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ORIENTACIONES DIDCTICAS PARA EL TALLER DE ARTE Y GEOMETRA III: LNEAS (1D), POLGONOS Y OTRAS FIGURAS GEOMTRICAS PLANAS (2D)1. Badillo, Edelmira y Edo, Mequ. 1. Presentacin 2. Planteamiento terico 3. Objetivos generales del taller 4. Contenidos matemticos desarrollados 5. Desarrollo de actividades

5.1.Material para maestros (as) 5.2.Material para alumnos (as)

6. Bibliografa 7. Listado de anexos

1. Presentacin: Desde hace unos aos estamos introduciendo una manera innovadora de ver la geometra en la escuela aprovechando la riqueza y la complejidad que nos proporciona el arte (Badillo y Edo, 2004 a, b). A continuacin les presentamos un entorno de aprendizaje y enseanza para los conceptos de lneas, tipos de lneas y polgonos en el ciclo superior de primaria a partir del estudio de una seleccin de cuadros y esculturas de los autores Paul Klee, Wassily Kandinsky y Alexander Calder, que nos ha permitido trabajar con igualdad de importancia los aspectos artsticos y los matemticos asociados a estas obras de arte. Como ya resaltamos en el taller de arte y geometra I: ngulos (Badillo y Edo, 2004 a, b) y en el taller de arte y geometra II: Tringulos (Badillo y Edo, 2006, 2007 a, b), nuestra propuesta tiene su origen en la lnea de trabajo desarrollada en los ltimos aos por Edo y otros, centradas en el diseo y aplicacin de situaciones didcticas en las que se relacionan arte y matemtica en Educacin Infantil y el Ciclo Inicial de primaria (Edo, 1999, 2000, 2003). Proponemos una metodologa en la que conjuntamente maestros y alumnos se involucran en un proceso de reflexin sobre la funcionalidad de los conceptos geomtricos para interpretar y crear producciones artsticas. Resaltamos al mismo tiempo emociones, sentimientos y valores en el estudio y creacin de una composicin artstica, sin dejar de lado el desarrollo de competencias matemticas como: (1) el papel de la definicin y la demostracin matemtica, (2) la importancia del uso del lenguaje matemtico en el aula, (3) el uso de diferentes representaciones de los conceptos matemticos, etc. Todo esto desde una visin constructivista de la enseanza y el aprendizaje de la matemtica, en la que maestros y alumnos construyen conceptos matemticos, alternando procedimientos intuitivos, geomtricos y algebraicos, que 1 Estos orientaciones didcticas que a continuacin reproducimos estn relacionados con las experiencias Taller de Arte y Geometra en el ciclo superior de Primaria: ngulos y Taller de Arte y Geometra en el ciclo superior de Primaria: Tringulos (1 y 2 part3) de esta obra.

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contribuyen a desarrollar un pensamiento geomtrico en alumnos de primaria, con el propsito de justificar, interpretar y explorar elementos artsticos y espaciales de su entorno inmediato (Badillo y Edo, 2004 a, b; Torres y Juanola, 1998 a, b). Desde este referente en el que se sugiere el diseo de actividades didcticas que integren la geometra y el arte en educacin infantil y primeros cursos iniciales de primaria, hemos propuesto el desarrollo de una unidad didctica en la que se da un tratamiento integrado y coordinado entre la geometra y el arte, como un espacio de reflexin que nos permite trasladar al aula de geometra una visin dual de la matemtica. Es decir que ayude a los nios a integrar y trasladar la visin que tienen de los conocimientos matemticos como un sistema formal abstracto de auto contenido hacia entenderlos como un instrumento que permite la resolucin de problemas prcticos en contextos reales (Onrubia y otros, 1999). Todo lo anterior implica la adopcin de diferentes estrategias de enseanza y de diferentes tipos de evaluacin, en la que la responsabilidad del proceso de regulacin de la construccin del conocimiento sea compartida entre alumnos y maestros. Por tanto, se tendr en consideracin: la auto-evaluacin, la hetero-evaluacin y la co-evaluacin como parte integral de la formacin de los alumnos (Badillo, 2003a). La propuesta didctica que queremos compartir con ustedes se implement en el aula durante el curso acadmico 2007-08 en las clases de 5 y 6 de primaria de la Escuela Salesiana Mare de Du de la Merc de Badalona de dos lneas. El taller de Arte y Geometra que se desarroll durante el primer y segundo trimestre del curso 2007/08 dedicando una hora de clase semanal forma parte del proyecto sobre Geometra y medida que estamos liderando en nuestra escuela en el marco de una de las asignaturas complementarias que ofrecemos. Aprovechamos este espacio para agradecer a los alumnos que formaron parte de esta experiencia por su actitud y compromiso a lo largo del taller y a todas las tutoras y las profesoras de plstica de la escuela que colaboraron durante todo el desarrollo del taller haciendo un seguimiento de las producciones artsticas de los alumnos desde la asignatura de plstica. Creemos conveniente resaltar que la escuela tiene una gran diversidad multicultural y tnica en el alumnado. Aproximadamente, el 10% del alumnado son inmigrantes (mayora chinos, magrebs, Europa del este y sudamericanos), con una gran movilidad y desercin escolar. El nivel socio-econmico de las familias de la escuela es muy bajo y una gran parte de ellas son familias desestructuradas. Igualmente, nos encontramos en las diferentes aulas con casos de nios con necesidades educativas especiales (ACI). Por tanto, hemos de resaltar la diversidad social y cultural como una riqueza aadida al contexto de la experiencia, sin dejar de lado la complejidad en la gestin del aula que esta pluralidad implica y, la validez y viabilidad que dan los resultados de esta innovacin para reproducirlos en las diferentes aulas de nuestro entorno (Badillo y Edo, 2006).

2. Planteamiento terico: Los planteamientos tericos que sustenten este taller se basan en una visin constructivista del aprendizaje y la enseanza en el que la actividad matemtica que se genera en el aula tiene en cuenta diferentes criterios que han sido sealados de forma

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recurrente por la investigacin psicoeducativa reciente en el mbito de la educacin matemtica (Onrubia et al., 2001; Badillo y Edo, 2004a), tales como:

Contextualizar el aprendizaje de las matemticas en actividades autnticas y significativas para los alumnos.

Activar y utilizar, como punto de partida, el conocimiento matemtico previo, formal e informal, de los alumnos.

Orientar el aprendizaje de los alumnos hacia la comprensin y la resolucin de problemas, teniendo en cuenta variedad de sistemas de representacin y traduccin entre sistemas de representacin: grficos, tablas, ecuaciones, descripciones verbales, etc.

Vincular el lenguaje formal matemtico con su significado referencial o su uso en la cotidianidad.

Avanzar de manera progresiva hacia niveles ms altos de abstraccin y generalizacin: construccin del conocimiento mediante un proceso de abstracciones reflexivas que empiecen en acciones; stas se interioricen en procesos; finalmente estos procesos se encapsulan en objetos (Teora APOE, Dubinsky et al., 1997; Badillo, 2003b)

Promover sistemticamente la enseanza en la interaccin y la cooperacin entre alumnos. Por tanto, resaltamos la importancia del trabajo cooperativo.

Ofrecer a los alumnos las oportunidades suficientes de hablar de matemticas en el aula.

Atender los aspectos afectivos y motivacionales implicados en el aprendizaje y dominio de las matemticas. (Onrubia et al., 2001; pp. 498)

Las actividades y contenidos que desarrollaremos a continuacin fueron diseadas a partir de los aspectos anteriormente enunciados: (1) la naturaleza dual de la matemtica (relacin del pensamiento intuitivo geomtrico y el pensamiento formal matemtico), (2) el uso de representaciones, (3) la importancia de la definicin matemtica y la demostracin matemtica y del uso del lenguaje matemtico y, (4) la autorregulacin de los procesos de enseanza y aprendizaje. Igualmente, en relacin con el proceso de descripcin y anlisis de una produccin plstica, realizada por los mismos alumnos o por algn artista reconocido, es bueno hacerla siguiendo alguna pauta establecida (Edo y Gmez, 2006). Roser Gmez, especialista en educacin visual y plstica, recomienda realizar este anlisis en tres fases (figura A.). La fase inicial se centra en una Descripcin objetiva de los elementos que se

reconocen en la obra (lneas, puntos, manchas, figuras, volmenes, superficies, texturas, colores, etc.). Elementos que forman parte del alfabeto visual y plstico y que al mismo tiempo, muchos de ellos, son conceptos bsicos del currculum matemtico de primaria.

La segunda fase consiste en una Evocacin creativa centrada en la mirada subjetiva de cada espectador: Qu podra ser?, qu me sugiere?, qu me recuerda?, qu me provoca?, etc.

La tercera fase consiste en un Intento de sntesis centrado en la pregunta: Qu ttulo le pondras? Obviamente se hace antes de haber comunicado cual es el ttulo que le puso el autor.

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Al seguir esta pauta observamos que la primera fase, la ms objetiva y ms conectada con la matemtica, dota al alumno de una serie de herramientas derivadas del anlisis de la forma que permiten que la segunda fase, la ms subjetiva y creativa, llegue a ser ms interesante, rica en matices y diversa dentro de una misma aula. Siguiendo esta pauta conseguimos entonces que la primera mirada, geomtrica y objetiva, se conecte y convierta en elemento necesario para aumentar la capacidad de interpretar y crear composiciones artsticas, vinculndose al mismo tiempo el desarrollo de sentimientos y emociones estticas. En la tercera fase, cuando se imaginan un posible ttulo, aparecen a menudo elementos claves de la descripcin objetiva o de la evocacin creativa, por tanto entendemos esta parte de la actividad como un intento de sntesis de las conversaciones anteriores. Veremos, ms adelante, algunos ejemplos de algunas de estas fases.

Anlisis de un cuadro con alumnos de primaria

LENGUAJE

Intento de sntesis

Evocacin creativa centrada en la propia mirada

subjetiva

Descripcin objetiva de los elementos que se reconocen en la obra (lneas, puntos, manchas, figuras, volmenes, superficies, texturas, colores, etc.)

PERCEPCIN

Qu ttulo le pondras?

Qu podra ser? Qu me sugiere? Qu me recuerda? Qu me provoca?

Qu ves? Qu hay? Qu elementos reconoces?

Figura A.

3. Objetivos generales del taller: Al igual que en el Taller de arte y geometra I: ngulos (Badillo y Edo, 2004 a, b) y en el Taller de Geometra II: tringulos 1 y 2 parte (Badillo y Edo, 2006, 2007 a, b), los objetivos generales que nos planteamos al disear e implementar el taller de geometra sobre el concepto de tringulo fueron los siguientes: 1. Utilizar obras de arte conocidas para la introduccin, construccin y evaluacin de

conceptos geomtricos (conceptual). 2. Interpretar obras de arte conocidas a partir de la aplicacin de los conceptos

geomtricos desarrollados (conceptual/procedimental).

