Artigo Eliel Poggi Analise Numerica-Pibiti

5/26/2018 Artigo Eliel Poggi Analise Numerica-Pibiti

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ANLISE NUMRICA: ALGUMAS APLICAES NA ENGENHARIAELTRICA

Eliel Poggi dos Santos (IFPB): [email protected]

Rayann Pablo de Alencar Azevedo (IFPB): [email protected]

Paulo Henrique da Fonseca Silva (IFPB): [email protected]

RESUMO

Este trabalho englobou algumas aplicaes da Anlise Numrica na rea da Engenharia

Eltrica, que foi trabalhada em pesquisa no IFPB. Nela foi adotada uma metodologia que

consistiu na utilizao de modelos matemticos, mtodos numricos e anlise de erros, com oobjetivo de realizar o desenvolvimento de algoritmos para simulao de problemas

eletromagnticos com auxlio do software MATLAB. Os mtodos numricos utilizados foram

os de onda completa para o desenvolvimento deste trabalho (Mtodo das Diferenas Finitas

no Domnio do Tempo e o Mtodo dos Momentos). O FDTD usado em problemas de

Eletrodinmica envolvendo solues das equaes de Maxwell na forma diferencial, j o

MoM, foi utilizado para solucionar equaes integrais. Atravs das aplicaes didticas

destes mtodos a problemas eletromagnticos simples procurou-se obter, por exemplo,

distribuies de potenciais, de campos eletromagnticos e de carga; alm de visualizar, por

meio de simulao computacional, os fenmenos de propagao das ondas eletromagnticas

em diversos meios materiais, tais como, difrao e espalhamento.

Palavras-chave: Anlise Numrica. Engenharia Eltrica. Mtodos de Onda Completa.Implementao Computacional.

1 INTRODUOA Anlise Numrica o campo da Matemtica que se dedica ao estudo de algoritmos usados

para a soluo de diferentes tipos de problemas de matemtica contnua (GERALD; GREEN;

WHEATLEY, 2003). Onde o seu objetivo especfico projetar e analisar tcnicas a fim de

fornecer solues aproximadas, porm precisas, para problemas cujas solues analticas so

difceis ou impossveis de se determinar (CHAPRA, 2004).

O campo da Anlise Numrica antecede a inveno dos computadores em muitos sculos. Por

exemplo, o mtodo de interpolao linear foi utilizado h mais de 2000 anos. Muitos

matemticos do passado buscaram desenvolver mtodos numricos, como bvio a partir do

nome de algoritmos importantes como o mtodo de Newton, a interpolao de Lagrange, o

mtodo de Euler, o mtodo da eliminao de Gauss. (BARROSO, et al. (1987).

Antes do advento dos computadores, os clculos eram feitos manualmente pelos matemticos

eram auxiliados por livros extensos com frmulas e tabelas de dados contendo pontos de

interpolao, valores e coeficientes de funes. A calculadora mecnica tambm foi

desenvolvida como uma ferramenta para a computao manual. Onde essas evoluram para os

computadores digitais modernos.

Atualmente, h problemas complexos que s so resolvidos atravs de Anlise Numrica, taiscomo: a previso do tempo, o controle da trajetria de uma nave espacial, as estimativas de


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preos de estoques e derivativos por fundos de investimentos privados, o clculo estrutural, o

clculo de redes eltricas, certas solues para as equaes de Maxwell, entre outros.

Portanto, a Anlise Numrica de fundamental importncia para a engenharia, j que

apresenta aplicaes em todos os campos da engenharia e das cincias exatas (HOFFMAN,

1992; ZAROWSKI, 2004; MATHEWS, 2004).

1. FUNDAMENTAO TERICA2.1FDTDFinite-Difference Time-Domain MethodA resoluo de equaes diferenciais parciais pode ser de alta complexidade. Devido a isso,

normalmente recorremos a recursos computacionais e numricos, e um desses recursos o

Mtodo das Diferenas Finitas no Domnio do Tempo. A questo original do mtodo em

questo foi descrito pela clula de Yee, nomeada desta forma devido ao seu idealizador Kane

Yee, apresentada na Figura 1.

Figura 1 Esquema da clula de Yee.

Fonte: Sullivan (2000)

Percebe-se que na clula, foram assumidos os campos eltricos e magnticos intercalados ao

redor da mesma, com origem na posio (i, j, k).

