Asset Allocation / Porteføljeoptimering - AU Purepure.au.dk/.../36146119/Asset_Allocation_Portef_ljeteori_Opgave.pdf · per explores whether these expectations should be part of

Side 1 af 64

Forfatter:

Jonas Frøslev

Vejleder:

Henning Rud Jørgensen

Asset Allocation / Porteføljeteori

- Under hensyntagen til investeringshorisonten for en pensionsopsparing

Handelshøjskolen, Århus Universitet

2011

Side 2 af 64

Executive summary:

The purpose of this paper is to investigate how the individual investor achieves the most optimal portfolio

of financial assets for retirement savings.

Lots of customers have been victims of poor investment advice during the “financial crisis”, where the as-

sets in the investment portfolio don’t match the conditions of the individual investor. A high level of trans-

actions and little investor-specific information are two of the main reasons for that mismatch. For that rea-

son, this paper will show how to avoid such problems.

To avoid the high level of transactions a passive strategy is optimal to implement, where a good knowledge

of the assets and their correlation to each other is the advantage. It means that diversification is a very

important part of the strategy. Markowitz and Tobin have implemented the diversification as part of their

analyses, so they are used, through an empirical analysis, to find an optimal allocation between three stock-

indices and two-bond indices. Markowitz’s analysis leads to the smallest variance (risk) for a given return,

and the empirical analysis shows how the negative correlation coefficients between two of the stock-

indices and the two bond-indices are used to reduce the portfolio risk for a given return. The set of optimal

portfolios form the efficient frontier. Tobin’s analysis selects what portfolio on the efficient frontier the

investor should combine or lever with a risk-free interest rate. The only thing investor has to deal with is

his/her degree of risk aversion. The two analyses result, because of that, in a one-period model which only

concerns about the degree of risk aversion as investor-specific information.

We can solve this problem by including investor’s human capital, which is the expected presently dis-

counted value of his/her future labor earnings, and its correlation with risky assets. The human capital can

be seen as a non-tradable asset which constitutes an important part of the overall investment portfolio to

fully exploit the diversification. If the human capital is highly correlated with risky assets, it implicitly goes

for an investment in these assets, and the investor should invest a great proportion of his/her financial

wealth in the risk-free government bonds. If instead the human capital doesn’t correlate with the risky as-

sets, the opposite is optimal. It results in a multi-period investment horizon, where the investor should

each year rebalance his/her portfolio to fit the relationship between human capital and financial wealth.

This paper continues the previous empirical analysis by including the human capital and investigates the

optimal asset allocation for investors who work within the private sector in general or four different indus-

tries, where two of them fall within the public sector. The empirical analysis shows a highly different op-

timal asset allocation between the sector/industries which means that investment advisers should take

these differences into account. The three banks, Nykredit, Danske Bank and Nordea, do not include this

aspect into their investment advice, and it must be seen as a deficiency.

The empirical analysis also shows that young investors should hold a greater proportion of risky assets than

older investors. This is a very popular advice and is mentioned on the websites of the three banks; but if the

correlation between human capital and risky asset is sufficiently high, young investors must hold fewer

risky assets than elderly investors. The correlation for the private sector and the four industries is not signif-

icantly different (at small significant levels) from these sufficiently high correlation coefficients, so you

should proceed cautiously with this advice. A flexible labor supply could justify the popular advice, but the

investment adviser must investigate the existence of this flexibility.

Side 3 af 64

Lots of investment people include market expectations in the investment process. Because of that this pa-

per explores whether these expectations should be part of the optimal portfolio/asset allocation. An empir-

ical analysis of the stock prices shows that they are weakly efficient. It means that a technical analysis is

waste of time and only results in more transaction costs. The stock prices is almost semi-strongly efficient,

but few investment people are able to outperform the market over the long term. Nothing indicates that

investment people are able to beat the market on the short term which doesn’t justify a high level of trans-

actions.

Some investment people will expect mean-reversion in the stock returns, too. If so, it is possible, to a cer-

tain limit, to predict long-term future stock returns. It opens up a market timing aspect, where investor

must adjust the portfolio when indicators say so. Because of the transaction costs it is only optimal to ad-

just the portfolio when the indicators differ significantly from their normal level, and the optimal portfo-

lio/asset allocation is therefore still based on a passive strategy.

So, the conclusion of this paper is that the investor must follow a passive strategy based on a diversified

portfolio. To get a diversified portfolio, more investor-specific information, like human capital and its corre-

lation with risky asset, must be included in the investment process. If investment people are able to outper-

form the market over the long term this indicates a higher proportion of risky assets in the long-term port-

folio, and expected mean-reversion indicates adjusting the portfolio to a certain limit.

Side 4 af 64

Indholdsfortegnelse 1.1 Indledning ........................................................................................................................................ 6

1.2 Problemformulering ................................................................................................................................. 7

1.3 Metode .................................................................................................................................................... 7

1.4 Afgrænsning .............................................................................................................................................. 8

2.1 Det myopiske porteføljevalg ........................................................................................................... 10

2.1.1 Formål med investeringen ................................................................................................................... 10

2.1.2 Aktivtyper, samt markeder og lande ................................................................................................... 11

2.1.3 Analysemetode .................................................................................................................................... 12

2.1.4 Styringsmetode .................................................................................................................................... 12

2.1.4.1 Udarbejdelse af den efficiente rand ............................................................................................. 13

2.1.4.2 Fordeling mellem det risikofyldte og risikofrie aktiv .................................................................... 18

2.2 Kritik af det myopiske porteføljevalg...................................................................................................... 23

2.2.1 Måling af risiko ................................................................................................................................ 24

2.2.2 Optimering af nyttefunktion ........................................................................................................... 24

2.2.3 Statisk porteføljevalg og investorspecifikke forhold ....................................................................... 25

3.1 Inddragelse af investorspecifikke forhold ........................................................................................ 26

3.1.1 Investeringshorisontens indflydelse på aktivallokeringen .................................................................. 27

3.1.2 Udarbejdelse af aktivallokering ved inddragelse af investorspecifikke forhold .................................. 30

3.1.2.1 Udregning af humankapital .......................................................................................................... 32

3.1.2.2 Udregning af den omsættelige, finansielle formue ..................................................................... 35

3.1.2.3 Udregning af kovarians mellem lønindkomst og risikofyldt portefølje ........................................ 37

3.1.2.4 Optimal aktivallokering over en multiperiode investeringshorisont ........................................... 38

3.1.3 Sammenligning med pengeinstitutters investeringsråd/-anbefalinger .............................................. 40

3.1.4 Kritik af de udregnede optimale aktivallokeringer .............................................................................. 46

3.1.4.1 Nulvarians og kovarians ............................................................................................................... 47

3.1.4.2 For få investorspecifikke forhold – kan flere forhold inddrages uden problemer? ..................... 47

3.1.4.3 Passiv strategi og markedsforventninger ..................................................................................... 48

4.1 Markedsforventningers indflydelse på den optimale aktivallokering ................................................ 48

4.1.1 Den efficiente markedshypotese ......................................................................................................... 49

4.1.2 Mean-reversion ................................................................................................................................... 54

5.1 Konklusion ..................................................................................................................................... 58

6.1 Litteraturliste ................................................................................................................................. 61

Side 5 af 64

Bilag 1 .................................................................................................................................................. 65

Bilag 2 .................................................................................................................................................. 71

Bilag 3 .................................................................................................................................................. 73

Bilag 4 .................................................................................................................................................. 74

Bilag 5 .................................................................................................................................................. 84

Bilag 6 .................................................................................................................................................. 87

Bilag 7 .................................................................................................................................................. 89

Side 6 af 64

1.1 Indledning

Der findes nærmest uendeligt mange måder at allokere investeringsaktiver til en portefølje, hvor en inve-

stor i den optimale portefølje ønsker at maksimere afkastet ud fra en ønsket risiko; og netop denne alloke-

ring af investeringsaktiver er til stadighed et omdiskuteret emne.

Før den globale økonomiske lavkonjunktur, kendt som finanskrisen, var mange kunder tilfredse med deres

banks finansielle rådgivning, hvor bankens interesse for at røre rundt i de enkelte kunders portefølje blev

opfattet som en positiv interesse af kunderne selv. Rådgivningsskandaler i forbindelse med finanskrisen har

været et ”wake up call”, hvor kundernes skepsis over for bankernes finansielle rådgivning er steget mar-

kant1. Dette øgede fokus på investeringsrådgivningen er Peter Reedtz også inde at belyse i artiklen ”Uvildig

investeringsrådgivning – utopi eller realisme?”, hvori han beskriver investeringsrådgiveres kompromiser

med uvildigheden. Her bliver kunderne anbefalet et højt transaktionsniveau og et produktvalg med høje

omkostninger, idet dette giver perioder med høj indtjening for banken. Problemstillingen bliver ligeledes

taget op i bogen ”Strategisk Asset Allocation – kort fortalt” skrevet af Sparinvest, hvor der står skrevet, at

forsøg på at ”time” markedet i bedste fald vil påføre betydelige handels – og transaktionsomkostninger,

som tit og ofte vil medføre høj risiko eller ustabile afkast2. Bogen bruger bl.a. et citat skrevet af Bernstein i

”The Intelligent Asset Allocator”: ”It’s human nature to find patterns where there are none and to find skill

where luck is a more likely explanation”3. Dette citat stemmer fint overens med Møller og Nielsen, der i

bogen ”Din Økonomi” skriver, at: ” Rådgivning om, hvilke værdipapirer der stiger og falder, er værdiløs iføl-

ge teorien om effektive markeder…4”.

Michael Andersen skriver endvidere i sin artikel ”Investment Policy Statement – Best practice inden for

finansiel rådgivning”, at finansieringsteoretikere med stor tiltro til markedseffektiviteten på de finansielle

markeder pointerer det ironiske i, at finansieringspraktikere ofte gør mere ud af kapitalmarkedsanalyser og

til tider kun ganske lidt ud af kundeanalysen5. Han skriver videre, at god rådgivning så godt som altid kræ-

ver en dybtgående totalanalyse af kundens samlede økonomiske forhold og ikke mindst hans/hendes reelle

behov, livspræferencer og risikotolerance6. De nævnte forhold er et skridt imod de mere dynamiske model-

ler for optimal porteføljeoptimering. Det ses bl.a. ud af artiklerne ”Lønindkomstens betydning for porteføl-

jevalget – Er du en aktie eller en obligation” og ”Skal investor med lang investeringshorisont have større

aktieandel”, hvor de ved inddragelse af en investorspecifik investeringsstrategi diskuterer den optimale

porteføljeandel af hhv. aktier og obligationer i forhold til investeringshorisonten. Her mener forfatterne, at

investeringsrådgivere skal være særdeles forsigtige med at give generelle investeringsråd.

Dette er yderst interessant i forhold til investering af pensionsopsparing, som ofte er en investering på lang

sigt; og som vil være opgavens fokus. Michael Andersen er i sin ovenfornævnte artikel også inde at berøre

problemstillingen, idet han skriver, at porteføljerådgivning af natur er dynamisk og ingenlunde statisk7.

1 Finansiel rådgivning – behov for enkel og effektiv finansaftalelov side 2

2 Strategisk Asset Allocation – kort fortalt side 14

3 The Intelligent Asset Allocator side 90

4 Din Økonomi side 203

5 Investment Policy Statements – Best practice inden for finansiel rådgivning side 2



Side 7 af 64

Derfor vil denne opgave tage udgangspunkt i, hvordan man på baggrund af ovenstående problemstillinger

udarbejder en optimal portefølje/aktivallokering under hensyntagen til investeringshorisontens længde.

1.2 Problemformulering

For at besvare den overordnede problemstilling vil tre underliggende problemstillinger blive besvaret. De er

givet ved:

Som indledningen pointerer, er en af de helt store problemstillinger et for højt transaktionsniveau fra inve-

steringsrådgiveres side. Dermed vil opgaven starte med at besvare følgende underspørgsmål:

- Hvordan skal aktiver allokeres ud til en optimal portefølje, når man som investor vil undgå et højt

transaktionsniveau?

Dernæst vil problemstillingen omkring inddragelse af investorspecifikke forholds betydning for det optimale

porteføljevalg blive taget op ved at besvare følgende spørgsmål:

- Hvilken indflydelse har investorspecifikke forhold på aktivallokeringen til det optimale portefølje-

valg?

- Er der taget højde for denne indflydelse i pengeinstitutters generelle investeringsråd?

Til sidst vil opgaven undersøge markedsforventningers indflydelse på det optimale porteføljevalg ved at

besvare nedenstående spørgsmål:

- Er aktiemarkedet efficient og/eller forudsigeligt?

- Har det betydning for aktivallokeringen?

Grosen og Tanggaard skriver i artiklen ”Finansiel rådgivning – et forbrugerpolitisk rædselskabinet”, at der

bør satses på bedre uddannelse af den finansielle forbruger8. Denne opgave skal ses ud fra en dansk inve-

stor, som er aktiv på arbejdsmarkedet (har en humankapital) og dermed har en pensionsopsparing, som

ønskes investeret mest optimalt. Opgaven vil give denne type investor en indsigt i besvarelsen af ovenstå-

ende problemstillinger.

1.3 Metode

Til at besvare den første af de tre problemstillinger foretages en empirisk analyse, som tager udgangspunkt

i Markowitz’s middel-varians analyse (efficiente rand) og Tobin’s separationsteorem. Data til analysen vil

være udvalgte aktie – og obligationsindeks. Det udvalgte data vil, via den empiriske analyse, blive til resul-

tater, som fortolkes og kritiseres.

De fundne resultater fra besvarelsen af første problemstilling vil blive taget med ind i besvarelsen af anden

problemstilling. Her vil yderligere data blive inddraget, og den empiriske analyse fortsættes med udgangs-

8 Finansiel rådgivning – et forbruger politisk rædselskabinet side 2

Side 8 af 64

punkt i en formel fremført af Campbell og Viceira i bogen ”Strategic Asset Allocation”. Analysens resultater

vil blive, fortolket og indgå i en sammenligning og diskussion i forhold til udvalgte pengeinstitutters anbefa-

linger. Resultaterne vil igen efterfølgende blive kritiseret.

Om resultaterne fra besvarelsen af de to første problemstillinger udgør den endelige konklusion, vil blive

undersøgt/diskuteret i besvarelsen af tredje problemstilling. Der vil blive foretaget en empirisk analyse af

aktiemarkedseffektiviteten i svag forstand i form af en tidsserieregression. Det vil blive efterfulgt af en dis-

kussion om, hvorvidt aktiemarkedet er effektivt i semistærk forstand på baggrund af litterære eksempler og

citater. Til sidst vil et mean-reversion aspekt blive diskuteret via et håndpluk fra tidsserieregressionsanaly-

sen, samt igen litterære eksempler og citater.

Resultaterne fra bevarelsen af den tredje problemstilling vil til sidst blive koblet på besvarelsen af de to

første problemstillinger og ende ud i en samlet konklusion.

Der vil løbende i opgaven blive argumenteret for valget af de empiriske analyser.

De empiriske analyser har til formål at omsætte teori til praksis, og resultaterne vil blive diskuteret og un-

derstøttet af sekundær litteratur. De ovenstående metodiske procedurer udgør dermed fundamentet til

besvarelsen af den overordnede problemstilling og er illustreret i nedenstående figur.

Figur 1.1 - Metodiske procedurer

Kilde: Egen tilvirkning

1.4 Afgrænsning

Det antages igennem hele opgaven, at investor er rationel og risikoavers. Investor vil derfor forsøge at opnå

højst mulige afkast i forhold til den risiko, som påtages.

Side 9 af 64

Der vil i opgaven blive taget udgangspunkt i allokeringen af udvalgte aktie – og obligationsindeks. Det er

valgt, fordi den almene pensionsopsparing hyppigst består i de to aktivtyper.

De udvalgte aktie – og obligationsindeks er danske indeks, idet casen er bygget op omkring en dansk inve-

stor, og inddragelse af udenlandske indeks vil ikke have brugbar indflydelse på besvarelsen af den overord-

nede problemstilling.

De udvalgte aktie og – obligationsindeks vil ikke blive korrigeret for inflation, og aktieindeksene er derud-

over eksklusiv udbyttebetaling. Den mangle udbyttebetaling vil højst sandsynligt resultere i lavere kursvær-

dier.

Kortsalg er ikke en mulighed i aktivallokeringen, da disse muligheder i mange tilfælde ikke er til stede9.

I besvarelsen af den første problemstilling vil graden af risikoaversion indgå som det eneste investorspeci-

fikke forhold. Der vil i opgaven ikke blive gået i dybden med nytteteori af særlig grad, men den optimeren-

de formel, som udledes og benyttes til resten af opgaven, holder for en række forskellige nyttefunktioner10

og er dermed godt egnet til denne opgave. Opgaven vil i den forbindelse bruge tre værdier, som afspejler

forskellige grader af risikoaversion for en investor, og som er brugt i andre undersøgelser.

I besvarelsen af anden problemstilling vil opgaven yderligere inddrage humankapital (pseudo-aktiv) samt

dens korrelation med en risikofyldt portefølje og størrelsen på den omsættelige finansielle formue (pensi-

onsopsparing). Der afgrænses dermed fra alle andre typer af aktiver. På passivsiden vil der, som det eneste,

blive taget højde for skat på fremtidige lønindkomster, da denne skat ikke bliver inkluderet i humankapita-

len, og investor vil have mulighed for at låne til en gearet portefølje. Der tages i lønindkomsten og skatte-

beregningen ikke højde for arbejdsmarkedsbidrag.

Der afgrænses fra performancemåling – og evaluering i opgavens figur 3.1.

Udregning af korrelationskoefficient mellem lønindkomst og risikofyldt portefølje vil kun tage udgangs-

punkt i korrelationen mellem generelle lønindeks og den risikofyldte portefølje.

I bevarelsen af tredje problemstilling inddrages en diskussion omkring et forudsigeligt element i langsigtede

aktieafkast. Denne opgave vil ikke gå i dybden med dette forudsigelige element, men blot lade det indgå i

en diskussion med de hidtidige resultater, da det har relevans i forhold til den samlede konklusion.

9 Aktie investering – Teori og praktisk anvendelse side 58

10 Aktie investering – Teori og praktisk anvendelse side 75

Side 10 af 64

2.1 Det myopiske porteføljevalg

Dette afsnit tager fat i den første problemstilling og belyser dermed, hvordan man foretager en optimal

aktivallokering, når man ønsker et lavt transaktionsniveau, også kaldet en passiv styringsmetode11. Pro-

blemstillingen kan forekomme en anelse tvetydig, idet investorer, som ønsker et højt transaktionsniveau

(aktive/taktiske investorer) sagtens kan benytte sig af samme allokering som fundament for porteføljen.

Den helt store forskel er, at man ved at benytte den passive styring accepterer, at markederne går op og

ned og vælger aktivklasserne på en måde, så de bliver optimalt korrelerede. Man udnytter således diversifi-

kationseffekten, hvor den systematiske spredning, med udgangspunkt i kendte sammenhænge mellem

aktivklasser, er den store drivkraft12.

Taktiske investorer skifter derimod allokering på kort sigt, hvor de forsøger at time markedets op – og ned-

ture, hvilket automatisk medfører et højt transaktionsniveau. I dette tilfælde bliver der oftest kun taget

udgangspunkt i aktivallokeringens to dimensioner, risiko og afkast, hvor den passive investor også inddra-

ger den tredje dimension, diversifikationseffekten, som dette og næste afsnit vil se nærmere på13.

For at understøtte argumenterne for den passive metode, kan følgende citater nævnes fra bogen ”Din øko-

nomi” skrevet af Møller og Nielsen: ”Det væsentlige er, at du vælger en passiv strategi, hvor du undgår at

bruge penge på at analysere, købe og sælge hele tiden, og du har spredt din investering på et lidt større

antal aktier” og ”Hvis du ikke handler, kan du ikke dumme dig. Hvis du blot køber det, de andre har, er du

sikret et afkast over gennemsnittet”14.

Der bliver i det første citat brugt betegnelsen ”passiv strategi”. Strategien for investeringen er et væsentligt

element for al investeringsplanlægning. Det ses bl.a. ud fra Michael Andersens artikel ”Investment Policy

Statement – Best practice inden for finansiel rådgivning”, hvor investment policy statements (IPS), som er

en formaliseret rådgivningsskabelon, bliver beskrevet. Her er punktet ”Porteføljestrategier” sat ind under

modellens planlægningsfase. Strategi og planlægning er beskrevet mere deltaljeret i bogen ”Aktie investe-

ring – Teori og praktisk anvendelse”, der indeholder en modelramme til detailplanlægning af en investors

investeringsstrategi15. Her vil nogle af punkterne danne rammen for resten af dette afsnit, hvor de vil blive

kædet sammen med en empirisk analyse, der har til formål at vise, hvordan aktiver optimalt skal allokeres

ud på en portefølje på baggrund af en valgt (passiv) strategi.

2.1.1 Formål med investeringen

Formålet med investeringen er i denne opgave at allokere udvalgte aktiver ud på en pensionsopsparing.

Ved at have foretaget denne definition af investeringens formål kan man fastlægge investeringshorisonten,

som er lang for en pensionsopsparing. Investeringshorisonten er et nøgleord i al investeringsteori, og for-

skellige investorer vil have forskellige investeringshorisonter. Michael Christensen og Frank Pedersen skri-

11

Aktie investering – Teori og praktisk anvendelse side 10 12

Strategisk Asset Allocation – Kort fortalt side 11. 13

Strategisk Asset Allocation – Kort fortalt side 14 og 20 14

Din økonomi side 144 15

Aktie investering – Teori og praktisk anvendelse side 4

Side 11 af 64

ver, at det er altafgørende, at en investor tilpasser sin investeringshorisont til de finansielle aktiver, der

investeres i16. Dette synspunkt vil blive taget op i besvarelsen af den anden problemstilling.

2.1.2 Aktivtyper, samt markeder og lande

Til den empiriske analyse er følgende aktivtyper valgt:

- OMXC20 aktieindeks, hvor 3. juli 1989 er sat til 100.

OMXC20 er Københavns førende aktieindeks, som består af de 20 mest omsatte aktier på den nordiske børs

i København. De blot 20 aktier i indekset garanterer dermed, at de alle er likvide. Sammensætningen af

OMXC20-indekset revideres to gange årligt og er et markedsværdivægtet prisindeks17. Indekset er opgjort

eksklusive udbytter, da indekset bliver påvirket med hele udbyttet den dag, de enkelte selskaber udbetaler

udbytte. OMXC20-indekset blev introduceret på grund af OMXC-indeksets svagheder, idet dette indeks

både indeholder ultra likvide som illikvide aktier. Det resulterer i, at indekset ikke altid viser den korrekte

tendens i aktiekurserne, idet mange aktier ikke noteres dagligt18.

