,5595 4,7695 5,4100 5,2800 5,0545 5,3945 6,0499 6,1999 5,0245 4,9195 5,3947 5,39005,3895 5,1495 5,4600 5,3200GQ 7,8410 7,7759 7,4947 7,407611,393511,8666 11,054711,1133 1,5807 1,6477 1,7663 1,93669,8966 9,972810,1177 10,2462LM H 8,3334 8,7372 8,0151 8,775713,934113,8772 12,991014,4671 1,0284 0,6450 0,7074 0,658111,739411,720711,7860 12,8205WH 4,3763 5,5555 5,2919 4,6472 4,2843 5,7718 5,7720 4,6943 6,6599 5,1473 5,3586 5,43934,7832 6,0034 5,8672 5,2037ALM H 7,7936 8,3366 7,9725 8,888312,569613,3615 13,173414,4835 1,4694 0,7851 0,7731 0,658011,152911,279511,6308 12,8356LM NH 18,3909 17,6869 17,8666 17,748538,289637,0441 36,998137,0851 0,1547 0,1681 0,1724 0,193829,465728,624228,6620 28,9815ANLM H 19,4734 19,2779 18,6619 18,726440,287040,0690 39,725539,7973 0,0759 0,0811 0,0618 0,080730,319930,411529,9876 30,3212ZNLM H 18,4335 18,0308 17,9062 17,867437,646836,9535 36,402036,8075 0,1109 0,1408 0,0999 0,124629,206429,043528,5591 29,0014KNLM H 18,5853 18,3629 18,0015 18,110638,868238,2059 37,639137,9352 0,1278 0,1770 0,1429 0,174229,668029,466528,9690 29,3789LM NWH 15,9099 15,2503 15,1469 15,276834,054632,2678 31,085932,0796 4,6692 3,2777 3,4171 3,835326,659825,405625,0271 25,9376ANWH 18,1371 17,4764 17,3709 17,475038,485237,3991 36,611337,1304 2,3901 1,6851 1,7742 1,827929,328228,483128,2936 28,7994ZNWH 16,4359 15,5718 15,4261 15,853034,022432,1197 31,612232,6061 3,2953 2,3598 2,4717 2,669927,090725,940725,6739 26,6156KNWH 16,5275 15,9754 16,0364 16,108035,436733,7062 33,080333,6840 4,6181 3,2361 3,4247 3,759727,597426,422626,2686 26,7787LM NAH 17,1554 17,4774 17,6066 17,717836,408436,6203 36,591937,0884 0,4972 0,2553 0,1832 0,178828,308228,537328,5185 28,8879ALM NH 18,8602 19,0768 18,6446 18,722839,497739,6221 39,392439,8847 0,1476 0,1044 0,0646 0,075730,283830,062329,8603 30,3710ZNAH 17,4534 17,6653 17,6562 17,948736,010836,3065 35,973636,8038 0,3002 0,1817 0,0897 0,112928,165928,573928,4172 28,9781KNAH 17,8284 17,8216 17,8836 18,098637,520437,4327 37,420137,9320 0,5003 0,2238 0,1443 0,157529,027229,055328,9883 29,2963
Tabell B.7: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar: n=40
1-2-40 2-2-40 3-2-40 4-2-40 1-3-40 2-3-40 3-3-40 4-3-40 1-4-40 2-4-40 3-4-40 4-4-40 1-5-40 2-5-40 3-5-40 4-5-40LM N 22,0363 21,6094 22,2651 22,228147,439346,3147 47,385947,2211 0,1640 0,1247 0,1892 0,208836,003135,383935,9193 35,9021ALM N 22,7290 21,8932 22,8040 22,739049,340347,8567 49,077248,7791 0,0429 0,0269 0,0649 0,070336,982436,0273 36,8431 36,7707Z2 21,4705 21,1096 21,3272 21,312645,050044,4704 45,345445,0074 0,0477 0,0543 0,0727 0,081935,441634,844634,7722 34,6932K 22,2028 21,6245 22,3207 22,404647,744346,6202 47,698347,7285 0,2029 0,1393 0,3228 0,355836,205035,4709 36,2078 36,2290
2A 14,4738 13,1479 14,4790 14,047045,166442,6362 44,109143,807732,5235 30,6206 32,9608 32,382425,845823,904925,2498 25,0505
2W 13,2039 12,4895 12,6557 12,856544,484142,0898 42,744142,897024,3659 23,8343 24,4346 24,902323,194422,396922,2840 22,5383
D 10,3458 10,3248 10,3512 9,942035,027634,0193 34,225932,968915,0439 15,3995 15,1432 14,816118,298918,231217,9710 17,0680
rF 20,2761 20,2944 20,9972 21,110549,034748,7944 49,600849,213817,8176 18,4174 20,0470 19,720533,868334,031434,4678 34,2125r 21,6982 21,1973 21,7297 21,964051,724950,8358 51,562251,3960 8,7929 8,9967 9,3969 9,468035,606035,138635,3469 35,6759W 12,9681 12,2988 12,8666 12,744735,259233,6360 34,186934,457259,1686 55,5934 56,6844 56,268424,546823,022923,5148 23,4137
W~ ′ 19,8898 19,9045 20,4089 20,266748,428848,0789 48,526548,197821,4784 22,0028 22,9901 22,747133,445533,425033,8489 33,4999
W~
7,4263 7,1536 7,5486 7,444520,715419,5151 20,308420,540073,6558 69,6565 71,1774 70,411915,689315,088015,1749 15,1730
P 4,8900 5,1589 5,0648 4,6161 5,0162 5,5880 5,6231 5,2785 4,9333 5,6964 4,8645 4,65024,4518 4,7481 5,2395 4,9707G1 4,7381 5,1231 5,2105 5,2184 4,3053 5,5280 5,5663 5,5875 7,4232 5,8754 5,3681 4,95904,8385 5,3794 5,2224 5,0853G2 5,0132 5,1795 5,2357 5,0952 4,9057 5,3746 5,3682 5,5416 6,1245 5,7769 4,9882 4,97505,0344 5,2051 5,1803 5,3507rS 4,7098 5,1847 5,3995 5,1100 4,9900 5,7796 5,8061 5,9097 4,6864 5,4000 4,9145 4,97005,0700 4,9063 5,0045 4,8700GQ 8,4517 8,3705 8,2639 8,243413,083912,4837 12,572212,5481 1,3200 1,3350 1,3437 1,308111,584710,300110,5678 10,5027LM H 9,1174 9,4773 9,7745 10,190614,889115,0041 15,625516,3453 0,9708 0,8224 0,8311 0,631812,275112,646413,6888 14,4487WH 4,4371 6,2255 5,0914 4,6362 4,5068 6,6161 5,4269 4,6232 6,4751 6,6855 5,1120 5,67704,7980 6,2058 5,5313 4,7593ALM H 8,9996 9,2525 10,0620 10,179914,037514,9247 15,629316,3848 1,2685 0,9087 0,9059 0,642912,311712,923813,8090 14,4485LM NH 21,2512 21,4976 21,3464 21,587446,064345,6265 45,769945,7530 0,2200 0,2164 0,2233 0,241835,545935,070634,7096 34,7464ANLM H 22,1641 22,3349 22,6033 22,908848,459447,9478 48,423848,4426 0,0760 0,1019 0,0847 0,087936,880036,616536,4157 36,6242ZNLM H 21,4670 21,0467 21,0472 21,289245,458543,8817 44,379044,4268 0,1513 0,1313 0,1430 0,140535,685034,655434,3070 34,4209KNLM H 21,8397 21,7934 21,7176 22,001447,284246,4000 46,516646,6615 0,2252 0,1960 0,2327 0,260136,353235,704935,2460 35,4642LM NWH 19,5919 18,9401 18,9514 18,882642,348240,5353 40,735240,7960 5,2326 4,8875 4,7917 5,241633,199631,714731,5288 31,6528ANWH 21,0973 21,1917 21,1829 21,369146,028545,3583 45,188645,6549 2,5987 2,8747 2,9854 3,262035,091734,988734,6506 34,6452ZNWH 19,2077 18,3377 18,0745 18,727240,223738,4156 38,443339,0762 3,3571 3,2068 3,3523 3,738532,551331,013130,8003 31,1445KNWH 19,9703 19,6874 19,4022 19,637843,177641,8073 41,894842,2924 5,1479 5,0375 4,7939 5,398133,750332,624332,2904 32,4956LM NAH 20,5262 21,3665 21,1163 21,571044,197645,1585 45,470545,7167 0,5096 0,2351 0,2790 0,229834,463434,888334,5279 34,7667ALM NH 21,7512 22,3564 22,7023 22,867947,4696 47,6956 48,191248,3359 0,2295 0,1142 0,1092 0,087935,918436,450736,2481 36,5542ZNAH 20,3927 20,9572 20,9648 21,176643,108743,5952 44,145244,3871 0,3748 0,1740 0,1825 0,144034,160134,461634,1887 34,4141KNAH 20,9090 21,6491 21,5502 21,874645,277846,1062 46,194546,5959 0,4963 0,2269 0,2902 0,248034,856635,397234,9588 35,3928
103
Tabell B.8 Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar: n=50
1-2-50 2-2-50 3-2-50 4-2-50 1-3-50 2-3-50 3-3-50 4-3-50 1-4-50 2-4-50 3-4-50 4-4-50 1-5-50 2-5-50 3-5-50 4-5-50LM N 25,1020 25,2459 25,2750 25,344154,525654,5303 54,580354,7058 0,6416 0,6527 0,9004 1,008642,225042,362442,1967 42,1559ALM N 26,2581 26,1544 26,5320 26,316456,290956,4274 56,741456,4376 0,0507 0,0471 0,0394 0,0395 43,346043,645943,5744 43,3759Z2 23,9782 24,1533 24,1874 24,196351,299251,3952 51,418451,5646 0,0659 0,0618 0,0624 0,071040,521040,617240,6233 40,7515K 25,4063 25,4975 25,5827 25,668955,059954,9578 55,216355,1016 1,2740 1,1777 1,9192 1,9183 42,426542,779742,5830 42,4038
2A 16,3359 16,8341 16,5492 16,266452,979353,8161 52,748152,376946,6021 47,2146 45,9346 45,939729,356630,056129,7346 29,5330
2W 14,5379 14,9934 14,8720 14,473552,135753,1266 51,538151,094734,5473 35,8960 34,9006 34,786526,108126,472226,1436 25,8902
D 11,4032 11,2852 11,2908 11,353041,422641,0425 40,435440,721220,5437 20,2978 20,9037 20,814719,982220,167419,9784 20,1716
rF 23,7658 23,9769 24,5130 24,012457,654958,1800 58,578058,090732,3762 32,7034 33,4531 32,160840,006840,475940,9426 40,5228r 25,0232 25,3329 25,7660 25,695959,847460,5982 60,983360,677117,3508 17,7282 18,4452 18,086441,593442,158242,7691 42,3728W 13,1532 13,7641 13,1310 13,069738,592940,0479 38,413838,568979,3906 81,4969 76,9645 76,816126,310226,957125,8862 26,0176
W~ ′ 23,5296 23,4218 23,7948 23,349257,055957,3067 57,599756,972537,5063 36,9678 37,9121 36,264839,560239,569740,2041 39,7378
W~
7,9875 7,7990 8,1002 8,081024,912024,8870 24,573024,244087,2877 87,8856 85,4957 85,145617,417917,740317,7500 17,6527
P 5,3856 4,5424 5,2187 5,2494 5,2930 4,3686 5,4772 5,2722 5,5172 5,1523 5,3415 5,28445,2303 4,9044 5,5964 5,4741G1 5,0410 4,6738 4,9874 5,0032 5,0536 4,7213 5,1783 5,5369 6,8020 6,7705 5,6405 5,45705,3609 4,7760 5,5999 5,5158G2 5,2549 5,1417 5,1134 5,0356 5,1373 5,1305 5,1895 5,1142 6,1146 6,0965 5,5846 5,32865,7106 5,1859 5,6980 5,3302rS 5,4163 5,1245 4,9245 4,8900 5,6347 5,5928 5,6194 5,4405 5,5721 5,1895 5,2995 5,10005,5499 4,9995 5,3961 5,1700GQ 8,7088 8,9516 8,0884 7,994613,346413,4556 12,281812,3233 1,1243 1,1502 1,0790 1,095711,183111,182411,2862 11,3046LM H 9,5885 9,2735 9,0793 9,937214,5417 14,8731 15,047916,4762 0,8428 0,8759 0,6141 0,508612,806312,287913,8088 15,3095WH 5,3176 5,1456 5,2052 5,0608 5,3157 5,0977 5,5241 5,0623 6,2335 7,3737 5,9378 6,45735,2151 5,2659 6,0986 5,6224ALM H 8,7542 9,2685 8,9944 10,031413,456314,5664 15,089716,4246 1,0829 1,3892 0,6131 0,477311,848212,233813,6356 15,4058LM NH 24,9057 24,5821 23,9567 24,067753,533553,2557 52,567852,4405 0,4314 0,3665 0,2069 0,226941,457241,250640,5733 40,8666ANLM H 25,8739 25,8128 25,6138 25,949355,704055,7541 55,296755,2737 0,1694 0,0912 0,0619 0,079742,849243,001642,1491 42,5430ZNLM H 23,7313 23,5671 23,3666 23,262850,666950,2477 50,004449,5766 0,2258 0,1531 0,1332 0,123139,982539,604239,2817 39,3029KNLM H 25,1071 24,8111 24,5002 24,375853,9916 53,8285 53,555853,1119 0,4124 0,3810 0,2457 0,261641,739441,600941,1516 41,2955LM NWH 22,0133 22,3319 21,4939 21,848848,488349,4777 47,652948,0176 6,3949 7,0825 6,1208 6,611538,009638,012437,4852 37,6000ANWH 23,8703 24,2448 23,8331 23,934752,431553,2381 51,998452,3691 4,1715 4,4180 4,1630 4,794340,615740,969140,3728 40,6854ZNWH 20,6003 21,1940 20,3616 20,831444,448045,8904 43,959544,3207 4,2257 4,6070 4,2384 4,772435,969936,434635,6597 36,0602KNWH 22,3001 22,7150 22,1614 22,405049,466150,3573 48,943049,2497 6,5462 7,2861 6,4432 6,977138,462938,815038,2861 38,5838LM NAH 23,5499 23,5886 23,6663 24,072551,669051,6621 52,087452,3815 0,5340 0,7353 0,1975 0,198840,143939,987540,3685 40,7988ALM NH 25,3815 24,7988 25,2862 25,780354,801954,4608 54,869455,1391 0,3192 0,3524 0,0784 0,072342,347241,855542,0308 42,4049ZNAH 22,4596 22,6789 22,6277 23,211648,344648,6786 49,095549,6182 0,3793 0,4741 0,1355 0,125938,651938,510438,8226 39,3151KNAH 23,9511 23,9071 24,0423 24,352552,399152,6400 52,775253,1771 0,5082 0,7636 0,2164 0,258440,658240,621140,7996 41,2492
Tabell B.9: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar: n=100
1-2-100 2-2-100 3-2-100 4-2-100 1-3-100 2-3-100 3-3-100 4-3-100 1-4-100 2-4-100 3-4-100 4-4-100 1-5-100 2-5-100 3-5-100 4-5-100LM N 39,2338 39,2860 38,8863 38,895979,928279,6640 79,292679,502272,6715 72,0679 70,3088 70,700164,290764,104263,9823 64,0508ALM N 40,0146 40,3374 40,1129 40,307080,920781,0487 80,670480,7588 52,8129 53,6991 52,9832 54,039165,026064,977165,1559 65,1565Z2 36,6574 36,4533 36,1018 36,316075,974175,7347 75,580975,6715 2,5434 2,4572 2,2768 2,571861,762061,488861,1615 61,2898K 39,4901 39,4009 39,1899 39,025780,129479,8540 79,622179,627475,3132 74,2176 73,4625 73,017664,468964,259564,1728 64,1439
2A 24,2500 24,6924 24,3144 24,226382,250482,4921 81,873781,859991,5544 91,5091 91,1958 91,313248,428848,318048,0423 48,2300
2W 21,2218 21,3927 21,2540 21,190281,338881,1769 80,927980,807379,0205 79,0176 78,5365 78,554443,010842,500743,0525 42,9501
D 15,5407 16,1147 15,2029 15,351569,072469,1170 68,220768,424353,5626 54,8557 53,2430 53,319833,178733,344832,7535 32,6505
rF 37,0257 37,4124 36,7665 36,901784,663184,7716 84,299584,149091,6380 91,5266 90,7454 90,580962,665162,973962,4312 62,5114r 39,6141 40,0715 39,3672 39,315686,081086,5370 85,834586,021078,9415 79,0163 77,6469 76,948764,958165,236164,6866 64,6469W * * * * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 36,3314 36,9486 36,0299 35,888884,100684,2356 83,686983,506993,6158 93,7520 92,9845 92,655262,022962,331361,8309 61,5371
W~
10,3406 10,2417 10,0619 10,111746,888346,8532 46,021246,033699,8515 99,8420 99,8339 99,852728,772428,324828,4319 28,5399
P 5,2377 5,3399 5,1540 4,9628 5,5335 5,4923 5,2674 5,1491 5,2173 5,5300 5,0702 4,99865,3675 5,1405 5,1812 4,8669G1 5,1493 5,1071 4,6988 4,9131 5,3081 5,1059 4,9764 5,3637 6,5788 6,0589 5,2448 5,09105,4777 5,1954 4,7725 4,9601G2 5,0699 5,1536 5,0798 5,0659 5,1806 5,3397 5,1898 5,3921 5,8554 5,4898 5,0555 5,28395,4663 5,0540 5,0028 5,0447rS 5,0609 5,1977 5,2474 5,1835 5,3634 5,3661 5,3262 5,4767 5,0609 5,2056 5,1049 5,27705,3048 5,0970 5,1712 5,2295GQ 8,8598 8,9891 9,3213 9,243613,552713,8619 14,183514,1973 0,5258 0,7710 0,8055 0,815812,663012,654313,5078 13,5423LM H 10,2829 9,8978 10,3662 11,658416,676916,3297 17,417419,2147 0,5340 0,5077 0,3407 0,320715,241014,993416,3082 18,7900WH 5,2264 5,2496 5,4370 5,2974 4,9635 5,2541 5,6718 5,1730 5,9343 6,5896 6,0291 5,75434,9414 4,9206 5,6135 5,4057ALM H 9,7918 10,2631 10,4171 11,610315,530916,4965 17,143319,1605 0,5578 0,6355 0,3676 0,297214,021715,071315,9950 18,7793LM NH 37,9010 37,1822 37,2539 37,248978,082977,6245 77,366077,295026,8274 22,1457 19,9030 18,456162,908162,310762,0071 61,7080ANLM H 38,9951 39,0053 38,5781 38,737279,598579,0881 78,711478,838316,9872 14,5469 11,7271 11,753463,910663,874663,1663 63,3101ZNLM H 34,9099 34,3849 34,3214 34,710973,153872,4886 72,127972,3197 0,8950 0,8283 0,6243 0,665159,383559,197158,4329 58,4968KNLM H 38,1264 37,5599 37,6495 37,477578,370977,9852 77,876377,627032,0203 27,1838 25,5856 22,718763,140062,618162,4372 61,9995LM NWH 33,7059 33,6131 34,0221 34,041173,796173,7638 74,488974,251627,2063 26,1926 27,4048 25,159058,764158,700259,1733 59,0793ANWH 35,9147 35,3980 36,1232 35,810676,367376,0783 76,543376,3407 23,6864 21,7433 22,6868 21,092661,106260,485860,9942 60,8387ZNWH 29,9292 29,9425 29,9993 30,312666,055166,3356 66,377766,5106 9,9085 9,7870 9,4216 9,122954,130854,210454,6322 54,8777KNWH 34,2143 34,0523 34,4761 34,498774,467574,3661 74,905874,781730,3059 29,0090 29,9791 27,864959,284059,119459,6439 59,5519LM NAH 36,4867 36,4860 36,9414 37,276376,808476,8670 77,167877,302716,3643 15,8501 17,4098 18,555861,684461,771361,8228 61,7599ALM NH 38,4191 38,6162 38,4494 38,707778,9243 78,6877 78,658778,819511,6481 11,0211 10,8531 11,705463,338863,490563,1097 63,2938ZNAH 33,6884 33,9115 33,7825 34,724771,605571,5512 71,501572,3385 0,8270 0,9339 0,5582 0,681458,321658,565157,9232 58,5080KNAH 37,1462 36,7058 37,2992 37,435977,392577,3178 77,611377,632621,7707 20,2350 22,3840 22,860362,071862,137362,1669 62,0088
104
Tabell B.10: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar: n=250
1-2-250 2-2-250 3-2-250 4-2-250 1-3-250 2-3-250 3-3-250 4-3-250 1-4-250 2-4-250 3-4-250 4-4-250 1-5-250 2-5-250 3-5-250 4-5-250LM N 66,0588 65,9682 66,1574 65,886998,909498,9002 98,948798,9033 100 100 100 10091,514291,302991,2322 91,0590ALM N 67,1228 66,9252 67,1718 66,797899,002699,0113 99,011198,9891 100 100 100 100 91,916791,615791,6707 91,4376Z2 62,2024 62,5311 62,1144 62,056598,087998,1340 98,105598,134099,9450 99,9180 99,9620 99,962089,562389,677489,3935 89,4776K 66,1229 66,0416 66,1825 66,012298,931798,9009 98,961098,9121 100 100 100 10091,524091,320291,2483 91,0971
2A 46,7537 47,2556 47,2305 47,394699,653999,6070 99,587399,5667 100 100 100 10081,560281,794881,8711 81,8820
2W 41,2062 41,3697 41,7465 41,339099,556599,4836 99,562499,488399,9530 99,9370 99,9590 99,952076,959976,620577,1255 76,8680
D 29,3363 28,9094 29,5103 29,353597,800497,5503 97,741597,660398,5140 98,1350 98,3290 98,188063,509463,068163,7461 63,4864
rF 63,8286 64,0478 64,2768 64,322499,628799,6434 99,643999,6471 100 100 100 10090,572290,756790,8228 90,8358r 67,1012 66,7260 66,9895 66,888599,734999,7003 99,712999,7224 100 99,9880 100 10091,825191,874691,9291 91,8698W * * * * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 63,0656 63,0764 63,1783 63,484699,578899,6199 99,586699,6130 100 100 100 10090,237790,267990,2399 90,3703
W~
20,5340 20,7945 20,2785 20,269091,985391,9843 91,850391,8133 100 100 100 10059,799560,034859,8941 59,9474
P 4,9589 4,4595 4,8491 5,0879 5,1104 4,5196 5,3493 5,4655 4,9760 4,6090 4,7590 5,10704,9339 4,1201 4,8333 4,8423G1 5,0896 4,6091 5,0976 4,9944 5,2461 4,7705 5,1288 5,0415 5,2110 4,7520 5,2090 4,91205,1718 4,7167 4,5883 4,5728G2 4,9095 4,9311 5,0346 5,3417 5,2363 4,8860 5,1112 5,3567 4,9140 4,9350 4,9870 5,01604,9426 4,6947 4,6584 4,8219rS 5,2420 4,8181 4,8756 4,9325 5,4754 4,9167 5,0830 5,0856 5,2040 5,0040 5,0720 5,08405,1717 4,4940 4,7007 4,6094GQ 9,1359 8,9730 9,5941 9,545613,538914,2311 14,644914,5070 0,4660 0,5900 0,6210 0,582014,237014,730914,6960 14,7627LM H 11,1075 11,4169 11,3491 11,863419,027318,7895 19,083720,3816 0,2480 0,3170 0,3250 0,312017,747119,539618,9153 20,7622WH 5,0508 4,9830 5,3722 5,1142 5,0912 4,9602 5,4753 5,0474 5,6030 5,6810 5,3050 5,29304,6383 4,4949 5,1796 4,8138ALM H 11,1244 11,3223 11,4628 11,818418,758218,8308 19,225820,3235 0,3040 0,3450 0,3370 0,312017,344719,673619,0175 20,6738LM NH 63,6224 63,6502 63,1333 63,079098,396798,4806 98,395998,408799,9890 99,9870 100 10090,294190,243289,8361 89,7728ANLM H 64,8974 65,0703 64,5936 64,523198,611298,8084 98,701198,628099,9860 99,9810 99,9830 10090,956090,882390,4587 90,3275ZNLM H 58,3591 58,4899 57,6902 57,625097,005596,9856 96,716596,605090,1260 89,5480 86,1980 83,154087,117787,062486,4812 86,3830KNLM H 63,9629 63,8277 63,3655 63,241598,461998,5188 98,466698,432599,9900 99,9890 100 10090,423490,335489,9595 89,8751LM NWH 58,3900 58,4010 60,1985 60,540397,565697,5498 97,764397,814499,9770 99,9310 99,9650 99,968087,941187,841688,4431 88,6695ANWH 60,2791 59,9866 61,9463 61,928097,975297,8546 98,154298,237799,9540 99,9170 99,9590 99,961088,724688,596389,3179 89,4302ZNWH 51,3695 50,6287 53,1250 53,432894,967894,6916 95,297695,433660,4850 58,4400 63,4540 62,765083,150483,129084,1764 84,3813KNWH 58,5891 58,5331 60,5311 60,731197,625897,5801 97,890297,846099,9810 99,9400 99,9700 99,971088,058887,895788,5762 88,7752LM NAH 63,4524 63,4939 63,1308 63,082898,352498,4191 98,407698,410899,9880 99,9840 100 10090,137090,120389,7278 89,7751ALM NH 64,4481 64,7456 64,5586 64,528198,610898,7125 98,694898,629299,9850 99,9780 99,9810 10090,759390,657090,3688 90,3315ZNAH 57,6773 57,9613 57,7515 57,623496,753796,8821 96,705796,606886,5820 87,4880 86,2270 83,221086,695086,848086,4869 86,3702KNAH 63,6492 63,5520 63,3655 63,273498,410798,4544 98,448398,438099,9890 99,9860 100 10090,231990,203089,8517 89,8918
Tabell B.11: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med symmetriska fördelningar: n=10
B(.5,.5) Tu(1.5) Tu(0.7) Tu(3) B(2,2) Tu(0.25) B(6,6) B(60,60) t(20) t(10) t(4) t(3) t(2) LM N 2,9139 2,2863 2,3505 2,4384 2,6899 3,9039 4,0431 5,2814 6,9836 8,2126 14,8211 20,1728 28,1382 ALM N 2,0024 1,8788 2,1417 2,2745 2,4321 3,8522 3,9853 5,2387 6,9543 8,1247 14,9038 20,2350 28,2644 Z2 2,2368 2,0034 2,2002 2,3590 2,4861 3,8023 3,9549 5,2478 6,9712 8,1882 14,7686 20,0852 27,9472 K 2,7344 2,1450 2,2373 2,4064 2,5572 3,8344 3,9287 5,2385 7,0397 8,1633 14,8179 20,1985 28,0975
2A 10,9021 5,1284 4,1211 3,7049 3,4594 4,1035 4,1531 4,7552 5,4987 6,4903 11,5884 15,8697 24,1700
2W 9,8388 4,8113 4,0269 3,6545 3,5436 4,1282 4,2610 4,9431 5,3651 6,5105 11,1194 15,5549 23,7246
D 8,6442 4,9439 4,2714 3,8317 3,9347 4,0463 4,1220 4,9509 5,2346 6,2520 9,7467 13,0455 20,6829
rF 8,2942 3,9136 3,2533 3,1236 3,1262 3,9744 4,1824 5,2575 6,2694 7,2136 13,4298 18,3528 26,6552 r 6,5663 3,2803 2,8693 2,9043 2,8081 3,7450 3,9977 5,1475 6,2282 7,2813 13,5247 18,4444 26,8673 W 13,6831 6,0590 4,7209 3,9771 4,0783 4,1661 4,3989 4,7093 5,4612 6,1774 11,5959 15,6531 23,6200
W~ ′ 8,8562 4,1940 3,4287 3,1932 3,3004 4,0101 4,2477 5,2335 6,2093 7,1902 13,1786 18,0376 26,4148
W~
20,3653 9,3119 6,6884 5,3468 5,3571 4,3611 4,6430 4,7763 4,8026 5,3748 9,0315 12,1861 18,6492
P 5,8301 5,3088 5,0509 4,9675 4,9839 5,2858 5,2834 4,7528 5,0191 5,1757 5,5282 6,1282 7,3893 G1 8,9116 6,8449 6,0042 5,3815 5,7200 4,9895 5,0737 4,9031 4,4887 4,7857 4,5205 4,5108 5,1291 G2 7,7171 6,2927 5,8230 5,5505 5,9274 5,1739 5,5223 5,2023 4,8034 4,7424 5,0446 5,4400 5,9281 rS 5,8894 5,0795 4,9895 4,8795 5,0645 4,9295 5,0045 4,4946 4,7345 5,1445 5,4195 6,4794 8,4542 GQ 3,9257 3,4631 3,6054 3,6284 3,9776 3,9376 4,3478 4,3950 4,6120 4,9961 5,8623 7,3255 9,6376 LM H 2,0340 2,6870 3,0652 3,4614 3,5729 4,5334 4,5347 5,1911 5,8530 6,2389 9,2106 11,9606 16,2851 WH 7,7589 6,6098 6,0223 5,4777 5,3374 4,8655 4,5583 4,6821 4,1890 4,4614 4,3913 4,2283 4,9029 ALM H 2,2884 2,4727 2,7225 3,0735 3,3275 4,0033 4,4428 5,2005 5,5008 6,0781 8,3126 10,7762 13,6982 LM NH 2,1065 1,9659 2,2222 2,4436 2,4801 3,7128 3,8298 5,4830 6,7966 7,8793 14,6484 19,9676 28,3336 ANLM H 1,8572 1,7984 1,9804 2,2609 2,5141 3,6843 3,9118 5,4702 7,0879 8,1661 14,9676 20,4153 28,4352 ZNLM H 1,9488 1,8719 2,0729 2,2727 2,4548 3,6650 3,8842 5,4757 6,9383 7,9897 14,8509 20,1681 28,1991 KNLM H 2,0962 1,9804 2,1203 2,3540 2,5241 3,6896 3,8888 5,5293 7,0072 8,0493 14,9428 20,3762 28,8430 LM NWH 6,8800 5,2663 4,6909 4,3289 4,2159 4,3236 4,0761 4,8932 5,2158 6,1972 10,6929 14,6090 22,3598 ANWH 2,4227 2,0812 2,0882 2,3065 2,3963 3,7341 3,9265 5,3046 6,7387 7,9050 14,6973 19,8079 28,0443 ZNWH 3,0271 2,5569 2,4134 2,4892 2,5666 3,6764 3,9771 5,3192 6,5696 7,7781 14,2151 19,1706 27,1753 KNWH 7,0036 5,3113 4,4866 4,2546 3,7964 4,2371 4,1890 5,3522 5,7658 6,9305 12,2739 16,8609 24,6429 LM NAH 2,0649 2,0981 2,2345 2,3610 2,5542 3,5218 3,8159 5,0579 6,2156 7,4332 13,5520 18,4508 26,8748 ALM NH 1,8039 1,7952 1,9390 2,2146 2,3280 3,6073 3,8453 5,3503 6,9486 7,9633 14,9434 20,3423 28,8469 ZNAH 1,8465 1,7892 1,9289 2,2300 2,2813 3,5751 3,9332 5,3578 6,8122 7,9492 14,7541 19,8801 28,3031 KNAH 2,0870 2,0170 2,1399 2,3656 2,4992 3,6034 3,8495 5,1117 6,5599 7,8057 14,3713 19,2441 27,8080
105
Tabell B.12: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med ickesymmetriska fördelningar,: n=10
W(10,1) B(2,1) B(3,2) W(4,1) W(3.6,1) G(120,1) G(24,1) W(2.2,1) Tri G(12,1) W(2,1) G(8,1) G(6,1) LM N 8,3938 6,6554 3,6196 4,6114 4,5256 5,4491 6,8087 6,6047 7,0119 7,6768 7,6193 8,9309 9,8869 ALM N 8,2567 5,6158 3,3556 4,5786 4,3716 5,3790 6,6765 6,3456 6,1052 7,1984 7,2084 8,3180 9,2971 Z2 8,2869 6,0115 3,4725 4,5738 4,3963 5,3756 6,6280 6,4248 6,2970 7,3387 7,2661 8,4624 9,5446 K 8,3646 6,4267 3,5456 4,5647 4,4001 5,4488 6,7196 6,5298 6,7290 7,4947 7,4256 8,7220 9,7077
2A 7,1344 8,2345 4,0500 4,5358 4,3395 4,7543 5,5103 5,5736 7,6882 6,4973 6,3849 7,8865 8,0032
2W 6,9092 7,7290 4,2202 4,5417 4,3721 4,9463 5,4216 5,4816 7,2898 6,4118 6,3937 7,7234 7,5244
D 6,6168 6,7988 4,3489 4,4766 4,3096 4,7838 5,2305 5,2108 6,8854 6,1935 5,8538 6,7441 6,9337
rF 8,0112 7,9099 3,8347 4,5283 4,4110 5,2979 6,0380 6,0452 7,7393 7,1698 7,2690 8,4948 9,3372 r 7,7710 7,2068 3,6402 4,2707 4,2283 5,2110 5,9728 5,7992 7,1496 7,0286 6,8890 8,3242 9,1875 W 7,4137 9,2339 4,3762 4,6191 4,5109 5,0636 5,5844 5,9262 8,8910 6,6338 6,9116 8,1237 8,6076
W~ ′ 7,9352 8,0968 3,8630 4,6172 4,4686 5,2791 6,0308 6,1024 7,9530 7,2318 7,2720 8,4656 9,2647
W~
6,4150 10,4934 5,2315 4,5132 4,4780 5,1205 5,3497 5,8824 9,7399 6,0863 6,6625 7,1886 7,3936
P 5,8551 5,9190 5,1181 5,2609 5,3455 5,4064 5,1163 5,3710 5,6410 5,0127 5,4373 5,7447 5,5038 G1 4,9768 6,7204 5,7584 4,8655 4,8887 4,8670 4,7459 5,2950 6,4973 5,0628 5,3239 5,3440 5,1437 G2 5,4541 6,7058 5,9812 5,1072 5,0887 5,3814 5,2526 5,4663 6,4511 5,1597 5,5072 5,8305 5,7308 rS 5,5395 5,7694 4,9595 4,9445 5,0045 5,0495 4,8795 4,8645 5,5594 4,8745 5,0545 5,6444 5,6644 GQ 4,7971 4,6314 4,2460 4,1803 4,1361 4,5008 5,0364 4,2926 4,0808 5,1066 4,4806 5,0855 5,5135 LM H 5,9937 4,3689 3,9359 4,9467 4,8909 5,3409 5,6022 5,1295 4,3648 5,9373 5,4763 6,3534 6,7361 WH 4,9941 5,9355 5,6950 4,8957 4,8908 4,7982 4,5482 5,0785 6,1069 4,7293 5,1937 4,7130 5,0791 ALM H 5,9620 4,4976 4,5859 4,4307 4,3674 5,6405 5,4235 4,8497 4,3255 5,6405 5,3078 6,2932 6,7179 LM NH 7,9512 5,6355 3,5072 4,5019 4,3086 5,4872 6,3319 5,8264 5,7876 7,1244 6,9310 8,3185 9,2831 ANLM H 8,3064 5,4818 3,4261 4,4910 4,5371 5,5381 6,6360 6,3437 6,0095 7,1627 7,0585 8,3146 9,3429 ZNLM H 8,2331 5,6536 3,3832 4,4482 4,4038 5,5167 6,5430 6,2728 6,1970 7,0471 7,0816 8,2524 9,4103 KNLM H 8,2213 5,7965 3,5507 4,5610 4,4877 5,5613 6,5843 6,1972 6,2046 7,3206 7,1597 8,4023 9,4677 LM NWH 6,7274 6,3543 4,5684 4,4764 4,5417 5,2414 5,2923 5,6494 6,3536 5,8449 6,3124 7,0923 7,5389 ANWH 8,2023 5,5067 3,3932 4,4597 4,4220 5,4464 6,5057 6,1311 5,9887 7,0776 6,9901 8,1532 9,1826 ZNWH 7,8873 5,8278 3,5997 4,3343 4,2256 5,3120 6,2401 5,9972 6,2706 6,9325 6,9636 8,0158 9,1764 KNWH 7,3184 6,5424 4,3480 4,6944 4,5523 5,1074 5,6563 5,9807 6,6881 6,4131 6,9236 7,5117 8,5243 LM NAH 7,2144 5,2756 3,5658 4,2769 4,1838 5,2883 5,7559 5,3573 5,3155 6,6025 6,2171 8,0001 8,6501 ALM NH 8,0902 5,3171 3,3213 4,4549 4,3022 5,4875 6,4583 5,9589 5,7335 7,0602 6,8395 8,2000 9,2345 ZNAH 7,9671 5,4634 3,3560 4,3885 4,1989 5,4908 6,3912 5,8541 5,7904 7,1246 6,8392 8,3107 9,3864 KNAH 7,6345 5,5048 3,4153 4,3135 4,0931 5,3730 6,0287 5,5446 5,7159 6,7829 6,6390 8,1471 9,1711
forts. Tabell B.12: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med ickesymmetriska fördelningar: n=10
χ2(10) HN(0,1) G(4,1) Gu(0,1) G(3,1) G(2,1) exp(1) P(1,100) P(1,10) LogL LM N 10,5831 12,3934 12,5902 13,3168 14,6019 18,1736 28,2030 29,7244 34,5136 28,3497 ALM N 9,9279 11,1668 11,5330 12,5848 13,2884 16,3434 24,8128 26,2507 30,6156 26,4283 Z2 10,2292 11,6718 11,9365 12,8491 13,7059 17,1497 25,8730 27,3295 32,0429 27,0624 K 10,4684 12,0692 12,3492 13,1039 14,2645 17,7747 27,2561 28,9846 33,7877 27,8654
2A 9,0911 11,7936 10,6383 11,2343 12,3931 15,9567 27,2648 29,0391 34,0232 25,3389
2W 8,7965 10,9495 10,0530 10,7082 11,4576 14,8133 25,5893 27,1910 32,0420 24,0337
D 8,0023 9,2007 8,7414 9,1746 10,0573 12,2831 20,1081 21,5347 25,8077 19,9283
rF 10,2215 12,7633 12,1756 12,2787 13,9157 17,7741 29,7164 31,1107 36,4423 27,5134 r 10,0292 12,4214 11,8755 12,1828 13,5938 17,2527 28,7853 30,2684 35,5209 27,1432 W 9,4582 13,0045 11,2614 11,7810 13,5420 17,2076 29,3225 31,0593 36,2674 26,5075
W~ ′ 10,3012 12,9248 12,2317 12,2258 13,9222 17,7827 29,9731 31,1695 36,6883 27,5232
W~
8,4314 12,2898 9,9713 10,0940 11,4834 15,3055 26,5089 27,8490 33,0403 23,1060
P 5,7812 5,9493 6,0146 5,7504 6,6915 6,9530 8,7778 9,0564 9,8651 8,1737 G1 5,2619 6,1908 5,5253 5,3323 6,6505 6,5081 7,4430 7,9069 8,1852 6,5432 G2 5,6757 6,5809 6,3152 5,7441 6,7314 6,8873 8,4407 8,5965 9,0567 7,0816 rS 5,5744 6,0544 6,1244 5,8394 6,8843 7,4143 9,6740 10,8989 11,9538 8,9491 GQ 5,4362 5,4174 5,6525 5,2268 5,8477 6,0057 8,1391 8,6758 9,7828 8,5640 LM H 6,5023 6,4531 7,1550 7,5212 7,5346 9,3376 11,8658 12,9867 15,1831 14,0906 WH 5,0417 5,6746 5,2211 4,9767 5,6461 5,5775 6,3950 6,6009 6,8171 5,5802 ALM H 6,2970 6,5188 7,5700 7,5755 7,6425 9,0284 11,7286 11,5840 13,3363 13,0265 LM NH 9,8704 11,3270 11,5563 12,6391 13,3797 16,8114 25,8810 27,9766 32,6419 27,0466 ANLM H 10,0317 11,1100 11,6018 12,5176 13,2109 16,4119 24,9741 26,3960 30,7681 26,3387 ZNLM H 10,1697 11,2818 11,7203 12,7633 13,4228 16,9258 25,7193 27,1261 31,6320 26,9734 KNLM H 10,2437 11,5375 11,6931 12,8271 13,6595 17,2855 26,3029 28,2886 33,0336 27,5432 LM NWH 8,0647 9,4841 9,4387 9,8532 11,0794 13,3141 21,3446 22,3856 26,9567 22,4517 ANWH 9,9711 11,0273 11,5318 12,6072 13,1368 16,1758 24,6843 26,3221 30,8202 26,2966 ZNWH 9,8962 11,1699 11,5829 12,5339 13,2633 16,3488 25,0981 26,9044 31,9282 26,3754 KNWH 9,2234 10,5949 10,6983 11,3358 12,5189 15,0538 23,5955 25,2513 29,9299 24,5043 LM NAH 9,1555 10,3353 10,7342 11,5384 12,2499 15,6908 23,4388 25,6980 30,2969 25,5802 ALM NH 9,7586 10,7994 11,3947 12,5450 13,0399 16,3813 24,4732 26,3314 30,9714 26,5220 ZNAH 9,9300 10,9930 11,4993 12,5543 13,1623 16,6347 24,8568 26,9860 31,7681 26,5789 KNAH 9,5997 10,6810 11,2442 12,1014 12,8464 16,1483 24,3230 26,8292 31,2571 26,6390
106
Tabell B.13: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med symmetriska fördelningar: n=20
B(.5,.5) Tu(1.5) Tu(0.7) Tu(3) B(2,2) Tu(0.25) B(6,6) B(60,60) t(20) t(10) t(4) t(3) t(2) LM N 0,6622 0,3573 0,4723 0,5453 0,6262 2,1522 2,1760 5,0169 8,2691 11,9444 26,5188 36,5369 53,1666 ALM N 0,2191 0,2049 0,3049 0,3867 0,4931 1,9861 1,9321 4,8972 8,3236 12,0011 26,8400 36,8239 53,9664 Z2 0,4066 0,2803 0,3889 0,4511 0,5814 2,1363 2,0872 5,0290 8,1200 11,8775 26,2478 36,1785 52,3645 K 0,5295 0,3056 0,3991 0,4480 0,5939 2,0182 2,0573 4,9608 8,2789 11,8999 26,4984 36,5585 53,3952
2A 38,1028 13,2134 7,1980 4,6219 4,4697 3,9766 4,0880 5,0160 6,4127 8,7726 21,1730 31,0456 49,2343
2W 30,3250 10,5556 6,2734 4,1682 4,0634 4,0910 4,1221 5,0613 5,9414 8,0091 18,9976 28,5894 47,5505
D 19,6514 7,5636 5,3917 4,1009 4,1330 4,0066 4,0842 4,8915 5,3278 6,7465 15,3869 23,4579 40,7844
rF 24,5801 6,0398 3,1195 1,9633 1,8054 2,5355 2,9213 4,9853 7,7472 10,8280 25,4430 35,2786 53,4552 r 15,7090 3,4420 1,8323 1,2300 1,3220 2,2552 2,4482 4,8227 7,6123 11,0052 25,8076 35,9723 54,1062 W 48,1964 17,1140 8,9326 5,5341 4,7544 3,7370 4,0173 5,0157 6,7926 9,5866 21,8056 31,2044 48,7348
W~ ′ 28,0689 7,2464 3,5796 2,3440 2,1922 2,7533 3,1068 5,0075 7,7500 10,7194 25,0944 35,0561 53,1618
W~
68,2575 33,0627 19,0732 12,3402 9,7310 5,9546 5,7440 4,9778 5,2601 6,7670 14,6285 21,8624 37,0979
P 6,0050 5,7914 5,4608 5,2816 4,9111 5,1951 4,7371 4,8107 4,5835 5,4244 5,0640 5,7109 7,7324 G1 10,1284 7,7076 6,8084 5,9241 5,8920 5,0625 5,2522 5,4626 4,8984 5,2318 5,2307 5,5870 6,3691 G2 7,9459 6,6507 6,1132 5,7311 5,0959 5,1334 5,2357 5,0037 4,7790 5,2710 5,3631 6,0670 6,8122 rS 6,2644 5,4695 5,2795 5,1445 4,7745 5,0695 5,2095 4,8295 4,9995 5,7594 5,1945 6,5943 9,0991 GQ 1,5808 2,1225 2,4561 2,9488 2,9101 4,1000 4,1806 5,0335 5,6899 6,4096 9,8867 12,8655 18,1020 LM H 0,8014 1,1564 1,7344 2,1519 2,5611 3,6643 3,8935 4,8487 6,3214 7,5317 12,7761 16,6021 23,2584 WH 8,6225 7,0302 6,4007 6,0633 5,9858 5,3443 5,6257 4,9090 5,0258 5,4418 5,0315 5,3294 5,2945 ALM H 1,0469 1,5693 1,8907 2,3592 2,6710 3,5921 4,0584 5,4441 6,0169 7,1191 11,1537 14,3628 20,3562 LM NH 0,3385 0,4425 0,5442 0,6648 0,7435 2,1808 2,3902 5,2148 8,2941 11,8498 26,7494 36,9895 53,6508 ANLM H 0,1743 0,1863 0,3020 0,3871 0,5540 2,1805 2,0081 4,9604 8,3529 12,1492 27,4405 37,5052 55,0948 ZNLM H 0,2844 0,2853 0,3985 0,5212 0,6458 2,0611 2,0804 5,0334 8,1831 11,6985 26,6240 36,6209 53,2386 KNLM H 0,3418 0,3635 0,4387 0,5653 0,7033 2,1301 2,1278 5,0992 8,2252 11,8657 27,0014 37,0683 54,1118 LM NWH 6,6902 4,0939 3,1192 2,7607 2,8819 3,2396 3,1569 4,9809 7,5989 10,4327 23,7754 33,5065 49,8036 ANWH 1,9859 1,0941 0,8948 0,8540 1,0273 2,3216 2,1506 4,8805 8,0764 11,5309 26,5956 36,3976 53,9756 ZNWH 3,1609 1,8102 1,4728 1,3540 1,5180 2,5593 2,3617 4,9288 7,6442 10,8375 24,6800 34,3952 50,8351 KNWH 6,5244 3,5641 2,6550 2,2711 2,3943 2,9317 2,8312 5,0049 7,6730 10,7192 24,5350 34,6117 51,1850 LM NAH 0,4776 0,5724 0,7111 0,9277 1,1550 2,4056 2,4945 5,0868 8,1039 11,1703 25,3783 35,2523 51,8487 ALM NH 0,1559 0,2990 0,3707 0,5216 0,6327 2,2288 2,1713 5,0571 8,1833 11,9353 27,2497 37,2432 54,5729 ZNAH 0,2515 0,4173 0,5166 0,6898 0,8094 2,3523 2,2869 5,2602 8,2002 11,5210 26,1050 35,9775 52,3033 KNAH 0,4101 0,4748 0,5769 0,7316 0,9100 2,2510 2,3219 4,9812 7,9406 11,1601 25,8890 35,7888 52,3539
Tabell B.14: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med ickesymmetriska fördelningar: n=20
W(10,1) B(2,1) B(3,2) W(4,1) W(3.6,1) G(120,1) G(24,1) W(2.2,1) Tri G(12,1) W(2,1) G(8,1) G(6,1) LM N 13,8298 7,0668 2,2891 3,1851 3,2441 5,7262 8,5513 8,2245 7,1231 11,7339 10,7484 15,3773 17,9488 ALM N 12,8501 5,1789 1,8457 3,0786 3,0610 5,4163 7,8131 7,3214 5,0258 10,7712 9,6316 14,1328 16,3091 Z2 13,8016 6,2638 2,1685 3,1716 3,2192 5,6381 8,3373 8,2407 6,1479 11,6608 10,5623 15,1214 17,7123 K 13,5026 6,3839 2,0696 3,1542 3,0960 5,5414 8,2205 7,9303 6,4557 11,4000 10,3442 14,8723 17,4276
2A 12,4860 19,0300 5,7545 4,4528 4,1511 5,3952 7,6734 8,6877 19,5061 10,3595 11,5185 13,5127 16,5226
2W 11,1419 16,5183 5,3381 4,6398 4,3293 5,1960 6,9865 7,8352 17,1332 9,4159 10,3919 12,1452 14,5625
D 9,3888 12,9955 5,2213 4,6189 4,2161 5,1287 6,3811 7,1408 13,5569 8,0490 9,1550 9,9079 12,2118
rF 13,7780 15,5485 3,8449 3,5973 3,4573 5,5970 8,5681 8,5919 15,4344 11,6210 11,9213 15,3133 18,3083 r 13,1089 12,4913 3,2380 3,4268 3,2335 5,5339 8,2720 8,0461 12,2650 11,0774 11,0042 14,5794 17,5784 W 13,8181 22,8189 6,2033 4,2996 3,9778 5,4784 8,7783 9,8553 23,5455 11,9240 13,2732 15,6398 19,1630
W~ ′ 13,9365 16,5471 4,1503 3,7502 3,5064 5,6369 8,7161 8,8459 16,5947 11,8411 12,2504 15,4013 18,6055
W~
12,0212 29,9499 10,1524 5,4238 5,3974 5,2275 7,7792 10,2645 30,8842 10,6745 13,6526 13,3568 17,3080
P 5,5336 5,9663 5,4729 5,3439 5,1797 5,1316 5,3583 5,6717 6,3146 5,1446 5,8601 5,7996 5,9456 G1 5,1940 7,2998 6,3762 4,8013 4,8575 5,0183 5,6624 5,6341 7,5223 5,4581 5,9058 6,0033 5,8993 G2 5,5112 6,4005 5,8417 4,9201 4,9759 5,0309 5,7230 5,6393 7,0520 5,5622 5,8505 5,9528 5,9681 rS 5,5194 6,4694 5,5344 5,1295 4,9995 5,3695 5,7594 5,4245 6,5993 5,2295 5,8244 5,9194 6,2244 GQ 6,2703 4,2067 3,4107 4,5919 4,4933 4,9472 5,9035 4,9851 4,0000 5,6292 5,4810 6,2302 6,6940 LM H 6,7559 3,5068 3,3675 4,3426 4,3224 5,2347 5,7640 5,0778 3,5672 5,9227 5,6841 7,2862 7,5697 WH 5,4839 6,2462 6,1137 5,2718 5,3269 5,1032 5,7849 5,7002 6,4134 5,2146 5,6715 5,5386 5,5492 ALM H 6,0933 3,7412 3,4356 4,2197 4,0831 5,1368 5,8083 5,1329 3,8326 5,8902 5,6470 6,9814 6,8477 LM NH 13,1655 6,0367 2,2661 3,4744 3,2709 5,6310 8,4403 7,8848 5,9063 10,9222 10,4210 14,9539 17,1736 ANLM H 12,6272 5,0342 1,9181 3,2064 3,1567 5,6130 8,0487 7,4221 4,9691 10,6751 9,7594 14,2379 16,4402 ZNLM H 13,2401 5,7460 2,0964 3,2837 3,1152 5,5973 8,4344 7,8471 5,7278 10,9828 10,4096 14,8524 17,1488 KNLM H 13,1316 5,9252 2,1758 3,3245 3,1349 5,5410 8,2700 7,8313 5,8615 10,8032 10,1836 14,7280 17,0336 LM NWH 11,8960 7,2126 4,0338 4,1132 3,8725 5,6406 7,9493 7,7213 7,3987 10,1813 9,9623 13,5557 15,6815 ANWH 12,3747 5,4363 2,3642 3,3535 3,1431 5,3590 7,7895 7,2942 5,5189 10,4243 9,7460 13,8016 16,0037 ZNWH 12,6150 6,3211 2,9384 3,6005 3,3192 5,4233 8,0825 7,8200 6,5327 10,5996 10,2320 14,1681 16,2911 KNWH 12,1512 6,9098 3,6533 3,7894 3,6046 5,5515 7,9762 7,6316 7,0512 10,3010 10,0177 13,8417 15,8829 LM NAH 11,6958 5,2259 2,3769 3,5763 3,3410 5,4194 7,8609 7,4228 5,3871 10,3294 9,5802 13,4740 15,7116 ALM NH 12,2334 4,7245 1,9989 3,4035 3,1397 5,4383 7,7797 7,3194 4,7108 10,5265 9,5150 13,7355 16,0060 ZNAH 12,6827 5,4608 2,2869 3,5877 3,2340 5,4509 8,1434 7,6683 5,4246 10,7851 10,0065 14,3657 16,5010 KNAH 11,9541 5,1291 2,2621 3,3977 3,1584 5,2461 7,6965 7,3125 5,2416 10,2136 9,4465 13,3592 15,7926
107
forts. Tabell B.14: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med ickesymmetriska fördelningar: för n=20
χ2(10) HN(0,1) G(4,1) Gu(0,1) G(3,1) G(2,1) exp(1) P(1,100) P(1,10) LogL LM N 19,5854 23,5606 23,3925 25,8645 28,4154 37,2603 56,6941 58,6904 66,4613 56,4248 ALM N 17,6179 19,9651 21,1334 23,5777 25,4830 33,4512 50,3084 52,8120 60,7968 53,0497 Z2 19,0925 22,3312 22,9358 25,4007 27,5449 36,0884 53,8160 55,9890 63,9965 55,3739 K 18,9965 22,4757 22,6991 25,1236 27,4272 36,3493 54,9911 57,2662 65,0031 55,5407
2A 19,0184 28,9688 22,7394 24,5066 28,8140 39,9017 66,7864 68,1619 75,2707 56,6513
2W 16,9124 24,6037 20,1172 22,2635 25,2013 35,4575 61,6067 63,1162 70,8606 53,0558
D 13,8289 18,9254 15,6460 17,8116 19,6114 27,6553 48,5657 49,2335 57,7165 44,8285
rF 20,9676 29,6277 24,6588 26,8026 30,9197 42,4812 67,5731 69,8226 76,6581 59,2073 r 19,9330 27,3179 23,4714 25,6412 29,1198 40,1283 64,8225 66,8560 74,4871 57,9359 W 22,0010 34,9910 26,0381 27,2903 33,3219 45,5396 72,4931 73,7516 80,1134 59,8499
W~ ′ 21,2061 30,5961 25,0769 27,1049 31,4572 43,3128 68,6088 70,6005 77,4660 59,3893
W~
19,6399 36,2814 23,6774 23,7427 30,4401 43,0312 71,6043 72,5098 78,3143 55,6352
P 5,9311 6,6240 6,5186 6,4689 7,0493 7,3790 9,6216 9,6511 11,0285 9,2572 G1 5,8953 7,4169 6,5108 6,2547 7,0416 7,7710 9,5923 9,1883 9,6343 8,5088 G2 6,1515 7,3868 6,3927 6,6043 6,9913 7,7412 9,9009 9,8012 10,3532 9,3272 rS 6,7093 7,8742 7,1543 6,9943 7,7292 8,9541 13,2987 13,3887 15,7484 11,7988 GQ 7,0408 6,8779 7,4920 8,8044 8,4918 9,7865 13,7678 14,5987 16,9112 16,2435 LM H 7,8216 7,1588 8,2668 9,7017 9,5164 11,3122 16,5140 17,2106 20,5321 20,8958 WH 5,7175 6,6445 5,7363 5,5942 6,2342 5,9703 6,4189 6,4214 6,6134 6,0304 ALM H 6,8753 6,8248 7,8381 9,2501 8,7845 9,8112 14,3738 15,0291 18,2349 18,4114 LM NH 18,6864 21,6736 22,3445 24,4387 27,3146 35,5161 54,3947 57,2599 65,2244 55,8945 ANLM H 17,6954 19,6770 21,1806 23,6522 25,4897 33,5018 50,4778 53,3199 61,6440 53,8222 ZNLM H 18,7195 21,2336 22,3676 24,6894 27,1253 35,0083 52,7291 55,7553 63,9069 55,4077 KNLM H 18,5921 21,3839 22,2535 24,4051 27,0222 35,1683 53,6548 56,6989 64,7515 55,5788 LM NWH 17,2185 19,7494 20,3071 22,3337 24,9401 32,7023 50,3855 52,9355 61,6946 53,0327 ANWH 17,3602 19,7642 20,8540 23,0795 25,0718 33,0646 50,1753 53,1314 61,4933 53,5993 ZNWH 17,9229 20,7757 21,3655 23,3528 26,0376 34,0462 51,6926 54,9390 63,0621 54,2826 KNWH 17,5480 20,3905 20,6037 22,7222 25,4015 33,3398 51,3393 54,0821 62,5291 53,6326 LM NAH 17,3396 19,0617 20,5429 22,5845 24,7390 32,7192 50,6714 53,4653 61,8768 53,4901 ALM NH 17,3041 19,1168 20,7699 23,0013 24,8401 32,7791 49,5412 52,4180 60,8681 53,4400 ZNAH 18,2418 20,2585 21,7076 23,7659 25,9782 34,2065 51,7239 54,6490 63,0062 54,9203 KNAH 17,3387 19,0737 20,7041 22,5566 24,7185 32,8859 50,5047 53,4587 61,9797 53,6187
Tabell B.15: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med symmetriska fördelningar: n=30
B(.5,.5) Tu(1.5) Tu(0.7) Tu(3) B(2,2) Tu(0.25) B(6,6) B(60,60) t(20) t(10) t(4) t(3) t(2) LM N 0,4788 0,1488 0,1069 0,1435 0,2212 1,1984 1,6205 4,9331 9,6947 15,3627 36,8427 50,2200 70,2202 ALM N 0,1330 0,0679 0,0747 0,0826 0,1261 1,1584 1,5310 5,0416 9,9542 16,0333 37,6938 51,8080 71,4598 Z2 0,1879 0,0866 0,0933 0,1049 0,1745 1,2155 1,5357 4,9707 9,6647 14,9868 36,0867 49,1545 68,8189 K 0,5517 0,1427 0,0966 0,1265 0,1684 1,1803 1,5741 4,9637 9,7517 15,4828 36,9831 50,7324 70,5710
2A 69,0170 26,0049 12,5010 6,5087 5,7428 3,6828 4,0313 5,3487 6,9153 10,1310 28,3845 42,1821 65,9696
2W 56,9910 19,4447 10,0878 5,2826 5,4867 3,7683 4,0970 5,2463 6,3111 9,0484 25,7816 39,8086 64,0877
D 36,6110 12,9047 7,9792 4,7875 4,8639 4,1976 4,2231 4,9147 6,0999 7,8061 20,6607 32,9410 56,4031
rF 54,7402 12,8058 4,3243 2,0445 1,9620 1,8476 2,2248 4,9109 8,4703 13,7921 35,0335 49,2200 70,6866 r 39,7529 6,5475 2,1273 0,8964 1,0197 1,6594 1,9493 4,9583 9,0288 14,4489 36,4017 50,8750 71,7655 W 83,6191 40,9955 20,2667 11,1179 7,9993 4,0566 4,0974 5,4197 7,3282 10,9359 28,9190 41,5432 64,3644
W~ ′ 58,9680 14,9322 5,6003 2,4065 2,2347 1,9347 2,2836 4,9724 8,2567 13,3577 34,4018 48,5929 70,1114
W~
92,0085 59,0406 34,2125 21,0280 14,5085 5,9599 5,9586 5,1728 5,5462 6,8591 18,5958 28,8344 50,2736
P 5,8445 5,4265 5,2517 5,0092 4,5362 4,9886 4,5613 4,5022 4,6992 4,9343 4,8315 5,2592 6,8939 G1 9,6266 7,4168 6,4758 5,7040 5,4560 5,0559 4,7267 4,8667 4,9851 4,5279 4,5296 4,8851 6,0416 G2 6,9767 5,8353 5,3628 4,9234 4,8292 4,5843 4,3945 4,8074 4,8541 4,5956 4,6281 4,8753 6,0713 rS 5,6494 5,0945 4,8645 4,6545 4,5195 4,5845 4,3546 4,5545 4,7395 4,6795 4,6645 5,4995 8,1292 GQ 1,0345 1,4745 1,7824 2,3117 2,4647 3,7336 3,9705 4,8956 5,8412 6,9967 11,1743 14,5898 21,3473 LM H 0,4697 0,8720 1,2340 1,7921 2,1050 3,4738 3,9610 5,2452 6,2361 7,2491 13,8397 18,6273 26,4952 WH 8,3895 6,9791 6,0308 5,6912 5,2656 4,9773 4,6214 4,7285 4,6800 5,0071 4,3475 4,3769 4,5705 ALM H 0,8288 1,3116 1,7950 2,1299 2,3265 3,3727 3,8444 5,1024 6,1744 6,9595 12,6489 16,8547 25,1364 LM NH 0,3145 0,1540 0,1784 0,2300 0,4008 1,3698 1,8273 5,0751 9,6600 15,0517 36,3325 49,6430 69,9682 ANLM H 0,1404 0,0773 0,0692 0,0880 0,1309 1,2489 1,5700 5,0827 9,8928 15,6382 37,6717 51,4648 71,6014 ZNLM H 0,1894 0,1071 0,1316 0,1712 0,2598 1,3656 1,8202 5,2176 9,9025 14,8629 36,2747 49,3889 69,2992 KNLM H 0,2979 0,1367 0,1481 0,1894 0,3261 1,3827 1,7365 5,1391 9,6836 15,1416 36,6239 50,2766 70,4914 LM NWH 9,1352 5,1353 3,7681 3,1633 2,7207 2,7332 2,6705 5,0616 8,7734 13,3023 33,1584 46,4888 66,9104 ANWH 5,5539 2,6471 1,8568 1,4314 1,4003 1,8034 2,0490 5,0330 9,4383 15,0154 36,5067 49,9426 70,4462 ZNWH 5,9510 3,5970 2,7681 2,2818 2,1083 2,3373 2,4540 4,9876 9,1914 13,7573 33,6495 46,0279 66,3926 KNWH 9,9814 5,0901 3,5388 2,8123 2,5172 2,6189 2,5907 5,0071 9,0324 13,9598 34,3172 47,4007 67,9118 LM NAH 0,5306 0,5029 0,5116 0,5874 0,8647 1,8004 2,1985 5,1549 9,1666 14,2467 35,1218 48,4966 68,8044 ALM NH 0,2468 0,1397 0,1957 0,2500 0,3908 1,4400 1,8573 5,1634 9,9142 15,5309 37,1964 50,8662 71,1173 ZNAH 0,3554 0,2608 0,3857 0,4332 0,6478 1,7234 2,0851 5,2402 9,5366 14,3386 35,0154 48,0232 68,0630 KNAH 0,5504 0,4723 0,4880 0,5495 0,8209 1,7231 2,0469 5,2942 9,4812 14,8364 35,8791 49,4172 69,4979
108
Tabell B.16: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med ickesymmetriska fördelningar: n=30
W(10,1) B(2,1) B(3,2) W(4,1) W(3.6,1) G(120,1) G(24,1) W(2.2,1) Tri G(12,1) W(2,1) G(8,1) G(6,1) LM N 19,7793 8,9080 2,1890 2,8134 2,3261 6,5213 10,5317 11,4311 9,7259 16,2576 16,2799 21,1286 25,9326 ALM N 18,3902 6,4986 1,7513 2,6644 2,2776 6,5496 10,1398 10,5843 6,7163 15,3241 14,9600 19,9861 24,1825 Z2 19,6485 7,5706 2,0633 2,8174 2,3069 6,5506 10,7094 11,5090 7,8866 16,2579 16,1887 21,2452 25,7803 K 19,4726 8,4891 2,1180 2,8088 2,2921 6,5732 10,4397 11,2534 9,1452 16,0214 15,8765 20,8948 25,7491
2A 16,7091 33,6986 8,3736 4,3386 3,8916 5,9728 9,1764 11,7770 34,9245 14,3291 16,8502 19,0827 23,9327
2W 14,7616 28,1526 7,3158 4,3236 3,9820 5,6439 8,3617 10,3275 29,5199 12,9227 14,5608 16,7188 20,8300
D 12,5656 21,2651 6,3447 4,3932 4,1236 5,3962 7,4938 9,2022 21,4737 10,6781 12,3225 13,3177 17,2044
rF 19,2358 26,4664 4,5432 3,1478 2,7846 6,0251 10,2074 11,8917 26,9111 15,8700 17,5531 21,7188 26,7534 r 18,8717 21,0156 3,5561 3,0444 2,6076 6,0239 10,0387 11,1095 21,1076 15,5060 16,3667 20,8211 25,6176 W 19,9885 44,4790 10,6410 4,3419 3,9587 6,2904 10,4034 14,7361 46,1450 16,8215 21,5518 23,2237 29,0829
W~ ′ 19,2941 28,1285 4,9955 3,2618 2,8171 6,0770 10,1796 12,0462 28,8800 15,9149 17,8443 21,8742 26,9684
W~
16,0778 51,7152 15,5414 5,1173 4,8560 5,5895 8,6148 14,1881 53,3495 13,9401 20,2546 19,0810 24,5972
P 5,2798 5,7564 5,2795 5,0273 5,0984 4,9093 5,0828 5,0328 5,8706 5,2983 5,2518 5,1149 6,0112 G1 5,3089 6,8058 5,6887 4,9358 4,8213 4,7310 5,4254 5,2369 7,0840 5,1582 5,5756 5,3839 6,2299 G2 5,0627 6,6808 4,9841 4,5884 4,5367 4,5545 5,1367 4,9342 6,3069 4,8850 5,2789 4,9083 6,1006 rS 5,4395 6,5743 4,8145 4,6645 4,5845 4,4996 4,9495 5,0345 6,2394 4,9045 5,2945 5,2545 6,3994 GQ 6,2673 3,7822 3,1207 4,4352 4,3133 5,0895 5,2753 5,0355 3,6827 6,1286 5,5093 6,5017 7,5313 LM H 6,8911 3,0546 2,8601 4,2001 3,9764 5,1736 6,0301 4,8716 3,0347 6,4073 5,4447 6,8506 8,2307 WH 4,9422 6,1095 5,3200 4,8542 4,9179 4,8517 4,9339 4,9850 6,0643 5,0357 5,2786 5,2030 5,3213 ALM H 6,3426 3,0804 3,2365 3,9872 3,9725 4,9872 5,6472 4,9243 3,2884 5,8747 5,4439 6,6502 7,4570 LM NH 18,0263 7,1746 2,1003 2,8638 2,4348 6,3874 10,4112 10,3066 7,3430 15,1173 14,7246 20,0088 24,3378 ANLM H 17,7853 5,7158 1,6908 2,7483 2,2828 6,6162 10,1811 9,9629 5,9335 14,7830 14,3253 19,4172 23,5643 ZNLM H 18,7572 6,7623 2,0238 2,8490 2,4508 6,5610 10,6808 10,7008 6,9962 15,6289 15,2639 20,5247 24,9529 KNLM H 18,1139 7,0800 2,0251 2,8851 2,3948 6,3957 10,4111 10,3187 7,2388 15,2035 14,8029 20,0550 24,3189 LM NWH 16,8131 8,7293 3,7351 3,7339 3,4316 6,1118 9,8712 9,9661 8,8834 14,2767 13,8967 18,2958 22,6436 ANWH 17,5084 6,8933 2,4805 2,9677 2,6685 6,3001 10,0558 10,1727 7,0191 14,6444 14,2123 18,8052 23,0362 ZNWH 17,9435 8,5858 3,1791 3,4241 3,1496 6,2978 10,5096 10,6856 8,5875 15,1359 14,9306 19,4969 24,0667 KNWH 17,2942 8,8143 3,5193 3,5315 3,1838 6,1805 10,0645 10,1592 9,0074 14,5775 14,3669 18,7123 23,0340 LM NAH 17,0399 6,1268 2,1612 2,8982 2,8199 6,0685 10,1774 9,4453 6,0612 14,1709 13,6096 18,5734 22,7796 ALM NH 17,2497 5,3757 1,7476 2,8471 2,6130 6,3313 10,2863 9,6153 5,6447 14,4849 13,8202 19,0367 22,8100 ZNAH 17,7326 6,1215 2,1212 2,9664 2,7410 6,2508 10,5415 10,0695 6,3397 14,9873 14,4196 19,5658 23,7505 KNAH 17,3042 6,2798 2,1036 2,9545 2,7858 6,1866 10,3151 9,7187 6,3753 14,5883 13,9947 19,0175 23,1570
forts. Tabell B.16: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med ickesymmetriska fördelningar: n=30
χ2(10) HN(0,1) G(4,1) Gu(0,1) G(3,1) G(2,1) exp(1) P(1,100) P(1,10) LogL LM N 29,3549 35,5953 34,7045 39,3408 42,2965 55,5500 78,4039 80,1076 86,3726 75,8533 ALM N 27,2133 30,7053 31,9714 36,9987 38,9072 50,9522 73,0085 75,1061 82,3075 73,6278 Z2 28,9199 33,4388 34,0709 38,8436 41,2669 53,4250 75,0981 76,9604 83,7989 74,8831 K 28,9333 34,6704 34,0949 38,8563 41,6188 54,6131 77,5606 79,3470 85,8564 75,3950
2A 28,3137 47,4869 34,0560 36,8831 44,0456 60,3928 88,0355 89,4116 92,8451 76,1832
2W 24,5187 40,0856 29,7645 32,7025 38,6547 53,8991 83,7578 85,2902 90,1498 72,9500
D 19,5615 29,1731 23,3748 25,6762 29,3150 41,4741 71,5208 72,3133 80,4700 62,9144
rF 31,1384 48,7976 37,1158 40,8667 47,0946 63,7223 89,0394 90,0221 93,7167 78,4949 r 29,9117 44,2673 35,4698 39,7874 44,8792 60,9938 87,1462 88,3454 92,3756 77,4945 W 34,3885 59,3041 40,8507 42,5260 51,9162 69,4873 92,4809 93,2400 95,4779 80,0666
W~ ′ 31,4066 49,9724 37,4293 40,9768 47,5694 64,1765 89,5244 90,6117 93,9881 78,6844
W~
29,2859 58,5916 35,9368 36,1289 47,0611 66,2074 91,3456 92,1435 94,5581 75,9107
P 5,5645 6,9071 6,5048 6,1608 6,4693 7,0571 10,1104 9,7872 11,2601 9,6927 G1 5,8029 7,2906 6,6330 5,9285 6,8273 7,2036 8,8936 8,9347 9,1790 8,0352 G2 5,6349 6,9317 6,3704 5,9594 6,2639 7,1893 9,4387 9,1239 9,9623 8,5219 rS 5,6944 7,7492 6,8843 6,4644 7,0843 8,5591 13,7886 13,7136 16,4734 12,4838 GQ 7,6746 7,1110 7,8819 9,1350 9,3343 10,4877 15,5374 15,8411 18,5322 19,0564 LM H 8,2863 7,3852 9,2231 10,4413 10,1166 12,5424 17,9793 18,7873 22,9564 24,5701 WH 5,4316 5,9028 5,4998 5,0468 5,4731 5,4247 5,8192 5,7574 5,5720 5,4821 ALM H 8,1670 6,8816 8,0069 9,6362 9,5432 11,1421 16,3639 16,6910 20,6955 22,4487 LM NH 27,5515 31,7342 32,4058 37,2452 39,7101 52,0383 75,4342 77,5025 84,5575 74,8702 ANLM H 26,6001 29,2385 31,3089 36,2391 38,0526 49,5821 72,0934 74,3539 81,8824 73,2813 ZNLM H 27,8532 31,3413 32,8278 37,7510 40,1898 51,9481 73,8611 76,1571 83,3032 74,7320 KNLM H 27,6277 31,5644 32,3380 37,2637 39,6996 52,0631 75,3137 77,4217 84,4650 74,8848 LM NWH 25,4264 29,2816 29,8479 34,2303 36,8341 48,2690 72,0587 73,9050 81,6951 72,4761 ANWH 26,2766 28,8157 30,3063 35,2865 37,4234 48,5525 71,5236 73,6716 81,3752 72,9817 ZNWH 27,3042 30,6787 31,4126 36,2823 38,8097 50,2172 72,8135 74,8825 82,1515 73,6751 KNWH 25,9419 29,8519 30,5027 35,0432 37,5241 49,3014 72,6956 74,7359 82,2330 73,0654 LM NAH 25,6155 28,2461 29,8701 34,6213 36,8117 48,6578 71,8645 73,8057 81,5331 72,8902 ALM NH 26,0016 27,8373 30,2566 35,1913 36,8394 48,3978 70,6493 72,8267 80,6398 72,7419 ZNAH 26,7640 29,3378 31,2004 35,9191 38,1115 49,8230 71,8983 74,1312 81,4242 73,5169 KNAH 26,2500 29,0814 30,5190 35,1758 37,5515 49,5447 72,5680 74,6138 81,9797 73,2948
109
Tabell B.17: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med symmetriska fördelningar: n=40
B(.5,.5) Tu(1.5) Tu(0.7) Tu(3) B(2,2) Tu(0.25) B(6,6) B(60,60) t(20) t(10) t(4) t(3) t(2) LM N 4,0102 0,2139 0,0917 0,0698 0,1459 0,8238 1,0839 4,5809 10,7811 17,9352 45,1251 60,4847 80,5986 ALM N 0,1439 0,0438 0,0351 0,0300 0,0841 0,7557 0,9328 4,4984 11,1721 18,5467 46,0763 61,7010 81,7108 Z2 0,2774 0,0491 0,0542 0,0458 0,1382 0,8558 1,0664 4,5467 10,6484 17,7596 44,0942 59,1310 79,2786 K 8,5670 0,2933 0,0905 0,0604 0,1336 0,8507 1,0770 4,5829 10,8479 18,1141 45,3943 60,8101 80,9431
2A 88,0035 40,6201 18,8234 8,7891 8,2420 4,1243 4,2709 4,9968 6,6137 11,2049 35,2977 51,5262 76,8019
2W 77,3929 30,4597 14,6128 6,8932 7,1005 4,3424 4,2932 5,0797 6,2533 9,9178 32,2251 48,4505 74,8480
D 55,2754 18,4107 9,8123 5,4690 5,7052 4,3742 4,3596 5,0458 5,9759 8,1849 25,5976 40,5076 66,9987
rF 80,0016 24,2319 7,7789 3,3962 2,5834 1,8237 1,7921 4,3795 9,3548 15,8965 43,4378 59,3383 80,9680 r 66,6100 13,0100 3,6228 1,4715 1,2443 1,4418 1,4772 4,5317 9,8590 16,8521 45,3130 61,3250 82,0763 W 96,8685 68,3521 37,0990 21,2379 14,2970 4,7563 4,8771 4,8155 6,8224 11,3093 32,9964 47,9839 72,8145
W~ ′ 83,2257 28,6358 9,8093 4,1573 3,2222 1,9961 2,0538 4,5613 9,1370 15,6668 43,0853 58,8643 80,7540
W~
98,4930 80,4554 52,3769 33,5603 22,7122 6,7968 6,7874 5,0371 5,1279 7,1001 22,5310 35,4395 61,0172
P 4,9642 4,9346 4,7067 4,7181 4,5488 4,8682 4,8542 4,3949 5,0084 4,6344 4,8963 5,1641 6,6912 G1 10,2989 7,7821 6,6111 5,9980 5,6115 5,4500 5,3225 5,3130 5,0586 4,6673 4,9629 5,3612 6,0008 G2 7,4955 6,2710 5,9512 5,4703 5,5921 5,3249 5,0883 5,2558 5,2150 4,6320 5,1806 5,6817 6,7903 rS 5,5199 4,8048 4,7298 4,6498 4,8400 4,5600 4,8048 4,3201 4,9348 4,7596 5,0547 5,3297 7,3898 GQ 0,8237 1,1432 1,6135 2,0284 2,8255 3,8025 4,2454 5,7019 6,8914 7,8467 13,0567 16,8095 24,3040 LM H 0,4070 0,8631 1,2763 1,7067 1,8768 3,2786 3,8325 5,4008 6,4266 7,5833 14,4879 19,6642 29,8794 WH 9,0299 6,8504 6,0196 5,5875 5,3950 4,8094 5,1820 4,8842 5,2071 4,4845 4,8415 4,9608 5,2508 ALM H 0,6950 1,1568 1,5965 2,0595 2,2194 3,6039 4,3025 5,7606 6,7128 7,7773 14,0335 19,1270 29,1025 LM NH 0,3621 0,1996 0,2004 0,2448 0,3453 1,0117 1,3211 4,4596 10,4529 17,5933 44,3740 59,4801 80,0147 ANLM H 0,0812 0,0759 0,0762 0,0916 0,1652 0,8913 1,1214 4,5618 10,8710 18,3939 45,8503 61,3853 81,3003 ZNLM H 0,1736 0,1513 0,1547 0,1870 0,2898 1,1079 1,4511 4,7689 10,9152 18,0235 44,4564 59,0632 79,4813 KNLM H 0,6781 0,2432 0,2020 0,2428 0,3257 1,0152 1,3309 4,6250 10,7509 18,2116 45,1830 60,3785 80,5836 LM NWH 14,0547 6,0466 3,8468 2,8886 2,9277 2,3429 2,6553 5,0067 9,8563 15,8268 41,9282 56,7796 78,2517 ANWH 8,6187 2,9419 1,9118 1,5043 1,5115 1,4665 1,8726 4,6364 10,4499 17,1762 44,0903 59,3052 80,0394 ZNWH 7,9680 3,7417 2,7971 2,2414 2,2943 2,1231 2,3617 4,8395 9,8772 15,7232 40,9176 54,8681 76,6109 KNWH 15,4861 6,0908 3,6469 2,6861 2,6193 2,1095 2,4596 4,8612 9,9571 16,2695 42,6322 57,3074 78,6674 LM NAH 0,5371 0,4987 0,5372 0,5906 0,8013 1,2861 1,7893 4,8744 10,0577 16,6874 43,5535 58,2247 79,1727 ALM NH 0,2342 0,2282 0,2688 0,3218 0,3919 1,0379 1,4148 4,7340 10,6504 17,8280 45,1551 60,4428 80,7751 ZNAH 0,3647 0,3686 0,4546 0,4706 0,5995 1,3335 1,8003 4,9765 10,2413 16,7733 42,8391 57,1908 78,1132 KNAH 0,5769 0,5121 0,5252 0,5319 0,6521 1,1962 1,6533 4,8400 10,2836 17,0150 43,9828 58,8918 79,6531 Anm: K-, KNLM H-, KNWH- och KNAH-testen har 1 ”missing value” för t(2).
