Embed Size (px)
Citation preview
1
______________________________________________________________________
UNIDAD DIDÁCTICA VIRTUAL DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, APLICANDO
EL MODELO DE VAN HIELE PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
GEOMÉTRICO.
VIRTUAL TEACHING UNIT OF TRIGONOMETRIC FUNCTIONS, APPLYING THE VAN
HIELE MODEL FOR THE DEVELOPMENT OF GEOMETRIC THINKING.
Carlos Julián Peña Medina, Juan Camilo Vargas González.
Ivonne Amparo Londoño Agudelo, María Cristina Acosta Rojas.
Universidad de los Llanos, Facultad de Ciencias Humanas y de la Educación,
Licenciatura en Matemáticas y Física, GIDIMAT, PREU, Sede Barcelona Kilometro 14
Vía Puerto López, Villavicencio, Colombia.
Email: [email protected] , [email protected] ,
[email protected] , [email protected]
________________________________________________________________________
RESUMEN
En este artículo, se presentan resultados de la validación de una Unidad Didáctica de
funciones trigonométricas, diseñada con el fin de dinamizar el desarrollo del pensamiento
geométrico en estudiantes de grado décimo de la Institución Educativa Colegio Francisco
Arango. La investigación se realizó el I y II semestre de 2013, en el marco del grupo de
estudio en Didáctica de la Matemática (GIDIMAT) del programa de Licenciatura en
Matemáticas y Física, del convenio 628 del 2012 firmado entre el Ministerio de Educación
Nacional y la Universidad de los Llanos a través del Programa de Retención Estudiantil
(PREU). Entre los referentes teóricos se encuentran, las funciones trigonométricas, Objeto
Virtual de Aprendizaje (OVA) y el modelo de Van Hiele1, con sus niveles: Visualización,
Análisis; clasificación; Deducción Formal y Rigor. Se evidenció en el transcurso de este
estudio, que los educandos se sintieron identificados con los materiales con los cuales se
trabajaron, puesto que eran recursos tecnológicos, demostrando agrado y empatía al
desarrollar el tema de la historia de la trigonometría, las aplicaciones y demás actividades
diseñadas. Conceptualmente, los jóvenes mostraron interés en cuanto a la revisión de
conceptos previos, y posteriormente con las funciones trigonométricas trabajadas.
1 Modelo de van Hiele 1957
2
ABSTRACT
In this article, we present results of the validation of a teaching unit of trigonometric
functions, designed to stimulate the development of geometric thought in tenth grade
students of Francisco Arango School. The research was conducted the first and second
half of 2013 as part of the study group in Teaching Mathematics (GIDIMAT) Degree
Programme in Mathematics and Physics, 628, 2012 agreement signed between the
Ministry of Education and the Universidad de los Llanos through Student Retention
Program (PREU). Among the theoretical framework are, trigonometric functions, Virtual
Learning Object (OVA) and the Van Hiele model, with its levels: Visualization, Analysis,
classification, Formal Deduction and Rigor. It was proved in the course of this study that
students felt identified with the materials with which they worked, since they were
technological resources, showing appreciation and empathy to develop the theme of the
history of trigonometry, applications and other activities designed. Conceptually, the youth
showed interest in the revision of previous concepts, and later worked with the
trigonometric functions.
PALABRAS CLAVE: Unidad Didáctica, Niveles de Van Hiele, Funciones Trigonométricas,
Investigación, Objeto Virtual de Aprendizaje.
INTRODUCCIÓN
Una de las problemáticas de la enseñanza de la trigonometría es el abuso de las
fórmulas, la manipulación de símbolos, operaciones y propiedades abstractas que no
ayuda a la comprensión de los conceptos y propiedades, ni a establecer relaciones entre
las diferentes representaciones; es decir para la enseñanza de las funciones
trigonométricas se privilegia por parte de los profesores un enfoque algebraico (Van Hiele:
1957).
La enseñanza y el aprendizaje de la trigonometría es un campo poco explorado por los
investigadores en didáctica de las matemáticas. Markel (1982), Goldin (1983), Fi (2003) y
Brown (2006) plantean que la trigonometría en el plano coordenado es un tema difícil para
los estudiantes y que es muy poco lo que se ha hecho para investigar los motivos de
dichas dificultades.
