Curs 4 Recapitulare

6. Filtrul de ordinul doi Ecuaţia intrare-ieşire :

( ) ( ) ( ) ( )

22

2d d

2dd

y t y tT T y t K u t

ttξ+ + = ⋅

Funcţia de transfer este

( )2

2 2 2 22 1 2n

n n

KH s KT s Ts s s

ωξ ξω ω

= =+ + + +

la care corespunde distribuţia polilor din figură. ,Răspunsul la semnal traptă

[ ]2

% 100exp1

s ξπ

ξ

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟−⎝ ⎠

21 ln 0,05 1t

nt ξ

ξω⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Caracteristica de frecvenţă

Im

2p

nξω−

ϕnω

21nω ξ−1p

Re

Fig. 21 Polii filtrului de ordinul 2

21nω ξ− −

cosϕ ξ=

x

x

( ) ( )th 1−

t

0,1=ξ

0,5=ξ

0,7=ξ

1=ξ

K

Fig. 22 Răspunsuri indiciale ale sistemului de ordinul doi, pentru diferite valori ale lui coeficientului de amortizare

Ks

pT

1

2

( ) ( )1h t−

t

Fig. 23 Regimul pseudo-periodic

BA

ω

K

1,0=ξ

4,0=ξ

7,0=ξ

1=ξ

Caracteristicaasimptotica

Tnc 1== ωω

Fig. 25 Caracteristica Bode ( )dBA ω a filtrului de ordinul 2

6.1 Filtrul de ordinul 2 cu timp discret Ecuaţia intrare-ieşire a sistemului de ordinul doi este

1 2 1 2( ) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)y k a y k a y k b u k b u k= − + − + − + − (66)

la care corespunde funcţia de transfer

( )1 2

1 21 2

1 21b z b zH z

a z a z

− −

− −+

=− −

(67)

Ca şi în cazul sistemului cu timp continuu, polii se consideră a fi complecşi conjugaţi. Fie 1,2pz polii sistemului, reprezentaţi în fig.26:

1,2j

pz e θρ ±= ⋅ (68) Se va considera cazul simplu, când

sistemul nu are zerouri, şi deci 1 0b = . Funcţia de transfer se poate pune sub forma :

( ) ( )( )1 2

221 11 1p p

b zH zz z z z

−

− −= =

− −

( )( )2

21 11 1j jb z

e z e zθ θρ ρ

−

− − −=

− ⋅ − ⋅

(69) Răspunsul la frecvenţă este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

21 cos sin 1 cos sin

ee

j Tj T

e e e e

b eH eT j T T j T

ωω

ρ ω θ ρ ω θ ρ ω θ ρ ω θ

−⋅=⎡ ⎤⎡ ⎤− ⋅ − + ⋅ − − ⋅ + + ⋅ +⎣ ⎦⎣ ⎦

(70)

şi rezultă caracteristicile de amplificare şi de fază :

Fig. 27 Caracteristica de frecvenţă a unui sistem de ordinul 2 cu timp discret

eTω

θ

( )2

max 21 1 2 cos2

bAρ ρ ρ θ

=− + − ⋅

π

Fig. 26 Polii filtrului de ordinul 2

θ−θ

2pz

1pz

Im

Re

* ρ

ρ *

( )( ) ( )

22 21 2 cos 1 2 cose e

bAT T

ωρ ρ ω θ ρ ρ ω θ

=+ − ⋅ − + − ⋅ +

(71)

( ) ( )( )

( )( )

sin sinarctg arctg

1 cos 1 cose e

ee e

T TT

T Tρ ω θ ρ ω θ

ϕ ω ωρ ω θ ρ ω θ⋅ − ⋅ +

= − − −− ⋅ − − ⋅ + (72)

Amplificarea A(ω) are valoarea maximă la ωTe =θ , adică la / eTω θ= :

( )2

max 21 1 2 cos 2e

bA ATθ

ρ ρ ρ θ

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠ − + − ⋅ (73)

Caracteristica de amplificare este reprezentată în fig.27. Se constată că pe măsură ce ρ se apropie de valoarea unitară, adică polii se apropie de cercul unitar, caracteristica de frecvenţă devine mai selectivă în jurul frecvenţei eTθ (aici θ este argumentul lui 1pz - (fig.26).