Ento, como esperado, para a aplicao do mtodo FDTD, comeamos com as seguintesequaes de Maxwell normalizadas:

[Eq. 01]() () [Eq. 02] [Eq. 03]

Onde as equaes vetoriais anteriores resultam em seis equaes escalares, que depois de

serem discretizadas, tornam-se as seguintes expresses:


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Dx(i,j,k)=Dx(i,j,k)+0.5*(Hz(i,j,k)-Hz(i,j-1,k)-Hy(i,j,k)+Hy(i,j,k-1); [Eq. 04]

Dy(i,j,k)=Dy(i,j,k)+0.5*(Hx(i,j,k)-Hx(i,j,k-1)-Hz(i,j,k)+Hz(i-1,j,k); [Eq. 05]

Dz(i,j,k)=Dz(i,j,k)+0.5*(Hy(i,j,k)-Hy(i-1,j,k)-Hx(i,j,k)+Hx(i-1,j,k); [Eq. 06]

Hx(i,j,k)=Hx(i,j,k)+0.5*(ey(i,j,k+1)-ey(i,j,k)-ez(i,j+1,k)+ez(i,j,k); [Eq. 07]

Hy(i,j,k)=Hy(i,j,k)+0.5*(ez(i+1,j,k)-ez(i,j,k)-ex(i,j,k+1)+ex(i,j,k); [Eq. 08]

Hz(i,j,k)=Hz(i,j,k)+0.5*(ex(i,j+1,k)-ex(i,j,k)-ey(i+1,j,k)+ey(i,j,k); [Eq. 09]

2.2PMLA onda eletromagntica propaga-se infinitamente num espao homogneo sem haver

reflexo. No entanto, para representar uma situao deste tipo seria necessrio um ambiente

de simulao infinito, o que no possvel devido aos recursos computacionais serem

limitados. Desta forma, foi pensada por Berenger uma camada perfeitamente absorvedora.

A PML (Perfectly Matched Layer) trata-se de uma das mais flexveis e eficientes condies

de contorno em que consiste numa camada que apresenta uma impedncia caracterstica igual

a da extremidade da rea til simulada e que apresenta perdas, o suficiente, para absorver toda

a onda eletromagntica, impedindo assim que ela colida com a extremidade do ambiente de

simulao, reflita e interfira no padro eletromagntico da rea til. (SULLIVAN, 2000)

Como a impedncia intrnseca est em funo da permissividade eltrica e da permeabilidade

magntica, pode-se concluir que, para dois meios com a permissividade eltrica de um quatro

vezes maior que a do outro, tais meios apresentam permeabilidades magnticas diferentes. E

partindo desse princpio, que foi formulada a teoria da PML, cuja deduo no a este artigo.

(SULLIVAN, 2000)

2.3Mtodo dos MomentosJ o Mtodo dos Momentos, por sua vez, trata-se de um mtodo numrico que serve para

resolver equaes integrais e tem a vantagem de ser conceitualmente simples, que se

apresenta na forma (SADIKU, 2004):

() () [Eq. 10]Para g(x) conhecido e f(x) desconhecido.

Ento, sabendo que

() () () () [Eq.11]

Pode-se concluir que

() () [Eq.12]Como h N valores de f, h a necessidade de N equaes. No entanto, elas podem ser

facilmente resolvidas atravs de operao de matrizes. Assim, considerando uma matriz G

com os valores de g(x), a matriz F com os valores de f(x) e a matriz A com os valores dos

coeficientes das equaes. So obtidos os valores de f(x) a partir de (SADIKU, 2004):


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[] - [] [Eq. 13]

2. RESULTADOSDentre todos os resultados obtidos durante a pesquisa, foram escolhidos alguns para serapresentado neste trabalho. Eles so: uma onda eletromagntica se propagando do vcuo para

um plasma no magnetizado; uma onda colidindo com um cilindro dieltrico; clculo da

distribuio de carga; clculo da capacitncia; obteno de solues numricas para funes

diferenciais.

Para o primeiro problema, foi utilizada a transformada Z no mtodo do FDTD para a

formulao do problema, de relativa complexidade, de anlise da permissividade do plasma.

Aps a simulao, foi detectado que quando a frequncia relativamente baixa o plasma no

permite a passagem da onda eletromagntica. No entanto, quando se trata de uma frequncia

relativamente alta, o plasma permite a passagem da onda.

Como pode ser visto na Figura 2, foram realizadas simulaes de uma onda eletromagnticase propagando no espao livre e chocando-se com o plasma. Foram capturados os passos de

nmero T=[550, 950, 1200], para cada passo com intervalo dt=1.6667e-017s.

Figura 2 - Simulao de uma onda propagando no espao livre e chocando com o meio de plasma nosTempo T=550, 950 e 1200. O lado esquerdo propagando com uma frequncia de 200 THz e o lado

direito com frequncia de 6000 THz

J o outro exemplo consiste na simulao de uma onda plana que se colide com um cilindro

dieltrico, cuja permissividade eltrica relativa igual a 30. Nela foi aplicada a formulao

2D do FDTD e o conceito de PML, o que permitiu a simulao para um ambiente infinito e

formulao de campo espalhado (TFSFTotal Field Scattered Field).