Son varias las causas; una de estas, radica en que la trigonometría es un tema
complicado e interconectado. Lleva a que los estudiantes tengan que estar cambiando las
definiciones dadas para las razones y funciones trigonométricas de acuerdo al enfoque y
contexto planteado. Por ejemplo, al cambiar del estudio de las razones trigonométricas en
el triángulo rectángulo al plano cartesiano, se cambia de una definición geométrica a una
definición analítica.
La investigación se realiza por la necesidad de recuperar el estudio de la geometría en las
instituciones educativas, mostrando las habilidades que esta disciplina desarrolla, como
3
son la habilidad visual que hace referencia a la capacidad de obtener información a partir
de lo que el estudiante observa, ya sean objetos reales o representaciones de éstos; la
habilidad verbal, que hace referencia a la capacidad para emplear apropiadamente el
lenguaje de la geometría; la habilidad para dibujar, que hace referencia a la capacidad
para interpretar las ideas y representarlas a través de dibujos o esquemas; la habilidad
lógica, que hace referencia a la capacidad para armar argumentos, que siguen las reglas
de la lógica formal y para reconocer cuándo un argumento es válido o no lo es y la
habilidad para modelar, hace referencia a la capacidad de describir y explicar fenómenos
de la vida real por medio de modelos (Hoffer, 1999).
Desde este punto de vista, al estudiante se le debe formar a través de experiencias
geométricas cotidianas en equilibrio con la geometría formal, dinamizando de esta manera
el desarrollo de habilidades de pensamiento superiores. Así mismo se debe propiciar en
los futuros docentes de matemáticas que diseñen y promuevan contextos, que permitan a
los estudiantes adquirir habilidades y conocimientos propios de la geometría.
Este estudio busca mostrar los avances de acuerdo al modelo de Van Hiele de una
muestra de estudiantes de grado décimo de la Institución Educativa Colegio Francisco
Arango, los cuales de una manera desinteresada ingresaron y se involucraron en el marco
del proyecto realizando las respectivas tareas planteadas a lo largo de la ejecución.
REVISIÓN DE LITERATURA.
Las teorías utilizadas en el desarrollo de la investigación fueron los niveles de Van Hiele,
Niss (1998): “Según el nivel escolar se privilegiara una u otra dimensión de la geometría”;
Bishop (1983) “La geometría es la matemática del espacio”; Hoffer (1981) clasifica las
habilidades que una buena enseñanza de la geometría debería ayudar a desarrollar en
cinco áreas: visuales, verbales, de dibujo, lógicas y de aplicación, Objeto Virtual de
Aprendizaje, Unidad Didáctica y Funciones Trigonométricas.
Van Hiele proponen cinco niveles de conocimiento en Geometría:
En Corberán y otros (1994) y Jaime y Gutierrez (1996)2 se presenta una descripción
resumida de las principales características generales de los 5 niveles de razonamiento.
Nivel 1. (Reconocimiento o visualización): los estudiantes perciben las figuras como un
todo global, en su conjunto, atribuyendo en sus descripciones atributos irrelevantes,
generalmente sobre la forma, tamaño o posición de las figuras o sus elementos
destacados. Se reconocen por sus formas visibles y no se reconocen las partes y
2 Corberán, R.M.; Gutiérrez, A.; Huerta, M.; Jaime, A.; Margarit, J.B. Peñas, A. y Ruiz, E. (1994). Diseño y evaluación de una propuesta
curricular de aprendizaje de la Geometría en Enseñanza secundaria basada en el modelo de razonamiento de Modelo Van Hiele. MEC
Jaime, A. y Gutiérrez, Á. (1996). El grupo de las isometrías del plano. Síntesis. Madrid. Signatura S 51 EDU.
4
componentes de las figuras no se explicitan las propiedades determinantes de las
figuras.
Nivel 2. (Análisis): los estudiantes pueden analizar las partes o elementos y propiedades
particulares de las figuras. Las propiedades de las figuras se establecen
experimentalmente mediante una serie de actividades como la observación, medición,
corte o doblaje. Ninguna propiedad implica cualquier otra porque cada una se percibe de
manera aislada y sin relacionar. Estas propiedades emergentes se utilizan para
conceptualizar clases de figuras.
Nivel 3. (De clasificación o de Deducción informal u orden):En este nivel se puede usar
cierto razonamiento lógico informal para deducir propiedades de las figuras.
Nivel 4. (Deducción): los estudiantes pueden desarrollar secuencias de proposiciones
para deducir una propiedad de otra, es decir, realizar razonamientos lógicos formales.
