ASIGNATURA: ESTADISTICA APLICADA Curso Académico ... · BLOQUE II: CÁLCULO DE PROBABILIDADES. Tema 4. Fundamentos de la Probabilidad. Concepto de probabilidad. Definición axiomática

ASIGNATURA: ESTADISTICA APLICADATitulacion: Ingenierıa Tecnica Agrıcola

Curso Academico: 2007/2008Profesora: Marıa del Carmen Bueso Sanchez

• Programa de la asignatura

• Relaciones de problemas

• Formulario

• Tablas estadısticas

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

PROGRAMA DE TEORIA

BLOQUE I: ESTADISTICA DESCRIPTIVA.

Tema 1. Estadıstica Descriptiva Unidimensional.

Generalidades.

Tabla de frecuencias.

Representacion grafica.

Sıntesis numerica de una variable estadıstica unidimensional.

Tema 2. Estadıstica Descriptiva Bidimensional.

Concepto de variable estadıstica bidimensional.

Distribuciones marginales y condicionadas.

Dependencia e independencia estadıstica.

Tema 3. Regresion y Correlacion.

Planteamiento del problema de regresion. Criterio de mınimos cuadrados.

Regresion lineal mınimo-cuadratica.

Varianza residual y coeficiente de correlacion lineal.

Otros tipos de ajustes.

BLOQUE II: CALCULO DE PROBABILIDADES.

Tema 4. Fundamentos de la Probabilidad.

Concepto de probabilidad. Definicion axiomatica.

Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos.

Teorema de la Probabilidad Total. Teorema de Bayes.

Tema 5. Variable Aleatoria.

Concepto de variable aleatoria.

Funcion de distribucion. Propiedades.

Tipos de variables aleatorias: variable aleatoria discreta y variable aleatoria continua.

Caracterısticas de una variable aleatoria.

Variables aleatorias bidimensionales.

Tema 6. Algunas Distribuciones Discretas de Probabilidad.

Distribucion uniforme discreta.

Distribucion de Bernoulli. Distribucion binominal.

Distribucion de Poisson.

Tema 7. Algunas Distribuciones Continuas de Probabilidad.

Distribucion uniforme.

Distribucion exponencial.

Distribucion normal.

Estadıstica Aplicada. Ingenierıa Tecnica Agrıcola. Curso Academico 2007-2008. 2

Distribuciones asociadas a la distribucion normal: Distribucion χ2 de Pearson, distribucion t de Student ydistribucion F de Snedecor.

BLOQUE III: INFERENCIA ESTADISTICA.

Tema 8. Muestreo y Distribuciones de Muestreo.

Introduccion a la Inferencia Estadıstica.

Muestra aleatoria simple. Distribucion de la muestra.

Concepto de estadıstico. Estudio de la media y la varianza muestrales.

Muestreo en poblaciones normales.

Tema 9. Estimacion.

Generalidades y fundamentos. Conceptos basicos.

Estimacion puntual.

Estimacion por intervalos de confianza. Construccion de intervalos de confianza.

Intervalos de confianza para los parametros de distribuciones normales.

Tema 10. Contraste de Hipotesis.

Planteamiento general de un problema de contraste de hipotesis. Conceptos basicos.

Relacion entre contrastes de hipotesis y regiones de confianza.

Contrastes de hipotesis sobre los parametros de las distribuciones mas usuales.

PROGRAMA DE PRACTICAS DE ORDENADOR

Practica 1: Introduccion al programa Statistix. Manejo de ficheros de datos.

Practica 2: Estadsitica descriptiva. Tablas de frecuencias, representaciones graficas, medidas de centralizaciony dispersion.

Practica 3: Ajuste por mınimos cuadrados. Regresion lineal y no lineal.

Practica 4: La distribucion Normal. Calculo de probabilidades.

Practica 5: Simulacin de variables aleatorias.

Practica 6: Muestreo. Estimacion puntual y por intervalos de confianza.

Practica 7: Contrastes de hipotesis parametricas.

Practica 8: Analisis de conjuntos de datos.

Las practicas se realizaran en el aula de informatica asignada por la direccion de la Escuela.

BIBLIOGRAFIA

DeGroot, M. (1988). Probabilidad y Estadıstica. Ed. Addison Wesley, 1988.

Guillamon, A., Franco, M., Navarro, J. (1998). Probabilidad y Estadıstica. Problemas. Diego Marın.

Guillamon, A., Navarro, J. (1998). Probabilidad y Estadıstica. Fundamentos. Diego Marın.

Martin-Pliego, Montero, J.M., Ruiz-Maya, L. (1998). Problemas de Probabilidad. Editorial AC, Madrid.

Martin-Pliego, Montero, J.M., Ruiz-Maya, L. (2005). Problemas de Inferencia Estadıstica. Thomson-Paraninfo.


Martin-Pliego, Ruiz-Maya, L. (1998). Fundamentos de Probabilidad. Editorial AC, Madrid.

Martin-Pliego, Ruiz-Maya, L. (2005). Fundamentos de Inferencia Estadıstica. Editorial AC, Madrid.

Montgomery, D.C., Runger, G.C. (1996). Probabilidad y Estadıstica Aplicadas a la Ingenierıa. McGraw-Hill, Mexico.

Pena Sanchez-Rivera, D. (1992). Estadıstica. Modelos y Metodos I. Fundamentos. Alianza Editorial, Madrid.

CRITERIOS DE EVALUACION

En cada convocatoria, se realizara un examen final que constara de dos partes. La primera consistira en laresolucion de problemas y cuestiones teorico-practicas, con una puntuacion maxima de 8.5 puntos. En la segundase resolveran problemas mediante el uso del ordenador, con una puntuacion maxima de 1.5 puntos.

Al principio del cuatrimestre se propondra, con caracter voluntario, la presentacion de los problemas propuestosen cada leccion, la resolucion de los problemas propuestos en practicas de ordenador, la realizacion de un trabajoteorico-practico sobre algun tema relacionado con la asignatura (este trabajo podra realizarse individualmente oen grupos pequenos y sera presentado y expuesto a final del curso), ası como la realizacion de pruebas escritasdespues de finalizar cada bloque tematico. En el caso en que el alumno opte por realizar estas actividades, lacalificacion final de la asignatura se obtendra utilizando el siguiente criterio:

Presentacion de los problemas propuestos en cada leccion: 5 % de la calificacion final.

Resolucion de los problemas propuestos en practicas de ordenador: 5 % de la calificacion final.

Realizacion de un trabajo teorico-practico: 2 % de la calificacion final.

Nota media obtenida en las pruebas escritas: 18% de la calificacion final.

Examen final: 70% de la calificacion final.

En otro caso, la calificacion final de la asignatura correspondera con la puntuacion obtenida en el examen final.

La puntuacion mınima para superar la asignatura sera de 5 puntos sobre un maximo de 10.

HORARIO DE TUTORIAS

Dıa Hora Lugar

Martes 10:00-12:00 Despacho B015, Dpto. de Matematica Aplicada y EstadısticaPlanta Baja, Antiguo Hospital de Marina, Campus Muralla del Mar

Miercoles 10:00-12:00 Despacho B015, Dpto. de Matematica Aplicada y EstadısticaPlanta Baja, Antiguo Hospital de Marina, Campus Muralla del Mar

Jueves 10:00-11:00 Despacho de usos multiples, Dpto. de Matematica Aplicada y Estadıstica13:00-14:00 Planta Segunda, Edificio de Minas, Campus Alfonso XIII

Telefono: 968 33 89 06

Correo electronico: [email protected]

Espacio web: http://filemon.upct.es/∼mcbueso/


RELACIONES DE PROBLEMAS

Relacion de problemas 1. Estadıstica Descriptiva Unidimensional.

1. Los trabajadores de una empresa se clasifican atendiendo al cargo que desempenan de la siguiente forma:

Categorıa profesional Operarios Ayudantes Tecnicos DirectivosNumero de trabajadores 745 127 45 15

Representar estos datos mediante un diagrama de rectangulos y un diagrama de sectores.

2. Las calificaciones obtenidas en un examen por 32 alunmos fueron las siguientes:

1 3 6 5 1 4 2 4 7 5 8 6 2 1 4 79 5 2 3 5 7 8 6 8 10 8 2 6 1 6 2

a) Agrupar los datos en una tabla estadıstica representando las frecuencias absolutas y relativas.

b) Representar graficamente la distribucion de frecuencias mediante un diagrama de barras, polıgono defrecuencias y curva acumulativa o de distribucion.

3. El volumen maximo de agua alcanzado en un embalse durante 30 anos hidrologicos se recoge en la siguientetabla:

50 60 74 80 90 100 110 51 61 7481 93 101 75 54 62 80 93 70 5768 73 74 84 86 75 69 77 55 63

a) Agrupar los datos en intervalos de amplitud 10 y representar la distribucion de frecuencias en una tablaestadıstica.

b) Representar graficamente la distribucion de frecuencias.

