Artigo Publicado: Kaleff, A . M.; Nascimento; R. S ...· Geometria Euclidiana, para aceitação de

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  • Artigo Publicado: Kaleff, A . M.; Nascimento; R. S. - Atividades Introdutrias s Geometrias No-Euclidianas: o exemplo da Geometria do Txi. Boletim Gepem, Rio de Janeiro, n 44, dezembro 2004, 11-42.

    Atividades Introdutrias s Geometrias No-Euclidianas: o exemplo da Geometria do Txi

    Ana Maria Kaleff - Departamento de Geometria- Universidade Federal Fluminense (UFF)- Rogrio Santos do Nascimento - Licenciado em Matemtica; Bolsista Monitor - UFF

    ggmleg@vm.uff.br

    Resumo

    Neste artigo apresentam-se atividades apoiadas nos Parmetros Curriculares Nacionais e no Modelo de van Hiele para o desenvolvimento do pensamento geomtrico. Desenvolveram-se atividades que buscam levar o aluno, desde os primeiros ciclos do Ensino Fundamental, a construir conceitos que o possibilitaro a se orientar no espao e a transpor algumas dificuldades que tm surgido em situaes de aprendizagem introdutrias ao ensino das Geometrias no-Euclidianas. Apresentam-se atividades de um tipo especial de Geometria: do Txi ou Pombalina. Criam-se situaes pedaggicas que permitem apresentar a negao de um axioma euclidiano, as quais envolvem jogos, tabelas, maquetes, mapas e esquemas grficos.

    Palavras-chave: Atividades introdutrias; Geometrias no-Euclidianas; Geometria do Txi; Materiais Concretos.

    Justificativa e Fundamentao Terica

    Este artigo visa a apresentar algumas atividades pedaggicas elaboradas na UFF, no mbito de projetos de extenso desenvolvidos no Laboratrio de Ensino de Geometria-(LEG) e no Espao-UFF de Cincias. No entanto, para que se possam entender as relaes entre o contexto escolar e os conhecimentos geomtricos relatados a seguir, necessrio que, inicialmente, se considere o papel e a importncia, neste incio de sculo, das Geometrias no-Euclidianas na Geometria Escolar.

    Tradicionalmente, os conhecimentos geomtricos se restringiam aos saberes - relaes lgicas e construes de traados constitutivos de desenhos - advindos da geometria estabelecida na Grcia h cerca de 2700 anos e conhecida hoje como Geometria Euclidiana. Estes conhecimentos evoluram, tanto em decorrncia do surgimento de diversas concepes geomtricas inovadoras, alternativas Euclidiana: as Geometrias no-Euclidianas, quanto como conseqncia de reconsideraes conceituais surgidas ao longo do sculo XX, decorrentes dos novos conhecimentos advindos do desenvolvimento terico da Matemtica e da cincia da computao.

    Nas duas ltimas dcadas, nos meios educacionais tm sido criadas oportunidades para a incluso de contedos advindos das diversas Geometrias, Euclidiana e no-Euclidianas, aos conhecimentos geomtricos escolares considerados como adequados formao de alunos para o sculo XXI. Estes contedos tm sido objeto de discusso entre os membros de vrias associaes de profissionais da Matemtica: matemticos, professores, e educadores matemticos, de vrios pases (Mammana e Villani, 1998). Os resultados e as conseqncias destas interaes tm sido apresentados em documentos emitidos por grupos internacionais de pesquisa sobre currculos para a Geometria Escolar, bem como em documentos governamentais norteadores da prtica educacional do professor de Matemtica. interessante que se observe como no Brasil, o documento referente ao Ensino Fundamental, os PCN-Matemtica - 5 a 8 series (MEC, 1998), apresenta a Matemtica a ser ensinada aos jovens adolescentes:

  • [...] fruto da criao e inveno humanas, a Matemtica no evolui de forma linear e

    logicamente organizada. Desenvolve-se com movimentos de idas e vindas, com rupturas

    de paradigmas. Freqentemente um conhecimento amplamente utilizado na cincia ou

    na tecnologia antes de ser incorporado a um dos sistemas lgicos formais do corpo da

    Matemtica. Exemplos desse fato podem ser encontrados no surgimento dos nmeros

    negativos, irracionais e imaginrios. Uma instncia importante de mudana de

    paradigma ocorreu quando se superou a viso de uma nica geometria do real, a

    Geometria Euclidiana, para aceitao de uma pluralidade de modelos geomtricos,

    logicamente consistentes, que podem modelar a realidade do espao fsico (p. 24).

    Frente a estas novas perspectivas educacionais, no mbito de vrios projetos realizados na

    UFF e destinados melhoria do ensino e da aprendizagem da Geometria Escolar, buscaram-se desenvolver aes e materiais pedaggicos de forma a permitir a emergncia de um acervo de instrumentos facilmente manipulveis e de baixo custo, os quais objetivam dar nfase ao desenvolvimento de habilidades introdutrias aprendizagem de conceitos euclidianos e no-euclidianos.