Las demostraciones tienen sentido y se siente su necesidad como único medio para
verificar la verdad de una afirmación. "Una persona en este nivel puede construir, y no
sólo memorizar las demostraciones, se ve la posibilidad de desarrollar una demostración
de varias formas" (Crowley, 1987).
Así, por ejemplo, se puede demostrar que el postulado de las paralelas implica que la
suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º. Sin embargo, no se reconoce la
necesidad del rigor en los razonamientos.
Nivel 5. (Rigor): Este nivel tiene que ver con el aspecto formal de la deducción. Los
individuos están capacitados para analizar el grado de rigor de varios sistemas
deductivos. Pueden apreciar la consistencia, la independencia y la completitud de los
axiomas de los fundamentos de la geometría propuestos por Hilbert. Este último nivel,
por su alto grado de abstracción debe ser considerado en una categoría aparte.
Objetos Virtuales de Aprendizaje
Una OVA es un material digital de aprendizaje, que se fundamenta en el uso de recursos
tecnológicos. Se estructura de una manera significativa. Sirve para adquirir un
conocimiento específico. Permite desarrollar competencias particulares. Está asociado a
un propósito educativo y formativo. Puede ser consultado en la Internet. Tiene sentido en
función de las necesidades del estudiante. “Un objeto de aprendizaje Virtual es cualquier
entidad digital que puede ser usada, re-usada o referenciada para el aprendizaje
soportado en tecnología”.
5
Los OVA se utilizan como: Recursos didácticos incluidos en los cursos on-line.
Componentes para la producción intensiva de cursos en entornos digitales. Recursos para
la flexibilización curricular. Redes de objetos para gestión de conocimiento. Medios de
colección e intercambio. Recursos para uso del estudiante. Herramientas didácticas
complementarias al modelo presencial.
Los OVA se fundamentan en: La forma como consiguen conectar los procesos educativos
con las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC). Que se les considera
como herramienta esencial para potenciar los procesos de educación (a tal punto que la
UNESCO se ha comprometido en su análisis y desarrollo bajo el esquema de formatos de
acceso abierto). La posibilidad de intervenir en su desarrollo, ya que su concepto y
entorno está en constante evolución y construcción.
Las principales características de un OVA son: Reusabilidad. Un Objeto Virtual de
Aprendizaje podría ser reutilizado numerosas veces en diferentes temáticas. Actualización
fácil y permanente. Este tipo de objetos pueden ser modificados en cualquier momento
para dar vigencia a los contenidos dependiendo de las necesidades. Costos de desarrollo.
Debido a que un OVA o sus mismos componentes pueden servir en distintos contextos de
aprendizaje. Reducción de tiempos. El trabajo y los tiempos de desarrollo e
implementación de una materia se reducen. Adaptabilidad. Un OVA puede ser llevado a
cualquier tipo de plataforma o entorno tecnológico educativo (proyecto a largo plazo).
Heredabilidad. A partir de dos OVAS, se puede obtener un nuevo objeto de aprendizaje,
esto evita que los profesores vuelvan a crear recursos que ya existen.
Unidades didácticas
La esencia de la alternativa está basada en el empleo de los organizadores del currículo y
su influencia en los diferentes componentes didácticos que hace el Dr. Luis Rico (1997,
1998), de España, al que se le realizan adecuaciones a nuestra concepción pedagógica
de una manera dialéctica, de forma tal que respondan al contexto actual y a las
exigencias planteadas por las transformaciones que se están aplicando en la Educación
Secundaria.
Se desarrolla siguiendo un modelo que refleja la lógica y dinámica que debe seguir el
docente para enfrentar el diseño de unidades didácticas.
Objetivos formativos
Los objetivos formativos constituyen una integración entre lo instructivo y lo educativo y
ofrecen orientación al docente respecto a qué es lo que quiere conseguirse, qué deberá
lograrse con los alumnos en cuanto al nivel de conocimientos y exigencias
desarrolladoras y educativas. Deben contemplar los mecanismos de reformulación que
permitan adaptarlos a las múltiples circunstancias concretas de cada grupo.
