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2 Matrices
Álgebra
Introducción
Las matrices son tablas de datos, es decir, datos organizados en filas ycolumnas, que proporcionan información de la relación existente entredos magnitudes.
La unidad comienza con la definición de los distintos tipos de matrices yse estudian sus operaciones.
En la resolución de problemas se desarrolla cómo organizar datos enmatrices, para tratar información en situaciones reales.
Las matrices son una herramienta de gran utilidad para el estudio deecuaciones lineales y aparecen de forma natural en la estadística, laeconomía, la informática, etc.
Por ejemplo, la utilización de matrices constituye actualmente una parteesencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de losdatos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en fi-las y columnas: hoja de cálculo, bases de datos, etc. y sirven para orga-nizar las conexiones de las grandes redes como Internet.
Organiza tus ideas
clasifican operan
tratamiento de la
información
resoluciónde
problemas
• suma• resta• multiplicación
por un número• multiplicación• traspuesta
su forma• matriz fila• matriz columna• matriz cuadrada• matriz simétrica• matriz antisimétrica
o hemisimétrica
sus elementos• matriz nula• matriz diagonal• matriz escalar• matriz unidad o
identidad• matriz triangular
35
tablas de datos
son
que se
según
en la
utilizan para el
Matrices
Álgebra
36
■ Piensa y calcula
Escribe en forma de tabla el siguiente enunciado: «Una familia gasta en enero 400 € en comida y 150 € en vestir; en febre-ro, 500 € en comida y 100 € en vestir; y en marzo, 300 € en comida y 200 € en vestir».
1. Tipos de matrices
1.1. Definición de matriz
Ejemplo
En la matriz A2 Ò 3 = , el elemento a21 = –4
Ejercicio resuelto
Halla x e y para que las siguientes matrices sean iguales:
ò x = 7, y = –3)2 7y 5()2 x
–3 5(1
Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y los elementosque ocupan el mismo lugar son iguales.
)2 –8 7–4 0 5(
Una matriz es una tabla de números distribuidos en filas y columnas. Se re-presenta por:
A = (aij)n Ò p =
Se dice que es de dimensión n Ò p, es decir, tiene n filas y p columnas.
)a11 a12 … a1pa21 a22 … a2p… … … …an1 an2 … anp(
Tipos de matrices según su forma
Matriz fila: es una matriz que solo tiene una fila.
Ejemplo
A1 Ò 3 = (3, –5, 7)
Matriz columna: es una matriz que solo tiene una co-lumna.
A3 Ò 1 = )–468(
Matriz cuadrada: es una matriz que tiene el mismonúmero de filas que de columnas, n Ò n; se dice quees de orden n
A2 Ò 2 = )3 –25 7(
Se llama diagonal principal de una matriz cuadradaa los elementos aii. Va de izquierda a derecha y dearriba abajo.
Matriz simétrica: es una matriz cuadrada en la quelos elementos simétricos respecto de la diagonal prin-cipal son iguales, es decir, aij = aji
A3 Ò 3 = )2 7 –57 1 4
–5 4 –9(Matriz antisimétrica o hemisimétrica: es una matrizcuadrada en la que los elementos simétricos respectode la diagonal principal son opuestos, es decir, aij = –ajiLos elementos de la diagonal principal deben ser ceros.
A3 Ò 3 = )0 5 –6–5 0 3
6 –3 0(
Evitar erroresLas filas son horizontales.
Las columnas son verticales.
aij es el término que está en la fi-la i y en la columna j
Vectores y matricesUna matriz se puede interpre-tar como un conjunto de vecto-res fila o columna.
Ejemplo
Dada la matriz :
A2 Ò 3 =
se puede interpretar que estáformada por 2 vectores de �3
8u(2, –8, 7)8v(– 4, 0, 5)
y también que está formada por3 vectores de �2
8u ,
8v ,
8w )7
5()–80()2
–4(
)2 –8 7–4 0 5(
A3 Ò 3 = )1 3 –58 –6 02 –3 9(
Tema 2. Matr ices
37
1.2. Matriz traspuesta de una matriz
Ejercicio resuelto
A2 Ò 3 = ò At3 Ò 2 = )1 –4
–2 –53 6()1 –2 3
–4 –5 6(2
La matriz traspuesta de una matriz A es la matriz que se obtiene al cambiarlas filas por las columnas. Se representa por At
● Aplica la teoría
Tipos de matrices según sus elementos
Matriz nula: es una matriz en la que todos sus ele-mentos son cero.
Ejemplo
A2 Ò 3 = )0 0 00 0 0(
Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en la quetodos los elementos que no están en la diagonal prin-cipal son nulos.
Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que to-dos los elementos de la diagonal principal son iguales.
A2 Ò 2 = )3 00 3(
Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar enla que todos los elementos de la diagonal principalson 1. Se representa por In Ò n
A2 Ò 2 = )1 00 1(
Matriz triangular superior: es una matriz cuadradaen la que todos los elementos que están debajo de ladiagonal principal son nulos.