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3. Crear y justificar producciones artsticas como resultado de la aplicacin de los conceptos geomtricos desarrollados (procedimental/conceptual).

4. Conocer y valorar los elementos conceptuales, histricos y biogrficos de los

autores de las obras seleccionadas (actitudinal).

4. Contenidos matemticos: En el presente taller hemos propuesto la siguiente secuencia de contenidos para que los alumnos lleguen a construir un esquema rico y variado de los conceptos lneas, tipos de lneas y de polgonos:

Quinto / Sexto

1. Introduccin de las lneas y los polgonos a partir de las obras de dos autores: Wassily Kandinsky (Cuadros) y Alexander Calder (Esculturas: mviles).

2. Clasificacin de lneas: curvas, poligonales, abiertas, cerradas, paralelas, perpendiculares y secantes.

3. Permetro de una lnea poligonal cerrada (1 D). 4. Diferencia entre lnea poligonal y polgono. 5. Definicin de polgonos y elementos de un polgono. 6. Clasificacin de polgonos segn el nmero de lados y los tipos de ngulos.

Tringulo. Clasificacin segn la longitud de los lados y los tipos de ngulos: equiltero, escal, issceles, acutngulo, obtusngulo y rectngulo.

Cuadrilteros. Clasificacin segn el criterio de paralelismo de los lados. Otros.

7. Diferencia entre crculo y circunferencia. Elementos. 8. Permetro de figuras planas. Clculo de permetros. 9. Unidades de medida de reas. Conversin de unidades. 10. rea y superficie de figuras geomtricas planas. Clculo de rea directa e indirecta.

5. Desarrollo de actividades:

5.1 Material para maestros (as). Hoja para el diseo de la portada del dossier. Con el propsito de favorecer la creatividad de los alumnos se les proporciona una imagen de las pinturas de Wassily Kandinsky: Amarillo, rojo y azul y Composicin VIII, para 5 y 6, respectivamente. Dndoles libertad para que construyan a partir de la imagen de la pintura la portada del dossier. Se hace nfasis que tomen como referencia el convenio establecido para describir una obra de arte famosa: Apellido y nombre del autor, ao de creacin, ttulo de la obra, dimensiones, tcnica utilizada, y lugar de exposicin.

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Actividad 1. Familiarizacin e introduccin al tema. a) Objetivos: Se presentaran dos tipos de actividades de familiarizacin. Un primer grupo (1.1) de actividades buscan, por un lado, que los alumnos construyan las relaciones entre arte y geometra y, por otro lado, obtener las ideas previas de los alumnos en relacin con los conceptos de lnea y tipos de lnea, polgonos y clasificacin de polgonos, segn sus lados y segn sus ngulos. Un segundo grupo de actividades se centran en el estudio de los rasgos ms significativos de la vida y obra de los pintores escogidos (1.2-1.3). Los objetivos que nos planteamos con estas actividades son: Identificar las ideas previas que tienen los nios sobre lneas y tipos de lneas,

polgonos y clasificacin de polgonos, segn sus lados y segn sus ngulos. a partir de la pinturas de Wassily Kandinsky (1.1).

Introducir a los nios en la interpretacin de las obras de arte, emitiendo juicios

valorativos, expresando los sentimientos y emociones que les transmite el autor, resaltando los elementos artsticos y las tcnicas que se utilizan, a partir de la contemplacin de las formas geomtricas esbozadas en el cuadro de Kandinsky (1.1-1.2).

Motivar a los nios hacia la investigacin de los rasgos ms importantes de la

vida y obra de este pintor, centrndonos en la relacin con la Geometra (1.2-1.3).

Proponer y justificar a otros pintores y obras concretas que nos ayuden en el

estudio de estos conceptos (1.3). b) Materiales:

1. Alumnos: Fotocopia de la portada del dossier (Anexo I: figura 1 a y b) Fotocopia de la actividad 1. Comentarios de la imagen de las figuras 1.

2. Maestra/o:

Retroproyector Transparencia de la figura 1 a y b (Anexo I: Pinturas de Wassily

Kandinsky: Amarillo, rojo y azul y Composicin VIII) Transparencias: interpretacin personal de la obra (Anexo II),

descripcin de la vida y obra del autor (Anexo III) y objetivos del taller (Anexo IV)

Fotocopia ampliada y plastificada del cuadro de Wassily Kandinsky. Papel (colocado en la pizarra) para escribir las ideas de los alumnos Rotuladores

c) Agrupamiento: Trabajo en gran grupo, en pequeo grupo y exposicin del profesor.

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d) Desarrollo de la actividad 1: 1.1. Comentamos la imagen de la figura 1 (a y b) del material del alumno. Se presenta la figura 1 a o b, de la pintura de Wassily Kandinsky, para:

a. Formular hiptesis de estas lneas, respondiendo interrogantes del tipo:

Cuando ves esta imagen qu ideas te vienen a la cabeza? Qu crees que forman?, De donde crees que las hemos sacado?, Dnde las podras encontrar? Qu objetivo tiene la presentacin de esta imagen?, Para qu nos servir en clase de matemtica?, etc.

b. Sacar conclusiones de la imagen presentada (intentando remarcar tanto elementos constructivos del cuadro como, medida, relacin, proporcin, peso, agrupamiento, direccin, movimiento, ritmo; como elementos expresivos, armona / contraste, equilibrio / inestabilidad, neutralidad / acento, unidad / fragmentacin)

c. Observar las ideas previas de los nios sobre lneas, tipos de lneas, paralelas y

perpendiculares; y sobre polgonos y tipos de polgonos. Por eso, se les entrega una fotocopia de la figura 1 a o b, segn el curso, y de la actividad 1, donde se les plantean los siguientes interrogantes

[En una hoja se anotarn las aportaciones de los nios antes del desarrollo de las actividades]

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d. Cundo observas esta imagen qu palabras relacionadas con la geometra te imaginas? Es decir, qu elementos geomtricos identificas?

[Se pondr nfasis en el uso del lenguaje formalizado de las matemticas, mediante el uso de palabras sinnimas que ayuden a la comprensin de los trminos matemticos]

e. Qu tipos de lneas identificas? f. Qu diferencias encuentras entre ellas? Cmo las clasificaras? g. Podis explicarlo con vuestras palabras o definir la diferencia entre lnea

poligonal cerrada y polgono? h. Puedes identificar polgonos en el cuadro? Qu tipos de polgonos identificas? i. Qu partes crees que tiene un polgono? Qu otras cosas ves en el cuadro?

[Se trata de enfatizar la importancia del rigor matemtico, de la demostracin matemtica, tanto grfica como algebraica]

j. Conoces el transportador? Para qu sirve esta herramienta o instrumento geomtrico? Sabes utilizarlo?

k. Ahora intentaremos juntos describir este objeto, el transportador, qu observamos que tiene? Si lo comparamos con una regla, qu significado pueden tener estas lneas? En qu unidades se miden los ngulos de un polgono? Y los lados de un polgono?

[Se presenta, nuevamente, la pintura completa de Wassily Kandinsky, para buscar la interpretacin personal de los alumnos (Anexo II)]

l. Qu significado tiene esta imagen? m. Qu podra ser? n. Coloqumonos en el lugar del pintor. Qu idea o sentimientos creis que quiere

transmitir con esta obra? o. Qu podemos destacar de los colores, la intensidad de colores, la posicin y

colocacin de las lneas, la secuencia de las lneas, del fondo, cuntos planos vemos? Cul creemos que es el principal y por qu? etc.

p. Qu palabras podran salir en el ttulo de este cuadro? Qu ttulo le pondras?

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1.2. Descripcin por parte de la maestra de la obra haciendo referencia a (Anexo

III):

Posteriormente, despus de la puesta en comn en gran grupo, y de las respuestas individuales que los alumnos han dado a las anteriores preguntas, nos centramos por un lado, en el estudio de los rasgos ms significativos de la vida y obra de los pintores escogidos, y por otro lado, intentamos hacer emerger las sensaciones que les provoca este cuadro. Para motivar la investigacin de la obra de Wassily Kandinsky y la de otros pintores que permiten el estudio de estos conceptos geomtricos, expusimos de manera dinmica los rasgos ms importantes de este pintor, presentando su fotografa, su firma y pactamos con los alumnos que en prximas sesiones ellos mismos presentaran otras pinturas de su obra y de otros autores que nos ayudaran en el estudio de estos conceptos geomtricos.

Ttulo: Amarillo, rojo, azul (1925) Autor: Kandinsky Wassily. Tcnica: leo sobre lienzo. Medidas: 128 x 201,5 cm Lugar de ubicacin: Muse National dArt

Moderne, Centre Georges Pompidou, Paris.

Ttulo: Composicin VIII (1932) Autor: Kandinsky Wassily. Tcnica: leo sobre lienzo. Medidas: 140 x 201 cm. Lugar de ubicacin: Solomon R. Guggenheim Museum, New York.

Igualmente, presentamos los objetivos del taller de geometra (Anexo IV): Las matemticas como herramienta para interpretar y para crear obras de arte.

1.3. Motivacin para investigar de forma individual sobre:

a. Caractersticas ms importantes de la vida y obra de este pintor, centrndonos ms en la relacin con las matemticas (Geometra).

b. Proponer y justificar otros artistas y obras concretas que nos ayuden a

estudiar este tema: lneas, tipos de lneas; polgonos y clasificacin de polgonos, etc.

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Actividad 2. Definicin, representacin y construccin de lneas

poligonales cerradas y de polgonos. Consideramos que para entender los conceptos geomtricos (matemticos) es esencial que los alumnos sean capaces de razonar, es por ello que hemos diseado una serie de actividades partiendo del cuadro, que buscan que los alumnos encuentren sentido y aplicacin a las matemticas, mediante el desarrollo de ideas, la exploracin de conceptos, la justificacin de los resultados obtenidos y, la formulacin y demostracin constante de conjeturas. Sin embargo, hemos de entender que el razonamiento y la demostracin no se pueden ensear, sino que stas tendran que ser parte consciente y esencial de la actividad matemtica que se genera en el aula durante toda la escolaridad (NTCM, 2000). a) Objetivos: Con esta actividad perseguimos el siguiente objetivo: Construir progresivamente los siguientes conceptos: lneas, clasificacin de

lneas (abiertas y cerradas; poligonales y curvas), permetro y el concepto de polgono.

b) Materiales:

1. Alumnos: Fotocopia de la actividad 2. Geoplanos isomtricos y cuadriculares. Un Geoplano de cada tipo por

parejas de alumnos. Hilo de cobre de 0,6 mm. de dimetro. Trozos de papel de diferentes tipos (de celofn, de seda, de diferentes

colores, etc.) Pegamento y cinta adhesiva. Regla.