    Os procedimentos realizados nesta direo tm por fundamentao terico-metodolgica um trip formado, por um lado pelos Parmetros Curriculares Nacionais (MEC, 1998) e pelo Modelo de van Hiele do desenvolvimento do pensamento geomtrico (Kaleff et al, 1994). Segundo este modelo, a visualizao, a anlise e a organizao informal das propriedades geomtricas relativas a um conceito geomtrico euclidiano so passos preparatrios para o entendimento da formalizao do conceito e estes precedem o nvel formal que possibilita a introduo aos conhecimentos geomtricos no-euclidianos.

    Por outro lado, completando o trip do embasamento terico das atividades aqui consideradas, os procedimentos metodolgicos adotados tm sido influenciados pelas pesquisas desenvolvidas por Kaleff (2004) sobre as representaes matemticas presentes em situaes-problema introdutrias s Geometrias no-Euclidianas. Foi constatado que, at mesmo no mbito da formao de professores de Matemtica, apresenta-se uma ampla gama de procedimentos cognitivos, os quais podem vir a problematizar a implementao de novos conhecimentos geomtricos na escola. Foi observada a existncia de um extenso rol de provveis obstculos cognitivos, relacionados a representaes semiticas, principalmente quelas expressadas na forma de expresses euclidianas, tanto apresentadas na linguagem natural (por meio do emprego de expresses homnimas s euclidianas) como em desenhos, grficos e diagramas (com caractersticas euclidianas), os quais se apresentam intervenientes em processos de resoluo de problemas. Desta forma, a utilizao de denominaes e de representaes grficas, habitualmente empregadas para desenhar e nomear figuras euclidianas, aparentemente influencia negativamente a construo dos novos conhecimentos. Observou-se tambm que, apresentam-se tais influncias e suas respectivas dificuldades, no caso do entendimento de um pequeno conjunto de regras, relacionadas a jogos e, at mesmo, em situaes envolvendo problemas do cotidiano e alheios a qualquer meno Geometria Euclidiana.

    Cumpre enfatizar que, nos dois ltimos anos letivos, no mbito dos referidos projetos, se buscou estabelecer relaes interdisciplinares relativamente a diversos tipos especiais de Geometrias no-Euclidianas, as quais tm se apresentado em livros didticos destinados aos ensinos fundamental e mdio. No que se segue, apresentam-se atividades relacionadas a uma adaptao de uma particular mtrica, pertencente a uma famlia de espaos mtricos criados pelo matemtico Hermann Minkowski (1864-1909) e designada por Taxicab Geometry (Krause, 1975). Em lngua portuguesa, tal mtrica tem sido designada, por Geometria do Motorista do Txi, ou Pombalina, ou ainda, do Txi (Veloso, 1998; Jorge et al, 1999; Bigode, 2002). Cumpre ainda salientar que, os dois primeiros nomes so habitualmente empregados nas publicaes destinadas s escolas portuguesas, as quais levam em conta razes histricas e voltadas para a ambientao regional dos materiais didticos a um bairro de Lisboa. Este, cujo traado remonta administrao do Marques de Pombal, da a origem do nome desta particular Geometria, apresenta um conjunto de ruas dispostas na forma de uma malha quadriculada. A Geometria do Txi no mbito da Escola

  • So vrios os motivos que levam os educadores matemticos a proporem o ensino da

    Geometria do Txi nas escolas. Inicialmente, importante mencionar que, conforme ressaltado nos PCN, o ensino da Matemtica deve estar voltado formao do cidado, o qual, sabidamente, utiliza cada vez mais os conceitos matemticos em sua rotina. Nesta direo, a Geometria do Txi pode ser apresentada, com a inteno de se integrar a Matemtica ao cotidiano do aluno, pois esta se apresenta em todos os lugares, no podendo, portanto, deixar de ser encontrada no espao das ruas. Desta forma, confrontado com esta nova Geometria, o aluno pode ser levado a perceber que existem outras Geometrias alm da Euclidiana, possibilitando que tenha despertada a sua curiosidade para novos ambientes matemticos.

    A relao com o cotidiano que possibilita levar esta particular caracterizao geomtrica a integrar a Geometria Escolar, seria o fato de ser mais usada na geografia urbana do que a prpria Geometria Euclidiana. Este fato decorre por se considerar a distncia euclidiana entre dois pontos como sendo o comprimento do segmento de reta que os une, sendo, portanto, obtida com o auxilio do Teorema de Pitgoras. Enquanto que, na Geometria do Txi, se calcula a distncia entre dois pontos, por meio do clculo da soma de dois valores numricos absolutos, isto , medindo-se o comprimento do menor caminho percorrido - em trechos horizontais e verticais, considerados segundo um determinado referencial - respeitados os limites fsicos das construes, estabelecidos por meio de ruas, paralelas ou perpendiculares entre si.

    Por outro lado, embora esta particular Geometria difira conceitualmente da Geometria Euclidiana, apenas pela definio de distncia, este pequeno detalhe do ponto de vista da Matemtica, no entanto, apresenta uma grande diferena, quando observado da perspectiva da Educao Matemtica. No mbito do ensino e da aprendizagem, as diversidades passveis de observao, relativamente s formas de se registrar em desenhos os pontos que se apresentam nas figuras geomtricas no novo contexto geomtrico, podem ser ressaltadas e levadas a ser discutidas,