4. En la siguiente tabla estan representados los datos relativos a la produccion anual de naranjas en unadeterminada region durante 50 anos:

Produccion de naranjas Numero de anos(millones de toneladas)

4-5 85-6 126-8 258-10 5

a) Representar graficamente la variable mediante un histograma.

b) Calcular la produccion que se obtuvo con mayor frecuencia durante ese periodo de tiempo.

c) ¿En cuantos anos la produccion supero a los 6.5 millones de toneladas?

d) ¿Que cantidad de naranjas se obtuvo el 30 % de los anos mas productivos?

5. El salario medio anual pagado a todos los empleados de una compania fue de 5000$. Esta compania tiene500 empleados de los cuales 400 son hombres. Si el salario medio anual pagado a los hombres fue de 5200$,¿cual fue el salario medio de las mujeres?

6. En la tabla adjunta se presentan los datos relativos al consumo de agua de 35 viviendas de una urbanizaciondurante la temporada estival.


Consumo (en m3) Numero de viviendas0-25 425-35 1035-50 850-60 1060-65 3

a) Representar graficamente la distribucion de frecuencias mediante un histograma. ¿Que consumo seobtuvo con mayor frecuencia?

b) Calcular el consumo medio de agua.

c) ¿En cuantas viviendas el consumo supero los 57 m3 de agua?


Relacion de problemas 2. Estadıstica Descriptiva Bidimensional.

1. En una cierta region se ha realizado una serie de sondeos a distintas profundidades y se ha estudiado elpeso de los sedimentos de un determinado tipo extraıdos en ellos. La informacion obtenida se recoge en lasiguiente tabla:

X/Y 0-20 20-50 50-100 100-1302 5 4 1 03 2 6 5 24 0 2 10 85 0 0 10 15

donde X representa la profundidad del sondeo en metros e Y el peso del sedimento en gramos.

a) ¿Cual es el peso mas habitual de los sedimentos extraıdos? ¿Y el de los extraıdos solo a 2 metros?

b) ¿Cual es la profundidad media de los sondeos realizados? ¿Y la profundidad media de los sondeos enlos que el peso de los sedimentos encontrados oscila entre 20 y 100 gramos?

c) ¿Cual es el porcentaje de sedimentos que extraıdos a mas de 3 metros pesan mas de 85 gramos? ¿Cuales la profundidad mınima a la que han sido extraıdos el 20 % de los sedimentos mas alejados de lasuperficie supuesto que su peso ha oscilado entre 50 y 100 gramos?

d) Determinar el grado de dispersion de la distribucion de las profundidades a las que han sido extraıdoslos sedimentos cuyo peso oscila entre 20 y 50 gramos.

e) ¿Cual es la profundidad maxima del 50 % de los sondeos menos profundos?

2. Un grupo de investigadores esta interesado en estudiar la tasa de germinacion de semillas. Para ello, seconsideraron semillas de alfalfa y se colocaron en una camara de germinacion. Once horas despues, seexaminaron las semillas y se registro el cambio de energıa libre (una medida de la tasa de germinacion). Enla tabla adjunta se presentan los resultados para semillas germinadas a diferentes temperaturas.

X/Y 5-7 7-10 10-1220-25 5 5 325-35 2 4 635-40 1 4 4

X: temperatura en 0C, Y : cambio de energıa libre.

a) ¿Que porcentaje de semillas fue germinado a una temperatura superior a 350C? ¿Y a 270C?

b) ¿Cual es la temperatura mas frecuente en la que las semillas germinaron? ¿Y la temperatura media?

c) Calcular el porcentaje de semillas que, germinadas a una temperatura superior a 250C, tienen uncambio de energıa libre superior a 8 unidades.

d) ¿En que distribucion marginal el valor medio de las medidas observadas es mas representativo? Razonarla respuesta.

3. Los siguientes datos muestran el tiempo de servicio y los gastos anuales de mantenimiento de un cierto tipode maquinaria.

Maquina Anos de servicio Costo anual de reparacionA 1 25000B 3 18750C 4 31250D 2 25000E 5 37500F 8 50000G 9 50000H 10 62500I 13 100000J 15 100000


Representar el diagrama de dispersion. ¿Existe relacion lineal entre los anos de servicio y el coste anual dereparacion? Justificar la respuesta.

4. Un analista informa, basandose en datos observados, que, a medida que crece la inversion extranjera, esmenor el valor del ındice de la Bolsa. Si se consideran los siguientes datos:

Inversion extranjera Indice de Bolsa(miles de millones de dolares)

3000 1103500 1153700 1173600 1133400 1203800 1223900 1213700 118

Determinar la validez del informe del analista.

5. Se ha observado el contenido en carbono (X) y el ındice de permeabilidad (Y ) de una serie de mezclas,obteniendose la siguiente informacion:

Y /X 3.0-4.0 4.0-4.5 4.5-5.514 0 2 118 2 5 422 3 3 326 2 1 4

donde los valores de Y representan las marcas de las clases (todas de igual amplitud).

a) Representar el histograma y la curva acumulativa de la variable X.

b) Obtener las medias y varianzas marginales. ¿Que distribucion marginal es mas homogenea con respectoa su media? Razonar la respuesta.

c) Calcular el ındice de permeabilidad medio para aquellas mezclas con un contenido en carbono superiora 4.

d) ¿Que porcentaje de mezclas tienen un contenido en carbono superior a 3.25?

e) ¿Cual es el contenido mınimo de carbono que contienen el 40 % de las mezclas con mayor concentracionen carbono?

6. Un grupo de investigadores esta interesado en estudiar la relacion que existe entre el grado de humedad quepresenta cierta especie de algas y la profundidad a la que crecen las plantas. Para ello se tomaron muestrasen las que se observaron las dos caracterısticas en estudio, obteniendose los siguientes datos:

X / Y 0.5-0.75 0.75-0.8 0.8-0.980-5 6 4 05-15 5 7 315-20 5 10 1520-30 2 5 13

X: profundidad en metros, Y : grado de humedad.

a) Esta especie de algas presenta propiedades curativas contra cierta enfermedad si el grado de humedades superior a 0.75.

1) Representar mediante un histograma la distribucion de las algas con esta propiedad.


2) Determinar la profundidad mas frecuente a la que fueron encontradas las algas con dichaspropiedades curativas.

b) ¿En que porcentaje de muestras se obtuvo un grado de humedad superior a 0.70?

7. Para 25 muestras de agua de un acuıfero se midio la conductividad electrica (en microsiemens por centımetro),obteniendose los siguientes valores:

200 215 257 260 375 384 424 461 486488 500 513 522 528 548 557 789 803810 1018 1265 1350 1499 2030 2099

Construir el diagrama Box-Whisker. ¿Existen valores atıpicos? Si se hubiera construido un histograma,¿estarıa sesgado a la izquierda, sesgado a la derecha, o serıa casi simetrico?


Relacion de problemas 3. Regresion y Correlacion.

1. En la estimacion de un modelo de regresion lineal, se obtuvieron los siguientes datos:

x = 5, y = 8, Sxy = 15, σ2y = 20, r2 = 0.9.

a) Calcular la varianza de X.

b) Obtener las rectas de regresion.

2. Supongamos una distribucion bidimensional con rectas de regresion

x + 4y = 1 y x + 5y = 2.

Calcular el coeficiente de correlacion lineal.

3. Se ha estimado la siguiente recta de regresion de Y /X: y = 5 + 3x.

a) Obtener la recta de X/Y sabiendo que r = 1. ¿ Y si r = 0.9 y x = 1?

b) ¿Serıa posible que en este modelo el coeficiente de correlacion fuera negativo?

4. La siguiente tabla informa sobre los ındices (en %) de los compuestos A y B que presentan 6 muestras deaguas subterraneas recogidas en diferentes puntos. Se supone que el ındice que una muestra puede presentarde compuesto B depende del ındice de compuesto A, sin embargo, no se conoce una funcion que expliqueaceptablemente este tipo de dependencia.

X 5.5-6.5 6.5-7.5 7.5-8.5 8.5-11.5 11.5-18.5 18.5-23.5Y 0.15-0.45 0.45-0.55 0.55-0.65 0.65-0.95 0.95-1.05 1.05-1.75

X: ındice de compuesto A, Y : ındice de compuesto B.

a) Explicar el comportamiento de la variable Y a partir de la variable X mediante una funcion:

1) Lineal.

2) Hiperbolica.

3) Exponencial.

4) Potencial.

b) ¿Que ajuste es mas adecuado?

5. En la tabla adjunta se encuentran los valores experimentales de la presion P de una masa dada de gascorrespondientes a diferentes valores de su volumen V . Segun los principios de Termodinamica existe unarelacion entre las variables que tiene la forma PV a = b, donde a y b son constantes.

Volumen V Presion P(en pulgadas cubicas) (en libras por pulgada cuadrada)

54.3 61.261.8 49.572.4 37.688.7 28.4118.6 19.2194.0 10.1

a) Calcular los valores de a y b.

b) Estimar P cuando V = 100 pulgadas cubicas.