- Sundhedspleje

Sundhedspleje er et af København Fondsbørs 9 sektorindeks. Beregningen af indekset følger samme frem-

gangsmåde som OMXC-indekset, der korrigeres løbende for udbyttebetalinger ved for hvert enkelt selskab

dagligt at fradrage kursen med 1/360 af sidste udbytte19. Dette indeks består af 18 selskaber, der opererer

inden for sundhedsplejesektoren20.

- Materialer

Materialer er ligesom sundhedspleje et af København Fondsbørs 9 sektorindeks og bliver derfor beregnet

på samme måde. Indekset består af 9 selskaber, der alle opererer inden for materialesektoren.

De valgte aktieindeks er dermed korrigeret for udbyttebetalinger (jf. afgrænsning), og de tre indeks må

formodes at have været af en højere værdi, hvis udbyttebetalingen var indregnet i kursen.

- DK Govt CM 2Y

DK Govt CM 2Y er et obligationsindeks bestående af de toneangivende danske statsobligationer med en

gennemsnitlig varighed på 2 år udarbejdet af Nordea.

- DK Govt CM 7Y

DK Govt CM 7Y er ligeledes et obligationsindeks bestående af de toneangivende danske statsobligationer

med en gennemsnitlig varighed på 7 år udarbejdet af Nordea.

16


http://www.aktieplus.dk/aktie-indeks.html 18

Aktie investering – Teori og praktisk anvendelse side 35-36 19


http://borsen.dk/kurslister/danske_aktier.html

http://www.aktieplus.dk/aktie-indeks.html


Side 12 af 64

Det gælder som hovedregel om at sprede porteføljen over så mange aktivklasser som muligt. Her er der

valgt to aktivtyper, aktier og obligationer, som hver er underopdelt i hhv. tre og to markedsindeks. Dette er

valgt i henhold til opgavens afgrænsning, idet en pensionsopsparing hovedsageligt består af netop aktier og

obligationer. De to sektorindeks er valgt sammen med det ”overordnede” markedsindeks for at se, hvilke

diversifikationseffekter det evt. kunne føre med sig, og det samme er tankegangen bag indekset for hhv.

den 2-årige og den 7-årige statsobligation. De fem indeks indeholder ikke en ”rigtig” lang historik, idet den

empiriske analyse vil blive foretaget på månedlige data fra januar 1996 frem til februar 2011. Det er dog

vigtigt med en lang historik, så indtil flere risikoscenarier er indregnet i indeksudviklingen, hvilket vil resul-

tere i en højere statistisk signifikans i de endelige beregninger21. Det antages, at historikken for de tre in-

deks er tilpas lang.

2.1.3 Analysemetode

Ud fra et finansieringsmæssigt perspektiv skelnes mellem tre analysemetoder22:

- Fundamentalanalyse

- Teknisk analyse

- Porteføljeteoretisk analyse

De to første analysemetoder vil blive diskuteret i besvarelsen af tredje problemstilling. Den empiriske ana-

lyse vil tage udgangspunkt i den porteføljeteoretiske analyse. Her bestemmes ud fra historiske kursbevæ-

gelser en række statistiske nøgletal som risiko (standardafvigelse), afkast, kovarians og korrelation. Analy-

sen anvendes fortrinsvis til langsigtede investeringer, hvor man vil finde ud af, hvilke aktiver der giver det

højest forventede afkast for en given risiko23. Det må siges at stemme godt overens med den empiriske

analyses formål som tidligere beskrevet.

2.1.4 Styringsmetode

Som det både kan læses ud af problemstillingen og blev forklaret i starten af dette afsnit, vil den empiriske

analyse blive udarbejdet med henblik på en passiv styringsmetode, hvor en veldiversificeret portefølje skal

sammensættes24. Til at sammensætte en sådan portefølje vil den empiriske analyse starte ud med Marko-

witz’s middel-varians analyse (også kendt som den efficiente rand) efterfulgt af Tobins separationsteorem.

De to analyser egner sig godt til udarbejdelsen af en portefølje, som understøtter en passiv styringsmetode,

idet de er statiske og derfor kendes under betegnelsen, ”det myopiske porteføljevalg”. Diversifikationsef-

fekten bliver ligeledes inddraget i de to analyser, hvilket, som tidligere nævnt, er en vigtig faktor i udarbej-

delsen af en aktivallokering, der matcher en passiv strategi.

21

Strategisk Asset Allokation – Kort fortalt side 30 22




Side 13 af 64

Middel-varians analysen blev introduceret af økonomen Harry M. Markowitz i artiklen ”Portfolio Selection”,

som han udarbejdede i år 1952. Analysen har siden været udgangspunktet i praksis og grundlæggende lær-

dom på højere læreanstalter25. Markowitz forklarede i artiklen, at det ikke var muligt at udarbejde en por-

tefølje, der både gav det højest forventede afkast, samt den mindste varians: ”The portfolio with maximum

expected return is not necessarily the one with minimum variance. There is a rate at which the investor can

gain expected return by taking on variance, or reduce variance by giving up expected return”26. Ud fra den-

ne tankegang kunne han udarbejde den efficiente rand (efficient frontier).

2.1.4.1 Udarbejdelse af den efficiente rand

Beregningerne af de statistiske nøgletal vil blive foretaget på de føromtalte aktie– og obligationsindeks.

Idet denne analyse ikke tager højde for dividendeudbetalinger/udbyttebetalinger, bruges følgende formel

til at beregne det månedlige afkast for de fem aktiver:

1,

,

, lnti

ti

tiP

PR

Her tages den naturlige logaritme til forholdet mellem indeksværdien måned t og måned t-1. De udregnede

afkast fra de fem dataserier kan ses i bilag 1.

Både ifølge bogen ”Strategisk Asset Allocation – Kort fortalt” og artiklen ”Three centuries of asset pricing”

var det vigtigste bidrag i Markowitz’s artikel beskrivelsen af diversifikationseffekten: ”… in trying to make

variance small it is not enough to invest in many securities. It is necessary to avoid investing in securities

with high covariances among themselves”27. Dermed forklarer Markowitz, at man i sin portefølje ikke opnår

lavere varians (risiko) blot ved at investere i mange aktiver, men kun hvis de mange aktiver ikke er højt kor-

relerede. For at udnytte denne diversifikationseffekt skal kovariansen beregnes. Kovariansen kan beregnes

ud fra følgende formel:

T

t

kktiitkktiitik RRRRT

RRRRE1

1)(

Her er iR og kR det gennemsnitlige afkast for hhv. aktiv i og aktiv k, mens itR og ktR er de to aktivers afkast

på tidspunkt t. T er antallet af observationer, som indgår i stikprøven, der her er de udvalgte markedsin-

deks. Man bør oprigtigt benytte T-1, fordi man bruger en frihedsgrad på at beregne de statistiske nøgletal

på baggrund af en stikprøve og ikke den nøjagtige population. Stikprøven består i dette tilfælde af 180 ob-

servationer, så denne præcision vil ikke kunne ændre på de endelige resultater.

Til at beregne det gennemsnitlige afkast bruges følgende formel:

25

Strategisk og taktisk Aktivallokering – Forudsigelse af afkasts betydning for den langsigtede investors porteføljevalg side 1 26

Portfolio Selection side 79 27

Porfolio Selection side 89

Side 14 af 64

T

t iti RT

R1

1

I tabel 2.1 ses de gennemsnitlige afkast for de fem aktiver, som dermed også er de forventede fremtidige

afkast.

Tabel 2.1 - Gennemsnitlige afkast

Aktiv OMXC20 Sundhedspleje Materialer DK Govt CM 2Y DK Govt CM 7Y

Gns. afkast 0,7921 1,3081 0,8232 0,3603 0,5529 Kilde: Egen tilvirkning

Kovariansmatricen kan nu beregnes. Dette vil blive gjort ved hjælp af matricekalkulation. Der skal først ud-

arbejdes en matrice, der viser ”excess return”. Denne matrice kan ses i bilag 1 og er blevet beregnet på

baggrund af følgende formel:

RRreturnExcess it .

Herefter skal kovariansmatricen beregnes ved hjælp af formlen:

T

RRRR iitiitik

)()'( , hvor )'( iit RR er den transponerede28 matrice.

Det resulterer i kovariansmatricen, som ses i tabel 2.2.

Tabel 2.2 - Kovariansmatrice


OMXC20 32,5815 23,05711 19,35002 -0,27259 0,292359

Sundhedspleje 23,05711 36,05171 16,13042 -0,24953 -0,0969

Materialer 19,35002 16,13042 37,20344 -0,31821 -0,44352

DK Govt CM 2Y -0,27259 -0,24953 -0,31821 0,218183 0,560931

DK Govt CM 7Y 0,292359 -0,0969 -0,44352 0,560931 2,194739 Kilde: Egen tilvirkning

Det er nemmere at fortolke på korrelationskoefficienter end kovarianser, og korrelationsmatricen kan be-

regnes ved formlen:

ji

ikikr

*)( , hvilket resulterer i tabel 2.4. Tabel 2.3 viser de fem aktivers standardafvigelse, som ind-

går i formlen for korrelationsmatricen.

Tabel 2.3 - Standardafvigelse


Std.afv. 5,708023 % 6,004308 % 6,099462 % 0,467101 % 1,481465 % Kilde: Egen tilvirkning

28

Essential Mathematics for Economic Analysis side 551.

Side 15 af 64

Tabel 2.4 - Korrelationsmatrice


OMXC20 1 0,672754 0,555782 -0,10224 0,034573

Sundhedspleje 1 0,440445 -0,08897 -0,01089

Materialer 1 -0,11169 -0,04908

DK Govt CM 2Y 1 0,810602

DK Govt CM 7Y 1 Kilde: Egen tilvirkning

Man skal skelne mellem to former for risiko, når man undersøger diversifikationsmulighederne for en por-

tefølje: Den systematiske risiko og den usystematiske risiko. Den systematiske risiko udgør den generelle

usikkerhed i økonomien og kan ikke diversificeres bort, da den vil påvirke alle porteføljens aktiver ens. Den

usystematiske risiko udgør derimod den specifikke risiko for det enkelte aktiv og kan derfor diversificeres

bort. Det er derfor den usystematiske risiko, der er interessant i forbindelse med diversifikationsmulighe-

der29.

Korrelationsmatricen viser korrelationskoefficienterne aktiverne imellem, og man kan på grund af disse

koefficienter opnå en risikoreduktion i porteføljen. Hvis 0)( ikr er der ingen samvariation mellem aktiv i

og aktiv k, mens 1)( ikr og 1)( ikr betyder, at der er hhv. perfekt positiv og perfekt negativ samva-

riation. Man kan se i tabel 2.4, at alle korrelationskoefficienter ligger i intervallet mellem -1 og 1, hvilket har

afgørende betydning for sammenhængen mellem det forventede afkast og risikoen for forskellige porteføl-

jekombinationer. Det kan kort illustreres i et simpelt eksempel bestående af to aktiver (a og b), hvor risiko-

en beregnes. Risikoen udgøres af standardafvigelsen, som for en portefølje kan beregnes via følgende for-

mel:

2222 ****2* bbabbaaap xxxx . Ved indsættelse af formlen for korrelationskoefficienterne kan

porteføljens risiko beregnes som:

baabaabaaap rxxxx **)(*)1(**2*)1(* 2222 . Hvis vi antager, at der er perfekt positiv

korrelation mellem de to aktiver, kan formlen omskrives til:

baaap xx *)1(* . Hvis denne risiko sammenlignes med det forventede afkast for en portefølje,

kan det ses i figur 2.1, at denne sammenhæng er lineær for de to aktiver, og der vil i dette tilfælde ikke

væren nogen diversifikationsmulighed30.

29



Side 16 af 64

Figur 2.1 - Diversifikationseffekt

Kilde: Aktie investering - Teori og praktisk anvendelse

Hvis det i stedet antages, at der er perfekt negativ korrelation mellem de to aktiver, kan porteføljens risiko

bestemmes ved følgende formel:

2)*)1(*( baaap xx , som kan udledes til formlerne:

baaap xx *)1(* eller baaap xx *)1(*

Disse to lineære sammenhænge mellem de to aktiver kan ligeledes ses i figur 2.1. Med en perfekt negativ

korrelation kan porteføljens risiko dermed diversificeres bort. De to ekstreme situationer med perfekt posi-

tiv – og negativ korrelation danner en trekant, som viser de ydre grænser for porteføljens risiko. Dermed

fremgår det, at for alle værdier af 1)( abr , er det muligt at opnå en diversifikationsgevinst, da porteføl-

jens risiko for et givet forventet afkast ikke kan blive højere, end tilfældet ved 1)( abr 31.

Fortolkningen af en korrelationskoefficient kan ske ved at tage kvadratet til koefficienten, )(2

ikr . Kvadra-

tet udtrykker graden af sammenhæng, dvs., hvor stor en procentdel af variationen i K, der kan forklares ved

I32. Kvadratet til korrelationskoefficienten mellem OMXC20-indekset og Sundhedsplejesektor-indekset er

453,00,6727542 . Det vil sige, at 45,3 % af variationen i OMXC20-indekset kan forklares ved Sundheds-

plejesektor-indekset.

Selve porteføljeoptimeringsprocessen, som resulterer i en værdipapirudvælgelse, er ifølge Michael Ander-

sens artikel ”Investment Policy Statements – Best practice inden for finansiel rådgivning” en del af imple-

menteringsfasen i rådgivningsskabelonen33. Optimeringsprocessen vil i den empiriske analyse blive foreta-

get via Excel Solver, der vil blive løst via følgende specificering:

Objekt funktion: XXxxxx ikP )(')...,,min( 2

5321 . Excel Solver skal således sørge for at minimere por-

teføljens varians. Dette stemmer overens med Markowitz’s tankegang: ”… provided we have the appropri-

ate input data and computing power (a substantial proviso), then we can identify a set of portfolios that

31


Notesamling til Statistik på HA og HD 1. del side 4 33

Investment Policy Statements – Best practice inden for finansiel rådgivning side 1

Side 17 af 64

provide the highest possible expected return for a given level of risk, while at the same time giving the low-

est level of risk for each level of expected return. These portfolios form the efficient frontier…”34. Vi skal

altså via Excel Solver udarbejde den mindste varians ved et givet forventet afkast for en portefølje, hvilket

skal indsættes som begrænsning:

)()( Pii REREX

Desuden skal porteføljevægtene naturligvis summeres til en, og der afgrænses fra kortsalgsmuligheder:

1iX

0iX

1iX

For at kunne beregne porteføljevægtene iX , skal en række iZ -værdier beregnes. Det gøres via følgende

formel:

cREZ iki )()( 1 , hvor c=0.

Her er 1)(

ik den inverse35 kovariansmatrice, og )(RE er matricen for det forventede (gennemsnitlige)

afkast for de fem aktiver. Efter at have fundet de fem værdier for Z (som kan ses i bilag 1), kan portefølje-

vægtene iX let udregnes:

N

i

i

ii

Z

ZX

Objektfunktionen (porteføljens varians) kan nu udregnes i Excel på følgende måde:

XXRRXXXXRVar ikyxYXP )('),cov(*)1(**2*)1(*)( 2222 , hvor 'X er den trans-

ponerede36 matrice af porteføljevægtene.

Nu mangler kun formlen for det forventede porteføljeafkast, der som tidligere vist skal sættes lig et givet

afkast:

REXREXREXRE YXP '*)1(*

Ved at lade Excel Solver minimere porteføljevariansen ved redigering af porteføljevægtene 1X til 5X og

indsættelse af de viste begrænsninger kan man via forskellige værdier af det forventede afkast beregne

hhv. de fem porteføljevægte samt porteføljevariansen, som kan ses ud fra bilag 1. Disse værdier danner

34

Three centuries of asset pricing side 4 35

Essential Mathematics for Economic Analysis side 591 36

Essential Mathematics for Economic Analysis side 551

Side 18 af 64

den såkaldte efficiente rand (figur 2.2), fordi randen danner de forskellige porteføljemuligheder, der giver

den mindste varians for et givet forventet afkast.

Man bør ud fra bilag 1 kunne spore en diversifikationsgevinst, idet alle korrelationskoefficienter, som sagt,

er under én. Dette er også tilfældet. ”Portefølje 1” viser, at hvis man sætter hele sin opsparing i de 2-årige

danske statsobligationer, der udgør den mindste risiko, vil man for et forventet afkast på 0,3603 % opnå en

standardafvigelse på 0,4671 %. ”Portefølje 5” derimod indeholder ud over 97,9 % 2-årige danske statsobli-

gationer også 0,57 % aktier i OMXC20-indekset, 0,54 % i Sundhedsplejesektor-indekset samt 0,888 % i Ma-

terialesektor-indekset. Ved at kombinere de 2-årige danske statsobligationer med de tre aktieindeks, opnår

man et højere forventet afkast på 0,372 % for en mindre risiko, idet standardafvigelsen blot er på 0,456 %.

Porteføljen har via de tre aktieindekses negative korrelation med de 2-årige statsobligationer (jf. tabel 2.4)

opnået denne diversifikationsgevinst. På trods OMXC20-indeksets og Materialesektor-indeksets lavere for-

ventede afkast og højere standardafvigelse i forhold til Sundhedsplejesektor-indekset, er de to indeks med-

taget i ”Portefølje 5” grundet diversifikationsmulighederne.

Men hvilken portefølje skal man vælge ud fra den efficiente rand? Det vil Tobins Separationsteorem hjælpe

os med.

2.1.4.2 Fordeling mellem det risikofyldte og det risikofrie aktiv

James Tobin tog i artiklen ”Liquidity Preference as Behavior Towards Risk (1958)” et yderligere skridt fra

Markowitz’s analyse, da han viste, hvilken efficient portefølje der skulle holdes af en individuel investor.

Han forklarer i artiklen, hvordan en investor skal dele sine fonde mellem et risikofrit aktiv og et risikofyldt

aktiv37. Han tager derfor stadig udgangspunkt i Markowitz’s efficiente rand, som skal kombineres med det

risikofrie aktiv.

For at finde frem til denne kombination skal kapitalmarkedslinjen udledes. Her tages udgangspunkt i føl-

gende formel:

fpppc rxrExrE *)1()(*)( , hvor )( crE er den kombinerede porteføljes forventede afkast. Dette

udtryk kan omskrives til:

Formel 2.1: ))((*)( fppfc rrExrrE , hvor faktoren ))(( fp rrE kaldes risikopræmien. Den kombi-

nerede porteføljes risiko bestemmes ud fra formlen:

)*)1(**2*)1(*( 2222

fpPPfPPPC xxxx , men da både risikoen for det risikofrie aktiv og

kovariansen mellem det risikofrie aktiv og den risikofyldte portefølje er lig 0, kan formlen simplificeres til:

Formel 2.2: PPC x *

37

Three centuries of asset pricing side 5

Side 19 af 64

Det betyder dermed, at hvis man øger andelen investeret i den risikofyldte portefølje, stiger det forventede

afkast proportionalt med risikopræmien, mens risikoen for den kombinerede portefølje stiger proportionalt

med risikoen for den risikofyldte portefølje. Hvis formel 2.2 indsættes i formel 2.1, fås følgende udtryk:

C

P

fp

fC

rrErrE

*

)()(

, hvor udtrykket

P

fp rrE

)(kaldes ”Reward-to-Variability ratio”, der udtryk-

ker risikopræmien pr. risikoenhed (kendes også ved analyse af en enkelt aktie under navnet ”Sharpe’s ra-

tio”). Den optimale kapitalmarkedslinje er linjen med højest RTVR38. Den månedlige risikofrie indlånsrente

er i den empiriske analyse sat til 0,25 %, idet man i Nykredit kan opnå en årlig indlånsrente på 3 %39 ved at

binde pengene i tre år, hvilket ikke bør være noget problem for langt de fleste pensionsopsparere og der-

med er et brugbart alternativ. De 3 % på årsbasis er blevet omregnet til månedsbasis på følgende måde:

%25,0002466,01)03,01( 12/1 .

Det ses ud fra bilag 1, at det er ”Portefølje 8”, som har den højeste RTVR og dermed udgør tangentporteføl-

jen, fordi kapitalmarkedslinjen skærer den efficiente rand i netop dette punkt. Aktivallokeringen i den op-

timale risikofyldte portefølje er vist i tabel 2.5, som resulterer i et månedligt forventet afkast på 0,42 % over

for en standardafvigelse (risiko) på 0,5475 %.

Tabel 2.5 - Portefølje 8

Aktiv OMXC20 Sundhedspleje Materialer 2-årige stat. 7-årige stat.

Andel 0 % 5,36 % 1,24 % 91,77 % 1,63 % Kilde: Egen tilvirkning

Det er tydeligt for enhver, at ”Portefølje 8” i realiteten ikke bør gå under navnet ”risikofyldt portefølje”,

idet langt den største andel består af 2-årige danske statsobligationer. Det kan godt pege i retning af, at en

væsentlig del af datahistorikken brugt i analysen er påvirket af den såkaldte ”finanskrise”, hvor de første

krisetegn så dagens lys i starten af år 200740. Det har især for de tre aktieindeks resulteret i et lavere for-

ventet fremtidigt afkast og større risiko (standardafvigelse). For at opnå den mindst mulige risiko for et

givet afkast (jf. tidligere Markowitz citat) udnyttes de 2-årige statsobligationers negative korrelation med

aktieindeksene, som er mest negativ for Sundhedsplejesektor-indekset og derefter Materialesektor-

indekset. Ligeledes inddrages de 7-årige statsobligationer, hvor en mindre negativ korrelation med de to

aktieindeks reducerer porteføljens samlede risiko. Diversifikationsgevinsterne gør, at en investor, som sagt,

opnår den mindste risiko for et forventet afkast i sin portefølje, som dermed er mere robust over for ube-

hagelige overraskelser jf. indledningen og yderligere beskrivelse i artiklen ”Finansiel rådgivning – Behov for

enkel og effektiv finansaftalelov” skrevet af Grosen og Tanggaard41.

Hvordan skal den optimale risikofyldte portefølje kombineres med det risikofrie aktiv?

