Astrodinamica_22

E. Lorenzini Astrodinamica 1

Il volo spaziale in formazione 1

Sabol C., Burns R., McLaughlin C.A., “Satellite Formation Flying Design and Evolution.” Journal of Spacecraft and Rockets, Vol. 38, No. 2, pp. 270-278, 2001

Alfriend T., Dynamics and Control of Formation Flying Satellites in Earth Orbit, Lezione, Barcelona


Satelliti in formazione • Un gruppo di satelliti che volano ravvicinati e in modo

cooperativo, in alcuni casi mantenendo una distanza fissa fra loro �� Vantaggi��

- aumento della flessibilitá operativa ��- riduzione dei costi��- incremento della risoluzione angolare��- degradamento non letale, ridondanza��- possibilitá di lancio multiplo Svantaggi��

- maggior difficoltá di controllo ��- maggior consumo di propellente ��- aumento delle comunicazioni fra satelliti


Satelliti in formazione • In generale, la finalitá di usare il volo in formazione é di rendere il

sistema piú performante avvalendosi delle caratteristiche pertinenti a un sistema distribuito di satelliti

• Miglioramenti resi possibili dalle formazioni di satelliti sono: - aumento della risoluzione angolare nelle osservazioni mediante uso di tecniche interferometriche - aumento della superficie di raccolta del segnale mediante uso di piú aperture per la ricezione del segnale - migliore correlazione temporale fra rilevazioni fatte in punti separati nello spazio ma contemporanee - migliore correlazione spaziale fra osservazioni dello stesso punto a terra, fatte in tempi diversi (e.g., usando una formazione con la stessa traccia al suolo) - uso di tecniche per la cancellazione del segnale/rumore proveniente da sorgenti indesiderate (i.e., nulling interferometer)


Esempi di missioni con formazioni di satelliti Nome Agenzia Finalitá Stato

Cluster II ESA Mappatura 3D della magnetosfera in orbita

GRACE NASA/DLR Mappatura gravitazionale in orbita

ESSP Cena/Acqua NASA Osservazione della terra in orbita

SPHERES NASA/DARPA Dimostratore tecnologico sulla ISS

TPF-I NASA Ricerca di pianeti extrasolari prevista

LISA ESA Detezione onde gravitazionali prevista

DARWIN ESA Ricerca di pianeti extrasolari prevista

Constellation-X NASA Astronomia in banda X ad alta risoluzione angolare

prevista

SPECS NASA Osservazione dell’universo in IR ad alta risoluzione angolare

prevista


Il riferimento orbitante

• Utilizziamo le equazioni CW (espresse nello sro) per studiare il moto relativo delle formazioni di satelliti

• Il sistema é composto da piú satelliti vicini e quindi le equazioni CW si prestano allo studio del volo in formazione

•  Assumiamo il sistema di riferimento orbitante (sro) centrato su un satellite di riferimento A (hub) con l’asse x lungo il raggio r, l’asse y sul piano orbitale nella direzione del moto e l’asse z perpendicolare al piano orbitale

!

rrel = "xˆ i + "yˆ j + "z ˆ k


Le equazioni di Clohessy-Wiltshire •  Riscriviamo le equazioni CW

!

"˙ ̇ x # 3n2"x # 2n"˙ y = 0 radiale"˙ ̇ y + 2n"˙ x = 0 lungo l'orbita

"˙ ̇ z + n2"z = 0 fuori dell'orbita

!

con n =µr0

3

•  Ipotesi alla base delle equazioni CW qui sopra: - orbita circolare del sistema di riferimento - distanze relativamente piccole fra satelliti (rispetto al raggio dell’orbita) - gravitá sferica (nel caso qui sopra); gli effetti dei termini gravitazionali superiori possono peró essere introdotti come perturbazioni esterne

•  Le equazioni CW sono utilizzate nel volo in formazione come strumento di analisi preliminare. Analisi piú raffinate sono fatte con modelli di moto orbitale non linearizzati ed includendo le perturbazioni orbitali rilevanti

•  Per annullare il termine secolare nella seconda equazione, che porterebbe alla rapida dissoluzione della formazione, si deve avere


La soluzione delle equazioni CW •  In definitiva la soluzione delle equazioni CW per la posizione relativa r

fra due satelliti della formazione é come segue

!