A3 Ò 3 = )3 0 00 –5 00 0 8(
A3 Ò 3 = )3 –7 80 –2 40 0 5(
Matriz triangular inferior: es una matriz cuadradaen la que todos los elementos que están encima de ladiagonal principal son nulos.
A3 Ò 3 = )–3 0 0–2 5 0
7 –8 9(
1. Escribe una matriz fila de dimensión 1 Ò 4
2. Escribe una matriz columna de dimensión 2 Ò 1
3. Escribe una matriz cuadrada de orden 3, y marca la dia-gonal principal.
4. Completa la siguiente matriz para que sea simétrica:
A =
5. Halla el valor de a, b, c, d, e y f para que la siguiente ma-triz sea antisimétrica o hemisimétrica:
A =
6. Escribe una matriz nula de dimensión 2 Ò 3
7. Escribe una matriz diagonal de orden 2
8. Escribe una matriz escalar de orden 3 en la que el ele-mento a22 = –6
9. Escribe una matriz unidad de orden 3
10. Escribe una matriz triangular superior de orden 2 y sutraspuesta. ¿Cómo es la traspuesta?
11. Escribe una matriz triangular inferior de orden 3 y sutraspuesta. ¿Cómo es la traspuesta?
12. Dado el sistema lineal:
a) escribe la matriz C de los coeficientes de las incóg-nitas. ¿De qué dimensión es?
b) escribe una matriz columna X con las incógnitas.¿De qué dimensión es?
c) escribe una matriz columna B con los términos in-dependientes. ¿De qué dimensión es?
2x + 3y + z = 54x – 7y – z = 9
°¢£
)a b c5 d e0 –7 f(
)1 –2 3… 4 –5… … 0(
Álgebra
38
■ Piensa y calcula
Halla mentalmente el producto escalar de los siguientes vectores: a) (3, 4) ; b) (2, – 3) )32()5
6(
2. Operaciones con matrices
2.1. Suma de matricesPara sumar dos matrices, éstas han de tener las mismas dimensiones, y se su-man elemento a elemento.
Ejercicio resuelto
+ =
2.2. Resta de matricesPara restar dos matrices, éstas han de tener las mismas dimensiones, y se restanelemento a elemento.
Ejercicio resuelto
– =
2.3. Producto de un número por una matrizPara multiplicar un número por una matriz, se multiplica el número por cadaelemento de la matriz.
Ejercicio resuelto
5 =
2.4. Producto de matricesProducto de una matriz fila por una matriz columnaPara multiplicar una matriz fila por una matriz columna, se multiplican ele-mento a elemento y se suman los productos obtenidos. Se obtiene un número.
Ejercicio resuelto
(1, 2, 3) = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 4 + 10 + 18 = 32
Producto de dos matrices
Para multiplicar dos matrices, se multiplica cada fila de la 1ª matriz por ca-da columna de la 2ª. El resultado es una matriz que tiene tantas filas como la1ª y tantas columnas como la 2ª
An Ò p · Bp Ò q = Cn Ò q
)456(
6
)15 –10 2035 0 –5()3 –2 4
7 0 –1(5
)4 7 –6–5 0 3()2 –3 1
5 3 4()6 4 –50 3 7(
4
)6 4 –50 3 7()2 –3 1
5 3 4()4 7 –6–5 0 3(
3
Evitar erroresPara que se pueda multiplicar unamatriz fila por una matriz columnahan de tener el mismo número deelementos.
Evitar erroresPara que se puedan multiplicar dosmatrices tiene que coincidir el nú-mero de columnas de la 1ª con elde filas de la 2ª
Propiedades de lasuma de matricesa) Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
b) Conmutativa:
A + B = B + A
c) Matriz nula: O
A + O = O + A = A
d) Matriz opuesta:es la matriz quese obtiene al cambiar todos loselementos de signo. Verifica:
A + (– A) = O
Ejemplo
A =
–A = )–2 3 –56 0 –4(
)2 –3 5–6 0 4(
Este cálculo debehacerse mentalmente
Tema 2. Matr ices
39
Ejercicio resuelto
· = =
En la práctica los productos y sumas indicados en la matriz del centro no sehacen y se escriben directamente los resultados de la última matriz.