6. En una determinada region se sabe que las precipitaciones caıdas dependen de la cantidad de vegetacionen la zona. Se tienen los siguientes datos:


X Y50 20100 70150 100200 150300 200

X: numero de arboles por Ha., Y : numero de l/m2 caıdos.

a) Ajustar a los datos una funcion del tipo y = axb.

b) Calcular la bondad del ajuste realizado. Compararlo con el ajuste lineal.

7. La hidrolisis de un cierto ester tiene lugar en medio acido segun un proceso cinetico de primer orden.Partiendo de una concentracion inicial desconocida del ester, se han medido las concentraciones del mismoa diferentes tiempos, obteniendose los siguientes resultados:

Tiempo en minutos 3 5 10 15 20 30 40 50 60 75 90Concentracion (103m) 25.5 23.4 18.2 14.2 11 6.7 4.1 2.5 1.5 0.7 0.4

a) Representar graficamente estos datos mediante un diagrama de dispersion. ¿Que conclusiones sepueden extraer?

b) La teorıa cinetica de este tipo de reacciones indica que la evolucion de la concentracion del ester enfuncion del tiempo se rige por Ct = C0e

−kt, donde C0 es la concentracion inicial y k la velocidad dedesaparicion del ester. ¿Que transformacion de los datos conduce a un modelo lineal? Realizar estatransformacion y obtener los valores de C0 y k.

c) Obtener una prediccion de la concentracion del ester a los 45 minutos de empezar el proceso.

8. Un grupo de investigadores esta interesado en estudiar el crecimiento de una poblacion de bacterias. Paraello, consideraron los datos de la tabla adjunta, referidos a una unidad de volumen.

Dıas de cultivo (t) 1 2 3 4 5 6Millones de bacterias (y) 1.6 4.5 13.8 40.2 125 300

a) Ajustar a estos datos una funcion exponencial del tipo y = AeBt.

b) Para estos datos, se realizo otro ajuste, obteniendose una varianza residual de 155.67 ¿Es este ajustemejor que el ajuste exponencial?


Relacion de problemas 4. Probabilidad.

1. Un sistema contiene dos componentes A y B, y se conecta de manera que este funciona si cualquiera delas dos componentes funciona. Se sabe que la probabilidad de que A funcione e 0.9, la de B es 0.8 y la deque ambos funcionen es 0.72. Determinar la probabilidad de que el sistema funcione.

2. Una empresa contrata a tres ingenieros, A, B y C, para realizar diferentes estudios hidrologicos en unadeterminada zona. Se sabe que la probabilidad de que el ingeniero A entregue los estudios en la fechaimpuesta por la empresa es 0.90, 0.85 para el ingeniero B y 0.95 para el ingeniero C.

a) Calcular la probabilidad de que la empresa disponga de todos los estudios contratados a los ingenierosen la fecha convenida.

b) ¿Cual es la probabilidad de que solamente uno de los ingenieros presente los estudios contratados enla fecha impuesta por la empresa?

c) Obtener la probabilidad de que alguno de los ingenieros presente los estudios contratados en la fechaestipulada por la empresa.

3. Demostrar que se verifica la igualdad

P (A/B) + P (A/B) = 1

para sucesos A y B cualesquiera, con P (B) 6= 0.

4. Un problema tiene que ser resuelto por tres alumnos, A, B y C, separadamente. La probabilidad de que losolucione A es 1/2, la de que lo solucione B es 1/3, y la de que lo haga C es 1/4.

a) ¿Cual es la probabilidad de que lo solucione uno cualquiera de los tres alumnos?

b) ¿Cual es la probabilidad de que el problema sea resuelto solamente por uno de los alumnos?

5. El 5 % de las unidades producidas en una fabrica se encuentran defectuosas cuando el proceso de fabricacionse encuentra fuera de control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30% de unidadesdefectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se seleccionaaleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, ¿cual es la probabilidad de que el proceso seencuentre fuera de control?

6. Se lanza una moneda con una probabilidad de 2/3 de que el resultado sea cara. Si aparece cara, se extraeuna pelota aleatoriamente de una urna que contiene dos pelotas rojas y tres verdes. Si el resultado es cruz, seextrae una pelota de otra urna, que contiene dos pelotas rojas y dos pelotas verdes. ¿Cual es la probabilidadde extraer una pelota roja?

7. En una determinada region se encuentran tres tipos de formaciones geologicas diferentes I, II y III quedividen a la region en tres zonas. La empresa de aguas de la region pretende hacer diferentes pozos de aguaque permitan abastecer a toda la region. Se sabe que la probabilidad de encontrar agua en la primera zonaes 0.15, en la segunda 0.20 y en la tercera 0.05. El 20 % de la region tiene formaciones geologicas del tipoI, el 35% del tipo II y el 45 % del tipo III.

a) Obtener la probabilidad de encontrar agua en la region.

b) Si no se ha obtenido agua, ¿cual es la probabilidad de que el pozo se haya construido en la zonacon formaciones geologicas del tipo I? ¿Y de que se haya construido en una zona con formacionesgeologicas del tipo II o del tipo III?

c) ¿Cual es la probabilidad de que se obtenga agua y de que se haya realizado la perforacion en una zonacon formaciones geologicas del tipo III?

8. En un proceso de tratamiento de cierto mineral se utilizan tres tecnicas T1, T2 y T3. Las probabilidades decometer algun fallo en su aplicacion son 0.6, 0.3 y 0.1, respectivamente. Determinar la probabilidad de queel proceso no se realice de forma correcta.


9. Las probabilidades de que ciertas muestras de interes A y B no pierdan su ındice de humedad durante elperiodo de observacion son respectivamente 3/5 y 2/3. Calcular la probabilidad de que:

a) Ambas muestras no pierdan el ındice de humedad.

b) Solo una de las muestras pierda su ındice de humedad.

c) Al menos una muestra conserve su ındice de humedad.

10. Los sucesos A y B verifican que P (A) = 1/2, P (B) = 1/3 y P (A ∩B) = 1/4.

a) Calcular P (A/B), P (B/A), P (A ∪B), P (A/B) y P (B/A).

b) Calcular las probabilidades anteriores considerando que P (A ∩B) = 1/6.

11. El 15 % de los tomates recolectados en cierta region presenta en la piel una sustancia toxica A, el 10 % lasustancia toxica B y el 2% las sustancias toxicas A y B. Se selecciona una muestra al azar.

a) Calcular la probabilidad de que la muestra presente la sustancia toxica A si presenta la sustancia toxicaB.

b) Calcular la probabilidad de que la muestra presente la sustancia toxica A si no presenta la sustanciatoxica B.

c) Se sabe que el 20 % de las muestras presentan en su piel una sustancia C, incompatible con B y el 5 %de las muestras las sustancias A y C. Calcular la probabilidad de que la muestra presente la sustanciaB o C si presenta la sustancia A.

12. En una determinada zona, el 20 % de los dıas llueve, en el 40 % de los dıas la temperatura oscila alrededorde los 20 grados y en el 35 % de lo dıas en que llueve, la temperatura es aproximadamente de 20 gradoscentıgrados. Calcular la probabilidad de que en un dıa seleccionado al azar:

a) Llueva o la temperatura oscile alrededor de los 20 grados.

b) Llueva y la temperatura oscile alrededor de los 20 grados.

c) Se presente solo una de las dos caracterısticas senaladas.

13. En una determinada explotacion agraria dedicada al cultivo de cierta fruta tropical se utilizan tres metodosdiferentes de riego por goteo, M1, M2 y M3. La probabilidad de que el metodo M1 funcione correctamentees 0.84. Si el metodo M1 falla empieza a funcionar el metodo M2 y si este falla entrara en funcionamientoel metodo M3. La probabilidad de que funcione correctamente el metodo M2 si M1 no funciona es 0.79 yla de que funcione M3 si M1 y M2 no funcionan es 0.94.

a) Determinar la probabilidad de que no funcione el riego por goteo.

b) Determinar la probabilidad de que al menos uno de los metodos funcione correctamente.

14. Los tipos A y B de sedimentos se encuentran, respectivamente, en el 50 % y en el 20% de los suelos de unacierta region. Si el tipo A aparece en el 75% de los suelos en los que hay sedimentos de tipo B, calcular laprobabilidad de no encontrar ninguno de esos dos tipos de sedimentos en un suelo de dicha region elegidoal azar. ¿Es independiente la aparicion de sedimentos del tipo A con la de los del tipo B?

15. Basandose en varios estudios, un grupo de investigadores han clasificado las formaciones geologicas en trestipos I, II y III, de acuerdo con la posibilidad de encontrar petroleo. Se sabe por experiencia que el petroleo seencuentra en un 40 % de las formaciones del tipo I, en un 20% de las del tipo II y en un 30% de las del tipoIII. El grupo pretende perforar un pozo en una determinada zona donde el 35 % de su extension correspondea formaciones del tipo I, el 40 % a las del tipo II y el 25 % a las del tipo III. Calcular la probabilidad de:

a) No encontrar petroleo.

b) Que se haya perforado en una formacion del tipo II, supuesto que se ha encontrado petroelo.

c) Que se descubra petroleo si se realiza la perforacion donde no existen formaciones del tipo II.