For at kunne give svar på dette spørgsmål er det vigtigt at konstatere, at lige så vel som det er muligt at

investere i et risikofrit aktiv, lige så vel vil man som investor også have mulighed for at optage et penge-

38

Aktie investering – Teoretisk og praktisk anvendelse side 61-62 39

http://www.nykredit.dk/privat/info/bank/formuekonto-med-fast-hoej-rente.xml 40

http://www.jyskebank.dk/_jb/commoninc/bin.asp?id=239928&src=denglobalefinanskrise_ver.1_.pdf 41

Finansiel rådgivning – Behov for enkel og effektiv finansaftalelov side 2

http://www.nykredit.dk/privat/info/bank/formuekonto-med-fast-hoej-rente.xml

http://www.jyskebank.dk/_jb/commoninc/bin.asp?id=239928&src=denglobalefinanskrise_ver.1_.pdf

Side 20 af 64

markedsudlån, som kan bruges til investering i en risikofyldt portefølje42. Eksemplet vil tage udgangspunkt i

en situation, hvor investor har mulighed for at oprette en friværdikonto, som almindelig kunde hos Nykre-

dit. Man har i dette tilfælde mulighed for at låne til en årlig udlånsrente på 3,80 %43. Det giver en månedlig

udlånsrente på: %31,0003113,01)038,01( 12/1 . Størrelsen på lånet skal sammen med en evt.

restgæld på investors realkreditlån holdes inden for 80 % af boligens værdi. Det er naturligvis ikke alle inve-

storer, som har mulighed for at oprette en friværdikonto, men udlånsrenten skal i denne analyse blot illu-

strere et eksempel. Hvis man kun har mulighed for at låne til en højere udlånsrente, må man acceptere en

risikofyldt portefølje med både højere forventet afkast og risiko til gearing.

Med udlånsrenten kan en ny kapitalmarkedslinje bestemmes, som tangerer den efficiente rand. Det gøres

igen ved at undersøge, hvilken portefølje der har den højeste RTVR. Som det ses i bilag 1, er det ”Portefølje

16”, hvis aktivallokering kan ses i tabel 2.6.


Aktiv OMXC20 Sundhedspleje Materialer 2-årige stat. 7-årige stat.

Andel 0 % 18,55 % 2,6 % 0 % 78,85 % Kilde: Egen tilvirkning

En investering i denne portefølje vil medføre et forventet månedligt afkast på 0,7 % og en standardafvigelse

på 1,65 %. Den efficiente rand og de to kapitalmarkedslinjer kan ses i figur 2.2.

Figur 2.2 - Efficient rand og CML


Figur 2.2 viser, at de to CML-kurver (kapitalmarkedslinjer) skærer den efficiente rand i to forskellige punk-

ter. Det betyder, at antallet af risikofyldte porteføljer, som har interesse for investor, er afgrænset til porte-

føljer, der befinder sig mellem disse to punkter. Porteføljer, som befinder sig uden for segmentet, vil blive

domineret af porteføljekombinationer bestående af et risikofrit indlån og ”Portefølje 8” eller et risikofrit

42


http://www.nykredit.dk/privat/ressourcer/dokumenter/pdf/Priser/prisliste-udlaan.pdf


Side 21 af 64

udlån og ”Portefølje 16”44. Hvilken kombination, der er mest optimal, er et spørgsmål om investors grad af

risikoaversion.

Som tidligere nævnt, hænger afkast og investeringsrisiko uløseligt sammen, og heraf er investeringsrisikoen

investorafhængig45. Hvordan investor vil fordele sin investering mellem den risikofyldte portefølje og det

risikofrie aktiv, vil tage udgangspunkt i hans/hendes nyttefunktion, og det er den individuelle risikoaversion,

der bestemmer kurvens udseende46. Man skelner ofte mellem tre typer af investorer: en risikoavers inve-

stor, som har en konkav nyttekurve, en risikoneutral investor, der har en lineær nyttekurve og til sidst en

risikovillig investor, som har en konveks nyttekurve. Det er muligt ud fra nyttefunktionen at bestemme et

kvantitativt udtryk for investors risikoaversion.

Den efficiente rand blev tidligere udledt ud fra det forventede afkast og den dertilhørende risiko. For at

bringe den fundne efficiente rand sammen med en nyttefunktion, afgrænses investors præferencer til at

være netop det forventede afkast og risikoen. Denne forudsætning er opfyldt i to situationer. I den ene

situation antager man, at afkastet er normalfordelt, da normalfordelingen specificeres ud fra afkastets for-

ventede værdi og standardafvigelse (risiko). Det vil i den empiriske analyse forekomme som en meget grov

antagelse, idet næsten ingen aktieindeks er normalfordelte. Dette kan ses i bilag 2, hvor der er tegnet hi-

stogrammer for de tre indeks, samt foretaget en Jarque-Bera-test.

Som alternativ til normalfordelingen kan det forudsættes, at nyttefunktionen er kvadratisk i afkastet PR ,

og formlen for den kvadratiske nyttefunktion er givet ved:

2*)( PPP RaRRU , hvor a angiver graden af risikoaversion. Den forventede nytte kan derefter gives ved

formlen:

Formel 2.3: )(*)())(( 2

PPP REaRERUE , hvor )( 2

PRE kan bestemmes ud fra den generelle definition

af variansen på en stokastisk variabel PR : 222 )()( PPP RERE . Denne formel kan omskrives og indsæt-

tes i formel 2.3:

22 *)(*)())(( PPPP aREaRERUE

Ud fra den kvadratiske nyttefunktion kan den forventede nytte bestemmes alene ud fra den forventede

værdi og standardafvigelsen (eller variansen).

Der vil i de følgende udregninger blive benyttet en mere simpel udgave af nyttefunktionen, som er givet

ved47:

Formel 2.4 2**½)())(( PPP aRERUE

Formlen indeholder størrelsen for det forventede afkast og risikoen, der er givet ved variansen. Vi brugte

tidligere i udarbejdelsen af kapitalmarkedslinjerne to formler, der beregnede hhv. det forventede afkast for

44


Investment Policy Statements – Best practice inden for finansiel rådgivning side 3 46


Aktie investering – Teori og praktisk anvendelse side 69-72

Side 22 af 64

den risikofyldte portefølje og det risikofrie aktiv, samt risikoen. Ved at indsætte disse to formler, får vi føl-

gende:

Formel 2.5: 22 ***½*)1(*))(( PfPP XaRXRXRUE

For at finde et udtryk for, hvor stor en del der skal investeres i den risikofyldte portefølje, skal formel 2.5

differentieres med hensyn til X, der er andelen investeret i den risikofyldte portefølje. Derefter skal diffe-

rentialet sættes lig nul, hvorefter X isoleres:

0***½*2 2

PfP XaRR

X

U

Formel 2.6:2* P

fP

a

RRX

Dermed udtrykker formel 2.6, hvor stor en del der bør investeres i den risikofyldte portefølje for den enkel-

te investor. Vi kan bruge formlen til at finde den kombination, som giver størst nytte ved at benytte forskel-

lige givne niveauer for investors risikoaversion. Et skema over disse beregninger kan ses i bilag 1. Så længe

en investors risikoaversion er så høj, at den kombinerede portefølje ikke ønskes gearet, skal der tages ud-

gangspunkt i ”Portefølje 8”, der er beregnet ud fra indlånsrenten, idet vi netop ønsker at kombinere den

risikofyldte portefølje med det risikofrie aktiv. Hvis derimod risikoaversionen er meget lav hos investor, og

porteføljen ønskes gearet, skal udgangspunktet tages i ”Portefølje 16”, der er beregnet ud fra udlånsren-

ten.

Ud fra de givne eksempler på forskellige værdier af risikoaversion i bilag 1 ses det, at med en risikoaversion

på 0,7 opnår investor en nytte på 0,31886. Det er på baggrund af en kombineret portefølje, som består af

81 % investeret i den risikofyldte portefølje (Portefølje 8) og 19 % investeret i det risikofrie aktiv (indlåns-

renten). Det giver et forventet månedligt afkast på 0,3877 % og en varians på 0,1967 %. Det ses ligeledes ud

fra bilag 1, at hvis investor har en risikoaversion på 0,1 opnås en nytte på 0,587673, som er beregnet ud fra

”Portefølje 16”, fordi investor her ønsker at geare porteføljen. Han/hun vil med en risikoaversion på 0,148

investere 42,4 % mere end sin formue i den risikofyldte portefølje (Portefølje 16) ved optage et lån til ud-

lånsrenten. En sådan kombineret portefølje vil resultere i et månedligt afkast på 0,8653 % og en varians på

5,55 %. Det er dermed tydeligt, at investor er parat til at tage større risici med sin portefølje.

De kombinerede/gearede porteføljers forventede afkast samt risiko kan også illustreres grafisk. Først skal

formel 2.4 isoleres for den kombinerede porteføljes afkast:

2**½ PP aUR

Herefter sættes risikoaversionen og nytten fast, og det forventede afkast beregnes ud fra forskellige værdi-

er af standardafvigelsen, som det ses i bilag 1. Værdierne for det forventede afkast og værdierne for stan-

48

Værdierne 0,7 og 0,1 for risikoaversion er blot eksempler, idet de resulterer i hhv. en kombineret og gearet porteføl-je. Der vil i næste afsnit blive benyttet mere almindelige værdier.

Side 23 af 64

dardafvigelsen udgør tilsammen investors indifferenskurve, som tangerer den dertilhørende kapitalmar-

kedslinje. Det er illustreret i figur 2.3.

Figur 2.3 - Inddragelse af nyttekurver


Figur 2.3 viser, at nyttekurven for en investor med en risikoaversion på 0,7 tangerer kapitalmarkedslinjen

for indlånsrenten ved en standardafvigelse på 0,4435 % %)1967,0( og et forventet månedligt afkast på

0,3877 %. Figuren viser ligeledes, at nyttekurven for en investor med en risikoaversion på 0,1 tangerer kapi-

talmarkedslinjen for udlånsrenten ved en standardafvigelse på 2,357 % %)55,5( og et forventet måned-

ligt afkast på 0,8653 %. På denne måde viste James Tobin, hvilken portefølje som skal holdes af den enkelte

investor ud fra graden af risikoaversion. De ovenstående to eksempler har taget udgangspunkt i to typer af

investorer, som enten ønsker at kombinere – eller geare porteføljen. Man kan også sagtens forestille sig en

investor, der hverken ønsker at kombinere eller geare, men blot investere hele formuen i en risikofyldt

portefølje. Her er antallet af porteføljer, som før nævnt, afgrænset til dem, der befinder sig mellem de to

kapitalmarkedslinjers skæringspunkter med den efficiente rand49.

2.2 Kritik af det myopiske porteføljevalg

Markowitz’s middel-varians analyse og Tobins separationsteorem er fint egnede til at tilrettelæge en passiv

porteføljestrategi. De to tilgange har dog som så mange andre også et antal begrænsninger, hvor nogle af

de væsentlige kort vil blive gennemgået i dette delafsnit.

49


Side 24 af 64

2.2.1 Måling af risiko

Som mål for risiko benyttes standardafvigelsen af aktivernes afkast. Standardafvigelsen, og dermed varian-

sen, måler variabiliteten både over og under gennemsnittet (det forventede afkast). Fra en investors syns-

punkt vil variansen over gennemsnittet ikke blive betegnet som risiko. Her kan f.eks. semivariansen i stedet

anvendes, som allerede blev diskuteret af Markowitz selv i 1959. Semivariansen er dermed et eksempel på

et ”downside” risiko-mål, og der findes mange andre måder at måle denne ”downside” risiko. Det er vigtigt

at bide mærke i, at ved brug af sådanne ikke-varians mål for risiko, vil investor komme frem til signifikant

forskellige efficiente porteføljer end ved brugen af almindelig varians/standardafvigelse. Standardafvigel-

sen er valgt i denne opgave, idet det er den mest almindelige norm, og alternative mål for risiko volder ofte

større problemer i den præcise estimering50.

2.2.2 Optimering af nyttefunktion

Det blev tidligere beskrevet, at investors præferencer afgrænses til forventet afkast (gennemsnit) og risiko

(standardafvigelse), når den efficiente rand skal kobles på en nyttefunktion. Her skal afkastet enten antages

at være normalfordelt, eller nyttefunktionen skal være kvadratisk i afkastet. Idet beregningerne i bilag 2

viser, at afkastene ikke kan antages at være normalfordelte, blev optimeringsprocessen foretaget ud fra

den kvadratiske nyttefunktion. Dette har dog også sine begrænsninger.

Der skelnes mellem absolut risikoaversion og relativ risikoaversion. Absolut risikoaversion er investors reak-

tion på usikkerheden om absolutte kroneændringer i hans velstand, og kan beregnes som:

)('

)('')(

WU

WUWA

Relativ risikoaversion er investors reaktion på usikkerheden over for procentvise ændringer i velstanden, og

er givet ved formlen:

)(*)('

)('')( WAW

WU

WUWWR , hvor der skaleres med investors formue.

Hvis vi beregner den første – og anden afledte af nyttefunktionen (formel 2.4), får vi følgende resultater:

PP RaRU **21)(' og aRU P *2)(''

Nyttefunktionen vil derfor kun være konkav og repræsenterer en risikoavers investor, hvis a er positiv, idet

)('' PRU skal være negativ. Hvis a skal være positiv, kræves det samtidig, at 1)2( aRP for at )(' PRU kan

være positiv. Denne antagelse vil godt kunne brydes for rimelige antagelser om a.

Den relative og absolutte risikoaversion i den kvadratiske nyttefunktion ser ud, som følger:

50

Efficient Asset Management – A Practical Guide to Stock Portfolio Optimization and Asset Allocation side 20-22

Side 25 af 64

P

PRa

aRA

**21

*2)(

og

P

PP

Ra

RaRR

**21

**2)(

Man kan derefter tage den første afledede af de to risikoaversionsmål for at se, hvordan de påvirkes af en

stigning i afkastet:

0)**21(

*4)('

2

2

P

PRa

aRA og 0

)**21(

*2)('

2

P

PRa

aRR

Begge er positive, såfremt a er positiv, som diskuteret ovenfor. Det betyder, at begge risikoaversionsmål

stiger med stigende afkast. Investor vil ikke blot investere færre kroner i den risikofyldte portefølje, når

afkastet stiger, men også andelen, som er investeret i den risikofyldte portefølje, vil falde med stigende

afkast51. Dette er utilfredsstillende i forhold til de empiriske erfaringer, hvor bl.a. Blume og Friend i 1975

konkluderer, at investeringsadfærden blandt amerikanske investorer peger i retning af aftagende absolut

risikoaversion og konstant relativ risikoaversion52.

Det ender dog ud i formel 2.6, som holder for en række forskellige nyttefunktioner (jf. afgrænsning).

2.2.3 Statisk porteføljevalg og investorspecifikke forhold

Den passive strategi er kendetegnet ved sit fokus på diversifikationseffekten via et godt kendskab til de

enkelte aktivtyper frem for et forsøg på at ”time” markedet. Markowitz og Tobin inddrager dette diversifi-

kationsaspekt i deres analyser af hhv. den efficiente rand og separationsteoremet. Dette afsnit har derfor

via den empiriske analyse fundet frem til, at en investors optimale aktivallokering til en pensionsopsparing

ud fra en passiv strategi vil være:

En kombineret portefølje bestående af ”Portefølje 8” og den risikofrie månedlige indlånsrente på 0,25 %;

en gearet portefølje, hvor mere end den samlede formue investeres i ”Portefølje 16” ved låntagning til en

månedlig udlånsrente på 0,31 %; eller hele formuen investeret i en af de porteføljer, som ligger på den effi-

ciente rand mellem de to kapitalmarkedslinjers tangentpunkter. Valget blandt det afgrænsede antal porte-

føljer afhænger af investors grad af risikoaversion. En investor med en risikoaversion på 0,7 skal investere

81 % i ”Portefølje 8” og 19 % i den risikofrie indlånsrente, mens en investor med en risikoaversion på 0,1 vil

investere 42,4 % mere end sin formue i ”Portefølje 16” via låntagning til en månedlig udlånsrente på 0,31

%.

Markowitz’s og Tobin’s analyser resulterer via deres statiske egenskab i en én-periode-model53. Det vil sige,

at investor skal holde vægtningen af aktiver fast i den optimale portefølje over hele investeringsperioden.

Det stemmer i teorien også overens med den passive styringsmetode, hvor man tager udgangspunkt i at

holde vægtningen af de forskellige aktivklasser så konstant som muligt54, hvilket resulterer i et lavt transak-

51

Aktie investering – Teori og praktisk anvendelse side 72-73 52


Efficient Asset Management – A Practical Guide to Stock Portfolio Optimization and Asset Allocation side 23 54

Strategisk Asset Allocation – kort fortalt side 14

Side 26 af 64

tionsniveau for investor. Idet denne opgave tager udgangspunkt i udarbejdelsen af en optimal aktivalloke-

ring til en pensionsopsparing (jf. afsnit 2.1.1), vil der i langt de fleste tilfælde være tale om en lang investe-

ringshorisont. Det er derfor uheldigt at investere sin formue i en optimal portefølje udarbejdet på baggrund

af en én-periode-model, idet en lang investeringshorisont ofte ses som en multiperiode horisont med mu-

lighed for løbende at ændre (rebalancere) aktivallokeringen55.

Den empiriske analyse har desuden ikke resulteret i en optimal portefølje, som er særlig investorspecifik.

Det eneste, investor skal forholde sig til, er graden af risikoaversion, som afspejler, hvor meget der skal

investeres i den risikofyldte portefølje og det risikofrie aktiv. Dette er også beskrevet i bogen ”Modern Port-

folio Theory and Investment Analysis”, hvori man finder følgende citat: ”The ability to determine the opti-

mum portfolio of risky assets witout having to know anything about the investor have a special name. It is

called the separation theorem”56.

Besvarelsen af anden problemstilling vil illustrere, hvordan aktivallokeringen kan udarbejdes for en multi-

periode horisont og ved inddragelse af yderligere investorspecifikke forhold.

3.1 Inddragelse af investorspecifikke forhold

Der er tidligere blevet refereret til Michael Andersens rådgivningsskabelon i artiklen ”Investment Policy

Statements – Best practice inden for finansiel rådgivning”. Figur 3.1 viser skabelonen taget fra artiklen. Den

viser, at ”best practice” inden for finansiel rådgivning omfatter mange integrerede delelementer. Besvarel-

sen af første problemstilling tog udgangspunkt i flere af disse delelementer. I kassen øverst i venstre hjørne

”Investment Policy Statements” blev aktivallokeringsprocessen afgrænset til allokering af danske aktie– og

obligationsindeks. Investors risikoaversion blev ligeledes inddraget i besvarelsen. Kassen bliver af en pil ført

videre til ”Porteføljestrategier”, hvor besvarelsen benyttede en porteføljeteoretisk analysemetode via en

passiv styring og dermed en passiv strategi. Derefter blev porteføljekonstruktionen – og implementeringen

udarbejdet via en empirisk analyse på baggrund af Markowitz’s efficiente rand og Tobin’s separationsteo-

rem.

55

Strategisk og taktisk aktivallokering – forudsigelige afkasts betydning for den langsigtede investors porteføljevalg side 1 56

Modern Portfolio Theory and Investment Analysis side 87

Side 27 af 64

Figur 3.1 - Rådgivningsskabelon

Kilde: Investment Policy Statement – Best Practice inden for finansiel rådgivning

Dette afsnit vil besvare den anden problemstilling ved yderligere at fokusere på investeringshorisonten ved

inddragelse af investors humankapital, samt dens korrelation med en risikofyldt portefølje, og størrelsen på

den omsættelige finansielle formue. Dermed indeholder kassen ”Investment Policy Statement” både gra-

den af risikoaversion, humankapital, samt dens korrelation med en risikofyldt portefølje, og omsættelig

finansiel formue af investorspecifikke forhold, som skal moniteres i implementeringsfasen og påvirke porte-

føljekonstruktionen.

3.1.1 Investeringshorisontens indflydelse på aktivallokeringen

Det blev i besvarelsen af den første problemstilling vist, at den mest optimale andel investeret i en risiko-

fyldt portefølje uanset investeringshorisont kan gives ved formlen:

Formel 3.1: 2* P

fP

a

RRX

Som nævnt strider denne antagelse imod en lang investeringshorisont, der oftest betragtes som en multi-

periode horisont. Empiriske undersøgelser viser, at det forventede aktieafkast på lang sigt med stor sand-

synlighed vil give et højere forventet afkast end en langsigtet obligationsinvestering, hvorimod sandsynlig-

heden er knap så stor på kort sigt. Resultatet kan i teorien løse multiperiodekonflikten, idet investors aktie-

andel bør stige med investeringshorisonten57. Et sådan resultat kan f.eks. findes i bogen ”Strategisk Asset

Allocation – kort fortalt”. Her har investeringshuset Ibbotson beregnet, at én dollar investeret i det ameri-

kanske aktieindeks S&P 500 i 1926 vil være vokset til 2.306,45 dollars i 1997, mens samme investering i

57

Skal investorer med lang investeringshorisont have større aktieandel? Side 1

Side 28 af 64

korte amerikanske statsobligationer ville være vokset til 18,83 dollars58. Det er oven i købet en udbredt

opfattelse, at risiko på aktieinvesteringer kan bortdiversificeres over lange tidshorisonter59. Det taler umid-

delbart for en multiperiode horisont på baggrund af det langsigtede forventede aktieafkast.

De to artikler ”Skal investorer med lang investeringshorisont have større aktieandel?” og ”Hvad praktikere

bør vide om… Horisontens betydning for den institutionelle opsparing” kommer dog med modargumenter

for, at det langsigtede forventede afkast danner rammen for en multiperiode horisont. Den førstnævnte

artikel udregner sandsynligheden for, at en aktieinvestering outperformer en obligationsinvestering60 over

en given investeringshorisont, T, ved hjælp af følgende formel:

TrNe

S

SP rTt )2/( 2

0

Ligeledes udregner artiklen sandsynligheden for, at en aktieinvestering underperformer en obligationsinve-

stering. Der bliver på baggrund af outperformance-sandsynlighederne konkluderet, at det forventede me-

rafkast på en aktieinvestering vokser med længden af investeringshorisonten, men det gør variansen på

afkastet også. I artiklens model opvejer de to effekter hinanden, således at den optimale aktieandel ikke

kommer til at afhænge af investeringshorisonten61. Dette stemmer fint med den sidstnævnte artikel, hvor

der står skrevet, at en forlængelse af investeringshorisonten svarer til en tilsvarende forøgelse af risikoeks-

poneringen62 (denne diskussion fortsætter i afsnit 4.1.2). Dermed udgør formel 3.1 og besvarelsen af første

problemstilling stadig den mest optimale aktieandel (eller andel af risikofyldt portefølje) uanset længden på

investeringshorisonten. Den førstnævnte artikel går i stedet for ind og diskuterer lønindkomstens betyd-

ning for aktieandelen (eller andel af risikofyldt portefølje) i forhold til investeringshorisonten63; og det vil

resten af dette afsnit beskæftige sig med.