Fie 2

1,2 1n np jξω ω ξ= − ± − polii unui sistem de ordinul doi cu timp continuu.

Corespondenţa cu polii 1,2pz ai sistemului de ordinul doi cu timp discret (fig.28) este dată de relaţia:

21,2

11,2 e e e

n n eej Tp T j

pzξω ω ξ θρ

⎛ ⎞− ± −⎜ ⎟ ±⎝ ⎠= = = ⋅ (74)

unde

( )exp n eTρ ξω= − , 21n eTθ ω ξ= − ⋅ (75)

Fig. 28 Corespondenţa polilor în planurile “s” şi “z”

b

plan "s"

a

plan "z"

e esT z=

2p

nξω−

ϕnω

21nω ξ−1p Im

Re

21nω ξ− −

θ−θ

2pz

1pz

Im

Re

*ρ

ρ*

x

x

Se pune problema determinării traiectoriei zC a polului 1pz în planul ‘z’, atunci când

polul 1p se deplasează în planul ‘s’ sub o traiectoriebe pC dată.

Dacă * constξ ξ= = , deplasarea polului 1p în planul ‘s’ are loc pe deapta sCξ

(fig.29), determinată de unghiul * *arccos constϕ ξ= = . In acest caz, polul 1pz este situat

pe curba zCξ ale cărei puncte au modulul ( )* *exp eTρ ξ ω= − şi argumentul

( )* *21nθ ω ω ξ= − . Pentru polii ( )11p , ( )2

1p , ( )31p din planul “s”, aferenţi pulsaţiilor

naturale ( )1n

ω , ( ) ( )2 1n n

ω ω> şi ( ) ( )3 2n n

ω ω> , şi la care crespund polii ( )11pz , ( )2

1pz şi ( )31pz din

planul “z”, răspunsurile la semnal treaptă (răspunsurile indiciale) sunt reprezentate în fig.29. Întrucât ξ=ξ*=const., depăşirea (suprareglarea) s rămâne constantă, fiind determinată univoc de ξ (v. rel. (58)), iar forma răspunsului se pastrează, cu deosebirea că timpul de răspuns se reduce atunci când pulsaţia naturală ωn creşte. In continuare, se va considera * const.n nω ω= = , deci polul 1p se va deplasa pe

cercul nsC ω de rază nω (fig. 30). Polilor ( )1 , 1, 2,3,ip i = situaţi pe acest cerc, le corespund

în planul ‘z’ polii ( )1 , 1,2,3i

pz i = , aflaţi pe curba nzC ω . Răspunsurile indiciale aferente

polilor ( ) ( ) ( )1 2 31 1 1, ,p p p sunt date în fig.30.

Valorile modulului şi argumentului unui pol din planul ‘z’ se calculează cu

relaţiile:

( ) ( )* *exp n eTρ ξ ξω= − ; ( )* * 21 eTθ ξ ω ξ= − ⋅ (76)

Curbele zC ξ şi nzC ω , care reprezintă locurile geometrice ale polului zp1, parametrizate în raport cu ξ şi, respectiv cu ωn, sunt date în fig.31.

Fig. 29 Locul geometric al unui pol la ξ = const.

e esT z=

plan "z"

s

( ) ( )1h t−

t( )11p

( )21p

( )31p

( )11pz

( )21pz

( )31pz

*ρ*θ

Im

Re

zCξ

( )11p

( )21p

( )31p ( )1

nω

( )2nω

( )3nω

2eω

*ϕ

sCξ

Im

Re

plan "s"

* *cos constϕ ξ= =

Aplicaţie : Filtrul rejector de ordinul 2

Fie filtrul de ordinul 2 la limită cauzal

( )1 2

1 21 2

1 2

11

b z b zH za z a z

− −

− −+ +

=− −

(77)

care are două zerouri pe cercul unitar, definite prin argumentul θ,

1,2 1 jzz e θ±= ⋅ (78)