16. Se realizan una serie de sondeos a tres profundidades distintas P1, P2 y P3. Con la profundidad P1 se realizan300 sondeos, con la profundidad P2 se realizan 600 sondeos y 100 con la profundidad P3. La probabilidadde que a la profundidad P1 se encuentren sedimentos del tipo A es de 0.2 y de 0.15 a la profundidadP2. Se desconoce cual es esta probabilidad a la profundidad P3. Se han establecido dos hipotesis sobre laprobabilidad de que tomando un sedimento y siendo este del tipo A se hubiese extraıdo a una profundidadP3. Estas probabilidades son 0.5 y 0.3, respectivamente.

a) Determinar la hipotesis correcta.

b) Calcular la probabilidad de que elegido al azar uno de los sedimentos extraıdos en los sondeos, este nosea del tipo A.

17. La produccion de una finca depende de la produccion de cuatro parcelas que la constituyen P1, P2, P3 yP4. Anualmente la produccion de cada parcela en Kg. es la siguiente: 600 para P1, 500 para P2, 350 paraP3 y 250 para P4. Se sabe que en dichas producciones anuales, el 4% de los frutos estan en mal estado enP1, el 3.5% en P2, el 4.6% en P3 y el 2 % en P4.

a) Si la cosecha anual se recoge conjuntamente en las cuatro parcelas, ¿cual es la probabilidad de que alseleccionar un fruto al azar, este se encuentre en mal estado?

b) Si se han recogido frutos en mal estado, ¿cual es la probabilidad de que se hayan recogido en la parcelaP2?

c) Obtener la probabilidad de que los frutos se encuentren en mal estado si no se han recogido en laparcela P2.

d) Si los frutos se han recogido en las parcelas P3 y P4, ¿cual es la probabilidad de que los frutos seencuentren en buen estado?

18. Una empresa de aguas contrata a dos ingenieros, A y B, para realizar diferentes estudios hidrogeologicosen una determinada zona. La probabilidad de que el ingeniero A entregue los estudios en la fecha impuestapor la empresa es 0.90 y 0.98 para el ingeniero B.

a) Si los honorarios exigidos por el ingeniero B duplican a los exigidos por A y la empresa desea reduciral maximo el coste de contratacion, ¿que tanto por ciento de estudios debe asignarle a cada uno de losingenieros que piensa contratar para que la probabilidad de que la empresa disponga de los estudiosen la fecha convenida sea como mınimo de 0.96?

b) Se selecciona al azar uno de los estudios contratados y se comprueba que no ha sido presentado en lafecha impuesta por la empresa, ¿cual es la probabilidad de que el ingenierio B estuviera contratadopara realizar dicho estudio?


Relacion de problemas 5. Variable aleatoria. Distribuciones de probabilidad.

1. Dada una variable con la siguiente distribucion de probabilidad:

i P [X = i]1 1c2 2c3 3c4 4c

a) Determinar el valor de c.

b) Obtener la funcion de distribucion y representarla graficamente.

c) Calcular la esperanza y la varianza de esta variable.

2. Dada la siguiente distribucion, correspondiente a una variable aleatoria discreta,

xi P [X = xi]10 0.120 a30 0.340 0.1

a) Obtener el valor de a.

b) Obtener la funcion de distribucion y representarla graficamente.

c) Calcular la esperanza y la varianza de esta variable.

3. Se sabe que en una determinada zona fluvial la probabilidad de encontrar sedimentos con la composicionA es 0.35. Obtener las siguientes probabilidades:

a) Encontrar 8 sedimentos con la composicion A en 10 examenes.

b) Encontrar como maximo 5 y como mınimo 2 sedimentos con la composicion A en 9 examenes.

c) Econtrar como mınimo 3 sedimentos con la composicion A en 7 examenes.

Si en otra zona la probabilidad de encontrar estos sedimentos es de 0.75, determinar la probabilidad de:

a) Encontrar en 6 examenes 4 sedimentos con la composicion A.

b) Encontrar en 7 examenes menos de 5 sedimentos con la composicion A.

4. En el proceso de tratamiento de un cierto mineral se realizan tres fases selectivas. La probabilidad de queel mineral supere satisfactoriamente la primera fase es de 0.67. Si no ha superado la primera fase deltratamiento debera ser tratado en la segunda fase, que tendra una probabilidad de 0.87 de superarla si noha pasado la primera fase. Si la segunda fase no logra superarla debera someterse a la tercera fase, quesuperara con una probabilidad de 0.58 si no ha logrado superar ninguna de las fases previas.

a) Determinar las siguientes probabilidades:

1) El mineral supera el proceso de tratamiento en la primera fase.

2) El mineral supera el proceso de tratamiento en la segunda fase.

3) El mineral supera el proceso de tratamiento en la tercera fase.

4) El mineral no supera el proceso de tratamiento.

b) Si el mineral supera el proceso de tratamiento se obtiene una ganancia de 35,000 euros. Sabiendo quecada fase del proceso tiene un coste de 10,000 euros, obtener

1) La funcion de probabilidad del beneficio del proceso.

2) El valor esperado del beneficio del proceso.


5. En una empresa vitivinıcola se utilizan dos maquinas de prensado, A y B. La probabilidad de que la maquinaA funcione correctamente es 0.93. Si se produce una averıa en la maquina A empieza a funcionar la maquinaB. La probabilidad de que la maquina B funcione correctamente si la maquina A no funciona es de 0.86.

a) Calcular la probabilidad de que no funcione la maquinaria para el prensado.

b) Calcular la probabilidad de que al menos una de las maquinas funcione adecuadamente.

c) Si el proceso de prensado se realiza satisfactoriamente se obtiene una ganancia de 25,000 euros.Sabiendo que la puesta en marcha y el mantenimiento de cada maquina de prensado tiene un costede 5,000 euros, obtener

1) La funcion de probabilidad del beneficio del proceso.

2) El beneficio esperado del proceso.

6. Una campanıa de seguros descubre que alrededor del 5 % de la poblacion tiene un cierto tipo de accidentecada ano. Si se seleccionan 8 asegurados al azar en la poblacion,

a) ¿Cual es la probabilidad de que no mas de 2 de ellos tengan un accidente de este tipo el proximo ano?

b) ¿Cual es la probabilidad de que no haya accidentes?

c) ¿Cual es la probabilidad de que haya mas de tres accidentes?

7. Estudiando la desintegracion de una sustancia radioactiva, se ha comprobado que el numero de partıculasα que llegan a un contador es por termino medio de 10 partıculas cada segundo. Calcular la probabilidadde que en un experimento con esta sustancia se obtengan en un segundo:

a) 4 partıculas.

b) Menos de 4 partıculas.

c) Mas de 3 partıculas.

Obtener la desviacion tıpica del numero de partıculas α desintegradas por segundo.

8. Se esta probando un nuevo pienso con determinados animales. En el 70 % de los casos los animales mejoranen peso, en el 20 % no varıan de peso y en el 10 % pierden peso.

a) Si se administra el nuevo pienso a 10 animales, calcular las probabiliades de que i) 7 mejoren en peso,ii) al menos 3 mejoren en peso, iii) 4 sigan igual, iv) como maximo 3 pierdan peso.

b) Si se administra a 100 animales, calcular las probabilidades de que mejoren en peso i) entre el 60 y el65% de los animales, ii) mas del 80 %.

9. En una determinada granja se sabe por experiencias anteriores que el 40% de las gallinas ponen menos de3 huevos al dıa. Se ha tomado una muestra de 10 gallinas.

a) Determinar la distribucion de probabilidad del numero de gallinas que ponen menos de 3 huevos aldıa. Obtener la media y la varianza de dicha distribucion.

b) ¿Cual es la probabilidad de que 4 de ellas pongan menos de 3 huevos al dıa?

c) ¿Cual es la probabilidad de que el numero de gallinas que ponen menos de 3 huevos al dıa sea superioral numero medio de gallinas que ponen mas de 2 huevos al dıa?

d) Si se hubiera considerado una muestra de 100 gallinas, ¿cual serıa la probabilidad de que menos de 35gallinas pongan menos de tres huevos al dıa?

10. En una granja avıcola se utilizan dos tipos de pienso, A y B, para alimentar a las aves. El 20 % de las avesse alimenta exclusivamente con el pienso del tipo A, el 35% exclusivamente con el pienso del tipo B y elresto de las aves con ambos tipos de pienso. Se sabe que la probabilidad de que el engorde de las aves seasuperior a 1Kg. cuando se utiliza solamente el pienso A es de 0.86, cuando se utiliza solamente el piensoB es de 0.58 y cuando se utilizan ambos es de 0.95.


a) Si se selecciona aleatoriamente una de las aves de la granja, ¿cual es la probabilidad de que el engordesea superior a 1Kg.?

b) Se selecciona al azar una de las aves de la granja y se comprueba que el engorde no ha superado a1Kg., ¿cual es la probabilidad de que haya sido alimentada con los dos tipos de pienso?

c) ¿Cual es la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente una de las aves de la granja se hayaalimentado con el pienso A exclusivamente y el engorde supere a 1Kg.?

