Astrofizică stelarăCursul 4

Victor E. Ambrus,

Universitatea de Vest din Timis,oara

Cont, inutul cursului

Capitolul III. Transferul radiativ

I III.1. Radiat, ia electromagnetică.I III.2. Proprietăt, ile câmpului radiativ.I III.3. Ecuat, iile Boltzmann s, i Saha.I III.4. Lărgirea liniilor spectrale.I III.5. Ecuat, ia transferului radiativ.I III.6. Ecuat, iile Schwarzschild-Milne.I III.7. Atmosfera gri. Formarea liniilor spectrale.

III.1. Radiat, ia electromagnetică.III.1.1. Ecuat, iile Maxwell.

I Radiat, ia electromagnetică se propagă conform ecuat, iilor Maxwell,

∇ · D =ρ, ∇× E =− ∂B∂t,

∇× H =∂D∂t

+ j, ∇ · B =0. (1)

I Ec. Maxwell trebuie suplimentate cu următoarele ecuat, ii auxiliare:

D =ε0E + P = εE, B =µH, j =σE, ∂tρ+∇ · j =0.

I În cazul absent, ei purtătorilor de sarcină liberi (ρ = 0), rezultă

µε∂2E

∂t2+ µσ

∂E

∂t−∇2E = 0. (2)

I Conductivitatea σ depinde de relat, ia dintre λrad s, i drumul libermijlociu al purtătorilor de sarcină.

I În ionosfera terestră, σ ' 0 pentru ν mari, ı̂n timp ce undele radiosunt puternic atenuate.

I Radiat, ia cu λ suficient de mare e absorbită de mediul interstelar.

III.1.2. Vectorul Poynting.I Ecuat, iile Maxwell pot fi rearanjate pentru a obt, ine:

∂tu = −σE2 −∇ · S,I unde densitatea de energie u a câmpului e.m. s, i vectorul Poynting

S au expresia:

u =1

2(εE2 + µH2), S = E× H. (3)

I Aplicând teorema Gauss-Ostrogradski rezultă:∫V

∂u

∂tdV = −

∫V

σE2dV −∮∂V

S · ds. (4)

I Primul termen din dreapta reprezintă energia cinetică transmisăcătre sarcinile din mediu.

I Al doilea termen corespunde fluxului de energie e.m. radiată prinsuprafat, a volumului V .

I Rezultă că S reprezintă densitatea de flux de energie e.m.I Densităt, ii de energie ı̂i corespunde presiunea izotropă

P =1

3u =

1

6(εE2 + µH2). (5)

III.1.3. Undele electromagnetice ı̂n vid

I Să considerăm o undă plană ce se propagă de-a lungul axei x .I Presupunând frontul de undă infinit, derivatele după y s, i z se

anulează, astfel că:

∂xEx =0, ∂tEx =0, ∂xEy =− µ∂tHz , ∂xEz =µ∂tHy ,∂xHx =0, ∂tHx =0, ∂xHy =ε∂tEz , ∂xHz =− ε∂tEy .

I Ecuat, iile de mai sus implică că dacă unda se propagă de-a lunguldirect, iei n avem H =

1µc n× E, unde c = 1/

√µε.

I Deoarece S = E× H, rezultă că n = S/|S|.I Deoarece E s, i H sunt ⊥ n, undele e.m.

se numesc unde transversale.

I Pentru unda plană polarizată liniar:

Ex =Ez = 0, Ey =E0 cos(ωt − kx),

Hx =Hy = 0, Hz =k

µωE0 cos(ωt − kx),

ı̂n timp ce relat, ia de dispersie este ω2 = k2/µε.

c4-emw.aviMedia File (video/avi)

III.1.4. Radiat, ia emisă de distribut, ii localizate de sarcini.I Studiul radiat, iei emise de sarcini ı̂n mis, care se face folosind

potent, ialele retardate.

I Pornind de la ec. Maxwell, se poate introduce potent, ialulAµ = (φ/c ,A), astfel ı̂ncât:

E = −∇φ− ∂tA, B = ∇× A. (6)

I Impunând condit, ia Lorenz ∂µAµ = 1c2 ∂tφ+∇ · A = 0, rezultă:

1

c2∂2t A

µ −∇2Aµ = µ0jµ, (7)

unde jµ = (ρc , j) reprezintă curentul de sarcină.