"x ="˙ x 0n

sinnt # 3"x0 + 2"˙ y 0n

$

% &

'

( ) cosnt + 4"x0 + 2"

˙ y 0n

"y = 2"˙ x 0n

$

% &

'

( ) cosnt + 6"x0 + 4 "

˙ y 0n

$

% &

'

( ) sinnt # 6n"x0 + 3"˙ y 0( )t # 2"

˙ x 0n

+ "y0

"z ="˙ z 0n

$

% &

'

( ) sinnt + "z0 cosnt

•  Questa condizione equivale ad avere orbite (separate) con la stessa energia e quindi con lo stesso semiasse maggiore come abbiamo visto per il fly around

!

"˙ y 0 = #2"x0n

termine secolare


Moto relativo •  In assenza del termine secolare (posto = 0) lo spostamento relativo del

generico satellite della formazione rispetto alla terna di riferimento (satellite hub) é dato da

!

"x ="˙ x 0n

sinnt + "x0 cosnt

"y = 2"˙ x 0n

#

$ %

&

' ( cosnt ) 2"x0 sinnt ) 2"

˙ x 0n

+ "y0

"z ="˙ z 0n

#

$ %

&

' ( sinnt + "z0 cosnt

•  In generale, la linearizzazione delle equazioni CW porta al disaccoppiamento fra il moto nel piano e quello fuori dal piano (che sono invece debolmente accoppiati nel caso non lineare)


Il moto‘naturale’ •  Il moto nel piano x-y, nel caso di assenza del termine secolare, é

descritto dall’equazione

!

"x2

C2 +"˜ y 2

4C2 = 1 con C = "x02 + "˙ x 0 /n( )2

• Questa equazione descrive un’ellisse con eccentricitá ��centrata in [0, 0, yc] con un semiasse maggiore (nella direzione di volo) = 2C e un semiasse minore (nella direzione radiale) = C

•  Tutte le formazioni ‘naturali’ (cioé senza controllo) di satelliti devono proiettare questo moto ellittico nel piano x-y

•  Il moto fuori del piano é un moto periodico con periodo n e la combinazione del moto ellittico nel piano x-y e quello periodico fuori del piano orbitale descrive una famiglia di moti ellittici tipica delle formazioni naturali

!

e = 3 /2 = 0.866

!

"˜ y = "y # yc con yc = "y0 # 2"˙ x 0 /n


Condizioni iniziali •  La soluzione delle equazioni CW ha bisogno di sei condizioni iniziali (per

ogni satellite) espresse o in termini Cartesiani o Kepleriani:��- la prima condizione é definita dall’annullamento del moto secolare��- la seconda condizione, che lega la δy0 alla , definisce l’offset del moto relativo ellittico nel piano x-y��- le altre quattro condizioni definiscono la dimensione, orientazione e posizione iniziale del satellite nell’elllisse del moto relativo ��

Configurazioni particolari •  Consideriamo in seguito quattro configurazioni particolari:��

- in linea��- con la stessa traccia ��- circolare ��- circolare proiettata

!

"˙ y 0

!

"˙ x 0


Formazione in linea •  La formazione in linea é la piú semplice; consiste in un gruppo di satelliti

(minimo due) che si inseguono sulla stessa orbita e sono separati dall’ anomalia media M = nt (uguale a quella vera per orbita circolare)

•  La soluzione delle equazioni CW (per un satellite rispetto a quello di riferimento) per orbita circolare é semplicemente data da

!