Tabell B.18: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med ickesymmetriska fördelningar: n=40
W(10,1) B(2,1) B(3,2) W(4,1) W(3.6,1) G(120,1) G(24,1) W(2.2,1) Tri G(12,1) W(2,1) G(8,1) G(6,1) LM N 24,9160 12,6541 1,9915 2,4758 1,9442 6,9460 13,5444 13,5526 12,3479 21,1761 20,5138 28,3199 34,2416 ALM N 23,3129 8,0611 1,3453 2,2256 1,7618 6,9039 13,0121 12,0628 7,6444 19,5941 18,3611 26,3942 31,6964 Z2 25,1173 9,9257 1,7669 2,4588 1,9225 7,0804 13,8613 13,5483 9,7403 21,3132 20,5650 28,3032 34,4459 K 24,6201 11,9427 1,8476 2,4427 1,9050 6,9213 13,4326 13,2208 11,7269 20,7659 20,0457 27,9263 33,7476
2A 22,1011 50,3409 11,5420 4,6097 4,1908 6,2114 11,6125 14,6704 49,1012 18,4178 22,2809 25,5633 31,9885
2W 19,4428 42,0449 10,1124 4,6821 4,4610 5,8560 10,4265 13,0135 41,6854 16,3507 19,0488 22,3556 27,9919
D 15,7318 30,7876 8,6956 4,6195 4,3629 5,8966 9,2589 11,6677 31,0943 14,1038 15,8915 18,2590 22,6603
rF 24,9422 41,7911 5,8264 2,9912 2,5752 6,3320 13,2378 14,9806 41,5226 20,5784 23,4981 28,9255 36,0724 r 24,2272 32,7200 4,1896 2,8241 2,3234 6,4120 12,9198 13,4291 33,4786 19,9529 21,3362 27,8210 34,5209 W 25,8554 67,1080 17,4734 4,5263 3,9951 6,2824 13,5353 20,3387 66,7530 21,9665 30,7642 30,9608 39,1646
W~ ′ 25,3842 44,5765 6,6987 3,1261 2,6589 6,4674 13,4444 15,5331 44,5505 21,0040 24,5325 29,5617 36,7838
W~
21,5415 72,4181 23,1505 5,4391 5,1387 6,0095 11,0564 19,5001 72,2938 18,2408 28,9353 26,2445 34,2458
P 5,0399 5,7827 4,8077 4,8568 4,7780 4,7065 4,8405 5,0089 5,6029 5,0112 5,1721 5,3353 5,7062 G1 5,6424 7,0887 6,0310 5,2108 5,2194 5,1113 5,6871 5,7280 7,3741 5,5390 5,8928 5,7794 6,3289 G2 5,8486 6,5860 5,4859 5,2267 5,1823 5,1157 5,7972 5,6254 6,8054 5,4796 5,9444 5,6905 6,2225 rS 5,3247 6,5898 4,8948 4,6000 4,6100 4,9300 4,8798 4,9763 6,2699 5,2876 5,3400 5,4700 6,0999 GQ 7,4562 3,8509 3,3731 4,4981 4,3734 5,7401 5,7440 5,3712 3,7935 6,9268 6,0329 7,8323 7,5263 LM H 7,2340 3,0868 3,1477 4,0459 3,9898 5,3853 6,1014 5,3540 3,2071 6,8195 6,0672 7,6821 8,4666 WH 5,2337 5,9804 5,6875 4,7055 4,6814 5,0571 5,2418 5,2049 5,8266 4,9965 5,3492 5,1928 5,4203 ALM H 6,7687 3,3837 3,3133 4,3581 4,1957 5,3264 6,0928 5,3186 3,3661 7,0552 5,9359 7,3584 8,3345 LM NH 22,5219 8,4333 1,7586 2,1599 1,8910 6,5501 12,6151 11,7257 8,2271 19,4949 17,7406 25,6608 31,6426 ANLM H 21,8645 6,2852 1,3290 2,1436 1,7519 6,4987 12,6240 11,2027 6,0281 18,9734 16,7450 25,1597 30,5008 ZNLM H 24,1917 8,2140 1,8848 2,5278 2,0619 7,0922 13,6031 12,9814 7,8782 20,8718 19,2678 27,4304 33,1444 KNLM H 22,9795 8,7707 1,8038 2,2203 1,9538 6,7432 12,9198 12,0036 8,4233 19,8031 18,1970 26,2675 32,1376 LM NWH 21,0926 10,7431 3,9462 3,1448 2,8473 7,0704 12,0958 11,9889 10,7467 18,3006 17,3826 24,5919 29,9754 ANWH 21,0678 7,7300 2,4671 2,4482 2,1319 6,6903 12,0227 11,2755 7,8212 17,9228 16,4343 24,3672 29,5128 ZNWH 22,2120 10,1559 3,6642 3,0001 2,6962 6,9783 12,8057 12,5127 10,1607 19,0530 18,2409 25,7469 31,4472 KNWH 21,1305 10,5954 3,7907 2,9373 2,6410 6,9311 12,1596 11,8325 10,4471 18,2729 17,3993 24,7313 30,1371 LM NAH 20,9788 7,2278 2,1349 2,4626 2,1752 6,5250 12,0718 11,0929 7,1208 18,0090 16,4851 24,3020 29,5732 ALM NH 21,0109 5,7870 1,5315 2,2090 1,9708 6,5060 12,1613 10,6748 5,6181 18,1485 16,0663 24,3510 29,1923 ZNAH 22,4157 7,1901 2,1472 2,5542 2,2641 6,6065 12,8630 11,8937 7,0066 19,1094 17,4204 25,7147 31,1577 KNAH 21,0443 7,1583 1,9770 2,3731 2,1587 6,5430 12,0708 11,0893 6,9912 18,1885 16,5295 24,4367 29,7585
110
forts. Tabell B.18: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med ickesymmetriska fördelningar: för n=40
χ2(10) HN(0,1) G(4,1) Gu(0,1) G(3,1) G(2,1) exp(1) P(1,100) P(1,10) LogL LM N 37,8704 48,6414 44,6372 50,8576 54,4643 69,7679 91,4086 91,9344 95,6332 87,8117 ALM N 34,8765 42,2202 40,7849 48,0442 50,2675 64,6130 87,4252 88,1018 93,1650 85,8985 Z2 37,4550 46,0390 43,9352 50,5687 53,3919 67,6598 89,4450 89,8583 94,2907 87,1771 K 37,4458 47,6364 44,0246 50,3183 53,8015 68,9522 90,9432 91,4729 95,3811 87,4647
2A 37,1239 64,5781 45,9699 48,1665 57,2091 76,2404 96,5182 97,0402 98,4003 87,4471
2W 32,3766 55,5962 40,3057 43,9690 50,4193 69,3594 94,1524 95,0586 97,5157 84,4142
D 25,9229 41,4312 31,5225 34,8046 38,8739 55,4313 85,6538 86,9120 92,4976 76,3521
rF 40,5036 67,0078 49,0097 53,1297 61,0747 78,9021 97,1316 97,4046 98,6605 89,7634 r 38,6526 61,8727 46,5299 51,6088 58,2800 76,0419 96,1491 96,7216 98,1442 88,8953 W 45,5590 79,0710 54,5550 54,7881 67,5409 85,0647 98,3059 98,4347 99,1405 90,6863
W~ ′ 41,5159 68,7797 49,9921 53,8035 62,0348 80,0577 97,3249 97,5939 98,8192 90,0814
W~
40,6948 78,5955 50,1139 48,3956 63,3755 82,8506 97,9538 98,1267 98,7272 87,9780
P 5,9951 6,8454 5,6731 6,0951 6,1879 7,0517 9,8312 9,5662 10,8046 10,0307 G1 6,4664 8,1332 6,2436 6,3517 7,1215 7,7292 9,4032 9,0787 9,5310 8,2916 G2 6,4837 7,9147 6,3754 6,4935 7,2333 7,9147 10,0243 9,9996 10,5589 9,2480 rS 5,8899 8,1997 6,2299 6,1895 7,3898 8,7396 14,4291 14,5490 17,4135 12,6392 GQ 8,5139 8,4373 8,8636 10,6506 10,4601 12,3857 16,4617 17,7824 21,1300 21,9513 LM H 8,8360 8,0789 8,9655 11,5176 10,6670 13,1876 19,1977 19,9747 25,0047 26,3545 WH 5,2583 6,0128 5,2309 5,6501 5,5953 5,6515 6,1448 5,9381 5,8824 6,0170 ALM H 8,5272 7,9076 9,0039 11,2854 10,5483 12,5964 18,1026 18,8762 23,4396 25,5520 LM NH 34,7249 42,5933 40,5246 47,6608 50,1934 65,0350 88,2544 89,0695 93,8995 86,2916 ANLM H 33,4584 39,2169 38,8571 46,1236 48,2439 62,3516 85,8668 86,8641 92,2138 85,2305 ZNLM H 36,1961 43,0772 41,9682 49,4344 51,4041 65,8779 87,8678 88,4590 93,5719 86,7817 KNLM H 35,2704 43,2131 40,9924 48,2102 50,8669 65,6434 88,7343 89,5067 94,2072 86,5647 LM NWH 32,6786 40,5901 38,8146 45,4427 47,8890 62,5730 86,3764 87,5832 92,4832 84,8674 ANWH 32,1747 38,6650 37,9878 45,1145 47,1632 61,2206 85,0382 86,2402 91,5230 84,6291 ZNWH 33,9832 41,3620 40,1086 47,1643 49,2554 63,5501 86,0794 87,3929 92,1915 85,4295 KNWH 32,8463 40,7296 38,9005 45,7879 48,0999 62,7373 86,5135 87,6770 92,5870 84,9985 LM NAH 32,6195 39,0980 38,3641 45,1992 47,7063 61,7087 85,8707 86,8457 92,2162 84,7847 ALM NH 32,4083 37,5134 37,5482 44,9696 46,8399 60,4705 84,3400 85,4615 91,1381 84,5495 ZNAH 34,2097 40,1625 39,6750 46,6962 48,9296 62,7465 85,6011 86,7773 91,9734 85,4185 KNAH 32,8457 39,4582 38,5058 45,4423 47,9533 61,9272 85,9852 86,9958 92,3186 84,9178
Tabell B.19: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med symmetriska: n=50
B(.5,.5) Tu(1.5) Tu(0.7) Tu(3) B(2,2) Tu(0.25) B(6,6) B(60,60) t(20) t(10) t(4) t(3) t(2) LM N 29,3734 1,2339 0,1750 0,1000 0,1015 0,6613 0,8186 4,2247 11,2350 20,4748 52,0023 67,5344 87,2252 ALM N 6,4761 0,0894 0,0472 0,0387 0,0394 0,5187 0,7411 4,2042 11,5611 21,2443 53,1393 68,8074 87,9961 Z2 0,6803 0,0890 0,0596 0,0558 0,0594 0,6139 0,8482 4,1330 10,7416 19,6258 50,2840 65,4945 85,6905 K 39,2861 2,4447 0,3065 0,1141 0,1031 0,6449 0,8200 4,2192 11,3222 20,6553 52,3829 67,8342 87,4138
2A 95,8193 56,2885 27,7333 12,9152 11,1228 4,4528 4,4205 4,5906 7,2681 11,9721 40,0537 58,9731 84,0640
2W 89,1676 42,4823 20,8699 8,9885 9,2981 4,5254 4,4276 4,5519 6,6413 10,5109 36,7206 55,8329 82,7601
D 69,5535 25,4213 12,9481 6,4671 6,9155 4,2580 4,4359 4,5613 6,1861 8,4421 29,1027 46,7493 75,3416
rF 93,1808 42,6198 14,9880 5,4074 3,6362 1,6863 1,7804 4,2829 10,1729 18,6909 50,5746 67,6533 87,9532 r 84,8908 24,4871 6,2484 1,9677 1,3383 1,1721 1,2811 4,2831 10,5634 19,5879 52,1022 69,1862 88,7204 W 99,4649 86,1380 56,9425 36,1338 22,3186 6,4384 5,5447 4,5021 6,4415 10,6476 35,8313 52,7759 78,7779
W~ ′ 94,6393 47,8499 18,4898 7,0595 4,6550 1,8300 2,0372 4,3557 10,1287 18,3150 50,1421 67,1888 87,6463
W~
99,6819 91,9254 69,1805 48,9777 30,9848 9,1177 7,8865 4,6294 4,9289 6,9097 25,6182 40,8302 69,5693
P 5,7227 5,5259 5,2878 5,0332 5,0839 5,0927 4,7967 4,9944 4,7063 4,8593 5,2388 5,5467 7,2378 G1 9,3369 7,0795 6,3557 5,7326 5,5855 5,2440 4,6195 4,8051 4,6369 4,6960 5,1114 5,3741 6,3570 G2 7,5501 6,2286 5,9156 5,4612 5,4642 5,2748 4,5998 4,5780 4,5790 4,9380 5,3678 6,0238 6,9050 rS 6,4244 5,4871 5,4663 5,2700 5,2147 5,5230 4,6398 4,7100 4,8748 5,2000 5,2297 6,1299 8,2494 GQ 0,4944 0,9638 1,4881 1,8691 2,1755 3,5897 3,7077 4,5341 6,0650 6,9410 13,3429 18,1819 25,6298 LM H 0,2994 0,6924 1,2162 1,7616 1,8021 3,4360 3,4787 4,9422 6,1744 8,0346 15,5800 20,7599 30,5289 WH 8,8679 6,4871 5,9454 5,7481 5,6639 5,7064 5,0586 5,0946 4,8050 4,8574 5,3100 5,1335 5,3762 ALM H 0,3982 0,9832 1,4243 1,8528 2,1488 3,6771 3,4245 4,6872 5,7762 7,3475 14,3492 19,0849 28,9755 LM NH 1,6655 0,4517 0,4241 0,3968 0,3719 1,0827 1,1437 4,4637 10,8847 20,4120 51,1576 67,0452 86,9200 ANLM H 0,3451 0,1586 0,1677 0,1829 0,1823 0,8194 0,8365 4,3523 11,1861 20,9883 52,4149 68,5929 87,7582 ZNLM H 0,2329 0,2071 0,2368 0,3089 0,2675 1,0581 1,1273 4,3562 10,6075 19,7698 49,2667 65,1547 85,2506 KNLM H 3,0269 0,4356 0,3867 0,3515 0,3203 1,0257 1,0467 4,4009 10,8769 20,4590 51,4635 67,3830 87,1302 LM NWH 19,7037 7,3102 4,8260 3,6617 3,2542 2,7080 2,3766 4,7119 9,6248 17,3506 47,1968 63,7699 84,6967 ANWH 14,6613 4,8458 3,0912 2,3694 2,1148 1,9047 1,7347 4,5610 10,3863 19,0352 50,1625 66,1751 86,4384 ZNWH 9,3251 4,6934 3,5765 2,9798 2,6960 2,4446 2,3589 4,5182 9,3570 16,6035 44,9057 60,9443 82,0001 KNWH 21,9943 7,7182 4,8158 3,4842 3,0976 2,5371 2,2471 4,6550 9,7792 17,6020 47,9106 64,3728 85,1754 LM NAH 0,7090 0,5216 0,5786 0,6343 0,6132 1,4870 1,4600 4,4296 10,4937 19,1848 49,5338 65,7781 86,0008 ALM NH 0,3189 0,3041 0,3589 0,3696 0,3573 1,1844 1,1495 4,5507 11,1815 20,4891 51,9181 67,9631 87,3117 ZNAH 0,2759 0,3815 0,4637 0,5506 0,5288 1,4613 1,3748 4,4192 10,2051 18,6137 47,5675 63,6948 84,1658 KNAH 1,0686 0,5209 0,5395 0,6018 0,5680 1,4335 1,3001 4,4012 10,6248 19,4604 50,1138 66,3798 86,2460 Anm: K-, KNLM H-, KNWH- och KNAH-testen har 1 ”missing value” för t(2).
111
Tabell B.20: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med ickesymmetriska fördelningar: n=50
W(10,1) B(2,1) B(3,2) W(4,1) W(3.6,1) G(120,1) G(24,1) W(2.2,1) Tri G(12,1) W(2,1) G(8,1) G(6,1) LM N 29,1510 19,1590 1,9746 2,1496 1,6591 7,6423 15,1809 16,9102 19,0652 24,4430 26,1731 33,3280 41,8464 ALM N 27,5983 11,1978 1,3501 2,0199 1,6592 7,5569 14,4554 15,0257 11,7670 23,1647 23,4073 31,2726 39,2166 Z2 29,4539 14,5197 1,7526 2,1138 1,6070 7,7173 15,3512 16,8747 14,7288 24,7571 25,7904 33,5922 41,5304 K 28,8634 18,7265 1,9476 2,1141 1,6720 7,6787 15,1007 16,5869 18,6637 24,2540 25,7930 32,9732 41,4919
2A 26,3682 63,8110 14,5251 4,9522 4,3905 6,4265 12,6082 18,3251 63,8757 21,6010 28,4900 30,6938 39,7496
2W 23,3211 54,2726 12,5271 4,8584 4,4736 6,1521 11,2364 16,1874 54,0464 19,3107 23,6799 26,6531 34,5937
D 18,7046 39,6069 10,4005 4,3668 4,1641 5,6630 10,0093 13,7760 40,3563 15,7949 19,3452 21,5094 27,0472
rF 30,7133 58,6874 7,9734 2,9690 2,3568 7,2053 15,1496 19,9889 58,6574 25,4322 32,2459 36,3932 45,5178 r 28,9616 47,3258 5,1218 2,6723 2,1511 6,9062 14,3454 17,4352 47,3355 23,8388 28,4282 33,7928 42,5997 W 30,9743 82,4293 25,3241 5,5081 4,9530 6,8230 14,4822 26,4305 83,4336 25,9878 40,1371 37,8076 47,9416
W~ ′ 31,1254 61,9555 9,3027 3,0774 2,4276 7,3422 15,3132 20,8872 61,8370 25,8021 33,3971 37,0358 46,4415
W~
26,9774 85,6815 31,6127 6,5639 6,4735 6,2365 12,3742 25,4718 86,1728 22,4891 38,4909 33,5338 43,4152
P 5,7325 6,0011 5,3024 5,3020 5,2069 5,0879 4,9474 5,2092 6,0306 5,5450 5,4845 5,2611 5,8600 G1 6,0088 6,8207 5,8925 5,2620 5,1550 5,0672 4,9572 5,5911 7,2528 5,4654 5,9348 5,5165 5,6149 G2 6,3161 6,6127 5,3500 5,3144 5,2882 4,9990 5,2013 5,6080 6,7610 5,6660 5,9823 5,6005 5,7303 rS 6,2062 7,0261 5,3500 5,4621 5,4346 5,2900 5,4447 5,9399 7,3945 5,8435 6,1799 5,7547 6,0499 GQ 7,2362 3,3692 3,1792 4,5116 4,3959 5,2526 5,8176 5,1543 3,3568 6,5222 5,8674 7,1781 7,8652 LM H 7,3260 2,7588 2,9930 4,5261 4,1812 5,1553 5,7433 5,2813 2,8207 6,7421 6,0185 7,0440 7,9870 WH 5,6516 5,3553 5,6071 5,6775 5,8032 5,1301 5,2832 5,6811 5,9195 5,2331 5,8344 4,9811 5,1463 ALM H 7,0762 3,0665 2,9802 4,5270 4,4345 5,0811 5,3967 5,0681 2,9344 6,5218 5,6491 7,0170 7,7615 LM NH 26,9479 11,5624 1,8416 2,4772 2,1434 7,3225 14,0422 14,9181 12,2366 22,8436 23,2099 30,3535 38,6972 ANLM H 25,7924 8,1421 1,2520 2,0966 1,7849 7,2258 13,7265 13,7838 8,7664 21,9281 21,5385 29,2538 37,2686 ZNLM H 27,4906 10,1506 1,7609 2,5147 2,0594 7,3420 14,5731 15,4169 10,6860 23,5032 23,6088 31,2019 39,4116 KNLM H 26,7701 11,2783 1,7425 2,3172 1,9966 7,3588 14,0694 14,6519 11,8734 22,7437 22,9219 30,2048 38,5486 LM NWH 24,1447 12,3372 3,9194 3,3685 3,3120 7,0273 13,2331 13,8505 13,0901 20,5708 21,0142 27,3278 34,9113 ANWH 24,4689 9,9141 2,7805 2,6232 2,6594 6,9213 13,2851 13,5943 10,5386 20,9773 20,6360 27,7026 34,8599 ZNWH 25,0129 11,8244 3,6412 3,2127 2,9873 6,8808 13,7252 14,5507 12,3976 21,3636 21,8858 28,3001 35,9380 KNWH 24,3094 12,2946 3,7567 3,1784 3,1145 6,8929 13,3374 13,8116 12,9399 20,8119 21,0247 27,4795 35,0557 LM NAH 24,8214 9,0148 2,1123 2,7098 2,3727 6,7584 13,3581 13,6733 9,6327 21,3742 21,1616 28,1459 36,2667 ALM NH 25,2869 7,4337 1,4517 2,4649 2,1788 7,1716 13,4575 13,4266 8,0762 21,6602 20,6648 28,3775 36,2772 ZNAH 25,8579 8,4363 1,9704 2,6773 2,2858 6,9573 13,8855 14,2801 8,8273 22,0801 22,0461 29,2094 37,3300 KNAH 25,0316 8,9582 1,9489 2,6148 2,2709 6,7658 13,3351 13,6473 9,5506 21,5061 21,1703 28,1934 36,3926
forts. Tabell B.20: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med ickesymmetriska fördelningar: n=50
χ2(10) HN(0,1) G(4,1) Gu(0,1) G(3,1) G(2,1) exp(1) P(1,100) P(1,10) LogL LM N 46,5434 60,8352 54,4556 60,3025 65,4335 80,4322 96,6570 97,4735 98,8160 93,6175 ALM N 43,1241 53,5924 51,0079 57,6057 60,8566 76,2385 94,5936 95,6716 98,0448 92,3400 Z2 45,8613 57,4399 53,5844 59,8010 63,7612 78,3840 95,5905 96,5998 98,5248 93,0570 K 45,9418 60,0884 53,9871 59,7644 64,9334 80,0484 96,5615 97,4024 98,7952 93,4625
2A 45,8165 77,8788 54,8669 58,1634 68,2174 85,9997 99,0363 99,2819 99,7215 93,2979
2W 39,9560 68,0875 48,4663 52,5329 60,9936 80,1132 97,9435 98,4219 99,2438 91,2077
D 30,8116 51,1646 37,5692 41,4870 47,4422 65,7134 93,0337 93,7236 96,9506 84,5893
rF 51,6577 81,8544 60,6735 64,0647 73,4114 89,2236 99,3015 99,5028 99,7457 95,1958 r 48,3610 76,2341 57,2536 61,7551 69,7177 86,4111 99,0393 99,2146 99,6701 94,6122 W 55,2078 90,2163 65,2344 64,7863 78,3067 92,8534 99,6044 99,6876 99,8211 95,5263
W~ ′ 52,4989 83,1897 61,7739 64,7293 74,3578 89,8231 99,3334 99,5725 99,8004 95,3253
W~
50,8927 89,6829 61,5872 59,6924 75,3376 91,5912 99,4955 99,5089 99,7207 94,1380
P 5,9474 7,0395 5,9495 6,6319 6,8437 7,2940 11,1600 11,0888 13,0569 11,2852 G1 6,3167 7,3941 6,1400 6,6400 7,1508 7,8677 9,9352 10,0255 10,5151 8,8023 G2 6,4977 7,5239 6,2912 6,7071 7,6874 8,0785 10,3878 10,7345 11,4505 9,6343 rS 7,0098 8,5796 6,6898 7,4545 8,4913 9,2596 16,5118 16,5188 19,7385 14,3338 GQ 8,4939 7,4482 8,5539 10,7711 10,3477 12,0784 17,4573 18,0789 21,7159 23,3626 LM H 8,6799 8,0911 9,1431 11,8323 10,8734 12,7663 19,7098 20,3948 25,2270 27,3265 WH 5,3331 5,5533 5,0924 5,9399 5,9147 5,7936 6,0598 6,0856 6,1961 6,1558 ALM H 8,2160 7,7576 8,3639 10,6921 10,0901 11,5865 18,1931 18,6836 23,1810 25,7553 LM NH 42,6784 53,7595 50,1557 57,1388 60,3607 76,1505 94,6978 95,5356 98,1448 92,4418 ANLM H 40,7395 49,4288 48,3502 55,5102 57,9037 73,6384 93,3592 94,1952 97,3564 91,7999 ZNLM H 43,1235 52,3772 50,3375 57,4257 60,0886 75,4207 93,9655 94,7042 97,6665 92,4034 KNLM H 42,3973 53,4177 49,9751 56,9207 60,1783 75,9688 94,6200 95,4260 98,1400 92,4236 LM NWH 38,6759 48,5845 46,0420 53,0981 56,1333 71,6452 92,8444 93,5819 97,0943 91,1429 ANWH 38,8377 46,9064 45,9119 53,4393 55,9248 71,0779 92,0104 93,0100 96,7624 90,9891 ZNWH 39,6933 48,4436 47,0505 54,1489 57,0004 71,9632 92,0967 93,0451 96,7188 91,3683 KNWH 38,9076 48,6587 46,2691 53,4656 56,3209 71,9208 92,9242 93,6482 97,1380 91,2063 LM NAH 39,7655 49,1457 47,1092 54,4232 57,2305 73,1874 93,1933 94,0440 97,2763 91,4602 ALM NH 39,6226 47,7774 46,8382 54,2901 56,7094 72,1766 92,4036 93,3808 96,9856 91,2956 ZNAH 40,8688 48,8385 47,9934 55,2021 57,7679 72,8654 92,5198 93,4486 96,8868 91,5753 KNAH 39,8970 49,1325 47,1562 54,4179 57,3921 73,2302 93,2250 94,0903 97,3330 91,4830
112
Tabell B.21: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med symmetriska fördelningar: n=100
B(.5,.5) Tu(1.5) Tu(0.7) Tu(3) B(2,2) Tu(0.25) B(6,6) B(60,60) t(20) t(10) t(4) t(3) t(2) LM N 99,8970 83,4160 39,1505 11,3459 5,2890 0,4073 0,3432 4,1577 14,9879 30,9859 75,8586 89,7430 98,5399 ALM N 99,6300 67,8555 20,9119 3,9123 1,4872 0,1830 0,1899 4,1275 15,2291 31,4893 76,4491 90,3700 98,6083 Z2 51,0800 4,3580 0,7994 0,1671 0,1489 0,2859 0,3257 4,1812 14,2361 29,0351 73,3609 88,1245 98,0446 K 99,9140 85,7074 42,8436 13,1183 5,9832 0,4617 0,3697 4,2189 15,0795 31,1525 75,9896 89,9029 98,5555
2A 100 95,8770 71,7663 37,8405 28,7575 6,0691 5,3195 4,9873 7,7643 16,3290 64,1457 84,6235 98,3288
2W 99,9500 87,2118 54,8663 22,4944 21,4780 5,6681 5,1798 4,9579 7,1286 14,2817 59,2379 82,0752 97,9276
D 98,5720 63,4969 32,8376 12,5511 13,4364 5,0774 4,7992 4,8759 6,2871 10,9050 47,7659 72,6980 95,9810
rF 100 96,2693 66,5891 34,6957 16,5989 1,9330 1,6971 4,1578 13,7956 28,7864 75,2133 89,8870 98,7838 r 99,9870 88,4550 43,7820 16,2066 6,6410 0,8783 0,8689 4,2298 14,6462 30,6092 77,1855 90,9446 98,8922 W * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 100 97,3147 71,9682 40,6703 20,3476 2,3756 2,0191 4,1627 13,5839 28,1527 74,6245 89,6046 98,7384
W~
100 99,9527 98,7973 94,0885 75,6818 14,9073 12,1411 5,0443 4,6905 8,0385 42,8402 66,6726 93,2328
P 5,3400 5,1668 5,1005 5,2537 4,7799 5,2114 5,1202 4,8957 5,0776 4,8237 5,1685 4,9868 6,9816 G1 7,9000 6,6895 6,2203 5,6826 5,8851 5,5147 5,4300 5,4354 4,9558 5,0483 5,5689 5,9160 6,4764 G2 6,3680 5,8323 5,7031 5,4948 5,3324 5,4356 5,3047 5,0024 4,5837 4,6774 5,4887 5,5131 6,6476 rS 5,5030 5,0776 5,0421 4,9609 4,9343 5,0361 4,8691 4,6247 4,4569 4,9995 5,0212 5,3374 7,9395 GQ 0,1820 0,4658 0,8484 1,2884 1,7270 3,4614 3,2625 4,4931 5,7415 7,7058 15,3740 20,6458 29,5391 LM H 0,1420 0,4158 0,8119 1,3507 1,4889 3,4489 3,6876 5,2998 6,7613 8,8246 18,9885 26,3771 40,5644 WH 8,1450 6,1417 5,7286 5,4492 5,3902 5,3180 5,0646 4,9958 4,8105 4,8475 4,8886 4,7885 4,9810 ALM H 0,1190 0,4277 0,9473 1,4066 1,5186 3,2084 3,4217 5,2689 6,4135 8,1599 17,6595 25,1114 39,3049 LM NH 97,5070 39,6440 9,1541 2,4810 1,4720 0,9373 0,9030 4,5125 14,7779 29,6128 74,5469 88,9808 98,3122 ANLM H 95,0270 26,0557 4,4251 0,9652 0,6718 0,5046 0,5861 4,4186 15,0157 30,4193 75,5428 89,6499 98,4683 ZNLM H 4,7070 1,0017 0,6246 0,5590 0,6119 0,9289 0,9492 4,6273 13,8902 27,8245 71,3632 86,9533 97,7923 KNLM H 98,2590 45,7666 11,3874 2,9231 1,5648 0,8927 0,8396 4,4764 14,7545 29,7717 74,7409 89,1629 98,3534 LM NWH 89,0760 34,1879 15,1183 8,1307 5,9323 2,6227 2,4276 4,3538 12,5045 26,4644 71,0061 86,7542 97,9279 ANWH 87,9630 30,4969 12,4853 6,2025 4,6415 2,2346 1,9237 4,3246 13,5164 28,0504 73,0691 88,1012 98,1565 ZNWH 25,0770 11,5728 7,3279 5,0156 4,3229 2,6691 2,5378 4,4660 11,6244 24,1363 66,4903 83,1084 96,7906 KNWH 92,7440 38,3323 16,7255 8,5638 6,1260 2,5750 2,3675 4,3462 12,6830 26,8203 71,4386 87,0455 97,9658 LM NAH 94,1580 25,3056 5,0935 1,5670 1,2035 0,9470 1,1094 4,4019 14,0136 28,6037 73,5829 88,3656 98,1871 ALM NH 92,0140 19,3953 3,2087 1,0545 0,7993 0,7999 0,8759 4,4900 14,6916 30,1220 75,1740 89,3789 98,3682 ZNAH 2,9880 0,8922 0,7386 0,6638 0,7680 1,0558 1,1747 4,6881 13,4926 26,8906 70,2439 86,0817 97,5346 KNAH 96,4920 32,5415 6,9010 2,0146 1,3314 0,9434 1,0892 4,4487 14,3585 29,0531 74,0150 88,6474 98,2050 Anm: K-, KNLM H-, KNWH- och KNAH-testen har 1 ”missing value” för t(2).
Tabell B.22: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med ickesymmetriska fördelningar: n=100
W(10,1) B(2,1) B(3,2) W(4,1) W(3.6,1) G(120,1) G(24,1) W(2.2,1) Tri G(12,1) W(2,1) G(8,1) G(6,1) LM N 56,4997 83,7216 10,3483 1,5836 1,1173 9,6296 26,8449 36,3934 84,0219 46,9642 56,6168 62,1255 75,0513 ALM N 53,0576 71,7958 4,8857 1,3641 0,9352 9,1883 25,3022 31,6488 71,4797 44,1639 50,6542 58,2885 71,2302 Z2 57,2668 75,3545 7,0919 1,7021 1,1254 9,7124 27,6915 36,2132 75,3110 47,7530 56,4457 62,5829 75,0146 K 56,2479 84,1489 10,7826 1,5986 1,1326 9,6070 26,7861 36,2567 84,5237 46,7527 56,4001 61,8301 74,8061
2A 51,1717 96,9018 36,9366 5,9706 4,6915 8,2316 22,5893 39,3819 97,0453 41,4095 59,3878 57,4831 71,1794
2W 44,8872 91,1263 29,2118 5,7031 4,5940 7,4771 19,3007 31,8753 91,6377 35,8447 49,1337 49,8747 63,2819
D 36,0452 78,5255 21,6907 5,3923 4,3726 6,8703 15,9980 24,3248 78,3781 27,9641 36,7934 40,1589 50,5657
rF 58,8361 97,6335 28,1679 2,9085 2,0716 9,6165 27,5996 45,7671 97,8424 49,3877 68,1257 66,0971 79,1177 r 55,7169 94,3451 17,2100 2,2012 1,2578 9,2774 25,9357 39,6303 94,5688 46,2626 61,5654 62,6707 75,8985 W * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 59,6183 98,1502 31,8219 3,2251 2,4296 9,6930 27,9912 47,6267 98,2844 50,1355 69,8723 67,1279 80,0118
W~
53,9268 99,8378 72,6012 9,4033 8,7813 8,1806 23,8044 57,3248 99,7723 45,4505 78,0718 64,2170 78,6917
P 5,7003 5,9993 5,4449 5,4721 5,1027 5,1069 5,0641 5,8764 6,5402 5,5041 5,8620 5,4664 6,0399 G1 6,3799 7,5304 5,9727 5,4988 5,5478 5,6013 5,4813 6,0626 7,5713 5,8417 6,4614 6,2559 6,3153 G2 6,1672 6,8572 5,7706 5,5649 5,4656 5,3051 5,1411 5,9000 7,1533 5,6955 6,1728 6,0181 6,0115 rS 6,2144 7,2090 5,3894 5,0039 4,9416 5,3525 4,8794 5,6855 7,4420 5,5416 5,9818 5,4593 6,1627 GQ 6,9848 2,7602 2,4696 4,1054 3,9349 4,9171 5,2273 5,0668 2,8307 6,3196 5,8571 7,0231 7,3633 LM H 8,1599 2,4055 2,3329 4,3839 4,2461 5,6434 6,3489 5,7180 2,8360 7,3627 6,5164 8,1684 9,0474 WH 5,4132 5,3683 5,2795 5,2836 5,2511 4,7771 4,9209 5,2548 5,5300 5,0939 5,2792 5,1997 4,9896 ALM H 7,7546 2,4551 2,2588 4,1446 4,0499 5,2904 5,9864 5,3409 2,7241 6,4824 6,2467 7,6999 8,1849 LM NH 50,0472 58,7672 4,8603 1,9811 1,7088 8,9325 23,3528 29,7348 58,8690 42,3224 46,8849 56,3913 68,2528 ANLM H 48,2890 47,6462 2,9881 1,7005 1,3559 8,7524 22,6521 27,2430 47,5655 40,6788 43,4728 54,4828 65,9931 ZNLM H 51,4749 52,6390 4,1832 2,1430 1,7202 9,1316 24,6076 30,6919 52,8384 43,5868 47,5340 57,4601 69,1850 KNLM H 49,9888 59,8581 4,9116 1,9350 1,6535 8,9247 23,3244 29,5750 59,9909 42,1825 46,7308 56,2264 68,1713 LM NWH 44,8192 45,1718 7,2545 2,9567 2,6539 8,0361 20,3787 25,0491 45,1039 37,4903 40,7936 50,5261 62,2444 ANWH 44,9998 40,6154 5,9524 2,5464 2,2734 8,2355 20,7412 24,8224 40,5614 37,7159 40,1477 50,6107 62,1223 ZNWH 46,6845 43,5147 7,0042 3,1548 2,8490 8,3949 21,5193 26,9406 42,9989 39,2917 42,5076 52,3225 63,7658 KNWH 45,1364 46,8653 7,3327 2,9371 2,5857 8,1648 20,5598 25,2431 46,9567 37,7984 41,2781 50,8574 62,6663 LM NAH 47,6798 49,3789 3,8597 1,9617 1,6960 8,5660 22,0801 27,0552 49,2785 39,9920 43,4192 53,8286 65,6359 ALM NH 47,4359 42,1258 2,9274 1,7996 1,4941 8,6011 22,1992 25,9197 42,0907 39,7110 41,7812 53,1687 64,6670 ZNAH 49,4282 46,2215 3,7975 2,2661 1,8108 8,9429 23,3500 28,4670 45,8425 41,7032 44,7463 55,6260 66,8457 KNAH 48,1095 51,6626 4,1220 1,9564 1,6828 8,7018 22,3768 27,3655 51,7250 40,3997 43,9036 54,2112 65,8803
113
forts. Tabell B.22: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med ickesymmetriska fördelningar: n=100
χ2(10) HN(0,1) G(4,1) Gu(0,1) G(3,1) G(2,1) exp(1) P(1,100) P(1,10) LogL LM N 81,1436 97,5317 88,9389 90,7933 95,5506 99,5138 100 99,9880 100 99,8624 ALM N 77,8256 95,3902 86,1430 88,8641 93,5382 99,0914 100 99,9830 100 99,8415 Z2 81,0500 97,1578 88,7929 90,7070 95,3525 99,4737 100 99,9870 100 99,8606 K 81,0032 97,4711 88,7842 90,6456 95,4649 99,5007 100 99,9880 100 99,8618
2A 79,3524 99,1300 88,1692 88,3952 95,5976 99,6265 100 100 100 99,8318
2W 71,7535 96,5776 81,6889 83,4978 91,7155 98,9147 100 99,9870 100 99,7096
D 57,7807 88,3758 67,9981 71,9603 80,3309 94,3216 99,9610 99,9540 99,9830 98,8820
rF 85,3402 99,7074 92,7417 92,5104 97,7850 99,8618 100 100 100 99,9166 r 82,1832 99,3549 90,3127 91,2007 96,8257 99,7851 100 100 100 99,8397 W * * * * * * * * * *
W~ ′ 86,3335 99,7465 93,2012 92,8484 98,0508 99,8734 100 100 100 99,9316
W~
86,4557 99,8763 94,1441 90,4008 98,5179 99,8776 100 100 100 99,9219
P 6,1302 7,0104 6,2897 6,9302 7,2740 8,0952 11,7670 11,9700 14,3130 12,3389 G1 7,4115 8,6640 7,4264 7,4459 8,1931 9,2236 11,7930 11,8430 12,6310 10,0176 G2 7,0325 8,1391 7,3105 7,2116 7,9525 9,1740 11,5400 11,9260 12,6540 10,6514 rS 6,9021 9,1380 6,8404 7,4916 8,5054 9,8616 18,3300 18,9880 22,9100 16,1681 GQ 8,1514 7,5981 9,1100 11,6254 9,9909 12,8734 18,6440 18,4000 22,7030 27,4543 LM H 10,2449 8,8454 10,6124 13,4112 12,1552 15,6020 23,1710 24,1980 30,6610 36,0132 WH 5,4918 5,5555 4,9691 5,1103 5,4097 5,3261 5,2080 5,6370 5,6480 5,2591 ALM H 9,2324 8,4181 9,6957 12,5230 11,3390 14,5183 21,5210 22,2970 28,8360 34,5628 LM NH 75,2794 93,9303 84,2484 87,4050 92,0261 98,6380 100 99,9720 99,9850 99,7666 ANLM H 73,0135 91,4766 82,2249 86,3009 90,6863 97,9563 100 99,9540 99,9780 99,7520 ZNLM H 75,7152 93,5131 84,4642 87,7394 91,9331 98,5302 100 99,9710 99,9850 99,7684 KNLM H 75,2341 93,9680 84,1796 87,3665 92,0080 98,6619 100 99,9720 99,9860 99,7671 LM NWH 69,9441 88,6373 79,1165 83,8915 88,7500 97,3122 99,9900 99,9470 99,9760 99,6619 ANWH 69,6284 87,6499 78,7278 83,7581 88,4427 97,0495 99,9520 99,9460 99,9750 99,6469 ZNWH 70,9983 88,5411 79,7677 84,6948 89,1325 97,3399 99,9680 99,9470 99,9760 99,6717 KNWH 70,2590 89,0252 79,4026 84,1154 89,0179 97,4479 100 99,9480 99,9770 99,6726 LM NAH 72,7710 91,7710 81,9025 85,8121 90,5230 97,9923 100 99,9560 99,9800 99,7501 ALM NH 71,9371 90,2032 81,0517 85,3808 89,7745 97,6450 100 99,9460 99,9760 99,7091 ZNAH 73,7961 91,7940 82,5094 86,4975 90,8032 98,0087 100 99,9510 99,9800 99,7659 KNAH 73,0532 92,1471 82,2490 86,1030 90,7516 98,0483 100 99,9590 99,9810 99,7597
Tabell B.23: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med symmetriska fördelningar: n=250
B(.5,.5) Tu(1.5) Tu(0.7) Tu(3) B(2,2) Tu(0.25) B(6,6) B(60,60) t(20) t(10) t(4) t(3) t(2) LM N 100 100 99,9670 97,8130 89,2530 6,0030 3,5616 3,7827 22,4727 51,4611 97,1975 99,7522 100 ALM N 100 100 99,9520 96,7610 85,1515 4,0299 2,4730 3,8039 23,4454 52,7446 97,3466 99,7909 100 Z2 100 100 97,4380 68,3130 39,4291 1,0393 0,8859 3,7330 21,0138 48,3739 96,5258 99,6770 100 K 100 100 99,9680 97,9400 89,5245 6,2035 3,6043 3,7535 22,5501 51,5122 97,2111 99,7514 100
2A 100 100 99,9230 95,3760 82,1309 12,8104 10,2116 4,7419 10,5461 28,8380 94,0388 99,5555 100
2W 100 99,9900 98,3240 74,2690 65,7719 10,8257 8,7606 4,6552 9,3521 24,0518 91,7608 99,3456 100
D 100 99,5000 87,2500 46,2340 42,1238 8,7813 7,3480 4,9351 7,7862 16,8938 83,2066 97,6342 99,9550
rF 100 100 100 99,3230 87,1646 5,8181 3,9754 3,8826 20,4814 48,8012 97,2179 99,7585 100 r 100 100 99,8870 96,5140 68,7090 2,1173 1,4974 3,6430 22,6732 51,5398 97,5756 99,8161 100 W * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 100 100 100 99,6260 90,2107 7,1549 5,0553 3,9720 20,1155 47,9967 97,1309 99,7536 100
W~
100 100 100 100 99,9565 39,1456 28,4986 5,2597 4,8846 13,4236 81,5160 97,1804 99,9650
P 5,4550 5,1010 5,0590 4,9040 5,6037 4,7724 5,0742 5,5418 5,4675 4,9569 5,1714 6,1678 7,3050 G1 6,5820 5,2460 5,1720 5,0480 5,4924 5,2974 5,1454 5,1781 5,0845 4,8455 5,4407 5,4081 6,0910 G2 6,0620 4,8840 4,9460 5,0540 5,4282 5,1616 4,8383 5,1143 5,0053 4,8958 5,2367 5,5307 6,0570 rS 6,2640 5,2220 5,1430 5,1010 5,4007 5,1837 5,2528 5,5206 5,4032 5,0539 5,5748 6,1287 8,0930 GQ 0,1240 0,3850 0,7920 1,2370 1,7252 2,9274 2,9310 4,7142 6,3529 8,1430 18,2981 23,9824 33,7970 LM H 0,0250 0,1550 0,6460 0,9980 1,1145 2,8873 2,9656 4,9375 6,6463 9,6221 24,5822 34,8520 54,4280 WH 7,2270 5,7240 5,5620 5,3970 5,1395 5,2282 4,8992 4,8765 5,0348 4,8232 4,6752 4,1261 3,9950 ALM H 0,0280 0,1980 0,5960 1,0930 1,2939 2,9074 3,2126 4,9040 6,6491 9,4863 23,9382 34,4264 54,1860 LM NH 100 100 99,6610 88,3970 67,0203 3,2201 2,2878 3,8400 20,7162 48,8940 96,7518 99,6822 100 ANLM H 100 100 99,3800 85,1180 60,9287 2,3978 1,8071 3,7712 21,5191 49,9896 96,9439 99,7021 100 ZNLM H 100 96,7630 53,4650 16,8080 9,1477 1,7390 1,5568 3,9479 19,0563 45,0744 95,1267 99,4690 100 KNLM H 100 100 99,7300 89,4100 69,1194 3,4005 2,4218 3,8800 20,9609 49,0979 96,7902 99,6864 100 LM NWH 100 100 97,9410 75,2090 51,0291 4,8898 3,8522 3,8636 18,2446 44,8656 95,7915 99,5324 100 ANWH 100 100 97,2200 72,1870 47,1853 4,3188 3,2948 3,7649 19,1032 46,3063 96,1470 99,6046 100 ZNWH 99,9210 71,3120 37,6180 20,4560 14,4413 4,1133 3,3148 4,0865 15,9426 39,4296 93,3547 99,2197 100 KNWH 100 100 98,1410 76,5620 52,5162 4,8862 3,8053 3,8228 18,3298 45,0445 95,8321 99,5509 100 LM NAH 100 100 99,5920 87,4080 64,8033 3,2118 2,3546 3,8583 20,6100 48,7108 96,6064 99,6825 100 ALM NH 100 100 99,2390 83,0350 57,6535 2,4117 1,7371 3,6893 21,1988 49,6444 96,8596 99,7013 100 ZNAH 100 95,1970 47,4650 14,1120 8,0686 1,8788 1,4802 4,0418 18,8795 44,7636 94,9911 99,4589 100 KNAH 100 100 99,6480 88,4560 66,7005 3,2708 2,3849 3,8787 20,7111 48,8425 96,6581 99,6843 100 Anm: K-, KNLM H-, KNWH- och KNAH-testen har 8 ”missing values” för t(2).