I Solut, ia acestei ecuat, ii se poate scrie:

Aµ(x, t) =µ04π

∫d3x ′

∫dt ′

jµ(x′, t ′)

|x− x′|δ

(t ′ − t + 1

c|x− x′|

), (8)

de unde se deduce că Aµ ı̂ntr-un punct x la un moment t estedeterminat de distribut, ia de sarcini s, i curent, i la un moment de timpt − |x− x′|/c anterior.

I Să considerăm transformata Fourier a densităt, ii de curent, precum s, ia potent, ialului:(

jµ(x, t)Aµ(x, t)

)=

∫ ∞−∞

dω e−iωt(

jµω (x)Aµω(x)

). (9)

I Ecuat, ia de continuitate ∂µjµ = 0 s, i condit, ia Lorenz ∂µAµ = 0implică:

∇ · jω = iωρω, ∇ · Aω =ik

cφω, k =

ω

c. (10)

I Integrala după t ′ din ec. (8) se poate efectua:

Aµω(x) =µ04π

∫d3x ′

jµω (x′)

|x− x′|e ik|x−x

′|. (11)

I Folosind ec. (6), rezultă:

Bω = ∇× Aω, Eω = −∇φω + iωAω. (12)

I Să considerăm o distribut, ie de sarcină localizată ı̂ntr-un domeniu dedimensiune d redusă comparativ cu lungimea de undă λ = 2π/k aradiat, iei emise (kd � 1).

I În cazul când observatorul se află departe de sursă (r/d � 1), sepot efectua următoarele aproximat, ii (n = x/r):

|x− x′| = r − n · x′ + O(r−1), e ik|x−x′| = e ikr (1− ikn · x′ + . . . ),

1

|x− x′|=

1

r

[1 +

n · x′

r+ O(r−2)

]. (13)

I Rezultă pentru Aµω:

Aµω(x) =µ0e

ikr

4πr

∫d3x ′ jµω (x

′)

[1− ikn · x′

(1− 1

ikr

)+ . . .

]. (14)

I Mai departe, vom folosi sarcina totală Qω, momentele de dipolelectric dω s, i magnetic mω, precum s, i momentul de cuadrupolelectric Qij ;ω, definite prin: Qωdω

Qij ;ω

= ∫ d3x ′ ρω(x′) 1x′

3x ′i x′j − r ′2δij

,mω =

1

2

∫d3x ′ [x′ × jω(x′)]. (15)

I Dezvoltarea lui φω rezultă imediat:

φω(x) =1

4πε0re ikr

[Qω − (ik − r−1)n · dω + . . .

]. (16)

I Substituind relat, ia de mai sus ı̂n ec. (9) rezultă:

φ(x, t) =1

4πε0r

[Q(t ′)− 1

cn · ḋ(t ′) + 1

rn · d(t ′) + . . .

], (17)

unde t ′ = t − r/c iar ḋ(t ′) = ∂td(t ′) = ∂t′d(t ′).I Din moment ce sarcina totală se conservă, Q nu depinde de timp,

astfel că momentul de monopol al lui φ e constant.

I T, inând cont că ∇r = n, ∇f (t − r/c) = −nḟ /c s, i∇(n · a) = [a− n(n · a)]/r − n(n · ȧ)/c , rezultă:

−∇φ(x, t) = nQ4πε0r 2

− n(n · d̈)4πε0rc2

− ḋ− 3n(n · ḋ)4πε0r 2c

− d− 3n(n · d)4πε0r 3

+. . . .

(18)

I Primul termen corespunde potent, ialului Coulombian generat de osarcină Q plasată ı̂n origine, ı̂n timp ce al doilea termen inducecâmpul de radiat, ie.

I Pentru a exprima pe Aω, se utilizează următorul truc:∫d3x (∇ · a)x = −

∫d3x a.

I Aplicând trucul de mai sus pentru a = jω, respectiv pentrua = jω(n · x), rezultă:∫

d3x ′ jω(x′) = −iω

∫d3x ′ρω(x

′) x′,∫d3x ′[jω(n · x′) + (n · jω)x′] = −iω

∫d3x ′ ρω(x

′)(n · x′) x′.

I Notând I 2ω =∫

d3x ρω x2, dezvoltarea lui Aω rezultă imediat:

Aω(x) =µ0

4πre ikr

{− iωdω + (ik − r−1)n×mω

+iω

6(ik − r−1)[Qω(n) + I 2ωn] + . . .

