arX

iv:2

108.

1266

3v1

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ath.

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] 2

8 A

ug 2

021

FAISCEAUX CARACTÈRES SUR LES ESPACES DE LACETS D’ALGÈBRES

DE LIE

Abstract :

We establish several foundational results regarding the Grothendieck-Springer affine fibration. Moreprecisely, we prove some constructibility results on the affine Grothendieck-Springer sheaf and itscoinvariants, enrich it with a group of symmetries, analog to the situation of Hitchin fibration, provesome perversity statements once we take some derived coinvariants and construct some specializa-tion morphisms for the homology of affine Springer fibers.

1. Introduction

1.1. Préambule. Soit un corps k algébriquement clos, G un groupe connexe réductif sur k, pB, T qune paire de Borel et W le groupe de Weyl associé. La théorie de Springer usuelle s’attache àconstruire des faisceaux pervers AdpGq-équivariants sur LiepGq ainsi que des représentations de W .Pour ce faire, on s’intéresse à la fibration de Grothendieck-Springer :

π : g “ tpg, γq P GB ˆ g, adpgq´1γ P LiepBqu Ñ g,

qui est petite, projective et finie étale de groupeW au-dessus du lieu régulier semisimple j : grs ãÑ g.En considérant le faisceau de Grothendieck-Springer Sfin “ π˚Qℓrdimpgqs, on obtient donc unfaisceau pervers qui est l’extension intermédiaire de sa restriction à grs et tel que EndpSfinq “

QℓrW s. En particulier, Sfin est muni d’une action de W . Pour chaque représentation irréductibleV de W , on obtient alors une composante V -isotypique Sfin,V qui est également perverse et AdpGq-équivariante. Ces faisceaux sont les analogues pour l’algèbre de Lie des faisceaux caractères deLusztig. Plus généralement, pour obtenir suffisamment de faisceaux caractères, il est important deconsidérer des faisceaux Sfin,L “ π˚ Lrdimpgqs où L est un système local.

Dans [6], Bouthier, Kazhdan et Varshasky entreprennent l’extension de cette théorie dans le casaffine, i.e. G est remplacé par le groupe de lacets Gpptqq, g par gpptqq et W par le groupe de Weylaffine étendu ĂW “ X˚pT q ¸W , où X˚pT q désigne les cocaractères du tore maximal T . La fibrationde Grothendieck-Springer est remplacée par son analogue affine :

f : rC “ tpg, γq P GpptqqI ˆ gpptqq, adpgq´1γ P LiepIqu Ñ gpptqq

où I est l’Iwahori associé à B. En fait, la fibration se factorise par le sous-ind-schéma C des élémentscompacts.

Dans ce contexte, tous les objets considérés sont des ind-schémas, il est donc plus délicat de donnerun sens à la notion de « petitesse », de construire une théorie des faisceaux ou même de parler deperversité. A ceci s’ajoute que les fibres géométriques réduites sont des k-schémas localement de typefini dont la cohomologie, bien que d’amplitude bornée n’est pas de dimension finie. Enfin, commeĂW est maintenant infini, le foncteur des coinvariants n’est plus exact, il faut donc considérer descoinvariants dérivés pour lesquels il n’est pas clair que l’on garde un faisceau pervers. Dans [6, Thm.

1

7.1.4], une partie de ces difficultés sont surmontées ; on montre qu’en un certain sens, au-dessus dulieu génériquement régulier semisimple C‚, f est un morphisme petit et que si l’on travaille avec desfaisceaux Gpptqq-équivariants, on dispose de foncteurs cohomologiques avec une notion de perversité.On considère alors la flèche induite :

rf s : rrC‚Gpptqqs Ñ rC‚Gpptqqs,

et le complexe S “ rf s!ωrC‚où ωrC‚

est le dualisant. On montre que ce complexe est pervers, s’ob-tient comme extension intermédiaire de sa restriction à un lieu régulier semisimple Crs et vérifieque EndpSq “ QℓrĂW s. En revanche, la deuxième étape qui consiste à considérer les composantesisotypiques n’est pas abordée ainsi que les énoncés de finitude nécessaires à une telle opération. Deplus, de même que dans le cas classique, il est important de considérer des faisceaux plus générauxque ωrC‚

pour lesquels on a des énoncés de perversité. Le présent travail s’attache donc à complétercette étape.

1.2. Symétries locales et perversité. Pour être en mesure de pouvoir calculer les coinvariantsdérivés sous ĂW , on a besoin de connaître la façon dont ĂW agit. Par analogie avec la théorie deSpringer globale, initiée par Yun [38] qui concerne la fibration de Hitchin parabolique fpar : Mpar Ñ

Apar, la partie sphérique, i.e. l’action de la sous-algèbre QℓrX˚pT qsW de QℓrĂW s se factorise vial’action du faisceau des composantes connexes π0pPglobAparq du champ de Picard Pglob qui agitsur Mpar au-dessus de Apar. De plus, d’après Lusztig [29], on a a priori une action différente deĂW sur l’homologie des fibres de Springer affines que celle construite dans [6] et il est importantde pouvoir comparer les deux. On construit donc un Picard local P qui agit sur rC au-dessus de C

(2.5.4,2.5.9) et on a le théorème suivant 3.3.3,3.4.2 :

Théorème 1.2.1. Le faisceau de Grothendieck-Springer affine S est naturellement P-équivariant

et cette action commute à celle de ĂW . De plus, l’action de ĂW construite par extension intermédiairecoïncide avec celle de Lusztig.

On en profite également pour généraliser l’énoncé de perversité de [6] pour des systèmes locaux.Plus spécifiquement, on a une équivalence de faisceaux étales rrCGpptqqs – rLiepIqIs. Le champX “ rLiepIqIs s’écrit alors comme limite projective de champs d’Artin lisses de type fini X » lim

ÐÝXi

avec des flèches de transition lisses et on considère une catégorie des systèmes locaux renormalisés :

LocrenpX q » colimf ! LocrenpXiq,

avec LocrenpXiq “ tLbQℓωXi

,L P LocpY qu (on montre que cette définition ne dépend pas deschoix). On a alors le théorème suivant 3.2.9 :

Théorème 1.2.2. Le foncteur rf s! est t-exact à gauche et pour tout L P LocrenprrC‚Gpptqqsq, rf s! Lest pervers et s’obtient comme extension intermédiaire de sa restriction à Crs.

1.3. Constructibilité. Comme on l’a déjà vu, l’homologie des fibres de Springer affines bien qued’amplitude finie, est de dimension infinie en chaque degré en général. Toutefois, une fois que l’onprend les coinvariants dérivés sous ĂW , on s’attend à obtenir des faisceaux pervers constructibles,dont la trace de Frobenius doit nous donner des caractères de représentations. On montre en faitun énoncé plus fort de finitude avant de prendre les coinvariants 4.3.15 :

2

Théorème 1.3.1. Le faisceau de Grothendieck-Springer affine S est constructible comme faisceau

de QℓrĂW s-modules. En particulier, pour toute représentation de dimension finie τ de ĂW , le faisceauSτ des τ-coinvariants est un faisceau constructible sur rC‚Gpptqqs (cf. définition (3.1.3.2).)

Maintenant que l’on a un énoncé de finitude pour les τ -coinvariants, on s’intéresse à la perversitéde ceux-ci.

1.4. Lemme d’homotopie et perversité des coinvariants. Dans le cas de la fibration de Hit-chin globale, on a par le lemme d’homotopie [24, Lem. 3.2.3] que l’action de Pglob sur les faisceaux decohomologie Rifpar˚ Qℓ se factorise par π0pPglobq. De plus, Yun définit un morphisme de faisceaux :

σ : QℓrX˚pT qsW Ñ π0pPglobq

et il montre en particulier ([38, Thms. 1, 2 ,3]) que la partie sphérique de l’action de ĂW sur lacohomologie à support propre Rifpar˚ Qℓ des fibres de Hitchin se factorise par σ. Il montre égalementun énoncé local, mais qui vaut fibre à fibre. A savoir pout tout γ P C‚pkq, on a un morphisme local :

σγ : QℓrX˚pT qsW Ñ π0pPγq

et à nouveau la partie sphérique agit sur Hicpf

´1pγq,Qℓq via σγ . En ce qui concerne l’homologie,l’énoncé est énoncé plus faible. Dans le cas qui nous concerne, on a besoin d’une généralisation dece résultat de Yun dans plusieurs directions. Tout d’abord, pour calculer les coinvariants dérivés,il faut travailler au niveau des 8-catégories, d’une part, et d’autre part, on a besoin d’un lemmed’homotopie qui porte sur le complexe plutôt que sur ses faisceaux de cohomologie. En effet, pourle moment, il est délicat de définir, s’il existe, un faisceau local π0pPq des composantes connexes, cequi nous force à travailler fibre à fibre et donc on ne peut utiliser la perversité de S. On montre doncun énoncé d’homotopie 5.1.1 pour l’action d’un schéma en groupe lisse commutatif sur un complexe,dont nous tirons le corollaire qui s’applique aussi bien au cas global que local 5.1.5, 5.2.1 :

Théorème 1.4.1. (a) L’action de Pglob sur le complexe fpar˚ Qℓ se factorise en une action deπ0pPglobAq.

(b) Pour tout point géométrique γ P C‚pkq, l’action de Pγ sur RΓpf´1pγq, ωXf´1pγq

q se factorise

par π0pPγq.

On remarquera que contrairement à ce qui était attendu, il n’est pas nécessaire de connaître la puretédes fibres de Springer affines pour obtenir cet énoncé d’homotopie. Cela nous permet également deformuler, sous forme conjecturale, un énoncé de Yun généralisé :

Conjecture 1.4.2. Pour tout corps algébriquement clos K et γ P C‚pKq, l’action de la partie

sphérique QℓrX˚pT qsW de ĂW sur RΓpf´1pγq, ωf´1pγqq se factorise par (5.1.6.1).

En supposant cette conjecture, on va montrer un énoncé de perversité pour les coinvariants. Si τ estune représentation de dimension finie de ĂW , on dit qu’elle est de torsion si τ|X˚pT q est une sommedirecte de caractères de torsion. On montre alors 5.3.1 :

Théorème 1.4.3. Soit G semisimple simplement connexe, soit τ une représentation de torsion de

dimension finie de ĂW , on suppose 1.4.2 vérifiée, alors le faisceau des τ-coinvariants Sτ est pervers.

3

1.4.4. Morphismes de spécialisation. Enfin dans la dernière section, on construit des morphismesde spécialisation pour l’homologie des fibres de Springer affines compatibles à l’action de ĂW (5.4.2).Ce type de morphisme permet en particulier de relier l’homologie des fibres de Springer affinesaux éléments déployés à celle pour des éléments elliptiques et devrait s’avérer utile pur étudier desfamilles de fibres de Springer affines, de la même manière que Ngô l’a fait avec les fibres de Hitchin.

1.4.5. Remerciements. Ce travail s’inscrit dans la continuation de ma collaboration avec DavidKazhdan et Yakov Varshavsky. J’ai en particulier beaucoup bénéficié de nos discussions ainsi quede leurs suggestions et idées. Je remercie également pour nos multiples entretiens Gérard Laumonet Eric Vasserot. Enfin, je remercie Sam Raskin, Marco Robalo et Christophe Cornut d’avoir aima-blement répondu à mes questions.

2. Fibration de Grothendieck-Springer affine

2.1. Quotient adjoint et centralisateur régulier. On commence par faire quelques rappels surle centralisateur régulier. Les hypothèses que l’on fait dans la suite ne sont pas optimales, aussibien sur la caractéristique que sur la base, mais suffisantes pour ce travail. Les énoncés sont tirésde Ngô [31, 1.1-1.5] et Bouthier-Česnavičius [5, sect.4], pour les énoncés les plus généraux.

2.1.1. Théorème de Chevalley. Soit un corps k algébriquement clos, un groupe G connexe réductifsur k, g son algèbre de Lie, pB, T q une paire de Borel, W le groupe de Weyl et t “ LiepT q. Onsuppose que la caractéristique est première à l’ordre de W . La restriction des fonctions induit unisomorphisme de Chevalley :

krgsG„Ñ krtsW .

On en déduit un morphisme polynôme caractéristique

χ : g Ñ c “ tW

ainsi qu’un morphisme π : t Ñ tW . L’espace c est non-canoniquement isomorphe à un espace affineAr avec r “ dim t. Soit D “

śαPR dα P krtsW le diviseur discriminant où R désigne l’ensemble des

racines. On note crs le complémentaire du discriminant ainsi que trs et grs leurs images respectivesdans t et g via les morphismes χ et π. Au-dessus de crs, π est fini étale de groupe W . Soit le schémades centralisateurs C “ tpg, γq P G ˆ g, adpgqγ “ γu, on définit l’ouvert régulier greg “ tpg, γq PG ˆ g, dimCγ “ ru. Au-dessus de cet ouvert régulier la flèche :

χreg : greg Ñ c

est lisse et les fibres géométriques sont des espaces homogènes sous G. On dispose d’une section àχreg dite de Kostant :

ǫ : c Ñ greg,

qui généralise la matrice compagnon pour les groupes classiques.

2.1.2. Centralisateur régulier. Au-dessus de l’ouvert régulier, le schéma des centralisateurs C|greg

est lisse et se descend en un schéma en groupes lisse commutatif J Ñ c de telle sorte que l’on a unisomorphisme :

χ˚regJ

„Ñ C|greg .

qui s’étend en un morphisme :jg : χ˚J Ñ C. (2.1.2.1)

De manière explicite, J “ ǫ˚C où ǫ est la section de Kostant. En particulier, la flèche :

Gˆ greg Ñ greg ˆc greg (2.1.2.2)

4

donnée par pg, γq ÞÑ pγ, adpgq.γq est un J-torseur. On a besoin d’une version qui prend en comptele Borel. La proposition suivante est due à Yun [38, Prop. 2.3.1] :

Proposition 2.1.3. Soit Jb le tiré-en-arrière à b “ LiepBq, soit CB le schéma des centralisateursau-dessus de b pour l’action adjointe de B. Alors on a un morphisme :

jb : Jb Ñ Cb

de telle sorte que jg,|b se factorise en :

JbjbÑ Cb Ñ C|b.

2.2. Objets placides.

2.2.1. Espaces algébriques placides.

Définition 2.2.2. (i) Soit un morphisme d’espaces algébriques f : X Ñ S, il admet une pré-sentation placide ou est placidement présenté (resp. fortement pro-lisse) s’il existe une pré-sentation filtrante X » lim

ÐÝXα, où les morphismes de transition sont affines lisses et les Xα

sont des S-espaces algébriques de présentation finie (resp. et de plus les Xα sont lisses surS).

(ii) Un morphisme d’espaces algébriques X Ñ Y est dit placide s’il existe Y 1 Ñ Y étale surjectif,tel que X 1 “ X ˆY Y

1 »šαXα où Xα Ñ Y est placidement présenté.

(iii) Si S est le spectre d’un corps, on dit que X est placide (resp. admet une présentation placide,resp. fortement pro-lisse) si la flèche X Ñ Specpkq l’est.

(iv) Un morphisme de schémas X Ñ Y est dit lisse, si localement pour la topologie étale, il estfortement pro-lisse.

Remarques.

2.2.7. D’après [6, 1.1.3], la classe des morphismes fortement pro-lisses est stable par changementde base, composition, morphismes fortement pro-lisses.

