ARRANJO COM REPOSIO OU COMBINAO COMPLETA?

Algumas vezes ao resolvermos um problema de contagem nos deparamos com um dilema: decidir se o problema em

questo se enquadra no caso de uma COMBINAO COMPLETA (CR) ou no caso de um ARRANJO COM REPOSIO ou

REPETIO (AR). Quando partimos para as contas mecanicamente por impulso sem essa reflexo inicial podemos cometer esse

erro evidente que certamente haver de nos causar futuro arrependimento e a sensao amarga de que poderamos ter

pensado melhor antes de comear a resolver tal questo. muito comum incorrermos nesse deslize em provas de

combinatria e em seguida culparmos o fator tempo por tal incongruncia de nossa parte como se isso aliviasse nossa culpa.

Vejamos alguns exemplos comentados que podero nos orientar em questes similares.

(E1) De quantas formas podemos comprar 10 refrigerantes tendo que escolh-los a partir de 5 marcas distintas?

COMENTRIO: O problema consiste em se resolver uma equao com solues inteiras no negativas: Marcas Refrigerante

+ + = 10 - Note que: Todos ou alguns dos 10 refrigerantes podem ser iguais. Cada marca representa um subconjunto de elementos idnticos. A ordem dos elementos em cada agrupamento formado pelos 10 refrigerantes no

tem importncia. Trata-se, pois, de uma combinao completa (ou combinao com repetio ou com reposio):

=

= = (

)=

(E2) Como distribuir 10 presentes distintos entre 5 crianas (sem fazer restrio alguma)?

COMENTRIO: Nesse caso, no faz sentido armar e tentar resolver esse problema como uma equao com solues inteiras

no negativas, como na questo anterior, que seria do tipo: Crianas Presentes

+ + = 10 - Note que: As crianas no recebero presentes iguais e diferentemente da questo anterior

cada letra no representa um subconjunto de objetos mas um nico ser. Vale notar ainda que permutao de presentes nas

mos de uma mesma criana irrelevante, mas permutaes de presentes entre duas ou mais crianas modificam os

agrupamentos. Logo no faz sentido considerar esse problema como sendo um caso de CR.

Entretanto, se organizarmos um diagrama de conjuntos A e B e pensarmos no problema como funes de

A={presentes}={ ,..., } em B={crianas}={ ,..., }, ou seja f:A B, em que cada elemento de A ser associado a um e

somente um elemento de B, ento cada funo especfica {f( ), f( ), ... ,f( ), f( )} caracteriza um agrupamento distinto

ou distribuio nica. Logo temos um arranjo com repetio (tambm chamado de arranjo com reposio ou completo). Em

geral, se n(A)=k e n(B)=w, ento teremos = . No caso particular em questo, temos que

= , quer dizer, cada

presente tem 5 possibilidades de escolhas para ser distribudo entre as crianas, logo: 5x5x5x...x5=

Podemos comparar as crianas como se fossem 5 urnas e, ento, teramos que escolher uma delas para depositar o 1

presente, depois escolher novamente uma delas (com reposio, ou seja, sem descartar a possibilidade de escolher

novamente a que foi escolhida no passo anterior) para depositarmos o 2 presente e, assim, sucessivamente, at concluirmos

cada distribuio possvel. A contagem de todas as distribuies possveis a soluo deste problema.

(E3) De quantas formas Carla poder distribuir 10 anis nos 5 dedos de uma de suas mos, considerando que cada dedo possa comportar todos os 10 anis: A) Supondo que todos os anis so idnticos? B) Supondo que todos os anis so diferentes entre si?

COMENTRIO: No caso A, tem-se que, como os anis so idnticos, se usarmos a ideia de funo descrita anteriormente e se permutarmos a ordem de organizar uma dada sequncia da distribuio poderemos gerar agrupamentos idnticos, uma vez que o que conta em cada sequncia determinada a quantidade de anis que fica em cada dedo. Logo o uso da ideia de funo do caso anterior no se aplica. Possivelmente esse problema se trata de uma combinao completa como na primeira questo. Dedos Anis

+ + = 10 - Note que: O que conta em cada agrupamento a quantidade de anis que h em cada dedo. A

permutao de elementos nesse caso no relevante, pois os elementos so idnticos entre si.

Assim temos que =

= = (

)=

No caso B, basta multiplicarmos a soluo do caso A pela permutao total dos anis, que pode ser feita de 10! maneiras,

ficando 10! =10!