}. (19)

I Substituind relat, ia de mai sus ı̂n ec. (9) rezultă:

A(x, t) =µ0

4πr

[ḋ + ṁ× n + 1

6cQ̈(n) +

1

6cÏ 2n + O(r−1)

]. (20)

I Utilizând ∇× a(t − r/c) = −n× ȧ/c s, i ∇× n = 0, se poate obt, ine:

H = −n× d̈4πrc

+n× (n× m̈)

4πrc2− n×

...Q

24πrc2+ O(r−2). (21)

I În expresia de mai sus, termenul de dipol electric este dominant.

I Se vede că direct, ia de propagare a undei este n.

I T, inând cont că E = µ0cH× n s, i H = ε0cn× E pentru undaelectromagnetică, vectorul Poynting are expresia:

S = E× H = µ0cH2n = ε0cE2n = ucn. (22)

I Puterea totală radiată se obt, ine după cum urmează:

P =

∮Σ

S ·Σ =∫

dΩ r 2S . (23)

I Pentru cazul când d̈ 6= 0, avem:

Pdipol =1

4πε0

2

3c3d̈2 (24)

I Dacă sistemul constă din particule cu aceeas, i sarcină specifică q/m,d̈ = 0 s, i ṁ = 0:

d̈ =q

m

∑i

mi r̈i = 0, ṁ =q

2m

d

dt

∑i

mi ri × vi = 0, (25)

unde ı̂n prima ecuat, ie s-a presupus că asupra sistemului nuact, ionează fort, e exterioare, iar a doua ecuat, ie reprezintă conservareamomentului cinetic.

I În acest caz, termenul dominant ı̂n H devine cel de cuadrupol:

H = − 124πrc2

n×...Q. (26)

I Puterea totală radiată este:

Pcuadrupol =1

4πε0

...Q

2

54c5. (27)

I Datorită factorului c5 din numitor, Pcuadrupol � Pdipol.I În cazul moleculei de H2, ale cărei simetrii inhibă emisia de dipol,

radiat, ia de cuadrupol este dominantă. Fiind foarte slabă, aceasta nua putut fi detectată decât după rafinarea suficientă a detectorilor ı̂ninfraros, u, cu ajutorul cărora s-au evident, iat cantităt, i considerabile deH2 ı̂n spat, iul interstelar.

III.1.5. Împrăs, tierea Thomson.I Împrăs, tierea Thomson se referă la ı̂mprăs, tierea radiat, iei

electromagnetice pe sarcinile libere.

I Fort, a electromagnetică indusă de o undă care se propagă pe direct, ianin = k asupra unei sarcini electrice q este:

FL = qEin +q

cv × (nin × Ein) = mr̈. (28)

I În cazul ı̂n care Ein este suficient de mic, energia transmisă particuleinu este suficient de mare pentru a o accelera la viteze relativiste. Înacest regim, termenul magnetic este neglijabil.

I Momentul dipolar rezultant satisface:

d̈ =q2

mEin. (29)

I Vectorul Poynting corespunzător radiat, iei emise de acest dipol pedirect, ia nrad fat, ă de centrul de sarcină este:

Srad =(nrad × d̈)2

16π2ε0r 2c3nrad =

q4/m2

16π2ε0r 2c3(nrad × Ein)2nrad. (30)

I Intensitatea radiat, iei pe direct, ia nrad(θ, ϕ) este

dI = |Srad|r 2dΩ = ε0r 2clcE 2in sin2 γdΩ, rcl =q2

4πε0mc2, (31)

unde γ reprezintă unghiul dintre Ein s, i nrad iar rcl reprezintă razaclasică a unei particule de sarcină q s, i masă m.

I Este convenabilă exprimarea intensităt, ii radiat, iei ı̂n funct, ie deintensiatea fluxului incident, |Sin| = ε0cE 2in:

I (nrad) =dσ

dΩ|Sin|,

dσ

dΩ≡ dσ

dΩ(nrad|nin) = r 2cl sin2 γ, (32)

dσ/dΩ reprezintă sect, iune diferent, ială eficace de ı̂mprăs, tiere.I Radiat, ia totală ı̂mprăs, tiată se obt, ine integrând după direct, ia lui nrad:

I =

∫dΩ I (nrad) = σTh|Sin|, σTh =

∫dσ(θ, ϕ)

dΩdΩ =

8π

3r 2cl,

(33)unde sect, iunea eficace totală de ı̂mprăs, tiere poartă numele desect, iune Thomson, având valorile:

Electroni : σe '66, 5 fm2 (rcl ' 2, 82 fm),Protoni : σp '19, 73× 10−6 fm2 (rcl ' 0, 0015 fm). (34)

I În urma ı̂mprăs, tierii Thomson, frecvent, a radiat, iei nu se schimbă.I Sect, iunea diferent, ială eficace dσ(θ, ϕ)/dΩ s, i sect, iunea eficace totalăσTh nu depind de frecvent, a radiat, iei incidente.