2.2.8. D’après [6, 1.1.6], si f : X Ñ S est placidement présenté, alors on a une présentationcanonique X – lim

ÐÝXÑYY , où la limite parcourt les morphismes fortement pro-lisses X Ñ Y

pour Y de présentation finie sur S et les flèches de transition sont lisses affines.

Exemple 2.2.9. Soit un anneau commutatif A et X un Arrtss-schéma affine de type fini. Pour toutentier n P N, on considère le foncteur des arcs tronqués

LnX : B ÞÑ XpBrtsptn`1qq.

Il est représentable par un A-schéma affine de type fini et on forme l’espace d’arcs L` X “ limÐÝLnX .Il représente le foncteur B ÞÑ XpBrrtssq et est un A-schéma affine non-nécessairement noethérien.On dispose alors d’une flèche de projection L` X Ñ X .

5

2.2.10. Ind-schémas ind-placides. Soit un anneau commutatif A, on appelle ind-schéma sur A, toutfoncteur sur les A-schémas affines T : pAffAqop Ñ Ens qui est représentable par une colimite filtrantede A-schémas qcqs Tα, où les morphismes de transition sont des immersions fermées. D’après [11,Lem. 1.1.4], si CT désigne la catégorie des schémas affines S munis d’une immersion fermée S ãÑ T ,la catégorie est filtrante et l’on a une écriture canonique pour T :

T “ colimSPCTS.

Un ind-schéma T est ind-placide s’il s’écrit T » colimTα avec des flèches de transition qui sontdes immersions fermées de présentation finie et les Tα sont des k-schémas placides qcqs. Dans [6],on impose pour un ind-schéma ind-placide que les Tα soient placidement présentés. Néanmoins,l’exemple suivant montre qu’il est plus naturel de considérer la définition ci-dessus :

Exemple 2.2.11. Si X est un Apptqq-schéma affine de type fini, on considère le foncteur de lacets :

LX : B ÞÑ XpBpptqqq.

Ce foncteur commute aux produits et pour X “ A1, LA1 – colimpL` A1 tÑ L` A1 . . . q. Enfin, si

X ãÑ Y est une immersion fermée, alors LX ãÑ LY est aussi une immersion fermée de telle sortequ’en plongeant X dans un AN , LX est représentable par un ind-schéma ind-affine. De plus, siA “ k est un corps et X lisse sur kpptqq alors LX est un ind-schéma ind-placide LX ([10, Thm.6.3]).

De même, on a une notion d’ind-espace algébrique et de ind-placidité pour ceux-ci.

Enfin, soit X un champ, i.e. un faisceau étale en groupoïdes, on dit qu’il est placide, s’il admet unatlas f : X Ñ X où X est un espace algébrique placide et f une flèche représentable, surjective etlisse au sens de 2.2.2.

2.3. 8-champs.

2.3.1. Généralités. Soit une 8-catégorie C, Spc l’8-catégorie des 8-groupoïdes. On considère lacatégorie des préfaisceaux PrShpCq “ FonctpCop, Spcq. Si C est équipée d’une topologie de Gro-thendieck T , on considère ShpCq la sous-8-catégorie des faisceaux pour la topologie T . Dans le casoù C “ Affk est la catégorie des k-schémas affines munie de la topologie étale sur un corps k, on ap-pelle catégorie des préchamps (resp. des 8-champs) la catégorie PrShpAffkq (resp. Stk “ ShpAffkq).L’inclusion ShpCq ãÑ PrShpCq admet un adjoint PrShpCq Ñ ShpCq, donnée par la faisceautisation[27, 6.2.2.7].

On reprend la définition de [6, 1.2.4]. Soit (P) une classe de morphismes de 8-champs f : X Ñ Y

avec Y P Affk, stable par changement de base.

Un morphisme f : X Ñ Y de 8-champs vérifie (P), si pour tout changement de base Y Ñ Y, avecY un schéma affine, le changement de base X ˆY Y Ñ Y est dans (P).

On définit ainsi pour des morphismes de 8-champs f : X Ñ Y une notion de morphisme propre/ deprésentation finie/ind-fp-propre 1/ind-représentable, en prenant pour (P), la classe des morphismesde schémas X Ñ Y qui sont propres/de présentation finie, la classe des morphismes X Ñ Y ind-fp-propres avec X un ind-espace algébrique et la classe des morphismes X Ñ Y avec X un ind-espacealgébrique, pour Y un schéma affine.

1. i.e. ind-(propre de présentation finie)

6

Exemple 2.3.2. Pour un 8-champ X muni d’une action d’un ind-schéma en groupes H , on peutformer l’8-champ quotient rX Hs.

Lemme 2.3.3. Soit une paire pH,X q comme dans 2.3.2, alors :

(i) Le flèche X Ñ rX Hs est ind-représentable.

(ii) Si de plus H est ind-(quasi-affine), la flèche X Ñ rX Hs est ind-schématique.

Remarque 2.3.4. Par ind-représentable, on entend que pour tout morphisme SpecpAq Ñ rX Hs,le changement de base est représentable par un ind-espace algébrique.

Démonstration. D’après [6, 1.2.6.(d)], rX HspAq classifie les paires pE, φq où π : E Ñ SpecpAq estun morphisme de 8-champs et un H-torseur pour la topologie étale tel que rEHs – SpecpAq etφ : E Ñ X est un morphisme H-équivariant.

On commence par voir que E est représentable par un ind-espace algébrique. Comme π est unH-torseur pour la topologie étale, il existe SpecpA1q Ñ SpecpAq étale, tel que E se trivialise. Enparticulier, E1 :“ E ˆSpecpAq SpecpA1q est représentable par un ind-schéma. D’après [16, Lem.3.12], pour voir que E est représentable par un ind-espace algébrique, il suffit de vérifier que π :

E Ñ SpecpAq a une diagonale schématique. Or π est un H-torseur de telle sorte que ∆π : E ÑE ˆSpecpAq E – E ˆk H et la diagonale s’identifie à la section unité. Comme par changement debase, E ˆk H Ñ E est ind-schématique et ind-(quasi-séparé), d’après [23, Tag. 01KT] la sectionunité est une immersion schématique quasi-compacte.

Il reste à montrer que E est représentable par un ind-schéma. On l’écrit alors E » colimEα où Eαest un espace algébrique qcqs. Or, comme H est ind-(quasi-affine), E1 l’est aussi de telle sorte queE1 » colimE1

α :“ Eα ˆA SpecpA1q et donc E1α est représentable par un schéma quasi-affine. Par

effectivité de la descente pour des morphismes quasi-affines [23, Tag. 0247], Eα est quasi-affine etdonc E est représentable par un ind-schéma, comme souhaité.

Définition 2.3.5. Soit un morphisme f : X Ñ Y d’un 8-champ vers un schéma affine, il est ditlocalement ind-fp-propre, s’il existe Y 1 “ SpecpA1q Ñ Y étale surjectif tel que X ˆY Y

1 Ñ Y 1 estind-fp-propre.

Souvent dans les applications, il est facile d’obtenir des morphismes localement ind-fp-propres.

Exemple 2.3.6. Soit un morphisme d’8-champs f : X Ñ Y localement ind-fp-propre et équivariantpour l’action d’un 8-champ en groupes H , alors f : rX Hs Ñ rYHs est localement ind-fp-propre([6, 1.2.9]).

Une illustration de cet énoncé général est la suivante ; soit un k-ind-schéma X et un groupe Gconnexe réductif sur un corps k tel que LG agit sur X . Alors, on peut former les 8-champsrXL`Gs et rXLGs et la flèche induite rXL`Gs Ñ rXLGs est localement ind-fp-propre,puisque la projection X ˆk rLGL` Gs Ñ X est ind-fp-propre comme la grassmannienne affinerLGL` Gs l’est.

On a en fait le lemme de descente suivant, remarqué par Varshavsky :

Lemme 2.3.7. Un morphisme de 8-champs localement ind-fp-propre est ind-fp-propre.7

Démonstration. Soit un morphisme f : X Ñ Y entre 8-champs localement ind-fp-propre, montronsqu’il est ind-fp-propre. Il suffit de le vérifier après restriction à tout schéma affine SpecpAq Ñ Y.On suppose donc que Y “ SpecpAq. Le morphisme f devient ind-fp-propre après un recouvrementétale Y 1 “ SpecpA1q Ñ SpecpAq. Comme les morphismes fp-propres satisfont la descente fpqc dansla catégorie des A-espaces algébriques d’après [23, Tag. 041V, Tag. 0422], il suffit de voir que X estreprésentable par un ind-espace algébrique. A nouveau, d’après [16, Lem. 3.12], il suffit de voir queX a une diagonale schématique. Or la descente fppf est effective pour les immersions fermées d’après[23, Tag. 0420] et comme X ˆY Y

1 Ñ SpecpA1q est ind-fp-propre, sa diagonale est une immersionfermée, ce qui conclut.

Pour tout 8-champ X , on a d’après [27, Cor. 5.1.5.8], X – colimSÑX S avec S affine ; on associealors son réduit Xred – colimSÑX Sred. On a donc une flèche canonique Xred Ñ X .

Étant donné un morphisme d’8-champs f : X Ñ Y, on dit que c’est une équivalence topologique,s’il induit une équivalence fred : Xred

„Ñ Yred. D’après [6, 1.5.1], cette notion est locale pour la

topologie étale sur la base, stable par tirés-en-arrière, composition et passage au quotient.

Pour tout morphisme de 8-champs i : Y Ñ X , on dit que i est une immersion topologiquement

constructible si pour tout schéma affine X Ñ X , la composée :

pY ˆX Xqred Ñ Y ˆX X Ñ X

est une immersion localement fermée de présentation finie.

2.4. Fibration de Grothendieck-Springer affine.

2.4.1. Grassmanniennes affines. Soit un anneau commutatif A, G un schéma en groupes affine lissesur SpecpAq. On considère alors la grassmannienne affine de G, comme le quotient étale GrG “rLGL` Gs. On a le lemme suivant tiré de [16, 3.10] :

Lemme 2.4.2. Soit G1 Ñ SpecpAq un schéma en groupes affine lisse. Alors pour tout sous-groupefermé affine lisse G ãÑ G1 tel que le quotient fppf G1G est représentable par un A-schéma quasi-affine (resp. affine), GrG Ñ GrG1 est représentable par une immersion quasi-compacte (resp. im-mersion fermée). De plus, si G1 “ GLn, GrGLn

est représentable par un A-ind-schéma ind-projectif.

Remarque 2.4.3. Il résulte de 2.4.2 et [1, Thm. 9.4] que si G est réductif et admet un plongementdans GLn, alors GrG est représentable par un ind-schéma ind-projectif. C’est par exemple le cas siG est réductif déployé ou si A est normal d’après [35].

De plus, si G admet un Borel B, on pose I “ ev´1pBq et on introduit la variété de drapeaux affineFl “ LGI, également représentable par un ind-schéma ind-projectif.

Pour la suite, il est utile d’établir des lemmes de plongement d’un schéma en groupes dans ungroupe linéaire avec quotient quasi-affine.

Lemme 2.4.4. Soit B une A-algèbre de présentation finie, finie, libre. Soit π : SpecpBq Ñ SpecpAq

(i) Soit T un tore déployé sur SpecpBq, alors la restriction à la Weil J2 “ π˚T admet unplongement linéaire avec un quotient quasi-affine.

8

(ii) On suppose de plus π muni de l’action d’un groupe fini Γ d’ordre premier aux caractéristiquesrésiduelles. Soit G un schéma en groupes lisse sur SpecpBq, alors J1 “ pπ˚GqΓ est lisse etJ2J1 est quasi-affine.

Démonstration. (i) Quitte à considérer le produit de plongements et à faire le produit des espacesquotients, il suffit de traiter le cas T “ Gm. Soit n le rang de B comme A-module. Dans ce cas,on a J2 “ π˚Gm “ AutA´algpBq Ă GLn “ AutApBq et J2 est un schéma en groupes lisse surSpecpAq. Montrons que GLnJ2 est quasi-affine. Comme B admet une structure de A-algèbre, ona donc un morphisme ξ : B bA B Ñ B. Comme par hyptohèse B est un A-module libre de typefini, on peut voir ξ comme un élément de V “ B_ bA B

_ bA B sur lequel GLn agit et donc J1 estle stabilisateur de ξ. Le quotient GLnJ2 est représentable d’après [19, Exp.V, Thm. 10.1.2] et lequotient GLnJ2 s’identifie à l’orbite de ξ dans V . Ainsi, d’après [9, II. 5. Prop.3.1], elle est ouvertedans son adhérence, donc elle est quasi-affine.

(ii) Considérons l’immersion fermée J1ãÑ J2 “ π˚G et montrons que le quotient π˚GJ1 est affine.

Tout d’abord, comme l’ordre de Γ est premier aux caractéristiques résiduelles, J1 est un schéma engroupes lisse ([14, sect. 15]). On fait donc agir J2 par conjugaison sur

śwPW

J2 ¸ W de telle sorte

que J1 est le stabilisateur du uplet ξ “ p1, wqwPW . On applique alors [19, Exp.V, Thm. 10.1.2] pourobtenir que π˚GJ1 est représentable. Comme de plus, il s’identifie à l’orbite J2.ξ dans

śwPW

J2¸W ,

à nouveau d’après [9, II. 5. Prop.3.1], elle est ouverte dans son adhérence, donc en particulier estquasi-affine.

2.4.7. Une fibration en ind-schémas. On rappelle les définitions de [6, 4.1]. Soit un groupe connexeréductif déployé G sur un corps algébriquement clos. La flèche χ : g Ñ c induit un morphismeau niveau des lacets, noté de la même manière χ : L g Ñ L c, on considère le ind-schéma deséléments compacts C “ χ´1pL` cq. C’est un sous-ind-schéma fermé de présentation finie de L` g eton considère l’ouvert des élements compacts génériquement réguliers semisimples :

C‚ “ χ´1pL` c ´ L` Dq

On prendra garde au fait que C‚ n’est pas un ind-schéma au sens strict, car L` c ´ L` D n’est pasquasi-compact. Néanmoins, si on l’écrit comme une union croissante L` c´L` D “

ŤdPNL

` cďd oùl’on borne la valuation du discriminant, alors les ouverts réciproques Cďd sont bien des ind-schémas.

On forme alors le sous-ind-schéma fermé FlˆC :

rC “ tpg, γq P FlˆC, adpgq´1pγq P LiepIqu

La seconde projection donne une flèche :

f : rC Ñ C,

que l’on appelle la fibration de Grothendieck-Springer affine. Elle est ind-fp-propre.

Pour tout γ P C‚pkq, la fibre :

Xγ “ f´1pγq “ tg P Fl, adpgq´1pγq P LiepIqu9

est appelée la fibre de Springer affine. C’est un ind-schéma tel que Xγ,red est un k-schéma localementde type fini, de dimension finie et équidimensionnel d’après Kazhdan-Lusztig [21, sect.2, Prop.1,sect.4, Prop.1]. Il est commode également d’introduire la variante sphérique :

rCK “ tpg, γq P GrˆC, adpgq´1pγq P L` gu.