114
Tabell B.24: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med ickesymmetriska fördelningar: n=250
W(10,1) B(2,1) B(3,2) W(4,1) W(3.6,1) G(120,1) G(24,1) W(2.2,1) Tri G(12,1) W(2,1) G(8,1) G(6,1) LM N 94,5797 100 89,2649 3,0916 1,5605 16,2725 59,9159 90,8548 100 88,6449 98,9683 97,5050 99,5290 ALM N 93,9902 100 85,3822 2,5374 1,0485 16,1125 58,8607 89,3709 100 87,7316 98,5797 97,1345 99,4043 Z2 95,2069 100 77,8539 2,6927 0,9023 17,1539 62,2858 91,1628 99,9890 89,9119 98,9813 97,7984 99,5872 K 94,5339 100 89,3036 3,1003 1,5480 16,2310 59,7881 90,7857 100 88,5454 98,9525 97,4784 99,5206
2A 90,9634 100 88,3840 9,6735 6,5765 12,6489 50,4875 85,9471 100 81,8623 97,6767 94,7537 98,4767
2W 85,9576 100 76,6505 8,9398 5,9979 11,3595 43,8236 74,8152 100 74,9374 92,5963 90,3662 96,6930
D 74,7692 99,9660 59,7097 8,3655 6,0580 10,2630 35,1968 60,1599 99,9050 61,7613 80,9238 79,8023 90,0685
rF 94,8816 100 93,0897 4,6865 2,5954 15,8351 60,5519 94,8923 100 89,4779 99,6429 97,9804 99,6156 R 93,5571 100 83,1659 2,7673 1,1854 15,0373 56,9262 91,0256 100 87,1531 99,0684 97,0132 99,3457 W * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 95,3184 100 94,4689 5,3278 3,0515 16,2585 61,4379 95,8024 100 90,0250 99,7056 98,1267 99,6823
W~
93,4748 100 99,7892 17,3795 16,0144 12,6837 55,0765 98,2911 100 87,7272 99,9129 97,8210 99,7465
P 6,1140 6,2950 5,5670 5,1523 4,8779 5,6508 5,5952 5,3864 6,2170 5,8410 5,6983 5,9214 6,1764 G1 5,9001 7,2270 5,6062 5,1018 5,2615 5,1603 5,8308 6,0333 7,3780 6,2320 6,4648 6,3706 6,8544 G2 6,0796 7,0370 5,3384 5,0554 5,1204 5,2360 5,5238 6,0025 7,1560 6,0369 6,2864 6,3421 6,4933 rS 6,3819 8,3330 5,5510 5,2719 5,1972 5,6065 5,9702 5,7179 7,9820 6,0509 6,2860 6,7497 6,9917 GQ 7,3528 2,2470 2,3955 3,9027 3,8129 4,9894 5,8805 4,9556 2,5650 6,6938 5,6339 7,7999 8,2662 LM H 7,8676 2,0760 1,9025 3,7308 3,7178 5,1308 6,2948 5,7037 2,4300 7,4231 6,6787 8,4725 9,8910 WH 5,2697 5,0560 4,8455 5,2433 5,1877 4,7454 4,9510 5,0293 5,2640 4,8064 5,0702 4,6089 4,9082 ALM H 7,9231 2,1280 2,0964 3,9818 3,8076 5,2089 6,3065 5,7088 2,5070 7,4607 6,7452 8,3311 9,7238 LM NH 91,2898 100 70,5385 2,5800 1,8981 13,9083 52,7243 82,3887 100 83,5260 96,2163 95,4725 98,9432 ANLM H 90,7972 100 65,6014 2,1858 1,5215 13,8462 52,1762 80,6470 99,9860 82,7443 95,4764 95,0274 98,7789 ZNLM H 91,9700 99,9870 51,1206 2,6449 1,8457 14,7699 54,8866 82,7048 99,9680 84,5706 96,2530 95,8634 99,0381 KNLM H 91,3618 100 71,7771 2,5920 1,8817 13,9811 52,9193 82,7061 100 83,6612 96,3458 95,4756 98,9586 LM NWH 87,4285 99,9660 54,5234 3,6166 3,2356 11,9979 46,5442 73,6854 99,9440 77,9305 92,4053 92,3229 98,0061 ANWH 87,2569 99,9610 50,6927 3,2715 2,8282 12,2107 46,7130 72,4137 99,9370 77,6847 91,7958 91,9211 97,8858 ZNWH 88,3031 99,8920 39,4387 3,9089 3,3261 12,6210 48,5805 74,6650 99,8740 79,0401 92,6375 92,9481 98,1079 KNWH 87,4284 99,9670 55,3537 3,6207 3,1982 11,9972 46,5885 73,7675 99,9490 77,9607 92,4567 92,3356 98,0195 LM NAH 90,9517 100 68,9751 2,5916 1,9893 13,6716 52,0539 81,4674 100 83,1114 95,7998 95,2780 98,8629 ALM NH 90,2534 100 62,5163 2,1934 1,6111 13,5280 51,1924 79,3299 99,9780 82,0143 95,0784 94,6604 98,6627 ZNAH 91,6181 99,9830 48,2175 2,6628 1,9265 14,5153 53,9382 81,9346 99,9610 83,9751 95,8881 95,5884 98,9549 KNAH 90,9481 100 69,8593 2,5946 1,9740 13,6900 52,0901 81,5499 100 83,1756 95,8687 95,3093 98,8803
forts. Tabell B.24: Styrkenivåer (1-β) för HN -simuleringar med ickesymmetriska fördelningar: n=250
χ2(10) HN(0,1) G(4,1) Gu(0,1) G(3,1) G(2,1) exp(1) P(1,100) P(1,10) LogL LM N 99,9345 100 100 99,9733 100 100 100 100 100 100 ALM N 99,9037 100 100 99,9713 100 100 100 100 100 100 Z2 99,9470 100 100 99,9748 100 100 100 100 100 100 K 99,9338 100 100 99,9731 100 100 100 100 100 100
2A 99,7471 100 99,9710 99,9501 100 100 100 100 100 100
2W 98,9529 100 99,7780 99,8246 99,9740 100 100 100 100 100
D 94,8527 100 98,3060 98,5040 99,7250 100 100 100 100 100
rF 99,9700 100 100 99,9761 100 100 100 100 100 100 R 99,9520 100 99,9850 99,9629 100 100 100 100 100 100 W * * * * * * * * * *
W~ ′ 99,9809 100 100 99,9774 100 100 100 100 100 100
W~
99,9711 100 100 99,9606 100 100 100 100 100 100
P 6,6828 7,6230 7,2370 6,8571 7,6800 8,5220 12,7520 13,1310 15,2970 14,8970 G1 6,9610 8,5190 7,2370 7,9801 8,2150 9,2170 13,3710 12,4630 13,6190 11,8270 G2 6,9346 8,4720 7,4350 7,6601 8,3610 9,1810 12,7320 12,5760 13,6600 12,0670 rS 7,3127 10,0030 7,9660 8,2269 9,7970 11,0970 21,8690 21,8420 26,9710 19,2180 GQ 8,7145 8,4370 9,9680 11,6854 11,3450 13,4500 19,0510 20,4420 25,5100 30,6020 LM H 10,4067 9,4940 11,8950 15,9099 13,8260 17,6040 27,8470 27,1710 36,0310 49,2060 WH 4,8738 5,0870 5,4110 5,2551 4,9720 5,0780 5,3340 5,1340 5,0510 4,8360 ALM H 10,2386 9,3880 11,7750 15,6708 13,3510 17,1500 27,5250 26,7150 35,4470 48,7280 LM NH 99,7564 100 99,9260 99,9265 100 100 100 100 100 100 ANLM H 99,7305 100 99,9050 99,9223 100 100 100 100 100 100 ZNLM H 99,7655 100 99,9320 99,9414 100 100 100 100 100 100 KNLM H 99,7594 100 99,9280 99,9276 100 100 100 100 100 100 LM NWH 99,2725 100 99,8190 99,8229 99,9780 100 100 100 100 100 ANWH 99,2404 100 99,8150 99,8047 99,9770 100 100 100 100 100 ZNWH 99,3097 100 99,8220 99,8485 99,9780 100 100 100 100 100 KNWH 99,2742 100 99,8190 99,8232 99,9780 100 100 100 100 100 LM NAH 99,7351 100 99,9180 99,9235 100 100 100 100 100 100 ALM NH 99,6911 100 99,8630 99,9088 100 100 100 100 100 100 ZNAH 99,7480 100 99,9190 99,9274 100 100 100 100 100 100 KNAH 99,7396 100 99,9210 99,9238 100 100 100 100 100 100
115
Tabell B.25: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f =
1-1-10 2-1-10 3-1-10 4-1-10 1-1-20 2-1-20 3-1-20 4-1-20 1-1-30 2-1-30 3-1-30 4-1-30 1-1-40 2-1-40 3-1-40 4-1-40 LM N 30,9674 6,7876 6,2728 8,536946,059921,6975 25,579128,860556,3223 26,3666 38,4948 41,100361,919330,674450,1689 50,4283ALM N 33,6388 7,3304 6,7082 9,655049,848524,4033 29,135132,579359,6105 28,1006 41,2823 44,028764,635332,423953,0030 53,6706Z2 32,0511 6,8787 6,4148 8,915844,372321,3469 24,540927,680652,9231 25,1083 36,5795 38,444758,515328,304746,2272 45,3295K 31,7175 6,8741 6,3178 8,598747,059522,4294 26,257829,889457,2064 26,8542 39,3089 41,748062,618931,061050,6805 51,2595
2A 32,5453 6,5970 6,1187 7,711858,507517,4270 25,121734,150965,9830 20,4191 35,9160 47,845068,989523,311949,5509 63,7820
2W 35,3595 7,0362 6,7130 8,363358,809916,2435 25,173236,675765,4586 18,9836 35,2901 49,948468,468522,639847,5130 66,1807
D 30,5713 6,4879 5,9905 7,843747,673713,0048 20,862931,950453,6537 14,3773 25,7142 39,871956,754317,621336,9949 53,1761
rF 33,6993 7,0848 6,2613 8,372858,706222,0113 28,647836,0952 66,1733 26,4526 41,7810 48,080369,663031,920355,2945 62,4333r 34,8731 7,5207 6,7287 8,966860,270423,9456 31,263938,697468,6669 28,3794 43,9925 51,417972,116233,884257,6026 65,0969W 25,5338 5,8400 5,2439 6,100348,627115,7518 20,360825,9211 54,6689 16,8755 28,9133 34,325354,917617,387635,3376 42,2317
W~ ′ 33,0869 7,0200 6,1313 8,242557,917721,2312 27,798535,135665,2495 25,7752 40,6030 47,104469,166831,089254,0956 61,0372
W~
15,8021 4,5348 4,2669 4,068625,0189 6,0520 7,3935 9,518329,6560 6,6011 10,9669 13,589833,1749 7,072616,7641 20,8607
P 23,2801 15,4573 14,9243 16,173349,474239,5515 51,249764,766862,5954 50,3212 66,7792 81,997365,454062,156683,2494 92,8358G1 37,8423 25,5238 27,4397 28,071375,685055,7809 66,720479,194385,1959 67,4427 83,0833 93,837691,068981,542093,4642 98,6568G2 37,7960 23,8637 25,1012 24,279781,978156,7482 68,782580,016990,8949 70,5593 85,3775 95,172395,660984,434395,1211 99,3457rS 31,8068 16,2700 16,5433 23,107768,518145,4455 60,733976,102481,7018 60,6089 78,3227 91,241486,751675,562991,3259 97,7183GQ 75,5755 23,2865 23,0806 31,349398,298871,9951 86,537695,418999,6118 85,2843 95,2352 99,026599,834292,330798,8803 99,7598LM H 63,3929 27,0409 29,8580 33,439986,939963,4516 73,649782,128392,0398 72,3412 87,0990 94,373394,765984,661895,4807 98,8638WH 40,1940 20,9094 22,2239 20,451283,751447,8102 46,625946,584291,5905 59,6880 72,2319 71,678195,271775,234787,6693 88,4911ALM H 75,3757 30,5763 33,4363 35,834191,998267,1011 76,696982,701295,3318 75,5157 89,0533 94,636096,996786,702296,2863 98,9128LM NH 61,3517 23,5920 24,9833 28,641384,067455,2701 65,752674,275889,9534 63,9275 81,1853 90,454992,228775,571892,2731 97,4122ANLM H 42,3247 14,3206 14,3811 18,012478,384647,1011 55,919962,572487,2753 58,2718 76,0674 85,171790,356270,048389,9138 95,9630ZNLM H 45,3484 16,1643 16,5100 20,356980,816851,0883 60,639267,712888,9135 61,8680 79,0147 88,778192,276174,217191,7824 97,0693KNLM H 56,8869 21,3103 21,6093 25,097182,264153,5388 62,423470,767189,1977 62,5351 79,5370 89,194291,942274,227191,6930 97,0463LM NWH 62,2767 20,4779 21,1079 20,401390,448948,5080 51,650854,222695,0175 56,9323 74,8592 78,955496,777271,303091,2710 94,2997ANWH 44,8637 14,7546 14,1394 16,929284,780043,3396 48,979752,224093,4273 53,0676 71,4467 75,815595,337967,427788,9594 92,7155ZNWH 53,5951 17,1424 16,9411 19,472988,423747,0350 50,960954,763794,6959 57,1600 75,2203 79,474696,828471,518791,1264 94,8856KNWH 56,2441 18,7245 18,8050 18,972188,756746,6595 50,073052,679794,4377 55,5708 73,8746 77,397696,346069,885390,1911 93,7026LM NAH 71,7932 27,1824 28,7915 30,421589,448860,2137 68,950874,499693,8431 67,8095 83,5161 90,708995,371078,689493,2892 97,4422ALM NH 56,6029 17,3815 17,8092 19,217985,358651,1284 58,940362,502292,4129 61,7328 78,3505 85,371394,092473,546291,2620 95,9729ZNAH 60,7484 19,2599 19,9729 21,994187,565355,3080 63,191167,508993,5458 65,6596 81,3566 89,012995,372477,410792,8032 97,0987KNAH 68,2226 24,7268 25,4668 26,292587,876657,4434 65,596571,146393,4810 66,0411 81,8711 89,303494,983177,299792,7525 97,0913Anm: rS-testet har 1 ”missing value” för 2-1-10.
forts. Tabell B.25: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f =
1-1-50 2-1-50 3-1-50 4-1-50 1-1-100 2-1-100 3-1-100 4-1-100 1-1-250 2-1-250 3-1-250 4-1-250 LM N 74,6498 50,4679 58,9408 60,996496,108081,3030 79,292081,3890 100 98,5280 99,2760 99,6290ALM N 76,7677 52,3797 61,8247 64,297396,392082,5200 80,768083,0350 100 98,5460 99,3150 99,6850Z2 70,3896 46,9468 53,6093 55,117794,461077,1420 74,273075,4740 100 97,7200 98,7440 99,3120K 75,2116 50,8924 59,6032 61,696596,159081,4460 79,595081,5290 100 98,5290 99,2790 99,6350
2A 80,5427 44,6736 56,5354 73,664198,808079,5980 82,763096,1740 100 99,0380 99,8140 100
2W 80,1176 41,7048 54,5121 75,069998,920077,1080 82,107097,0180 100 98,7600 99,8410 99,9830
D 68,2827 30,9033 41,9420 63,057796,057063,4540 69,394090,3670 100 95,2360 98,9690 100
rF 81,6957 52,3273 63,7207 72,525798,590084,2960 84,378092,8350 100 99,1820 99,7770 100r 83,0443 54,7667 66,2987 75,453198,808086,1490 86,246093,8800 100 99,3590 99,8320 100W 64,3781 33,1855 39,4618 48,9777* * * * * * * *
W~ ′ 81,1914 51,3887 62,7251 71,424298,500083,9760 83,894092,3880 100 99,1050 99,7500 100
W~
45,9541 18,3913 22,0742 29,132186,416045,1900 44,347060,0670 100 88,6240 94,7290 99,6360
P 79,8268 67,4992 88,5952 96,084298,041097,9790 98,825099,7660 100 100 100 100G1 96,7433 85,0106 96,9850 99,704699,982099,7560 99,9660 100 100 100 100 100G2 98,8726 90,2789 98,1903 99,8706 100 99,9610 99,9850 100 100 100 100 100rS 94,9834 82,7017 95,1105 99,196499,907099,5940 99,924099,9850 100 100 100 100GQ 99,9591 97,8146 99,3723 99,9607 100 100 100 100 100 100 100 100LM H 98,3634 89,5689 97,7292 99,6664 100 99,8730 99,9580 100 100 100 100 100WH 98,3852 92,8390 95,2733 96,6616 100 99,9590 99,927099,9810 100 100 100 100ALM H 99,0369 93,3246 98,1091 99,6960 100 99,8960 99,9620 100 100 100 100 100LM NH 97,2330 84,7621 95,4881 99,084099,9880 99,6410 99,9220 100 100 100 100 100ANLM H 96,5791 82,7044 94,4008 98,636499,981099,5940 99,894099,9890 100 100 100 100ZNLM H 97,1363 84,5285 95,4150 99,0255 100 99,7260 99,9270 100 100 100 100 100KNLM H 96,9632 84,2524 95,1665 98,987999,986099,6380 99,9210 100 100 100 100 100LM NWH 98,9894 91,5258 95,5430 98,6191 100 99,9000 99,9550 100 100 100 100 100ANWH 98,5483 89,6329 94,5561 98,0505 100 99,8470 99,9480 100 100 100 100 100ZNWH 99,0097 91,9224 96,0577 98,9603 100 99,9380 99,9590 100 100 100 100 100KNWH 98,8536 90,7379 95,2157 98,3788 100 99,8930 99,9530 100 100 100 100 100LM NAH 98,1684 89,6807 96,1518 99,1269 100 99,8120 99,9260 100 100 100 100 100ALM NH 97,8397 87,7966 95,0615 98,6706 100 99,7690 99,922099,9890 100 100 100 100ZNAH 98,1473 89,6392 96,1208 99,0766 100 99,8450 99,9350 100 100 100 100 100KNAH 97,9995 89,2445 95,8878 99,0401 100 99,7820 99,9250 100 100 100 100 100
116
Tabell B.26: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f =
1-1-10 2-1-10 3-1-10 4-1-10 1-1-20 2-1-20 3-1-20 4-1-20 1-1-30 2-1-30 3-1-30 4-1-30 1-1-40 2-1-40 3-1-40 4-1-40 LM N 16,7780 5,4973 5,3179 6,309119,3715 8,7987 10,683214,536921,3771 9,8315 13,3642 17,506622,235410,449316,3961 21,3006ALM N 17,4016 5,5373 5,2771 6,446219,9946 9,2299 11,563615,757722,8387 10,1776 14,2091 18,273923,376910,695417,4193 22,6066Z2 16,8753 5,5643 5,3223 6,404019,1273 8,9777 10,716314,478420,7794 9,7433 13,2296 16,875421,400810,258215,4206 19,7506K 16,8516 5,5952 5,3398 6,328819,5163 8,9165 10,882714,934021,6214 9,9203 13,5784 17,651522,438010,480916,5425 21,6748
2A 12,8491 5,3387 5,1038 5,649415,8931 6,6438 7,990111,620116,5080 6,9451 9,1368 13,337717,2352 7,026510,4387 16,5339
2W 12,8903 5,3551 5,3727 5,873215,0747 6,3219 7,795011,609315,4751 6,4757 8,7137 13,021016,5299 6,9858 9,7289 15,9875
D 11,7348 5,1579 5,0442 5,360611,9931 6,0629 7,2296 9,989712,0643 6,0455 6,6891 9,880413,2243 6,7741 8,3914 12,3746
rF 14,8991 5,4828 5,1982 5,848618,6044 8,2603 10,135914,244420,4783 9,0890 12,6623 16,499221,4799 9,737515,5305 21,1439r 15,2842 5,5557 5,2582 6,055519,1714 8,7835 10,942715,459222,1614 9,7760 13,1984 17,730523,449910,412716,3362 22,8372W 11,6580 5,1659 4,9081 5,073514,6780 6,6253 7,5808 9,892814,4490 6,3159 8,4391 10,558212,5157 5,4654 8,2204 10,8795
W~ ′ 14,6599 5,4646 5,1593 5,798318,3497 8,1401 9,789313,925019,9438 8,9465 12,2057 16,051521,0515 9,521714,9944 20,3454
W~
7,8425 4,7986 4,5580 4,3725 7,9402 4,5831 4,1751 4,4051 6,7607 4,3396 4,3138 4,48376,4034 3,6660 3,9317 4,8243
P 17,2326 7,8357 8,5299 10,482830,661513,3977 20,373836,550137,7829 17,2001 28,1330 48,3850 48,105624,919837,4103 63,0177G1 16,2451 11,9185 12,3613 12,806436,224821,6832 28,616041,975144,9986 27,2909 39,2052 57,340252,692436,323452,9081 73,8267G2 17,4937 10,8648 11,4684 11,005141,275621,2510 28,718841,861251,5730 27,9209 40,4798 59,854763,226237,545355,0021 78,3989rS 17,2283 8,2142 7,9892 10,603939,031115,5184 23,707639,306148,1502 21,8228 34,2371 53,015258,014730,237546,4554 69,2536GQ 29,9961 11,1552 11,4081 13,629362,510728,6768 43,846562,526174,4673 40,2710 53,9692 73,186281,734048,175368,7368 85,0130LM H 27,8005 12,6324 13,6555 14,871346,844626,7106 33,296744,476553,5080 31,0586 43,8340 58,797359,146739,226457,4889 74,8862WH 23,7733 10,9307 11,2756 10,440250,275420,3259 21,136923,225758,5753 23,9626 32,9686 36,312565,839032,801945,7853 53,0796ALM H 42,3265 14,6141 16,1658 16,339557,601030,0030 37,237745,332462,5463 34,4766 47,4297 59,755468,890242,566460,9808 75,4201LM NH 26,5365 10,6031 11,2324 12,667640,636520,4288 26,721235,286046,4071 23,8406 35,6411 47,301449,595229,578446,8135 62,5463ANLMH 19,4849 7,0680 6,8093 8,290633,579015,8423 19,951626,574241,4491 20,2686 29,7579 39,638845,847825,096641,5948 55,5860ZNLM H 20,2653 7,4393 7,5728 9,105536,134118,0831 23,136729,394844,0897 22,2994 33,3404 44,554349,902628,357645,5435 60,8566KNLMH 24,3442 9,8240 9,9143 11,036138,114619,4076 24,358731,725644,9900 23,0001 33,6824 45,051949,025128,403945,5035 61,0818LM NWH 30,4519 10,8151 10,3527 10,151550,109118,2085 20,435224,416556,3514 20,7389 29,3225 34,945961,032126,325242,3487 50,9523ANWH 21,5708 7,4702 6,9931 8,202540,218315,7778 18,369822,530750,7235 19,0356 26,4945 32,042054,633624,045038,4539 46,9386ZNWH 24,9532 8,4884 8,1565 9,299245,4472 17,2568 19,529124,074055,2666 20,8642 29,4145 35,254261,027126,356041,8755 51,3557KNWH 27,9588 9,7894 9,5337 9,187146,498717,4135 19,659523,303354,4297 20,2566 28,3624 33,736958,846025,481540,6856 49,6201LM NAH 35,4351 12,4306 13,4553 13,651749,440523,9352 29,092435,605555,6763 27,0910 38,5629 47,716959,632432,696150,1210 62,7438ALM NH 24,5301 8,2006 8,0558 8,613342,568318,0839 21,884826,633250,9830 22,3782 32,4145 39,831655,475427,641344,4761 55,6488ZNAH 27,0122 8,9042 8,8214 9,810246,329720,6327 24,950929,387153,9486 25,3340 36,1299 44,804059,410431,308548,6232 61,1397KNAH 32,2148 11,3485 11,7408 11,648246,874322,1248 26,926132,139054,1970 25,7094 36,7992 45,412158,385131,421248,3747 61,2146
forts. Tabell B.26: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f =
1-1-50 2-1-50 3-1-50 4-1-50 1-1-100 2-1-100 3-1-100 4-1-100 1-1-250 2-1-250 3-1-250 4-1-250 LM N 26,6614 14,6614 18,3382 23,963147,659425,7026 26,940035,888785,6800 44,9276 52,8480 69,6310ALM N 28,2557 15,2509 19,7264 25,679148,762926,8184 28,266137,676386,5780 45,8971 54,0430 70,9490Z2 24,3699 13,9413 17,0371 22,072943,242423,1120 24,438131,449482,2250 40,9101 47,9310 64,0230K 26,9912 14,8338 18,7460 24,412347,946625,7803 27,224136,083185,8060 44,9696 52,9130 69,7900
2A 19,4777 9,6318 11,0410 18,315238,312414,7642 18,879236,976382,9880 28,6734 41,7380 78,9330
2W 18,6442 8,8408 10,2444 17,610435,762712,9877 17,263837,003780,4040 25,4920 38,5590 78,5070
D 14,3338 6,8814 8,4318 13,754725,840910,0945 13,259027,835964,9640 17,7371 27,6550 63,6830
rF 26,5512 13,6237 17,8376 24,481348,002524,3948 26,384739,141587,4750 43,2412 52,7290 77,4650r 28,3021 14,5305 19,3247 26,888451,113127,0735 28,733742,083088,8810 46,0753 55,9650 79,1980W 12,5611 7,3418 7,7402 10,7693 * * * * * * * *
W~ ′ 25,9379 13,2396 17,3302 23,414447,136523,7582 25,859037,791087,0060 42,1338 51,5650 76,6990
W~
6,3528 4,4328 4,4532 5,387212,0135 4,3627 5,3599 8,985846,1450 7,6054 12,2620 32,2340
P 61,1165 28,7734 43,2938 71,315992,839261,7369 82,215298,1909 100 95,7710 99,5020 100G1 65,9229 41,2056 61,0249 83,025194,585179,6879 90,722099,5018 100 99,4990 99,9720 100G2 76,5051 46,6793 64,6033 87,212398,520484,8620 95,016599,9039 100 99,8014 100 100rS 71,3634 38,6861 52,7447 78,463296,936374,3551 88,453199,0412 100 98,8442 99,8880 100GQ 87,9933 61,7230 73,4405 89,804399,530391,9021 95,277499,4117 100 99,8763 99,9900 100LM H 70,8823 46,8655 65,1625 83,417895,567383,3884 90,629499,1531 100 99,7093 99,9810 100WH 76,0784 53,0039 57,5720 70,070097,871085,1723 90,415298,4391 100 99,8351 99,9890 100ALM H 76,6588 56,4472 68,3394 84,354696,567786,3441 91,665599,1541 100 99,7321 99,9830 100LM NH 63,1675 37,1415 53,5554 71,412291,890373,0742 81,953296,5345 100 99,0313 99,8180 100ANLMH 59,6883 34,1367 49,2419 66,568190,657971,0720 79,503895,5913 100 98,8842 99,8150 100ZNLM H 62,6211 36,5133 53,2808 70,470092,337674,2079 82,857497,0038 100 99,2075 99,8720 100KNLMH 62,1209 35,9893 52,4922 69,800591,540872,4947 81,507396,2524 100 99,0044 99,8160 100LM NWH 71,1283 44,8082 50,1219 63,525896,418477,2005 84,193697,0850 100 99,5052 99,9900 100ANWH 67,1380 40,6094 46,7936 59,429095,933375,2484 81,675396,3367 100 99,4658 99,9850 100ZNWH 71,2948 45,2954 51,0861 64,703697,143879,2904 85,602897,7492 100 99,6207 100 100KNWH 69,5580 43,4945 49,0878 61,950296,230076,7154 83,375196,8789 100 99,4690 99,9870 100LM NAH 69,0570 45,9698 56,6326 72,005293,423976,6484 83,670096,5595 100 99,2340 99,8390 100ALM NH 66,5079 42,0929 52,2293 66,965992,887674,9114 81,405895,6205 100 99,0799 99,8240 100ZNAH 69,0924 45,9244 55,9129 71,176393,989677,6963 84,387997,0244 100 99,3456 99,9000 100KNAH 68,0794 45,0510 55,0397 70,682993,319776,1321 83,089096,3010 100 99,1397 99,8290 100
117
Tabell B.27: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii =
1-1-10 2-1-10 3-1-10 4-1-10 1-1-20 2-1-20 3-1-20 4-1-20 1-1-30 2-1-30 3-1-30 4-1-30 1-1-40 2-1-40 3-1-40 4-1-40 LM N 7,0305 4,7598 4,7944 4,8096 6,3007 6,5334 5,1818 7,6134 6,4358 7,3226 5,1579 9,08056,5653 7,1099 5,2689 9,5882ALM N 6,9033 4,7044 4,7578 4,6896 6,2652 6,8013 5,0022 7,8462 6,7062 7,5422 5,1858 9,20246,6200 7,2496 5,2309 9,9286Z2 6,8650 4,6897 4,7515 4,7213 6,3485 6,6758 5,0932 7,6321 6,4346 7,3911 5,2873 8,85426,5011 7,0389 5,2596 9,2188K 6,9411 4,6874 4,7488 4,7322 6,2828 6,6071 5,0341 7,6914 6,5354 7,5342 5,2300 9,02096,5855 7,1620 5,2481 9,7293
2A 6,0688 4,9742 4,8555 4,7695 5,5453 5,3049 4,9527 5,7177 5,6709 5,4877 4,9441 6,22475,5257 5,3928 5,0543 6,0429
2W 6,0648 4,9818 4,9097 5,0753 5,3076 5,2433 5,0180 5,7049 5,4703 5,3482 5,1682 6,01025,4099 5,5130 4,9446 6,0269
D 5,7280 4,8635 4,8139 4,8143 4,9892 5,2252 5,0589 5,5268 5,2448 5,4182 4,8182 5,10395,3715 5,3767 5,0606 5,6925
rF 6,4368 4,8546 4,9123 4,7986 5,9056 6,4547 4,9016 6,9555 6,0775 6,7491 5,1047 7,95975,7364 6,8021 5,0175 8,8922r 6,2996 4,9766 5,0686 4,8435 5,8518 6,7046 5,0733 7,0184 6,3227 7,0088 5,0134 8,40186,1469 7,1140 5,0355 9,4043W 6,1683 4,9271 4,8798 4,6668 5,4687 5,4648 5,0370 5,7111 5,5464 5,4677 5,0690 6,16955,2703 4,8173 4,8594 5,4419
W~ ′ 6,3453 4,9032 4,9417 4,7707 5,8936 6,2360 4,9768 6,8699 5,9913 6,6543 5,0596 7,81375,8223 6,7099 4,9479 8,5766
W~
5,7031 4,6542 5,0425 4,6147 4,9283 4,6099 5,0118 4,3094 4,6172 4,4313 4,8980 4,09134,7465 4,1038 4,8907 3,8897
P 7,1488 7,3755 5,2904 6,9821 7,6712 8,7773 5,513110,2567 7,7155 10,7013 5,5477 13,66647,614112,3703 5,6996 15,3285G1 7,9143 11,3105 5,7991 8,607214,021316,6681 6,050914,692215,9517 19,1691 6,3696 21,860517,335822,7878 7,0817 28,4905G2 7,1658 10,2261 5,5816 7,340912,911815,6781 5,846512,514213,9128 18,2256 6,0588 19,155315,648421,3957 6,5266 26,3666rS 5,7744 7,4993 4,9795 7,2743 9,0691 9,7490 5,654411,9688 9,3641 12,9487 5,7099 17,058810,149515,2037 5,8894 21,7483GQ 9,9491 10,1882 5,8918 9,104116,529818,8597 7,917424,051018,4222 24,0868 8,6969 30,591021,630127,0915 9,6736 39,7145LM H 11,2660 12,3785 5,8487 9,650217,337620,6523 6,298118,305419,5619 23,1366 7,1965 25,103720,514126,4261 8,4050 33,6769WH 10,3085 11,0311 5,7664 8,416918,414016,9521 6,357811,506319,7397 19,1692 7,3622 16,118920,912123,4370 7,3568 21,9749ALM H 18,1544 14,1529 6,6911 10,724523,5665 23,7046 7,221018,939025,3189 25,7206 7,8954 26,030826,835328,9325 9,6915 34,1787LM NH 9,8794 10,0204 5,5951 8,008513,282215,3346 5,985313,607914,8256 17,3071 6,7717 18,426715,610219,0420 6,7086 23,5276ANLMH 7,3299 6,3306 4,9949 5,6475 9,939611,7711 5,493310,982612,4737 14,4338 6,0464 15,453813,525615,7635 6,2424 20,1868ZNLM H 7,7838 6,7784 4,9816 6,139311,002613,4588 5,716012,090914,0063 16,2740 6,4022 17,384015,693618,0985 6,6628 22,7997KNLMH 8,9665 8,9573 5,3596 7,211212,117914,6483 5,687412,436414,1086 16,8299 6,4176 17,378115,402918,2465 6,5742 22,6295LM NWH 10,4639 10,8666 5,4947 7,874715,925714,5652 5,654010,926217,2687 15,9774 6,3785 15,141617,774518,4385 7,2087 19,7382ANWH 7,7098 6,7968 4,9701 5,763311,6543 12,5679 5,767810,181914,3412 14,7740 6,4649 14,245115,433416,7862 6,9164 18,0503ZNWH 8,7005 8,0394 5,2194 6,728213,572613,5719 5,549910,946016,6624 16,2073 6,4461 15,279817,440518,3047 7,0849 19,8625KNWH 9,9798 9,7986 5,4762 7,098514,539513,8536 5,656910,719116,5060 15,6053 6,5443 14,755317,088417,9004 7,1175 19,2412LM NAH 13,9904 11,8195 5,8592 8,752818,160017,8966 6,351513,778519,7564 19,6236 7,2270 18,625220,508821,0371 7,2003 23,6836ALM NH 8,9260 7,3084 5,1091 5,941913,7452 13,4665 5,775810,997817,1750 16,2233 6,4328 15,644418,412717,7996 6,5192 20,2586ZNAH 9,7468 8,1367 5,0788 6,500015,805015,4558 5,889912,081719,0261 18,2055 6,9429 17,516820,406120,2326 7,1057 22,9786KNAH 12,5701 10,5941 5,5919 7,395016,3795 16,3938 5,957012,703119,2656 18,5711 7,0511 17,561619,975620,1189 6,9734 22,7144
forts. Tabell B.27:.Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii =
1-1-50 2-1-50 3-1-50 4-1-50 1-1-100 2-1-100 3-1-100 4-1-100 1-1-250 2-1-250 3-1-250 4-1-250 LM N 7,5367 13,6099 5,2015 10,235114,955229,0722 5,594713,548033,8534 45,3424 6,0304 21,1067ALM N 7,8102 14,2469 5,4042 10,735215,322629,8693 5,701714,037534,9683 46,1784 6,0035 21,8090Z2 7,2534 12,7921 5,1012 9,785713,774726,5106 5,613212,793831,4512 42,2468 5,8604 19,3500K 7,5282 13,7727 5,2574 10,348715,103829,1961 5,634513,647233,8996 45,3566 6,0131 21,1715
2A 5,5834 8,3739 5,1045 6,4427 7,326813,8178 5,0851 7,630212,5804 21,2861 5,0633 10,4102
2W 5,5997 7,6008 4,9897 6,1391 6,731811,5056 5,0223 6,714110,5566 17,1134 5,0498 9,1464
D 5,2562 6,0747 4,8199 5,7742 5,8048 8,6289 5,0230 5,7592 7,8261 11,7523 5,0011 7,1350
rF 7,1633 12,6592 5,2347 9,519313,594527,5831 5,506211,857131,1830 42,3497 5,8604 19,6487r 7,3738 13,5449 5,3368 10,269414,708829,6880 5,515712,941833,8093 45,2809 6,1602 21,5447W 5,1508 7,0404 4,9194 5,4180 * * * * * * * *
W~ ′ 7,0532 12,1483 5,1798 9,200813,345426,9534 5,493011,339530,6167 41,4096 5,7707 18,9190
W~
4,5324 4,1420 4,9400 4,0850 3,8387 5,5978 4,8075 3,5951 5,6461 8,6451 4,8180 3,3350
P 10,1958 17,4438 5,8594 17,225319,249540,4722 6,851024,077651,8199 73,7368 9,2156 56,8292G1 24,6816 44,1456 7,8476 34,083351,206476,5340 9,612358,495591,3309 97,8387 16,9940 94,6865G2 22,1875 43,7434 7,1629 31,344948,433976,6173 9,180156,084491,1010 98,0932 15,7464 94,2894rS 13,2992 23,3677 6,0294 23,998627,206850,8441 7,841045,488068,2811 88,6158 11,8783 84,7811GQ 26,4022 45,1200 9,4405 44,061449,286679,4392 13,607569,490690,3212 98,5200 23,9836 97,5805LM H 30,0587 50,3805 9,1138 40,178557,842481,8878 10,986864,692593,9353 98,9440 19,1978 96,8750WH 27,9726 50,3039 8,7461 28,520953,607078,4379 10,272849,589592,1028 98,2380 17,0623 93,3988ALM H 34,8240 58,1193 10,1775 41,447660,628184,5504 11,957664,759094,7136 99,0332 20,0373 96,8794LM NH 23,0033 40,3682 7,2419 28,052247,336272,6592 8,625746,771788,1456 97,1577 13,3426 90,9482ANLMH 20,2266 36,8779 6,8757 24,521144,598170,6871 8,069443,372787,6111 96,9625 12,9562 90,2733ZNLM H 22,3434 39,6196 7,3043 27,299047,900173,4687 8,972748,563388,9693 97,4746 14,0789 91,6500KNLMH 22,2476 39,3302 7,1118 26,708146,678372,0617 8,629345,742388,0487 97,1150 13,2369 90,8271LM NWH 23,6223 43,0667 7,3238 23,776346,376171,5762 9,256141,312687,7445 96,4711 13,7180 87,8167ANWH 21,6601 40,0779 7,1400 22,241144,724670,1433 8,761938,745587,2900 96,2289 13,4333 87,0982ZNWH 23,5505 43,4307 7,5459 24,218947,928373,3877 9,333742,928788,5792 96,8940 14,2312 89,3974KNWH 22,9459 42,1378 7,3522 23,368145,946071,1614 9,098140,610687,5560 96,3429 13,6655 87,6159LM NAH 26,9780 47,9657 7,7555 28,584750,608075,3905 9,101346,886189,4278 97,4664 13,9359 91,0016ALM NH 24,7770 44,7306 7,1609 24,828948,885873,9464 8,622043,448988,8101 97,2057 13,3837 90,3277ZNAH 26,7483 47,7368 7,7025 27,985851,722276,3174 9,406948,776190,2035 97,7456 14,8154 91,6698KNAH 26,1508 47,1796 7,5134 27,513750,408675,0238 9,037745,890089,3581 97,3966 13,8400 90,8627
118
Tabell B.28: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii −=
1-1-10 2-1-10 3-1-10 4-1-10 1-1-20 2-1-20 3-1-20 4-1-20 1-1-30 2-1-30 3-1-30 4-1-30 1-1-40 2-1-40 3-1-40 4-1-40 LM N 6,2763 5,9502 5,0814 5,4678 6,7981 7,1705 5,3885 7,7156 6,4921 7,5272 5,3794 8,95806,7333 7,4979 5,5683 9,6924ALM N 6,6599 6,1950 5,0919 5,6224 6,7869 7,4142 5,4757 8,1437 6,9328 7,8185 5,4538 9,11016,9558 7,5666 5,6166 10,0033Z2 6,3907 6,0813 5,1374 5,5107 6,7821 7,2354 5,3534 7,7736 6,3447 7,5072 5,3953 8,63266,5737 7,5417 5,4964 9,2546K 6,3228 6,0824 5,0751 5,4750 6,7828 7,1471 5,4057 7,7568 6,5824 7,6459 5,4471 8,97656,7949 7,4576 5,5362 9,7444
2A 4,8153 5,3418 5,0197 5,3375 5,6938 5,6553 4,9036 5,5702 5,3923 5,7443 5,1592 6,32115,5844 5,3950 5,1420 6,5857
2W 4,9410 5,3563 5,0720 5,5282 5,4726 5,4913 5,1114 5,6230 5,4913 5,5232 5,2185 6,10435,4566 5,6109 5,0543 6,3324
D 4,8427 5,5348 4,8237 5,1617 5,0698 5,1158 5,1175 5,5199 5,2958 5,3763 5,0390 5,76585,3284 5,3447 5,0143 5,3562
rF 5,5573 5,7838 5,0210 5,3765 6,4222 6,4881 5,1652 7,1628 6,2252 7,1549 5,3546 7,72696,1065 7,2140 5,4460 9,1305r 5,6438 5,8846 5,0611 5,3540 6,5217 6,9255 5,4199 7,5192 6,5101 7,2862 5,2375 8,37306,5277 7,5112 5,3668 9,6979W 4,8151 5,0762 5,0087 4,9579 5,6290 5,4838 5,0354 5,5923 5,4062 5,5878 5,2373 5,69104,9177 5,0262 5,0240 5,3450
W~ ′ 5,5936 5,6416 5,0500 5,4534 6,3947 6,3242 5,1440 7,0458 5,9447 7,0100 5,2829 7,56636,0264 7,0758 5,4385 8,5727
W~
4,3695 4,6395 4,9423 4,8363 4,6904 4,2992 4,8118 3,8139 4,1802 4,3067 4,9384 3,8181 4,34743,9341 5,1065 4,2137
P 7,6194 6,9958 4,8693 4,2233 9,298411,4521 5,4267 9,1572 9,8006 11,1980 5,4962 12,27719,368612,3326 6,0098 14,1449G1 7,4644 5,1087 4,4983 5,616310,629812,0049 5,616514,241212,1245 13,7725 5,7536 20,631314,611919,1091 6,2649 26,5116G2 9,3739 5,9612 4,7824 6,905411,357112,5390 5,953714,753212,9627 15,2316 5,9791 20,778215,570219,8639 6,3817 26,5570rS 8,7641 7,4243 4,7845 7,034310,618911,9738 5,784412,728711,4789 13,0487 6,2699 17,028812,199316,0389 6,4044 21,6183GQ 2,3509 2,5197 4,3192 2,8089 1,2984 1,0518 3,2795 0,7381 1,2670 0,8337 2,8202 0,29390,8412 0,5745 2,2574 0,1623LM H 9,3797 5,9532 4,6249 6,695111,219411,1912 4,987016,361013,2125 15,0560 5,4629 22,451715,660821,2775 6,3658 30,5896WH 4,1693 4,1267 4,7929 5,8492 5,9564 6,8910 4,892910,8824 7,5510 8,7661 4,7133 14,39399,164913,6211 4,5777 18,6973ALM H 2,2836 3,1213 4,1264 5,6435 3,4841 7,1250 4,580215,8194 6,1329 11,4335 4,5481 21,91868,598418,7058 5,2828 29,8852LM NH 7,0017 5,6063 4,8105 6,0129 7,4569 8,6299 5,286812,8437 8,1650 10,2998 5,3193 16,66208,327913,3768 5,7932 21,9102ANLMH 7,0367 6,5185 5,0775 5,8060 7,2560 8,2137 5,348710,6440 7,9134 9,8892 5,4408 14,13688,068811,5598 5,7247 18,9208ZNLM H 6,8481 6,3175 5,0621 5,8655 7,3993 8,7381 5,377211,3422 8,3349 10,2032 5,3763 16,04318,893413,2662 5,7102 21,4557KNLMH 6,8404 6,0335 4,8596 5,8586 7,2378 8,6273 5,191911,8461 7,9548 10,1530 5,2650 15,94208,428212,8502 5,6819 21,1874LM NWH 4,3660 4,4985 4,6627 5,1954 6,0586 7,1982 5,053410,4184 7,2872 8,7295 4,7830 13,81798,480311,7936 5,2304 17,8224ANWH 6,2733 6,3612 5,0872 5,7680 6,5478 7,8250 5,208410,1042 7,3962 9,0516 4,8988 13,18687,686911,3431 5,2608 16,6618ZNWH 5,7801 5,9509 4,8909 5,7948 5,9917 7,7865 4,844310,6484 7,3134 9,0935 4,9033 13,96328,461411,5502 5,0509 17,5946KNWH 5,0186 4,7743 4,6844 5,3814 6,1215 7,3885 5,123210,4729 7,3037 8,8246 5,0661 13,58408,136311,5525 5,2081 17,4877LM NAH 4,2444 4,2907 4,5058 5,4648 5,2818 7,3604 4,945612,4991 6,2164 9,3352 4,9094 16,09686,871212,5729 5,3087 21,3670ALM NH 6,1562 6,1802 4,9664 5,6828 6,3789 7,6728 5,312310,5107 6,8218 9,1114 5,2175 13,82247,008410,9882 5,5793 18,3197ZNAH 5,8012 5,8759 4,8635 5,7118 6,0193 7,7900 5,160911,1284 6,6328 9,1924 4,9745 15,70097,342412,5329 5,3937 20,9157KNAH 4,7986 4,8694 4,5770 5,2580 5,4889 7,3862 5,036511,6815 6,3422 8,9760 5,0546 15,61076,919912,0404 5,3241 20,6769
forts. Tabell B.28: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii −=
1-1-50 2-1-50 3-1-50 4-1-50 1-1-100 2-1-100 3-1-100 4-1-100 1-1-250 2-1-250 3-1-250 4-1-250 LM N 7,3568 9,1646 5,4839 9,8130 8,735313,5331 5,517613,015712,0228 20,2885 5,7056 19,2467ALM N 7,5877 9,4438 5,5697 9,9957 8,819013,9632 5,553513,481812,6629 20,8778 5,7976 19,7193Z2 7,0423 8,8873 5,4413 9,2298 8,203112,4091 5,423112,170011,1832 18,8048 5,6147 17,7667K 7,4139 9,1837 5,4430 9,8529 8,823113,6008 5,529513,064612,0345 20,2794 5,6825 19,2470
2A 5,5899 6,3364 5,0670 6,4237 5,9378 8,1118 5,0429 6,8586 7,2051 11,5089 5,1559 10,0094
2W 5,2969 6,1044 4,9693 6,0610 5,8766 7,4052 5,1616 6,4588 6,9087 10,4847 5,1214 8,8828
D 5,1674 5,3897 4,9755 5,4619 5,5035 6,6466 5,1698 5,9296 6,4962 8,5186 5,0482 7,3641
rF 6,5331 8,6795 5,4276 8,8765 8,059212,7078 5,329011,849511,2356 18,5982 5,6294 18,0121r 6,7061 9,3018 5,3909 9,8532 8,761014,0013 5,554912,730612,2903 20,2500 5,8050 19,4996W 4,9144 5,3980 4,7946 5,2573 * * * * * * * *
W~ ′ 6,3894 8,3539 5,3613 8,4527 7,998112,4697 5,371211,272610,8084 18,1102 5,5365 17,4876
W~
4,2812 3,7496 5,1188 4,2904 3,9134 3,4021 4,7096 3,4395 3,5676 3,5449 4,4262 3,0541
P 11,7492 19,8691 5,8102 16,139021,851643,3355 6,776824,580653,2182 75,1262 8,7474 56,8895G1 17,0414 30,4812 6,3645 30,995241,553370,3040 8,485457,916089,9477 98,0247 15,3228 94,5977G2 18,7694 32,8621 6,8634 29,914940,590168,8010 9,017054,939086,8219 97,4326 15,3506 93,2596rS 15,3290 24,1476 6,0744 23,643129,175653,5815 7,854144,770569,3698 89,1335 11,9551 84,1265GQ 0,6540 0,2640 2,2518 0,1954 0,1394 0,0214 1,3347 0,0150 0 0 0,5172 0LM H 17,8477 34,0712 6,1706 34,217441,103971,2290 8,379464,702390,3040 98,6965 16,1255 96,8738WH 9,9457 21,1038 4,8792 21,814320,922747,3025 5,756048,448571,7835 94,1632 10,9879 92,4160ALM H 10,1023 23,3168 5,2279 33,106331,045966,7175 7,780664,418487,6625 98,4908 15,4643 96,8049LM NH 9,8598 15,0999 5,6301 22,497520,479644,2107 6,808345,742668,2522 93,3716 10,3870 90,1797ANLMH 9,1933 13,7732 5,6603 19,964218,166340,0418 6,465942,482966,2100 92,5592 10,1467 89,3515ZNLM H 10,1156 15,2870 5,7618 22,252021,888146,6270 6,848347,390671,8594 94,4910 10,9428 90,9285KNLMH 9,4239 14,3604 5,6494 21,455619,819743,1213 6,821344,648367,9311 93,1805 10,3601 89,9696LM NWH 8,9532 16,4921 4,8805 18,671416,076436,3784 6,062639,367654,9539 86,7401 8,6288 86,5497ANWH 8,5615 14,9919 5,0495 17,829515,625434,1384 5,956337,086053,8763 85,8676 8,6407 85,6538ZNWH 8,8035 16,8313 4,9757 19,150317,254039,2326 5,928541,117258,8298 88,5793 9,0988 87,9965KNWH 8,6947 15,8474 4,8841 18,468815,932435,5373 6,027538,473554,3066 86,2741 8,6297 86,1720LM NAH 7,7803 12,9236 5,1912 21,627216,889340,5628 6,402245,566965,5014 92,6760 10,1166 90,0994ALM NH 8,1003 12,1472 5,3963 19,229616,005437,3736 6,292142,269862,7198 91,7271 9,8739 89,2171ZNAH 8,0174 13,5004 5,2658 21,474118,644243,2670 6,434047,2483 68,4521 93,7307 10,5730 90,8570KNAH 7,6082 12,6099 5,0935 20,776616,737439,4916 6,391144,519964,9945 92,3564 10,0176 89,8510
119
Tabell B.29: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med outliers
1-1-10 2-1-10 3-1-10 4-1-10 1-1-20 2-1-20 3-1-20 4-1-20 1-1-30 2-1-30 3-1-30 4-1-30 1-1-40 2-1-40 3-1-40 4-1-40 LM N 2,8126 1,6943 4,2548 1,736511,5007 1,2284 3,934118,499927,3304 35,1422 4,0635 52,626935,560647,5278 6,9222 60,6283ALM N 3,0278 1,6257 4,2696 1,697914,2606 1,4550 3,788918,718729,8218 37,1232 4,2285 52,906937,286448,3494 7,2137 60,8235Z2 3,0872 1,7106 4,2824 1,686411,2062 1,1884 3,886319,982223,7120 34,1769 3,7855 52,585331,681047,0030 6,7622 60,4838K 2,9385 1,7130 4,2891 1,695212,0662 1,3133 3,801118,7633 28,2363 35,8024 4,1203 52,652736,092847,6511 6,9173 60,6013
2A 2,1379 1,5472 4,2657 1,832912,0919 4,2093 3,8593 3,666622,5433 12,5686 4,6401 27,822628,210221,1760 5,2616 44,1595
2W 2,3155 1,6470 4,4430 1,999712,7141 4,4387 3,9183 3,542320,8087 9,5856 4,8666 11,527924,586814,8307 5,3185 34,4206
D 3,2902 1,9930 4,4767 2,1956 9,1713 3,4400 4,7246 3,704113,7438 6,4959 5,0142 10,633016,602610,4488 4,9133 23,4959
rF 2,3741 1,4117 4,2045 1,783313,6594 3,4585 3,9474 8,421128,3967 30,9482 4,5577 49,636636,169944,2968 6,0775 58,9178r 2,3394 1,4807 4,1735 1,721315,8075 4,1606 4,0817 7,998330,5210 32,2106 4,4845 49,936738,233645,5682 6,2485 59,2647W 2,1411 1,5478 4,4596 2,0701 6,9472 2,2623 3,9590 5,940115,7556 15,2775 4,4443 42,759021,920229,6127 4,6500 52,7046
W~ ′ 2,2500 1,3588 4,2135 1,792312,8965 3,1898 3,8540 8,272127,5392 30,1272 4,5238 49,196235,454443,7662 6,0248 58,5543
W~
2,3050 2,0417 5,1250 3,0090 2,3356 1,8606 4,9334 3,3208 3,4995 2,1983 4,5547 26,84147,4898 9,2458 4,3285 43,7862
P 5,3987 4,8313 4,8150 4,0897 9,131614,1777 5,5739 3,907310,5524 12,3260 7,0238 5,76147,6185 6,6578 6,6774 5,5902G1 48,4453 53,4573 7,5954 37,504369,412570,5438 19,476464,109171,7225 72,2689 28,5074 69,186172,310974,108430,2159 70,4851G2 32,9468 46,1206 7,0254 18,400365,477367,0877 14,759846,392268,0730 68,5480 22,8255 57,825368,487168,874223,4796 58,3270rS 6,9543 7,6742 5,8044 7,879214,078616,2684 6,609811,463913,1392 11,7638 7,5497 18,44328,7396 8,4797 6,7198 15,7899GQ 29,8614 23,4259 6,0829 13,684850,234345,9856 8,122125,606850,5991 49,0446 10,9586 34,965952,878948,634910,7110 37,2108LM H 54,4774 53,5197 8,4033 38,635370,725072,1131 22,047969,365773,1144 74,5870 31,6392 73,433473,952376,105234,4331 75,2651WH 39,5753 47,0340 6,3457 33,418968,144771,7118 21,570872,131770,4378 75,1965 32,1664 76,340071,906077,262236,1660 78,6491ALM H 70,7725 68,1870 15,8331 57,250876,093676,0970 30,179471,826077,5253 77,4688 37,3599 75,457577,937178,528139,2030 76,4370LM NH 30,8532 28,3511 5,5508 8,753562,791865,6964 14,747763,178967,1918 70,1971 24,3664 69,932868,881372,325327,3056 72,5388ANLMH 5,6552 1,8193 4,4533 1,826454,426658,1102 8,030656,085563,8372 67,1713 19,7692 67,203666,467870,159824,1815 70,8854ZNLM H 8,2640 2,1030 4,6404 1,950157,409961,0138 10,669958,735765,2620 68,5800 22,0651 68,849067,923171,418626,6249 71,9218KNLMH 14,9535 6,4357 4,8734 2,458760,578364,1386 12,996361,494566,4654 69,3946 23,1971 69,276968,290271,827626,9325 72,0519LM NWH 29,1939 35,5235 5,7164 23,777364,148368,2989 17,666369,403967,4858 72,5738 28,0222 74,909068,706175,039631,7287 76,9035ANWH 5,5561 1,7039 4,4668 1,829656,959263,5751 11,934264,627464,8471 70,6013 24,6084 73,184067,389973,545829,8871 75,8472ZNWH 8,1331 2,7241 4,6597 2,908260,727065,7468 14,524067,045566,5464 71,8856 26,6615 74,145668,486474,792031,3947 76,7817KNWH 15,9806 24,4219 5,6915 16,895862,151067,0369 16,614768,204066,6727 72,2118 27,0375 74,326468,268174,710731,1014 76,7260LM NAH 65,3629 61,2641 11,4028 47,208873,111672,6283 25,058768,551474,8439 74,4965 31,6835 72,251175,062576,146233,6266 73,8992ALM NH 42,8295 21,4422 5,9964 5,676369,110968,2285 18,972363,334872,9661 72,3254 27,7521 70,330073,685174,810830,9478 72,6585ZNAH 51,7911 37,4460 7,0120 15,970571,066970,2317 21,694965,512974,1463 73,5248 30,2284 71,3221 74,978375,853332,8653 73,5329KNAH 62,3575 57,2944 9,7873 41,994371,991471,6773 23,317767,318674,3865 73,9864 30,7053 71,800874,690375,873033,0329 73,6024
forts. Tabell B.29: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med outliers
1-1-50 2-1-50 3-1-50 4-1-50 1-1-100 2-1-100 3-1-100 4-1-100 1-1-250 2-1-250 3-1-250 4-1-250 LM N 43,4204 62,4491 11,0060 62,708965,734175,6952 21,337469,953177,4736 82,7494 32,8823 71,7886ALM N 44,5104 63,3414 11,2124 62,929865,823575,7812 21,525670,0470 77,5814 82,7600 33,0060 71,9019Z2 39,6261 59,6483 10,6407 62,391865,057275,3073 20,882069,687077,3565 82,6018 32,2231 71,5702K 43,8350 62,6539 10,9927 62,778465,723575,7060 21,460769,917677,4761 82,7476 32,8887 71,7843
2A 34,7658 56,4312 6,3181 48,885151,534664,4673 9,692557,076264,0160 71,2376 14,2335 56,0940
2W 31,0307 53,2445 5,7837 41,504547,128559,8307 7,750351,871059,0944 67,1951 11,2218 51,8451
D 23,0963 44,1377 5,7456 33,168440,444053,6201 6,675445,472554,6786 62,4917 8,5775 46,0246
rF 42,7172 62,3724 10,1240 61,381464,801174,8928 19,780168,919977,4963 82,7745 32,6195 71,7724r 44,4835 63,4759 10,3268 61,759465,342075,2705 20,414269,368677,7121 82,9356 32,9284 71,9774W 28,3596 50,4337 6,6969 54,8969 * * * * * * * *
W~ ′ 41,9278 61,9647 9,9996 61,133864,640074,7475 19,660868,750377,3998 82,6258 32,3235 71,6335
W~
17,3984 37,3997 5,2318 49,255149,244563,5435 9,335259,490868,7800 75,9119 18,8551 61,8925
P 11,9162 16,7001 7,9820 6,748617,935728,9397 6,1062 4,474732,0231 28,5317 5,6661 4,9376G1 76,0812 84,6427 33,2420 71,646982,107887,5801 41,626671,844585,6765 88,7131 41,9361 65,8878G2 71,8281 82,9401 26,1951 60,831277,858585,1807 30,505255,784580,7561 84,3621 28,5248 47,0392rS 12,7892 7,3543 7,4026 17,168315,944814,7345 6,3846 9,467631,6202 29,9834 5,4056 6,2664GQ 54,5228 71,5825 12,3789 42,891363,408573,1966 13,790144,618768,4380 72,8760 15,8135 48,1591LM H 77,1746 85,2544 37,4507 76,493983,320988,5903 47,485478,836487,7134 90,2376 51,8693 77,7071WH 76,0225 84,2500 40,7772 80,350083,406988,7508 51,589683,543289,2931 91,5179 60,3669 84,4052ALM H 80,3353 87,6096 41,1849 77,436784,684589,6057 50,020279,198288,3034 90,8627 52,9943 77,9324LM NH 72,4029 82,1548 31,1452 73,654980,811686,9370 42,320276,697086,3865 89,2692 47,6387 76,2075ANLMH 70,6326 80,9979 28,9223 72,510780,198286,4886 40,893176,351786,2404 89,2221 47,2164 76,1071ZNLM H 71,8953 81,8737 30,6752 73,482180,842187,0260 42,419576,836786,4803 89,3463 48,1236 76,2870KNLMH 71,8645 81,8866 30,4936 73,224080,674086,9122 42,047476,602686,3627 89,2430 47,5455 76,1549LM NWH 73,0671 82,5318 36,9620 78,704082,032387,7824 48,184082,240488,4051 90,8618 57,5969 83,2285ANWH 71,8085 81,6968 35,1558 77,885781,503987,5087 47,318281,976588,3290 90,8419 57,2421 83,1557ZNWH 72,8418 82,4729 37,0097 78,670782,139487,9445 48,804182,395688,6321 91,0033 57,9246 83,4131KNWH 72,6816 82,2854 36,7764 78,567581,884087,6744 48,066182,221088,3803 90,8422 57,5208 83,2017LM NAH 77,7881 85,6798 35,6387 75,010083,134288,5616 45,396477,211187,1896 90,0000 48,9015 76,2812ALM NH 76,5339 85,0988 33,7539 73,799182,659188,3282 44,597576,670387,0047 89,7623 48,6108 76,2371ZNAH 77,5767 85,6771 35,6034 74,711183,379788,6768 45,704477,261887,3262 90,0708 49,3827 76,4208KNAH 77,5883 85,5385 35,2409 74,658683,052788,5176 45,219877,057687,1179 89,9532 48,8767 76,2767
120
Tabell B.30: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f = : n=10
1-2-10 2-2-10 3-2-10 4-2-10 1-3-10 2-3-10 3-3-10 4-3-10 1-4-10 2-4-10 3-4-10 4-4-10 1-5-10 2-5-10 3-5-10 4-5-10 LM N 32,0775 9,4254 8,4081 11,440634,861014,0617 12,839416,934729,2984 4,4210 3,7158 5,699432,020211,116510,0501 13,6145ALM N 34,8519 10,3641 9,3179 13,223937,604415,6045 14,184019,168631,1340 4,1748 3,4568 5,838134,938112,297511,0536 15,3909Z2 33,0493 9,6652 8,7172 12,016135,478914,4774 13,171317,758029,9366 4,1891 3,5331 5,626733,035611,601110,2983 14,1312K 32,8598 9,5692 8,5381 11,759635,394114,3537 12,978117,332929,7173 4,3815 3,6323 5,641132,631911,443610,1211 13,8502
2A 35,4689 9,0132 8,1230 10,084939,091014,2546 12,990315,265430,2656 4,8085 4,4313 5,472735,659210,329510,1716 12,2948
2W 38,1272 9,2671 8,6687 10,820541,609714,6518 13,646016,213833,2877 4,6923 4,6547 5,597838,523210,470710,5763 12,8708
D 33,4130 8,3669 7,6408 9,715737,280512,8247 11,838114,331827,4810 4,6661 4,2567 4,969633,7911 9,5849 9,3136 11,5520
rF 35,8561 9,7025 8,7092 11,062839,241115,2839 13,708016,619630,9634 4,8394 4,2928 5,689435,909311,072210,4546 13,2337r 37,0882 10,2420 9,2642 11,965840,352315,9863 14,614717,802831,9605 4,7354 4,2383 5,696437,056111,746311,0700 14,0993W 27,6128 7,6634 7,0178 8,051031,726411,8907 11,086512,177123,5864 4,7153 4,5077 4,728328,0763 9,0708 8,6870 9,5603
W~ ′ 35,1567 9,5388 8,4959 10,858138,515014,9205 13,384516,161730,2224 4,9062 4,3598 5,652235,276710,916410,2414 13,0483
W~
17,2069 5,7459 5,4296 5,412721,0197 8,4614 8,0625 8,383714,8670 4,4543 5,0245 4,324318,1110 6,8503 6,3672 6,3873
P 22,7131 14,5558 13,0445 13,688422,140712,6117 10,904111,082124,8425 19,6806 19,7563 21,672523,308813,702211,9913 13,0819G1 36,6424 24,8311 25,5840 25,345734,343623,6768 24,042223,458340,7993 30,4419 31,6040 33,186037,036923,531924,3066 24,6891G2 36,1462 22,9496 23,0642 20,989933,449521,6143 21,117717,923241,8443 29,1440 30,8102 30,989536,642921,907322,1226 20,1542rS 31,0719 15,0785 14,8985 21,007929,327113,7136 13,143719,028137,1363 21,1929 21,7178 29,315030,706914,673514,5785 20,1580GQ 74,9402 24,9794 24,6481 33,224172,596227,0325 27,376235,587478,6438 20,5081 20,2499 28,898773,822225,870525,8986 33,6138LM H 62,1753 27,3895 28,8275 32,770159,919627,3795 28,581532,1302 65,7324 28,5996 30,7988 33,742962,582526,142227,5578 31,1273WH 37,7426 20,5920 21,8806 19,234834,786119,9124 21,186618,079043,6346 25,5795 26,7498 25,172437,462419,847420,8183 18,4734ALM H 74,2299 30,6198 32,3818 34,711671,386430,4653 31,858634,291077,6188 32,3378 34,5406 36,099674,334629,669131,0999 33,4246LM NH 61,2685 25,8485 27,1412 30,903561,533129,9571 31,102334,757563,0484 23,0110 24,4230 27,706961,949826,636326,9698 30,6216ANLMH 43,2095 17,7477 17,8806 21,810644,938323,5583 23,312528,004540,4244 9,6488 9,6741 12,620443,559019,701719,0576 23,2881ZNLM H 46,3604 19,2453 19,6745 23,865447,527224,6336 25,155929,901145,3409 12,0499 11,9815 15,462346,473821,016820,7642 24,8603KNLMH 57,1759 24,1899 24,5214 27,953057,654328,5743 29,249332,804958,8357 19,9026 20,6424 23,249958,182625,204824,9513 28,3627LM NWH 61,4491 21,9581 22,0827 21,688960,851724,3705 23,796023,945065,8671 24,1147 24,4265 23,358760,993522,186521,9853 21,8598ANWH 45,4928 18,1443 17,3157 20,497446,649423,7987 22,586726,266944,5270 11,0103 10,0835 12,887244,859019,905618,8254 21,8915ZNWH 54,0157 20,0970 19,7457 22,395453,992724,8070 24,421527,297856,2602 15,6340 15,4870 17,601153,110621,365320,8490 23,4829KNWH 56,5907 20,7556 20,5088 20,997056,448124,1750 23,299024,185160,2200 21,5040 21,4020 20,277556,215621,595321,0835 21,4603LM NAH 70,9284 29,4545 30,4776 32,539570,366532,9491 33,760536,166073,2966 27,1250 28,5494 29,591271,693529,907230,4796 32,4302ALM NH 56,9784 20,2811 20,8074 23,085357,588526,0497 26,328529,337957,9026 12,9443 13,0816 13,722257,681622,363521,6875 24,2711ZNAH 61,0591 22,3590 23,0835 25,342561,108527,5170 28,192531,117462,5998 15,6667 16,2868 17,183461,933524,1573 23,6783 26,1911KNAH 67,8158 27,1820 27,7816 29,137567,356031,3311 32,021933,746969,7332 24,1147 24,9172 24,873568,598328,206927,6816 29,4505Anm: rS-testet har 1 ”missing value” för 4-4-10.
