Upload
construct-societate
View
34
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
c
Citation preview
CALCULUL STRUCTURILOR ASAMBLATE PRIN LEGTURI ELASTICE
STABILITATEA BARELOR NTINSESTABILITY OF STRETCHED BEAMS Valeriu BANUT
Rezumat: n ansamblul structurilor formate din bare unele elemente sunt comprimate iar altele sunt intinse. n calculul de stabilitate prin bifurcarea tipului de echilibru (Teoria Euler) se consider, n mod obinuit, numai aportul barelor puternic comprimate. n aceast lucrare se determin expresiile funciilor de corecie ale eforturilor M i T pentru barele ntinse, utilizate n calculul de stabilitate prin metoda deplasrilor. n final se analizeaz dou structuri i se comenteaz rezultatele.Cuvinte cheie: structuri, bare, comprimate, ntinse, eforturi, stabilitateAbstract: In all structures consist of bars some elements are compressed and others are stretched.In the analysis of stability by bifurcation type of equilibrium (Euler theory) are considered, usually,only compressed bars. In this paper we determine the expressions of efforts correction functions M and T for stretched bars used in the calculation of stability by the displcements metho. Finally, two structures are analysed and the results are commented .Keywords: structures, bars, compressed, stretched, effort, stability1. Introducere Calculul de stabilitate al structurilor formate din bare, efectuat prin metoda deplasrilor, fie n form clasic, fie n formulare matricial, utilizeaz teoria lui Euler i consider numai aportul barelor comprimate. Efectul efortului axial de compresiune asupra momentului ncovoietor i forei tietoare produse de deplasrile nodurilor -rotire sau translaie- se introduce n calcul prin funciile de corecie, n expresia crora intervine parametrul de ncrcare la compresiune, parametru care are expresia . Valorile acestor funcii sunt date n tabele n toate lucrrile de specialitate [1], [2]. n cele ce urmeaz, se vor determina funciile de corecie pentru eforturile M i T n cazul barelor ntinse, pentru care parametrul de ncrcare la ntindere este .2. Bare ntinse n sistemul de baz al metodei deplasrilor Vor fi analizate barele dublu ncastrate sau ncastrate i articulate, ncarcate cu deplasrile nodurilor rotiri i translaii- i cu for axiala de ntindere.2.1 Bara articulata ncastrata, ncarcata cu translatie de nod. Fie bara din figura 1, ncrcat cu fora axial de ntindere P i cu translaia de nod , n poziia iniial i n poziia deformat.
Ecuaia fibrei medii deformate este:
(1) Momentul incovoietor in sectiunea curenta fiind
ecuaia diferenial (1) capat forma:
(2)si are soluia general
Soluia particular este iar soluia ecuaiei omogene este:
Din condiia de verificare a ecuaiei difereniale (2) rezult: iar
Soluia general devine:
(3) Cu:
Condiiile pentru determinarea constantelor i sunt:
-pentru i
(4) -
- pentru i
unde
Expresia deplasrii seciunii curente devine:
(5)din care pentru rezult
Momentul ncovoietor n seciunea curent este :
(6)
iar la captul ncastrat, pentru , capat forma:
(7)
undereprezint funcia de corecie pentru momentul ncovoietor, n cazul barei ntinse
si are expresia:
(8) Fora tietoare :
(9)unde:
(10)
2.2 Bara articulat- ncastrat, ncrcat cu rotire de nod
Fie bara din figura 2, ncrcat cu rotirea de nod i fora axiala de ntindere P, n poziia iniial i n poziia deformat.
Momentul ncovoietor n seciunea curent este:
Ecuaia diferenial capt forma:
(11) Soluia ecuaiei difereniale este:
(12)
iar rotirea are forma:
(13)
Constantele i se determin din condiiile:
-pentru i
-pentru i
Cu aceste expresii ale constantelor, deplasarea seciunii devine:
(14) Din condiia pentru rezult expresia forei tietoare:
(15)unde:
(16)
Momentul ncovoietor din ncastrare este:
(17) 2.3 Bara dublu ncastrat ncrcat cu translaie de nod
Fie bara dublu ncastrat din figura 3, ncrcat cu fora axial de ntindere P i cu translaia de nod, n poziia iniial i n poziia deformat.
Momentul ncovoietor n seciunea curent fiind:
ecuaia diferenial capt forma:
Soluia ecuaiei difereniale este:
(18) Constantele se determin din condiiile:
-pentru si
-pentru si
si rezult:
; ; i (20)
Deoarece , prin unele transformri rezulta:
(21)unde:
(22)
Din condiia de echilibru, i cunoscnd c (pentru acest caz de ncrcare) rezult:
(23)sau:
(24)unde:
(25) 2.4 Bara dublu ncastrat ncrcat cu rotire de nod
Fie bara dublu ncastrat ncrcat cu fora axial de ntindere P i cu rotire de nod, din figura 3, n poziia iniial i n poziia deformat.