Como pode ser visto na Figura 3, a onda eletromagntica inicialmente no espao livre, colide

com o dieltrico. Gerando dessa forma, difrao e espalhamento do campo. O uso da camada

perfeitamente absorvedora evita que a soluo seja influenciada por reflexes nas

extremidades da malha FDTD. Atravs de tal simulao, foi visualizado o comportamento


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eletromagntico para a propagao de uma onda plana na forma de um pulso Gaussiano ao

atingir um cilindro dieltrico.

Figura 3- Simulao de uma onda plana (campo total e campo dispersado)chocando-se com um cilindrodieltrico.

Tambm foram realizadas algumas simulaes utilizando o Mtodo dos Momentos. A

primeira dessas consistiu em calcular a distribuio de carga em uma linha de carga e a carga

total em um fio de um metro com 1V conforme mostrado na Figura 4. A sua formulao

partiu da equao de Poisson, descrita a seguir:

[Eq. 14]

Logo aps, foi gerado a Tabela 1 que apresenta a carga total em funo do nmero de

divises. Outra consistiu em obter a soluo numrica de f(x) a partir dos mtodos MoM e de

Galerkin sabendo que g(x)=2(3x-1), onde na mesma o resultado numrico foi igual ao exato,

f(x)=x(1-x) para um valor de N=2, como pode ser visto na Figura 5. A resposta exata

Semelhante simulao anterior, mas com g(x)=4(1-3x2 ), foi obtida uma resposta exata para

o intervalo de 0


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Figura 4Desnsidade de Carga

Tabela 1 Carga Total

N Q(pC)20 8,579350 8,6119

100 8,6263200 8,6372


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Figura 5 Obteno de f(x) utilizando os mtodos de Galerkin e dos momentos para g(x)=2(3x-1), parafN=x(1-x

N).

Figura 6 Obteno de f(x) utilizando os mtodos de Galerkin e dos momentos para g(x)=2(3x-1), parafN=x(1-x

N).


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Figura 7 - Obteno de f(x) utilizando os mtodos de Galerkin e dos momentos para g(x)=4(1-3x), parafN=x(1-x

N).

Tabela 2 - Clculo de capacitncia utilizando o MoM.

N

Cvcuo(pF)

Cmica(pF)

25 134,33 725,37100 117,55 634,76400 116,25 627,73900 116,02 626,531600 115,93 626,04Exato 88,541 478,1214

3 CONSIDERAES FINAISOs mtodos numricos se tornaram uma grande ferramenta de auxlio tanto para a engenharia

como para outras reas da cincia. No decorrer da pesquisa, atravs do desenvolvimento de

simulaes computacionais, foi possvel contribuir para o aprendizado com relao s

simulaes computacionais eletromagnticas, utilizando tanto o Mtodo das Diferenas

Finitas no Domnio do Tempo na resoluo de equaes diferenciais quanto o Mtodo do

Momentos para resolver equaes integrais.


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A implementao do Mtodo das Diferenas Finitas no Domnio do Tempo e do Mtodo dos

Momentos foram possibilitados com auxlio do software MATLAB, onde conseguiu

visualizar os resultados com uma boa preciso.

4 AGRADECIMENTOSAgradecemos o apoio e o financiamento do CNPq a esta pesquisa.

REFERNCIAS

GERALD, C. F., GREEN, C. J., WHEATLEY, P. O. Applied numerical analysis. 7.ed. Massachusetts:Addison Wesley, 2003. 624 p.

CHAPRA, S. C. Applied numerical methods with matlab for engineering and scientists . 2ed. New York:McGraw-Hill, 2004. 550 p.

BARROSO, L. C., et al. Clculo numrico (com aplicaes).2. ed.So Paulo: Harbra, 1987. 367p.

HOFFMAN, J. D. Numerical methods for engineers and scientists. 2. ed. New York: McGraw-Hill, 1992. 840p.

ZAROWSKI, C. J. An introduction to numerical analysis for electrical and computer engineers. 1. ed. NewJersey: Willey, 2004. 608 p.

MATHEWS, J. H., FINK, K. D. Numerical methods using matlab. 4. ed. New Jersey: Prentice Hall, 2004. 696p.

SULLIVAN, D. M. Electromagnetic Simulation Using the FDTD Method. 1 ed. IEEE Press Series onElectromagnetic Wave Theory, 2000.

SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 3 ed. Porto Alegre: Bookman, 2004.

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