La propuesta hace referencia a que en el momento de concebir los objetivos de la unidad
la atención de los docentes debe dirigirse a; prioridades en el dominio conceptual,
procedimental y actitudinal de cada unidad didáctica; conocimientos de los sistemas de
6
representación y dominio de las tareas de conversión en los diferentes sistemas. Niveles
convenientes de dominio en cada caso (niveles de profundidad); habilidades en la
ejecución de procedimientos, con especial énfasis en las tareas de modelación;
familiaridad con los contextos y situaciones (político-ideológicas, económico-laborales,
científico-ambientales) en las que los conceptos, procedimientos y actitudes tienen un uso
y aplicación convenidos; comprensión de los principales significados de cada campo
conceptual; control de los errores usuales y superación de las dificultades conceptuales
de cada tópico; prioridades en los medios tecnológicos, en la selección de recursos
específicos y en el dominio de tales medios y recursos; fomento de actitudes positivas
respecto a la Matemática tales como: satisfacción por la tarea bien hecha, por la
construcción coherente de argumentos, la resolución de problemas, búsqueda de la
verdad y apreciación de la belleza en las realizaciones matemáticas.
Historia de la Trigonometría3
El origen de la palabra trigonometría proviene del griego "trígonos" (triángulo) y
"metros"(metría). Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los
primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar
medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con
el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los
cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y
los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y
astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era
utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se
separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del
siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También
descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a
esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados del siglo XVII
Newton encontró la serie para el y series similares para el y la . Con la
invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde
todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en
las aplicadas. Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que
las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números
complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con
exponenciales de números complejos.
3 http://trigonometriasonia.blogspot.com/2008/10/historia-de-la-trigonometra.html.
7
Funciones Trigonométricas
Las Funciones Trigonométricas tienen como base fundamental el estudio de las razones
trigonométricas.
Función.
En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la
primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de
un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del
radio, A = π·r2.
Razones Trigonométricas.
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados
de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Existen seis funciones trigonométricas
básicas. Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de
un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de
este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivos será: la hipotenusa (h) es el lado
opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo; el cateto
opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar; el cateto adyacente
(b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la
suma de sus ángulos internos es igual a pi radianes (o 180°). En consecuencia, en
cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes.
Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones
trigonométricas para ángulos de este rango.
El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del
cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del
triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el
mismo ángulo α, en cuyo caso se trata de triángulos
semejantes.
2) El coseno de un ángulo la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud
de la hipotenusa:
8
3) La tangente de un es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
Función Trigonométrica
En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin
de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y
complejos.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía,
náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas
aplicaciones4
METODOLOGÍA.
La presente investigación, se inscribe en el campo de la didáctica de las matemáticas; con
un enfoque descriptivo; Se empleó la metodología de Investigación acción. Los
instrumentos para la recolección de la información fueron: observación directa, el diario
de campo para recoger la información de lo observado, cuestionarios, grabaciones en
audio y video. La muestra está conformada por 15 estudiantes de décimo grado de la
Institución Educativa Francisco Arango. Para el análisis no se tiene en cuenta la edad, ni
el sexo.
La investigación se realizó teniendo en cuenta la siguiente secuencia:
Fase de revisión teórica
Se estudiaron detalladamente los lineamientos curriculares, propuestos por el MEN, y se
seleccionó el nivel y algunos aspectos históricos así como su incidencia en la enseñanza-
aprendizaje de la geometría en Educación media; además de que se profundizó en los
contenidos objeto de investigación.
Fase de diseño
Inicialmente se diseñaron actividades de una unidad didáctica para identificar el dominio
de los conceptos previos; a continuación se diseñaron las actividades con base en las
teorías estudiadas, los contenidos de geometría y el modelo de Van Hiele; posteriormente
se incorporaron las actividades a la plataforma Moodle de la Universidad de los Llanos
(Virtual 2 Unillanos).
Fase de validación y análisis
4 http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica
9
Inicialmente, se procedió con la matrícula de los estudiantes de décimo en la plataforma;
Seguidamente se validaron las actividades diseñadas registrando en el diario de campo
las diferentes acciones, actitudes y reacciones de los estudiantes; Finalmente se
evaluaron las actividades diseñadas con el propósito de saber, si estas cumplieron con los
objetivos planteados.
PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Para el desarrollo de esta investigación fue necesario establecer una secuencia en los
contenidos matemáticos, con el fin de tener en cuenta el modelo de Van Hiele en el
diseño de las actividades, favoreciendo de esta manera la enseñanza y aprendizaje de las
Funciones Trigonométricas, a través de la visualización, el análisis y la clasificación.