şi doi poli definiţi prin acelaşi argument, θ, şi de modulul ρ subunitar, dar apropiat de valoarea unitară :

1,2j

pz e θρ ±= ⋅ (79) Diagrama poli - zerouri a filtrului este dată în fig. 32

Funcţia de transfer (77) se poate pune sub forma :

0

en T

, πω 60=

en T

, πω 70=

en T

, πω 80=

en T

, πω 90=

en T

πω =

en T

, πω 10=

en T

, πω 20=

en T

, πω 30=

en T

, πω 40=

en T

, πω 50=

0.1ξ =

0.3ξ =

50.=ξ

70.=ξ

90.=ξ

Re

Im

Fig. 31 Locurile geometrice ale unui pol la ξ = const. şi la ωn = const., pentru un sistem numeric de ordinul doi

(1)1p(2)

1p

( )31p

x

Re

Im

*nω

1 nξ ω−2 nξ ω−

3 nξ ω−

nsCω

plan “s”

Re

Im

( )11pz( )2

1pz (3)1pz

nzCω

plan “z”

e esT z=

( ) ( )1h t−

t

Fig. 30 Locul geometric al unui pol la ωn = const

( )11p

( )21p

( )31p

( ) ( )( )( )( )( )( )1 2

1 11 11 2

1 1 1 1

1 1. 1 1(1 )(1 )

1 1 1 1

j jz z

j jp p

e z e zz z z zH zz z z z e z e z

θ θ

θ θρ ρ

− − −− −

− − − − −

− − ⋅− −= ==

− − − ⋅ − ⋅ (80)

Răspunsul la frecvenţă este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 cos sin 1 cos sin1 cos sin 1 cos sin

e e e e ej T

e e e e

T j T T j TH e

T j T T j Tω ω θ ω θ ω θ ω θ

ρ ω θ ρ ω θ ρ ω θ ρ ω θ

⎡ ⎤⎡ ⎤− − + − − + + +⎣ ⎦⎣ ⎦=⎡ ⎤⎡ ⎤− ⋅ − + ⋅ − − ⋅ + + ⋅ +⎣ ⎦⎣ ⎦

(81)

şi rezultă caracteristica de amplificare

( )( ) ( )( ) ( )2 2

2 2cos 2 2cos

1 2 cos 1 2 cos

e e

e e

T TA

T T

ω θ ω θω

ρ ρ ω θ ρ ρ ω θ

− − − +=

+ − ⋅ − + − ⋅ + (82)

Se observă că pentru eTω =θ şi pentru eTω = - θ, rezultă ( )A ω =0. Frecvenţa la care amplificarea este nulă este 0 / eTω θ= . Selectivitatea carecteristicii de frecvenţă poate fi ajustată cu parametrul ρ.

Exemplu Fie două filtre rejectoare, ambele cu θ = π/6, însă care au ρ = 0.8,

respectiv ρ = 0.95. Programul Matlab care generează aceste filtre şi care le trasează caracteristicile Bode este dat în continuare. In fig. 33 sunt reprezentate aceste caracteristici : 1 – pentru ρ = 0.8 şi 2 – pentru ρ = 0.95. clear all;close all; tet=pi/6; z1=exp(i*tet);z2=exp(-i*tet); z=[z1 z2]; ro=0.8; p1=ro*exp(i*tet);p2=ro*exp(-i*tet); p=[p1 p2];

Fig. 32 Distribuţia poli-zerouri a filtrului rejector

θ−

θ

2pz

1pz

Im

Re

X

ρ

ρ

X

Ozz1

Ozz2

sys=zpk(z,p,1,-1) bode(sys,'k');hold on; ro=0.95; p1=ro*exp(i*tet);p2=ro*exp(-i*tet); p=[p1 p2]; sys=zpk(z,p,1,-1) bode(sys);grid

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

-90

-45

0

45

90

135

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

1 1

2

1

1

2

Fig. 33 Caracteristici Bode ale filtrului rejector

7. Derivatorul la limită cauzal şi derivatorul cauzal

Realizarea efectivă a unui derivator cu timp continuu implică utilizarea unei

funcţii de transfer corespunzătoare unui sistem cel puţin la limită cauzal, ca de exemplu:

