As diferentes versões da Transformada de Helmert

e suas aplicações na Transformação entre Sistemasde Referência

Prof. Dra. Daniele Barroca Marra Alves

Material baseado no artigo: As Diferentes Versões da Transformada de Helmert esuas Aplicações na Transformação entre Sistemas de Referência

Autores: Souza, E. M.; Alves, D. B. M.; Monico, J. F. G. M.

Revista Tema, 2008, v.9, n.3.

INTRODUÇÃO

A transformada de Helmert tem sido amplamente utilizada para realizar transformações entre sistemas de referência

Permite que um conjunto de pontos em um sistema seja transformado para outro, utilizando

translações, rotações e escalas

A utilização de sistemas de referência é muito importante para qualquer tipo de posicionamento

Entretanto, devido ao fato da crosta terrestre estar em constante movimento, as coordenadas das estações

utilizadas na determinação do sistema de referência devem ser periodicamente recalculadas

INTRODUÇÃOCAUTELA na utilização e comparação de coordenadas

das estações terrestres, consideradasconhecidas, para que estejam no mesmo referencial,

também compatíveis em termos da época da realização do mesmo

Objetivo: mostrar os conceitos fundamentais da transformação entre os referenciais, sua dedução

analítica e as diferentes versões que pode assumir, além de apresentar como utilizá-la

ITRF

Sempre na busca de se definir sistemas de referência de alta precisão, a comunidade científica concebeu, na década

de 80, a primeira versão de um referencial que seria o produto da combinação das técnicas de posicionamento

mais precisas e disponíveis naquele momento:

VLBI (Very Long Baseline Interferometry)SLR (Satellite Laser Range)

LLR (Lunar Laser Range)

Diversas realizações –ITRFyyPrimeira: ITRF 0, em 1988

Atual: ITRF 2014

ITRF

O ITRF é a materialização do ITRS (International Terrestrial Reference System)

Resultado: uma lista de coordenadas e velocidades das estações que fazem parte de cada um dos ITRFyy, bem

como os parâmetros de transformação

ITRF

Uma estação ITRF é caracterizada pelas coordenadas X, Y, Z(geocêntricas) com as respectivas velocidades, isto é, Vx, Vy, Vz,numa determinada época t de referência t0.

Utilizando a representação: = [X, Y, Z]T e = [Vx, Vy, Vz]T, aposição de um ponto sobre a superfície terrestre deve ser expressa naforma:

onde são as correções devido aos vários efeitos que alteramcom o tempo e e são os vetores posição e velocidade naépoca de referência t0.

ii

X)tt(VX)t(X

000

iX

0X

0V

X

V

ITRF

Para compatibilizar diferentes referenciais – evolução temporal das coordenadas - necessita-se de uma

transformação que aplica simultaneamente as translações, rotações, fator de escala e respectivas taxas de variaçãocom relação ao tempo, além da velocidade da estação

Transformação de Helmert Generalizada (THG)

Necessária em aplicações de alta precisão

Transformada de Helmert Generalizada

Transformação entre dois conjuntos

).())))()(())(1(((

))((.)()1(

0)(

0)()()(

0

00

ttXIssT

ttVXIsTX

tITRFyy

tITRFFyytITRFyytITRFzz

Tomando as coordenadas de um ponto P qualquer, associadas a um sistema de referência ITRFyy em uma

época de referência (t0)

THG de 14 parâmetros - Gregorius (1996)

Coordenadas de P no sistema de referência ITRFzz em uma outra época (t)

0

0

0

xy

xz

yz

TRANSFORMADA DE HELMERT Para os casos em que as taxas de variação dos

parâmetros não estão disponíveis, a equação da THGse torna a equação referente a TH com 7 parâmetros;

Aplica-se:

3 translações

um fator diferencial de escala

3 rotações

Além destes, também faz parte deste tipo detransformação as componentes do vetor velocidade(Vx, Vy, Vz)

))(()()1( 0)()()( 00ttVXIsTX tITRFFyytITRFyytITRFzz

Fórmula utilizada pelo IERS Depende das coordenadas iniciais, das translações

entre os dois sistemas, do fator de escala, da matriz derotação e suas respectivas variações;

1º: atualização dos parâmetros e coordenadas daestação da época inicial t0 para uma certa época t:

2º: transformação entre os sistemas de referência:

ITRFyy

xy

xz

yz

ITRFyyITRFzz X

s

s

s

TXX

00ttPPtP t

Parâmetros de Transformaçãohttp://itrf.ensg.ign.fr/trans_para.php

Parâmetros de Transformação

EXEMPLO 1

Referenciando uma estação pertencente ao

ITRF05 no ITRF00

Problema: Atividade realizada em 2003 - pesquisador determinou aposição de uma estação com alta precisão;

GPS - Coordenadas finais associadas ao ITRF00 - época 1997.

Posteriormente essa coordenada foi determinada no ITRF05 - época2000.

Para que seja possível comparar os resultados de forma adequada, énecessário realizar uma transformação entre os referenciais.

EXEMPLO 1 Solução: Utilizar a THG, TH e a fórmula do IERS;

Transformar do ITRF05 para ITRF00

Usaremos as coordenadas da estação BRAZ de Brasília– para podermos comparar;

Unidade metros

Exemplo 1

Parâmetros de Transformação do ITRF 2005 para oITRF 2000:

Exemplo 1

http://itrf.ensg.ign.fr/ITRF_solutions/2005/tp_05-00.php

EXEMPLO 1 Comparar no final com as coordenadas oficiais no

ITRF2000

TH (7 parâmetros)

APLICAÇÕES

THG (14 parâmetros)

21741444,02-

14550641,54-

34115014,08

104,01

0,0058-

0,0008-

0,00019

199700 IX ITRF

.