"x(t) = 0"y(t) = "y0"z(t) = 0

dove δy0 rappresenta la separazione fra i due satelliti che é legata all’anomalia media da ΔM = δy0/a con a il semiasse maggiore

• La separazione rimane costante per orbita circolare in assenza di perturbazioni differenziali


Formazione in linea - GRACE •  Due satelliti che si inseguono sulla stessa orbita circolare,

quasi polare, ad una distanza δy0 ≈ 220 km (distanza che puó essere variata secondo le esigenze di missione)

• Finalitá: ��mappatura del campo gravitazionale misurando con un radar le variazioni di distanza e velocitá relativa fra i 2 satelliti

Mappatura del campo con satellite-‐to-‐satellite tracking •  GRACE (NASA e DLR) Gravity Recovery and Climate EvoluBon: -‐ due satelliB che si inseguono sulla stessa orbita circolare con una separazione di 220 km ± 50 km ad una quota di 450-‐500 km -‐ satellite-‐to-‐satellite tracking con radar in banda K-‐Ka a due frequenze di trasmissione 24 GHz e 32 GHz con un’accuratezza di distanza rela3va di pochi µm e 1 µm/s in velocitá rela3va -‐ accelerometri sui due satelliB sono usaB per misurare le accelerazioni non-‐ gravitazionali e quindi rimuovere i disturbi (rumore) non gravitazionali

• I due satelliB lanciaB il 17 marzo 2002 da Plesetsk (Russia) su un orbita con 89° di inclinazione

• UBlizzano ricevitori GPS per determinare la loro posizione assoluta con un’accuratezza di 6-‐8 m

• La sBma di posizione assoluta é migliorata a 1 cm con misure di laser tracking da terra quando i satelliB sono in vista del laser

Astrodinamica 13

SatelliB GRACE

accelerometro

Sistema di controllo posizione CM

sensori stellari

Astrodinamica 14


Formazioni con la stessa traccia •  In una formazione con la stessa traccia, i satelliti hanno tutti la stessa

traccia al suolo; per ottenere ció devono avere orbite leggermente diverse con ascenzioni rette del nodo ascendente leggermente diverse

•  La soluzione é simile a quella delle formazioni in linea ma con una oscillazione nel moto fuori piano fornita dalle differenti ascenzioni rette

•  La soluzione delle equazioni CW in questo caso e per orbite circolari é

!

"x(t) = 0"y(t) = "y0"z(t) = "z0 cosnt = (#e /n)"y0 sinicosnt

• L’oscillazione lungo l’asse z, funzione della velocitá di rotazione terrestre ωe, e della separazione δy0 garantisce la stessa traccia al suolo ai satelliti

E. Lorenzini 16

Formazioni con la stessa traccia • La figura illustra il ruolo della differenza dell’ascenzione retta ΔΩ nel fornire

la stessa traccia al suolo dei due satelliti •  Esprimendo la differenza fra le anomalie medie dei due satelliti in funzione

del tempo e calcolando poi la differenza delle ascenzioni rette affinché il satellite inseguitore si trovi sullo stesso punto al suolo dopo il tempo Δt si ha

!M = "y0 / a

!t = !M / n( ) = "y0an

!# =$e!t =$e"y0an

="z0asin i

"z0 = ($e / n)"y0 sin i

• Le formazioni con la stessa traccia al suolo sono particolarmente interessanti per l’osservazione della terra

Formazione con la stessa traccia •  Ricaviamo di nuovo la

condizione iniziale dz0 per il caso di orbita con inclinazione i


!" =#e!t !!!!ascenzione!retta!differenziale!M = n!t !!!!!anomalia!media!differenziale$z0 = a!"sin i = a#e!t sin i$y0 = a!M = an!t

$z0 =#e

n$y0 sin i

δz0

z

y Equatore terrestre

ωe

i δy0 S2

S1 aΔΩ

Formazione con la stessa traccia


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