2. Maestros:

Transparencia del esquema conceptual sobre lneas (Anexo V) Transparencia del esquema conceptual sobre polgonos (Anexo VI)

c) Agrupamiento: Trabajo en parejas, individual y justificacin en grupo grande. d) Desarrollo de la actividad 2: En esta actividad se hace nfasis en la construccin del concepto de polgono a partir de un trabajo previo de los conceptos de lnea y tipos de lneas. La fuerza de la actividad recae sobre un trabajo manipulativo de los alumnos que les ayude a ir construyendo progresivamente el concepto de polgono a partir de la definicin de lnea poligonal

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cerrada. Es decir, que se hace nfasis en la necesidad de que desde un primer momento los alumnos hagan conjeturas sobre las diferencias y las relaciones que existen entre objetos unidimensionales (1D), como es el concepto de lnea poligonal cerrada, y objetos bidimensionales (2D), como es el concepto de polgono. Para ello, sugerimos la utilizacin de recursos y procedimientos manipulativos, como el geoplano y los trozos de alambre de cobre, que favorezcan la construccin colectiva y progresiva de los conceptos geomtricos. En este sentido, el tipo de situaciones que se le presentan en los diferentes apartados buscan que los alumnos hagan conjeturas sobre los objetos geomtricos y a partir de un trabajo manipulativo puedan llegar a demostrar o modificar sus conjeturas iniciales. Finalmente, nos gustara resaltar de esta actividad, la importancia que otorgamos a los procedimientos de medida directa e indirecta. Por ello, nos gustara llamar la atencin sobre la necesidad de que los alumnos comprendan los atributos mesurables de los objetos, y las unidades, sistemas y procesos de medida. De all que propongamos situaciones en las que los alumnos tengan que aplicar tcnicas e instrumentos apropiados para obtener la medida de objetos unidimensionales, desde parmetros estndar (uso de la regla) y no estndar (establecer una unidad de referencia, como por ejemplo separacin entre clavo y clavo del geoplano). Actividad 3. Actividad plstica con Tangram. a) Objetivos: Esta actividad tiene como objetivo promover en los estudiantes procesos de reflexin sobre la importancia que tiene, en la construccin de una produccin artstica, que relacione arte y geometra, la justificacin de los siguientes aspectos:

1. El uso prctico de los contenidos geomtricos en la construccin de una produccin artstica.

2. Los procedimientos utilizados en la construccin de los objetos geomtricos

(lneas, ngulos, polgonos, otras figuras planas, etc.) que conforman la produccin artstica.

3. Las diferentes tcnicas artsticas y materiales que utilizan en la construccin de

la produccin artstica.

4. Ttulo de la produccin artstica, nombre de los autores, y la descripcin de los sentimientos que quiere transmitir con su produccin artstica.

b) Materiales:

1. Alumnos: Fotocopia de la actividad 3. Tangram de 7 piezas. Un juego por parejas de alumnos. Tarjetas plastificadas de figuras de objetos construidas con el Tangram

(Anexo VII).

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Fotocopia del Tangram de 7 piezas recortables en papel de dibujo. Uno por cada alumno (Anexo VIII).

Cartulina de color en DNA 3. Ceras, rotuladores, Plastidecor, colores, etc.

2. Maestra/o:

Breve historia del Tangram de 7 piezas (Anexo IX). c) Agrupamiento: Trabajo en parejas, individual, en pequeo grupo y justificacin en grupo grande. d) Desarrollo de la actividad 3: Inicialmente, se les presenta el Tangram de 7 piezas y se les pregunta si conocen qu es y si saben la historia de este juego (Anexo IX). Posteriormente, se lee una breve historia de este juego chino y se les proporciona un Tangram de 7 piezas por pareja con la consigna de que identifiquen las piezas y que las clasifiquen (en algunos casos se les da la opcin de que hagan un mapa conceptual de la clasificacin de las figuras o piezas del Tangram). Esta primera parte se desarrolla con gran facilidad y agilidad.

La segunda parte consiste en reproducir con el Tangram, en parejas, algunas figuras que les proporcionamos en unas tarjetas plastificadas. Esta actividad que aparentemente resulta fcil, es potente porque nos permite detectar las dificultades que presentan algunos alumnos en la ubicacin, distribucin y representacin espacial, que es una de las competencias bsicas que deben desarrollarse durante esta etapa de escolaridad.

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Esta dificultad aumenta cuando se les pide a los alumnos el paso de la bidimensin manipulativa (construccin de una figura con el Tangram) a la bidimensin esttica o representacin abstracta de la figura construida (dibujo en papel cuadriculado). A continuacin mostramos algunos ejemplos en los que se esboza lo anteriormente descrito: Finalmente, se organizan en grupos de tres alumnos y se le proporcionan un Tangram recortable a cada alumno, una cartulina de color por grupo y material de plstica (rotuladores, ceras, Plastidecor, etc.) y se les pide que libremente, se pongan de acuerdo sobre una temtica que sea el eje vertebrador de una composicin artstica con los tres Tangram del grupo. Una las condiciones es que cada figura se tiene que formar usando todas las piezas del Tangram. Igualmente, se hace nfasis en que la produccin artstica tiene que ser argumentada y justificada.

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Actividad 4. Unidades de longitud y permetro de una

figura geomtrica plana. a) Objetivos: Esta actividad est muy relacionada con la actividad 2, tiene como objetivo que los estudiantes puedan analizar las caractersticas y propiedades de los objetos geomtricos de una dimensin (lneas curvas y lneas poligonales cerradas) y dos dimensiones (polgonos y figuras planas en general) y desarrollar razonamientos matemticos sobre las relaciones geomtricas. b) Materiales:

1. Alumnos: Fotocopia de la actividad 4. Geoplanos (isomtrico y cuadricular). Un juego por parejas de alumnos. Metro, regla y cinta mtrica de ms de 3 metros. 5 trozos de alambre de cobre de 0, 6 mm. de dimetro. Escuadra y transportador de ngulos. Papel de diferentes tipos: cuadriculado, de seda, de celofn, etc.

c) Agrupamiento: Trabajo en parejas y justificacin en grupo grande. d) Desarrollo de la actividad 4: Somos conscientes de la necesidad de que los alumnos vayan construyendo conocimiento informal y formal sobre lneas, diferentes tipos de lneas y una variedad

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de figuras bidimensionales mediante actividades de dibujarlos y visualizarlos y con nociones intuitivas sobre los objetos geomtricos unidimensionales y bidimensionales adquiridas a travs de los aos de interaccin con objetos de su cotidianidad. Desde esta visin, las situaciones que hemos diseado para esta actividad 4, buscan que los alumnos investiguen relaciones manipulando el geoplano y dibujando, midiendo, visualizando, comparando, transformando y clasificando los diferentes objetos geomtricos unidimensionales y bidimensionales, siempre argumentando y justificando cada una de las afirmaciones y conclusiones a las que lleguen (NTCM, 2000). En este sentido, es como planteamos una serie de situaciones que buscan relacionar intra-matemticamente conceptos que muchas veces, por restricciones del currculo, les presentamos a los alumnos de forma inconexa, creando diferentes compartimentaciones de los contenidos matemticos. Por tanto, en esta actividad queremos resaltar la necesidad de mostrar a los estudiantes que los contenidos de medida y geometra estn fuertemente relacionados y su estudio y conocimiento puede proporcionarles herramientas para la resolucin de problemas de la cotidianidad. Por tanto, como maestros no podemos olvidar que los conceptos y las destrezas sobre la medida pueden desarrollarse y utilizarse a lo largo de todo el curso escolar y en diferentes unidades de las diferentes asignaturas del currculo o disciplinas cientficas, y no deben ser tratados como una unidad de estudio separada o aislada. Lo anterior descrito, justifica el hecho de que las situaciones 3 y 6, pretenden llevar a los estudiantes a la medida de objetos relacionados con el contexto que les envuelve. Son situaciones abiertas que intentan promover la aplicacin justificada de tcnicas e instrumentos apropiados para su medida, atendiendo a los atributos de cada uno de los objetos (entender que para obtener las dimensiones de una pista bsquet (2D) necesariamente se requiere la medida de dos dimensiones unidimensionales: ancho y largo. Mientras que la medida de una de las dimensiones o bien el largo o el ancho es independiente o no requiere la medida de la otra dimensin). Es decir, los polgonos y las figuras geomtricas planas (2D) contienen implcitamente la unidimensin (1D), ancho y largo. El caso contrario no es condicional (la 1 D no contiene la 2D). En ltimo lo que nos proponemos es que los estudiantes sean capaces de componer y descomponer figuras geomtricas planas de dos dimensiones con el fin de calcular reas y permetros.

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Otro aspecto a resaltar es que las situaciones buscan que los alumnos sean crticos cuando miden un objeto. Es decir que el resultado que obtienen de la medida debera tener sentido. Es por ello que dedicamos una atencin especial a las estimaciones y a los sistemas de referencias que se convierten en herramientas y recursos para que los alumnos puedan reconocer en la vida real cuando es razonable una medida. Con este propsito aconsejamos que las situaciones que se planteen a los estudiantes para estimar medidas e instrumentos de medidas sean escogidas de tal manera que los estudiantes puedan utilizar su conocimiento del tamao de objetos y cosas conocidas que puedan servirles de referencia, tales como las que proponemos: la longitud del lpiz, de su altura, de la altura de la puerta, etc. Igualmente, a partir de estos patrones de referencias deberan ser capaces de utilizarlos para estimar medidas grandes, como la longitud de 20 pistas de bsquet, etc. Finalmente queremos comentar algunas reflexiones que podran tenerse en cuenta a la hora de resolver la situacin 10. Algunas de las posibles respuestas de los alumnos podran ser:

12 cm

Creemos conveniente resaltar que las respuestas de los alumnos que pueden generar riqueza para la construccin y relacin de los conceptos de permetro (1 D) y de superficie (2), son: a) Con relacin al permetro de una figura geomtrica.

o Sin necesidad de medir, los alumnos podran llegar a la conclusin de que la longitud constante de los trozos de alambre de cobre de 12 cm., es el valor del permetro de todas las figuras geomtricas. Es decir, este grupo de alumnos tienen claro que el permetro es una longitud (1D) y puede ser igual en diferentes figuras geomtricas, independientemente de la forma y del tipo.

o Midiendo, los alumnos con la ayuda de la regla podran medir la longitud de

cada uno de los lados y posteriormente sumarlas. As encontraran que siempre el resultado es 12 cm., deduciendo que el permetro es una longitud (1D) que resulta de la suma de los lados de un polgono. Sin embargo, no podemos dejar de hacer preguntas que le permitan a los alumnos llegar a la generalizacin descrita en el prrafo anterior.