2.5. No conmutatividad
Ejercicio resuelto
· = · =
Al no ser conmutativo el producto de matrices, tampoco serán ciertos los pro-ductos notables:(A + B)2 no tiene por qué ser igual a A2 + 2AB + B2
(A – B)2 no tiene por qué ser igual a A2 – 2AB + B2
(A + B)(A – B) no tiene por qué ser igual a A2 – B2
2.6. Producto no simplificable
Ejercicio resuelto
· = · =
2.7. Potencia de matrices
Para que se pueda calcular la potencia de una matriz tiene queser cuadrada. Se define la potencia de matrices como un pro-ducto en el que los factores son iguales. An = A · A · …n)… · A
)10 1220 24()–4 2
7 5()1 22 4()10 12
20 24()4 83 2()1 2
2 4(9
En general, el producto de matrices no es simplificable.De A · B = A · C no se sigue que B = C
)22 3446 74()1 3
5 7()2 46 8()20 28
52 76()2 46 8()1 3
5 7(8
En general, el producto de matrices no es conmutativo. A · B ? B · A
)13 6 935 12 1957 18 2979 24 39()1 · 9 + 2 · 2 1 · 0 + 2 · 3 1 · 1 + 2 · 4
3 · 9 + 4 · 2 3 · 0 + 4 · 3 3 · 1 + 4 · 45 · 9 + 6 · 2 5 · 0 + 6 · 3 5 · 1 + 6 · 47 · 9 + 8 · 2 7 · 0 + 8 · 3 7 · 1 + 8 · 4()9 0 1
2 3 4()1 23 45 67 8(
7
Ejercicio resuelto
2= · = )7 10
15 22()1 23 4()1 2
3 4()1 23 4(
10
13. Dadas las matrices: A = y B =
calcula:
a) A + B b) A – B c) 5A d) 2A – 3B
14. Sean las matrices: A = y B =
Calcula, de los siguientes productos, los que sean po-sibles, y de los que no sean posibles, razona por quéno se pueden multiplicar: a) A · B b) B · A
15. Dadas las matrices:
A = y B =
calcula A · B y B · A. Del resultado obtenido, ¿qué pro-piedad muy elemental se ha probado que no se verifica?
16. Dada la matriz:
A =
calcula A2 y A3
)1 –20 3(
)0 8–4 7()2 –3
5 1(
)4 –32 10 –5()2 –1 0
5 3 –4(
)–7 8–4 0()1 –3
4 5(● Aplica la teoría
Evitar erroresHay una cierta tendencia a creerque todas las propiedades que severifican en los números realesse verifican siempre. Esto es falsocon las matrices.
Ejemplo
• El producto no siempre esconmutativo.
• Si dos matrices están multipli-cando, no siempre se puedensimplificar.
• Existen matrices no nulas cuyoproducto es la matriz nula.
Propiedades delproducto de matricesa) Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
c) Matriz unidad: I
A · I = I · A = A
Propiedad distributivaA · (B + C) = A · B + A · C
Propiedades de la traspuestaa) (At)t = A
b) (A + B)t = At + Bt
c) (A · B)t = Bt · At
Este cálculo debehacerse mentalmente
Álgebra
40
■ Piensa y calcula
Una empresa de electrodomésticos tiene tres fábricas: una en Madrid, otra en Málaga y otra en Vigo. La producción semanalviene dada por la siguiente matriz:
Madrid Málaga Vigo
A =
a) Interpreta el elemento a12 de la matriz A
b) Interpreta el elemento a21 de la matriz A
c) Interpreta el elemento a33 de la matriz A
)150 140 130175 155 125160 140 100(Frigoríficos
Lavadoras
Lavaplatos
3. Aplicaciones de las matrices a la resolución de problemas
3.1. Organización de datos en matricesUna de las aplicaciones más importantes de las matrices es su aplicación a la re-solución de problemas algebraicos cuando hay muchos datos y éstos se puedenorganizar en tablas de doble entrada, que son matrices.
Ejercicio resuelto
Una fábrica distribuye sus productos alimenticios A, B y C a cuatro países P,Q, R y S, según se describe en la matriz M (cantidades de toneladas). Esta fá-brica ha recibido presupuestos de dos empresas E y F para el transporte de losproductos a los países de destino, como indica la matriz N (en euros por to-nelada).
M = ( ) y N =
Efectúa el producto de las matrices y responde a las cuestiones:
a) ¿Qué representa el elemento a11 de la matriz producto?
b) ¿Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportarel producto C con la empresa F?
c) Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decidir cuál es laempresa que más barato transporta el producto B a todos los países.
Solución
( ) =
a) El elemento a11 de la matriz producto representa lo que cobra la empresa Epor distribuir el producto A a todos los países.
b) El elemento a23
c) El elemento a22, que es más barato que a12
)284 500 239 500 240 000286 500 239 000 233 700(
200 100 120110 130 200220 200 100150 160 150
)500 450 375 350510 400 400 350(
)P Q R S
500 450 375 350510 400 400 350(E
F
A B C200 100 120110 130 200220 200 100150 160 150
PQRS
11
1. Identificar un problema real
Una fábrica necesita decidir so-bre los presupuestos de distintasempresas para distribuir sus pro-ductos.
2. Identificar factores importantes y representarestos factores en términos
matemáticos
La información de productos ycostes se representa en matri-ces.
3. Usar técnicas matemáti-cas para obtener resultados
Con la multiplicación de dosmatrices obtenemos los resul-tados del coste de cada empresapor llevar cada producto a losdistintos países.
4. Interpretar y evaluar los resultados matemáticos
y ver cómo afectan al mundo real
Los resultados matemáticos nospermiten tomar decisiones.