Ici, K désigne le compact maximal L` G. On a en fait un diagramme où tous les carrés sontcartésiens :

rC inv//

rLiepIqIs

ev// rLiepBqBs

C // rL` gL`Gsev

// rgGs

(2.4.7.1)

où les quotient sont faits pour la topologie étale, les actions sont les actions adjointes et les flèchesverticales sont les projections canoniques. On introduit l’ouvert régulier rCreg “ inv´1pLiepIqregIq ĂrC. En général, au-dessus de C, rCreg peut avoir des fibres vides (e.g. pour γ “ 0). En revanche, sil’on se restreint au-dessus de C‚, la flèche :

rCreg Ñ C‚

est surjective d’après Kazhdan-Lusztig [21, Cor. 1]. De plus, si l’on considère la variante sphé-rique, alors pour tout γ P C‚pkq, la fibre de Springer affine sphérique Xγ,K,red contient Xreg

γ,K,red

comme ouvert dense et le complémentaire est de dimension strictement inférieure d’après Ngô [31,Prop.3.10.1].

2.5. Symétries de la fibration. Dans cette section, il s’agit de munir la fibration de Grothendieck-Springer affine rC Ñ C de l’action d’un ind-schéma en groupes, le Picard local. Cette constructionest l’analogue local du champ de Picard qui agit sur la fibration de Hitchin [31, sect. 4.3].

2.5.1. Champ de Picard local. Considérons l’espace d’arcs L` c de c “ tW , comme L` c “ SpecpAqest représentable par un schéma affine, on dispose d’une famille d’arcs universels :

e : D ˆ L` c “ SpecpArrtssq Ñ c,

et on peut considérer J “ e˚J qui est un Arrtss-schéma affine lisse, commutatif. On peut donc alorsconsidérer sa grassmannienne affine :

P :“ GrJ

Ñ L` c.

On l’appelle le champ de Picard local. En particulier, pour tout a P pL` cqpkq, on a Papkq –JapkpptqqqJapkrrtssq.

Lemme 2.5.2. Le quotient P est représentable par un ind-schéma de ind-présentation finie surL` c.

Démonstration. On va appliquer à plusieurs reprises le lemme 2.4.2. Tout d’abord, on commence parrappeler la description galoisienne du centralisateur régulier. D’après [31, 2.4.6-2.4.7], J s’identifiecanoniquement à un sous-schéma en groupes ouvert de J1 “ π˚pT qW et contient la composanteneutre J0 de J1, de telle sorte que J1J est un schéma en groupes fini sur c. D’après 2.4.2, il suffitdonc de montrer la représentabilité de la grassmannienne affine de J1 et cela se déduit alors dulemme 2.4.4 et de 2.4.2 appliqué deux fois.

10

2.5.3. Action sphérique du Picard local. On a une flèche canonique χ : C Ñ L` c et on considère lechangement de base PC “ χ˚P . On va construire une action de PC sur rC et rCK au-dessus de C.

Proposition 2.5.4. On a une action de PC sur rC au-dessus de C qui commute à l’action de LG.

Démonstration. Soit une k-algèbre A et γ P CpAq et pg, γq P rCKpAq, avec adpgq´1γ P gpArrtssq.Posons γ0 “ adpgq´1γ et a “ χpγ0q, d’après (2.1.2.1), on a une flèche canonique au-dessus deApptqq :

θ : Ja Ñ Cγ

qui s’étend en un morphisme sur SpecpArrtssq :

ηg “ adpgq´1 ˝ θ : Ja Ñ Cγ0

de telle sorte que :adpgq´1 ˝ θpJapArrtssqq Ă Cγ0pArrtssq Ă GpArrtssq. (2.5.4.1)

Pour tout j P JapApptqqq, on pose alors :

j.pg, γq “ pηgpjq.g, γq, (2.5.4.2)

qui agit sur rCKpAq et qui passe au quotient d’après (2.5.4.1) en une action de PapAq sur la fibrede Springer affine rCKpAq. Il reste à voir que cela commute à l’action de LG. L’action de LG estdonnée par :

k.pg, γq “ pkg, adpkqγq, k P LG, pg, γq P C.

et cela vient du fait que ηkgpjq “ kηgpjqk´1.

Lorsque que l’on restreint la fibration à la section de Kostant, on va voir que l’ouvert régulierdevient un torseur sous P . La section de Kostant induit un morphisme noté de la même manièreǫ : L` c Ñ C et on forme :

Xc :“ tpg, γq P FlˆL` c, adpgq´1ǫpaq P LiepIqu,

ainsi que sa variante sphérique XK,c.

Proposition 2.5.5. Le morphisme rCregK Ñ C est un P-torseur pour la h-topologie.

Remarque 2.5.6. On rappelle que la h-topologie est la topologie engendrée par les recouvrementsfp-propres et Zariski d’après [23, Tag. 0EU5]. De plus, par P-torseur, on entend que pour toutmorphisme φ P CpAq, le changement de base est un P-torseur localement trivial pour la h-topologiesur SpecpAq.

On commence par un lemme :

Lemme 2.5.7. Soit un morphisme de ind-schémas f : T Ñ SpecpAq surjectif, on suppose queT » colimTα où chaque fα : Tα Ñ SpecpAq est d’image constructible, alors il existe α tel queTα Ñ SpecpAq est surjectif.

Démonstration. On munit SpecpAq de la topologie constructible. Comme fα est d’image construc-tible, les pfpTαqqα forment un recouvrement ouvert de SpecpAq qui est compact d’après [23, 08YF,094L] et comme l’union est filtrante, le résultat suit.

11

Passons à la preuve de 2.5.5 :

Démonstration. On commence par montrer que l’on a un isomorphisme canonique

act : P ˆCrCregK Ñ rCregK ˆC

rCregK .

Soit un anneau A, commençons par montrer que tout élément γ P gregpArrtssq est, localement pourla topologie étale sur A, conjugué à sa section de Kostant γ0 “ ǫpχpγqq. On considère alors le carrécartésien :

EJ //

Gˆ greg

SpecpArrtssqpγ,γ0q

// greg ˆc greg

D’après (2.1.2.2) et par changement de base, EJ est un Ja-torseur sur SpecpArrtssq. D’après [5,Thm. 2.1.7], il est localement trivial pour la topologie étale sur A, donc localement sur A, il existeun élément k P GpArrtssq tel que adpkq´1γ “ γ0. On considère maintenant un triplet pg1, g2, γq PrCregK ˆC

rCregK pAq.

Posons γ1 “ adpg1q´1γ et γ2 “ adpg2q´1γ dans gregpArrtsssq et a “ χpγq. D’après ce que l’on vientde voir, ils sont tous deux conjugués à ǫpaq. En particulier, ǫpaq est GpApptqqq-conjugué à γ et g1 etg2 diffèrent par un élément de JapApptqqq, comme souhaité. Il reste à montrer l’énoncé sur l’existencelocale de sections. Tout d’abord la flèche rCregK Ñ rCK Ñ C est la composée d’une immersion ouvertequasi-compacte et d’un morphisme ind-fp-propre qui sont des morphismes universellement d’imageconstructible, l’énoncé se déduit alors du lemme 2.5.7.

Corollaire 2.5.8. Si l’on tire rCregK par la section de Kostant ǫ : L` c Ñ C, alors ǫ˚rCregK Ñ L` c estle P-torseur trivial.

Démonstration. En effet, dans ce cas ǫ˚rCregK Ñ L` c admet une section donée par a ÞÑ p1, ǫpaqq.

2.5.9. Extension de l’action. On veut maintenant relever l’action de P à tout rC. On commence parformer le carré cartésien :

C7

// t

C // L` c // c

Il résulte du diagramme commutatifrbBs

// t

rgGs // c

et de (2.4.7.1) que la flèche f : rC Ñ C se factorise en :

f : rC Ñ C7 Ñ C.

12

La proposition 2.1.3 donne alors que P ˆL` c C7 agit sur rC au-dessus de C7. De manière explicite,

pour un anneau A, soit px, tBq P rCpAq avec x P rCKpAq d’image a P CpAq et tb P rbBspAq, alors laflèche canonique au-dessus de Arrtss

Ja Ñ Autpxq

se factorise canoniquement modulo t par :

Ja Ñ Autptbq Ñ Autpxq.

Et à nouveau elle commute à l’action de LG sur rC.

2.6. Description de la fibration au-dessus d’une stratification.

2.6.1. Stratification par les valuations radicielles. On a un diagramme commutatif :

t

π

// g

χ

c

, (2.6.1.1)

où la flèche horizontale est l’inclusion canonique.

Soient m “ |W |, O “ krrtss et F “ kpptqq, O1 “ krrt1

m ss, F 1 “ FracpO1q, t1 “ ResO1Opt ˆk O1q et

c1 “ ResO1OpcˆkO1q. On rappelle que l’ordre de W est premier à la caractéristique. On définit alors

Tw “ ResO1OptˆkO1qwµm où µm agit sur O1 par l’action de Galois. D’après [14, Lem. 15.3.1, 15.4.1],

c’est un schéma en groupes lisse sur O, qui est un tore sur F et tw :“ LiepTwq “ Liept1qwµm . D’après[15, 4.2, 4.3], Tw se déploie en T sur F 1 et on a un plongement Tw ãÑ G unique à G-conjugaison près.De plus, tout tore maximal de G est G-conjugué à un Tw, pour w P W . En particulier, tout élémentγ P grspF q est GpF q-conjugué à un élément de twpF q. En considérant la composée tw Ñ g Ñ c, onobtient une flèche canonique, indépendante des choix, définie sur F , πw : tw Ñ c.

Lemme 2.6.2. La flèche πw est finie.

Démonstration. Par descente, il suffit de montrer que le morphisme est fini après extension descalaires F 1F . Sur F 1, Tw se déploie en T et la flèche πw ˆF F

1 s’identifie à la flèche π : t Ñ c, quiest également finie, ce qu’on voulait.

Pour toute fonction r : R Ñ 1mN sur l’ensemble des racines, on peut considérer le sous-schéma

localement fermé de présentation finie t1r où l’on fixe l’ensemble des valuations radicielles. En in-tersectant avec L` tw, on obtient ainsi la strate tw,r. De manière concrète, L` tw classifie les sériesřγit

im telles que w´1pγiq “ ξiγi et tw,r Ă L` tw est donnée par les équations :

dαpγiq “ 0 si 0 ď iă rpαq et dαpγiq ‰ 0 si rpαq “ i. (2.6.2.1)

Ainsi, tw,r est donné par un nombre fini d’équations et d’inéquations linéaires, donc tw,r est forte-ment pro-lisse. Pour u P W et une fonction r, on considère u.r : R Ñ 1

mN donnée par u.rpαq “

rpu´1.αq. On a donc une action de W sur les paires pw, rq donnée par u.pw, rq “ puwu´1, uprqq. Onnote cw,r Ă L` c l’image de tw,r. D’après [14, Thm. 8.2.2], c’est un localement fermé de présentationfinie, irréductible et fortement pro-lisse et d’après [6, 3.3.4], on a une flèche finie étale tw,r Ñ cw,rde groupe Ww,r, où Ww,r Ă W est le stabilisateur de pw, rq pour l’action de W sur les paires pw, rq.Soit LiepIqw,r l’image inverse de cw,r par la flèche χ : LiepIq Ñ L` c.

13

Lemme 2.6.3. L’immersion LiepIqw,r ãÑ LiepIq est une immersion régulière de présentation finie.

Démonstration. En effet, d’après [6, Thm. 3.4.7], LiepIq Ñ L` c est plat. De plus cw,r est lisse,donc cw,r Ñ L` c est une immersion régulière et d’après [23, Tag. 067P], il en est de même deLiepIqw,r ãÑ LiepIq par changement de base.

On définit Cw,r “ cw,r ˆL crs L grs et son image inverse rCw,r Ă rC. On commence par un énoncéde structure sur le 8-champ quotient rCw,rLGs. Tout d’abord, d’après [6, 4.1.8], on a un isomor-phisme canonique :

LpGTwq ˆWw,r tw,r – Cw,r.

induit par pg, tq ÞÑ adpgq.t et par composée on obtient donc un morphisme :

φ : rLGLTws ˆWw,r tw,r Ñ LpGTwq ˆWw,r tw,r. (2.6.3.1)

On a alors la proposition suivante :

Théorème 2.6.4. Pour tout w P W , la flèche canonique de 8-champs λ : rLGLTws Ñ LpGTwqest un isomorphisme.

Démonstration. D’après [6, Thm. 4.1.9], c’est un isomorphe au niveau des réduits. D’après 2.2.11,comme GTw est lisse, LpGTwq est ind-placide et est ind-affine, on considère un sous-schéma ferméSpecpAq Ñ LpGTwq avec SpecpAq placide.

On obtient alors par tiré-en-arrière un Tw-torseur EA Ñ SpecpApptqqq. Il faut montrer qu’il esttrivial localement pour la topologie étale sur SpecpAq. Soit α P H1pApptqq, Twq la classe associée.Comme λred est un isomorphisme, il existe un recouvrement étale SpecpBq Ñ SpecpAredq tel queα|B P H1pBpptqq, T q est triviale.

Comme SpecpAq est placide, SpecpAqred ãÑ SpecpAq est une immersion fermée de présentation finied’après [6, Cor. 1.4.5] et donc l’idéal nilpAq est nilpotent de type fini. Ainsi, d’après [18, Exp. III,Cor. 6.8], il existe un unique SpecpB1q Ñ SpecpAq étale qui se réduit au-dessus de Ared sur B.Or la paire pB1pptqq, nilpAq.B1pptqqq est hensélienne, de telle sorte que d’après [5, Thm. 2.1.7], on aH1pB1pptqq, Twq – H1pBpptqq, Twq. Ainsi, α|B1 “ 1 et λ est un isomorphisme.

Corollaire 2.6.5. La flèche φ induit un isomorphisme :

rtw,rpWw,r ¸ LTwqs„Ñ rCw,rLGs.

En particulier, on a l’isomorphisme rtw,rpWw ¸ LTwqreds Ñ rCw,rLGsred.

Démonstration. D’après 2.6.4, la flèche (2.6.3.1) est un isomorphisme, il suffit donc de passer auquotient par LG pour obtenir l’isomorphisme souhaité. Enfin, pour déduire l’identité au niveau desréduits, comme tw,r et Ww,r sont réduits, rtw,rpWw ¸ LTwqsred – rtw,rpWw,r ¸ LTwqreds.

14

On forme alors le carré cartésien :

rXw,r

rfw,r

// rrCw,rLGs “ rLiepIqw,rIs

p

// rrCLGs “ rLiepIqIs

tw,rΥw,r

// rCw,rLGs // rCLGs

. (2.6.5.1)

D’après [6, 4.3.4], on a les assertions suivantes :

(i) Xw,r “ p rXw,rqred Ñ tw,r est un morphisme de schémas, localement de présentation finie,muni de l’action d’un réseau Λw.

(ii) On a Xw,r » tw,r ˆrCw,r LGsred rrCw,rLGsred et rrCw,rLGsred – rLiepIqw,r,redIs.

(iii) Le quotient rXw,rΛws est un espace algébrique, fp-propre sur tw,r.

3. Rappels sur les résultats de [6]

Dans cette section, il s’agit de rappeler et de généraliser certains résultats établis par Bouthier-Kazhdan-Varshavsky dans [6]. Les résultats principaux sont 3.2.9 ainsi que 3.3.3 et 3.4.2 qui com-parent l’action du groupe de Weyl affine construite dans [6] avec celle de Lusztig et enrichit lefaisceau de Grothendieck-Springer affine des symétries qui viennent du Picard local.