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b) Con relacin a la superficie de una figura geomtrica. o Segn clculo indirecto y medida no estndar, los alumnos con la estrategia

de dibujar los polgonos en papel cuadriculado o milimetrado y tomando como referencia un cuadrado de la hoja pueden contarlos y encontrar el valor de la superficie. Lo interesante es que los alumnos observen y comprendan que pueden encontrarse y construir diferentes figuras geomtricas que tienen el mismo permetro (1 D), pero no necesariamente tienen la misma superficie (2D) y forma.

o Segn clculo directa y medida estndar, si los alumnos conocen

procedimientos algebraicos para calcular el valor de la superficie de las figuras ms conocidas, podran a partir de conocer el valor de las diferentes dimensiones de las figuras calcular directamente su rea. Sin embarco, tambin deberamos ayudarles a constatar y argumentar la generalizacin comentada en el prrafo anterior.

Actividad 5. Diferencia entre circunferencia y crculo. a) Objetivo: Esta actividad est muy relacionada con las actividades 2 y 4, tiene como objetivo que los estudiantes puedan analizar las caractersticas y propiedades de los objetos geomtricos de una dimensin (lneas curvas cerradas como la circunferencia) y de dos dimensiones (figuras geomtricas planas en general como el crculo) y desarrollar razonamientos matemticos sobre las relaciones geomtricas. b) Materiales: como la circunferencia

1. Alumnos: Fotocopia de la actividad 5. Geoplano isomtrico y cuadricular (uno por grupo). Cinta mtrica o metro. Regla, escuadra, comps y transportador de ngulos. 5 trozos de 10 cm. de alambre de cobre de 0,6 mm.

2. Maestros:

Mapa conceptual de crculo y circunferencia (Anexo X) c) Agrupamiento: Trabajo individual y puesta en comn en gran grupo. d) Desarrollo de la actividad 5: A partir de un trabajo previo sobre la definicin de lneas curvas y poligonales abiertas y cerradas podemos llevar a los alumnos a definir y a diferenciar los conceptos de crculo y circunferencia. En general los alumnos de manera generalizada llegan a definir la circunferencia en trminos unidimensionales como la lnea curva cerrada que tiene la misma distancia desde un punto llamado centro a cualquiera punto de la

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lnea curva. Y, el crculo lo definen como la circunferencia que tiene fondo o superficie. Sin embargo, en muchos casos tenemos que ayudarles a identificar y definir cada uno de los elementos que los conforman. En lo que respecta al ejercicio 3 de esta actividad, se les propone a los alumnos conseguir y demostrar el valor del nmero pi () a partir de un procedimiento manipulativo. La dificultad de este ejercicio puede estar en el concepto de permetro o longitud de una circunferencia. Si previamente se ha trabajado el concepto de permetro como longitud de una figura geomtrica plana, los alumnos no tendrn gran dificultad para resolverla. Sin embargo, si tendramos que ayudarles a construir dos circunferencias con los dos trozos de alambre de 10 cm. y 20 cm, respectivamente. Una opcin es proporcionarles en papel dos circunferencias que cumplan estas condiciones o proporcionar objetos manipulables que cumplan con estas condiciones. A partir de aqu es fcil, usando calculadora o calculando las divisiones, que los alumnos deduzcan que la relacin que hay entre el permetro o longitud de la circunferencia y del crculo y su dimetro siempre es una constante (3, 1416) que se conoce en geometra como el nmero pi ( = 3, 1416). Lo interesante es que los alumnos puedan generalizar la anterior relacin, sin necesidad de comprobarlo con circunferencias concretas. Es decir, que lleguen a comprender que el valor del nmero pi ( = 3, 1416), es independiente del tamao de la circunferencia, ya que si la longitud aumenta el dimetro tambin aumentar y se conserva el valor de esta constante de proporcionalidad directa que es el nmero pi ( = 3, 1416). Finalmente, queremos hacer nfasis en la diferencia entre circunferencia como una lnea curva cerrada (1 D) y crculo como figura geomtrica plana con superficie (2D). En este sentido al remarcar, manipular y visualizar que la circunferencia slo tiene longitud con la ayuda del material que le proporcionamos, puede ayudar a los estudiantes a comprender y dotar de significado a la relacin entre estos objetos geomtricos, ya que el crculo tiene al mismo tiempo longitud = permetro(1 D), midiendo el contorno del crculo y tiene superficie (2 D) calculando el espacio que se genera entre los radios (siempre cumpliendo la relacin de proporcionalidad directa entre el dimetro y la longitud de la circunferencia que es el nmero pi): A = r.r = r2

r

r Actividad 6. Construccin de producciones artsticas a partir del

estudio de la obra de Kandinsky. a) Objetivo: Esta actividad tiene como objetivo promover en los estudiantes procesos de reflexin sobre la importancia que tiene, en la construccin de una produccin artstica, que relacione arte y geometra, la justificacin de los siguientes aspectos:

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1. El uso prctico de los contenidos geomtricos en la construccin de una produccin artstica.

2. Los procedimientos (geomtricos y/o algebraicos) utilizados en la construccin de los objetos geomtricos (lneas, ngulos, polgonos, otras figuras planas, etc.) que conforman la produccin artstica.

3. Las diferentes tcnicas artsticas y materiales que utilizan en la construccin de la produccin artstica.

4. Ttulo del cuadro, nombre del autor, y la descripcin de los sentimientos que quiere transmitir con su produccin artstica.

b) Materiales: Cualquier tipo de material y tcnica plstica es aceptado. Los alumnos deben escogerla y justificar su eleccin. c) Agrupamiento: Produccin individual, descripcin y justificacin en grupo grande. d) Desarrollo de la actividad 6: Creemos conveniente resaltar dos aspectos interesantes de este tipo de actividades. Por un lado, el clima de inters y de relajacin que aporta el entorno del arte y la plstica. Realmente los alumnos disfrutan al ver como conceptos geomtricos y matemticos les ayudan a inspirarse y crear producciones artsticas clidas, cargadas de muchos sentimientos y emociones. En el momento del trabajo de plstica, los alumnos escuchan msica, en muchos casos escogidas por ellos, y disfrutan de una hora de relajacin y creacin individual.

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Por otro lado, intentamos proporcionar otra motivacin extrnseca al trabajo sobre la plstica y la geometra, como un medio para promover: (1) la argumentacin matemtica, (2) la expresin verbal y escrita y, (3) la imaginacin y la creatividad. Es as, como naci la idea de crear una Galera de Arte en la que se pudieran exponer los mejores cuadros pintados y argumentados por los nios y nias de todas las clases de nuestra escuela. Es decir, que se reserva un espacio de cinco cuadros por clase, y en total se exponen por trimestre 60 cuadros de los alumnos de 1ro a 6to. Los cuadros seleccionados por votacin democrtica de la clase y, slo en caso de empate los maestros de la escuela hacemos la seleccin definitiva, deben de cumplir los cuatro criterios esbozados al inicio de la actividad (apartado a). A continuacin presentamos una foto de la galera y un ejemplo de cerca de uno de los trabajos seleccionados por los alumnos de 6to. Todos los cuadros de los alumnos seleccionados al exponerse van acompaados por el nombre del autor, el ttulo del cuadro y la foto del autor (a). Esto ayuda a que todas las personas de nuestro centro valoren las producciones artsticas que elaboran nuestros alumnos y asocien cada cuadro con su autor.

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A continuacin presentaremos algunos ejemplos de trabajos realizados por nios de quinto y sexto de primaria de la Escuela Salesiana Mare de Du de la Merc de Badalona donde implementamos el taller. Todos los ejemplos que presentamos siguen el modelo, expuesto en el apartado a), que sugerimos a los nios y nias sobre la construccin de producciones artsticas. Para ilustrar la forma como trabajaron los nios y nias este tipo de actividad, a continuacin presentamos cuatro ejemplos de producciones artsticas realizadas por alumnos de quinto y de sexto. Concretamente en el primer ejemplo queremos resaltar el valor artstico y creativo de esta produccin, ya que su autor, es un alumno que siempre haba mostrado poco inters por la plstica. Cuando result seleccionado por los compaeros verbaliz que todo era gracias a la geometra que le ayudaba a inspirarse, y le gustaba este tipo de arte que estbamos estudiando, la obra de Kandinsky y Klee, en el que los conceptos geomtricos simulan y representan objetos de la realidad. Otro aspecto a comentar es la ternura de los sentimientos que transmite y, queremos aprovechar para resaltar que desde cualquier rea curricular, en este caso la matemticas, podemos trabajar valores como el derecho a la igualdad de oportunidades, a la equidad, el respeto por los otros

Martnez, (2008). La cara del mundo. Tcnica: Lpiz, rotulador negro, ceras y fijador de ceras. Sentimientos: Los polgonos representan los diferentes pases que forman al mundo. Hay colores ms vivos y alegres que representan a las sociedades que tienen la suerte de vivir bien (comida, ropa, y hasta lujos) y los colores tristes y oscuros representan a los pases pobres que tienen poco o nada. El cuadro es un sueo, no es la realidad porque he pintado muchos ms pases ricos que pobres y he pintado a los pobre pequeitos Espero no despertar de este sueo o que cuando me despierte se haga realidad y sean ms los nios que tiene de todo y sean felices de verdad. Conceptos geomtricos: Diferentes tipos de lneas, figuras geomtricas planas, polgonos y ngulos.

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El segundo ejemplo que hemos seleccionado, es de una alumna de la china, son curiosos los sentimientos que quiere transmitir con el cuado: libertad para todos los seres vivos. No sabemos si este grito de libertad va ligado a su situacin personal o cultural. Sin embargo queremos resaltar que en todos los cuadros que ha pintado y justificado lo hace explcito. La justificacin matemtica que hace esta alumna es muy interesante, enfatiza en el concepto de figuras geomtricas planas en general, demostrando una claridad conceptual entre la diferencia entre objetos unidimensionales y bidimensionales, diferencia entre lnea y figuras planas. Igualmente, la diferencia entre figuras poligonales y figuras no poligonales, pero clasificndolas correctamente como figuras bidimensionales.

Rou, M. (2007). El bosque de colores. Tcnica: Yo para hacer este cuadro he utilizado pinturas y ceras. Sentimientos: Los sentimientos que quiero expresar con este cuadro son: alegra y libertad. Alegra: por los colores del fondo que representan flores y rboles. Libertad: porque todos somos libres en este mundo, no debemos de capturar animales, tienen derecho a estar libres, hasta todos nosotros!!! Conceptos geomtricos: cosas de una dimensin como lneas y tipos de lneas (poligonales, curvas, rectas, etc. Y cosas de dos dimensiones, aunque no hice exactamente polgonos, sino ms bien figuras geomtricas planas en general.