Modelizaciónmatemática
Tema 2. Matr ices
41
3.2. Representación matricial de un sistemaLas matrices son una buena herramienta para resolver algebraicamente proble-mas en los que intervienen muchos datos. Estos problemas pueden ser directos yse resuelven aplicando las operaciones con matrices; o inversos: se conocen losresultados finales, pero no los valores intermedios. En estos casos la operaciónentre matrices se transforma en un sistema de ecuaciones lineales.
Ejercicio resuelto
En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas, en rollos yaceros especiales. Estos productos requieren, por cada unidad de producto fa-bricado, chatarra, carbón y aleaciones en las cantidades en kilogramos que seindican en la tabla de la derecha:
a) Si durante el próximo mes se desea fabricar 6 unidades de acero en láminas,4 unidades de acero en rollo y 3 unidades de aceros especiales, obtén la ma-triz que indica las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones que serán ne-cesarias.
b) Si se dispone de 34 kg de chatarra, 28 kg de carbón y 9 kg de aleaciones, ¿cuán-tas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos materiales?
Solucióna)
A = ( ) y B = ( ) ò A · B = ( ) · ( ) = ( )Se necesitan 90 kg de chatarra, 72 kg de carbón y 25 kg de aleaciones.
b) ( ) · ( ) = ( ) ò
Resolviendo el sistema, se obtiene: x = 2, y = 2, z = 1
°§¢§£
8x + 6y + 6z = 346x + 6y + 4z = 282x + y + 3z = 9
34289
xyz
8 6 66 6 42 1 3
907225
643
8 6 66 6 42 1 3
643
8 6 66 6 42 1 3
12
17. Los consumos anuales de agua mineral, pan y lechede tres familias vienen expresados en la matriz A. Laevolución de los precios de los años 2000 al 2003viene reflejada en la matriz B, expresada en céntimosde euro.
A = ( )B = ( )
a) Halla, si es posible, A · B y B · A e indica qué infor-mación proporciona el producto matricial.
b) ¿Qué información nos da el elemento c34 de la ma-triz producto?
18. Un constructor puede adquirir ladrillos, tejas, maderay cemento de tres proveedores: P, Q y R. Los preciosde cada proveedor por paquete de materiales vienendados en miles de euros por la matriz:
( )El constructor tiene que comenzar tres obras.Necesita:
a) Primera obra: 24 paquetes de ladrillo, 5 de tejas,12 de madera y 18 de cemento.
b) Segunda obra: 20 paquetes de ladrillo, 7 de tejas,15 de madera y 20 de cemento.
c) Tercera obra: 20 paquetes de ladrillo, 4 de tejas,15 de madera y 15 de cemento.
El constructor quiere adquirir todos los materiales decada obra al mismo proveedor. ¿Qué proveedor es elmás económico para cada obra?
L T M C8 13 6 66 12 7 87 14 6 7
PQR
2000 2001 2002 2003
85 90 90 9528 30 30 3570 72 75 80
pan
agua
leche
pan agua leche
450 800 650500 810 620200 500 600
F1F2F3
● Aplica la teoría
x = 2 unidades de acero en lá-minas.
y = 2 unidades de acero en rollo.
z = 1 unidad de aceros especia-les.
Láminas
Chatarra 8
Carbón 6
Aleaciones 2
Rollos
6
6
1
Especiales
6
4
3
Ejercicios y problemasEjercicios y problemas resueltos
13. Dadas las matrices:
A =
B =
calcula A · B
)2 0 –13 –2 01 0 1(
)1 0 32 1 0
–1 0 –1(La matriz A es 3 Ò 3 y la matriz B es 3 Ò 3
El producto es una matriz que tiene tantas filas como la primera y tantas colum-nas como la segunda; por tanto, es 3 Ò 3
A · B = · = )5 0 27 –2 –2
–3 0 0()2 0 –13 –2 01 0 1()1 0 3
2 1 0–1 0 –1(
Multiplicación de matrices
14. Sea la matiz:
A =
a) Prueba que:
A2 – 2A + I = 0
donde I es la matriz identi-dad y O es una matriz contodos sus elementos igua-les a cero.
b) Calcula A3
)5 –4 22 –1 1
–4 4 –1(a) Se calcula primero A2 y 2A
A2 = A · A = · =
2A = 2 · =
A2 – 2A + I = – + =
=
b) A2 se ha calculado en el apartado a)
A3 = A2 · A = · = )13 –12 66 –5 3
–12 12 –5()5 –4 22 –1 1
–4 4 –1()9 –8 44 –3 2
–8 8 –3(
)0 0 00 0 00 0 0(
)1 0 00 1 00 0 1()10 –8 4
4 –2 2–8 8 –2()9 –8 4
4 –3 2–8 8 –3(
)10 –8 44 –2 2
–8 8 –2()5 –4 22 –1 1
–4 4 –1()9 –8 4
4 –3 2–8 8 –3()5 –4 2
2 –1 1–4 4 –1()5 –4 2
2 –1 1–4 4 –1(
Operaciones con matrices
42
Preguntas tipo test
En una matriz hemisimétrica o antisimétrica, los ele-mentos de la diagonal principal:
son todos unos.
pueden ser cualesquiera.
son unos cero y otros uno.
son todos cero.