Lønindkomstens betydning for en porteføljes aktivallokering bliver taget op i bogen ”Strategic Asset Alloca-

tion” skrevet af Campbell og Viceira. De skriver, at man normalt antager investors formue til kun at være de

omsættelige finansielle aktiver, hvilket også har været denne opgaves udgangspunkt hidtil. Det er en accep-

tabel forudsætning for mange institutionelle – og pensionerede individuelle investorer. Det er derimod ikke

en acceptabel forudsætning for investorer, som befinder sig på arbejdsmarkedet og derfor sparer op til

pension, som er tilfældet for en stor del af den danske befolkning. Her udgør de omsættelige finansielle

aktiver blot en andel af den samlede formue. Investorer ejer også et aktiv, som ikke er omsætteligt; det er

den individuelle investors humankapital, der er givet ved nutidsværdien af den fremtidige lønindkomst64.

Man kan ikke sælge sin humankapital, og det er dermed ikke et aktiv i traditionel forstand, men kan opfat-

tes som et pseudo-aktiv, hvor man ved at leje sin arbejdskraft ud får løbende udbytte i form af lønind-

58

Strategisk Asset Allocation – kort fortalt side 17 59

Hvad praktikere bør vide om… Horisontens betydning for den institutionelle opsparing side 2 60

Skal investorer med lang investeringshorisont have større aktieandel? Side 2 61


Hvad praktikere bør vide om… Horisontens betydning for den institutionelle opsparing side 3 63

Skal investorer med lang investeringshorisont have større aktieandel? Side 3-5 64

Strategic Asset Allocation side 162

Side 29 af 64

komst65. Dermed består investors formue både af de omsættelige finansielle aktiver og humankapital. Det-

te er givet ved formel 3.2:

Formel 3.2:

2

,

2*1

P

FH

P

fP

F

H

a

RR

F

HX

Formel 3.2 tager udgangspunkt i formel 3.1, som blev udledt i afsnit 2.1.4.2, og dermed en passiv strategi.

Her er

F

H1 blevet ganget på, som er én plus middelværdien af

t

t

F

H, der er forholdet mellem inve-

stors humankapital og omsættelige finansielle formue. Derefter fratrækkes leddet

2

,

P

FH

F

H

, hvor

FH , er kovariansen mellem lønindkomst og aktieafkast. Formel 3.2 viser, at hvis lønindkomsten ikke er

korreleret med aktiemarkedet, og dermed risikofrit, vil det sidste led gå væk. Den statiske aktieandel fra

formel 3.1 vil derfor vokse i takt med én plus det gennemsnitlige forhold mellem humankapital og den fi-

nansielle formue. Dermed vil en overvægt af humankapital i forhold til omsættelig finansiel formue tale for

en øget andel investeret i aktier. Dette giver god mening, idet den risikofrie humankapital implicit udgør en

investering i risikofrie statsobligationer. Det sidste led kommer til at spille en rolle, når korrelationer mel-

lem lønindkomst og aktiemarked ligger mellem -1 og 1, hvilket er mest normalt66. Det vil der blive set nær-

mere på senere i dette afsnit via en empirisk analyse. Inddragelse af lønindkomsten og den varierende for-

mue af omsættelige finansielle aktiver følger derfor Markowitz’s grundidé om at sammensætte en veldiver-

sificeret portefølje ud fra aktivers samvariation i afkastene (jf. citat afsnit 2.1.4.1), og de yderligere inve-

storspecifikke forhold danner samtidig en multiperiode investeringshorisont.

Det kan læses ud af både indledningen og figur 3.1, at de investorspecifikke forhold udgør en vigtig be-

standdel i den individuelle investors aktivallokering. Dette synspunkt tages også op i artiklerne ”Finansiel

rådgivning – et forbrugerpolitisk rædselskabinet” og ”Lønindkomstens betydning for porteføljevalget – Er

du en aktie eller en obligation?”, hvori man kan læse følgende citater: ” Det bør være slut med, at finansiel

rådgivning kan baseres på ideen om, at finansiel risiko forsvinder af sig selv, når blot horisonten er lang nok,

og at ældre mennesker udstyres med aktiedominerede porteføljer, stærkt gearede investeringer og besnæ-

rende produkter markedsført med eufemistiske produktnavne som dynamisk, markedsneutral, lavrisiko,

højrente osv.67” og ”Den optimale porteføljesammensætning afhænger i høj grad af investorspecifikke for-

hold, såsom risikoaversion og human kapital og dennes korrelation med aktiemarkedet”68. Dette afsnit vil

derfor fortsætte den empiriske analyse fra besvarelsen af første problemstilling ved at inddrage de oven-

fornævnte investorspecifikke forhold.

65

Lønindkomstens betydning for porteføljevalget – Er du en aktie eller en obligation? Side 1 66

Lønindkomstens betydning for porteføljevalget – Er du en aktie eller en obligation? Side 3 67

Finansiel rådgivning – et forbrugerpolitisk rædselskabinet side 3 68

Lønindkomstens betydning for porteføljevalget – Er du en aktie eller en obligation? Side 6

Side 30 af 64

3.1.2 Udarbejdelse af aktivallokering ved inddragelse af investorspecifikke forhold

Der blev i sidste delafsnit nævnt begrebet ”risikofrie statsobligationer”. Grunden til det er, at formel 3.2

antager, at korte obligationer er risikofrie og dermed udgør variablen fR . Derfor vil resultatet fra sidste

afsnits empiriske analyse blive justeret, så den tilpasses denne antagelse. Fremgangsmåden er præcist den

samme som før, men den optimale risikofyldte portefølje vil kun indeholde en allokering mellem OMXC20-

indekset, Sundhedsplejesektor-indekset, Materialesektor-indekset og 7-årige statsobligationer. De 2-årige

statsobligationer vil indgå som den risikofrie statsobligation (i stedet for sidste afsnits risikofrie indlånsren-

te) med et forventet afkast på 0,36029 %, som det blev beregnet til i sidste afsnit. Det vil sige, at det anta-

ges, at de 2-årige statsobligationer har en varians/standardafvigelse på 0.

Dette er umiddelbart en grov antagelse, idet vi i sidste afsnit beregnede de 2-årige statsobligationers stan-

dardafvigelse til at være 0,467101 %. Man kan undersøge, om antagelsen går an i forhold til statistisk signi-

fikans ved at opstille et konfidensinterval for populationsvariansen. Konfidensintervallet følger chi-i-anden

fordelingen og er givet ved følgende formel:

2/1;12

22

2/;12

2 *)1(*)1(

nn

snsn

Forudsætningerne for brug af konfidensintervallet er, at afkastene er normalfordelte, eller alternativt, at

stikprøven er tilstrækkelig stor69. Det er altid svært at afgøre, hvornår en stikprøve er tilstrækkelig stor, så

figur 3.2 viser derfor, hvorvidt afkastene på de 2-årige statsobligationer kan antages at være normalfordel-

te.

Figur 3.2 - Normalfordelte afkast

Kilde: Udarbejdet i Eviews

Figur 3.2 viser, at det er rimeligt at antage afkastene som værende normalfordelte, da ”Skewness” ligger

tæt på 0 og ”Kurtosis” tæt på tre; og konfidensintervallet kan udregnes.

69

Notesamling til Statistik på HA og HD 1. del side 95

Side 31 af 64

28,168

467101,0*)1180(

99,233

467101,0*)1180(467101,0*)1180(467101,0*)1180( 22

2

2/1,0;12002

22

2/1,01;12002

2

232082,0166908,0 2 481749,0408544,0

Man kan ud fra konfidensintervallet med 90 % sikkerhed konkludere, at variansen for afkastene på de 2-

årige statsobligationer ligger inden for intervallet 0,166908 % og 0,232082 %, mens standardafvigelsen med

90 % sikkerhed ligger inden for intervallet 0,408544 % og 0,481749 %. Det er tydeligt, at antagelsen om en

varians på 0 ikke er statistisk signifikant inden for rimelige signifikansniveauer.

Artiklen ”Skal investor med lang investeringshorisont have større aktieandel?” har beregnet de ovenfor-

nævnte outperfomance-sandsynligheder, hvor rentestrukturen følger realistiske parametre og en realistisk

korrelation med aktieprisen. De beregnede outperformance-sandsynligheder har samme størrelsesorden

som tidligere resultater og afhænger kun ubetydeligt af, hvilke obligationer der sammenlignes med70. Man

kan ligeledes læse følgende i artiklen ”Hvad praktikere bør vide om… Horisontens betydning for den institu-

tionelle opsparing”: ”Risikopræmien er det merafkast, der kan opnås ved investering i risikable aktier i for-

hold til en placering i korte, nominelt risikofrie obligationer. Det er i denne sammenhæng vigtigt at skelne

mellem lange og korte obligationer. Det er korte obligationer, der kan sammenlignes med en risikofri inve-

stering, hvorimod lange obligationer bedre kan sammenlignes med aktieinvesteringer”71. Den empiriske

analyse fortsætter derfor ved brug af antagelsen om de 2-årige statsobligationers nulvarians72.

Man kan i bilag 3 se udregningerne fra porteføljeoptimeringsprocessen, der er beregnet på baggrund af

ovenfornævnte justeringer. Her kan man se, at det er ”Portefølje 7”, som er den mest optimale risikofyldte

portefølje til at kombinere med den 2-årige risikofrie statsobligation. ”Portefølje 7” består af følgende ak-

tivallokering:


Aktiv OMXC20 Sundhedspleje Materialer 7-årige stat.

Andel 0 21,35 % 2,17 % 76,48 % Kilde: Egen tilvirkning

Porteføljen giver desuden et forventet månedligt afkast på 0,72 % og har en varians på 3,047 %. Det anta-

ges i denne analyse, at investor har mulighed for at geare sin portefølje med en månedlig udlånsrente på

0,36029 %. Udlånsrenten er den samme som afkastet på den 2-årige statsobligation; så ”Portefølje 7” er

den mest optimale portefølje til både kombinering og gearing. Denne antagelse er foretaget, idet den ar-

bejder bedst sammen med formel 3.2, og har ingen indflydelse på hensigten med dette afsnit.

Den optimale andel investeret i hhv. ”Portefølje 7” og den risikofrie 2-årige statsobligation kan via formel

3.1 og en risikoaversion på 4 blive beregnet til:

70

Skal investor med lang investeringshorisont have større aktieandel? side 3

71 Hvad praktikere bør vide om… Horisontens betydning for den institutionelle opsparing side 1

72

Der findes indtil flere forskellige synspunkter i denne diskussion – Michael Andersen udtrykker f.eks. en modsat holdning i artiklen ”Investment Policy Statements – Best practice inden for finansiel rådgivning”.

Side 32 af 64

%049,971

%951,2047407,3*4

36029,072,0

X

X

Det er tydeligt, at med en risikoaversion på 4 er det en risikoavers investor, vi har med at gøre, som blot vil

investere 2,951 % af sin omsættelige finansielle formue i den risikofyldte portefølje. Det er derfor spæn-

dende at se, hvad inddragelsen af de yderligere investorspecifikke forhold kan gøre ved denne konklusion.

3.1.2.1 Udregning af humankapital

Ligesom hver investor har en individuel grad af risikoaversion, har hver investor også en individuel størrelse

af humankapital, som indeholder indtil flere investorspecifikke oplysninger.

Den empiriske analyse vil tage udgangspunkt i Campbell og Viceira’s definition af humankapital, som er

givet i bogen ”Strategic Asset Allocation”: ”This asset is their human wealth, the expected present dis-

counted value of their future labor earnings”73. Det vil sige, at humankapitalen defineres som nutidsværdi-

en af den fremtidige lønindkomst. Der vil i analysen blive taget udgangspunkt i investorspecifikke forhold

inden for den samlede private sektor og brancherne finansiering, bygningsarbejde, forskning og undervis-

ning; hvor forskning og undervisning er brancher tilhørende den offentlige sektor. Analysen vil blive udar-

bejdet på baggrund af danske data.

Med den fremtidige lønindkomst menes den samlede fremtidige lønindkomst, og størrelsen vil derfor vari-

ere efter alderen, idet unge menneskers samlede fremtidige lønindkomst alt andet lige vil være større end

ældre menneskers. Tabel 3.2 viser den gennemsnitlige timeløn brutto efter alder for hhv. den private sek-

tor og de fire brancher. Tallene er fra år 2009 og er taget fra Danmarks Statistik.

Tabel 3.2 - Gennemsnitlig timeløn, brutto

Private sektor Finansiering Bygningsarbejde Forskning Undervisning

-19 år kr. 140,77 kr. 142,92

20-24 år kr. 173,23 kr. 204,06 kr. 229,08 kr. 206,62

25-29 år kr. 218,11 kr. 250,91 kr. 244,99 kr. 221,98

30-34 år kr. 254,78 kr. 294,23 kr. 250,47 kr. 294,17 kr. 234,18

35-39 år kr. 281,36 kr. 324,87 kr. 258,95 kr. 359,98 kr. 251,39

40-44 år kr. 294,50 kr. 343,63 kr. 253,59 kr. 440,22 kr. 256,64

45-49 år kr. 295,97 kr. 349,16 kr. 254,47 kr. 478,76 kr. 263,95

50-54 år kr. 292,13 kr. 347,06 kr. 251,48 kr. 516,00 kr. 267,89

55-59 år kr. 281,82 kr. 332,14 kr. 249,55 kr. 531,60 kr. 264,80

60-65 år kr. 280,46 kr. 323,95 kr. 246,28 kr. 507,56 kr. 258,37

65 år - kr. - kr. - kr. - kr. - kr. - Kilde: http://www.statistikbanken.dk/statbank5a/default.asp?w=1440

73


Side 33 af 64

Årslønningerne kan nu beregnes ved at multiplicere tallene i tabel 3.2 med den gennemsnitlige årlige ar-

bejdstid for hver sektor/branche. Den gennemsnitlige årlige arbejdstid kan findes i en undersøgelse foreta-

get af Arbejderbevægelsens Erhvervsråd i år 2007. Disse tal er listet op i tabel 3.3.

Tabel 3.3 - Gennemsnitlig årlig arbejdstid


Gns. årlig ar-bejdstid (timer)

1.593 1598 1795 1553 1553

Kilde: http://www.ae.dk/files/arbejdstid_07_endelig_fip.pdf

Beregningerne af årslønnen i forhold til alder kan ses i bilag 4. Beregningerne viser bruttoopgørelsen af

årslønningerne (før skat). Humankapitalen vil i analysen blive beregnet på baggrund af nettoopgørelsen af

de fremtidige årslønninger, idet SKAT ellers vil eje en andel af aktivet. Derfor er nettoårslønningerne bereg-

net i søjlen ved siden af, hvor en skatteprocent på 33,2 % er fratrukket, som er den gennemsnitlige ind-

komstskat og ejendomsværdiskat i pct. af den skattepligtige indkomst for år 201174. Den empiriske analyse

antager, at investor tjener sin sidste årsløn som 65-årig for derefter at forlade arbejdsmarkedet.

Den fremtidige lønindkomst skal derefter tilbagediskonteres via en diskonteringsfaktor, idet humankapita-

len, som tidligere nævnt, er nutidsværdien af den fremtidige lønindkomst. Ifølge artiklen ”Skal investor med

lang investeringshorisont have større aktieandel?” er formålet med diskonteringsfaktoren som beskrevet:

”… den forventede lønindkomst diskonteret med en rente, der afspejler usikkerheden på lønindkomsten”75.

Diskonteringsfaktoren har derfor til opgave at komme frem til en nutidsværdi, som har taget højde for den

fremtidige usikkerhed. Den skal ligeledes tage højde for inflation og reallønsfremgang, som kommer til ud-

tryk i kompendiet ”Opsparingsomfang ud fra livscyklusmodellen”: ”Nutidsværdien af livsindkomsten viser,

hvor stor en formue der skal til for at erstatte den fremtidige indkomst”76. At dette ikke er en helt let stør-

relse, nævnes i artiklen ”Human kapital – en overset post på den privatøkonomiske balance”: ”Den humane

kapital er nutidsværdien af alle fremtidige arbejdsindkomster. Opgørelsen af den er behæftet med stor

usikkerhed, men det kan ikke begrunde, at den ikke fremgår eksplicit af formueopgørelsen”77.

Den risikofrie rente vil oftest benyttes som diskonteringsfaktor78; men en afspejling af usikkerheden på

lønindkomsten indeholder indtil flere aspekter. Investorer med en lang videregående uddannelse vil alt

andet lige have en mere sikker fremtidig lønindkomst end ufaglærte investorer pga. af den øgede efter-

spørgsel efter kvalificeret arbejdskraft. Til at underbygge dette postulat kan fokus rettes mod notatet ”Skat,

human kapital og uddannelse” udarbejdet af den liberale tænketank CEPOS. De viser i notatet, at der er en

tydelig gennemsnitlig gevinst ved at uddanne sig i form af øget fremtidig lønindkomst79. Den øgede fremti-

dige lønindkomst afspejler dermed større sikkerhed for den gennemsnitlige investor ved at uddanne sig.

Egenskaber som uddannelse, erfaring, fagforeningsmedlemskab og medfødte evner vil derfor få lønind-

komsten til at minde mere/mindre om en risikofri statsobligation med fremtidige kendte indbetalinger. Den

74

http://www.skm.dk/tal_statistik/indkomstfordeling/688.html 75

Skal investor med lang investeringshorisont have større aktieandel? Side 4 76

Opsparingsomfang ud fra livscyklusmodellen side 2 og 6 – Undervisningskompendium brugt i faget Privatøkonomi og investering – udarbejdet af Peder Harbjerg Nielsen. 77

Human kapital – en overset post på den privatøkonomiske balance side 1 78

Strategic Asset Allocation side 163 79

Skat, human kapital og uddannelse – figur 1 side 2

http://www.skm.dk/tal_statistik/indkomstfordeling/688.html

Side 34 af 64

empiriske analyse vil i denne opgave ikke udarbejde en investorspecifik aktivallokering, som tager højde for

investors uddannelsesniveau, evner osv., men i stedet tage højde for forskellene mellem de førnævnte

sektorer/brancher.

Diskonteringsfaktoren vil i analysen derfor blive sat til den risikofrie rente på 3 % (risikofri indlånsrente jf.

afsnit 2.1.4.2) tillagt ét procentpoint for den generelle usikkerhed, hvilket sammenlagt giver 4 %. De oven-

stående beregninger af den årlige lønindkomst er dog beregnet ud fra år 2009-priser, så diskonteringsfakto-

ren skal reduceres for både inflation og reallønsfremgang. Det vil blive gjort ved at beregne den årlige

vækst ud fra et lønindeks, der er udarbejdet for hver sektor/branche, som er taget fra Danmarks Statistik80.

De fem lønindeks kan ses i bilag 5. Den årlige vækst beregnes ved brug af lineær regression, hvor logarit-

men til indeksværdien sættes lig en konstant og en time-trend. Beregningerne er foretaget via følgende

ligning:

.,...,2,1,10 ntzy ttt

Den årlige vækst i lønindkomsten for den private sektor kan derfor beregnes ved følgende ligning, hvor den

afhængige variabel ”TOT” er en forkortelse for ”total erhverv”:

.,...,2,1,)log( 1 ntTCTOT ttt , der via statistikprogrammet Eviews resulterer i nedenfor viste

output:

Boks 3.1 - Årlig vækstrate

Dependent Variable: LOG(TOT)

Method: Least Squares

Date: 04/04/11 Time: 09:18

Sample: 1 6

Included observations: 6

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 4.565655 0.005149 886.6720 0.0000

T 0.035387 0.001322 26.76412 0.0000

R-squared 0.994447 Mean dependent var 4.689511

Adjusted R-squared 0.993059 S.D. dependent var 0.066388

S.E. of regression 0.005531 Akaike info criterion -7.295647

Sum squared resid 0.000122 Schwarz criterion -7.365060

Log likelihood 23.88694 Hannan-Quinn criter. -7.573515

F-statistic 716.3183 Durbin-Watson stat 2.011008

Prob(F-statistic) 0.000012

Kilde: Beregninger fra Eviews

Når logaritmen er taget til den afhængige variabel ”TOT”, betyder det, at hvis variablen ”T (time-trend)”

ændres med én, så ændres ”TOT” med 100* 1 %81. Time-trenden, T, indeholder blot værdierne 1-6, som

afspejler de seks år, der er lavet indeks over. Det betyder, at den årlige vækst i procent fås ved at multipli-

cere koefficienten for T med 100. Outputtet i boks 3.1 viser, at denne koefficient er beregnet til 0,035387,

80

http://www.statistikbanken.dk/statbank5a/default.asp?w=1440 81

Introductory Econometrics – A Modern Approach side 46

http://www.statistikbanken.dk/statbank5a/default.asp?w=1440

Side 35 af 64

hvilket betyder en årlig vækst på 3,5387 %. Vækstraterne beregnet for de øvrige brancher fremgår af bilag

6.

Diskonteringsfaktoren for den private sektor kan nu beregnes til:

%4455,0035387,1

035387,004,0

1

g

gr

Samtlige diskonteringsfaktorer kan ses i tabel 3.4 og er beregnet ud fra samme fremgangsmåde:

Tabel 3.4 - Diskonteringsfaktorer


Diskonteringsfaktor 0,45 % -0,12 % 0,34 % 0,12 % 0,13 % Kilde: Egen tilvirkning 1

Humankapitalen for de enkelte aldre kan herefter beregnes ved at summere de fremtidige lønindkomster,

netto, som derefter tilbagediskonteres med diskonteringsfaktorerne i tabel 3.482.

3.1.2.2 Udregning af den omsættelige, finansielle formue

Den omsættelige, finansielle formue er den andel af lønindkomsten, som investor ønsker at spare op. Det

er her op til den enkelte investor, hvor meget der ønskes lagt til side ud fra behov og forventninger til det

fremtidige forbrug. Denne størrelse er dermed også yderst investorspecifik. Boks 3.2 (som ses nedenfor) er

udledt på baggrund af Bodie og Merton og vil være udmærket at bruge over for den enkelte investor.

Ligningen skal løses i forhold til S (opsparing), der er den eneste ubekendte og investors årlige opsparing.