El tercer ejemplo que hemos seleccionado, es de un nio que presenta algunos rasgos de dficit de atencin e hiperactividad, y queremos valorar la motivacin y la capacidad de concentracin que ha mostrado durante el desarrollo de taller y, ms concretamente, en las sesiones de plstica. Es un alumno que ha mostrado una gran evolucin conceptual y actitudinal. Sin embargo, en el segundo trimestre, tuvimos que gestionar el hecho de que su cuadro no fue seleccionado y hubo momentos en que no quera participar ms y se mostraba muy triste. Este es un aspecto que como maestros debemos de tener en cuenta, la Galera de Arte puede convertirse en una fuente de conflictos y de desinters

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cuando los nios no son escogidos, pero consideramos que el hacer nfasis en la democracia y en el respeto por las ideas de los otros nos ayud a gestionar las diferentes emociones que fueron surgiendo durante todo el desarrollo del taller. El tercer ejmplo,

Moyano, A. (2007). Las lneas curvas y horizontales Tcnica: Ceras y fijador. Primero dibuj con lpiz flojito y despus pint con ceras de colores vivos. Por ltimo, resalt las lneas de las figuras (permetro) con cera negra y despus le ech el fijador para que quedara brillante. Sentimientos: este cuadro es precioso porque representa la amistad. Todas las partes de las figuras geomtricas se unen por la lnea negra. Siempre hay personas que se preocupan por unir a otras. As como todo est unido en el universo y en la tierra. Conceptos geomtricos: Lneas y tipos de lneas, ngulos y figuras geomtricas planas con rea y permetro.

Finalmente, el ltimo ejemplo seleccionado es de una alumna que tiene un gran nivel en matemticas, en particular, y podramos definirla como una buena estudiante en general. La riqueza de este cuadro lo podemos apreciar desde diferentes competencias: la expresin plstica, la expresin verbal, la argumentacin geomtrica y la imaginacin y creatividad. Queremos resaltar de este cuadro diferentes aspectos en los que hemos insistido a lo largo del taller como son: (a) el uso adecuado de los conceptos geomtricos en el aula de primaria, claridad que muestra la alumna en el uso de los conceptos de lneas (1D), polgonos y figuras no poligonales pero definindolas tambin como planas (2D); (b) diferencia entre 1D y 2D; (c) el uso de ejemplos y no ejemplos de los conceptos matemticos, cuando verbaliza la construccin de polgonos y no polgonos; y, (d) el trabajo sobre no prototipos de los conceptos, evidenciado en la identificacin de polgonos en diferentes posiciones o rotados.

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Daz, M. (2007). El mundo MIMI. Tcnica: He utilizado lpiz, rotulador negro, pinturas y ceras. Sentimientos: Los sentimientos que quiero expresar con este cuadro son: alegra, tristeza, orden y confusin. Este cuadro nos representa los diferentes sentimientos que podemos tener en nuestra vida. Hay momentos en que estamos felices que seran los colores vivos y otros en los que perdemos a un ser querido o sufrimos, el negro Tambin a veces planificamos cosas como los cuadritos y no nos salen bien, por eso hay espacios en blanco y no todo est lleno de colores. Y las diferentes tipos de lneas poligonales y curvas que estn en el medio del cuadro, nos representan las separaciones entre los

u blos.

escondido algn polgono regular y otros que no son polgonos sino otras figuras planas.

p e Conceptos geomtricos: Lneas y tipos de lneas: poligonales, curvas, rectas, paralelas, secantes y perpendiculares, y diferentes tipos de polgonos y ngulos. Y en algunos casos si observan bien hay

Actividad 7. Medida y escala (OPCIONAL).

a) Objetivo: Con esta actividad perseguimos el siguiente objetivo:

Comprender y visualizar la interrelacin y la funcionalidad de los conceptos en la resolucin de situaciones de la cotidianidad.

Relacionar los bloques conceptuales de medida, geometra, numeracin y tratamiento de la informacin, en la resolucin de situaciones de la cotidianidad.

Desarrollar destrezas en la visualizacin y en el razonamiento sobre las relaciones espaciales.

Comprender los atributos mensurables de los objetos y las unidades, sistemas y procesos de medida.

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b) Materiales:

1. Alumnos: Fotocopia de la actividad 7. Regla y escuadra. Metro y cinta mtrica (ms de 3 metros) Papel milimetrada, cuadriculado y hojas en blanco. Cartulina de diferentes colores. Tijeras, pegamento y cinta adhesiva. Cmara digital y trpode.

c) Agrupamiento: Produccin individual, trabajo en parejas y justificacin en grupo grande. d) Desarrollo de la actividad 7: En esta actividad se han diseado una serie de situaciones que buscan que los alumnos encuentren relaciones intra-matemtica entre los diferentes conceptos del currculo. Concretamente, relacionamos los bloques conceptuales de medida, geometra, numeracin y tratamiento de la informacin, con el propsito que los estudiantes puedan ver de manera global la interrelacin y la funcionalidad de los conceptos en la resolucin de situaciones de la cotidianidad. Inicialmente, se les recuerda a los estudiantes aspectos conceptuales sobre el sistema internacional de medidas de longitud y la conversin de unidades. Posteriormente, en los ejercicios del 1 al 3, se proponen la resolucin de una serie de conversiones de unidades de longitud, usando estrategias de clculo mental y escrito para multiplicar y dividir por la unidad seguida de cero (10, 100, 1000, etc.) En la actividad 4, se presenta una situacin de la vida real en la que pueden aplicar los conceptos anteriormente trabajados. Esta actividad se puede complementar y enriquecer con la lectura de planos de la ciudad y el clculo aproximado de distancias en el plano. Concretamente, la secuencia de interrogantes que se proponen en las situaciones 5 y 6, persigue que los alumnos busquen medios para describir, analizar y comprender un aspecto concreto y bsico de la realidad, como es la lectura e interpretacin de planos. Progresivamente, se lleva a los alumnos a la construccin de objetos a escala y a la

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justificacin del proceso aplicado, tanto para aumentar como para disminuir su tamao real. Por ltimo, se explica el convenio matemtico para expresar escala, el significado asociado al clculo de escalas, tanto para disminuir (1:10.000) como para aumentar (10: 1), as: Siempre que realices un dibujo de un objeto o de una persona cualquiera de manera que cada centmetro del dibujo se corresponda con una medida ms grande o ms pequea que en la realidad, ests utilizando el concepto de escala. Diremos que el dibujo est hecho a escala 1:2, si el dibujo que has obtenido del objeto de la vida real es ms pequeo pero conserva sus proporciones reales. Es decir, es exactamente la mitad del real, porque cada centmetro del dibujo corresponde a 2 cm. de la realidad. La actividad 10, integra los bloques conceptuales de la geometra, medida, numeracin, tratamiento de la informacin y anlisis de datos. Se parte de una situacin significativa como es la medida de la altura de todos los nios de la clase y se propone el registro de toda la infomacin en una tabla de datos. Posteriormente, se propone a los alumnos hacer una grfica a tamao real y se escoge un lugar de la clase para construirla con tiras de cartulina de diferentes colores y se decide la escala real en la que se construir, que generalmente es de 10 cm. Lo interesante de esta primera parte de la actividad es que los alumnos se encuentran frente a la situacin de seleccionar las unidades, los instrumentos de medida y las escalas apropiadas para resolver el problema planteado. Igualmente, el tener que manejar un

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nmero de informacin tan grande (la altura de 26 alumnos de la clase), les permite ver la necesidad y la potencia del uso de instrumentos para recoger, organizar y presentar datos relevantes, como es el uso de tablas, para posteriormente, hacer el tratamiento y el anlisis de la informacin. De igual manera, se plantean una serie de interrogantes que ayudan a los alumnos al anlisis y la interpretacin de la informacin. En este caso concreto, se propone una traduccin de los datos representados en la tabla en una grfica de histograma. Inicialmente, a tamao real, y se propone el anlisis cualitativo y cuantitativo de los datos unidimensional y bidimensionales. Posteriormente, se propone que la grfica realizada a tamao real en la pared la realicen a escala en una de papel cuadriculado. En efecto, se plantea la necesidad del estudio de las variables que intervienen en la situacin problema y del uso de escalas para poder graficar la informacin en los ejes de coordenadas. Finalmente, para resolver los apartados del 10 d) al k), se hace una foto de frente a cada uno de los alumnos manteniendo la misma distancia, y se imprime en papel a una escala de 1: 10, sin decrselo a los alumnos. El objetivo de esta secuencia de actividades es que lleguen a encontrar la escala de la foto y, relacionar la representacin grfica real de su altura con una situacin significativa como es el anlisis de las escalas de las fotos.

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Actividad 8. Construimos mviles con polgonos a partir de la obra de Alexander Calder.

a) Objetivo: Esta actividad tiene como objetivo promover en los estudiantes procesos de reflexin sobre la importancia que tiene, en la construccin de una produccin artstica, que relacione arte y geometra, la justificacin de los siguientes aspectos:

1. El uso prctico de los contenidos geomtricos en la construccin de una produccin artstica.

2. Los procedimientos (geomtricos y/o algebraicos) utilizados en la construccin de los objetos geomtricos (lneas, ngulos, polgonos, otras figuras planas, etc.) que conforman la produccin artstica.

3. Las diferentes tcnicas artsticas y materiales que utilizan en la construccin de la produccin artstica.

4. Ttulo del cuadro o de la escultura, nombre del autor, y la descripcin de los sentimientos que quiere transmitir con su produccin artstica.

b) Materiales: 1. Alumnos:

Fotocopia de la actividad 8. Hilo de aluminio de varios colores. Hilo de cobre de 0,4 mm. (o hilo de nylon de caa de pescar) Palillos de madera cilndricos de aproximadamente 3 mm. de dimetro. Separadores de plstico de varios colores. Tijeras y lpiz.

2. Maestros:

Imgenes de una seleccin de obras de Alexander Calder (Anexo XI) c) Agrupamiento: Produccin individual, descripcin y justificacin en grupo grande. d) Desarrollo de la actividad 8: 1.1. Comentamos la obra del autor. Inicialmente se presenta un power point con la obra del autor (ver anexo XI), sin explicar el objetivo de la sesin. Siguiendo el modelo de anlisis que proponemos para el tratamiento del arte y la geometra, en esta primera fase inicial nos centramos en buscar que los alumnos lleguen hagan una Descripcin objetiva de los elementos que se reconocen en la obra del escultor Alexander Calder, haciendo preguntas del tipo:

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o Cuando ves estas imgenes qu ideas te vienen a la cabeza? Qu observas?,Qu objetivo tiene la presentacin de esta imagen?, Para qu nos servir en clase de matemtica?, Identifiques objetos geomtricos?, etc.