Tabell B.31: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f = : n=20
1-2-20 2-2-20 3-2-20 4-2-20 1-3-20 2-3-20 3-3-20 4-3-20 1-4-20 2-4-20 3-4-20 4-4-20 1-5-20 2-5-20 3-5-20 4-5-20 LM N 49,2453 29,6020 33,9184 38,441555,574142,0036 46,043451,698039,6005 10,9218 12,5216 13,117050,975134,464338,6342 42,5294ALM N 52,7638 32,3527 37,5583 42,537858,762244,7300 49,746855,087742,1650 11,6456 13,8021 14,300154,470437,008041,7077 46,1632Z2 47,5731 29,1323 32,8776 37,311353,502641,1744 44,766150,081938,7102 10,9856 12,5546 13,195149,142134,000137,1979 41,4251K 50,3086 30,2924 34,7931 39,714156,258642,6042 47,116352,594640,2598 11,0458 12,7165 13,501351,718435,044139,4768 43,4931
2A 62,4241 26,3086 33,8282 44,647368,588241,0058 48,959759,685351,4177 7,0725 10,5428 14,767363,695231,084238,6687 48,9555
2W 63,0669 24,9029 33,5385 46,648069,261739,8210 48,824860,767951,5444 6,4142 10,8547 16,979864,366429,372538,7251 51,1645
D 52,6517 19,9126 28,1511 40,750660,213933,0460 42,239155,658238,7642 5,8465 9,7587 16,530655,353123,650333,0118 45,6640
rF 61,8674 31,1149 37,7458 45,951668,102145,0343 52,091060,898451,0878 9,7464 12,3925 15,017763,177835,826241,7413 49,9900r 63,3075 33,1740 40,4701 48,476069,400347,1800 54,046962,894652,7752 10,6345 13,5481 16,238764,558437,854444,1271 52,1910W 52,8818 23,3744 28,4261 35,337559,588736,6502 42,866950,963841,0420 7,3906 8,8604 10,494253,989428,024933,5747 40,4115
W~ ′ 61,2755 30,4485 36,8718 45,009967,534044,0770 51,325060,004250,3594 9,5112 11,9757 14,513362,516635,148141,1097 49,0562
W~
31,0544 10,2496 12,7582 16,310338,320119,5557 23,153028,162019,8322 4,7239 4,1882 4,283332,072514,501917,6031 21,2242
P 48,0691 36,5835 48,2747 61,629544,465832,6405 41,251753,510956,2483 48,0512 62,1750 75,110547,066136,398647,1477 59,4720G1 72,5680 52,2962 62,2323 73,991366,872245,9932 54,714564,554481,3438 66,2150 78,1809 89,146371,916549,713759,8914 70,8735G2 78,8079 52,7133 63,6159 74,210572,602745,6463 54,913262,624687,1639 68,1704 80,7796 90,568377,799249,822860,6399 70,2906rS 65,9034 41,5408 57,2043 72,907760,444036,0914 49,975065,963477,2123 57,4343 73,0827 85,206564,583540,560955,5544 71,2429GQ 96,9615 69,0687 84,0899 93,557594,703866,6264 80,798490,851499,2251 76,6279 91,3332 97,850895,689068,758182,9491 92,2080LM H 84,7019 61,0487 70,0947 78,529380,860257,7139 65,318774,160389,9579 68,9124 79,7354 87,613083,994058,875767,8384 76,8713WH 78,2930 42,2923 39,7946 39,287769,336335,4091 31,016629,708889,9623 65,8074 66,7944 69,605975,703639,237636,2409 35,8793ALM H 90,0266 64,9258 73,2464 79,192786,476361,0298 68,272474,7462 93,8636 72,8320 82,7706 88,180889,168762,317571,2085 77,4761LM NH 84,0296 58,0960 66,6255 74,606684,380462,7161 69,776677,248785,8992 57,4034 68,5005 76,720984,220659,442867,8718 75,6831ANLMH 78,4958 51,9346 58,7099 65,684780,629059,1761 64,930272,193478,8400 43,0197 51,6254 55,239079,415253,653060,9735 67,4954ZNLM H 80,9767 55,0666 62,2815 69,296782,011660,9640 67,032073,945782,4176 49,3764 59,1994 64,415681,493756,470964,3774 70,8962KNLMH 82,3298 56,9985 64,1374 71,583783,249762,1984 68,131475,406883,9618 54,7945 63,9454 71,703982,577758,329065,8444 72,9941LM NWH 89,1023 50,5037 53,1915 56,316387,428354,6652 57,699861,950193,8118 58,5020 60,5338 63,089688,446051,931755,4565 57,8996ANWH 84,5874 48,4214 52,5136 56,836884,284856,1912 60,041865,201288,9800 45,7022 48,3743 49,820784,180050,521655,1020 58,8592ZNWH 87,3899 50,4275 53,6437 57,570886,185656,1572 58,648363,832392,1881 52,9693 55,1764 58,140786,901452,264355,3299 58,9195KNWH 87,6542 49,8860 52,4720 55,928886,093054,8399 57,973562,491192,5414 55,2291 56,3800 58,516586,886851,103054,5517 57,6716LM NAH 88,7471 62,0767 69,1604 74,781488,360665,5196 71,647677,426891,0067 63,1150 71,9187 76,924888,973163,211370,2490 75,7940ALM NH 85,5204 55,6320 61,4930 65,661086,073761,7526 67,138972,152186,5967 48,8511 56,3027 54,940685,740156,898463,7074 67,4699ZNAH 87,5643 58,8565 65,0052 69,275987,417463,9161 68,825473,965589,1483 55,6820 62,9572 64,104087,861359,947766,4685 70,8327KNAH 87,6030 60,0830 66,8476 71,907987,339064,5922 70,305975,677989,4553 59,5505 68,0447 72,059987,752261,522068,0818 73,2363
121
Tabell B.32: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f = : n=30
1-2-30 2-2-30 3-2-30 4-2-30 1-3-30 2-3-30 3-3-30 4-3-30 1-4-30 2-4-30 3-4-30 4-4-30 1-5-30 2-5-30 3-5-30 4-5-30 LM N 62,8136 38,8126 49,2172 53,568772,073455,8458 63,871468,980145,1058 9,0911 17,4186 14,425667,130846,433954,9941 59,3292ALM N 66,3021 41,1495 52,4345 56,272774,906958,2384 66,525371,552747,6496 9,3943 18,6111 14,872369,999948,547657,8201 61,5653Z2 59,4853 36,8606 47,2248 50,929068,874553,6503 61,960666,325242,6904 8,9618 16,9805 14,178163,852344,916353,1161 56,8655K 63,7573 39,4905 50,0403 54,124872,742656,6697 64,530669,549345,7849 9,2653 17,8153 14,494667,879147,112655,8511 59,7045
2A 72,3439 34,4370 49,6200 61,580181,221055,8187 68,004178,394852,3675 6,7338 13,0771 18,343175,000341,166555,5714 67,1591
2W 72,1174 32,7121 48,6779 62,633281,088254,8346 68,044479,218152,0498 6,5567 13,1680 20,852074,530039,128355,2842 68,0033
D 61,3432 26,0431 38,3254 52,673672,190346,2358 58,006871,218639,1273 5,8990 9,7809 17,368165,082531,273544,9798 59,0243
rF 72,4096 40,9014 53,5110 61,337581,236060,1296 70,052677,416653,1017 8,2245 16,7191 15,988175,465747,972659,4712 66,3496r 74,4000 42,7870 55,7447 63,876282,911762,0832 71,868479,449655,6227 8,4263 17,8406 17,900177,083549,980061,3734 68,8653W 62,0166 29,6054 41,1109 48,690372,538348,5393 59,117967,911441,0567 6,8280 9,5274 10,539365,621836,664147,7828 55,0199
W~ ′ 71,5805 40,2197 52,6014 60,479980,398659,3489 69,343376,910852,1633 8,1021 16,0314 15,434574,679447,194758,4526 65,8004
W~
37,2257 14,2548 20,7463 25,560649,630328,9627 36,710244,191719,6368 5,5973 4,1981 4,166842,188220,661127,4801 32,1465
P 59,6471 46,4862 63,5186 78,190553,672238,7439 55,854570,786470,6975 60,4149 76,6432 89,395659,027444,390961,4428 76,1332G1 82,2874 60,7286 77,7659 90,384675,515051,7817 68,887381,874191,0825 79,2475 91,3597 97,929580,796557,717575,0967 87,6893G2 88,1201 63,3900 80,6527 91,798281,280653,4504 70,805082,768894,8279 82,6136 93,4899 98,521886,229060,159577,5478 88,4736rS 78,1022 54,9745 74,6530 88,741671,317946,1954 65,553982,492390,1360 74,5925 89,0916 95,870976,527353,334772,7132 87,1818GQ 99,0114 80,9523 92,6614 97,982697,557377,2171 88,902095,880499,9113 90,7116 98,1955 99,832198,029379,798491,3345 96,9813LM H 90,2041 68,7305 83,7560 91,977586,286063,7676 78,752987,398694,8049 78,7963 92,3522 97,678988,586966,484281,1555 89,7850WH 85,0698 48,8388 60,1734 59,092874,573737,7483 46,937643,184996,8883 83,2878 90,7692 92,777580,742144,006354,5276 52,8873ALM H 94,0195 71,5807 85,6462 92,281390,750866,5577 80,802287,860097,2551 81,5872 93,6704 97,848192,679469,650183,5469 90,1570LM NH 90,6010 66,9062 82,1623 90,183791,648573,0020 84,279290,998990,8803 66,7169 85,4531 93,596191,042269,732183,2459 90,5993ANLMH 88,4278 63,5279 78,3700 85,952890,679672,2576 82,715589,152987,0661 56,0305 77,5519 86,325089,317067,3919 80,2371 87,5660ZNLM H 89,7880 65,6039 80,6649 88,856791,096872,4235 83,495590,271389,4471 61,7446 82,0757 90,813390,169668,720781,8619 89,6062KNLMH 89,9235 66,0108 80,7516 89,101091,462973,0666 83,637890,412289,7863 64,9550 83,5446 92,283790,562669,252582,0943 89,6777LM NWH 94,2056 59,2078 74,7462 79,330493,217065,6364 77,133281,827598,1332 73,4254 86,8353 89,509894,124062,419875,7077 80,7564ANWH 92,8539 58,3861 73,4876 78,397592,875567,6759 78,465783,210396,5161 62,9502 79,5727 82,570492,787062,461875,3760 80,3380ZNWH 94,1390 59,6543 75,3937 80,123293,553566,2716 77,690282,695597,8293 70,9180 85,7901 88,356194,009063,158776,8329 81,3880KNWH 93,6904 58,4400 74,2887 78,625893,083266,0993 77,248881,960897,7632 71,0391 85,0124 87,312593,669462,280575,5266 79,9988LM NAH 93,6690 69,8741 84,1169 90,379194,089975,1276 85,624591,134095,0845 71,3641 87,9425 93,791393,966172,419185,0161 90,8098ALM NH 92,6288 66,2511 80,4891 86,060893,494474,0736 84,092889,285692,9619 60,9467 80,6639 86,548292,985969,472681,9190 87,6804ZNAH 93,3797 68,6631 82,6610 88,937393,828474,1564 84,802490,401494,4312 66,9702 84,8714 90,923393,596371,192483,9366 89,7405KNAH 93,4624 68,7364 82,9186 89,229293,976474,5446 85,046790,529694,6038 69,1574 86,2611 92,382693,699071,526284,1389 89,7967
Tabell B.33: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f = : n=40
1-2-40 2-2-40 3-2-40 4-2-40 1-3-40 2-3-40 3-3-40 4-3-40 1-4-40 2-4-40 3-4-40 4-4-40 1-5-40 2-5-40 3-5-40 4-5-40 LM N 69,6222 46,9666 63,0250 65,128579,902266,7137 77,258180,730448,5097 7,4150 21,3766 13,266074,375656,136467,7877 69,9703ALM N 71,6709 48,8924 65,5314 68,205881,893568,7896 79,444382,722249,7281 7,4641 23,1220 14,148576,284557,725769,9097 72,6473Z2 66,1544 44,3787 59,2488 60,717276,774863,7689 74,063377,377845,7443 7,3103 19,8093 12,773871,192653,542364,4329 66,4498K 70,2253 47,3822 63,6004 65,826880,392467,1022 77,679581,274548,8760 7,4097 21,8880 13,549474,844156,364568,1931 70,6205
2A 76,8069 41,2707 64,0661 77,015487,116967,3153 82,469090,412851,4335 5,9427 16,0148 23,127580,797251,236769,6078 80,3292
2W 75,8772 39,8592 62,5546 78,447786,676767,2827 82,158591,239950,4196 6,1497 15,4356 27,339680,259549,550868,2198 81,5132
D 65,9420 31,1978 51,3102 67,150379,301357,6573 73,045685,003338,1108 6,1268 12,1555 22,706471,245740,593957,9566 71,8922
rF 77,0732 49,5050 68,1015 75,694987,153572,3465 84,012789,420254,0600 7,3656 20,9613 17,885581,257958,898072,8674 79,3195r 79,2613 51,8135 69,8433 77,854488,682074,2108 85,057290,454356,2463 7,3613 22,9324 19,630682,912960,953974,6437 81,0801W 63,6093 32,9907 50,1443 58,640777,331756,4940 71,223279,344237,5728 5,9289 9,4932 10,414869,554642,430257,5553 65,3739
W~ ′ 76,6564 48,6164 67,2000 74,462286,797671,6637 83,395288,912053,5492 7,2117 20,0663 17,238480,831558,002572,0617 78,5714
W~
43,1086 17,9901 29,3938 36,167358,464737,0010 51,225860,915618,6855 5,0988 3,9871 5,385950,244826,129438,5661 45,0968
P 62,7116 57,7439 79,5882 90,536556,865548,0137 71,595984,369273,4604 73,5632 89,4798 96,316562,280155,980177,2626 88,8916G1 88,2703 74,7672 90,6109 97,249081,601463,8052 82,373492,757395,5029 91,1999 97,7940 99,716286,598572,106387,4182 95,5851G2 93,6069 77,5084 92,7859 98,324188,712965,9313 84,775994,770797,8998 93,5491 98,6039 99,817092,328674,547289,7570 96,8878rS 83,6021 70,1035 88,0412 96,870576,992859,0246 80,142093,231294,2511 88,4917 96,9653 99,366282,962268,323786,4464 96,0806GQ 99,5390 88,0424 97,5534 99,394098,602784,1646 95,117498,351599,9822 97,0327 99,8388 99,982699,100287,189096,0225 98,7224LM H 93,0203 79,8681 93,1754 97,740889,264574,3145 88,603895,010496,8970 90,0463 98,0483 99,756792,315878,359190,9627 96,3333WH 89,4537 60,4762 76,0815 75,731978,707845,2274 60,148857,411698,9850 95,3657 98,3423 99,210585,117154,966768,5730 67,8947ALM H 95,9953 82,1501 94,1446 97,831193,052876,3500 89,995395,115498,5770 91,7868 98,5116 99,765495,484580,527992,0683 96,4246LM NH 92,7144 77,5302 91,8991 96,676094,345783,6419 92,753397,023793,3490 78,9881 94,9931 98,760594,197081,336792,5806 96,8660ANLMH 91,7493 74,6010 90,3113 95,530794,061782,8628 92,277896,382090,1131 69,2349 91,9789 97,315993,340979,329391,2059 95,7479ZNLM H 92,9037 76,8655 91,5306 96,604994,242682,9655 92,674696,914392,9812 75,5936 94,0773 98,270794,234380,693892,2920 96,7237KNLMH 92,5498 76,5980 91,3764 96,438294,373283,3446 92,530496,810492,8839 77,1034 94,4090 98,418894,084380,821192,1045 96,6530LM NWH 96,0168 72,0806 89,2008 93,283495,876778,2502 89,861293,557499,1206 88,5371 97,2228 98,435696,580576,084089,6030 93,3022ANWH 94,9141 71,2803 88,0136 92,293995,391479,8869 90,323993,832298,1513 81,4903 95,3514 97,172795,831675,850389,1459 92,8413ZNWH 96,1278 72,5084 89,3350 93,629595,854878,0364 89,919893,931099,0534 86,8476 97,0036 98,610996,697076,151389,6518 93,6726KNWH 95,6568 71,5153 88,3819 92,757195,616178,5743 89,626793,515398,8955 86,8799 96,6996 98,077596,267875,860589,0312 92,9497LM NAH 95,6117 79,8983 92,7593 96,722196,195084,9031 93,384397,059496,6681 82,6982 95,8738 98,797896,456583,214593,4416 96,9067ALM NH 94,8460 76,7283 91,2820 95,537095,916084,0080 92,859796,385095,0421 74,0968 93,3250 97,319795,820681,053392,1070 95,7613ZNAH 95,6943 79,3050 92,5600 96,656196,101084,2576 93,342996,945296,5408 79,6620 95,2022 98,298796,520182,579893,2388 96,7744KNAH 95,3068 78,9643 92,3712 96,463596,065884,5710 93,146296,816596,3326 81,1504 95,3657 98,4467 96,229582,587992,9733 96,6682
122
Tabell B.34: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f = : n=50
1-2-50 2-2-50 3-2-50 4-2-50 1-3-50 2-3-50 3-3-50 4-3-50 1-4-50 2-4-50 3-4-50 4-4-50 1-5-50 2-5-50 3-5-50 4-5-50 LM N 81,2754 62,7032 70,2897 74,092989,114177,6843 84,143287,672361,3820 30,3849 26,3124 16,979084,758669,772775,1164 78,8681ALM N 83,0083 64,7431 72,8187 76,320490,366079,5032 85,871389,108163,1130 31,2747 28,5609 18,416086,324271,658377,0853 80,7041Z2 77,7171 59,1051 65,6721 69,334886,366274,1250 80,967284,280457,8310 28,4271 23,5712 15,626081,153666,794771,4190 74,7240K 81,7653 63,2292 70,8925 74,737589,442378,1195 84,569688,040161,8950 30,7565 26,8248 17,302085,181270,186575,6521 79,4125
2A 87,4660 60,2466 70,9105 84,618594,196181,4133 88,962995,224661,0090 23,0519 17,4278 28,405089,768867,686476,6774 87,7414
2W 86,8723 58,3164 69,4397 85,483494,191480,4617 88,642395,525159,4750 19,5585 16,4666 32,160089,490565,644075,6401 88,4102
D 77,8624 45,2895 57,3019 76,097789,551169,8293 79,517591,265943,6290 13,2438 11,6827 26,906082,061753,983564,4368 80,3346
rF 87,6340 65,9867 75,6858 83,591394,125783,2383 89,866594,284767,0780 31,8284 26,2482 23,616090,163872,955880,1094 86,9870r 88,7686 68,3492 78,0043 85,461394,809984,8636 90,936595,225868,5540 32,9120 29,2781 26,235091,078474,925782,0223 88,5318W 74,1658 47,8636 55,2893 66,050286,409568,8759 76,476285,747644,7240 18,6834 9,5652 11,344078,208156,455162,1292 71,9495
W~ ′ 87,2128 65,0735 74,7944 82,795693,875682,5222 89,367693,937566,4130 31,2873 25,0423 22,538089,856772,197979,4117 86,4027
W~
57,9810 31,0081 37,2889 46,595474,561551,9699 60,854472,384725,3570 10,2251 4,5362 6,007063,058539,763345,9836 55,0388
P 77,9836 63,8222 84,9521 94,348071,451255,7671 77,260589,399087,9330 78,5512 93,3668 98,212075,755461,960884,0008 93,3525G1 94,5962 81,2798 94,5192 99,244090,191673,2110 88,499497,000498,6050 92,3979 98,9708 99,920093,293578,146992,5899 98,1654G2 97,7894 87,5837 96,3071 99,609994,712179,0697 91,243198,103299,4770 96,1399 99,4444 99,953096,953984,349794,6197 98,7284rS 92,8076 77,6972 92,1741 98,547187,751767,9882 85,281596,217498,5400 93,4027 98,3268 99,831091,491476,157491,5208 98,3687GQ 99,7995 96,1459 98,5195 99,747699,225693,0491 96,749099,0957 100 99,5977 99,9194 10099,326893,759096,9611 99,1131LM H 96,9555 87,7305 95,8562 99,200994,577082,6006 92,236597,494199,0290 93,9124 99,2074 99,925095,864184,876593,7956 98,0398WH 94,1848 85,5163 86,3699 87,802685,478571,8938 71,196572,065099,7430 99,0019 99,5233 99,930089,916777,993678,5841 80,4225ALM H 97,9014 91,8492 96,4820 99,242695,990387,6875 93,249197,648299,3840 96,5744 99,3756 99,945097,093689,445394,7488 98,1653LM NH 97,5279 87,7118 95,4852 98,797698,102391,1348 95,961298,671197,7720 87,3247 97,7823 99,8100 97,856688,563895,5195 98,7025ANLMH 97,0116 86,5963 94,7671 98,412498,005191,1156 95,893898,558896,8680 83,0092 96,2471 99,444097,550287,954094,8730 98,3557ZNLM H 97,5029 87,3899 95,2292 98,744397,974890,7063 95,876798,623597,6300 86,1732 97,4912 99,748097,805188,275295,5580 98,6768KNLMH 97,3287 87,1779 95,2504 98,663298,052691,0356 95,924798,572197,5490 86,3704 97,5211 99,770097,775888,191695,4011 98,5980LM NWH 98,6144 90,8930 94,4099 97,784998,567991,7348 94,848897,721799,8050 98,1252 99,1985 99,841098,643890,807094,1738 97,6162ANWH 98,3007 89,8759 94,1200 97,515698,412591,9096 94,983697,760399,6560 96,9827 98,6890 99,685098,539990,223293,8725 97,4736ZNWH 98,6653 91,2592 94,7495 98,082898,511791,6620 94,881197,8119 99,7780 98,0589 99,2334 99,830098,769391,205094,5950 97,8556KNWH 98,4861 90,2964 94,2257 97,622598,472591,6031 94,687797,672899,7420 97,8615 99,1114 99,766098,561490,439594,0329 97,4569LM NAH 98,2816 91,5717 96,0164 98,854698,562193,2645 96,372998,736598,8790 92,4152 98,2369 99,823098,396391,599096,0366 98,7702ALM NH 98,0469 90,6034 95,3940 98,456098,578893,2262 96,268198,575998,2070 89,8408 97,1248 99,513098,276090,822595,4992 98,4165ZNAH 98,2392 91,5630 95,8833 98,833798,4736 93,0602 96,297898,711798,7450 92,0558 98,0335 99,778098,324191,822896,0286 98,7412KNAH 98,1230 91,2561 95,7973 98,723498,533193,2440 96,259798,665198,6610 92,0576 98,0645 99,796098,345291,385895,8081 98,6342
Tabell B.35: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f = : n=100
1-2-100 2-2-100 3-2-100 4-2-100 1-3-100 2-3-100 3-3-100 4-3-100 1-4-100 2-4-100 3-4-100 4-4-100 1-5-100 2-5-100 3-5-100 4-5-100 LM N 98,2260 91,2732 90,9410 93,403099,601097,9536 98,085298,954088,5910 50,6500 31,1920 9,766098,988094,342294,0219 95,7680ALM N 98,4210 92,0131 91,8090 94,131099,657098,1711 98,348199,210089,0920 51,9060 32,7460 10,603099,148094,912994,5312 96,2870Z2 97,2950 88,4703 87,8650 90,262099,2390 96,6642 96,845398,134086,0120 46,4080 27,4170 9,293098,246092,429591,9813 93,8360K 98,2740 91,4145 91,1150 93,527099,619098,0149 98,133499,020088,7060 50,7690 31,4090 9,840099,006094,436894,1486 95,8370
2A 99,5830 91,9028 94,0970 98,849099,946099,1381 99,645499,967091,2490 30,2200 22,0150 47,865099,721095,133896,4526 99,2820
2W 99,5470 90,6028 93,6950 99,174099,954099,0506 99,613499,971090,6510 24,8170 22,2090 56,046099,734094,402996,3913 99,4710
D 98,3000 82,0296 86,2100 96,714099,744097,0551 98,393599,817078,5390 16,8650 16,9170 46,793098,981087,987591,1062 97,9870
rF 99,4110 93,6076 94,4300 98,069099,929099,1724 99,497699,899092,4450 50,1210 30,9460 25,022099,667096,344496,5684 98,9710r 99,5930 94,5288 95,3380 98,345099,934099,2841 99,591999,902093,2790 53,2240 34,3470 25,877099,746096,855797,1113 99,1170W * * * * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 99,3760 93,3107 94,1990 97,905099,928099,1273 99,468899,899092,1740 49,2350 30,0350 24,527099,627096,149296,4481 98,8870
W~
93,0710 66,7065 68,9660 81,994098,442090,4278 92,764497,307059,7180 8,0280 4,1090 13,013095,126077,664678,2623 87,8140
P 97,3360 97,2663 97,5930 99,435094,954094,2625 94,410698,394099,5640 99,3390 99,6470 99,976096,792096,720596,6899 99,4080G1 99,9640 99,5911 99,9200 10099,768098,0209 99,409199,9880 100 99,9840 100 10099,900098,933899,7664 99,9780G2 100 99,9045 99,9760 10099,964099,0920 99,7942 100 100 100 100 10099,957099,465299,9195 99,9830rS 99,7290 99,3152 99,7380 99,976099,034097,2008 98,981699,939099,9860 100 99,9840 10099,475098,870499,6500 99,9890GQ 100 99,9429 100 10099,983099,7649 99,765199,9870 100 100 100 10099,953099,550599,6191 99,8840LM H 99,9700 99,7278 99,9330 10099,887098,9631 99,628099,9780 100 99,9880 100 10099,873099,111499,6322 99,9150WH 99,7610 98,9244 98,4230 98,595098,151094,0778 91,755093,4200 100 100 100 100 97,922093,930092,5961 93,4160ALM H 99,9720 99,8193 99,9530 10099,903099,1652 99,716299,9780 100 100 100 10099,883099,405699,6719 99,9150LM NH 100 99,7354 99,9050 100 100 99,8868 99,928399,9890 100 99,9370 99,9840 100 10099,751299,8703 100ANLMH 100 99,7143 99,8760 10099,987099,8929 99,940499,9870 100 99,9270 99,9820 100 10099,724999,8647 100ZNLM H 100 99,7806 99,9190 100 100 99,8807 99,923699,9900 100 99,9370 99,9850 100 10099,775199,9000 100KNLMH 100 99,7306 99,8980 100 100 99,8873 99,929499,9880 100 99,9350 99,9840 100 10099,743599,8669 100LM NWH 100 99,9166 99,9540 100 100 99,9131 99,9304 100 100 100 100 100 10099,819799,9317 100ANWH 100 99,8923 99,9520 100 100 99,9151 99,9195 100 100 100 100 100 10099,804099,9111 100ZNWH 100 99,9365 99,9800 100 100 99,8924 99,9298 100 100 100 100 100 10099,861699,9413 100KNWH 100 99,9084 99,9520 100 100 99,9142 99,9165 100 100 100 100 100 10099,813599,9104 100LM NAH 100 99,8127 99,9200 100 100 99,9235 99,929799,9890 100 99,9480 99,9850 100 10099,784299,9020 100ALM NH 100 99,7928 99,9060 100 100 99,9256 99,941699,9870 100 99,9390 99,9830 100 10099,799299,8843 100ZNAH 100 99,8372 99,9420 100 100 99,9328 99,924799,9900 100 99,9490 99,9860 100 10099,806899,9037 100KNAH 100 99,8060 99,9150 100 100 99,9224 99,932399,9880 100 99,9450 99,9850 100 10099,781299,8964 100
123
Tabell B.36: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f = : n=250
1-2-250 2-2-250 3-2-250 4-2-250 1-3-250 2-3-250 3-3-250 4-3-250 1-4-250 2-4-250 3-4-250 4-4-250 1-5-250 2-5-250 3-5-250 4-5-250LM N 100 99,8030 99,9460 99,9690 100 100 100 100 99,9830 61,7660 54,0310 14,6360 10099,901099,9890 100ALM N 100 99,8290 99,9530 99,9830 100 100 100 100 99,9850 62,8790 55,6980 15,5780 10099,9120 100 100Z2 100 99,7440 99,8880 99,9530 100 99,9840 100 100 99,9390 57,6050 46,8720 13,0330 10099,891099,9450 99,9800K 100 99,8050 99,9470 99,9710 100 100 100 100 99,9830 61,7890 54,1180 14,7000 10099,902099,9890 100
2A 100 99,9690 100 100 100 100 100 100 100 38,0470 55,7950 98,4170 100 100 100 100
2W 100 99,9530 100 100 100 100 100 100 100 31,8790 55,6400 99,2190 100 100 100 100
D 100 99,4050 99,8930 100 100 100 100 100 99,9410 20,2440 39,3000 95,7730 10099,9050 100 100
rF 100 99,9590 99,9870 100 100 100 100 100 100 59,7870 57,8810 83,5750 10099,9820 100 100r 100 99,9630 100 100 100 100 100 100 100 63,1890 61,6650 81,0770 10099,9830 100 100W * * * * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 100 99,9570 99,9860 100 100 100 100 100 100 58,8050 56,7000 84,1230 10099,9820 100 100
W~
100 98,4910 99,4100 99,9800 100 100 100 100 99,3380 10,3300 12,4330 80,4580 10099,505099,8140 100
P 100 100 100 10099,987099,9830 100 100 100 100 100 100 10099,9870 100 100G1 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 99,9880 100G2 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 99,9890 100rS 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100GQ 100 100 100 100 100 99,9900 100 100 100 100 100 100 10099,9740 100 100LM H 100 100 100 100 100 99,9890 100 100 100 100 100 100 10099,985099,9870 99,9890WH 100 100 100 99,9850 100 99,8540 99,925099,8980 100 100 100 10099,751099,052099,0890 99,0040ALM H 100 100 100 100 100 99,9890 100 100 100 100 100 100 10099,985099,9870 99,9890LM NH 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100ANLMH 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100ZNLM H 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100KNLMH 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100LM NWH 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100ANWH 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100ZNWH 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100KNWH 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100LM NAH 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100ALM NH 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100ZNAH 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100KNAH 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
Tabell B.37: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f = : n=10
1-2-10 2-2-10 3-2-10 4-2-10 1-3-10 2-3-10 3-3-10 4-3-10 1-4-10 2-4-10 3-4-10 4-4-10 1-5-10 2-5-10 3-5-10 4-5-10 LM N 19,6768 8,8725 8,1732 9,304325,179213,9990 13,349815,513012,3385 2,4392 2,2575 3,080621,163011,0343 10,3316 11,7752ALM N 20,6879 9,2521 8,3439 9,759126,045214,6832 13,824916,144512,0876 2,2500 2,0147 2,762721,747211,227610,6853 12,7117Z2 20,0455 8,9792 8,1849 9,404625,236714,2091 13,560315,620012,2384 2,2953 2,0380 2,887321,319811,1268 10,5796 12,2399K 19,9126 8,9211 8,1169 9,381225,374714,1178 13,465315,581312,2961 2,3322 2,1309 2,945921,349711,082810,4055 11,9054
2A 16,3015 7,4654 7,0213 8,013822,839912,8901 11,909412,9729 8,0005 4,2674 3,9432 4,0469 17,2960 9,1745 8,9593 9,9198
2W 16,4851 7,4734 6,9230 7,937222,946213,0446 12,195912,9011 7,8240 3,9299 3,9307 4,013317,6479 9,0981 9,3541 9,9169
D 14,6410 7,1079 6,6186 7,162820,264111,3000 10,962111,7911 7,3113 4,1898 3,8083 3,925116,1678 8,3903 8,3333 9,0711
rF 18,4743 8,3383 7,6920 8,648124,818414,1553 13,011914,0856 9,9876 3,4176 2,9958 3,454119,476410,3092 9,7415 10,7206r 18,8753 8,5429 7,9481 8,919725,365014,7471 13,347914,651810,0589 3,1316 2,7699 3,281620,033710,610710,1320 11,2807W 14,5820 7,1508 6,6973 7,164520,093611,7360 10,760111,3756 8,1137 4,7698 4,2449 4,054715,8103 8,7939 8,4797 8,8461
W~ ′ 18,1874 8,2572 7,6084 8,631724,364713,8999 12,731713,9515 9,8368 3,5570 3,1821 3,617719,159510,1878 9,6536 10,6619
W~
9,6413 5,7225 5,5703 5,666114,0533 8,6353 8,5458 8,4673 5,7445 6,3801 6,0868 5,066610,8469 7,1807 7,0843 6,9255
P 16,0058 7,6078 7,4482 9,182514,4947 7,6329 6,7993 7,766421,2255 9,3172 10,6580 13,841916,1922 7,6528 7,5170 8,6509G1 16,0890 12,4479 12,8958 13,038315,190012,6858 13,016612,567418,8672 13,6918 14,6947 15,917616,456412,165512,3807 12,3606G2 16,4020 10,9832 11,3227 10,372515,338511,1556 11,2374 9,540921,4356 12,6076 13,6058 14,610916,511910,846811,0367 9,9266rS 16,3284 7,9542 7,7842 10,189015,1035 8,2192 7,6892 9,889021,3079 9,6940 9,9190 13,363716,6083 7,5892 8,0642 10,3190GQ 31,2401 11,6487 12,4194 14,963133,466514,0147 15,089517,860927,2219 8,9345 9,2724 11,510831,637713,174713,9027 16,7638LM H 29,2952 13,7043 14,9106 16,181930,210215,2326 16,155617,648627,1846 11,2774 12,6054 13,180029,822913,901214,4979 15,7202WH 21,8287 11,6036 11,6815 10,645318,905811,8203 12,254110,566831,3807 12,3109 12,9668 12,501920,287811,362811,8487 10,1959ALM H 42,1808 15,4693 16,9645 17,564641,492116,7066 18,202418,945844,2565 13,9043 15,8034 14,952842,496215,795716,6350 17,1442LM NH 30,0411 13,9696 14,4151 16,018534,319319,7233 20,035122,097924,0335 6,9864 7,8532 8,985131,632115,770316,4757 17,9315ANLMH 22,7522 11,1727 10,9335 12,488328,067417,7111 17,591319,434513,7163 2,8472 2,6911 3,741324,245613,358713,8764 15,4460ZNLM H 23,4948 11,7368 11,4882 13,295128,632018,1298 17,926920,253614,7017 3,1160 3,1747 4,452925,047613,865314,1586 16,0486KNLMH 27,7289 13,3002 13,6137 15,030732,554319,6892 19,752221,697020,6137 5,3090 5,6612 6,872029,660415,914715,9799 17,2844LM NWH 31,5315 12,7372 12,4374 12,131433,5104 16,0209 15,457115,315134,1773 11,0587 10,8484 10,736431,521213,919613,5298 13,0471ANWH 24,4996 11,9530 10,7433 12,072629,360518,0194 17,048218,908816,7317 3,4766 3,0840 4,156626,059013,939613,6224 14,9878ZNWH 27,2710 12,3660 11,7966 13,019431,629418,2395 17,570419,058622,3479 5,1860 4,9240 5,744928,938914,343214,0910 15,1957KNWH 29,2147 12,5473 12,1193 12,030932,128217,0263 16,275816,248729,6685 9,3293 8,9373 8,965829,498014,031313,5850 13,5486LM NAH 38,0260 15,7098 16,3623 16,908240,573821,2717 21,483122,757134,5833 9,3908 10,2631 10,001439,034717,338217,7436 18,8259ALM NH 28,4722 12,5441 12,0348 12,937633,332818,8372 18,638720,153119,4196 3,3729 3,3474 4,060930,440114,825114,8146 15,8488ZNAH 30,7200 13,0162 12,8510 13,878035,214419,3057 19,331020,930523,1055 4,0581 4,1662 4,866632,413515,379315,4680 16,6525KNAH 35,0360 15,0657 14,9924 15,505738,942621,1903 20,914522,072530,5617 7,3929 8,0470 7,648636,709216,999917,1469 17,6813
124
Tabell B.38: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f = : n=20
1-2-20 2-2-20 3-2-20 4-2-20 1-3-20 2-3-20 3-3-20 4-3-20 1-4-20 2-4-20 3-4-20 4-4-20 1-5-20 2-5-20 3-5-20 4-5-20 LM N 27,0869 17,4954 20,0178 24,593439,058731,0522 33,711238,9136 8,4723 1,6841 2,7227 3,948831,006124,321126,4653 30,8005ALM N 28,3712 18,4301 21,4458 26,255040,483832,1874 35,609441,3316 7,9409 1,4451 2,4450 3,564832,235125,208428,3674 32,5483Z2 26,8121 17,5183 19,8415 24,196538,302230,8120 33,152038,2162 8,6442 1,6263 2,6389 3,945830,666024,116926,1259 30,2299K 27,2770 17,5221 20,2947 24,971439,425431,1504 33,996039,7079 8,2762 1,5927 2,6432 3,867431,214424,574727,0610 31,2963
2A 25,0266 13,1729 15,3039 20,034540,019527,8513 31,071238,1434 6,6710 6,0737 4,2545 4,126529,176418,683221,4739 27,2530
2W 23,9510 12,2743 14,7575 19,628839,846427,0889 30,399937,6295 6,1944 5,4698 4,3493 4,068228,286217,141120,4901 26,7187
D 18,5407 10,1535 12,4883 16,257833,001222,0443 25,496031,7563 5,9071 5,6075 4,8105 4,369222,648913,898217,0157 22,2801
rF 27,8747 16,7401 19,2167 24,927142,610331,7649 35,013242,3638 7,8807 3,4209 3,4573 4,186332,603023,313126,1678 31,8593r 28,8027 17,7243 20,3329 26,301343,726933,5128 36,784744,1947 7,5705 2,5558 3,0572 3,988433,598224,378427,6188 33,3459W 22,5988 13,2723 14,6841 18,457735,453625,7041 28,456434,0374 7,3779 6,8889 5,0737 4,559726,888518,665420,8331 24,9850
W~ ′ 27,5784 16,3644 18,8322 24,340542,169931,1291 34,563141,4808 7,9731 3,7416 3,6592 4,297332,233322,822325,6426 31,3125
W~
12,5995 7,1737 7,4871 8,549621,705014,4597 15,146517,9727 6,3171 11,7927 7,5454 4,892715,989711,214611,6863 13,0251
P 29,1286 14,0389 19,9613 33,781624,784513,2167 17,474227,647439,3371 17,3891 27,9776 48,811627,130813,538819,8570 33,1188G1 34,7343 21,0968 25,3849 36,492230,958219,4242 22,389030,312945,1551 29,0821 38,3148 56,826433,582420,489124,6026 34,8049G2 38,5728 20,1383 25,0445 35,848533,557218,6095 21,191428,025952,9037 28,9926 40,1721 60,258437,006519,858124,4032 33,5428rS 35,5714 15,2385 22,4628 35,581430,906914,2436 20,203031,321949,8400 22,2828 34,5465 51,924834,661514,803522,3578 35,5614GQ 61,5512 31,6915 43,9047 61,755360,242134,3451 45,177860,553466,5180 23,5022 41,3279 64,961560,712232,859644,7589 60,8836LM H 45,9578 27,5157 32,8980 43,447943,943428,6558 33,481142,697951,2372 26,4641 32,4268 47,158545,229027,599333,0386 42,3632WH 43,3380 18,4336 17,7268 18,305435,149716,4935 14,557814,092770,4610 32,3748 37,0261 43,168139,949017,294516,2812 16,6736ALM H 55,9117 30,7310 36,6670 44,193752,816331,2713 36,471643,360663,2483 30,8504 37,5870 48,368054,303430,680036,0916 43,2550LM NH 45,6735 27,6740 32,8812 41,344253,349238,5697 43,134251,427736,5525 14,3593 19,6157 27,119948,095933,043137,8868 45,0874ANLMH 40,4372 24,5712 28,6499 35,922951,073237,8423 41,726349,730823,6800 6,2192 7,7974 10,669243,657031,338734,7867 41,0167ZNLM H 42,2762 26,0773 30,5727 38,079851,278538,0668 42,267049,574928,8518 9,4361 11,8552 15,666145,161331,991936,0457 42,2314KNLMH 43,8715 27,3999 31,2874 39,190452,633838,8397 42,455150,716832,5554 12,8079 15,8256 21,595846,700633,102036,7190 43,1165LM NWH 51,4624 23,4216 25,2022 29,691654,953332,7536 34,679639,992561,8493 24,1555 25,9507 30,023552,270228,711230,5692 34,6137ANWH 45,0872 23,6237 26,3215 31,557352,691335,7564 38,294444,543742,4297 13,9097 14,4502 16,599847,197630,064732,3957 37,0303ZNWH 48,5265 23,9090 25,5910 31,364754,138934,3653 36,214742,125852,7307 18,5514 19,5618 23,456749,617729,651031,3107 36,0965KNWH 49,2924 23,5242 25,0474 29,790953,984333,7599 35,620741,095156,9556 22,2699 23,1723 26,715650,215729,263630,9038 34,9265LM NAH 52,6209 30,7776 34,7644 41,562158,271440,9862 44,461251,688048,9286 19,0982 23,2027 27,368854,775735,595039,4912 45,3489ALM NH 47,8356 26,7386 30,5915 35,955555,877239,4984 43,185349,847836,4501 8,9339 9,8911 10,624550,305732,935736,4118 41,0275ZNAH 50,5335 28,7497 32,0921 38,042457,131139,9166 43,273349,697042,6818 12,7910 14,3324 15,508152,756433,832437,4749 42,2620KNAH 50,6439 29,6206 33,4602 39,642857,261440,4216 44,155951,055144,7683 16,3836 19,3406 22,116252,991134,786038,4270 43,4990
Tabell B.39: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f = : n=30
1-2-30 2-2-30 3-2-30 4-2-30 1-3-30 2-3-30 3-3-30 4-3-30 1-4-30 2-4-30 3-4-30 4-4-30 1-5-30 2-5-30 3-5-30 4-5-30 LM N 34,5554 23,9934 27,9823 33,439551,452343,7341 47,760053,4575 6,0318 0,9578 1,7847 2,635842,239534,525037,0001 42,3609ALM N 36,3342 24,9481 29,2855 34,785954,165345,1611 49,798854,9741 5,5693 0,7567 1,4713 2,017744,424335,463738,3421 43,7117Z2 33,0754 23,4986 27,4132 31,943249,747842,0223 46,494651,4892 5,9465 0,8823 1,6988 2,506440,744933,612736,1727 41,0940K 34,9176 24,2835 28,3778 33,642352,212444,3272 48,350653,8265 5,8933 0,8994 1,7195 2,426942,750234,846537,4545 42,6459
2A 29,2128 17,1533 21,1647 27,948551,815740,4575 45,812153,8437 6,4402 9,6625 6,7898 4,587037,504725,619630,5273 37,4072
2W 27,5534 15,6546 20,0537 26,672851,182139,4207 45,315553,4267 5,7758 8,9599 6,5572 4,540335,667123,224928,6300 35,9015
D 21,1376 12,5503 14,9231 20,739641,942431,9905 35,476043,2453 5,6573 7,6505 5,6262 4,291328,638019,112422,5323 28,8000
rF 34,4486 22,7422 27,2143 33,253555,282245,6585 50,504356,6750 6,0881 4,3159 3,5360 3,307742,860032,639037,0241 42,2171r 36,5120 23,8656 28,6678 35,318657,372747,4836 52,237258,8302 5,6298 2,5845 2,6906 2,818944,874834,023038,2443 44,3519W 26,3976 16,2575 18,9882 23,553145,073235,1339 39,010145,7841 7,8957 12,6993 8,0609 5,299733,965125,031527,9997 33,0123
W~ ′ 33,5437 22,4087 26,3957 32,496654,396144,9639 49,586655,7523 6,1355 5,1082 3,9370 3,525741,966932,225836,5196 41,5995
W~
13,4508 8,5908 9,1005 10,696227,006019,5844 21,390625,4663 8,0474 21,2272 12,3912 6,933219,856014,700116,3902 18,2743
P 35,5273 15,5738 25,9915 44,483929,356714,0507 21,388536,797348,3478 21,2643 35,3688 60,746433,987215,970126,0377 43,5830G1 41,4090 23,7942 33,9548 49,929636,252120,9515 28,541040,173456,5111 36,9218 53,0811 75,374039,038522,737232,6389 47,2697G2 46,6363 24,1850 34,5016 50,944839,386120,4739 28,180239,450366,5006 39,3395 55,9166 79,692143,480322,712733,3336 47,6325rS 43,4207 19,5630 29,9575 48,165736,071417,1633 25,897940,386563,7236 32,1868 47,8857 69,193642,605719,173130,5774 47,2358GQ 72,3506 41,0525 52,9839 69,646968,941042,2061 52,796667,092482,0624 35,6652 54,8880 78,483870,624441,553954,1939 69,8660LM H 51,9902 30,9925 41,9557 56,037749,177331,3142 41,047953,030959,5490 31,3781 46,7092 65,170550,381630,735142,1383 55,0514WH 48,6869 19,6640 25,5496 26,659337,563416,2966 19,958318,388882,7257 45,2089 58,8931 69,285142,891618,289423,4418 24,0457ALM H 60,8045 33,8127 45,4670 56,690757,146533,5376 43,990753,779869,5039 35,0854 51,3101 66,436258,802033,383045,2103 55,9224LM NH 54,4498 34,8037 43,9110 55,095965,364849,8136 57,382065,734842,0522 18,1693 30,4771 43,217659,055042,462250,1317 59,7632ANLMH 51,4218 33,6605 41,3287 50,693864,758250,9799 57,074065,319831,3490 9,8881 17,6476 23,670156,845842,165748,1732 56,9783ZNLM H 52,8842 34,5233 42,6549 53,437964,262249,2731 56,485065,016837,1620 13,9618 23,7335 33,726957,663642,069148,9756 58,5144KNLMH 53,4643 34,7295 43,0403 53,667765,078050,3727 57,067965,779639,4730 16,8558 27,2209 39,160258,296142,579949,2685 58,7477LM NWH 59,5733 29,4792 36,5890 42,719865,569443,6078 49,838855,809374,2477 33,4221 44,2036 53,502461,835037,330343,3061 49,1997ANWH 56,5088 30,2833 37,3280 43,894066,166147,3996 53,165759,369461,8028 23,5057 32,5205 38,020560,455739,373444,4363 50,9005ZNWH 59,4489 30,2224 37,4449 43,584665,394743,5691 50,100156,329769,7504 29,3718 39,7819 48,010161,575538,063143,7526 50,1352KNWH 58,7042 29,7127 36,7839 42,614765,556744,7423 50,920056,832371,7778 31,7748 42,2467 50,3054 61,267537,978943,6119 49,4756LM NAH 61,2828 36,9784 45,9922 55,364969,507451,0942 58,692565,951155,4224 22,4047 35,3689 43,765365,219644,422852,0741 60,0330ALM NH 58,9486 35,3044 43,3470 50,901069,422851,8751 58,378065,490145,9949 13,2916 21,4896 24,034763,207843,629549,8828 57,1684ZNAH 60,5981 36,0904 44,9271 53,767468,642250,1796 57,873965,207851,4091 17,8498 28,2901 34,153964,476743,570350,9484 58,7404KNAH 60,8398 36,4612 45,2446 53,912069,501051,1350 58,543866,015653,4983 20,5368 32,5105 39,606464,732644,086051,2921 58,9855
125
Tabell B.40: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f = : n=40
1-2-40 2-2-40 3-2-40 4-2-40 1-3-40 2-3-40 3-3-40 4-3-40 1-4-40 2-4-40 3-4-40 4-4-40 1-5-40 2-5-40 3-5-40 4-5-40 LM N 40,1293 29,1965 34,6870 40,826160,999452,5473 58,504064,0926 3,8532 0,5977 1,7339 1,921449,821341,611545,8190 51,1491ALM N 41,8495 30,1799 36,4224 42,737563,070454,4692 60,264066,2538 3,2817 0,4448 1,3240 1,467951,539842,3012 47,4006 52,7376Z2 38,2378 28,1500 32,8314 38,276458,145350,3672 56,059761,1201 3,9056 0,6096 1,5753 1,837447,888540,349943,9317 48,5477K 40,5116 29,3862 34,9130 41,396661,501852,9066 58,876664,8813 3,7253 0,5710 1,5632 1,868550,370141,722646,1148 51,6139
2A 33,7152 19,7383 26,3909 35,173462,609150,4567 57,001966,4991 6,8251 11,9634 7,2762 4,420944,648330,483637,5722 45,9891
2W 31,7051 18,6668 23,7385 33,796861,981650,1976 55,892866,2013 6,3313 10,6554 6,6474 4,228242,394128,975834,6293 44,5023
D 24,4544 14,3658 18,3157 25,548051,624640,8684 46,047854,5465 6,3316 9,0152 6,5723 4,188033,761623,008627,4063 34,4386
rF 40,2310 28,1892 34,7043 42,140265,200456,7206 62,063169,7893 4,9072 5,1412 4,2001 2,945150,632740,812046,2220 52,3211r 42,6196 29,8615 36,3416 44,597067,471758,8577 63,924272,0517 4,0855 2,7078 2,7301 2,300653,312442,444147,7986 54,5692W 27,1354 16,7349 20,8826 26,132851,060740,2939 45,667553,4813 9,5135 19,8593 10,4029 6,342637,354327,782832,0912 37,2441
W~ ′ 39,6854 27,6590 33,8869 41,217664,599256,0039 61,315468,6841 5,3220 6,1545 4,7324 3,101950,046040,200245,3756 51,3609
W~
14,6811 8,6262 11,2355 13,892032,961023,9111 28,155034,013811,5299 28,9317 14,6515 8,501923,407517,347219,8156 23,4267
P 44,0985 22,6737 35,3411 58,150936,385118,8910 29,917347,930060,3492 31,4356 46,2042 74,033543,610021,989133,8835 55,9186G1 47,6236 30,8862 46,0055 65,636940,612925,8286 38,003653,067966,1295 51,0565 69,1550 89,372645,600730,066543,3758 61,7387G2 55,9677 31,5045 47,3954 69,613346,397725,4957 38,401755,251978,9633 53,7470 72,7458 93,113353,771530,181644,7755 64,8977rS 53,3252 26,9478 41,5808 63,724143,186222,4983 34,486652,915275,5229 44,7060 63,1187 84,002153,305226,057940,7809 62,5842GQ 78,6259 48,2470 65,8937 81,053574,449648,7830 63,515577,118490,4181 47,4454 75,3142 92,959576,773949,135265,3827 79,4349LM H 56,1741 38,6116 55,2117 70,659852,473737,9466 52,207866,467865,1664 41,4663 65,7478 84,837855,409639,797353,6919 68,0190WH 53,3256 25,0625 34,5906 38,290939,781719,1402 26,004025,426391,0293 63,0881 77,6696 89,822346,899722,672429,9945 32,6332ALM H 65,2044 41,3822 58,2662 71,100260,643040,3545 54,574367,024275,2560 45,2529 69,6105 85,482463,796542,114956,3840 68,4923LM NH 58,9490 43,5429 56,1037 69,336672,048660,7204 69,385079,105445,7373 26,1779 47,1221 66,312965,176752,652061,8896 72,7476ANLMH 57,2429 41,6557 53,5940 66,099672,284461,2717 69,653378,838435,9113 15,7679 34,3318 48,479664,437151,785160,6388 70,6952ZNLM H 59,0195 42,5382 55,4042 68,870971,561759,4797 68,650578,546343,1084 21,3155 42,4170 59,552365,137851,631461,3971 72,2002KNLMH 58,9852 43,1260 55,3244 68,517672,493561,0434 69,409178,975644,2759 24,6558 45,2463 63,677365,321352,507261,6686 72,2187LM NWH 64,3447 38,0211 49,0901 57,553672,785854,6217 63,207270,619882,9866 49,5760 67,2252 77,767868,563147,276356,1264 63,1009ANWH 61,5149 39,0246 49,4487 58,350373,293058,1793 65,907373,147073,3536 39,2834 56,7026 66,580367,015348,954356,7668 63,8862ZNWH 64,2651 37,8245 49,1785 58,641072,240853,3439 62,352970,130380,9089 45,4257 63,5543 75,066368,565746,792055,8448 63,5339KNWH 63,2887 38,1188 48,9335 57,449172,715855,5125 63,843971,133781,1686 48,4585 65,0846 75,730767,676047,546756,0594 63,1959LM NAH 66,1041 45,6797 57,9984 69,556475,602861,7499 70,708179,223659,7813 31,3777 51,9695 66,666970,928154,219463,5434 72,9674ALM NH 63,9407 43,7010 55,6970 66,201175,876662,4298 70,864078,868250,9661 19,6506 39,2496 48,553469,441353,168662,2026 70,7331ZNAH 65,9425 44,5923 57,5739 69,073974,956160,7374 69,734678,665257,6952 26,1904 46,9723 60,041270,878153,467563,1279 72,3186KNAH 65,4031 45,0354 57,3168 68,597875,420061,9668 70,596079,036457,9278 29,7200 49,5862 63,893670,375554,002763,0820 72,3463
Tabell B.41: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f = : n=50
1-2-50 2-2-50 3-2-50 4-2-50 1-3-50 2-3-50 3-3-50 4-3-50 1-4-50 2-4-50 3-4-50 4-4-50 1-5-50 2-5-50 3-5-50 4-5-50LM N 47,5429 35,5834 39,8262 47,001669,874661,6274 65,266171,7107 3,8695 1,0615 1,1542 1,768257,540549,333052,6493 57,6686ALM N 49,4663 37,3423 41,9074 49,110371,801063,8809 67,574273,4050 3,7399 0,8527 0,9802 1,472559,417650,760454,6625 59,5388Z2 44,8015 33,5499 37,3729 43,507166,240658,4894 61,952867,9989 3,7783 1,0630 1,1966 1,732054,493247,083149,9891 54,7682K 48,0454 35,8851 40,3968 47,465570,341762,1858 65,805872,1259 3,8755 1,0462 1,1389 1,714558,051049,698353,0188 58,1899
2A 41,5249 26,7451 30,4042 41,266073,362262,2794 65,893374,9074 6,8954 17,1696 10,1895 5,055052,266839,293143,4362 52,9311
2W 39,4512 24,8264 27,6767 39,512972,376561,3630 64,949274,4198 6,6447 14,7088 9,3672 4,510249,614236,751740,0646 50,7486
D 29,9498 18,1965 19,9929 30,325961,237048,9881 52,761163,8821 5,9251 10,5048 7,8172 4,753238,852428,348131,0763 40,8998
rF 49,1564 35,3353 40,6559 49,361875,598566,0877 70,653877,2392 5,2121 8,4715 5,5440 3,249959,641049,304853,5002 60,1376r 51,4822 37,6121 42,9978 52,411177,142768,5617 72,591079,4128 4,3054 4,5918 3,1783 2,394961,508350,953455,8319 62,8572W 30,5438 20,8769 22,0814 28,417857,969447,8097 50,755059,644310,2104 29,4763 16,0335 8,608141,108833,327134,9285 41,3242
W~ ′ 48,4557 34,5664 39,7238 48,066775,052265,2201 69,877776,3697 5,7332 9,5248 6,1982 3,487459,054148,313052,5627 59,1210
W~
18,1616 11,5270 12,4587 16,718141,616031,7057 34,419741,991411,9572 34,1341 20,6107 11,1812 27,596121,668523,2169 27,9880
P 58,2357 26,4592 39,5740 66,087248,270122,2032 33,170655,021373,5640 35,7304 51,2631 80,995955,143124,947738,7825 64,5674G1 60,2463 36,3375 52,8172 74,761451,316931,1561 44,103262,343478,3649 53,0592 76,1169 93,947456,563934,216050,0563 70,1985G2 69,9187 40,3987 56,0849 78,997158,632833,5458 45,306165,261288,5669 60,7342 80,8856 96,656966,146237,114352,2912 74,2221rS 67,3538 34,3716 47,0053 72,323856,294928,0522 38,246261,214986,9718 55,8794 71,0279 90,651965,074032,391846,0304 70,7834GQ 84,1262 59,0236 69,8257 85,731580,138357,3935 67,027281,103395,0399 66,3796 81,3045 96,296781,282258,133467,7692 82,7974LM H 67,0554 45,2474 60,7627 78,354762,237042,9503 56,608173,007777,8800 51,2598 72,5312 91,525265,378643,695758,1064 74,3359WH 62,6361 41,3048 43,3272 50,757647,999331,3551 32,187934,910495,8865 82,6028 87,4171 96,429253,756835,240736,4262 43,0945ALM H 72,1496 53,9005 63,9134 79,167167,175050,9159 59,467073,777183,1322 62,2141 75,9488 92,084770,816451,682960,7214 75,2638LM NH 71,4987 51,2530 62,1183 76,584782,139368,6859 76,001385,345664,5781 35,6399 57,2740 78,867976,584460,901869,0349 80,2873ANLMH 69,8147 50,0319 60,6561 74,410982,190669,9032 76,293785,492555,6025 27,9463 46,3071 67,263575,388060,703368,4709 79,0320ZNLM H 70,7944 50,2234 61,8685 76,052680,716766,6759 74,770484,685661,7838 32,4003 53,6981 74,693275,749859,615768,6953 79,7208KNLMH 70,8841 50,7128 61,7609 75,532382,0313 68,8166 76,097985,324362,8089 34,2526 56,2273 77,044276,076060,678868,8464 79,6360LM NWH 73,9955 52,8256 56,9141 68,988081,284267,9467 70,941379,054891,4355 73,9424 78,6369 89,591176,565260,977063,4311 72,4293ANWH 72,7034 52,3832 57,1720 68,610281,959169,7486 73,082581,079386,9604 65,9327 71,1649 83,469075,823661,184064,5726 73,0494ZNWH 73,8187 53,3543 57,4605 69,408280,161466,4979 69,620278,210590,5617 71,6525 77,2294 88,631876,402460,725263,2460 72,9837KNWH 73,0832 52,4405 56,6184 68,496681,131268,1626 71,448779,442290,4897 73,0911 77,6953 88,347376,052660,798663,4717 72,3187LM NAH 75,5029 56,5571 64,1410 77,031183,864671,4316 76,791485,626872,3690 48,8223 62,0383 79,816879,414364,743170,4631 80,5754ALM NH 74,6116 55,1588 62,4602 74,732084,404272,2334 77,215185,639666,4128 40,7255 51,3855 68,242679,137764,256369,9514 79,2249ZNAH 74,9880 56,1554 63,8250 76,577682,865269,9506 75,729984,893470,6894 46,2477 57,9007 76,048679,164764,041769,9006 80,1448KNAH 74,9233 56,2060 63,4046 76,328383,743971,5640 76,812585,557670,9259 47,8060 60,2037 78,091379,015264,690670,0489 80,1335
126
Tabell B.42: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f = : n=100
1-2-100 2-2-100 3-2-100 4-2-100 1-3-100 2-3-100 3-3-100 4-3-100 1-4-100 2-4-100 3-4-100 4-4-100 1-5-100 2-5-100 3-5-100 4-5-100LM N 74,6456 60,4391 63,2984 71,587393,697387,8732 90,433993,8151 5,3643 4,4325 2,2554 1,025084,445876,376077,5384 82,8364ALM N 75,8223 61,8393 65,0007 73,215894,123288,8504 91,204994,3898 4,7575 1,7445 0,8497 0,541085,384977,440178,5191 84,1273Z2 70,0575 56,4963 59,2277 66,860991,256184,6134 87,433691,3479 5,2322 1,1219 0,8737 0,867081,585072,887874,5147 79,7750K 74,9076 60,6374 63,6598 71,810793,826288,0373 90,588593,8957 5,3464 4,7858 2,6433 0,993084,672376,500977,7963 82,9771
2A 70,8266 48,0667 53,8413 71,887996,061590,8620 93,420897,5853 8,5360 33,0964 20,3889 7,086082,213767,112671,5659 83,5441
2W 67,9511 43,0691 50,6100 70,942295,935990,3452 93,271597,6323 7,6003 27,6616 16,3545 4,942080,300062,791168,4416 82,5858
D 53,8801 32,3616 38,2838 57,188290,769281,9453 85,413993,2072 6,6221 20,0893 11,1233 4,569068,351650,855256,2327 71,4170