I Intensitatea radiat, iei ı̂mprăs, tiate pe direct, ia de polarizare a undeiincidente este nulă datorită factorului Ein × nrad.

I Pe direct, iile perpendiculare pe polarizarea incidentă, radiat, ia emisăeste polarizată pe aceeas, i direct, ie (nrad · Ein = 0):

Erad =Hrad × nrad

ε0c=

rclr

nrad × (nrad × Ein) = −rclr

Ein.

I Când radiat, ia incidentă este nepolarizată, luăm nin = k s, i:

nrad = i sin θ cosϕ+ j sin θ sinϕ+ k cos θ,

Ein = Ein(i cosϕin + j sinϕin).

I Utilizând 〈cos2 ϕin〉 = 〈sin2 ϕin〉 = 12 , rezultă:

dσ(θ, ϕ) = r 2cl1 + cos2 θ

2dΩ. (35)

I Rezultă că radiat, ia Thomson are valori maxime pe direct, iile ı̂naintes, i ı̂napoi fat, ă de direct, ia de propagare a undei incidente.

III.1.6. Împrăs, tierea Rayleigh.I Împrăs, tierea Rayleigh se referă la ı̂mprăs, tierea luminii pe sarcini

legate.

I Să considerăm efectul unei unde electromagnetice cu nin = k asupraunui electron legat ı̂ntr-un sistem având frecvent, a naturală ω0:

r̈ + ω20r =e

mE. (36)

I Sarcina va efectua oscilat, ii fort, ate cu frecvent, a ω a undei e.m.incidente:

r =eE

m

1

ω20 − ω2. (37)

I Rezultă momentul de dipol d = er, având derivata a doua dată de:

d̈ =e2

m

E

1− ω20/ω2. (38)

I Rezultă sect, iunea diferent, ială eficace:

σ =σTh

(1− ω20/ω2)2. (39)

I Pentru ω � ω0, electronul se comportă ca ı̂n cazul liber s, i ec. (39)se reduce la σ = σTh.

I Când ω0 � ω se obt, ine sect, iunea diferent, ială eficace a luiRayleigh:

σRa =σThω

4

ω40=

8πr 2cl3

ω4

ω40. (40)

I Împrăs, tierea Rayleigh apare ı̂n atmosfera terestră, legătura puternicădintre e− s, i atomii gazdă traducându-se prin ω0 > ω.

I Comparând σRa pentru lumina albastră (λ = 380–500 fm) s, i pentrucea ros, ie (λ = 620–750 fm), rezultă

σRa(λ = 380 nm)

σRa(λ = 750 nm)' 15, 17. (41)

I Deoarece ı̂n atmosfera terestră lumina albastră emisă de Soare esteı̂mprăs, tiată mai puternic decât culorile mai ros, ii, cerul capătă oculoarea albastră.

III.1.7. Efectul Doppler

I Radiat, ia electromagnetică se propagă prin intermediul fotonilor(c ∼ 3× 108 m/s).

I O sursă care se mis, că cu viteza relativă βV = V /c fat, ă de unobservator emite un foton având cuadriimpulsulkµ′

= ~[2πν′/c , k′]T de normă nulă:∣∣k′∣∣ = 2πν′/c .

I În sistemul laboratorului kµ = Lµν′kν′, unde matricea de

transformare Lorentz pentru cazul când mis, carea relativă are locde-a lungul axei z este:

Lµν′ =

Γ 0 0 βV Γ0 1 0 00 0 1 0βV Γ 0 0 Γ

.I Rezultă

ν = Γν′(1 + βV cos θ′), (42)

unde cos θ′ = kz′/∣∣k′∣∣ = ckz′/2πν′.

I Relat, ia (42) reprezintă efectul Doppler relativist.

Aberat, ia luminiiI Să studiem unghiul de incident, ă măsurat fat, ă de cel de emisie.I Fie k⊥ =

√(kx)2 + (ky )2 = k sin θ s, i k|| = k

z = k cos θ, undek = 2πν/c .