Posteriormente, en la segunda fase intentamos que los alumnos puedan observar las diferentes obras y puedan evocar sentimientos y emociones que les transmite el autor con su obra, mediante preguntas del tipo: o De donde crees que las hemos sacado?, Dnde las podras encontrar? Qu podra

ser?, qu me sugiere?, qu me recuerda?, qu me provoca?, etc. Finalmente, en la tercera fase se busca que los alumnos hagan un intento de sntesis de los objetos geomtricos y artsticos observados, centrado en la pregunta: Qu ttulo le pondras? Obviamente se hace antes de haber comunicado cual es el ttulo que le puso el autor. 1.2. Descripcin por parte de la maestra de la obra haciendo referencia a: En un segundo momento y despus del trabajo inicial sobre la evocacin de las ideas previas de los estudiantes y de la verbalizacin de las emociones se presentan las obras seleccionadas del autor con sus ttulos y se les ofrece a los estudiantes la posibilidad de que ellos utilicen los conceptos que hemos venido estudiando en las actividades anteriores (polgonos y figuras geomtricas planas) en la creacin de una escultura con las caractersticas que nos ofrece Alexander Calder, como son los mviles. Para motivar la investigacin de la obra de Alexander Calder y la de otros escultores que permiten el estudio de estos conceptos geomtricos, les proporcionamos a los estudiantes la ficha de la actividad en la que de manera dinmica se esbozan los rasgos ms importantes de este pintor, presentando su fotografa, su firma y pactamos con los alumnos que en prximas sesiones ellos mismos presentaran otras pinturas de su obra y de otros autores que nos ayudaran en el estudio de estos conceptos geomtricos.

Escultor. Naci el 22 de julio de 1898 en

Filadelfia (EE.UU.). Muri el 11 de noviembre de 1976 en

New York (EE.UU.).

1.3. Motivacin para investigar de forma individual sobre:

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a. Caractersticas ms importantes de la vida y obra de este escultor americano, centrndonos ms en la relacin con las matemticas (Geometra).

b. Proponer y justificar otros artistas y obras concretas que nos ayuden a estudiar

este tema: polgonos, clasificacin de polgonos y, en general, figuras geomtricas planas.

1.4. Creacin de la produccin artstica: mviles. Queremos resaltar que la actividad plstica que requiere la construccin de los mviles es bastante laboriosa y entretenida. Por tanto sugerimos que se desarrolle de manera coordinada con el/la profesor (a) de plstica. Las pautas para la construccin y justificacin de la escultura es la siguiente:

a. Disear la escultura o mvil con papel y lpiz. b. Trazar diferentes tipos de polgonos con lpiz y regla en los separadores. Esta

fase es preciosa porque ayuda a que los alumnos construyan de manera libre polgonos y figuras geomtricas en forma no prototpica, salindose de los ejemplos o prototipos tradicionales que se trabajan en el aula de primaria.

c. Clasificar los polgonos, registrarlos en una tabla y justificar su clasificacin. d. Recortar los polgonos y las figuras geomtricas planas construidos.

e. Montar el mvil con el material proporcionado.

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Actividad 9. Tangram de cuatro. Relacin entre permetro y superficie.

a) Objetivo: Esta actividad est muy relacionada con las actividades 2, 3, 4 y 5. Tiene como objetivo que los estudiantes puedan analizar las caractersticas y propiedades de los objetos geomtricos de una dimensin (lneas poligonales cerradas y el concepto de permetro) y dos dimensiones (polgonos, figuras planas en general y el concepto de superficie de una figura plana) y desarrollar razonamientos matemticos sobre las relaciones geomtricas. b) Materiales: 1. Alumnos:

Fotocopia de la actividad 9. Cartulina blanca Papel cuadriculado o milimetrado Tangram de cuatro piezas de cartulina recortable. Tijeras, lpiz, regla y pegamento.

c) Agrupamiento: Produccin individual, trabajo en grupo pequeo, descripcin y justificacin en gran grupo. d) Desarrollo de la actividad 9: Esta actividad es complementaria a las actividades 2, 3, 4 y 5. Lo que nos interesa es ayudar a los estudiantes a construir las relaciones entre objetos geomtricos unidimensionales y bidimensionales. En este sentido el diseo de las situaciones que hemos propuesto en estas actividades permite que los estudiantes en un entorno de juego y diversin, como es la manipulacin de las piezas del Tangram puedan llegar a argumentar y a consolidar la definicin de los conceptos de permetro y superficie de una figura plana que consideramos funcionales para resolver problemas de la cotidianidad y, para dotar de significados a los procedimientos y formulas que generalmente le proporcionamos sin ningn tipo de razonamiento. La primera parte de la actividad est centrada en la construccin del Tangram de 4 piezas, se les puede plantear a los estudiantes que construyan un cuadrado de 10 x 10 cm. y plantearles una situacin abierta como: Divide este cuadrado en cuatro partes iguales que tengan la misma forma y el mismo rea. Esta situacin problema da mucho juego y algunas de las respuestas que pueden dar los alumnos son:

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Posteriormente, nos quedamos con el tangram de 4 piezas que est formado por las diagonales del cuadrado y lo construimos con cartulina y lo recortamos, as: Una vez recortado, hemos de decidir si queremos trabajar simultneamente medida indirecta o medida directa del permetro de las figuras que formaremos y de su rea. En este caso, sera necesario que una de las caras del tangram sea de papel cuadriculado o milimetrado, de tal forma que los alumnos puedan hacer una medida directa de las dimensiones de las piezas. Seguidamente, los alumnos en forma individual o en parejas hacen un reconocimiento de las cuatro piezas que forman el tangram y se les pide que identifiquen sus elementos. Al respecto, queremos resaltar que cada una de las piezas es un tringulo rectngulo issceles2 que a los alumnos les cuesta diferenciar porque no estn en posicin prototpica pero que es interesante que aprendan a identificarlos y acostumbrarse a verlos en diferentes posiciones. Por tanto, sus elementos son los siguientes: Posicin

prototpica

Tringulo rectngulo issceles

Hipotenusa H Cateto

C

Cateto C

La segunda situacin pide la relacin que hay entre el permetro del cuadrado y la hipotenusa del tringulo rectngulo issceles, que es:

H

H

H Permetro = H + H + H + H = 4H H Antes de comenzar a mover las piezas, que sera partir de la situacin 3, se han de dejar claras las normas del juego y de la solucin de las actividades:

1. Siempre se han de utilizar todas las piezas del Tangram. 2. Slo se tienen que hacer el nmero de movimiento que se indiquen.

2 Si estis interesados en consultar una propuesta didctica sobre el tratamiento del concepto de tringulo, elementos y clasificacin, sugerimos la lectura del documento Taller de Arte y Geometra en el ciclo superior de Primaria: Tringulos I y II parte de esta obra.

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3. Cada figura que se obtiene se ha de dibujar en la ficha de la actividad, antes de pasar al movimiento de fichas de la actividad siguiente.

4. Se ha de escribir por escrito la solucin de cada ejercicio antes de pasar al siguiente.

5. IMPORTANTE: no podemos deshacer la figura obtenida. Es decir, cada movimiento de ficha parte de la figura que se obtiene en el ejercicio anterior y no del cuadrado inicial.

Una posible solucin de la situacin 3 es:

Permetro= H + H + C + C + C + C = 2H + 4C

C

H

Ha cambiado: Forma y permetro

Se mantiene: La superficie (las

mismas 4 piezas)

Tringulo rectngulo issceles

C

C

C

H

H

H

H

H

Dos movimientos de piezas

Una posible solucin de la situacin 4 es:

C

H

C

C

C

H

CH

C

C

C

H

Un movimiento de pieza

Trapecio

Ha cambiado: Forma

Se mantiene: Permetro La superficie (las

mismas 4 piezas)

Permetro = H + C + H + C + C + C = 2H + 4C

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Una posible solucin de la situacin 5 es:

C H

C

C

C

H

C H

C

C

C

H Un movimiento de pieza Paralelogramo

romboide

Ha cambiado: Forma

Se mantiene: Permetro La superficie (las

mismas 4 piezas)

Permetro = H + C + C + H + C + C = 2H + 4C Una posible solucin de la situacin 6 es:

Un movimiento de pieza

C C

C

C

C

C Rectngulo

C H

C

C

C

Permetro = C + C + C + C+ C + C = 6C

Ha cambiado: Forma y permetro

Se mantiene: La superficie (las

mismas 4 piezas)

H

A manera de conclusin y para tener claro a la hora de poner en comn los resultados y argumentar las respuestas, queremos resaltar los siguientes aspectos claves de esta actividad:

o El trabajo sobre diferentes maneras de representar una figura geomtrica plana. Es decir que se representan las figuras en posiciones no prototpicas dando ms riqueza a los esquemas conceptuales de los estudiantes.

o Se puede visualizar que podemos encontrar figuras con la misma superficie, el mismo permetro y diferentes formas. Pero de igual manera podemos encontrar figuras con diferentes formas, diferente permetro y la misma rea.

o Se trabaja de manera ldica y manipulativa conceptos tan abstractos como el de permetro y rea de figuras plana

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o La potencia de la actividad radica en que de manera concreta y visual los alumnos pueden construir figuras con la misma rea porque las piezas que se utilizan siempre son las mismas. Es decir, siempre se mantiene constante la variable rea y podemos observar las relaciones que pueden surgir con el permetro y la forma.

Actividad 10. Clculo de rea de polgonos regulares e irregulares.

a) Objetivo: Esta actividad tiene como objetivo que los estudiantes puedan analizar las caractersticas y propiedades de los objetos geomtricos de una dimensin (lneas poligonales cerradas y el concepto de permetro) y dos dimensiones (polgonos, figuras planas en general y el concepto de superficie de una figura plana) y desarrollar razonamientos matemticos sobre las relaciones geomtricas y el clculo de reas y permetros. b) Materiales: 1. Alumnos:

Fotocopia de la actividad 10. Geoplano isomtrico y cuadricular (uno por parejas) Papel cuadriculado o milimetrado Tijeras, lpiz, regla y pegamento.

c) Agrupamiento: Trabajo en parejas y justificacin en grupo grande. d) Desarrollo de la actividad 10:

La primera actividad busca que los estudiantes comprendan y argumenten la diferencia entre permetro y superficie, es una actividad que se puede realizar ayudndose con el geoplano (reproduciendo en el geoplano los polgonos que aparecen en la trama cuadricular) y calculando de manera directa o indirecta el valor de su permetro y de su rea. En general, los estudiantes encuentran de manera rpida y bien argumentada la solucin, las figuras que tienen la misma superficie son el rectngulo, el tringulo rectngulo-issceles y el cuadrado que est rotado 45. Atencin con los errores que pueden tener los estudiantes al identificar los polgonos representados en forma no prototpica (en posiciones no convencionales). Los polgonos que tienen el mismo permetro son el cuadrado de 8 unidades y el hexgono irregular de 8 unidades. Igualmente, atencin con los errores en el sistema de referencia de unidad de longitud, ms concretamente al considerar la diagonal del cuadrado como una unidad, as:

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En el caso del triangulo rectngulo-issceles, si tomamos de referencia el segmento que va de clavo a clavo del geoplano o de la trama cuadricular y lo representamos como 1 unidad.

Afirmar que el permetro del tringulo rectngulo-issceles es igual a 6 unidades, porque la diagonal es 1,4 unidades y no 1 unidad. Por tanto, el rea del tringulo es aproximadamente 6,8 unidades o 7 unidades.