Ved at opspare det fundne beløb opnår investor muligheden for det ønskede forbrug som pensionist83.

Analysen vil dog ikke gøre brug af boks 3.2, da det er svært at skelne mellem individuelle investorers præfe-

82

Humankapitalen for de enkelte aldre og brancher fremgår af bilag 4. 83

Opsparingsomfang ud fra livscyklusmodellen side 3-4 – Undervisningskompendium brugt i faget Privatøkonomi og investering – udarbejdet af Peder Harbjerg Nielsen.

SinPV

inFVSSCARSC *

),(

),(*)(

C = forbrug S = opsparing

CAR = forbrug efter pensionering (andel) SS = statsstøtte

),(

),(

inPV

inFV= Pension pr. år ved 1 kr. opsparet pr. år

Boks 3.2 - Behovsafdækning

Kilde: Opsparingsomfang ud fra livscyklusmodellen

Side 36 af 64

rencer ud fra, hvilken branche de er ansat i. Analysen vil i stedet tage udgangspunkt i undersøgelsen ”Dan-

skernes indbetalinger til pension” udarbejdet af Det Nationale Forskningscenter For Velfærd i år 200884.

Tabel 3.5 viser den gennemsnitlige årlige indbetalingsprocent til pension for år 2005. Indbetalingsprocenten

indeholder de arbejdsadministrerede – og privattegnede ordninger samt SAP-ordningen (Den Supplerende

arbejdsmarkedspension)85.

Tabel 3.5 – Gennemsnitlig årlig indbetalingsprocent til pension

Alder 25-29 år 30-39 år 40-49 år 50-59 år 60-64 år

Indbetalingsprocent 6,2 % 8 % 9 % 10,1 % 7,5 % Kilde: Danskernes indbetalinger til pension – side 51

Analysen antager dermed, at investor kun sparer op til pension og ikke store forbrugsgoder som bil, fjern-

syn osv. Det antages endvidere, at investorer inden for intervallet 19-24 år har samme indbetalingsprocent

som i intervallet 25-29 år.

Den årlige indbetaling til pension er beregnet ved at multiplicere den årlige indkomst, brutto, med den der-

tilhørende indbetalingsprocent og er vist i kolonnen ”Opsparing (pension)” i bilag 4. Her bliver opsparingen

tillagt sidste års opsparing for at få den samlede opsparing (før renter). Indbetalingsprocenterne bliver ta-

get af den årlige bruttoindkomst, fordi det er muligt at fratrække indbetalingerne af den personlige ind-

komst før skat. Det er her vigtigt at matche den investorspecifikke situation med valget af pensionsprodukt.

På en kapitalpension kan der årligt fratrækkes 46.000 kr. af den personlige indkomst, og indbetalingerne

kan ikke fradrages i topskatten86. På en rate – og en livslang pensionsordning kan indbetalingerne desuden

fradrages i topskatten, og der kan årligt indbetales hhv. 100.000 kr. og ubegrænset87 88.

For at få den totale omsættelige, finansielle formue, skal afkastene af de løbende indbetalinger beregnes.

Oprigtigt bør de løbende årlige indbetalinger blive forrentet med det årlige afkast fra kombinationen af den

risikofyldte portefølje og den risikofrie 2-årige statsobligation eller den gearede portefølje. Disse afkast har

en tilhørende risiko, og det vil være urealistisk, at indbetalingerne hvert år vil blive forrentet med netop

disse afkast. De løbende, årlige indbetalinger bliver derfor forrentet med den risikofrie indlånsrente på 3 %.

De årlige afkast kan ses i kolonnen ”Afkast”, hvor der er taget højde for rentes rente ved at summere den

samlede opsparing med alle tidligere perioders afkast multipliceret med indlånsrenten. Alt afkast på pensi-

onsordninger bliver beskattet løbende. Det gælder både for renter, kursgevinster på obligationer, udbytte

på aktier og kursgevinster på aktier89. Satsen på pensionsafkastbeskatning er på 15 %90 og er dermed fra-

trukket de årlige afkast. Den totale omsættelige, finansielle formue kan derefter beregnes og er vist i ko-

lonnen ”Finansiel formue” (bilag 4), der er summen af kolonnerne ”Opsparing (pension)” og ”Afkast” for de

enkelte år.

84

Rapporten kan downloades fra linket: http://www.sfi.dk/Default.aspx?ID=3432 85

Danskernes indbetalinger til pension side 51 86

http://www.nykredit.dk/privat/info/pension/produkter-kapitalpension.xml 87

http://www.nykredit.dk/privat/info/pension/produkter-ratepension.xml og http://www.nykredit.dk/privat/info/pension/livslang-pension.xml 88

Der tages i analysen ikke højde for arbejdsmarkedsbidrag jf. afgrænsning. 89

Din økonomi side 236 90

http://www.skat.dk/skat.aspx?oId=109805&vId=203085&i=1#i109805

http://www.sfi.dk/Default.aspx?ID=3432

http://www.nykredit.dk/privat/info/pension/produkter-kapitalpension.xml

http://www.nykredit.dk/privat/info/pension/produkter-ratepension.xml

http://www.nykredit.dk/privat/info/pension/livslang-pension.xml


Side 37 af 64

Forholdet mellem investors humankapital og omsættelige, finansielle formue er derefter beregnet i kolon-

nen ”H/F”. Ved at tage gennemsnittet af ”H/F” for en given alder og frem fås værdierne i kolonnen ”Middel

H/F”, som udgør leddet F

H i formel 3.2.

3.1.2.3 Udregning af kovariansen mellem lønindkomst og risikofyldt portefølje

Nu mangler kun kovariansen mellem lønindkomst og den risikofyldte portefølje at blive udregnet, for at

den optimale aktivallokering for den enkelte sektor/branche over en multiperiode investeringshorisont kan

udarbejdes. Kovariansen i formel 3.2 bliver oftest udregnet mellem lønindkomsten og aktiemarkedet, idet

modellen forsimplet kun tager udgangspunkt i én aktie og en risikofri statsobligation91. Modellen tager i

denne analyse, som tidligere nævnt, udgangspunkt i en risikofyldt portefølje (Portefølje 7 jf. tabel 3.1) og en

risikofri 2-årig statsobligation. Derfor er kovariansen mellem lønindkomsten for hver sektor/branche og

”Portefølje 7” udregnet.

Udregningerne vil tage udgangspunkt i samme fem lønindeks, der blev brugt til at beregne den årlige vækst

i afsnit 3.1.2.1, og som ses i bilag 5. Der benyttes i dette tilfælde kvartalvise data for at gøre estimationen

mere præcis, og det kvartalvist forventede afkast for de fem lønindeks er udregnet på samme måde som i

afsnit 2.1.4.1 efter formelen:

1,

,

, lnti

ti

tiP

PR

Det forventede afkast for ”Portefølje 7” er taget ved at beregne de kvartalvise afkast for hver af de tre in-

deholdte aktiver og derefter multiplicere afkastene med den optimale andel (jf. tabel 3.1). De udregnede

værdier fremgår ligeledes af bilag 5. Herefter kan kovariansen beregnes ved hjælp af samme formel som i

afsnit 2.1.4.1:

T

t

kktiitkktiitik RRRRT

RRRRE1

1)(

Kovariansen mellem lønindkomsten for hver sektor/branche og ”Portefølje 7” er vist i tabel 3.6:

Tabel 3.6 - Kovarians mellem lønindkomst og Portefølje 7


Kovarians -0,74191 -0,11421 -0,85736 -0,38312 -0,45478 Kilde: Egen tilvirkning

Tabel 3.6 viser, at kovariansen for hver sektor/branche er negativ, hvilket betyder negativ korrelation mel-

lem lønindkomst og ”Portefølje 7”. Korrelationskoefficienten mellem hver sektor/branche og den dertilhø-

rende lønindkomst er illustreret i figur 3.3, hvor koefficienterne er beregnet som i afsnit 2.1.4.1.

91

Se f.eks. ”Lønindkomstens betydning for porteføljevalget – Er du en aktie eller en obligation?” side 3

Side 38 af 64

Figur 3.3 – Korrelationskoefficient mellem lønindkomst og Portefølje 7


Det er vigtigt at holde for øje, at ved beregning af en kovarians skal man gerne have tilstrækkeligt med da-

ta. Hvis man har utilstrækkeligt med data, risikeres upræcise estimater, der kan have afgørende indflydelse

på det endelig resultat af den optimale aktivallokering92 (mere herom i afsnit 3.1.4.1). Som det fremgår af

bilag 5, er kovarianserne i tabel 3.6 beregnet på baggrund af 24 observationer (fire kvartaler over seks år),

idet der ikke var mere data tilgængeligt. Dermed repræsenterer de udregnede kovarianser ikke nødvendig-

vis præcise estimater i forhold til de endelige parameterværdier. For at få en fornemmelse af de udregnede

kovariansers/korrelationskoefficienters pålidelighed, vil der blive set på resultaterne givet i en undersøgelse

foretaget af G. Boyle og C. Guthrie. De har i artiklen ”Human Capital and Popular Investment Advice” ud-

regnet en række korrelationskoefficienter mellem lønindkomst og aktieindeks for nogle forskellige lande.

Her har syv ud af elleve lande en negativ korrelationskoefficient, hvor den laveste er Australien, som ligger

på -0,29. Korrelationskoefficienten for nabolandet Sverige er på -0,0393 94. Gennemsnitligt (koefficienten for

den private sektor) vil Danmark ud fra koefficienterne i figur 3.3 ligge i den lave ende, og koefficienten for

bygningsarbejde er lavere end den laveste gennemsnitlige koefficient for et land. Man skal igen huske på,

at koefficienterne i figur 3.3 er beregnet mellem lønindkomst og ”Portefølje 7”, som indeholder 76,48 % 7-

årige statsobligationer og dermed ikke en ren aktieportefølje, som det er tilfældet i artiklens undersøgelse.

Korrelationskoefficienterne antages således alt i alt at være tilstrækkeligt pålidelige, til at den optimale

aktivallokering over en multiperiode investeringshorisont nu kan udregnes ved brug af formel 3.2.

3.1.2.4 Optimal aktivallokering over en multiperiode investeringshorisont

Efter at have bestemt det gennemsnitlige forhold mellem humankapital og den omsættelige, finansielle

formue for hver sektor/branche og alder, samt kovariansen mellem ”Portefølje 7” og lønindkomsten for

hver sektor/branche, kan den optimale aktivallokering findes via formel 3.2, som er gengivet nedenfor.

2

,

2*1

P

FH

P

fP

F

H

a

RR

F

HX

92

Efficient Asset Management – A Practical Guide to Stock Portfolio Optimization and Asset Allocation side 74 93

Human Capital and Popular Investment Advice side 11 94

Der skal tages højde for forskel i beregningsmetoden, idet artiklens resultater er på grundlag er deflaterede værdier.

Side 39 af 64

Der bliver i formlen benyttet to forskellige varianser, idet kovarianserne er beregnet ud fra kvartalvist data.

Kovariansen divideres derfor i formlen med en varians for ”Portefølje 7”, som ligeledes er beregnet på

kvartalvist data og som er markeret i bilag 5.

Den optimale andel investeret i ”Portefølje 7” ud fra sektor/branche og antal år til pensionering er via et

kurvediagram illustreret i figur 3.495.

Figur 3.4 - Optimal andel investeret i Portefølje 7


Konklusionen er ens for den private sektor og de fire brancher, hvad angår andelen investeret i ”Portefølje

7”, som stiger med investeringshorisontens længde, hvor investor hvert år bør rebalancere porteføljen, så

den er tilpasset forholdet mellem humankapital og omsættelig, finansiel formue. Der er endvidere stor

forskel på den optimale aktivallokering i forhold til, hvilken branche investor arbejder inden for, hvilket

afspejler de investorspecifikke forholds vigtige betydning for den optimale aktivallokering. Kurven for den

private sektor viser, hvordan den gennemsnitlige optimale aktivallokering bør se ud for alle indeholdte

brancher. Kurven for bygningsarbejde ligger tæt op ad den gennemsnitlige allokering, mens kurven for fi-

nansiering ligger langt fra. De to brancher inden for den offentlige sektor ”Forskning og undervisning” ligger

ligeledes med stor afstand til hinanden. Man kan derfor med al tydelighed ikke opstille generelle retnings-

linjer for en blandet gruppe af investorer, idet blot en brancheforskel inden for samme sektor kan resultere

i så forskellige aktivallokeringer over en multiperiode investeringshorisont. Resultatet sker på baggrund af

den empiriske analyses afgrænsning af vigtige forhold såsom uddannelsesniveau og opsparingsbehov, som

havde underopdelt den optimale aktivallokering yderligere.

Figur 3.4 viser, at investorer inden for forskningsbranchen bør kunne holde en meget gearet andel i den

risikofyldte portefølje, som unge investorer, og derefter gradvist skifte over til de 2-årige statsobligationer.

Grunden til den høje gearing skal først og fremmest findes i den høje alder, før arbejdet påbegyndes. Ifølge

datamaterialet starter investorer først i forskningsbranchen som 30-årige. Det resulterer i en stor human-

95

Talværdierne kan ses i bilag 4

Side 40 af 64

kapital (bl.a. pga. af høje lønninger) i forhold til en lille opsparing, der igangsættes som 30-årig. Det smitter

således af på det gennemsnitlige forhold mellem humankapital og omsættelig, finansiel formue. Den høje

værdi sættes derefter sammen med den negative kovarians. Via den negative kovarians (og dermed korre-

lationskoefficient) opstår et positivt hedge element, som øger den optimale andel investeret i den risiko-

fyldte portefølje. Der vil være en tendens til, at lønindkomsten falder i perioder, hvor afkastet på den risiko-

fyldte portefølje stiger. Derfor anbefales en høj andel investeret i den risikofyldte portefølje for at udnytte

diversifikationsgevinsten med den høje humankapital, som derefter aftager efterhånden som humankapita-

len mindskes. Det er på samme måde årsagen til den noget lavere optimale andel investeret i den risiko-

fyldte portefølje for investorer i finansieringsbranchen, da denne branche har den ”højeste” korrelation

med den risikofyldte portefølje og dermed et mindre effektivt hedge element.

Den empiriske analyse har via formel 3.2 vist, hvilken forskel inddragelsen af investorspecifikke forhold gør

ved den optimale aktivallokering i forhold til sidste afsnits statiske optimeringsmodel (formel 3.1) og sekto-

rer/brancher imellem. Citater fra indledningen og dette afsnit har ligeledes pointeret vigtigheden af inve-

storspecifikke forhold, og at man derfor som investor bør forholde sig med forsigtighed i henhold til gene-

relle investeringsråd. Næste delafsnit vil se nærmere på, om pengeinstitutter har implementeret disse inve-

storspecifikke forhold i deres råd/anbefalinger.

3.1.3 Sammenligning med pengeinstitutters investeringsråd/-anbefalinger

Der vil i dette delafsnit blive taget fat i pengeinstitutterne Nykredit, Danske Bank og Nordea for at diskute-

re, hvorvidt deres investeringsråd – og anbefalinger stemmer overens med de ovenstående resultater. Der

vil blive taget udgangspunkt i information fra de tre pengeinstitutters hjemmesider, så denne besvarelse

kan dermed ikke konkludere, om det vil forholde sig anderledes, såfremt investor afholder et møde med en

investeringsrådgiver fra et af de tre institutter.

Én af konklusionerne fra sidste delafsnit var forskellen i aktivallokering sektorer/brancher imellem via ind-

dragelse af omsættelig finansiel formue, humankapital og kovariansen mellem humankapital og ”Portefølje

7”. Pengeinstitutter bør derfor gøre investorer opmærksomme på denne forskel i den optimale aktivalloke-

ring.

Nykredit skriver i sine anbefalinger til pensionsopsparing, at de først og fremmest vil sørge for en stor risi-

kospredning og lave omkostninger, hvilket lyder optimalt jf. besvarelsen af første problemstilling. Man kan

få Nykredit til at håndtere pensionsopsparingen, hvorefter placeringen af pensionsopsparingen fremgår af

boks 3.3.

Side 41 af 64

Boks 3.3 - Nykredits anbefalinger til pensionsopsparing

Kilde: http://www.nykredit.dk/informationsSide.do?iwID=/privat/informationsside/pension/pensionsinvest_afdelinger.xml

Her er placeringen af pensionsopsparingen delt op efter graden af risikoaversion og antal år til pensione-

ring, hvilket også (indirekte) er indeholdt i formel 3.2. Boks 3.3 viser endvidere, at de forskellige pensions-

opsparinger indeholder en aktivallokering, som enten består af korte obligationer og balance mellem, lange

obligationer og balance lang, eller de to balancer sammen eller hver for sig. Balance mellem vil indeholde

60-80 % i obligationer og 20-40 % i aktier, mens balance lang vil indeholde 30-60 % i obligationer og 40-70

% i aktier. De to balancer kan dermed til en vis grænse gå ind og tilpasse aktivallokeringen, så den passer til

en række investorspecifikke forhold, som f.eks. brancheforhold. Men Nykredit skriver i stedet, at det ikke

fastgjorte interval er rettet imod forventninger til markedet96, og dermed er de investorspecifikke forhold

ikke nævnt i den forbindelse. Om forventninger til markedet er en vigtig inddragelse, vil blive diskuteret i

besvarelsen af tredje problemstilling.

Tabel 3.7 – Forskellen mellem to brancher i anbefalinger til pensionsopsparing

Finansiering Forskning Finansiering Forskning Finansiering Forskning

År til pens. Lav risiko Middel risiko Høj risiko

0-3 År 1,6 % ”P7” 98,4 ”SO”

3 % ”P7” 97 % ”SO”

3,6 % ”P7” 96,4 % ”SO”

5 % ”P7” 95 % ”SO”

7,3 % ”P7” 92,7 % ”SO”

8,6 % ”P7” 91,4 % ”SO”

3-5 år 2,3 % ”P7” 97,7 % ”SO”

5 % ”P7” 95 % ”SO”

4,6 % ”P7” 95,4 % ”SO”

7,6 % ”P7” 92,4 % ”SO”

9 % ”P7” 91 % ”SO”

12 % ”P7” 88 % ”SO”

5-10 år 3,6 % ”P7” 96,4 % ”SO”

9,2 % ”P7” 91,8 % ”SO”

6,5 % ”P7” 93,5 % ”SO”

12,6 % ”P7” 87,6 % ”SO”

11,6 % ”P7” 88,4 % ”SO”

18,6 % ”P7” 81,4 % ”SO”

10 år - 15 % ”P7” 85 % ”SO”

74 % ”P7” 26 % ”SO”

25 % ”P7” 75 % ”SO”

91 % ”P7” 9 % ”SO”

40 % ”P7” 60 % ”SO”

120 % ”P7”


Tabel 3.7 er opbygget på samme måde som boks 3.3, der er taget fra Nykredits hjemmeside. Den optimale

aktivallokering til en pensionsopsparing indeholder allokeringen mellem ”Portefølje 7” (”P7”), (hvori de

lange statsobligationer er indeholdt), og de 2-årige statsobligationer (”SO”). Tabel 3.7 er udvidet i forhold til

boks 3.3 ved indsættelse af den optimale aktivallokering for to forskellige brancher, her finansiering og

forskning. Værdierne i tabellen er udregnet ved at tage gennemsnittet af de optimale andele investeret i

”Portefølje 7” (bilag 4) inden for det givne interval for antal år til pensionering. I rækken ”10 år -” er gen-

96

http://www.nykredit.dk/informationsSide.do?iwID=/privat/informationsside/pension/pensionsinvest_afdelinger.xml


Side 42 af 64

nemsnittet taget for intervallet 10-30 år til pensionering. Talværdierne er udregnet for en investor med en

risikoaversion på hhv. 2,4 og 1097.

Ifølge humankapitalteorien bør man underopdele kolonnen ”År til pens.” i mange flere intervaller, så man

faktisk hvert år skal tilpasse aktivallokeringen til forholdet mellem humankapital og den omsættelige, finan-

sielle formue jf. figur 3.4. De løbende rebalanceringer vil sørge for at udnytte diversifikationsgevinster og

fastholde risikoeksponering. Der kan dog findes en fordel ved at dele intervallerne op, som Nykredit har

gjort, idet man undgår optimale aktivallokeringer, der er urealistisk højt gearede og svære at få finansieret

gennem banken, hvor en evt. friværdi i mange tilfælde ikke vil være tilstrækkelig stor.

Pointen med tabel 3.7 er at vise forskellen mellem de aktuelle anbefalinger ved blot at indsætte investor-

specifikke forhold, som er tilknyttet to forskellige brancher modsat boks 3.3. Der er ikke den helt store pro-

centpointvise forskel at spore mellem de udregnede anbefalinger for de to brancher ved få år til pensione-

ring. Jo flere år til pension og højere risikotolerance, desto større bliver de procentpointvise forskelle de to

brancher imellem og afspejler dermed manglen af denne information i boks 3.3. Nykredit skriver dog yder-

ligere under ”De vigtigste investeringsovervejelser”, at ”der findes nogle andre forhold, som kan være nød-

vendige at få klarhed over, inden en given investering kan anbefales eller ej”98. Her er muligheden åben for

at inddrage nogle investorspecifikke forhold.

Danske Bank skriver på sin hjemmeside, at anbefalinger tager udgangspunkt i investors investeringsprofil

og igen forventninger til de finansielle markeder99 jf. næste afsnit. Ved at læse de overordnede punkter i

investeringsprofilen får man ikke et entydigt indtryk af vigtigheden af bl.a. brancheforhold. Den finansielle

situation står nævnt, hvilket er et bredt begreb og i teorien godt kan indeholde vigtige investorspecifikke

oplysninger100. Danske Bank tager et interessant skridt, idet de udbyder nogle pensionspakker, som er sær-

ligt tilpasset investors arbejdsområde101. Her er fokus imidlertid på personforsikringer og ikke optimal ak-

tivallokering, som derfor savnes i den forbindelse. Inddragelsen af personforsikringer er derudover en vigtig

faktor i humankapitalteorien. Humankapitalen indeholder en dødelighedsrisiko, hvilket vil sige, at human-

kapitalen går i nul, såfremt investor dør. Det vil hurtigt kunne give en helt ny finansiel situation for en fami-

lie. Denne risiko kan hedges ved netop at tegne nogle gode personforsikringer, så familien i tilfælde af

dødsfald vil få udbetalt forsikring. Det betyder ligeledes, at valget af aktivallokering og personforsikringer

bør træffes simultant102.