11. Un cajero automatico es utilizado por un promedio de 6 personas cada hora. Calcular la probabilidad deque:

a) Exactamente 6 personas utilicen el cajero durante una hora seleccionada al azar.

b) Menos de 5 personas utilicen el cajero durante una hora elegida al azar.

c) Nadie utilice el cajero durante un intervalo de 10 minutos.

d) Nadie utilice el cajero durante un intervalo de 5 minutos.

12. Supongase que en un cruce transitado ocurren un promedio de dos accidentes por semana. Determinar laprobabilidad de que:

a) Ocurra un accidente en una semana.

b) Ocurran tres accidentes en una semana.

13. Se sabe que el 1 % de los artıculos fabricados por cierta empresa son defectuosos. Si se selecciona unamuestra de 30 artıculos, obtener la probabilidad de que dos o mas sean defectuosos.

14. Un grupo de investigadores sabe que la probabilidad de que los individuos afectados por un cierto virusfallezcan es de 0.035. Determinar, para una poblacion de 100 enfermos,

a) El numero esperado de fallecidos.

b) La probabilidad de que fallezcan mas de tres.

15. Una maquina automatica dedicada a la fabricacion de comprimidos produce defectuosos a razon del 1%. Silos comprimidos se colocan en tubos de 25 comprimidos, ¿cual es la probabilidad de que en un tubo todoslos comprimidos sean buenos?

16. Se X una variable aleatoria con distribucion N (µ, σ2 = 4).

a) Obtener el valor de µ para que se cumpla que P [X > 3] = 0.8.

b) Obtenido el valor de µ, calcular el percentil 75.

17. Sea X una variable aleatoria normal con media 50 y varianza 100. Obtener el valor x0 tal que P [X < xo] =0.95.

18. Una empresa del sector de alimentacion infantil recibe diariamente 100 lotes de materia prima de unproveedor. Se sabe que el peso de los lotes se comporta como una distribucion normal.

a) Obtener los parametros que determinan la distribucion de los pesos de los lotes sabiendo que el 67 %de las lotes tienen un peso superior a 195.6 Kg. y el 88 % lo tienen inferior a 211.75 Kg.

b) La empresa sospecha que los lotes enviados por el proveedor tienen un peso inferior al estipulado encontrato. Por ello, decide suspender su contrato si se reciben diariamente 5 o mas lotes con un pesoinferior a 220 Kg. Calcular la probabilidad de que se suspenda el contrato.

19. Un grupo de cientıficos interesados en la investigacion de restos antiguos estudian las dimensiones de unaserie de craneos encontrados en cierta region. El ındice de longitud-anchura de los craneos se sabe que sedistribuye segun una ley normal de media 76.2 y desviacion tıpica 3. Los craneos son clasificados segundicho ındice en dodicacefalos, cuando el ınidice es menor que 75, mesocefalos, si esta comprendido entre75 y 80, y branquicefalos si es superior a 80.


a) Calcular las probabilidades de que un craneo elegido al azar sea dodicacefalo, mesocefalo o bran-quicefalo.

b) Calcular la probabilidad de que, elegido aleatoriamente un craneo, su ındice difiera de la media en dosunidades como maximo.

c) ¿Cual es el valor mınimo del ındice longitud-anchura del 25 % de los craneos con mayor ındice?

20. Si se supone que la profundidad de la superficie oceanica (sin considerar el zocalo continental), se aproximaa una distribucion normal de media 4,000 metros y desviacion tıpica 1,000 metros,

a) Calcular el porcentaje de extension oceanica que ocupan las areas cuya profundidad es como mınimo3,500 metros.

b) Si la profundidad del talud continental puede oscilar entre 200 y 3,000 metros, calcular la probabilidadde que elegida aleatoriamente un area oceanica, esta pertenezca al talud.

c) Si los abismos oceanicos suponen el 1.7 % de la extension oceanica con mas profundidad, determinarla profundidad mınima de una zona para que sea considerada abismo.

d) Calcular la probabilidad de que la profundidad de un area oceanica arbitraria difiera de la media porlo menos en 1,500 metros, y por lo tanto pertenezca al fondo marino.

21. La media de las temperaturas obtenidas en una region durante un ano es de 250C y la desviacion tıpica de100C. Si las temperaturas obedecen a una ley normal, calcular:

a) La probabilidad de que en un dıa elegido aleatoriamente la temperatura oscile entre 20 y 320C.

b) La probabilidad de que en un dıa elegido aleatoriamente la temperatura difiera de la media en mas de50C.

22. En una determinada zona fluvial se ha estudiado la composicion de cobre soluble de un conjunto de sedi-mentos elegidos aleatoriamente. Se ha obtenido que el logaritmo de la cantidad de cobre soluble, expresadaen p.p.m., del 10 % de los sedimentos elegidos es inferior a -0.134 y el del 20 % superior a 0.502. Supuestoque el logaritmo de la cantidad de cobre soluble que forma parte de los sedimentos de dicha zona se ajustaa una ley normal:

a) Determinar los parametros de la distribucion.

b) Elegido al azar un sedimento, determinar con probabilidad 0.95 el valor maximo que puede diferir ellogaritmo de la cantidad de cobre soluble, que forma parte de su composicion, de la media.

23. Un grupo de investigadores sabe por propia experiencia que la altura de cierta variedad de arbustos en unadeterminada zona se comporta como una variable normal con media 2.5m. y desviacion tıpica 0.5m.

a) Calcular la probabilidad de encontrar arbustos en la zona con una altura superior a 3m.

b) Si se seleccionan aleatoriamente 9 arbustos de la zona, ¿cual es la probabilidad de encontrar comomaximo 7 arbustos con altura superior a 3m.? ¿Cual sera el numero esperado de arbustos que seencontraran con una altura inferior o igual a 3m.?

c) Si se realiza una seleccion de 1000 arbustos, ¿que probabilidad existe de encontrar mas de la terceraparte con una altura inferior o igual a 3m.?


Relacion de problemas 6. Distribuciones muestrales.

1. Se supone que la altura de los alumnos de una determinada universidad se distribuye normalmente conmedia 174 cm. y desviacion tıpica 8 cm. Si se va a extraer una muestra de tamano 25,

a) Calcular el valor esperado y la desviacion tıpica de la distribucion en el muestreo de la media de lamuestra.

b) ¿En que porcentaje de muestras cabrıa esperar una altura media comprendida entre 172 y 175?

c) ¿En que porcentaje de muestras habrıa una altura media menor que 170?

2. La longitud de determinada poblacion de fosiles es una variable aleatoria que sigue una distribucion normalcon media 185.6 mm. y desviacion tıpica 12.7 mm. ¿Cual es la probabilidad de que una muestra aleatoriasimple de tamano 20 de esa poblacion tenga media mayor que 190 mm.?

3. Se sabe que la concentracion de calcio de determinado mineral sigue una distribucion normal de desviaciontıpica 2.

a) Calcular la probabilidad de que la media muestral de una muestra aleatoria simple de tamano 10 y lamedia poblacional difieran en mas de 0.5 unidades.

b) ¿De que tamano mınimo habrıa que seleccionar la muestra para poder afirmar, con probabilidad 0.9,que la media muestral diferira de la poblacional en menos de 0.1?

4. Sea X una variable aleatoria con ditribucion normal N (µ, σ2 = 16). Se selecciona una muestra aleatoriade tamano n. Obtener el valor de n tal que P (X > µ + 1) = 0.1.

5. El diametro de la fruta recolectada en una explotacion agraria se comporta aproximadamente normal condesviacion tıpica 2.85 cm.

a) Se seleccionan 25 piezas de fruta y se considera su diametro medio. Determinar la probabilidad de queel diametro medio de la muestra difiera del verdadero diametro medio de la poblacion en menos de1.14 cm.

b) Determinar el tamano muestral necesario para obtener un error de estimacion del diametro medio dela poblacion inferior a 0.5 cm., a un nivel de confianza del 95 %.

6. Se considera una muestra aleatoria de 100 empleados de una gran companıa americana. La desviacion tıpicade los salarios es de 1,500$.

a) ¿Cual es la probabilidad de que la media de la muestra no difiera en mas de 200$ de la verdaderamedia salarial?

b) ¿Que probabilidad hay de obtener una muestra de media mayor que 8,500$ si el promedio verdaderode la companıa fuera de 8,200$?

7. Se quiere seleccionar una muestra de tamano n de una poblacion normal con varianza 16. Determinar elvalor mınimo de n para poder afirmar, con probabilidad 0.95, que la media muestral diferira de la mediapoblacional en menos de 2 unidades.