1, 4 unidades

1 unidad

Igualmente, en el caso del cuadrado girado 45, cometen el error de considerar que el permetro es 4 unidades, ya que el permetro sera aproximadamente 5,6 unidades o 6 unidades.

En lo que respecta a la segunda situacin, se presentan una serie de situaciones con una gran potencia visual, representadas en un lenguaje grfico, que ayudarn a que los estudiantes, progresivamente, deduzcan la ecuacin o frmula o relacin para el clculo del rea de paralelogramos: cuadrado, rectngulo, romboide. Nos gustara llamar la atencin sobre las diferencias y relaciones que hay entre el cuadrado y el rectngulo. Recordemos la definicin de rectngulo: cuadriltero que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos (paralelogramo) y sus cuatro ngulos rectos (90). Hasta aqu podramos estar hablando del cuadrado y del rectngulo. Slo podemos distinguirlos cuando se aade que sus cuatros lados tienen la misma longitud o son iguales. Por tanto, no olvidemos que el cuadrado es un rectngulo especial, el que tiene sus cuatro lados de la misma longitud (Ver esquema conceptual de polgonos, ver anexo VIc). Igualmente, en el ejercicio 3, se plantea una secuencia para que los alumnos deduzcan la ecuacin para calcular el rea de un tringulo, a partir de la ecuacin encontrada y justificada para el clculo del rea de un cuadriltero. Es importante enfatizar que todo cuadriltero paralelogramo se puede dividir, por lo menos, en dos tringulos semejantes. Por tanto, el rea de un tringulo es la mitad del rea de un paralelogramo. As:

A = b x h A = b x h = l x l A = b x h Al trazar una de sus diagonales a los anteriores paralelogramos, obtenemos dos tringulos semejantes. En el caso del rectngulo, se forman dos tringulos rectngulos - escalenos. Por su parte, al trazar la diagonal del cuadrado se forman dos tringulos rectngulos-issceles y, finalmente, en el paralelogramo romboide, se forman dos tringulos obtusngulos-escalenos (Ver mapa conceptual del concepto de tringulo, anexo VIb).

37

Por tanto, el rea de cada uno de los tringulos que se forma al trazar la diagonal es la mitad del cuadriltero. Es decir, la mitad del producto de la base por la altura, as:

A = 2

bxh Como hemos podido observar al trazar las diagonales de los diferentes paralelogramos de la situacin, se obtienen diferentes tipos de tringulos. Sin embargo hemos podido visualizar y podemos generalizar que independientemente del tipo de tringulo, se obtiene que la frmula o ecuacin para calcular su rea siempre es la misma: la mitad del rea del paralelogramo, que ya en el ejercicio 2, demostramos que independientemente del tipo de paralelogramo es el producto de la base por la altura. El ejercicio 4, se propone para comprobar si los estudiantes han comprendido conceptualmente el concepto de rea de un tringulo. Es una actividad que consideramos visualmente potente porque permite que los estudiantes puedan manipular conceptos que muchas veces los transmitimos de manera acrtica y los alumnos terminan memorizando frmulas sin significado alguno. Algunos aspectos conceptuales a tener en cuenta de esta actividad son:

b

I II III h 1. Encontramos representados cada unos de los tringulos segn sus ngulos: el

tringulo I es obtusngulo-escaleno, el tringulo II es rectngulo-issceles y el tringulo III es acutngulo-escaleno (Ver mapa conceptual del concepto de tringulo, anexo VIb).

2. Al tener un tringulo de cada tipo segn sus ngulos, nos encontramos que la actividad permite visualizar lo que ocurre con, por lo menos, una de sus alturas. En el caso de los tringulos acutngulos las alturas SIEMPRE estn dentro y en

38

consecuencia el ortocentro siempre estar en el interior del tringulo. En el caso de los tringulos rectngulos por lo menos dos de sus alturas coinciden con los catetos del tringulo y la tercera es interna, por tanto el ortocentro coincide con el vrtice que une los dos catetos. Y, finalmente, en los tringulos obtusngulos dos de sus alturas estn fuera y slo una es interior; en consecuencia, el ortocentro est fuera del tringulo obtusngulo.

1. Los tres tringulos representados en la trama coinciden en tener por lo menos una de

las alturas y una de las bases iguales. Por tanto, los estudiantes tendran que concluir que el rea de los tres tringulos es la misma y en cambio el permetro de los tres tringulos es diferente, ya que la longitud de sus lados es diferente.

Las situaciones 6 y 7, al igual que en las situaciones 4 y 5, buscan que los alumnos puedan llegar al clculo de reas de cualquier polgono irregular a partir del concepto de rea de un paralelogramo y del concepto de rea de un tringulo. Concretamente, se les propone una estrategia de descomposicin de los polgonos irregulares en rectngulos o tringulos que puede ser funcional para el clculo de reas de objetos de la vida real (superficie de hojas, cartulinas, terrenos, pistas de bsquet, su habitacin, etc.) Actividad 11. Suma interna de los ngulos de un polgono:

tringulos y cuadrilteros. a) Objetivo: Los objetivos que nos planteamos con esta actividad son: Que los alumnos lleguen a deducir, demostrar y argumentar que la medida de

los ngulos internos de un tringulo suman 180, independientemente del tipo de tringulo.

Que los alumnos lleguen a deducir, demostrar y argumentar que la medida de

los ngulos internos de un cuadriltero suman 360, independientemente del tipo de cuadriltero

Promover progresivamente e individualmente a los alumnos a hacer conjeturas

sobre los objetos geomtricos y demostrar dichos argumentos con diferentes tipos de procedimientos: geomtrico, algebraico, etc.

Promover el uso de diferentes procedimientos (intuitivo, grfico o geomtrico y

algebraico) para abordar la solucin de situaciones que involucren diferentes tipos de tringulos mediante el uso de diferentes sistemas de representaciones de los conceptos geomtricos utilizados.

b) Materiales:

1. Alumnos:

Tijeras y pegamento Transportador (uno o ms)

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Regla y escuadras Lpiz y papel de diferentes colores Rotuladores Ficha del dossier de la actividad 11.

c) Agrupamiento: Trabajo individual y en grupo grande. d) Desarrollo de la Actividad 11: A continuacin, presentaremos un ejemplo de una secuencia de actividades que buscaba que los alumnos llegaran a demostrar las condiciones suficientes y necesarias que ha de cumplir la suma de los ngulos internos de un polgono para que sea un tringulo y para que sea un cuadriltero. Esta actividad parte de conceptos elementales previamente construidos en el aula por los alumnos como son: los conceptos de segmentos, ngulos, polgonos (tringulos y cuadrilteros), partes y clasificacin de tringulos y cuadrilteros. La primera situacin busca de manera progresiva que los alumnos lleguen a deducir y generalizar la condicin que han de cumplir la suma interna de los ngulos de un tringulo. Esta actividad tiene un gran peso manipulativo y est estructurada de tal manera que los alumnos si van aplicando los conceptos previos estudiados pueden llegar al enunciado de una definicin y a la demostracin de la misma, mediante procedimientos geomtricos, algebraicos y numricos.

En general es una actividad que valoramos como positiva porque para todos los alumnos es relativamente fcil llegar a demostrar el teorema de la suma interna de los ngulos de un tringulo, y para nosotras, como maestras, fcil de gestionar la sesin. Sin embargo para que los alumnos puedan resolver la actividad con xito tenemos que darles algunas consignas que facilitaran sus procesos de definicin y demostracin:

1. Recordarles que inicialmente tienen que clasificar los tringulos segn sus lados y segn sus ngulos. Esto permite que los alumnos den importancia a los elementos de un tringulo y a la importancia que tienen a la hora de definir la clasificacin de cada uno de los tringulos.

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Ordinariamente los alumnos en sus esquemas de tringulo tienden a separar la clasificacin de tringulos segn sus lados y segn sus lados en cajones diferentes, evidenciando errores conceptuales. As,

a) El tringulo BCA es Rectngulo y escaleno b) El tringulo EDF es Acutngulo e issceles c) El triangulo GHI es obtusngulo y escaleno

2. Antes de recortar cada uno de los tringulos tienen que identificarlos y

representarlos teniendo en cuenta las convenciones matemticas (ver figura adjunta). Esto permite un trabajo sobre los diferentes sistemas de representaciones y el uso de lenguaje matemtico en el aula (geomtrico, algebraico y numrico).

3. Un aspecto importante es sealar de manera clara los vrtices del tringulo para que despus sea ms fcil el recortarlos y unir el puzzle de los tres ngulos del tringulo y obtener as un ngulo plano de 180.

En lo que respecta a la segunda actividad, los aspectos anteriormente descritos les permitirn demostrar la suma interna de los ngulos de un cuadriltero que siempre es 360, independientemente del tipo de cuadriltero. Resaltamos que inicialmente tendramos que pedir a los estudiantes que clasifiquen los cuadrilteros atendiendo a sus elementos: ngulos y lados (paralelismo de los lados).

5.2 Material para los alumnos (as). Los documentos ilustrativos de este taller, se encuentran en El Taller de Arte y Geometra III: lneas (1D), polgonos y otras figuras geomtricas planas (2D), en la pestaa de desarrollo curricular.

6. Bibliografa: BADILLO, E. y EDO, M. 2007a. Taller de arte y geometra en el ciclo superior de

primaria II: Tringulos (1 PARTE) . En C. Toms y M. Casas (coord.). Educacin Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 aos). Wolters Kluwer Educacin. Barcelona. CD-ROM, 39 pg.

BADILLO, E. y EDO, M. 2007b. Taller de arte y geometra en el ciclo superior de

primaria II: Tringulos (2 PARTE). En C. Toms y M. Casas (coord.). Educacin Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 aos). Wolters Kluwer Educacin. Barcelona. CD-ROM, 25 pg.

BADILLO, E. 2006. Art i Geometria CS. 27. Escola dEstiu del Valls Occidental.

Leducaci, ara. Documento indito sin publicar. BADILLO, E. y EDO, M. 2006a. Taller de arte y geometra II: tringulos.

Documentacin para el taller. En C. Toms y M. Casas (coord.). Educacin Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 aos). Wolters Kluwer Educacin. Barcelona. CD-ROM, 45 pg.

41

BADILLO, E. y EDO, M. 2006b. Els conceptes de triangle, elements i tipus a partir del quadre Tranquillitat (1930) de Wassily Kandinsky. Guix, 329, 49-57.

BADILLO, E. y EDO, M. 2004a. Taller de Arte y Geometra en el Ciclo Superior de

Primaria I: ngulos. En C. Toms y M. Casas (coord.). Educacin Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 aos). Wolters Kluwer Educacin. Barcelona. CD-ROM, 28 pg.