I Rezultă că unghiul de incident, ă θ măsurat ı̂n sistemul laboratoruluiva fi dat de:

sin θ =sin θ′

Γ(1 + βV cos θ′), cos θ =

cos θ′ + βV1 + βV cos θ′

. (43)

I Relat, ii de mai sus se pot inversa:

sin θ′ =sin θ

Γ(1− βV cos θ), cos θ′ =

cos θ − βV1− βV cos θ

. (44)

I Diferent, ă ∆θ = θ′ − θ poartă numele de unghi de aberat, ie aluminii, având pentru βV � 1 expresia:

∆θ ∼ βV sin θ. (45)

I Cu ajutorul relat, iilor (44) se poate găsi relat, ia

ν =Γν′

1− βV cos θ. (46)

III.1.8. Efectul Poynting-Robertson.

kθ′

k′

p

y

x

I Să considerăm impactul dintre un fotonemis de Soare s, i o particulă de praf ı̂norbită circulară ı̂n jurul Soarelui.

I Alegând SC ca ı̂n figură, fotonulare ı̂n SL kµ = (hν/c , 0, ~k , 0)Tiar praful are pµi = mcγ(1,−β, 0, 0)T .

I În sistemul propriu al particulei, impulsulfotonului devine

kµ′

= Lµ′

µkµ =

hν

c

γβγ10

, Lµ′µ =γ βγ 0 0βγ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

.I În urma interact, iunii, p

µ′

∗ = pµ′

+ kµ′

= (mc + ~kγ, ~kβγ, ~k , 0)T .I Deoarece absorbt, ia fotonului este o interact, iune plastică, masa

particulei se modifică, astfel ı̂ncât pµ′

∗ = m∗cγ∗(1, βx∗ , β

y∗ , 0)T , unde

m∗ = m√

1 + 2αγ, γ∗ =1 + αγ√1 + 2αγ

, β∗γ∗ =αβγ√

1 + 2αγ,

unde α = hν/mc2 reprezintă raportul dintre energia fotonului s, imasa de repaus a particulei.

III.1.8. Efectul Poynting-Robertson.I Se observă că m∗ > m, deoarece parte din energia fotonului a fost

absorbită sub formă de energie internă.

I Impulsul radial imprimat duce la o mis, care oscilatorie a particulei ı̂njurul pozit, iei sale de echilibru.

I În absent, a componentei radiale a impulsului, dezexcitarea se face ı̂nmod izotrop, ı̂n sistemul propriu al particulei excitate.

I Emisia izotropă este deformată astfel ı̂ncât componenta radială aimpulsului să se anuleze.

I Pentru modelarea acestui proces, efectuăm o transformare Lorentzcătre sistemul ı̂n care componenta azimutală se anulează:

pµ′′

∗ = Lµ′′µ′p

µ′

∗ = mc(√

1 + 2αγ + α2, 0, α, 0)T ,

Lµ′′

µ′ =

γx∗ −βx∗γx∗ 0 0−βx∗γx∗ γx∗ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

,γx∗ =

1 + αγ√1 + 2αγ + α2

, βx∗γx∗ =

αβγ√1 + 2αγ + α2

. (47)

I Emisia de fotoni are ca efect transformarea lui pµ′′

∗ ı̂n

pµ′′

f = pµ′′

∗ − δkµ′′

∗ = mc(1, 0, 0, 0)T , unde

δkµ′′

∗ = (√

1 + 2αγ + α2 − 1, 0, α, 0)T .I Trecând ı̂napoi ı̂n sistemul laboratorului, avem

pµf = Lµ′µLµ′′

µ′pµ′′

f = mcγγx∗

1− ββx∗−β + βx∗

00

, (48)unde matricile Lorentz au expresiile

Lµ′′µ′ =

γx∗ β

x∗γ

x∗ 0 0

βx∗γx∗ γ

x∗ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

, Lµ′µ =

γ −βγ 0 0−βγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

.I Variat, ia momentului cinetic este dată de:

δMz = −R(pxf − pxi ) = −Mzi

(1− 1√

1 + 2αγ + α2

)' − hνγ

mc2Mzi ,

(49)unde Mzi = mcβγR este momentul cinetic ı̂naintea interact, iunii cufotonul.