Man kan på Nordeas hjemmeside læse, at de sætter tal på risikoen, hvilket indebærer, at de kan opstille et

mål for værst tænkeligt tab inden for 95 % sandsynlighed. For lav, mellem og høj risiko er det værst tænke-

lige tab hhv. 0 %, 10 % og 20 %. Det gør risikobegrebet mere håndgribeligt for investor og løser mange

konflikter rådgiver og investor imellem, som tidligere er nævnt jf. afsnit 2.1. Nordea skriver derudover, at

97

Disse tre værdier for risikoaversion er brugt i artiklen ”Human Capital and Popular Investment Advice”. 98

http://www.nykredit.dk/informationsSide.do?iwID=/privat/informationsside/investering/investering_de_vigtigste_overvejelser.xml 99

http://www.danskebank.dk/da-dk/Privat/Opsparing-og-investering/Investering/Raadgivning/Kom-godt-i-gang-med-at-investere/Investment-profile/Pages/Investeringsprofil.aspx 100

http://www.danskebank.dk/da-dk/Privat/Opsparing-og-investering/Investering/Raadgivning/Kom-godt-i-gang-med-at-investere/Investment-profile/Pages/Investeringsprofil.aspx 101

http://www.danskebank.dk/da-dk/Privat/Pension-og-forsikring/Pensionsopsparing/PRODUKTER/PENSION-FOR-UDVALGTE-BRANCHER/Pages/Pension-for-udvalgte-brancher.aspx 102

Lønindkomstens betydning for porteføljevalget – Er du en aktie eller en obligation side 6

http://www.nykredit.dk/informationsSide.do?iwID=/privat/informationsside/investering/investering_de_vigtigste_overvejelser.xml


http://www.danskebank.dk/da-dk/Privat/Opsparing-og-investering/Investering/Raadgivning/Kom-godt-i-gang-med-at-investere/Investment-profile/Pages/Investeringsprofil.aspx




http://www.danskebank.dk/da-dk/Privat/Pension-og-forsikring/Pensionsopsparing/PRODUKTER/PENSION-FOR-UDVALGTE-BRANCHER/Pages/Pension-for-udvalgte-brancher.aspx


Side 43 af 64

når investor påtager sig en risiko, er det selvfølgelig i forventning om et dertilhørende afkast103, hvilket fun-

gerer efter Markowitz’s principper jf. besvarelsen af første problemstilling. Humankapital bliver også nævnt

til en vis grad, idet der står skrevet, at det er vigtigt, investor husker at tilpasse pensionsopsparingen, f.eks.

hvis han/hun skifter job, eller hvis lønnen ændrer sig væsentligt104. Alt tyder dog på, at denne tilpasning er

med henblik på at lægge tilstrækkeligt med penge til side til den omsættelige, finansielle formue (opspa-

ring) for at kunne opnå det ønskede forbrug som pensionist; og er dermed en del af behovsafdækningen.

Humankapital og dens korrelation med risikofyldte aktiver er derfor umiddelbart ikke til at finde som en del

af investeringsrådgivningen, og det er gældende for alle tre pengeinstitutters hjemmeside.

En anden konklusion fra sidste delafsnit var, at andelen investeret i den risikofyldte portefølje bør stige

med investeringshorisontens længde. Det er et yderst populært investeringsråd og en generel anbefaling

på både Nykredits, Dansk Banks og Nordeas hjemmeside. Det virker umiddelbart også rimeligt ud fra resul-

tatet af den empiriske analyse. Den private sektor og de fire brancher havde alle en negativ korrelation

med ”Portefølje 7” jf. figur 3.3, som via det positive hedge element øger andelen investeret i den risikofyld-

te portefølje i takt med investeringshorisontens længde. Hvis derimod sektorer/brancher er positivt korre-

leret med den risikofyldte portefølje, vil der opstå et negativt hedge element, hvor investor risikerer, at

lønindkomst og den risikofyldte portefølje falder og stiger i samme perioder. Hvis korrelationen er tilpas

høj, vil det derfor være i strid med det populære investeringsråd, idet investor allerede indirekte har en

finansiel formue, via en humankapital, investeret i den risikofyldte portefølje, og andelen investeret i den

risikofyldte portefølje bør således falde i takt med investeringshorisontens længde og humankapitalens

størrelse. Det er derfor størrelsen på kovariansen i formel 3.2, som alene afgør, om det populære investe-

ringsråd holder stik. Den maksimale kovarians, der støtter det populære investeringsråd, kan for den empi-

riske analyse findes ved hjælp af følgende beregning:

48,520,6

05,3*

36029,072,020,61

48,518,52

05,3*

36029,072,018,521

,, FHFH

aa

Her er indsat de statiske værdier og derudover det gennemsnitlige forhold mellem humankapital og om-

sættelig, finansiel formue for en 19-årig investor, som arbejder i den private sektor, sat lig samme statiske

værdier, men det gennemsnitlige forhold for en 35-årig investor, der arbejder i den private sektor. Kova-

riansen og risikoaversion står som ukendte variable. Ved at løse ligningen med hensyn til kovariansen fås

udtrykket, som for en given risikoaversion vil resultere i samme andel investeret i den risikofyldte portefølje

uanset investeringshorisont og er givet ved: a

FH

64732,0,

Til at afspejle en investor med hhv. lav, middel og høj risikotolerance, blev værdierne 10, 4 og 2 brugt i ta-

bel 3.7 og skal indsættes i udtrykket for at finde den maksimale kovarians (grænseværdi), som støtter det

populære investeringsråd. En kovarians er svær at estimere jf. afsnit 3.1.2.3, og det er derfor interessant at

se, hvor tæt de udregnede kovarianser ligger på den kritiske grænse for det populære investeringsråd. Det

103

http://www.nordeaprivatebanking.dk/sitemod/upload/Root/PrivateBanking_dk/pdf/PB-AssetAllocation.pdf 104

http://www.nordea.dk/Privat/Livssituationer/Pension/Justeringer+undervejs/85292.html

http://www.nordeaprivatebanking.dk/sitemod/upload/Root/PrivateBanking_dk/pdf/PB-AssetAllocation.pdf


Side 44 af 64

kan undersøges via statistisk test. Testen undersøger, om de udregnede kovarianser er signigikant mindre

end de udregnede grænseværdier ved at optille følgende hypoteser105:

Idet angiver størrelsen på en korrelationskoefficient, skal de udregnede kovarianser og grænseværdier

divideres med produktet af de tilhørende standardafvigelser, hvorefter de skal transformeres i følgende

formler:

2/))1ln()1(ln( rrrZ og 2/))1ln()1(ln( 000 Z

Observatorværdierne kan derefter udregnes via formlen:

323/13/1

00

ZZZZ

obs

r

n

rZ

Tabel 3.8 viser, hvorvidt de udregnede kovarianser er siginifikant mindre end grænseværdien ud fra bran-

che og grad af risikoaversion, og om det kan konkluderes på et 10 %, 5 % eller 1 % signifikansniveau106.

Tabel 3.8 - Mindst mulig signifikansniveau for mindre kovarians end grænseværdi

Privat sektor Finansiering Bygningsarbejde Forskning Undervisning

a = 2 5 % IS 5 % IS IS

a = 4 10 % IS 10 % IS IS

a = 10 IS IS 10 % IS IS Kilde: Egen tilvirkning

Det ses i tabel 3.8, at det ikke er muligt på noget tidspunkt at konkludere med 99 % sikkerhed (1 % signifi-

kansniveau), at en udregnet kovarians er mindre end en kritisk grænseværdi. For både brancherne finansie-

ring, forskning og undervisning er det ikke engang muligt, uanset graden af risikoaversion, med 90 % sik-

kerhed at konkludere en signifikant mindre kovarians end grænseværdi og dermed, om det populære inve-

steringsråd holder stik. Resultatet viser, at pengeinstitutter også bør forholde sig forsigtigt med dette

gængse og generelle investeringsråd. Der er dog en anden forklaring på, at det populære investeringsråd er

realistisk. Denne forklaring bliver taget op i bogen ”Strategic Asset Allocation” og artiklerne ”Labor supply

flexibility and portfolio choice in a life cycle model” og ”Labor Supply Flexibility and Portfolio Choice: An

Empirical Analysis”.

Her bliver antagelsen om fast arbejdsudbud ophævet, således at det bliver justerbart for den enkelte inve-

stor. Campbell og Viceira skriver i ”Strategic Asset Allocation”, at hvis en investor har mulighed for at øge

arbejdsindsatsen og derudover mulighed for at reducere sit forbrug, er det to grunde til at være mere tole-

rant over for finansielle risici, idet man kan hedge et eventuelt formuetab107. Det er ifølge artiklen ”Labor

105

Notesamling til Statistik på HA og HD 1. del side 103 106

Det antages i testen, at fejlleddet er approksimativt normalfordelt. 107


01

00

:

:

H

H

Side 45 af 64

supply flexibility and portfolio choice in a life cycle model” arbejdsfleksibiliteten, som er vigtigst og udtrykt i

citatet: ”If flexibility is important, much of the adjustment will be made via leisure/labor behavior, leaving

the consumption of goods and services relatively smooth”. Fleksible erhverv er kendetegnet ved mulighe-

den for at arbejde ekstra timer, få flere jobs eller vente med at gå på pension. Dette giver i ifølge artiklen

følgende konklusion i forhold til investeringshorisonten: ”… it is reasonable to hypothesize that, for most

individuals, the degree of labor flexibility diminishes over the life cycle”. Det betyder, at unge investorer har

større mulighed for at udnytte et fleksibelt arbejdsudbud og dermed have en større andel investeret i risi-

kofyldte aktiver, end ældre investorer. Dermed opnås samme konklusion for aktivallokeringen over en in-

vesteringshorisont som pengeinstitutterne. Artiklen er bygget op omkring humankapitalteorien og mener

derfor, at pengeinstitutters anbefaling ofte stammer fra et forkert grundlag, hvor risikoen på aktieinveste-

ringer menes kunne diversificeres bort over lange tidshorisonter (jf. afsnit 3.1.1 og afsnit 4.1.2). Uenighe-

den kan læses ud af dette citat: Guides to personal investing usually advise movements from riskier assets

like stocks to more conservative fixed-income securities as individuals near retirement. This conventional

wisdom is well accepted but often for the wrong reasons108.

Benitez-Silva har i artiklen ”Labor Supply Flexibility and Portfolio Choice: An Empirical Analysis” undersøgt,

hvorvidt folk med et fleksibelt arbejdsudbud holder flere risikofyldte aktiver i porteføljen. Han konkluderer,

at de i gennemsnit holder ca. 14 % flere risikofyldte aktiver109. Undersøgelsen er dog baseret på personer i

alderen 51-61 år, hvilket gør det lidt svært at konkludere, hvorvidt unge investorer holder flere risikofyldte

aktiver end ældre investorer. På den anden side, hvis undersøgelsens konklusion sammenholdes med det

ovenstående citat omkring unge menneskers større fleksibilitet, peger det igen i retning af en større andel

investeret i risikofyldte aktiver i forhold til investeringshorisontens længde. Det kræver selvfølgelig, at inve-

stor har mulighed for at udnytte en sådan fleksibilitet, som igen er en individuel størrelse.

Det tyder på, at pengeinstitutterne ikke tager højde for alle de investorspecifikke forhold, når anbefalinger

udarbejdes på baggrund af en multiperiode investeringshorisont. Afsnittets undersøgelse og diskussion kan

sammenfattes til:

Det er godt, at pengeinstitutter er meget opmærksomme på de individuelle investorers grad af risikotole-

rance/risikoaversion, så investorerne er klar over, hvad investeringen indebærer; her særligt ved Nordeas

talsystem. Det er ligeledes fornuftigt at bruge tid på behovsafdækningen og få lagt de rigtige beløb til side

til den omsættelige, finansielle formue (opsparing), som både er en del af humankapitalteorien og investor-

specifik. Igen virker det fornuftigt, at investor får anbefalet en stor veldiversificeret spredning i sin porteføl-

je mellem aktier og obligationer.

Det er umiddelbart ikke muligt at spore inddragelsen af humankapital og dens korrelation med risikofyldte

aktiver, som værende en del af investeringsrådgivningen, på de tre udvalgte pengeinstitutters hjemmesi-

der. Det vil sige, at pengeinstitutterne danner sig et ganske fornuftigt overblik over f.eks. to investorers

risikoaversion. De to investorer har i dette eksempel samme grad af risikoaversion og antal år til pensione-

ring og bliver dermed anbefalet den samme investeringsportefølje. Men hvad nu, hvis den ene investors

humankapital er højt korreleret med risikofyldte aktiver, mens den anden investors humankapital stort set

er risikofri? Hvis de to typer af humankapital inddrages i porteføljen, vil der være stor forskel på de to por-

108

Labor supply flexibility and portfolio choice in a life cycle model side 20-22 109

Labor Supply Flexibility and Portfolio Choice: An Empirical Analysis side 24

Side 46 af 64

teføljers risiko, trods den identiske risikotolerance. De to porteføljer vil derudover ikke blive betegnet som

veldiversificerede, og diversifikationsgevinster vil blive ignoreret. Figur 3.4 og tabel 3.7 har illustreret, hvor

stor en forskel i den optimale aktivallokering, der er sektorer/brancher imellem, hvis diversifikationsgevin-

sten og risikoeksponeringen skal bevares for investorer med identisk risikotolerance og antal år til pensio-

nering. Derfor bør pengeinstitutter i højere grad inddrage disse ekstra investorspecifikke forhold, som en

del af investeringsrådgivningen, så den anbefalede aktivallokering kommer til at passe med investorers

individuelle risikoprofil.

Figur 3.3 viser lønindkomstens korrelation med hele den risikofyldte portefølje, som består af både Sund-

hedsplejesektor-indekset, Materialesektor-indekset og 7-årige statsobligationer jf. tabel 3.1. Man skal være

opmærksom på, at selvom en lønindkomst ikke er højt korreleret med hele aktiemarkedet eller en risiko-

fyldt portefølje, vil en investors lønindkomst ofte være højt korreleret med enkelte aktiver. Hvis investor er

ansat i et aktieselskab, vil lønindkomsten i mange tilfælde svinge i takt med selskabets aktiekurs, eller even-

tuelt de fleste selskabers aktiekurser inden for denne branche. Man bør derfor undervægte det/de givne

aktiv(er) i investeringsporteføljen for at opnå den ønskede diversifikation og risikoeksponering, hvilket igen

understreger vigtigheden af humankapital og dens korrelation110.

En høj korrelation mellem lønindkomst og risikofyldte aktiver kan endvidere stride imod det gængse inve-

steringsråd, omkring, hvorvidt, andelen investeret i en risikofyldt portefølje bør stige med investeringshori-

sontens længde, hvor de fem korrelationskoefficienter i den empiriske analyse ikke er signifikant forskellige

fra en sådan størrelse jf. tabel 3.8. Man kan herefter argumentere for investeringsrådet ved at tage højde

for det fleksible arbejdsudbud, hvor investor har mulighed for at påtage sig ekstra arbejde. Det kræver, at

pengeinstitutterne tager højde for investors tilgængelighed af denne fleksibilitet for at afgøre, om andelen

investeret i en risikofyldt portefølje skal falde eller stige med længden af investeringshorisonten ved en

korrelation, der overstiger grænseværdien.

Investeringsrådgivere skal dermed tage højde for en lang række investorspecifikke forhold i udarbejdelsen

af den optimale aktivallokering over en lang investeringshorisont, og forholdene er en vigtig del af Michael

Andersens figur 3.1 og ”Best Practice” inden for finansiel rådgivning. Det er ligeledes endnu en god grund

til, at rådgivere ikke uden videre bør røre rundt i porteføljer ud fra egne interesser og forventninger til mar-

kedet (jf. indledningen og afsnit 2.1), idet alle forhold spiller en afgørende rolle for den ønskede risikoprofil

og aktivallokering. Om markedsforventninger alligevel kan spille en fornuftig rolle i den optimale aktivallo-

kering, vil blive diskuteret i næste afsnit.

3.1.4 Kritik af de udregnede optimale aktivallokeringer

Den empiriske analyse udarbejdet i dette afsnit er bygget op omkring nogle antagelser, som kan have ind-

flydelse på de specifikke resultater. Det laver imidlertid ikke om på afsnittes hensigt og konklusion, omkring

hvor vigtig inddragelsen af investorspecifikke forhold er for den optimale aktivallokering på lang sigt.

110

Strategic Asset Allocation side 165 og Skal investor med lang investeringshorisont have større aktieandel? Side 5

Side 47 af 64

3.1.4.1 Nulvarians og kovarians

Det blev via formel 3.2 antaget, at de 2-årige statsobligationer er risikofrie. Det blev statistisk vist i afsnit

3.1.2, at dette er en grov antagelse. Hvis risikoen for de 2-årige statsobligationer var medtaget, ville det

højst sandsynligt have resulteret i nogle andre endelige estimater for en optimal aktivallokering. Det ville

dog ikke lave om på opgavens hensigt med at vise, hvilken betydning det gennemsnitlige forhold mellem

humankapital og omsættelig finansiel formue, samt humankapitalens korrelation med den risikofyldte por-

tefølje, har for den optimale aktivallokering over en multiperiode investeringshorisont.

Som beskrevet i afsnit 3.1.2.3, blev kovarianserne/korrelationskoefficienterne udregnet på baggrund af et

lille datasæt. Det resulterer alt andet lige i nogle upræcise koefficienter, hvilket betyder, at validitetskriteri-

et ikke er opfyldt. Det er uheldigt, idet størrelsen på koefficienterne har stor betydning for den anbefalede

aktivallokering over en multiperiode investeringshorisont. I figur 3.5 er der foretaget en følsomhedsanalyse

for en 19-årig investor, der arbejder i den private sektor med en risikoaversion på 4. Det fremgår tydeligt af

figuren, at ved at ændre værdien af kovariansen mellem lønindkomsten, for den private sektor, og den

risikofyldte portefølje med intervaller på 0,1, opnås meget forskellige optimale andele investeret i den risi-

kofyldte portefølje. Præcision af koefficienterne kan ligeledes have betydning for det populære investe-

ringsråd, og vi så i tabel 3.8, at de udregnede kovarianser ikke er statistisk mindre end de dertilhørende

grænseværdier for små signifikansniveauer, og i de fleste tilfælde endda for store signifikansniveauer. Der-

med vil mere præcise koefficienter kunne resultere i, at man inden for nogle brancher bør mindske andelen

investeret i den risikofyldte portefølje med investeringshorisontens længde; det kan dog lige så vel gå den

anden vej.

Figur 3.5 - Følsomhedsanalyse for kovarians


3.1.4.2 For få investorspecifikke forhold – kan flere forhold inddrages uden problemer?

Den empiriske analyse er lavet ud fra forskellen mellem sektorer/brancher. Som afsnittet også har været

inde på, kan der med fordel inddrages flere investorspecifikke forhold. Der kan være store forskel på, hvor-

dan medarbejderes lønindkomst inden for samme sektor/branche er korreleret med risikofyldte aktiver.

Elementer som f.eks. uddannelse, fagforeningsmedlemskab, erfaring, alder osv. kan alle have betydning for

Side 48 af 64

en evt. lønnedgang eller fyring, når aktiekurserne falder. Afsnittets udregnede aktivallokeringer befinder sig

dermed på det mere generelle niveau. Det må ligeledes antages at være en rigtig vanskelig proces at ud-

regne korrelationen mellem den enkelte investors lønindkomst og risikofyldte aktiver, når flere forhold

inddrages, hvilket er en generel svaghed for humankapitalteorien. Det er lige blevet vist, hvor stor forskel i

den optimale aktivallokering selv små ændringer i korrelationen forårsager, hvilket ikke er godt i forhold til

udregningernes sværhedsgrad.

3.1.4.3 Passiv strategi og markedsforventninger

De optimale aktivallokeringer udarbejdet i dette afsnit understøtter en passiv styring/strategi i forlængelse

af bevarelsen af første problemstilling, hvor markedsforventninger ikke inddrages. Det vil sige, at man ikke

forventer at kunne slå markedet, hverken på kort eller langt sigt; og der forventes ikke et forudsigeligt ele-

ment i aktieafkastene. Såfremt sidstnævnte element finder sted, forventes mean-reversion i aktieafkaste-

ne, hvilket betyder, at der opstår et markedstimings aspekt, hvor selv en investor med risikofri humankapi-

tal bør nedbringe aktieandelen, når indikatorer tilsiger dette111. Dette element vil blive diskuteret i afsnit

4.1.2. Hele næste afsnit vil tage udgangspunkt i markedsforventningers indflydelse på den optimale aktival-

lokering.

4.1 Markedsforventningers indflydelse på den optimale aktivallokering

På baggrund af mange rådgiveres kompromiser med uvildigheden i de seneste år (Peter Reedtz. Uvildig

investeringsrådgivning – utopi eller realisme) og rådgivningsskandaler i forbindelse med taktiske portefølje-

indgreb (jf. indledningen) har denne opgave indtil nu taget udgangspunkt i en passiv køb-og-behold strate-

gi, hvor markedet antages at være effektivt, og at aktiemarkedet ikke indeholder et forudsigeligt element.

Her er først en optimal myopisk aktivallokering udarbejdet og derefter videreudviklet til optimale langsig-

tede aktivallokeringer via en porteføljeteoretisk analysemetode (jf. afsnit 2.1.3). Spørgsmålet er, om mar-

kedsforventninger bør være en del af denne analysemetode, når en optimal aktivallokering skal udarbej-

des?

Der er delte meninger herom, som det fremgår af citater fra indledningen og afsnit 2.1, og man kan i bogen

”Afkastmåling” skrevet af Michael Møller m.fl. læse følgende: ”… markederne for køb af rådgivning er

nærmest pr. definition særdeles ineffektive. Der er hundredvis af rådgivere, der giver sig af med at sælge

rådgivning om aktiv porteføljepolitik. Alle mener, at de kan sikre deres kunder en overnormal profit, men

statistikken viser klart (og sund fornuft tilsiger det), at de i gennemsnit skaffer et undernormalt afkast”112.

Tilsyneladende mener mange, at markedsforventninger skal indgå i aktivallokeringen, idet alle tre pengein-

stitutter har det som en del af investeringsrådgivningen (jf. afsnit 3.1.3). Det er ligeledes det sidste delele-

ment i Michael Andersens rådgivningsskabelon (figur 3.1) for ”Best Practice” inden for finansiel rådgivning,

111

Lønindkomstens betydning for porteføljevalget – Er du aktie eller en obligation? Side 6 112

Afkastmåling side 24

Side 49 af 64

som ikke er inddraget i denne opgave113. Derfor vil dette afsnit undersøge/diskutere, hvorvidt markedsfor-

ventninger skal/bør spille en integreret rolle med opgavens hidtidige konklusioner.