51741444,06-

94550641,52-

44115014,08

20001997

0,0124

0,0046-

0,0002

21741444,02-

14550641,54-

34115014,08

104,01

0,0058-

0,0008-

0,00019

199700 IX ITRF

0,0018-

0,0001

0,0002-

20001997

0,0124

0,0046-

0,0002

I99 1008,00104,01

.

91741444,05-

94550641,52-

34115014,08

2000-1997

21741444,02-

14550641,54-

34115014,08

APLICAÇÕES Fórmula do IERS:

1o: atualizar os parâmetros (T, e s) e as coordenadasobtidas na época 2000 para a época 1997

2o: realizar a transformação;

ÉPOCAtPÉPOCAPtP

.

91741444,05-

74550641,52-

24115014,08

2000-1997

0,0124

0,0046-

0,0002

21741444,02-

14550641,54-

34115014,08

Z

Y

X

199705ITRF

05ITRF

05ITRF

,

0,0004-

0,0011-

0,0007

2000-1997

0,0018-

0,0001

-0,0002

0,0058-

0,0008-

0,0001

T

T

T

1997z

y

x

Coordenadas:

Translação:

Escala: .1016,02000-19971008,0104,0 999

1997

s

.

91741444,05-

94550641,52-

34115014,08

91741444,05-

74550641,52-

24115014,08

I1016,0

0,0004

0,0011-

0,0007

91741444,05-

74550641,52-

24115014,08

Z

Y

X9

199700ITRF

00ITRF

00ITRF

APLICAÇÕES

Comparando as diferenças entre as coordenadasutilizando as diferentes versões da TH

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

X Y Z

Coordenadas Cartesianas

Dis

cre

pân

cia

s (

cm

)

Helmert_7

Helmert_14

IERS

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Resu

ltan

te (

cm

) Helmert_7

Helmert_14

IERS

EXEMPLO 2 Solução: Utilizar a THG, TH e a fórmula do IERS;

Transformar do ITRF2014 para ITRF08

Usaremos as coordenadas da estação FORT deFortaleza – para podermos comparar;

Unidade metros

http://itrf.ign.fr/ITRF_solutions/2014/doc/ITRF2014_GNSS.SSC.txt

Sistema de referência

Época

X

Vx

Y

Vy

Z

Vz

ITRF2014

2010

4985386,5994

-0,00231

-3954998,6353

-0,00373

-428426,3150

0,01245

Exemplo 2

Parâmetros de Transformação do ITRF 2014 para oITRF 2008:

Exemplo 2

http://itrf.ensg.ign.fr/doc_ITRF/Transfo-ITRF2014_ITRFs.txt

EXEMPLO 2 Comparar no final com as coordenadas oficiais no

ITRF2008

Sistema de referência

ÉpocaX Y Z

ITRF2008

20054985386,603 -3954998,608 -428426,375

TH (7 parâmetros)

APLICAÇÕES

THG (14 parâmetros)

0428426,315-

533954998,63-

944985386,59

I1002,01

0,0024

0,0019

0,0016

X 9

200500ITRF

.

8428426,374-

463954998,61-

244985386,61

20102005

0,01245

0,00373-

0,00231

0428426,315-

533954998,63-

944985386,59

I1002,01

0,0024

0,0019

0,0016

X 9

200500ITRF

0,0001-

0,0

0,0

20102005

0,01245

0,00373-

0,00231-

I1003,001002,01 99

.

2428426,374-

403954998,61-

174985386,61

2010-2005

0428426,315-

533954998,63-

944985386,59

APLICAÇÕES Fórmula do IERS:

1o: atualizar os parâmetros (T, e s) e as coordenadasobtidas na época 2010 para a época 2005

2o: realizar a transformação;

ÉPOCAtPÉPOCAPtP

.

2428426,377-

663954998,61-

094985386,61

2010-2005

0,01245

0,00373-

-0,00231

0428426,315-

533954998,63-

944985386,59

Z

Y

X

200514ITRF

14ITRF

14ITRF

,

0,0029

0,0019

0,0016

2010-2005

0,0001-

0,0

0,0

0,0024

0,0019

0,0016

T

T

T

2005z

y

x

Coordenadas:

Translação:

Escala: .10172010-20051003,01002,0s 10992005

.

2428426,374-

403954998,61-

174985386,61

2428426,377-

663954998,61-

094985386,61

I1017

0,0029

0,0019

0,0016

2428426,377-

663954998,61-

094985386,61

Z

Y

X10

200508ITRF

08ITRF

08ITRF

APLICAÇÕES

Comparando as diferenças entre as coordenadasutilizando as diferentes versões da TH

CONCLUSÕES

Os parâmetros utilizados ao aplicar a THG, apesar de ser depequena dimensão, são importantes para preservar aqualidade dos resultados;

Isto ocorre devido à melhoria considerável da acurácia dos resultados obtidos no posicionamento por satélites, que evoluíram nas últimas décadas e se tornaram sensíveis a

pequenas variações

Importância do cálculo das discrepâncias entre as coordenadas em dois referenciais diferentes - fornece subsídios para prever a dimensão dos erros que podem ser cometidos nos trabalhos

que os envolvem