I Înmult, ind ec. (49) cu numărul de fotoni dNν/dt având energia hνemis, i ı̂n unitatea de timp, se obt, ine:

δdMz

dt= − Iν(∆Ω)δνγ

mc2Mz , (50)

unde Iν(∆Ω)δν reprezintă intensitatea radiat, iei emise ı̂n intervalulde frecvent, ă δν centrat pe ν, ı̂n unghiul solid ∆Ω sub̂ıntins departicula de praf.

I Integrând ec. (50) după toate frecvent, ele s, i presupunând că emisiaenergetică stelară este izotropă, se obt, ine:

dMz

dt= − σp

4πR2γL�mc2

Mz , (51)

unde L� reprezintă luminozitatea totală a stelei, R este raza orbiteigrăuntelui iar σp reprezintă sect, iunea eficace totală de ciocnire(σp = πr

2 pentru un grăunte sferic de rază r care absoarbe tot, ifotonii incident, i).

I Relat, ia (51) reprezintă expresia matematică a efectuluiPoynting-Robertson: particulele de praf care orbitează o stea pierdmoment cinetic ı̂n urma interact, iunii cu fotonii emis, i de aceasta.

III.1.9. Efectul Compton s, i efectul Compton invers.I Efectul Compton se referă la transferul energiei dinspre un foton

energetic spre o particulă ı̂ncărcată (electron) prin procesul deı̂mprăs, tiere Compton.

I Prin efectul Compton invers, sarcini energetice transmit energiefotonilor infraros, ii.

I Cele două efecte sunt echivalente, clasificarea procesului depinzândde sistemul de referint, ă inert, ial ı̂n care se face observat, ia.

I Vom trata ef. Compton ı̂n sistemul ı̂n care e− este init, ial ı̂n repaus.I Conservarea energiei s, i a impulsului impune:

mc2 + hν =mγc2 + hν′,

hν

c=

hν′

ccos θ + mγv cosφ,

hν′

csin θ =mγv sinφ. (52)

I Se obt, ine lungimea de undă λ′ = c/ν′ a fotonului ı̂mprăs, tiat:

λ′ = λ+ 2λc sin2 θ

2, λc =

h

mc. (53)

I Lungimea Compton a electronului este λc ' 0, 0242 Å.

I Pentru λ ∼ 5000 Å (lumină vizibilă), ∆λ ∼ 0, 05 Å (neglijabil).I Pentru λ ∼ 0, 5 Å (raze X), ∆λ/λ ∼ 0, 1 (semnificativ).I Sect, iunea eficace pentru ı̂mprăs, tierea Compton trebuie calculată

folosind electrodinamica cuantică, rezultatul fiind exprimat prinformula Klein-Nishina:

σc = 2πr2e

{1 + α

α2

[2(1 + α)

1 + 2α− 1α

ln(1 + 2α)

]+

1

2αln(1 + 2α)− 1 + 3α

(1 + 2α)2

}, (54)

unde re = e2/4πε0mc

2 = 2, 82× 10−15 m este raza clasică aelectronului iar α = hν/mc2 reprezintă raportul dintre energiafotonului incident s, i cea a electronului.

I σc are următorul comportament asimptotic:

σL =σe

{1− 2α + 26

5α2 + . . .

}, α�1(energii mici),

σH =3σe8α

(ln 2α +

1

2

), α�1(energii mari), (55)

unde σe = 8πr2e /3 este sect, iunea eficace Thomson.

I Deoarece λc ∼ m−1, procesul este mult mai put, in semnificativpentru protoni decât pentru electroni.

I Fiindcă hν � energia de ionizare a atomilor, fotonii energeticiinteract, ionează cu electronii unui atom ca s, i când aces, tia ar fi liberi,sect, iunea eficace crescând cu un factor de Z .

I În cazul efectului Compton invers, electronul incident are viteza v iarfotonul are lungimea de undă λ.

I În urma unei transformări Lorentz către sistemul propriu al e−, λdevine:

λD = λ

√c − vc + v

=λ

γ(1 + β). (56)

I Aplicând formula (53) pentru cazul ı̂mprăs, tierii ı̂napoi (sin2 θ

2 = 1),rezultă lungimea de undă a fotonului ı̂mprăs, tiat ı̂n sistemullaboratorului:

λs ' λc − vc + v

+ 2λc

(c − vc + v

)1/2' λ

2γ2+

√2

γλc , (57)

unde ı̂n dreapta s-a luat limita ultrarelativistă.I Energia electronilor care emit radiat, ie de sincrotron este puternic

limitată de pierderi prin efect Compton invers.I Razele γ cu hν ∼ 10TeV emise de Markarian 501 e posibil să fie

emise prin combinat, ia sincrotron - efect Compton invers.