Se inició con un registro de parte de todos los estudiantes en la plataforma moodle de la
Universidad de los Llanos, para el acceso a las actividades propuestas.
Evidencia N°1 Listado de algunos los estudiantes inscritos en el curso virtual.
El curso se realizó de forma virtual, planteando inicialmente una serie de preguntas para
recopilar información que aportara al estudio de las Funciones Trigonométricas. Entre
ellas se encuentran: ¿Han escuchado hablar sobre la Trigonometría? ¿Han escuchado
hablar sobre las Funciones Trigonométricas? ¿Han escuchado hablar de las Razones
Trigonométricas? ¿Consideras importantes estos conceptos para tu futuro? Las
respuestas reflejan la apatía, el disgusto, y la falta de interés por el estudio de la
trigonometría en particular y la matemática en general.
10
La siguiente actividad hacer referencia a una lectura de antecedentes históricos de las
Funciones Trigonométricas, utilizada como eje fundamental e inicial para su estudio. A
continuación se presenta una evidencia de los aportes hechos por los estudiantes a partir
de la actividad presentada (evidencia 2), quien muestra los campos de aplicación de la
Trigonometría.
Otros describen los aspectos fundamentales y que más les llamó las atención acerca de
la lectura; algunos enfatizando en la historia de los egipcios, árabes y griegos
manifestando su asombro a la hora de revisar los aportes hechos por estos. Otros
revisaron la historia de la edad media y contemporánea así como algunos se interesaron
en las aplicaciones generales de la Trigonometría. Complemento de esta actividad, los
jóvenes hicieron el reconocimiento del video interactivo de Eratóstenes sobre la medición
del radio de la tierra.
Evidencia 2, antecedentes históricos de las Funciones Trigonométricas.
11
La siguiente actividad responde a la identificación de conceptos previos los cuales
consisten en el desarrollo de las guías de “Circunferencia y Círculo” y “Razones
Trigonométricas”.
Los estudiantes inician trabajando la lectura y el desarrollo de la primera guía, algunos
jóvenes presentaron dificultades para entender el concepto de sistema radial, pero
después de las experiencias hechas y de evidenciar aplicaciones de estas, el 100%
aclaran dicho concepto y lo relacionan bastante con el número (pi).
A continuación los jóvenes inician el trabajo de razones trigonométricas (segunda guía),
en donde identifican rápidamente que van a trabajar con algo relacionado con el triángulo.
Se formula la pregunta abierta de qué es un triángulo, y muchos jóvenes concuerdan en
decir que es una figura geométrica que tiene tres lados y la suma de sus ángulos internos
es de 180°, partiendo de este concepto y relacionándolo con el sistema radial, se facilita
un poco el trabajo con los jóvenes acerca de las razones trigonométricas.
Teniendo en cuenta los conceptos previos se procedió con la realización de las
actividades descritas para el estudio de cada una de las Funciones Trigonométricas,
iniciando con una breve exposición sobre la relación existente entre la circunferencia y las
Funciones y sus aplicaciones en la vida cotidiana, todo esto basado en los niveles de Van
Hiele.
Durante el desarrollo del trabajo investigativo, y al tener una base fundamental con
respecto a la motivación de los estudiantes, es de resaltar que muchos de ellos
aprendieron de manera clara y concisa el concepto de funciones trigonométricas en
especial, al ser desarrolladas en materiales lúdicos; algunos manifiestan que “así es más
fácil aprender la Trigonometría”5 y se puede evidenciar en las siguientes imágenes:
Imagen N° 1, Joven trabajando en la gráfica del seno.
5 Fontecha Brayan (estudiante grado décimo)
12
Evidencia N°3, resultado de la actividad realizada por algunos jóvenes. (Función Seno)
Evidencia N° 4, resultado de la Función Coseno.
13
Evidencia N° 5, resultado de la Función Tangente.
En las anteriores evidencias es de notar el desarrollo de los jóvenes a la hora de diseñar y
ejecutar las actividades propuestas, siendo estas desarrolladas con bastante agrado y
animo por parte de los jóvenes.
El 73,33% comprendieron la relación existente entre el ángulo del círculo y su ejecución a
la hora de realizar las gráficas; además de que se nota que el mismo porcentaje aprendió
la forma de transformar de un sistema de radianes (o sistema circular) a grados
sexagesimales; mientras que el 26,66% presentó dificultades a la hora de establecer este
tipo de relación.
