UniversidadeFederaldeCampinaGrande-UFCGCampinaGrande,12deAgostode2015.Disciplina:
MA-14-Aritmetica-PROFMAT-Semestre2015.2-Turno: Manh aProfessores:
AlcionioeIraponilAluno: WelhingtonSergiodaSilva Matricula:
15112214-6.2aAtividadeSemanalMA-14-AritmeticaProblema3.a)
Mostrequeumn umeronaturala
eparse,esomentese,anepar,qualquerquesejan N.b)
Mostrequeanamesemprepar,quaisquerquesejamn, m N.c) Mostrequeseaebs
ao mpares,entaoa2+ b2edivsvelpor2masn ao edivisvelpor4.Resolucao:
Naresolucaodoproblemausaremosoresultadodasseguintesproposic
oes:(P1) Sexeysaoparesentaox yepar. Defato, comox=2n, n Zey=2m, m
Z, ent aox y= 2n 2m = 2(m n) = 2k, k = m n. Comok = m n Z,temosquex
yepar.(P2) Se x e y sao mpares entao xy e mpar. De fato, como x =
2n+1, n Z e y= 2m+1, m Z,ent aox y= (2n + 1) (2m+ 1) = 4mn + 2m+ 2n
+ 1 = 2(2mn +m+n) + 1 = 2k + 1, k =2mn + m + n. Comok = 2mn + m + n
Z,x ye mpar.(P3) Sexeysaoparesentaox yepar. Defato,comox = 2n, n
Zey= 2m, m Z,entaox y= 2n2m = 2(mn) = 2k, k = mn. Como k = mn Z,
temos que x y e par.(P4) Se x e ysao mpares entao xy e par. De
fato, como x = 2n+1, n Z e y= 2m+1, m Z,ent ao x+y= 2n+1+2m+1 =
2(m+n+1) = 2k, k = m+n+1 Z e xy= 2n+12m1 =2(n m) = 2k, k = n m Z.
Logo,x yepar.a) Sea eparent aoanepar.
Provemosporinducaosobren.SejaP(n): Sea eparent aoanepar.Paran = 1.
Temosquea1= a,oque everdadepoisa epar,porhip
otese.Admitamosqueaproposic aosejav alidaparaalgumn = knatural,isto
e,akepar,
apar.emostremosquedadecorresuavalidezparan=k+1,ouseja,ak+1epar,
apar.Comefeito, ak+1=ak a, da
comoakeparpelahipotesedeinducaoeatambemeparpelahipoteseinicial,
pelaproposic ao(P1)resultaqueak+1epar. Portanto, P(n)ev
alidaparatodonnatural.1Reciprocamente, Se para todo n N, ane par ,
entao a e par. Demonstremos por
contrapo-sitiva,ouseja,provemosquesea e mparentaoane mparparatodon
N. Facamosmaisumavezusodainduc aosobren:SejaP(n): Sea e
mparentaoane mpar.Paran = 1. Temosquea1= a,oque everdadepoisa e
mpar,porhip otese.SuponhamosqueP(n) everdadeiraparaalgumn =
knatural,isto e,akepar, a
mpar.emostremosqueP(n)continuavalidaparan=k+1,ouseja,ak+1epar, a
mpar.Comefeito,ak+1= ak a,dacomoake mparpelahipotesedeinduc
aoeatambem emparpelahipoteseinicial, pelaproposic
ao(P2)resultaqueak+1e mpar. Portanto,P(n)
evalidaparatodonnatural.b) Temosdoiscasosaconsiderar:Caso1: a e
par. Se a e par pelo item a,temos que ame ans ao pares,logo pela
prososic ao (P3)conclumosqueanamepar.Caso2: a e mpar. Se a e mpar
pelo item a, temos que ame ans ao mpares, logo pela prososic
ao(P4)conclumosqueanamepar.c) Sendoa = 2m + 1, m Zeb = 2n + 1, n
Z,temosquea2+ b2= (2m + 1)2+ (2n + 1)2= 4m2+ 4m + 1 + 4n2+ 4n + 1=
2(2m2+ 2n2+ 2m + 2n + 1)= 2k, k = 2m2+ 2n2+ 2m + 2n + 1,como k =
2m2+2n2+2m+2n+1 Z, resulta pela deni cao de divisibilidade que 2 |
(a2+b2).Poroutrolado,temostambemquea2+ b2= (2m + 1)2+ (2n + 1)2=
4m2+ 4m + 1 + 4n2+ 4n + 1= 4(m2+ n2+ m + n) + 2= 4k + 2, k = m2+
n2+ m + n,como,k=m2+ n2+ 2m + 2n Ze2