III.1.10. Efectul Sunyaev-Zel’dovich.I Frecvent, observat, iile ı̂n domeniul razelor X relevă prezent, a norilor

de gaz ionizat la temperatura ∼ 108 K ı̂n centrul roiurilor de galaxii.I Pe lângă radiat, ia sarcinilor libere, aceste gaze mai radiază s, i prin

efect Compton invers, pricinuit de interact, iunea e− cu fotoniiradiat, iei cosmice de fond (RCF).

I Emisia ı̂n raze X este proport, ională cu∫

n2edr , ı̂n timp ce radiat, iaemisă prin efect Compton invers ∼

∫ne dr .

I Observatorii teres, tri detectează o intensificare a fluxului de fotonienergetici (care intră pe linia vizuală ı̂n urma coliziunilor), respectivo scădere a fuxului de fotoni la frecvent, e joase (scos, i de pe liniavizuală prin coliziuni).

I Rezultă o cres, tere a fluxului RCF corespunzător lungimilor de undămici, respectiv o scădere ı̂n regiunea lungimilor de undă mari.

I Măsurând atât emisia ı̂n raze X, cât s, i RCF, se pot estima∫

n2edr s, i∫nedr .

I Fluctuat, iile spectrului RCF datorate ı̂mprăs, tierii Compton inversepoartă numele de efect Sunyaev-Zel’dovich.

I Pentru roiul de galxii CL0016+16, la λ ∼ 1 cm, variat, iile sunt deordinul ∆T ∼ 7× 10−4K.

III.1.11. Efectul Cherenkov.I Deoarece razele cosmice ultrarelativiste au viteze mai mari decât

viteza luminii ı̂n atmosferă, acestea vor pierde energie până ce ı̂s, ireduc viteza, analog propagării supersonice printr-un mediu fluid.

I Frânarea bruscă produce o schimbare rapidă ı̂n câmpulelectromagnetic, care variază suficient de repede pentru a stimulaemisia de radiat, ie de către atomii din atmosferă.

I După reducerea vitezei la limita permisă de indicele de refract, ielocal, intensitatea radiat, iei scade considerabil.

I Spectrul radiat, iei Cherenkov este dominat de proprietăt, ile atomiceale mediului prin care raza cosmică se propagă, precum s, i de radiat, iaemisă de particulele secundare care apar ı̂n urma interact, iunii dintreraza cosmică s, i atmosferă (pioni, perechi electron-pozitron, etc).

I Deoarece raza cosmică se propagă cu viteză ultrarelativistă, radiat, iaeste emisă preponderent pe direct, ia ı̂nainte: ∆θ ∼ 2γ−1, ceea cepermite localizarea destul de exactă a sursei acesteia.

I Radiat, ia γ cu hν & 3× 1011eV de asemenea poate produce radiat, ieCherenkov prin particule secundare care se propagă ultrarelativist.

I Detect, ia γ la hν & 10TeV este tăiată brusc datorită distrugeriiacestora ı̂n urma interact, iunii cu fotonii infraros, ii prezent, i ı̂n mediulinterstelar (efectul Greisen-Zatsepin-Kuz’min).

Probleme

1. Dilatarea timpului. S, tiind că timpul de ı̂njumătăt, ire al unuineutron este de ∼ 885 s ı̂n sistemul propriu, să se calculeze timpulde ı̂njumătăt, ire al unui neutron cu E = 1020 eV, precum s, i distant, aparcursă de acesta până la dezintegrare. [R: ' 2, 8× 106 ani;0, 86 Mpc]

2. Contract, ia lungimilor. Să se afle grosimea discului galacticpercepută de un proton cu energia E = 1020 eV, care călătores, teperpendicular pe planul galactic, s, tiind că d = 100 pc ı̂n sistemulpropriu al galaxiei.

[R: ' 310 km]3. Aberat, ia luminii. Viteza orbitală a Pământului ı̂n jurul Soarelui

este ∼ 30 km/s. Să se calculeze unghiul de aberat, ie a luminiiprovenite de la o stea aflată la zenit (θ = π/2) pentru o perioadă de6 luni. [∆θ ∼ 41, 25′′arc].