Para poder multiplicar dos matrices:
la primera ha de tener tantas filas como colum-nas la segunda.
la primera ha de tener tantas columnas como fi-las la segunda.
tienen que ser cuadradas.
Dos matrices se pueden multiplicar siempre.
Sean A y B matrices tales que se pueda multiplicar A · B y B · A
Unas veces A · B = B · A y otras A · B ? B · A
Siempre A · B = B · A
Siempre A · B ? B · A
No es cierta ninguna de las anteriores.
Sean A, B y C matrices tales que A · B = A · C
Siempre B = C
Unas veces B = C, y otras, B ? C
Nunca B = C
No es cierta ninguna de las anteriores.
Sean A y B las matrices siguientes:
A = , B =
Calcula A · B
Calcula el producto:
(1 3)
(17) (11)
Calcula el producto:
(1 3)
(17)
(11)
Calcula el producto A · B, siendo:
A = , B =
(x2 – my + 1)
(x – xy x – my)
Calcula el producto D · E, siendo:
D = , E = (1 4)
(3x 16x)
(19x)
Calcula el producto E · D, siendo:
D = , E = (1 4)
(3x 16x)
(19x)
)3x16x(
)3x 12x4x 16x(
)3x4x(
10
)3x 12x4x 16x(
)3x16x(
)3x4x(
9
)x –yx –my(
)x –yx m(
)1–y()x 1
x m(8
)2 65 15(
)2 15 3(
)25(
7
)1 00 1()1 2
3 5()2
5(6
)1 11 1()–1 0
0 –1()1 0
0 1()0 00 0(
)9 –12–6 8()2 3
4 6(5
4
3
2
1
Contesta en tu cuaderno:
Ejercicios y problemasEjercicios y problemas
43
Tem
a 2
.M
atr
ice
s
PAU
44
Ejercicios y problemasEjercicios y problemas propuestos1. Tipos de matrices
19. Escribe una matriz fila de dimensión 1 Ò 3
20. Escribe una matriz columna de dimensión 3 Ò 1
21. Escribe una matriz cuadrada de orden 2 y marca la dia-gonal principal.
22. Halla el valor de a, b, c para que la siguiente matriz seasimétrica:
23. Completa la siguiente matriz para que sea antisimétri-ca o hemisimétrica:
24. Escribe una matriz nula de dimensión 3 Ò 2
25. Escribe una matriz diagonal de orden 3
26. Escribe una matriz escalar de orden 2 en la que el ele-mento a11 = 5
27. Escribe una matriz unidad de orden 4
28. Escribe una matriz triangular superior de orden 3 y sutraspuesta. ¿Cómo es la traspuesta?
29. Escribe una matriz triangular inferior de orden 2 y sutraspuesta. ¿Cómo es la traspuesta?
30. Dado el sistema lineal:
a) escribe la matriz C de los coeficientes de las incóg-nitas. ¿De qué dimensión es?, ¿de qué tipo es?
b) escribe una matriz columna X con las incógnitas.¿De qué dimensión es?
c) escribe una matriz columna B con los términos in-dependientes. ¿De qué dimensión es?
2. Operaciones con matrices
31. Dadas las siguientes matrices:
A = y B =
calcula:
a) A + B b) A – B c) – 3A d) – 5A + 2B
32. Sea la matriz:
A =
Halla la matriz opuesta –A y comprueba que –A + Aes la matriz nula de dimensión 2 Ò 2
33. Sean las matrices:
A = y B =
Calcula, de los siguientes productos, los que sean posi-bles, y respecto a los que no sean posibles, razona porqué no se pueden multiplicar:
a) A · B b) B · A
34. Dadas las siguientes matrices:
A = , B = y C =
calcula A · C y B · C. Del resultado obtenido, ¿qué pro-piedad muy elemental se ha probado que no se verifica?
35. Dada la matriz:
A =
calcula A2
3. Aplicaciones de las matrices a la resolución de problemas
36. En un centro escolar, el 80% de los alumnos de 4º deESO pasan a Bachillerato, el 70% de los alumnos de1º de Bachillerato pasa a 2º, el 65% de los alumnosde 2º aprueban el curso. Repiten curso el 20% de losalumnos de 1º y el 30% de los alumnos de 2º. En estecentro no se admiten alumnos nuevos para Bachillera-to y todos los que aprueban el curso pasan al curso si-guiente.
)1 2 –12 1 0
–1 0 1(
)2 –16 –3()7 4
3 8()4 56 7(
)5 –2 1–6 0 4()2 1
–3 –10 5(
)5 –1–3 2(
)–6 0–1 4
2 –3()2 –30 1
–1 5(
°§¢§£
3x + 2y – 5z = 47y + 6z = 8
z = 9
)… 5 –1… … 0… … …(
)3 a b–2 –7 c
0 1 4(
45
Tem
a 2
.M
atr
ice
s
Ejercicios y problemasa) Escribe la matriz de dimensión 3 Ò 3 que muestra la
evolución entre cursos.
b) En un cierto curso había 150 alumnos en 4º de ESO,110 alumnos en 1º de Bachillerato y 100 alumnosen 2º de bachillerato. ¿Cuál será la distribución dealumnos en el curso siguiente?