8. Se va a seleccionar una muestra aleatoria de tamano n de una distribucion normal con media µ y desviaciontıpica σ = 2. Determinar el mınimo valor de n tal que P (|X − µ| < 0.1) > 0.9.

9. Obtener la probabilidad que en 120 lanzamientos de una moneda la frecuencia muestral del suceso {salircara}:a) Este comprendida entre 0.4 y 0.6.

b) Sea superior a 5/8.

10. Dos maquinas producen tornillos cuyas longitudes en mm. siguen distribuciones N (150, 10) y N (100, 5).Se toman muestras de tamano 10.


a) ¿Cual es la distribucion de la diferencia media de longitudes?

b) Calcular la probabilidad de que la longitud media de la muestra de la primera maquina no sea superioren mas de 45 mm. a la longitud media de la muestra de la segunda maquina.

c) Calcular la probabilidad de que la longitud media de la muestra de la primera maquina supere en 53mm. a la longitud media de la muestra de la segunda maquina.

11. Las bombillas electricas de un fabricante A tienen una duracion media de 1,400 horas con una desviaciontıpica de 200, mientras que las de otro fabricante B tienen una duracion media de 1,200 horas con unadesviacion tıpica de 100 horas. Si se toman muestras al azar de 125 bombillas de cada fabricante.

a) ¿Cual es la probabilidad de que las bombillas de A tengan una duracion media que sea al menos 160horas superior a la duracion promedio de las de B?

b) ¿Cual es la probabilidad de que las bombillas de A tengan una duracion media que sea mayor que 250horas la duracion promedio de las de B?


Relacion de problemas 7. Estimacion puntual. Intervalos de confianza.

1. En una encuesta de tamano 16 de una poblacion normal con varianza 100 se ha obtenido una media muestralde 12.

a) Obtener un intervalo de confianza al 90 % para la media poblacional.

b) Calcular el tamano muestral necesario para obtener un error de 5 en un intervalo de confianza al 95%para la media.

2. La Concejalıa de Medio Ambiente del Ayuntamiento de una gran ciudad europea mide el grado de conta-minacion de la ciudad por un parametro X. Despues de una serie de investigaciones se ha concluido queeste parametro se comporta como una variable aleatoria normal. Para controlar el grado de contaminacionse toman medidas diarias, obteniendose los siguientes datos durante 10 dıas:

10.2 11.1 10.5 9.9 10.2 10.8 11.2 9.7 10.1 10.3

a) A partir de estos datos obtener estimaciones puntuales de la media y la varianza de la distribucion deX.

b) Construir un intervalo de confianza para el grado medio de contaminacion al nivel de confianza del95%.

3. El diametro de las naranjas producidas en una determinada explotacion agrıcola sigue aproximadamenteuna distribucion normal con desviacion tıpica 0.85 cm. Para una muestra aleatoria simple de tamano 40de la produccion se obtuvo un diametro medio x=8.25 cm. Determinar un intervalo de confianza para eldiametro medio de las naranjas de la produccion al nivel de confianza del 98 %. ¿Que tamano muestralserıa necesario para reducir a la mitad la amplitud del intervalo obtenido considerando el mismo nivel deconfianza?

4. De un cierta poblacion se ha extraıdo una muestra de 64 individuos, cuyo valor medio ha resultado serx = 1, 012. Se sabe por otras experiencias del mismo tipo, que la desviacion tıpica vale 25. Obtenerintervalos de confianza para el valor medio de la poblacion a los niveles de confianza de 0.90, 0.95 y 0.99.

5. Una encuesta de 100 votantes para conocer sus opiniones respecto a dos candidatos muestra que 55 apoyana A y 45 a B. Se pide:

a) Calcular un intervalo de confianza para la proporcion de votos de cada candidato.

b) ¿Cual serıa el tamano muestral necesario para que una fraccion 0.55 de partidarios de A permitaasegurar que sera elegido al 99 %?

6. Una urna contiene una proporcion desconocida de bolas rojas y blancas. En una muestra al azar de 60 bolasextraıdas con remplazamiento de la urna se obtuvieron 42 bolas rojas. Hallar lımites de confianza al 95 %y 99 % para la proporcion real de bolas rojas en la urna.

7. Se selecciono una muestra de 300 tornillos fabricados en una cierta industria, para conocer la proporcion detornillos con una longitud superior a 6 mm. De los 300 tornillos seleccionados solo 100 tenıan un diametrosuperior a 6 mm. Construir a un nivel de confianza del 95% un intervalo confianza para la verdaderaproporcion en la poblacion.

8. En una granja avıcola se utilizan dos tipos de pienso, A y B. Se esta interesado en comparar la media deengorde de las aves con ambos piensos. Para ello se seleccionan 40 aves y se les alimenta durante ciertotiempo con el pienso A y se obtiene una ganancia media de peso por ave de 0.78Kg. con una desviaciontıpica de 0.0186Kg. Simultaneamente a otras 40 aves se les alimenta con el pienso B y se obtiene un engordemedio de 0.79Kg. con una desviacion tıpica de 0.0172Kg.

9. Una muestra de tamano 10 de una N (µ1, 225) tiene como media x = 170.2 y una muestra de tamano 12de una N (µ2, 256) tiene como media y = 176.7. Calcular un intervalo de confianza para µ1 − µ2 al nivelde confianza del 95 %.


10. Dos laboratorios A y B analizan muestras de agua para estudiar el contenido de un determinado contami-nante. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Laboratorio A 22.38 15.85 25.21 22.25 21.97 19.40Laboratorio B 19.40 21.22 16.09 16.45

Suponiendo que las dos poblaciones examinadas son normales con varianzas 9 y 4, respectivamente, construirintervalos de confianza para la diferencia entre los contenidos medios de contaminante a los niveles deconfianza del 90 % y 95%. Comparar las amplitudes de los intervalos obtenidos. ¿Que factores influyen enla amplitud de un intervalo de confianza?

11. Se espera que dos operarios produzcan, en promedio, el mismo numero de unidades de un determinadoproducto, en el mismo tiempo. La siguiente tabla refleja los resultados obtenidos en cinco semanas:

Operario A 48 44 62 58 50Operario B 56 66 66 60 55

Si se supone que el numero de unidades terminadas semanalmente por ambos operarios son variablesnormales independientes y con varianzas iguales, se pide:

a) Calcular un intervalo de confianza para la diferencia de medias al nivel de confianza del 90 %.

b) ¿Existen diferencias significativas entre la produccion media de los dos operarios?


Relacion de problemas 8. Contrastes de hipotesis.

1. Se considera una poblacion descrita por una variable N (µ, σ2 = 25), y el contraste H0 : µ = 12 frentea H1 : µ = 15. Con una muestra aleatoria simple de tamano 25 se determina una region crıtica x > 14.Determinar la probabilidad de cometer un error tipo I, la probabilidad de cometer un error tipo II y lapotencia del contraste.

2. Se espera que la dureza de cierto mineral que se extrae de un yacimiento se distribuya normalmente conmedia 220. Se toma una muestra de 9 elementos, obteniendose los siguientes valores:

203 229 215 220 223 233 208 228 209

Al nivel de significacion 0.05, contrastar la hipotesis de que la muestra proviene de una poblacion con media220.

3. Se pretende comparar la duracion de dos tipos de pilas alcalinas que se presentan en el mercado. Para ellose mide la duracion (en horas) de cinco pilas de cada marca elegidas al azar. Los datos recogidos se recogenen la siguiente tabla:

Marca 1 Marca 299 10896 10092 10596 10292 100

Se supone que la duracion de las pilas se comporta como una distribucion normal.

a) Construir un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia de las duraciones medias de las pilas delas dos marcas. ¿Existen diferencias significativas entre las distintas marcas?

b) En caso afirmativo, ¿puede admitirse que la duracion media de la segunda marca supera a la de laprimera marca? (Realizar un contraste de hipotesis para responder a esta pregunta).

4. Se supone que los resultados de una cierta medicion fısica se distribuyen segun una ley normal. Dos personasrealizan dicha medicion a una muestra de 9 elementos, con los siguientes resultados:

Primera persona 132 139 126 114 122 132 142 119 126Segunda persona 124 141 118 116 114 132 145 123 121

Contrastar al nivel de significacion 0.01 si la media de las mediciones realizadas por la primera personasupera en al menos una unidad a la media de las realizadas por la segunda.

5. Para distintos contrastes de hipotesis realizados con Statistix se han obtenido los p-valores siguientes:

a) 0.00014

b) 0.53

c) 0.026

d) 0.19

Para cada uno de estos casos, determinar si se rechaza la hipotesis nula H0 para los niveles de significaciondel 10 %, 5 % y 1%.