=

. Notemos neste caso que a permutao de anis ainda que num mesmo dedo gera

configuraes diferentes, portanto novos agrupamentos. Isso porque cada elemento em cada subconjunto (dedo) do

agrupamento tem uma posio bem definida.

(E4) Como distribuir 10 alunos em 5 equipes bem distintas A, B, C, D e E, sendo que alguma equipe possa ficar eventualmente com todos ou com nenhum aluno?

COMENTRIO: Esse problema lembra o problema do exerccio 2. Mas se por algum motivo quisssemos resolver esse problema usando a equao com solues inteiras no negativas, uma forma de ilustrar seria Equipes Alunos

+ + = 10 - Observe que: De cara notamos que dado um agrupamento, por exemplo, do tipo ( se permutarmos os alunos dentro de uma mesma equipe nada acontece ao agrupamento

considerado, mas podemos permutar os elementos entre duas equipes mantendo seu numero de elementos e isso modifica o agrupamento. Todavia, esse fato no computado no clculo de uma combinao completa que no caso seria

. Por outro

lado se fizssemos como no caso B de (E3), o produto dessa combinao com a permutao dos 10 alunos teramos 10! ,

mas estaramos contando permutaes dentro de uma mesma equipe (sem que os elementos mudassem de equipe) e isso, com certeza, no iria mudar a configurao final de um agrupamento, pois dentro de uma equipe sem lugares definidos a ordem dos elementos no relevante. Tudo isso nos leva a crer que melhor pensarmos na possibilidade de fazermos cada distribuio como se fosse uma funo do conjunto A={alunos) no conjunto B={equipes}. Assim teremos que cada um dos 10

alunos tem 5 possibilidades de equipes para escolher: 5x5x5x...x5= = .

Podemos tecer algumas consideraes bsicas: NATUREZA DOS OBJETOS POSIES DENTRO DE UM

SUBGRUPO DO AGRUPAMENTO COMPOSIO DOS AGRUPAMENTOS

Objetos Idnticos: AAAAA

Posies bem definidas No cabe permutao

= n Posies no definidas

Objetos Distintos: ABCDE

Posies bem definidas Cabe permutao total = n

Posies no definidas Cabe permutao parcial (ou seja, entre elementos de subgrupos distintos e no dentro do mesmo subgrupo da distribuio)

=

f:A B, n(A)=k e n(B)=w Grupos de objetos diferentes compem agrupamentos que podem ser mistos ou no.

= = (

)=

= n

Elementos distintos de A se relacionam de forma nica com objetos de B em cada agrupamento.

= f:A B, n(A)=k e n(B)=w

Vejamos mais algumas ilustraes: I)-Como distribuir em 4 grupos, 3 elementos distintos A,B e C? (Observe que aqui as posies dentro de um grupo de uma distribuio no so relevantes).

= =64.

Que tal visualizarmos cada agrupamento ou pelo menos parte deles? Uma forma de descrevermos todos os agrupamentos o seguinte: Fixando A em uma coluna e variando as colunas onde B e C podem ser colocados teremos as 12 configuraes seguintes. Note que cada configurao representa uma distribuio e cada coluna representa um subgrupo na distribuio.

B B B B B B

A C A C A C C A A C A C

B B B B B B

C A C A A C C A C A C A

Trocando o A por B e depois por C, sem permutar os elementos dentro de uma mesma coluna (essa permutao seria irrelevante) teremos um total de 3x12=36 configuraes. Podemos agora colocar as trs letras numa mesma coluna de 4 maneiras (sem permutar; permutao na mesma coluna no conta).

A A A A

B B B B

C C C C

Vamos agora distribuir as trs letras em colunas distintas. Temos somente 4 maneiras de escolher as colunas.

A B C A B C A B C A B C

Agora podemos permutar as letras de 3!=6 maneiras em cada situao (pois esto em colunas distintas) e teremos 24 configuraes. Assim, obtemos 36+4+24=64, que o arranjo completo esperado. II)- Como distribuir 3 objetos idnticos A,A,A em 4 grupos(equipes/comisses)? (Observe que aqui as posies dentro de um grupo tambm no importam).

=20

III)- Como distribuir 3 elementos distintos A,B e C em 4 grupos com posies bem definidas em cada grupo? (Note que s vezes a questo no informa que as posies dos elementos so bem definidas. A gente deve perceber isso sozinho.)

= 6x20 =120. Aqui cabem combinaes com repeties e permutaes dentro de cada grupo de uma sequncia de

grupos. Ento, aproveitamos o diagrama anterior e multiplicamos cada sequncia pela permutao de seus elementos, obtendo ao todo 20x3!=120 agrupamentos distintos.