37. Un industrial produce dos tipos de tornillos: planos (P)y de estrella (E). De cada tipo hace tres modelos:A, B yC. La siguiente matriz da la producción semanal de tor-nillos:
El porcentaje de tornillos defectuosos del tipo A es deun 5%, del tipo B es de un 4% y del tipo C es de un 2%.Calcula el número de tornillos planos y de estrella queno sean defectuosos.
)A B C
2 000 2 500 3 0002 500 3 500 4 000(P
E
38. Sean las matrices:
A = (2 3 –5) y B =
Calcula, de los siguientes productos, los que sean posi-bles, y respecto de los que no sean posibles, razonapor qué no se pueden multiplicar:
a) A · B
b) B · A
39. Sean las matrices:
A = y B =
Comprueba que:
(A · B)t = Bt · At
40. Sea A una matriz de 3 filas y 4 columnas (esto es, de di-mensión 3 Ò 4) y C una matriz 2 Ò 3. ¿Cuántas filas y co-lumnas tiene B sabiendo que existe la matriz A · B · C?,¿qué dimensión tiene A · B · C?
41. Sea D una matriz tal que al multiplicarla por su tras-puesta da una matriz de dimensión 1 Ò 1 y el productode la traspuesta de D por D es 3 Ò 3. ¿Cuántas filas ycolumnas tiene D?
42. Una empresa produce tres tipos de artículos,A, B y C.Los precios de coste por unidad son 30 €, 46 € y75 €, respectivamente. Los correspondientes preciosde venta de una unidad de cada artículo son 50 €,80 € y 150 €, respectivamente. El número de unidadesvendidas anualmente es de 2 000, 1 500 y 800, respecti-vamente.
Halla:
a) la matriz fila de costes por unidad.
b) la matriz fila de ventas por unidad.
c) la matriz fila de beneficios por unidad.
d) la matriz columna de unidades vendidas.
e) el beneficio obtenido.)6 0–7 2
5 1()1 2 –30 4 5(
)4–1
7(Para ampliar
46
Ejercicios y problemasEjercicios y problemas propuestos43. Una fábrica produce tres tipos de productos, A, B y C,
que distribuye a cuatro clientes. En el mes de eneroel primer cliente compró 9 unidades de A, 5 de B y2 de C; el segundo cliente, 3 unidades de A, 8 de B yninguna de C; el tercer cliente no compró nada y elcuarto cliente compró 6 de A, 7 de B y 1 de C.
En el mes de febrero, el primer cliente y el segundo du-plicaron el número de unidades que habían comprado enenero; el tercer cliente compró 4 unidades de cada artí-culo, y el cuarto cliente no hizo pedido alguno.
a) Construye la matriz correspondiente a las ventas deenero.
b) Construye la matriz correspondiente a las ventas defebrero.
c) Halla la matriz correspondiente a las ventas de ene-ro y febrero.
d) Si los precios de los artículos son 100 €, 80 € y90 €, respectivamente, calcula lo que factura la fá-
brica por sus pedidos en los meses de enero y fe-brero.
44. Sea la matriz:
A =
Calcula la matriz (A – 2I)2
45. Considera la matriz:
A =
Calcula AtA y AAt, donde At denota la matriz traspues-ta de A
46. Sean las matrices:
A = y B =
Comprueba que (A · B)t = Bt · At (t indica traspuesta)
47. Dada la matriz:
A =
y sea I la matriz identidad de orden 3 y O la matriz nu-la de orden 3, comprueba que:
A2 – A – 2I = O
48. En un centro se imparten los cursos 1º, 2º y 3º de cier-tas enseñanzas. Los profesores tienen asignado semanal-mente un número de horas de clase, tutorías y guardiasque deben cubrir de acuerdo con la siguiente matriz:
M = ( )El centro paga cada hora de clase a 12 €, cada hora deguardia a 3 € y cada hora de tutoría a 6 €, según elvector:
C =
El centro dispone de 5 profesores para primer curso,4 para segundo y 6 para tercero, representados por elvector:
P = (5 4 6)
Calcula cada uno de los siguientes productos de matri-ces e interpreta los resultados.
a) PM b) MC c) PMC
49. Dadas las matrices:
A = e I3 =
calcula: A2 – 4A + 4I3
)1 0 00 1 00 0 1()2 0 0
1 2 10 0 2(
)1236(
clase guardias tutorías
20 5 318 6 522 1 2
1º2º3º
)0 1 11 0 11 1 0(
)1 01 20 –1()–2 0 1
0 1 0(
)0 1 01 0 1(
)2 13 2(
Problemas
47
Tem
a 2
.M
atr
ice
s
Ejercicios y problemas50. Dada la matriz:
A =
calcula 3AAt – 2I, siendo I la matriz unidad de orden 2
51. Una fábrica produce dos modelos de acumuladores decalor, G y P, en tres terminaciones: normal, lujo y espe-cial. del modelo G, produce 500 unidades normales,300 unidades de lujo y 200 especiales. Del modelo P,produce 400 unidades normales, 200 unidades de lujo y100 especiales. La terminación normal necesita 20 ho-ras de fabricación de piezas y 1,5 horas de montaje. Laterminación de lujo necesita 25 horas de fabricación y2 horas de montaje, y la terminación especial necesita30 horas de fabricación y 2,5 horas de montaje.