rF 77,1274 60,2875 64,2312 75,629996,583691,9885 94,044297,0588 7,9344 18,0998 10,4101 3,753086,369876,726178,8251 86,0510r 79,5074 63,5876 67,0486 77,673897,023692,9876 94,678697,4766 6,5085 10,0676 4,8662 1,835087,696178,774580,7014 87,4402W * * * * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 76,6343 59,5833 63,6091 74,756696,436791,6129 93,834496,9146 8,3899 20,9579 12,4188 4,528085,961675,999778,4394 85,4516
W~
36,7377 20,7921 23,7819 34,700877,374762,9972 68,031379,050614,3974 48,6636 42,3779 31,798054,341941,411743,4571 53,9312
P 90,5100 58,7950 78,7801 96,678382,040150,9114 67,667290,887296,9648 70,9331 90,9855 99,587089,011357,195476,2908 95,6722G1 91,3183 72,7636 84,6427 98,470083,193461,7218 72,867593,332398,6752 92,0695 98,0832 99,977087,258367,386379,5026 96,4649G2 96,7157 77,9423 90,3411 99,634690,933965,6420 79,073296,851299,8353 95,6081 99,4655 10094,490272,905685,7453 98,3306rS 95,0711 68,8838 83,9728 98,093887,836756,6818 72,723993,531699,6271 91,7711 97,6847 99,890094,029266,972682,1590 97,6089GQ 98,2523 86,9916 91,5330 98,049196,149682,1149 86,887495,559199,9749 98,1153 99,3780 99,981095,805883,4172 87,7285 95,3837LM H 93,1363 78,7498 86,3730 97,936588,494273,1758 80,716594,589298,4826 91,5239 96,9174 99,980089,990774,640582,1092 94,9529WH 89,8175 68,6374 72,8250 86,528575,887851,1643 51,974764,726999,9806 99,2518 99,8400 10078,844856,418457,9159 71,6585ALM H 94,3821 81,6831 87,5691 97,941190,277376,1872 81,855094,594998,9641 93,8500 97,3946 99,981091,434977,744583,5137 94,9666LM NH 94,6010 82,9347 88,6973 97,331698,011793,7751 96,110799,071796,7100 90,4828 95,9545 99,814096,284388,778591,9844 97,8855ANLMH 94,3791 82,6593 88,1386 97,005798,104994,1644 96,206099,061595,2529 86,8310 93,3267 99,557096,112088,860891,6866 97,6790ZNLM H 94,7320 82,9852 88,8813 97,632097,643692,4627 95,348598,991996,3245 87,5195 94,3655 99,783096,147088,551391,9072 98,0820KNLMH 94,4668 82,7100 88,6037 97,207198,022593,8449 96,164399,036196,5211 90,5435 96,0334 99,766096,231488,731891,8980 97,7597LM NWH 96,2304 81,9850 87,7128 96,543098,104192,3818 95,147898,586599,9598 99,0818 99,7263 99,986096,926287,538991,0019 97,5799ANWH 96,1898 81,7162 87,3721 96,161898,304092,9472 95,620698,707499,9496 98,6664 99,5770 99,964096,998087,751090,8571 97,4072ZNWH 96,5591 82,6035 88,0624 96,895697,854190,7228 94,029698,481099,9709 98,9574 99,6951 10097,015187,416990,7584 97,8132KNWH 96,1102 81,8427 87,3508 96,386198,153192,4478 95,192598,594199,9584 99,0809 99,7210 99,978096,869087,497790,7896 97,4400LM NAH 95,4861 84,7997 89,4307 97,362398,212194,1897 96,305199,074497,7024 92,7539 96,6156 99,817096,888289,866392,4984 97,9243ALM NH 95,4634 84,5529 88,9289 97,013898,337794,5975 96,392999,062496,8488 90,0854 94,6046 99,563096,870689,907992,3960 97,6859ZNAH 95,7058 84,9411 89,5411 97,665697,937893,1156 95,478199,015597,6215 90,3849 95,1682 99,788096,852589,643592,4097 98,0920KNAH 95,4467 84,5445 89,3816 97,214198,241494,1952 96,341499,039597,6459 92,7363 96,5807 99,776096,852289,785292,4062 97,7764
Tabell B.43: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med ii X)X(f = : n=250
1-2-250 2-2-250 3-2-250 4-2-250 1-3-250 2-3-250 3-3-250 4-3-250 1-4-250 2-4-250 3-4-250 4-4-250 1-5-250 2-5-250 3-5-250 4-5-250 LM N 98,2530 90,3550 92,8442 96,904099,947099,8321 99,888099,9750 7,2510 57,8880 42,7780 11,048099,611097,645998,3654 99,2950ALM N 98,5210 90,8627 93,3051 97,203099,950099,8464 99,928099,9780 6,9570 50,1820 34,1290 7,216099,656097,791098,4560 99,3550Z2 97,4110 87,8121 90,5611 95,575099,925099,7074 99,746099,9580 7,0600 21,7980 11,3140 3,724099,392096,877697,7507 98,8850K 98,2650 90,4060 92,8600 96,942099,947099,8337 99,888099,9760 7,1830 58,2680 43,0040 11,270099,613097,657498,3683 99,2970
2A 98,4700 84,8393 90,6701 98,4320 100 99,9726 99,9890 100 9,1230 79,0900 56,7400 14,016099,634096,247997,8330 99,5790
2W 98,1110 81,3145 88,6332 98,2790 100 99,9670 99,9890 100 8,6490 72,0340 48,8020 7,475099,547094,635497,1513 99,5930
D 93,7090 66,1680 76,3678 93,928099,983099,5700 99,801099,9760 8,2770 51,7740 32,1250 5,712098,124086,908191,4513 98,3010
rF 98,8500 90,8347 93,7352 98,4010 100 99,9776 100 100 9,2710 63,4900 41,8710 14,479099,797097,770398,6133 99,6760r 99,0020 91,9774 94,6462 98,5130 100 99,9851 100 100 8,1930 46,1290 23,8960 5,145099,817098,167498,7947 99,7020W * * * * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 98,7380 90,3369 93,4696 98,3110 100 99,9772 100 100 9,4880 66,9270 45,8520 18,009099,783097,665698,5274 99,6470
W~
86,8070 55,0552 62,8269 82,487099,763098,3996 98,904099,8260 9,7370 87,4120 81,2270 85,266095,704082,184786,0381 94,4410
P 99,9800 94,5044 99,3035 10099,874089,8158 97,270099,9860 100 98,3950 99,8930 10099,979094,290599,1360 100G1 99,9560 98,9974 99,8905 10099,810095,5246 99,0290 100 100 99,9670 100 10099,954097,346199,5394 99,9840G2 100 99,5553 99,9487 10099,984097,5877 99,5910 100 100 100 100 10099,986098,840999,8325 99,9860rS 100 98,0206 99,6816 100 100 93,2747 98,260099,9830 100 99,9750 100 100 10097,852699,6562 100GQ 100 99,3382 99,8897 10099,970097,9435 99,418099,9530 100 100 100 10099,822097,427198,8602 99,7600LM H 100 99,1923 99,8979 10099,885097,2693 99,2500 100 100 99,9840 100 10099,806097,227599,0870 99,9310WH 99,9250 97,2273 99,3438 99,942099,083087,0092 93,708098,7040 100 100 100 10096,938085,492190,8658 95,8820ALM H 100 99,2719 99,9108 10099,920097,5806 99,3060 100 100 99,9880 100 10099,855097,434099,1505 99,9310LM NH 100 99,4861 99,9570 100 100 99,9641 100 100 100 100 100 100 10099,883799,9478 100ANLMH 100 99,4839 99,9551 100 100 99,9661 100 100 100 100 100 100 10099,886999,9485 100ZNLM H 100 99,5937 99,9669 100 100 99,9623 100 100 100 100 100 100 10099,856199,9516 100KNLMH 100 99,4781 99,9555 100 100 99,9634 100 100 100 100 100 100 10099,883699,9477 100LM NWH 100 99,4896 99,9509 100 100 99,9709 99,9870 100 100 100 100 100 10099,789999,9505 100ANWH 100 99,4914 99,9529 100 100 99,9712 99,9890 100 100 100 100 100 10099,809499,9501 100ZNWH 100 99,5537 99,9705 100 100 99,9658 99,9830 100 100 100 100 100 10099,829299,9442 100KNWH 100 99,4804 99,9508 100 100 99,9707 99,9880 100 100 100 100 100 10099,779699,9498 100LM NAH 100 99,5541 99,9626 100 100 99,9705 100 100 100 100 100 100 10099,890799,9492 100ALM NH 100 99,5166 99,9602 100 100 99,9709 100 100 100 100 100 100 10099,896899,9498 100ZNAH 100 99,6223 99,9706 100 100 99,9697 100 100 100 100 100 100 10099,877199,9529 100KNAH 100 99,5212 99,9611 100 100 99,9701 100 100 100 100 100 100 10099,888999,9490 100
127
Tabell B.44: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii = : n=10
1-2-10 2-2-10 3-2-10 4-2-10 1-3-10 2-3-10 3-3-10 4-3-10 1-4-10 2-4-10 3-4-10 4-4-10 1-5-10 2-5-10 3-5-10 4-5-10 LM N 10,3868 7,9525 7,7868 7,841216,008512,9080 13,332613,1501 3,9499 2,1628 1,6905 2,122112,789410,057310,4467 10,2330ALM N 10,3539 8,1728 7,8268 8,166516,255213,3770 13,792413,6067 3,3656 1,9550 1,4643 1,788312,613710,306210,5050 10,5715Z2 10,2644 8,1128 7,8247 8,080916,048913,0545 13,552413,2028 3,5558 2,0151 1,4978 1,908212,592710,118510,4396 10,2044K 10,3748 8,0549 7,7442 7,918216,211813,0069 13,482913,0309 3,7196 2,0967 1,6026 1,982712,705010,148310,4528 10,2731
2A 7,8208 6,8028 6,6413 6,481713,072611,9804 11,659511,3124 4,8640 4,4170 4,3155 4,17399,3198 8,6882 8,5986 8,4627
2W 7,6680 6,6629 6,7200 6,607713,126312,0537 11,951011,5589 4,5595 4,1806 4,0601 4,13669,2131 8,6442 8,7025 8,4119
D 7,4584 6,5314 6,2290 6,105411,921910,5129 10,879110,2384 5,0488 4,4217 4,2360 4,22488,2698 7,9674 7,8076 7,8600
rF 9,0119 7,6362 7,1526 7,005515,100513,1945 12,556612,1978 4,5243 3,2872 3,0300 3,094111,1783 9,4460 9,5310 9,1014r 9,1339 7,6535 7,3918 7,199615,238513,6024 13,021412,5482 4,1841 3,0207 2,7235 2,780811,2803 9,6460 9,8941 9,3991W 7,6258 6,6610 6,4718 6,114812,333910,7603 11,167310,3378 5,5771 4,8567 5,2130 4,73339,3486 8,2276 8,4425 7,8880
W~ ′ 8,9393 7,5685 7,0767 7,053114,888712,9698 12,514612,1594 4,6716 3,4325 3,2908 3,263811,0270 9,3825 9,5644 9,0492
W~
5,8794 5,4245 5,8875 5,3695 9,0969 8,2003 8,5124 7,8976 7,1241 6,7718 8,2620 7,09697,0825 6,5878 6,8810 6,6614
P 7,2180 6,9014 4,9913 6,2561 7,3677 7,2226 4,9942 5,5686 7,9445 8,2281 5,5431 8,60686,9203 7,1455 5,0398 6,3086G1 7,9369 11,7864 6,0845 8,6396 8,293512,1011 6,5432 8,9087 9,2470 12,8207 5,5873 9,75798,503711,7897 6,3248 8,8202G2 7,3406 10,4852 5,7387 6,9960 7,548410,7737 6,1948 7,0929 8,7471 11,6565 5,6978 8,71177,743310,4892 5,9824 7,1459rS 6,2194 7,4843 5,3695 6,9893 6,8193 7,6442 5,7394 7,4293 7,0150 8,9541 5,3895 8,39426,6293 7,2243 5,4195 7,6092GQ 10,8708 10,4255 6,4456 9,786813,258912,6264 8,184512,0756 8,0256 7,7068 4,4110 7,043111,695511,8375 7,4019 11,4902LM H 13,2625 13,5174 8,3632 11,732916,394315,3441 10,903814,1366 8,0943 10,7810 3,6631 7,636014,961913,8756 9,0392 11,9570WH 9,5828 11,9215 7,0243 9,1962 9,236812,3221 8,4130 9,570613,1075 12,6325 5,4848 9,17879,707511,5785 7,6749 8,9844ALM H 19,9552 15,1009 8,5864 12,554822,100316,4408 10,829214,799615,6067 13,3348 4,4035 8,563421,283815,2527 8,9329 12,7760LM NH 13,3807 13,2137 8,7723 11,397819,361918,6443 15,093217,5697 5,5164 6,5616 1,9720 4,386216,297715,405812,0075 13,8396ANLMH 10,7918 10,2143 8,4261 9,548816,922916,8088 15,091016,0444 3,4351 2,7212 1,4691 2,157813,233412,755211,7729 12,5077ZNLM H 11,0425 10,7617 8,4998 10,070717,145217,0970 15,051616,5872 3,6459 2,9147 1,5627 2,448613,456413,406811,8771 13,1043KNLMH 12,4389 12,5996 8,7666 11,065918,878618,7266 15,282917,5226 4,5430 5,0128 1,7935 3,453315,374315,053812,1415 13,7714LM NWH 12,7057 12,7601 7,8829 9,706016,143215,9262 11,412613,110211,5952 11,4226 4,2632 7,480314,244013,8460 9,7748 11,0622ANWH 11,2865 10,9782 8,1351 9,529817,502517,0955 14,643015,6604 4,3782 3,3895 1,7442 2,489413,729313,279311,6066 12,3670ZNWH 11,7828 11,6619 8,2405 10,227417,684017,4571 14,299815,9069 5,8395 5,1038 2,2224 3,691314,159313,823711,5808 12,7702KNWH 12,3870 12,2367 7,9681 9,399216,554116,4321 12,553313,959010,6320 9,7661 3,8299 6,353614,335613,877510,3386 11,4462LM NAH 17,2952 14,7470 8,8470 11,796922,418219,9563 14,776017,980310,3896 8,8296 2,4652 5,107420,000516,607811,7862 14,0407ALM NH 12,6397 11,3500 8,6548 9,868419,297217,9128 15,326216,4213 4,4069 3,1608 1,5171 2,295715,348614,049512,0455 12,8647ZNAH 13,6925 11,8975 8,6505 10,555120,019118,3149 15,261216,9986 5,1421 3,8195 1,5832 2,578716,277314,760512,0055 13,5176KNAH 15,7757 14,0140 8,7236 11,207121,582819,8045 14,939717,5417 8,4468 6,9124 1,9106 3,786918,812416,409611,9574 13,6499Anm: rS-testet har 1 ”missing value” för 1-4-10.
Tabell B.45: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii = : n=20
1-2-20 2-2-20 3-2-20 4-2-20 1-3-20 2-3-20 3-3-20 4-3-20 1-4-20 2-4-20 3-4-20 4-4-20 1-5-20 2-5-20 3-5-20 4-5-20 LM N 14,9920 15,2049 13,3273 16,319828,083128,4915 27,260730,1161 1,2023 1,1246 0,4205 1,344720,447622,124820,7709 23,1853ALM N 15,0878 15,8223 13,8010 16,851628,698529,7666 28,251331,3362 0,8943 0,8675 0,3278 1,089021,073522,981921,5317 24,2774Z2 15,0113 15,2952 13,3285 16,318827,684428,3783 26,849329,8918 1,1671 1,0701 0,4117 1,263220,466722,323920,5927 22,9930K 14,9924 15,3825 13,3405 16,463328,209328,7776 27,501930,4646 1,1099 1,0645 0,4011 1,312720,495522,283620,9258 23,4262
2A 11,0933 11,2189 9,6689 11,820325,702025,6340 24,392426,4227 8,4989 7,9510 9,9957 6,400715,953216,706815,3458 17,6707
2W 10,3188 10,4650 9,2207 11,106424,642724,8211 23,833625,9112 7,3993 7,1044 8,4704 5,952414,901515,262914,1256 16,3490
D 8,3771 8,8070 8,2311 9,372019,614220,1634 20,116521,2234 6,2652 6,2548 7,2638 5,711811,808112,362412,1598 13,5468
rF 13,7871 14,0259 12,4896 15,202828,820929,0135 27,571730,8800 4,2529 3,7216 4,3618 3,424119,490620,762219,2227 22,2740r 13,9174 14,8464 12,9859 15,733929,614430,5103 28,983232,2550 2,7619 2,6419 2,4322 2,368420,010521,837320,0508 23,1350W 11,4077 11,5790 10,2754 11,757723,291423,2891 21,975224,637410,2381 9,2975 13,1693 7,889116,521717,132215,9371 17,8818
W~ ′ 13,7009 13,7407 12,1782 14,827028,455128,4310 27,065330,3731 4,8969 4,2422 5,1748 3,860919,323320,462418,8332 21,9693
W~
7,4130 6,6921 6,4414 6,598313,829813,3139 12,809113,298418,9889 16,7372 25,1915 14,006210,826310,724010,1180 10,2945
P 7,9617 9,6852 5,5025 10,2562 7,9357 9,8293 5,9137 9,3992 8,8834 10,9544 5,9172 13,34457,3471 9,3124 5,8052 10,1054G1 13,8451 16,3066 5,9655 13,506013,558515,9295 6,691612,316916,7030 20,8923 6,5503 21,186413,850816,2856 6,8123 13,5498G2 12,5105 15,2806 5,8677 11,350112,286914,8351 6,291710,035214,9738 19,7150 6,2279 19,447512,403314,9301 6,5669 11,0362rS 8,7741 10,2690 5,7144 11,7888 8,894110,2640 6,499411,103911,0289 13,6386 6,0294 17,77828,8291 9,8090 6,2344 11,7938GQ 19,8886 22,0657 10,6661 27,079623,549225,3301 14,437930,316710,4593 12,7776 4,1972 18,653221,214123,977612,5969 29,4739LM H 20,0433 22,6794 9,2419 20,133822,743724,5722 13,827123,589715,1401 18,8459 2,0853 12,190521,385023,141312,2494 22,3721WH 16,6965 16,1438 6,6026 9,744414,720014,7577 6,7008 8,321825,7739 24,6959 7,8102 19,344016,064615,1208 6,9444 9,6104ALM H 25,9474 24,8077 10,1916 20,714327,278226,6807 14,807124,147822,8888 22,4455 2,5754 12,745826,378025,348212,9599 22,7091LM NH 21,7451 22,6838 14,3138 22,035933,613334,1356 27,536034,4385 7,5685 9,6470 0,8994 5,582726,916028,5082 22,0755 28,8494ANLMH 19,2425 20,3041 14,3718 20,233132,775333,9173 28,903634,3153 2,5319 3,7930 0,4118 2,190025,016927,431722,2426 27,5253ZNLM H 19,8935 21,7673 14,4188 20,670332,153433,9998 27,939533,8020 4,0068 5,7979 0,6100 3,0455 25,422128,131122,1868 28,0043KNLMH 20,9073 22,6264 14,2134 21,212933,349534,6673 28,040334,3015 5,8895 8,3924 0,6935 4,334526,199928,838722,0928 28,2658LM NWH 21,7462 19,8124 12,1583 16,945031,229829,1380 22,563827,289618,7490 18,6986 4,8534 13,066926,515925,254218,3053 22,8042ANWH 19,8911 20,2344 13,8676 18,364232,552632,6105 27,630231,9051 8,8081 11,1752 2,1114 6,286225,525926,593821,1056 25,3722ZNWH 20,6691 20,0754 13,1176 17,956031,293430,8424 24,317229,433112,5944 14,6979 3,0291 9,371625,836926,045419,3706 24,8168KNWH 21,1636 19,8953 12,7599 17,318931,468030,1261 24,045528,496016,5041 17,5790 4,5630 11,939226,314225,913919,2174 23,8446LM NAH 25,1782 25,1689 14,5877 22,267435,537535,9664 27,617334,622513,8330 12,7785 1,2383 5,626029,876130,565822,2863 28,9752ALM NH 22,4795 21,9413 14,6408 20,264535,281935,4467 29,362234,3512 7,0189 5,5264 0,5138 2,201727,813828,931522,6545 27,5931ZNAH 23,8952 23,4695 14,5454 20,714035,328635,1687 27,925033,9453 9,9381 8,1117 0,6814 3,023528,916229,550222,2538 28,0494KNAH 24,2686 23,9188 14,4573 21,423035,162835,7609 28,265834,589811,5791 10,9080 0,8995 4,439129,164530,288222,3587 28,5327
128
Tabell B.46: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii = : n=30
1-2-30 2-2-30 3-2-30 4-2-30 1-3-30 2-3-30 3-3-30 4-3-30 1-4-30 2-4-30 3-4-30 4-4-30 1-5-30 2-5-30 3-5-30 4-5-30 LM N 19,8522 20,9184 18,7598 23,152338,946340,7505 38,806143,2399 0,4645 0,5715 0,1640 0,623229,643831,722229,8763 33,4241ALM N 20,7842 21,6155 19,2352 23,590440,655742,4086 40,397144,3455 0,3361 0,4156 0,0591 0,417730,697632,533030,4096 33,9767Z2 19,3263 20,4329 18,5585 22,449437,539839,4864 38,013941,9189 0,4513 0,5156 0,0921 0,5200 29,059531,122429,5241 32,5135K 20,0848 21,1913 18,8864 23,202939,468841,3605 39,413943,3282 0,4177 0,5339 0,1369 0,565629,834432,029029,9247 33,5715
2A 14,0554 14,3766 12,4509 15,693336,596736,7531 35,997339,611615,9360 14,2003 20,3382 12,310522,515022,854821,4955 25,1968
2W 12,5921 13,0601 11,7415 14,252134,825935,8094 35,453238,860613,1738 12,2519 17,0541 10,884020,416020,811219,6236 23,3256
D 9,8552 10,4995 9,2266 11,314427,6144 28,9582 26,835530,7567 9,9470 9,4323 10,8796 8,432515,673317,209915,3635 18,2079
rF 18,5152 19,6527 17,3572 20,780740,449742,4609 40,290644,4183 6,6181 6,3585 9,4153 4,638528,061630,147027,6830 31,4687r 19,6894 20,5234 18,0076 22,228842,3462 44,3851 41,759446,5383 3,5160 3,3553 4,4839 2,853029,359731,201528,5800 32,9694W 13,8155 14,1575 12,5001 14,760631,621332,0236 30,621434,147122,6710 19,7942 31,2083 16,216122,698623,063121,6592 24,2964
W~ ′ 17,9864 19,2476 16,8640 20,439139,541141,8747 39,502543,6974 7,6313 7,6778 11,2626 5,600627,432429,621927,0968 31,0240
W~
7,4844 7,4019 6,9565 7,306517,408117,8345 17,079018,219734,1721 31,8045 47,3716 25,400813,749413,724613,2788 14,7131
P 7,8771 9,0380 5,8198 12,8911 7,9213 8,9291 6,072711,7158 8,4534 11,4438 5,6917 16,32797,4323 9,7016 5,9000 12,5499G1 15,3841 17,3903 6,4022 18,762114,399716,0245 6,746916,126520,1610 25,5858 7,1276 30,872614,936916,5037 6,8778 18,2240G2 13,2082 16,6649 5,8183 16,140212,225715,0174 6,104313,093118,2014 25,0409 6,6738 28,252013,211115,9563 6,5558 15,4939rS 9,0891 11,3739 6,0446 15,0990 8,654110,9439 6,719813,819112,2138 17,3433 6,5898 24,90808,779111,5438 6,1799 15,2790GQ 22,1017 27,3145 11,4763 32,985226,081330,5737 15,588935,305411,1635 16,5787 3,9602 23,562124,745828,950314,4254 35,6985LM H 21,9124 24,4205 10,1766 26,627624,255326,4138 15,381029,358717,5709 20,8394 2,0610 18,608322,944725,023913,9338 29,0643WH 17,2221 16,9524 7,1338 12,515114,899714,9390 7,208210,263030,5071 31,5883 8,9788 30,017916,150915,9316 7,4593 12,4901ALM H 26,9140 26,5247 11,2029 27,275628,133928,2851 15,983629,914725,2107 23,8811 2,6334 19,507727,769526,893714,6114 29,6062LM NH 26,5364 28,4859 18,8896 30,158743,644244,9713 37,686347,0588 9,2660 11,2291 0,6669 8,384136,207036,989229,9515 38,8657ANLMH 25,7581 27,8064 19,4884 29,264844,498646,8041 40,086348,2106 4,7565 5,3913 0,2105 2,856535,846937,312030,7210 38,4239ZNLM H 25,7733 28,2308 18,7701 29,842742,667944,4853 37,057146,9398 6,7144 8,1689 0,3515 5,195335,548636,732729,8071 38,5005KNLMH 26,3712 28,5108 18,8564 29,893143,819845,5049 38,288347,5440 8,2094 10,3547 0,4893 7,014336,069837,233230,1287 38,7679LM NWH 26,0114 24,8921 15,9920 24,507640,745939,3135 32,169040,115724,3400 23,6445 5,9173 22,205934,559833,190726,3225 33,5891ANWH 26,2453 25,7820 18,1474 26,033143,849743,4200 37,204544,411416,7758 17,6075 3,4899 14,524535,549435,474028,9976 35,7764ZNWH 25,9620 25,0496 16,5043 25,333340,713339,6777 32,379740,443420,7595 20,9395 4,7482 18,823335,069033,718126,7273 34,4083KNWH 26,0500 25,2537 16,8390 24,931541,589840,7042 33,582541,323623,4585 22,9105 5,8921 21,367234,705833,918027,2767 34,1868LM NAH 29,8821 30,6006 19,1465 30,347145,320945,9480 37,795947,290616,4648 14,6649 0,9920 8,618738,799338,416930,1513 39,0504ALM NH 29,0627 29,1893 19,5632 29,419147,139447,0948 40,051448,333310,8155 7,8085 0,2667 2,962138,530938,090630,8658 38,5529ZNAH 29,4583 29,6848 18,9708 30,031844,869645,0956 37,241347,196813,7493 10,8771 0,5143 5,293238,542737,880830,0145 38,6401KNAH 29,7964 30,1047 19,2806 29,997546,161346,2095 38,492847,742515,6868 13,1849 0,7735 7,253938,919038,216530,5350 38,9016
Tabell B.47: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii = : n=40
1-2-40 2-2-40 3-2-40 4-2-40 1-3-40 2-3-40 3-3-40 4-3-40 1-4-40 2-4-40 3-4-40 4-4-40 1-5-40 2-5-40 3-5-40 4-5-40 LM N 23,3942 24,7895 22,2580 27,488947,460648,6045 47,333152,1771 0,3203 0,3035 0,1677 0,435836,367237,979735,9828 40,0178ALM N 24,4473 25,4214 23,1328 28,464249,409850,0971 49,154553,9986 0,2039 0,1620 0,0576 0,273337,431938,642336,7389 41,3162Z2 22,7126 24,0521 21,5361 26,253845,510646,5278 45,252549,6934 0,2423 0,2789 0,0731 0,308435,475036,840534,9120 38,2005K 23,7184 24,9519 22,4150 27,890547,908748,8405 47,643552,6289 0,2853 0,2849 0,2877 0,402936,644038,138836,0758 40,4454
2A 15,3393 15,7646 14,6594 18,534344,885645,5989 44,249249,127224,6622 20,6394 31,7457 16,363426,626326,699125,2156 29,8027
2W 13,9742 14,5937 12,9934 16,601144,089945,2236 42,840148,318220,0261 17,2677 23,8195 14,172623,835124,586422,2076 27,1633
D 10,7215 11,3703 10,2899 12,473634,887936,1991 34,073438,018013,3447 12,2870 15,1959 10,239018,845420,369818,0555 20,7579
rF 21,4379 23,5447 21,0087 26,300049,055252,0131 49,523055,131811,5567 9,7675 18,3938 7,516234,398036,682534,3110 39,2627r 22,8625 24,9498 21,6773 27,689551,417054,0480 51,321057,0759 5,7626 4,5796 8,6097 3,634636,274238,117235,6896 40,9292W 13,8304 13,9407 12,8098 15,861235,088135,9568 34,250038,746041,9163 33,6456 53,2295 25,234024,881524,788723,5318 27,4138
W~ ′ 21,1178 22,9896 20,4628 25,478448,406351,1982 48,564254,061113,5950 12,1694 21,4942 8,502633,953436,201433,6954 38,3316
W~
7,6982 7,3088 7,3524 8,749420,406021,1395 20,273923,298753,1752 44,7049 67,7461 35,354715,846715,872415,3450 16,7858
P 8,1455 11,2117 5,9738 14,8313 7,488210,3175 6,490913,0122 9,1762 14,8944 6,0546 18,60758,294711,1695 5,9110 14,2587G1 16,3018 20,1906 7,3507 24,482915,037617,4610 7,772120,019622,8736 31,6117 8,2557 41,833316,039619,9337 7,2222 22,8496G2 14,1836 18,6371 6,7259 22,332513,067615,8047 6,932517,567620,3586 30,4700 7,7982 40,418614,108418,5374 6,5202 20,7676rS 9,1196 14,0191 6,3044 19,7285 8,849612,5292 6,919317,043513,1392 22,4583 7,0043 34,14719,559513,5791 6,0294 19,1786GQ 25,2713 30,0915 13,7955 41,675028,922033,2126 18,088143,072013,6064 19,5719 3,7812 35,697128,460532,312916,6679 42,7232LM H 22,6794 28,0511 13,1491 34,756024,878629,8389 18,256036,345219,6621 24,8477 2,6379 29,689024,292629,711316,1207 35,7818WH 17,8016 19,1167 7,4700 16,973214,971516,0894 7,382912,839834,2296 40,3830 9,8254 43,636816,792918,2565 7,7274 14,6940ALM H 28,1212 30,0717 13,8730 35,337429,457231,5730 19,061236,869127,4998 28,0822 3,3542 30,341929,471331,832616,8070 36,2805LM NH 29,8058 33,9470 23,0651 37,844051,093653,7878 46,851057,474710,6981 14,4320 1,0915 15,339841,786345,062535,9913 47,8472ANLMH 29,4861 32,8960 23,7801 36,661252,444954,7614 48,942958,8104 5,9723 7,5979 0,3918 6,756141,871444,970337,2779 47,4282ZNLM H 29,8431 32,8738 22,8368 37,405950,495552,3088 45,573256,7204 9,1042 11,1199 0,7532 10,962041,883644,199835,6478 47,3543KNLMH 30,0387 33,4908 23,3403 37,571351,909954,1405 47,485957,900810,5652 13,5312 1,0506 14,482242,145345,172236,3795 47,5940LM NWH 29,3456 30,0330 20,5195 31,678548,672748,3835 41,875050,733628,9121 32,8906 8,8815 36,058240,574241,126133,0516 41,5943ANWH 29,5256 31,4285 22,6482 33,192551,248652,2650 46,099054,683621,0218 26,2776 5,9558 27,426541,142643,091635,5710 43,9657ZNWH 29,1930 29,5242 19,7794 31,627946,966847,1741 39,925849,586025,5037 29,5617 6,7368 32,215540,037940,232432,0210 41,2563KNWH 29,2660 30,3176 21,0172 32,202049,170449,4267 42,899951,744527,9056 32,2624 8,6905 35,506640,548241,585033,4930 42,3637LM NAH 33,4352 35,0522 23,5094 37,995752,309854,5923 46,902957,564918,5437 17,7916 1,5105 15,601244,308146,121536,2460 47,9700ALM NH 32,7729 34,1479 24,0128 36,727954,129155,5011 49,173158,838412,8092 10,2409 0,5879 6,822844,382346,008737,4936 47,4860ZNAH 33,3882 34,4879 23,1727 37,603951,373853,1747 45,685456,779016,3401 14,2672 0,9632 11,218844,173245,409835,9332 47,5237KNAH 33,3038 34,9774 23,5473 37,619852,658454,7918 47,493257,965517,7792 16,7667 1,4044 14,672344,424746,211836,6077 47,6235
129
Tabell B.48: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii = : n=50
1-2-50 2-2-50 3-2-50 4-2-50 1-3-50 2-3-50 3-3-50 4-3-50 1-4-50 2-4-50 3-4-50 4-4-50 1-5-50 2-5-50 3-5-50 4-5-50 LM N 28,6997 33,0671 25,1921 31,514556,176558,3047 54,802959,8382 0,5136 2,0460 0,8666 0,432043,336547,502642,2272 46,8010ALM N 29,6438 34,4541 26,3114 32,739158,100960,2910 56,629761,4870 0,1548 2,0128 0,0558 0,180544,815248,831843,7904 48,3187Z2 26,9452 31,2617 24,2363 29,845652,791655,2134 51,566856,3240 0,2211 2,0317 0,0702 0,238341,584344,927840,6476 44,6927K 28,8830 33,3836 25,3252 31,754256,606558,7162 55,288460,3178 0,6540 2,0956 1,6317 0,545943,668147,899442,6052 47,1308
2A 18,8599 23,3622 16,2962 21,150054,690957,4170 52,873758,367334,2182 24,0595 44,3708 25,109232,158435,840829,6501 34,8788
2W 16,6681 20,9838 14,8590 19,038153,524956,6555 51,767156,918127,1614 19,8283 33,8917 20,875828,592032,707326,2106 31,2824
D 12,3506 15,0522 11,6765 14,161242,357644,5080 40,472945,368216,7321 13,1830 20,3969 14,703621,827824,675819,9514 24,2701
rF 26,9990 32,0999 24,2844 30,547459,513762,1454 58,831163,837019,0671 13,6808 31,1277 12,051742,278746,509140,9957 45,7961r 28,5359 34,3904 25,8293 32,702961,541764,1847 61,266866,2701 9,8430 8,5020 16,8324 6,155943,923248,535143,0060 47,8553W 14,7989 18,8143 13,2269 16,632540,560244,1268 38,203243,029952,6514 34,6454 73,7094 40,162927,663730,632825,8136 29,3696
W~ ′ 26,4817 31,2034 23,7281 29,573658,914161,2848 57,925162,754322,2025 15,4325 35,2038 14,011041,642945,614740,1042 44,8315
W~
8,6665 10,1814 7,9943 9,686426,267228,1610 24,664128,368060,4737 37,6605 82,7372 48,713718,107519,688817,4518 19,6759
P 9,7013 16,1464 5,9774 16,5242 9,207314,1802 6,176514,308511,4758 21,1764 6,3862 20,649610,424015,3849 6,4123 15,8236G1 23,1749 39,5549 7,4578 29,009520,884634,4139 7,540323,469832,7310 55,0768 8,4219 48,672720,873437,2587 8,1737 27,0763G2 20,8968 38,2354 6,9531 26,054118,435532,8238 6,986420,162330,9615 55,1687 8,1298 46,029419,016736,0163 7,6720 24,1679rS 12,9988 21,4429 6,2394 21,658811,859118,5331 6,469418,179219,9283 34,1666 6,9693 37,537212,694019,3631 6,4944 21,2582GQ 30,0073 45,7477 13,8064 44,043533,599546,3630 18,306244,975618,8615 43,6584 3,3691 39,094832,099045,766117,4802 44,5107LM H 31,0882 48,2962 12,8695 39,715231,604545,3179 18,076240,756230,7432 55,3931 2,4066 37,772530,078446,629216,6223 39,9721WH 24,0249 41,7940 7,5996 21,393519,931133,4349 7,710816,461246,0078 71,6111 11,7082 53,806120,930436,4252 8,5602 18,7677ALM H 34,7505 55,2003 13,8072 40,698534,488652,0564 18,816441,415736,5181 63,6791 3,2583 39,418633,858952,9286 17,4647 40,9073LM NH 39,0905 50,7516 25,6373 43,666161,057267,4645 53,921864,554722,8752 44,1476 1,0474 23,430450,798560,559842,4601 54,8465ANLMH 37,9612 49,7055 26,4656 43,081562,068268,0259 56,550166,147116,5329 37,1591 0,4146 13,5023 50,806260,325143,9794 55,0309ZNLM H 38,0275 49,9981 25,0265 42,909358,862265,7245 51,340862,663619,3459 40,7229 0,6590 17,531649,596659,550741,2694 53,9979KNLMH 38,7778 50,2496 25,8857 43,252161,286567,4906 54,787664,859122,2178 43,1419 1,1246 22,225050,718660,282942,9571 54,6868LM NWH 36,5026 50,5651 23,1853 37,457657,015565,3347 48,797758,548441,7587 65,8180 11,1448 47,049848,063858,926938,8655 49,6449ANWH 37,1638 50,0919 25,0067 38,765459,847367,1080 53,158362,096735,3733 58,7070 7,9233 39,442049,227759,538741,6999 51,4947ZNWH 35,7028 50,2820 22,0323 37,224654,169363,4850 45,348455,928737,9877 63,2102 8,3913 43,676046,626058,221137,2362 48,5913KNWH 36,3829 50,3167 23,5678 37,651057,473165,6307 50,244859,322541,3079 64,8707 11,5221 46,728648,298958,787439,6643 50,0885LM NAH 41,2888 56,1615 25,8820 44,031561,771269,9767 53,840264,803229,0298 54,5612 1,7748 24,500052,215264,349542,4968 55,0409ALM NH 41,2786 54,5920 26,6226 43,283763,295770,3614 56,588366,181023,6622 47,9684 0,6441 13,928752,876163,982744,0904 55,0633ZNAH 40,6963 55,9162 25,0341 43,518359,412768,4013 50,917363,026425,9459 51,9794 0,9321 18,581051,096663,736041,0310 54,3210KNAH 41,1466 55,7900 25,9653 43,769961,991070,1927 54,347765,130428,4577 54,0062 1,6648 23,578151,987464,209442,8335 55,0314
Tabell B.49: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii = : n=100
1-2-100 2-2-100 3-2-100 4-2-100 1-3-100 2-3-100 3-3-100 4-3-100 1-4-100 2-4-100 3-4-100 4-4-100 1-5-100 2-5-100 3-5-100 4-5-100 LM N 48,4637 59,3017 39,3251 49,410983,310686,7519 79,834484,327123,9410 8,5575 66,0253 20,697569,181675,074663,9980 69,8383ALM N 49,5289 60,5768 40,6682 50,832084,289887,7094 81,221485,729913,3109 5,4232 48,2591 10,027270,106376,074565,0809 71,0598Z2 44,8208 55,5546 36,7496 46,080479,619583,3196 75,985681,2550 1,3045 3,1354 2,0932 0,965965,897272,151261,3842 66,6555K 48,6744 59,4990 39,6174 49,566083,553186,9491 80,120484,501025,9838 9,0139 69,2421 22,662769,386075,198564,2765 69,9614
2A 32,8419 44,6844 24,6870 34,441485,447288,9015 82,504787,337070,9003 47,3666 89,8589 63,461455,217763,818748,3930 57,1336
2W 28,8065 39,0156 21,6531 30,349284,643388,1097 81,238786,341059,2429 38,8115 77,2311 53,041350,047758,810643,4764 52,0145
D 20,6805 29,6004 15,6221 21,984873,103978,1175 68,807374,953838,5131 26,4265 52,0512 34,774238,789247,560033,7337 40,1804
rF 46,9195 58,6118 37,5804 48,478487,278490,4427 84,620588,642157,6238 37,0309 88,5295 47,109668,088175,142362,7025 69,4914r 49,3190 61,3574 39,9669 51,168888,642291,5710 86,193089,918041,6294 27,0620 73,6895 28,246270,480877,0097 64,9266 71,3992W * * * * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 46,1074 57,7006 36,8105 47,494387,007190,2168 84,150788,114861,4444 39,5373 90,9784 51,454267,422774,486562,0879 68,5339
W~
14,3190 20,9305 10,2557 14,816852,750259,7488 46,827855,208177,9212 42,6659 99,7195 90,208533,030639,724628,8916 33,9620
P 19,5317 39,3215 6,8305 22,469317,278433,7309 6,590818,507423,5422 49,5517 7,3936 28,830418,258337,0109 6,7684 22,5203G1 46,7291 70,0922 9,1156 50,368638,894659,7265 8,548539,511367,4140 89,2835 11,8518 79,142741,798265,4080 8,9561 45,2765G2 43,5445 69,5344 8,3474 47,356235,806358,8030 7,714836,120466,0070 90,0995 11,5675 77,892238,386864,4503 8,0896 42,5623rS 24,8514 46,1062 7,2695 41,025921,501038,1445 7,048031,931844,3151 72,9910 10,1774 69,040424,032544,0418 7,3911 39,1311GQ 50,0297 74,6706 18,9969 66,305349,904570,2250 23,877663,488651,0290 88,2308 4,6867 78,531349,245171,603223,0775 63,7252LM H 55,7257 77,7250 15,6357 61,522452,377372,1337 21,316859,225066,4992 90,1019 3,4820 73,390552,004173,944420,4741 58,8845WH 43,4278 65,9452 9,3244 35,285433,821652,1484 8,548124,260581,3259 96,7922 17,3472 86,800234,898955,8960 8,6079 27,7146ALM H 58,4723 80,2644 16,5719 61,567154,880474,6805 21,888759,251269,9132 92,0641 4,1792 73,431054,412476,768121,1530 58,9102LM NH 65,3457 80,7734 40,1783 67,176687,031591,9805 78,727288,004276,4481 91,1703 27,5302 81,386777,656087,331763,3910 78,3489ANLMH 65,0029 80,5423 41,0615 66,873987,784692,5874 79,984988,723069,9514 88,1907 18,1834 74,113977,975187,411564,4001 78,7612ZNLM H 64,5359 80,9643 37,5997 67,229884,360690,7782 73,801786,147964,0756 87,3414 4,4544 68,783776,367387,018460,3311 77,6651KNLMH 65,0863 80,6704 40,5304 66,860287,208492,0974 79,167388,017677,2553 91,3699 32,9278 81,784877,755587,315663,6752 78,2023LM NWH 61,3663 77,8212 37,1251 59,648583,891989,9465 75,530284,798086,9128 97,0992 40,8488 91,024374,092584,9468 60,6912 73,9416ANWH 62,2233 77,8492 38,7052 60,315585,384690,9157 77,765086,034384,7714 96,2147 35,7387 88,619975,163985,351762,4423 74,9353ZNWH 60,2984 77,8734 33,2948 58,901680,328187,7662 68,333181,107782,4347 96,3691 22,3527 87,467772,253584,432256,2801 71,7212KNWH 61,4874 77,7513 37,3513 59,601484,230490,0565 76,051585,020787,2999 97,1366 42,9312 91,207874,286784,940960,9377 74,1422LM NAH 66,7979 82,3429 40,3554 67,242887,061292,5600 78,792788,061877,9474 92,8494 27,3619 81,549178,192888,431963,5388 78,4072ALM NH 66,9783 82,2528 41,3437 66,893688,200293,1746 80,026988,715473,9892 90,5768 19,0989 74,213878,920588,476364,4390 78,7744ZNAH 66,3135 82,5428 37,4982 67,278884,823991,4397 73,267586,202168,7472 89,7164 5,0250 69,025877,231888,175960,0873 77,7239KNAH 66,8500 82,1753 40,5621 66,975487,305792,6358 79,159788,047779,1862 92,9377 31,9872 81,959278,373088,354263,7439 78,2508
130
Tabell B.50: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii = : n=250
1-2-250 2-2-250 3-2-250 4-2-250 1-3-250 2-3-250 3-3-250 4-3-250 1-4-250 2-4-250 3-4-250 4-4-250 1-5-250 2-5-250 3-5-250 4-5-250 LM N 82,3115 87,8468 67,2422 80,795799,481699,6920 98,921099,442568,4740 48,7240 100 99,282095,567996,870391,7078 95,1113ALM N 83,2617 88,3127 68,1998 81,658499,528299,7076 99,053299,506565,4030 43,7670 100 98,580095,857597,077392,1079 95,4485Z2 79,2011 85,1865 63,2722 77,478599,107299,4747 98,166099,076644,0470 23,2750 99,9300 82,232094,496595,955889,9585 93,9108K 82,3758 87,8713 67,2727 80,874799,483299,6940 98,934099,447768,6660 48,8660 100 99,335095,600696,878991,7203 95,1180
2A 68,0812 77,7234 48,7805 67,909099,836399,8985 99,639399,864898,8500 93,8020 100 99,066090,277393,666582,7532 90,7984
2W 62,2767 72,5932 42,9345 62,227399,834599,9233 99,584599,853896,4900 89,3880 99,9360 96,979087,013991,073577,8260 87,5319
D 46,6061 56,9069 30,2320 46,767799,035999,2975 97,798899,064185,7330 72,6580 97,9270 85,647076,232581,329564,4477 76,3172
rF 81,2979 87,5782 65,6009 80,385999,800999,9191 99,603499,872498,0390 87,9780 100 98,967095,563996,907891,1672 95,3827r 83,3861 88,9766 68,3259 82,081499,833099,9278 99,676399,876895,6850 80,7100 100 95,127096,158997,389892,2972 95,8194W * * * * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 80,8452 87,0019 64,4929 79,668899,797099,9069 99,571999,866698,3540 89,0140 100 99,275095,432196,748290,7522 95,2166
W~
39,0862 49,4415 21,1332 36,244695,512797,0733 92,083895,991493,8950 81,4500 100 10072,096778,525661,0669 71,5029
P 49,8079 71,6742 8,5874 52,568543,230762,4238 8,379743,858660,8260 82,7660 10,0240 65,707048,658870,6413 9,0270 51,5797G1 86,0873 96,0664 14,3860 89,615176,231489,1197 12,248577,376098,0420 99,8210 24,9000 99,508081,865492,907713,0559 84,1174G2 85,6908 96,1334 13,3614 88,718775,266689,3722 11,290576,395098,3680 99,8710 23,5330 99,554080,980892,936312,0605 83,5762rS 63,0210 83,7670 10,9487 79,172152,131672,0691 9,532165,466590,6050 98,5900 20,0220 97,909061,272182,828510,3235 76,9994GQ 85,5702 96,4215 28,0483 94,361480,336992,4429 32,044589,884597,7810 99,9640 13,3520 99,857080,538692,062432,0242 89,4210LM H 90,1459 97,5271 23,6697 93,562184,565694,4691 28,951888,557398,5910 99,9140 9,3520 99,709086,363794,618029,1746 88,2894WH 81,4206 91,8367 13,0773 77,642365,523178,6604 10,880656,793299,7870 100 33,4120 99,917067,085979,655910,7574 59,1326ALM H 91,1100 97,7303 24,5924 93,569485,805594,7569 29,643288,568398,8230 99,9240 10,3590 99,711087,438994,886429,6929 88,2980LM NH 95,1409 98,6427 67,5802 95,977499,694399,9143 98,597899,7325 100 100 100 10098,779199,518191,3041 98,9716ANLMH 95,2077 98,6046 68,7801 95,941099,715699,9384 98,755699,7537 100 100 99,9820 10098,845199,567391,6865 99,0020ZNLM H 95,1321 98,6953 63,3094 95,907899,474399,8514 97,183799,557599,9090 100 93,0310 99,984098,619699,539288,5887 98,8922KNLMH 95,1765 98,6005 67,6901 95,934799,701299,9218 98,627699,7365 100 100 100 10098,769699,517191,3713 98,9723LM NWH 93,5417 97,7864 64,3840 93,981199,463599,8402 98,112399,5804 100 100 99,9720 10098,126099,218389,8952 98,1386ANWH 93,7877 97,8636 66,0629 94,100299,526399,8461 98,438799,6414 100 100 99,9700 10098,240699,278690,7158 98,3595ZNWH 93,0136 97,6240 58,3327 93,836099,007299,6498 95,890099,1783 100 100 84,2760 99,988097,693699,108386,2802 97,8671KNWH 93,4996 97,7702 64,6743 93,950099,476699,8409 98,192999,5852 100 100 99,9730 10098,119999,213790,1112 98,1613LM NAH 95,6160 98,7457 67,8204 95,984099,708899,9118 98,624499,7330 100 100 100 10098,899399,564291,4003 98,9731ALM NH 95,7109 98,7311 68,9737 95,954399,734299,9483 98,765299,7546 100 100 99,9810 10098,934999,594491,7529 99,0193ZNAH 95,4510 98,7936 63,6125 95,936399,486999,8557 97,170099,558099,9320 100 93,4200 99,985098,713599,5604 88,7543 98,8943KNAH 95,6194 98,7234 67,9607 95,948099,713599,9215 98,635299,7374 100 100 100 10098,912999,557491,4377 98,9740
Tabell B.51: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii −= : n=10
1-2-10 2-2-10 3-2-10 4-2-10 1-3-10 2-3-10 3-3-10 4-3-10 1-4-10 2-4-10 3-4-10 4-4-10 1-5-10 2-5-10 3-5-10 4-5-10 LM N 10,7001 9,6607 7,9305 8,790317,756216,1626 14,020114,5206 3,3089 3,1515 2,0083 2,520013,958212,439311,1191 11,6568ALM N 11,2518 10,2956 8,2404 8,963618,774817,4134 14,275415,1902 2,9751 2,8753 1,7974 2,261114,399813,096611,0964 11,9112Z2 10,8799 9,9260 8,0296 8,859418,049416,6505 14,141014,7278 3,0271 2,9414 1,8518 2,362713,995112,837411,1261 11,7498K 10,8094 9,7407 7,9611 8,770217,953016,4094 14,045614,6578 3,1564 3,0796 1,9377 2,424614,082612,674711,0821 11,7021
2A 8,1736 7,7636 6,9483 7,214114,281413,6043 12,357412,7648 3,9949 4,7415 4,3430 4,447810,6353 9,5509 9,0155 9,3280
2W 8,1787 7,6736 6,8876 7,240414,365013,3622 12,231312,6107 4,2149 4,4288 4,2512 4,275310,4124 9,5949 9,1330 9,2312
D 7,1994 6,9483 6,5119 6,447812,865112,2654 11,380311,2457 4,4714 4,5115 4,1382 4,24939,2368 8,6411 8,3343 8,3432
rF 9,5419 8,6685 7,5127 7,520116,881215,1261 13,257713,5782 3,6097 3,8732 3,1956 3,353812,633011,063110,1428 10,3715r 9,8327 9,0222 7,6836 7,752117,277315,6239 13,722614,0301 3,2953 3,6563 2,7358 3,041312,758011,396810,4270 10,5846W 7,6108 7,2556 6,7120 6,575112,901712,1593 11,731311,5470 4,6210 5,4891 5,3698 4,952310,0081 9,0015 8,9281 8,8070
W~ ′ 9,3256 8,5783 7,4181 7,515516,483814,8934 13,172313,6503 3,7424 4,0289 3,3860 3,526112,414010,912510,0906 10,4235
W~
5,7498 5,5861 6,1612 5,6251 9,0968 8,8135 8,9408 8,5739 6,2384 6,9832 8,1508 7,02876,9374 6,5842 7,1998 6,9771
P 7,3707 6,8080 4,8289 4,0538 7,5941 6,9606 4,6444 4,3726 8,4169 8,8198 4,8928 4,02057,6373 6,7158 4,7195 4,0476G1 6,3900 4,8258 4,4980 5,5172 4,9995 4,7403 5,1633 5,544312,3428 7,9236 4,6267 7,50796,6379 4,6325 5,1373 6,0772G2 8,3343 5,7339 4,7534 7,1002 7,3870 5,5549 5,2644 7,203612,7941 8,2838 4,8514 8,32348,1493 5,7248 5,4153 7,5693rS 8,3892 7,2193 5,2195 7,0393 8,2042 7,3943 5,7394 7,304310,3240 8,6941 5,2095 7,98928,6991 7,1043 5,4095 7,3293GQ 2,2600 2,6343 4,8292 2,8181 3,0599 3,6519 6,3894 3,9090 1,5077 1,7196 3,2660 1,92683,1805 3,1462 5,5886 3,4991LM H 11,1377 7,5309 6,6975 8,549113,6908 9,9783 9,419811,1740 5,7346 3,6123 2,5879 4,571312,3259 8,4381 8,0432 10,1695WH 4,0248 5,1027 5,9480 6,3127 3,5609 5,7838 7,3435 7,2325 7,1033 4,9273 4,4012 6,33753,6091 5,3381 6,7292 6,9208ALM H 3,5228 4,4196 6,0098 7,5181 5,6487 6,2932 8,523010,2280 1,0587 1,6817 2,2201 3,79044,3086 5,0008 6,8861 9,0439LM NH 11,1825 9,3698 7,8776 9,468618,108415,9000 14,417415,7387 3,3091 2,8603 1,7919 3,112914,377112,029711,3795 12,5844ANLMH 11,9449 10,5317 8,8204 9,600019,526718,0361 15,323016,1464 3,0371 2,8828 1,8265 2,400014,943113,478711,9352 12,6921ZNLM H 11,6655 10,4236 8,5730 9,608118,706217,2933 15,262116,1792 3,1389 2,9499 1,8213 2,670914,870413,140211,9354 12,8403KNLMH 11,4055 10,0495 8,3055 9,464518,583116,9364 14,939015,9812 3,2815 2,8303 1,7905 2,809114,725112,904411,6715 12,7293LM NWH 6,7231 7,0694 6,6313 6,962211,033210,8211 10,462910,6252 5,2997 4,3320 3,4253 5,02398,7601 8,4248 8,8460 9,2145ANWH 10,8920 10,1851 8,4843 9,329618,308717,5172 14,864615,8007 3,1675 2,9453 1,9786 2,732214,102713,399711,6817 12,6116ZNWH 9,7992 9,4705 7,9657 8,937416,862215,9134 14,263715,2106 3,3374 3,1599 2,2527 3,146412,940212,531711,3441 12,3291KNWH 8,0898 7,9170 7,1663 7,361413,609912,9212 12,017312,1589 5,0481 4,0718 3,2370 4,474810,4588 9,9516 9,8772 10,1618LM NAH 7,2449 7,6727 7,3568 8,678613,783113,3626 13,232714,6278 1,7865 1,9665 1,5036 2,585310,471610,008510,6114 11,5648ALM NH 10,6100 10,0693 8,5583 9,441018,380817,5573 15,182015,9584 2,7180 2,8052 1,7751 2,297914,099613,089011,8223 12,5736ZNAH 9,7250 9,6863 8,2911 9,391817,191616,7243 14,928615,9299 2,6899 2,6792 1,6878 2,528013,253012,672411,7799 12,5968KNAH 8,5157 8,5686 7,7069 8,679815,329415,0527 14,062614,8906 2,1221 2,2798 1,5689 2,4402 11,743211,523611,2017 11,9482
131
Tabell B.52: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii −= : n=20
1-2-20 2-2-20 3-2-20 4-2-20 1-3-20 2-3-20 3-3-20 4-3-20 1-4-20 2-4-20 3-4-20 4-4-20 1-5-20 2-5-20 3-5-20 4-5-20 LM N 16,5181 17,2052 13,7616 16,417130,588731,5223 28,058330,3040 0,7545 1,1139 0,4297 1,360523,569923,928921,2347 23,1933ALM N 16,8346 18,0896 14,1870 17,027931,814532,8369 28,843631,3499 0,5000 0,7769 0,3281 1,012324,093024,624721,4628 24,1195Z2 16,3290 17,3339 13,7295 16,456530,161631,1479 27,473529,9062 0,6415 0,9755 0,3597 1,227623,413924,017021,0168 23,1546K 16,5588 17,4806 13,8636 16,696330,718831,6818 28,113630,7389 0,6506 1,0212 0,3832 1,242123,615924,024321,2141 23,4654
2A 12,3832 12,4359 9,9949 11,751228,987728,3970 24,725126,5225 7,6607 7,3585 9,9096 6,546518,758618,327015,6628 17,1741
2W 11,1914 11,3404 9,3267 10,978628,050327,1561 24,236825,7704 6,6041 6,3563 8,3639 6,0722 16,836616,520114,7622 15,9764
D 9,2774 9,4030 8,2874 9,289121,826521,7490 20,398321,8850 5,9788 5,5699 7,1451 5,771313,561413,538112,6101 13,5828
rF 15,3422 15,6750 12,8916 15,750332,198032,1417 28,212030,9303 3,4972 3,4839 4,2550 3,567622,351922,401919,8321 21,9104r 15,8430 16,7402 13,5960 16,273733,206033,9568 29,752132,1199 2,1994 2,4860 2,5210 2,475022,854323,693620,4993 22,7751W 12,3352 12,6225 10,8313 12,105826,185126,2813 22,896624,7741 9,5808 8,9959 12,7247 7,997418,911818,705916,5755 17,4592
W~ ′ 15,2057 15,2176 12,7313 15,495631,777231,5268 27,717430,3473 4,1220 3,9247 5,0199 4,032622,127322,033619,5466 21,3837
W~
7,5983 7,2832 6,6724 6,995314,946314,8116 13,036313,570719,3054 16,9178 24,8855 13,797611,832511,561510,1752 10,2599
P 8,5631 10,3250 5,3790 8,9543 8,0076 9,6886 5,9865 9,150311,3970 14,4519 5,9159 10,60248,574210,0062 5,7553 8,9925G1 8,4975 9,3922 5,4006 12,6926 5,8245 7,4100 5,465911,2123 20,4878 19,0818 7,0052 21,08377,8120 8,0169 5,5862 12,1733G2 9,8523 10,4812 5,9656 13,6514 7,7821 8,5269 6,278612,683819,1055 19,2779 6,9130 20,71759,3084 9,2082 6,3750 13,3390rS 10,3490 10,8139 5,9894 11,9238 9,3041 9,9840 6,654311,558815,5584 16,3484 6,7593 18,013210,1940 9,9540 6,4594 11,9988GQ 2,4936 1,7886 4,9860 1,5456 4,5952 3,4665 8,0164 3,0711 0,6253 0,3774 1,5076 0,40843,2356 2,3170 6,6723 2,1522LM H 13,9762 14,1508 8,1234 18,899718,231017,8052 12,777022,1941 5,2125 6,3909 1,3516 9,997316,920415,725710,8296 20,5569WH 4,8182 6,3467 5,2142 9,2687 3,8728 5,7809 5,4983 8,107712,7394 12,2902 6,1111 17,93454,3784 5,5175 5,7418 8,9369ALM H 6,3662 9,7491 7,8086 18,5199 9,714513,4741 12,184121,8314 0,9165 2,9636 1,1121 9,4931 8,249411,289910,5964 20,1319LM NH 17,1733 17,9401 13,9853 20,888531,425831,7914 27,330233,1894 0,8256 1,5173 0,5339 3,905124,333923,816721,2603 27,3493ANLMH 17,4831 18,8640 14,3108 19,711432,665133,3983 28,792133,4886 0,5319 0,8751 0,3038 1,526924,919925,159221,8080 26,9375ZNLM H 17,2419 18,7618 14,2063 20,118931,290332,5305 27,636732,7455 0,6951 1,2480 0,4140 2,231924,374824,769521,5676 26,6942KNLMH 17,1173 18,6404 14,0094 20,220631,521732,8069 27,835133,0554 0,7194 1,3723 0,4384 2,874924,413524,691921,3681 26,8769LM NWH 13,7449 15,1246 11,3989 16,772326,176126,1225 22,275126,4058 6,6978 7,9662 3,6201 11,885020,213820,243117,8075 22,5965ANWH 16,1127 17,3759 13,2306 18,303430,386031,5473 27,131631,0957 1,7978 3,5090 1,4078 6,038523,141823,527720,5510 25,1244ZNWH 14,4283 16,3356 12,1402 17,623127,498928,3251 23,919728,8947 3,3493 5,1950 2,0471 8,418821,329821,859118,7778 24,0912KNWH 14,4038 15,7840 11,7393 17,152427,554628,1651 23,802627,9867 5,4562 7,3876 3,2956 10,856221,275221,154718,6564 23,2345LM NAH 13,9523 16,5824 13,4871 20,601327,469230,0978 26,805432,8928 0,3588 1,0264 0,4661 3,609220,939622,596920,7374 27,0415ALM NH 16,0510 18,2533 14,2918 19,584530,562232,6729 28,696733,2865 0,3696 0,7437 0,2812 1,475923,205624,380621,8409 26,7384ZNAH 15,0283 17,5798 13,9517 19,782628,432530,9938 27,020232,3314 0,4277 0,9817 0,3815 2,095122,087323,565621,2521 26,3540KNAH 14,3375 17,1403 13,8622 20,125527,975330,9494 27,544032,9582 0,3463 0,9561 0,4317 2,762321,389823,035121,2208 26,7246
Tabell B.53: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii −= : n=30
1-2-30 2-2-30 3-2-30 4-2-30 1-3-30 2-3-30 3-3-30 4-3-30 1-4-30 2-4-30 3-4-30 4-4-30 1-5-30 2-5-30 3-5-30 4-5-30 LM N 21,6759 22,5466 19,6375 24,139542,308842,7917 39,737643,2023 0,2639 0,4012 0,1973 0,740432,043732,908629,8782 33,2145ALM N 22,9533 23,2570 19,9941 24,642944,340744,3549 41,084944,2576 0,1201 0,2376 0,0917 0,4848 33,413733,801830,6181 34,0833Z2 21,1354 22,0550 19,3922 23,631040,778041,3561 39,076141,8747 0,2060 0,3105 0,1312 0,673331,397532,330729,7865 32,7050K 21,8815 22,8748 19,7634 24,264942,758743,5001 40,102443,4274 0,2458 0,3391 0,1643 0,672032,397033,180930,1012 33,2132
2A 15,0059 15,0416 13,3653 16,140640,320838,8834 36,679940,326514,4660 13,0105 19,9317 11,896724,179124,108221,8227 24,6398
2W 13,2227 13,5426 11,9592 14,794839,085237,7803 36,231539,3635 11,7215 10,6278 16,2714 10,954221,424921,571820,2384 22,8466
D 10,2825 10,8446 9,5962 11,277630,270430,3279 27,333831,0546 8,5158 8,2669 10,4797 8,335016,739016,767415,7346 17,5053
rF 20,0594 21,0887 18,3772 21,790543,9051 44,1634 41,082444,1775 5,8206 5,5377 9,1017 4,610630,097131,064828,2858 31,3842r 21,3298 22,1430 18,9033 23,223946,004245,7725 42,641146,0214 2,9421 2,9118 4,3268 2,448531,464832,045328,9982 33,0088W 14,9022 14,9985 13,5257 15,659134,864634,2861 31,567134,886223,3234 20,4558 31,5476 16,174823,928223,625822,1681 24,1466
W~ ′ 19,4944 20,7277 17,8614 21,388842,998543,6269 40,331243,5082 6,9470 6,9158 10,7047 5,498229,594930,691427,9087 31,0258
W~
7,5421 7,5339 7,3371 7,573118,864418,9702 17,609619,018838,6583 34,9593 48,4415 25,891314,233214,268413,1364 13,6399