3.1. Catégorie de faisceaux.

3.1.1. Définition. Soit ℓ un premier différent de la caractéristique de k, AlgSptfk (resp. AlgSpk) lacatégorie des k-espaces algébriques de type fini (resp. qcqs).

— Soit Catst,ℓ l’8-catégorie des petites 8-catégories, stables et Qℓ-linéaires avec des fonc-teurs exacts, i.e. qui préservent les colimites finies, comme morphismes. D’après [28, 1.1.4.4,1.1.4.6], elle contient toutes les petites colimites filtrantes et toute les petites limites.

— Soit PrCatℓ la sous-8-catégorie des 8-catégories présentables ([27, 5.5.0.1]), stables, Qℓ-linéaires, avec des 8-foncteurs continus, i.e. les catégories sont stables par petites colimiteset tous les foncteurs commutent aux petites colimites. Elle contient toutes les petites limiteset colimites d’après [27, 4.2.4.8, 5.5.3.13, 5.5.3.18].

Tous les foncteurs qui apparaissent ici sont des 8-foncteurs et les limites et colimites sont à prendreau sens homotopique. Etant donné C P Catst,ℓ, on peut former sa catégorie des ind-objets IndpCq([27, 5.3.5.1]) qui est stable ([28, 1.1.3.6]) et donc présentable (elle admet toutes les colimites finieset les colimites filtrantes, donc toutes les colimites). On a ainsi un foncteur naturel :

Ind : Catst,ℓ Ñ PrCatℓ

donné par C ÞÑ IndpCq, qui commute aux petites colimites filtrantes ([27, 5.3.5.10], [9, 1.9.2] et [34]).

Pour un k-espace algébrique de type fini Y , on dispose, d’après Liu-Zheng ([25], [26]), d’une 8-catégorie DcpY q :“ Db

cpY,Qℓq dont la catégorie homotopique est DbcpY,Qℓq. Dans la suite, on utilise

librement le formalisme des six foncteurs pour les 8-catégories (cf. [25],[26]). Il y a un foncteurnaturel :

Dc : pAlgSptfk qop Ñ Catst,ℓ (3.1.3.2)qui à chaque morphisme f : X Ñ Y associe f ! : DcpY q Ñ DcpXq. On définit alors D :“ Ind ˝Dc.En faisant l’extension de Kan à gauche et à droite, on obtient des foncteurs :

Dc : PrShpAlgSpkq Ñ Catst,ℓ (3.1.3.3)15

D : PrShpAlgSpkq Ñ PrCatℓ (3.1.3.4)

On note D‚ pour désigner les foncteurs D et Dc. De manière explicite si X s’écrit comme une limiteprojective cofiltrante X » limÐÝXα où les Xα sont des k-espaces algébriques de type fini avec desmorphismes de transition affines, on a D‚pXq » colimf ! DcpXαq et si T “ colimTα est un ind-espacealgébrique avec Tα P AlgSpk, on a D‚pT q » lim

ÐÝf !D‚pTαq. D’après [6, 5.2.8], D‚ est un faisceau pour

la topologie étale, donc il se factorise par ShpAlgSpkq via le morphisme de faisceautisation. Enparticulier, comme le plongement ι : Affk ãÑ AlgSpk induit une équivalence de 8-catégories partiré-en-arrière ι˚ : ShpAffkq

„Ñ ShpAlgSpkq, on peut voir D‚ comme un foncteur sur Stk.

3.1.4. Fonctorialité. Pour tout morphisme de 8-champs f : X Ñ Y, on dispose d’un foncteur f !

pour D‚. De plus, pour toute équivalence topologique f : X Ñ Y, on a d’après [6, 5.3.6] uneéquivalence de catégories :

f ! : D‚pY q„Ñ D‚pX q. (3.1.4.5)

L’énoncé suivant est obtenu dans [6, Prop. 5.3.7].

Proposition 3.1.5. Soit f : X Ñ Y un morphisme ind-fp-propre d’8-champs. Alors, f ! admet unadjoint à gauche f! et pour tout carré cartésien entre 8-champs :

rXrh

//

rf

X

f

rY h// Y

l’application de changement de base :rf!rh! Ñ h!f! (3.1.5.1)

est une équivalence.

Pour la suite, on a besoin de considérer une classe intermédiaire entre les ind-schémas et les 8-champs, qui contient les objets tels que rLXLGs pour G connexe réductif sur k qui agit sur X P

Afftfk . Tout d’abord, pour toute immersion topologiquement constructible de 8-champs η : Y ãÑ X ,

on dispose d’un foncteur η˚ ([6, 5.4.4]). On s’intéresse à l’existence d’un adjoint à gauche.

Définition 3.1.6. Soit X un 8-champ, on dit qu’il satisfait le recollement si pour toute immersiontopologiquement constructible Y ãÑ X , le foncteur η˚ admet un adjoint à gauche η˚.

Remarques.

3.1.7. Les 8-champs suivants satisfont le recollement :

(i) Si X satisfait le recollement alors pour toute immersion topologiquement constructibleη : Y ãÑ X , Y satisfait le recollement ([6, Lem. 5.5.5.(a)]).

(ii) Si X » colimXα où chaque Xα admet le recollement et les morphismes de transition sontdes immersions ouvertes quasi-compactes (resp. des immersions fermées de présentationfinie) alors X satisfait le recollement ([6, Lem. 5.5.5.(b)]).

(iii) D’après [6, 5.5.6], on obtient que tout espace algébrique placide satisfait le recollementainsi que tout ind-espace algébrique ind-placide d’après (ii).

16

(iv) Les quotients rXHs d’un ind-espace algébrique ind-placide X par un groupe ind-placide H , i.e. un objet en groupe dans la catégorie des ind-espaces algébrique ind-placides satisfont le recollement. Cela s’applique donc à des quotients rLY LGs pourG affine lisse sur k qui agit sur Y P Aff

tfk . L’énoncé est quasiment établi dans [6, Prop.

5.5.7], la seule différence est que notre définition d’ind-placidité est plus générale (cf.2.2.10). Mais cela se déduit du fait que D est un faisceau pour la topologie étale et quef ! – f˚ pour un morphisme étale. En particulier, l’énoncé [6, Lem. 5.5.8] vaut avecnotre définition d’ind-placidité.

(v) Pour toute immersion topologiquement constructible η : Y ãÑ X de 8-champs satisfai-sant le recollement, ν˚ préserve les constructibles [6, Lem. 5.4.1].

3.2. t-structure.

3.2.1. Stratification constructible. Soit un 8-champ X , on considère une collection pXαqαPI desous-champs topologiquement constructibles tels que Xα X Xβ “ H pour tout α ‰ β. Pour toutsous-champ X 1 Ă X , on pose IX 1 “ tα P I,Xα Ă X 1u. On dit que X 1 est I-adapté si pour toutα P IzIX 1 , X X Xα “ H.

Définition 3.2.2. Avec les notations de ci-dessus, on dit que les tXαu forment :

1. une stratification finie constructible s’il existe une suite finie croissante d’ouverts quasi-compacts pUiq1ďiďn telle que l’on a un plongement Xαi

ãÑ Ui ´Ui´1 qui est une équivalencetopologique.

2. une stratification bornée constructible si X s’écrit comme une colimite filtrante de sous-champs ouverts quasi-compactsX – colimUPJ XU où chaque XU est I-adapté et les tXαuαPIXU

forment une stratification finie constructible.

Dans la suite, on dit qu’un 8-champ est placidement stratifié s’il admet une stratification bornéeconstructible par des Xα qui sont des champs placides.

3.2.3. Le cas des champs placidement stratifiés. On a besoin d’introduire une classe assez vasted’objets pour lesquels on peut parler de t-structure et adaptée à la présentation de D à l’aide de f !.Pour cette t-structure, le faisceau dualisant sur un schéma lisse sera pervers auto-dual.

Pour un k-schéma de type fini équidimensionnel X , on dispose de la t-structure !-adaptée où l’ondéclare qu’un objet K P DcpXq est pervers si et seulement si Kr´ dimpXqs est pervers pour lat-structure standard. Pour un k-schéma de type fini général, il admet une stratification canoniquepar des schémas équidimensionnels et on obtient la t-structure sur X en recollant les t-structuressur chacune des strates équidimensionnelles ([6, 6.2.3]).

On considère ensuite un k-schéma affine placideX ; d’après [6, 6.3.1], il existe une unique t-structuresur DcpXq telle que pour tout morphisme fortement pro-lisse f : X Ñ Y avec Y est de type fini, f !

est t-exact où l’on munit DcpY q de la t-structure !-adaptée. Comme pour un schéma placide affine,on a D “ IndpDcq, la t-structure s’étend naturellement à D (cf. [6, 6.3.2.(b)]).

Notant D‚ pour désigner indifférement D ou Dc, si X est un champ placide, en considérant un atlasplacide X , on montre qu’il existe une unique t-structure sur D‚pX q telle que pour tout morphismelisse f : X Ñ X avec X affine placide, f ! est t-exact ([6, sect 6.3]).

17

Enfin la dernière étape consiste à considérer des 8-champs placidement stratifiés. Soit pX , pXαqαPIqun champ placidement stratifié qui satisfait le recollement des faisceaux. On se donne une perversitépν adaptée à la stratitification, i.e. une fonction p : X Ñ Z constante sur chaque strate, soit unecollection d’entiers pναqαPI . On suppose pour simplifier la stratification bornée. D’après ci-dessouspour tout α P I, on dispose d’une t-structure naturelle sur chaque DpXαq et comme X satisfait lerecollement on a des foncteurs η˚

α, η!α : DpX q Ñ DpXαq. Il est important ici de considérer D plutôt

que Dc pour disposer de tels foncteurs. D’après [6, 6.4.2], subordonnée à pν et si la stratificationest bornée, il existe alors une unique t-structure ppDď0pX q, pDě0pX qq sur DpX q telle que :

Dě0pX q “ tK P DpX q,@ α P I, η!αK P pDě´ναpXαqu, (3.2.3.1)

Dď0pX q “ tK P DpX q,@ α P I, η˚αK P pDď´ναpXαqu. (3.2.3.2)

Si la stratification n’est pas finie, on a également une t-structure avec seulement (3.2.3.1) qui estvérifiée. Dans les cas qui nous intéressent la perversité pν est essentiellement celle donnée par « lacodimension » des strates Xα dans X .

Enfin, en conservant les hypothèses de ci-dessus, si j : U ãÑ X est un ouvert quasi-compact, d’après[6, Lem. 6.4.5], U est placidement stratifié pour la stratification induite et satisfait le recollementde telle sorte que j! est t-exact. De plus, pour tout K P DpUq, on peut définir (cf. [6, Cor.6.4.10,Lem.6.4.11]) un prolongement intermédiaire j!˚K avec j˚j!˚K “ K et tel que :

(i) Si la stratification est finie et que j est adapté à la stratification, j!˚K est l’unique extensionperverse rK de K tel que pour tout α P IzIU , ν˚

αrK P Dď´να´1pXαq et ν!α rK P Dě´να`1pXαq.

(ii) EndpKq “ Endpj!˚Kq.

3.2.4. Systèmes locaux renormalisés. Soit X un k-schéma de type fini lisse, soit LocQℓpXq la caté-

gorie des systèmes locaux sur X . On note LocrenpXq “ tLr2 dimX s,L P LocQℓpXqu où dimX est la

fonction localement constante de dimension, de telle sorte que comme X est lisse, on a l’inclusion :

LocrenQℓ

pXq Ă Perv!pXq

où Perv!pXq désigne la catégorie des faisceaux pervers pour la !-t-structure. En particulier, pourtout morphisme lisse f : Y Ñ X de k-schémas lisses, on a donc un foncteur

f ! : LocrenpXq Ñ LocrenpY q.

Soit un k-schéma placidement présenté X lisse, on peut donc former :

LocrenpXq “ colimXÑY LocrenpY q,

où X Ñ Y parcourt les morphismes fortement pro-lisses avec Y lisse. Par construction, LocrenpXqest fonctorielle par rapport aux morphismes fortement pro-lisses entre k-schémas placidement pré-sentés lisses et est locale pour la topologie étale. De la sorte, on obtient donc pour tout champplacide X lisse une catégorie LocrenpX q et l’on a par t-exactitude de f ! ([6, Prop. 6.3.1-6.3.3]) pourdes morphismes fortement pro-lisses, une inclusion :

LocrenpX q Ă Perv!pX q.

Lemme 3.2.5. Soit i : H Ñ X une immersion localement fermée de présentation finie régulièreentre champs placides de codimension d. On suppose X lisse, alors pour tout K P LocrenpX q, on ai˚K P pDď´2dpHq.

18

Démonstration. Le même dévissage que [6, Preuve 6.3.5.(b)] nous ramène immédiatement au casoù X “ X est un k-schéma lisse de type fini et i : H ãÑ X une immersion régulière de codimensiond. Dans ce cas, on a K “ Lr2 dimXs pour un système local L sur X et il s’agit de voir quei˚r´2dsK P pDď0pHq pour la !-t-structure et comme l’immersion est régulière, cela se déduit parapplications successives de [22, Rmq. 6.4] (qui est une reformulation de [3, 4.1.10]).

3.2.6. Application à la fibration de Grothendieck-Springer affine. On veut appliquer la théorie gé-nérale à la fibration :

f : rC Ñ C.

La t-structure n’existe qu’une fois que l’on a divisé par l’action adjointe de LG. Notons de la mêmemanière la flèche au niveau des quotients :

f : rrCLGs Ñ rCLGs.

Dans ce cas, on a alors rrCLGs – rLiepIqIs qui est déjà un champ placide lisse. On dispose doncd’une t-structure sur DprLiepIqIsq pour laquelle ωLiepIqI est pervers. La situation est plus délicatepour le quotient rCLGs et on doit dans un premier temps se restreindre à l’ouvert des générique-ment réguliers semisimples C‚. Plus précisément, pour tout m P N, on considère l’ouvert Cďm detelle sorte que rCďmLGs est un 8-champ qui satisfait le recollement avec comme stratificationfinie placide les rCw,rLGsred d’après [6, Thm. 4.1.12, Lem. 7.1.2]. On commence par donner un dé-finition de la notion de codimension pour des sous-champs constructibles de rC‚LGs. Tout d’abord,d’après [6, Lemmes 2.2.4, 2.2.5] pour tout schéma placide, on a une notion de codimension. Dansle cas plus simple où X » lim

ÐÝXi est placidement présenté avec des flèches de transition surjectives

lisses (ce qui est le cas de L` Y si Y est lisse de type fini) alors tout fermé de présentation finieZ Ă X se descend à un cran fini en Zi Ă Xi et alors on pose codimXpZq “ codimXi

pZiq et l’onvérifie que cela ne dépend d’aucun choix. On veut maintenant une notion de codimension pour leslocalement fermés de présentation finie de rC‚LGs.

Définition 3.2.7. Pour tout m P N et tout localement fermé de présentation finie Z ãÑ Cďm

LG-équivariant, on définit :

codimCďmpZq “ δZ ` codimL` gpZ X L` gq

où δZ est le plus petit entier tel que Cδ X Z ‰ H.