Momentul ncovoietor n seciunea curent fiind:
ecuaia diferenial capt forma:
(26)
Soluia ecuaiei difereniale este:
(27) iar rotirea are forma:
(28) Constantele se determin din condiiile:
-pentru i
-pentru i
si rezult:
; ; i (29) Cu aceste expresii se obin, prin cteva transformri, momentele ncovoietoare de la capetele barei:
(30)unde:
(31) Din condiia de echilibru rezult:
sau:
(32)
unde:
(33) Observaie: Din analiza expresiilor funciilor de corecie rezult:
(34)
n tabelul 1 sunt prezentate, n paralel, expresiile funciilor de corecie pentru barele ntinse i pentru barele comprimate. Tabelul 1Bare comprimateBare ntinse
n anexa 1 sunt prezentate matricele de rigiditate ale barelor ntinse, utilizate n metoda deplasrilor. 3. Ecuaia de stabilitate. n teoria Euler pentru stabilitatea structurilor se consider c forele axiale cresc funcie de un parametru unic, astfel nct la o anumit valoare critic, structura se afla la limita echilibrului stabil. Aceast situaie corespunde condiiei c rigiditatea structurii s fie egal cu zero. Teoretic aceasta se exprim prin condiia , fiind matricea de rigiditate tangent a structurii. Considernd expresia matricei de rigiditate tangent se poate exprima condiia de mai sus, astfel:
(35)unde:
reprezint matricea de rigiditate elastic (din calculul de ordinul I)
reprezint matricea de rigiditate geometric tangent, care conine efectul neliniaritii geometrice
Expresia (35) reprezint forma problemei de valori i vectori proprii.
Pentru a aduce la aceeai form ecuaia de stabilitate obinut prin metoda deplasrilor, n care sunt utilizate funciile de corecie, pentru eforturile M i T este necesar s se determine matricea . La nivelul fiecrui element matricea se obine astfel:
-n cazul n care se consider n calculul de stabilitate forele de compresiune
(36)unde:
este matricea obinut prin corectarea elementelor matricei cu funcii de corecie [3] -n cazul n care se consider n calculul de stabilitate forele de ntindere, atunci pentru aceste bare matricea are forma:
(37) n continuare matricile de rigiditate sunt introduse n matricea de rigiditate tangenta a structurii, dup care se rezolv problema de valori i vectori proprii.
4. Exemple numerice. Pentru rezolvarea problemei de stabilitate, n cazul considerrii efectului barelor ntinse, a fost realizat programul STABILITATE 2. 4.1 Cadru metalic Pentru cadrul metalic din figura 5, a eforturile axiale sunt prezentate n figura 5,b.
Elementele cadrului au urmtoarele caracteristici:
-stlpii-
-riglele-
Multiplicatorul critic al forelor axiale este urmtorul:
a) pentru cazul n care se consider numai barele comprimate,
b) pentru cazul n care se consider att barele comprimate ct i cele ntinse,
Comparnd rezultatele obinute se constat c n cazul considerrii barelor ntinse, fora critic scade. Efectul ntinderii este mai important pe masur ce numarul barelor ntinse este mai mare. 4.2 Grinda cu zbrele
Se consider grinda cu zbrele metalic din figura 6. Calculul de stabilitate va fi efectuat pentru urmtoarele situaii:a) grinda cu zbrele cu noduri articulate
b) grinda cu zbrele cu noduri rigide
n ambele variante se vor considera:c) numai barele comprimated) att barele comprimate ct i cele ntinse
Caracteristicile barelor sunt:
-pentru tlpi-
-pentru diagonale i montani-
Eforturile axiale din bare n cele dou variante sunt date n tabelul 2.