P 8,8132 10,1329 5,6800 12,0324 7,7869 8,9411 5,735211,910012,0649 14,1692 6,2719 14,85428,4928 9,4484 5,8428 11,4968G1 9,5377 11,4723 5,2412 17,5649 6,1617 8,7511 5,022514,671023,2169 24,0789 7,8285 31,28568,022710,1688 5,3403 16,4237G2 10,4093 13,3357 5,6616 18,2185 7,973610,6357 5,486415,225821,4643 24,6893 7,8773 30,12589,329011,9150 5,9621 16,5436rS 10,0340 12,4338 6,2499 15,7289 8,904110,9039 6,489914,279116,7283 19,9880 7,4898 26,44799,769011,1889 6,0599 15,2290GQ 2,1403 1,6399 4,6418 0,9699 4,8101 3,5741 7,6431 2,2959 0,2260 0,0972 0,9460 0,08473,5759 2,9933 6,8648 1,7811LM H 16,8646 18,5790 8,6968 25,092020,889022,2873 13,641728,3736 6,0440 8,6660 0,9192 14,911419,036020,952712,0230 25,9979WH 5,4010 7,8398 4,6953 11,3805 4,0339 6,4675 4,9235 9,175217,3408 18,7313 6,0278 28,39364,6462 6,9030 5,2201 10,5652ALM H 9,5128 15,1128 7,5086 24,570113,452718,8781 12,479227,9253 1,6502 5,4938 0,6105 14,335511,782017,550011,0454 25,6178LM NH 23,1340 24,6978 18,2220 29,784142,665943,0081 38,160246,2904 0,4734 1,6511 0,2414 5,439933,082634,324429,0052 37,9675ANLMH 24,0073 25,4463 19,3761 29,051044,865045,5828 40,476247,4217 0,1497 0,5134 0,0854 1,724634,339935,175429,9601 37,9666ZNLM H 23,3266 25,0168 18,2211 29,342642,360043,1842 37,605246,2314 0,2632 0,9209 0,1484 3,104533,063334,594128,9734 37,8225KNLMH 23,1834 25,0294 18,5568 29,381343,434444,1882 38,862046,6416 0,3479 1,5267 0,1739 4,635533,353534,754129,2509 38,0092LM NWH 19,3172 19,8050 15,3951 23,770637,132735,9146 32,145039,285811,3080 12,1642 3,5974 21,279728,817828,619725,3174 32,2803ANWH 21,6813 22,5040 17,9663 26,227141,940341,3698 37,196943,9045 5,5413 6,9347 1,7936 13,584732,166532,169528,5865 35,1364ZNWH 19,5976 20,4850 15,6374 24,532236,826436,0047 32,156139,9964 8,1728 9,7162 2,5063 17,908229,501829,135925,5624 33,1420KNWH 19,9348 20,5146 16,0521 24,454938,424637,6756 33,827240,605110,7649 11,7966 3,6651 20,267429,611729,755926,3403 33,1951LM NAH 19,7401 23,5758 17,7649 29,167338,898441,5241 37,294346,0642 0,2058 1,1225 0,1602 4,939629,755833,018628,5763 37,6040ALM NH 21,9053 24,1768 18,9530 28,863842,647844,1654 40,001747,2456 0,1375 0,3872 0,0831 1,500232,414733,978729,6882 37,6862ZNAH 20,3101 23,6613 17,7855 28,895538,823541,4461 36,992245,8150 0,1733 0,6435 0,1096 2,866430,332833,227628,5612 37,4737KNAH 20,4741 23,5407 18,1477 29,002840,161942,1594 38,074246,2363 0,1849 0,8212 0,1516 4,076530,673633,232328,8823 37,6030
132
Tabell B.54: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii −= : n=40
1-2-40 2-2-40 3-2-40 4-2-40 1-3-40 2-3-40 3-3-40 4-3-40 1-4-40 2-4-40 3-4-40 4-4-40 1-5-40 2-5-40 3-5-40 4-5-40 LM N 25,0480 25,1009 23,2439 27,979650,455150,3716 48,159252,4376 0,1537 0,2768 0,2079 0,383238,479138,462536,7717 40,8468ALM N 26,1921 25,7245 23,8646 29,226152,276551,8689 50,185754,0712 0,0457 0,1265 0,0559 0,182739,536839,199537,6570 42,0614Z2 24,1017 24,3998 22,5972 26,840848,301148,3730 45,882050,2105 0,0581 0,2043 0,0701 0,259637,425937,191935,5363 39,3433K 25,4368 25,1875 23,3337 28,355550,986250,6499 48,524952,8676 0,1378 0,2376 0,2988 0,385238,737038,685836,9958 41,1914
2A 16,7874 16,3189 14,9210 18,945349,127046,9344 45,100549,630024,5531 19,9544 30,7905 17,041728,078927,392925,8763 30,4215
2W 15,1237 15,2998 13,0779 16,898748,310046,5012 43,782548,894018,8064 16,6758 23,2071 14,887625,726125,284823,1253 27,4973
D 11,5849 12,7655 10,7338 12,239438,124738,2976 34,693037,578912,6763 11,5697 14,8799 10,411820,200920,248918,5443 21,3174
rF 22,9655 24,0446 21,7369 26,924352,799553,1428 50,753655,209911,7162 9,8352 18,2766 7,496336,413537,616535,0625 39,8157r 24,6874 25,3329 22,4389 28,215755,347355,2262 52,522357,1296 5,4447 4,4783 8,3655 3,521638,371039,214536,4311 41,2499W 14,6284 14,5045 13,3024 16,237738,526737,0121 35,106139,363045,6106 35,5352 54,2068 27,729725,879925,791324,0122 27,3632
W~ ′ 22,6086 23,4048 21,2815 26,025452,099552,4894 49,682754,039714,1861 11,9372 21,1603 8,617336,067536,986734,4226 39,0122
W~
8,0814 7,7032 7,6982 8,861122,862721,8763 21,087223,843260,5395 48,9807 69,4457 38,483816,496116,564315,5973 17,7605
P 8,9037 11,6774 5,9592 13,5269 7,687210,7301 6,049713,146412,0374 16,2195 6,4771 17,97538,393911,1682 5,8846 13,9004G1 11,0846 16,0059 6,0255 22,4762 7,500311,9915 5,608817,503728,0127 32,1285 8,7297 41,54649,615013,6111 5,5564 20,6357G2 12,9010 17,1956 6,3938 22,737510,107213,6193 6,111918,614025,7916 32,2572 8,2500 40,223211,537315,1161 6,0513 21,5221rS 11,0294 14,4091 6,3044 19,4286 9,479612,4840 6,549316,588818,5786 25,3980 7,9142 33,867110,339513,1092 6,3527 18,3887GQ 2,2950 1,4624 4,6563 0,6641 4,9759 3,4950 8,2724 1,8677 0,1420 0,0745 0,4373 0,02444,3607 2,4030 6,6753 1,2140LM H 19,3966 24,9200 10,5215 32,738623,256327,8848 16,336835,3254 7,7084 14,5989 1,3068 24,426421,348825,367514,4686 33,6937WH 7,5140 10,8192 4,5263 13,9331 5,6220 8,9568 4,608210,343121,7365 29,1058 6,6017 40,12806,3197 9,9510 4,9302 12,1801ALM H 13,1466 22,1774 9,6252 32,064917,650725,7842 15,455034,8049 2,9313 11,0963 0,9647 23,622315,353623,024113,4240 33,2894LM NH 26,5400 30,5743 22,4328 36,621250,583653,3113 46,860956,5552 0,6740 4,5239 0,3533 10,888239,021941,938835,7816 46,8455ANLMH 27,2731 29,6721 23,3176 36,010552,680154,9357 49,352057,8709 0,1109 1,1606 0,0934 4,027340,208642,216237,5413 46,9820ZNLM H 27,3290 30,1445 22,0327 36,476550,360051,6078 45,348655,4829 0,4878 2,6329 0,2034 7,527939,640941,018335,1238 46,2829KNLMH 26,9093 30,2375 22,7709 36,338851,642653,7567 47,436257,1992 0,7368 4,1045 0,3622 10,186839,706641,994436,3592 46,9372LM NWH 23,5435 25,3214 19,3972 30,208245,270745,7150 41,279049,677817,0705 21,6114 5,7953 32,963035,752136,143031,9441 40,3942ANWH 24,9057 27,4684 21,5147 31,942749,190050,6465 46,198253,9285 9,4768 15,2770 3,5771 24,334637,796039,200635,2258 43,1600ZNWH 23,1370 24,8210 18,5436 30,086343,291343,2630 38,588848,242313,0181 18,0586 4,0307 29,294534,972635,438730,8119 39,6870KNWH 23,7337 25,7505 19,9109 30,649646,392146,9853 42,487450,858216,2592 21,3278 5,8110 32,548436,317136,816932,6749 41,0882LM NAH 23,8273 29,3594 21,7096 36,227546,965352,1639 46,217156,3202 0,2579 3,6886 0,2628 10,121436,346040,867535,3424 46,5337ALM NH 25,1025 29,1103 22,9727 35,558050,281454,1643 48,872057,5736 0,0552 1,0249 0,0672 3,617138,424241,479737,2691 46,6835ZNAH 23,9936 29,1880 21,5376 36,027446,057050,5983 44,698155,3231 0,1764 2,2118 0,1305 6,934636,402040,153634,6634 45,9388KNAH 24,0558 29,2436 22,0798 35,977147,859452,7853 46,797856,9976 0,2316 3,2488 0,2359 9,363636,925641,065835,7549 46,5126
Tabell B.55: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii −= : n=50
1-2-50 2-2-50 3-2-50 4-2-50 1-3-50 2-3-50 3-3-50 4-3-50 1-4-50 2-4-50 3-4-50 4-4-50 1-5-50 2-5-50 3-5-50 4-5-50 LM N 28,8731 31,5208 26,2921 31,784857,618560,2582 54,974259,4433 0,2686 0,2220 0,8156 0,270945,060447,184142,6081 46,3777ALM N 29,9286 32,7288 27,4594 33,042159,516762,2158 57,354361,4504 0,0653 0,0739 0,0548 0,101346,348248,407944,0328 47,6518Z2 27,2117 29,4985 25,0059 30,051254,309556,9472 51,927556,2749 0,0767 0,0863 0,0721 0,166743,327544,881741,1376 44,3252K 29,0597 31,7259 26,6217 32,023058,059260,7824 55,573959,8907 0,4806 0,2357 1,5736 0,355745,353947,368042,9322 46,7375
2A 19,1437 21,8593 16,8614 21,237557,1361 60,9140 53,477858,594434,3533 26,5953 44,0090 24,775333,176636,569130,6210 34,8428
2W 17,2279 19,7873 15,1852 18,916956,111060,0816 52,226156,972225,5511 20,8961 33,3739 20,464029,413632,810826,9435 31,6004
D 12,6919 14,4844 11,6567 14,281344,559547,2955 41,087946,714115,9523 12,4608 19,5750 13,980122,685124,420320,7557 24,5322
rF 27,6814 30,5810 25,2364 30,934661,824864,6994 59,270763,688920,4332 12,6959 31,0483 12,410943,421846,494841,5894 45,6439r 29,1475 32,4972 26,9539 33,138363,886867,0341 61,568965,9609 9,1515 5,6427 16,5784 6,001845,332048,448243,3347 47,7306W 15,2594 17,6772 13,4765 16,697942,541846,4382 39,243244,085265,1087 52,0150 75,0266 44,975828,479531,252426,0556 29,5822
W~ ′ 27,0859 29,8812 24,6427 29,962061,114363,8426 58,391162,702923,9987 15,2788 35,2562 14,468142,909645,651740,9309 44,5484
W~
9,0077 9,6461 8,1569 9,660527,813629,8442 25,576629,109076,5126 61,1056 84,6992 55,448118,923719,615818,1470 19,8994
P 11,1245 18,2759 6,1789 16,5956 9,612014,1300 6,197014,800815,7001 27,5493 7,2592 21,675310,721916,7580 6,1210 15,1896G1 12,4427 23,3834 6,1983 26,6008 8,025914,3607 5,648920,189533,1039 55,7147 10,2991 49,403310,832219,6824 6,3209 23,7234G2 14,6560 26,7174 6,9653 26,609311,143218,9074 6,434121,000231,7763 55,0080 10,1571 47,531213,682423,2897 6,8862 23,9275rS 13,6891 21,6828 6,3844 21,953311,179416,8683 6,266017,989224,2081 39,2111 8,8066 40,097013,283921,0729 6,2054 20,1590GQ 1,7446 1,1483 4,4529 0,6935 4,1681 3,0234 7,8559 1,7796 0,0379 0 0,3751 0 3,7803 1,8532 6,8697 1,4457LM H 20,9815 34,9056 10,6107 36,069824,648236,4900 16,114938,0160 9,2626 30,0639 1,1887 30,680723,919136,913114,5352 37,4154WH 7,1128 15,3603 4,9600 16,7440 5,182210,7619 4,791912,183325,5168 51,1176 8,2239 50,04546,439412,9251 5,4786 14,2386ALM H 13,6241 25,3623 9,5110 35,209718,078928,4636 15,131637,1963 3,2859 15,9244 0,8150 29,408316,715627,822613,7016 36,7609LM NH 30,8123 37,0096 25,3752 41,556058,345063,4528 53,394664,0841 2,6951 6,7368 0,6002 16,473646,201751,551041,2399 53,0140ANLMH 31,1381 37,0176 26,5522 41,125660,124164,8024 55,957665,5020 0,3084 1,2810 0,1139 7,563447,150152,130442,7657 53,4937ZNLM H 30,2337 36,4685 24,7535 40,891955,763961,5342 50,758662,1244 0,8097 2,8487 0,2610 10,799745,297850,720640,1639 52,3622KNLMH 30,7420 36,7020 25,8542 41,078958,688563,5210 54,197064,3569 2,5216 6,0462 0,6825 15,608646,281851,405241,7581 52,8970LM NWH 25,7704 33,2684 22,0036 35,116152,116257,8620 48,201157,550322,1857 42,3665 7,9019 43,796741,155846,998637,9325 46,8514ANWH 28,0570 34,6964 24,7831 36,889755,825361,1904 52,737761,131915,3361 32,4845 5,4781 35,420443,627249,160040,7503 49,1893ZNWH 24,2662 32,5725 20,7961 34,616747,874454,8179 44,469954,751617,2639 37,3537 5,7735 39,318339,203845,770036,1664 45,8607KNWH 26,2485 33,4268 22,7973 35,549453,085458,7147 49,239958,4500 21,9863 41,5445 8,3048 43,645441,628147,257638,8592 47,3062LM NAH 27,4630 33,5745 24,8299 40,876354,869360,2076 52,707363,6974 0,5969 3,2561 0,3278 14,985043,042648,439740,6978 52,5119ALM NH 29,2949 34,4086 26,1777 40,455858,220962,0144 55,432965,0527 0,1461 0,6346 0,0653 6,479845,208749,475142,1528 52,9912ZNAH 26,6489 33,4539 23,6535 40,319451,804058,0356 49,441661,7396 0,2774 1,9245 0,0791 9,625441,829147,562039,2502 51,9123KNAH 27,8892 33,7153 25,1608 40,621855,520660,5448 53,334163,9406 0,5532 3,0674 0,3115 14,344343,452048,690740,8429 52,5922
133
Tabell B.56: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii −= : n=100
1-2-100 2-2-100 3-2-100 4-2-100 1-3-100 2-3-100 3-3-100 4-3-100 1-4-100 2-4-100 3-4-100 4-4-100 1-5-100 2-5-100 3-5-100 4-5-100 LM N 46,0828 51,7230 39,8509 49,847083,858386,0718 79,785684,292346,1259 21,4867 66,9989 22,298668,667371,524364,7726 70,3356ALM N 47,1772 52,8307 41,0133 51,169284,827687,0066 81,041785,292026,1941 9,7484 48,5153 11,245769,607172,619565,7348 71,6851Z2 42,8007 48,1627 36,9554 46,366180,136082,6765 75,912380,5989 1,6950 0,9852 2,1569 1,079665,500468,474962,0403 67,4274K 46,3431 51,8921 40,1663 49,923384,001186,1789 80,116784,428649,5391 23,2804 70,2769 24,036268,930371,717564,9895 70,4990
2A 30,7480 37,6942 24,6138 34,223986,122689,4883 82,020386,150278,1558 59,4825 89,6217 63,380954,315559,858548,6567 56,6560
2W 27,2725 33,1838 21,8560 30,208885,569788,6798 81,155985,503862,3393 46,3146 76,3673 52,474849,378054,872843,9398 51,9374
D 19,9665 24,6050 15,7684 21,721974,085678,3402 68,906974,684838,7997 28,8468 51,4586 35,028838,244043,717133,7162 40,3884
rF 44,2654 51,1542 37,4539 48,401887,749190,3368 84,329188,155472,0023 45,3057 89,0714 47,437267,489471,638363,0425 69,7012r 47,0062 54,1641 40,2545 50,940889,123191,4774 85,964389,468750,5744 25,8086 74,0965 28,844669,645773,947165,2862 71,7638W * * * * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 43,5115 50,2184 36,9294 47,266087,396789,9605 83,917187,517476,8129 51,0728 91,7808 52,071866,844470,907962,2647 68,6594
W~
13,0514 15,9171 10,4684 14,381253,283858,4071 46,984654,831999,2328 92,4192 99,8791 91,628032,076135,686028,8265 34,0193
P 19,9947 39,9874 6,9310 23,381815,823631,2650 6,505320,880327,4080 53,2445 7,1317 30,518218,452237,6909 6,5100 22,7364G1 31,8144 58,1243 8,2808 49,451420,309540,7935 6,937038,130867,0083 91,3114 13,2946 79,690627,130050,6126 6,9711 44,7521G2 32,4239 57,7449 8,6569 47,319822,551942,5025 7,528037,400362,6123 89,6606 12,8359 76,493827,889351,4554 7,9157 42,8095rS 24,5770 46,5070 7,6226 40,061818,754735,3890 7,237131,526847,1651 76,5661 11,6741 69,639023,487544,9105 7,5541 38,7361GQ 0,6492 0,1632 4,0705 0,1582 2,2712 0,8433 7,7782 0,7266 0 0 0,0774 0 1,7567 0,7877 7,2932 0,7671LM H 41,7930 67,0881 14,4663 60,680443,118163,8513 20,943957,958936,6209 80,1859 1,9235 72,372343,439464,242119,7614 58,9688WH 13,0662 30,8748 5,6033 33,7811 8,165619,1470 5,298623,215261,1149 91,8134 12,0458 86,40129,818722,5039 5,7354 26,3814ALM H 33,6783 63,1928 13,5116 60,443836,328560,3327 20,263457,787522,9767 74,4607 1,5825 72,056536,389860,723219,0541 58,7612LM NH 54,2175 68,8700 39,2926 66,391685,316290,1023 77,904187,958669,3791 86,5655 27,4087 81,572772,988781,233563,4971 78,8747ANLMH 53,9414 68,3442 40,3881 66,017386,1119 90,6288 79,297888,534055,6933 77,7654 17,1898 74,063773,286381,319864,6939 79,1320ZNLM H 53,5085 69,5321 37,0534 66,288382,366789,0255 72,949685,686234,6108 72,2682 2,7586 68,123171,461180,921260,6611 78,1679KNLMH 54,0393 68,5227 39,7554 65,972185,396990,1973 78,267488,025770,9959 86,9422 33,0980 82,140972,978281,178363,8595 78,7851LM NWH 44,9555 59,4307 35,3651 59,156179,835285,5131 74,611484,328978,2545 93,9519 37,0351 91,281566,074474,602460,2406 73,9864ANWH 47,1895 60,2441 37,1983 59,791982,198986,9188 76,903585,865473,6678 91,3934 31,5551 88,519968,142575,672762,2513 75,0874ZNWH 42,1691 58,3308 31,5037 57,791173,961081,6187 67,209780,128465,8246 91,2915 17,1188 87,211962,595772,749455,7293 71,7834KNWH 45,3600 59,3522 35,7006 59,078980,308385,6747 75,119884,626879,3659 94,0952 39,2611 91,460866,430674,727460,6026 74,1773LM NAH 50,7441 66,6154 38,8265 66,338383,570689,2523 77,408087,924553,3791 80,1305 23,3040 81,474670,408279,884563,0070 78,7982ALM NH 51,8421 66,5131 39,8670 65,855684,992789,9743 79,084388,493443,0495 71,2203 14,8978 73,809871,761880,241864,3786 79,1030ZNAH 50,1131 67,2442 36,0801 66,244580,367787,6931 72,159785,669022,5949 64,7531 1,9590 67,902868,833479,3624 59,7196 78,1357KNAH 50,9828 66,3031 39,0059 65,932483,902689,2849 77,791187,997757,2648 80,5464 28,0651 82,053970,779779,835163,2906 78,7757
Tabell B.57: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med )Xexp()X(f ii −= : n=250
1-2-250 2-2-250 3-2-250 4-2-250 1-3-250 2-3-250 3-3-250 4-3-250 1-4-250 2-4-250 3-4-250 4-4-250 1-5-250 2-5-250 3-5-250 4-5-250 LM N 76,2123 81,4568 67,6495 80,510599,412799,5690 99,015199,5333 100 99,3920 100 99,499093,989795,245591,7220 94,9794ALM N 77,2697 82,2559 68,5386 81,425599,510899,6608 99,128399,561599,9850 98,9280 100 99,036094,384195,490992,2434 95,3426Z2 72,4868 78,1748 63,5931 76,991098,963899,2273 98,342999,224797,9600 85,2390 99,9380 85,261092,382194,091989,7358 93,7392K 76,3246 81,4972 67,6558 80,643099,417799,5696 99,023299,5345 100 99,4200 100 99,544094,006395,266991,7707 94,9980
2A 62,2125 70,4335 48,9743 68,056199,884999,9111 99,721499,863999,9040 98,9770 100 99,068087,726591,0086 82,3785 90,1073
2W 56,6836 65,3532 43,2646 62,215799,881399,8960 99,562699,822299,0410 95,7090 99,9370 96,922084,703688,521278,0815 87,0466
D 41,6458 49,2606 30,8730 46,177098,913099,2640 97,767998,799891,2620 80,5770 98,1210 86,484073,238677,744364,9846 76,2848
rF 75,2352 81,1498 65,8214 80,243399,851599,8931 99,600399,861399,9890 99,0620 100 99,251093,704295,341791,1117 94,9579r 77,8550 83,0714 68,7399 82,030599,870299,8946 99,678399,8915 99,8390 96,0830 100 96,245094,703295,847492,1511 95,5973W * * * * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 74,5355 80,4292 64,7441 79,663999,840799,8870 99,594299,8466 100 99,2590 100 99,465093,495495,093190,6597 94,7061
W~
30,3566 38,0632 21,1326 35,877695,344296,4790 92,327795,9856 100 100 100 10068,465272,360360,5497 71,1827
P 49,4468 71,4135 8,7225 55,039940,621560,8541 8,430247,182863,1140 84,0210 10,2850 66,355048,144670,2998 8,4721 53,8144G1 80,4510 94,5642 13,2940 89,251362,991784,2465 10,649777,212999,1480 99,9650 24,8670 99,436073,069890,417611,8221 84,0708G2 77,4149 93,5131 13,6112 87,888360,795183,2541 10,948275,179598,1450 99,8430 23,8660 99,295070,421989,321812,0197 82,3163rS 61,8490 84,5608 11,2235 78,892248,704871,3218 9,254065,217691,8770 98,9440 21,2370 98,145060,929582,460610,6338 76,7992GQ 0,0401 0 2,2424 0 0,3291 0,0528 5,2462 0,0239 0 0 0 0 0,7287 0,2045 5,5656 0,1685LM H 85,1173 96,3936 22,0634 93,152179,8636 92,7035 28,285088,538497,6010 99,9580 6,3470 99,784080,392492,194828,7436 88,5388WH 44,9962 75,0159 8,6950 76,459824,996050,7831 7,223154,674599,6050 100 27,5920 99,958028,083252,3430 6,7885 57,3755ALM H 82,5270 95,9485 21,4606 93,085777,543292,0338 27,853788,484496,2960 99,9050 5,8640 99,780078,197691,615128,2641 88,4669LM NH 91,3440 97,6454 67,7226 96,195099,637399,8680 98,588299,8518 100 100 100 10097,465299,202091,1792 98,7906ANLMH 91,3621 97,6866 68,8093 96,263899,6640 99,8945 98,817099,8603 100 100 100 10097,589799,240791,6996 98,7767ZNLM H 91,5730 97,7515 63,8524 96,140199,455999,8162 97,234899,7343 100 100 93,4070 10097,278299,210188,6863 98,5783KNLMH 91,3062 97,6349 67,9755 96,168599,640099,8791 98,641399,8521 100 100 100 10097,502799,201691,2796 98,7729LM NWH 84,4770 94,3570 63,4805 94,016699,316499,7205 98,066099,7382 100 100 100 10095,502697,999689,3322 98,1126ANWH 85,1712 94,5245 65,2228 94,080599,420799,7333 98,449799,7707 100 100 100 10095,770798,086290,1463 98,2069ZNWH 83,1304 94,1565 57,5400 93,792098,676499,4611 95,821299,4504 100 100 83,8710 10094,242597,695685,7573 97,6590KNWH 84,3506 94,2825 63,7830 94,033799,322099,7220 98,103299,7426 100 100 100 100 95,485497,963689,4760 98,1071LM NAH 90,6090 97,5132 67,5045 96,190499,630099,8562 98,584599,8514 100 100 100 10097,310399,104291,1114 98,7798ALM NH 90,5483 97,4591 68,6747 96,243599,650899,8906 98,809299,8601 100 100 100 10097,332199,124591,6153 98,7744ZNAH 90,6159 97,5465 63,6588 96,134799,399799,7777 97,207199,733099,9870 100 92,9730 10096,999799,122388,5206 98,5750KNAH 90,5789 97,4718 67,6283 96,146199,631999,8572 98,598499,8517 100 100 100 10097,293099,098891,1677 98,7662
134
Tabell B.58: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med outliers: n=10
1-2-10 2-2-10 3-2-10 4-2-10 1-3-10 2-3-10 3-3-10 4-3-10 1-4-10 2-4-10 3-4-10 4-4-10 1-5-10 2-5-10 3-5-10 4-5-10 LM N 3,9265 2,8966 7,0706 3,0619 6,3548 5,0749 12,2046 5,5651 1,9203 0,7378 2,1451 0,72145,1709 3,6323 9,4366 4,3891ALM N 4,1637 3,0173 7,1107 3,0324 6,4617 5,2426 12,5364 5,8475 2,2476 0,7279 1,9598 0,71575,3602 3,6913 9,5449 4,5137Z2 4,1666 2,9576 7,1200 3,0598 6,5365 5,1631 12,3278 5,6785 2,2369 0,7041 2,0206 0,71395,4739 3,7149 9,6251 4,4506K 4,0281 2,9410 7,0402 3,0602 6,3555 5,0647 12,3479 5,6195 2,0931 0,7140 2,0853 0,70045,2500 3,6470 9,5206 4,4158
2A 2,8540 2,3842 5,9386 2,6567 5,2535 4,5619 10,1349 5,0304 1,6702 1,0770 3,7827 1,25813,8994 3,0468 8,0526 3,7077
2W 3,0776 2,4546 6,0139 2,7265 5,5298 4,5144 10,2587 4,9896 1,8018 1,2325 3,9434 1,40124,0728 3,1773 7,9827 3,6593
D 4,4000 2,8414 5,7533 2,9536 6,0386 4,3638 9,2525 4,6381 2,8059 1,6800 3,7915 1,79864,7780 3,3871 6,9914 3,6826
rF 3,2526 2,4424 6,3120 2,7465 5,5849 4,7516 11,2571 5,2816 1,6412 0,7213 3,0461 0,92614,4047 3,1744 8,8139 3,9332r 3,2757 2,4976 6,3535 2,7366 5,6577 4,8614 11,4125 5,4393 1,6215 0,6583 2,7119 0,81754,4476 3,2289 8,9549 3,9433W 2,9016 2,2351 5,9411 2,8230 4,9890 4,2378 9,7638 5,0791 1,6900 1,0942 4,4828 1,38603,6582 2,8806 7,8457 3,9998
W~ ′ 3,2401 2,4562 6,2852 2,7945 5,5108 4,7061 11,0524 5,2674 1,5719 0,7738 3,1116 1,0046 4,23923,1369 8,7729 3,9671
W~
2,5922 2,3836 5,4824 2,9247 4,3192 3,6630 8,0591 4,4203 2,4282 1,9670 7,1330 2,46153,3314 2,9955 6,9553 3,9950
P 4,7935 4,6098 4,8685 4,1744 4,5117 4,3206 5,0462 4,0524 4,6779 4,5467 5,3141 3,97835,3638 4,7993 4,7563 3,8740G1 45,6113 49,6476 7,6399 36,036240,981144,3051 7,920432,996457,0428 61,8147 8,0294 43,796443,676749,8451 8,1341 35,4743G2 31,4650 43,3607 7,0638 17,679429,138138,9841 7,284616,221636,1627 52,5808 7,5845 20,890530,064343,2620 7,2531 18,0688rS 6,8743 7,4593 6,2994 7,9492 6,1894 7,5792 6,6843 7,9892 7,6842 8,3842 6,4494 8,88416,4894 7,9892 6,2394 8,4292GQ 30,6772 24,0890 6,6585 13,897430,800624,9062 8,354115,952030,4637 21,9780 4,6748 10,455730,641125,4552 7,9276 15,4465LM H 51,6226 51,2550 9,7633 37,230347,182346,9918 12,111635,179062,3045 61,8237 4,9908 44,097150,273850,769310,8275 37,0316WH 37,1438 43,7259 6,6239 32,120034,251239,7145 6,908629,910943,7063 55,1084 7,0093 39,609735,733444,0740 6,8029 31,9546ALM H 67,9085 65,7260 16,7077 54,754161,855660,3371 18,795150,280077,3331 74,7510 13,3745 65,347666,396665,613017,8203 54,5649LM NH 31,1534 28,3489 8,1340 9,769231,518829,5464 13,602412,129433,7560 29,3786 2,6995 7,865830,907829,198910,7900 10,9001ANLMH 6,9215 3,2390 7,0831 3,1807 8,9923 5,9043 12,7777 6,0926 5,6087 0,9131 2,1143 0,76717,6957 3,9514 9,9275 4,6326ZNLM H 9,4892 3,4889 7,3306 3,426211,2745 6,0828 12,7856 6,0983 8,8797 1,1004 2,2049 0,884410,1942 4,051510,0816 4,8045KNLMH 16,3225 7,6172 7,4567 4,032417,7172 9,8190 13,0679 6,584016,4542 6,0219 2,3486 1,582416,8521 8,492610,2550 5,2062LM NWH 27,9468 34,6208 7,5490 23,889727,543533,6224 10,855224,257831,1796 40,0014 5,4327 26,136327,538335,3006 9,2967 25,0784ANWH 6,7243 3,0667 7,2886 3,1901 8,8423 5,5436 12,8907 5,9890 5,3472 0,8868 2,2495 0,91907,5279 3,8499 9,9358 4,6433ZNWH 9,2374 3,8800 7,2491 4,167110,9272 6,1479 12,4281 6,6549 8,3584 2,0748 2,6974 2,49969,9134 4,703510,0103 5,6369KNWH 15,9407 24,6837 7,9341 17,810316,457425,1682 11,838818,756417,6304 26,8767 5,1218 18,758315,725026,164710,0658 19,5094LM NAH 62,8952 59,4232 13,8849 46,265458,281755,2213 18,638544,023672,6276 69,4382 8,1925 55,083561,654459,769616,5023 46,6532ALM NH 42,2544 22,4140 8,3863 7,003741,202324,0071 14,0848 9,576048,9997 21,4579 2,7948 4,832441,015923,364811,2310 8,1251ZNAH 50,4120 37,2079 9,5194 16,754348,018236,7146 14,893219,342559,7405 41,9799 3,5093 14,857849,430337,580112,1375 18,5483KNAH 60,0176 55,8015 12,4753 41,365355,943551,7329 17,605440,107769,9803 65,8298 6,1779 48,891458,918656,071615,2769 42,2032
Tabell B.59: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med outliers: n=20
1-2-20 2-2-20 3-2-20 4-2-20 1-3-20 2-3-20 3-3-20 4-3-20 1-4-20 2-4-20 3-4-20 4-4-20 1-5-20 2-5-20 3-5-20 4-5-20 LM N 13,5362 4,4034 10,3619 20,813718,729110,5266 21,791327,096311,2565 0,1553 0,4830 15,960617,1349 7,641516,3252 24,2011ALM N 16,1255 4,6323 10,4749 21,276621,6735 11,1478 22,122828,004414,1708 0,2143 0,3678 16,590119,8823 8,061316,5820 24,3327Z2 13,2189 4,2409 10,2342 22,136118,374910,3039 21,485728,150711,0276 0,1049 0,4700 19,063216,9467 7,541416,2412 25,2015K 14,2497 4,4499 10,3564 21,063519,6421 10,6869 21,901527,625711,8746 0,1832 0,4608 16,414818,0382 7,812216,2935 24,5395
2A 14,0156 6,2311 8,4638 5,782620,591912,3858 19,664211,730411,0427 5,0155 7,1110 4,106417,1266 8,643712,7317 8,3186
2W 14,6783 6,3804 7,9600 5,513721,082912,2805 18,670511,003311,5257 5,2012 6,1389 3,601917,6024 8,393911,9130 7,7682
D 10,4512 5,2372 7,5123 5,103915,2779 9,4251 16,2691 9,5595 8,3975 3,7032 5,7872 4,058812,4673 6,528210,4450 7,0894
rF 15,6021 6,4502 10,2019 12,361022,238213,3997 22,002719,742711,9253 2,9195 2,7856 6,237019,3183 9,605815,3417 15,8012r 17,6225 7,3542 10,4095 12,235624,542514,4218 23,114620,035314,2298 3,2376 1,7332 5,466321,694310,571516,0021 15,7579W 8,4375 4,2510 8,7207 8,411714,1861 9,4154 18,043514,5966 7,1632 2,9300 8,3072 5,954012,1742 6,662913,2527 11,5963
W~ ′ 14,9590 6,0007 10,0072 12,138021,433012,7257 21,642219,532711,3371 2,8017 3,2310 6,406018,4455 9,081415,1508 15,5972
W~
3,3039 2,5187 6,1408 4,1253 6,0739 5,1116 11,2253 7,1311 5,7453 4,7704 17,3506 5,79585,3346 4,0572 9,0983 5,8472
P 8,0587 12,7083 5,6613 3,3240 6,700911,1558 5,3747 3,629211,0891 17,3454 6,7096 4,06587,544012,6695 5,5693 4,1589G1 65,9473 67,4699 18,9989 60,460358,399560,0495 17,947053,579077,8588 78,5368 21,8104 72,714264,033666,148218,1688 59,1461G2 61,9562 63,6085 14,9509 43,880054,505656,4872 14,579239,542774,4551 75,6384 16,1743 54,002559,899562,405214,9586 42,4449rS 13,5236 14,3336 7,1698 11,738812,163813,0387 7,869712,653717,8232 19,3781 7,5597 11,888812,318814,7985 7,1198 12,6387GQ 48,5322 44,3452 11,2733 27,206945,985542,0573 14,703628,403858,5099 53,0903 4,9607 24,986047,857243,960812,8440 27,6898LM H 68,3090 70,0035 22,7734 66,321362,035063,8721 24,704560,565377,7935 79,2531 21,5539 76,672166,855569,136923,9320 65,6176WH 64,0574 68,3374 20,4159 68,419455,995660,0266 18,671560,071077,6467 80,4519 26,7363 81,0612 61,706766,131919,7611 66,4909ALM H 74,0261 74,0540 30,1655 69,573367,762667,9342 30,584163,868382,6856 82,1751 33,3736 79,174273,069472,727230,5590 69,0905LM NH 62,0950 65,2030 21,2888 62,057260,931663,3817 32,915461,014271,1668 73,6765 9,9917 70,947063,384466,480727,0067 64,0983ANLMH 53,8762 57,1033 15,8127 55,093954,070156,6447 28,549055,638062,8960 65,8733 2,3474 63,520655,664258,867821,9305 57,3977ZNLM H 57,0624 60,3560 17,7270 58,092056,591459,5469 29,857457,871966,2736 69,1379 4,3970 66,481658,716261,520123,5672 60,3594KNLMH 59,6874 63,4367 19,8306 60,334059,023161,8673 31,772359,814069,2896 72,2373 7,8034 69,216961,567364,566825,7117 62,8001LM NWH 61,7605 66,6719 22,1461 67,456158,664663,0283 30,835564,406074,1167 77,6936 19,4865 78,268762,381667,268527,4935 68,8982ANWH 55,8372 62,1510 18,5244 63,413154,872660,4385 30,268961,585367,4802 73,0828 9,8516 73,866456,979763,379024,6049 65,3557ZNWH 59,0388 64,2675 20,3816 65,369956,664261,5891 30,379662,939970,9553 75,1547 13,7026 75,865259,672065,384926,0055 66,9989KNWH 60,2874 65,6354 21,7401 66,349657,396362,2702 31,240263,532372,7006 76,7411 17,8818 77,396060,944666,275027,4162 67,9806LM NAH 72,2789 72,2832 29,9437 67,700869,564969,6051 38,710165,665379,7188 79,4421 25,1553 75,800773,575973,325534,4811 69,3099ALM NH 68,7005 67,7482 25,2106 62,423066,916466,4219 36,287761,705676,3441 75,9088 15,1752 70,886370,311569,343530,8158 64,5603ZNAH 70,6011 69,8124 27,3193 64,712368,281367,5186 37,016463,347378,0575 77,4842 19,2335 72,818872,293771,395832,5410 66,6926KNAH 71,3510 71,3202 28,6952 66,329668,867168,9064 37,944564,919678,9784 78,7789 22,8998 74,638372,820372,601033,5949 68,2941
135
Tabell B.60: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med outliers: n=30
1-2-30 2-2-30 3-2-30 4-2-30 1-3-30 2-3-30 3-3-30 4-3-30 1-4-30 2-4-30 3-4-30 4-4-30 1-5-30 2-5-30 3-5-30 4-5-30 LM N 31,3963 37,6541 15,3441 53,281439,946344,9626 32,880957,611928,7903 41,0532 0,2036 59,310936,020841,820625,3663 57,5864ALM N 33,6382 39,7378 15,8285 53,676242,150846,7661 34,177858,381631,9434 43,5492 0,1429 59,493138,083343,640026,1080 58,3250Z2 27,6867 36,4266 14,5940 53,036136,414843,5671 31,140256,8472 24,8546 39,9512 0,1343 59,435232,739540,826324,3247 57,0017K 32,1326 38,3146 15,4530 53,426540,750345,5638 33,080257,859529,8125 41,9577 0,1771 59,361836,695742,457725,6367 57,7767
2A 26,7018 16,4660 10,5461 30,034337,7454 27,3601 29,137340,984524,7619 13,9815 12,3010 30,018530,700421,078718,1764 34,8247
2W 24,4997 12,6452 10,1544 15,404136,206923,3083 28,593926,499820,8426 10,7626 10,6245 12,423128,505616,697816,7825 19,4895
D 16,4570 8,9137 8,7214 13,481525,931516,9874 23,103122,226913,5658 7,1288 8,3009 10,720620,100711,634013,4462 16,4571
rF 32,7125 33,7097 14,5160 50,407142,650442,8725 33,855156,756031,7967 35,5278 5,1440 57,860037,053438,546823,9407 54,4572r 34,7362 35,8260 15,2139 51,317144,901144,7514 35,394758,398033,3952 37,0972 2,4297 57,316338,866240,619724,6873 55,6663W 19,5838 18,5215 10,7491 42,505928,379227,8161 25,542446,832719,3546 16,7169 18,4552 54,891324,159522,767718,0364 45,1759
W~ ′ 31,6711 33,0286 14,2208 49,773541,613842,1405 33,284256,055430,9369 34,5477 6,3613 57,907536,085837,637223,6290 53,7482
W~
5,0213 3,5074 5,9341 25,485310,0079 8,1497 13,783729,604311,2804 8,8095 29,6787 38,06698,1961 6,260210,9547 28,2241
P 9,6313 11,5776 6,5700 5,2917 7,7923 9,8097 6,3517 4,935115,2461 17,0853 7,1200 6,75549,684411,2756 6,9156 5,5918G1 68,0954 69,0737 25,7218 64,971459,731561,3081 23,403557,603579,8931 80,0896 34,3828 76,587866,037767,441824,8966 63,9449G2 64,0344 64,9503 20,7513 53,683056,436657,0862 19,388347,027276,8000 76,6950 25,4389 66,421062,175462,807520,3992 52,3369rS 11,9993 11,3789 7,3398 18,078210,499510,4890 7,929718,483216,2689 14,5335 7,4798 18,478212,409311,6588 8,0897 18,3382GQ 48,1771 46,3226 13,3571 33,855445,163443,7696 17,128133,425358,1685 55,6290 5,8536 37,707348,094146,061016,1869 34,9520LM H 70,3738 72,0952 30,1117 70,829663,803465,8640 30,435764,852679,6656 80,8473 35,2637 79,685868,915071,383131,0071 70,4228WH 65,4273 71,1536 27,3038 72,135856,430262,2400 23,542263,454379,8225 83,2236 42,5639 84,300763,101368,911725,8225 70,2900ALM H 75,1633 75,3271 34,8459 73,135668,641669,3815 33,795166,964583,3262 83,1062 42,8263 81,116474,027774,309135,0833 72,2957LM NH 68,0071 70,6774 32,6012 70,305869,192071,4525 46,573471,177374,7936 76,9835 24,5651 76,197870,547573,279840,3355 73,4579ANLMH 64,2267 68,1432 29,2844 67,978866,806169,8392 45,805869,968471,0355 73,8661 15,9764 73,354067,076670,877638,0466 71,4708ZNLM H 66,0240 69,1337 30,7117 69,286467,595769,8524 44,912670,486072,8478 75,2292 19,8196 74,866268,586671,845338,8189 72,5573KNLMH 67,0310 69,9458 31,6983 69,523868,7288 70,8027 46,402870,906874,1163 76,2551 23,0583 75,560569,758972,544339,8216 72,9212LM NWH 66,1385 71,8433 32,1509 74,074065,674470,8057 43,424872,986777,4834 81,3587 37,2657 83,128068,686674,307139,8230 76,4395ANWH 64,1618 70,5048 31,6563 73,036165,450870,9577 45,886873,390274,6767 79,3481 31,4576 81,422167,047373,048940,0682 76,0366ZNWH 65,6138 71,6187 32,2577 73,666165,287470,5189 43,553672,784276,1652 80,5048 34,8051 82,285168,106873,819739,8032 76,2688KNWH 65,6960 71,6095 31,9165 73,698665,575970,9011 43,935073,033476,8940 81,0543 36,3806 82,794768,257873,868339,8487 76,2509LM NAH 75,0402 74,9590 37,0921 72,301874,964274,8197 48,419872,823081,1719 81,0933 35,5852 78,369577,071977,164944,1041 75,4924ALM NH 73,6942 73,3748 35,1098 70,906674,515074,0982 48,922372,464579,3467 78,8009 29,0409 76,200376,131175,860242,8735 74,3011ZNAH 74,6704 74,2861 36,3437 71,620874,330974,0583 47,703172,239280,4116 79,9238 32,7725 77,332776,706576,498343,5272 74,8715KNAH 74,7943 74,6784 36,6751 72,057674,748074,7566 48,592472,723280,9286 80,7296 34,3394 78,029676,813076,940043,9288 75,0807
Tabell B.61: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med outliers: n=40
1-2-40 2-2-40 3-2-40 4-2-40 1-3-40 2-3-40 3-3-40 4-3-40 1-4-40 2-4-40 3-4-40 4-4-40 1-5-40 2-5-40 3-5-40 4-5-40 LM N 41,2718 50,8783 22,0139 62,910752,607859,0043 43,993768,929340,8281 54,2585 0,2993 66,633348,337156,194833,9549 67,7830ALM N 42,8637 51,8096 22,8034 63,592654,450060,4653 45,943470,274343,0090 54,9854 0,2405 66,684350,278557,458535,0857 68,6050Z2 37,7921 50,0826 20,9599 62,332049,076757,5630 41,974967,768935,3162 53,9129 0,2932 66,725944,706655,023332,8245 66,9359K 41,6848 50,9746 22,1545 62,930253,102859,2211 44,255469,103641,4211 54,4296 0,3017 66,579148,794756,400234,1178 67,8896
2A 33,9161 26,3122 13,7918 47,734549,198340,6289 39,461159,435234,7011 24,1042 20,1418 54,945240,168132,926623,5137 53,1043
2W 30,6159 19,2290 12,0732 39,039647,102533,6104 37,855153,017527,7801 16,9358 16,0111 39,431836,746925,542420,9749 44,1111
D 20,8690 13,0551 9,6469 27,643834,233924,1817 28,924840,510915,9364 11,3389 10,8287 23,644226,217217,946015,8359 32,6763
rF 42,2333 48,2817 21,1283 61,321255,521658,2797 45,905169,278445,0532 54,1628 10,2147 68,835449,318153,925032,6928 66,3120r 44,0694 49,8179 21,8783 62,239957,781460,2618 47,578970,654344,9345 53,5549 5,0317 67,026151,444755,763433,9939 67,4397W 26,5728 31,9673 12,3005 52,258437,899640,6860 30,977257,669732,4777 43,6187 31,3089 70,486232,588737,156221,8193 56,4187
W~ ′ 41,4216 47,7691 20,6054 60,871854,508457,6246 44,933868,639544,6816 54,2731 11,8744 69,206648,535853,267932,0948 65,9501
W~
9,7135 11,6860 6,3811 42,053517,501318,6038 17,467144,658218,2578 16,0266 39,9782 65,321514,265215,586113,3994 45,3008
P 7,4490 6,1491 6,9357 5,5137 5,8071 5,4849 7,0541 5,255012,4015 7,9526 6,3606 7,48446,7986 6,3515 6,5238 5,2967G1 69,2134 70,6074 28,6335 66,626360,711362,9062 25,924658,976180,9121 81,5230 39,2203 78,923067,267868,418625,9941 64,7158G2 64,5413 64,5344 23,0058 54,625556,557956,8772 21,423947,981477,8178 77,1637 28,9332 67,761563,010562,134021,0756 52,1992rS 8,7996 7,7997 7,4045 17,0798 7,8797 8,1097 8,179718,339712,2193 8,9096 6,4799 16,02998,3797 8,7496 7,2298 17,1798GQ 49,9763 46,7821 14,3445 36,971847,052144,2052 17,902636,562660,5612 55,7701 5,3158 42,826251,385646,318416,9019 37,0459LM H 71,8293 74,0624 34,5268 73,382765,137167,9254 34,107667,563780,2615 82,2344 41,7210 81,485370,808172,961634,8905 72,3097WH 67,1790 73,4133 32,1793 75,159657,656264,3416 27,468566,370181,6235 85,1775 50,8224 86,267464,506370,603129,2375 72,3522ALM H 76,1605 76,7792 38,5925 74,768069,789570,6127 37,383568,998783,6697 84,2547 47,1696 82,342075,116375,993838,6523 73,5536LM NH 70,7374 74,0683 38,0773 74,093874,560177,1091 54,850576,936776,6680 79,0998 31,7231 78,722675,592377,597847,2300 77,3633ANLMH 68,5473 72,3568 36,6391 73,051073,639176,0848 55,353176,915674,0665 76,6285 25,3540 76,926173,961875,950346,8144 76,7570ZNLM H 69,6820 73,3612 37,5586 73,803573,481575,9981 53,954676,381175,4391 77,8953 29,3785 77,931374,521576,716246,7989 77,0921KNLMH 70,3244 73,4430 38,1371 73,917374,416376,6917 55,599277,040276,3495 78,5764 31,2558 78,464675,225477,115847,6740 77,2637LM NWH 68,8131 75,2796 39,5759 77,668470,745176,1548 53,041878,181779,6084 83,8401 47,0038 85,451373,083478,313647,3576 80,0367ANWH 67,9750 74,4289 39,7560 77,271072,218176,7666 55,649678,903477,9430 82,4748 43,6069 84,361472,931077,918148,5424 79,7637ZNWH 68,6379 75,1501 39,4018 77,522470,181075,7388 52,262277,986078,9006 83,1052 45,2959 84,895372,783878,047147,3845 80,0152KNWH 68,4348 75,0780 39,5122 77,638070,909376,2933 53,306878,433879,3014 83,6032 46,5771 85,349472,793278,146547,3713 79,9514LM NAH 76,5935 77,7077 42,6838 75,615978,218179,3693 57,075778,015181,6721 82,7203 41,6688 80,432879,711580,621250,8360 78,4855ALM NH 75,9132 76,7681 41,4300 74,677978,486379,3931 58,033178,069780,3590 81,3368 37,0691 78,666579,359579,966750,5935 78,1920ZNAH 76,4151 77,1822 41,9659 75,410477,837778,6829 55,771077,332481,1986 82,0353 39,5761 79,782279,571079,954350,1370 78,2723KNAH 76,3097 77,4235 42,4489 75,455578,308879,2728 57,372378,032281,5361 82,5733 41,3270 80,110179,681280,434150,9527 78,4730
136
Tabell B.62: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med outliers: n=50
1-2-50 2-2-50 3-2-50 4-2-50 1-3-50 2-3-50 3-3-50 4-3-50 1-4-50 2-4-50 3-4-50 4-4-50 1-5-50 2-5-50 3-5-50 4-5-50 LM N 49,0658 66,1319 28,6967 68,091061,559171,6677 55,065875,744850,0720 70,2667 1,7334 70,009857,267770,043843,0466 73,3689ALM N 50,5223 67,5222 29,6905 68,889663,033573,1444 56,568976,828751,4034 71,0645 1,4304 69,991858,659671,536943,9053 74,1625Z2 45,1721 63,0260 27,3163 67,121457,471368,0461 51,700173,416046,4159 67,7352 1,5075 70,024953,687566,878641,3006 72,1735K 49,4566 66,5842 28,8642 68,279561,959671,9917 55,350976,008150,5468 70,5166 1,9409 70,057857,618070,355943,1524 73,5491
2A 39,8819 59,7396 17,2650 53,833758,603569,9420 49,559268,687945,5969 68,5850 28,7887 62,729447,682064,074428,8597 59,1217
2W 36,5022 56,3186 15,2348 46,959056,192667,6638 47,245364,229736,1880 62,2825 22,6710 49,544143,701560,905125,0054 52,2984
D 27,2469 46,3408 11,8184 38,554944,100456,6689 38,374654,019923,2659 50,7972 15,4655 35,619933,486150,618220,0011 43,5194
rF 48,9387 66,7176 27,3472 66,828864,166174,1462 57,241476,934255,9103 73,4075 19,2360 75,351057,334770,595441,3936 72,0948r 50,6354 68,0090 28,6101 67,703766,199075,6375 59,276178,422354,4391 72,7808 11,0908 72,802759,111771,862342,7782 73,0526W 31,3740 51,7167 15,1382 55,833444,4254 57,3338 37,933362,848646,2558 67,8134 45,3157 78,937538,709455,353826,4667 60,0200
W~ ′ 47,9887 66,2871 26,9538 66,380763,318073,7320 56,544976,295056,0186 73,7684 22,2547 76,029456,430870,183140,8312 71,7250
W~
18,3017 36,1496 8,5239 47,558827,526140,0546 23,488251,197530,5257 54,5948 49,5484 75,094724,158839,629917,1909 50,2495
P 11,0606 15,1149 8,1008 6,7359 8,934511,9032 8,1844 6,031619,5343 22,3131 7,4508 10,133010,710513,9104 8,0962 6,5829G1 73,4281 83,1704 30,3375 68,392465,443077,0904 26,814460,169083,4895 90,2833 42,8603 80,846770,396681,214128,3635 64,8661G2 68,6723 81,4953 24,4588 56,439060,786174,8252 22,351449,308880,5021 89,1095 32,1907 70,667666,014379,021122,6332 53,6629rS 11,8793 7,5297 7,7342 18,553110,7958 7,4061 8,589119,593016,8188 8,2597 6,7443 17,718212,4690 7,3044 8,4142 18,9131GQ 53,3412 70,0381 16,2342 41,508449,109064,2481 20,300539,778063,8659 78,7434 6,2238 50,500352,247068,187218,4351 41,8423LM H 75,7831 84,4509 36,2869 75,480769,244779,5567 35,381968,790883,3632 89,8683 45,2949 83,240473,212683,088436,2277 73,0292WH 72,3878 82,1264 34,9721 77,412962,775874,4118 28,927168,285185,0643 90,4803 55,9965 88,073668,005578,533231,8085 73,3487ALM H 78,6496 86,8754 39,4861 76,469572,625982,1762 37,716170,095986,0202 91,4658 49,6414 84,103876,488685,951739,1198 74,3234LM NH 75,7050 84,5981 42,3712 77,142680,534386,9090 62,337181,083580,8121 88,1652 38,4525 81,2465 79,923086,555053,7328 80,1300ANLMH 74,5555 83,9148 41,9655 76,643079,988586,4468 63,482481,698579,0481 86,9716 33,2846 79,979979,089585,919553,5771 80,0296ZNLM H 75,2809 84,3544 41,5378 76,762279,456486,1147 60,165180,138279,9142 87,6336 36,1092 80,817679,306186,274352,6382 79,8358KNLMH 75,3194 84,3687 42,1303 76,935880,163286,8039 62,581181,056980,5440 88,0758 37,7981 81,063179,500886,458253,6928 79,9823LM NWH 75,0387 83,7593 44,2986 80,377178,319984,8899 60,813882,385084,1931 89,9287 54,5176 87,711378,578985,328654,2492 82,6925ANWH 74,3686 83,3069 44,5066 80,344878,607685,5132 63,157883,497282,8703 89,0875 51,5132 87,098578,580185,287555,2145 83,0813ZNWH 74,6420 83,7446 44,1560 80,333177,135484,4408 59,001281,6537 83,3791 89,5322 52,9367 87,347078,283885,163053,8666 82,4277KNWH 74,8619 83,6353 44,5733 80,429578,399985,0668 61,746882,798784,1422 89,9146 54,8055 87,758178,513785,336254,8393 82,8051LM NAH 80,5844 87,6253 44,4242 78,226383,791989,1944 61,816881,611484,6935 90,7147 44,7715 82,342583,029989,297055,4259 80,9034ALM NH 79,7327 87,1859 44,5715 77,667883,700589,4132 63,728182,031083,5464 90,0758 41,2708 81,098582,704689,163955,9300 80,6414ZNAH 80,1347 87,3581 44,1937 77,719882,768088,5186 60,176580,647884,0897 90,5067 43,4107 81,855782,726989,137954,7724 80,4767KNAH 80,3694 87,4727 44,6652 77,975383,864489,3424 62,732181,613284,5862 90,6479 44,7845 82,142383,049789,176755,8912 80,7831
Tabell B.63: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med outliers: n=100
1-2-100 2-2-100 3-2-100 4-2-100 1-3-100 2-3-100 3-3-100 4-3-100 1-4-100 2-4-100 3-4-100 4-4-100 1-5-100 2-5-100 3-5-100 4-5-100 LM N 75,5362 82,7894 47,7579 79,394288,911191,6774 81,366091,149179,2551 85,7729 41,0146 84,439684,864489,000068,8170 87,4097ALM N 75,9487 83,1182 48,6362 79,719989,503192,1466 82,367991,571075,6793 83,7012 31,0480 80,821485,212189,455069,7666 87,7214Z2 73,7311 81,4019 45,0851 78,190186,339689,5942 77,403489,258870,2428 79,9593 12,8044 74,759383,159387,656466,3208 86,1945K 75,6101 82,8449 48,0949 79,419789,015291,7824 81,713791,193379,5623 86,2011 43,1394 84,810484,902189,076969,0607 87,4657
2A 61,7057 71,4732 30,0581 67,392887,370489,8417 81,648190,958276,7498 82,6977 67,8464 88,043673,527879,978352,0887 78,2693
2W 57,3438 67,3659 25,2670 62,638985,790288,2448 79,709789,860863,1518 73,2704 55,1660 71,546168,834976,050746,5234 74,1337
D 48,5394 58,7860 18,4502 54,306376,475379,6018 66,551080,956551,7690 63,8667 37,6863 57,767458,699066,914735,7949 64,5740
rF 74,2137 81,6253 45,4030 77,849590,935192,8001 84,676392,697389,8963 92,4328 73,6000 95,4010 84,118088,302267,2021 86,5661r 75,5401 82,7743 48,1015 78,949791,982093,6667 86,602893,639086,6819 90,5378 62,1336 92,122685,510389,183769,4508 87,4895W * * * * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 73,8749 81,2901 44,5943 77,473690,682792,5319 84,209892,401490,5713 92,8514 75,9329 95,844383,800387,943266,6428 86,3100
W~
50,6891 63,6202 15,7529 59,043865,313872,2053 47,951272,213579,0386 85,3461 73,4055 95,530760,368269,957732,4276 66,9619
P 15,2191 25,3505 6,0929 4,318211,807919,8395 5,6901 3,957329,3929 41,3514 6,3495 5,935114,807524,5836 6,5211 4,3543G1 80,1712 85,6304 37,3334 67,659373,047880,1718 31,869658,871987,9177 91,5252 53,7599 80,868078,263085,059235,2000 65,1202G2 75,4926 82,9916 27,3043 50,747667,531676,9287 24,184243,727184,7193 89,5689 38,5287 66,496473,081781,760726,0627 48,2292rS 14,9139 13,8303 6,3720 10,762513,281712,0301 7,539813,247722,0207 18,4712 5,8696 7,392814,733913,6475 7,1496 11,8084GQ 60,7820 71,0349 18,3175 43,722456,017665,1199 22,565942,038870,7914 79,2116 6,9282 52,480759,691169,505721,4719 43,6892LM H 82,0618 87,4521 45,0762 77,064376,566783,1779 42,831671,732488,0402 91,7656 56,2002 84,240981,072887,250046,0293 76,7383WH 80,6025 86,4438 44,4138 79,876472,034879,9958 36,244071,034490,0675 93,1462 66,7143 89,538377,677084,964839,9188 76,9522ALM H 83,7706 88,6373 47,4459 77,406478,498584,4147 44,519872,006989,1677 92,4578 58,7955 84,555282,566788,551447,8101 77,1617LM NH 86,2283 90,2832 59,4722 82,968993,193295,1962 84,491692,140292,8316 94,8712 71,7358 87,448991,146594,110175,3132 89,4212ANLMH 86,0362 90,1320 59,5445 83,217193,448895,3382 85,350392,703690,5344 93,3285 65,1303 85,741291,100494,107775,8464 89,6557ZNLM H 85,7812 90,0284 57,8958 82,532792,025094,2642 81,279490,339987,5244 91,3951 55,0799 83,560790,456293,778873,6714 88,5704KNLMH 86,2032 90,2586 59,4479 82,982393,297395,1990 84,649592,266093,3929 95,2515 73,9597 88,1412 91,186494,078775,4926 89,4568LM NWH 85,8758 90,2475 60,2742 85,637692,715394,6337 82,955991,903593,5198 95,2993 77,1736 91,866190,772393,836875,2003 90,4381ANWH 86,0716 90,3987 61,0633 86,018593,245194,9648 84,549392,779992,7454 94,7654 75,2282 91,429491,061094,035176,0979 90,9087ZNWH 85,8191 90,1843 58,8301 85,132191,044993,5859 78,961289,743790,6503 93,3476 68,1914 89,762290,283693,356673,1846 89,5911KNWH 85,8943 90,2686 60,4326 85,744892,769794,6422 83,257492,127293,8753 95,5348 78,5395 92,285090,791893,902975,4498 90,5847LM NAH 87,4559 91,2599 60,6723 83,401693,502095,1937 84,385192,203091,1486 94,0373 66,8497 87,429791,773294,697575,6511 89,4977ALM NH 87,5483 91,3546 61,1844 83,385693,795495,5804 85,406692,6392 90,4518 93,5696 64,1487 85,685692,042294,835276,3576 89,6845ZNAH 87,3160 91,1388 59,1481 82,834592,426994,2900 80,738690,319689,1143 92,4565 58,2003 84,074291,420494,349273,7081 88,6995KNAH 87,4863 91,2833 60,7267 83,389993,531195,3280 84,622792,270591,5343 94,2797 68,5792 87,843591,774394,769275,7445 89,5575
137
Tabell B.64: Styrkenivåer (1-β) från HN -simuleringar med outliers: n=250
1-2-250 2-2-250 3-2-250 4-2-250 1-3-250 2-3-250 3-3-250 4-3-250 1-4-250 2-4-250 3-4-250 4-4-250 1-5-250 2-5-250 3-5-250 4-5-250 LM N 92,0056 93,8182 76,4687 90,263299,651199,7789 99,321699,610595,3018 96,4435 84,2002 95,077697,633798,202794,0044 97,3017ALM N 92,2748 94,0196 77,2851 90,435299,711499,7999 99,376299,640395,1107 96,2895 83,0156 94,606797,736598,311694,2738 97,3978Z2 91,1592 93,1007 73,3045 88,985499,428899,5979 98,690999,301594,1869 95,5708 79,8077 93,687097,062697,883692,3791 96,6116K 92,0044 93,8488 76,5565 90,264899,653999,7806 99,325299,612695,2937 96,4624 84,2444 95,075697,631398,215194,0474 97,2948
2A 83,1305 87,1824 58,7139 80,951899,811099,8112 99,609999,806499,6392 99,5242 99,8838 99,974994,309795,420486,3392 93,7168
2W 79,6163 84,5231 51,6065 77,222399,709999,7737 99,578599,799390,6595 92,0448 97,6119 96,061392,106293,924981,8776 91,6871
D 71,2908 76,8451 38,2352 67,431498,996499,0082 98,034499,008284,3193 86,3692 89,3463 89,993286,208888,792269,0271 84,4996
rF 91,5736 93,4711 74,7880 89,571999,879799,9464 99,798499,869699,9776 99,9847 100 10097,565598,189893,5917 97,1902r 92,3687 94,0155 76,8565 90,350699,902299,9521 99,824799,894899,9737 99,9808 99,9672 10097,838798,386894,2718 97,5411W * * * * * * * * * * * * * * * *
W~ ′ 91,2894 93,2909 74,0409 89,294699,880999,9228 99,769299,849899,9784 99,9860 100 10097,461798,132993,3504 97,0346
W~
74,5200 80,3638 34,8551 69,065096,767797,2741 93,562396,6726 99,9152 99,9669 99,9894 10087,078589,785268,4939 85,0473