4.1.1 Den efficiente markedshypotese

Det ligger for mange fast, at hvis markedet virkeligt er effektivt, er det optimalt at anlægge en passiv køb-

og-behold strategi, fordi der spares en række omkostninger i form af transaktion, analysearbejde osv.114

Afsnittet vil dog til sidst komme ind på, hvorvidt forudsigelighed i aktieafkastene kan spille en rolle på trods

af et effektivt marked. Dette delafsnit vil undersøge/diskutere, hvor effektivt det danske aktiemarked er.

Hvis markedet er meget effektivt, peger det, som sagt, i retning af en passiv strategi, hvor investor ikke kan

slå markedet via overnormale afkast.

Ifølge den amerikanske økonom Eugene Fama kan de finansielle markeder, via den efficiente markedshypo-

tese, være efficiente/effektive i tre niveauer:

Den svage form: Priserne afspejler al historisk information. I denne form er det et spørgsmål

om, hvorvidt afkastene kan forudsiges ud fra historisk information.

Den semi-stærke form: Priserne afspejler ud over historiske observationer også al offentligt tilgænge-

lig information om f.eks. et aktieselskab, indtjening, ordrer, patenter osv..

Den stærke form: Priserne afspejler herudover også inside information115.

Denne opgave vil se bort fra den stærke form, idet inside information ikke er lovlig, så markedet må anta-

ges at være effektivt i den stærke form. Til at finde ud af, om markedet er effektivt i den svage form, under-

søges, om de tre aktieindeks (OMXC20, Sundhedspleje, Materiale) følger en random walk via en empirisk

analyse. Analysen vil tage udgangspunkt i nedenstående model.

Afkastet på et aktiv, som udbetaler udbytte mellem tidspunkt t og t+1, Dt+1, kan skrives som:

Formel 4.1:1

1

t

tttt

P

DPPR , hvor Pt-1 er aktivets pris på tidspunkt t-1.

Herefter kan Et-1 indsættes, som er den betingede forventningsoperator, dvs. forventningen dannet på tids-

punkt t-1 på baggrund af den tilgængelige information på tidspunkt t-1. Ved indsættelse af Et-1 på begge

sider i formel 4.1 og isolering med hensyn til Pt-1 fås følgende formel:

Formel 4.2: )1(

)(

1

11

tt

tttt

RE

DPEP

Det skal nu antages, at det forventede afkast er konstant over tid og lig med 0, og at de forventede udbyt-

tebetalinger er lig med 0, hvilket resulterer i formlen:

113

Her ses bort fra ”Performancemåling – evaluering” jf. afgræsning 114



Side 50 af 64

Formel 4.3: ttt PEP 11

Det vil sige, at priserne følger en random walk:

Formel 4.4: ttt ePP 1 , hvor et er forventningsfejlen.

Det betyder, at det bedste bud på prisen i morgen, er blot den observerede pris i dag116, og priserne afspej-

ler al historisk information. For at undersøge, om formel 4.4 er generelt gældende for det danske aktiemar-

ked, vil de tre aktieindeks blive indsat i følgende regressionsligning:

Formel 4.5: ttt ePP 1 , hvor 0 og 1 for at følge en random walk og være lig med formel

4.3.

Fordi der er tale om en tidsserieanalyse, er der en række antagelser, som skal være opfyldt, før der kan

foretages statistik inferens af resultaterne. Hvorvidt antagelserne er opfyldt for de tre aktieindeks, vil blive

diskuteret nedenfor på baggrund af de udregnede outputs i bilag 7. Antagelserne TS’ 1 – TS’ 5 vil blive gen-

nemgået, da de er særligt vigtige for tidsserieanalyse.

TS’ 1: Linearity and Weak Dependence

Ved cross-sectionanalyse udtages en tilfældig stikprøve. Det vil ikke give nogen mening i en tidsserieanaly-

se, idet stikprøven er begrænset af de år, hvor der findes relevant data. Tidssserien skal i stedet være svagt

afhængig, som er tilfældet hvis xt og xt+h ”næsten” er uafhængige for h . Oftest bruges autokorrelati-

on til at belyse dette problem117:

Formel 4.6: )(

),cov(

t

htt

xVar

xx

o

hh

for h = 1,2,…

Man kan i bilag 7 for hver af de tre aktieindeks se autokorrelationen for forskellige værdier af h i kolonnen

”Autocorrelation”. Autokorrelationen går ikke hurtigt mod nul i nogen af tilfældene, og ved store værdier af

h opstår der negativ autokorrelation i en periode, hvilket ikke fremgår af bilagene; men det må antages, at

korrelationen går mod nul, når h . Dermed er antagelsen opfyldt.

TS’ 2: No perfect Collinearity

Denne antagelse er selvfølgelig opfyldt i dette tilfælde, da der kun er én forklarende variabel, som dermed

ikke kan være højt korreleret med andre forklarende variable.

TS’ 3: Zero Conditional Mean

Den forklarende variabel skal være uafhængig af fejlleddet, idet brugbar information ellers kan være gemt i

fejlleddet, som ifølge random walk hypotesen er forventningsfejlen. Det testes ved at regressere fejlleddet

på den forklarende variabel:

116

Formlerne er taget fra: ”Kan afkast forudsiges i et efficient marked?” side 1 117

Introductory Econometrics – A Modern Approach side 377-381

Side 51 af 64

0)/( tt xeE 118

Som det fremgår af bilaget, er det gældende for alle tre aktieindeks, at koefficienten for den forklarende

variabel ikke er forskellig fra nul med en p-værdi = 1. Antagelsen er derfor sikkert opfyldt for de tre indeks.

Ved opfyldelse af antagelserne TS’ 1 – TS’ 3 er OLS estimaterne konsistente.

TS’ 4: Homoskedacity

Variansen af et skal være den samme over tid: 2)/( tt xuVar . Hvis det er tilfældet, er der homoskedaci-

tet, og ellers heteroskedacitet. White’s test er benyttet, hvor kvadratet af fejlleddet/residualerne er regres-

seret på hhv. den forklarende variabel og kvadratet af den forklarende variabel. Følgende hypoteser kan

opstilles for White’s test:

acitetHeteroskedH

itetHomoskedacH

:

:

1

0

Outputtene i bilag 7 viser, at H0 kan afvises for alle tre aktieindeks, så der er tale om heteroskedacitet, og

antagelsen er derfor ikke opfyldt. Der kan ikke analyseres ud fra f.eks. t-tests og f-tests, når der er hete-

roskedacitet i fejlleddene, så fejlleddene skal derfor justeres til White’s robuste standardfejl, som udregnes

ved hjælp af følgende formel119:

2

1

22

1

ˆ)(

x

n

i

ii

SST

xx

Var

Denne justering er foretaget for elle tre aktieindeks i bilag 7, og analysen kan igen foretages ud fra de stati-

stiske tests.

TS’ 5: No Serial Correlation

Random walk hypotesen kræver, at fejlleddet skal være serielt ukorreleret; dvs., at fejlleddet i dag ikke skal

afhænge af fejlleddet i morgen120:

0),( stst xxuuE for all .st

Til at undersøge, om der er seriel korrelation, benyttes Breusch-Godfrey Serial Correlation LM test, hvor

følgende hypoteser kan opstilles:

:0H Ingen seriel korrelation

:1H Seriel korrelation

118

Introductory Econometrics – A Modern Approach side 382 119

Introductory Econometrics – A Modern Approach side 264-266 120

Introductory Econometrics – A Modern Approach side 385

Side 52 af 64

I testen bliver residualerne regresseret på den forklarende variabel og to laggede værdier af residualerne.

Bilag 7 viser, at H0 ikke kan afvises for nogen af de tre indeks, og antagelsen er opfyldt.

Ved opfyldelse af TS’ 1 – TS’ 5 er OLS estimaterne asymptotisk normalfordelte og t-test, f-test og LM-test er

valide. Det kan derfor nu undersøges, hvorvidt 0 og 1 i formel 4.5. Det vil blive gjort via Wald test,

hvor følgende hypoteser opstilles:

0:

0:

1

0

H

H og

1:

1:

1

0

H

H

P-værdierne fra Wald test er indsat i tabel 4.1:

Tabel 4.1 - P-værdier fra Wald test

OMXC20 Sundhedspleje Materiale

0 0,0711 0,6993 0,5239

1 0,2762 0,1058 0,9051

Kilde: Udregninger foretaget i Eviews

H0 kan ikke i nogen af tilfældene afvises med et signifikansniveau på 5 %. Trods den lave p-værdi for

0 ved OMXC20-indekset kan det med 95 % sikkerhed konkluderes, at de tre aktieindeks følger en ran-

dom walk, og priserne afspejler al historisk information.

Den tekniske analyse er kendetegnet ved alene at afdække historiske observationer, der fører til et højt

transaktionsniveau. Ifølge den empiriske analyse vil denne strategi ikke resultere i andet end øgede om-

kostninger i forhold til en passiv strategi. Det næste spørgsmål går på, om aktiemarkedet er effektivt i den

semi-stærke form, hvor priserne ud over historiske observationer afspejler al offentligt tilgængelig informa-

tion? Her forsøger eksperter oftest gennem fundamentalanalyser at vurdere fremtidige begivenheder, som

f.eks. en cash flow analyse på baggrund af en virksomheds fremtidige indtjeningsmuligheder. Ligesom den

historiske information er tilgængelig for alle markedsdeltagere, kan fundamentalanalyser foretages af alle.

Dermed vil et overnormalt afkast kun kunne opnås, hvis man som investor når frem til mere præcise esti-

mater end konkurrenterne på markedet121. Michael Møller m.fl. stiller sig igen kritisk over for disse evner i

bogen ”Afkastmåling”:

”På et marked med så mange købere og sælgere, der har forstand på området, og hvor prisen bestemmes

ud fra disse eksperters udbud og efterspørgsel, er det vanskeligt både at dumme sig og gøre gode forrent-

ninger. Den markedspris, der dannes, er et gennemsnit af samtlige eksperters vurdering af, hvad prisen bør

være. Og man skal være meget sikker på sig selv for at tro, at man kan komme med et bedre skøn over den

rigtige pris, end de øvrige eksperter kan”122.

Nordea skriver i bogen ”The Thematic Investment Process”, hvordan de forsøger at opnå estimater, som er

mere præcise end konkurrenternes. De udtrykker følgende holdning i bogen: ”Nordea Investment Man-

agement readily perceives knowledge management as a key issue in succeding to outperform the market,

because we understand that market efficiency is about information and knowledge. Having said that, how-

121


Afkastmåling – side 21

Side 53 af 64

ever, we should keep in mind that, while all parties may have the same public information, not all parties

have the same abilities to analyze that information and transform it into knowledge”123.

Essensen af ”thematic investment process” bygger på, at verden i morgen er forskellig fra verden i dag. Der

tages udgangspunkt i strukturelle ændringer, hvor der i bogen bliver arbejdet med globalisering, demografi

og teknologi. Dette har umiddelbart en del tilfælles med kassen ”Relevante økonomiske, politiske og mar-

kedsmæssige overvejelser og forventninger” i Michael Andersens rådgivningsskabelon (figur 3.1). Defini-

tionen af en strukturel ændring står skrevet som: ”Structural change is an evolutionary process that pos-

sesses an internal logic and alters the state of social, technological, economic and political structures”124.

Efter en strukturel ændring er blevet defineret, skal denne langsigtede implikation forstås. En implikation er

i bogen defineret som: ”An implication is, at once, the outcome of one action and the condition for an-

other”125. Derefter tages endnu et skridt ved at identificere en ny ”theme” på baggrund af den fundne

implikation. ”Theme” er defineret som: ”A theme is a long-term trend that drives the cash flow of a com-

pany and serves as a tool to help identify companies that benefit from the implication of structural

change”126.

Nordea forsøger dermed at forudsige fremtidige strukturelle ændringer, og på baggrund af disse ændringer

skal implikationer og ”themes” findes. En gruppe af virksomheder, som passer ind i den fundne ”theme”,

skal derefter forsøges identificeret. De identificerede virksomheder har en ”cash flow growth”, der direkte

kan henføres til det underliggende ”theme”, og som muligvis ikke er værdiansat af markedet. Det kalder

forfatterne ”thematic growth”. En ”theme” kan forlænge perioden for en virksomheds konkurrencemæssi-

ge fordel, hvor virksomheden vil generere højere afkast end omkostninger. Man vil som investor kunne

opnå et overnormalt afkast, hvis perioden for den konkurrencemæssige fordel er længere end markedet

forventer. Om fundamentalanalysen resulterer i et overnormalt afkast, fremgår af figur 4.1.

Figur 4.1 - Overnormale afkast via ”Thematic Investment Process”

Kilde: The Thematic Investment Process – side 128

Figur 4.1 illustrerer, hvor godt en portefølje under ”thematic investment process” har klaret sig i forhold til

et benchmark-indeks. Det fremgår tydeligt af figuren, at Nordea med denne proces er i stand til at håndtere

mere præcise informationer end den gennemsnitlige konkurrent på markedet og dermed opnå et over-

normalt afkast.

123

The Thematic Investment Process side 89 124



The Thematic Investment Process side 28

Side 54 af 64

Nordea skriver endvidere i bogen, at konjunkturer ikke kan undgås, men at de kan blive normaliseret. De

deler først konjunkturer op i en makrocyklus, som typisk løber over 7 år, og en mikrocyklus, der typisk løber

over 3 år. En strukturel ændring, som driver en virksomheds fremtidige cash flow, varer længere end 7 år

og bryder derfor igennem de to typer af konjunkturcyklusser, der således normaliseres. Investor kan der-

med ved at holde på den udvalgte aktie over en årrække bryde igennem de uundgåelige konjunkturer un-

dervejs. Thematic invenstment process opererer i det hele taget med en investeringshorisont på mere end

3 år.

Nordea har ud fra ovenstående vist, at de via fundamentalanalyser er i stand til at slå markedet over en

årrække. Man skal bide mærke i, at de ikke slår markedet ved at købe og sælge hele tiden, men ved at ana-

lysere sig frem til aktier, der over en årrække outperformer markedet. Det tyder på, at et overnormalt

afkast skal opnås via en lang investeringshorisont, hvilket også kommer til udtryk i bogen: ” On any given

day, the price of a stock is exposed to vast amounts of information that may influence its direction, up or

down, over the short term. Over the long term, however, the importance of that ”information” often tends

to fade”127.

Dette delafsnit har via den empiriske analyse vist, at det ikke kan betale sig at handle ud fra en teknisk ana-

lyse, idet det danske aktiemarked er effektivt i svag forstand og afspejler al historisk information; så køb og

salg vil blot medføre ekstra omkostninger. Aktiemarkedet er også effektivt i semi-stærk forstand langt hen

ad vejen, fordi markedet vurderes af mange eksperter, der alle giver et bud på prisen jf. tidligere citat. Det

kan dog lade sig gøre, ligesom Nordea, via fundamentalanalyser at nå frem til mere præcise estimater end

markedet og opnå et overnormalt afkast over en investeringshorisont på minimum 3 år (det skal her tilfø-

jes, at Nordeas outperfomance af markedet ikke nødvendigvis kun er for det danske marked). Investorer

har derfor god grund til at forholde sig kritisk over for deres rådgivere, såfremt der hyppigt røres rundt i

porteføljen på baggrund af anbefalinger om et højt transaktionsniveau i et ineffektivt marked jf. indlednin-

gen. Det er de færreste investeringsfolk, som kan slå markedet, og ifølge Nordea kræver det at holde på

nogle aktier over en lang horisont. Denne konklusion kan med god ret afsluttes med følgende citat: ”Man

skal blot være klar over, at det forhold, at et værdipapirmarked ikke er effektivt, ikke nødvendigvis er et

argument for, at man skal føre en aktiv politik med mange køb og salg”128.

Den ovenstående investeringsproces bryder, som sagt, igennem konjunkturcyklusser. Det betyder ifølge

Nordea ikke, at disse cyklusser bliver ignoreret, men bliver taget i betragtning, når aktier skal købes og sæl-

ges. Det vil næste delafsnit bl.a. se nærmere på.

4.1.2 Mean-reversion

Som det fremgik af afsnit 3.1.4.3 forudsætter resultatet om, at en ”risikofri” humankapital bør holde en høj

aktieandel, at aktieafkastet ikke udviser mean-reversion. Hvis afkastet udviser mean-reversion, opstår et

markedstimings-aspekt, som betyder, at investor bør nedbringe aktieandelen, når indikatorer tilsiger dette.

Markedstimings-aspektet vil blive taget op til sidst i dette delafsnit.

127


Afkastmåling – side 22

Side 55 af 64

Man kan læse i artiklen ”Skal investorer med lang investeringshorisont have større aktieandel?”, at empiri-

ske undersøgelser har vist, at der er svage tegn på en systematik i aktiemarkedets bevægelser. Det vil sige,

at det forventede afkast ikke er konstant, men varierer omkring et gennemsnitsniveau, så når afkastet på

aktier falder, er der en tendens til, at det forventede aktieafkast over den nærmeste fremtid stiger. Det

kaldes, at der opstår mean-reversion i aktiepriserne129. Det ændrer artiklens tidligere konklusion, som blev

gennemgået i afsnit 3.1.1 via formlen:

TrNe

S

SP rTt )2/( 2

0

Hvis man sammenligner tilfældet, hvor det forventede aktieafkast varierer om et gennemsnitsniveau

med det tilfælde, hvor det forventede aktieafkast er konstant lig med , vil der for enhver investeringsho-

risont være en større sandsynlighed for, at aktier outperformer obligationer i det første tilfælde frem for

det andet. Man kan herefter læse i artiklen ”Kan afkast forudsiges i et efficient marked?”, at når langsigts-

afkast udviser mean-reversioner er det lig negativ autokorrelation, hvor en lang periode med f.eks. positive

afkast tenderer til at blive efterfulgt af en lang periode med negative afkast130.

Det blev tidligere nævnt, at autokorrelationen i aktiekurserne, for de tre aktieindeks i den empiriske analy-

se, var længe om at gå mod nul, når h , i formel 4.6, som her er gengivet:

)(

),cov(

t

htt

xVar

xx

o

hh

for h = 1,2,…

Autokorrelationskoefficienterne for hvert af de tre aktieindeks er vist i figur 4.2. Venstre søjle viser for

hvert indeks de mindste værdier for h, mens højre søjle viser koefficienterne, som er taget for væsentlig

højere værdier af h. Det ses i figuren, at ved høje værdier af h opstår en periode med negativ autokorrelati-

on. Som tidligere fortolket resulterer sådanne negative korrelationskoefficienter i et positivt hedge ele-

ment, der i dette tilfælde er imod fremtidige kursændringer. Dette fremgår også af artiklen ”Kan afkast

forudsiges i et efficient marked?”, hvor der står skrevet, at hvis afkastet på et aktiv udviser langsigts mean-

reversion, så fungerer aktivet som et hedge imod sin egen reinvesteringsrisiko, hvor perioder med dårlige

afkast følges af perioder med gode afkast. På den måde kan en del af risikoen på aktivet bortdiversificeres,

hvilket minder om det tidsdiversifikationsargument, som især praktikere har brugt til at argumentere for, at

langsigtede investorer bør holde en højere aktieandel131.

129


Kan afkast forudsiges i et efficient marked? Side 2 131

Kan afkast forudsiges i et efficient marked? Side 3

Side 56 af 64

Figur 4.2 – Autokorrelationskoefficienter for de tre aktieindeks

Kilde: Udregninger fortaget i Eviews

Forventet mean-reversion i aktiepriserne kan således være endnu en grund til, at bl.a. Nykredit, Danske

Bank og Nordea alle anbefaler langsigtede investorer en høj aktieandel jf. afsnit 3.1.3. Det er svært ud fra

figur 4.2 at vurdere, hvorvidt der er tale om en generel tendens af mean-reversion på det danske aktiemar-

ked, idet datasættet ikke strækker sig over en meget lang periode jf. afsnit 2.1.2.

Michael Møller m.fl. kommer i bogen ”Din økonomi” med et brugbart argument for, at forventet mean-

reversion ikke er ensbetydende med, at langsigtede investorer bør holde flere aktier. De stiller spørgsmålet

i bogen: ”Bør man købe aktier for den langsigtede opsparing, og kan man på lang sigt være sikker på, at

aktier giver et højere afkast end obligationer?”, hvorefter svaret lyder: ”Man kan ikke være sikker på noget

som helst!”. Argumentet er, at stort set alle formuer ejes af pensionskasser, fonde og rige familier, hvor

næsten alt er langsigtet opsparing. Det er derfor kun en lille del af de samlede formuer, der har karakter af

kortsigtet opsparing. Så hvis det er sikkert, at aktier på langt sigt er en bedre investering end obligationer,

vil alle købe aktier, og ingen vil købe obligationer. Det vil resultere i, at aktiekurserne stiger, mens obligati-

onskurserne falder, indtil det ikke længere er sikkert, at aktier på langt sigt giver et bedre afkast end obliga-

tioner132.

Et andet argument for, at alle langsigtede investorer ikke bør holde flere aktier trods eventuel mean-

reversion, vil være, at selvom et positivt hedge element i aktieafkastet vil resultere i et fald i standardafvi-

gelsen, betyder det ikke nødvendigvis, at den absolutte risiko i kroner og ører falder. Der skal ikke meget

uheld til, før man opnår negativt afkast mange gange i streg, hvilket medfører, at man netto over en lang

132

Din økonomi side 171

Side 57 af 64

periode taber penge133. Peder Harbjerg og Anders Groesen skriver endda i artiklen ”Livsindkomsttankegan-

gen vinder frem”, at den absolutte risiko i kroner og ører stiger med tidshorisonten134. Dermed fastholder

opgaven samme synspunkt som i afsnit 3.1.1, hvor den varierende aktieandel i forhold til investeringshori-

sont ikke skyldes, at aktier er mindre risikable på lang sigt end på kort, men i stedet i forhold til humankapi-

talens korrelation med aktiemarkedet135.