BADILLO, E. y EDO, M. 2004b. Taller de Arte y Geometra I: Documentacin para el

taller, Desarrollo Curricular. Estrategias e Instrumentos. En C. Toms y M. Casas, (coord.). Educacin Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 aos). Wolters Kluwer Educacin. Barcelona. CDROM, 35 pg.

BADILLO, E. 2003a. La Matemtica como herramienta para interpretar y crear Obras

de Arte. Actas de las XI Jornadas sobre el aprendizaje y la enseanza de las matemticas (JAEM).

BADILLO, E. 2003b. La derivada como objeto matemtico y como objeto de enseanza

y aprendizaje en profesores de matemtica de Colombia. Tesis Doctoral. Universitat Autnoma de Barcelona.

CASTELNUOVO, E. 1981. La matemtica. La Geometra. Barcelona: KETRES

EDITORA S.A. DUBISNKY, E. et al. 1997. A Framework for Research and Curriculum Development

in Undergraduate Mathemathics Education. Research in Collegiate Mathemathics Education. 2, 1-32.

EDO, M. 2003. Intuir nociones geomtricas desarrollando emociones estticas.

Ponencia ncleo temtico 3. Actas de las XI Jornadas sobre el aprendizaje y la enseanza de las matemticas (JAEM).

EDO, M. 2000. Mundo matemtico. Formas en el espacio. En: Anton, M. y Moll, C.

(Coord.). Educacin infantil. Orientaciones y recursos (0-6 aos). Barcelona: CISSPRAXIS. SA, pp. 301-409.

EDO, M. 1999. Reflexiones para una propuesta de geometra en el parvulario, en

Suma, 32, pp. 53-60. EDO, M. y GMEZ, R. 2006. Matemtica y arte en infantil a partir del cuadro

Bailando por miedo de Paul Klee, Desarrollo Curricular. Estrategias e Instrumentos. En: M. Antn, y B. Moll (coord.). Educacin Infantil. Orientaciones y Recursos (0-6 aos). Barcelona: CISSPRAXIS.

GRUPO CERO. 1996. MATEMTICAS. IV TERCER ciclo. Materiales curriculares

para la educacin primaria 6-12 aos. Madrid: MEC-EDELVIVES. NTCM. 2000. Principio y Estndares para la Educacin Matemtica. Granada:

S.A.E.M. Thales.

42

ONRUBIA, J. et al. 1999. La enseanza y el aprendizaje de las matemticas: una perspectiva psicolgica. En: Coll, C., Palacios, J., Marchesi, A. (Comp.). Desarrollo psicolgico y educacin 2. Psicologa de la educacin escolar. Madrid: Alianza. P. 487-508.

TORRES, M., y JUANOLA, R. 1998a. Dibujar: mirar y pensar. Consideraciones sobre

educacin artstica. Barcelona: Rosa Sensat. TORRES, M., y JUANOLA, R. 1998b. Una manera de ensear artes plsticas en la

escuela. 140 ejercicios para educacin infantil y primaria. Barcelona: Rosa Sensat.

7. Listado de anexos: Anexo I. Imagen de los cuadros de Wassily Kandinsky: Fig. 1 a) Amarillo, rojo y azul

(1925) y Fig. 1 b) Composicin VIII (1923) Anexo II. Interpretacin personal. Pautas para la interpretacin del cuadro

Tranquilidad de Wassily Kandinsky. Anexo III. Descripcin de los aspectos ms relevantes sobre la vida y obra de Wassily

Kandinsky. Anexo IV. Presentacin del taller de Arte y Geometra. Anexo V. Mapa conceptual sobre lneas. Anexo VI. Mapa conceptual sobre polgonos. VI a) Polgonos en general, VI b) Tringulos y VI c) Cuadrilteros. Anexo VII. Tarjetas para plastificar con dibujos en Tangram. Anexo VIII. Tangram recortable. Anexo IX. Breve historia del Tangram Anexo X. Esquema conceptual sobre crculo y circunferencia. Anexo XI. Imgenes de una seleccin de obras de Alexander Calder.

43

Kandinsky, W. (1925). Amarillo,rojo y azul3

3 Anexo I. Cuadro para estudiar los conceptos de lnea y polgonos en 5 de primaria.

44

Kandinsky, W. (1923). Composicin VIII4

4 Anexo I. Cuadro para estudiar los conceptos de lnea y polgonos en 6 de primaria.

45

Interpretacin personal5 1. Qu significado tiene esta imagen? Qu podra ser?

2. Colcate en el lugar del pintor, y, piensa sobre: Qu ideas o

sentimientos crees que quiere transmitir con esta obra?

3. Qu podemos destacar de los colores, la intensidad de

colores, la posicin y colocacin de las lneas, la secuencia de

las lneas, del fondo? Cuntos planos ves? Cul crees que es

el principal y por qu, etc.?

4. Qu palabras podran salir en el ttulo de este cuadro? Qu

ttulo le pondras?

5 Anexo II

46

Descripcin de los aspectos ms relevantes sobre la vida y obra de Wassily Kandinsky.6

Biografa: naci en Mosc, en el seno de una familia acomodada, y aunque pas ms de la mitad de su vida en Alemania y Francia, conserv un fuerte vnculo emocional con su ciudad. Durante sus primeros treinta aos, la pintura slo fue la aficin apasionada de un joven soador y romntico, pero convencional. Estudi Derecho y Economa, y su brillante carrera acadmica le depar una ctedra en Estonia, a la que renunci para trasladarse en 1896 a Munich y dedicarse a la pintura.

(1896) Renuncia a su carrera exitosa como economista y abogado y se traslada a Munich para dedicarse a la pintura.

(1901) Se transforma en animador de pequeas asociaciones de

artistas modernos que promueven exposiciones. Phalanx, fundado en este mismo ao, es el primero de esos grupos, que expone obras impresionistas,. simbolistas y modernistas, las tres influencias ms visibles en los primeros cuadros de Kandinsky.

(1916-1908) Viaja por Europa en compaa de Mnter y expone en

los Salones de Otoo y de los Independientes en Pars, donde conoce el fauvismo y el cubismo.

(1909) En ese ao funda la Nueva Asociacin de Artistas de

Munich, conocida por sus siglas en alemn NKVM con Jawlensky, Kubin y Mnter entre otros, al tiempo que empieza a fraguarse el entramado ideolgico que desembocar en la abstraccin.

6 Anexo III

47

(1912) Abandona la NKVM para fundar junto con Jawlensky y Mnter El Jinete Azul. Conoce a Paul Klee, entre otros pintores contemporneos famosos.

(1914) El estallido de la Primera Guerra Mundial en 1914 devuelve

a Rusia, donde la Revolucin de 1917 promueve una de las vanguardias artsticas ms activas y singulares del siglo XX.

(1917) Se casa con Nina Adreevsky, su segunda y definitiva

esposa, y cuatro aos despus vuelve a Alemania en un viaje de trabajo del que no retornar.

(1922-1933) Walter Gropius le ofrece formar parte del claustro

de la Bauhaus, donde dirigir el Taller de Pintura Decorativa y el curso de iniciacin. All se reencontr con su amigo Paul Klee, y junto con l, Jawlensky y Feininger formarn Los Cuatro Azules. Durante estos aos la obra de Kandinsky se disciplina; al color se aade la geometra y la interaccin de la forma, y su pintura se aprovecha de las mltiples tendencias que coinciden en distintos momentos en la Bauhaus.

(1933) Obligado a abandonar Alemania por el ascenso del

nazismo, que incluye su obra en la siniestra nmina del arte degenerado, se instala en Neully, cerca de Pars. All espera encontrar un clima propicio, pero la escena francesa est entonces dominada por corrientes poco afines a la abstraccin.

(1944) Muerto en este ao, no pudo ver su definitiva

consagracin tras el triunfo de la abstraccin en los aos de posguerra. Sus ltimas obras se alejan de la geometra de la Bauhaus, optando por formas orgnicas y biomrficas.

48

Presentacin del Taller7

TTULO: Los conceptos geomtricos como una herramienta para interpretar y crear obras de arte. NIVEL: Ciclo superior de primaria OBJETIVOS: o Usar obras de arte conocidas para la

introduccin, construccin y evaluacin de conceptos geomtricos (conceptual).

o Interpretar obras de arte conocidas a partir

de la aplicacin de los conceptos geomtricos desarrollados (conceptual/procedimental).

o Crear y justificar producciones artsticas

como resultado de la aplicacin de los conceptos geomtricos desarrollados (procedimental/ conceptual).

o Conocer y valorar los elementos conceptuales,

histricos y biogrficos de los autores de las obras seleccionadas (actitudinal).

7 Anexo IV

49

8

8 Anexo V

CERRADAS

CURVAS

CIRCUNFERENCIA VALO

POLIGONALES

TRINGULO PENTGONOCUADRILTERO

RECTNGULOTRAPECIO TRAPEZOIDE

PARALELAS SECANTES PERPENDICULARES

LNEA RECTA

INCLINADA VERTICAL HORIZONTAL

POLIGONALES CURVAS

ABIERTAS

LNEAS

50

Anexo VI a

Es una lnea poligonal con fondo Es una figura geomtrica plana.

Lnea poligonal cerrada

Polgonos

Polgonos de 6 lados, 6 vrtice y 6 ngulos

Lados Vrtices ngulos

tienen

Diagonales

Polgonos de 3 lados, 3 vrtice y 3 ngulos

Tringulos

Vrtice

Lado ngulo

Cuadrilteros

Polgonos de 4 lados, 4 vrtice y 4 ngulos

Polgonos de 5 lados, 5 vrtice y 5 ngulos

Pentgonos

Segn el nmero de lados y ngulos pueden ser:

Hexgonos

POLGONOS

51 Vrtice

Anexo VI bTRINGULOS

EQUILTERO: 3 lados iguales

ISSCELES: 2 lados iguales 1 lado diferente

ESCALENO: 3 lados diferentes

LADOS NGULOS

RECTNGULO: 1 ngulo recto

2 ngulos agudos

OBTUSNGULO:1 ngulo obtuso 2 ngulos agudos

ACUTNGULO: 3 ngulos agudos

Polgono o figura geomtrica plana

Ninguna Diagonal 3 Lados 3 Vrtices 3 ngulos

Se clasifican segn sus:

tienen

Lado

Lado

Vrtice

ngulo Lado

Vrtice

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Anexo VI c CUADRILTEROS

Polgono o figura geomtrica plana

2 Diagonales 4 lados 4 Vrtices 4 ngulos

Se clasifican segn sus lados y ngulos:

Paralelogramos: 2 parejas de lados opuestos paralelos

QUADRAT: 4 lados iguales y 4 ngulos rectos.

RECTANGLE: 2 lados iguales (entre si) y 4 ngulos rectos

ROMBOIDE: 2 lados iguales (entre si)

2 ngulos agudos y 2 ngulos obtusos

ROMBE: 4 lados iguales

2 ngulos agudo