Se resalta, que en las Evidencias N° 3,4 y 5, el 100 % de los estudiantes logró apropiar el
nivel de visualización y de análisis (siguiendo la teoría de Van Hiele). Porque lograron en
primer lugar, hacer la visualización correspondiente aunque sin distinguir características y
propiedades aspecto que en la siguiente se logra.
En tanto que en la evidencia 3 y 5 el 66,66% logró el nivel de clasificación debido a que
identificaron las características de cada una de las funciones mientras que el 33,33% no
lo alcanzó.
14
El 86% de los estudiantes llegó al cuarto nivel el cual corresponde a la deducción y
demostración, ellos lograron realizar el proceso concreto ejecutando el paso a paso de la
construcción de la gráfica del coseno, para esto establecieron las relaciones pertinentes
entre los arcos de la circunferencia y el material propuesto midiendo la longitud del arco y
con esa medida, la pasaban al plano cartesiano, realizando la deducción que de allí partía
la Función Coseno esto se aplica para la evidencia N° 4;
Por ultimo realizaron las construcciones geométricas de las Funciones Trigonométricas
elaboradas con papel milimetrado, compás, transportador e hilo, para terminar aplicado en
el programa Geogebra. Esta construcción se realizó de manera individual y totalmente
virtual, ya que se presentaban videos explicativos sobre las características y funciones
principales del programa y una descripción escrita de los pasos a tener en cuenta para
llegar a esta construcción.
De acuerdo con los resultados obtenidos en el desarrollo y aplicación de las distintas
actividades, se evidencia el siguiente impacto (ver tabla 1).
TABLA 1. IMPACTO DE LA UNIDAD DIDÁCTICA
Nombre de
actividad
Aspectos positivos Aspectos
negativos
Observaciones
(qué se debe
mejorar)
Historia de la
Trigonometría
Los estudiantes revisan
la presentación en la
plataforma y de manera
amena desarrollan el
taller, reconociendo las
aplicaciones de la
trigonometría en
situaciones cotidianas.
Dificultad a la
hora del ingreso
a la plataforma
Buscar una
mejor recepción
de internet.
Mejorar el
acceso a la
plataforma de la
universidad.
Revisión de
guía “definición
y campos de
aplicación de la
trigonometría
Los jóvenes muestran
gran interés a la hora del
desarrollo de las
actividades observando
la importancia que tiene
la trigonometría en la
vida diaria y en otras
ciencias.
Algunas
dificultades
conceptuales en
el documento.
Como el término
Cartografía,
Pictografía entre
otros.
Aclaración de
dichos
conceptos con
futuro a
mejoras.
Observación
del video
interactivo
“como midió el
radio de la
tierra
Los estudiantes apropian
más los conceptos de
manera interactiva.
(radio, diámetro,
perímetro y
circunferencia)
La conexión a
internet, ya que
el video se
encontraba allí.
Mejorar
conexiones y
redes
inalámbricas.
15
Eratóstenes
Desarrollo de la
guía
“circunferencia
y circulo”
Los jóvenes realizaron la
lectura de la guía
proporcionada con gran
interés ya que pueden
observar los campos de
aplicación de cada
concepto. (En la
topografía y arquitectura)
Algunos jóvenes
no se sintieron
100% motivados
para desarrollar
la guía y se
quedaron un
poco atrasados.
Al tener
distracciones y
desatención.
El compromiso
por los
estudiantes para
las actividades
desarrolladas en
casa.
Desarrollo de la
guía “Razones
trigonométricas”
Los jóvenes desarrollan
con gran entusiasmo
esta guía, ya que tienen
la oportunidad de seguir
trabajando con la
herramienta de las TIC’s
y ven los campos de
aplicación de las razones
trigonométricas.
Algunos
estudiantes que
no han podido
ingresar a la
plataforma, se
desvían del tema
ingresando a las
redes sociales.
Procurar que los
estudiantes
manejen los
tiempos con
serenidad y
calma.
Construcción
de la función
Seno por medio
de materiales
como: papel
milimetrado,
pita,
circunferencia y
transportador
Los jóvenes se motivan
ya que están trabajando
de manera lúdica y
diferente, mediante
materiales que no habían
trabajado en su clase de
trigonometría.
Unos jóvenes se
confunden a la
hora del manejo
de los
implementos.
Seguir
indicaciones
adecuadamente.