6. Una central lechera recibe diariamente leche de dos granjas A y B. Se quiere estudiar la calidad de losproductos recibidos para lo cual se eligen dos muestras al azar de la leche suministrada para cada una delas granjas, se analiza el contenido de grasa y se obtienen los siguientes resultados:


Granja A n1 = 12 x= 0.305 s21=0.034

Granja B n2 = 16 y= 0.318 s22=0.027

¿Se puede considerar, bajo la hipotesis de normalidad, que los datos provienen de la misma poblacion conun nivel de significacion α=0.02?

7. Dos sistemas de cultivo, aplicados a una serie de parcelas identicas, han producido los siguientes rendimien-tos, en toneladas:

Grupo I 50 85 7 0 0.6 -5 0 3 6 90Grupo II 24 0 66 -3 43 13 425 30

Supuesto que los rendimientos obtenidos por uno u otro procedimiento siguen distribuciones normales convarianzas distintas, ¿puede inferirse que el segundo sistema es mas eficaz que el primero?

8. Para comparar dos programas OCR de digitalizacion de letra impresa, se sometio cada uno a 50 pruebas. Elprimero cometio 4 fallos y el segundo 6. ¿Puede afirmarse que el primero es significativamente mas fiableque el segundo.

9. En la publicidad de un producto dietetico lıquido se afirma que si se emplea durante un mes se produce unaperdida promedio de 3 kg. Ocho personas utilizaron el producto durante un mes, obteniendose los siguientesvalores para el peso antes y despues de utilizar dicho producto.

Peso inicial 63 101 95 98 55 43 50 87Peso final 61 95 92 97 50 41 46 83

a) Construir un intervalo de confianza al nivel de confianza del 95 % para la perdida de peso promedio.

b) ¿Los datos apoyan la afirmacion realizada en la publicidad? (Para responder a esta pregunta formularun constraste de hipotesis).


FORMULARIO

Distribuciones de probabilidad

Distribuciones discretas de probabilidad Funcion de probabilidad Esperanza Varianza

Distribucion de Bernoulli P [X = x] = px(1− p)1−x p p(1− p)X −→ B(p) x = 0, 1

Distribucion binomial P [X = x] =(

nx

)px(1− p)n−x np np(1− p)

X −→ B(n, p) x = 0, . . . , n

Distribucion de Poisson P [X = x] = e−λ λx

x! λ λX −→ P(λ) x = 0, 1, 2, . . .

Distribuciones continuas de probabilidad Funcion de densidad Esperanza Varianza

Distribucion uniforme f(x) ={

1b−a si a ≤ x ≤ b

0 en otro casoa+b2

(b−a)2

12

X −→ U(a, b)

Distribucion exponencial f(x) ={

1β e−

xβ si x ≥ 0

0 en otro casoβ β2

X −→ exp(β)

Distribucion normal f(x) = 1σ√

2πe−

12 ( x−µ

σ )2

, ∀x ∈ R µ σ2

X −→ N (µ, σ2)

Estadısticos muestrales mas usuales

Sea X1, X2, . . . , Xn una m.a.s. de una v.a. X, se define la media muestral X y la cuasivarianza muestral S2

como

X =1n

n∑

i=1

Xi S2 =1

n− 1

n∑

i=1

(Xi −X)2

Distribuciones muestrales

Distribuciones muestrales asociadas a una poblacion normal. Sea X1, X2, . . . , Xn una m.a.s. de una v.a.X → N (µ, σ2), entonces

X − µ

σ/√

n−→ N (0, 1)

(n− 1)S2

σ2−→ χ2

n−1

X − µ

S/√

n−→ tn−1

Distribuciones muestrales asociadas a dos poblaciones normales independientes. Sea X1, X2, . . . , Xn1

una m.a.s. de una v.a. X → N (µ1, σ21) y sea Y1, Y2, . . . , Yn2 una m.a.s. de una v.a. Y → N (µ2, σ

22). X e Y vv.

aa. independientes. Sea X y S21 la media y la cuasivarianza muestral de X, e Y y S2

2 la media y la cuasivarianzamuestral de Y , respectivamente.

Si σ21 y σ2

2 conocidas, entonces

(X − Y )− (µ1 − µ2)√σ21

n1+ σ2

2n2

−→ N (0, 1)S2

1/σ21

S22/σ2

2

−→ Fn1−1,n2−1


Si σ21 y σ2

2 desconocidas, pero iguales, entonces

(X − Y )− (µ1 − µ2)

Sp

√1

n1+ 1

n2

−→ tn1+n2−2 S2p =

(n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S2

2

n1 + n2 − 2

Si σ21 y σ2

2 desconocidas y distintas, entonces

(X − Y )− (µ1 − µ2)√S2

1n1

+ S22

n2

−→ tk k = inf{n1 − 1, n2 − 1} (distribucion aproximada)

Distribuciones muestrales aproximadas asociadas a una poblacion con media y varianza finitas paramuestras de tamano suficientemente grande (n > 30). Sea X1, X2, . . . , Xn una m.a.s. de una v.a. X conmedia µ y varianza σ2 finitas, entonces

X − µ

σ/√

n−→ N (0, 1)

X − µ

S/√

n−→ N (0, 1)

Caso particular: Sea X1, X2, . . . , Xn (n > 30) una m.a.s. de una v.a. X con distribucion de Bernoulli B(p),entonces

P − p√p(1− p)/n

−→ N (0, 1)

donde P =1n

n∑

i=1

Xi es el estadıstico proporcion muestral.

Distribuciones muestrales aproximadas asociadas a dos poblaciones independientes con medias y vari-anzas finitas para muestras de tamano suficientemente grande (n1 > 30 y n2 > 30). Sea X1, X2, . . . , Xn1

una m.a.s. de una v.a. X con media µ1 y varianza σ21 finitas y sea Y1, Y2, . . . , Yn2 una m.a.s. de una v.a. Y con

media µ2 y varianza σ22 finitas. X e Y vv. aa. independientes. Sea X y S2

1 la media y la cuasivarianza muestralde X, e Y y S2

2 la media y la cuasivarianza muestral de Y , respectivamente.

Si σ21 y σ2


(X − Y )− (µ1 − µ2)√σ21

n1+ σ2

2n2

−→ N (0, 1)

Si σ21 y σ2

2 desconocidas, entonces

(X − Y )− (µ1 − µ2)√S2

1n1

+ S22

n2

−→ N (0, 1)

Caso particular: Sea X1, X2, . . . , Xn1 una m.a.s. de una v.a. X con distribucion de Bernoulli B(p1) y seaY1, Y2, . . . , Yn2 una m.a.s. de una v.a. Y con distribucion de Bernoulli B(p2)(n1, n2 > 30). X e Y vv. aa.

independientes. Sean P1 =1n1

n1∑

i=1

Xi y P2 =1n2

n2∑

i=1

Yi, entonces

(P1 − P2)− (p1 − p2)√p1(1− p1)/n1 + p2(1− p2)/n2

−→ N (0, 1)


Intervalos de confianza (1− α, nivel de confianza)

Intervalos de confianza para la media µ de una poblacion normal N (µ, σ2)

Si σ2 conocida, entonces

(x− z1−α

2

σ√n

, x + z1−α2

σ√n

)

Si σ2 desconocida, entonces

(x− tn−1,1−α

2

s√n

, x + tn−1,1−α2

s√n

)

Intervalos de confianza para la varianza σ2 de una poblacion normal N (µ, σ2)

Si µ conocida, entonces

n∑

i=1

(xi − µ)2

χ2n,1−α

2

,

n∑

i=1

(xi − µ)2

χ2n, α

2

Si µ desconocida, entonces

((n− 1)s2

χ2n−1,1−α

2

,(n− 1)s2

χ2n−1, α

2

)

Intervalos de confianza para la diferencia de medias µ1−µ2 de dos poblaciones normales independientes

Si σ21 y σ2

2 conocidas, entoncesx− y − z1−α

2

√σ2

1

n1+

σ22

n2, x− y + z1−α

2

√σ2

1

n1+

σ22

n2

Si σ21 y σ2

2 desconocidas, pero iguales, entonces

(x− y − tn1+n2−2,1−α

2sp

√1n1

+1n2

, x− y + tn1+n2−2,1−α2sp

√1n1

+1n2

)

Si σ21 y σ2

2 desconocidas y distintas, entoncesx− y − tk,1−α

2

√s21

n1+

s22

n2, x− y + tk,1−α

2

√s21

n1+

s22

n2

Intervalos de confianza para el cociente de varianzas σ21/σ2

2 de dos poblaciones normales independientes

Si µ1 y µ2 conocidas, entonces

n1∑

i=1

(xi − µ1)2/n1

n2∑

j=1

(yj − µ2)2/n2

1Fn1,n2,1−α

2

,

n1∑

i=1

(xi − µ1)2/n1

n2∑

j=1

(yj − µ2)2/n2

1Fn1,n2, α

2

Si µ1 y µ2 desconocidas, entonces(

s21

s22

1Fn1−1,n2−1,1−α

2

,s21

s22

1Fn1−1,n2−1, α

2

)