Tabelul 2
Bara1-21-32-32-42-53-54-5
NoduriEfort+250,0-353,55+250,0+300,0-70,71-250,0+50,0
articulateBara4-65-65-76-76-87-8-
Efort+300,0-212,13-150,0+150,0+150,0-212,13-
Bara1-21-32-32-42-53-54-5
NoduriEfort+237,38-331,61+220,91+279,60-49,425-242,16+34,144
rigideBara4-65-65-76-76-87-8-
Efort+278,56-171,78-157,60+124,22+147,71-205,70-
Din calcul au rezultat urmtoarele valori pentru parametrul critic de ncrcare axial:
-pentru noduri articulate
numai bare comprimate
bare comprimate i ntinse
-pentru noduri rigide
numai bare comprimate
bare comprimate i ntinse
5. Concluzii Din analiza rezultatelor obinute pe cele dou structuri rezult urmtoarele: -considerarea eforturilor din barele ntinse conduce la scderea parametrului critic de ncrcare axial -scderea acestui parametru este mai important cu ct numrul barelor ntinse din structur este mai mare; aa cum este cazul grinzilor cu zbrele -n cazul grinzilor cu zbrele cu noduri rigide parametrul critic de ncrcare axial este cu mult mai mare dect n cazul grinzilor cu zabrele cu noduri articulate, n ambele situaii de analiz. ANEXA 1Matricile de rigiditate ale barelor ntinse n metoda deplasrilor, utiliznd funciile de corecie
1. Bara dublu ncastrat (A.1)2. Bara ncastrat-articulat (A.2)3. Bara articulat-ncastrat (A.3) Bibliografie[1] Bnu V., Calculul neliniar al structurilor, Bucuresti, Editura Tehnic, 1981[2] Bnu V., Teodorescu, M.E., Calculul geometric neliniar al structurilor de rezisten, Bucureti, Editura Conspress, 2010
[3] Bnu, V., Teodorescu, M.E., - Stability plane structures analysis program by correction functions., Int. Symposium Computational Civil Engineering 2008, Iai, Romnia, May 30, 2008
[4] Scarlat, A., Stabilitatea i calculul de ordinul II al structurilor. Editura Didactic i Pedagogic, 1969
[4] Timoshenko, P.S., Gere, M.J., Teoria stabilitii elastice. Editura Tehnic, 1967
EMBED Equation.3 prof.univ.dr.ing., Universitatea Tehnic de Construcii Bucureti (Professor, PhD, Eng. Technical University of Civil Engineering), Facultatea de Hidrotehnic (Hydrotechnical Faculty), email: HYPERLINK "mailto:[email protected]" [email protected]
_1427186431.unknown
_1427190626.unknown
_1427192988.unknown
_1427269857.unknown
_1427270755.unknown
_1427273383.unknown
_1427474550.unknown
_1427474778.unknown
_1427475820.unknown
_1427476808.unknown
_1427477759.unknown
_1427474795.unknown
_1427474683.unknown
_1427474715.unknown
_1427474567.unknown
_1427274273.vsdP=100kN
Fig. 6
2m
2m
2m
1,5P
2m
0,5P
2m
1
2
3
4
5
6
7
8
2P
_1427275114.unknown
_1427275154.unknown
_1427273490.unknown
_1427270890.unknown
_1427272868.vsdFig. 5
0,75P
0,75P
0,75P
0,75P
2P
2P
0,475P
0,2375P
P=111,745kN
H=26,539kN
a
b
-87,507kN
+28,957kN
-339,43kN
-174,63kN
442,78kN
216,47kN
_1427270868.unknown
_1427270478.unknown
_1427270631.unknown
_1427270701.unknown
_1427270534.unknown
_1427270135.unknown
_1427270193.unknown
_1427270045.unknown
_1427269137.unknown
_1427269478.unknown
_1427269837.unknown
_1427269267.unknown
_1427268612.unknown
_1427268758.unknown
_1427268932.unknown
_1427268692.unknown
_1427268572.unknown
_1427191892.unknown
_1427192464.unknown
_1427192932.unknown
_1427192707.unknown
_1427192728.unknown
_1427192200.unknown
_1427192337.unknown
_1427191926.unknown
_1427191699.unknown
_1427191864.unknown
_1427191872.unknown
_1427191785.unknown
_1427191262.vsdi
k
l
E,I
Fig. 4
x
y
x
y
M
H
P
P
P
H
ki
ik
M
_1427190738.unknown
_1427190883.unknown
_1427187565.unknown
_1427189897.unknown
_1427190085.unknown
_1427190553.unknown
_1427190277.unknown
_1427190432.unknown
_1427189953.unknown
_1427189562.unknown
_1427189734.unknown
_1427189829.unknown
_1427189865.unknown
_1427189766.unknown
_1427189688.unknown
_1427189468.unknown
_1427189527.unknown
_1427188854.vsdi
k
l
E,I
Fig. 3
x
y
x
y
M
H
P
P
P
ki
ik
M
H
_1427186821.unknown
_1427187130.unknown
_1427187222.unknown
_1427186958.unknown
_1427186636.unknown
_1427186811.unknown
_1427186539.unknown
_1427096305.unknown
_1427096841.unknown
_1427097391.unknown
_1427097815.unknown
_1427098650.vsdi
k
l
E,I
Fig. 2
x
y
x
y
M
H
P
P
P
_1427097610.unknown
_1427097120.unknown
_1427097204.unknown
_1427096895.unknown
_1427096437.unknown
_1427096633.unknown
_1427096747.unknown
_1427096600.unknown
_1427096328.unknown
_1427066668.unknown
_1427067090.unknown
_1427096190.unknown
_1427096209.unknown
_1427096279.unknown
_1427067281.unknown
_1427067188.unknown
_1427066884.unknown
_1427067046.unknown
_1427066781.unknown
_1427066158.vsdi
k
l
E,I
Fig. 1
x
y
x
y
M
T
P
P
P
_1427066507.unknown
_1427066582.unknown
_1427066308.unknown
_1427066400.unknown
_1427062683.unknown
_1427064474.unknown
_1378373298.unknown
_1427062361.unknown
_1359060869.unknown