En particulier, d’après [14], pour toute paire pw, rq, on a la formule suivante de codimension :

νw,r :“ codimC‚ pCw,rq “ 2δw,r ` cw,r ` dpw, rq. (3.2.7.1)

avec cw,r “ dimk t ´ dimk tw, δw,r “

dw,r´cw,r

2pour dw,r “

řαPR

rpαq et dpw, rq la codimension de

tw,r dans tw. En particulier, pour toute paire pw, rq telle que Cw,r Ă C ´ Cď0, on a ([6, 4.4.2.(c)]) :

2δw,r ă νw,r. (3.2.7.2)

Soit jrs : rCrs “ Cď0LGs ãÑ rC‚LGs, le théorème principal établi par Bouthier-Kazhdan-Varshavsky est le suivant [6, Thm. 7.1.4] :

Théorème 3.2.8. Notons S‚ “ f!ωrrC‚LGs P DprC‚LGsq. On équipe DprC‚LGsq de la perversité

donnée par la codimension, alors S‚ est pervers, on a S – jrs,!˚j˚rsS. De plus, on a un isomorphisme

19

canonique d’algèbres EndpS‚q – QℓrĂW s. En particulier, S‚ est canoniquement muni d’une action

de ĂW .

En fait, on peut montrer un énoncé plus fort qui va inclure d’autres « systèmes locaux » quele dualisant. Pour toute paire pw, rq, soit riw,r : rLiepIqw,rIs Ñ rLiepIq‚Is l’inclusion et bw,r “codimLiepIqpLiepIqw,rq. Il résulte de [6, Cor. 3.4.9], que l’on a :

bw,r “ δw,r ` cw,r ` dpw, rq, νw,r ď 2bw,r. (3.2.8.1)

Théorème 3.2.9. On considère f : rrC‚LGs – rLiepIq‚Is Ñ rC‚LGs avec les perversités de3.2.8. Alors :

(i) f! est t-exact à gauche.

(ii) De plus, pour tout K P PervprLiepIq‚Isq tel que pour toute paire pw, rq :

ri˚w,rK P pDď´2bw,r prLiepIq‚Isq, (3.2.11.1)

f!K est pervers et on a f!K – jrs,!˚j˚pf!Kq.

(iii) Tout faisceau K P LocrenprLiepIq‚Isq vérifie (3.2.11.1).

Remarques.

3.2.13. L’énoncé vaut plus généralement pour un morphisme ind-fp-propre petit (ou semi-petit) ausens de [6, 2.4.9], mais les conditions étant techniques à formuler, on se contente de cetteformulation pour la fibration de Grothendieck-Springer affine, qui est le principal exemple.

3.2.14. Dans l’optique de construire des caractères de profondeur nulle, il est nécessaire de pouvoirconsidérer des systèmes locaux plus généraux que seulement le dualisant, ainsi que celaapparaît dans [4, sect. 3.5].

Démonstration. (i) L’argument suit [6, Thm. 6.5.3]. Posons X “ rLiepIq‚Is et Y “ rC‚LGs etnotons pYαq (resp. pXαqq les stratifications induites pas les Cw,r. Soit K P pDě0prLiepIq‚Isq, notonsSK “ f!K. En vertu de la description (3.2.3.1), il suffit de montrer que pour toute strate pw, rq, ona :

i!αSK P pDě´ναpYαq. (3.2.14.2)

avec une inégalité stricte pour les strates Cw,r contenues dans C‚´Crs et iα : Yα Ñ Y. Par définition,on a un carré cartésien :

Xα

fα

riα// X

f

Yαiα

// Y

.

Par changement de base [6, 5.3.7, 5.5.4], on a :

i!αSK – fα,!ri!αKMaintenant d’après [6, Lem. 6.3.5.(b)], ri!α est t-exact à gauche et fα,!r´2δαs est t-exact à gauche,d’où fα,!ri!αL P Dě´2δαpYαq Ă Dě´ναpYαq, où la dernière inégalité vient de (3.2.7.1) avec inégalitéstricte d’après (3.2.7.2) pour les strates contenues dans C‚ ´ Crs.

20

(ii) Supposons de plus que K P PervpX q et satisfait (3.2.11.1), alors en vertu de (3.2.3.2), on doitvérifier de plus que

@ α P I, i˚αSK P pDď´ναpYαq, (3.2.14.3)avec une inégalité stricte pour tout α P I ´ICrs

. On a alors par changement de base [6, Prop. 5.3.7],i˚αSK – fα,!ri˚αK et d’après [6, 6.3.5. (b)], f !

α est t-exact à gauche donc par adjonction fα,! est t-exactà droite. En particulier, en utilisant (3.2.11.1) et (3.2.8.1), on obtient que i˚αSK P pDď´2bαpYαq ĂDď´ναpYαq, comme voulu.

(iii) Cela se déduit alors du fait que riw,r est une immersion régulière d’après 2.6.3 et de 3.2.5.

3.3. Action de Lusztig.

3.3.1. Combinatoire affine. Dans [29, 5.4], Lusztig construit une action de ĂW sur l’homologie desfibres de Springer affines. A priori, elle diffère de celle construite par le théorème 4.3.15. L’objet decette section est de comparer les deux.

SoitR_ l’ensemble des coracines, on noteWaff “ ZR_˙W où ZR_ Ă X˚pT q le réseau des coracines.On note ∆aff l’ensemble des racines affines. Le groupe Waff est un groupe de Coxeter engendrépar ∆aff , i.e. c’est le groupe engendré par les sα avec α P ∆aff et les relations psαsβqmαβ “ 1. Ona une suite exacte :

1 Ñ Waff Ñ ĂW Ñ Ω Ñ 1,

où Ω est fini abélien. Cette suite est scindée et Ω consiste en le stabilisateur de ∆aff pour l’actionde ĂW sur l’ensemble des racines affines. En particulier, on dispose d’une action de Ω sur ∆aff . Ainsi,ĂW est engendré par ∆aff et Ω avec en plus des relations de Coxeter, les relations usu´1 “ upsqpour u P Ω et s P ∆aff . On a également que Ω s’identifie à NLGpIqI. On appelle parahoriquestandard tout sous-groupe fermé de présentation finie I Ă P Ă LG. Soit P` son radical pro-unipotent, LP “ P P` le quotient réductif maximal et WP Ă Waff le groupe de Weyl associé.Les parahoriques standards sont en bijection avec les sous-ensembles stricts de ∆aff via la flècheP ÞÑ ∆P où ∆P Ă ∆ est le sous-ensemble des racines simples associées à LP . Enfin, soit BJ “ IP`,c’est un Borel de LP .

3.3.2. Une autre action de ĂW . On commence par construire une action de ĂW sur S au niveau dela catégorie homotopique. On a un carré cartésien :

rLiepIqIs

πP

ev// rLiepBP qBP s

πP

rLiepP qP sev

// rLiepLP qLP s

où la flèche πP est projective et petite par la théorie de Springer usuelle [22, Cor.10.4]. Par change-ment de base propre, on a donc :

πP,!ωrLiepIqIs – ev!πP,!ωrLiepBP qBP s.

Par la théorie de Springer usuelle [22, Cor.10.5],πP,!ωrLiepBP qBP s est muni d’une action de WP etdonc également S “ f!ωrLiepIqIs “ fP,!pπP,!ωrLiepIqIsq avec fP : rLiepP qP s Ñ rCLGs. De plus,on vérifie que pour toute paire Q Ă P l’action de WQ sur S s’obtient comme la restriction de WP

sur S. En particulier, elle engendre une action de Waff sur S. Il s’agit maintenant de l’étendre enune action de ĂW . En utilisant l’identification Ω – NLGpIqI, on obtient une action canonique par

21

multiplication à droite de Ω sur Fl. On note ω ÞÑ Rω cette action. Comme adpgqI “ adpgωqI pourtout ω P Ω, on a aussi une action de Ω sur rC au-dessus de C qui commute à l’action de LG, d’oùune action de Ω à gauche sur S :

R´1ω,˚ : S Ñ S.

De plus, l’action de ω P Ω envoie un parahorique P sur ω´1Pω et on a un carré commutatif :

rLiepIqIs

πP

Rω// rLiepIqIs

πω´1Pω

rLiepP qP sRω

// rLiepω´1Pωqω´1Pωs

(3.3.2.4)

En particulier, l’action de Ω entrelace l’action de WP et Wω´1Pω sur S via l’isomorphisme adpωq :

Wω´1Pω„Ñ WP . En utilisant la présentation par générateurs et relations de ĂW , on obtient une

action de ĂW sur S dans la catégorie homotopique de HopDprCLGsqq de DprCLGsq. Il s’agitmaintenant de la relever à l’8-catégorie, on se restreint alors à la sous-catégorie DprC‚LGsq, danslaquelle, d’après 3.2.8, S‚ est pervers, donc dans le coeur d’une t-structure, on a en particulierd’après [28, Rmq. 1.2.1.12], une équivalence PervprC‚LGsq – HopPervprC‚LGsqq et l’action serelève. On appelle cette action, l’action de Lusztig.

Théorème 3.3.3. L’action de Lusztig sur S‚ est la même que celle construite par le théorème 3.2.8.

Démonstration. Comme S‚ est pervers, il suffit de vérifier l’énoncé dans la catégorie homotopique.De plus, d’après 3.2.8, on a EndpS‚q “ EndpSrsq, de telle sorte qu’il suffit de vérifier l’égalité au-desssus de Crs. Dans ce cas, on va voir que les deux actions proviennent d’une action de ĂW sur lafibration. D’après [6, 4.2.4] la fibration frs : rCrs Ñ Crs est, à une équivalence topologique près, unĂW -torseur qui fournit l’action de 3.2.8. De plus, pour tout parahorique P , on a une factorisationde f rs en :

rCrsπrsPÑ rCrs,P Ñ Crs

où la première flèche est un WP -torseur qui fournit donc une famille d’actions compatibles depWP qPPPar qui produit l’action de Lusztig de Waff sur Srs qui coïncide donc avec l’action de Waff

sur Srs qui provient de 3.2.8. De plus, pour tout ω P Ω l’action de ω entrelace celle de WP etWωPω´1 d’après (3.3.2.4), donc les deux actions de ĂW sont les mêmes.

3.4. P-équivariance. Dans le paragraphe précédent, on a vu que le faisceau de Grothendieck-Springer affine était canoniquement muni d’une action de ĂW . Nous allons maintenant voir qu’il estégalement muni d’une action de P et que ces actions commutent.

Proposition 3.4.1. Le faisceau de Grothendieck-Springer affine S est canoniquement P-équivariant.

Démonstration. D’après 2.5.4 et 2.5.9, la flèche rC Ñ C est LG ˆ P-équivariante et induit donc unmorphisme P-équivariant :

rrCLGs Ñ rCLGs22

Notons pour simplifier X “ rrCLGs et Y “ rCLGs, alors ωX est P-équivariant, i.e. on a unisomorphisme canonique

ωPˆYX – act!X ωX„Ñ p!XωX – ωPˆYX .

De plus, on a un carré cartésien :

P ˆY X

rf

////X

f

Pp

// Y

,

où les flèches horizontales du haut sont respectivement pX et act. On applique f! et par changementde base propre 3.1.5, on déduit :

rf!pact!X ωX„Ñ p!XωX q “ p!S

„Ñ p!S,

et S est P-équivariant.

Théorème 3.4.2. Le faisceau de Grothendieck-Springer affine S‚ se relève en un faisceau ĂW ˆ P-équivariant.

Démonstration. On utilise la description en bar-complexe de rCLGs – colimrnsP∆op CˆLGn, donc

il suffit de montrer que les pullbacks Spnq‚ de S à C ˆ LGn pour tout n ont bien des actions de ĂW

et P qui commutent entre elles. Par construction, les actions de ĂW et P commutent avec l’actionde LG sur S

pnq‚ . Or, il résulte de (2.5.4.2), que l’action de P est donnée par la même formule que

celle de LG, donc elle commute à celle de ĂW comme souhaité.

4. Énoncés de Constructibilité

Le but de cette section est d’établir l’énoncé 4.3.15 qui montre que le faisceau de Grothendieck-Springer affine est constructible comme faisceau de QℓrĂW s-modules.

4.1. Complexes faiblement constructibles.

4.1.1. Définitions. Soit un schéma affine S, on définit la sous-catégorie des faiblement construc-tibles DfcpXq Ă DpXq, comme la plus petite sous-8-catégorie pleine, stable par colimites finies etrétractions qui contient les complexes K b

QℓV pour K P DcpXq et V un Qℓ-espace vectoriel. Pour

tout morphisme f : X Ñ Y , le foncteur f ! : DpY q Ñ DpXq préserve Dfc. Pour tout préchampX P PrStkk, on définit alors :

DfcpX q “ limÐÝSÑX

Df´cpSq,

pour S P Affk.

Etant donné un k-schéma de type fini S et un point géométrique s, on considère LocpSq la ca-tégorie des Qℓ-systèmes locaux constructibles et IndLocpSq la ind-catégorie correspondante. Toutind-système local L admet une filtration canonique F‚ telle que grF pLq est semisimple : pour touti P N, gripLq consiste en la somme directe des sous-modules simples de LLďi´1.

23

Définition 4.1.2. Soit un k-schéma de type fini S et L un ind-système local, il est dit faiblementconstructible si la filtration F‚ est finie et pour tout i, gripF q a un nombre fini de facteurs simples.On note FLocpSq la catégorie des ind-systèmes locaux faiblement constructibles.

Si L P FLocpSq, pour tout i P N, gripLq est une somme finie de modules LM “ MbQℓ

HomQℓ

pM,Lq

pour un sous-système local simple M Ă L de dimension finie. En particulier, comme grF pLq est finieet comme DfcpSq est stable par rétractions et colimites finies on a immédiatement que FLocpSq ĂDfcpSq.

Proposition 4.1.3. Soit S un k-schéma de type fini, soit pSαq une stratification finie constructible.On a les assertions suivantes :

(i) K P DfcpSq si et seulement si pour tout α, i!αK P DfcpSαq avec iα : Sα Ñ S.

(ii) K P DpSq est faiblement constructible si et seulement si il existe une stratification finieconstructible pSαq, telle que pour tout i, Hipi˚αKq et Hipi!αKq sont des systèmes locauxfaiblement constructibles.

Démonstration. (i) L’implication directe a déjà été vue. Pour la réciproque, on procède par récur-rence sur le nombre de strates et il suffit de considérer le cas où S “ U

šF avec une immersion

fermée i : F ãÑ S de complémentaire j : U Ñ S. Comme Df´c est stable par colimites finies, enutilisant les suites fibrantes pour pi!, j˚q, il suffit de voir que i˚ et j˚ préservent Df´c, ce qui estclair puisqu’ils préservent la constructibilité, les rétractions et commutent aux colimites finies.

(ii) Pour l’implication directe, les objets de la forme K bQℓV avec V P Vect

Qℓet K P DcpSq

vérifient clairement cette propriété. Il s’agit de voir que cette propriété est stable par colimitesfinies et rétractions et cela se déduit du fait que la catégorie des ind-systèmes locaux est stablepar extensions, noyaux et conoyaux, ce qui est clair. Pour la réciproque cela se déduit de (i) et del’inclusion FLocpSq Ă DfcpSq.