( )1

dT sH sTs

=+ (83)

în care constanta de timp T se adoptă sensibil mai mică decât constanta de timp de derivare ( )dT T . Funcţia de transfer a derivatorului la limită cauzal (83) se poate pune sub forma

1( ) 11

dTH s

T Ts⎛ ⎞= −⎜ ⎟+⎝ ⎠ (84)

astfel încât derivatorul se poate prezenta prin schema bloc din fig. 34. Dacă la intrarea u(t) se aplică o treaptă unitară, atunci y1(t) va avea forma unei trepte de amplitudine Td/T, iar y2(t) este răspunsul unui filtru de ordinul 1 cu coeficientul de amplificare Td/T şi constanta de timp T, de valoare redusă (comparativ cu Td). In fig. 35 se prezintă răspunsul y(t), având în vedere faptul că y(t) = y1(t)-y2(t). Se observă că atunci când 0,T → adică derivatorul la limită cauzal tinde spre derivatorul ideal, semnalul y(t) tinde spre impulsul Dirac ( )tδ (amplitudinea tinde spre infinit, iar durata tinde spre zero).

Răspunsul la frecvenţă este

( )1

dT jH jTj

ωω

ω=

+ (85)

iar amplificarea în dB este

120log 20log1dB dA T j

Tjω

ω= +

+ (86)

adică suma amplificărilor în dB aferente unui derivator ideal şi unui filtru de ordinul 1 cu coeficient static K=1 şi constanta de timp T. In fig. 36 cele 2 caracteristici sunt reprezentate cu linie intrerupă. Suma lor reprezintă caracteristica asimptotică a

u(t) dTT 1

1Ts +

y(t)

y1(t)

y2(t)

Fig. 34 Schema echivalentă a unui derivator la limită cauzal

+

Fig. 35 Răspunsul indicial al derivatorului la limită cauzal

T

t

/dT T

( )1 2, ( ), ( )y t y t y t

( )u t

t

1

1 ( )y t

2 ( )y t( )y t

derivatorului la limită cauzal. Este dată şi caracteristica corectată în jurul pulsaţiei de frângere, precum şi caracteristica de fază

( ) ( ) ( )( ) arg arg arg 1 / 2 arctg1

dd

T j T j Tj TTj

ωϕ ω ω ω π ω

ω= = − + = −

+ (87)

Se constată că proprietăţile de derivare se manifestă numai în banda de frecvenţă [0, 1/T], unde panta caracteristicii Bode este de +20dB/dec. La frecvenţe ω >1/T, sistemul se comportă ca un element cu acţiune proporţională. De regulă, semnalele sunt contaminate de zgomot, iar componentele spectrale ale zgomotului se află în zona de înaltă frecvenţă. Din acest motiv, este util ca pentru ω >1/T, sistemul să se comporte ca un filtru trece jos, adică să aibă o amplificare scăzătoare cu frecvenţa.

Pentru aceasta, caracteristica asimptotică ( )dBA ω se alege de forma celei din Fig. 37, în care pulsaţia de frângere 11 / T poate să coincidă cu 1 / T . Funcţia de transfer a unui

asemenea sistem este:

1( )

( 1)( 1)dT sH s

Ts T s=

+ + (88)

unde constanta de timp T1 introduce pulsaţia de frângere 11 / T în caracteristica de frecvenţă. Sistemul cu funcţia de transfer (88) este un derivator strict cauzal.

Fig. 36 Caracteristicile Bode ale derivatorului la limită cauzal

ω

ω

( )dBA ω

1/T

20dB/dec

45o90o

( )ϕ ω

( ) / 2 arctg Tϕ ω π ω= −

1 / dT

20log dT jω

120log1Tjω +

Fig. 37 Caracteristica Bode asimptotică a derivatorului strict cauzal

ω

( )dBA ω

1/T

20dB/dec

1 / dT

20dB/dec−