Universidade Federal de Campina Grande - UFCGCampina Grande, 25 de Agosto de 2015.Disciplina: MA-13 - Geometria - PROFMAT - Semestre 2015.2 - Turno: TardeProfessores: Jefferson Abrantes e Diogo GermanoAluno: Welhington Sergio da Silva Matricula: 15112214-6.

4a Atividade Individual MA - 13 - Geometria

Questao: Dados cırculos C1(O1, R1) e C2(O2, R2), prove que C1 e C2 sao:

a) exteriores se, e so se, O1O2 > R1 + R2;

b) tangentes exteriormente se, e so se, O1O2 = R1 + R2;

c) secantes se, e so se, |R1 −R2| < O1O2 < R1 + R2;

d) tangentes interiormente se, e so se, O1O2 = |R1 −R2|.

Resolucao: Iniciaremos provando a condicao necessaria de cada ıtem e, em seguida partiremospara a demonstracao da condicao suficiente de cada ıtem.

a1) Suponhamos que C1 e C2 sao exteriores, como na figura abaixo.

Observe que O1O2 = R1 + R2 + d. Portanto, O1O2 > R1 + R2. C.Q.D.

b1) Suponhamos que C1 e C2 sao tangentes exteriormente, como na figura abaixo.

1

Temos que O1O2 = R1 + R2. C.Q.D.

c1) Suponhamos que C1 e C2 sao secantes, como na figura a seguir.

Por desigualdade triangular, temos que:

R1 < O1O2 + R2 (1)

R2 < O1O2 + R1 (2)

O1O2 < R1 + R2 (3)

De (1) e (2), temos que O1O2 > R1 − R2 e O1O2 > −(R1 − R2). Logo, pela definicao demodulo segue que O1O2 > |R1 −R2|.

Daı,

|R1 −R2| < O1O2

(3)< R1 + R2.

Como querıamos demonstrar.

d1) Suponhamos que C1 e C2 sao tangentes interiormente, como na figura abaixo.

2

Na figura temos que C2 e tangente interiormente a C1, e que O1O2 = R1−R2. Note tambemque se C1 e tangente interiormente a C2 segue que O1O2 = −(R1 − R2). Portanto, peladefinicao de modulo concluımos que se C1 e C2 sao tangentes interiormente entao O1O2 =|R1 −R2|. C.Q.D.

Lembremos que existem apenas 5 posicoes relativas entre dois cırculos, isto e, dados dois cırculoseles podem ser: exteriores, tangentes exteriormente, secantes, tangentes interiormente ou interiores.A fim de demonstrarmos as condicoes suficientes faremos isto por contraposiva e usaremos tambemo seguinte fato:

e1) Dados cırculos C1(O1, R1) e C2(O2, R2), se C1 e C2 sao interiores, entao O1O2 < |R1 −R2|.

Demonstracao:

Na figura temos que C2 e interior a C1, e que O1O2 < R1 −R2. Note tambem que se C1 e interiora C2 segue que O1O2 < −(R1 − R2). Portanto, pela definicao de modulo concluımos que se C1 eC2 sao interiores entao O1O2 < |R1 −R2|. C.Q.D.

DEMONSTRACAO DAS CONDICOES SUFICIENTES:

a2) Contrapositiva. Devemos provar que se C1 e C2 nao sao exteriores entao O1O2 ≤ R1 + R2.De fato,

3

i) C1 e C2 tangentes exteriormente(b1)⇒ O1O2 = R1 + R2;

ii) C1 e C2 secantes(c1)⇒ O1O2 < R1 + R2;

iii) C1 e C2 tangentes interiormente(d1)⇒ O1O2 = |R1 −R2| < R1 + R2;

iv) C1 e C2 interiores(e1)⇒ O1O2 < |R1 −R2| < R1 + R2.

b2) Contrapositiva. Devemos provar que se C1 e C2 nao sao tangentes exteriormente entaoO1O2 6= R1 + R2. De fato,

i) C1 e C2 exteriores(a1)⇒ O1O2 > R1 + R2;

ii) C1 e C2 secantes(c1)⇒ O1O2 < R1 + R2;

iii) C1 e C2 tangentes interiormente(d1)⇒ O1O2 = |R1 −R2| < R1 + R2;

iv) C1 e C2 interiores(e1)⇒ O1O2 < |R1 −R2| < R1 + R2.

c2) Contrapositiva. Devemos provar que se C1 e C2 nao sao secantes entao |R1−R2| ≥ O1O2 ouO1O2 ≥ R1 + R2. De fato,

i) C1 e C2 exteriores(a1)⇒ O1O2 > R1 + R2;

ii) C1 e C2 tangentes exteriormente(b1)⇒ O1O2 = R1 + R2;

iii) C1 e C2 tangentes interiormente(d1)⇒ O1O2 = |R1 −R2|;

iv) C1 e C2 interiores(e1)⇒ |R1 −R2| > O1O2.

d2) Contrapositiva. Devemos provar que se C1 e C2 nao sao tangentes interiormente entaoO1O2 6= |R1 −R2|. De fato,

i) C1 e C2 exteriores(a1)⇒ O1O2 > R1 + R2 > |R1 −R2|;

ii) C1 e C2 tangentes exteriormente(b1)⇒ O1O2 = R1 + R2 > |R1 −R2|;

iii) C1 e C2 secantes(c1)⇒ O1O2 > |R1 −R2|;

iv) C1 e C2 interiores(e1)⇒ O1O2 < |R1 −R2|.

4