4.2. Rappels sur Barr-Beck-Lurie.

4.2.1. Modules à gauche sous une algèbre associative. Soit C une 8-catégorie monoïdale symétrique([28, Def. 2.0.07]), d’après [28, Déf.4.1.1.6] on peut considérer AlgAsspCq l’8-catégorie des algèbresassociatives dans C. Pour A P AlgAsspCq, soit ModpAq l’8-catégorie des A-modules en catégories,qui consistent en les 8-catégories qui admettent une action de A ([12, Ch. 0, sect. 3.4]). Soitune paire pA,Mq constituée d’une algèbre associative de C et d’une 8-catégorie M P ModpAq, onpeut considérer la catégorie ModApMq des objets de M qui admettent une structure de A-module àgauche ([28, 4.2.1.1.3] ou [12, Ch. 0, sect. 3.5]). Le théorème de Barr-Beck-Lurie consiste à déterminersous quelles conditions une 8-catégorie se décrit comme une certaine catégorie ModApMq.

Si C est une 8-catégorie, la catégorie FonctpC, Cq admet une structure monoïdale symétrique na-turelle de telle sorte que C est un module en catégories sous FonctpC, Cq ([12, Ch. 0, sect. 3.4.6]).On appelle monade, une algèbre associative A de FonctpC, Cq agissant sur C. Soit alors ModApCq,la catégorie des objets de C avec une structure de A-module à gauche. On dispose d’un foncteurd’oubli :

oblA : ModApCq Ñ C

qui admet un adjoint à gaucheindA : C Ñ ModApCq

24

qui envoie tout objet C P C sur le A-module libre à gauche engendré par C, de telle sorte que lacomposée :

oblA ˝ indA : C Ñ C

s’identifie au foncteur de tensorisation par A [28, 4.2.4.8].

4.2.2. Situation de Barr-Beck-Lurie. Soient C et D deux 8-catégories et A P AlgAsspFonctpC, Cqq,alors d’après [12, Ch.0, sect. 3.4.6], FonctpD, Cq admet une structure de module en catégories surFonctpC, Cq et tout foncteur G P FonctpD, Cq qui admet une structure de A-module est équivalentà une factorisation :

G : D Ñ ModApCqoblAÑ C.

On considère alors G : D Ñ C qui admet un adjoint à gauche F : C Ñ D. Il résulte de [12, Ch.0,sect. 3.6.6] que A “ G ˝ F P FonctpC, Cq admet une structure d’algèbre associative et on a unefactorisation :

G : DGÑ ModApCq

oblAÑ C.

On dit que G est monadique si G est une équivalence. Le théorème suivant donne un critère demonadicité [28, 4.7.3.5] :

Théorème 4.2.3. [Barr-Beck-Lurie] Soit G : D Ñ C un foncteur entre 8-catégories avec un adjointà gauche F : C Ñ D. On suppose que :

(i) G est conservatif.

(ii) G préserve les réalisations géométriques, i.e. les colimites indexées sur les ensembles simpli-ciaux.

Alors G est monadique. En particulier, on a une équivalence canonique D – ModApCq avec A “G ˝ F .

4.3. Faisceaux Γ-constructibles. Soit Γ un groupe discret et X un préchamp, DpX q est une 8-catégorie stable Qℓ-linéaire, donc c’est un module en catégories sur VectQℓ

et QℓrΓs est une algèbreassociative de VectQℓ

. On définit alors la catégorie des objets Γ-équivariants :

DΓpX q “ ModQℓrΓspDpX qq.

Par la suite, on aura besoin de plusieurs descriptions équivalentes de DΓpX q. On considère l’actiontriviale de Γ sur X , soit p : X Ñ rX Γs, cette flèche est ind-fp-propre et étale comme Γ ˆ X Ñ X

l’est. On dispose d’un foncteur

p! : DprX Γsq Ñ DpX q.

Lemme 4.3.1. (i) Le foncteur p! induit une équivalence de catégories DprX Γsq„Ñ DΓpX q.

(ii) De plus, on a également une équivalence canonique :

ModQℓrΓspDpX qq – FonctpBΓ,DpX qq. (4.3.3.1)

25

Démonstration. (i) Il suffit d’appliquer 4.2.3. Comme p est ind-fp-propre, p! admet un adjoint àgauche p! et par construction p! commute aux petites colimites. De plus, p est étale, donc par des-cente, p! est conservatif, on peut donc appliquer Barr-Beck-Lurie. Il suffit donc d’identifier l’algèbreA avec les notations de 4.2.3, or pour tout K P DpX q, on a d’après [6, 5.6.5] :

p!p!K – K bQℓQℓrΓs,

et le résultat suit.

(ii) En utilisant la description de rXΓs à l’aide du bar-complexe, on a une équivalence de catégories :

DprX Γq – limrnsP∆op

DpΓn ˆk X q

Or, comme Γ est discret, on a DpΓn ˆk X q – FonctpΓn,X q, soit :

limrnsP∆op

DpΓn ˆk X q – FonctpcolimrnsP∆op Γn,X q – FonctpBΓ,X q,

comme souhaité.

On va utiliser maintenant une troisième description de DΓpX q. Pour tout k-schéma de type fini S ettout groupe discret Γ, on considère l’8-catégorie Db

ctf pS,QℓrΓsq des complexes bornés constructiblesde Tor-dimension finie de QℓrΓs-modules. On définit alors :

DpS,QℓrΓsq “ IndpDbctf pS,QℓrΓsqq

et on étend ensuite par extension de Kan à droite et à gauche à la catégorie de tous les préchamps,les foncteurs Db

ctf p´,QℓrΓsq et Dp´,QℓrΓsq. Comme un complexe borné constructible de QℓrΓs-modules, est clairement ind-constructible, à nouveau par fonctorialité de l’extension de Kan, ondispose pour tout préchamp X d’un foncteur d’oubli :

DpX ,QℓrΓsq Ñ DpX q

qui admet un adjoint à gauche donné par K ÞÑ K bQℓQℓrΓs. En appliquant 4.2.3, on obtient une

équivalence de catégories :η : DpX ,QℓrΓsq – DΓpX q.

En particulier, on peut donc voir la catégorie DΓpX q à la fois, comme la catégorie des faisceauxsur rX Γs, comme la catégorie des faisceaux de QℓrΓs-modules sur X et comme la catégorie desQℓ-faisceaux sur X qui admettent une structure de QℓrΓs-module.

Définition 4.3.4. Soit X un préchamp et un groupe Γ, on définit alors la catégorie des objetsΓ-constructibles :

DΓc pX q “ ηpDb

ctf pX ,QℓrΓsqq.

Remarque 4.3.5. Il résulte de [23, Tag. 03TT] que pour un k-schéma de type fini X et si QℓrΓsest noethérien, les complexes de K P DΓ

c pX q, consistent en ceux qui peuvent être représentés parun complexe fini de faisceaux de QℓrΓs-modules, plats et constructibles. En particulier, si QℓrΓs estnoethérien, les fibres Kx en tout point géométrique x P X sont des complexes parfaits de QℓrΓs-modules. Si de plus QℓrΓs est de dimension cohomologique finie, alors les complexes parfaits deQℓrΓs-modules, sont simplement les complexes de QℓrΓs-modules dont les faisceaux de cohomologiesont des QℓrΓs-modules de type fini.

26

Lemme 4.3.6. Les foncteurs DΓc et DΓ sont des faisceaux pour la topologie étale.

Démonstration. En vertu du lemme 4.3.1 et comme D est un faisceau pour la topologie étale, ona immédiatement que DΓ est aussi un faisceau pour la topologie étale. Ainsi, pour établir queDΓc est un faisceau étale, il s’agit de vérifier que pour tout morphisme étale surjectif h : Y Ñ X

de préchamps, si h!K P DΓc pYq, alors K P DΓ

c pX q. Par définition du foncteur DΓc , on se ramène

immédiatement au cas où X “ X est un schéma affine et quitte à raffiner le recouvrement, on peutsupposer Y affine. On choisit alors une présentationX » lim

ÐÝXα où lesXα sont des k-schémas affines

de type fini, ainsi h se descend en un morphisme étale surjectif de schémas affines hα : Yα Ñ Xα etY » limÐÝβěα

Y 1β “ Xβ ˆXα

Yα. Comme DΓc pXq » colimDΓ

c pXαq et pareillement pour DΓc pY q, on est

ramené au cas où h est étale entre k-schémas affines de type fini et là c’est clair.

4.3.7. Fonctorialité. Pour tout morphisme de k-schémas de type fini f : X Ñ Y , f ! préserve Dbctfpq

d’après [8, Exp. 7, 1.7], il en est donc de même, par extension de Kan, pour tout morphisme depréchamps f : X Ñ Y et donc f ! préserve en particulier les objets Γ-constructibles. De plus, si Xest de type fini et Xα

iॠX une stratification finie constructible, on obtient alors que :

K P DΓc pXq ðñ @ α, i!αK P DΓ

c pXαq.

L’implication directe vient de ci-dessus et la réciproque vient de la stabilité par les opérationsde Db

ctf en considérant les suites exactes fibrantes successives et stabilité par passage au cône deDbctf . Comme un faisceau constructible de QℓrΓs-modules est clairement faiblement constructible,

on obtient que le foncteur d’oubli :

obl : DΓpX q Ñ DpX q (4.3.7.1)

envoie DΓc pX q dans DfcpX q pour tout préchamp X .

Définition 4.3.8. Pour tout groupe discret Γ et un préchamp X , on note DΓfcpX q l’ensemble des

K P DΓpX q tels que oblpKq P DfcpX q.

Pour tout morphisme α : Γ1 Ñ Γ2, on dispose d’un foncteur d’induction :

indΓ2

Γ1: DpX ,QℓrΓ1sq Ñ DpX ,QℓrΓ2sq (4.3.8.1)

donné par K ÞÑ K bL

QℓrΓ1sQℓrΓ2s, qui préserve Db

ctf et commute à f ! pour tout morphisme de

préchamps f : Y Ñ X . Si l’on considère le cas particulier de la projection Γ Ñ t1u alors indΓt1u est

le foncteur des coinvariants coinvΓ. Enfin, pour toute représentation de dimension finie τ P Repdf

Qℓ

pΓq

et K P DΓc pX q, K b

Qℓτ P DΓ

c pX q. On peut donc définir la composante τ -isotypique de K par :

Kτ “ coinvΓpK bQℓτq

Il résulte de ci-dessus que :

@ τ P Repdf

Qℓ

pΓq,@ K P DΓc pX q,Kτ P DΓ

c pX q. (4.3.8.2)

Lemme 4.3.9. Soit X un 8-champ qui satisfait le recollement, pXαq une stratification finie construc-tible, alors on a :

K P DΓc pX q ðñ @ α, i!αXα P DΓ

c pXαq,27

pour iα : Xα Ñ X .

Démonstration. Le sens direct est clair par stabilité de DΓc par f !. Pour la réciproque, si K P

DΓpX q tel que pour tout α, i!αXα P DΓc pXαq, en considèrant les suites fibrantes et en raisonnant

par récurrence, on se ramène à la situation d’un fermé de présentation finie i : XF ãÑ X decomplémentaire j : XU ãÑ X et il s’agit de montrer que :

i˚i!K P DΓ

c pX q, j˚j˚K P DΓ

c pX q,

et cela se ramène alors au fait que j˚ et i˚ préservent les constructibles comme X satisfait lerecollement d’après 3.1.7(iv) 2.

On a l’énoncé de descente suivant :

Proposition 4.3.10. (i) Soit f : X Ñ Y un morphisme lisse surjectif de préchamps au sensde 2.2.2, alors pour tout K P DΓpYq, on a f !K P DΓ

c pX q si et seulement si K P DΓc pYq.

(ii) Soit f : X Ñ Y un morphisme de présentation finie, surjectif de schémas placides, onsuppose QℓrΓs noethérien, de dimension cohomologique finie. Soit K P DΓpY q, alors on af !K P DΓ

c pXq si et seulement si K P DΓc pY q.

Remarque 4.3.13. On rappelle que notre notion de lissité n’impose pas d’être localement deprésentation finie. L’hypothèse que QℓrΓs est de dimension cohomologique finie n’est probablementpas nécessaire, mais suffisant pour nos applications et raccourcit les arguments.

Démonstration. (i) Il suffit de vérifier l’énoncé après tiré-en-arrière sur tout schéma affine. On peutdonc supposer que Y “ Y est affine et X “ X est un schéma. De plus, quitte à recouvrir X pardes ouverts affines et comme Y est quasi-compact, on peut supposer X affine également. Il résultealors de la description 4.3.1 et du fait que DΓ

c est local pour la topologie étale, que l’on peut seramener au cas où X Ñ Y est fortement pro-lisse et en considérant une présentation X » lim

ÐÝXα,

on a alors :DΓc pXq » colimDΓ

c pXαq

et on se ramène au cas où f est lisse. Dans ce cas, f admet localement des sections pour la topologieétale et le résultat suit en utilisant 4.3.6.

(ii) A nouveau, comme DΓc est un faisceau pour la topologie étale, on peut supposer que Y est affine

placidement présenté. On considère alors une présentation placide Y » limÐÝ

Yα, de telle sorte quepar définition, on a DΓ

c pY q » colimDΓc pYαq et le morphisme f se descend en un morphisme surjectif

de présentation finie fα : Xα Ñ Yα. On est donc ramené au cas d’un morphisme surjectif entrek-schémas de type fini. Par dualité de Verdier, on obtient donc que f˚K P Dctf pX,QℓrΓsq. CommeQℓrΓs est noethérien de dimension cohomologique finie, on a Dctf pX,QℓrΓsq “ DcpX,QℓrΓsq. Enpassant aux Hi, on se ramène alors à un faisceau constructible de QℓrΓs-modules et cela se déduitde [23, Tag. 095Q].

L’énoncé suivant fournit un critère de Γ-constructibilité.

2. A strictement parler, il est seulement établi que j˚ et i˚ préservent les Qℓ-constructibles et pas les QℓrΓs-constructibles, mais l’argument s’étend une fois que l’on a la stabilité des QℓrΓs-constructibles pour les k-schémas detype fini, ce qui est le cas.

28

Proposition 4.3.14. Soit X un champ placide et K P DΓfcpX q, on suppose QℓrΓs noethérien. Alors

K P DΓc pX q si et seulement si pour tout x P X , i!xK P DΓ

c pptq. Si de plus, QℓrΓs est de dimensioncohomologique finie, il suffit de vérifier que pour tout x, i!xK est un complexe borné de QℓrΓs-modulesde type fini.

Démonstration. SiK P DΓc pX q alors pour tout morphisme de préchamps, f ! préserve les Γ-constructibles

d’après ci-dessus, donc le sens direct est clair. Réciproquement, en utilisant 4.3.10 on se ramène aucas où X “ X est affine placidement présenté. En considérant une présentation placide X » limÐÝXα

de telle sorte que DΓc pXq » colimDΓ

c pXαq et pareillement pour K P DΓfcpX q, on peut supposer que

X est un k-schéma de type fini. Soit K P DΓfcpXq, il suffit de voir que pour tout i, HipKq P DΓ

c pKq.Comme QℓrΓs noethérien, d’après [23, Tag.03TT], il est d’amplitude finie et on suppose donc queK est un faisceau ind-contructible de QℓrΓs-modules. D’après 4.1.3 Il existe alors une stratificationpSαq tel que !-restriction de K à Sα est un ind-système local faiblement constructible et d’après4.3.9, on peut se ramener à oblpKq qui est un ind-système local faiblement constructible. Maintenantla filtration 4.1.1 de oblpKq est Γ-équivariante (on peut également la définir directement pour lessystèmes locaux de QℓrΓs-modules) et est finie comme oblpKq est faiblement constructible et commeQℓrΓs est noethérien, on peut supposer que oblpKq semisimple, Γ-constructible et la décompositionen sous-modules simples est aussi Γ-équivariante :

oblpKq “à

pM bQℓHompM, oblpKqq.