a) Representa en dos matrices la información dada.
b) Escribe una matriz que exprese las horas de fabrica-ción y de montaje empleadas para cada uno de losmodelos.
c) Si cada hora de fabricación se paga a 15 € y cadahora de montaje a 18 €, escribe una matriz que ex-prese el coste total de los acumuladores G y P
52. Una fábrica de muebles hace mesas (M), sillas (S), y ar-marios (A), y cada uno de ellos en tres modelos: eco-nómico (E), normal (N) y lujo (L). Cada mes producede mesas, 50 E, 40 N y 30 L; de sillas, 200 E, 150 N y100 L; de armarios, 40 E, 30 N y 20 L.
a) Representa esta información en una matriz.
b) Calcula la matriz que da la producción de un año.
Para profundizar
53. Sea la matriz:
A =
Calcula la matriz B tal que A + B = AAT
54. Considera la matriz:
A =
a) Siendo I la matriz identidad 3 Ò 3 y O la matriz nula3 Ò 3, prueba que A3 + I = O
b) Calcula A10
55. Dada la matriz:
A =
halla el valor de a para que se cumpla la igualdad:
A2 + 2A + I = O
siendo I la matriz identidad de orden 3 y O la matriznula de orden 3
)0 0 10 a 0
–1 0 –2(
)0 3 41 –4 –5
–1 3 4(
)1 1 00 1 10 0 1(
)3 10 2(
48
56. Dadas las siguientes matrices:
A = y B =
halla:
A + B; A – B; 2A – 3B; A · Bt
Solución:
a) Escribe A =. Para introducir la matriz, enelige Matriz y se escribe el número
de filas y columnas.
b) Escribe los elementos de la matriz.
c) Introduce, de igual forma, la matriz B
d) Escribe las operaciones A + B, A – B, 2A – 3By A · BT; para escribir la traspuesta, en elige Transponer.
57. Dada la matriz:
A =
calcula A2 y A3
Solución:
Para escribir las potencias, en elige Potencia.
58. Sea la matriz:
A =
a) Prueba que:
A2 – 2A + I = 0
donde I es la matriz identidad y O es una ma-triz con todos los elementos iguales a cero.
b) Calcula A3
59. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemáticas, curso y tema.
)5 –4 22 –1 1
–4 4 –1(
)4 –3 –35 –4 –4–1 1 0(
)2 –3 15 3 4()4 7 –6
–5 0 3(
Paso a paso
Tema 2. Matr ices
49
Tem
a 2
.M
atr
ice
s
60. Calcula A · B, siendo:
A = B =
61. Dadas las matrices:
A = B =
calcula A · B, B · A y comprueba que el productode matrices no es conmutativo.
62. Dadas las matrices:
A = B = C =
comprueba que A · B = A · C y, sin embargo, B ? C
63. Dadas las matrices:
A = B =
comprueba que A · B = O2 Ò 2 y, sin embargo,A ? O2 Ò 2 y B ? O2 Ò 2
64. Calcula A2, A3 y A4, siendo:
A =
65. Dadas las siguientes matrices:
A = B =
calcula:a) A + B b) A – B c) 2A – 3B d) At · B
66. Dada la matriz:
A =
calcula: A2, A3y A4
67. Dadas las matrices:
A = B =
calcula:A2 – 4A + 4I
68. Dada la matriz:
A =
calcula A2 y A3
)1 1 01 1 00 0 1(
)1 0 00 1 00 0 1()2 0 0
1 2 10 0 2(
)–1 0 00 1 00 0 –1(
)–7 8–4 0()1 –3
4 5(
)1 0 01 1 01 0 1(
)9 –12–6 8()2 3
4 6(
)–4 27 5()4 8
3 2()1 22 4(
)2 46 8()1 3
5 7(
)9 0 12 3 4()1 2
3 45 67 8(
Así funcionaIntroducción de matricesPara introducir una matriz, en se elige Matriz. En la ventana Matriz,se escribe en Filas el número de filas de la matriz, y en Columnas, el número decolumnas, y se hace clic en el botón Aceptar.Matriz identidad: en se elige Matriz identidad; en el subíndice hayque escribir la dimensión.
Operaciones con matricesSumar: A + BRestar: A – B Multiplicar un número por una matriz: 2AMultiplicar dos matrices: A · BMatriz traspuesta: en se elige Transponer.Potencia de una matriz: en se elige Potencia.