Såfremt der forventes mean-reversion i aktieafkastet, bliver der åbnet op for nye muligheder. Ved tidsva-

rierende forventede afkast vil indikatorer have signifikant prediktionskraft med hensyn til fremtidige, lang-

sigtede afkast136. De mest brugte indikatorer er dividende-pris ratio, price-earning ratio og spændet mellem

lang og kort rente. Dermed indeholder langsigtede afkast et forudsigeligt element, som indebærer mulig-

heden for en vis grad af markedstiming i den optimale aktivallokering. Det betyder ikke, at aktiemarkedet

er ineffektivt jf. afsnit 4.1.1. Investor skal ikke prøve at slå markedet og tjene overnormale afkast, men i

stedet tjene det normale afkast i gennemsnit. Disse forholdsvise nye modeller, som er en del af den mo-

derne porteføljeteori, signalerer, at investorer, som en konsekvensens af mean-reversion, ikke skal holde

en fast større andel i aktier, men føre en aktiv markedstimings-strategi ud fra de indikatorer, der har pre-

diktionskraft i forhold til de fremtidige afkast137. En sådan aktiv strategi vil alt andet lige betyde et højt

transaktionsniveau, og forfatteren af artiklen ”Kan afkast forudsiges i et efficient marked?” skriver også

selv, at alene transaktionsomkostningerne gør, at det ikke vil være optimalt at følge en aktiv markedsti-

mings strategi. Han skriver derefter, at det velkendte råd med, at investorer skal minimere transaktionsom-

kostningerne ved at følge en passiv strategi i en veldiversificeret portefølje, stadig gælder; men at man kan

slå over i en markedstimings-strategi, når indikatorerne begynder at afvige markant fra deres normale ni-

veau. Det stemmer i princippet fint overens med Nykredits ikke-fastlagte interval for aktieandel, som bliver

fastlagt på baggrund af markedsforventninger jf. afsnit 3.1.3.

Hvis vi starter med at kommentere, at man kan slå over i en markedstimings-strategi, når indikatorerne

begynder at afvige markant fra deres normale niveau, kan følgende nævnes. Artiklen ”Kan afkast forudsiges

i et efficient marked?” kommer selv ind på, at der kan opstå problemer med aktiemarkedets ligevægt. Alle

kan ikke sælge deres aktier på samme tid, når indikatorerne signalerer dårlige, fremtidige afkast. Der skal

også være nogen til at købe, hvilket minder meget om det tidligere eksempel fra ”Din økonomi”. Analysen

er derfor kun relevant, såfremt man er bedre end den gennemsnitlige investor til at forudsige konjunktur-

udsving138, eller hvis man som investor på en eller anden måde afviger fra den gennemsnitlige investor139.

Peder Harbjerg og Anders Grosen skriver i artiklen ”Livsindkomsttankegangen vinder frem”, at netop livscy-

klustankegangen (med humankapitalteorien indeholdt) er en væsentlig forklaring på, at den enkelte opspa-

rers portefølje skal afvige fra markedsporteføljen140. Her kan f.eks. nævnes forskelle i risikoaversion, ar-

bejdsfleksibilitet og humankapital jf. besvarelsen af anden problemstilling.

133

Din økonomi side 170-171 134

Livsindkomsttankegangen vinder frem side 2 135

Dette er f.eks. også synspunktet i artiklerne ” Livsindkomsttankegangen vinder frem”, ”Human Capital and Popular Investment Advice” og mange flere. 136

Dette vil ikke blive beskrevet yderligere i denne opgave jf. afgrænsning 137

Kan afkast forudsiges i et efficient marked? Side 3-4 138

Livsindkomsttankegangen vinder frem side 1 139

Kan afkast forudsiges i et efficient marked? Side 4 140

Livsindkomsttankegangen vinder frem side 3

Side 58 af 64

Slutteligt kan citatet, ”det velkendte råd med, at investorer skal minimere transaktionsomkostningerne ved

at følge en passiv strategi i en veldiversificeret portefølje, gælder stadig”, kommenteres. Citatet stemmer

fint overnes med dette afsnits konklusioner tilkoblet opgavens hidtidige konklusioner. Der blev i afsnit 4.1.1

konkluderet, at det danske aktiemarked er effektivt i svag forstand og til dels i semi-stærk forstand. Det

blev vist, at Nordea kan udarbejde mere præcise estimater end markedet og opnå et overnormalt afkast på

langt sigt. Disse forventninger til markedet kan indgå i den optimale aktivallokering og resultere i flere akti-

er til den langsigtede investor, idet aktier med større sandsynlighed outperformer obligationer. Det er dog

langt fra alle investeringsfolk, som er i stand til at slå markedet jf. tidligere citater, og man bør som ud-

gangspunkt forholde sig yderst kritisk til, at investeringsfolk besidder disse evner. Ud fra den efficiente

markedshypotese tyder intet derfor på, at et højt transaktionsniveau er til gavn for den optimale aktivallo-

kering, og markedsforventninger er kun til gavn for allokeringen på langt sigt, såfremt man kan opnå mere

præcise estimater end den gennemsnitlige ekspert på markedet.

Derudover vil nogen forvente, at der opstår mean-reversion i aktieafkastet, hvor en del af risikoen kan

bortdiversificeres. Denne opgave fastholder synspunktet fremført i afsnit 3.1.1, så forventningen om mean-

reversion vil ikke have nogen indflydelse på den optimale risikoeksponering. Forventningen om mean-

reversion kan endvidere resultere i et forudsigeligt element i aktieafkastet. Den moderne porteføljeteori

foreslår derfor investorer at føre en aktiv markedstimings-strategi; men grundet de høje transaktionsom-

kostninger, vil det kun være optimalt at slå over i en markedstimings-strategi, når indikatorer markant afvi-

ger fra deres normale niveau, hvor f.eks. en investor med en risikofri humankapital alligevel bør nedbringe

sin aktieandel, når indikatorer tilsiger dette. Det er, som sagt, kun tilfældet ved markante afvigelser i indika-

torerne, og ovenstående citat fastholder dermed, at en passiv strategi og veldiversificeret portefølje er

mest optimal, hvilket går i hånd med beskrivelsen i afsnit 2.1. Opgaven belyste i bevarelsen af første pro-

blemstilling, hvordan investorer via en passiv strategi opnår sådan en veldiversificeret portefølje, hvorefter

besvarelsen af anden problemstilling belyste, at diversifikationsgevinster og ønsket risikoeksponering kun

opnås fuldt ud, såfremt der tages højde for en række yderligere investorspecifikke forhold.

Der tages dermed alt i alt udgangspunkt i den strategiske ”asset allocation”.

5.1 Konklusion

Hvis man som investor ikke er interesseret i et højt transaktionsniveau, skal man følge en porteføljeteore-

tisk analysemetode via en passiv styring/strategi. Man skal her udnytte et godt kendskab til de enkelte ak-

tivklasser, hvor diversifikationseffekten er i fokus. Valget af strategi indgår også som delelement i Michael

Andersens figur 3.1, som er en rådgivningsskabelon for ”best practice” inden for finansiel rådgivning.

Diversifikationseffekten er indeholdt i Markowitz’s efficiente rand og Tobin’s separationsteorem, som der-

med (via en empirisk analyse) er godt egnede til porteføljeoptimeringsprocessen og værdipapirudvælgel-

sen, der er en del af porteføljekonstruktionen og implementeringen i rådgivningsskabelonen. Den empiri-

ske analyse har vist, hvordan diversifikationseffekten udnyttes til at give den mindst mulige standardafvi-

gelse (risiko) for et givet afkast (jf. Markowitz). Her består en stor del af porteføljen både til kombinering og

gearing, samt porteføljerne imellem kapitalmarkedslinjernes skæringspunkter med den efficiente rand, af

enten 2-årige – eller 7-årige danske statsobligationer. Statsobligationernes negative korrelation med de to

Side 59 af 64

aktieindeks Sundhedsplejesektorindekset og Materialesektor-indekset gør, at aktieindeksenes høje stan-

dardafvigelse (for et ikke imponerende afkast) bliver reduceret mest muligt i porteføljen for et givet afkast.

Dermed udarbejdes en portefølje/aktivallokering, der er robust over for ubehagelige overraskelser, og som

ikke giver anledning til et højt transaktionsniveau. Det eneste, investor skal forholde sig til, er sin grad af

risikoaversion, der er indeholdt i kassen ”Investment Policy Statement” i rådgivningsskabelonen.

For at finde den optimale aktivallokering over en multiperiode investeringshorisont (som er tilfældet for en

pensionsopsparing) og gøre den mere investorspecifik, inddrages de investorspecifikke forhold: størrelsen

på omsættelig, finansiel formue, humankapital og dens korrelationen med den risikofyldte portefølje, som

alle yderligere placeres i kassen ”Investment Policy Statesment”. Bogen ”Strategic Asset Allocation”, skre-

vet af Campbell og Viceira, indeholder en formel, hvor de yderligere investorspecifikke forhold er inddraget,

og som derfor er brugt til at fortsætte den empiriske analyse fra besvarelsen af første problemstilling. I den

empiriske analyse er den optimale aktivallokering blevet udarbejdet for investorer, der arbejder inden for

hhv. den private sektor og brancherne finansiering, bygningsarbejde, forskning og undervisning.

Den empiriske analyse viste, at der ved inddragelse af de investorspecifikke forhold dannes en multiperiode

investeringshorisont, hvor andelen investeret i den risikofyldte portefølje stiger med investeringshorison-

tens længde. Der er endvidere stor forskel på den optimale aktivallokering i forhold til, hvilken sek-

tor/branche investor arbejder indenfor. Det belyser vigtigheden af de investorspecifikke forhold, hvis ind-

dragelse sørger for, at den individuelle investor opnår en veldiversificeret portefølje og ønsket risikoekspo-

nering; og at man som investor bør forholde sig forsigtigt til generelle investeringsråd.

De tre pengeinstitutter Nykredit, Danske Bank og Nordea har alle på deres hjemmesider taget højde for

størrelsen af den omsættelige, finansielle formue, og til dels humankapitalen, i behovsafdækningen. Hu-

mankapitalen og dens korrelation med den risikofyldte portefølje indgår umiddelbart ikke i de tre institut-

ters investeringsrådgivning, hvilket må konkluderes at være mangelfuldt, idet den individuelle investor,

som sagt, ikke opnår den fulde diversifikationsgevinst og ønskede risikoeksponering. Der bør ligeledes tages

højde for enkelte aktiver, som er højt korreleret med investors lønindkomst/humankapital, som bør under-

vægtes i den optimale aktivallokering.

Alle tre pengeinstitutter anbefaler en stigende andel investeret i risikofyldte aktiver med investeringshori-

sontens længde. Det er et populært investeringsråd, og det følger den empiriske analyses konklusion. Det

er nødvendigvis ikke den endegyldige konklusion for alle typer af investorer. Hvis lønindkomsten er tilpas

højt korreleret med de risikofyldte aktiver, vil en aftagende andel investeret i den risikofyldte portefølje

med investeringshorisontens længde være mest optimal. Det blev i den empiriske analyse vist, at det ikke i

nogen af tilfældene kan konkluderes med 99 % sikkerhed, at korrelationen mellem sektor/branche og den

risikofyldte portefølje befinder sig under den grænseværdi, som strider imod det populære investeringsråd.

For tre af brancherne kan det ikke engang konkluderes med 90 % sikkerhed. Ved at hæve antagelsen om

fast arbejdsudbud og gøre det justerbart for den enkelte investor, vil det for mange investorer igen være

mest optimalt at følge det populære investeringsråd og investere en stigende andel i den risikofyldte porte-

følje med investeringshorisontens længde. Det kræver naturligvis, at pengeinstitutter undersøger den indi-

viduelle investors mulighed for et justerbart arbejdsudbud. Såfremt muligheden for et justerbart arbejds-

udbud ikke er til stede, og korrelationen mellem lønindkomst og risikofyldt portefølje overskrider grænse-

Side 60 af 64

værdien, vil det populære investeringsråd ikke længere resultere i den mest optimale aktivaktivallokering

over en multiperiode investeringshorisont.

De investorspecifikke forhold udgør dermed en vigtig bestanddel i porteføljeskabelonen, og de bør spille en

større rolle i investeringsrådgivningen for en pensionsopsparing, end de gør i dag. Man bør derudover som

investor forholde sig kritisk til rådgivere, der rører rundt i en givet portefølje ud fra markedsforventninger

og egne interesser, idet mange forhold er afgørende for den optimale diversifikation og ønskede risikoeks-

ponering.

Alle tre pengeinstitutter inddrager endvidere markedsforventninger i investeringsrådgivningen, og det er

det sidste delelement i rådgivningsskabelonen, som ikke er inddraget i opgaven hidtil. Effektiviteten af det

danske aktiemarked i svag forstand er undersøgt via en empirisk analyse af ”random walk” hypotesen. Ana-

lysen viste, at man med 95 % sikkerhed kan konkludere, at det danske aktiemarked er effektivt i svag for-

stand. Det kan derfor ikke betale sig at foretage en teknisk analyse, som ofte resulterer i et højt transakti-

onsniveau. En række citater og gode argumenter peger i retning af, at det danske aktiemarked ligeledes er

effektivt i semi-stærk forstand. Det kan dog f.eks. lade sig gøre for Nordea, via fundamentalanalyser, at

opnå overnormale aktieafkast over en lang investeringshorisont. Intet tyder derfor på, at man kan slå mar-

kedet ved at føre en mere aktiv porteføljestrategi, da markedet er effektivt i svag forstand, og kun få inve-

steringsfolk kan opnå overnormale afkast, som opnås over en lang investeringshorisont.

Der kan yderligere forventes mean-reversion i aktieafkastene, hvor det forventede afkast varierer omkring

et gennemsnitsniveau. Den empiriske analyse viste en tendens af mean-reversion i aktieafkastene, hvor en

del af risikoen vil kunne bortdiversificeres på lang sigt. Opgaven afviser dog via citater og gode argumenter,

at aktier med højere sandsynlighed outperformer obligationer på langt sigt; så tidligere konklusioner for

den risikofyldte porteføljes afhængighed af investeringshorisonten fastholdes. Der kan i stedet ved forven-

tet mean-reversion, via indikatorer opstå et forudsigeligt element i de langsigtede aktieafkast, hvilket åbner

op for et markedstimings aspekt. Dette vil dog resultere i høje transaktionsomkostninger; så man skal kun

slå over i markedstimings-strategien, når indikatorer begynder at afvige markant fra deres normale niveau.

Dermed opnås den mest optimale portefølje/aktivallokering for den langsigtede investor ved (via en passiv

strategi) først og fremmest at udnytte den fulde diversifikationseffekt og dermed ønskede risikoekspone-

ring ved inddragelse af investorspecifikke forhold, såsom risikoaversion, omsættelig finansiel formue, hu-

mankapital og dens korrelation med risikofyldte aktiver. Porteføljen/aktivallokeringen rebalanceres hvert år

ud fra forholdet mellem humankapital og omsættelig, finansiel formue. Her vil eventuelle overnormale

afkast, via fundamentalanalyser, tale for en højere aktieandel, mens de forudsigelige elementer i det lang-

sigtede aktieafkast vil tale for en justering af porteføljen, når indikatorer kraftigt tilsiger dette.

Der bør derfor stræbes efter en højere validitet for korrelationen mellem lønindkomst og risikofyldte akti-

ver, samt en fornuftig løsning til eventuelle højtgearede porteføljer, så den ovenstående konklusion kan

blive en del af den almene investeringsrådgivning til pensionsopsparinger.

Det understøtter ”best practice” inden for finansiel rådgivning!

Side 61 af 64

6.1 Litteraturliste

Bøger:

Albrechtslund m.fl., Michael (2007): Strategisk Asset Allocation – kort fortalt. Sparinvest.

Andersen m.fl., Steen (2007): Notesamling til Statistik på HA og HD 1. del. Internt undervisningsmateriale

E282.

Bernstein, William J (2001): The Intelligent Asset Allocator. McGraw Hill.

Campbell, John Y. og Viceira, Luis M. (2002): Strategic Asset Allocation. Oxford University Press.

Christensen, Michael og Pedersen, Frank (2003): Aktie investering – Teori og praktisk anvendelse. Jurist og

økonomiforbundets forlag.

Elton m.fl., Ewin J. (2007): Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. John Wiley & Sons, Inc.

Michaud, Richard O. (1998): Efficient Asset Management – A Practical Guide to Stock Portfolio Optimization

and Asset Allocation. Boston, Mass. : Harvard Business School

Møller m.fl., Michael (1993): Afkastmåling. Forsikringshøjskolens Forlag.

Møller, Michael og Nielsen, Niels Christian (2009): Din Økonomi – En bog om tid og penge. L&R Business.

Pedersen m.fl., Leon Svejgaard (2003): The Thematic Investment Process. Kandrups Bogtrykkeri.

Sydsætter, Knut og Hammond, Peter (2008): Essential Mathematics for Economic Analysis. FT Prentice Hall.

Wooldridge, Jeffrey M. (2009): Introductory Econometrics – A Modern Approach. South-Western Cengage

Learning.

Artikler:

Andersen, Michael: Investment Policy Statements – Best practice inden for finansiel rådgivning. Fi-

nans/invest 2006 nr. 2.

Benitez-Silva, Hugo (2003): Labor Supply Flexibility and Portfolio Choice: An Empirical Analysis.

Bodie m.fl., Zvi (1992): Labor supply flexibility and portfolio choice in a life cycle model.

Boyle, Glenn W. og Guthrie, Craeme A. (2005): Human Capital and Popular Investment Advice.

CEPOS (2006): Skat, human kapital og uddannelse. Kan findes ved brug af dette link:

http://www.cepos.dk/uploads/media/Skat_human_kapital_uddannelse_01.pdf

Dimson, Elroy og Mussavian, Massoud (1999): Three centuries of asset pricing.

Engsted, Tom: Kan afkast forudsiges i et efficient marked?. Finans/invest 2006 nr. 6.

http://www.cepos.dk/uploads/media/Skat_human_kapital_uddannelse_01.pdf

Side 62 af 64

Grosen, Anders og Tanggaard, Carten: Finansiel rådgivning – behov for enkel og effektiv finansaftalelov.

Finans/invest 2009 nr. 5.

Grosen, Anders og Tanggaard, Carsten: Finansiel rådgivning – et forbrugerpolitisk rædselskabinet. Fi-

nans/invest 2009 nr. 4.

Grosen, Anders og Nielsen, Peder Harbjerg: Human kapital – en overset post på den privatøkonomiske ba-

lance. 2007 nr. 2.

Grosen, Anders og Nielsen, Peder Harbjerg: Livsindkomsttankegangen vinder frem. 2006 nr. 6.

Larsen, Anders Lund: Lønindkomstens betydning for porteføljevalget – Er du en aktie eller en obligation?.


Larsen, Anders Lund og Quistgaard, Thomas: Strategisk og taktisk Aktivallokering – Forudsigelse af afkasts

betydning for den langsigtede investors porteføljevalg. Finans/invest 2006 nr. 6

Markowitz, Harry (1952): Portfolio Selection.

Munk, Claus og Sørensen, Carsten: Skal investorer med lang investeringshorisont have større aktieandel?.


Nielsen, Peder Harbjerg: Opsparingsomfang ud fra livscyklusmodellen – Undervisningskompendium, som er

brugt i faget ”Privatøkonomi og investering”.

Reedtz, Peter: Uvildig investeringsrådgivning – utopi eller realisme?. Finans/invest 2010 nr. 3.

Tanggaard m.fl., Carsten Hvad praktikere bør vide om… Horisontens betydning for den institutionelle op-

sparing. Finans/invest 1998 nr. 8.

Hjemmesider:

Nykredit.dk:

http://www.nykredit.dk/privat/info/bank/formuekonto-med-fast-hoej-rente.xml - til indlånsrente

http://www.nykredit.dk/privat/ressourcer/dokumenter/pdf/Priser/prisliste-udlaan.pdf - til udlånsrente




http://www.nykredit.dk/informationsSide.do?iwID=/privat/informationsside/pension/pensionsinvest_afdel

inger.xml

http://www.nykredit.dk/privat/info/bank/formuekonto-med-fast-hoej-rente.xml







Side 63 af 64

http://www.nykredit.dk/informationsSide.do?iwID=/privat/informationsside/investering/investering_de_vi

gtigste_overvejelser.xml

Danskebank.dk:

http://www.danskebank.dk/da-dk/Privat/Opsparing-og-investering/Investering/Raadgivning/Kom-godt-i-

gang-med-at-investere/Investment-profile/Pages/Investeringsprofil.aspx

http://www.danskebank.dk/da-dk/Privat/Pension-og-forsikring/Pensionsopsparing/PRODUKTER/PENSION-

FOR-UDVALGTE-BRANCHER/Pages/Pension-for-udvalgte-brancher.aspx

Nordea.dk

http://www.nordeaprivatebanking.dk/sitemod/upload/Root/PrivateBanking_dk/pdf/PB-

AssetAllocation.pdf


Skat.dk

http://www.skm.dk/tal_statistik/indkomstfordeling/688.html - indkomstskat

http://www.skat.dk/skat.aspx?oId=109805&vId=203085&i=1#i109805 – beskatning af pensionsafkast

Andre:




Data:

Den empiriske analyse i besvarelsen af første problemstilling tog udgangspunkt i udregninger fra Excel.

Fremgangsmåden for disse udregninger er blevet hentet i dette dokument: IKT Analytical Knowledge Group

(2008): Portfolio Optimization and Matrix Calculation in Excel.

De tre aktieindeks, den gennemsnitlige timeløn og de fem lønindeks er taget fra Danmarks Statistik:

http://www.statistikbanken.dk

De to obligationsindeks DK Govt CM 2Y og DK Govt CM 7Y er hentet ved adgang til Nordea e-markets:

http://www.nordea.com/Our%2bservices/International%2bproducts%2band%2bservices/Markets/e-

Markets/49922.html?vanity=www.nordea.com/e-markets

Den gennemsnitlige årlige arbejdstid er taget fra:

http://www.ae.dk/files/arbejdstid_07_endelig_fip.pdf










http://www.skm.dk/tal_statistik/indkomstfordeling/688.html





http://www.statistikbanken.dk/

http://www.nordea.com/Our%2bservices/International%2bproducts%2band%2bservices/Markets/e-Markets/49922.html?vanity=www.nordea.com/e-markets

http://www.nordea.com/Our%2bservices/International%2bproducts%2band%2bservices/Markets/e-Markets/49922.html?vanity=www.nordea.com/e-markets

http://www.ae.dk/files/arbejdstid_07_endelig_fip.pdf

Side 64 af 64

Den gennemsnitlige indbetalingsprocent til pension er taget fra:



Documents

Asset Allocation / Porteføljeoptimering - AU Purepure.au.dk/.../36146119/Asset_Allocation_Portef_ljeteori_Opgave.pdf · per explores whether these expectations should be part of