Construcción
de la función
Coseno por
medio de papel
milimetrado,
pita,
circunferencia y
transportador
Al ya haber trabajado con
la función seno, a los
estudiantes se les facilita
realizar la gráfica de la
función Coseno. Ya que
por medio de la
visualización y el análisis
realizan un complemento
en la actividad.
Algunos jóvenes
se atrasan por
estar
desconcentrados.
Acaparar la
atención de
todos los
jóvenes.
(motivándolos a
través de la
música)
Construcción
de la función
Tangente por
medio de papel
milimetrado,
pita,
Los estudiantes observan
que la gráfica de esta
función es diferente y se
animan al escuchar
algunas aplicaciones de
esta función, como lo son
Al no conocer
muy bien el
concepto de
función tangente,
los chicos
manifestaron que
Seguir
desarrollando el
trabajo de la
manera que se
está haciendo,
para lograr
16
circunferencia y
transportador.
las animaciones
musicales.
les sería muy útil
para sus trabajos
en trigonometría
generar hábitos
de estudio en el
joven.
Revisión del
programa
Geogebra.
Los jóvenes relacionan
muy bien los conceptos
establecidos de
funciones trigonométricas
al programa Geogebra,
ya que los pudieron
desarrollar en la
construcción de las
funciones de manera
manual
A algunos
estudiantes no
les cargo el
programa de
software libre
Geogebra ya que
el equipo no
tenía tanta
capacidad
Buscar otros
equipos para el
desarrollo del
software.
CONCLUSIONES.
Los estudiantes apropiaron los conceptos de manera clara y concisa,
relacionándolos con situaciones de la vida cotidiana.
Se observó que los estudiantes trabajaron con agrado a pesar de que algunos
equipos no funcionaron continuando con el desarrollo de las actividades,
desarrollando de manera clara y adquiriendo los conceptos de forma concreta.
Los jóvenes trabajaron de manera agradable, ya que se motivaron al darse cuenta
que iban a tener materiales didácticos para el desarrollo de las actividades; al
inicio con un poco de inquietudes, pero recordando los conceptos previos vistos;
se apropiaron de las actividades.
Se cambia el paradigma de enseñanza en la educación media: “educación a
tablero y marcadores” utilizando como mediación la educación basada en la OVA.
Se dinamiza el pensamiento geométrico de los estudiantes llevándolo a un nivel
más avanzado, el cual le permite desenvolverse en otros campos.
Con una mejor capacidad de espacios y materiales (en especial a los equipos y
redes inalámbricas), se hubiese desarrollado una investigación con mayor claridad
y agrado.
La visualización y análisis (primer y segundo nivel de Van Hiele) se lograron en las
tres Funciones Trigonométricas estudiadas, en tanto que se llegó al nivel de
ordenación en la Gráfica del Coseno.
17
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
Páez, Elsa Edilma. Caracterización de las condiciones Académicas de ingreso, de
los estudiantes admitidos por primera vez en la Universidad de los Llanos (PREU)
Febrero de 2012.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (MEN). (2006). Estándares Básicos de
Matemáticas. Colombia: M.E.N.
Departamento de Didáctica de la Matemática (ed. Octubre de 2004) Didáctica de
la Matemática para maestros. Facultad de Ciencias de la Educación Universidad
de Granada.
BARRANTES M;(1998). La geometría y la formación del profesorado en primaria y
secundaria. Universidad Extremadura.
MINISTERIO DE EDUCACION NACIONAL (MEN, 1998). Lineamientos
curriculares en Matemáticas. Bogotá.
Rico, Luis (1998) Complejidad del currículo de Matemáticas como herramienta
profesional pp. 22-39. En revista latinoamericana de Investigación en Matemática
Educativa. Vol N° 1 México.
BOYER, CARL B. (1986) Historia de la matemática. 1ª edición, Madrid, Alianza
Editorial, S.A.
COLLETTE, J.P. (1985). Historia de las Matemáticas. 1ª edición, Madrid, Siglo XXI
de España Editores, S.A.
REY PASTOR, J., BABINI, J. (1984). Historia de la Matemática. 1ª edición,
Barcelona, Genisa, S.A.
VAN HIELE, P. M. (1957). El problema de la comprensión (en conexión con la
comprensión de los escolares en el aprendizaje de la geometría). (Tesis doctoral).
Universidad de Utrecht, Utrecht (Traducción al español para el proyecto de
investigación Gutiérrez y otros, 1991).