Intervalo de confianza para la diferencia de medias µD = µ1 − µ2 de dos poblaciones normales noindependientes (datos apareados)

(d− tn−1,1−α

2

sD√n

, d + tn−1,1−α2

sD√n

)

donde di = xi − yi

Intervalo de confianza para la media µ de una poblacion con media y varianza finitas para muestras detamano suficientemente grande (n > 30)

Si σ2 conocida, entonces (x− z1−α

2

σ√n

, x + z1−α2

σ√n

)

Si σ2 desconocida, entonces

(x− z1−α

2

s√n

, x + z1−α2

s√n

)

Caso particular: Intervalo de confianza para la proporcion p de una caracterıstica

(p− z1−α

2

√p(1− p)

n, p + z1−α

2

√p(1− p)

n

)

Intervalos de confianza para la diferencia de medias µ1 − µ2 de dos poblaciones independientes conmedias y varianzas finitas para muestras de tamano suficientemente grande (n1 > 30 y n2 > 30)

Si σ21 y σ2


x− y − z1−α

2

√σ2

1

n1+

σ22

n2, x− y + z1−α

2

√σ2

1

n1+

σ22

n2

Si σ21 y σ2

2 desconocidas, entonces

x− y − z1−α

2

√s21

n1+

s22

n2, x− y + z1−α

2

√s21

n1+

s22

n2

Caso particular: Intervalo de confianza aproximado para la diferencia de proporciones p1 − p2 para muestras detamano suficientemente grande e independientes (n1 > 30 y n2 > 30)

p1 − p2 − z1−α

2

√p1(1− p1)

n1+

p2(1− p2)n2

, p1 − p2 + z1−α2

√p1(1− p1)

n1+

p2(1− p2)n2


Contrastes de hipotesis (α, nivel de significacion)

Contrastes sobre los parametros de una poblacion normal

Hipotesis nula Hipotesis alternativa Estadıstico de contraste Region crıticaH1 : µ 6= µ0 |zexp| ≥ z1−α

2

H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 zexp = x−µ0σ/√

nzexp ≥ z1−α

σ2 conocida H1 : µ < µ0 zexp ≤ zα

H1 : µ 6= µ0 |texp| ≥ tn−1,1−α2

H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 texp = x−µ0s/√

ntexp ≥ tn−1,1−α

σ2 desconocida H1 : µ < µ0 texp ≤ tn−1,α

H1 : σ2 6= σ20

χ2exp ≥ χ2

n,1−α2

oχ2

exp ≤ χ2n, α

2

H0 : σ2 = σ20 H1 : σ2 > σ2

0 χ2exp =

n∑

i=1

(xi − µ)2

σ20

χ2exp ≥ χ2

n,1−α

µ conocida H1 : σ2 < σ20 χ2

exp ≤ χ2n,α

H1 : σ2 6= σ20

χ2exp ≥ χ2

n−1,1−α2

oχ2

exp ≤ χ2n−1,1−α

2

H0 : σ2 = σ20 H1 : σ2 > σ2

0 χ2exp = (n−1)s2

σ20

χ2exp ≥ χ2

n−1,1−α

µ desconocida H1 : σ2 < σ20 χ2

exp ≤ χ2n−1,α

Contrastes sobre los parametros de dos poblaciones normales independientes

Hipotesis nula Estadıstico de contraste Hipotesis alternativa Region crıticaH1 : µ1 − µ2 6= δ0 |zexp| ≥ z1−α

2

H0 : µ1 − µ2 = δ0 zexp = x−y−δ0√σ21/n1+σ2

2/n2H1 : µ1 − µ2 > δ0 zexp ≥ z1−α

σ21 y σ2

2 conocidas H1 : µ1 − µ2 < δ0 zexp ≤ zα

H1 : µ1 − µ2 6= δ0 |texp| ≥ tn1+n2−2,1−α2

H0 : µ1 − µ2 = δ0 texp = x−y−δ0

sp

√1/n1+1/n2

H1 : µ1 − µ2 > δ0 texp ≥ tn1+n2−2,1−α

σ21 y σ2

2 desconocidas e iguales H1 : µ1 − µ2 < δ0 texp ≤ tn1+n2−2,α

H1 : µ1 − µ2 6= δ0 |texp| ≥ tk,1−α2

H0 : µ1 − µ2 = δ0 texp = x−y−δ0√s21/n1+s2

2/n2H1 : µ1 − µ2 > δ0 texp ≥ tk,1−α

σ21 y σ2

2 desconocidas y distintas H1 : µ1 − µ2 < δ0 texp ≤ tk,α

H1 : σ21 6= σ2

2

fexp ≥ Fn1,n2,1−α2

ofexp ≤ Fn1,n2, α

2

H0 : σ21 = σ2

2 fexp =

n1∑

i=1

(xi − µ1)2/n1

n2∑

j=1

(yj − µ2)2/n2

H1 : σ21 > σ2

2 fexp ≥ Fn1,n2,1−α

µ1 y µ2 conocidas H1 : σ21 < σ2

2 fexp ≤ Fn1,n2,α

H1 : σ21 6= σ2

2

fexp ≥ Fn1−1,n2−1,1−α2

ofexp ≤ Fn1−1,n2−1, α

2

H0 : σ21 = σ2

2 fexp = s21

s22

H1 : σ21 > σ2

2 fexp ≥ Fn1−1,n2−1,1−α

µ1 y µ2 desconocidas H1 : σ21 < σ2

2 fexp ≤ Fn1−1,n2−1,α


Contraste sobre la diferencia de medias µD = µ1 − µ2 de dos poblaciones normales no necesariamenteindependientes (datos apareados)

Hipotesis nula Hipotesis alternativa Estadıstico de contraste Region crıticaH1 : µD 6= δ0 |texp| ≥ tn−1,1−α

2

H0 : µD = δ0 H1 : µD > δ0 texp = d−δ0sD/

√n

texp ≥ tn−1,1−α

H1 : µD < δ0 texp ≤ tn−1,α

Contrastes sobre la media de una poblacion cualquiera (n > 30)

Hipotesis nula Hipotesis alternativa Estadıstico de contraste Region crıticaH1 : µ 6= µ0 |zexp| ≥ z1−α

2

H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 zexp = x−µ0σ/√

nzexp ≥ z1−α

σ2 conocida H1 : µ < µ0 zexp ≤ zα

H1 : µ 6= µ0 |zexp| ≥ z1−α2

H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 zexp = x−µ0s/√

nzexp ≥ z1−α

σ2 desconocida H1 : µ < µ0 zexp ≤ zα

Caso particular: Contrastes sobre una proporcion p (n > 30)

Hipotesis nula Hipotesis alternativa Estadıstico de contraste Region crıticaH1 : p 6= p0 |zexp| ≥ z1−α

2

H0 : p = p0 H1 : p > p0 zexp = p−p0√p0(1−p0)/n

zexp ≥ z1−α

H1 : p < p0 zexp ≤ zα

Contrastes sobre la diferencia de medias de dos poblaciones independientes (n1, n2 > 30)

Hipotesis nula Estadıstico de contraste Hipotesis alternativa Region crıticaH1 : µ1 − µ2 6= δ0 |zexp| ≥ z1−α

2

H0 : µ1 − µ2 = δ0 zexp = x−y−δ0√σ21/n1+σ2

2/n2H1 : µ1 − µ2 > δ0 zexp ≥ z1−α

σ21 y σ2

2 conocidas H1 : µ1 − µ2 < δ0 zexp ≤ zα

H1 : µ1 − µ2 6= δ0 |zexp| ≥ z1−α2

H0 : µ1 − µ2 = δ0 zexp = x−y−δ0√s21/n1+s2

2/n2H1 : µ1 − µ2 > δ0 zexp ≥ z1−α

σ21 y σ2

2 desconocidas H1 : µ1 − µ2 < δ0 zexp ≤ zα

Caso particular: Contrastes sobre la diferencia de proporciones p1 − p2 (n1, n2 > 30)

Hipotesis nula Hipotesis alternativa Estadıstico de contraste Region crıticaH1 : p1 − p2 6= δ0 |zexp| ≥ z1−α

2

H0 : p1 − p2 = δ0 H1 : p1 − p2 > δ0 zexp = p1−p2−δ0√p1(1−p1)/n1+p2(1−p2)/n2)

zexp ≥ z1−α

H1 : p1 − p2 < δ0 zexp ≤ zα

Para δ0 = 0 se utiliza como estadıstico de contraste

P1 − P2√P (1− P ) · (1/n1 + 1/n2)

donde P =n1P1 + n2P2

n1 + n2


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?ABLA 7

PerceDtll de orden Q de la di8trlbncl6D , de SDedecor

0-95

TABLA 7

Percentil de orden a de la distribución r de Snedecor

a-99

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ASIGNATURA: ESTADISTICA APLICADA Curso Académico ... · BLOQUE II: CÁLCULO DE PROBABILIDADES. Tema 4. Fundamentos de la Probabilidad. Concepto de probabilidad. Definición axiomática