Probleme

4. O particulă de praf ı̂n orbită circulară cu R = 1UA ı̂n jurul uneistele de luminozitate L� având m = 10−14 kg s, i presupunând căsect, iunea diferent, ială eficace de interact, iune cu radiat, iaelectromagnetică este σ = 10−8 cm2, să se calculeze durata de timppână la impact presupunând că mis, carea se face pe orbite circulare.

[Răspuns: ∼ 5240 de ani].5. Să presupunem că sistemul solar este permeat de un nor de particule

de praf distribuite omogen s, i izotrop. Prin efect Poynting-Robertson,aces, ti grăunti de praf absorb radiat, ia solară, astfel că luminozitateaSoarelui scade cu distant, a.

a) Să se arate că dL/dr = −n σpL(r), unde σp = 10−8 cm2 reprezintăsect, iunea diferent, ială eficace aferente unei particule iar n estedensitatea volumică (constantă) de particule de praf.

b) Să se găsească n presupunând că 10−8 din luminozitatea totală aSoarelui este absorbită până la orbita lui Pluto r ' 40 UA.

[R: n ' 53× 10−9 kg/m3].

c) Să se calculeze cantitatea de materie care cade pe Soare ı̂n unitateade timp. [R: ' 10 mg/s]

Probleme6. Accelerat, ia Fermi. Un proton având energia init, ială E0 = 1010 eV

călătores, te pe direct, ia de mis, care a doi nori interstelari care sedeplasează cu vitezele ±V (V = 7 km/s). La fiecare ı̂ntâlnire cuprotonul, norii act, ionează ca oglinzi magnetice, reflectându-l ı̂napoi.Separarea init, ială a norilor este d0 = 10

15 m.

a) Să se arate că ı̂n urma unei ciocniri, factorul Lorentz al protonuluicres, te cu:

δγ =2V

c

√γ2 − 1 + 2(V /c)

2

1− (V /c)2 γ.

b) Să se estimeze numărul de ciocniri necesare pentru dublarea energieiprotonului. [R: ∼ 1, 5× 104]

c) Să se estimeze numărul de ciocniri necesare pentru dublarea energieiparticulei ı̂n cazul ı̂n care particula este un electron.

d) Să se arate că timpul necesar pentru efectuarea a n ciocniri esteaproximativ

tn 'd02V

[1− exp(−2nV /c)].

e) Să se estimeze timpul necesar pentru dublarea energiei protonului.[R: ∼ 1140 ani]

f) Presupunând că accelerarea protonului ia sfârs, it atunci când distant, adintre nori este d . d0/10, să se estimeze energia maximă pe care opoate dobândi protonul prin acest proces.

[R: γmax ' 100,Emax ' 0, 1 TeV]

Probleme7. Printr-o plasmă rarefiată, ı̂n care densitatea electronilor este n, se propagă

o undă e.m. de frecvent, ă ω (se neglijează efectul câmpului magnetic).a) Considerând ionii imobili, să se arate că dislocuirea e− induce polarizarea

P = nqδr = −ne2

mω2E.

b) Să se arate că permitivitatea mediului este ε = ε0 − ne2/mω2, astfel ı̂ncât

ω2 = k2c2 + ω2p, ωp =

√ne2

ε0m∼ 56 n1/2[m−3](rad/s),

unde ωp ≡√

kBT/mL2 poartă numele de frecvent,a plasmei.c) Pentru ω < ωp , k ⇒ atenuare. Să se calculeze frecvent,a de prag νp pentru ionosfera

terestră, unde n ' 105 cm−3. [R: νp ∼ 2, 82 MHz]d) Viteza de fază ω/k > c. Să se arate că viteza de grup U < c.R : U ≡ ∂ω

∂k=

c√1 + ω2p/k

2c2=

c√1 + ω2p/(ω

2 − ω2p).

e) Să se arate că variat, ia cu ω (pentru ω � ωp) a timpului de călătorie ∆t = D/U a

radiat, iei emisă de un pulsar aflat la distant,a D prin mediul interstelar omogen este:

d∆t

dω' −4πrclc

nD

ω3, rcl ' 2, 82 fm.

f) Pentru pulsarul J0332+5434, ∆t ' 90 ms pentru radiat, ia corespunzătoarefrecvent,elor ν1 = 319, 5 MHz s, i ν2 = 333, 5 MHz. S, tiind că 〈n〉 ∼ 0, 03 cm−3, săse găsească D. [R: D ' 0, 9 kpc]