Linux/Windows
Practica
50
56. Dadas las siguientes matrices:
A = y B =
halla:
A + B; A – B; 2A – 3B; A · Bt
Solución:
a) En la barra de herramientas elige Introdu-cir Matriz; escribe en filas 2 y en columnas 3
b) Introduce los elementos de la matriz A. Parapasar de una celda a la siguiente pulsa la tecla[Tab]
c) Asigna a la letra A el contenido de la matriz. Pa-ra ello, estando seleccionada la matriz en la ven-tana Álgebra, escribe en la Entrada de Expre-siones A := (entre los dos puntos y el signoigual no puede haber espacio) y pulsa la tecla[F3] para que copie a continuación la matriz.
d) Elige Introducir Expresión.
e) De igual forma, introduce la matriz B y asígna-le a la letra B su contenido.
f ) En la Entrada de Expresiones escribe A + B yelige Introducir y Simplificar.
g) En la Entrada de Expresiones escribe A – B yhalla el resultado.
h) En la Entrada de Expresiones escribe 2A – 3By halla el resultado.
i) En la Entrada de Expresiones escribe AB` (elsímbolo de traspuesta es el acento grave fran-cés `; está en la barra de símbolos ) y halla elresultado.
57. Dada la matriz:
A =
calcula A2 y A3
Solución:
a) Introduce la matriz y asigna a la letra A su con-tenido.
b) En la Entrada de Expresiones escribe A^2 yelige Introducir y Simplificar.
c) En la Entrada de Expresiones escribe A^3 yhalla el resultado.
58. Sea la matriz:
A =
a) Prueba que:
A2 – 2A + I = 0
donde I es la matriz identidad y O es una ma-triz con todos los elementos iguales a cero.
b) Calcula A3
Solución:
a) Introduce la matriz y asigna a la letra A su con-tenido.
b) Introduce la matriz unidad 3 Ò 3 y asigna a laletra I su contenido.
c) En la Entrada de Expresiones escribe:
A^2 – 2A + I
y elige Introducir y Simplificar.
59. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Ma-temáticas, curso y tema.
)0 0 00 0 00 0 0(
)5 –4 22 –1 1
–4 4 –1()1 0 0
0 1 00 0 1(
)4 –3 04 –3 11 –1 –1(
)4 –3 –35 –4 –4–1 1 0(
)–19 17–7 –13(
)2 23 –15–25 –9 –6(
)2 10 –7–10 –3 –1(
)6 4 –50 3 7(
)2 –3 15 3 4()4 7 –6
–5 0 3(
Paso a paso
Tema 2. Matr ices
51
Tem
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s
Así funcionaIntroducción de matricesSe elige en la barra de herramientas Introducir Matriz. Aparece la ventana Tamañode la Matriz en el marco Dimensiones; se escribe en Filas el número de filas de la ma-triz, y en Columnas, el número de columnas, y se hace clic en el botón Sí.
Aparece la ventana en la que se introducen loselementos, cada uno en la celda correspondiente.Para pasar a la celda siguiente se pulsa la tecla de tabulación [Tab], y para pa-sar a la celda anterior se pulsan las teclas [Shift] [Tab]. Cuando se termina,se hace clic en el botón Sí.
AsignaciónPara asignar el contenido de una matriz a una letra, se utiliza el signo := (entre los dos puntos y el signo igual no pe-de haber espacio en blanco). La tecla [F3] repite lo que esté seleccionado en la ventana Álgebra en la barra de En-trada de Expresiones, y la tecla [F4] hace lo mismo pero lo copia entre paréntesis.
Operaciones con matricesSumar: A + B Restar: A – B Multiplicar un número por una matriz: 2A Multiplicar dos matrices: A · BMatriz traspuesta: A`; se utiliza el acento grave francés. Se puede obtener en el teclado o en la Barra de Símbolos
Windows Derive
60. Calcula A · B, siendo:
A = B =
61. Dadas las matrices:
A = B =
calcula A · B, B · A y comprueba que el productode matrices no es conmutativo.
62. Dadas las matrices:
A = B = C =
comprueba que A · B = A · C y, sin embargo, B ? C
63. Dadas las matrices:
A = B =
comprueba que A · B = O2 Ò 2 y, sin embargo,A ? O2 Ò 2 y B ? O2 Ò 2
64. Calcula A2, A3 y A4, siendo: A =
65. Dadas las siguientes matrices:
A = B =
calcula:a) A + B b) A – B c) 2A – 3B d) At · B
66. Dada la matriz:
A =
calcula: A2, A3 y A4
67. Dadas las matrices:
A = B =
calcula: A2 – 4A + 4I
68. Dada la matriz:
A =
calcula A2 y A3
)1 1 01 1 00 0 1(
)1 0 00 1 00 0 1()2 0 0
1 2 10 0 2(
)–1 0 00 1 00 0 –1(
)–7 8–4 0()1 –3
4 5(
)1 0 01 1 01 0 1(
)9 –12–6 8()2 3
4 6(
)–4 26 8()4 8
3 2()1 22 4(
)2 46 8()1 3
5 7(
)9 0 12 3 4()1 2
3 45 67 8(
Practica