On est ramené alors au cas où oblpKq “ M bQℓHompM, oblpKqq et comme K est Γ-équivariant,

HompM, oblpKqq est une Γ-représentation. De plus pour tout x P X , on a :

i!xK “ i!xM bQℓHompM, oblpKqq P DΓ

c pptq,

donc HompM, oblpKqq est un complexe parfait de QℓrΓs-modules et le résultat suit. Si de plus,QℓrΓs est de dimension cohomologique finie, cela se déduit de 4.3.5.

Théorème 4.3.15. Le faisceau S‚ P DĂW prC‚LGsq est ĂW -constructible. En particulier pour toute

représentation de dimension finie τ P RepQℓ

pĂW q, la composante τ-isotypique Sτ est dans DcprC‚LGsq.

Démonstration. D’après 4.3.9, on peut se ramener à montrer la ĂW -constructibilité après restrictionaux strates rCw,rLGsred. On utilise alors 4.3.10 pour montrer la ĂW -constructibilité après tiré-en-arrière à tw,r.

Rappelons le diagramme suivant (2.6.5.1) :

rXw,r

rfw,r

// rrCw,rLGs //

p

rrC‚LGs

tw,rψw,r

// rCw,rLGs // rC‚LGs

. (4.3.15.1)

de telle sorte que fw,r : Xw,r “ rXw,r,red Ñ tw,r est localement de présentation finie avec une actiond’un réseau Λw et l’on a une factorisation :

Xw,rπ

Ñ rXw,rΛws Ñ tw,r,

29

où la deuxième flèche est fp-propre surjective et la première étale de groupe Λw. De plus, d’après[6, Thm. 4.3.3.(a), Claim. B.1.3.(b)], il existe un fermé de présentation finie Z Ă Xw,r de telle sorteque :

pZ : Z Ñ rXw,rΛws

est fp-propre surjectif. A nouveau d’après 4.3.10, il suffit de vérifier la ĂW -constructibilité aprèstiré-en-arrière à Z. Par changement de base propre 3.1.5 et invariance topologique (3.1.4.5), si l’onnote ψw,r : tw,r Ñ rC‚LGs, on a :

ψ!w,rS‚ “ pfw,rq!ωXw,r

.

Posons Fw,r “ pfw,rq!ωXw,r, pZ : Z Ñ tw,r. On commence par montrer que p!ZFw,r est Λw-

constructible. On considère le diagramme suivant, où le carré du bas est cartésien :

Xw,r

π

B

µB

α// rXw,rΛs

µ

Z

πZ

;; pZ// tw,r

Posons Gw,r “ π!ωXw,r, comme π est étale de groupe Λw, d’après [6, 5.6.5], on a π!Gw,r – ωXw,r

bQℓ

QℓrΛws, soit en se restreignant au fermé Z :

π!ZGw,r – ωZ bQℓ

QℓrΛws. (4.3.15.2)

Ainsi, par changement de base 3.1.5 et (4.3.15.2), on trouve :

p!ZFw,r – p!Zµ!Gw,r – µB,!α!Gw,r – µB,!µ

!Bπ

!ZGw,r – µB,!ωB b

QℓQℓrΛws. (4.3.15.3)

Or, µB est fp-propre, donc µB,!ωB P DcpZq. Ainsi, p!ZFw,r est Λw-constructible, donc en particulieressentiellement constructible. Maintenant QℓrĂW s est noethérien de dimension cohomologique finieet comme l’action de ĂW est la même que celle de Lusztig, d’après 3.3.3, d’après Yun [4, Cor. 4.4.5],Hapi!xSq est un QℓrĂW s-module de type fini, donc on conclut par 4.3.14. Il ne reste plus qu’à appliquer(4.3.8.2) pour en déduire l’énoncé sur les coinvariants.

5. Perversité des coinvariants

5.1. Un lemme d’homotopie. La preuve de la proposition suivante nous a été suggérée par S.Raskin.

Proposition 5.1.1. Soit P un groupe lisse, localement de présentation finie, commutatif à fibresgéométriquement connexes sur un schéma qcqs S. Considérons le foncteur de restriction :

resP : DP pSq Ñ DP pSqpSq,30

alors on a un relèvement canonique :

DpSq

triv

DP pSq

φ99

resP// DP pSqpSq.

Démonstration. Pour tout schéma en groupes lisse G sur S, en utilisant Barr-Beck-Lurie 4.2.3, ona une équivalence de catégories :

DGpSq – H˚pGSq ´Mod,

où l’on voit l’homologie H˚pGSq comme un faisceau en DG-algèbres. En particulier, la propositionse ramène à montrer que la flèche de DG-algèbres :

H˚pP pSqqq Ñ H˚pP q

se factorise par H0pP Sq – Qℓ, comme P lisse à fibres géométriquement connexes. Comme P pSqest discret, le faisceau d’algèbres H˚pP pSqq est constant, concentré en degré zéro et s’identifie à sonalgèbre de groupe QℓrP pSqs. Posons A “ QℓrP pSqs, on a le lemme suivant :

Lemme 5.1.2. L’algèbre A est une Qℓ-algèbre ind-lisse et LAQℓest concentré en degré zéro avec

H0pLAQℓq “ Ω1

AQℓ

qui est un A-module libre.

Démonstration. Il suffit d’écrire P pSq comme l’union croissante de ses sous-groupes abéliens detype fini H , de telle sorte que

A » colimH QℓrHs.

Maintenant, comme H est un groupe abélien de type fini, SpecpQℓrHsq est un produit de toreset de µn, en particulier QℓrHs est lisse et LHQℓ

est concentré en degré zéro et projectif de typefini. Comme d’après [20] (ou [23, Tag.08S9]), le complexe cotangent commute aux limites filtrantes,on obtient que LAQℓ

est concentré en degré zéro avec H0pLAQℓq qui est un A-module plat. Pour

obtenir que Ω1Ak est libre, cela se déduit de [23, Tag. 047I], comme SpecpAq est un schéma en

groupes.

Considérons maintenant l’application A Ñ H˚pP Sq, on veut montrer qu’elle se factorise parH0pP Sq “ Qℓ. Comme A est le faisceau d’algèbres constant sur S, l’application se fatorise parΓpS,H˚pP Sqq. Comme P est un schéma en groupes commutatif, H˚pP Sq est un faisceau deDG-algèbres commutatives et donc B “ ΓpS,H˚pP Sqq est une Qℓ-DG-algèbre commutative eten considérant la tour de Postnikov de B, on peut écrire d’après [33, Prop. 4.1], B – limÐÝCn oùpour tout n P N, Cn`1 Ñ Cn est une extension de carré nul, avec C0 “ ΓpS,H0pP Sqq “ Qℓ,puisque P est à fibres géométriquement connexes. De plus, pour toute extension de carré nulφ : E Ñ ΓpS,H0pP Sqq, la théorie du complexe cotangent [33, Lem. 6.2, B.12] donne que l’es-pace des relèvements de la composée A Ñ E Ñ Qℓ en un morphisme de A Ñ E est classifiée parExt1pLAQℓ

,Kerφq qui est nul comme LAQℓest libre d’après 5.1.2. En appliquant ce résultat à la

tour de Postnikov et en itérant, on obtient donc que l’extension est l’extension triviale, ce qu’onvoulait.

31

Corollaire 5.1.3. Soit un k-schéma qcqs, P un S-schéma en groupes lisse localement de présen-tation finie. On considère K P DpSq un faisceau P -équivariant, alors l’action se factorise par lefaisceau des composantes connexes relatives π0pP Sq, i.e. pour tout φ : U Ñ S l’action de P pUqsur φ!K se factorise par π0pP SqpUq.

Remarque 5.1.4. On renvoie à [32, Prop. 6.2], pour la définition du faisceau π0pP Sq.

Démonstration. Soit U un S-schéma, soit P 0 la composante neutre de P ; il existe alors U 1 Ñ U

un recouvrement étale tel que l’on a π0pP qpU 1q “ P pU 1qP 0pU 1q. De plus, on a un carré cartésiende champs :

BP 0pU 1q

//

pt

BP pU 1q // Bπ0pP qpU 1q

qui induit en vertu de (4.3.3.1) un diagramme cartésien de catégories :

Dπ0pP qpU 1qpU 1q

// DP pU 1qpU 1q

DpU 1q // DP 0pU 1qpU 1q

Le lemme 5.1.1 appliqué à P 0 donne que la composée :

DP pSq Ñ DP 0pU 1q Ñ DP 0pU 1qpU 1q

se factorise canoniquement par DpU 1q Ñ DP 0pU 1qpU 1q, on obtient donc une flèche canonique :

DP pSq Ñ Dπ0pP qpU 1qpU 1q,

compatible à la localisation. Il reste donc à voir que le foncteur U ÞÑ Dπ0pP qpUqpUq “ DpBπ0pP pUqq

est un faisceau étale en catégories 3. Pour simplifier les notations, notons Π “ π0pP Sq, on a alors :

DΠpUqpUq “ limrmsP∆op

DpΠpUqm ˆ Uq “ limrmsP∆op

DpΠmpUq ˆ Uq.

Comme la propriété d’être un faisceau étale est stable par limites ([27, Cor. 5.5.2.4]), il suffit deprouver que le préfaisceau U ÞÑ DpΠmpUq ˆ Uq est un faisceau étale, ce qui est alors clair puisqueΠm et D sont des faisceaux étales.

On en déduit le corollaire suivant pour la fibration de Springer affine.

Corollaire 5.1.5. Pour tout point géométrique γ P C‚pkq, a “ χpγq, l’action de Pa sur i!γS –RΓpXγ , ωXγ

q se factorise par π0pPaq.

Remarque 5.1.6. On insiste sur le fait que lorsque l’on dit que l’action se factorise, c’est au sensde 5.1.3.

3. L’argument nous a été fourni par Y. Varshavsky.

32

Pour tout γ P C‚pkq avec a “ χpγq, Yun définit [38, sect. 2.7] un morphisme :

σγ : QℓrX˚pT qsW Ñ Qℓrπ0pPaqs. (5.1.6.1)

On a la conjecture locale qui est une généralisation du théorème de Yun [38, Thms. 1-2].

Conjecture 5.1.7. Pour tout corps algébriquement clos K et γ P C‚pKq, l’action de la partie

sphérique QℓrX˚pT qsW de ĂW sur RΓpXγ , ωXγq se factorise par (5.1.6.1).

Remarque 5.1.8. On peut également formuler une variante pour la cohomologie à support com-pact, mais nous n’en aurons pas besoin dans ce travail. L’avantage de travailler avec des complexesplutôt qu’avec des faisceaux de cohomologie est que d’après [39, 5.8], on a une dualité entre l’ho-mologie et la cohomologie à support compact, de telle sorte que les deux énoncés devraient êtreéquivalents.

Dans la suite, il sera commode de considérer un relèvement de σγ en un morphismeX˚pT q Ñ π0pPaq.D’après Yun [38, 2.7], considérons le revêtement caméral Ba “ krrtss bOc

Ot obtenu via la flèchea : Specpkrrtssq Ñ c. Si l’on choisit une composante B de la normalisation B5

a de Ba, alors on obtientune surjection :

σ1γ : X˚pT q Ñ π0pPaq (5.1.8.1)

et si l’on modifie le choix de la composante, le morphisme σ1γ diffère par l’action de W sur X˚pT q.

5.2. Application à la fibration de Hitchin. Le lemme d’homotopie permet de formuler desconjectures locales et globales sur l’action du Picard sur la fibration de Grothendieck-Springeraffine et sur la fibration de Hitchin.

Pour toute courbe projective lisse X sur un corps k et un diviseur effectif D sur X , on dispose dela fibration de Hitchin parabolique Mpar qui classifie les quadruplets px,E, φ,EBq où x P X , E estun G-torseur sur X , φ P H0pX, adpEq bk OXpDqq où adpEq est le fibré adjoint de E et EB est unB-réduction de E en x, compatible à φ. On a un morphisme de Hitchin parabolique, induite par lepolynôme caractéristique :

fpar : Mpar Ñ X ˆ A

avec A “ H0pX, c bk OpDqq, donnée par px,E, φ,EBq ÞÑ px, χpφqq. Yun construit dans ([38],[39])une action de ĂW sur le complexe fpar˚ Qℓ au-dessus de l’ouvert génériquement régulier semisimpleA♥ Ă A. La fibration de Hitchin parabolique admet également l’action d’un champ de Picard globalP au-dessus de X ˆA qui induit une action, commutant à celle de ĂW , sur fpar˚ Qℓ. On a égalementun morphisme global de faisceaux au-dessus de A :

σ : QℓrX˚pT qsW Ñ Qℓrπ0pPAqs, (5.2.0.2)

où π0pPAq est le faisceau des composantes connexes relatives. Dans [39, Thm.3], Yun montre quesi l’on restreint l’action de ĂW ˆ P à QℓrX˚pT qsW ˆ P sur fpar˚ Qℓ et qu’on la semisimplifie, i.e. onregarde l’action induite sur les faisceaux de cohomologie pervers Rifpar˚ Qℓ alors elle se factoriseen un action diagonale de π0pPAq ˆ π0pPAq via (5.2.0.2). Une des raisons pour laquelle Yun serestreint à l’action semisimplifiée est qu’il ne disposait du lemme d’homotopie que sur les Rifpar˚ Qℓ.En appliquant 5.1.1, on obtient immédiatement donc l’énoncé suivant :

Théorème 5.2.1. L’action de P sur le complexe fpar˚ Qℓ se factorise en une action de π0pPAq.33

Cela permet donc de formuler la variante globale de la conjecture 5.1.7.

Conjecture 5.2.2. La restriction de l’action de ĂW à QℓrX˚pT qsW sur fpar˚ Qℓ se factorise parπ0pPAq.

Remarques.

5.2.3. En fait, une inspection détaillée de la preuve de Yun dans le cas global montre qu’une foisque l’on a le lemme d’homotopie 5.1.1, les arguments de [38] s’étendent mutatis mutandispour déduire 5.2.2. En revanche, pour la conjecture locale, il semble plus délicat de le déduirede la conjecture globale.

5.2.4. On remarquera la dissymétrie entre la conjecture locale qui se formule point par point alorsque la conjecture globale se formule en famille, de manière faisceautique. Cela vient dufait que localement, il est délicat de définir le faisceau des composantes connexes relativesπ0pPL` cq ainsi que l’analogue local du morphisme σ qui devrait être défini au-dessusde L` c. La construction du morphisme global nécessite d’utiliser le revêtement caméraluniversel rA Ñ X ˆA ; on construit d’abord la flèche σ au-dessus de X ˆA, puis on montreque la flèche se descend au-dessus de A. L’analogue local de ce revêtement caméral vit surSpecpkrrtsssq ˆ L` c et on se retrouve confronté à la difficulté d’avoir à considérer des anneauxde séries formels Arrtss pour des anneaux non-noethériens et ensuite de montrer que la flèchedescend le long du morphisme fpqc SpecpArrtssq Ñ SpecpAq.