P 29,2764 25,0888 5,8617 5,176123,523319,5657 6,0780 5,220138,8564 41,5924 5,8956 5,454728,178624,8710 6,1372 5,0113G1 83,8695 86,8481 37,1537 60,241877,527081,5867 31,676651,638690,3852 92,0956 55,1813 76,880482,841486,519434,2552 58,5416G2 78,4359 82,5459 25,2366 42,100871,142075,7561 22,281935,941786,8869 89,2926 36,6941 59,406576,459681,092323,2740 39,5328rS 30,3996 27,3218 5,7596 7,231227,415924,2139 6,6619 9,4621 34,4613 36,6787 5,0660 5,244929,579327,6383 5,8343 7,8565GQ 65,5350 70,5021 19,2481 45,921660,034164,6157 23,235443,623775,5930 79,2453 7,9818 55,624864,949670,212723,4941 46,5408LM H 86,4207 89,4350 49,5790 76,219382,196885,6823 47,477570,777990,8155 92,5373 60,9698 83,430186,566889,721251,4301 76,7535WH 86,8546 89,6043 53,2085 81,335779,992984,1417 42,603672,786693,0737 94,5497 74,2021 90,489084,895688,463848,0588 78,3080ALM H 87,1327 89,8589 50,5349 76,374183,029686,3563 48,160270,982091,2466 92,9268 62,0429 83,513887,068090,323452,5143 76,8926LM NH 94,6201 95,7477 79,0240 90,752499,708599,8670 99,091199,4196 100 100 100 99,942698,311498,842294,0268 97,2111ANLMH 94,6866 95,9364 79,5375 91,029399,733599,8899 99,219999,5398 100 100 99,9768 99,895698,345598,912594,3066 97,3054ZNLM H 93,9114 95,2229 76,2722 89,376399,503699,6345 98,169398,992599,5131 99,6277 97,0387 97,230197,983598,570792,5161 96,3478KNLMH 94,6422 95,7487 79,0711 90,761099,708099,8689 99,103599,4631 100 100 100 99,949998,295298,848894,0757 97,2253LM NWH 94,8117 95,8692 80,1560 91,987299,643499,7555 98,628099,4184 100 100 100 99,985998,422498,841593,9041 97,4989ANWH 95,0176 96,0739 80,8602 92,337399,725799,7863 98,875899,4818 100 100 99,9845 99,984298,505698,957294,2266 97,6489ZNWH 94,0766 95,2197 77,0616 90,778799,255499,4003 97,319398,770298,7669 98,9490 92,1753 96,282797,977098,431391,8764 96,6049KNWH 94,8301 95,8919 80,2073 92,067999,648699,7627 98,657499,4232 100 100 100 99,987498,428598,834493,9519 97,5202LM NAH 94,7227 95,9497 79,1771 90,733299,670899,8024 99,062099,4174 100 100 100 99,945898,293798,888694,0280 97,1849ALM NH 94,8793 96,0206 79,7419 91,001499,712699,8543 99,227299,5288 100 100 99,9862 99,902698,381098,917394,3591 97,3510ZNAH 93,9814 95,3355 76,1461 89,352199,438899,5630 98,018798,995698,5814 99,1411 95,2000 97,203797,923598,547092,2702 96,3549KNAH 94,7756 95,9473 79,2370 90,759799,673199,8038 99,081699,4399 100 100 100 99,950798,298898,888594,0687 97,2144
138
Bilaga 3: Minitabmakron
B3.1 Huvudmakro macro normochkombdistr d0 d11 n test.1-test.120 mconstant n c ant sgma2tak xmax xmin xrange n2 n3 & rtbet1b2 bet2rtb1 btak1rot eb2 varb1rot varb2 btak2 & utakssq utaks3 utaks4 z1 zn2b2 dis2 rs & auxrss auxtss utak2bar pibar a2just w2just djust & xdevs2 xotdevs2 xrtdevs2 xortdvs2 xlndevs2 xolndvs2 & z1denom z2num1 z2num2 z2num3 z2denom ka1rot & midevssq hidevssq mitilds2 lmnb2 almnb2 fkb2 & nc1 nc2 fk2 fk3 fk4 ka2 ka3 kb1 d0 d1 d2 d3 d11 d20 d21 d30 & mu.2-mu.4 a.1 b.1-b.4 mcolumn d i y ai ei hi mi pi ui yi zi zidesc xoutsort hvector vekt1 & x xrank xln x2 xsort ysort xout xoutrank xoutln xout2 xoutrot & utak utaksort utakabs utkabrnk utak2 utak2ln betatak xout1mh & mitilde citilde aitilde hidev midev hipdf auxutak pitak x1mh & bc.1-bc.2 xobs.1-xobs.2 xotobs.1-xotobs.2 yobs.1-yobs.2 dkol1 & fx.1-fx.5 test.1-test.120 kol.1-kol.n mmatrix xmatrix xmatprim xprimx xprxinv hmatrix vmatrix vxmatrix & xprvxmat xprvxinv xmell xoutmell vekt1pr dmat1 dmat2 dmat3 dmat4 # #a.i är dummy-konstanter, gemensamma för flera teststatistikor #b.i är dummy-konstanter, olika för alla teststatistikor #di är dummy-konstanter som används för do- och if-loopar #bc.i är dummy-kolumner, olika för alla teststatistikor # #Detta är det slutgiltiga färdigkontrollerade makrot! #Färdigkontrollerat för inkorporeringen av Verbylas test. # brief 0 mreset let ant=10000 #ant = antalet replikationer #Skapar id-kolumn: set i 1:n end #Generering av x-värdena: base 5242299 #base-nummer för x-värdena if d0=1 random n x; gamma 2 1. elseif d0=2 random n x; gamma 4 1. elseif d0=3 random n x; weibull 2 1. elseif d0=4 random n x; uniform 0 6. endif #Skapar en kolumn med ett extremvärde (outlier): max x xmax min x xmin range x xrange let xout=x if xout(n)>xmin and xout(n)<xmax let xout(n)=xmax+xrange elseif xout(n-1)>xmin and xout(n-1)<xmax let xout(n-1)=xmax+xrange else let xout(n-2)=xmax+xrange endif #Skapar f(x)-värdena: set fx.1 #skapar kolumn med n st. ettor (1:1)n end let fx.2=x let fx.3=sqrt(x) let fx.4=exp(0.1*x) let fx.5=exp(-0.1*x) #Skapar diverse konstanter: let n2=n**2 let n3=n**3 let a2just=1+4/n-25/n2 let w2just=1+0.5/n let djust=sqrt(n)-0.01+0.85/sqrt(n) #Värden till Filliben-testet: let mi=(i-0.3175)/(n+0.365) let mi(n)=0.5**(1/n) let mi(1)=1-mi(n) invcdf mi mi let midev=mi-mean(mi) ssq midev midevssq #Värden till Weiberg-Binghams Wtildeprimtest: let mitilde=(i-3/8)/(n+1/4)
invcdf mitilde mitilde ssq mitilde mitilds2 #Värden till de Wet-Vinters test: let hi=i/(n+1) invcdf hi hi let hidev=hi-mean(hi) ssq hidev hidevssq #Skapar värden för Rahman-Govindarajulus Wtilde-test: pdf hi hipdf let citilde(1)=0-2*hi(1)*hipdf(1)+hi(2)*hipdf(2) let b.1=n-1 do d0=2:b.1 let citilde(d0)=hi(d0-1)*hipdf(d0-1)-2*hi(d0)*hipdf(d0)+hi(d0+1)*hipdf(d0+1) enddo let citilde(n)=hi(n-1)*hipdf(n-1)-2*hi(n)*hipdf(n) let citilde=-(n+1)*(n+2)*hipdf*citilde ssq citilde b.1 let aitilde=citilde/sqrt(b.1) #Skevhets- och toppighetsmått: let eb2=(3*(n-1))/(n+1) let b.1=6*(n-2) let b.2=(n+1)*(n+3) let varb1rot=b.1/b.2 let b.1=24*n*(n-2)*(n-3) let b.2=((n+1)**2)*(n+3)*(n+5) let varb2=b.1/b.2 let b.1=3*(n**2+27*n-70)*(n+1)*(n+3) let b.2=(n-2)*(n+5)*(n+7)*(n+9) let bet2rtb1=b.1/b.2 let b.1=6*(n**2-5*n+2) let b.2=(n+7)*(n+9) let b.3=6*(n+3)*(n+5) let b.4=n*(n-2)*(n-3) let rtbet1b2=(b.1/b.2)*sqrt(b.3/b.4) #Värden för D'Agostino-Pearsons ZN2-test: let b.1=(n+1)*(n+3) let b.2=6*(n-2) let ka1rot=sqrt(b.1/b.2) #rotdelen av A1 let b.1=2*(bet2rtb1-1) let ka2=-1+sqrt(b.1) #A2-delen let ka3=sqrt(2/(ka2-1)) #A3-delen let z1denom=sqrt(0.5*loge(ka2)) #nämnaren för Z1 let b.1=8/rtbet1b2 let b.2=2/rtbet1b2+sqrt(1+4/(rtbet1b2**2)) let kb1=6+b.1*b.2 #B1-delen let a.1=9*kb1 let z2denom=sqrt(2/a.1) #nämnaren för Z2 let z2num1=1-2/a.1 let z2num2=1-2/kb1 let z2num3=sqrt(2/(kb1-4)) #Värden till Parks heteroscedasticitetstest loge x xln loge xout xoutln let xlndevs2=sum((xln-mean(xln))**2) let xolndvs2=sum((xoutln-mean(xoutln))**2) #Värden till Glejsers test: #Test 1: let xdevs2=sum((x-mean(x))**2) let xotdevs2=sum((xout-mean(xout))**2) #Test 2: sqrt xout xoutrot let xrtdevs2=sum((fx.3-mean(fx.3))**2) let xortdvs2=sum((xoutrot-mean(xoutrot))**2) #Värden för "Spearman's rank correlation test": rank x xrank rank xout xoutrank #Värden till GQ-testet: let c=2*floor((2/15)*n) #c-värdet i GQ-statistikan let nc1=(n-c)/2 let nc2=(n+c)/2+1 sort x xsort sort xout xoutsort copy xsort xobs.1; use 1:nc1. copy xsort xobs.2; use nc2:n. copy xoutsort xotobs.1; use 1:nc1. copy xoutsort xotobs.2; use nc2:n. #Värden till Whites allmänna heteroscedastisitetstest: let x2=x**2 let xout2=xout**2 #Beräkningar för Verbylas ALMH-test: do d30=1:2 #Matrisberäkningar för x-värdena: if d30=1
139
copy fx.1 x xmatrix elseif d30=2 copy fx.1 xout xmatrix endif transpose xmatrix xmatprim multiply xmatprim xmatrix xprimx invert xprimx xprxinv erase xprimx multiply xmatrix xprxinv dmat1 erase xprxinv multiply dmat1 xmatprim hmatrix #Skapar H-matrisen erase dmat1 diagonal hmatrix hvector #Skapar h-vektorn if d30=1 let x1mh=fx.1-hvector #skapar en (1-h)-vektor elseif d30=2 let xout1mh=fx.1-hvector endif erase hvector #Skapar V-matrisen för x-värdena: copy hmatrix kol.1-kol.n erase hmatrix do d20=1:n let d21=(1-kol.d20(d20))**2 let kol.d20=(kol.d20)**2 let kol.d20(d20)=d21 enddo copy kol.1-kol.n vmatrix erase kol.1-kol.n #Skapar mellanmatrisen Z(Z'VZ)^(-1)Z' för x-värdena: multiply vmatrix xmatrix vxmatrix erase vmatrix multiply xmatprim vxmatrix xprvxmat erase vxmatrix invert xprvxmat xprvxinv erase xprvxmat multiply xmatrix xprvxinv dmat2 erase xprvxinv if d30=1 multiply dmat2 xmatprim xmell elseif d30=2 multiply dmat2 xmatprim xoutmell endif enddo erase dmat2 xmatrix xmatprim #Skapar kolumner med ai-värden för Shapiro-Wilks W-test: if n=10 set ai -0.5739 -0.3291 -0.2141 -0.1224 -0.0399 0.0399 0.1224 0.2141 0.3291 0.5739 end elseif n=20 set ai -0.4734 -0.3211 -0.2565 -0.2085 -0.1686 -0.1334 -0.1013 -0.0711 -0.0422 -0.0140 0.0140 0.0422 0.0711 0.1013 0.1334 0.1686 0.2085 0.2565 0.3211 0.4734 end elseif n=30 set ai -0.4254 -0.2944 -0.2487 -0.2148 -0.1870 -0.1630 -0.1415 -0.1219 -0.1036 -0.0862 -0.0697 -0.0537 -0.0381 -0.0227 -0.0076 0.0076 0.0227 0.0381 0.0537 0.0697 0.0862 0.1036 0.1219 0.1415 0.1630 0.1870 0.2148 0.2487 0.2944 0.4254 end elseif n=40 set ai -0.3964 -0.2737 -0.2368 -0.2098 -0.1878 -0.1691 -0.1526 -0.1376 -0.1237 -0.1108 -0.0986 -0.0870 -0.0759 -0.0651 -0.0546 -0.0444 -0.0343 -0.0244 -0.0146 -0.0049 0.0049 0.0146 0.0244 0.0343 0.0444 0.0546 0.0651 0.0759 0.0870 0.0986 0.1108 0.1237 0.1376 0.1526 0.1691 0.1878 0.2098 0.2368 0.2737 0.3964 end elseif n=50 set ai -0.3751 -0.2574 -0.2260 -0.2032 -0.1847 -0.1691 -0.1554 -0.1430 -0.1317 -0.1212 -0.1113 -0.1020 -0.0932 -0.0846 -0.0764 -0.0685 -0.0608 -0.0532 -0.0459 -0.0386 -0.0314 -0.0244 -0.0174 -0.0104 -0.0035 0.0035 0.0104 0.0174 0.0244 0.0314 0.0386 0.0459 0.0532 0.0608 0.0685 0.0764 0.0846 0.0932 0.1020 0.1113 0.1212 0.1317 0.1430 0.1554 0.1691 0.1847 0.2032 0.2260 0.2574 0.3751 end endif #Startar replikationerna: base 1122740 #base-nummer för störningstermerna do d1=1:ant #startar do-loop för replikationerna if d11=1 random n ei #slumpar fram N(0,1)-värden
elseif d11=2 random n ei; logistic 0 1. elseif d11=3 random n ei; laplace 0 1. elseif d11=4 random n ei; uniform -3 3. elseif d11=5 random n ei; t 5. endif do d2=1:6 #startar do-loop för f(x)-värdena if d2<6 #if-loop för f(x)-värdena let ui=fx.d2*ei let y=1+x+ui regress y 1 x; constant; mse sgma2tak; #mse(mean square error) = variansskattningen residuals utak. elseif d2=6 let ui=ei if xout(n)>xmax #Dessa rader let ui(n)=xout(n)*ei(n) #tas bort när elseif xout(n-1)>xmax #NH-värden för let ui(n-1)=xout(n-1)*ei(n-1) #extremvärdena else #skall let ui(n-2)=xout(n-2)*ei(n-2) #simuleras endif #fram! let y=1+xout+ui regress y 1 xout; constant; mse sgma2tak; residuals utak. endif #avslutar if-loopen för f(x)-värdena #Skapar gemensamma konstanter och kolumner: sort utak utaksort abs utak utakabs rank utakabs utkabrnk let utak2=utak**2 loge utak2 utak2ln mean utak2 utak2bar ssq utak utakssq let utaks3=sum(utak**3) let utaks4=sum(utak**4) let mu.2=utakssq/n let mu.3=utaks3/n let mu.4=utaks4/n let btak1rot=mu.3/mu.2**(3/2) let btak2=mu.4/mu.2**2 let yi=utaksort/sqrt(sgma2tak) cdf yi zi #Renodlade normalitetstest: #Beräkning av teststatistikan för LMN-testet: let a.1=btak1rot**2 let lmnb2=((btak2-3)**2)/(24/n) #kurtosisdelen let d3=1+20*(d2-1) let test.d3(d1)=a.1/(6/n)+lmnb2 #Beräkning av teststatistikan för ALMN-testet: let almnb2=((btak2-eb2)**2)/varb2 #kurtosisdelen let d3=2+20*(d2-1) let test.d3(d1)=a.1/varb1rot+almnb2 #Beräkning av ZN2-testet: let b.1=(btak1rot*ka1rot)/ka3 #A1/A3 let z1=loge(b.1+sqrt(1+b.1**2))/z1denom #Z1-delen let b.2=(z2num2/(1+sqrt(almnb2)*z2num3))**(1/3) let zn2b2=((z2num1-b.2)/z2denom)**2 #Zn2b2-statistikan let d3=3+20*(d2-1) let test.d3(d1)=z1**2+zn2b2 #Beräkning av Fishers kumulanttest (K-testet): let fk2=utakssq/(n-1) let fk3=(n*utaks3)/((n-1)*(n-2)) let b.1=(n3-n2)*utaks4-3*(n2-n)*(utakssq**2) let b.2=n*(n-1)*(n-2)*(n-3) let fk4=b.1/b.2 let b.1=(fk3**2)/(fk2**3) let b.2=(fk4**2)/(fk2**4) let fkb2=b.2/(24/n) #kurtosisdelen let d3=4+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.1/(6/n)+fkb2 #Beräkning av Anderson-Darlings teststatistika: sort zi zidesc; #kolumn med z(n+1-i)-värden descending zi. let bc.1=loge(zi)+loge(1-zidesc) let b.1=-n-(1/n)*sum((2*i-1)*bc.1) let d3=5+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.1*a2just #Beräkning av Cramér-von Mises test: let b.1=sum((zi-(2*i-1)/(2*n))**2)+1/(12*n) let d3=6+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.1*w2just
140
#Beräkning av Kolmogorov-Smirnovs teststatistika: let bc.1=i/n-zi let bc.2=zi-(i-1)/n let d(1)=max(bc.1) let d(2)=max(bc.2) let d3=7+20*(d2-1) let test.d3(d1)=max(d)*djust #Beräkning av teststatistikan för Filliben-testet: let b.1=sum(utaksort*midev) let b.2=sqrt(utakssq*midevssq) let d3=8+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.1/b.2 #Beräkning av de Wet-Venters r2-test: let b.1=sum(utaksort*hidev) let b.2=sqrt(utakssq*hidevssq) let d3=9+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.1/b.2 #Beräkning av Shapiro-Wilks W-test: if n=10 or n=20 or n=30 or n=40 or n=50 let b.1=(sum(utaksort*ai))**2 let d3=10+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.1/utakssq endif #Beräkning av Weisberg-Binghams teststatistika: let b.1=(sum(mitilde*utaksort))**2 let d3=11+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.1/(mitilds2*utakssq) #Beräkning av Rahman-Govindarajulus teststatistika: let b.1=sum(aitilde*utaksort) let d3=12+20*(d2-1) let test.d3(d1)=(b.1**2)/utakssq #Renodlade heteroscedasticitetstest: #Beräkning av Parks test: if d2<6 regress utak2ln 1 xln; constant; coefficients betatak; mse b.1. let b.2=b.1/xlndevs2 elseif d2=6 regress utak2ln 1 xoutln; constant; coefficients betatak; mse b.1. let b.2=b.1/xolndvs2 endif let d3=13+20*(d2-1) let test.d3(d1)=abs(betatak(2)/sqrt(b.2)) #Beräkning av Glejser-testen: #Test 1: if d2<6 regress utakabs 1 x; constant; coefficients betatak; mse b.1. let b.2=b.1/xdevs2 elseif d2=6 regress utakabs 1 xout; constant; coefficients betatak; mse b.1. let b.2=b.1/xotdevs2 endif let d3=14+20*(d2-1) let test.d3(d1)=abs(betatak(2)/sqrt(b.2)) #Test 2: if d2<6 regress utakabs 1 fx.3; constant; coefficients betatak; mse b.1. let b.2=b.1/xrtdevs2 elseif d2=6 regress utakabs 1 xoutrot; constant; coefficients betatak; mse b.1. let b.2=b.1/xortdvs2 endif let d3=15+20*(d2-1) let test.d3(d1)=abs(betatak(2)/sqrt(b.2)) #Beräkning av "Spearman's rank correlation test": if d2<6 let dis2=sum((utkabrnk-xrank)**2) elseif d2=6 let dis2=sum((utkabrnk-xoutrank)**2) endif let rs=1-6*(dis2/(n3-n)) let b.1=(rs*sqrt(n-2))/sqrt(1-rs**2) let d3=16+20*(d2-1) let test.d3(d1)=abs(b.1)
#Beräkning av GQ-testet: if d2<6 sort y ysort; by x. elseif d2=6 sort y ysort; by xout. endif copy ysort yobs.1; use 1:nc1. copy ysort yobs.2; use nc2:n. if d2<6 do d0=1:2 regress yobs.d0 1 xobs.d0; constant; residuals bc.d0. let b.d0=ssq(bc.d0)/(nc1-2) #RSS1/df och RSS2/df enddo elseif d2=6 do d0=1:2 regress yobs.d0 1 xotobs.d0; constant; residuals bc.d0. let b.d0=ssq(bc.d0)/(nc1-2) #RSS1/df och RSS2/df enddo endif let d3=17+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.2/b.1 #Beräkning av LMH-testet: let pi=utak2/mu.2 mean pi pibar if d2<6 regress pi 1 x; constant; fits pitak. elseif d2=6 regress pi 1 xout; constant; fits pitak. endif let d3=18+20*(d2-1) let test.d3(d1)=(1/2)*sum((pitak-pibar)**2) #Beräkning av Whites test: if d2<6 regress utak2 2 x x2; constant; residuals auxutak. elseif d2=6 regress utak2 2 xout xout2; constant; residuals auxutak. endif ssq auxutak auxrss let auxtss=sum((utak2-utak2bar)**2) let d3=19+20*(d2-1) let test.d3(d1)=n*(1-auxrss/auxtss) #Beräkning av Verbylas ALMH-test: if d2<6 let vekt1=(utak**2)/sgma2tak-x1mh transpose vekt1 vekt1pr multiply vekt1pr xmell dmat3 multiply dmat3 vekt1 dmat4 elseif d2=6 let vekt1=(utak**2)/sgma2tak-xout1mh transpose vekt1 vekt1pr multiply vekt1pr xoutmell dmat3 multiply dmat3 vekt1 dmat4 endif copy dmat4 dkol1 let d3=20+20*(d2-1) let test.d3(d1)=(1/2)*dkol1(1) enddo #avslutar do-loopen för f(x)-värdena enddo #avslutar do-loopen för replikationerna endmacro
B3.2 Makro för ickenormala fördelningar macro ejnormdistr d11 n test.1-test.120 mconstant n c ant sgma2tak n2 n3 np n1mp sigma1 sigma2 sigma3 & rtbet1b2 bet2rtb1 btak1rot eb2 varb1rot varb2 btak2 & utakssq utaks3 utaks4 z1 zn2b2 dis2 rs pic & auxrss auxtss utak2bar pibar a2just w2just djust & xdevs2 xrtdevs2 xlndevs2 d0 d1 d2 d3 d11 d20 d21 & z1denom z2num1 z2num2 z2num3 z2denom ka1rot & midevssq hidevssq mitilds2 lmnb2 almnb2 fkb2 & nc1 nc2 fk2 fk3 fk4 ka2 ka3 kb1 mu.2-mu.4 a.1 b.1-b.4 mcolumn d i y ai ei hi mi pi ui yi zi zidesc u1mp up fx.1 hvector & x xrank xln x2 xsort ysort xrot x1mh bc.1-bc.2 & utak utaksort utakabs utkabrnk utak2 utak2ln betatak vekt1 &
141
mitilde citilde aitilde hidev midev hipdf auxutak pitak dkol1 & xobs.1-xobs.2 yobs.1-yobs.2 kol.1-kol.n test.1-test.120 mmatrix xmatrix xmatprim xprimx xprxinv hmatrix vmatrix vxmatrix & xprvxmat xprvxinv xmell vekt1pr dmat1 dmat2 dmat3 dmat4 # #Detta test beräknar styrkan för de olika testen när störningstermerna #har lika varians men kommer från en ickenormal fördelning. # #Detta är det slutgiltiga, kontrollerade och klara makrot! #Kontrollerat för inkorporeringen av Verbylas test. # #a.i är dummy-konstanter, gemensamma för flera teststatistikor #b.i är dummy-konstanter, olika för alla teststatistikor #di är dummy-konstanter som används för do- och if-loopar #bc.i är dummy-kolumner, olika för alla teststatistikor brief 0 mreset let ant=10000 #ant = antalet replikationer #Skapar id-kolumn: set i 1:n end #skapar kolumn med n st. ettor set fx.1 (1:1)n end #Generering av x-värdena: base 5242299 #base-nummer för x-värdena random n x; gamma 2 1. #Skapar diverse konstanter: let pic=pi() let sigma1=sqrt(3) let sigma2=sqrt(5) let sigma3=sqrt(7) let n2=n**2 let n3=n**3 let a2just=1+4/n-25/n2 let w2just=1+0.5/n let djust=sqrt(n)-0.01+0.85/sqrt(n) #Värden till Filliben-testet: let mi=(i-0.3175)/(n+0.365) let mi(n)=0.5**(1/n) let mi(1)=1-mi(n) invcdf mi mi let midev=mi-mean(mi) ssq midev midevssq #Värden till Weiberg-Binghams Wtildeprimtest: let mitilde=(i-3/8)/(n+1/4) invcdf mitilde mitilde ssq mitilde mitilds2 #Värden till de Wet-Vinters test: let hi=i/(n+1) invcdf hi hi let hidev=hi-mean(hi) ssq hidev hidevssq #Skapar värden för Rahman-Govindarajulus Wtilde-test: pdf hi hipdf let citilde(1)=0-2*hi(1)*hipdf(1)+hi(2)*hipdf(2) let b.1=n-1 do d0=2:b.1 let citilde(d0)=hi(d0-1)*hipdf(d0-1)-2*hi(d0)*hipdf(d0)+hi(d0+1)*hipdf(d0+1) enddo let citilde(n)=hi(n-1)*hipdf(n-1)-2*hi(n)*hipdf(n) let citilde=-(n+1)*(n+2)*hipdf*citilde ssq citilde b.1 let aitilde=citilde/sqrt(b.1) #Skevhets- och toppighetsmått: let eb2=(3*(n-1))/(n+1) let b.1=6*(n-2) let b.2=(n+1)*(n+3) let varb1rot=b.1/b.2 let b.1=24*n*(n-2)*(n-3) let b.2=((n+1)**2)*(n+3)*(n+5) let varb2=b.1/b.2 let b.1=3*(n**2+27*n-70)*(n+1)*(n+3) let b.2=(n-2)*(n+5)*(n+7)*(n+9) let bet2rtb1=b.1/b.2 let b.1=6*(n**2-5*n+2) let b.2=(n+7)*(n+9) let b.3=6*(n+3)*(n+5) let b.4=n*(n-2)*(n-3) let rtbet1b2=(b.1/b.2)*sqrt(b.3/b.4) #Värden för D'Agostino-Pearsons ZN2-test: let b.1=(n+1)*(n+3) let b.2=6*(n-2) let ka1rot=sqrt(b.1/b.2) #rotdelen av A1 let b.1=2*(bet2rtb1-1) let ka2=-1+sqrt(b.1) #A2-delen let ka3=sqrt(2/(ka2-1)) #A3-delen
let z1denom=sqrt(0.5*loge(ka2)) #nämnaren för Z1 let b.1=8/rtbet1b2 let b.2=2/rtbet1b2+sqrt(1+4/(rtbet1b2**2)) let kb1=6+b.1*b.2 #B1-delen let a.1=9*kb1 let z2denom=sqrt(2/a.1) #nämnaren för Z2 let z2num1=1-2/a.1 let z2num2=1-2/kb1 let z2num3=sqrt(2/(kb1-4)) #Värden till Parks heteroscedasticitetstest loge x xln let xlndevs2=sum((xln-mean(xln))**2) #Värden till Glejsers test: #Test 1: let xdevs2=sum((x-mean(x))**2) #Test 2: sqrt x xrot let xrtdevs2=sum((xrot-mean(xrot))**2) #Värden för "Spearman's rank correlation test": rank x xrank #Värden till GQ-testet: let c=2*floor((2/15)*n) #c-värdet i GQ-statistikan let nc1=(n-c)/2 let nc2=(n+c)/2+1 sort x xsort copy xsort xobs.1; use 1:nc1. copy xsort xobs.2; use nc2:n. #Värden till Whites allmänna heteroscedastisitetstest: let x2=x**2 #Beräkningar till Verbylas ALMH-test: #Matrisberäkningar för x-värdena: copy fx.1 x xmatrix transpose xmatrix xmatprim multiply xmatprim xmatrix xprimx invert xprimx xprxinv erase xprimx multiply xmatrix xprxinv dmat1 erase xprxinv multiply dmat1 xmatprim hmatrix #Skapar H-matrisen erase dmat1 diagonal hmatrix hvector #Skapar h-vektorn let x1mh=fx.1-hvector #skapar en (1-h)-vektor erase hvector #Skapar V-matrisen för x-värdena: copy hmatrix kol.1-kol.n erase hmatrix do d20=1:n let d21=(1-kol.d20(d20))**2 let kol.d20=(kol.d20)**2 let kol.d20(d20)=d21 enddo copy kol.1-kol.n vmatrix erase kol.1-kol.n #Skapar mellanmatrisen Z(Z'VZ)^(-1)Z' för x-värdena: multiply vmatrix xmatrix vxmatrix erase vmatrix multiply xmatprim vxmatrix xprvxmat erase vxmatrix invert xprvxmat xprvxinv erase xprvxmat multiply xmatrix xprvxinv dmat2 erase xprvxinv multiply dmat2 xmatprim xmell erase dmat2 xmatrix xmatprim #Skapar kolumner med ai-värden för Shapiro-Wilks W-test: if n=10 set ai -0.5739 -0.3291 -0.2141 -0.1224 -0.0399 0.0399 0.1224 0.2141 0.3291 0.5739 end elseif n=20 set ai -0.4734 -0.3211 -0.2565 -0.2085 -0.1686 -0.1334 -0.1013 -0.0711 -0.0422 -0.0140 0.0140 0.0422 0.0711 0.1013 0.1334 0.1686 0.2085 0.2565 0.3211 0.4734 end elseif n=30 set ai -0.4254 -0.2944 -0.2487 -0.2148 -0.1870 -0.1630 -0.1415 -0.1219 -0.1036 -0.0862 -0.0697 -0.0537 -0.0381 -0.0227 -0.0076 0.0076 0.0227 0.0381 0.0537 0.0697 0.0862 0.1036 0.1219 0.1415 0.1630 0.1870 0.2148 0.2487 0.2944 0.4254 end elseif n=40
142
set ai -0.3964 -0.2737 -0.2368 -0.2098 -0.1878 -0.1691 -0.1526 -0.1376 -0.1237 -0.1108 -0.0986 -0.0870 -0.0759 -0.0651 -0.0546 -0.0444 -0.0343 -0.0244 -0.0146 -0.0049 0.0049 0.0146 0.0244 0.0343 0.0444 0.0546 0.0651 0.0759 0.0870 0.0986 0.1108 0.1237 0.1376 0.1526 0.1691 0.1878 0.2098 0.2368 0.2737 0.3964 end elseif n=50 set ai -0.3751 -0.2574 -0.2260 -0.2032 -0.1847 -0.1691 -0.1554 -0.1430 -0.1317 -0.1212 -0.1113 -0.1020 -0.0932 -0.0846 -0.0764 -0.0685 -0.0608 -0.0532 -0.0459 -0.0386 -0.0314 -0.0244 -0.0174 -0.0104 -0.0035 0.0035 0.0104 0.0174 0.0244 0.0314 0.0386 0.0459 0.0532 0.0608 0.0685 0.0764 0.0846 0.0932 0.1020 0.1113 0.1212 0.1317 0.1430 0.1554 0.1691 0.1847 0.2032 0.2260 0.2574 0.3751 end endif #Startar replikationerna: do d2=1:6 #startar do-loop för fördelningsval base 1122740 #base-nummer för störningstermerna do d1=1:ant #startar do-loop för replikationerna if d11=1 #startar if-loop för simuleringsomgångsval if d2=1 random n ui; beta 2 2. let ui=ui-2/(2+2) elseif d2=2 random n ui; beta 2 1. let ui=ui-2/(2+1) elseif d2=3 random n ui; beta 3 2. let ui=ui-3/(3+2) elseif d2=4 random n ui; weibull 10 1. let ui=ui-gamma(1+1/10) elseif d2=5 random n ui; weibull 3.6 1. let ui=ui-gamma(1+1/3.6) elseif d2=6 random n ui; weibull 2.2 1. let ui=ui-gamma(1+1/2.2) endif elseif d11=2 if d2=1 random n ui; uniform 0 1. let ui=-loge(-loge(ui)) #Gumbel (0,1) let ui=ui-0.57721566 elseif d2=2 random n ui; uniform 0 1. let ui=1-sqrt(1-ui) #Triangular (0,1,0) let ui=ui-1/3 elseif d2=3 random n ui; gamma 2 1. let ui=ui-2 elseif d2=4 random n ui; gamma 4 1. let ui=ui-4 elseif d2=5 random n ui; chisquare 10. let ui=ui-10 elseif d2=6 random n ui; t 10. endif elseif d11=3 if d2=1 random n ui; uniform 0 1. let ui=1/(ui**(1/100)) #Pareto (1,100) let ui=ui-100/(100-1) elseif d2=2 random n ui; uniform 0 1. let ui=1/(ui**(1/10)) #Pareto (1,10) let ui=ui-10/(10-1) elseif d2=3 random n ui; exponential 1. let ui=ui-1
elseif d2=4 random n ui. abs ui ui #Half Normal (0,1) let ui=ui-sqrt(2/pic) elseif d2=5 random n ui; t 4. elseif d2=6 random n ui; t 2. endif elseif d11=4 #scale-contaminated normal distributions if d2=1 let n1mp=n*0.9 let np=n*0.1 random n1mp u1mp. random np up; normal 0 sigma1. stack u1mp up ui #ScConN(0.1,3) elseif d2=2 let n1mp=n*0.9 let np=n*0.1 random n1mp u1mp. random np up; normal 0 sigma2. stack u1mp up ui #ScConN(0.1,5) elseif d2=3 let n1mp=n*0.9 let np=n*0.1 random n1mp u1mp. random np up; normal 0 sigma3. stack u1mp up ui #ScConN(0.1,7) elseif d2=4 let n1mp=n*0.8 let np=n*0.2 random n1mp u1mp. random np up; normal 0 sigma1. stack u1mp up ui #ScConN(0.2,3) elseif d2=5 let n1mp=n*0.8 let np=n*0.2 random n1mp u1mp. random np up; normal 0 sigma2. stack u1mp up ui #ScConN(0.2,5) elseif d2=6 let n1mp=n*0.8 let np=n*0.2 random n1mp u1mp. random np up; normal 0 sigma3. stack u1mp up ui #ScConN(0.2,7) endif elseif d11=5 #location-contaminated normal distributions if d2=1 let n1mp=n*0.9 let np=n*0.1 random n1mp u1mp. random np up; normal 3 1. stack u1mp up ui #LoConN(0.1,3) let ui=ui-0.1*3 elseif d2=2 let n1mp=n*0.8 let np=n*0.2 random n1mp u1mp. random np up; normal 3 1. stack u1mp up ui #LoConN(0.2,3) let ui=ui-0.2*3 elseif d2=3 let n1mp=n*0.5 let np=n*0.5 random n1mp u1mp. random np up; normal 1 1. stack u1mp up ui #LoConN(0.5,1) let ui=ui-0.5*1 elseif d2=4 let n1mp=n*0.5 let np=n*0.5 random n1mp u1mp. random np up; normal 2 1. stack u1mp up ui #LoConN(0.5,2) let ui=ui-0.5*2 elseif d2=5 let n1mp=n*0.5 let np=n*0.5 random n1mp u1mp. random np up; normal 3 1. stack u1mp up ui #LoConN(0.5,3) let ui=ui-0.5*3 elseif d2=6 let n1mp=n*0.5 let np=n*0.5
143
random n1mp u1mp. random np up; normal 4 1. stack u1mp up ui #LoConN(0.5,4) let ui=ui-0.5*4 endif elseif d11=6 if d2=1 random n ui; gamma 3 1. let ui=ui-3 elseif d2=2 random n ui; t 3. elseif d2=3 random n ui; beta 0.5 0.5. let ui=ui-0.5/(0.5+0.5) elseif d2=4 random n ui; weibull 2 1. let ui=ui-gamma(1+1/2) elseif d2=5 random n ui; weibull 4 1. let ui=ui-gamma(1+1/4) elseif d2=6 random n ui; uniform 0 1. let ui=2*((ui/(1-ui))**(1/3)) #LogLogistic(0,2,3) let ui=ui-2*(pic/3)*(1/sin(pic/3)) endif elseif d11=7 if d2=1 random n ui; uniform 0 1. let ui=ui**0.25-(1-ui)**0.25 #Tukey(0,25) elseif d2=2 random n ui; uniform 0 1. let ui=ui**0.7-(1-ui)**0.7 #Tukey(0,7) elseif d2=3 random n ui; uniform 0 1. let ui=ui**1.5-(1-ui)**1.5 #Tukey(1,5) elseif d2=4 random n ui; uniform 0 1. let ui=ui**3-(1-ui)**3 #Tukey(3) elseif d2=5 random n ui; beta 6 6. let ui=ui-6/(6+6) elseif d2=6 random n ui; t 20. endif elseif d11=8 if d2=1 random n ui; gamma 6 1. let ui=ui-6 elseif d2=2 random n ui; gamma 8 1. let ui=ui-8 elseif d2=3 random n ui; gamma 12 1. let ui=ui-12 elseif d2=4 random n ui; gamma 24 1. let ui=ui-24 elseif d2=5 random n ui; gamma 120 1. let ui=ui-120 elseif d2=6 random n ui; beta 60 60. let ui=ui-60/(60+60) endif endif #avslutar if-loop för simuleringsomgångsval let y=1+x+ui regress y 1 x; constant; mse sgma2tak; #mse(mean square error) = variansskattningen residuals utak. #Skapar gemensamma konstanter och kolumner: sort utak utaksort abs utak utakabs rank utakabs utkabrnk let utak2=utak**2 loge utak2 utak2ln
mean utak2 utak2bar ssq utak utakssq let utaks3=sum(utak**3) let utaks4=sum(utak**4) let mu.2=utakssq/n let mu.3=utaks3/n let mu.4=utaks4/n let btak1rot=mu.3/mu.2**(3/2) let btak2=mu.4/mu.2**2 let yi=utaksort/sqrt(sgma2tak) cdf yi zi #Renodlade normalitetstest: #Beräkning av teststatistikan för LMN-testet: let a.1=btak1rot**2 let lmnb2=((btak2-3)**2)/(24/n) #kurtosisdelen let d3=1+20*(d2-1) let test.d3(d1)=a.1/(6/n)+lmnb2 #Beräkning av teststatistikan för ALMN-testet: let almnb2=((btak2-eb2)**2)/varb2 #kurtosisdelen let d3=2+20*(d2-1) let test.d3(d1)=a.1/varb1rot+almnb2 #Beräkning av ZN2-testet: let b.1=(btak1rot*ka1rot)/ka3 #A1/A3 let z1=loge(b.1+sqrt(1+b.1**2))/z1denom #Z1-delen let b.2=(z2num2/(1+sqrt(almnb2)*z2num3))**(1/3) let zn2b2=((z2num1-b.2)/z2denom)**2 #Zn2b2-statistikan let d3=3+20*(d2-1) let test.d3(d1)=z1**2+zn2b2 #Beräkning av Fishers kumulanttest (K-testet): let fk2=utakssq/(n-1) let fk3=(n*utaks3)/((n-1)*(n-2)) let b.1=(n3-n2)*utaks4-3*(n2-n)*(utakssq**2) let b.2=n*(n-1)*(n-2)*(n-3) let fk4=b.1/b.2 let b.1=(fk3**2)/(fk2**3) let b.2=(fk4**2)/(fk2**4) let fkb2=b.2/(24/n) #kurtosisdelen let d3=4+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.1/(6/n)+fkb2 #Beräkning av Anderson-Darlings teststatistika: sort zi zidesc; #kolumn med z(n+1-i)-värden descending zi. let bc.1=loge(zi)+loge(1-zidesc) let b.1=-n-(1/n)*sum((2*i-1)*bc.1) let d3=5+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.1*a2just #Beräkning av Cramér-von Mises test: let b.1=sum((zi-(2*i-1)/(2*n))**2)+1/(12*n) let d3=6+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.1*w2just #Beräkning av Kolmogorov-Smirnovs teststatistika: let bc.1=i/n-zi let bc.2=zi-(i-1)/n let d(1)=max(bc.1) let d(2)=max(bc.2) let d3=7+20*(d2-1) let test.d3(d1)=max(d)*djust #Beräkning av teststatistikan för Filliben-testet: let b.1=sum(utaksort*midev) let b.2=sqrt(utakssq*midevssq) let d3=8+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.1/b.2 #Beräkning av de Wet-Venters r2-test: let b.1=sum(utaksort*hidev) let b.2=sqrt(utakssq*hidevssq) let d3=9+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.1/b.2 #Beräkning av Shapiro-Wilks W-test: if n=10 or n=20 or n=30 or n=40 or n=50 let b.1=(sum(utaksort*ai))**2 let d3=10+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.1/utakssq endif #Beräkning av Weisberg-Binghams teststatistika: let b.1=(sum(mitilde*utaksort))**2 let d3=11+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.1/(mitilds2*utakssq) #Beräkning av Rahman-Govindarajulus teststatistika: let b.1=sum(aitilde*utaksort) let d3=12+20*(d2-1) let test.d3(d1)=(b.1**2)/utakssq #Renodlade heteroscedasticitetstest: #Beräkning av Parks test: regress utak2ln 1 xln; constant; coefficients betatak;
144
mse b.1. let b.2=b.1/xlndevs2 let d3=13+20*(d2-1) let test.d3(d1)=abs(betatak(2)/sqrt(b.2)) #Beräkning av Glejser-testen: #Test 1: regress utakabs 1 x; constant; coefficients betatak; mse b.1. let b.2=b.1/xdevs2 let d3=14+20*(d2-1) let test.d3(d1)=abs(betatak(2)/sqrt(b.2)) #Test 2: regress utakabs 1 xrot; constant; coefficients betatak; mse b.1. let b.2=b.1/xrtdevs2 let d3=15+20*(d2-1) let test.d3(d1)=abs(betatak(2)/sqrt(b.2)) #Beräkning av "Spearman's rank correlation test": let dis2=sum((utkabrnk-xrank)**2) let rs=1-6*(dis2/(n3-n)) let b.1=(rs*sqrt(n-2))/sqrt(1-rs**2) let d3=16+20*(d2-1) let test.d3(d1)=abs(b.1) #Beräkning av GQ-testet: sort y ysort; by x. copy ysort yobs.1; use 1:nc1. copy ysort yobs.2; use nc2:n. do d0=1:2 regress yobs.d0 1 xobs.d0; constant; residuals bc.d0. let b.d0=ssq(bc.d0)/(nc1-2) #RSS1/df och RSS2/df enddo let d3=17+20*(d2-1) let test.d3(d1)=b.2/b.1 #Beräkning av LMH-testet: let pi=utak2/mu.2 mean pi pibar regress pi 1 x; constant; fits pitak. let d3=18+20*(d2-1) let test.d3(d1)=(1/2)*sum((pitak-pibar)**2) #Beräkning av Whites test: regress utak2 2 x x2; constant; residuals auxutak. ssq auxutak auxrss let auxtss=sum((utak2-utak2bar)**2) let d3=19+20*(d2-1) let test.d3(d1)=n*(1-auxrss/auxtss) #Beräkning av Verbylas ALMH-test: let vekt1=(utak**2)/sgma2tak-x1mh transpose vekt1 vekt1pr multiply vekt1pr xmell dmat3 multiply dmat3 vekt1 dmat4 copy dmat4 dkol1 let d3=20+20*(d2-1) let test.d3(d1)=(1/2)*dkol1(1) enddo #avslutar do-loopen för replikationerna enddo #avslutar do-loopen för fördelningsvalet endmacro
B3.3 Makro för framtagande av Cα macro criticalvalues n kol.1-kol.20 alfa antmiss mconstant n golv per d0 d1 d2 ant mcolumn test.1-test.32 alfa testsort antmiss kol.1-kol.20 # #Detta makro beräknar de kritiska värdena för signifikansnivån 0,05 #utifrån de simuleringar där störningstermerna är NH-fördelade. #Kol.1-kol.20 är de 20 kolumnerna med framsimulerade NH-värden. # #Detta är det färdigkontrollerade, provkörda och klara makrot! # brief 0 mreset copy kol.1-kol.20 test.1-test.20 let d1=20
do d2=18 19 20 do d0=1:4 let d1=d1+1 let test.d1=test.d0+test.d2 enddo enddo if n<=50 #startar if-loop för n-värden do d1=1:32 sort test.d1 testsort let antmiss(d1)=nmiss(testsort) let ant=n(testsort) #ant = N if d1<8 or d1>12 let per=(ant+1)*0.95 #per = percentilen*10001 let golv=floor(per) #golv = "least integer" let alfa(d1)=testsort(golv)+(per-golv)*(testsort(golv+1)-testsort(golv)) elseif d1>=8 and d1<=12 let per=(ant+1)*0.05 #per = percentilen*10001 let golv=floor(per) #golv = "least integer" let alfa(d1)=testsort(golv)+(per-golv)*(testsort(golv+1)-testsort(golv)) endif enddo elseif n>=100 do d1=1:9 11:32 #startar do-loop för de olika testen sort test.d1 testsort let antmiss(d1)=nmiss(testsort) let ant=n(testsort) if d1<8 or d1>12 let per=(ant+1)*0.95 #per = percentilen*10001 let golv=floor(per) #golv = "least integer" let alfa(d1)=testsort(golv)+(per-golv)*(testsort(golv+1)-testsort(golv)) elseif d1>=8 and d1<=12 let per=(ant+1)*0.05 #per = percentilen*10001 let golv=floor(per) #golv = "least integer" let alfa(d1)=testsort(golv)+(per-golv)*(testsort(golv+1)-testsort(golv)) endif enddo #avslutar do-loop för de olika testen let alfa(10)=0 endif #avslutar if-loop för n-värden endmacro
B3.4 Makro för analys av simuleringar med ursprungliga X-värden macro xanalys d0 n kol.1-kol.120 valmis.1-valmis.6 power.1-power.6 mconstant n ant ant1or.1-ant1or.2 b1 b2 b3 b4 d0 d1 d2 d3 mcolumn kol.1-kol.120 power.1-power.6 testsort critval id idettor & test.1-test.32 valmis.1-valmis.6 # #Kolumnen "critval" innehåller de kritiska värdena för #signifikansnivån 0,05, beräknade med makrot "criticalvalues". #kol.1-kol.120 är de 120 kolumner med simulerade värden från #"normochkombdistr" och "ejnormdistr"-makrona #d0-numrena är samma som i "normochkombdistr"-makrot # #Detta är det färdigkontrollerade, provkörda och klara makrot! # brief 0 mreset if d0=1 and n=10 set critval 2.42588624170063530000 7.21878491065084040000 6.32443135036081210000 3.61654725308564370000 0.77862655052872731000 0.12606206467011719000 0.89231235309786994000 0.91727970915080859000 0.91415730664931871000 0.84389892765892016000 0.84289206226271818000 0.82888339614278606000 2.41092871743576120000 2.22624571421662280000 2.32653653498703190000 2.57167777337058870000 20.21129240822192900000 2.20478132903880250000 4.75425167680920600000 2.77786416535343860000 3.95654404185013010000 8.48664120438911240000 7.62868043855760370000 5.00517531408934250000 6.06431734596105350000 9.21870631590143040000 8.55902192254196240000 7.03873480631727500000 4.77352531067724510000 8.97881260353233660000 8.10946014158758110000 5.88458679247960870000 end elseif d0=1 and n=20 set critval 3.88193363516292770000 7.28737124493600600000 6.16705104016378950000 4.82746298247954280000 0.81703467289043985000 0.12756608164718772000 0.89785267484039899000 0.94932136336867989000 0.94641640283483242000 0.90383457073420659000 0.90263412500027074000 0.88539921924148113000 2.16544190151697440000 1.98028951444398670000 2.07617983429540850000 2.17163542311782630000 4.31110449234632750000 2.45628078895524070000
145
4.55683265060347780000 3.25300980405427430000 5.38446189291973190000 8.50414665999779200000 7.53370750847520740000 6.24840980957621190000 6.93400857357010380000 9.44046002532406090000 8.61663222584051350000 7.69205201436610690000 6.36903736484063550000 9.27830102821127940000 8.17809560099003010000 7.29046771669116910000 end elseif d0=1 and n=30 set critval 4.34202994008521780000 6.56563546045839350000 5.83526826114673010000 4.96763132241595520000 0.80499777809319661000 0.12696682645672264000 0.89569148242220209000 0.96337500797918896000 0.96154221384707150000 0.92874600767483162000 0.92868525039733096000 0.91037652359255361000 2.11384123300074430000 1.95812322148109800000 2.06320360646096510000 2.13664082129572860000 3.18774363415637300000 2.64167048369307490000 4.74568775782682640000 3.51671011949308680000 5.89801698917521740000 7.98715201831063660000 7.18373741542322360000 6.47578527988945130000 7.40020665756555650000 9.06592496028525650000 8.34613145404924240000 7.90178879948177130000 6.81651586669560850000 8.72503462211245840000 7.92171526358530900000 7.32444281510507090000 end elseif d0=1 and n=40 set critval 4.69549073460404640000 6.53428535009362310000 5.72807734062036640000 5.19668434053652200000 0.79813096478004320000 0.12662944483326241000 0.89360157924129358000 0.97093422612046409000 0.96946765436870930000 0.94085604349387697000 0.94356269089351974000 0.92612015189665042000 2.07524600297158820000 1.90278371134741040000 1.98178723574559700000 2.08393036684060950000 2.50407487911381480000 2.68150097376337590000 4.70970660701190090000 3.45294650976704350000 6.37081423891102090000 8.07370184716926960000 7.04543666771344500000 6.72698724351467000000 7.66077013981440920000 9.22836662690351520000 8.32146421016806850000 8.13514207195192900000 7.18992301929875310000 8.83471718614442740000 7.83810420260432570000 7.66033247970012350000 end elseif d0=1 and n=50 set critval 4.92574630168557090000 6.40750513010215790000 5.72832921061794040000 5.32740482133428020000 0.79457840618851028000 0.12720493302506644000 0.89732189597935563000 0.97624818878264863000 0.97477149983536571000 0.94801337044083078000 0.95369799623992957000 0.93666812071018823000 2.03352914476753370000 1.97259086579295180000 2.00477281923103900000 2.03423603916052100000 2.25816468720184990000 2.98244998066447970000 5.12603232370160370000 3.63157705984870920000 6.64028788855563330000 8.10664048451685740000 7.28150267857862770000 7.05961790178215590000 8.35439328188365420000 9.56013442128100800000 8.82018039051359540000 8.75429248690778830000 7.39691571365099600000 8.62076405105954540000 7.92005142567265800000 7.81078368862866680000 end elseif d0=1 and n=100 set critval 5.27502821048239310000 6.16081124865851320000 5.49191929285687140000 5.48366327862383240000 0.77088617035121199000 0.12647550255549964000 0.89721696664185258000 0.98717586525916512000 0.98638273648660091000 0.00000000000000000000 0.97484334216697366000 0.96194064704032245000 2.00256703525270470000 1.93542563924895170000 1.97627912016872130000 2.01138805934096740000 1.77456131886909500000 3.27318079103100160000 5.50741249074289210000 3.72409727117492300000 7.14953160661082960000 7.98973290254379260000 7.23392498183458340000 7.36883946131678340000 9.04566206309112000000 9.65675379891905370000 8.91861145582251960000 9.22290638318078670000 7.66488711528967050000 8.33643615961652000000 7.61278258479331260000 7.81965995773481650000 end elseif d0=1 and n=250 set critval 5.67777852506324440000 6.00184733403020590000 5.47700495253203280000 5.78099731727115620000 0.75942550945968312000 0.12645199312409308000 0.89775452799654931000 0.99436648743438616000 0.99401061749214037000 0.00000000000000000000 0.98891357077863951000 0.98139166130991662000 1.94582252722442560000 1.94712792770456210000 1.95749519993388250000 1.94525478196805990000 1.42347961714244000000 3.62254901084655630000 5.75303588162273980000 3.76558243842850790000 7.64045714879269240000 7.95984051578199560000 7.38651080480528590000 7.70298808822744970000 9.59804690137811360000 9.86782041689794020000 9.23669580004394320000 9.70358786009018280000 7.75757568142913460000 8.13533849856928450000 7.53039599701131570000 7.84034111723164790000 end elseif d0=2 and n=10 set critval 2.43588493160827910000 7.13627601785787750000 6.27738085970447290000 3.60280828233697200000 0.76721122099910288000 0.12445423576646232000 0.88697180224134520000 0.91793490078317130000 0.91537913884319044000 0.84567334520899251000 0.84411446028074788000 0.82971387526662777000 2.47678710705324030000 2.52345138774818660000 2.54268998080659170000 2.57167777337059000000 20.34136509015382900000 2.84187272895176510000 6.11097074847431810000 3.11414382638792150000 4.46444051780379430000 8.60397724825583770000 7.78007866487364290000 5.37037101456898560000 7.14836114833458590000 9.68744683521248540000 9.19094000098117720000 8.08480305034062670000 4.74664198215567360000 8.64433572392758090000 7.83866183773387260000 5.72823041257446960000 end elseif d0=2 and n=20 set critval 3.68982261001439800000 6.82404651772282640000 5.88997064708638000000 4.55659899668695000000 0.81450368176940158000 0.12728723997475985000
0.89426133483870585000 0.94989870298327661000 0.94779254380037070000 0.90478170284265813000 0.90338988610957249000 0.88552735521421400000 2.14521416844146140000 2.10698722068353610000 2.12408636139370000000 2.18069208203642260000 4.34728108142787040000 3.08033266060812230000 5.52732560666237220000 3.34023235049308550000 5.81861790869349080000 8.59261005278521320000 7.63450400109371420000 6.42427828897174980000 7.71272431501424990000 9.79949199825639820000 9.07857357166523120000 8.32529004699189200000 5.96302802792350930000 8.72470006202222770000 7.80406792256137380000 6.72243925276347020000 end elseif d0=2 and n=30 set critval 4.14675570855544960000 6.38301363926573280000 5.62283179822149130000 4.72685454770196150000 0.80355718734458770000 0.12619307468825089000 0.88976683867343054000 0.96416119475194140000 0.96213979725656140000 0.92880193058555227000 0.93053251655728930000 0.91106278634104432000 2.12320048291530350000 2.06568672076724360000 2.05690159650510340000 2.10132652423337250000 3.14058697727758360000 3.29106953243983820000 5.53228987420679990000 3.58300947811848670000 6.33610958960243400000 8.17936532438001330000 7.47069734416078020000 6.78429024525143110000 8.28516425243747710000 9.80138359229495930000 9.10324431325918760000 8.74646676847521220000 6.56935588851237370000 8.48413967118076510000 7.73484693361632390000 7.12602251744663380000 end elseif d0=2 and n=40 set critval 4.73826397225851090000 6.69123838738129710000 5.72714336738403600000 5.29014406309024120000 0.81814452212004696000 0.12835712606697369000 0.89305467280328188000 0.97135167697688185000 0.96964186544317021000 0.93994228266512847000 0.94421621241655840000 0.92530828660369613000 2.02957580161962440000 1.99133142190433100000 1.99840019840244930000 2.04594611482393060000 2.58126700282411690000 3.27520241469853570000 5.25603742867723160000 3.50897269508757900000 6.58276677475026690000 8.25933561949799260000 7.45539386547720720000 7.01390368574684240000 8.34636151392397000000 9.58646696713154430000 8.96784158694207360000 8.74110212754390760000 6.78595580810392550000 8.44683461764689270000 7.61925084004201820000 7.22271365779450130000 end elseif d0=2 and n=50 set critval 4.95139094154373980000 6.45350192215734440000 5.74983580641064940000 5.36412735034470780000 0.79050010223640088000 0.12594215749670074000 0.89890867001807617000 0.97626330554156959000 0.97493237307375114000 0.94891291906013808000 0.95349339308004477000 0.93665846900453231000 2.08607761812063690000 1.90132726754812940000 1.94321709522097130000 2.04256346609174950000 2.25521192216696730000 2.70168540907275730000 4.66276357641493800000 3.42191477394512630000 6.57472351383517050000 7.99375586085122420000 7.23653458345698470000 6.99757608910510330000 7.97128558717810430000 9.16833935172452290000 8.38497411971756180000 8.36246706165961480000 7.37440758885589710000 8.82650022872423710000 7.88187818103339310000 7.74960145775867910000 end elseif d0=2 and n=100 set critval 5.28771153062178100000 6.13591053875669260000 5.50718391185698940000 5.52172526968620490000 0.76475337784838615000 0.12629389941254698000 0.89352751380027529000 0.98727896409619942000 0.98652587145048476000 0.00000000000000000000 0.97505856873254471000 0.96193153040599477000 1.99698562145540560000 1.96463775084934600000 1.98421855652332610000 2.00261046688383670000 1.75478965315967720000 3.45943919575366450000 5.38515048812649950000 3.64560841029984320000 7.35522695258003180000 8.08438320739536920000 7.37964350845125240000 7.55711892204639040000 9.01236660961874310000 9.71449902798547530000 8.85168297104301870000 9.22093869352711160000 7.66371095341560520000 8.35096519696132770000 7.63692899643879920000 7.87144714423254490000 end elseif d0=2 and n=250 set critval 5.74624984476563050000 6.14443108016965840000 5.46099435333840240000 5.85785316600511590000 0.75689679226894790000 0.12587554571447587000 0.90010614573585013000 0.99437349551125154000 0.99398803948031289000 0.00000000000000000000 0.98888968409318800000 0.98140360045473718000 2.01715885584006930000 1.99237909481414380000 1.98541643876817520000 2.00654712416906780000 1.42538414811329380000 3.68484740172563100000 5.82249446329442840000 3.75693502706593650000 7.63083540943447060000 7.93866406433230590000 7.40536788243639870000 7.71383347808541410000 9.64055961303992960000 9.94468301699983570000 9.28102894465104630000 9.76619099738175220000 7.71791843582346890000 8.04939369040539350000 7.49759694366718770000 7.81952394960451080000 end elseif d0=3 and n=10 set critval 2.56876985879702740000 7.58807216566487150000 6.57505007333177180000 3.83275439409267180000 0.77553954242011969000 0.12489752498688669000 0.89043116296058711000 0.91629485167211966000 0.91384057420517106000 0.84378137413172083000 0.84122362343721069000 0.82910130488884792000 2.47549806504099520000 2.47916835204860500000 2.46263500832063630000 2.57167777337058870000 18.73561349797888600000 2.60049200277536170000 5.99220655205332160000 2.90365570712682740000 4.30994396932813830000 8.54583309188510220000 7.66250894590397370000 5.32021101685985000000 7.19203085340895410000 9.82784338570303890000 9.21730828435052270000 8.15775452661559970000 4.71304904881715990000 8.77551243395346780000 7.90718795207154200000 5.81687951958917800000 end
146