5.3. Calcul des coinvariants. Soit τ une représentation de dimension finie de ĂW , on dit qu’elleest de torsion si sa restriction τ|X˚pT q se décompose en une somme directe de caractères de torsion.L’énoncé principal de la section est le suivant :

Théorème 5.3.1. Soit G semisimple simplement connexe, soit τ P Repdf

Qℓ

de torsion et le faisceau

Sτ “ coinvW pS‚ bQℓτq des τ-coinvariants. On suppose 5.1.7 vérifiée, alors Sτ est pervers.

Remarque 5.3.2. A priori, ces faisceaux pervers ont en revanche des supports. La preuve duthéorème nous donne une borne supérieure que l’on explicite dans 5.3.9.

On commence par quelques dévissages.

5.3.3. Coinvariants sous ĂW . Soit G semisimple simplement connexe. Tout d’abord, il résulte de[30, Rmq., Thm. 2.16] que l’on a une équivalence :

pt – colimIĂPĂW WP ,

où P parcourt les parahoriques standards de LG. En quotientant par ĂW , on en déduit une équiva-lence au niveau des classifiants :

BĂW – colimIĂP BWP . (5.3.3.1)

Maintenant d’après (4.3.3.1) pour tout préchamp, on a une équivalence DĂW pX q – FonctpBĂW,DpX qq,de telle sorte que l’on en déduit une équivalence :

DĂW pX q – FonctpcolimBWP ,DpX qq – lim

ÐÝIĂP

DWP pX q

34

et l’on obtient ainsi une équivalence :

Sτ – colimIĂP Sτ,P . (5.3.3.2)

où Sτ,P les τ -coinvariants pris relativement à WP .

Lemme 5.3.4. Pour établir 5.3.1, il suffit de montrer que pour toute strate pw, rq, on a :

i!w,rSτ P pDě´νw,r pCw,rq. (5.3.4.1)

De plus,l’inégalité est stricte pour toute strate Cw,r pour laquelle dpw, rq ě 1.

Démonstration. D’après 3.2.8, S est pervers. Pour un groupe fini , les τ -coinvariants sont t-exactset d’après [6, Lem. 6.1.2], Dď0 est stable par toutes les petites colimites, de telle sorte qu’il résultede (5.3.3.2) que le foncteur des τ -coinvariants est t-exact à droite. Il suffit donc de vérifier la moitiédes inégalités (3.2.3.1) et (3.2.3.2) et le lemme suit.

On va se ramener maintenant à un énoncé fibre à fibre. Tout d’abord, on rappelle que l’on a uneflèche lisse :

ψw,r : tw,r Ñ rCw,rLGsred

de telle sorte que d’après [6, Prop. 6.3.3], ψ!w,r est t-exact. Il suffit donc de vérifier l’énoncé après

tiré-en-arrière à tw,r.

On a alors le lemme suivant :

Lemme 5.3.5. Soit un schéma affine X, placidement présenté et équidimensionnel, muni de la t-structure de 3.2.3, alors on a K P pDě0pXq si et seulement si pour tout x P X, on a i!xK P pDě0pptq.

Démonstration. On commence par choisir une présentation placide X » limÐÝXα. Il résulte alors de[6, Prop. 6.1.4] que l’on a :

pDě0pXq » colim pDě0pXαq

et que les flèches de transition sont t-exactes. On se ramène ainsi immédiatement au cas où X estun k-schéma de type fini équidimensionnel. Comme DpXq “ IndpDcq, il résulte de [6, Lem. 6.1.2],que l’on peut supposer K P DcpXq. Dans ce cas, la t-structure est juste le décalage par la dimensionde X de la t-structure perverse standard et c’est bien connu [3, 2.2.12.(ii)].

Ainsi, en vertu de 5.3.5 et comme ψw,r est t-exact, il suffit donc de montrer l’inégalité suivante :

@x P tw,r, i!xSτ P pDě´νw,r pptq, (5.3.5.1)

où ix désigne la composée x Ñ tw,r Ñ rC‚LGs.35

5.3.6. Dévissage des ĂW -coinvariants. Dans la suite, tous les produits tensoriels sont dérivés. Soitun corps algébriquement clos K et iγ : SpecpKq Ñ Cw,r, le changement de base propre donne alors :

i!γSτ – pRΓpXγ , ωXγq b

Qℓτq b

QℓrĂW sQℓ.

On a une décomposition en produit semi-direct ĂW “ X˚pT q ¸W . On obtient ainsi l’identité :

coinvĂW “ coinvW ˝ coinvX˚pT q .

Il nous suffit donc de vérifier (5.3.5.1) pour les coinvariants sous X˚pT q. Par hypothèse, τ|X˚pT q estune somme directe de caractères de torsion, on se ramène donc au cas où τ|X˚pT q “ κ : X˚pT q Ñ

ZNZ pour un certain N P N. On note Qℓ,κ la représentation de dimension un associée. On va voirqu’il suffit de calculer ces coinvariants lorsque l’on se restreint à QℓrX˚pT qsW .

Comme G est simplement connexe, d’après [7, Thm.6.1.2], QℓrX˚pT qs est un QℓrX˚pT qsW -modulelibre de type fini et on a un isomorphisme canonique W -équivariant de QℓrX˚pT qsW -modules :

QℓrX˚pT qs – QℓrX˚pT qsW bQℓQℓrW s.

On obtient ainsi que RΓpXγ , ωXγqb

QℓQℓ,κ est un facteur direct de pRΓpXγ , ωXγ

qbQℓQℓ,κqb

QℓrX˚pT qsW

QℓrX˚pT qs – pRΓpXγ , ωXγq b

QℓQℓ,κq b

QℓQℓrW s. En particulier, il nous suffit donc de vérifier que :

pRΓpXγ , ωXγq bQℓ

Qℓ,κq bQℓrX˚pT qsW Qℓ P pDě´νw,r pptq. (5.3.6.2)

Notons Bγ “ RΓpXγ , ωXγq, D’après 5.1.7, la restriction de l’action de X˚pT q à QℓrX˚pT qsW sur

Bγ se factorise par (5.1.6.1), on obtient ainsi que :

pBγbQℓQℓ,κqb

QℓrX˚pT qsW Qℓ – pBγbQℓrπ0pPaqsQℓrπ0pPaqsb

QℓQℓ,κqb

QℓrX˚pT qsW Qℓrπ0pPaqsbQℓrπ0pPaqsQℓ.

On a alors le lemme clé suivant :

Proposition 5.3.7. Soit un caractère κ : X˚pT q Ñ ZNZ pour N P N˚. Considérons la DG-algèbreKospPaq “

ÀΛipQℓrπ0pPaqsqris avec des différentielles nulles, alors

Qℓrπ0pPaqs bQℓQℓ,κ bQℓrX˚pT qsWQℓrπ0pPaqs – Qℓ,κ bQℓ

KospPaq,

si κ|QℓrX˚pT qsW se factorise par π0pPaq et 0 sinon.

Démonstration. Posons A “ QℓrX˚pT qs, A0 “ QℓrX˚pT qsW et B “ Qℓrπ0pPaqs. On suppose que larestriction de κ à QℓrX˚pT qsW ne se factorise pas par Qℓrπ0pPaqs. Tout d’abord, en choisissant unrelèvement σ1

γ de σγ tel que (5.1.8.1), il est équivalent de dire que κ ne se factorise par aucun deces relèvements. Fixons un tel relèvement et notons K “ Kerpσ1

γq » Zl pour un certain l et on sesert de σ1 pour voir B comme un A-module. La suite exacte :

1 Ñ K Ñ X˚pT qσ1γ

Ñ π0pPaq Ñ 1

fournit un isomorphisme canonique de complexes :

Qℓ,κ bQℓrX˚pT qsQℓrπ0pPaqs – Qℓ,κ bQℓrKsQℓ.

Par hypothèse κ se restreint à K en un caractère non-trivial. L’énoncé se déduit alors du lemmesuivant :

36

Lemme 5.3.8. Soit κ : Zl Ñ ZNZ un caractère non-trivial, alors le complexe des coinvariantsQℓ,κ bQℓrZlsQℓ est nul.

Démonstration. En effet, on voit Qℓ,κ comme le produit tensoriel extérieur de la représentationtriviale sur Zl´1 avec la représentation κ de Z, de telle sorte que d’après Künneth, on a :

RΓpZl,Qℓ,κq – RΓpZl´1,Qℓq bQℓRΓpZ,Qℓ,κq.

Il suffit donc de voir que RΓpZ,Qℓ,κq est nul. On utilise alors le fait que le complexe

0 Ñ QℓrZst´1Ñ QℓrZs Ñ 0

est une résolution du module trivial Qℓ, où t est le générateur de QℓrZs. Ainsi, on en déduit que :

H0pZ,Qℓ,κq “ pQℓ,κqZ, H1pZ,Qℓ,κq “ pQℓ,κqZ,

et les deux termes sont nuls comme κ est non-trivial.

Si maintenant κ se factorise par π0pPaq, alors comme Qℓ,κ » Qℓ,κ bQℓrπ0pPaqsQℓrπ0pPaqs, il suffitde calculer B bA0 B. On considère l’immersion fermée ι : Ωa “ SpecpBq Ă T W “ SpecpA0q quiest une immersion fermée entre schémas lisses, comme G est simplement connexe, de codimensioncpγq d’après [31, Prop.3.9.2]. En particulier, c’est une immersion régulière et le complexe de KoszulKospιq fournit une résolution libre de B comme A-module d’après [23, Tag. 062F] de telle sorte que

B bLA0 B – Kospιq bA0 B –

cpγqài“0

ΛiBcpγqris

avec des différentielles nulles, ce qui conclut.

On peut maintenant terminer la preuve de 5.3.1 :

Démonstration. Il résulte de 5.3.7 que pour établir (5.3.6.2), on peut supposer que κ se factorisepar π0pPaq. D’après Kazhdan-Lusztig [31, 3.4], il existe alors un sous-groube libre de rang maximalΛγ Ă π0pPaq qui agit librement sur Xγ de telle sorte que Yγ “ XγΛγ est un espace algébriquepropre et comme κ est de torsion, on dispose d’un système local de rang Lκ sur Yγ . On en déduitainsi que :

pBγ bQℓ

Qℓ,κq bQℓrΛγ s Qℓ – RΓpYγ ,Lκq

et comme Λγ est de rang maximal, pBγ bQℓQℓ,κq bQℓrπ0pPaqs Qℓ est donc un facteur direct de

RΓpYγ ,Lκq. En combinant avec 5.3.7, on obtient donc que

pBγ bQℓQℓ,κq bQℓrX˚pT qsW Qℓ P Dě´p2δpγq`cpγqq (5.3.8.1)

et νw,r ě 2δpγq ` cpγq avec une inégalité stricte si dpw, rq ě 1, ce qui conclut.

Remarque 5.3.9. Il résulte de la dernière égalité que les strates qui peuvent donc intervenir commesupports sont les Cw,r telles que dpw, rq “ 0 et il n’est pas clair que l’ensemble de ces strates formeun ouvert.

37

5.4. Morphismes de spécialisation. Le but de cette section est de construire des morphismes despécialisation pour l’homologie des fibres de Springer affines. Cela permet en particulier de pouvoirrelier l’homologie des fibres pour des éléments elliptiques et des éléments déployés.

Soit un k-schéma de type fini X et η, x P X et η, x des points géométriques au-dessus de η et x, unespécialisation η ù x de codimension r, est un X-morphisme η Ñ Xpxq dont l’adhérence de l’imagede y est de dimension r. Pour tout point géométrique x de X d’image x, on note dpxq “ dim txu.Pour tout faisceau K P DpXq et un point géométrique x de X , notons RΓxK “ Γpx, i!xKq “DpKq_

x r2dpxqspdpxqq P VectQℓ

, où ici VectQℓ

désigne la 8-catégorie des complexes de Qℓ-espacesvectoriels et D est le dual de Verdier sur X .

Proposition 5.4.1. Soit un k-schéma de type fini X et une spécialisation de codimension r η ù x,soit K P DpXq, alors on a un morphisme de spécialisation :

sp : RΓηK Ñ RΓxKprqr2rs. (5.4.1.1)

Démonstration. Les foncteurs étant continus, on se ramène au cas où K P DcpXq. Dans ce cas pourtout L P DcpXq, on a un morphisme de spécialisation au niveau des fibres :

Lx Ñ Lη

et on prend L “ DpKq le dual de Verdier de K, soit :

DpKqx Ñ DpKqη

et on prend le dual de cette flèche pour obtenir :

RΓηKr´2dpηqsp´dpηqq – pDpKqηq_ Ñ pi˚x DpKqq_.

d’où comme dpηq “ r ` dpxq, une flèche :

sp : RΓηK Ñ RΓxKprqr2rs.

Le morphisme (5.4.1.1) est fonctoriel par rapport à tout morphisme étale f : X 1 Ñ X de telle sorteque pour tout groupe discret Γ, en prenant f : X ˆ Γ Ñ X , on obtient que pour tout K P DΓpXq,le morphisme (5.4.1.1) est Γ-équivariant.

On obtient alors l’énoncé suivant, on le formule dans le cas de la droite affine, mais il vaut pourtout k-schéma de type fini.

Proposition 5.4.2. Considérons un morphisme φ : A1 Ñ C alors pour tout morphisme de spécia-

lisation η ù x de A1, on a des flèches canoniques ĂW -équivariantes :

sp : RΓpXγη , ωXγηq Ñ RΓpXγs , ωXγs

qr2s. (5.4.2.1)

Démonstration. En effet, on forme le carré cartésien :

Xλ

fλ

rφ// rC

f

A1φ

// C

.

38

Ainsi, par changement de base propre 3.1.5, on obtient :

φ!S “ rφ!f!ωrC – fλ,! rφ!ωrC – fλ,!ωXλ

et on applique alors 5.4.1 à K “ fλ,!ωXλet à nouveau 3.1.5 pour obtenir une flèche ĂW -équivariante :

sp : RΓpXγη , ωXγηq Ñ RΓpXγs , ωXγs

qr2s.

Exemple 5.4.3. En utilisant l’action de ĂW , on peut obtenir des restrictions sur l’image de cetteapplication. Soit G “ PGL2, on considère une famille indexée par le paramètre λ :

aλ :“ X2 ´ pλt2n ` t2n`1q P cpkrλsrrtssq.

Si λ ‰ 0, alors l’élément est déployé et π0pPaλq “ Z et pour λ “ 0, on a π0pPa0q “ t1u. On a alorsune flèche ĂW - équivariante :

RΓpXγη , ωXγηq Ñ RΓpXγs , ωXγs

qr2s

et en utilisant 5.1.7, elle se factorise donc par les coinvariants :

RΓpXγη , ωXγηqZ Ñ RΓpXγs , ωXγs

qr2s.

Remarque 5.4.4. On s’attend à ce que le morphisme (5.4.2.1) soit également P-équivariant, ce quirevient à considérer des faisceaux sur le champ quotient rA1Ps. Malheureusement la constructionde 5.4.1 nécessite d’utiliser la dualité de Verdier, qui n’est pas disponible sur ce champ quotient.

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