elseif d0=3 and n=20 set critval 3.75867122650605530000 6.82227639472018500000 6.01725015059500730000 4.62154749105553100000 0.81595464333726608000 0.12648664734763715000 0.88621065408089128000 0.94973551369463927000 0.94759222035219215000 0.90410935876427445000 0.90323620874309840000 0.88418001833506066000 2.14393423897419620000 2.12192791901636290000 2.12278010628074520000 2.15359231662372340000 4.12610292646361020000 3.32184781694412570000 5.49132583563715750000 3.35810137014858650000 5.77369825946572760000 8.63080906190266180000 7.69412713593969940000 6.55917785363212240000 7.80817154697177870000 9.97020465263748790000 9.26478781840082280000 8.48866332993013020000 5.91187822554213400000 8.63304430787535540000 7.83326881648230880000 6.64548370973645760000 end elseif d0=3 and n=30 set critval 4.17905716788794650000 6.41196079018304040000 5.60545169879710770000 4.78310997321656290000 0.79710784518094735000 0.12364143127558008000 0.89200606653164749000 0.96407443024277206000 0.96195245020149533000 0.92891953739525790000 0.93010523079536267000 0.91078740474227260000 2.07696806275493580000 2.07845996798883230000 2.08588791429113130000 2.08361399555595830000 3.20063071032740880000 3.48717305652466080000 5.65011347622165250000 3.61814793711818040000 6.38920806324560160000 8.39619923129408190000 7.62573299843108020000 6.97867075719547180000 8.38635384554012120000 9.92175449580638080000 9.20900352955187530000 8.83279563152660430000 6.55891454250276950000 8.55330955627511360000 7.75862900121609660000 7.11278337238791990000 end elseif d0=3 and n=40 set critval 4.51024747493971480000 6.29558734921985690000 5.59434967320147970000 5.01607543906517250000 0.79620622735330338000 0.12713262943337172000 0.89243600843204651000 0.97178445406798708000 0.96993348792004330000 0.94068741036028436000 0.94489238336386561000 0.92636839797692438000 2.04646154237459090000 2.03372670963783000000 2.05578558499244090000 2.05684496071854950000 2.56272642140655240000 3.40439989633531590000 5.77524523557282250000 3.49618312565705920000 6.69095364458309930000 8.25270574094324690000 7.49917883677223780000 7.10067417854604610000 8.47816282730324740000 9.73291372672429670000 9.15854664166855950000 8.90364340407564290000 6.80814515745003310000 8.34404871021451730000 7.60054834470903100000 7.24014039025173690000 end elseif d0=3 and n=50 set critval 4.83313288104670310000 6.23171613753296150000 5.65384592020931450000 5.21650579891112540000 0.79351230115016325000 0.12692624224521312000 0.89873514022830259000 0.97670185674126320000 0.97534776541658730000 0.94780100540793710000 0.95437691039026629000 0.93688060335519319000 2.01270018884551630000 1.98479797795969760000 1.99154861160519440000 2.03126123420037750000 2.27981537343765070000 3.46153976756007880000 5.55203587164198000000 3.58504313743097260000 6.96415245871201540000 8.26291934661445100000 7.52600987458598510000 7.29050384017805970000 8.71961843514207760000 9.78625187795158700000 9.09401755618898730000 9.03312870154826620000 7.13559604059537020000 8.43700001221958120000 7.72852807189526740000 7.53679979311707630000 end elseif d0=3 and n=100 set critval 5.33989110626712550000 6.16443575950923960000 5.53667788611268370000 5.54439096350683780000 0.77451101333538430000 0.12669858933299749000 0.89825040189206273000 0.98710579860455516000 0.98633509201012559000 0.00000000000000000000 0.97471751309822385000 0.96185555854807414000 1.97264093786042990000 1.97728631443847940000 1.97122182884429620000 1.97086340991088150000 1.74219622324282940000 3.63320587620011980000 5.60061991550142140000 3.73656117497793390000 7.41942030009396710000 8.25122490544357670000 7.47846353467821420000 7.58777748045573120000 8.96416665713886300000 9.68246952794179450000 8.97794481836640300000 9.19121769389456840000 7.54412941860058160000 8.33338809433082160000 7.63804067990039210000 7.73362189058646890000 end elseif d0=3 and n=250 set critval 5.67763049631165910000 6.07831029921034280000 5.48139973024955470000 5.79043534582054240000 0.75523555832700362000 0.12535153357403642000 0.89681786860032953000 0.99438796348821967000 0.99402088725636817000 0.00000000000000000000 0.98890080394075996000 0.98136994582250714000 1.98586278747221770000 1.96542013832954330000 1.97730809766912970000 1.98709870904496500000 1.40970844459737980000 3.78328408656708470000 5.71703026655921760000 3.78907673994757980000 7.74048467381309370000 8.06480210737198710000 7.53067314928296930000 7.81888424194817060000 9.35991404884348730000 9.59010428224470070000 9.05678573273896600000 9.42581851526378500000 7.75775220024798710000 8.07982756712968000000 7.53236740591588920000 7.84773883616708550000 end elseif d0=4 and n=10 set critval 2.45906094385047740000 7.23874259385035050000 6.36389752629648960000 3.68266324370597390000 0.77126810541361823000 0.12467017811254312000 0.89022597314181406000 0.91678236426078508000 0.91426099719131337000 0.84338668219569934000 0.84255991368697902000 0.82863961223945093000 2.53110579541148570000 2.43625008973083150000 2.39568142470312000000 2.48886990616261010000 19.16351214908225100000 2.77185608386084330000 5.80798168464415370000 2.91191716640436480000 4.34807487151293160000 8.51125175559263350000 7.60649254163202040000 5.25945992505902640000 7.00107609424326500000 9.64515585898060660000 9.00726698965690710000 7.95759419998083130000 4.52900483071207290000 8.59978704643040710000
7.70682037208315940000 5.52388440144982250000 end elseif d0=4 and n=20 set critval 3.69317754652854590000 6.80094377910933100000 5.91807966814539470000 4.52853649917191970000 0.81652509643112769000 0.12642042233477380000 0.88819049563478392000 0.95015882166837140000 0.94768097534380535000 0.90431746672894753000 0.90388914242407536000 0.88391474586210339000 2.15908388274079050000 2.15662491168188760000 2.16894217180340700000 2.18069208203642260000 4.07407182013165330000 3.50257223747438710000 5.70425265564055910000 3.40846385476601870000 5.91026115639656790000 8.66865257869823580000 7.89301716422752440000 6.66066908387687650000 7.86764103432823520000 9.90464324436288020000 9.21581502591937070000 8.49691849874032990000 5.83983263063211490000 8.60874070543419910000 7.84737853092710850000 6.56188019116785170000 end elseif d0=4 and n=30 set critval 4.07169691971731850000 6.40668882674687710000 5.57323910384493090000 4.72011595491974840000 0.79571713464378913000 0.12429248460393486000 0.89012898250968364000 0.96382138556218555000 0.96203619326370693000 0.92901265671279598000 0.92989309263431497000 0.91056323444342180000 2.05022633753389490000 2.08093538664415330000 2.10399173785568160000 2.09824811342406510000 3.20280619628786310000 3.69656898795137190000 5.78539553126938260000 3.62944659938163340000 6.47050985806211010000 8.38770131521246400000 7.65080259580312650000 6.97522725609199150000 8.27758644972632670000 9.76512927881600850000 9.13091027273606490000 8.73387812843740360000 6.43653009361982510000 8.34586000232287620000 7.62064725251407450000 6.95127929442706450000 end elseif d0=4 and n=40 set critval 4.52659403154829580000 6.33455376820317010000 5.62065742697193830000 4.99783567422709840000 0.79807455461326771000 0.12623245427862720000 0.89760915990424295000 0.97174294469727118000 0.97006273533670240000 0.94070253433486906000 0.94463802976344113000 0.92659250694053608000 2.05984899632858290000 2.05459886639387660000 2.05476753696802290000 2.06898273819554790000 2.56578371468330650000 3.63626975635506880000 5.80622270651700050000 3.59949737497412010000 6.73860520452635560000 8.24158933039844750000 7.55160336557596420000 7.10964774141131350000 8.50324806264890750000 9.69064977649814270000 9.09964153200191460000 8.84712693829698620000 6.72136862547933140000 8.24569889158674130000 7.53722382985021170000 7.10669226002104710000 end elseif d0=4 and n=50 set critval 4.81266850511438540000 6.30204327160508360000 5.64201666839347120000 5.20957181121802740000 0.79532808408958677000 0.12737196519889507000 0.89603410134623862000 0.97653284023608400000 0.97531015896286810000 0.94808686980650581000 0.95391207366375852000 0.93687110767576909000 2.01095927069774170000 1.99902014579901000000 2.01876569480808100000 2.03645840829169030000 2.28236567248823660000 3.57842954947756020000 5.62314919972589600000 3.55807224743075910000 6.98252863430415700000 8.20737723803282470000 7.62458504903301470000 7.36113196380557170000 8.67701786307129020000 9.70988016081694740000 9.08114287986820660000 8.98763332072480380000 7.00400378724959440000 8.26092553181553590000 7.62620317598650390000 7.35438053543325050000 end elseif d0=4 and n=100 set critval 5.32025432213078900000 6.11883322723586250000 5.49497778889969890000 5.55434762358688520000 0.77097207003154955000 0.12666308788879230000 0.89788628131148285000 0.98715675120721547000 0.98633455836679229000 0.00000000000000000000 0.97465801593501233000 0.96192324289926456000 1.97170522446428590000 1.96496243295750370000 1.97135229523649610000 1.96347867956408330000 1.74555070201485620000 3.61945444735687700000 5.73239518254601420000 3.62856842824238910000 7.46498746514644380000 8.21746705921167120000 7.48857240000636450000 7.69030448223073120000 9.09592847447416730000 9.79011478701987950000 9.09519858085611510000 9.29867723735900850000 7.45845930818136700000 8.22220837571856580000 7.48148940021738970000 7.68249261825019850000 end elseif d0=4 and n=250 set critval 5.76972925859593740000 6.16172164861357260000 5.48479466414857870000 5.87098604569595130000 0.75470348461173153000 0.12600901694279412000 0.89874553199020346000 0.99440284896048259000 0.99400176009849528000 0.00000000000000000000 0.98896454526878297000 0.98139889575874617000 1.97042234731110980000 1.98632382622071970000 1.96843664779929430000 1.98679280893815210000 1.41031822344735240000 3.79970681180374030000 5.84889308088046360000 3.80406324244623080000 7.77208475567625000000 8.07268382319145950000 7.62847659547870280000 7.85293635217222890000 9.34684204145821700000 9.66322582934027350000 9.07104746052277910000 9.43815805132681440000 7.76907735381805950000 8.06869740981297310000 7.62448846592439190000 7.84708270827625400000 end endif if n<=50 do d0=1:6 #startar do-loop för funktionsval do d1=1:20 let d2=d1+20*(d0-1) copy kol.d2 test.d1 enddo let b1=20 do d2=18 19 20 do d3=1:4 let b1=b1+1 let test.b1=test.d3+test.d2 enddo enddo
147
do d1=1:32#startar do-loop för testsortering sort test.d1 testsort let valmis.d0(d1)=nmiss(testsort) let ant=n(testsort) do d2=1:2 if d2=1 let id=testsort<critval(d1) #critval=Calfa elseif d2=2 let id=testsort=critval(d1) endif copy id idettor; use id=1. #ant1or.1 = L count idettor ant1or.d2 #ant1or.2 = E enddo if ant1or.1=0 let b4=0 elseif ant1or.1=ant let b4=1 elseif ant1or.2=0 and ant1or.1~=0 and ant1or.1~=ant #om E=0 let b1=testsort(ant1or.1) #mtak(L) let b2=testsort(ant1or.1+1) #mtak(L+1) let b3=ant1or.1+(critval(d1)-b1)/(b2-b1) #täljaren för ypsilon let b4=b3/(ant+1) #ypsilon elseif ant1or.2>=1 and ant1or.1~=0 and ant1or.1~=ant #om E>=1 let b1=(ant1or.2+1)/2 #(E+1)/2 let b4=(ant1or.1+b1)/(ant+1) #ypsilon endif if d1<8 or d1>12 let b4=1-b4 #1-ypsilon endif let power.d0(d1)=b4*100 #beräknar den procentuella styrkan enddo #avslutar do-loop för testsortering enddo #avslutar do-loop för funktionsval elseif n>=100 do d0=1:6 #startar do-loop för funktionsval do d1=1:9 11:20 let d2=d1+20*(d0-1) copy kol.d2 test.d1 enddo let b1=20 do d2=18 19 20 do d3=1:4 let b1=b1+1 let test.b1=test.d3+test.d2 enddo enddo do d1=1:9 11:32 #startar do-loop för testsortering sort test.d1 testsort let valmis.d0(d1)=nmiss(testsort) let ant=n(testsort) do d2=1:2 if d2=1 let id=testsort<critval(d1) #critval=Calfa elseif d2=2 let id=testsort=critval(d1) endif copy id idettor; use id=1. #ant1or.1 = L count idettor ant1or.d2 #ant1or.2 = E enddo if ant1or.1=0 let b4=0 elseif ant1or.1=ant let b4=1 elseif ant1or.2=0 and ant1or.1~=0 and ant1or.1~=ant #om E=0 let b1=testsort(ant1or.1) #mtak(L) let b2=testsort(ant1or.1+1) #mtak(L+1) let b3=ant1or.1+(critval(d1)-b1)/(b2-b1) #täljaren för ypsilon let b4=b3/(ant+1) #ypsilon elseif ant1or.2>=1 and ant1or.1~=0 and ant1or.1~=ant #om E>=1 let b1=(ant1or.2+1)/2 #(E+1)/2 let b4=(ant1or.1+b1)/(ant+1) #ypsilon endif if d1<8 or d1>12 let b4=1-b4 #1-ypsilon endif let power.d0(d1)=b4*100 #beräknar den procentuella styrkan enddo #avslutar do-loop för testsortering enddo #avslutar do-loop för funktionsval endif endmacro
B3.5 Makro för analys av X-värden med ett extremvärde macro xoutanalys d0 n kol.1-kol.120 valmis.1-valmis.6 power.1-power.6 mconstant n ant ant1or.1-ant1or.2 b1 b2 b3 b4 d0 d1 d2 d3 mcolumn kol.1-kol.120 power.1-power.6 testsort critval id idettor & test.1-test.32 valmis.1-valmis.6 # #Kolumnen "critval" innehåller de kritiska värdena för #signifikansnivån 0,05, beräknade med makrot "criticalvalues". #kol.1-kol.120 är de 120 kolumner med simulerade värden från #"normochkombdistr"-makrot. kol.101-kol.120 innehåller värdena från #X-out-simuleringarna #d0-numrena är samma som i "normochkombdistr"-makrot # #Detta är det färdigkontrollerade, provkörda och klara makrot! # brief 0 mreset if d0=1 and n=10 set critval 2.78293403383896100000 8.38647134957949980000 7.01221011743828710000 4.16458240167918260000 0.78969587624381121000 0.12694286622491627000 0.88780781015889965000 0.91469564438534567000 0.91142644583754739000 0.84317443705894002000 0.83817403367763021000 0.83181351986442287000 2.41674940921103150000 2.00051870971362520000 2.22653191181630780000 2.57167777337059000000 18.66122916250783000000 1.73602977582387360000 4.59946998107468020000 2.96042065818682640000 3.73722113918340250000 9.28299524245187160000 7.87595970201725230000 5.03056327782424000000 6.00003497507069920000 9.92494974771460830000 8.87295805546580500000 7.04838854031173770000 5.15680407678054560000 9.98531075107735510000 8.62957101617081970000 6.46180937988205710000 end elseif d0=1 and n=20 set critval 4.05660096086954080000 7.56972503646709340000 6.37340047528256730000 5.01833898720051330000 0.80799556664759120000 0.12582919916823126000 0.88943706568452485000 0.94937965392966983000 0.94699770964178143000 0.90515015803153875000 0.90245938764566835000 0.88692619710098752000 2.23527639296407270000 1.83710828499800380000 2.02063321156632240000 2.18069208203642260000 4.22186390360209000000 1.78586384139515350000 4.36525646598437240000 3.30038157327858390000 5.05845466798125900000 8.38474911359283760000 7.32926309500276930000 5.99660816602503920000 6.77180206773245620000 9.46961898075575270000 8.46772698494351420000 7.59363874638883110000 6.72515251400223500000 10.01479302413760700000 8.57424658364620740000 7.72692821618624400000 end elseif d0=1 and n=30 set critval 4.37657436458563520000 6.93068244307664380000 5.90610877852459120000 5.03471230338315670000 0.81025832982770907000 0.12671717599125257000 0.89041908778225498000 0.96310998844852935000 0.96099558529921847000 0.92755315123423754000 0.92835767352911458000 0.91104743882579764000 2.19142652127939730000 1.80432173926592700000 1.97780893618852560000 2.13059067220866090000 3.20223017132288890000 1.82794439695541660000 4.40150276872056430000 3.44696972020666690000 5.47515505831993730000 7.83271748875406090000 6.92438512802736030000 6.07400304076988990000 7.21185584624664600000 9.04729597729739690000 8.17116407298724210000 7.76371070131425170000 7.15375506065301890000 9.32829223145629880000 8.23394481017550460000 7.81902110996491380000 end elseif d0=1 and n=40 set critval 4.77909570684468490000 6.74497373514281410000 5.77613634922520090000 5.30500969477446200000 0.80451297384248344000 0.12714096545127798000 0.89681592279286315000 0.97148243315604288000 0.96973068232391946000 0.94106521830404888000 0.94431899641874562000 0.92659341139886420000 2.12831931049481240000 1.79353120682436070000 1.95325524271604920000 2.11392514662051090000 2.52725397465390110000 1.85697940772745600000 4.28626798804925800000 3.45915736146785370000 5.76242443135446080000 7.61704953244363560000 6.74580383683252730000 6.24985967091146130000 7.56216923840384330000 8.92994074448143850000 8.17824954827478480000 8.05684241258752110000 7.77567303857192550000 9.50157037531252160000 8.29753915778240800000 8.27376742730100110000 end elseif d0=1 and n=50 set critval 4.97739081899046720000 6.66265195143813570000 5.77175683815765340000 5.40122562810651810000 0.79954742704226989000 0.12769407624482698000 0.89712564891180469000 0.97609609494401139000 0.97457484502150582000 0.94811078065399512000 0.95311309953536794000 0.93707950794701989000 2.05680810848622600000 1.78363976826379430000 1.93179369010959620000 2.03348282650164250000 2.27052847896528000000 2.01813192609064140000 4.19186281373705060000 3.41687101286964270000 6.11292213008421290000 7.70695685138434960000 6.78308655997247280000 6.60289371085722990000 7.56864036356468440000 8.88561109315623380000 8.06329964942526620000 7.95060058169897040000 7.41995122564921150000 8.99309681836244400000 7.93704663768862950000 7.83394163914295570000 end
148
elseif d0=1 and n=100 set critval 5.40668536795173880000 6.40262890763454710000 5.60199368862635620000 5.65942803483677890000 0.77899996906104585000 0.12857153753705888000 0.90087898128050803000 0.98713286493197561000 0.98637450093899692000 0.00000000000000000000 0.97481534620346422000 0.96196410053038306000 2.01468674022232670000 1.80671608320804640000 1.92907812426948410000 1.99470757890421260000 1.76792422416337680000 2.40935707352778960000 4.37206081012331890000 3.56257774354666170000 6.63345093026197840000 7.58436043603526680000 6.76920419341294810000 6.86172772225013540000 8.00344483951601580000 8.68155811727688230000 7.89851106403913580000 8.21528490308101130000 7.84658065685293680000 8.60257116345112220000 7.67624470296424640000 8.07426953265784600000 end elseif d0=1 and n=250 set critval 5.72229297920799150000 6.05900520727811910000 5.43726463430877960000 5.84069074432468400000 0.75511485806689027000 0.12653568280023447000 0.89851662563256918000 0.99435771129072559000 0.99399279696682252000 0.00000000000000000000 0.98888889705440464000 0.98139031120713305000 1.95247611946156900000 1.88726478788463230000 1.93563002718370080000 1.95046145971183750000 1.42188595965200150000 3.09497086564753540000 4.78810156670289460000 3.81302521968690880000 7.26782580375774860000 7.65858763994846200000 7.06430484303390390000 7.35809850385997420000 8.67490106231639050000 8.95675504299316390000 8.29832615790186880000 8.73627467492777930000 7.89425924118634900000 8.26984883164172580000 7.63278757750458590000 7.99195785252080350000 end elseif d0=2 and n=10 set critval 2.64915324801737520000 7.85453200677164620000 6.79058611301587510000 3.97299575349086260000 0.78286707547289247000 0.12688266472192883000 0.89382409978930932000 0.91522321962510134000 0.91254854010009467000 0.84254164138697962000 0.83939337123028490000 0.82968660504597502000 2.50090190107194000000 2.05135168491893170000 2.18015067390679820000 2.48886990616261010000 19.66746744816724000000 1.90036780108160720000 4.56125935480935760000 2.84139124806981020000 3.74343266896985050000 8.95116305802402760000 7.86279171921472390000 4.99721204883393360000 5.96314590872962390000 9.82385451639305710000 8.77706022546185420000 6.98269633198981500000 4.85261810844234190000 9.71198462834400190000 8.48398985820192660000 6.11729741712257620000 end elseif d0=2 and n=20 set critval 4.00458564828004260000 7.34719482437312000000 6.35498955463137970000 4.89718266393148130000 0.81297199966253075000 0.12669426151994001000 0.89793382938369104000 0.94980270029338854000 0.94735776834242102000 0.90428367419107292000 0.90265249814705950000 0.88454192136574938000 2.26325210762019950000 1.89425800820347790000 1.99628538289564080000 2.19887650969032530000 4.30456999598233200000 2.18044825784210380000 4.36814828733323330000 3.27861328120693200000 5.22089401739614270000 8.53072440394921470000 7.46180030100482390000 6.10192201665165790000 6.85068792136649480000 9.18418335993998800000 8.45817909383479010000 7.58939501858100750000 6.21205740257154650000 9.24661496924346340000 8.15001681639693130000 7.04326569686941720000 end elseif d0=2 and n=30 set critval 4.28843715186837750000 6.63466407681518340000 5.71673812543811620000 4.89882485473856290000 0.81040316584920991000 0.12678333180363410000 0.89707259956997720000 0.96379623448800011000 0.96166060570550116000 0.92858435096837899000 0.92989703333676554000 0.91048924210031290000 2.14496578110092840000 1.87249472993253100000 1.96127064163265090000 2.10132652423337250000 3.14277083509454420000 2.35877588130010580000 4.39619509760960270000 3.46939869606388070000 5.68678774145774210000 7.78160460321490980000 7.05863024040565890000 6.29646590008518100000 7.17729058320651350000 8.87955645999786650000 8.12413838912612010000 7.70535514313280420000 6.86697900458894410000 8.99542087310006270000 8.03673316853882720000 7.46984071525757720000 end elseif d0=2 and n=40 set critval 4.85014328130285750000 6.77189623490904500000 5.80917905220973110000 5.39881085242039220000 0.81598348691881784000 0.12867643449605914000 0.89163058115458582000 0.97124790543400308000 0.96962716903793567000 0.93994787824277826000 0.94396554457033310000 0.92603354306330898000 2.07351269034307650000 1.82797821896830600000 1.94198194559706060000 2.08257013033821800000 2.60309888263826570000 2.35729113056070580000 4.28409466812605630000 3.55474483629834340000 5.92471178667165170000 7.81015069194158770000 6.89045547948309700000 6.45699578256590190000 7.38233631470766300000 8.81056039204112020000 8.02999576688489470000 7.82959042061071030000 7.10816814696895170000 8.73388718638778980000 7.89644843445982850000 7.58887584030441340000 end elseif d0=2 and n=50 set critval 5.07877039498383900000 6.65257489806019380000 5.83728491946089270000 5.49568063157743050000 0.79119760913740422000 0.12649579205712502000 0.89226950627974877000 0.97606990310964503000 0.97454089238780506000 0.94854919704875329000 0.95345914631854067000 0.93728516993079225000 2.18358129069957570000 1.75088478614913900000 1.89531392059037510000 2.05535307521207810000 2.25034001125942980000 1.83759915972491370000 4.15787593370654210000 3.46322664181689090000 6.12485019052006050000 7.71296308938169430000 6.75454490308781710000 6.53214010997011660000
7.62264307597674410000 8.85478458454713290000 7.99205916144906680000 8.01137191893856660000 7.81539316522617260000 9.39006338822374080000 8.19520578485703590000 8.25492561145462920000 end elseif d0=2 and n=100 set critval 5.44674489561564720000 6.33415997033651660000 5.61312280570361470000 5.66971238461760050000 0.77312433554232229000 0.12617176151867823000 0.89680842049080012000 0.98705954211742541000 0.98626733771598130000 0.00000000000000000000 0.97451396145948188000 0.96211660482381967000 2.01622623580917230000 1.80240253745452450000 1.89836812475956560000 1.97869228535373630000 1.75043134734816470000 2.35078378816068060000 4.30807402062666610000 3.54758542411122240000 6.62454211035116460000 7.54194399225139470000 6.72538338905284320000 6.84508804249780670000 8.08700262253128340000 8.79805494443413670000 7.96093974026259770000 8.31428967716589900000 7.74949057727545650000 8.52337744891141470000 7.63487475327824330000 7.93520087224219940000 end elseif d0=2 and n=250 set critval 5.75444288218843350000 6.12873904478731110000 5.49608739936116470000 5.84373611901279940000 0.75628269818245264000 0.12502599391775474000 0.90000626895645830000 0.99437374722558081000 0.99399548379894531000 0.00000000000000000000 0.98890790569252396000 0.98140903920648659000 1.98373058428482030000 1.86781303377041440000 1.93978662026156430000 1.99951616901965990000 1.42656853788182470000 3.08419662110731930000 4.89776958795973980000 3.63773581283196590000 7.31652895279514760000 7.64119718103047150000 7.08601486112827760000 7.41772964460222630000 8.75462060806305330000 9.01379451685079220000 8.36379129632431170000 8.85084869206803940000 7.77395151805473010000 8.16231678741790920000 7.51521609491680650000 7.86882962165593990000 end elseif d0=3 and n=10 set critval 2.68935900692612060000 8.04613301321556130000 6.86716219337346700000 4.03062936218518080000 0.79275247890057010000 0.12817565138423936000 0.89951582830050747000 0.91385618065902641000 0.91076618016458122000 0.84103126348982538000 0.83671901494200007000 0.82946079912337300000 2.43222222368256660000 2.00665440703743500000 2.13403660418954550000 2.40951881774409050000 19.39683321179062500000 1.83644867696007140000 4.66224795971554060000 2.95737109339674120000 3.79607285677612880000 9.01307389516405520000 7.73922651755730670000 5.00750889305846860000 6.01446917105043080000 9.64452060449172240000 8.70095422460054730000 6.98084098942320620000 5.09464988310237920000 9.86218876130355680000 8.75663127938124570000 6.43651728312244750000 end elseif d0=3 and n=20 set critval 3.95716126525599380000 7.44206380475463010000 6.25363955688211700000 4.90487763634488070000 0.81534053553346497000 0.12739659641336304000 0.88884163676708561000 0.94951743369442987000 0.94713067330236567000 0.90383526575077222000 0.90253570750662804000 0.88604624077748317000 2.13679000825471640000 1.86795760329795770000 1.97869910238417490000 2.13519459067409300000 4.16635817405334130000 2.12263854298612790000 4.31687807656950270000 3.30828330060763330000 5.03219661858995780000 8.37738317698627450000 7.23098476264753740000 5.89064448769035920000 6.65311923448003030000 9.16155147858417960000 8.27590985906874720000 7.28318143429297220000 6.13387507188485600000 9.17491829809742580000 8.06267246958251960000 7.04254717397980650000 end elseif d0=3 and n=30 set critval 4.38600237808263940000 6.78533863757713270000 5.95948425072745460000 5.05148530595628740000 0.81093871099525239000 0.12617450817659426000 0.89071633265934347000 0.96357103780479836000 0.96137478838264412000 0.92879550491814589000 0.92941441200144492000 0.91134564596550782000 2.09710767423272420000 1.87895669544162040000 1.99461252225810660000 2.08361399555595830000 3.17490952248212910000 2.42018835067517820000 4.57650406733562230000 3.55588481720955580000 5.68720072531500700000 7.95410800984140560000 7.07566637806804440000 6.28749606496355100000 7.25859182864247820000 8.92811848620156030000 8.16281896655614150000 7.78413267531783950000 6.94746411744983040000 9.05772966264068200000 8.05278748264020370000 7.57240968301615510000 end elseif d0=3 and n=40 set critval 4.69946574749225570000 6.54157807162858610000 5.74009882887246990000 5.23099898698360020000 0.79758772424082525000 0.12680306013908543000 0.89842379245919046000 0.97150287669051971000 0.96968291927863404000 0.94083496751943207000 0.94438094279344431000 0.92636703725682834000 2.09080900837171010000 1.87240077010696230000 1.96815491258988500000 2.07985047604230200000 2.55522872984926370000 2.47242347887607480000 4.48903568584970710000 3.50443601225163230000 6.17941350367539410000 7.94030766022743160000 6.97981578635436590000 6.55275755974465830000 7.62076143772430910000 8.81110513153233300000 8.17589937608910060000 8.04606446295249180000 7.11233482136201630000 8.73553505386769840000 7.89478002536563840000 7.54263053967192310000 end elseif d0=3 and n=50 set critval 4.90400638875975050000 6.45439175422028110000 5.71817965103041730000 5.33572674299835190000 0.79937301684450246000 0.12815279990916931000 0.89287447855431967000 0.97633544426784680000 0.97483959334976400000 0.94853065485141297000 0.95388422047271393000 0.93710017120946476000
149
2.02093800387164310000 1.88836857289100670000 1.96402273546466600000 2.03276733438396700000 2.27517853840168230000 2.76767233153114270000 4.59183920915749240000 3.66351302899981190000 6.58481691138145030000 7.98829089527680480000 7.22539491522005050000 7.00404901531502060000 7.85682800384228130000 9.05707428611414220000 8.18375719800298280000 8.12841848450033310000 7.67706463791713300000 8.96221010776851480000 8.05854212513223980000 7.94731214225340650000 end elseif d0=3 and n=100 set critval 5.37246853641590590000 6.27102443807090370000 5.54010678572777950000 5.57309189249837900000 0.76820980065385924000 0.12618814616666771000 0.89507727289623418000 0.98701728863239868000 0.98627133615218954000 0.00000000000000000000 0.97455850585057169000 0.96194099099341379000 1.98285821398962490000 1.85810804546198800000 1.91948624901017830000 1.98600161811773270000 1.73976713428385190000 2.87333984367388860000 4.62513501643091550000 3.74586488176856360000 6.81378394872829140000 7.60034204772971570000 6.94601355499091700000 7.01196961209532170000 8.31237232017748440000 8.94189061960838490000 8.20436182511125800000 8.48740017634890440000 7.74566820696776400000 8.46302614133755430000 7.75912227311762060000 7.93384432344039410000 end elseif d0=3 and n=250 set critval 5.63129556438147370000 6.00818145192411010000 5.46066687621347140000 5.72909036789929700000 0.75241390365624283000 0.12614137789332258000 0.90258113726757383000 0.99440239820574061000 0.99399765547329721000 0.00000000000000000000 0.98894883376187825000 0.98143021397235652000 1.96944760078397030000 1.93601179488563900000 1.94787595278349300000 1.98427571900307020000 1.41140612094757860000 3.47167946263628570000 5.24793597124330090000 3.70958063474855140000 7.60634686424995540000 7.95792986604366790000 7.34482749320786340000 7.70028766410510280000 9.30042367268893780000 9.62491376116817320000 8.88552085600999140000 9.38511392945364160000 7.79526046495652380000 8.14786187387182360000 7.59807207607105540000 7.88393598228241640000 end elseif d0=4 and n=10 set critval 2.70814644878358820000 8.02145432986047880000 6.92560306521713360000 4.05431132824092530000 0.79345268289672799000 0.12820422890576716000 0.89689382988024091000 0.91394960122021152000 0.91124901942024294000 0.84216788728235847000 0.83727821863018970000 0.82986955904893267000 2.30907568486267100000 2.00910521653658100000 2.14118936175428540000 2.40951881774409050000 19.72248191072051100000 1.87591712552810730000 4.63122235224694380000 2.95785855652657000000 3.76789243468258040000 8.95231568415565350000 7.76559504885266260000 4.93134669821349460000 5.92188282240656160000 9.70778175756511530000 8.65221056070751080000 6.95711374701054460000 5.00253338483681100000 9.77990825428520340000 8.65178230377895300000 6.24365442138187630000 end elseif d0=4 and n=20 set critval 3.90490191994888040000 7.24761369797310450000 6.14764207147852910000 4.77732457097823810000 0.81046336794652996000 0.12636080320233581000 0.89037771023676648000 0.95000481320525298000 0.94745157701346017000 0.90470887962268198000 0.90368972167143724000 0.88583090634084638000 2.07447666949744350000 1.92895679948100260000 2.01472870034907190000 2.11778201851263640000 4.15435280149957360000 2.43953435051653230000 4.50563904997031630000 3.39887545208196240000 5.24771811032243020000 8.29738023064406070000 7.32518453987502130000 6.02936457085511620000 6.72129653173912180000 9.24635268133942390000 8.36762631083423790000 7.47873573534069450000 6.00031695759713560000 9.00569668018183120000 8.01852109898135270000 6.83304728605105890000 end elseif d0=4 and n=30 set critval 4.30396675985698000000 6.69796443056227010000 5.79912742542748560000 4.94215123399030440000 0.80703518272137953000 0.12536262566348591000 0.89103197945199575000 0.96418674537517912000 0.96209792852643372000 0.92881129428652320000 0.93023815024983580000 0.91063685791821325000 2.06201050613799760000 1.95278586585090450000 2.02805088104553870000 2.07499921555282010000 3.19346226510297320000 2.86879026881069340000 4.79525866331677090000 3.55303394631292100000 5.93184196691030950000 8.13076875291149110000 7.21698984569416700000 6.54593845996282920000 7.30766608304420910000 9.01418532300666970000 8.26367689185429910000 7.84979811917817290000 6.74141601058179600000 8.64154478548437770000 7.88116659540824840000 7.31065626858132320000 end elseif d0=4 and n=40 set critval 4.60740365654814350000 6.41633666623342250000 5.68295464394454090000 5.14848044748505450000 0.79927031481891497000 0.12708509134378063000 0.89265244592857651000 0.97161858056810180000 0.96997365383390854000 0.94084335517325235000 0.94463523667354266000 0.92667549309285990000 2.03753053675291620000 1.95308017035387180000 2.00976276677012500000 2.06748983217951920000 2.54807644151447480000 3.03214104726733380000 4.87191967834407700000 3.62035860380802180000 6.43890461081941460000 8.13463770823742750000 7.30552576644550640000 6.87938825630750280000 7.89456493522155430000 9.36145095999100190000 8.48144052541378990000 8.30772621882371710000 6.96786832603713080000 8.61030223354752700000 7.77463354591266850000 7.41588961841692560000 end elseif d0=4 and n=50 set critval 4.90286358973634060000 6.33095420129579090000 5.75675468608650400000 5.30449310725048660000 0.80019516504667365000 0.12840984845151732000
0.89420002480923311000 0.97643607686636280000 0.97498434739243067000 0.94833697453068544000 0.95394049119777546000 0.93705904562066511000 2.01625536969609120000 1.93497062682847120000 1.97755490345960560000 2.04407156303826110000 2.26557592121537390000 3.20250133068951110000 4.93478740308816730000 3.67593927120805470000 6.74063631693983380000 8.08371672407852950000 7.33759273249171520000 7.14984017059812160000 8.16495217005765640000 9.23717219348411870000 8.46704528944888320000 8.45173623627580280000 7.23500034089789780000 8.61344320888176180000 7.84924687097126930000 7.66746136202326590000 end elseif d0=4 and n=100 set critval 5.27173724946309270000 6.20371577289060380000 5.50166710471449960000 5.51766251729983190000 0.76697897391730874000 0.12616230803209325000 0.89961090677122135000 0.98707486317676485000 0.98631676514419553000 0.00000000000000000000 0.97455540699431809000 0.96167223779961419000 1.97767103780084970000 1.94934997709126570000 1.94827386600745210000 1.99550842805766320000 1.74437615601762390000 3.48784402251482020000 5.30047664748353320000 3.77667350755153520000 7.30993913211761370000 8.04120189219051970000 7.41071800193076320000 7.49662699071329450000 9.05132055597586850000 9.68842754964558140000 8.94045549848098100000 9.20657157017996750000 7.52084103594392330000 8.35635872137412860000 7.64505334973244380000 7.75877198462640380000 end elseif d0=4 and n=250 set critval 5.70605973145372310000 6.09797422589072900000 5.46089741083167190000 5.81530629585352090000 0.75383704276713170000 0.12569877108500874000 0.90258859863769214000 0.99440062577978339000 0.99398617434892123000 0.00000000000000000000 0.98894921195760743000 0.98135680735264219000 1.97729925607520340000 1.96535555454786200000 1.96497851534485980000 1.98526024532090320000 1.41279618988415210000 3.70524994470052030000 5.76405632158620040000 3.72837728424706020000 7.72134411636612670000 8.08122276996589940000 7.55229278117797430000 7.82143904128783870000 9.80464221515048530000 10.07710798239325500000 9.30693495447089520000 9.88206221093924420000 7.77960716755161390000 8.10516667916120430000 7.57847145505492930000 7.86948325609894810000 end endif if n<=50 do d0=6 #startar do-loop för funktionsval do d1=1:20 let d2=d1+20*(d0-1) copy kol.d2 test.d1 enddo let b1=20 do d2=18 19 20 do d3=1:4 let b1=b1+1 let test.b1=test.d3+test.d2 enddo enddo do d1=1:32#startar do-loop för testsortering sort test.d1 testsort let valmis.d0(d1)=nmiss(testsort) let ant=n(testsort) do d2=1:2 if d2=1 let id=testsort<critval(d1) #critval=Calfa elseif d2=2 let id=testsort=critval(d1) endif copy id idettor; use id=1. #ant1or.1 = L count idettor ant1or.d2 #ant1or.2 = E enddo if ant1or.1=0 let b4=0 elseif ant1or.1=ant let b4=1 elseif ant1or.2=0 and ant1or.1~=0 and ant1or.1~=ant #om E=0 let b1=testsort(ant1or.1) #mtak(L) let b2=testsort(ant1or.1+1) #mtak(L+1) let b3=ant1or.1+(critval(d1)-b1)/(b2-b1) #täljaren för ypsilon let b4=b3/(ant+1) #ypsilon elseif ant1or.2>=1 and ant1or.1~=0 and ant1or.1~=ant #om E>=1 let b1=(ant1or.2+1)/2 #(E+1)/2 let b4=(ant1or.1+b1)/(ant+1) #ypsilon endif if d1<8 or d1>12 let b4=1-b4 #1-ypsilon endif let power.d0(d1)=b4*100 #beräknar den procentuella styrkan enddo #avslutar do-loop för testsortering enddo #avslutar do-loop för funktionsval elseif n>=100 do d0=6 #startar do-loop för funktionsval do d1=1:9 11:20 let d2=d1+20*(d0-1) copy kol.d2 test.d1
150
enddo let b1=20 do d2=18 19 20 do d3=1:4 let b1=b1+1 let test.b1=test.d3+test.d2 enddo enddo do d1=1:9 11:32 #startar do-loop för testsortering sort test.d1 testsort let valmis.d0(d1)=nmiss(testsort) let ant=n(testsort) do d2=1:2 if d2=1 let id=testsort<critval(d1) #critval=Calfa elseif d2=2 let id=testsort=critval(d1) endif copy id idettor; use id=1. #ant1or.1 = L count idettor ant1or.d2 #ant1or.2 = E enddo if ant1or.1=0 let b4=0 elseif ant1or.1=ant let b4=1 elseif ant1or.2=0 and ant1or.1~=0 and ant1or.1~=ant #om E=0 let b1=testsort(ant1or.1) #mtak(L) let b2=testsort(ant1or.1+1) #mtak(L+1) let b3=ant1or.1+(critval(d1)-b1)/(b2-b1) #täljaren för ypsilon let b4=b3/(ant+1) #ypsilon elseif ant1or.2>=1 and ant1or.1~=0 and ant1or.1~=ant #om E>=1 let b1=(ant1or.2+1)/2 #(E+1)/2 let b4=(ant1or.1+b1)/(ant+1) #ypsilon endif if d1<8 or d1>12 let b4=1-b4 #1-ypsilon endif let power.d0(d1)=b4*100 #beräknar den procentuella styrkan enddo #avslutar do-loop för testsortering enddo #avslutar do-loop för funktionsval endif endmacro
B3.6 Makro för beräkning av sambandet mellan θNH och θN samt θH macro betaregr test.1-test.19 a.1-a.12 mconstant b1 d1 e1 e2 mcolumn test.1-test.19 a.1-a.12 y x1 x2 yhat brief 1 mreset name test.1='LMN' test.2='ALMN'test.3='Z2' test.4='K' & test.5='LMH' test.6='WH' test.7='ALMH' test.8='LMNH' test.9='ANLMH' & test.10='ZNLMH' test.11='KNLMH' test.12='LMNWH' test.13='ANWH' & test.14='ZNWH' test.15='KNWH' test.16='LMNAH' test.17='ALMNH' & test.18='ZNAH' test.19='KNAH' do d1=1:12 let b1=7+d1 copy test.b1 y if d1=1 or d1=5 or d1=9 let x1=test.1 elseif d1=2 or d1=6 or d1=10 let x1=test.2 elseif d1=3 or d1=7 or d1=11 let x1=test.3 elseif d1=4 or d1=8 or d1=12 let x1=test.4 endif if d1>0 and d1 <5 let x2=test.5 elseif d1>4 and d1 <9 let x2=test.6 elseif d1>8 and d1 <13 let x2=test.7 endif regress y 2 x1 x2; constant; fits yhat; coefficients a.d1. let e1=sum((yhat-mean(yhat))**2) let e2=sum((y-mean(y))**2) let a.d1(4)=e1/e2 enddo
endmacro
151
REFERENSER
ANSCOMBE, F. J. – GLYNN , WILLIAM J., ”Distribution of the kurtosis statistic b2 for normal
samples”, Biometrika (1983), 70, 1.
ARNOLD, BARRY C. – GROENEVELD, RICHARD A., ”Measuring Skewness With Respect to the
Mode”, The American Statistician, February 1995, Vol. 49, No. 1.
BALANDA , KEVIN P. – MACGILLIVRAY , H. L., ”Kurtosis: A Critical Review”, The American
Statistician, May 1988, Vol. 42, No. 2.
BARINGHAUS, L. – DANSCHKE, R. – HENZE, N., ”Recent and classical tests for normality – a
comparative study”, Communications in Statistics – Simulation and Computation, 18(1),
(1989).
BERA, ANIL K. – JARQUE, CARLOS M., ”Model Specification Tests – A Simultaneous
Approach”, Journal of Econometrics 20 (1982).
D’A GOSTINO, RALPH B., ”Transformation to normality of the null distribution of g1”,
Biometrika (1970), 57.
D’A GOSTINO, RALPH B. – BELANGER, ALBERT – D’AGOSTINO JR., RALPH B., ”A Suggestion
for Using Powerful and Informative Tests of Normality”, The American Statistician,
November 1990, Vol. 44, No. 4.
DAINTITH , JOHN – NELSON, R. DAVID , (EDS.), The Penguin Dictionary of Mathematics.
London 1989.
DUFOUR, JEAN-MARIE, ET. AL., ”Simulation-based finite sample normality tests in linear
regressions”, Econometrics Journal (1998), volume 1.
EVANS, MERRAN, ”Robustness of size of tests of autocorrelation and heteroscedasticity to
nonnormality”, Journal of Econometrics 51 (1992).
FILLIBEN , JAMES J., ”The Probability Plot Correlation Coefficient Test for Normality”,
Technometrics, Vol. 17, No. 1, February 1975.
GAN, F. F. – KOEHLER, K. J., ”Goodness-of-Fit Tests Based on P-P Probability Plots”,
Technometrics, August 1990, Vol. 32, No. 3.
GINGERICH, PHILIP D., ”Statistical Power of EDF Tests of Normality and the Sample size
Required to Distinguish Geometric-Normal (Lognormal) from Arithmetic-Normal
Distributions of Low Variability”, Journal of theoretical Biology (1995) 173.
GODFREY, LESLIE G., ”Some results on the Glejser and Koenker tests for heteroskedasticity”,
Journal of Econometrics 72 (1996).
152
GROENEVELD, RICHARD A., ”A Class of Quantile Measures for Kurtosis”, The American
Statistician, November 1998, Vol. 51, No. 4.
GUJARATI, DAMODAR N., Basic Econometrics, 3rd ed. New York 1995.
HOSKING, J. R. M., ”Moments or L Moments? An Example Comparing Two Measures of
Distributional Shape”, The American Statistician, August 1992, Vol. 46, No. 3.
HUANG, CLIFF J. – BOLCH, BEN W., ”On the Testing of Regression Disturbances for
Normality”, Journal of the American Statistical Association, June 1974, Volume 69, Number
346.
IM, KYONG SO, ”Robustifying Glejser test of heteroskedasticity”, Journal of Econometrics 97
(2000).
JARQUE, CARLOS M. – BERA, ANIL K., ”A Test for Normality of Observations and Regression
Residuals”, International Statistical Review (1987), 55, 2.
KANJI, GOPAL K., 100 statistical tests. London 1993.
KOTZ, SAMUEL – JOHNSON, NORMAN L., (EDS.), Encyclopedia of Statistical Sciences, Vol. 2.
New York 1982.
KOTZ, SAMUEL – JOHNSON, NORMAN L., (EDS.), Encyclopedia of Statistical Sciences, Vol. 3.
New York 1983.
LANDRY, L. – LEPAGE, Y., ”Empirical behavior of some tests for normality”,
Communications in Statistics – Simulation and Computation 21:(4) 1992.
LYON, JOHN D. – CHIH-LING, TSAI, ”A comparison of tests for heteroscedasticity”, The
Statistician (1996), 45, No. 3.
MACHADO, JOSÉ A. F. – SILVA , J. M. C. SANTOS, ”Glejser’s test revisited”, Journal of
Econometrics 97 (2000).
MARDIA, K.V., ”Tests of Univariate and Multivariate Normality” i K RISHNAIAH, P. R., (ED.),
Handbook of Statistics, Volume 1 – Analysis of Variance.
MCGUIRK, ANYA M. – DRISCOLL, PAUL – ALWANG, JEFFREY, ”Misspecification Testing: A
Comprehensive Approach”, American Journal of Agricultural Economics 75 (November
1993).
MCLAUGHLIN , MICHAEL P., Regress + Appendix A – A Compendium of Common Probability
Distributions, Version 2.3, 1999. Tillgänglig via följande internetadress:
http://www.geocities.com/~mikemclaughlin/math_stat/Distr/Compendium.pdf
MUDHOLKAR, GOVIND S. – HUTSON, ALAN D., ”The epsilon-skew-normal distribution for
analyzing near-normal data”, Journal of Statistical Planning and Inference 83 (2000).
153
NGUYEN, TRUC T. – DINH, KHOAN T., ”Characterizations of normal distributions supporting
goodness-of-fit tests based on sample skewness and sample kurtosis”, Metrika (1998) 48.
PEARSON, E. S. – D’AGOSTINO, R. B. – BOWMAN, K. O., ”Tests for departure from
normality: Comparison of powers”, Biometrika (1977), 64, 2.
PEARSON, E. S. – PLEASE, N. W., ”Relation between the shape of population distribution and
the robustness of four simple test statistics”, Biometrika (1975), 62, 2.
PETTITT, A. N., ”Testing the Normality of Several Independent Samples using the Anderson-
Darling Statistic”, Applied Statistics (1977), 26, No. 2.
PFAFFENBERGER, ROGER C. – DIELMAN , TERRY E., ”Testing normality of regression
disturbances – A Monte Carlo study of the Filliben test”, Computational Statistics & Data
Analysis 11 (1991).
PIERCE, DONALD A. – GRAY, ROBERT J., ”Testing normality of errors in regression models”,
Biometrika (1982), 69, 1.
PIERCE, DONALD A. – KOPECKY, KENNETH J., ”Testing goodness of fit for the distribution of
errors in regression models”, Biometrika (1979), 66, 1.
RAHMAN , M. MAHIBBUR – GOVINDARAJULU, Z., ”A modification of the test of Shapiro and
Wilk for normality”, Journal of Applied Statistics, Vol. 24, No. 2, 1997.
ROYSTON, J. P., ”An Extension of Shapiro and Wilk’s W Test for Normality to Large
Samples”, Applied Statistics (1982), 31, No. 2.
ROYSTON, PATRICK, ”Which Measures of Skewness and Kurtosis Are Best?”, Statistics in
Medicine, Vol. 11, (1992).
RUPPERT, DAVID , ”What Is Kurtosis? An Influence Function Approach”, The American
Statistician, February 1987, Vol. 41, No. 1.
SHAPIRO, S. S. – WILK , M. B., ”An analysis of variance test for normality (complete
samples)”, Biometrika (1965), 52, 3 and 4.
SIMMONS, GEORGE F., Differential Equations with Applications and Historical Notes, 2nd ed.
New York 1991.
STEPHENS, M. A., ”EDF Statistics for Goodness of Fit and Some Comparisons”, Journal of
the American Statistical Association, September 1974, Volume 69, Number 347.
TAJUDDIN, I. H., ”A comparison between two simple measures of skewness”, Journal of
Applied Statistics, Vol. 26, No. 6, 1999.
URZÚA, CARLSO M., ”Erratum to ’On the correct use of omnibus tests for normality’
[Economics Letters 53 (1996) 247]”, Economics Letters 54 (1997).
154
URZÚA, CARLOS M., ”On the correct use of omnibus tests for normality”, Economics Letters
53 (1996).
VERBYLA, A. P., ”Modelling Variance Heterogeneity: Residual Maximum Likelihood and
Diagnostics”, Journal of the Royal Statistical Society, Series B (1993), 55, No. 2.
VERRILL, STEVE – JOHNSON, RICHARD A., ”The asymptotic equivalence of some modified
Shapiro-Wilk statistics – Complete and censored sample cases”, The Annals of Statistics,
1987, Vol. 15, No. 1.
WACKERLY, DENNIS D. – MENDENHALL III, W ILLIAM – SCHEAFFER, RICHARD L.,
Mathematical Statistics with Applications, 5th ed.Belmont 1996.
WEISBERG, SANFORD, ”Comment”, Journal of the American Statistical Association, March
1980, Volume 75, Number 369.
WHITE, HALBERT – MACDONALD, GLENN M., ”Some Large-Sample Tests for Normality in
the Linear Regression model”, Journal of the American Statistical Association, March 1980,
Volume 75, Number 369.
ZOUBIR, A. M. – ARNOLD, M. J., ”Testing Gaussianity with the characteristic function: The
i.i.d. case”, Signal Processing 53 (1996).
